Lista_exercicios_estimacao_pontual_e_int

Prévia do material em texto

1 
 
Lista de Exercícios – Estimação – ICT-UNIFESP 
Profa Dra. Luzia Pedroso de Oliveira 
 
Distribuição Amostral 
1. (Bussab e Morettin) Obtenha a distribuição das possíveis amostras de tamanho 2 que podem ser 
selecionadas com reposição da população {1, 3, 5, 5, 7}, ou seja, a distribuição conjunta da variável 
bidimensional (𝑋1, 𝑋2). Obtenha também as distribuições amostrais das estatísticas �̅� = 𝑋1+𝑋22 , 𝑠2 = ∑ (𝑋𝑖−�̅�)22𝑖=1𝑛−1 e �̂�2 = ∑ (𝑋𝑖−�̅�)22𝑖=1 𝑛 . 
 
2. Seja 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 uma amostra aleatória com média µ e variância 2. Qual é a distribuição de �̅� 
para amostras grandes? Explique. 
 
3. (Montgomery; Runger) Um fabricante de dispositivos semicondutores retira uma amostra 
aleatória de 100 chips e os testa, classificando cada chip em conforme ou não-conforme. Seja 𝑋𝑖 = 1, se o chip for não-conforme e X𝑖 = 0, se o chip for conforme e 𝑃(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝. A proporção 
de chips não conformes na amostra é �̂� = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋100100 
Qual é a distribuição amostral da variável aleatória �̂�? 
 
Estimadores Pontuais e Propriedades dos Estimadores 
4. (Montgomery; Runger) Suponha que 𝜃1 𝑒 𝜃2 sejam estimadores não-tendenciosos do 
parâmetro 𝜃. Sabemos que 𝑉(𝜃1) = 10 𝑒 𝑉(𝜃2) = 4. Qual é o melhor estimador de 𝜃? Justifique. 
 
5. (Montgomery; Runger) Suponha que temos uma amostra aleatória de tamanho 2𝑛, proveniente 
de uma população denotada por 𝑋, e 𝐸(𝑋) = µ e 𝑉(𝑋) = 𝜎². Sejam �̅�1 = 12𝑛∑𝑋𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑒 �̅�2 = 1𝑛∑𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 
dois estimadores de µ. Qual deles é o melhor estimador de µ? Justifique. 
6. (Montgomery; Runger) Seja 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋7 uma amostra aleatória proveniente de uma população 
com média µ e variância σ². Considere os seguintes estimadores de µ: 𝜃1 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋77 𝜃2 = 2𝑋1 − 𝑋6 + 𝑋42 
Os dois estimadores são não-tendenciosos? Qual deles é o melhor estimador de µ? Justifique. 
 
7. (Montgomery; Runger) Dados sobre a força (libra-força) de remoção de conectores usados em um 
motor de automóveis são os seguintes: 79,3; 75,1; 78,2; 74,1; 73,9; 75,0; 77,6; 77,3; 73,8; 74,6; 75,5; 
74,0; 74,7; 75,9; 72,9; 73,8; 74,2; 78,1; 75,4; 76,3; 75,3; 76,2; 74,9; 78,0; 75,1; 76,8. 
2 
 
a) Calcule a estimativa pontual da força média de remoção de todos os conectores na população. 
Que estimador você usou e por que? 
b) Calcule as estimativas pontuais da variância e do desvio-padrão da população. 
c) Calcule o erro-padrão da estatística (estimador pontual) usado no item a). Forneça uma 
interpretação do erro-padrão. 
d) Calcule uma estimativa pontual da proporção de todos os conectores na população cuja força de 
remoção é menor do que 73 libras-força. 
 
8. Mostre que �̅� é um estimador não tendencioso e consistente de . 
 
9. Mostre que S2= ∑ (𝑋𝑖−�̅�)2𝑛𝑖=1𝑛−1 é um estimador não tendencioso e consistente de 2. 
 
10. Mostre que �̂�2 = ∑ (𝑋𝑖−�̅�)2𝑛𝑖=1𝑛−1 é um estimador tendencioso e consistente de 2. Qual é o viés desse 
estimador? 
 
11. Seja 𝑋i = {1 se o i − ésimo elemento tem o atributo A 0 se o i − ésimo elemento não tem o atributo A. Considere que P(𝑋i=1)= 𝑝 e que os 𝑋i 
são independentes. Seja �̅� = ∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1𝑛 = número de elementos na amostra com o atributo A𝑛 = �̂�. Pode-se 
mostrar que �̅� é o estimador de máxima verossimilhança de 𝑝. 
a) �̅� é um estimador não tendencioso de 𝑝? 
b) Encontre um estimador para a variância de �̂�. (Dica: use a propriedade de invariância dos 
estimadores de máxima verossimilhança). 
 
12. (Montgomery; Runger) Suponha que 𝑋 seja o número de “sucessos” observados em uma 
amostra de 𝑛 observações, em que 𝑝 é a probabilidade de sucesso em cada observação. 
a) Mostre que P̂ = X/𝑛 é um estimador não-tendencioso de p. 
b) Mostre que o erro-padrão de P̂ é √𝑝(1 − 𝑝)/𝑛. Como você estimaria o erro-padrão? 
 
13. (Montgomery; Runger) Dos 𝑛1 estudantes selecionados aleatoriamente na universidade A, 𝑋1 
possuíam calculadora HP e dos 𝑛2 estudantes de engenharia selecionados aleatoriamente na 
universidade B, 𝑋2 possuíam calculadora HP. Sejam 𝑝1 𝑒 𝑝2 as probabilidades de que estudantes de 
engenharia das universidades A e B, selecionados aleatoriamente, possuam calculadoras HP, 
respectivamente. 
a) Mostre que uma estimativa não-tendenciosa para 𝑝1 − 𝑝2 é (𝑋1𝑛1) − (𝑋2𝑛2). 
b) Qual é o erro-padrão da estimativa pontual do item a)? 
c) Qual uma possível estimativa pontual do erro-padrão em b)? 
d) Suponha 𝑛1 = 200, 𝑋1 = 150, 𝑛2 = 250 𝑒 𝑋2 = 185. Use os resultados do item a) para calcular 
uma estimativa 𝑝1 − 𝑝2. 
e) Use os resultados dos itens b) a d) para calcular uma estimativa do erro-padrão da estimativa. 
 
 
 
3 
 
Estimador Intervalar 
14. Para uma população normal com variância conhecida 𝜎²: 
a) Qual valor de 𝑧𝛼/2 fornece 95% de confiança? 
b) Qual valor de 𝑧𝛼/2 fornece 99% de confiança? 
c) Qual valor de 𝑧𝛼/2 fornece 90% de confiança? 
d) Qual valor de 𝑧𝛼/2 fornece 98% de confiança? 
 
15. (Montgomery; Runger) Para uma população normal com variância conhecida 𝜎²: 
a) Qual é o nível de confiança para o intervalo �̅� − 2,14 𝜎√𝑛 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 2,14 𝜎√𝑛? 
b) Qual é o nível de confiança para o intervalo �̅� − 2,49 𝜎√𝑛 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 2,49 𝜎√𝑛? 
c) Qual é o nível de confiança para o intervalo �̅� − 1,85 𝜎√𝑛 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 1,85 𝜎√𝑛? 
 
16. (Montgomery; Runger) Suponha que 𝑛 =100 amostras aleatórias de água proveniente de um lago 
com água fresca foram retiradas, sendo medida a concentração (miligramas por litro) de cálcio. Um 
IC de 95% para a concentração média de cálcio é (0,49; 0,82). 
a) Um IC de 99% calculado a partir dos dados da amostra seria maior ou menor? 
b) Considere a seguinte afirmação: há uma chance de 95% de µ estar entre 0,49 e 0,82. Esta 
afirmação é correta? Explique sua resposta. 
c) Considere a seguinte afirmação: se 𝑛 = 100 amostras aleatórias de água proveniente do lago forem 
tomadas e o IC de 95% para µ for calculado e esse processo for repetido 1000 vezes, 950 dos ICs 
conterão o valor verdadeiro de µ. Esta afirmação está correta? Explique sua resposta. 
 
17. (Montgomery; Runger) O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De 
experiências prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento tem distribuição normal com 𝜎 = 3. Os últimos cinco dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos 
percentuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. Encontre um intervalo com 95% de confiança para o 
rendimento médio verdadeiro. 
 
18. (Montgomery; Runger) Um fabricante produz anéis para pistões de um motor de um carro. Sabe-
se que o diâmetro do anel tem distribuição normal com 𝜎 = 0,001 milímetro. Em uma amostra 
aleatória de 15 anéis foi obtido um diâmetro médio de �̅� = 74,036 milímetros. Construa um 
intervalo 99% de confiança para o diâmetro médio do anel do pistão. 
 
19. (Montgomery; Runger) Sabe-se que a vida em horas de um bulbo de uma lâmpada de 75W tem 
distribuição normal com 𝜎 = 25 horas. Em uma amostra aleatória de 20 bulbos observou-se uma 
vida média de �̅� = 1014 horas. 
a) Construa um intervalo de 95% de confiança para a vida média. 
b) Suponha que quiséssemos estar 95% confiantes de que o erro na estimação da vida média, a partir 
de um IC, fosse menor do que 5 horas. Que tamanho de amostra deveria ser usado? 
c) E se quiséssemos que a amplitude do intervalo de confiança fosse 6 horas, com 95% de confiança? 
Que tamanho de amostra deveria ser usado? 
4 
 
d) De quanto o tamanho 𝑛 da amostra deverá ser aumentado para que o comprimento do IC para µ 
se reduza à metade, baseando-se no intervalo (�̅� − 𝑧𝛼2 ; �̅� + 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛)? 
 
20. Se o tamanho 𝑛 da amostra for dobrado, de quanto será a redução na amplitude do IC para µ, 
baseando-se no intervalo para 𝜇 (�̅� − 𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 ; �̅� + 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛) ? O que acontecerá ao comprimento do 
intervalo se o tamanho da amostra for aumentado 4 vezes? 
 
21. Determine o percentilt que é requerido para construir cada um dos seguintes intervalos de 
confiança: 
a) Nível de confiança = 95%, graus de liberdade = 12 
b) Nível de confiança = 95%, graus de liberdade = 24 
c) Nível de confiança = 99%, graus de liberdade = 13 
 
22. (Montgomery; Runger) Um engenheiro do setor de pesquisa de uma fábrica de pneus está 
investigando o tempo de vida útil do pneu em relação a um novo componente de borracha. Ele 
fabricou 16 pneus e testou-os até o final da vida em um teste na estrada. A vida média e o desvio-
padrão da amostra foram 60139,7 e 3645,94km. Encontre um intervalo de 95% de confiança para a 
vida média do pneu. 
 
23. (Montgomery; Runger) Uma marca particular de margarina dietética foi analisada para 
determinar o nível (em porcentagem) de ácidos graxos insaturados. Uma amostra de seis pacotes 
resultou nos seguintes dados: 16,8; 17,2; 17,4; 16,9; 16,5; 17,1. 
a) Verifique a suposição de que o nível de ácido graxo poliinsaturado segue uma distribuição normal. 
b) Obtenha um intervalo de 99% de confiança para a média µ. Forneça uma interpretação prática 
desse intervalo. 
 
24. (Montgomery; Runger) Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de 
suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões foi selecionada, sendo o diâmetro 
medido. Os dados (em milímetros) resultantes são mostrados a seguir: 
8,24 8,25 8,20 8,23 8,24 
8,21 8,26 8,26 8,20 8,25 
8,23 8,23 8,19 8,28 8,24 
a) Verifique a suposição de normalidade para o diâmetro dos bastões. 
b) Encontre um intervalo de 95% de confiança para o diâmetro médio dos bastões. 
c) Encontre um intervalo de 95% de confiança para a variância dos diâmetros dos bastões. 
d) Encontre um intervalo de 95% de confiança para o desvio padrão dos diâmetros dos bastões. 
 
25. (Montgomery; Runger) O conteúdo de açúcar na calda de pêssegos em lata segue uma 
distribuição normal. Uma amostra aleatória de 𝑛 = 10 latas resulta em um desvio padrão amostral 𝑠 = 4,8 mg. Obtenha um IC 95% para 𝜎. 
 
5 
 
26. (Montgomery; Runger)As pesquisas para a eleição presidencial de 2004 do estado de Ohio 
forneceram os seguintes resultados. Havia 2020 pessoas consultadas nas pesquisas e 768 eram pós-
graduadas em faculdades. Das pós-graduadas em faculdades, 412 votaram em George Bush. Calcule 
um intervalo de 95% de confiança para a proporção de pessoas pós-graduadas em Ohio que votaram 
em G. Bush. 
 
27. (Montgomery; Runger) Uma amostra aleatória de 50 capacetes de corredores de motos e de 
automóveis foi submetida a um teste de impacto, sendo observado algum dano em 18 desses 
capacetes. 
a) Encontre um intervalo 95% de confiança para a proporção populacional 𝑝 de capacetes desse tipo 
que mostraria algum dano se submetidas ao teste de impacto. 
b) Usando a estimativa pontual de 𝑝, obtida a partir da amostra preliminar de 50 capacetes, quantos 
capacetes precisam ser testados para estamos 95% confiantes de que o erro na estimação do valor 
verdadeiro de 𝑝 seja menor do que 0,02? 
c) Quão grande deverá ser a amostra, se desejarmos estar no mínimo 95% confiantes de que o erro 
na estimação de 𝑝 seja menor do que 0,02, independentemente do valor de 𝑝? 
 
Respostas 
1. Seja 𝑋1 o número selecionado na 1a extração e 𝑋2 o número selecionado na 2a extração. Como as 
extrações são independentes então 𝑃(𝑋1 = 𝑥1 , 𝑋2 = 𝑥2) = 𝑃(𝑋1 = 𝑥1)𝑃(𝑋2 = 𝑥2) 
Distribuição de probabilidade das possíveis amostras de tamanho 2 que podem ser selecionadas com 
reposição da população {1, 3, 5, 5, 7}. 
 
 
Distribuição amostral de �̅� = 𝑋1+𝑋22 
 
 
 
Distribuição amostral de 𝑠2 = ∑ (𝑋𝑖−�̅�)22𝑖=1𝑛−1 
 
 
Distribuição amostral de �̂�2 = ∑ (𝑋𝑖−�̅�)22𝑖=1 𝑛 
 
 𝑋1 𝑋2 1 3 5 7 total 
1 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
3 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
5 2/25 2/25 4/25 2/25 2/5 
7 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
total 1/5 1/5 2/5 1/5 1 
�̅� 1 2 3 4 5 6 7 total 
P(�̅� = �̅�) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1 
s2 0 2 8 18 total 
P(𝑆2 = 𝑠2) 7/25 10/25 6/25 2/25 1 
�̂�2 0 1 4 7 total 
P(�̂�2 = �̂�2) 7/25 10/25 6/25 2/25 1 
6 
 
 
2. Sendo 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 uma amostra aleatória extraída de uma população extraída de uma 
população 𝑋 com média µ e variância 2 (qualquer que seja a distribuição de 𝑋), o teorema 
central do limite garante que �̅� tem distribuição normal com média µ (a mesma de 𝑋) e variância 
2/ 𝑛, desde que as amostras sejam suficientemente grandes. Quanto mais distaste da 
distribuição normal for a distribuição de 𝑋 maior deve ser o tamanho de amostra para garantir 
a convergência para a distribuição normal pelo teorema central do limite. 
 
3. 𝑋𝑖 ={1 se a 𝑖 − ésima peça é não conforme0 se a 𝑖 − ésima peça é conforme 
 e 𝑃(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝 𝑋𝑖 tem distribuição de Bernoulli. 
Como 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋100 é uma amostra aleatória, então 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋100 são independentes. A 
distribuição de 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋100 é binomial, pois 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋100 corresponde ao número 
de sucessos em 100 ensaios independentes de Bernoulli. 
Tem-se que: 𝑃(∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑥𝑖) = 𝑃 (∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1𝑛 = 𝑥𝑖𝑛) = 𝑃 (�̂� = 𝑥𝑖𝑛) , ou seja, a distribuição de �̂� é a mesma de ∑ 𝑋𝑖100𝑖=1 
e, portanto, binomial com parâmetros 𝑛 = 100 e 𝑝. 
 
4. O melhor estimador de 𝜃 é 𝜃2 pois 𝑉(𝜃2) < 𝑉(𝜃1). 
 
5. Sabe-se que 𝐸(𝑋) = µ e 𝑉(𝑋) = 𝜎² 
1º passo: Verificar se os estimadores são não tendenciosos. 
𝐸(�̅�1) = 𝐸 ( 12𝑛∑𝑋𝑖2𝑛
𝑖=1 ) = 12𝑛 𝐸 (∑𝑋𝑖2𝑛
𝑖=1 ) = 12𝑛∑𝐸(𝑋𝑖) =2𝑛
𝑖=1
12𝑛∑𝜇 = 12𝑛 2𝑛𝜇 =2𝑛
𝑖=1 𝜇 
𝐸(�̅�2) = 𝐸 (1𝑛∑𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 ) = 1𝑛 𝐸 (∑𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 ) = 1𝑛∑𝐸(𝑋𝑖) =𝑛
𝑖=1
1𝑛∑𝜇 = 1𝑛 𝑛𝜇 =𝑛
𝑖=1 𝜇 
𝐸(�̅�1) = 𝜇 e 𝐸(�̅�2) = 𝜇 e, portanto, �̅�1 e �̅�2 são estimadores não tendenciosos de 𝜇. 
 
2º passo: Verificar se os estimadores são consistentes. (Obs: as variâncias de �̅�1 e �̅�2 foram obtidas 
no 3º passo, a seguir). lim𝑛→∞𝐸 (�̅�1) = 𝜇 e lim𝑛→∞𝑉𝑎𝑟 (�̅�1) = lim𝑛→∞ 12𝑛 𝜎2 = 0 
7 
 
lim𝑛→∞𝐸 (�̅�2) = 𝜇 e lim𝑛→∞𝑉𝑎𝑟 (�̅�2) = lim𝑛→∞ 1𝑛 𝜎2 = 0 
Assim sendo, os dois estimadores são consistentes. 
 
3º passo: Verificar qual dos estimadores tem menor variância. 
𝑉𝑎𝑟(�̅�1) = 𝑉𝑎𝑟 ( 12𝑛∑𝑋𝑖2𝑛
𝑖=1 ) = 1(2𝑛)2 𝑉𝑎𝑟 (∑𝑋𝑖2𝑛
𝑖=1 ) = 
= 1(2𝑛)2∑𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖) =2𝑛
𝑖=1
1(2𝑛)2∑𝜎2 = 1(2𝑛)2 2𝑛𝜎2 =2𝑛
𝑖=1
12𝑛 𝜎2. 
 
𝑉𝑎𝑟(�̅�2) = 𝑉𝑎𝑟 (1𝑛∑𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 ) = 1𝑛2 𝑉𝑎𝑟 (∑𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 ) = 1𝑛2∑𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖) =𝑛
𝑖=1
1𝑛2∑𝜎2 = 1𝑛2 𝑛𝜎2 =𝑛
𝑖=1
1𝑛 𝜎2. 
Note que foi possível considerar Var(∑Xi ) = ∑Var(Xi) pois a amostra é aleatória. 
Tem-se que 𝑉𝑎𝑟(�̅�2)𝑉𝑎𝑟(�̅�1) = 1𝑛𝜎212𝑛𝜎2 = 2, ou seja, a variância de �̅�2 é o dobro da variância de �̅�1 e, portanto, �̅�1 é o melhor estimador de 𝜇. 
 
6. 𝐸(𝜃1) = 𝐸 (17 (𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋7) ) = 17𝐸(𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋7 
= 17 (𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + ⋯+ 𝐸(𝑋7)) = 17∑𝜇 = 177𝜇 =7
𝑖=1 𝜇 
𝐸(𝜃2) = 𝐸 (12 (2𝑋1 − 𝑋6 + 𝑋4) ) = 12𝐸(2𝑋1 − 𝑋6 + 𝑋4) = 12 (2𝐸(𝑋1) − 𝐸(𝑋6) + 𝐸(𝑋4)) = 
= 12 (2𝜇 − 𝜇 + 𝜇) = 𝜇 
 
Tem-se que 𝐸(𝜃1) = 𝜇 e 𝐸(𝜃2) = 𝜇 e, portanto, 𝜃1 e 𝜃2 são estimadores não tendenciosos de 𝜇. 𝑉𝑎𝑟(𝜃1) = 𝑉𝑎𝑟 (17 (𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋7) ) = 1(7)2 𝑉𝑎𝑟(𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋7) = 
= 1(7)2 (𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) + ⋯+ 𝑉𝑎𝑟(𝑋7)) = 1(7)2 (𝜎2 + 𝜎2 +⋯+ 𝜎2) = 1(7)2 7𝜎2 = 17𝜎2. 
 
8 
 
𝑉𝑎𝑟(𝜃2) = 𝑉𝑎𝑟 (12 (2𝑋1 − 𝑋6 + 𝑋4) ) = 1(2)2 𝑉𝑎𝑟(2𝑋1 − 𝑋6 + 𝑋4) = 
= 1(2)2 (4𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋6) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋4)) = 1(2)2 (4𝜎2 + 𝜎2 + 𝜎2) = 1(2)2 6𝜎2 = 32𝜎2. 
Tem-se que 𝑉𝑎𝑟(�̂�2)𝑉𝑎𝑟(�̂�1) = 32𝜎217𝜎2 = 212 = 10,5; ou seja, a variância de 𝜃2 é 10,5 vezes maior do que a 
variância de 𝜃1 e, portanto, 𝜃1 é o melhor estimador de 𝜇. 
 
7. 
a) �̅� = 75,6154 libras-força. O estimador utilizado foi �̅�, pois a média amostral é um 
estimador não tendencioso e de mínima variância de 𝜇. 
b) 𝑠2 = 2,7382 libras-força2 e 𝑠 = 1,6547 libras-força. 
 
c) O erro padrão de �̅� é dado por √𝑉𝑎𝑟(�̅�) = 𝜎√𝑛. 
Uma estimativado erro padrão de �̅� é 
𝑠√𝑛 = 0,3245. O erro padrão de �̅� é o desvio padrão 
das médias das possíveis amostras de tamanho 𝑛 extraídas da população. 
 
d) �̂� = 126 = 0,0385. 
 
 
8, 9 e 10. Ver anotações de aula. 
 
 
11. a) 𝐸(�̅�) = 𝐸 (∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1𝑛 ) = 1𝑛 𝐸 (∑𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 ) = 1𝑛∑𝐸(𝑋𝑖𝑛
𝑖=1 ) = 1𝑛∑𝑝𝑛
𝑖=1 = 1𝑛 𝑛𝑝 = 𝑝 (∗) 
 (∗) 𝐸(𝑋𝑖) = 0 × 𝑃(𝑋𝑖 = 0) + 1 × 𝑃(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝 
 𝐸(�̅�) = 𝑝 portanto, �̅� é um estimador não tendencioso de 𝑝. 
 
b) 𝑉𝑎𝑟(�̅�) = 𝜎2𝑛 . 𝑋𝑖 tem distribuição de Bernoulli com parâmetro 𝑝 e, portanto, 𝐸(𝑋𝑖) = 𝑝 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖) = 𝑝(1 − 𝑝). Logo, 𝑉𝑎𝑟(�̂�) = 𝑉𝑎𝑟(�̅�) = 𝑝(1−𝑝)𝑛 . 
Como o estimador de máxima verossimilhança de 𝑝 é �̅� e usando a propriedade de invariância dos 
estimadores de máxima verossimilhança, tem-se que 𝑉𝑎𝑟(�̂�)̂ = �̅�(1−�̅�)𝑛 é um estimador de 𝑉𝑎𝑟(�̂�). 
 
12. ver resolução 11. 
9 
 
13. a) 𝐸 ((𝑋1𝑛1) − (𝑋2𝑛2)) = 𝐸 (𝑋1𝑛1) − E (𝑋2𝑛2) = 1𝑛1 𝐸(𝑋1) − 1𝑛2 𝐸(𝑋2) = 1𝑛1 𝑛1𝑝1 − 1𝑛2 𝑛2𝑝2 = 
 = 𝑝1 − 𝑝2. 
 
b)√𝑉𝑎𝑟 ((𝑋1𝑛1) − (𝑋2𝑛2)) = √𝑉𝑎𝑟 (𝑋1𝑛1) + 𝑉𝑎𝑟 (𝑋2𝑛2) = √ 1𝑛12 𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 1𝑛22 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) = 
= √ 1𝑛12 𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 1𝑛22 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) = √ 1𝑛12 𝑛1𝑝1(1 − 𝑝1) + 1𝑛22 𝑛2𝑝2(1 − 𝑝2) = 
 = √ 1𝑛12 𝑛1𝑝1(1 − 𝑝1) + 1𝑛22 𝑛2𝑝2(1 − 𝑝2) = √𝑝1(1 − 𝑝1)𝑛1 + 𝑝2(1 − 𝑝2)𝑛2 . 
 
c) Uma estimativa de √𝑝1(1−𝑝1)𝑛1 + 𝑝2(1−𝑝2)𝑛2 pode ser obtida substituindo 𝑝1 e 𝑝2, respectivamente, 
por 
𝑋1𝑛1 e 
𝑋2𝑛2. 
 
d) 
 (𝑋1𝑛1) − (𝑋2𝑛2) = (150200) − (185250) = 0,01 
e) √𝑋1𝑛1(1−𝑋1𝑛1)𝑛1 + 𝑋2𝑛2(1−𝑋2𝑛2)𝑛2 = √150200(1−150200)200 + 185250(1−185250)250 = 0,0413. 
 
 
14. 
1. 1,96 
2. 2,575 
3. 1,645 
4. 2,325 
 
15. 
a) z=2,14 pela tabela da distribuição normal P(0<Z<z)=0,4838 e assim sendo, /2=(0,5- 0,4838), 
 =2(0,5- 0,4838), (1-)=0,9676, confiança do intervalo 96,76%. 
b) 98,72%. 
c) 93,56%. 
 
10 
 
16. 
a) O intervalo de confiança (1-𝛼)100% para 𝜇 é dado por �̅� − 𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑧𝛼2 𝜎√𝑛. Aumentando 
a confiança para 99% a amplitude do intervalo também aumenta, pois 𝑧0,052 = 1,96 e 𝑧0,012 = 2,575. 
 
 
b) A afirmação está incorreta, pois µ não é uma variável aleatória e sim uma constante desconhecida. 
Nesse caso µ ou estará ou não estará no intervalo. 
c) Sim, a afirmação está correta, o método é baseado na construção de intervalos de confiança para 
cada uma das possíveis amostras de mesmo tamanho, obtidas a partir do mesmo procedimento 
de seleção. Estabelecendo-se um erro de 5% tem-se que 95% dos intervalos conterão µ e o 
restante dos intervalos 5% não conterão µ. 
 
17. IC 95% para µ: (87,8504; 93,1096). 
 
18. IC 95% para µ: (74,0353; 74,0367). 
 
19. 
a) IC 95% para µ: (1003,04; 1024,96). 
b) 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 = 𝐸 𝑛 = 𝑧𝛼/22𝜎2𝐸2 = 96,04. 
 Arredondando para o inteiro superior mais próximo 𝑛 = 97. 𝑐) �̅� + 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛− (�̅� − 𝑧𝛼2 𝜎√𝑛) = 2𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 = 6𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 = 3 𝑛 = 266,78, ou seja, 𝑛 = 267. 
d) Se amplitude = 2𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 E=𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 √𝑛 = 𝑧𝛼/2𝜎𝐸 𝑛 = 𝑧𝛼/22𝜎2𝐸2 
 Se amplitude é reduzida pela metade, ela passa a ser igual a 𝑧𝛼2 𝜎√𝑛 E=
12 (𝑧𝛼2 𝜎√𝑛) E=(𝑧𝛼2 𝜎√4𝑛) e, 
portanto, para reduzir a amplitude do intervalo pela metade é necessário aumentar o tamanho da 
amostra 4 vezes. 
 
20. Se o tamanho 𝑛 da amostra for dobrado, a margem de erro passa a ser 𝑧𝛼/2 𝜎√2𝑛 = 1√2 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛, e 
a amplitude 2 1√2 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 = √2𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 . Assim sendo, ao dobrar o tamanho da amostra a 
amplitude muda de 2𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 para √2𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 , ou seja, há uma redução de 29,29% na amplitude. 
11 
 
 Se o tamanho 𝑛 da amostra for multiplicado por 4, a margem de erro passa a ser 𝑧𝛼/2 𝜎√4𝑛 =1√4 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 = 12 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 , ou seja, amplitude = 𝑧𝛼/2 𝜎√𝑛 , sendo portanto, reduzida pela metade. 
 
21. 
a. 2,179 
b. 2,064 
c. 3,012 
 
22. (�̅� − 𝑡𝛼2,𝑛−1 𝑠√𝑛 ; �̅� + 𝑡𝛼2,𝑛−1 𝑠√𝑛) = (60139,7 − 2,131 3645,94√16 ; 60139,7 + 𝑡𝛼2,𝑛−1 𝜎3645,94√16 ) = = (58197,33; 62082,07). 
23. 
 
 Há forte indicativo de que a amostra provém de uma 
 distribuição normal de acordo com o diagrama de caixas. 
 
 
 
 𝑡0.012 ,5 = 4,032 
IC 99% para µ: (�̅� − 𝑡𝛼2 ,𝑛−1 𝑠√𝑛 ; �̅� + 𝑡𝛼2 ,𝑛−1 𝑠√𝑛) = (16,4585; 17,5082). A chance desse intervalo 
conter o valor médio em % do nível de ácidos graxos é 99%. 
 
24. 
a) Normalidade ok 
 
12 
 
b) 𝑡0.052 ,14 = 2,145 
IC 95% para µ: (�̅� − 𝑡𝛼2 ,𝑛−1 𝑠√𝑛 ; �̅� + 𝑡𝛼2 ,𝑛−1 𝑠√𝑛) = (8,2200; 8,2480). 
 
c) 
 
 0,052 ,142 = 26,119  1− 0,052 ,142 = 5,629 
 ((𝑛 − 1)𝑆2
 𝛼2,𝑛−12 ; (𝑛 − 1)𝑆2
 1−𝛼2,𝑛−12 ) = (0,000343045; 0,00159757). 
 
𝑑)(√(𝑛 − 1)𝑆2 𝛼2,𝑛−12 ; √(𝑛 − 1)𝑆2 1−𝛼2,𝑛−12 ) = (0,0185; 0,0399). 
 
25.  0,052 ,92 = 19,023  1− 0,052 ,92 = 2,7 
 
( 
 √(𝑛 − 1)𝑆2 𝛼2,𝑛−12 ; √(𝑛 − 1)𝑆2 1−𝛼2,𝑛−12 ) 
 = (3,3016; 8,7636) 
 
 
26. 
(�̂� − 𝑧𝛼2√�̂�(1 − �̂�)𝑛 ; �̂� + 𝑧𝛼2√�̂�(1 − �̂�)𝑛 ) = 
= (412768 − 1,96√412/768(1 − 412/768)768 ; 412768 + 1,96√412/768(1 − 412/768)768 ) = 
 = (0,5012; 0,5717) 
 
 
27. 
a) 
 
(�̂� − 𝑧𝛼2√�̂�(1 − �̂�)𝑛 ; �̂� + 𝑧𝛼2√�̂�(1 − �̂�)𝑛 ) = 
13 
 
= (0,36 − 1,96√0,36(1 − 0,36)50 ; 0,36 + 1,96√0,36(1 − 0,36)50 ) = (0,227; 0,493). 
 
b) 
 𝑧𝛼2√�̂�(1−�̂�)𝑛 = 𝐸 𝑛 = 𝑧𝛼22�̂�(1−�̂�)𝐸2 
𝑛 = 1,962 × 0,36(1 − 0,36)0,022 = 2212,762 
 Arredondando para o inteiro superior mais próximo 𝑛 = 2213. 
 
c) 𝑛 = 𝑧𝛼22�̂�(1 − �̂�)𝐸2 
 𝑛 = 𝑧𝛼220,25𝐸2 = 2401.