LISTA_DE_EXERCICIOS_2_FISICA_BASICA_III

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LISTA DE EXERCÍCIOS #2 - FÍSICA BÁSICA III
PROBLEMAS-EXEMPLO
1. A diferença entre os potenciais elétricos do solo e de uma nuvem numa dada região vale
∆V = 1, 2× 109 V. Se um elétron se desloca do solo para a nuvem, qual a variação na sua
energia potencial elétrica?
Resolução 1. A variação na energia potencial elétrica é de
∆U = q∆V
ou
∆U = −1, 6× 10−19 × 1, 2× 109 = −1, 92× 10−10 J
Como
1 eV = 1, 6× 10−19 J
temos
∆U = −1, 2× 109 eV
2. Um anel de plástico de raio R possui cargas positivas distribúıdas de forma homogênea
sobre seu peŕımetro, na forma de uma densidade linear de cargas λ. O anel é partido ao
meio. Determine o potencial elétrico no ponto P, o antigo centro do anel, conforme a figura
abaixo. As variáveis relevantes ao problema são sugeridas na figura.
Resolução 2. O potencial elétrico gerado pela carga dq na posição do ponto P é
dV =
1
4πǫ0
dq
R2
=
1
4πǫ0
λdℓ
R2
=
1
4πǫ0
λRdθ
R2
=
λ
4πǫ0
dθ
R
Então,
V =
∫
dV =
∫ π
0
λ
4πǫ0
dθ
R
=
λ
4ǫ0R
1
3. Uma esfera isolante de raio R possui uma carga q distribúıda de forma homogênea pelo
seu volume, definindo uma densidade volumétrica ρ. Pede-se
(a) Campo elétrico fora e dentro da esfera, utilizando a lei de Gauss.
(b) Utilizando como referência para o potencial elétrico fora da esfera (r > R) as condições
V = 0 para r → ∞, determine o potencial elétrico fora da esfera.
(c) Para determinar o potencial elétrico dentro da esfera, é preciso usar o potencial da
superf́ıcie como referência. Use o potencial obtido no item anterior para determinar
o potencial na superf́ıcie da esfera e, a partir dele, mostre que o potencial dentro da
esfera vale
V (r) =
q
8πǫ0
3R2 − r2
R3
(d) Qual a diferença de potencial entre um ponto na superf́ıcie da esfera e o centro dela?
Se q é positiva, qual dos dois pontos tem o potencial maior?
(e) Uma gota d’água esférica tem uma carga de q = 40 pC e gera na superf́ıcie um
potencial de 300 V (usando como referência V = 0 em r → ∞). Qual o raio da gota?
Suponha que duas gotas iguais (mesma carga e raio) sejam reunidas para fazer uma
gota esférica maior. Qual o potencial na superf́ıcie dessa nova gota?
Resolução 3.
(a) Para determinar o campo elétrico, usamos a lei de Gauss
i. Dentro da esfera, r ≤ R. Definindo uma superf́ıcie esférica de raio r para efetuar
a integração, temos ~E ‖ n̂, dq = ρdv e dv = 4πr2dr. Então,
∮
~E · n̂dA =
Q
ǫ0
∮
E dA =
1
ǫ0
∫ r
0
ρ4πr2dr
E
∮
A =
4πρ
ǫ0
∫ r
0
r2dr
E 4πr2 =
4πρ
ǫ0
r3
3
E =
ρr
3ǫ0
r ≤ R
ii. Fora da esfera, r ≥ R. Definindo uma superf́ıcie esférica de raio r para efetuar
a integração, temos ~E ‖ n̂, dq = ρdv e dv = 4πr2dr. Então,
∮
~E · n̂dA =
Q
ǫ0
∮
E dA =
1
ǫ0
∫ R
0
ρ4πr2dr
E
∮
A =
4πρ
ǫ0
∫ R
0
r2dr
E 4πr2 =
4πρ
ǫ0
R3
3
E =
ρR3
3ǫ0r2
r ≥ R
2
(b) O potencial fora da esfera é obtido do campo fora da esfera através de
V2 − V1 = −
∫
2
1
~E · d~ℓ
onde o ponto 1 é a referência usada para o cálculo do potencial. No nosso caso, V1 = 0
e r1 → ∞. Além disso, o campo é radial, de modo que obtemos ~E · d~ℓ = Edr. Então,
V − 0 = −
∫ r
∞
~E · d~ℓ
V = −
∫ r
∞
E dr
V = −
∫ r
∞
ρR3
3ǫ0r2
dr
V =
ρR3
3ǫ0r
∣
∣
∣
∣
r
∞
V =
ρR3
3ǫ0r
(c) Em r = R, temos o potencial na superf́ıcie da esfera, isto é,
V (R) =
ρR2
3ǫ0
Usando esse ponto como referência, além do campo no interior da esfera, temos
V2 − V1 = −
∫
2
1
~E · d~ℓ
V − V (R) = −
∫ r
R
ρr
3ǫ0
dr
V =
ρR2
3ǫ0
− ρr2
6ǫ0
∣
∣
∣
∣
r
R
V =
ρR2
3ǫ0
− ρr2
6ǫ0
+
ρR2
6ǫ0
V =
ρR2
2ǫ0
− ρr2
6ǫ0
V =
ρ
6ǫ0
(3R2 − r2)
Agora, como a carga se distribui de forma homogênea,
ρ =
q
4πR3
3
Assim,
V =
q
4πR3
3
6ǫ0
(3R2 − r2) =
q
8πǫ0
3R2 − r2
R3
r ≤ R
3
Podemos obter a diferença entre os potenciais elétricos calculando o potencial no centro
da esfera, já que o potencial na superf́ıcie já é conhecido. Assim,
V (0) =
3q
8πǫ0R
Agora,
V (0) =
3ρ 4πR3
3
8πǫ0R
=
ρR2
2ǫ0
Então,
V (R)− V (0) =
ρR2
3ǫ0
− ρR2
2ǫ0
= −ρR2
6ǫ0
Se q é positiva, então ρ é positiva, e o potencial no centro é maior que o potencial na
superf́ıcie da esfera.
Podemos obter o raio através de
V (R) =
ρR2
3ǫ0
=
q
4πR3
3
R2
3ǫ0
=
q
4πǫ0R
ou seja,
R =
q
4πǫ0V (R)
=
40× 10−12
4π × 8, 85× 10−12 × 300
= 1, 2 mm
O volume da nova gota será
v2 = 2v1 = 2
4πR3
1
3
=
8πR3
1
3
então,
4πR3
2
3
=
8πR3
1
3
R3
2
= 2R3
1
R2 =
3
√
2R1
Portanto,
V2(R2) =
q2
4πǫ0R2
=
2q
4πǫ0
3
√
2R1
=
2
3
√
2
q
4πǫ0R1
=
2
3
√
2
V (R) =
2
3
√
2
300 = 476 V
4. Uma região possui um potencial elétrico dado por
V (x, y, z) = 5xy2z − 2xz
4
(a) Determine o campo elétrico na região.
(b) Determine a força que age sobre uma carga q colocada em ~r = x îy ĵz k̂.
Resolução 4. (a) O campo elétrico é obtido através de
~E = −∇V
ou seja,
~E = −
[
î
∂
∂x
+ ĵ
∂
∂y
+ k̂
∂
∂z
]
(5xy2z − 2xz)
~E = −(5y2z − 2z) î− 10xyz ĵ − (5xy2 − 2x) k̂
(b) A força elétrica é dada por
~F = Q ~E
que fica, nesse caso,
~F = −(5y2z − 2z)q î − 10xyzq ĵ − (5xy2 − 2x)q k̂
PROBLEMAS
1. Um átomo de hidrogênio possui um próton no núcleo e um elétron em movimento ao redor
dele, a uma distância média de r = 0,529 Å. Determine
(a) Potencial elétrico gerado pelo próton na posição média do elétron.
(b) Energia potencial elétrica do átomo. Obs.: determinar todas as energias em joules e
em elétrons-volt (1 eV = 1,6 × 10−19 J).
(c) Considerando que a força elétrica entre eles é a responsável pela órbita, suposta
circular, determine a velocidade escalar do elétron na órbita. Em seguida, determine
sua energia cinética.
(d) Qual a energia total do sistema? Essa é a energia necessária para ionizar o átomo,
ou seja, para separar o elétron do núcleo de modo que a distância entre eles seja
formalmente infinita, também conhecida como energia de ionização do átomo.
2. O potencial elétrico numa região do espaço é dado por V (x, y, z) = 2x2 − 4xy2 + 3z5 (SI).
Determine o campo elétrico gerado na região.
3. A carga num cilindro de plástico de raio R e muito longo está distribúıda de forma que a
densidade volumétrica de cargas segue uma função do tipo
ρ = kr2 r ≤ R
onde k é uma constante e r é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Determine os
potenciais elétricos dentro e fora do cilindro usando como referência a superf́ıcie do mesmo,
5
ou seja, V (r = R) = V0, tanto para dentro como para fora dele. Em seguida, calcule a
diferença de potencial entre um ponto no centro do cilindro e um ponto situado na sua
superf́ıcie. Inclua um esboço das superf́ıcies equipotenciais e um gráfico V × r.
4. Considere o mesmo sistema do exerćıcio anterior, só que agora a referência será colocada
no eixo do cilindro, que terá um potencial V (r = 0) = V0. Determine os potenciais dentro
e fora, e também a diferença de potencial entre um ponto no centro do cilindro e um
ponto na superf́ıcie. Os potenciais são iguais aos do item anterior? Por que? A diferença de
potencial é igual? Por que? Inclua um esboço das superf́ıcies equipotenciais e um gráfico
V × r.
5. Um anel de plástico de raio R possui cargas positivas distribúıdas de forma homogênea
sobre seu peŕımetro, na forma de uma densidade linear de cargas λ, conforme mostra a
figura. Determine o potencial elétrico gerado pelo anel no eixo z a partir de uma integração
direta dos potenciais produzidos por elementos de carga. Em seguida, determine o campo
elétrico produzido pelo anel, através de ~E = −∇V , e compare com o resultado obtido
anteriormente através de uma integração direta (lembre-se de expressar r em termos de R
e z para calcular as derivadas).
6. Uma esfera isolante de raio R é preenchida com cargas de modo que a densidade vo-
lumétrica de cargas segue a função
ρ = kr2 , r ≤ R
onde k é uma constante e r é a distância de um ponto qualquer do espaço ao centro
da esfera. Determine o potencial elétricodentro e fora da esfera, usando como referência
V (r → ∞) → 0 para fora e a superf́ıcie da esfera para dentro.
7. Uma esfera metálica possui uma carga q distribúıda sobre sua superf́ıcie. A partir do
campo elétrico, considerando que V = 0 para r → ∞, determine o potencial fora da
esfera, para r > R. Em seguida, determine o potencial dentro da esfera. Inclua um esboço
das superf́ıcies equipotenciais e um gráfico V × r.
8. Mostre que o potencial elétrico gerado por uma superf́ıcie condutora plana de grandes
dimensões que possui uma densidade superficial de carga σ homogênea é dado por
V (z) = V0 −
σ
2ǫ0
z , z ≥ 0
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onde foi admitido que o potencial elétrico na superf́ıcie do plano vale V0. Sugestão: calcular
inicialmente o campo elétrico. Quanto vale o potencial na região z ≤ 0?
9. Uma placa de material isolante tem espessura D na direção z e é muito longa nas outras
duas dimensões. Na placa foi colocada carga negativa, distribúıda de forma que a densidade
volumétrica é constante. Determine
(a) Campo elétrico dentro e fora da placa. Inclua um esboço das linhas de campo e um
gráfico E × r.
(b) Potencial elétrico dentro e fora da placa, supondo que o potencial no centro da placa,
em z = 0, vale V (z = 0) = 0. Inclua um esboço das superf́ıcies equipotenciais e um
gráfico V × r.
10. Uma esfera de raio R contém cargas que foram distribúıdas em seu volume de acordo com
a função
ρ(r) =
{
0, 0 ≤ r ≤ R1
ρ0r, R1 ≤ r ≤ R
onde ρ0 é uma constante, e r é a distância de um ponto qualquer do espaço até o centro
da esfera. Determine o campo elétrico ~E gerado pela esfera nas várias regiões relevantes
e também o potencial elétrico considerando como referência V (r → ∞) → 0 para fora
da esfera, e referências apropriadas para as outras regiões. Inclua um esboço claro das
linhas de campo, gráficos de E × r e V × r para as várias regiões e também um esboço das
superf́ıcies equipotenciais.
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