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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
Caderno de Questões
Cálculo Diferencial e Integral IV
Prof° Serginei Liberato
e Prof.ª Sylvia Ferreira da Silva
Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
Conteúdo
1 Equações Diferenciais Ordinárias de primeira Ordem 3
1.1 Classificação de equações diferenciais e aplicações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Teorema de Existência e Unicidade. EDO’s separáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Equações Homogêneas e Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Equações Lineares, Equações de Bernoulli e Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Equações Autônomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Equações Diferenciais Ordinárias de segunda Ordem 10
2.1 Classificação de equações diferenciais e aplicações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Equações homogêneas com coeficientes constantes e generalizações . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Método de variação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Cálculo Diferencial e Integral IV 2 Profº Serginei Liberato e Profª. Sylvia Ferreira
Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
Caderno de exercícios para a disciplina de Cálculo 4
i) Este arquivo contém uma série de exercícios que estão separados por temase referem-se aos conteúdos
que serão abordados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I durante todo o semestre letivo.
ii) É importante salientar que estes exercícios fazem parte de um material complementar às aulas, donde
outros exercícios podem também ser apresentados durantes as mesmas. Além disso, é importante
que o(a) aluno(a) não se limite a este material.
iii) Com o decorrer do curso, este material poderá sofrer alterações e acréscimos. Sendo assim, é
importante fazer o download de sua versão mais atualizada. As versões serão indicadas no nome do
arquivo a ser disponibilizado no Sigaa.
1 Equações Diferenciais Ordinárias de primeira Ordem
1.1 Classificação de equações diferenciais e aplicações.
1. Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem
de cada equação.
(a) (1− x)y − 4xy′ + 5y = cosx;
(b) yy′ + 2y = 1 + x2;
(c)
dy
dx
=
√
1 +
(
d2y
dx2
)
;
(d)
d2r
dt2
= − k
r2
;
(e) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0
(f) x
d3y
dx3
− 2
(
dy
dx
)4
+ y = 0.
2. Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et, y2(t) = cosh t;
(b) ty′ − y = t2; y = 3t+ t2;
(c) y′ + 4y = 32; y = 8;
(d)
dy
dt
+ 20y = 24; y =
6
5
− 6
5
e−20t;
(e)
dy
dx
− 2y = e3x; y = e3x + 10e2x;
(f) x2dy + 2xydx = 0; y = − 1
x2
;
(g)
dP
dt
= P (a − bP ); P =
ac1e
at
1 + bc1eat
, a, c1 cons-
tantes.
(h)
dy
dx
+ 4xy = 8x; yc = 2 + ce−2x2
3. Determine o valor de m para que y = xm seja uma solução para cada equação diferencial a seguir
(a) x2y′′ − y = 0; (b) x2y′′ + 6xy′ + 4y = 0.
4. Determine o valor de m para os quais f(x) = emx seja uma solução a equação diferencial
d3y
dx3
− 3
d2y
dx2
− 4
dy
dx
+ 12y = 0
5. Mostre que x3 + 3xy2 = 1 é uma solução implícita da equação diferencial
2xy
dy
dx
+ x2 + y2 = 0
no intervalo I = [0, 1].
6. Mostre que y = x lnx satisfaz a equação diferencial x
dy
dx
= x + y mas não é uma solução explícita
desta equação no intervalo I = [−1, 1].
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7. Mostre que y1 = x2 e y2 = x3 são ambas soluções para
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0
As funções c1y1 e c2y2, com c1, c2 constantes arbitrárias , são também soluções? A soma y1 + y2 é
uma solução?
8. Qual é a equação diferencial para a velocidade v de um corpo de massa m em queda vertical através
de um meio (tal como água) que oferece uma resistência proporcional ao quadrado da velocidade?
Suponha que a direção positiva é para baixo.
9. A taxa de decaimento de uma substância radioativa é proporcional à quantidade A(t) de substância
remanescente no instante t. Determine a equação diferencial para a quantidade A(t).
10. Em teoria da aprendizagem, a taxa à qual um assunto é memorizado é proporcional à quantidade
ainda a ser memorizada. Se M denota a quantidade total a ser memorizada e A(t) a quantidade
memorizada no instante t, encontre a equação diferencial para A(t).
11. No problema anterior, suponha que a quantidade de material esquecida é proporcional à quantidade
memorizada no instante t. Qual é a equação diferencial para A quando o esquecimento é levado em
conta?
12. Determine as curvas integrais das equações diferenciais:
(a)
dy
dx
= cosx (b)
dy
dx
= sinhx
13. Determine a curva que passa pelo ponto (1, 1) no plano xy e que tem em todos os seus pontos a
inclinação − y
x .
1.2 Teorema de Existência e Unicidade. EDO’s separáveis.
1. Seja a equação diferencial y′ = (y−1) cosx e suponha que y é uma solução tal que y(1) = 1. Mostre
que y(x) = 1, para todo t.
2. Determine uma região no plano xy para a qual a equação diferencial teria uma solução passando
por um ponto (x0, y0) na região.
(a)
dy
dx
= y
2
3 ;
(b)
dy
dx
=
√
xy;
(c) x
dy
dx
= y;
(d)
dy
dx
− y = x;
(e) (1 + y3)y′ = x2;
(f) (x2 + y2)y′ = y2;
(g) (x2 + y2)y′ = y2.
3. Considere a equação diferencial
dy
dx
= 1 + y2 (1)
(a) Determine a região do plano xy tal que a equação tenha uma única solução passando por um
ponto (x0, y0).
(b) Formalmente, mostre que y = tanx satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0) = 0.
(c) Explique porque y = tanx não é uma solução para o problema de valor inicial (1), y(0) = 0
no intervalo (−2, 2).
(d) Explique por que y = tanx é ma solução para o problema de valor inicial do item anterior no
intervalo (−1, 1).
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4. Considere o PVI 
dy
dx
= xy1/2
y(0) = 0
(2)
Mostre que y = 0 e y = 1
16x
4 são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e
Unicidade?
5. Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
(a)

dy
dx
= y4 − x4
y(0) = 7
(b)

dy
dx
= 3x−
√
3y − 1
y(2) = 1
6. Resolva a equação dada por separação de variáveis.
(a)
dy
dx
= sin 5x;
(b) dx+ e3xdy = 0;
(c) (x+ 1)
dy
dx
= x+ 6;
(d) xy′ = 4y
(e)
dy
dx
=
y3
x2
;
(f)
dx
dy
=
x2y2
1 + x
;
(g)
dy
dx
= (x+ 1)2;
(h) dx− x2dy = 0;
(i)
dy
dx
+ 2xy = 0;
(j)
dy
dx
=
y + 1
x
;
(k)
dS
dr
= kS;
(l) sec2 xdy + cosec ydx = 0;
(m)
dy
dx
= sinx(cos 2y − cos2 y);
(n)
dN
dt
+N = Ntet+2;
(o) sin 3xdx+ 2y cos3 3xdy = 0;
(p) (y − yx2)
dy
dx
= (y + 1)2;
(q) 2
dy
dx
− 1
y
=
2x
y
;
(r) y(4−x2)1/2dy = (4+y2)1/2dx.
7. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(a) (e−y + 1) sinxdx = (1 + cosx)dy, y(0) = 0;
(b) (1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0, y(1) = 0;
(c) ydy = 4x(y2 + 1)1/2dx, y(0) = 1;
(d)
dy
dt
+ ty = y, y(1) = 3;
(e)
dx
dy
= 4(x2 + 1), x
(π
4
)
;
(f)
dy
dx
=
y2 − 1
x2 − 1
, y(2) = 2;
(g) x2y′ = y − xy, y(−1) = −1.
8. Uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, geralmente corres-
ponde a uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos itens a seguir compare
as soluções dos problemas de valor inicial dados.
(a)
dy
dx
= (y − 1)2, y(0) = 1;
(b)
dy
dx
= (y − 1)2, y(0) = 1, 01;
(c)
dy
dx
= (y − 1)2 + 0, 01, y(0) = 1;
(d)
dy
dx
= (y − 1)2 − 0, 01, y(0) = 1.
9. Uma equação diferencial da forma
dy
dx
= f(ax + by + c), b ̸= 0, pode sempre ser reduzida a uma
equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = ax+by+c. Utilize estas propriedades(a)
dx
dy
= (x+ y + 1)2;
(b)
dy
dx
= tan2(x+ y);
(c)
dy
dx
=
1− x− y
x+ y
;
(d)
dy
dx
= sin(x+ y);
(e)
dy
dx
= 1 + ey−x+5.
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10. Suponha que o valor y foi investido numa conta de poupança na qual os juros são continuamente
capitalizados numa taxa constante de 5.5% ao ano. A equação y′ = ky descreve a taxa de crescimento
do montante investido, onde k é a taxa de juros. Se R$5000 foram inicialmente investidos, qual é o
montante após 3 anos?
1.3 Equações Homogêneas e Exatas
1. Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
(a) f(x, y) = x3 + 2xy2 − y4/x;
(b) f(x, y) =
x3y − x2y2
(x+ 8y)2
;
(c) f(x, y) =
√
x+ y(4x+ 3y);
(d) f(x, y) =
x
y2 +
√
x4 + y4
;
(e) f(x, y) = cos
x3
x+ y
;
(f) f(x, y) = sin
x
x+ y
;
(g) f(x, y) = lnx2 − 2 ln y;
(h) f(x, y) =
lnx3
ln y3
.
2. Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
(a) (x− y)dx+ xdy = 0;
(b) xdx+ (y − 2x)dy = 0;
(c) (y2 + yx)dx− x2dy = 0;
(d)
dy
dx
=
y − x
y + x
;
(e) (x+ y)dx+ xdy = 0;
(f) ydx = 2(x+ y)dy;
(g) (y2 + xy)dx+ x2dy = 0;
(h)
dy
dx
=
x+ 3y
3x+ y
;
(i) −ydx+ (x+
√
xy)dy = 0;
(j) x
dy
dx
− y =
√
x2 + y2;
(k) 2x2ydx = (3x3 + y3)dy;
(l) (x2e−y/x + y2)dx = xydy.
3. Resolva as equações diferenciais a seguir sujeitas às condições iniciais indicadas.
(a) xy2
dy
dx
= y3 − x3, y(1) = 2;
(b) (x2 + 2y2)dx = xydy, y(−1) = 1;
(c) 2x2
dy
dx
= 3xy + y2, y(1) = −2;
(d) (x2 + 2y2)dx = xydy, y(−1) = 1;
(e) (x+
√
xy)
dy
dx
+ x− y = x−1/2y3/2, y(1) = 1;
(f)
(√
x+
√
y
)2
dx = xdy, y(1) = 0.
4. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dx = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição
x = νy transforma a equação em uma com variáveis separáveis.
5. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea . Mostre que a substituição
x = r cos θ, y = r sin θ leva a uma equação separável.
6. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea . Mostre que a equação pode
ser escrita na forla alternativa dy/dx = G(x, y).
7. Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n mostre que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf. (3)
8. Verifique se a equação dada é exata e em caso afirmativo, resolva-a.
(a) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0;
(b) (sin y − y sinx)dx+ (cosx+ x cos y − y)dy = 0;
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(c) (2y2x− 3)dx+ (2yx2 + 4)dy;
(d)
(
2y − 1
x
+ cos 3x
)
dy
dx
+
y
x2
− 4x3 + 3y sin 3x = 0;
(e) (x3 + y3)dx+ 3xy2dy = 0;
(f)
2x
y
dx− x2
y2
dy = 0;
(g) (y3 − y2 sinx− x)dx+ (3xy2 + 2y cosx)dy = 0;
(h) (x3 + y3)dx+ 3xy2dy = 0;
(i) (x2y3 − 1
1 + 9x2
)
dx
dy
+ x3y2.
9. Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata
(a) (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y3)dy = 0;
(b) (2x− y sinxy + ky4)dx− (20xy3 + x sinxy)dy;
(c) (2xy2 + yex)dx+ (2x2y + kex − 1)dy = 0
(d) (6xy3 + cos y)dx+ (kx2y2 − x sin y)dy = 0.
10. Determine uma função M(x, y) para que a equação diferencial seja exata
M(x, y)dx+
(
xexy + 2xy +
1
x
)
dy = 0 (4)
11. Determine uma função N(x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata.(
y1/2x−1/2 +
x
x2 + y
)
dx+N(x, y)dy = 0
12. Demonstre o Critério para uma Diferncial Exata a seguir:
Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retan-
gular R do plano definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente
para que
M(x, y)dx+N(x, y)dy (5)
seja uma diferencial exata é :
∂M
∂y
=
∂N
∂x
(6)
1.4 Equações Lineares, Equações de Bernoulli e Ricatti
1. Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
(a) y′(x) + 3y(x) = x+ e−2x
(b) y′(x)− 2y(x) = x2 + e2x
(c) dy
dt +
1
t · y(t) = 3 cos(2t), t > 0
(d) (1 + x2)2y′(x) + 4xy(x) = (1 + x2)−2
(e) t · dy
dt + 2y(t) = sin t, t > 0
(f) 2y′(t) + y(t) = 3t2
(g) ty′(t) + (t+ 1)y(t) = t, y(ln 2) = 1, t > 0
(h) t · dy
dx + 2y(x) = 4x2, y(1) = 2, x > 0
2. A equação y′ + p(x)y + q(x)y2 = f(x) é conhecida como equação de Ricatti.
(a) Mostre que se y1(x) e y2(x) são soluções da equação de Ricatti, então a função z(x) = y2(x)−
y1(x) é solução da equação de Bernoulli z′ + (p+ 2y2q)z − qz2 = 0.
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(b) Sabendo que y(x) = x é uma solução de Ricatti y′ + x3y − x2y2 = 1, determine as demais
soluções.
(c) Sabendo que y(x) = x2 é uma solução de Ricatti y′ = y2 + 2x − x4, determine as demais
soluções.
3. Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
(a) dy
dx + 1
xy = xy2
(b) dy
dx = 2x2 + 1
xy − 2y2, y1(x) = x
(c) t2 · dy
dt − 2ty = 3y4; y(1) = 1
2
(d) dy
dx = − 4
x2 − 1
xy + y2, y1(x) =
2
x
(e) y′ + 1
xy = (cosx)y−2, y(1) = 1
(f) y′ + x3y − x2y2 = 1, y(x) = x
4. A equação diferencial da forma y = xy′ + f(y′) é conhecida como Equação de Clairaut.
(a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma y = cx+f(c), em que c é uma
constante arbitrária.
(b) Resolva a EDO y = xy′ + 1
2 · (y′)2.
1.5 Equações Autônomas
Definição: As equações autônomas são equações da forma
dy
dx
= f(y)
Vamos supor que f(y) seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam y1, · · · , yk zeros da função f(y). Os pontos yi são chamados pontos críticos ou de equilíbrio
da equação dy
dx = f(y) e as soluções y(t) = yi são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da
equação.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado estável se para y(t0) um pouco diferente de yi , y(t) se aproxima
de yi , quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado instável se para y(t0) um pouco diferente de yi , y(t) se afasta
de yi , quando t cresce.
1. Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos ( de
equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a
reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
(a)
dy
dt
= y2(y2 − 1), −∞ < y0 < ∞;
(b)
dy
dt
= y(1− y2), −∞ < y0 < ∞;
(c)
dy
dt
= y2(4− y2), −∞ < y0 < ∞;
(d)
dy
dt
= y2(1− y)2, −∞ < y0 < ∞.
2. Suponha que determinada população obdece à equação logística
dy
dt
= ry
[
1− y
K
]
.
(a) Se y0 = K
3 , encontre o intante τ no qual a população inicial dobrou. Encontre o valor de τ
correspondente a r = 0, 025 por ano.
(b) Se y0
K = α, encontre o instante T no qual y(T )/K = β, em que 0 < α, β < 1. Note que T → ∞
quando α → 0 ou β → 1. Encontre o valor de T para r = 0, 025 por ano, α = 0, 1 e β = 0, 9.
3. Uma outra equação utilizada para modelar o crescimento populacional é a equação de Gompertz
dy
dt
= ry ln
(
K
y
)
, (7)
(a) Esboce o gráfico de f(y) em função de y, encontre os pontos críticos e determine se cada um
deles é assintoticamente estável ou instável.
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(b) Para 0 ≤ y ≤ K, determine os intervalos em que o gráfico de y em função de t é convexo e
onde é côncavo.
(c) Para cada y tal que 0 < y ≤ K, mostre que dy
dt , como dado pela equação de Gompertz, nunca
é menor do que dy
dt , como dado pela equação logística.
4. O trabalho de Daniel Bernoulli, em 1760, tinha como objetivo avaliar o quão efetivo estava sendo
um programa controverso de inoculação contra a varíola, que era um grande problema de saúde
pública na época.Seu modelo aplica-se igualmente bem para qualquer outra doença que, uma vez
adquirida, se o paciente sobreviver, ganha imunidade para o resto da vida- também conhecido como
"O que não te mata, te deixa mais forte".
Considere o conjunto de indivíduos nascidos em um dado ano (t = 0) e seja n(t) o número destes
indivíduosque sobrevivem t anos depois. Seja x(t) o número de elementos deste conjunto que ainda
não tiveram varíola até o ano t e que são, portanto, suscetíveis. Seja β a taxa segundo a qual
indivíduos suscetíveis contraem varíola e seja ν a taxa segundo a qual pessoas que contraem varíola
morrem da doença. Finalmente, seja µ(t) a taxa de morte por qualquer outro motivo diferente da
varíola. Então,
dx
dt
, a taxa segundo a qual o número de indivíduos suscetíveis varia, é dada por
dx
dt
= −(β + µ(t))x. (8)
O primeiro termo na expressão à direita da igualdade na equação (8) é a taxa segundo a qual os
indivíduos suscetíveis contraem a doença, e o segundo termo é a taxa segundo a qual eles morrem
de outras causas. Temos também que
dn
dt
= −νβx− µ(t)n, (9)
em que dn/dt é a taxa de mortalidade do conjunto inteiro, e os dois termos à direta do sinal
de igualdade em (9)são as taxas de mortalidade em consequência da varíola e de outras causas,
respectivamente.
(a) Seja z = x/n, mostre que z satisfaz o problema de valor inicial
dz
dt
= −βz(1− νz), z(0) = 1. (10)
(b) Encontre z(t) resolvendo a equação (10).
(c) Bernoulli estimou que ν = β = 1/8. Usando estes valores, determine a proporcção de indivíduos
com 20 anos que ainda não tiveram varíola.
1.6 Exercícios Gerais
1. Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
(a) dy
dx = 2x
√
y − 1
R.: y(x) = 1 +
(
x2+C
2
)2
(b) dy
dx − 3y = e2x, y(0) = 3
R.: y(x) = 4e3x − e2x
(c) dy
dx = (x+ y + 3)2, y(0) = −3
R.: y(x) = tanx− x− 3
(d) 2xyy′ = 4x2 + 3y2
R.: y2 = Cx3 − 4x2
(e) x2y′ + 2xy = 5y3
R.: y2 = x
2+Cx5
(f) (6xy − y3) + (4y + 3x2 − 3xy2) dydx = 0
R.: 3x2y − xy3 + 2y2 = C
(g) (y2 cosx)dx+ (4 + 5y sinx)dy = 0
R.: y5 sinx+ y4 = C
(h) y′ = y2−1
2
R.: ln
∣∣∣y−1
y+1
∣∣∣ = Kex
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Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
(i) (x+ y)dx+ x lnxdy = 0
R.: x+ y lnx+ C = 0
(j) x(1− 2y) dydx = y(−2 + x)
R.: ln |y| − 2y = −2 ln |x|+ x+ C
(k) dy
dx = x−y
x−y2
R.: x2
2 − xy + y3
3 = C
(l) x cos ydy = (x+ 1) sin ydx
R.: y = arcsin(x+Kex)
(m)
(
2xy + x2y + y3
3
)
+ (x2 + y2)y′ = 0
R.: x2yex + 1
3y
3ex = C
(n) y′ + y
x = −xy2
R.: 1
y = x(x+ C)
(o) (2x− y + 4)dy + (x− 2y + 5)dx = 0, y(0) = 2
R.: x− y + 3 = (x+ y − 1)3
2. Determine a solução contínua do PVI{
y′(x) + 2y(x) = f(x),
y(0) = 0,
onde a função f(x) é dada por
f(x) =

0, se x < 1
e−x, se 1 ≤ x ≤ 2
0, se x > 2
R.: y(x) =

0, se x < 1
e−x − e1−2x, se 1 ≤ x ≤ 2
e2−2x − e1−2x, se x > 2
3. Resolva a EDO dy
dx + 1
x · y(x) = h(x), onde h(x) =
{
x, se 1 ≤ x ≤ 2
0, se x > 2
satisfazendo a condição
y(1) = 2.
R.: h(x) =
{
1
3
(
x2 + 5
x
)
, se 1 ≤ x ≤ 2
13
3x , se x > 2
4. Considere a EDO que descreve o movimento de queda de um corpo de massa m sujeito a uma força
proporcional ao quadrado da velocidade
m
dv
dt
= mg − kv2
onde k é uma constante positiva, representando o termo de resistência do ar e g é a aceleração da
gravitacional local. Sendo v(0) = 0, obtenha a velocidade limite de queda do corpo.
R.: vlim = lim
t→∞
v =
√
mg
k
5. Mostre que toda a solução da EDO
y′ + ay = be−cx,
onde a e c são constantes positivas e b é um número real qualquer, tende a zero quando x vai para
o infinito.
2 Equações Diferenciais Ordinárias de segunda Ordem
2.1 Classificação de equações diferenciais e aplicações.
1. Determine o intervalo de maior amplitude dentro do qual o problema de valor inicial proposto tem
uma única solução (Não é necessário determinar tal solução)
(a) xy′′ + 3y = x, y(1) = 1 e y′(1) = 0
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(b) (x− 3)y′′ + xy′ + (ln |x|)y = 0, y(1) = 0 e y′(1) = 1
(c) x(x− 4) · d2y
dx2 + 5x · dy
dx + 4y = 3, y(3) = 0 e y′(3) = −1
(d) (x− 1) · d2y
dx2 − 3x · dy
dx + 4y = sinx, y(−2) = 2 e y′(−2) = 1
2. Mostre que W [y1, y2](x) = e
∫
p(x)dx ̸= 0 para todo x ∈ R, ou seja, y1(x) e y2(x) são LI. Este
resultado mostra que se y1(x) é solução da EDO y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 e tivermos y2(x) =
y1(x) ·
∫
e−
∫
p(x)dx
(y1(x))2
dx então y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) é solução geral da EDO.
3. Mostre que se y1(x) e y2(x) são funções tal que W [y1, y2](x0) ̸= 0 (Wronskiano) para algum x0 ∈ I
então y1(x) e y2(x) são L.I. em I.
4. As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
(a) x, lnx em 0 < x < 10
(b) eax, e−ax em qualquer intervalo
(c) 3x2, 2xn em 0 < x < 1
(d) cos2 x, sin2 x em qualquer intervalo
(e) x− 2, x+ 2 em −2 < x < 2
(f) 5 sinx cosx, 3 sin(2x) em x > 0
5. Sejam y1(x) = x2 e a EDO x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0.
(a) Mostre que y1(x) é uma solução da EDO.
(b) Determine a solução geral da EDO no intervalo (0,∞).
6. Mostre que y1(x) = x3 é solução da equação diferencial 2x2 · d2y
dx2 − x · dy
dx − 9y = 0. Encontre uma
função v(x) tal que y2(x) = v(x)y1(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções
são soluções fundamentais.
7. Mostre que y1(x) = x−1, x > 0 é solução da equação diferencial x2y′′ +3xy′ + y = 0. Encontre uma
função v(x) tal que y2(x) = v(x)y1(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções
são soluções fundamentais.
8. (a) Determine qual ou quais das funções z1(x) = x2, z2(x) = x3, z3(x) = e−x são soluções da
equação
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0.
(b) Seja y1(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y2(x)
de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluções fundamentais da equação.
(c) Determine a solução geral da equação
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0
e obtenha a solução do PVI que tem como condições iniciais y(1) = 1 e y′(1) = 3. Justifique
sua resposta.
9. Considere a EDO a · d2y
dx2 + b · dy
dx + cy = 0 com a, b.c ∈ R tais que b2 − 4ac = 0 e a ̸= 0. Mostre que:
(a) y1(x) = e−
b
2a
x é solução da EDO.
(b) y(x) = c1e
rx + c2xe
rx com r = − b
2a é a solução geral da EDO.
10. As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
x2y′′ + bxy′ + cy = 0
Mostre que existem valores constante r tais que y(x) = xr é uma solução da EDO anterior. Além
disso mostre que y(x) = xr é solução da EDO se, e somente se, r2 + (b− 1)r + c = 0, esta equação
é chamada equação indicial da EDO.
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11. Mostre que a equação indicial tem duas raízes reais distintas, r1 e r2 então
y1(x) = xr1 e y2(x) = xr2
são soluções fundamentais de x2y′′ + bxy′ + cy = 0 e portnto y(x) = c1x
r1 + c2x
r2 é solução geral
da EDO para x > 0.
2.2 Equações homogêneas com coeficientes constantes e generalizações
1. Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
(a) y′′ − 2y′ + y = 0
R.: y(x) = C1e
x + C2xe
x
(b) y′′ + 3y′ + 2y = 0
R.: y(x) = C1e
−x + C2e
−2x
(c) 4 d2y
dx2 − 4 · dy
dx − 3y = 0
R.: y(x) = C1e
−x
2 + C2e
3x
2
(d) 2 · d2y
dx2 − 3 · dy
dx + y = 0
R.: y(x) = C1e
x
2 + C2e
x
(e) d2y
dx2 + 6 · dy
dx + 13y = 0
R.: y(x) = C1e
−3x cos(2x) + C2e
−3x sin(2x)
(f) y′′ + 5y′ = 0
R.: y(x) = C1 + C2e
−5x
(g) d2y
dx2 + 2 · dy
dx + 2y = 0
R.: y(x) = C1e
−x cosx+ C2e
−x sinx
(h) 16y′′ + 24y′ + 9y = 0
R.: y(x) = C1e
− 3x
4 + C2xe
− 3x
4
(i) y′′ − y′ = −3
R.: y(x) = C1e
x + C2 − 3
2. Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
(a) y′′ + y′ − 2y = 2x, y(0) = 0, y′(0) = 1
R.: y(x) = ex − 1
2e
−2x − x− 1
2
(b) d2y
dx2 − 2 · dy
dx + y = xex + 4, y(0) = 1, dydx(0) = 1
R.: y(x) = 4xex − 3ex + 1
6x
3ex + 4
(c) d2y
dx2 − 2 · dy
dx − 3y = 3xe2x, y(0) = 1, dydx(0) = 0
R.: y(x) = e3x + 2
3e
−x − 2
3e
2x − xe2x
(d) y′′ + 4y = x2 + 3ex, y(0) = 0, y′(0) = 2
R.: y(x) = 7
10 sin(2x)−
19
40 cos(2x) +
1
4x
2 − 1
8 + 3
5e
x
(e) y′′ + 2y′ + 5y = 4e−x cos(2x), y(0) = 1, y′(0) = 0
R.: y(x) = e−x cos(2x) + 1
2e
−x sin(2x) + xe−x sin(2x)
(f) y′′ − 2y′ + y = x, y(0) = 3, y′(0)= 1
R.: y(x) = e−x − xex + x+ 2
(g) y′′ + 4y′ = −2, y(π8 ) =
1
2 , y
′(π8 ) = 2
R.: y(x) =
√
2 sin(2x)− 1
2
3. Seja a equação diferencial x2y′′+αxy′+βy = 0, x > 0, onde α e β são constantes e (α− 1)2 ≤ 4β.
Considere a mudança de variáveis x = ez. Resolva a EDO e determine uma solução para a EDO
original (Esta equação é conhecida como equação de Euler).
R.: y = x
1−α
2 (C1x
∆ + C2x
∆) onde ∆ =
√(
α−1
2
)2 − β
4. A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
x2 · d
2y
dx2
+ px · dy
dx
+ qy = 0, para x > 0,
onde p e q são constantes. Mostre que:
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(a) y(x) = xr é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem r(r−1)+pr+q = 0
com r1,2 =
−p+ 1±
√
(p− 1)2 − 4q
2
;
(b) Mostre que se r1, r2 ∈ R com r1 ̸= r2 a solução geral da EDO é y(x) = C1x
r1 + C2x
r2 , para
x > 0.
(c) Mostre que se r1, r2 ∈ R com r1 = r2 a solução geral da EDO é y(x) = xr1(C1 +C2 lnx), para
x > 0.
(d) Mostre que se r1, r2 ∈ C com r1 = α + βi e r2 = α − βi a solução geral da EDO é
y(x) = xα[C1 cos(β lnx) + C2 sin(β lnx)], para x > 0.
2.3 Método de variação de parâmetros
1. Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
(a) y′′ − xy′ = 3x3
R.: y(x) = C1 + C2x
3 + x3
(b) x2 · d2y
dx2 + x · dy
dx − y = x2
R.: y(x) = C1x+ C2
x + x2
3
(c) d2y
dx2 + y = secx
R.: y(x) = C1 sinx+ C2 cosx+ sinx ln | cosx|+ ln | secx+ tanx| − x cosx+ C3
(d) y′′ + y = 1
tanx
R.: y(x) = C1 cosx+ C2 sinx− sinx ln | 1
tanx + 1
sinx |
(e) y′′ − 2y′ + y = ex
x
R.: y(x) = ex(C1 + x(ln |x|+ C2))
2. Determine a solução geral da EDO y′′ − y′ − 2y = cosh(2x).
R.: y = C1e
2x + x
6e
2x + C2e
−x + 1
8e
−2x
3. (Vibrações mecânicas - sistema massa-mola) Seja u = u(t). A equação que descreve o sistema
massa-mola é dada por
mü+ cu̇+ ku = F (t), para t > 0,
m designa a massa, c o coeficiente de amortecimento e k o coeficiente de estiramento da mola e F (t)
a força externa aplicada ao sistema. Suponha que m e k são constantes positivas, c uma constante
não negativa e F (t) ≡ 0.
(a) Determine a solução geral da EDO quando c > 0. O que acontece com a solução quando
t → ∞?
R.: u(t) = e−
ct
2m (C1e
αt + C1e
−αt) onde α = 1
2m
√
c2 − 4mk
(b) Responda o item (a) considerando c = 0.
R.: u(t) = C1 sin(wt) + C2 cos(wt), onde w2 = k
m
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	Equações Diferenciais Ordinárias de primeira Ordem
	Classificação de equações diferenciais e aplicações.
	Teorema de Existência e Unicidade. EDO's separáveis.
	Equações Homogêneas e Exatas
	Equações Lineares, Equações de Bernoulli e Ricatti
	Equações Autônomas
	Exercícios Gerais
	Equações Diferenciais Ordinárias de segunda Ordem
	Classificação de equações diferenciais e aplicações.
	Equações homogêneas com coeficientes constantes e generalizações
	Método de variação de parâmetros