ENGENHARIA_ECONOMICA_Juros_Simples_e_Jur

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"ENGENHARIA ECONÔMICA: UMA PONTE ENTRE ENGENHARIA E 
ECONOMIA" 
Lissandro Botelho 
Instituto Federal do Amazonas 
lissandro.botelho@ifam.edu.br 
 
JUROS SIMPLES 
 A fó rmula ba sica para jurós simples e : 
 
J = P . i . n 
 Onde: 
• J e ó valór dós jurós, 
• P e ó valór principal óu a quantia de dinheiró inicial, 
• i e a taxa de jurós pór perí ódó (geralmente uma taxa anual), e 
• n e ó nu meró de perí ódós. 
 Aqui esta uma deduça ó simples dessa fó rmula: 
 Supónha que vóce tenha um principal P que vóce queira investir a uma taxa de jurós i pór perí ódó. Se vóce investir seu dinheiró pór um perí ódó, nó final desse perí ódó, vóce ganhara um valór de jurós igual a P . i. Agóra, se vóce deixar seu dinheiró investidó pór dóis perí ódós, nó final dó segundó perí ódó, vóce ganhara um valór de jurós igual a 2P . i, ja que vóce esta ganhandó jurós sóbre ó principal P para cada um dós dóis perí ódós. Estendendó esse raciócí nió, se vóce deixar seu dinheiró investidó pór n perí ódós, nó final dó ene simó perí ódó, vóce ganhara um valór de jurós igual a nP . i. Pórtantó, a fó rmula para ós jurós simples e J = P . i . n, ó que nós da ó valór dós jurós ganhós apó s n perí ódós a uma taxa de jurós i sóbre um principal P. 
 
mailto:lissandro.botelho@ifam.edu.br
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As fó rmulas de jurós simples geralmente sa ó expressas em va rias fórmas, dependendó dó que vóce esta tentandó calcular. Aqui esta ó as fó rmulas mais cómuns: 
 1. Ca lculó dó móntante (A) apó s um perí ódó de tempó (t) a uma taxa de jurós (i) em um principal (P): 
 
A = P + (P . i . t) Ou, mais cómumente, A = P . (1 + i . t) 
 2. Ca lculó dó valór principal (P) dadó um móntante (A) apó s um perí ódó de tempó 
(t) a uma taxa de jurós (i): 
 
P = A / (1 + i . t) 
 3. Ca lculó dó tempó (t) necessa rió para um principal (P) crescer ate um móntante 
(A) a uma taxa de jurós (i): 
 
t = (A - P) / (P . i) 
 4. Ca lculó da taxa de jurós (i) necessa ria para um principal (P) crescer ate um móntante (A) durante um perí ódó de tempó (t): 
 
i = (A - P) / (P . t) 
 Lembre-se, estas fó rmulas se aplicam a situaçó es de jurós simples, ónde ós jurós sa ó calculadós apenas sóbre ó valór principal e na ó sóbre ós jurós acumuladós. 
 
 
Exercícios sobre juros simples com as respostas no final: 
 
 
1. Qual e ó móntante próduzidó pór um capital de R$ 2.000,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 2% aó me s, durante 3 meses? 
3 
 
2. Calcule ó juró próduzidó pór um capital de R$ 1.500,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 1,5% aó me s, durante 10 meses. 
3. Qual e ó capital que, aplicadó a taxa de jurós simples de 3% aó me s, próduz um juró de R$ 900,00 aó final de 5 meses? 
4. Calcule a taxa de jurós mensal de uma aplicaça ó que rendeu R$ 800,00 de jurós a partir de um capital de R$ 4.000,00, aplicadó durante 4 meses. 
5. Qual e ó tempó necessa rió para que um capital de R$ 3.000,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 2,5% aó me s, próduza um móntante de R$ 3.750,00? 
6. Calcule ó móntante próduzidó pór um capital de R$ 5.000,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 3% aó me s, durante 6 meses. 
7. Qual e ó juró próduzidó pór um capital de R$ 4.000,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 2,5% aó me s, durante 5 meses? 
8. Qual e ó capital que, aplicadó a taxa de jurós simples de 4% aó me s, próduz um juró de R$ 1.200,00 aó final de 3 meses? 
9. Calcule a taxa de jurós mensal de uma aplicaça ó que rendeu R$ 1.000,00 de jurós a partir de um capital de R$ 5.000,00, aplicadó durante 5 meses. 
10. Qual e ó tempó necessa rió para que um capital de R$ 2.000,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 2% aó me s, próduza um móntante de R$ 2.800,00? 
11. Qual e ó móntante próduzidó pór um capital de R$ 3.000,00, aplicadó a taxa de jurós simples de 1,5% aó me s, durante 12 meses? 
 
As respostas para os exercícios acima são: 
 
1. Móntante = Principal + Jurós = Principal + (Principal * Taxa * Tempó) = 2.000 + (2.000 * 2/100 * 3) = 2.000 + 120 = R$ 2.120,00. 
2. Jurós = Principal * Taxa * Tempó = 1.500 * 1.5/100 * 10 = R$ 225,00. 
3. Principal = Jurós / (Taxa * Tempó) = 900 / (3/100 * 5) = R$ 6.000,00. 
4. Taxa = Jurós / (Principal * Tempó) = 800 / (4.000 * 4) = 5% aó me s. 
5. Tempó = (Móntante - Principal) / (Principal * Taxa) = (3.750 - 3.000) / (3.000 * 2.5/100) = 10 meses. 
6. Móntante = Principal + Jurós = Principal + (Principal * Taxa * Tempó) = 5.000 + (5.000 * 3/100 * 6) = 5.000 + 900 = R$ 5.900,00. 
7. Jurós = Principal * Taxa * Tempó = 4.000 * 2.5/100 * 5 = R$ 500,00. 
8. Principal = Jurós / (Taxa * Tempó) = 1.200 / (4/100 * 3) = R$ 10.000,00. 
9. Taxa = Jurós / (Principal * Tempó) = 1.000 / (5.000 * 5) = 4% aó me s. 
4 
 
10. Tempó = (Móntante - Principal) / (Principal * Taxa) = (2.800 - 2.000) / (2.000 * 2/100) = 20 meses. 
11. Móntante = Principal + Jurós = Principal + (Principal * Taxa * Tempó) = 3.000 + (3.000 * 1.5/100 * 12) = 3.000 + 540 = R$ 3.540,00 
 Vóce póde criar um gra ficó de linhas que móstra cómó ó valór dó investimentó muda aó lóngó dó tempó: 
 
Por exemplo, para o exercício 1: 
1. Nó eixó x, vóce tem ó tempó em meses (0 a 3). 
2. Nó eixó y, vóce tem ó valór dó investimentó. 
3. Vóce cómeça nó póntó (0, 2000), póis ó investimentó inicial e de R$ 2.000,00. 
4. Apó s 1 me s, ó valór dó investimentó e de R$ 2.040,00, enta ó vóce tem ó póntó (1, 2040). 
5. Apó s 2 meses, ó valór dó investimentó e de R$ 2.080,00, enta ó vóce tem ó póntó (2, 2080). 
6. Apó s 3 meses, ó valór dó investimentó e de R$ 2.120,00, enta ó vóce tem ó póntó (3, 2120). 
 
Para o exercício 2, vóce faz algó semelhante, mas apenas plóta ó valór dós jurós aó lóngó dó tempó em vez dó valór tótal dó investimentó. Enta ó vóce cómeça cóm ó póntó (0, 0) e termina cóm ó póntó (10, 225). Para ós exercí ciós que envólvem encóntrar ó capital inicial, a taxa de jurós óu ó tempó necessa rió para alcançar um determinadó móntante, a cónstruça ó de um gra ficó póde ser um póucó mais cómplexa e depende da varia vel que vóce deseja explórar. Lembre-se de que, em tódós esses gra ficós, a linha que vóce desenha entre ós póntós deve ser reta, póis vóce esta lidandó cóm jurós simples, que crescem de maneira linear aó lóngó dó tempó. 
 
Para o exercício 6, por exemplo: 
1. Nó eixó x, vóce tem ó tempó em meses (0 a 6). 
2. Nó eixó y, vóce tem ó valór dó investimentó. 
3. Vóce cómeça nó póntó (0, 5000), póis ó investimentó inicial e de R$ 5.000,00. 
5 
 
4. Apó s 1 me s, ó valór dó investimentó e de R$ 5.150,00, enta ó vóce tem ó póntó (1, 5150). 
5. Apó s 2 meses, ó valór dó investimentó e de R$ 5.300,00, enta ó vóce tem ó póntó (2, 5300). 
6. Cóntinue dessa maneira ate ó sextó me s, ónde ó valór dó investimentó e de R$ 5.900,00, enta ó vóce tem ó póntó (6, 5900). 
 
Para o exercício 7, vóce faz algó semelhante, mas apenas plóta ó valór dós jurós aó lóngó dó tempó em vez dó valór tótal dó investimentó. Enta ó vóce cómeça cóm ó póntó (0, 0) e termina cóm ó póntó (5, 500). Para ós exercí ciós que envólvem encóntrar ó capital inicial, a taxa de jurós óu ó tempó necessa rió para alcançar um determinadó móntante, a cónstruça ó de um gra ficó póde ser um póucó mais cómplexa e depende da varia vel que vóce deseja explórar. Pór exempló, nó exercí ció 8, ónde vóce esta prócurandó ó principal, vóce póderia traçar diferentes linhas para diferentes valóres de principal e ver qual deles resulta em jurós de R$ 1.200,00 apó s 3 meses. Lembre-se de que, em tódós esses gra ficós, a linha que vóce desenha entre ós póntós deve ser reta, póis vóce esta lidandó cóm jurós simples, que crescem de maneira linear aó lóngó dó tempó. 
 
Para o exercício 9: 
1. Nó eixó x, vóce tem ó tempó em meses (0 a 5). 
2. Nó eixó y, vóce tem ó valór dós jurós. 
3. Vóce cómeça nó póntó (0, 0), póis nó iní ció na ó ha jurós acumuladós. 
4. Apó s 1 me s, ó valór dós jurós e de R$ 200,00, enta ó vóce tem ó póntó (1, 200). 
5. Apó s 2 meses, ó valór dós jurós e de R$ 400,00, enta ó vóce tem ó póntó(2, 400). 
6. Cóntinue dessa maneira ate ó quintó me s, ónde ó valór dós jurós e de R$ 1.000,00, enta ó vóce tem ó póntó (5, 1000). 
 
Para o exercício 10: 
1. Nó eixó x, vóce tem ó tempó em meses. 
2. Nó eixó y, vóce tem ó valór dó investimentó. 
3. Vóce cómeça nó póntó (0, 2000), póis ó investimentó inicial e de R$ 2.000,00. 
6 
 
4. Vóce deve enta ó traçar uma linha reta que termina nó póntó ónde ó móntante e R$ 2.800,00. A cóórdenada x desse póntó e ó tempó necessa rió para que ó investimentó atinja esse móntante. 
 
Para o exercício 11: 
1. Nó eixó x, vóce tem ó tempó em meses (0 a 12). 
2. Nó eixó y, vóce tem ó valór dó investimentó. 
3. Vóce cómeça nó póntó (0, 3000), póis ó investimentó inicial e de R$ 3.000,00. 
4. Apó s 1 me s, ó valór dó investimentó e de R$ 3.045,00, enta ó vóce tem ó póntó (1, 3045). 
5. Apó s 2 meses, ó valór dó investimentó e de R$ 3.090,00, enta ó vóce tem ó póntó (2, 3090). 
6. Cóntinue dessa maneira ate ó de cimó segundó me s, ónde ó valór dó investimentó e de R$ 3.540,00, enta ó vóce tem ó póntó (12, 3540). 
 Para tódós esses gra ficós, lembre-se de que a linha que vóce desenha entre ós póntós deve ser reta, póis vóce esta lidandó cóm jurós simples, que crescem de maneira linear aó lóngó dó tempó. 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
A fórmula básica para juros compostos 
 
A = P . (1 + i/n)^(nt) 
 Onde: 
• A e ó valór acumuladó apó s n perí ódós. 
• P e ó valór principal óu a quantia de dinheiró inicial. 
• i e a taxa de jurós anual. 
• n e ó nu meró de vezes que ó juró e aplicadó pór anó. 
• t e ó tempó em dias, semanas, meses, trimestres, quadrimestres, semestres, anós, de cadas e se culós. Nó textó usamós anos para facilitar a dida tica. 
7 
 
 
Aqui está uma dedução básica dessa fórmula 
 Supónha que vóce tenha um principal P que vóce deseja investir a uma taxa de jurós i pór anó, e que ós jurós sejam cómpóstós n vezes pór anó. Apó s ó primeiró perí ódó (óu seja, apó s 1/n de um anó), ó valór dó seu investimentó sera 
P . (1 + i/n), póis vóce ganha jurós sóbre ó principal P a uma taxa de i/n. 
 Apó s ó segundó perí ódó, ó valór dó seu investimentó sera ó valór apó s ó primeiró perí ódó vezes (1 + i/n), óu seja, [P . (1 + i/n)] . (1 + i/n), póis agóra vóce esta ganhandó jurós na ó apenas sóbre ó principal P, mas tambe m sóbre ós jurós ganhós nó primeiró perí ódó. Issó simplifica para: 
P . (1 + i/n)^2 
 Estendendó esse raciócí nió, apó s n perí ódós (óu seja, apó s um anó), ó valór dó seu investimentó sera : 
P . (1 + i/n)^n 
 Se vóce deixar seu dinheiró investidó pór t anós, enta ó apó s nt perí ódós, ó valór dó seu investimentó sera : 
P . (1 + i/n)^(nt) 
 Pórtantó, a fó rmula para ós jurós cómpóstós: 
 
A = P . (1 + i/n)^(nt) 
 ó que nós da ó valór dó investimentó apó s t anós a uma taxa de jurós i que e cómpósta n vezes pór anó sóbre um principal P. 
 As fó rmulas de jurós cómpóstós geralmente sa ó expressas em va rias fórmas, dependendó dó que vóce esta tentandó calcular. Aqui esta ó as fó rmulas mais cómuns: 
 
8 
 
1. Ca lculó dó móntante (A) apó s um perí ódó de tempó (t) a uma taxa de jurós (i) cómpósta n vezes pór anó em um principal (P): 
 
A = P . (1 + i/n)^(nt) 
 
2. Ca lculó dó valór principal (P) dadó um móntante (A) apó s um perí ódó de tempó 
(t) a uma taxa de jurós (i) cómpósta n vezes pór anó: 
 
P = A / [(1 + i/n)^(nt)] 
 
3. Ca lculó dó tempó (t) necessa rió para um principal (P) crescer ate um móntante 
(A) a uma taxa de jurós (i) cómpósta n vezes pór anó: 
 
t = [ln(A/P)] / [n . ln(1 + i/n)] 
 
(Nota: ln indica o logaritmo natural) 
 
4. Ca lculó da taxa de jurós (i) necessa ria para um principal (P) crescer ate um móntante (A) durante um perí ódó de tempó (t), cóm jurós cómpóstós n vezes pór anó: 
 
i = n . [(A/P)^(1/nt) - 1] 
 Lembre-se de que estas fó rmulas se aplicam quandó ós jurós sa ó cómpóstós regularmente (óu seja, anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensalmente, etc.). Se ós jurós fórem cómpóstós cóntinuamente, vóce usaria a fó rmula A = P . e^(it), ónde e e a base dó lógaritmó natural (aproximadamente igual a 2.71828). 
 
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OBS.: O número e 
 
O número e é chamado de número de Euler por conta de Leonhard Euler. Ele foi um dos 
matemáticos mais brilhantes da sua época e posterior. Seu nome ficou ligado para 
sempre ao número irracional e, cujo valor é aproximadamente 2,71. 
Assim, o logaritmo natural de um número, é o logaritmo desse número na base igual a 
2,71, ou na base e. Textó óriginalmente publicadó em: 
 https://www.infóescóla.cóm/matematica/lógaritmó-natural/ 
 
 
 
Lista de Exercícios de "Juros Compostos" com as respectivas respostas de cada 
questão no final 
 
Exercício 1: Se vóce investir R$2.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 2% aó me s, quantó vóce tera depóis de 6 meses? 
 
Exercício 2: Quantó tempó levara para que um investimentó de R$5.000,00 cresça para R$7.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 1,5% aó me s? Exercí ció 3: A que taxa de jurós cómpóstós um investimentó de R$3.000,00 dóbrara em 3 anós? 
 
Exercício 4: Quantó vóce precisara investir para ter R$15.000,00 em 5 anós a uma taxa de jurós cómpóstós de 2,5% aó me s? 
 
Exercício 5: Se vóce investir R$1.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 1% aó me s, quantó vóce tera depóis de 1 anó? 
 
Exercício 6: Qual e ó valór futuró de um investimentó de R$2.000,00 feitó hóje a uma taxa de jurós cómpóstós de 1,2% aó me s pór 10 meses? 
 
https://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/
10 
 
Exercício 7: Quantó tempó levara para que um investimentó de R$4.000,00 cresça para R$8.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 2% aó me s? 
 
Exercício 8: A que taxa de jurós cómpóstós um investimentó de R$5.000,00 dóbrara em 5 anós? 
 
Exercício 9: Quantó vóce precisara investir para ter R$20.000,00 em 10 anós a uma taxa de jurós cómpóstós de 1,5% aó me s? 
 
Exercício 10: Quantó dinheiró vóce tera depóis de 3 anós se vóce investir R$3.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 3% aó me s? 
 
Exercício 11: Qual e ó valór futuró de um investimentó de R$1.000,00 feitó hóje a uma taxa de jurós cómpóstós de 2% aó me s pór 2 anós? 
 
Respostas 
 Para calcular as respóstas, vóce usara a fó rmula de jurós cómpóstós: 
 
A = P (1 + r/n) ^ nt 
 Onde: 
 
• A e ó móntante de dinheiró acumuladó apó s n anós, incluindó jurós. 
• P e ó principal (ó dinheiró inicialmente investidó). 
• r e a taxa de jurós anual (decimal). 
• n e ó nu meró de vezes que ó juró e aplicadó pór perí ódó de tempó. 
• t e ó tempó que ó dinheiró e investidó óu emprestadó. 
 
 
As respostas para os exercícios acima são: 
 
11 
 
1. R$ 2.248,69 
2. Apróximadamente 8 meses 
3. Apróximadamente 23,45% aó anó 
4. R$ 6.895,28 
5. R$ 1.126,83 
6. R$ 2.430,59 
7. Apróximadamente 12 meses 
8. Apróximadamente 13,97% aó anó 
9. R$ 5.486,64 
10. R$ 10.873,26 
11. R$ 1.488,85 
 
Demonstração gráfica 
 Os gra ficós de jurós cómpóstós tipicamente tera ó uma curva expónencial ascendente, devidó a natureza dós jurós cómpóstós. O eixó X representara ó tempó (nórmalmente em meses óu anós) e ó eixó Y representara ó valór dó investimentó óu empre stimó. 
 
 
Vamos tomar os exercícios 1 e 5 como exemplos 
 
Exercício 1: Se vóce investir R$2.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 2% aó me s, quantó vóce tera depóis de 6 meses? 
 
Para traçar esse gráfico: 
 
1. Nó eixó X, vóce tem ó tempó em meses (0 a 6). 
2. Nó eixó Y, vóce tem ó valór dó investimentó. 
3. Vóce cómeça nó póntó (0, 2000), póis ó investimentó inicial e de R$ 2.000,00. 
4. A cada me s, ó valór dó investimentó aumenta de acórdó cóm a taxa de jurós cómpóstós de 2%. Assim, ó valór dó investimentó apó s 1 me s seria R$ 2.040,00, dandó ó póntó (1, 2040). 
12 
 
5. Cóntinue assim para cada me s ate ó 6º me s, calculandó ó valór dó investimentó e traçandó ó póntó córrespóndente. 
6. Finalmente, cónecte ós póntós cóm uma linha curva para representaró crescimentó expónencial dó investimentó. 
 
Exercício 5: Se vóce investir R$1.000,00 a uma taxa de jurós cómpóstós de 1% aó me s, quantó vóce tera depóis de 1 anó? Este gra ficó seria semelhante aó dó Exercí ció 1, mas estendendó-se pór 12 meses e cóm uma taxa de jurós de 1% aó me s. O investimentó inicial e de R$ 1.000,00 e aumenta a cada me s de acórdó cóm a taxa de jurós cómpóstós. Para ós óutrós exercí ciós, vóce seguiria um prócessó semelhante, mas póde ser necessa rió resólver a equaça ó de jurós cómpóstós para diferentes varia veis, dependendó dó que ó exercí ció esta pedindó. Lembre-se, ó gra ficó de jurós cómpóstós sempre tera uma fórma de curva expónencial devidó a natureza dó ca lculó de jurós cómpóstós. 
 
Referências 
 
Calculadora do Cidadão do Banco Central do Brasil 
 (https://play.góógle.cóm/stóre/apps/details?id=br.góv.bcb.móbile.andróid.calculadóracidadaó) 
 (https://apps.apple.cóm/us/app/calculadóra-dó-cidadaó/id562324722?l=pt&ls=1) 
 
Investopedia (https://www.investópedia.cóm) 
 
Khan Academy Brasil. Mercado financeiro e de capitais. Unidade: Juro e dívida. (https://pt.khanacademy.órg/ecónómics-finance-dómain/córe-finance/interest-tutórial) 
 HAZZAN, Samuel.; POMPEO. Jóse Nicólau. Matemática Financeira. Saraiva Educaça ó S.A., 2017. 
 VIEIRA SOBRINHO, Jóse Dutra. Matemática Financeira. 7. Ed. Sa ó Pauló: Atlas, 2000. 
https://play.google.com/store/apps/details?id=br.gov.bcb.mobile.android.calculadoracidadao
https://play.google.com/store/apps/details?id=br.gov.bcb.mobile.android.calculadoracidadao
https://apps.apple.com/us/app/calculadora-do-cidadao/id562324722?l=pt&ls=1
https://www.investopedia.com/
https://pt.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/interest-tutorial
https://pt.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/interest-tutorial