Problemas de Probabilidade

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1ª LISTA DE PROBABILIDADE 
 
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01. Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm um sobrenome e: 
 
 a) exatamente dois nomes 
 b) no máximo dois nomes 
 c) no máximo três nomes 
 
02. Um inspetor visita 6 máquinas diferente durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam 
quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isto 
poderá ser feito? 
 
03. Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, existem 5 linhas de montagem; no 
segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de montagem. 
De quantas maneiras diferentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem? 
 
04. As letras do código Morse são formadas por uma sucessão de traços e pontos com repetições 
permissíveis. Quantas letras podem-se formar com dez símbolos ou menos? 
 
05. Um jogador A lança seis dados e ganha caso consiga pelo menos um resultado igual a um. Um 
outro jogador B lança doze dados e ganha caso consiga pelo menos dois resultados iguais a um. Quem 
tem maior probabilidade de ganhar? 
 
06. Suponha que de um total de n varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma curta. 
As 2n partes são arrumadas em n pares dos quais novas varetas são formadas. Determina a 
probabilidade de que as partes sejam unidas na ordem original. 
 
07. Um carro está estacionado entre N carros numa fila, mas não em nenhuma das pontas. Na sua volta, 
o dono do mesmo verifica que exatamente r dos N lugares ainda estão ocupados. Qual é a 
probabilidade de que ambos os lugares vizinhos estejam vazios? 
 
08. Sejam A1, A2, ..., eventos aleatórios. Mostre que: 
 
)(1
11
∑
==
−≥⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ρ
n
k
c
k
n
k
k
APA∩ 
 
09. Prove que se temos An eventos disjuntos e P(B/An) = P(C/An), então: 
 
( ) ( )∪∪ nn
ACAB // Ρ=Ρ . 
 
10. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A 
probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 
0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha 
escrito? 
 
11. (Problema de Monty Hall) Existiu nos Estados Unidos um programa de auditório que oferecia aos 
participantes a chance de ganhar um grande prêmio. Eram oferecidas aos candidatos três portas onde 
em uma delas estaria o prêmio e nas outras duas um bode, um em cada porta (uma brincadeira 
indicando que o candidato não havia ganhado o prêmio). No início, o apresentador do programa dava a 
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opção de que uma porta fosse escolhida. Depois do candidato ter escolhido a sua porta, o apresentador 
abria uma porta onde havia um bode, nas duas portas que restavam (observe que ele sempre poderia 
fazer isso) e dava a opção para o candidato mudar de porta. Pergunta-se: para aumentar as chances de 
receber o prêmio o candidato deve mudar de porta, deve permanecer ou é indiferente? 
 
12. (Discriminação e Pena de Morte) Existe alguma relação entre a raça de acusados declarados 
culpados em julgamentos de assassinato e a imposição de pena de morte a esses acusados? Essa 
questão tem sido amplamente debatida. Diz-se que acusados brancos recebem a pena de morte com 
muito menos freqüência que os não brancos. Esse caso pode ajudar a entender uma razão para esse 
debate. A tabela A mostra informação observando 326 casos. 
Perguntas: 
a. Examinando a tabela A, estime P(Pena de Morte/Acusado Branco) e P(Pena de Morte/Acusado 
Negro). Qual a conclusão que se chega a partir dessa análise? 
b. A tabela B os mesmos dados associando com a raça da vítima. Utilizando esses dados calcule as 
seguintes probabilidades: 
P(Pena de Morte/Acusado Branco, Vítima Branca) 
P(Pena de Morte/Acusado Negro, Vítima Branca) 
P(Pena de Morte/Acusado Branco, Vítima Negra) 
P(Pena de Morte/Acusado Negro, Vítima Negra) 
 
Qual a sua conclusão? 
c. Explique as aparentes contradições entre suas respostas para questões 1 e 2. 
Tabela A 
Raça do Acusado Sofreu a Pena de Morte 
(sim) 
Sofreu a Pena de Morte 
(não) 
Total de Acusados 
Branco 19 141 160 
Negro 17 149 166 
Total 36 290 326 
 
Tabela B 
Raça da Vítima Raça do Acusado Sofreu a Pena de 
Morte (sim) 
Sofreu a Pena de 
Morte (não) 
Total de Acusados 
Branca Branco 19 132 151 
Negro 11 52 63 
Total 30 184 214 
Negra Branco 0 9 9 
Negro 6 97 103 
Total 6 106 112 
Total 36 290 326 
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13. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O Fluminense ganha um jogo em 
um dia de chuva com probabilidade 0,4; em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um 
jogo em novembro, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? 
 
14. Considere um espaço amostral S. Suponha A, B eventos de S. Prove ou “disprove” que: 
a. A, B independentes implica A, B
C
 independentes. 
b. A, B independentes implica A
C
, B independentes. 
c. A, B independentes implica A
C
, B
C
 independentes. 
 
15. Imagine um equilibrista bêbado caminhando sobre uma corda, tendo manter o seu equilíbrio, e dá 
um passo para frente com probabilidade p e um passo para trás com probabilidade (1-p). 
a. Qual a probabilidade que após 2 passos o equilibrista esteja no mesmo lugar sobre a corda? 
b. Qual a probabilidade que após 3 passos o equilibrista esteja um passo depois de onde ele 
começou? 
 
16. Um problema de confiabilidade envolvendo uma rede de linhas telefônicas não precisa ser sempre 
decomposto em uma sequência de conexões série e paralelo. Entretanto, o teorema da probabilidade 
total pode ser ainda útil para calcular a probabilidade de sucesso entre nós da rede. A seguir alguns 
exemplos: 
a. Na rede selecionada na figura A, calcule a probabilidade que haja pelo menos uma linha de 
conexão desbloqueada entre os nós A e B. 
b. Suponha que seja adicionada uma outra ligação conforme a figura B mostrada a seguir. Calcule 
novamente a probabilidade de existir pelo menos uma conexão desbloqueada entre A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Temos 2 jarros que contém inicialmente n bolas cada um. São realizadas quatro mudanças 
sucessivas de bolas. Em cada mudança são retiradas de forma aleatória e simultânea uma bola de um 
jarro e colocada em outro jarro. Qual a probabilidade que ao final das quatro mudanças todas as bolas 
estejam em sua posição inicial? 
 
 
 
 
A 
C 
F 
E 
B 
D 
0,75 
0,9 
0,8 
0,9 
0,85 
0,95 
0,9 
0,95 
Figura A 
A 
C 
F 
E 
B 
D 
0,75 
0,9 
0,8 
0,9 
0,85 
0,95 
0,9 
0,95 
0,8 
Figura B 
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18. Roberto possui um par de dados especial que possui quatro lados. Quando ele joga os dados, a 
probabilidade de qualquer resultado particular é proporcional ao produto dos resultados de cada dado. 
Todos os resultados que fornecem um dado produto são igualmente prováveis. 
a. Qual a probabilidade do produto ser par? 
b. Qual a probabilidade de Roberto conseguir um 2 e um 3? 
 
19. Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito diferentes 
inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca permite que 10 
inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação ou seja, a tranca abrirá 
se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade que um ladrão abra a 
porta na primeira tentativa. 
 
20. Assuma que os eventos A1, A2, A3 e A4 são independentes e que P(A3 ∪ A4) > 0. Mostre que: 
 
P(A1 ∪ A2 | A3 ∪ A4) = P(A1 ∪ A2)