testes de aula 106

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**Resposta**: \(\frac{\arcsinh\left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = 2 \sinh(t)\). 
 
18. **Integral**: \(\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\sqrt{1 - x^2} + \arcsin(x) + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = \sin(\theta)\). 
 
19. **Integral**: \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\) 
 **Resposta**: Não possui uma antiderivada elementar. 
 **Explicação**: A integral da função \(e^x/x\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
20. **Integral**: \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
21. **Integral**: \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{e^{2x}}{13} \left( 2 \sin(3x) - 3 \cos(3x) \right) + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes duas vezes. 
 
22. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} + \arctan \left( \frac{x}{2} \right) 
\right) + C\) 
 **Explicação**: Use substituição trigonométrica. 
 
23. **Integral**: \(\int x e^{x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{e^{x^2}}{2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\). 
 
24. **Integral**: \(\int \frac{1}{x \ln(x)^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
25. **Integral**: \(\int \cos^3(x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{3 \sin(x)}{4} + \frac{\sin^3(x)}{12} + C\) 
 **Explicação**: Use a identidade \(\cos^3(x) = \cos(x)(1 - \sin^2(x))\). 
 
26. **Integral**: \(\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = 2 \sin(\theta)\). 
 
27. **Integral**: \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\sqrt{x^2 - 1} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = \sqrt{x^ 
 
2 - 1}\). 
 
28. **Integral**: \(\int e^{3x} \cos(2x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{e^{3x}}{13} \left( 3 \cos(2x) + 2 \sin(2x) \right) + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes duas vezes. 
 
29. **Integral**: \(\int \frac{x^2}{x^4 + 1} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \ln(x^4 + 1) + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\). 
 
30. **Integral**: \(\int x \ln(x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes. 
 
31. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}}\) 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{2 \sqrt{x^2 - 1}} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = \sec(\theta)\).