Prévia do material em texto

\( \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0 + 0}{1 
+ 0} = 2 \). 
 
48. **Problema 48:** 
 Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \)? 
 a) \( 3e^{3x} \) 
 b) \( e^{3x} \) 
 c) \( 9e^{3x} \) 
 d) \( 3 \) 
 
 **Resposta:** a) \( 3e^{3x} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{kx} \) é \( ke^{kx} \). Portanto, a derivada de \( e^{3x} \) 
é \( 3e^{3x} \). 
 
49. **Problema 49:** 
 Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) -1 
 d) 2 
 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A antiderivada de \( x^3 - 2x + 1 \) é \( \frac{x^4}{4} - x^2 + x \). Avaliando de 
0 a 1, temos: 
 \( \left[ \frac{x^4}{4} - x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{4} \). 
 
50. **Problema 50:** 
 Calcule o valor do limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) -1 
 d) \( -\frac{1}{2} \) 
 
 **Resposta:** d) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a expansão em série de Taylor para \( \cos(x) \), temos \( \cos(x) 
\approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \). Assim, 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2} 
\). 
 
51. **Problema 51:** 
 Qual é a solução da equação \( x^4 - 16 = 0 \)? 
 a) 4 
 b) -4 
 c) 2 
 d) 4 e -4 
 
 **Resposta:** d) 4 e -4 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \). Portanto, as 
soluções são \( x = 4 \) e \( x = -4 \). 
 
52. **Problema 52:** 
 Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
53. **Problema 53:** 
 Calcule a integral \( \int (2x^2 - 4x + 3) \, dx \). 
 a) \( \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C \) 
 b) \( \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 3 + C \) 
 c) \( \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C \) 
 d) \( 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \), a antiderivada de \( -4x \) 
é \( -2x^2 \), e a antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). Portanto, a integral é \( \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 
3x + C \). 
 
54. **Problema 54:** 
 Qual é o valor do limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** O limite pode ser simplificado como \( \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \), 
cancelando \( x - 1 \) (exceto em \( x = 1 \)). Assim, o limite se torna \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 
\). 
 
55. **Problema 55:** 
 Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3) \)? 
 a) \( \frac{3}{x} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3} \) 
 c) \( \frac{3}{x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{3x^2} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{x} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{3}{x} \). 
 
56. **Problema 56:** 
 Calcule a integral \( \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x + C \) 
 b) \( \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + x + C \) 
 c) \( \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + 2x + C \) 
 d) \( \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( x^4 \) é \( \frac{x^5}{5} \), a antiderivada de \( -2x^2 \) 
é \( -\frac{2x^3}{3} \), e a antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a integral é \( \frac{x^5}{5} - 
\frac{2x^3}{3} + x + C \). 
 
57. **Problema 57:** 
 Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{5}{4} \) 
 c) \( \frac{7}{4} \) 
 d) \( 2 \) 
 
 **Resposta:** c) \( \frac{7}{4} \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( x^3 + 2x^2 + 1 \) é \( \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x 
\). Avaliando de 0 a 1, temos: 
 \( \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 
\right) - 0 = \frac{1}{4} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{1}{4} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = 
\frac{1 + 8 + 12}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4} \). 
 
58. **Problema 58:** 
 Calcule o valor do limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 
 **Resposta:** c) 2