Lista_de_Exercicios_1_1_Calculo_Diferenc

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Lista de Exercícios - 1 - 1 - Cálculo Diferencial e Integral IV - professora Yukiko
1. Calcule cada integral:
(a)
∫
0
−2
2x − ydy (b)
∫
0
−1
cos(y) − yexdx (c)
∫
3
0
4xy − y2dx
(d)
∫
−1
0
2yexdy (e)
∫
1
0
(x + 2)3 − (y + 1)4dx (f)
∫ π/2
−π/2
cos(t)dt
2. Esboce a região de integração e calcule a integral
(a)
∫
0
−2
∫
−v
v
2dρdv (b)
∫
1
0
∫ √
y
y
dxdy (c)
∫
3
0
∫
2
0
(4 − y2)dxdy
(d)
∫
1
0
∫
0
ex
dydx (e)
∫
2
0
∫
0
y−2
dxdy (f)
∫
1
0
∫
2
4−2x
dydx
3. Esboce a região e integre a função:
(a) f(x, y) = y
x
sobre a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x,
y = 2x, x = 1 e x = 2.
(b) f(x, y) = 1
xy
sobre o quadrado 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2.
(c) f(x, y) = x2 + y2 sobre a região triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
(d) f(s, t) = tes sobre a região no primeiro quadrante do plano st que está acima da curva
s = ln(t) de t = 1 a t = 2.
(e) f(x, y) = 1 sobre a região limitada pelas curvas x = y2 e x = y.
(f) f(x, y) = xy sobre a região limitada pelo quadrado |x| + |y| = 1.
(g) f(x, y) = xy sobre a região limitada pelas retas y = x, y = 2x e x + y = 2.
4. Esboce a regiião limitada pelas retas e curvas dadas. Expresse a área da região como uma
integral dupla.
(a) As retas x = 0, x = 1, y = 0 e curva y =
√
1 − x2.
(b) A reta y = x e a curva y = x2.
(c) As retas x = 1, x = 2, y = x e a parábola y = x2.
(d) Os eixos coordenados e a reta y = x − 4.
(e) Os eixos coordenados e a reta y = −x − 4.
(f) Os eixos coordenados e a parábola y = x(x − 4).
(g) Os eixos coordenados e o hiperbole y = 1
x−1
+ 3.
(h) As retas x = 0, y = 2x e y = 4.
(i) Os eixos coordenados e a reta x − y = 2.
(j) A parábola x = y − y2 e a reta y = −x.
(k) As parábolas x = y2 e x = 2y − y2.
5. Encontre o volume do sólido:
(a) limitado pelo parabolóide z = x2 + y2 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas
retas y = x x = 0 e x + y = 2 no plano xy.
(b) limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada
pela parábola y = 2 − x2 e pela reta y = x e x = 0 no plano xy.
(c) cujo base é a região no plano xy que é limitada pela parábola y = 4 − x2 e pela reta
y = 3x, enquanto o topo do sólido é limitado pela plano z = x + 4.
(d) no primeiro octante limitada pelos planos coordenadas, pelo plano x = 3 e pelo cilindro
parabólico z = 4 − y2.
(e) no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e
plano z + y = 3.