Cálculos de Integrais e Áreas

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Resolução da lista 05 
 
1) Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) 
2
1
4dxx6 
 
 
b) 
 
2
1
34 dx)x8x5( 
 
 
c) 
2
0
dx)x2sen( 
 
 
d)  






2
2
2
3
dx1x7x2
3
x
 
 
 
e)  
4
0
dx)1x2( 
 
 
 
 
 
f)  
2
1
dx)1x6( 
 
 
 
g)  
2
1
3 dx)x1(x 
 
 
 
 
 
2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x=0 e x= 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas 
correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções xy  ; y = 0 e a reta x = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Calcule a integral definida usando Geometria Elementar: 
 
1. ∫ 𝑥 𝑑𝑥
5
0
 
 
 
2. ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
1
−2
 
 
 
3. ∫ √1 − 𝑥2 𝑑𝑥
1
−1
 
 
 
4. 1. ∫ |𝑥| 𝑑𝑥
2
−2
 
 
 
 
Use o TFC para calcular a integral definida 
 
5. ∫ [3𝑥2 − 2𝑥 + 1] 𝑑𝑥
2
0
 
 
6. ∫ [𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 1] 𝑑𝑥
0
−1
 
 
 
7. ∫
 √𝑥
8
64
0
 dx 
 
 
 
8. ∫ 𝑥√1 − 𝑥20,25
−0,25
 dx 
 
 
 
 
9. ∫
𝑥
√𝑥2+ 1
2
−1
 dx 
 
 
 
10. ∫ 𝑥𝑒−𝑥23
2
dx 
 
 
 
11. ∫ 𝑡𝑔 𝑥
𝜋 4⁄
0
 dx 
 
 
 
12. ∫ 𝑥2 𝑒𝑥1
0
 dx 
 
 
 
 
 
13. ∫ ln 𝑥
𝑒
1
 dx 
 
 
14. ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝜋
0
 dx 
 
 
 
 
15. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥
1
0
 dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. ∫ 𝑒𝑥𝜋
0
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 dx 
 
 
 
Calcule a área sob o gráfico de f . 
 
17. y = -x2 + 10x - 24, 4 ≤ x ≤ 6 
 
 
 
 
18. y = x2 - 3, 0 ≤ x ≤ 3 
 
 
 
 
 
 
 
19. y = -x2, 0 ≤ x ≤ 2 
 
 
 
 
 
 
 
20. y = x4, - 2 ≤ x ≤ 1 
 
21. y = 2x2 – 11x + 5, 0 ≤ x ≤ 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. y = x, - 2 ≤ x ≤ 2 
Lista 06 
DETERMINE A ÁREA. 
8. Entre x = - 2 e x = 5 sob o gráfico de f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
9. Do conjunto A = {(x,y) / 1 } 
 
 
 
 
 
 
10. Da região R limitada por y = , o eixo X e as retas x = - 1 e x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
11. Da região R limitada pelas curvas y = e y = 4 
 
 
 
 
 
 
12. Da região R limitada pelas curvas y = x + 2 e y = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Da região R limitada pelas curvas y = x + 1 e y = 3 - . 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Da região limitada pelas curvas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. . Da região limitada pelas curvas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 x 
VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 
Determine o volume V do sólido S gerado pela revolução da região R sob o gráfico de f no 
intervalo [a, b] em torno do eixo X: 
11. f(x) = em [1, 2] 
 
 
 
 
12. f(x) = 3 em [-1, 3] 
 
 
 
 
13. f(x) = em [1, 2] 
 
 
 
14. f(x) = em [- 1, 3] 
 
 
 
 
15. f(x) = em [- a, a] 
 
 
 
 
 
16. f(x) = em [ 0, 2] 
 
 
 
 
 
17. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região R sob f em torno do eixo 
Y, pela linha y = 4 e pelo gráfico de y = para x 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE UM ARCO 
18. O comprimento de arco de f(x) = entre (8, 3) e (27, 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. O comprimento de arco de f(x) = entre (0, 0) e (4, 8). 
 
Lista 11 
d) 24:Re4
3
1
5
2
spdydx  
 
 
Lista 12 
 
1) Calcular as integrais duplas: 
 a) dydxy
y
x
y
 
 
2
0 0
2
 
 
 
 
 
 b) dydxx  
1
0
2
0
)2( 
 
 
 
 
 c) dxdy
yx
e y
  
1 0
22
1
 
 
 
 
 
d) dxdyy
y
  
4
0 0
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) dxdy
x
y
y
y
 
4
1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Utilizando a integração dupla, calcule a área retangular R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule o valor da integral 
R
2 ydAx , onde R = [0,3] x [1,2]. Resposta: 13,5 
 
 
4) Calcule 
R
dAxyysen )( , onde R = [1,2] x [0,]. 
 
 
 
 
5) Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1º Quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determinar a área da região limitada pelas curvas xy 2 e y = x no 1º Quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante 
por y = x3 e y = 4x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante 
por y2 = x, x + y = 2 e y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada pelas curvas y2 = 4x; x = 4 
e y = 0 no 1º Quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada pelas curvas y2 = 4x; x + 
y = 3 e y = 0 no 1º Quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 
3 no 1º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 
= a2. 
 
 
 
 
 
 
14) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente 
por z = −x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D 
limitada pelas curvas y = x2 – 4 e 2
2
x
y
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 
16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Calcule  
D
dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da 
região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Calcule 
D
xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem 
D
xdAcosy2 , onde D 
é a região do plano xy limitada pelos gráficos de 
6
x

 ,y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = 
y2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), 
(1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Ache o volume do sólido sob a superfície 
3),( xyyxf  , no domínio definido pela figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) Se f(x,y) = 4 + x2, integrar esta função em dois domínios diferentes, dados abaixo: 
a) Domínio quadrado: 1  x  2 e 1  y  2. 
 
 
 
 
 
 
b) Domínio triangular, definido pelos pontos no plano xy: (0, 0), (1, 0) e (0, 1). 
 
Lista 13 
 
EXERCÍCIOS 
E.1 Calcule as seguintes integrais triplas: 
  
 1 
0 
y1 
0 
yx 
0 
dzdxdy )a 
 
 
 
 
 
 
  
1 
0 
x 
2x 
yx2 
0 
dzdydx x. )b 
 
 
 
 
 
 
  
2 
0 
2x 
0 
y 
0 
dzdydxy )c 
 
 
 
 
  
4 
0 
2 
y 
y 
0 
dzdxdyy )d 
 
 
 
 
 
  
2 
1 
x2 
x 
yx 
0 
dzdydx z )e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
2 
1 
2x 
0 
x
1
 
0 
dxdy dz z2y2 x )f 
 
 
 
 
 
 
  
 2 
0 
2x4
2
1
 
0 
2y42x 
0 
dxdy dz )g 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  




3 
3 
2y9 
2y9 
2y32x3 
92y42x4 
dydx dz ))h