aprendendo matematica etc 103

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32. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^3 - x}\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}} \right| + C\) 
 **Explicação**: Decomponha em frações parciais. 
 
33. **Integral**: \(\int x \sin(x^2) \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\). 
 
34. **Integral**: \(\int \frac{e^{2x}}{x} \, dx\) 
 **Resposta**: Não possui uma forma primitiva expressável em termos de funções 
elementares. Relaciona-se com a integral exponencial. 
 
35. **Integral**: \(\int x^2 e^{x} \, dx\) 
 **Resposta**: \((x^2 - 2x + 2)e^x + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes duas vezes. 
 
36. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta**: \(\ln \left| x + \sqrt{x^2 + 1} \right| + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = \sinh(t)\). 
 
37. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^2 - 4}\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{4} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C\) 
 **Explicação**: Decomponha a fração em frações parciais. 
 
38. **Integral**: \(\int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{x^3}{3} - \frac{x}{3} + \ln \left| x^2 + 1 \right| + C\) 
 **Explicação**: Divida a fração e integre. 
 
39. **Integral**: \(\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2x}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \ln \left| 1 + e^{2x} \right| + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = e^x\). 
 
40. **Integral**: \(\int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\) 
 **Resposta**: Não possui uma forma primitiva expressável em termos de funções 
elementares. Relaciona-se com a integral de Coseno. 
 
41. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x + 2}{\sqrt{3}} \right) + C\) 
 **Explicação**: Complete o quadrado e use substituição. 
 
42. **Integral**: \(\int \sqrt{1 - x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{x}{2} \sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2} \arcsin(x) + C\) 
 **Explicação**: Use substituição trigonométrica \(x = \sin(\theta)\). 
 
43. **Integral**: \(\int \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{x}{2 (x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\) 
 **Explicação**: Use substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
44. **Integral**: \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2 \sqrt{3}} \ln \left| \frac{x + \sqrt{3} x}{x - \sqrt{3} x} \right| + C\) 
 **Explicação**: Decomponha em frações parciais. 
 
45. **Integral**: \(\int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{\cos(x)}{x} - \int \frac{\cos(x)}{x^2} \, dx + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes. 
 
46. **Integral**: \(\int \frac{e^x}{x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: Não possui uma forma primitiva expressável em termos de funções 
elementares. Relaciona-se com a integral exponencial. 
 
47. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^4 + 2x^2 + 1}\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{4} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) + C\) 
 **Explicação**: Decomponha a fração e integre.