numeros XXVIII

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Explicação: Para resolver, notamos que \(x^2 - 1\) pode ser fatorado como \((x - 1)(x + 1)\), o 
que permite simplificar a expressão para \(\lim_{x \to 1} x + 1 = 2\). 
 
21. A função \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) tem quantos zeros reais? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta: B) 1** 
Explicação: Usamos o teorema de Bolzano ou uma análise gráfica. A função é contínua e, 
dependendo dos valores \(f(-1)\) e \(f(2)\), podemos ver que existe uma mudança de sinal, 
indicando que existe pelo menos um zero entre esses valores. Para determinar a quantidade 
exata, podemos aplicar a derivada e verificar mudanças de sinal. 
 
22. Qual é a segunda derivada de \(h(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2\)? 
A) \(30x^2 - 6\) 
B) \(60x^3 - 6\) 
C) \(20x^3 - 6\) 
D) \(30x^4 - 6\) 
**Resposta: B) \(60x^3 - 6\)** 
Explicação: A primeira derivada é \(h'(x) = 20x^3 - 6x\), e derivando novamente, obtemos a 
segunda derivada: \(h''(x) = 60x^2 - 6\). 
 
23. Qual é a equação da reta tangente à curva \(f(x) = x^2\) no ponto \(x = 3\)? 
A) \(y = 6x - 9\) 
B) \(y = 6x\) 
C) \(y = 2x + 1\) 
D) \(y = 3x - 3\) 
**Resposta: A) \(y = 6x - 9\)** 
Explicação: A inclinação da tangente em \(x = 3\) é dada pela derivada \(f'(x) = 2x\). Em \(x = 
3\), \(f'(3) = 6\). Usamos o ponto \(P(3, 9)\) para determinar a equação da reta usando a forma 
ponto-inclinação: \(y - 9 = 6(x - 3)\), resultando em \(y = 6x - 9\). 
 
24. Qual é o valor mínimo da função \(f(x) = (x - 4)^2 + 5\)? 
A) 5 
B) 0 
C) 4 
D) 6 
**Resposta: A) 5** 
Explicação: A função \(f(x)\) é uma parábola que abre para cima. O valor mínimo ocorre 
quando o termo quadrático é zero, ou seja, \(x - 4 = 0\) que resulta em \(x = 4\). Substituindo 
\(x = 4\) em \(f(x)\), obtemos \(f(4) = 5\). 
 
25. Qual é a expressão para a derivada da função \(g(x) = \sqrt{x}\)? 
A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
B) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 
C) \(\frac{\sqrt{x}}{2}\) 
D) \(\frac{1}{x}\) 
**Resposta: A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)** 
Explicação: Usamos a regra da potência: \(g(x) = x^{1/2}\). A derivada é \(g'(x) = \frac{1}{2}x^{-
1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
26. A integral definida \(\int_{0}^{1} (3x^2) \, dx\) resulta em? 
A) 1 
B) 2 
C) \(\frac{1}{3}\) 
D) \(\frac{1}{4}\) 
**Resposta: A) 1** 
Explicação: A integral de \(3x^2\) é \(x^3\). Avaliando de 0 a 1, obtemos \(f(1) - f(0) = 1 - 0 = 
1\). 
 
27. Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1}\)? 
A) 0 
B) -1 
C) -∞ 
D) 1 
**Resposta: B) -1** 
Explicação: Utilizando a regra de L'Hôpital aqui, diferenciamos o numerador e o denominador. 
A derivada de \(\ln(x)\) é \(\frac{1}{x}\) e a derivada de \(x - 1\) é 1. Portanto, \(\lim_{x \to 1} 
\frac{\ln(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = -1\). 
 
28. A função \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1\) tem qual valor de \(x\) que é um máximo local? 
A) -3 
B) 0 
C) 1 
D) 2 
**Resposta: C) 1** 
Explicação: Para encontrar máximos e mínimos, calculamos a derivada \(f'(x) = 3x^2 + 6x - 9\) e 
igualamos a zero. Resolvendo, encontramos raízes que indicam onde a função muda de 
direção. 
 
29. Qual é a integral indefinida \(\int e^{3x} \, dx\)? 
A) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
B) \(3 e^{3x} + C\) 
C) \(e^{3x} + C\) 
D) \(\frac{e^{3x}}{3} + C\) 
**Resposta: A) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)** 
Explicação: A integral da função exponencial \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, k = 3, 
então a integral se torna \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\). 
 
30. O que é \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\)? 
A) 0 
B) 1 
C) \(\frac{1}{\sin(x)}\) 
D) \(1 + \sin(x)\) 
**Resposta: B) 1** 
Explicação: Este é outro limite fundamental no cálculo, que também pode ser demonstrado 
usando a série de Taylor ou por meio de relações trigonométricas semelhantes à forma da 
função seno. 
 
31. Para a função \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 16\), o que é \(f'(x)\)? 
A) \(4x^3 - 8\) 
B) \(4x^3 + 16\) 
C) \(8x - 8\) 
D) \(12x^2 - 8\) 
**Resposta: A) \(4x^3 - 8\)** 
Explicação: A derivada de \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 16\) é encontrada aplicando a regra de potência 
a cada termo: \(f'(x) = 4x^3 - 16x\). 
 
32. Qual o valor mínimo da função \(g(x) = x^2\) em \(x = 0\)? 
A) 2 
B) 0 
C) 1 
D) \(x^2\) 
**Resposta: B) 0** 
Explicação: A função \(g(x) = x^2\) atinge o mínimo em \(x=0\), onde \(g(0) = 0\), e a curva é 
uma parábola que abre para cima. 
 
33. A função \(h(x) = \ln(x^3)\) pode ser simplificada para? 
A) \(3\ln(x)\) 
B) \(\ln(3)\) 
C) \(\ln(x) + 3\) 
D) \(x\ln(x)\) 
**Resposta: A) \(3\ln(x)\)** 
Explicação: Usamos a propriedade dos logaritmos que diz que \(\ln(a^b) = b\ln(a)\), onde \(a = 
x\) e \(b = 3\). 
 
34. O que a função \(f(x) = \sin(x)\) representa nas derivadas? 
A) A taxa de depuração em intervalos 
B) A taxa de variação de um padrão sinusoidal 
C) Um padrão de crescimento exponencial 
D) Um simples linear