EL71C_Lista_de_Exercicios

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EL71C – Lista de Exerćıcios
Professor: Cristiano Marcos Agulhari
Março de 2018
1. Um sinal de tempo cont́ınuo x(t) é apresentado na Figura 1. Faça o gráfico de cada um dos seguintes
sinais:
(a) x(t)u(t− 1)
(b) x(t)rect(t− 0.5)
(c) x(−t)u(−t− 1)
(d) x(t− 2)u(t+ 2)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x
(t
)
Figura 1: Sinal de tempo cont́ınuo x(t).
2. Determine analiticamente a largura de banda do sinal g(t) = rect(t/τ) em função do parâmetro τ
3. Determine a transformada de Fourier S(f) do sinal s(t) dado por
s(t) = 2 cos(πt) cos(20πt).
Determine também sua largura de banda e sua potência.
4. Os sinais g1(t) = 104rect(104t) e g2(t) = δ(t) são aplicados às entradas de filtros passa-baixas ideais
H1(f) = rect(f/(2 · 104)) e H2(f) = rect(f/104) conforme a Figura 2. As sáıdas y1(t) e y2(t) desses
filtros são multiplicadas para produzir o sinal y(t) = y1(t)y2(t). Pede-se:
(a) Esboce os gráficos de G1(f) e G2(f).
(b) Esboce os gráficos de H1(f) e H2(f).
(c) Esboce os gráficos de Y1(f) e Y2(f).
(d) Determine as larguras de banda de y(t), y1(t) e y2(t).
1
g1(t)
g2(t)
H1(ω)
H2(ω)
y1(t)
y2(t)
y(t) = y1(t) + y2(t)
Σ
Figura 2: Sistema com filtros.
5. Calcule a potência e o valor rms do sinal x(t) da Equação (1). Com base no resultado encontrado,
generalize uma fórmula de cálculo de potência de soma de senoides g(t) dada pela Equação (2).
x(t) = 10 cos
(
100t +
π
3
)
+ 16 sin
(
150t+
π
5
)
(1)
g(t) =
∞
∑
n=1
Cn cos(ωnt+ φn) (2)
6. O sinal g(t) = 10 sin(40πt) é transmitido por um canal afetado por 5 dB de rúıdo. Qual a SNR do
sistema?
7. O sinal periódico x(t), apresentado na Figura 3, é transmitido por um canal afetado por 8 dB de rúıdo.
Qual a SNR? E se o sinal for amplificado em 10 dB, qual a nova SNR?
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
x
(t
)
Figura 3: Sinal x(t) transmitido por canal ruidoso.
8. Considere que o sinal periódico g(t), ilustrado na Figura 4(a), seja aplicado ao sistema de transmissão
mostrado na Figura 4(b). No sistema, os blocos G1 e G2 aplicam ganhos de amplificação aos respectivos
sinais de entrada. Suponha que o canal é afetado por um rúıdo aditivo de potência 8dB.
(a) (1.0 ponto) Determine a potência média do sinal g(t);
(b) (1.5 pontos) Determine os ganhos de amplificação dos blocos G1 e G2 para que a relação sinal-
rúıdo do sinal y(t) seja SNR = 25dB.
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
t
g
(t
)
(a) Sinal g(t)
Rúıdo (8dB)
g(t) G1 Canal G2
y(t)
(b) Sistema de Transmissão
Figura 4: Sistema de transmissão do Exerćıcio 8.
9. Um sinal g(t), com uma dada densidade espectral de potência Sg(f), foi aplicado a um canal (como
ilustrado na Figura 5) com resposta em frequência H(f) = e−j6f . Qual a densidade espectral de
potência do sinal recebido y(t)?
H(f)g(t) y(t)
Figura 5: Modelo de canal.
10. Considere um canal, como mostrado na Figura 5, cuja resposta ao impulso é dada por h(t) =
20sinc(10πt) cos(20πt). Com o aux́ılio do Matlab, determine a resposta em frequência H(f) do canal.
A partir do esboço de H(f), apresente uma aproximação anaĺıtica da sáıda y(t) do canal para uma
entrada g(t) = 10 + sin(2πt) + 3 cos(8πt) − 6 cos(14πt) + 2 sin(34πt). Compare sua resposta anaĺıtica
(aproximada) com a resposta numérica computada com o aux́ılio do Matlab.
Lembrete: a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier de sua resposta ao
impulso, isto é, H(f) = F{h(t)}.
11. Implemente um sistema que realize o procedimento de modulação AM de um sinal g(t). Realize um
estudo sobre como a porcentagem de modulação afeta tanto o sinal quanto o espectro modulado. Para
quais valores da porcentagem de modulação impedem a utilização de um detector de envoltória para
a demodulação?
Para o estudo explicite qual sinal g(t) será usado e qual a frequência de modulação utilizada.
12. Implemente um sistema que realize o procedimento de modulação AM-DSB-SC de um sinal g(t). Quais
as principais diferenças entre esta modulação e a técnica aplicada no exerćıcio anterior?
13. Considere o sinal a ser modulado
g(t) = 20 cos(2πt)
e a onda portadora
c(t) = 50 cos(100πt).
(a) Esboce o sinal resultante da modulação AM considerando 75% de porcentagem de modulação;
(b) Determine a potência do sinal modulado;
3
(c) Esboce o sinal resultante da modulação AM-DSB-SC;
(d) Determine a potência do sinal modulado;
(e) Qual modulação é mais imune ao rúıdo, em termos da SNR? Justifique.
14. Considere um sinal g(t) cujo espectro é mostrado na Figura 6. A largura de banda do sinal é
W = 1kHz. Tal sinal é aplicado a um sistema de modulação AM-DSB-SC com portadora c(t) =
Ac cos(2πfct), gerando o sinal modulado s(t). O sinal modulado é então aplicado a um detector coe-
rente. Assumindo que haja uma perfeita sincronia entre as ondas das portadoras tanto do modulador
quanto do detector, determine o espectro da sáıda do detector quando: (a) A frequência da portadora
é fc = 1, 25kHz; e (b) A frequência da portadora é fc = 0, 75kHz. Qual a frequência fc mais baixa
para que seja posśıvel recuperar perfeitamente a mensagem m(t)?
−W W f(Hz)
|G(f)|
Figura 6: Espectro do sinal do Exerćıcio 14
15. O sinal
g(t) = cos(2π500t) + cos(2π700t)
foi modulado em amplitude, utilizando a modulação AM-DSB-SC com uma portadora de frequência
fc = 3000 Hz e amplitude Ac = 10.
(a) (1.0 ponto) Determine a expressão do sinal modulado ϕAM (t) e esboce seu espectro em frequência.
(b) (1.5 pontos) Suponha que a demodulação do sinal foi realizada por um procedimento de detecção
coerente, como descrito na Figura 7. Porém, por problemas de sincronização, a frequência do
oscilador é igual a fo = 2700 Hz. O filtro é um passa-baixas com frequência de corte 600Hz.
Determine o sinal demodulado xr(t).
ϕAM (t) xr(t)
2 cos(2πfot)
Filtro
Figura 7: Diagrama do Exerćıcio 15.
16. Considere o sinal
g(t) = 10 cos(200πt).
(a) (1.0 ponto) O sinal g(t) foi modulado em amplitude, utilizando a modulação AM-DSB. Determine
o valor limite de ka para que não ocorra inversão de fase;
(b) (0.5 ponto) Qual é a potência do sinal modulado resultante do item 16a, considerando o valor
limite de ka calculado e que a amplitude da portadora é Ac = 1?
4
(c) (1.0 ponto) Suponha agora que o sinal g(t) foi modulado em amplitude utilizando a modulação
AM-DSB-SC, com portadora de amplitude Ac = 1. Qual a potência do sinal modulado?
17. Considere o sinal g(t) = 6 sin(300πt), modulado em FM utilizando uma portadora de frequência
fc = 2000Hz com um ı́ndice de modulação kf = 10.
(a) Qual a potência do sinal modulado?
(b) Qual o desvio de frequência ∆f do sinal modulado?
(c) Qual a largura de banda do sinal modulado?
18. A Figura 8 mostra o diagrama do circuito de um modulador AM balanceado. A entrada aplicada
ao modulador superior é m(t) e ao modulador inferior é −m(t). Sendo que esses dois moduladores
apresentam a mesma sensibilidade à amplitude, mostre que a sáıda s(t) consiste em sinal modulado
DSB-SC.
Modulador
Modulador
AM
AM
Oscilador
Ac cos(2πfct)
Ac cos(2πfct)
Σ
m(t)
−m(t)
s(t)
+
-
Figura 8: Diagrama do Exerćıcio 18.
19. Considere um sinal modulado em ângulo:
xc(t) = 10 cos[108πt+ 5 sin(2π103t)]
Encontre o desvio máximo de fase e desvio máximo de frequência.
20. A modulação angular de um sinal é descrita por:
xc(t) = 10 cos[2π106t+ 0, 1 sin(103πt)]
a) Considerando xc(t) como um sinal PM com kp = 10, encontre m(t).
b) Considerando xc(t) como um sinal FM com kf = 10π, encontre m(t).
21. Considere o sinal em banda-base g(t) dado por
g(t) = 10 cos(100πt) cos(30πt).
(a) (0.5 ponto) Determine a largura de banda de g(t).
(b) (0.5 ponto) Suponha que g(t) foi submetido a um modulador FM, com frequência de portadora
fc = 500Hz, amplitude Ac = 10 e kf = 5. Qual a potência do sinal modulado ϕFM (t)?
5
(c) (1.0 ponto) Determine a largura de banda de ϕFM (t).(d) (0.5 ponto) O sinal modulado ϕFM (t) é transmitido, em conjunto com sinais de outros transmis-
sores (sem que haja interferências). Considerando que a antena do receptor seja capaz de obter
todos os sinais do meio, esboce a resposta em frequência de um filtro que cuja sáıda consista
apenas do sinal ϕFM(t).
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