teste surpresa XIX

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Explicação: Para resolver essa integral, encontramos a antiderivada: \( \frac{3}{3}x^3 - 2x = x^3 
- 2x \). Avaliando entre 0 e 1: \( (1^3 - 2(1)) - (0 - 0) = 1 - 2 = -1 \). Assim, a integral avaliada 
resulta em -1. 
 
7. Qual é a derivada da função \( g(t) = e^{2t} \cos(t) \)? 
A) \( e^{2t} \cos(t) - 2e^{2t} \sin(t) \) 
B) \( 2e^{2t} \cos(t) - e^{2t} \sin(t) \) 
C) \( 2e^{2t} \sin(t) + e^{2t} \cos(t) \) 
D) \( 2 \cos(t) e^{2t} - e^{2t} \sin(t) \) 
Explicação: Aplicamos a regra do produto. A derivada é dada por: \( g'(t) = e^{2t} \frac{d}{dt} 
\cos(t) + \cos(t) \frac{d}{dt} e^{2t} = -\sin(t)e^{2t} + 2e^{2t}\cos(t) \) levando à simplificação 
correta. 
 
8. Calcule o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 2}{3x^2 + 1} \). 
A) \( \frac{5}{3} \) 
B) \( 1 \) 
C) \( \infty \) 
D) 0 
Explicação: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{5 - \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^2}} \). Quando \( x \to \infty \), os termos com \( 
x^2 \) desaparecem, confirmando que o limite é \( \frac{5}{3} \). 
 
9. Determine a integral \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) dx \). 
A) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \) 
B) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + C \) 
C) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^2 + 4x + C \) 
D) \( 2x^4 - 3x^3 + 4x + C \) 
Explicação: Calculando a integral, obtemos: \( \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + 4x + C \), 
simplificando para \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \). A constante \( C \) indica a indefinição da 
integral. 
 
10. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) ∞ 
D) Não existe 
Explicação: Usando a definição de derivada da função \( e^x \) no ponto \( x = 0 \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x} = e^0 = 1 \). Esse limite é fundamental para a análise de 
crescimento exponencial e suas aplicações. 
 
11. Calcule a segunda derivada de \( h(x) = \ln(x) + x^2 \). 
A) \( \frac{1}{x^2} + 2 \) 
B) \( -\frac{1}{x^2} + 2 \) 
C) \( \frac{1}{x} + 2 \) 
D) \( \ln(x) + 2 \) 
Explicação: A primeira derivada é \( h'(x) = \frac{1}{x} + 2x \). A segunda derivada corresponde 
a \( h''(x) = -\frac{1}{x^2} + 2 \). Esta informação pode ser útil na verificação da concavidade da 
função. 
 
12. Determine o valor de \( \int_1^2 (x^2 + 3x) dx \). 
A) 7 
B) 9 
C) 10 
D) 12 
Explicação: A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\). Calculando entre os limites, 
obtemos: \( \left(\frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2}\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 
\frac{3(1^2)}{2}\right) = \left(\frac{8}{3} + 6\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{2}\right) \). 
 
13. Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
Explicação: Usamos a fatoração \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Portanto, \( \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} 
= x + 1 \). Substituindo \( x \) por 1, obtemos \( 2 \). 
 
14. O que representa o Teorema Fundamental do Cálculo? 
A) A afirmação de que cada função contínua é integrável. 
B) A conexão entre derivadas e integrais. 
C) Um método de integração por partes. 
D) A utilização de limites na definição de derivadas. 
Explicação: O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação crucial entre a 
integração e a diferenciação, afirmando que se uma função é contínua em um intervalo, existe 
uma função antiderivada cuja integral define a área sob a curva. 
 
15. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)? 
A) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{1 + \tan^2(x)} \) 
C) \( \frac{x}{1 + x^2} \) 
D) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) 
Explicação: A derivada \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \) é uma derivada bem conhecida que relaciona 
as funções trigonométricas inversas e tem um papel significativo em aplicações envolvendo 
ângulos. 
 
16. Calcule \( \int_0^{\pi} \sin(x) dx \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
Explicação: A antiderivada de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando entre 0 e \( \pi \), temos \( -
\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 - (-1) = 2 \), refletindo a simetria da função seno no intervalo. 
 
17. Determine o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) ∞ 
D) Não existe 
Explicação: Usamos a situação de limite em que \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x 
\) se aproxima de 0, levando a \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). Isso mostra a relação 
entre a tangente e a função identidade no ponto. 
 
18. O que a regra da cadeia diz? 
A) Que a integral de uma função é igual à soma de suas derivadas. 
B) Que a derivada de uma função composta é o produto da derivada exterior pela derivada 
interior. 
C) Que o limite de uma função inversa é sempre zero. 
D) Que toda função contínua é derivável. 
Explicação: A regra da cadeia é uma ferramenta poderosa para cálculo diferencial, permitindo a 
diferenciação de funções compostas e facilitando cálculos complexos frequentes em problemas 
de otimização e modelagem. 
 
19. Encontre a integral de \( \int e^{3x} dx \). 
A) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
B) \( 3e^{3x} + C \) 
C) \( e^{3x} + C \) 
D) \( \frac{3}{e^{3x}} + C \) 
Explicação: A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Portanto, \( \int e^{3x} dx = 
\frac{1}{3} e^{3x} + C \) é a forma correta. 
 
20. Qual é a diferença entre uma série convergente e uma série divergente? 
A) Uma série convergente tem uma soma definida, enquanto uma divergente não tem. 
B) Uma série convergente se aproxima de zero, enquanto uma divergente não. 
C) Ambas têm somas definidas. 
D) Uma série divergente é sempre infinita. 
Explicação: Uma série convergente é definida como a soma de seus termos que se aproxima a 
um valor finito, enquanto uma série divergente não se aproxima de nenhum valor, 
aumentando ou oscilando indefinidamente. 
 
21. Determine o ponto máximo e mínimo da função \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). 
A) Máximo em \( x = 2 \), mínimo em \( x = 4 \) 
B) Máximo em \( x = 4 \), mínimo em \( x = 2 \) 
C) Máximo em \( x = 1 \), mínimo em \( x = 3 \) 
D) Máximo em \( x = 2 \), mínimo em \( x = 0 \) 
Explicação: A função é uma parábola que abre para baixo. O ponto crítico é encontrado 
definindo \( f'(x) \) igual a zero, e a segunda derivada confirma que é um máximo em \( x = 2 \). 
O valor mínimo ocorre no limite.