na pratica AK

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- B) Substituição 
 - C) Método da média 
 - D) Método gráfico 
 **Resposta:** B) Substituição 
 **Explicação:** Utilizamos a técnica de substituição para tornar a integral mais fácil de 
resolver, substituindo \(g(x)\) por \(u\). 
 
58. **Qual é a equação característica da função \(f(x) = 3x^3 + 6x^2 - 9\)?** 
 - A) \(3x^2 + 12x\) 
 - B) \(3x^2 + 2x - 3 = 0\) 
 - C) \(3x^3 + 6x^2 - 9 = 0\) 
 - D) \(3x^3 + 6x - 9 = 0\) 
 **Resposta:** C) \(3x^3 + 6x^2 - 9 = 0\) 
 **Explicação:** A equação característica é a própria função igualada a zero,representando 
as raízes do polinômio. 
 
59. **Para uma sequência \(a_n\) onde \(a_n = \frac{1}{n}\), qual tipo de convergência essa 
sequência possui?** 
 - A) Converge para 0 
 - B) Diverge 
 - C) Converge para 1 
 - D) Converge para \(\infty\) 
 **Resposta:** A) Converge para 0 
 **Explicação:** A sequência \(\frac{1}{n}\) converge para 0 à medida que \(n\) tende a 
\(\infty\). 
 
60. **Qual é a raiz quadrada de \(9x^4\)?** 
 - A) \(3x^2\) 
 - B) \(3x\) 
 - C) \(27x^4\) 
 - D) \(9x^2\) 
 **Resposta:** A) \(3x^2\) 
 **Explicação:** A raiz quadrada de um produto é a raiz quadrada do primeiro termo vezes a 
raiz quadrada do segundo. Assim, \(3x^2\) é a resposta. 
 
61. **Qual é o coeficiente de \(x^2\) na expansão de \((x + 1)^4\)?** 
 - A) 4 
 - B) 6 
 - C) 8 
 - D) 10 
 **Resposta:** B) 6 
 **Explicação:** Usando o binômio de Newton, o coeficiente de \(x^2\) em \((x + 1)^4\) é 
obtido pela combinação \(\binom{4}{2} = 6\). 
 
62. **O que significa dizer que uma função é Lipschitz contínua?** 
 - A) A função é contínua e diferenciável 
 - B) A diferença entre os valores da função é limitada 
 - C) A função tem um limite finito 
 - D) A função tem derivadas contínuas 
 **Resposta:** B) A diferença entre os valores da função é limitada 
 **Explicação:** Uma função \(f\) satisfaz a condição de Lipschitz se existe uma constante 
\(L\) tal que \(|f(x) - f(y)| \leq L|x - y|\) para todos os \(x, y\). 
 
63. **Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' + 2y' + y = 0\)?** 
 - A) \(Ce^{-t} + De^{-t}\) 
 - B) \(C + Dt\) 
 - C) \(C + De^{-2t}\) 
 - D) \(Ce^{-t} + De^{2t}\) 
 **Resposta:** C) \(C + De^{-2t}\) 
 **Explicação:** A equação diferencial tem raízes reais e iguais. Assim, a solução é da forma 
\(C e^{-t} + D\) com função exponentials. 
 
64. **Qual é a integral de \(\int \cos^2(x) dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{2}(x + \sin(x)\cos(x)) + C\) 
 - B) \(x + C\) 
 - C) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 - D) \(\sin(x) + C\) 
 **Resposta:** C) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 **Explicação:** Utilizamos a identidade trigonométrica \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\) 
para simplificar a integral. 
 
65. **Seja \(A\) uma matriz \(n \times n\). O que significa dizer que \(A\) é simétrica?** 
 - A) \(A^T = A\) 
 - B) \(A + A^T = I\) 
 - C) \(A^T \neq A\) 
 - D) \(A\) é uma matriz nula 
 **Resposta:** A) \(A^T = A\) 
 **Explicação:** Uma matriz é simétrica se é igual à sua transposta, isto é, \(A[ij] = A[ji]\) 
para todos os elementos. 
 
66. **Qual é o valor da função \(f(x) = \tan^{-1}(x)\) em \(x = 1\)?** 
 - A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - B) \(\frac{\pi}{2}\) 
 - C) \(\frac{1}{2}\) 
 - D) 0 
 **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** A tangente de \(\frac{\pi}{4}\) é 1, então \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\). 
 
67. **Qual é a matriz inversa de \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)?** 
 - A) \(\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) 
 - B) \(\begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix}\) 
 - C) \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) 
 **Explicação:** A matriz inversa é calculada da forma mostrada, onde \(ad - bc\) deve ser 
diferente de zero. 
 
68. **Em relação ao teorema do limite de Cauchy, o que significa a convergência de uma 
sequência?** 
 - A) A soma dos termos tende para um valor fixo 
 - B) O limite dos espaços é finito 
 - C) Para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(N\) tal que para \(n, m > N\), \(|a_n - a_m| < 
\epsilon\) 
 - D) Existe um valor crítico 
 **Resposta:** C) Para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(N\) tal que para \(n, m > N\), \(|a_n 
- a_m| < \epsilon\) 
 **Explicação:** Esse é um critério para definir a convergência de uma sequência numérica 
em análise real. 
 
69. **Qual é o valor de \(\int_0^1 e^{-x} dx\)?** 
 - A) \(-1 + e\) 
 - B) \(1 - \frac{1}{e}\) 
 - C) \(1\) 
 - D) \(e - 1\) 
 **Resposta:** B) \(1 - \frac{1}{e}\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{-x}\) é \(-e^{-x}\), avaliada de \(0\) a \(1\) resulta em \(-
e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e}\). 
 
70. **Na análise numérica, o que é um ponto fixo?** 
 - A) Um ponto onde a função apresenta sua derivada igual a zero 
 - B) Um valor que é constantemente retornado pela função 
 - C) Um ponto de convergência da sequência 
 - D) Um ponto onde a função é contínua 
 **Resposta:** B) Um valor que é constantemente retornado pela função 
 **Explicação:** Um ponto fixo ocorre quando \(f(x) = x\) e a aplicação de \(f\) a esse valor 
dá como resultado o mesmo valor novamente. 
 
71. **Qual é a integral de \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)?** 
 - A) \(-\frac{1}{x} + C\)