AULA_1_MATEMATICA_FINANCEIRA_APLICADA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 1
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Prof.ª Aline Purcote
CONVERSA INICIAL
A matemática financeira é a base para analisar alternativas de aplicação e obtenção de
recursos financeiros, como a quantidade que devemos depositar para acumular um determinado
valor ou o valor que devemos pagar a mais por estar realizando um empréstimo. 
Segundo Camargo (2007), a matemática financeira estuda a evolução do valor do dinheiro no
tempo, por meio da capitalização ou do desconto. A capitalização se refere à incorporação de
juros a uma quantia principal para determinar seu valor futuro, ao passo que o desconto se refere
à descapitalização de um montante para encontrar seu valor presente.
Na definição acima são apresentados vários conceitos como capitalização, juro, montante,
principal, valor futuro e valor presente, assim, nesta aula, abordaremos os principais conceitos
financeiros, a diferença entre capitalização simples e composta e as diferentes taxas envolvidas nas
operações financeiras.  
CONTEXTUALIZANDO
No nosso dia a dia realizamos várias operações, como compras utilizando o cartão de crédito,
empréstimos bancários e aplicações financeiras, mas quais são os principais conceitos que
devemos considerar para analisar as alternativas que são ofertadas?
As movimentações financeiras são baseadas na definição de uma taxa de juros. Assim, quando
realizarmos um empréstimo para pagarmos em prestações mensais, o valor final é superior ao
valor inicial. Dessa forma, é importante avaliarmos as opções para saber em qual local é mais
vantajoso realizar o empréstimo e qual a taxa que iremos pagar em cada alternativa.
Portanto, temos que a matemática financeira faz parte do nosso cotidiano, logo precisamos
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entender os principais conceitos que estão envolvidos nas operações financeiras para tomar
decisões mais assertivas e vantajosas.
Saiba mais
Para entendermos um pouco mais como a matemática financeira é muito útil na nossa
vida pessoal, profissional e sobretudo nas organizações, vamos ler os seguintes artigos:
1. ENTENDA por que a matemática financeira pode ser útil para você. CapitalNow, 4 set.
2019. Disponível em: <https://www.capitalresearch.com.br/blog/investimentos/importancia-da
-matematica-financeira/>. Acesso em: 16 mar. 2021.
2. ALMEIDA, G. O que é a matemática financeira e qual a sua importância? Certifiquei, 23
out. 2020. Disponível em: <https://www.certifiquei.com.br/matematica-financeira/>. Acesso
em: 16 mar. 2021.
3. SEM CRISE: entenda a importância da matemática financeira. Onze, 2020. Disponível
em: <https://www.onze.com.br/blog/importancia-da-matematica-financeira/>. Acesso em: 16
mar. 2021.
TEMA 1 – CONCEITOS FINANCEIROS
Figura 1 – Conceitos financeiros
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Créditos: Kan_Chana/Shutterstock.
Uma pessoa aplica certa quantia, também chamada de capital, na poupança por um
determinado período. Essa aplicação é como se ela fizesse um empréstimo para o banco, logo, no
final do período, receberá uma quantia de juros a mais como compensação sendo este valor
estabelecido por uma porcentagem que chamamos de taxa de juros. Dessa forma, no final do
período, a pessoa terá na poupança a quantia correspondente ao capital mais o juro.
O capital (C) é o valor aplicado por meio de alguma operação financeira e também é
conhecido como principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado.
Ao rendimento em dinheiro decorrente da utilização de uma quantia por certo período de
tempo damos o nome de juros (J) e a incorporação do juro ao capital é denominada de
capitalização. Ao prazo durante o qual alguém paga ou recebe juros chamamos de tempo e o
representamos pela letra n. Assim, n indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro.
Consideramos os juros mediante uma taxa percentual de juro (i) que se refere a uma unidade de
tempo, que pode ser, por exemplo, ano, semestre, mês ou dia. 
O valor disponível no final do período recebe o nome de montante ou valor futuro. Dessa
forma, o montante é obtido pela soma do capital ao juro e representado pela letra M.
Exemplo:
O valor de R$ 1.000 foi aplicado à taxa de 20% ao ano, durante 4 anos, produzindo R$ 800 de
juros no período.
Nesse exemplo foram apresentados os seguintes dados:
Capital (C) = R$ 1.000
Taxa de juros (i) = 20% ao ano
Tempo (n) = 4 anos
Juro (J) = R$ 800
Sabemos que montante (M) é obtido pela soma do capital ao juro, assim:
M = C + J
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M = 1000 + 800
M = 1.800
Logo, no final dos 4 anos, teremos um montante de R$ 1.800.
TEMA 2 – JUROS
Figura 2 – Juros
Fonte: Vector Knight/Shutterstock.
 Pagamos juros quando financiamos a compra de um bem ou realizamos um empréstimo e
recebemos sempre que aplicamos dinheiro em um investimento. Segundo Castanheira (2016),
podemos utilizar as seguintes expressões como conceito de juros:
dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros
colocado à nossa disposição;
remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado;
aluguel pago pelo uso do dinheiro.
De acordo com Francisco (1991), juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital
financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente combinada. 
Para o cálculo do juro utilizamos uma taxa percentual aplicada sobre o capital que se refere a
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uma unidade de tempo. No exemplo apresentado no tema 1, temos uma taxa de juros de 20% ao
ano, assim a taxa e o tempo estão na mesma unidade, ou seja, a taxa é apresentada ao ano, o
tempo expresso em ano. Caso isso não ocorra, devemos transformar a taxa ou o tempo para a
obtenção da homogeneidade entre ambos. Outro ponto que devemos observar ao utilizar a taxa é
a capitalização do juro, que pode ser, por exemplo, mensal, anual, diária, semestral, entre outras. 
Exemplo:
Considere um empréstimo de R$ 1.000 a taxa de 24% ao ano durante quatro meses.
Nesse exemplo, temos uma taxa de 24% anual, mas o período é apresentado em meses. Dessa
forma, devemos transformar e deixar taxa e tempo na mesma unidade. Para realizar esse processo
lembramos que um ano possui 12 meses, logo devemos dividir a taxa por 12 para transformar a
taxa anual em taxa mensal:
 24% / 12 = 2% ao mês
Podemos também transformar a taxa percentual em uma fração decimal dividindo o valor
encontrado por 100, assim:
2% / 100 = 0,02 ao mês.
Segundo Castanheira (2016), o regime de capitalização é que determina a forma de se
acumularem os juros. Caso estes incidam somente sobre o capital inicial, trata-se de juros simples
ou capitalização simples; se incidirem sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente, são
juros compostos, também chamados de capitalização composta.  
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Figura 3 – Capitalização simples
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Créditos: Monster Ztudio/Shutterstock.
Na capitalização simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial, ou seja, é calculado
sobre o capital emprestado ou aplicado sendo produzido unicamente por este capital.
Vamos considerar como exemplo um empréstimo de R$ 1.000 durante 4 anos, à taxa de 20%
ao ano. Teremos em cada ano um valor de R$ 200 de juro, ou seja, aplicamos a taxa de 20% sobre
o capital de R$ 1.000:
20% de 1.000Como estamos trabalhando com juro simples, o valor do juro, para cada período será o
mesmo, pois são calculados sobre o mesmo capital de R$ 1.000, que é o capital inicial. Assim,
podemos representar esse exemplo considerando o seguinte fluxo em que temos no momento
zero ou inicial o valor de R$ 1.000. Passando do período inicial para o período 1, temos a
incidência dos 20% de juros, produzindo o valor de R$ 200, que somamos ao valor inicial, obtendo
o valor atualizado de R$ 1.200 (1.000 + 200 = 1.200). O mesmo ocorre para o período 2, em que
temos o juro de R$ 200 que produz um valor atualizado de R$ 1.400 (1.200 + 200 = 1.400). O
mesmo raciocínio aplicamos nos demais períodos obtendo um montante final de R$ 1.800. 
Figura 4 – Relação entre montantes e juros (1)
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No exemplo acima, cada intervalo produz o mesmo valor de juro, ou seja, para cada período
consideramos uma taxa de 20% sobre o capital inicial de R$ 1.000 que produz um juro de R$ 200
por período. Assim, para saber o total de juros pago, multiplicamos o valor de cada intervalo pelo
número total de intervalos, ou seja:
20% de 1.000 = 200
R$ 200 x 4 = R$ 800
De acordo com Castanheira (2016), para o cálculo dos juros simples (J) sobre o capital (C),
aplicamos a taxa de juros (i) e consideramos o tempo (n) sobre o qual eles incidem. Com isso,
chegamos à fórmula:
J = C . i . n
Vimos no tema 1 que montante (M) é obtido pela soma do capital ao juro e representado pela
fórmula:
M = C + J
Sabendo que J = C.i.n, podemos substituir na fórmula do montante o juro (J):
M = C + J
M = C + (C . i . n)
Na expressão acima temos em comum o C, então podemos colocar em evidência e obter a
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fórmula para o cálculo do montante considerando juros simples:
M = C (1 + i . n)
Vamos resolver o exemplo apresentado utilizando as fórmulas, assim temos:
C = 1.000
n = 4 anos
i = 20% = 20/100 = 0,20 ao ano
J = C . i . n
J = 1000 . 0,20 . 4
J = 800
Para o montante temos:
M = C (1 + i . n)
M = 1000 ( 1 + 0,20 . 4)
Resolvendo a multiplicação do parêntese, obtemos:
M = 1000 (1 + 0,8)
Realizando a soma e após a multiplicação, obtemos o valor do montante:
M = 1000 . 1,8
M = 1800
Encontramos os mesmos valores do fluxo apresentado, ou seja, para um empréstimo de R$
1.000 durante 4 anos pagamos um montante de R$ 1.800 sendo R$ 800 de juros.
Saiba mais
Para encontrarmos os valores acima podemos também utilizar a calculadora HP 12C,
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sendo que para o cálculo de juros simples será necessário utilizar o período em dias e a taxa
de juros em ano, assim resolvemos o exemplo da seguinte forma:
f    REG                     (limpa os registros (memórias) financeiros)
f    2                          (duas casas decimais no visor)
1440  n                      (período em dias, considerando ano comercial, 360 dias)
20    i                         (define a taxa de juro anual)
1000 CHS PV            (capital inicial)
f INT                         (valor do juro simples)
+                              (valor do montante)                                 Exemplo 1:
Uma pessoa realiza um empréstimo de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à
taxa de 3% ao mês. Quanto pagará de juros?
Antes de iniciarmos a resolução deste problema, vamos identificar os dados apresentados no
enunciado:
C = R$ 2.000,00
n = 3 meses
i = 3% = 0,03 ao mês (a.m.)
J= ?
Com os dados acima vamos aplicar a fórmula do juro simples:
J = C . i . n
J = 2.000 x 0,03 x 3
J = 180
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Saiba mais
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros. Para utilizar a  HP12C,
precisamos transformar a taxa em ano e o período em dias, assim:
f    REG                    
f    2                         
90  n                  (período em dias, considerando 30 dias por mês)
36    i                 (taxa anual 3% x 12)
2000 CHS PV            (capital inicial)
f INT                         (valor do juro simples)
Exemplo 2:
Determine o montante ao final de 8 meses de um capital de R$ 1.500,00 aplicados à taxa de
juro simples de 40% ao ano (a.a).
O enunciado fornece os seguintes dados:
C = 1500
n = 8 meses
i = 40% ao ano
M = ?
Analisando os dados, percebemos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, pois a
taxa é apresentada em ano e o período em meses. Dessa forma, será necessário transformar a taxa
para meses, lembrando que 1 ano possui 12 meses, logo dividimos a taxa por 12:
i = 40% ao ano
40% / 12 = 3,33333333% ao mês / 100 = 0,03333333
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Agora aplicamos a fórmula do montante:
M = C (1 + i . n)
M = 1500 (1+ 0,03333333. 8)
M = 1500 (1 + 0,26666664)
M = 1500 . 1,2666666
M = 1900
Logo um capital de R$ 1.500 aplicados à taxa de 40% ao ano em 8 meses produzirá um
montante de R$ 1.900,00.
Saiba mais
Para utilizar a HP12C, precisamos transformar o período em dias, assim:
f    REG                    
f    2                         
240  n                (período em dias, considerando 30 dias por mês)
40    i                 (taxa anual)
1500 CHS PV            (capital inicial)
f INT                         (valor do juro simples)
+                              (valor do montante)                                
Exemplo 3:
Qual é o capital inicial que devemos depositar para obter um montante de R$ 148.000 daqui a
18 meses a uma taxa de juro simples de 48% ao ano?
Neste exercício, o objetivo é calcular o valor do capital inicial (C) e o enunciado fornece os
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seguintes dados:
M = 148000
n = 18 meses
i = 48% a.a
Como temos o montante e precisamos encontrar o capital, vamos aplicar a fórmula do
montante, mas precisamos primeiramente transformar a taxa, pois ela está anual e o período em
meses:
i = 48% a.a / 12 = 4% a.m / 100 = 0,04
M = C (1 + i . n)
148000 = C (1+0,04 . 18)
148000 = C (1 + 0,72)
148000 = C (1,72)
Precisamos isolar o valor de C então vamos passar o valor 1,72 que está multiplicando para o
outro membro dividindo:
148000 / 1,72 = C
C = 86046,51
Logo para termos um montante de R$ 148.000 no final de 18 meses a taxa de 48% ao ano
precisamos depositar inicialmente R$ 86.046,51.
Exemplo 4:
Qual é a taxa que devemos aplicado o capital de R$ 3.200 para produzir R$ 4.184 no final de
10 meses?
Neste exemplo, temos o capital, o montante e o tempo, sendo necessário calcular a taxa de
juros, assim:
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C = 3200
M = 4184
n = 10
i = ?
M = C (1 + i . n)
4184 = 3200 (1 + i. 10)
Precisamos isolar a variável i, então vamos passar o 3.200 que está multiplicando para o outro
membro, dividindo:
4184 / 3200 = 1 + i. 10
1,3075 = 1 + i. 10
Agora vamos passar o 1 que está somando para o outro membro, subtraindo:
1,3075 – 1 = i. 10
0,3075 = i.10
Por fim, passando o 10 que está multiplicando para o outro membro, dividindo:
0,3075 / 10 = i
i = 0,0308 x 100 = 3,08% ao mês
Como temos o nosso tempo em meses, a resposta final da taxa será apresentada em meses.
Logo, para obter R$ 4.184 no final de 10 meses com um capital de R$ 3.200, precisamos aplicar
com uma taxa de 3,08% ao mês.
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Figura 5 – Capitalização composta
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Créditos: Doubletree Studio/Shutterstock.
Amaioria das operações utiliza juros compostos, por ser mais lucrativo, por exemplo, compras
com cartão de crédito, empréstimos bancários, aplicações financeiras na poupança e aplicações
em fundos de renda fixa.
No juro composto, no fim de cada período, o juro é somado ao capital constituído no início,
para produzirem novos juros no período seguinte, ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é
incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
De acordo com Castanheira (2016), na capitalização composta, os juros do primeiro período
são somados ao capital inicial e, sobre os dois, serão calculados os juros do segundo período, e
assim sucessivamente, daí de os juros compostos serem chamados de juros sobre juros.
 Considerando o exemplo de um capital de R$ 1.000 colocado a 20% ao ano durante 4 anos a
juro composto, temos no fim do primeiro ano que o juro é igual a R$ 200 (20% de R$ 1.000), que é
somado ao capital de R$ 1.000 produzindo o novo capital de R$ 1.200. Esse novo valor produzirá
juros no segundo ano, conforme fluxo mostrado na Figura 6:
Figura 6 – Relação entre montantes e juros (2)
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No segundo ano, o juro será de R$ 240, ou seja, a taxa de 20% será calculada considerando o
novo valor de R$ 1.200, produzindo um novo saldo de R$ 1440 (1200 + 240). Já no terceiro ano o
juro será R$ 288, pois aplicamos a taxa de 20% no saldo anterior que é de R$ 1440, produzindo um
valor de R$ 1728 (1440 + 288). No quarto ano, o juro será de 20% sobre o capital R$ 1.728, ou seja,
345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de R$ 2.073,60 sendo o juro total de
R$1.073,60.
M = C + J
2073,60 = 1000 + J
J = 2073,60 – 1000
J = 1073,60
Comparando os valores obtidos em juros compostos com os juros simples, apresentados no
tema 3, verificamos que em juros simples temos um montante de R$ 1.800 com juro de R$ 800 e
em juro composto temos um juro de R$ 1.073,60. Essa diferença ocorre, pois em juro simples o
juro é calculado sempre sobre o capital inicial. No exemplo temos uma diferença de R$ 273,60
(1073,60 – 800) no montante final comparando juros simples e compostos.  A tabela e o gráfico
abaixo apresentam a evolução dos montantes considerando juros simples e composto:
Tabela 1 – Evolução dos montantes
Anos 0 1 2 3 4
Montante Juro Simples 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800
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Montante Juro Composto 1.000 1.200 1.440 1.728 2.073,60
Figura 7 – Relação entre juros simples e composto
Para calcular os juros aplicamos a fórmula J = C.i, sendo assim, para obter o montante de cada
período, é necessário multiplicar o capital por (1+i) tantas vezes quanto for o número de períodos
envolvidos, assim o montante no primeiro período será:
M1 = C (1+i)
M1 = 1000 (1+0,20)
M1 = 1000 . 1,20
M1 = 1.200
ou seja,
J = C .i
J = 1000 . 0,20 = 200
M = C + J
M1 = 1000 + 200 = 1.200
Para o segundo período utilizamos o novo valor encontrado (M1), assim:
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M2 = M1 (1+i)
Sabemos que M1 = C (1+i), então substituímos na fórmula acima:
M2 = C (1+i) (1+i)
M2 = 1000 (1+0,20) (1+0,20)
M2 = 1000. 1,20.1,20
M2 =1.440
Verificamos que o fator (1+i) varia de acordo com a quantidade de períodos, ou seja, ele
aparece à quantidade de períodos da capitalização. Logo, a fórmula do montante para Juro
Composto será:
M = C. (1 + i)n
Exemplo 1:
Uma pessoa realiza um empréstimo de R$ 2.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 3
meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto pagará no final do período?
C = R$ 2.000,00
n = 3 meses
i = 3% ao mês / 100 = 0,03
M = ?
Aplicando a fórmula, temos:
M = C. (1 + i)n
M = 2.000 . (1 + 0,03)³
M = 2.000 . (1,03)³
M = R$ 2.185,45
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Saiba mais
Para encontrarmos os valores acima podemos também utilizar a calculadora HP 12C,
sendo que para o cálculo da capitalização composta precisamos manter o período (n) na
mesma unidade de tempo da taxa de juros (i), assim:
f    REG                     (limpa os registros (memórias) financeiros)
f    2                          (duas casas decimais no visor)
3  n                           (período)
3    i                          (define a taxa de juro)
2000 CHS PV            (capital inicial)
FV
Exemplo 2:
Qual o valor dos juros compostos produzidos considerando um capital R$ 500,00 que
aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês?
C =  500
i = 5% / 100 = 0,05
n = 8
J = ?
M = C  × (1 + i)n
M = 500 × (1 + 0,05)8
M = 500 × (1,05)8
M = R$ 738,73
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Encontramos o valor do montante e, para calcular o juro, utilizamos a seguinte fórmula:
M = C + J
Isolando o juro, temos:
J = M – C
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
Outra alternativa para calcular o juro é aplicar a seguinte fórmula, que obtemos substituindo
M = C + J na fórmula do montante:
M = C + J
M = C × (1 + i)n
C + J = C × (1 + i)n
J = C × (1 + i)n - C
Colocando C em evidência, obtemos:
J = C [(1 + i)n – 1]
Aplicando a fórmula obtida, obtemos o mesmo resultado:
J = C [(1 + i)n – 1]
J = 500 [(1+0,05)8 -1]
J =  500 [(1,05)8 -1]
J =  500 [1,477455 -1]
J =  500 [0,477455]
J = 238,73
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Saiba mais
Pela calculadora HP 12C, temos:
f    REG                      
f    2                           
8  n                            (período)
5    i                           (define a taxa de juro)
500 CHS PV              (capital inicial)
FV
RCL PV                     (RCL mostra uma posição de memória)
+
Exemplo 3:
Qual é o capital a ser aplicado à taxa de juros composto de 1,5% ao mês durante 8 meses que
produzirá um montante de R$ 2.816,23?
Nesse exercício, temos os seguintes dados:
M = 2.816,23
i = 1,5% a.m / 100 = 0,015
n = 8 meses
C = ?
Precisamos calcular o capital e temos o valor do montante, assim aplicamos a fórmula:
M = C. (1 + i)n
2816,23 = C (1 + 0,015)8
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2816,23 = C (1,015)8
2816,23 = C . 1,126493
Para isolar a variável C vamos passar o valor 1,1265 que está multiplicando para o outro
membro dividindo:
2816,23 / 1,126493 = C
C =  2499,99 = 2500
C =  2500
Podemos isolar o capital na fórmula do montante e obter a seguinte fórmula, que resultará no
mesmo valor encontrado no exemplo 3:
M = C. (1 + i)n
Saiba mais
Outra alternativa para encontrar o capital é utilizar a calculadora HP 12C, assim:
f    REG   
f    2        
8  n                           
1,5    i                          
2816,23 CHS FV         
PV
Segundo Francisco (1991), na constituição do montante, os juros podem ser calculados no fim
de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente,
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semestralmente, trimestralmente ou mensalmente. Geralmente, com referência ao período de
capitalização, a taxa de juros é anual. Por exemplo, juros de 18% ao ano capitalizado
semestralmente, assim a taxa semestral proporcional a 18% a.a é de 9% ao semestre. Vale lembrar
que um ano possui dois semestres. Assim:
18% ao ano / 2 = 9% ao semestre
Exemplo 4:
Qual é o montante que será produzido aplicando R$ 500 a taxa de juro composto de 24% ao
ano capitalizados trimestralmente durante 2 anos?
Neste exercício, temos os seguintes dados:
C = 500
i = 24% a.a
n = 2 anos
M = ?
A taxa eo período estão em anos, mas o exercício indica que a capitalização é trimestral.
Dessa forma, precisamos transformar taxa e período em trimestres, lembrando que um ano possui
4 trimestres. Assim:
i = 24% a.a / 4 = 6% a.t / 100 = 0,06
n = 2 anos = 8 trimestres
Agora aplicamos a fórmula do montante:
M = C. (1 + i)n
M = 500 (1+0,06)8
M = 500 (1,06)8
M = 500 . 1,593848
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M = 796,92
Saiba mais
Pela calculadora HP 12C temos:
f    REG   
f    2        
8  n                           
6  i                          
500 CHS PV         
FV
Estudamos o cálculo do juro composto utilizando as fórmulas e a calculadora financeira HP
12C, mas podemos também utilizar o Excel. Para calcular o montante / valor futuro no Excel
utilizamos a fórmula:
VF  = (taxa;períodos;valorpresente)
Aplicando o fórmula acima no exemplo 4, temos:
Quadro 1 – Cálculo de montante
A B
1 Capital -500
2 Taxa 6%
3 Período 8
4 Montante = VF (B2; B3; B1; 0)
Saiba mais
Para saber mais da utilização da HP 12C e o Excel, acesse o seguinte link e leia o capítulo
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indicado:
1. FERREIRA, R. G. Juros compostos: a força mais poderosa do mundo em finanças
pessoais – entenda o que é e aprenda a calcular no Excel e na HP12C. Clube do Valor, 23 nov.
2020. Disponível em: <https://clubedovalor.com.br/blog/juros-compostos/>. Acesso em: 16
mar. 2021.
2. Capítulo 5 da seguinte obra:
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Pearson, 2006.
TEMA 5 – TAXAS
Figura 8 – Taxas
Créditos: Monster Ztudio/Shutterstock.
Existem várias formas de identificar uma taxa de juro e podemos utilizar a taxa equivalente,
taxa nominal, taxa efetiva, taxa aparente e taxa real.
5.1 TAXA EQUIVALENTE
Segundo Castanheira (2008), duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos
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constantes o capital e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o
mesmo, quaisquer que sejam os períodos de capitalização. Para a determinação da taxa
equivalente, em capitalização composta, utilizamos a fórmula:
Em que:
iq = taxa que eu quero
it = taxa que eu tenho
q = tempo da taxa que eu quero
t = tempo da taxa que eu tenho
Exemplo 1:
Qual é a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês?
Para obter a taxa equivalente, vamos analisar os dados fornecidos onde queremos calcular a
taxa anual de uma taxa de 1,2% ao mês, logo a taxa que tenho é 1,2% e o tempo que tenho é 1
mês, pois a taxa é apresentada em mês (1,2% ao mês). O tempo que quero é 1 ano, pois queremos
calcular a taxa anual. Percebemos que o tempo que tenho (1 mês) não está na mesma unidade do
tempo que quero (1 ano), assim precisamos transformar, lembrando que 1 ano é igual a 12 meses.
Assim:
iq = taxa que eu quero = ?
it = taxa que eu tenho = 1,2% /100 = 0,012
q = tempo da taxa que eu quero = 1 ano = 12 meses
t = tempo da taxa que eu tenho = 1 mês
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Saiba mais
Podemos utilizar também a calculadora HP 12C para encontrar a taxa equivalente, assim:
f    REG   
f    4
STO     EEX
100   CHS   PV
101,2  FV
12    1/x    n
i
O comando STO EEX indica que a taxa equivalente será calculada em capitalização composta.
No comando PV, sempre informamos o valor 100 para encontrar a taxa em percentual. No FV
informamos o resultado da soma entre o PV e a taxa conhecida que, nesse caso, é 1,2% (100 + 1,2
= 101,2). Já no n devemos informar o resultado da divisão do tempo da taxa que eu tenho pelo
tempo da taxa que eu quero (t/q).          
Exemplo 2:
Qual é a taxa equivalente ao bimestre de 24% a.a?
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iq = taxa que eu quero = ?
it = taxa que eu tenho = 24% /100 = 0,24
q = tempo da taxa que eu quero = 1 bimestre
t = tempo da taxa que eu tenho = 1 ano = 6 bimestres
Saiba mais
Pela calculadora HP 12 C, temos:
f    REG   
f    4
STO     EEX
100   CHS   PV
124  FV
6      ni
5.2 TAXA NOMINAL
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De acordo com Castanheira (2016), temos uma taxa nominal quando o prazo de formação e
incorporação dos juros ao capital inicial não coincide com aquele a que ela se refere.
Normalmente, é expressa para periodicidade anual e transformada em taxa para periodicidade
menor, de forma proporcional.
Exemplo 1:
Taxa de 24% a.a, capitalização mensal.
Temos uma taxa anual e queremos a taxa mensal, assim consideramos que um ano possui
doze meses e realizamos a divisão, logo:
24% a.a / 12 = 2% a.m
Exemplo 2:
Taxa nominal de 36% a.a, capitalização trimestral.
Considerando que 1 ano possui 4 trimestres, temos:
36% a.a / 4 = 9% a.t
5.3 TAXA EFETIVA
Segundo Castanheira (2008), quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada
coincide com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu, temos uma
taxa efetiva.
De acordo com Francisco (1991), quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas
proporcionais, os juros obtidos no fim de um ano são maiores do que a taxa oferecida. Por
exemplo, um capital de R$ 100 colocados a 20% a.a, capitalizado semestralmente por um ano,
produz o seguinte montante:
M = C. (1 + i)n
M = 100. (1 + 0,10)2
M = 100. (1,10)2
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M = 100 . 1,21
M = 121
Obs.: a taxa foi transformada de anual para semestral, assim:
20% a.a / 2 = 10% a.s = 0,10
Com o valor do montante obtido vamos encontrar a taxa anual:
M = C. (1 + i)n
121 = 100. (1 + i)1
121 / 100 = 1 + i
1,21 = 1 + i
1,21 – 1 = i
i = 0,21 x 100 = 21% a.a
Logo, o juro pago no ano foi de 21%, assim a taxa de 20% a.a. é a taxa nominal e a taxa de
21% é a taxa efetiva. 
Saiba mais
Pela calculadora HP 12C, temos:
f    REG   
f    2     
100 CHS PV         
2  n                           
10  i                          
FV
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1   n
i
5.4 TAXA REAL E APARENTE
De acordo com Castanheira (2008), a taxa aparente é a taxa que se utiliza sem se levar em
conta a inflação do período. Já a taxa real é a taxa que se utiliza levando-se em consideração os
efeitos inflacionários do período.
Considere que uma empresa deu um aumento salarial de 20% para um determinado
funcionário referente a um período em que houve inflação, então este valor de 20% não reflete um
aumento real, pois não considerou a inflação do período, logo essa taxa é uma taxa aparente. Caso
a correção efetuada no salário tenha sido menor que a inflação do período, podemos ter uma taxa
real negativa.
Considerando um capital C aplicado por um determinado tempo n e que resultou em um
montante M, temos a fórmula do montante considerando a taxa aparente:
M = C. (1 + ia)
Se considerarmos que nesse período n ocorreu uma inflação I, devemos acrescentar a taxa
real i e a taxa de inflação I no cálculo do montante, logo:
M = C. (1 + i).(1+I)
Agora vamos igualar a duas fórmulas do montante para encontrar a fórmula da taxa real i:
C. (1 + ia) = C. (1 + i).(1+I)
Passamos o C que está multiplicando no segundo membro dividindo e assim podemos
eliminar essa variável:
(1 + ia) = (1 + i).(1+I)
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Para isolar o i passamos (1+I) que está multiplicando parao outro membro dividindo:
(1 + ia) = (1 + i).(1+I)
Agora o 1 que está somando passa subtraindo:
Exemplo 1:
Qual é a taxa real de uma aplicação em que a taxa aparente foi de 8% ao mês, em um período
em que a inflação foi de R$ 2,86%?
O enunciado fornece os seguintes dados:
ia = 8% /100 = 0,08
I = 2,86% /100 = 0,0286
Exemplo 2:
Qual é a taxa real de uma aplicação em que a taxa aparente foi de 4% ao mês, em um período
em que a inflação foi de R$ 5%?
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A taxa real encontrada foi negativa, ou seja, nessa aplicação ocorreu um prejuízo.
TROCANDO IDEIAS
Nesta aula estudamos os principais conceitos envolvendo a matemática financeira e
entendemos por que o juro composto é tão utilizado na prática. Provavelmente você já realizou ou
conhece alguém que já fez um empréstimo, financiamento ou alguma aplicação financeira. Escolha
uma operação financeira e avaliei os seguintes pontos:
Prazo da operação;
Taxa utilizada;
Capital inicial;
Montante. 
NA PRÁTICA
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios:
Exercício 1:
Considerando uma aplicação de R$ 4.000, qual das situações terá maior rendimento e de
quanto a mais será?
1. Juro simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses;
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2. Juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses.
Vamos calcular o juro de cada situação e após comparar os resultados obtidos:
1. Juro simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses
C = 4000
i = 3% / 100 = 0,03
n = 2 meses
J = C .i.n
J = 4000 . 0,03 . 2
J = 240
Saiba mais
Utilizando a HP 12C, temos:
f    REG                    
f    2                         
60  n       (período em dias)         
36    i      (taxa anual)            
4000 CHS PV      
f INT                      
2. Juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses.
C = 4000
i = 2% / 100 = 0,02
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n = 3 meses
M = 4000 (1+0,02)3
M = 4000 (1,02) 3
M = 4000 1,0612
M = 4244,80
M = C + J
4244,80 = 4000 + J
J = 4244,80 – 4000
J = 244,80
Saiba mais
Pela HP12C temos:
f    REG                     
f    2                          
3  n                           
2    i                          
4000 CHS PV             
FV
RCL PV                    
+
Temos na primeira opção um juro de R$ 240 e na segunda um total de R$ 244,80, logo a
segunda opção terá o maior rendimento com uma diferença de R$ 4,80 a mais.
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Exercício 2:
Qual o tempo que devemos aplicar um capital de R$ 800.000 à taxa de juro simples de 16% ao
ano para obtermos um montante de R$ 832.000?
Analisando o enunciado, temos:
C = 800.000
n = ?
i = 16% ao ano
M = 832.000
Aplicando a fórmula do montante, temos:
M = C (1 + i.n)
832000 = 800000 (1 + 0,16 n)
1,04 = 1 + 0,16 n
1,04 – 1 = 0,16 n
0,04 = 0,16 n
n = 0,25
Como a taxa está em ano, temos a resposta também em ano, ou seja, 0,25 do ano que
corresponde a 3 meses:
0,25 x 12 = 3 meses
Exercício 3:
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Qual o juro de uma aplicação de R$ 1.000 colocado por 4 anos a uma taxa de juro composto
de 20% a.a, capitalizados semestralmente?
Analisando o enunciado, temos:
C = 1000
n = 4 anos
i = 20% a.a
J = ?
Nesse exercício, temos a capitalização semestral, assim precisamos transformar a taxa e o
tempo para semestre, lembrando que em um ano temos 2 semestres. Assim:
n = 4 anos x 2 = 8 semestres
i = 20% a.a / 2 = 10% a.s = 0,10
Aplicando a fórmula do juro composto, temos:
J = C [(1 + i)n – 1]
J = 1000 [(1+0,10)8 – 1]
J = 1000 [(1,10)8 – 1]
J = 1000 [2,1436 – 1]
J = 1000 . 1,1436
J = 1143,60
Saiba mais
Utilizando a HP 12C, temos:
f    REG                     
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f    2                          
8  n                           
10    i                          
1000 CHS PV             
FV
RCL PV                    
+
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo a matemática financeira, como juro,
taxa, montante, capital; diferenciamos o juro simples do juro composto além de apresentar as
diferenças entre as taxas nominal, efetiva, aparente e real. Vimos que nas operações financeiras
temos a aplicação do juro composto e que esses conceitos ajudarão na análise de alternativas,
tornando a tomada de decisão mais assertiva.
REFERÊNCIAS
CAMARGO, C. Análise de investimentos e demonstrativos financeiros. Curitiba: Ibpex,
2007.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016.
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Pearson Prentise Hall, 2006.
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