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RACIOCÍNIO 
LÓGICO
RACIOCÍNIO 
LÓGICO
Antônio Ronaldo Costa Dias
Hassan Marra Jorge
Vagner Luis Zanin
Reitor Prof. Celso Niskier
Pro-Reitor Acadêmico Maximiliano Pinto Damas
Pro-Reitor Administrativo e de Operações Antonio Alberto Bittencourt
Coordenação do Núcleo de Educação a Distância Viviana Gondim de Carvalho 
Redação Dtcom
Análise educacional Dtcom
Autoria da Disciplina Antônio Ronaldo Costa Dias, Hassan Marra Jorge e Vagner Luis Zanin
Validação da Disciplina Catiuscia Albuquerque Benevente
Designer instrucional Christine Almeida Rodrigues
Banco de Imagens Shutterstock.com
Produção do Material Didático-Pedagógico Dtcom
© Copyright 2017 da Dtcom. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os 
direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, 
art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”. 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Ficha catalográfica elaborada pela Dtcom. Bibliotecária – Andrea Aguiar Rita CRB)
D536r
Dias, Antônio Ronaldo Costa
Raciocínio Lógico/Antônio Ronaldo Costa Dias, Hassan Marra Jorge, Vagner 
Zanin – 1. ed. – Curitiba: Dtcom, 2017
160 p. 
ISBN: 978-85-93685-04-0
1. Matemática. 2. Raciocínio 3. Desenvolvimento.
CDD 658.9
Sumário
01 Razão e seus princípios gerais ..............................................................................................7
02 Atividade racional: a intuição e a razão discursiva ..........................................................14
03 Origens da razão e suas bases fisiológicas ......................................................................21
04 Categorização e teoria dos conjuntos ................................................................................28
05 Um breve histórico sobre a numeração na humanidade................................................35
06 Conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros e Racionais .....................................................42
07 Conjuntos numéricos: Números Irracionais e Reais .......................................................49
08 Operações com dois conjuntos ...........................................................................................56
09 Operações com três conjuntos ............................................................................................63
10 Diagramas de VENN e problemas com categorias .........................................................70
11 Lógica e Teorias da Verdade ................................................................................................77
12 Raciocínio Material e Formal ................................................................................................84
13 Estudo das proposições e silogismo ..................................................................................91
14 Operações lógicas ..................................................................................................................99
15 A Realidade e Seus Modelos Abstratos .......................................................................... 107
16 Teoria das Funções ............................................................................................................. 115
17 As funções não lineares fundamentais: Funções Quadráticas .................................. 123
18 As funções não-lineares fundamentais: Funções Logarítmicas ................................ 132
19 As funções não-lineares fundamentais: Funções Exponenciais ................................ 141
20 Representação gráfica, suas interpretações e soluções de problemas ...................... 149
Razão e seus princípios gerais
Antônio Ronaldo
Introdução
A capacidade de julgar e diferenciar o certo e o errado é uma das maiores habilidades do 
ser humano. Esta habilidade, conhecida como razão, é a base para agirmos com bom senso em 
nossas decisões.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 • compreender o conceito de razão;
 • identificar os princípios gerais da razão.
1 Conceito de Razão
A palavra “razão” possui duas origens principais: na palavra latina “ratio” e no termo grego 
“logos”, cujos significados são reunir, contar, juntar e calcular. Estes verbos pressupõem que ao 
realizarmos estas ações - pensar em uma decisão, juntar os pontos positivos e negativos de uma 
escolha, calcular os prós e contras e falar a respeito de todos os dados reunidos, de maneira orga-
nizada e ordenada - estamos utilizando a razão (Chaui, 2000). 
Figura 1- Racionalidade
Fonte: Ollyy/Shutterstock.com 
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TEMA 1
EXEMPLO
Quando precisamos tomar uma difícil decisão, na qual impactará num grande pre-
juízo ou lucro financeiro, por exemplo. Antes de darmos o primeiro passo, imagina-
mos e ponderamos os prós e os contras, calculamos qual será o lucro ou prejuízo, 
organizamos dados em planilhas, escrevemos os possíveis impactos na decisão e, 
finalmente, decidimos o melhor caminho.
O conceito de razão, ou racionalidade, pode assumir diversas interpretações em variadas 
situações. De acordo com o dicionário Michaelis da Língua Portuguesa, a palavra “razão” tem os 
significados conforme o quadro.
Razão (s.f) 
1. Faculdade do ser humano que lhe permite conhecer, julgar e agir de acordo com determinados 
princípios; raciocínio.
2. Capacidade que cada ser humano tem de ponderar.
3. Motivo que represente a explicação de certa atitude.
4. Conformidade dos fatos com a justiça.
5. Meio empregado para convencer alguém; argumento.
6. Notícia ou razão a respeito de algo.
Fonte: MICHAELIS, 2001, p. 730. (Adaptado).
Assim, percebemos que, em geral, utilizamos a palavra “razão” para nos referirmos à capa-
cidade que o ser humano tem de julgar, aos motivos que alguém possui ou às causas de algum 
evento ou acontecimento. 
No estudo da filosofia, Sócrates afirma que “os maus te farão perder a razão” (OS PENSADO-
RES, 1987, p. 65), ou seja, quando muitos episódios e acontecimentos são envolvidos é necessário 
reunir os fatos para ordenar as ideias de forma que se possa agir com calma e temperança, para 
não entrar em desequilíbrio emocional e ser tomado pelo desespero. Estes fatos nos fazem seres 
racionais, isto é, seres baseados na razão dos acontecimentos, nas causas e suas consequências 
(OS PENSADORES, 1987). 
Figura 2- O Pensador
Fonte: NeydtStock, Shutterstock.com 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Segundo Japiassú (2001), a razão é a faculdade ou a capacidade que o ser humano tem de 
julgar, isto é, definir o que é o certo e errado em todas as suas decisões. Em última análise, pode-
mos, então, definir a razão como a habilidade nata do ser humano de possuir o julgamento do 
verdadeiro ou falso, nas mais diversas situações.
SAIBA MAIS!
O livro Sócrates, da coletânea Os Pensadores, organizada por José Américo Motta 
Pessanha, aborda os aspectos da razão segundo o filósofo. Acesse: <charlezine.
com.br/wp-content/uploads/02-S%C3%B3crates-Cole%C3%A7%C3%A3o-Os-
Pensadores-1987.pdf>.
2 Princípios gerais da razão
Segundo Chaui (2000), o estudo filosófico da razão é importante para a sociedade porque 
enquadra o homem em determinadas regras, uma vez que o conceito de razão não se sustenta 
sem que tenhamos alguns requisitos. Assim, a razão possui como base seus princípios gerais, ou 
“princípios racionais”, como são chamados pelos filósofos. De acordo com a autora a:
Filosofia considerou que a razão opera seguindo certos princípios que ela própria estabe-
lece e que estão em concordância com a própria realidade, mesmo quando empregamos 
sem conhecê-los explicitamente. Ou seja, o conhecimento racional obedece a certas regras 
ou leis fundamentais, que respeitamos até mesmo quando não conhecemos diretamente 
(Chaui, 2000, p. 72).
Portanto, os princípiosgerais da razão são regras e requisitos para que o ser humano tenha 
bom senso em seus julgamentos. Segundo a filosofia, estes requisitos são divididos nos princípios 
da identidade, da não contradição, e do terceiro excluído (Chaui, 2000). 
FIQUE ATENTO!
Os princípios gerais são muito importantes para o nosso estudo, pois servirão de 
base para que possamos solucionar os problemas mais complexos envolvendo o 
raciocínio lógico.
Nos itens a seguir, compreenderemos as características dos três princípios gerais da razão. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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2.1 Princípio da identidade
O princípio da identidade afirma que tudo o que existe é o que realmente é (Chaui, 2000). 
Parece óbvia esta afirmativa, mas ela limita tudo o que existe (coisa, ser e objeto) em uma única 
definição: de ele ser ele mesmo. Podemos, por exemplo, transformar esta definição em uma afir-
mação matemática, afirmando que a variável “a” será somente “a” e não mais que “a”, ou seja, a 
variável “a” pode assumir um único e restrito valor. 
SAIBA MAIS!
Entre os seis e oito meses de idade, a criança começa a perceber que é um ser 
separado da mãe, inicia-se, então, um processo de autodescoberta, que futuramente 
culminará e refletirá em sua própria identidade.
 
Para a melhor compreensão do conceito, podemos fazer uma analogia com as impressões 
digitais, que identificam e atribuem os dados pessoais de uma única pessoa. Deste modo, o prin-
cípio da identidade atribui somente uma característica a um ser ou objeto.
Figura 3- Impressão digital
Fonte: Prill/Shutterstock.com 
No item a seguir entenderemos o princípio da não contradição e sua relação com o princípio 
da identidade.
2.2 Princípio da não contradição
Para o princípio da não contradição, não podemos afirmar que uma coisa é e não é ao mesmo 
tempo (Chaui, 2000). Em outras palavras, este princípio impossibilita que possamos atribuir duas 
definições ao mesmo tempo para apenas um objeto, por exemplo. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Vejamos: “A parede é branca e não é branca ao mesmo tempo. Não sendo branca, ela poderá 
ser de qualquer outra cor”. Neste exemplo, primeiro, afirmou-se que a parede possui uma deter-
minada característica, e, em seguida, declarou-se o contrário, invalidando a identidade da parede. 
Quando atribuímos uma característica (branca) a um objeto (parede), e, ao mesmo tempo, dize-
mos que este objeto é diferente, estamos cometendo uma contradição, porque o objeto já possui 
uma característica atribuída.
Assim, o princípio da não contradição evita que uma determinada afirmativa se autodestrua 
ou se torne inválida. Isto é, quando um objeto tem duas definições, ele não tem identidade, ou seja, 
não é nenhuma das duas opções, invalidando a sua própria definição.
Observe que o princípio da não contradição e o princípio da identidade se complementam, 
visto que no princípio da identidade afirma-se que um ser ou objeto será sempre ele próprio, e no da 
não contradição, admite-se que um ser ou objeto não pode ter duas definições ao mesmo tempo. 
2.3 Princípio do terceiro excluído
O princípio do terceiro excluído sustenta que um objeto pode ser um objeto ou outro objeto e 
não mais que um terceiro objeto (Chaui, 2000). Para entendermos o conceito, podemos pensar em 
linguagem matemática, afirmando que “a” pode ser “a” ou “b” e não “c”. Assim, estamos restringindo o 
objeto em apenas dois conceitos, e afirmando categoricamente que ela não poderá ser um terceiro.
EXEMPLO
Na frase “Faremos a guerra ou a paz” encontramos o princípio do terceiro excluído, 
porque não há outra maneira de resolvermos o conflito, uma vez que em uma afir-
mativa só existem duas possibilidades: a certa ou a errada.
 
FIQUE ATENTO!
O princípio do terceiro excluído pode ser identificado por meio do conectivo “ou”. 
Com isso, compreendemos o terceiro e último princípio geral da razão. A seguir, conhecere-
mos as atitudes mentais opostas à razão.
3 As atitudes mentais opostas à razão
As atitudes mentais são considerações e estudos de ordem cultural da sociedade, isto é, são 
reflexões originadas dos costumes dos povos, desde o início da humanidade, e não estão relacio-
nadas à razão (Chaui, 2000). 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Figura 4 – Atitudes mentais
Fonte: Alphaspirit/Shutterstock.com 
Segundo Chaui (2000), a razão é considerada contrária a quatro atitudes mentais, a saber:
 • conhecimento ilusório: é muito vago e não alcança a realidade e a verdade dos fatos. 
Trata-se de prejulgamentos ou preconceitos de origem cultural da sociedade; 
 • emoções: os sentimentos e as paixões são cegas, desordenadas e contraditórias, 
sendo que ora se diz sim e ora diz não, ou seja, as emoções são passivas e passageiras;
 • crenças religiosas: são reveladas por meio da fé, quer dizer, não depende do trabalho de 
conhecimento realizado pela nossa inteligência, ou pelo nosso intelecto; 
 • êxtase místico: é baseado no desprendimento e desvinculação da consciência. 
Deste modo, percebemos que a razão é oposta às atitudes mentais que levam a desviar da 
capacidade de julgamento ordenado. Algumas vezes, as atitudes mentais se confundem com a 
consciência racional dos fatos, atrapalhando o julgamento e ponderação do ser pensante.
FIQUE ATENTO!
O desequilíbrio emocional, a imparcialidade e a falta de racionalidade nos leva à 
indecisão, ou a tomar decisões no calor da situação, que geralmente conduz a ati-
tudes impensadas (Chaui, 2000).
Fechamento
Neste estudo, compreendemos que o conceito de razão implica, como base, no julgamento e 
bom senso nas tomadas de decisões. Entendemos, também, que embora saibamos deste conceito, 
muitas vezes, somos tomados por atitudes, como a emoção, que fazem com que desprendamos do 
pensamento racional ou da própria razão, o que prejudica a faculdade ou habilidade de julgar.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • aprender o conceito de razão, suas principais definições e seus vários significados;
 • conhecer os princípios da razão e suas definições;
 • compreender as restrições impostas pelos princípios da razão e suas implicações.
Referências 
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando: introdução à filosofia. 
São Paulo: Moderna, 1993.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Editora Ática, 2000.
JAPIASSU, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: 
J Zahar, 1991.
MATRIX. Direção de Lana Wachowski e Lilly Wachowski. EUA: Warner Bros. Pictures, 1999.
MICHAELIS: dicionário escolar da língua portuguesa. São Paulo: Melhoramentos, 2009.
OS PENSADORES. Sócrates. Seleção de textos de José Américo Motta Pessanha. São Paulo: Nova 
Cultural, 1987.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Atividade racional: a intuição 
e a razão discursiva
Antônio Ronaldo Costa Dias
Introdução
A atividade racional é uma das mais interessantes no ser humano, pois por meio dela pode-
mos obter conhecimento e julgar os acontecimentos. Além disso, ela nos possibilita ir além em 
determinados campos da ciência. Segundo Marilena Chaui (2000 p. 81), “o raciocínio é conside-
rado o conhecimento que exige provas, demonstrações das verdades que estão sendo conhecidas 
ou investigadas”. 
Podemos tomar como exemplo um caçador que está em busca de uma raposa. Ele verifica 
as pegadas, observa os galhos quebrados e, enfim, parte de pistas e indícios para uma conclusão 
ou decisão final. Nesta aula, estudaremos os procedimentos racionais e suas bases principais, tais 
como a intuição, a dedução, a indução e a abdução.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste estudo, você será capaz de:
 • entender os conceitos de dedução, indução e abdução;
 • compreender as diferenças entre empirismo e idealismo.
Bons estudos!
1 Intuição
Para entender a intuição,imagine o esforço intelectual de um médico, que faz o diagnóstico 
e compreende a causa da doença, já projetando os possíveis modos de tratá-la. Para Chaui (2000, 
p. 81), “a intuição é uma compreensão global e instantânea de uma verdade, de um objeto, de um 
fato. Nela, de uma só vez, a razão capta todas as relações que constituem a realidade e a verdade 
da coisa intuída”. Ainda de acordo com a autora (2000), a intuição corresponde a um ato intelectual 
de discernimento e compreensão. 
2 Razão Discursiva
Diferente da intuição, a razão discursiva não se dá de uma só vez. Esta razão exige prova, 
conexões entre ideias e passo a passo para uma conclusão. 
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TEMA 2
2.1 Dedução
Segundo Chaui (2000), a dedução consiste em partir de uma verdade já conhecida - seja 
por intuição, seja por demonstração anterior - e que funciona como um princípio geral ao qual se 
subordinam todos os casos que serão demonstrados a partir dela. Aqui, aplicamos uma verdade 
provada a todos os casos similares. Diz-se que a dedução vai do geral ao particular, isto é, tem 
como ponto de partida o geral e como ponto de chegada o particular. O ponto de partida da dedu-
ção é uma ideia ou teoria verdadeira.
EXEMPLO
Tomemos como ponto de partida as definições geométricas gerais de ponto, linha 
e área e deduzimos todas as figuras geométricas possíveis. Utilizamos uma defini-
ção geral que se aplica a todas as figuras geométricas e caminhamos em direção a 
figuras que podem ser formadas segundo essa definição geral.
Figura 1- Pensamento dedutivo.
Fonte: Ollyy/Shutterstock.com 
De acordo com Dicionário básico de Filosofia (JAPIASSU; MARCONDES, 1991), a palavra 
“dedução” tem o significado exposto no quadro a seguir.
Dedução (lat. deductio). 
1. Raciocínio que nos permite tirar de uma ou várias proposições uma conclusão que delas decorre 
logicamente.
2. Na matemática, a dedução é sinônimo de demonstração.
3. Nas ciências experimentais, o método hipotético-dedutivo é aquele que parte de várias propo-
sições consideradas como hipóteses, retirando delas os conhecimentos necessários, que são 
submetidos à verificação.
Quadro 1 – Etimologia e significado do termo “dedução”.
Fonte: JAPIASSU; MARCONDES, 1991, p. 49.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Outra definição para “dedução” é que se trata de “[...] uma inferência que vai dos princípios 
para uma consequência logicamente necessária.” (ARANHA, 1986, p. 100).
 
Figura 2 - Teorema de Tales.
Fonte: NeydtStock/Shutterstock.com 
SAIBA MAIS!
O livro Grande Sertão: Veredas, de Guimarães Rosa (2001), é um ótimo recurso 
para se entender o procedimento racional denominado “indução”. A leitura desse 
clássico de nossa literatura vale a pena!
Assim, podemos afirmar que a dedução é um procedimento ou atividade racional na qual 
objetos particulares são conhecidos e investigados a partir de uma teoria geral. Sabemos que a 
razão nos fornece regras para que possamos realizar a dedução; caso elas não sejam seguidas, 
a dedução em si não possuirá validade e será considerada falsa. No próximo item falaremos a 
respeito de outro procedimento racional: a indução. 
2.2 Indução
A indução é o procedimento mais importante, pois possibilita a descoberta de características 
ou propriedades de materiais, objetos etc. Segundo Chaui (2000, p. 82), percebemos que a indução 
realiza um caminho oposto ao da dedução. Mas como exatamente? Bem, com a indução, partimos 
de casos particulares iguais ou semelhantes e vamos à procura de uma lei, definição ou teoria 
geral que subordina e explica todos os casos particulares. 
A indução também deve seguir as regras da razão para se tornar válida, ou seja, não deve 
haver violação dessas normas sob penalidade de o resultado ser considerado falso. “A dedução 
e a indução são conhecidas com o nome de inferência, isto é, concluir alguma coisa a partir de 
outra já conhecida. Na dedução, dado X, infiro (concluo) a, b, c, d. Na indução, dados a, b, c, d infiro 
concluo X.” (CHAUI, 2000, p. 83).
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Para que tenhamos um entendimento melhor a respeito de indução, realizamos o seguinte 
experimento: colocamos para ferver diferentes líquidos e observamos sua vaporização. Induzi-
mos, a partir das observações, que o fogo desempenha um papel importante, promovendo a eva-
poração dos líquidos. Logo, concluímos que essa propriedade é o calor. 
FIQUE ATENTO!
A dedução e a indução são procedimentos racionais que se opõem. Enquanto a 
indução parte dos vestígios para chegar ao todo, na dedução parte-se do todo, de 
uma lei geral, e estuda-se os casos particulares.
Observamos que cada um dos líquidos de nosso experimento evapora em um determinado 
tempo. Procuramos a causa para isto e concluímos que se trata de alguma propriedade ou carac-
terística intrínseca ao líquido, que o faz evaporar em uma velocidade X. Podemos, então, formular 
uma teoria geral a respeito da evaporação de líquidos relacionada às propriedades de cada um 
deles. Com os conhecimentos adquiridos a respeito da indução, partimos agora para o terceiro e 
último caso, que é a abdução.
2.3 Abdução
Entenda a abdução como a busca de uma conclusão pela leitura e interpretação racional de 
sinais, indícios e signos. De acordo com Chaui (2000), a abdução é uma espécie de intuição que 
ocorre passo a passo até se chegar a uma conclusão. 
Um exemplo clássico e mundialmente conhecido de abdução são os contos policiais nos 
quais os detetives e investigadores coletam pistas e vão decifrando o evento principal aos poucos, 
até que finalmente formam uma teoria para o caso que investigam. Abdução é um meio que a 
razão dispõe para iniciar um estudo de um novo campo científico ainda inexplorado (CHAUI, 2000). 
O caso da abdução é muito utilizado por historiadores, por exemplo. 
Podemos concluir, portanto, que a indução e a abdução são procedimentos racionais que 
empregamos para a aquisição de conhecimento. Já a dedução é usada na verificação ou compro-
vação de uma verdade, de um conhecimento adquirido.
SAIBA MAIS!
O livro “As aventuras de Sherlock Holmes”, de Sir Arthur C. Doyle, é uma boa fonte para 
que você possa visualizar na prática a técnica da abdução, bem como os outros procedi-
mentos racionais estudados nesta aula. Confira: <https://books.google.com.br/books?i-
d=mzcdDAAAQBAJ&lpg=PT2&dq=as%20aventuras%20de%20sherlock%20holmes%20
sir%20arthur%20conan%20doyle&hl=pt-BR&pg=PP1#v=onepage&q&f=false>.
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Figura 3 - Sherlock Holmes, personagem famoso por utilizar métodos de investigação racionais.
Fonte: Prill/Shutterstock.com 
EXEMPLO
Em A Liga dos Cabeça-Vermelha (2011), uma entidade misteriosa fornecia dinheiro 
a determinados homens com cabelos ruivos. Um personagem chamado Wilson, que 
possui cabelos ruivos, tenta a todo custo se associar a essa misteriosa liga. Quando 
consegue, em um dia comum vai ao escritório e se depara com a porta trancada e a liga 
dissolvida. Sherlock Holmes segue sua excelente dedução para elucidar este mistério.
Como vimos, a dedução, a indução e a abdução são atitudes racionais que utilizamos na 
busca de novos conhecimentos. Sem estes procedimentos, ficaríamos estacionados no que já é 
conhecido e comprovado, o que dificultaria tecnologias e descobrimentos.
FIQUE ATENTO!
Na abdução, há a presença da indução, mas com uma única diferença: há a consta-
tação ou conclusão do que foi levantado em uma só etapa.
Agora faremos um estudo a respeito de técnicas utilizadas na busca da verdade e da razão. 
Continue acompanhando!
3 Diferenças entre empirismo e idealismo
3.1 Empirismo
Podemos compreender o empirismo como a busca do conhecimento, da razão e da verdade 
por meio da experiência. Antes de nossa experiência, nossa razão é como uma folha em branco, 
em que nada foi escrito (CHAUI, 2000, p. 88). A partirde nossas experiências, vamos preenchendo 
essa folha em branco com referências. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Ao longo da história da Filosofia, muitos filósofos defenderam a tese empirista, dentre os 
quais podemos destacar: Francis Bacon; John Locke; George Berkeley; e David Hume.
Figura 4 – O filósofo John Locke (1632-1704), adepto do empirismo.
Fonte: Alphaspirit/Shutterstock.com 
Segundo Chaui (2000, p. 88) os empiristas afirmam que “nossos conhecimentos começam 
com as experiências em nossos sentidos, isto é, nossas sensações”. Os objetos exteriores excitam 
nossos órgãos dos sentidos e vemos cores, sentimos sabores e odores, ouvimos sons etc.
3.2 Idealismo
Para que possamos entender o “idealismo”, devemos primeiramente entender o que é realismo. 
Chaui (2000) afirma que o realismo é a posição filosófica que pressupõe a existência objetiva da 
realidade externa como uma realidade racional em si e por si, e que podemos acessá-la por meio da 
razão, conhecida como razão objetiva.
FIQUE ATENTO!
O idealismo difere do empirismo pelo fato de o primeiro estar baseado na realidade 
racional por meio de nossas ideias, ao passo que o segundo é um procedimento no 
qual adquirimos experiência por meio de nossas sensações e sentidos.
Devemos entender que há uma diferença entre a realidade e o conhecimento racional que dela 
temos. Embora a realidade externa exista em si, só podemos conhecê-la por meio de nossas ideias, 
certo? Por exemplo, nossa percepção do mundo exterior, dos lugares e das pessoas a nossa volta é 
subjetiva e pode ter diversas interpretações. Essa posição filosófica é chamada de idealismo.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Fechamento
Assim, finalizamos o conteúdo a respeito dos procedimentos racionais. Compreendendo 
seus principais componentes e situações.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • perceber que o homem adquire e testa o conhecimento por meio dos procedimentos 
racionais; 
 • ver que esses procedimentos possibilitam avanços em diversas áreas do conheci-
mento humano; 
 • compreender a intuição, a dedução, a indução e a abdução; 
 • identificar a diferença entre o empirismo e o idealismo.
Referências 
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando: introdução à filosofia. 
São Paulo: Moderna, 1993.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática, 2000.
COTRIM, G. Fundamentos da Filosofia: História e grandes temas. São Paulo: Saraiva, 2000.
DOYLE, Arthur Conan. As Aventuras De Sherlock Holmes. Rio de Janeiro: Companhia Editora 
Nacional, 2013. Disponível em: <books.google.com.br/books?id=mzcdDAAAQBAJ&pg=PT2&lpg= 
PT2&dq=as+aventuras+de+sherlock+holmes+sir+arthur+conan+doyle&source=bl&ots=X
0NKBUkfnM&sig=zg1ezlO4BT6dpShtczwSPCZ93RM&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjNt 
vjPlYfOAhWCGZAKHQOrAOk4FBDoAQghMAE#v=onepage&q=as%20aventuras%20de%20sher 
lock%20holmes%20sir%20arthur%20conan%20doyle&f=false>. Acesso em: 22 jul. 2016.
JAPIASSU, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 2. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 
1991.
MICHAELIS. Dicionário escolar da língua portuguesa. São Paulo: Melhoramentos, 2009.
PESSANHA, José Américo Motta. Sócrates – Coleção Os Pensadores. São Paulo: Nova Cultural, 1987.
ROSA, Guimarães. Grande Sertão: veredas. 19. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Origens da razão e 
suas bases fisiológicas
Antônio Ronaldo Costa Dias
Introdução
Segundo Chaui (2000), a razão é tão antiga quanto a filosofia e não há maneira de estudar 
sua origem sem estudar a origem da filosofia, que surgiu na Grécia, pois ambos os conhecimentos 
estão entrelaçados. Dessa forma, nesta aula vamos estudar os primeiros filósofos da humani-
dade, abordando, posteriormente, suas teorias sobre a razão. 
Objetivos de aprendizagem
 Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer as origens da razão;
 • compreender as bases fisiológicas da razão;
 • identificar as diferenças entre razão e emoção.
1 As origens da razão
De acordo com Aranha e Martins (1993, p. 66) “os primeiros filósofos viveram por volta do 
século IV a.C., e mais tarde foram classificados como pré-socráticos (a divisão da filosofia grega 
se centraliza na figura de Sócrates) e agrupados em diversas escolas”. Cada uma dessas escolas 
de origem filosófica, surgidas entre os séculos IV a.C. e o início do cristianismo, é referenciada 
aos pensadores da época: a escola jônica era composta pelos filósofos Tales, Anaximandro, Ana-
xímenes, Heráclito e Empédocles; a escola itálica era composta por Pitágoras; a escola eleática 
era composta por Xenófanes, Parmênides e Zenão e a escola atomista era formada por Leucipo e 
Demócrito (ARANHA E MARTINS, 1993).
FIQUE ATENTO!
O ateniense Sócrates (470 – 399 a.C.), primeiro dos três grandes filósofos gregos 
(os outros dois foram Platão e Aristóteles), conduziu a transição do pensamento re-
flexivo sobre a origem do universo para preocupações como a existência humana. 
É dele a frase “Conhece-te a ti mesmo”. 
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TEMA 3
Figura 1 – Grécia, o berço da filosofia antiga
Fonte: ivan bastien/Shutterstock.com
O período de passagem do pensamento mítico para o pensamento racional foi chamado de 
“milagre grego” e ocorreu lentamente, sendo que as características dessa época não desaparece-
ram por completo. As novidades ou avanços do homem, como a escrita, a moeda e as leis surgi-
das no período arcaico (séculos VII e VI a.C., que é o período próprio de surgimento da filosofia), 
ajudaram, de certa forma, a transformar a visão mítica ou a visão do mito (ARANHA e MARTINS, 
1993). Podemos entender o conceito de mito da seguinte forma: “é uma intuição compreensiva da 
realidade, é uma forma espontânea de o homem situar-se no mundo. E as raízes do mito não se 
acham nas explicações exclusivamente racionais, mas na realidade vivida, portanto pré-reflexiva, 
das emoções e da afetividade” (ARANHA e MARTINS, 1993, p. 55). 
FIQUE ATENTO!
O “milagre grego” foi o período em que importantes fatores contribuíram para o surgi-
mento da filosofia (e de um pensamento mais racional), deixando o pensamento mí-
tico de lado. Além disso, é o período de maior concentração de correntes filosóficas, 
com os mais importantes filósofos da época, como Sócrates, Aristóteles e Platão. 
A partir dessa compreensão, podemos entender que o homem deu um salto progressivo e 
lento do mito da emoção até a razão e que seus avanços e descobertas contribuíram, de certa 
forma, para que a humanidade chegasse ao pensamento racional, ou à razão propriamente dita.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 22 – 
As descobertas que garantiram a transformação do mito para o racionalismo foram:
 • a escrita;
 • a moeda;
 • as leis;
 • a cidade-estado (polis).
SAIBA MAIS!
No livro “As origens Gregas da Filosofia” (2011), o autor Marcos Sandrini aborda 
toda a história do nascimento da filosofia.
No próximo tópico, faremos um estudo a respeito das bases fisiológicas da razão e suas 
implicações para a filosofia moderna.
2 As bases fisiológicas da razão
Para iniciarmos os estudos deste tópico, vamos entender um pouco a respeito do conheci-
mento. Na Grécia antiga, os primeiros filósofos preocupavam-se com algumas perguntas: por que 
as coisas existem? O que é o mundo? Qual a origem da natureza? Esses questionamentos, ainda 
sem respostas naquela época, levavam a uma grande pergunta: o que é o ser? 
De acordo com Chaui (2000, p. 137) “a palavra ser, em português, traduz a palavra latina ‘esse’ 
e a expressão grega ta onta. A palavra latina ‘esse’ é o infinitivo de um verbo, o verbo ser. A expres-
são grega ta onta quer dizer: as coisas existentes, os entes, os seres”. 
A partir dessa compreensão, observa-se, segundo Chaui (2000), que os primeiros filósofos não 
se preocupavam com a capacidade e a possibilidade de conhecimento, ouseja, não indagavam se 
poderiam ou não conhecer o “ser”, mas alguns deles mostravam essa preocupação: Heráclito de 
Éfeso (535 - 475 a.C.), Parmênides de Eléia (530 – 460 a.C.) e Demócrito de Abdera (460 – 370 a.C.). 
Heráclito considerava a natureza como um “fluxo perpétuo”, em constante mudança. Parmênides se 
colocava contrário a Heráclito e afirmava que só podemos pensar sobre aquilo que permanece idên-
tico, ou seja: para ele, “conhecer” era alcançar o imutável. Demócrito, por sua vez, desenvolveu uma 
teoria chamada de “atomismo”, afirmando que a realidade é constituída de átomos. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 23 – 
Figura 2 – Heráclito de Éfeso
Fonte: Everett - Art/Shutterstock.com
De acordo com Chaui (2000), os filósofos gregos estabeleceram alguns princípios gerais de 
como alcançar o conhecimento verdadeiro, chamados de bases fisiológicas da razão: sensação, 
percepção, memória e categorização. 
 • Sensação: “é o que nos dá as qualidades exteriores e interiores, isto é, as qualidades 
dos objetos e os efeitos internos dessas qualidades sobre nós” (CHAUI, 2000, p. 151). 
Por exemplo, podemos ouvir, sentir, tocar, cheirar odores e sabores, etc. Podemos sentir 
o quente e o frio, o doce e o amargo, ou o liso e o rugoso.
 • Percepção: “é uma relação do sujeito com o mundo exterior e não com uma reação 
físico fisiológica de um sujeito físico fisiológico a um conjunto de estímulos externos” 
(CHAUI, 2000, p. 154). Podemos dizer que a percepção é uma maneira do ser humano 
conhecer o mundo que está a sua volta.
De acordo com o dicionário de filosofia (JAPIASSU e MARCONDES, 2001) a palavra percep-
ção tem o seguinte significado:
Percepção (lat. Perceptio) 
1. Ato de perceber, ação de formar mentalmente representações sobre objetos externos a partir 
de dados sensoriais.
2. A sensação é a matéria da percepção.
3. Para os empiristas a percepção é a fonte de todo o conhecimento.
Quadro 1 – Significado da palavra percepção
Fonte: JAPIASSU E MARCONDES, 2001, p. 149.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 24 – 
 • Memória: “é uma evocação do passado. É a capacidade humana para reter e guardar o 
tempo que se foi, salvando-o da perda total. A lembrança conserva aquilo que se foi e 
não retornará jamais” (CHAUI, 2000, p. 158).
 • Categorização: é um processo mental, onde separamos as coisas em categorias, 
sendo uma forma de organização do nosso cérebro capaz de reunir, julgar, comparar e 
classificar eventos e objetos.
EXEMPLO
O processo de estudo de um estudante, onde se divide as disciplinas em um quadro 
de horário definido durante um período semana, é um processo de categorização. 
Dessa forma, o rendimento do estudo aumenta devido à associação que o cérebro 
faz com determinados horários.
A seguir, veremos como a razão e a emoção se relacionam.
3 Razão e emoção
Até aqui, já vimos os conceitos e definições de razão, que possui como base o pensamento 
racional ou racionalismo, uma corrente filosófica muito estudada pelo filósofo, físico e matemá-
tico francês René Descartes (1596 – 1650), que traz um confronto com a emoção, que é um sen-
timento movido por impulsos, raiva e paixão. A emoção nasce a partir de indecisões e fatos do 
coração, que impedem o correto raciocínio e julgamento dos prós e contras. Segundo Chaui (2000 
p. 453), “nossos sentimentos são causas das normas e dos valores éticos”. 
SAIBA MAIS!
O livro “O Erro de Descartes”, de Antônio Damásio, aborda o tema emoção 
profundamente. Para o autor, as emoções são indispensáveis para o pensamento 
racional. Acesse: <https://books.google.com.br/books/about/O_erro_de_Descartes.
html?id=8JtFZ5TB3EEC&redir_esc=y>.
Ainda de acordo com Chaui (2000), alguns emotivistas, como Alfred Jules Ayer (1910-1989), 
salientam a utilidade dos sentimentos e das emoções para a nossa sobrevivência e para a nossa 
relação com os outros, cabendo à ética orientar a utilização da emoção para evitar a violência e 
garantir as relações justas entre os seres humanos.
FIQUE ATENTO!
 O emotivismo é uma perspectiva com relação aos juízos morais de cada pessoa e 
que afirma que estes juízos dependem das emoções do indivíduo.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 25 – 
De fato, podemos entender que a emoção não pode viver isoladamente, tal como Descartes 
afirmava. Em alguns casos, ela é uma mola propulsora para que possamos estudar profunda-
mente a razão das coisas e dos acontecimentos e nos permite, também, através de métodos, 
consolidar nossos conhecimentos. 
Figura 3 - Emoções
Fonte: g-stockstudio/Shutterstock.com
EXEMPLO
Um comportamento emocional é aquele carregado de impulsividade, sem medir 
consequências em nossos atos, como as nossas reações quando estamos ao vo-
lante: nossas emoções, algumas vezes, fazem com que esqueçamos de nossos 
valores éticos.
Podemos concluir que a emoção é visivelmente diferente da razão em basicamente dois 
aspectos: enquanto na emoção os sentimentos de raiva, impulsividade e paixão tomam conta do 
nosso juízo, a razão nos traz à realidade para o correto julgamento e é carregada de consciência 
do que é certo ou errado, de bom senso e de análise de pesos, antes de tomarmos uma decisão.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 26 – 
Fechamento
Nesta aula, tivemos a oportunidade de:
 • Conhecer as origens da razão, bem como da filosofia;
 • Compreender as bases fisiológicas da razão;
 • Identificar a diferença entre a razão e a emoção. 
Referências 
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Editora Ática, 2000.
JAPIASSU, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: 
J Zahar, 2001.
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando: introdução à filosofia. 
São Paulo: Moderna, 1993.
PESSANHA, José Américo Motta. Sócrates – Coleção Os Pensadores. São Paulo: Nova Cultural, 
1987.
COTRIM, G. Fundamentos da Filosofia: História e grandes temas. São Paulo: Saraiva, 2000.
SANDRINI, Marcos. As origens gregas da filosofia. São Paulo. Editora Vozes, 2011. 
DAMASIO, ANTONIO R. O erro de Descartes: emoção, razão e o cérebro humano. São Paulo: 
Companhia das letras, 2009.
CHANTAL, Priscilla. Alzheimer, memoria e leitura. São Paulo: D´PLÁCIDO Editora, 2013.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 27 – 
Categorização e teoria dos conjuntos
Vagner Luis Zanins
Introdução
Podemos entender que conjunto é a reunião de elementos distintos que possuem, no mínimo, 
uma característica em comum. Pense, como exemplo, no conjunto de animais que voam, ou de 
animais peçonhentos, ou, ainda, de automóveis que possuem duas portas.
O conceito de conjunto existe em vários ramos da atividade humana, como na classificação 
dos animais que ocorre no estudo da biologia. Mas é na matemática que a sua compreensão teve 
um maior desenvolvimento.
A partir da segunda metade do século XX, os cientistas passaram a se preocupar, mais fre-
quentemente, com modelos teóricos que pudessem incorporar os aspectos qualitativos, junta-
mente com os quantitativos, de fenômenos coletivos do nosso dia a dia, independentemente de 
sua infinidade. Para isso, seria de fundamental importância um linguajar universal, que pudesse 
descrever tais modelagens de forma precisa, estruturada e concisa. Nesse cenário, surge a teoria 
de conjuntos, que teve como um de seus desenvolvedores o matemático George Cantor (1845 
– 1918).
Estudaremos, nesta aula, alguns conceitos iniciais sobre conjuntos e também algumas defi-
nições básicas.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • conhecer a origem da Teoria dos Conjuntos;
 • entender a definição formal de conjunto;
 • compreender as diferentes formas de representação de conjuntos.
1 Um pouco de história
De acordo com Boyer (1974), a Teoria dos Conjuntos possui como marco inicial os estudos 
dos matemáticos Augustus De Morgan (1806-1871) e George Boole (1815-1864),que também 
estão intimamente ligados à lógica moderna. 
Em 1854, Boole publicou um trabalho em que apresentava toda a fundamentação da álgebra 
aplicada à lógica, sendo que, para isso, utilizava comumente a relação entre conjuntos de objetos 
ou coisas. Entretanto, vale destacar que não é aqui que surge, de forma conveniente, o conceito de 
conjunto. Segundo Boyer (1974), tal definição só foi vista no ano de 1890, graças ao matemático 
 – 28 – 
TEMA 4
russo George Cantor (1845-1918), que trabalhava diretamente com a teoria dos números e com 
o formalismo das ideias da lógica. Por conta disso, é considerado o pai da teoria dos conjuntos.
Figura 1 – George Cantor
Fonte: NoPainNoGain/Shutterstock.com 
Outro ponto importante que se relaciona a Cantor é a ideia do infinito, pois ele estudou, nas 
entrelinhas de suas pesquisas, as propriedades peculiares dos conjuntos infinitos. Seu estudo pro-
porcionou uma estruturação bem definida da Teoria dos Conjuntos, que é utilizada atualmente 
tanto para a compreensão desse conceito quanto para o estudo da lógica.
Em termos específicos, na Teoria dos Conjuntos a célula fundamental é, claramente, a noção 
de conjunto, que significa coleção ou grupo de objetos, sendo que tais objetos são, por sua vez, 
os seus elementos ou membros. Nesse sentido, podemos dizer, por exemplo, que o elemento 1 é 
um membro do conjunto dos números naturais, enquanto que o membro ½ pertence ao conjunto 
dos números racionais. Além disso, é importante observarmos desde já que podemos entender os 
conjuntos como uma coleção finita ou infinita de membros.
 Vale destacar que o desenvolvimento dessa teoria foi de grande valia para a evolução de 
outros ramos da matemática, como o cálculo diferencial e integral.
2 O que são conjuntos? 
Para iniciarmos os estudos deste tópico, precisamos entender que é muito difícil determinar 
uma definição formal para conjunto. Assim, em matemática é comum utilizarmos a ideia de con-
ceito intuitivo.
A ideia de conjunto pode ser aplicada de várias formas, como um conjunto de meninas em 
uma sala de aula, de animais que são herbívoros, de países da américa do Sul, dos números pri-
mos, dentre outros.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 29 – 
SAIBA MAIS!
Em matemática, os conceitos intuitivos são ideias primordiais, ou ideias básicas, 
que não admitem demonstração. Eles são considerados verdadeiros, sem a 
necessidade de comprovação e, a partir destas ideias, são desenvolvidas outras 
ideias mais complexas que são demonstráveis.
Dessa forma, sempre que falarmos em conjuntos, vamos utilizar a ideia natural que temos 
sobre o conceito: a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum.
 
Figura 2 – Conjunto de animais
Fonte: Elenarts/Shutterstock.com
Portanto, podemos dizer que existem conjuntos finitos e infinitos e considerar, ainda, que há 
o conjunto formado por elementos ou aquele formado por outros conjuntos. O conjunto de alunos 
de uma sala de aula ou de apartamentos de um prédio, por exemplo, são finitos. Já os conjuntos 
numéricos são conjuntos infinitos.
Figura 3 – Os números naturais são infinitos
Fonte: 123dartist/shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 30 – 
Considere, agora, o conjunto das letras do alfabeto da língua portuguesa: dentro dele, pode-
mos formar outros dois conjuntos, um das consoantes e outro das vogais. Assim, temos um con-
junto maior formado por dois menores.
2.1 Algumas propriedades sobre conjuntos 
As propriedades básicas sobre os conjuntos são descritas na forma de afirmação, onde não 
há a necessidade de demonstração, sendo que estas afirmações recebem o nome de axiomas. 
Acompanhe: o axioma da extensão define que dois conjuntos são iguais se, e somente se, 
possuem os mesmos elementos. Este axioma nos diz que dois conjuntos que possuem os mes-
mos elementos são considerados iguais, não importando a ordem e nem a quantidade de vezes 
em que estes elementos aparecem. 
Podemos estender este conceito e dizer também que, em um conjunto, não importa a quan-
tidade de vezes que um elemento aparece e nem a ordem. Veja como exemplo o conjunto D = {2, 
3, 4, 5, 2, 3, 5, 6, 1 ,2}, que possui somente 6 elementos, já que as repetições não são consideradas.
EXEMPLO
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 1, 2 ,3, 6, 4, 1, 5, 5, 6}. A partir 
do axioma da extensão, podemos afirmar que os dois conjuntos são iguais, pois 
possuem os mesmos elementos, já que nem a ordem e nem a quantidade interfe-
rem na igualdade dos conjuntos. Também é correto afirmar que o conjunto B possui 
somente 6 elementos, já que a quantidade e a ordem não têm importância.
FIQUE ATENTO!
O axioma da extensão diz que dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos 
elementos.
Agora acompanhe: o axioma do vazio define que existe um conjunto que é vazio. De uma 
forma resumida, este axioma nos diz que existe um conjunto que é vazio e podemos afirmar, tam-
bém, que este conjunto vazio é único. Para representá-lo, utilizamos os símbolos { } ou Ø. Vamos 
ver alguns exemplos:
A = {conjunto de cachorros que tem asas}
B = {conjunto dos números primos pares que são maiores que 3}
Entendendo que: o conjunto A é vazio, pois não existe nenhum cachorro que possui a caracte-
rística de voar, e o conjunto B também é vazio, pois o único número primo par é o número 2.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 31 – 
FIQUE ATENTO!
O axioma do vazio diz que há um conjunto que não possui elementos. 
SAIBA MAIS!
Um conjunto pode ser descrito basicamente de duas formas. Uma delas é descrever 
ou elencar cada um dos elementos que compõem o conjunto, como em A = {2, 4, 
6, 8}. A outra é utilizar uma regra geral para determinar os elementos procurados, 
como em B = {Os números ímpares}, que seria B = {1, 3, 5, 7, 9,...}. Leia mais em: 
<http://mtm.ufsc.br/~bosing/15_2/Conjuntos.pdf>.
Neste ponto, vale destacar que, quando estudamos a teoria de conjuntos, com muita frequên-
cia nos deparamos com os termos “conjunto universo” e “conjunto unitário”, que veremos a seguir:
 • conjunto universo: é aquele que tem todos os elementos com o qual estamos 
trabalhando.
EXEMPLO
Considere A = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Se construirmos B = {números pares de A}, 
teremos B = {0, 2, 4, 6, 8,10}. Assim, o conjunto A é o conjunto universo em relação 
ao conjunto B.
 • conjunto unitário: esse é um termo bem simples de entender. De forma resumida, é 
um conjunto que contém somente um elemento: A = {Os números primos e pares}, B = 
{João}, C = {Mamíferos que voam}. Ou seja, o conjunto A é unitário, pois o único número 
primo e par é o número 2. O conjunto B tem um único elemento, que é “João”, e, por fim, 
o conjunto C também é unitário, pois o único mamífero que tem a capacidade de voar 
é o morcego.
Figura 4 – Morcego
Fonte: Ondrej Prosicky/Shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 32 – 
FIQUE ATENTO!
Já sabemos que os símbolos { } ou Ø representam o conjunto vazio, porém, se dis-
sermos que A={Ø} representa um conjunto vazio estará errado. O que está indicado, 
dessa forma, é que o conjunto A é formado por um único elemento: o vazio. 
É importante, então, entender que um conjunto é a reunião de elementos que possuem carac-
terísticas em comum. Apesar de intuitivo, este conceito é muito importante. Vale reforçar que para 
elaborar as definições e ideias sobre a Teoria de Conjuntos devemos utilizar os axiomas, para que, 
a partir deles, seja possível definir outras características relacionadas aos conjuntos.
Fechamento
Ao concluirmos esta aula, compreendemos que não há uma definição formal de conjunto, 
pois qualquer tentativa de interpretação recairia na utilização de sinônimos da palavra conjunto, 
o que entraria numa circularidade. Por isso, é muito comum utilizarmos a definição intuitiva ou a 
ideia mais natural sobre conjuntos.
Nestaaula, você teve oportunidade de:
 • conhecer a origem da Teoria dos Conjuntos;
 • entender que, ao falarmos de conjunto, podemos utilizar a ideia natural que temos 
sobre o conceito: a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica 
em comum;
 • compreender os principais axiomas que envolvem a Teoria de Conjuntos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 33 – 
Referências
AGUIAR, Laura. Introdução a Teoria de Conjuntos. Disponível em: <http://mtm.ufsc.
br/~bosing/15_2/Conjuntos.pdf>. Acesso em: 01 ago. 2016.
BEZERRA, Manoel Jairo. Curso de matemática: para os cursos de segundo grau. 32. ed. São Paulo: 
Companhia Editora Nacional, 1975.
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
COPI, Irving Marmer. Introdução à lógica. 2. ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 34 – 
Um breve histórico sobre 
a numeração na humanidade
Vagner Luis Zanins
Introdução
O homem desenvolveu, ao longo do tempo, várias maneiras de realizar a contagem, utili-
zando, inicialmente, pedras e gravetos para representar, por exemplo, a quantidade de cabras ou 
ovelhas. Povos como os egípcios e os maias utilizavam símbolos no seu cotidiano para represen-
tar tais quantidades e fazer pequenas operações matemáticas. 
Nesta aula, vamos destacar alguns exemplos de sistemas numerais de maior importância 
para a nossa civilização.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer um breve histórico sobre a história da numeração;
 • identificar a importância da numeração para o desenvolvimento das sociedades.
1 A civilização e os números 
A relação entre a espécie humana e os números é antiga e, desde então, vem se desen-
volvendo. Podemos destacar, como exemplos dessa relação, os sistemas de contagem sumério, 
babilônico e egípcio. No entanto, vale ressaltar que, de acordo com Ifrah (1985), é difícil determinar 
uma data inicial para o desenvolvimento da ideia de número, pois ele ocorreu de forma progres-
siva, em momentos distintos e em várias partes do planeta.
No nosso dia a dia, podemos dizer que é quase impossível viver sem contato com os núme-
ros, pois eles aparecem em praticamente todos os ramos da atividade humana, como quando 
estamos em casa, por exemplo: os números aparecem nas embalagens dos produtos que consu-
mimos, no noticiário da TV, em receitas culinárias ou em bulas de remédio. Além dessas situações, 
também é possível verificar a sua existência nas relações humanas, como, por exemplo, quando 
compramos ou vendemos um produto ou um serviço. 
A capacidade do homem de trabalhar e desenvolver técnicas de manipulação com os núme-
ros possibilitou o desenvolvimento da matemática e, com isso, permitiu a evolução tecnológica em 
diversas áreas, como a engenharia, a informática e a astronomia.
Vale destacar que o desenvolvimento da ideia de número não é linear e nem igual em todas 
as partes do mundo. Do oriente ao ocidente, cada civilização contribuiu para que isso acontecesse, 
pois criaram diferentes métodos e técnicas de contagem que possibilitaram a evolução da mate-
mática com o passar tempo. 
Nesta aula, vamos estudar algumas das técnicas que mais contribuíram para a evolução dos 
sistemas numéricos.
 – 35 – 
TEMA 5
2 Para que servem os números?
Você já percebeu que utilizamos os números em diversas situações cotidianas? Pense: 
quando uma pessoa realiza uma prova para um concurso ou vestibular, ela confere a classificação 
para verificar sua colocação, não é mesmo? Talvez essa não seja uma situação comum nos dias 
atuais, mas quando precisávamos saber o número de telefone de alguém ou de um estabeleci-
mento comercial, procurávamos na lista telefônica. Ou, ainda, quando negociamos o valor de um 
produto ou comparamos o preço numa lista de supermercado. E, assim como essas, outras situa-
ções que envolvem os números fazem parte da nossa rotina. 
Se você observar com atenção, nos exemplos citados acima os números aparecem de 
alguma forma, mas a utilização foi igual nas três situações? 
No primeiro caso, os números são utilizados com o propósito de classificar ou ordenar a 
posição entres os concorrentes daquela prova. No segundo caso, os números em uma lista telefô-
nica representam uma forma de codificação, pois são exclusivos para cada pessoa. Já no último 
exemplo, os números foram utilizados com a ideia de associar uma determinada quantidade como 
valor, em dinheiro, de um produto.
FIQUE ATENTO!
Os números servem para quantificar, ordenar e codificar.
No próximo tópico, vamos entender como ocorreu a evolução do sistema numérico.
3 Desenvolvimento dos números
No início da existência da humanidade, não havia um sistema de contagem estruturado, tal 
como temos atualmente, pois o homem ainda não havia descoberto importantes avanços, como 
a escrita, que possibilitaram a criação do sistema numeral. Dessa forma, ele reconhecia somente 
pequenas quantidades, que eram representadas por pedras ou gravetos. No entanto, de acordo 
com Ifrah (1985), paralelamente a sua evolução, o homem teve a necessidade de trabalhar, cada 
vez mais, com quantidades maiores e, por isso, desenvolveu diferentes técnicas de representação 
de quantia: utilizou os dedos das mãos e, quando surgiu a necessidade de trabalhar com quantida-
des ainda maiores, utilizou partes do corpo. 
Com o passar do tempo, a complexidade da atividade humana foi ficando cada vez mais 
evidente, bem como a necessidade de representar as quantidades de forma mais adequada e 
eficiente. Assim, diferentes métodos de anotação surgiram nos diversos lugares do planeta, como 
símbolos em casca de madeira, por exemplo. Esses métodos de numeração tiveram uma signifi-
cativa importância para a criação do sistema numeral que utilizamos atualmente. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 36 – 
4 Alguns sistemas numéricos
A partir de agora, estudaremos os principais sistemas numéricos. Isso é necessário para 
termos uma ideia da evolução do conceito de número e dos sistemas numerais. A proposta, 
aqui, é fazer uma comparação com o sistema indo-arábico, que é utilizado até hoje, para mostrar 
suas vantagens.
4.1 O sistema egípcio
O povo egípcio, que surgiu aproximadamente 6.000 anos atrás, é considerado uma das 
maiores civilizações do mundo, pois possuía conhecimentos avançados sobre muitos ramos 
da atividade humana, destacando-se, por exemplo, na astronomia, na medicina e na engenharia. 
Os egípcios tinham, ainda, um avançado conhecimento na matemática, utilizando um sistema 
de numeração onde uma quantidade específica era representada por um símbolo, conhecidos 
como hieróglifos.
Figura 1 - Exemplo de hieróglifos
Fonte: Kamira/Shutterstock.com
Acompanhe, no quadro a seguir, os símbolos utilizados pelos egípcios e suas respectivas 
quantidades.
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Quadro 1 – Algarismos hieróglifos egípcios
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em IFRAH, 1985. Imagens: Sidhe/Shutterstok.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Sendo assim, para expressar um determinado número, era necessário agrupar os símbolos 
respectivo até atingir a quantidade desejada. Este sistema numeral é decimal, pois os agrupamen-
tos eram representados de dez em dez.
EXEMPLO
Para representar o número 463 em hieróglifos, devemos utilizar os seguintes símbolos:
 
400 60 3
Porém, não há a necessidade de ordem, pois a posição que cada símbolo ocupa não 
interfere na quantidade que este símbolo representa. Assim, o número 463 pode ser 
escrito da seguinte maneira:
 
 
60 3 400
No próximo tópico, veremos como os romanos desenvolveram um sistema numérico.
4.2 O sistema romano
O sistema numéricodesenvolvido pelos romanos, há 2.500 anos, tem como padrão a utiliza-
ção de letras maiúsculas do alfabeto latino para representar determinadas quantidades.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1 000
Quadro 2 – Representação numérica desenvolvida pelos romanos
Fonte: Elaborado pelo autor
Esse sistema também consiste na ideia de agrupamento dos símbolos até conseguir reunir a 
quantidade desejada, porém com uma diferença da representação egípcia: os símbolos que equi-
valem a 5, 50, 500. 
Vale destacar que esse sistema não permite que haja mais do que três repetições do mesmo 
algarismo, por isso existem as seguintes regras: 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 38 – 
 • quando um algarismo de valor menor ou igual está na esquerda de um determinado 
algarismo, devemos subtraí-lo. Veja como escrevemos os números 9, 14, 40:
9 - IX, porque 10-1=9
14 - XIV, porque 15-1=14
40 - XL, porque 50-10=40 
 • quando um algarismo de valor maior ou igual está na direita de um determinado alga-
rismo, devemos somá-lo. Veja como escrevemos os números 11, 60, 23:
11 - XI, porque 10 + 1 = 1 
60 - LX, porque 50 + 10 = 60 
23 - XXIII, porque 20 + 3 = 23
FIQUE ATENTO!
Além dos sistemas egípcio e romano, existe também o sistema de numeração Babi-
lônico, que é de base 60, e o Maia, que é de base 20. Como comparação, considere 
o sistema decimal: nele, a ideia é construir “pacotes” de dez em dez. Já no sistema 
de base 60 construímos “pacotes” de sessenta em sessenta, o mesmo ocorre com 
o sistema de base 20.
No próximo tópico estudaremos como foi criado e propagado o sistema numérico indo-ará-
bico, que é utilizado até hoje.
4.3 O sistema indo-arábico
O sistema indo-arábico é o que utilizamos atualmente e recebe este nome porque foi criado 
pelos hindus, mas os árabes foram responsáveis pela sua propagação.
SAIBA MAIS!
O termo “algarismo”, em português, deriva do nome do matemático, astrônomo, 
geógrafo e historiador Mohammed al-Khwarizmi. Leia mais: <http://www.dec.ufcg.
edu.br/biografias/MohameMK.html>.
A forma como se escreve cada algarismo sofreu muitas transformações ao longo dos anos, 
atingindo o formato que conhecemos hoje.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 39 – 
Um Dois Três Quatro Cinco Seis Sete Oito Nove Zero
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Quadro 3 – Sistema numeral indo-arábico
Fonte: Elaborado pelo autor
EXEMPLO
O algarismo 5, sozinho, representa cinco unidades. Já os algarismos 5 e 0, que 
formam o número 50, representam cinquenta unidades. Mesmo sendo formados 
por dois algarismos (um deles sendo o zero), caso os números estivessem em po-
sições invertidas (05), o seu valor passaria a ser de 5 cinco unidades.
Este é um sistema decimal de base dez, porém seu funcionamento não segue os mesmos 
princípios dos sistemas egípcios e romano, tendo a ideia de valor posicional como uma caracterís-
tica diferente. Ou seja, a posição de um algarismo em relação a outro é importante para determinar 
a quantidade exata que ele representa.
SAIBA MAIS!
Apesar do sistema posicional exigir um algarismo que não representa uma quantida-
de, o número zero foi o último algarismo a ser criado.
Outra característica do sistema numérico indo-arábico é que não há a necessidade de criar 
um símbolo diferente para representar uma quantidade cada vez maior. Os dez algarismos combi-
nados com o seu valor posicional são capazes de representar todos os números existentes.
FIQUE ATENTO!
O conceito de valor posicional consiste na ideia de que a posição do algarismo den-
tro do número modifica a quantidade que este algarismo representa.
Dessa forma, entendemos a relação do homem com o desenvolvimento do processo de 
contagem e compreendemos que utilizamos os números, basicamente, para quantificar, ordenar 
e codificar.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 40 – 
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer um breve histórico da numeração;
 • identificar a importância da numeração para o desenvolvimento das sociedades;
 • compreender o funcionamento por traz de cada sistema numérico estudado;
 • compreender o sistema decimal que utilizamos nos dias de hoje.
Referências 
BOYE, Carl B. R. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 1974.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 1997. 
IFRAH, Georges. Os números: A história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1985.
UNIVERSIDADE Federal de Campina Grande. Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. Biografias: 
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Disponível em: <http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/
MohameMK.html>. Acesso em: 02 ago. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 41 – 
Conjuntos numéricos: Naturais, 
Inteiros e Racionais
Vagner Luis Zanin 
Introdução
Já sabemos que os números fazem parte de nosso dia a dia, mas existe apenas um tipo de 
número? Ou vários? Se existem vários, eles apresentam o mesmo comportamento? Nós veremos 
essas e outras questões nesta aula.
É importante entendermos, inicialmente, que os conjuntos numéricos surgiram para descre-
ver as modifi cações e necessidades específi cas dos problemas matemáticos. 
Como a variedade de tipos de números aumentou desde o surgimento dos sistemas numéri-
cos, identifi cou-se a necessidade de reuni-los em grupos para facilitar o estudo dos seus compor-
tamentos e características. Dessa forma, esta aula vai apresentar os principais conjuntos e suas 
propriedades peculiares.
Neste ponto, vale destacar que os conjuntos numéricos são de extrema importância para a 
matemática, pois sua compreensão é determinante para o estudo de outras áreas da disciplina. 
Objetivos de aprendizagem
Ao fi nal desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais, identifi -
cando suas características principais.
1 Conjunto dos números naturais
Podemos considerar o conjunto dos números naturais o mais simples.
 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 1- Reta dos Naturais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Como podemos ver na fi gura 1, os elementos deste conjunto são os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
..., prosseguindo de uma forma infi nita. Aqui vale uma observação: veja que na reta dos naturais 
não há nenhum número entre 0 e 1, ou entre 4 e 5, por exemplo. Isso porque não existem números 
decimais nestes espaços, como 1,5, 5
7 ou 0,75. Perceba, também, que os números negativos não 
 – 42 – 
TEMA 6
estão presentes nesta reta. Para representar este conjunto, utilizamos o símbolo ℕ , assim pode-
mos escrever ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.
Podemos considerar os números naturais como os mais básicos, pois eles representam uma 
necessidade primordial, que é a contagem. Em tempos mais antigos, isso era feito a partir de 
pedras e gravetos, funcionando da seguinte forma: cada unidade de pedra significava, por exem-
plo, que o pastor tinha em sua posse a mesma quantidade de ovelhas.
SAIBA MAIS!
 Quando realizamos uma contagem, sempre começamos pelo número um. Por 
esse motivo, a ideia de que o número zero não é um número natural é difundida 
no meio acadêmico. Contudo, é conveniente, por questões algébricas, que ele seja 
considerado como um número natural.
Neste ponto, vale ressaltar as seguintes propriedades:
 • De todos os números naturais, o menor deles é o número zero, mas não há um número 
que seja o maior de todos. Dessa forma, podemos dizer que o conjunto é infinito 
positivamente;
 • No conjunto dos números naturais, são realizáveis as operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão, desde que o resultado também seja um número natural.
As operações de adição e multiplicação possuem a seguintes características: 
 • O número 0 (zero) é o elemento neutro da adição, pois qualquer número adicionado ao 
zero resulta nelemesmo. Exemplo: 4 + 0 = 4.
 • O número 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação, pois qualquer número multipli-
cado por um resulta nele mesmo. Exemplo: 3 . 1 = 3.
 • Associativa para a adição e multiplicação: nas operações matemáticas, não importa 
como realizamos a associação entre dois números, o resultado sempre será o mesmo. 
Exemplos: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 e (2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4) = 24.
 • Comutativa para a adição e multiplicação: não importa a ordem como realizamos as 
operações matemáticas entre dois números, o resultado será sempre o mesmo. Exem-
plo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10 e 4 . 5 = 5 . 4 = 20.
FIQUE ATENTO!
 Os elementos neutros da adição e da subtração são diferentes. Para adição é o 
número zero e para a multiplicação é o número um.
No próximo tópico, vamos estudar o conjunto dos números inteiros.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 43 – 
2 Conjunto dos números Inteiros
O conjunto dos números inteiros surgiu da necessidade de trabalhar com a forma negativa 
dos números naturais. 
 ... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 2- Reta dos Inteiros 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Na figura 2 podemos verificar que os elementos deste conjunto são os números naturais e 
seus opostos e que não há números decimais nos espaços entre eles. Este conjunto é represen-
tado pelo símbolo ℤ, assim podemos escrever ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
FIQUE ATENTO!
 A símbolo “ℤ” deriva da palavra em alemão zahl, que significa número.
Sobre este conjunto, vale ressaltar as seguintes propriedades:
 • as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são realizáveis, desde que o 
resultado também seja um número inteiro;
 • não possui um número que seja menor ou maior que todos os outros.
As operações de adição e multiplicação possuem as características do elemento neutro, 
associativa e comutativa, citadas para o conjunto dos naturais.
Os números inteiros atendem à necessidade de trabalhar, por exemplo, com dívidas ou saldo 
negativos nas relações comerciais.
EXEMPLO
O elemento neutro para a adição é 0 (zero) e para multiplicação é 1 (um) multiplica-
ção: –7 + 0 = –7, e também –15 . 1 = –15.
Associativa para a adição e multiplicação: (–5 + 3) –4 = –5 + (3 – 4) = –6, e também 
–8 . (5 . 1) = (–8 . 5) . 1 = –40. 
Comutativa para adição e multiplicação: 2 – 7 = –7 + 2 = –5, e também –3 . 6 = 
6 . (–3) = –18.
A seguir, conheceremos as características dos números racionais.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 44 – 
3 Conjunto dos números Racionais
O conjunto dos números racionais surgiu da necessidade de trabalhar com as partes meno-
res dos números inteiros, como, por exemplo –0, 6, 34 , 4, 7, 0,5 e –
8
9 . 
 ... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 3 - Reta dos Racionais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Observe, na figura 3, que não há espaços entre os números 1 e 2, por exemplo. O símbolo 
que representa este conjunto é “ℚ” e os números que pertencem a este conjunto obedecem a 
seguinte regra: ℚ = { x | x = ab , onde a e b ∊ ℤ, com b ≠ 0}. Em outras palavras, são todos os núme-
ros que podem ser escritos na forma de fração (naturais, inteiros, frações e as dízimas periódicas 
constantes).
É importante entender que a forma decimal de todo número racional ou é exata ou é não 
exata e periódica infinita, aparecendo aqui as dízimas periódicas que, de acordo com Dante (2008), 
são encaradas como um número que, quando escrito no sistema decimal, apresenta uma série 
infinita de algarismos decimais. Dessa forma, a partir de um certo número, se repetem em grupos 
de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período. Veja 
alguns exemplos:
0,7222222222....., 0,3333333...., 0,584444444....., 0,1526262626.....
EXEMPLO
A forma racional do número 7 é 71 =7. A forma racional do número –5 é –
5
1 = –5. 
A forma racional da dízima periódica constante 4,777 é 43
 9 
.
SAIBA MAIS!
É sempre importante lembrar que o número zero dividido por qualquer outro 
número que não seja zero é uma operação válida, como em 07 = 0. Já a divisão de 
zero por zero, ou seja, 00 , resulta em uma indeterminação, o que significa que possui 
infinitas respostas. Por outro lado, a divisão de um número qualquer (não zero) pelo 
número zero não é permitido: 30 não é válido. Entenda mais em: <http://www.mat.
ufrgs.br/~portosil/passa7d.html>.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 45 – 
Sobre este conjunto, vale ressaltar as seguintes propriedades:
 • as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são realizáveis, desde que o 
resultado também seja um número racional;
 • não possui um número que seja menor e nem maior do que todos os outros.
As operações de adição e multiplicação possuem as características do elemento neutro, 
associativa e comutativa citadas para o conjunto dos naturais.
Acompanhe alguns exemplos destas propriedades para os números racionais:
 • Elemento neutro para a adição e multiplicação: − −+ =7 7− −7 7− −0+ =0+ =7 707 73 3 , e também − + =− + =
15 15−15 15−1− + =1− + =15 15115 15
4 4 .
 • Associativa para a adição e multiplicação: ( ) − − − −+ − = + − = −)+ − = + − = −)     + − = + − = − + − = + − = − + − = + − = −   + − = + − = − 
 
 
 
 + − = + − = − + − = + − = −
 
+ − = + − = − + − = + − = −
5 5 17(5 5 17( )5 5 17)− −5 5 17− − 5 5 17 − − − −5 5 17− − − −  
 5 5 17 
 
 2 7 2 7(2 7 2 7(+ − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = −+ − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = −(+ − = + − = −(2 7 2 7(+ − = + − = −(  
 2 7 2 7  
 + − = + − = − + − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = − + − = + − = −
 + − = + − = −  
 + − = + − = − 2 7 2 7 + − = + − = −  
 + − = + − = − + − = + − = − + − = + − = −
 
+ − = + − = − + − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = − + − = + − = −
 
+ − = + − = − + − = + − = −
5 5 172 7 2 75 5 17(5 5 17(2 7 2 7(5 5 17( 5 5 17 2 7 2 7 5 5 17   
 5 5 17 
 
 2 7 2 7  
 5 5 17 
 
 
3 3 3
(
3 3 3
( )
3 3 3
)
 3 3 3    3 3 3   
 , e também 
   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
   
   
   
   
   9 9   8 2 8 2 28,8   8 2 8 2 28,8   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   8 2 8 2 28,8   
   
   
   8 2 8 2 28,8      
   
   8 2 8 2 28,8   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   
   
   8 2 8 2 28,8   
   
   
   9 9   8 2 8 2 28,8   9 9         
   9 9   
   
   8 2 8 2 28,8      
   9 9   
   
   
   5 5            5 5                  
8 2 8 2 28,8   
   
   5 5         
8 2 8 2 28,8   
   
    .
 • Comutativa para adição e multiplicação: − = − + =7 7 235 5− = − + =5 5− = − + =− = − + =5 5− = − + =− = − + =5 5− = − + =7 7 235 57 7 23
6 6 6
, e também  − ⋅ = ⋅ − = −− ⋅ = ⋅ − = −    − ⋅ = ⋅ − = − − ⋅ = ⋅ − = −− ⋅ = ⋅ − = − − ⋅ = ⋅ − = − 
 
 
 
13 13 26 13 13 26  
 
 13 13 26 
 
 4 4− ⋅ = ⋅ − = −4 4− ⋅ = ⋅ − = −
13 13 26
4 4
13 13 26
6 6 3 6 6 3    6 6 3   
.
Os números racionais são utilizados em situações como a representação de 3
4
 de uma torta 
ou com qualquer tipo de produto onde é necessário se trabalharcom partes de um volume. 
Após estudarmos estes tipos de conjuntos numéricos, podemos fazer sua associação da 
seguinte forma:
ℕ
ℤ
ℚ
Figura 4 - Os conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Podemos dizer que há uma hierarquia entre os conjuntos numéricos, mas isso não 
signifi ca que o conjunto ℕ é menor que o conjunto ℝ , por exemplo. Na verdade, 
eles possuem o mesmo tamanho. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 46 – 
Ao estudarmos os conjuntos numéricos, é importante ressaltar que algumas características 
básicas sobre conjuntos, que são intuitivas ou até mesmo triviais, nem sempre são aplicáveis, como, 
por exemplo, a ideia de conjuntos maiores ou com mais elementos que outros. Este conceito não 
se aplica aqui, já que, de acordo com o trabalho de Georg Cantor, os conjuntos naturais, inteiros e 
racionais possuem o mesmo tamanho. Nesse sentido, seria mais correto imaginar que o conjunto 
dos números naturais está inserido no conjunto dos números inteiros. (FERNANDES, 2016)
Vale destacar, ainda, que nesta aula demos ênfase para as características mais importantes 
de cada conjunto, mas existem outras que podem ser estudadas. 
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender que ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} e ℚ = { x | x = 
a
b , onde a e b ∊ ℤ, com b ≠ 0}.
 • entender que as operações de adição, subtração e multiplicação só existem se o resul-
tado estiver no respectivo conjuntos numérico.
 • identificar que todos os conjuntos possuem o elemento neutro da adição (zero) e da 
multiplicação (um).
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 47 – 
Referências
BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blü-
cher, 1996.
IFRAH, Georges. Os números: A história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1985.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 4 ed. São Paulo: Ática, 2008. 
UFGRS Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Calculando com o zero: dividindo por zero. 
Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7d.html>. Acesso em: 04 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.
FERNANDES, Carlos. George Ferdinand Ludwig Phillip Cantor. Disponível em: <http://www.dec.
ufcg.edu.br/biografias/GeoreFer.html>. Acesso em: 11 ago. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 48 – 
Conjuntos numéricos: 
Números Irracionais e Reais
Vagner Luis Zanin 
Introdução
Nesta aula, estudaremos o conjunto dos números irracionais, que inclui o π e o ϕ, alguns dos 
mais importantes para a matemática, e o conjunto dos números reais, que é a união dos conjuntos 
numéricos naturais, inteiros, racionais e irracionais.
O conjunto dos irracionais é formado por números que não têm nenhuma semelhança 
com os conjuntos dos naturais, inteiros e racionais, pois não se originam de uma quantidade 
ou de uma medição. 
O conjunto dos números reais, por sua vez, é composto pela união dos conjuntos numéricos 
(naturais, inteiros, racionais e irracionais), possuindo, assim, diferentes tipos de números, cada 
qual com sua particularidade.
Vale ressaltar que o conjunto dos irracionais possui uma característica distinta dos demais: 
uma operação matemática realizada com números deste conjunto pode apresentar uma resposta 
que não pertence aos irracionais.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de conjuntos numéricos irracionais e reais, identificando suas 
características principais.
1 O conjunto dos números irracionais
Neste conjunto, os números não podem ser representados através da divisão entre dois intei-
ros, ou seja, são números que possuem dízimas infinitas e não constantes, como podemos confe-
rir nos exemplos a seguir:
 • √ 2 = 1,414213562…
 • –√ 3= –1,732050807…
 • π= 3,141592653…
 • e= 2,718281828…
Neste ponto, vale destacar que as operações matemáticas podem ser realizadas neste con-
junto, mas não há a garantia de que o resultado também seja um número irracional.
 – 49 – 
TEMA 7
EXEMPLO
Considere a seguinte multiplicação entre números irracionais: √ 2 ∙ √ 3 = √ 6 , sendo 
que o valor para a raiz quadrada de seis é √ 6 = 2,4494897…. Ou seja, neste caso, o 
resultado √ 6 também é irracional. Agora acompanhe outro exemplo de multiplica-
ção entre dois números irracionais: – √ 2 ∙ √ 2 = – 2. O resultado é um número inteiro.
Para compreendermos melhor a ideia dos números irracionais, vamos pensar da seguinte 
maneira: inicialmente, temos os números naturais que, originalmente, eram utilizados para marcar 
quantidades. A partir da necessidade de trabalhar com números negativos, surgiram os inteiros. 
Em um segundo momento, houve a necessidade de trabalhar com partes menores em relação aos 
números inteiros, surgindo, assim, os racionais. Após algum tempo, o homem observou que existiam 
determinadas medidas que ainda não podiam ser mensuradas utilizando apenas como referência os 
números racionais e é a este conjunto de números incomensuráveis que damos o nome de irracionais. 
A descoberta dos números irracionais é atribuída ao filósofo e matemático grego Pitágoras, 
que nasceu na ilha de Sámos (580 - 497 a. C.). Ao estudar os triângulos retângulos, ele descobriu a 
relação que existe entre as medidas dos lados deste tipo de triângulo, que ficou conhecida como Teo-
rema de Pitágoras (a soma do quadrado das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da 
hipotenusa). Com isso, ao aplicar o teorema em um quadrado de lado 1, a medida da hipotenusa será 
√ 2. Ou seja, trata-se de uma distância que não pode ser medida utilizando os números racionais.
FIQUE ATENTO!
Incomensurável é tudo aquilo que não pode ser medido.
É comum utilizarmos números irracionais para realizarmos atividades como o cálculo de 
circunferências com o número π. Mas, como este número é uma dizima infinita e não-periódica, 
como podemos usá-lo? Para isso, devemos considerar valores aproximados. É importante res-
saltar, no entanto, que afirmações do tipo “o valor de π = 3,14” são equivocadas, pois o correto é 
afirmar que 3,14 é uma aproximação para o número π, ou seja, π ≃ 3,14.
FIQUE ATENTO!
Alguns autores utilizam o símbolo “I” para representar o conjunto dos números irra-
cionais. Porém, não existe oficialmente um símbolo que represente este conjunto.
Na prática, devemos sempre utilizar aproximações quando trabalhamos com os números 
irracionais. Apesar disso fazer com que, na prática, o resultado esteja sempre teoricamente errado, 
quanto maior forem os algarismos utilizados na aproximação, mais o valor obtido estará próximo 
do valor real, suprindo a necessidade de cada caso. Se, por exemplo, for necessário um resultado 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 50 – 
mais preciso, é conveniente utilizar sempre o maior número de casas decimais possíveis. Se, por 
outro lado, não houver a necessidade de tanta precisão, a utilização de poucas casas decimais terá o 
mesmo efeito do que se utilizarmos muitas casas decimais para a aproximação do número irracional.
EXEMPLO
Considere o cálculo do comprimento de uma circunferência com diferentes aproxi-
mações para o valor de π, admitindo o valor de raio igual a 5 cm:
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3 ∙ 5 → C = 30 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 → C = 31,4 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,1415∙5 → C = 31,415 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,14159265 ∙ 5 → C = 31,4159265 cm
Quanto mais utilizamos decimais para o valor de π, mais próximo do real fi ca a resposta para 
o comprimento desta circunferência.
Figura 1 – Número π
Fonte: graystudio/Shutterstock.com 
SAIBA MAIS!
O número π surgiu na geometria, mais especifi camente no estudo da circunferência. 
Acompanhe: Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi um inventor, engenheiro,matemático, astrônomo e fi lósofo que, em um de seus trabalhos chamado “Sobre a 
Esfera e o Cilindro”, determinou, entre outras deduções, um valor aproximado para o 
número π, calculando que π = 22 / 7. (FERNANDES, 2016). Mas o mais importante 
é a relação que Arquimedes demonstrou em seu trabalho, onde afi rma que, em 
qualquer circunferência, a divisão do comprimento pelo respectivo diâmetro sempre 
resultará no valor de π, ou seja, 
C
d = π. Mas espere! O número π é irracional e, por 
isso, não deveria ser resultado de uma fração! O que acontece então? Na verdade, 
obrigatoriamente o valor do comprimento ou do diâmetro é um número irracional, e 
sua divisão resulta também em um número irracional, que, no caso, é o número π.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 51 – 
C = circunferência
d = diâmetro
C
d
= π
Figura 2- Número π na circunferência
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Agora que já entendemos como surgiu o conjunto dos números irracionais, no próximo tópico 
estudaremos as características dos números reais.
2 Conjunto dos números Reais
Este conjunto ( ) é formado pela reunião dos números naturais ( ), inteiros ( ), racionais 
( ) e irracionais. 
ℝ
Irracionais
ℕ
ℤ
ℚ
Figura 3 – Conjunto dos números reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais não estão contidos no con-
junto dos irracionais.
A união dos conjuntos numéricos para a formação do conjunto dos números reais permite 
um comportamento interessante quando colocamos todos dispostos em uma reta numerada. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 52 – 
... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 4 – Reta dos números Reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Ao analisar a Figura 4, podemos verificar que esta reta é diferente dos demais conjuntos: com a 
inclusão dos irracionais, não há mais espaços vazios entre os números e, neste caso a região desta-
cada em cinza está toda preenchida, o que não ocorria com os outros conjuntos, indicando a presença 
de todos os números. Por questões de conveniência, indicamos apenas os números inteiros, configu-
rando uma reta contínua ou uma reta lisa sem interrupções. Veja nas imagens a seguir as alterações 
no formato do gráfico quando aplicamos os diferentes conjuntos numéricos na expressão y = x + 1.
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 5 – Gráfico com os números naturais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 6 – Gráfico com os números inteiros
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 53 – 
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 7 – Gráfico com os números racionais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 8 – Gráfico com os números reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Podemos afirmar que o conjunto dos números reais é o mais importante para a matemática, 
já que o desenvolvimento alcançado pela disciplina ocorreu por causa dos números que compõem 
este conjunto. 
SAIBA MAIS!
Existem outros conjuntos numéricos que são mais raros de serem estudados, 
como o conjunto dos Quaterniões. Veja mais em: < http://repositorio.ulusiada.pt/
bitstream/11067/338/1/mm_adilia_marinho_dissertacao.pdf>
Antes de concluirmos, vale destacar que existem outros conjuntos numéricos que não estu-
damos nesta aula, como, por exemplo, o conjunto dos números complexos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 54 – 
Fechamento
Ao concluirmos esta aula, podemos perceber que a compreensão das características dos 
números irracionais parte do ponto de uma ideia intuitiva e entender que a união dos números 
naturais, inteiros, racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender que os números irracionais são todos os números que não podem ser 
escritos na forma de razão entre números inteiros. Ou, em outras palavras, são os 
números decimais não-periódicos e infinitos;
 • entender que no conjunto dos irracionais nem sempre a solução de uma operação 
matemática entre dois números irracionais será outro número irracional;
 • identificar que o conjunto dos números reais é formado pela reunião dos conjuntos: 
natural, inteiro, racional e o irracional;
 • compreender que, diferente dos outros conjuntos numéricos, o conjunto dos números reais 
não possui espaços vazios entre os números quando colocados em uma reta numerada.
Referências 
BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blü-
cher, 1996.
IFRAH, Georges. Os números: A história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1985.
FERNANDES, Carlos. Arquimedes de Siracusa. Disponível em: <http://www.dec.ufcg.edu.br/
biografias/Arquimed.html>. Acesso em: 10 ago. 2016.4
MARINHO, Adília Maria Lúcia Teixeira Gomes. Os quaterniões e suas aplicações. Dissertação – 
Universidade Lusíada, Lisboa, outubro de 2012. Disponível em: < http://repositorio.ulusiada.pt/
bitstream/11067/338/1/mm_adilia_marinho_dissertacao.pdf>. Acesso em: 09 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 55 – 
Operações com dois conjuntos
Vagner Luis Zanin 
Introdução
As operações envolvendo conjuntos aparecem de modo natural, a partir do momento em que 
definimos as relações entre elemento e conjunto, ou mesmo entre dois conjuntos. Elas aparecem 
frequentemente em aplicações diversas no âmbito da Matemática e em outras áreas como ferra-
menta para a descrição de modelos. 
Os conceitos estudados por nós são quase que basicamente aplicados a conjuntos numéri-
cos, mas é possível estender essas propriedades para conjuntos que sejam formados por outros 
elementos, como animais e plantas.
Vale destacar que quando falamos em relação entre conjuntos, estudamos seu comportamento 
e seus elementos, quando relacionados com outros conjuntos. Apesar de, às vezes, termos a impres-
são de que estamos trabalhando com ideias primárias ou básicas, o significado que deve ser aplicado 
à palavra “básico”, neste caso, é o de mais importante, essencial, primordial e não o de mais simples.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • Compreender as diferentes operações com conjuntos: união, intersecção e diferença 
entre dois conjuntos.
1 Como representar um conjunto?
Para representar um conjunto, utilizamos letras maiúsculas do alfabeto. Já seus elementos 
são identificados pelas letras minúsculas. Nesse sentido, destacamos três formas de representa-
ção de um conjunto: 
 • listagem dos elementos - todos os elementos são apresentados em forma de lista, 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Ex: A = {0, 2, 4, 6, 8}.
 • por propriedades - quando não for conveniente escrever todos os elementos que for-
mam o conjunto, pela grande quantidade, ele deve ser representado por uma proprie-
dade comum a todos os seus elementos. Ex: C = {x ∠ x é uma vogal do nosso alfabeto}.
 • diagrama de Venn – criado pelo matemático inglês John Venn, é uma representação 
gráfica do conjunto através de uma figura plana fechada, com o objetivo de facilitar as 
relações de união e intersecção entre conjuntos.
 – 56 – 
TEMA 8
F
C
G
H
E
D
I
Figura 1 – Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
SAIBA MAIS!
O matemático inglês John Venn (1834 – 1923) foi um profundo conhecedor de lógica 
e da teoria das probabilidades. Ele contribuiu com o desenvolvimento da álgebra 
booleana através da representação das uniões e interseções de conjuntos via 
diagramas. Leia mais em: <http://w3.ufsm.br/ppgf/wp-content/uploads/2011/10/dissertacao-mendonca.pdf>.
Nos próximos tópicos estudaremos a relação de pertinência, inclusão e igualdade entre conjuntos.
2 Pertinência na teoria de conjuntos
É a relação entre elemento e conjunto, que indica se um determinado elemento pertence ou 
não a um dado conjunto. 
EXEMPLO
Considerando A = {1, 2, 5, 7, 9} 
7 ∈ A, ou seja, o elemento 7 pertence ao conjunto A. 
3 ∉ A, ou seja, o elemento 3 não pertence ao conjunto A.
É importante observar que a relação de pertinência apenas nos dá a relação específica entre 
elemento e conjunto, mostrando se um elemento pertence ou não pertence ao conjunto dado.
3 Inclusão na teoria de conjuntos
Neste tópico, teremos a noção de subconjunto de um conjunto. Para tal, considere os conjun-
tos A e B, onde A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A for elemento de B. Esta 
é a relação de inclusão, sendo denotada por A ⊂ B (lemos A está contido em B). Contrariamente, 
se existir pelo menos um elemento de A que não é elemento de B, teremos A ⊄ B e, neste caso, A 
não é um subconjunto de B, isto é, A não está contido em B.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 57 – 
Pertinência Inclusão
No caso em que A ∈ B, o diagrama de 
Venn fica:
 
B
C
G
H E
D
IA
No caso em que A ⊂ B, o diagrama de 
Venn fica:
B
C
G
H E
D
I
A
Quadro 1 – Pertinência e inclusão
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
4 Igualdade entre conjuntos
Essa relação ocorre quando dois ou mais conjuntos são iguais, ou seja, quando apresentam 
os mesmos elementos, independentemente da ordem. Se temos os conjuntos A= {1; 2; 3}, B = {3; 
2;1} e C= {1; 1; 2; 2; 3; 3; 3}, verificamos que A = B, logo: A = B ↔ A ⊂ B e B ⊂ A, e também verificamos 
que B = C, logo: B ⟷ C ⊂ B ⊂ C e C ⊂ B.
5 Operações com dois conjuntos
As operações entre conjuntos são de extrema importância, pois suas ideias são utilizadas 
em áreas como a lógica e a matemática básica. O seu estudo consiste em analisar o comporta-
mento dos conjuntos, dos elementos e das interações entre eles. A seguir, conheceremos melhor 
operações como: união, interseção, subtração e complementar. Vale destacar que o seu estudo 
não termina por aqui, mas a partir desse conteúdo é possível ter uma base consistente para que 
se possa aprofundar cada vez mais o conhecimento sobre os conjuntos.
5.1 União entre conjuntos
A união ocorre quando juntamos os elementos de vários conjuntos, formando um novo con-
junto. Ou seja, pegamos os elementos dos conjuntos envolvidos na operação e reunimos em um 
único conjunto, não importando a ordem e nem a quantidade dos elementos. A ideia se aplica 
quando trabalhamos com conjuntos que possuem ou não elementos em comum.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 58 – 
A B
Figura 2 – Representação da união entre conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
EXEMPLO
Dados os conjuntos A = {0, 1} e B = {1, 2, 4, 5, 6}, o conjunto união será C = {0,1,2,4,5,6} 
e é indicado por C = A∪B.
A B
0
1
2
4
5
6
2
4
5
6
2
4
5
6
0
1
C
Figura 3 – C = A ∪ B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Assim, a união consiste em agrupar todos os elementos existentes em dois ou mais conjun-
tos. Vale ressaltar que os elementos iguais serão considerados apenas uma vez. 
5.2 Interseção de conjuntos 
A interseção entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que estão simultanea-
mente nos dois conjuntos. Considere A e B e imagine que estes conjuntos possuem elementos 
em comum (ou elementos que são descritos em ambos conjuntos): à reunião destes elementos 
damos o nome de interseção.
A B
Figura 4 – A ∩ B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 59 – 
EXEMPLO
Se A = {0, 1} e B = {1, 2, 4, 5, 6}, o conjunto interseção de A e B será C = A ∩ B. Logo, 
C = {1}.
A B
0
1
2
4
5
6
2
4
5
6
Figura 5 – A ∩ B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Se na interseção de dois conjuntos quaisquer A e B forem o conjunto vazio, pode-
mos dizer que os conjuntos A e B são disjuntos.
Assim, a interseção consiste em agrupar em um único conjunto todos os elementos comuns 
ou que ocorrem ao mesmo tempo entre os conjuntos. Aqui também vale a informação de que, 
caso existam elementos iguais, estes serão considerados apenas uma vez. 
5.3 Subtração de conjuntos 
A operação A – B representa a retirada dos elementos do conjunto A que também aparecem 
em B. Dessa forma, temos: A – B = {x ∈ A tal que x ∉ B}. Podemos imaginar a seguinte situação, 
em dois momentos distintos: o primeiro é quando somente parte dos elementos de A está na inter-
seção com conjunto, por exemplo. Neste caso, aplica-se a definição sem problemas. O segundo 
caso ocorre quando temos todo o conjunto A contido no B. Para esta situação, veremos a ideia de 
complementar, ainda nesta aula.
A B
Figura 6 – Diferença de conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 60 – 
Acompanhe: considerando os conjuntos A= {0, 1, 2} e B = {1, 2, 4, 5, 6}, devemos retirar do 
conjunto B todos os elementos que também aparecem no conjunto A.
A B
0
4
5
6
4
5
6
C
1
2
Figura 7 – B – A
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Como podemos observar na Figura 8, temos C = B – A = {4, 5, 6}.
5.4 Complemento de um conjunto
A partir da diferença entre A e B, podemos defi nir o complemento de um conjunto. Se tiver-
mos, por exemplo, B ⊂ A, chamamos complementar de B em relação a A o conjunto diferença, 
representado por A – B. Dessa forma, temos por CA B = A – B.
FIQUE ATENTO!
O conceito de complementar de um conjunto está inteiramente associado com o 
conceito de subtração, já que o complementar consiste na subtração do conjunto 
menor em relação ao maior. É importante destacar que esta operação só é válida 
quando estamos trabalhando com conjuntos contidos em outro conjunto.
Nesse caso, se A = {g, e, h, j, d, f, i, a, k} e B = {a, f, k, i}:
g
h
i
j
k
f
a
d
e
A
B
Figura 8 – Conjunto A e B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 61 – 
Considerando o conjunto A e retirando os elementos que também ocorrem no conjunto B, 
teremos, como solução, CA B = A – B = {f, a, k, i}.
FIQUE ATENTO!
Quando trabalhamos as operações entre conjuntos, manipulamos basicamente os 
elementos de que compõem cada conjunto. Ou seja, sempre que trabalhamos com 
conjuntos, o nosso interesse principal é interação dos elementos com os conjuntos 
envolvidos em uma determinada operação.
É importante ressaltar que o foco na operação complementar são os elementos pertencen-
tes ao conjunto maior e não ao que está contido nele. Esse conceito aplica-se somente quando 
trabalhamos com a subtração de um conjunto que está contido em outro conjunto, onde retiramos 
do maior os elementos do menor.
Fechamento
Nesta aula, você compreendeu conceitos e propriedades importantes sobre operações com 
dois conjuntos. Você teve a oportunidade de ver:
 • As formas possíveis de representação de um conjunto;
 • Os conceitos básicos sobre as operações entre conjuntos, como por exemplo, pertinên-
cia, inclusão, união, interseção, subtração e complementar.
Referências 
BEZERRA, M. J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001. 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
V.1. São Paulo: Atual, 1998.
MENDONÇA, Bruno Ramos. Conhecimento simbólico em John Venn. 2013. 88 folhas. Disserta-
ção de Mestrado. Pós-Graduação em Filosofia, Universidade Federal de Santa Maria, Rio Grande 
do Sul, 2013.
UAEC/UFCG Universidade Federal de Campina Grande. John Venn. Disponível em: <http://www.
dec.ufcg.edu.br/biografias/JohnVenn.html>. Acesso em: 15 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo doLivro, 1996.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 62 – 
Operações com três conjuntos
Vagner Luis Zanin
Introdução
O estudo sobre conjuntos consiste em conhecer suas características básicas e as proprieda-
des pertinentes ao assunto. Nesta aula, veremos como representar um conjunto e relações como 
pertinência, contido e igualdade entre conjuntos. Além disso, veremos como realizar a união, a 
interseção, a subtração e o complementar entre três ou mais conjuntos.
Objetivos
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • Compreender as diferentes operações com conjuntos: união, interseção e diferença 
entre três conjuntos.
1 Três conjuntos
As operações realizadas com três ou mais conjuntos são muito comuns no mundo da mate-
mática e vale destacar que as propriedades e características aplicadas para dois conjuntos tam-
bém são consideradas nestes casos. Portanto, as ideias e conceitos estudados aqui são seme-
lhantes aos trabalhados na associação entre dois conjuntos. 
É importante ressaltar, antes de iniciarmos nossos estudos, que, geralmente, utilizamos como 
exemplos de elementos, em operações entre conjuntos, letras do alfabeto ou algarismos indo-ará-
bicos. Isso ocorre pela facilidade de criação, visualização, explicação e compreensão do conceito 
trabalhado, mas tenha em mente que é possível considerar como elemento qualquer coisa que 
possa ser reunida em um conjunto, como, por exemplo, animais, plantas e objetos. A partir dessa 
análise, podemos dizer que o estudo das operações entre três conjuntos é muito utilizado na lógica 
do diagrama de Venn, que você verá ainda nesta aula.
Para continuarmos com nosso estudo, vale destacar, ainda, que quando estamos falando 
em relação entre conjuntos, tratamos do comportamento destes e de seus elementos, quando 
relacionados com outros conjuntos.
 – 63 – 
TEMA 9
2 Representando um conjunto
Ao trabalharmos com operações de três conjuntos, devemos ter em mente muitas das pro-
priedades utilizadas nas operações entre dois conjuntos. Dessa forma, é importante revermos as 
formas mais comuns de representação: 
 • Listagem dos elementos: é a representação de todos os elementos em forma de lista, 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Ex: conjunto dos números natu-
rais ímpares, representado por A = {1, 3, 5, 7, 9};
 • Por propriedades: quando não for conveniente escrever todos os elementos que for-
mam o conjunto, pela grande quantidade, descreveremos por uma propriedade comum 
a todos os seus elementos. Ex: C = {x ∠ x é uma consoante do nosso alfabeto};
 • Diagrama de Venn: recebe este nome porque foi criado pelo matemático inglês John 
Venn (1834 – 1923). É uma representação gráfi ca do conjunto, através de uma fi gura 
plana fechada.
g
h
f
a
d
A
B
b
c
l
Figura 1– Exemplo de diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
SAIBA MAIS!
John Venn também dedicou-se ao estudo das probabilidades. Leia mais em: 
<http://www.dec.ufcg.edu.br/biografi as/JohnVenn.html>.
Dessa forma, é válido dizer que a representação aplicada às operações entre três conjuntos 
deve seguir, basicamente, o mesmo padrão aplicado às operações entre dois conjuntos, ou seja, 
todas as questões relacionadas à representação de conjuntos e elementos devem ser seguidas. 
A seguir, veremos as propriedades de pertinência, inclusão e igualdade relacionadas às ope-
rações de três conjuntos. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 64 – 
3 Relação de pertinência, inclusão e 
igualdade entre conjuntos
A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um dado con-
junto. Considere o conjunto A = {a, e, i, o, u}. Analisando os seus elementos podemos afi rmar que:
 • e ∈ A, ou seja, o elemento e pertence ao conjunto A. 
 • s ∉ A, ou seja, o elemento s não pertence ao conjunto A.
Se considerarmos que a relação de pertinência se aplica somente entre elemento e conjunto, 
é preciso compreender a noção de subconjunto para a relação de pertinência entre conjuntos.
Para tal, considerando os conjuntos A e B, falamos que B é subconjunto de A se, e somente 
se, todo elemento de B for elemento de A. Esta é uma relação de inclusão, sendo representada por 
B ⊂ A (lemos B está contido em A). 
Caso exista pelo menos um elemento de B que não é elemento de A, escrevemos B ⊄ A e, 
neste caso, B não é um subconjunto de A (B não está contido em A). Observe os conjuntos: A = {1, 
2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. É correto dizer que A ⊂ B, mas ao mesmo tempo A ∉ B. Para que
A ∈ B deveríamos ter:
B � �
A
B �=B �{ } �{ } � �{ } �

B �B �



B �B �
B �B �
















0 1B �0 1B �{ }0 1{ }{ }2{ }{ }3 4 5{ } �{ } �3 4 5 �{ } � �{ } �3 4 5 �{ } � 6, ,{ }, ,{ } �{ } �, , �{ } �0 1, ,0 1B �0 1B �, ,B �0 1B � �0 1 �, , �0 1 �{ }0 1{ }, ,{ }0 1{ } �{ } �0 1 �{ } �, , �{ } �0 1 �{ } �{ }, ,{ } �{ } �, , �{ } � �{ } �, , �{ } �{ }3 4 5{ }, ,{ }3 4 5{ } �{ } �3 4 5 �{ } �, , �{ } �3 4 5 �{ } � , , �, , �{ }, ,{ } �{ } �, , �{ } �{ }3 4 5{ }, ,{ }3 4 5{ } �{ } �3 4 5 �{ } �, , �{ } �3 4 5 �{ } � �{ } �3 4 5 �{ } �, , �{ } �3 4 5 �{ } �
             
 
Já a relação de igualdade ocorre quando dois ou mais conjuntos são iguais, ou seja, quando 
apresentam os mesmos elementos, independentemente da ordem. Considerando os conjuntos A 
e B, para determinar se os dois conjuntos possuem os mesmos elementos e, consequentemente, 
se A = B, basta verifi car se A ⊂ B e B ⊂ A simultaneamente. Observe: dados os conjuntos A = {1; 2; 
3}, B = {3; 2;1} e C = {1; 1; 2; 2; 3; 3; 3}, verifi camos que A = B, logo: A = B ↔ A ⊂ B e B ⊂ A, e também 
verifi camos que B = C, logo: B ⟷ C ⊂ B ⊂ C e C ⊂ B.
4 Operações com três conjuntos
A união ocorre quando juntamos todos os elementos de vários conjuntos, formando um novo 
conjunto. Vale ressaltar que não importa a quantidade de vezes que um elemento apareça, ele 
sempre será considerado uma única vez. 
Observe os conjuntos A = {a, b, i}, B = {a, b, c, d, e} e C = {0, 1, 2}. Para determinar A ∪ B, 
basta reunir todos os elementos dos conjuntos envolvidos. Assim, A ∪ B = {a, b, c, d, e, i} e 
B ∪ C = {a, b, c, d, e, 0, 1, 2}. E, por fi m, podemos determinar (A ∪ B) ∪ (B ∪ C) = {a, b, c, d, e, i, 0, 1, 2}.
Já a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que estão, simultaneamente, 
em A e B. Em outras palavras, se existirem elementos que estão em dois ou mais conjuntos, então 
estes elementos pertencem à interseção destes conjuntos.
Para entendermos melhor, observe os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f}, B = {c, d, e, g, i, j, l } e 
C = {f, h, k, g, e, d}. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 65 – 
 
g
h
f
a
d
A B
b
c
l
e
j
i
k
C
Figura 2 – Diagrama de Venn para interseção de conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
A partir da Figura 2, podemos observar as seguintes interseções: A ∩ B = { c, d, e }, B ∩ C = 
{ d, e, g }, A ∩ C = { d, e, f } e também A ∩ B ∩ C = { d, e }
FIQUE ATENTO!
Se na intersecção de três conjuntos quaisquer A, B e C forem o conjunto vazio, po-
demos dizer que os conjuntos A, B e C são disjuntos, ou seja, não há sobreposição 
entre as circunferências dos conjuntos A, B e C no diagrama de Venn.
Para a subtração entre três conjuntos, considere a seguinte informação: subtrair um conjunto 
do outro signifi ca retirar de um todos os elementos que também aparecem no outro. De maneira 
mais formal: considerando A, B e C, a operação A – B – C representa a retirada dos elementos de 
A que também aparecem em B e C: A – B – C = {x ∈ A tal que x ∉ B e x ∉ C}.
Acompanhe o seguinte exemplo: A= {cão, gato, pássaro}, B= {camelo, cão, girafa, pássaro, 
hipopótamo, gato} e C = {girafa}. Para calcular B – A – C, devemos realizar o seguinte raciocí-
nio: retirar do conjunto B todos os elementosque também aparecem no conjunto A e C. Logo, 
B – A – C = {camelo, hipopótamo}.
A partir da diferença entre conjuntos, podemos defi nir o complemento. Em outras palavras, 
dados os conjuntos A e B (sendo B ⊂ A), chamamos complementar de B em relação ao A o con-
junto diferença A – B. Representamos este conjunto por CA B = A – B.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 66 – 
A
B
A – B
Figura 3 – Complementar de B em relação ao A
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
A ideia de complementar, quando estudamos operações entre três conjuntos, é se-
melhante quando trabalhamos com dois conjuntos. Podemos ter três conjuntos, 
sendo um contido em outro, ou seja, imagine três conjuntos: A, B e C, sendo que 
A ⊂ B e B ⊂ C, assim, basta aplicar o conceito de complementar de dois em dois.
Acompanhe: sejam A = {g, e, h, j, d, f, i, a, k} e B = {a, f, k, i}, para calcular CA B, vamos considerar 
inicialmente o diagrama de Venn para os conjuntos A e B dados.
g
h
i
j
k
f
a
d
e
A
B
Figura 4 – Conjunto A e B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 67 – 
Considerando o conjunto A e retirando deste conjunto os elementos que também ocorrem no 
conjunto B, teremos, como solução, CAB = A – B = {d, e, j, g, h}.
SAIBA MAIS!
Se A ⊂ B e CBA = B – A e a solução de CBA = 0, significa que os conjuntos A = B 
(os conjuntos são iguais). Veja mais em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/
medio/conjuntos/conjunto.htm.
FIQUE ATENTO!
Quando trabalhamos com três conjuntos, basicamente realizamos a manipulação 
dos seus elementos. Por isso, o uso dos diagramas se torna conveniente nestas 
situações, pois facilita a visualização e evita a ocorrência de erros.
O estudo das operações entre três conjuntos se faz necessário para que possamos descrever, 
estudar e analisar esses conjuntos e seus elementos. Vale destacar que os mesmos raciocínios 
aplicados no estudo das relações entre dois e três conjuntos devem ser aplicados para operações 
com mais conjuntos. Nessas situações, o diagrama de Venn se torna uma ferramenta necessária 
para a organização, pois a complexidade das relações é proporcional à quantidade de conjuntos.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer as formas possíveis de representação de um conjunto;
 • entender os conceitos e as diferenças de pertinência, inclusão, união, interseção, sub-
tração e complementar entre três conjuntos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 68 – 
Referências 
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
V.1. São Paulo: Atual, 1998.
PEREIRA, Rossana M. Martins; SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial. Disponível em: http://www.
uel.br/projetos/matessencial/medio/conjuntos/conjunto.htm. Acesso em: 23 ago. 2016.
UNIVERSIDADE Federal de Campina Grande. UAEC/UFCG. John Venn. Disponível em: http://www.
dec.ufcg.edu.br/biografias/JohnVenn.html. Acesso em: 23 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 69 – 
Diagramas de VENN e 
problemas com categorias
Vagner Luis Zanin
Introdução 
Nesta aula estudaremos um recurso muito interessante para a resolução de problemas 
envolvendo conjuntos numéricos e que foi desenvolvido pelo matemático inglês John Venn (1834-
1923). Publicado em sua obra “Symbolic Logic” (1881), o diagrama de Venn trouxe uma grande 
contribuição para a lógica e a estatística.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender o conceito do diagrama de Venn;
 • conhecer formas de resolução de problemas a partir do diagrama de Venn.
1 O diagrama de Venn
Para iniciarmos os estudos sobre este tema, vamos conhecer um pouco da vida do matemá-
tico inglês John Venn. Segundo Rosen (2010, p. 115):
Venn (1834-1923) nasceu em uma família do subúrbio de Londres, conhecida por sua fi-
lantropia. Ele frequentou escolas londrinas e conquistou seu diploma em matemática na 
Caius College, Cambridge, em 1857. Foi eleito membro de sua faculdade e manteve o cargo 
até a sua morte. Frequentou o seminário em 1859 e, depois de uma breve carreira religiosa, 
retornou a Cambridge, onde desenvolveu trabalhos na área da ciência moral. Além de seu 
trabalho em matemática, Venn tinha interesse em história e escreveu intensamente sobre 
sua faculdade e sua família.
Venn participou profundamente de ramos variados da ciência, sem deixar de se desenvolver 
na matemática, área onde ocorreu sua maior contribuição. Mas qual delas foi a mais importante 
e é utilizada até hoje? 
O diagrama de Venn, criado em 1881, é uma forma gráfica de representar uma coleção de 
objetos e informações e é muito aplicado para a resolução de problemas envolvendo conjuntos, 
que são utilizados amplamente na área da estatística e da probabilidade. Nesse ponto, vale desta-
car que o filósofo britânico George Boole (1815 – 1864), criador da álgebra booliana, foi o primeiro 
matemático a desenvolver a teoria dos conjuntos, estudo que serviu de base para Venn aplicar, na 
forma de balões, em seu diagrama.
 – 70 – 
TEMA 10
George Boole nasceu em 2 de novembro de 1815 em Lincoln, Inglaterra, onde começou a frequentar a 
escola. Foi de seu pai que Boole recebeu as primeiras instruções sobre matemática e o gosto pelos instru-
mentos óticos. Quando começou a se interessar por idiomas, passou a ter aulas com um livreiro local de 
latim e grego e acreditava que esse conhecimento o ajudaria a melhorar sua condição social. Boole não 
teve formação acadêmica, mas aos 16 anos já era um professor assistente. Em 1835, abriu uma escola 
e mudou o seu interesse, passando a estudar matemática. Seu primeiro trabalho nessa área teve como 
base os estudos de Laplace e Lagrange sendo encorajado por Duncan Gregory, que estava em Cambri-
dge. Boole não pode aceitar o conselho de Duncan para frequentar cursos em Cambridge, pois precisou 
cuidar de seus pais, mas ele começou a fazer publicações na recém fundada “Cambridge Mathematical 
Journal”. Também por influência de Duncan passou a estudar álgebra. Recebeu uma medalha da Royal 
Society por uma publicação na “Trasactions of the Royal Society” sobre métodos algébricos para a solução 
de equações diferenciais e, a partir de então, o seu trabalho começou a ser conhecido.
Quadro 1 – Biografia de George Boole
Fonte: BOYER, 1996, p. 430
Figura 1 – Representação da lógica Booleana, utilizada na eletrônica digital.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com
EXEMPLO
A eletrônica digital é uma das tecnologias que utiliza amplamente os conceitos de 
portas lógicas desenvolvidas por George Boole, precursor dos estudos sobre a te-
oria dos conjuntos.
De acordo com Rosen (2010, p. 113), “os conjuntos podem ser representados graficamente 
usando diagramas de Venn, [...], onde o conjunto universo U, que contém todos os objetos em con-
sideração, é representado por um retângulo”. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 71 – 
FIQUE ATENTO!
Embora seja fruto de um trabalho teórico, o diagrama de Venn é de suma importân-
cia no inter-relacionamento de informações e objetos. 
Figura 2 – Diagrama proposto por John Venn
Fonte: littleredshark/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
A representação por balões utilizada no diagrama de Venn é uma estratégia para 
simbolizar e representar conjuntos que se entrecruzam. É possível, por exemplo, 
identificar a preferência por uma determinada marca de celular, coletando dados de 
diversos clientes de uma loja e unindo simultaneamente estes balões para identifi-
car quem gosta das marcas A, B e C ao mesmo tempo.
Podemos observar na figura 2 que os círculos, destacados em três cores básicas, unem-
se em algumas situações formando cores diferentes ou,ainda, possuem participações comuns, 
entrelaçando-se uns nos outros, formando outras cores. A partir dessa representação, é possível 
correlacionar objetos e informações, realizando operações lógicas entre conjuntos, tais como a 
união e a interseção, obtendo, assim, dados que antes pareciam insuficientes para a resolução de 
tais problemas. De acordo com Rosen (2010, p.113) “os diagramas de Venn são utilizados para 
indicar as relações entre conjuntos”.
FIQUE ATENTO!
A união e a interseção de conjuntos podem ser representadas com o diagrama de 
Venn por silogismos (raciocínio dedutivo estruturado formalmente a partir de duas 
proposições) categóricos ou hipotéticos, por meio das expressões: todo, nenhum 
e algum. 
No próximo tópico, faremos um estudo a respeito de métodos e formas de resolver proble-
mas a partir do diagrama de Venn.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 72 – 
2 Formas de resolução de problemas 
a partir do diagrama de Venn
Agora que já sabemos quem foi John Venn e como surgiu a ferramenta proposta por ele, 
vamos aprofundar nosso estudo nos métodos de resolução de problemas envolvendo o diagrama 
proposto por ele. Para isso, exemplificaremos alguns problemas que demonstram estratégias para 
resolução desses problemas.
SAIBA MAIS!
O livro “Introdução à História da Matemática”, de Rogério S. Mol, apresenta o início 
de diversas teorias matemática, entre elas a teoria dos conjuntos numéricos. 
Leia mais: <http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/introducao_a_historia_da_
matematica.pdf>. 
2.1 Interseção de dois conjuntos
Em uma primeira estratégia, desenhamos os diagramas conectados por balões. Observe o 
exemplo a seguir: em uma escola há 1000 alunos, sendo que 650 deles possuem o uniforme azul 
marinho e 320 possuem o azul marinho e o verde-militar. A partir dessas informações, como pode-
mos descobrir o número de alunos que vestem somente o uniforme verde militar?
Para isso, representamos, primeiramente, as quantidades citadas no enunciado em dois 
balões que se interceptam, como mostra a figura 3:
330 320
1000
Azul Verde
X
Figura 3 – Representação da interseção de dois conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Em um segundo passo, coletamos os dados representados nos balões e efetuamos uma 
soma de todas as quantidades, já que 1000 é o conjunto universo dos alunos dessa escola. A fór-
mula obtida fica da seguinte forma:
330 + 320 + X = 1000
Sendo assim, o resultado será a quantidade desconhecida, que é de 350 alunos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 73 – 
2.2 Interseção de três conjuntos
Alguns problemas são caracterizados por uma lista de informações, onde teremos a interse-
ção de três conjuntos, simultaneamente. Neste tipo de problema, a melhor estratégia é desenhar 
a intersecção de todos os conjuntos e colocar as quantidades em todos os espaços dentro dos 
balões. Observe o exemplo a seguir: uma pesquisa de campo realizada em uma pequena cidade 
coletou os seguintes dados sobre a audiência de determinados canais de televisão.
 • 50 pessoas assistiam o canal A;
 • 30 pessoas assistiam o canal A e B;
 • 15 pessoas assistiam o canal A, B e C;
 • 20 pessoas assistiam o canal A e C;
 • 25 pessoas assistiam o canal B e C;
 • 70 pessoas assistiam o canal B;
 • 90 pessoas assistiam o canal C;
Com base nessas informações, como podemos defi nir o número total de pessoas que foram 
entrevistadas? Primeiramente, desenhamos o diagrama de Venn, inter-relacionando todas as infor-
mações. Acompanhe a fi gura 4:
15
515
15
30 60
10
A
B C
X
Figura 4 - Representação de três conjuntos que se inter-relacionam
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Observe que o conjunto universo é representado pelos balões, que aparecem na fi gura 4. 
Podemos, então, concluir que a soma de todas estas quantidades nos dará o total de pessoas 
entrevistadas:
15 + 15 + 15 + 5 + 30 + 10 + 60 = 150
Ou seja, 150 pessoas foram entrevistadas nesta cidade.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 74 – 
EXEMPLO
Uma pesquisa realizada em uma determinada região a respeito da preferência de 
um canal de TV pode ser representada em diagramas de Venn, com o auxílio da 
teoria dos conjuntos, onde os espectadores de diferentes canais podem ser inclu-
ídos em balões para, assim, ser possível obter o número daqueles que gostam, ao 
mesmo tempo, do canal A e B, por exemplo. 
2.3 Representação de conjuntos
Neste tópico, veremos como representar, a partir do diagrama de Venn, mais de três conjun-
tos: nestes casos, não podemos representar quatro conjuntos a partir de quatro circunferências 
pois, desta maneira, não é possível representar todas as relações que se formam. Para isso, utiliza-
remos elipses para retratar, de forma adequada, todas as interseções possíveis. Observe a fi gura 5:
Figura 5 – Não é um diagrama de Venn
Fonte: Elaborado por Catiúscia Borges, 2016.
Observamos que, neste caso, nem todas as regiões possíveis são representadas. Por exem-
plo, não há uma região em que apenas o círculo azul e o verde se intersectem. Agora, observe na 
fi gura 6 a representação a partir de elipses:
Figura 6 – Diagrama de Venn para representar quatro conjuntos com quatro elipses.
Fonte: Elaborado por Catiúscia Borges, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 75 – 
Neste ponto, vale destacar que existem outras propostas para o diagrama de Venn formado por 
quatro conjuntos. O matemático israelense Branko Grünbaum, por exemplo, propôs um Diagrama de 
Venn para cinco conjuntos usando elipses congruentes em um arranjo radialmente simétrico.
SAIBA MAIS!
No livro “Matemática Discreta” (2010), o autor Kenneth H. Rosen aborda, de forma 
bem didática, os conceitos e definições de conjuntos e as representações do 
diagrama de Venn.
Podemos concluir que os diagramas desenvolvidos por John Venn, representados grafica-
mente por balões ou elipses, são uma maneira bem prática e visual de retratar a união e interseção 
de conjuntos e solucioná-los nos mais diversos problemas.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • Entender o conceito do diagrama de Venn;
 • Conhecer as formas de resolução do diagrama de Venn.
Referências 
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher,1996.
MOL, Rogério S. Introdução à história da matemática. Editora CAED-UFMG. Belo Horizonte, 
2013. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/introducao_a_historia_da_
matematica.pdf>. Acesso em: 29 ago. 2016. 
MORAIS, José Luiz. Matemática e Lógica para Concursos. São Paulo: Editora Saraiva,2012.
ROSEN, Kenneth H. Matemática Discreta. São Paulo: Mc Graw-Hill, 2010.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 76 – 
Lógica e Teorias da Verdade
Hassan Marra Jorge 
Introdução
O conhecimento não existe sem a verdade: ou o conhecimento é verdadeiro ou ele não é um 
conhecimento. Neste tema, vamos estudar um breve histórico sobre as concepções da verdade e 
compreender as diferenças entre ignorância, incerteza e dogma.
Vale destacar que, em um mundo que é movido pelo conhecimento, é importante saber defi-
nir o que é verdadeiro e o que é falso, porque ficamos sujeitos a acreditar em falsas verdades, 
ignorando aquilo que, de fato, é verdadeiro.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • Conhecer um breve histórico sobre as concepções de verdade;
 • Compreender as diferenças entre ignorância, incerteza e dogma.
1 Conhecimento e Verdade: um caso eterno
O conhecimento está intimamente ligado à verdade, mas como é possível saber o que é 
verdade e o que são falsas verdades? Para isso, utilizamo-nos das Teorias da Verdade, que serão 
abordadas a seguir.
1.1 Verdades e Inverdades: como compreender 
cada uma delas?
Como você já viu até aqui, o conhecimento não existe sem a verdade. Logo, para chegarmos 
ao conhecimento, é necessário que conheçamos aquilo que é verdadeiro. Para isso,podemos uti-
lizar as Teorias da Verdade para verificar se o pressuposto é verdadeiro ou falso.
EXEMPLO
Se nos depararmos com a afirmação de que “Pelé foi o maior jogador de vôlei do 
Brasil” e acreditarmos nessa afirmação, essa pessoa não poderá afirmar que co-
nhece, de fato, algo sobre Pelé.
 – 77 – 
TEMA 11
Figura 1- Verdades e falsas verdades
Fonte: Brian A Jackson/Shutterstock.com
Desde os primeiros debates sobre a verdade, que ocorreram na Grécia Antiga a partir dos 
ensinamentos do filósofo ateniense Sócrates (469 a.C. – 399 a.C.), ela se mostra absoluta, relativa 
ou apenas um ideal que se almeja alcançar. Dentro da filosofia, existem diversas teorias sobre 
a verdade, que podem ser divididas em duas classes: as tradicionais – que surgem a partir dos 
debates do filósofo grego Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.), também na Grécia Antiga – e as mini-
malistas, que surgem a partir dos estudos do filósofo britânico Paul Horwich (KIRKHAM, 2003).
SAIBA MAIS!
O filme “A Vida de David Gale” (2003), de Alan Parker, retrata alguns aspectos 
das teorias da verdade, demonstrando que ela pode ser relativa, falsa ou, de fato, 
verdadeira.
A seguir, vamos estudar as quatro principais teorias sobre a verdade: correspondentista, coe-
rentista, pragmatista e da redundância.
1.2 Aristóteles e a Teoria Correspondentista (tradicional)
O filósofo grego Aristóteles, que foi aluno do filósofo e matemático Platão na Grécia Antiga e 
mentor de Alexandre, o Grande, estudou o “ser enquanto ser” e suas formulações serviram de base 
para a Teoria Correspondentista: dizer o que é que não é, ou aquilo que é mas não é, ou daquilo que 
não é, mas é, é falso, enquanto, falar daquilo que é ou daquilo que não é, é verdade. Assim, temos S 
como uma sentença qualquer (seja afirmação, proposição, crença, etc.), sendo: S (sentença qual-
quer) só é verdadeira se, e somente se, corresponde a um fato (TAMBOSI, 2007)
A partir dessa teoria, podemos entender que as afirmações tentam descrever como as coisas 
são no mundo e somente serão falsas ou verdadeiras se as coisas forem como elas realmente 
dizem que são. Acompanhe o exemplo a seguir.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 78 – 
EXEMPLO
“Há uma pessoa sentada nessa cadeira” é a sentença. O fato então é “há uma pes-
soa sentada nessa cadeira”. Na teoria da correspondência, temos a seguinte pro-
posição “há uma pessoa sentada nessa cadeira” se, e somente se, “há uma pessoa 
sentada nessa cadeira”.
FIQUE ATENTO!
Os estudos pautados na metafísica (uma das disciplinas fundamentais da filosofia) 
e em Aristóteles são as bases das teorias da verdade. Assim, encontramos neles 
o fundamento para se compreender todas as outras teorias da verdade existentes.
Neste ponto, é importante entendermos que essa teoria recebeu diversas críticas, pois, ao 
utilizar apenas a lógica, não deixava claro se tal proposição era uma verdade ou uma falsa verdade.
1.3 Deus Existe x Deus Não Existe – 
Teoria Coerentista (tradicional)
A Teoria Coerentista afirma que as sentenças ou proposições podem ser vistas como aquilo 
que é objeto de crenças, sendo que a verdade se pauta na sua coerência relativa a um conjunto de 
proposições e sentenças. Ou seja, uma sentença X é verdadeira se, e somente se, for coerente com 
um conjunto especifico (Y) de sentenças.
O ponto fraco dessa teoria é aceitar uma fábula, um estudo científico ou uma história como 
verdadeiros e coerentes, simplesmente comparando a sentença a um determinado grupo de sen-
tenças vistas como verdade. Por exemplo: se temos a proposição “o céu é verde” com outras 
sentenças como “o céu é azul” e “todos os dias vejo o céu azul”, temos como conclusão que a 
proposição inicial é falsa.
1.4 Uma teoria quase completa – 
Teoria Pragmatista (tradicional)
Os filósofos John Dewey (1859 – 1952) e Willian James (1842 – 1910), autores dessa teoria, 
afirmam que a correspondentista e a coerentista não eram ruins, mas faltava a elas falar sobre as 
condições de verdade (a verdade como de fato verdadeira, falsa ou relativa, etc.).
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 79 – 
FIQUE ATENTO!
É sempre importante questionar a verdade, uma vez que ela pode ser uma verdade 
baseada em um conjunto de crenças, tornando-a uma verdade correta baseada em 
um conjunto de afirmações pessoais, se tornando, assim, uma verdade relativa.
1.5 Teoria da Redundância – uso da semântica (minimalista)
As teorias minimalistas da verdade, onde está inserida a Teoria da Redundância, partem dos 
princípios estudados pelo campo da semântica (estudo dos significados). A redundância busca, 
dessa forma, tratar a verdade com as palavras certas para que a comunicação aconteça com a 
maior eficiência possível, buscando distinguir o fato do discurso. Basicamente, trata-se de comu-
nicação (PEREIRA, 2011).
SAIBA MAIS!
Para compreender melhor as teorias da verdade, leia o artigo “ Teorias de 
Verdade - Brevíssima Introdução”, de Paulo Ghiraldelli Jr., que apresenta de forma 
didática os conceitos das teorias tradicionais e minimalistas. Acesse: <http://
www2.unifap.br/borges/files/2011/02/Teorias-de-Verdade-Brev%C3%ADssima-
Introdu%C3%A7%C3%A3o.pdf>.
2 Ignorância, Incerteza e Dogma e suas diferenças
Quem detém o conhecimento? Como obter conhecimento? Existe conhecimento falso? 
Essas questões podem ser respondidas com base nos três conceitos que estudaremos a seguir: a 
ignorância, a incerteza e o dogma.
2.1 A ignorância que reina
Podemos dizer que a necessidade de compreendermos aquilo que é verdadeiro, ou seja, a 
verdade, faz com que questionamentos sejam levantados e filosofias sejam debatidas. O igno-
rante é, então, nesse sentido, aquele que não conhece a verdade ou que propaga falsas verdades.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 80 – 
FIQUE ATENTO!
A ignorância permeia a vida do ser humano, de forma natural. Nos dias atuais, mui-
tas vezes não percebemos o quanto propagamos falsas verdades.
Figura 2 - O homem vive seu maior momento de ignorância
Fonte: pathdoc/Shutterstock.com
Nesse contexto, o ignorante é o que podemos chamar de “mal” do mundo, sendo ele o res-
ponsável por algumas mazelas que enfrentamos cotidianamente, uma vez que ele se nega a lutar 
e a buscar uma verdade que, de fato, traga oportunidades de mudanças.
2.2 Incerteza: o descobrir de que nada sabemos
Você sabe que é ignorante? Você sabe que, na realidade, nada sabe? Questionamentos como 
esses alimentam a incerteza, quando o ser humano descobre que é ignorante e vai tomando cons-
ciência de que suas verdades, suas crenças e seus pontos de vista não servem e não dão conta de 
toda a realidade (ANDRADE, 2011).
Figura 03 - Um mundo de incertezas faz com que nos tornemos duvidosos
Fonte: alphaspirit/Shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 81 – 
Vale destacar que as incertezas podem trazer seus benefícios, pois as dúvidas fazem com 
que surjam sentimentos de desconfiança, de desilusões e de novas dúvidas, fazendo com que seja 
possível questionar as verdades impostas.
2.3 Dogmas: a necessidade de ver o mundo como o vemos
O dogma pode ser entendido como a verdade baseada em fatos irrefutáveis, como aquelas 
propagadas pelas igrejas, geralmente. Assim, aquele que vê a verdade de forma dogmática não 
aceita outros pontos de vista ou outras verdades, assim como também não questiona aquilo que 
lhe é imposto (CHAUÍ, 2000).
Figura 4 – O preconceito é uma característica comum dos dogmáticos
Fonte: alphaspirit/Shutterstock.com 
No estado dogmático, o indivíduo se torna conservador, avesso a tudo que pode mudar o 
mundo que tem como verdadeiro, natural e perfeito. Ou seja, ele acredita que mudanças podem 
desequilibrar a vida e seu entorno.
Portanto, podemos entender o ignorante como aquele que não conhece a verdade ou pro-
paga falsas verdades; a ignorância como o estado de dúvida acerca das verdades conhecidas; e o 
estadodogmático como o estado onde acreditamos em uma verdade irrefutável.
Fechamento
Nesta aula, conhecemos as teorias da verdade de maior destaque: a correspondentista, que 
surgiu a partir dos estudos de Aristóteles, a coerentista, que usa da coerência de um conjunto de sen-
tenças para se provar verdadeira, e a pragmatista, que é a última teoria tradicional da verdade. Conhe-
cemos, ainda, a teoria da redundância, que é uma das teorias modernas da verdade (minimalista).
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 82 – 
Compreendemos também o sentido dos termos ignorância (aquele que não detém conheci-
mento ou afirma falsas verdades), incerteza (que é o momento em que notamos que nem todas 
são verdades são corretas) e dogma (que é a verdade pautada em afirmações irrefutáveis, como 
as que são propostas por igrejas).
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • Conhecer as teorias da verdade;
 • Compreender o que é ignorância, incerteza e dogma.
Referências
A VIDA de David Gale. Direção: Alan Parker, Produção: Alan Parker, Nicolas Cage. EUA: Universal 
Pictures, Intermedia Films, 2003.
ANDRADE, Rogerio P. A construção do conceito de incerteza: uma comparação das contribuições 
de Knight, Keynes, Shackle e Davidson. Nova Economia, Belo Horizonte: 2011.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. Ed. Ática, São Paulo, 2000.
GHIRALDELLI JR, Paulo. Teorias da verdade – brevíssima introdução. Disponível em: 
<http://www2.unifap.br/borges/files/2011/02/Teorias-de-Verdade-Brev%C3%ADssima-
Introdu%C3%A7%C3%A3o.pdf>. Acesso em: 06 set. 2016.
_______ . O que é preciso saber em Filosofia da Educação. Rio de Janeiro: DP&A, 2000a.
_______ . Filosofia da Educação e ensino – perspectivas neopragmáticas. Ijuí: Unijui, 2000b.
KIRKHAM, Richard L. Teorias da Verdade. São Leopoldo: Unisinos, 2003.
PEREIRA, Renato Machado. A Concepção da Verdade como Correspondência. Anais do VII Semi-
nário de Pós Graduação em Filosofia da UFSCAR, São Carlos: 2011.
SEARLE, John Rogers. Mente, Linguagem e Sociedade: Filosofia no Mundo Real. Rio de Janeiro: 
Rocco, 2000.
TAMBOSI, Orlando. Jornalismo e Teorias da Verdade. São Paulo: Revista Brasileira de Ciências da 
Comunicação, vol. 30, n. 1, p. 35-48: 2007.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 83 – 
Raciocínio Material e Formal
Vagner Luis Zanin
Introdução
A lógica surgiu na Grécia Antiga a partir dos estudos filosóficos do pensador Aristóteles. 
Sendo assim, a etimologia mostra que o conceito de lógica deriva do termo grego logike, que pode 
ser entendido como razão, estudo ou raciocínio. Dessa forma, podemos definir a lógica, que existe 
nos mais diversos campos do conhecimento, como a ciência do raciocínio, fazendo parte tanto do 
campo matemático como dos meios econômicos, sociais e da medicina, por exemplo.
Nesta aula, você conhecerá a divisão da lógica entre forma e material, assim como estudará 
sobre a argumentação dedutiva e indutiva. Fique atento e bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • Entender os conceitos de raciocínio material e raciocínio formal.
1 História da lógica
Para o filósofo grego Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.), a lógica visa estudar o pensamento, 
as regras e a lei que controla esse pensamento, sendo que o objetivo é fazer com que ele seja ver-
dadeiro e correto, evitando, assim, falsas verdades. Aristóteles estudou sobre a lógica para poder 
contrapor-se aos sofistas, que eram grupos de mestres da retórica e da oratória que poderiam 
enganar os cidadãos das pólis apenas utilizando argumentos incorretos, mas muito bem coloca-
dos. Eles percorriam as cidades ensinando a arte da retórica (a arte do bem argumentar, da elo-
quência e da oratória) às pessoas interessadas, mediante pagamento. Aristóteles acreditava que 
argumentos bem colocados poderiam ser convincentes, mesmo não sendo corretos.
FIQUE ATENTO!
A lógica, com sua atuação em todos os meios científicos, preocupa-se com o as-
pecto formal que rege o argumento ou o raciocínio em questão. 
É importante destacar que a lógica tradicional ou aristotélica é a base para outros estudos exis-
tentes, como a lógica medieval, moderna e a matemática. Ela pode ser compreendida como aquela 
 – 84 – 
TEMA 12
que determina as leis e as regras que regem a natureza e os objetos, alvos do saber e conhecer, e é 
dividida em material e formal, classificação que estudaremos melhor nos próximos tópicos.
2 Lógica Material
Para iniciarmos os estudos deste tópico, é importante compreendermos que é por meio do 
raciocínio (ou lógica) material que define-se os métodos da física, química, ciências biológicas, 
ciências sociais, matemática, entre outras.
Segundo Vidor (2015, p. 3), a lógica material “[...] estuda as exigências e condições materiais 
que sustentam o conhecimento verdadeiro. Verifica o objeto de estudo, a definição, a divisão e a 
argumentação para obter um conhecimento verdadeiro e certo”. Sendo assim, podemos dizer que 
a lógica material não se preocupa com a forma de se argumentar, mas sim com validade daquilo 
que é dito no argumento.
Figura 1 – Raciocínio em diversos momentos da vida
Fonte: Marijus Auruskevicius/Shutterstock.com
É importante compreender, ainda, que o raciocínio material se preocupa com a verdade, con-
siderando a dúvida, a opinião e a certeza, sendo essa a parte da lógica que atua nas leis naturais 
dos objetos. (JOLIVET, 1968).
EXEMPLO
Leia atentamente as sentenças a seguir, que exemplificam o processo do raciocínio 
da lógica material:
Sentença 01: A água é formada por hidrogênio e oxigênio. 
Sentença 02: Para se formar uma molécula de água, são necessários dois átomos 
de hidrogênio e um átomo de oxigênio. 
Logo: A água é formada por hidrogênio e oxigênio. 
Portanto, a sentença ou a conclusão é verdadeira.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 85 – 
Sobre o exemplo dado, observe que a primeira sentença afirma que a água é formada por 
hidrogênio e oxigênio e que a segunda sentença traz uma afirmação científica de que a água con-
tém dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio. Logo, temos como verdadeira a sentença, pois 
baseamos essa conclusão no conhecimento natural (cientifico) de que a água é composta por 
hidrogênio e oxigênio.
3 Raciocínio Formal 
A chamada lógica formal (raciocínio formal ou, ainda, lógica menor) é aquela que estabelece 
a conformidade do pensamento com ele mesmo. Em outras palavras, ela analisa, de forma clara, 
duas sentenças entre si, para verificar se a conclusão é verdadeira ou falsa. Vale destacar que não 
vamos observar, neste material, sua natureza intelectual. Nosso estudo será focado na verdade de 
fato (a verdade intrínseca).
FIQUE ATENTO!
Na lógica formal, nem sempre a conclusão correta é uma conclusão verdadeira. Isso 
porque analisamos somente as proposições em si, não levando em consideração o 
fato delas serem verdadeiras, mas sim se elas conseguem corroborar a conclusão.
O raciocínio formal estuda a lógica dos argumentos, que dependem somente, e tão somente, 
da lógica e atua naquilo que podem ser considerados argumentos dedutivos formais: nada mais 
são do que a lógica que pode ser explicada pela sua forma lógica ou pela lógica dos seus argu-
mentos. Considere a seguinte situação: “Todo político é corrupto. Paulo é político. Logo, Paulo é 
corrupto”. Pelo raciocínio formal, essa frase está correta, pois as primeiras duas proposições con-
seguem sustentar a conclusão, apresentada na última sentença.
 
Figura 2 – A lógica formal
Fonte: Radachynskyi Serhii/shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Do ponto de vista da lógica formal, o argumento pode ser não válido ou formalmente válido, que 
é aquele que conta com uma relação de consequência formal entre a conclusão e suas premissas. 
Sendo assim, podemos dizer que esse raciocínio não se preocupa com a verdade: o importante é 
determinar se as premissas conseguemsustentar a conclusão. Acompanhe o próximo exemplo:
EXEMPLO
Leia atentamente as premissas a seguir e entenda melhor sobre o processo de 
comparação do raciocínio formal.
Premissa 01: Todos os mamíferos têm trombas. 
Premissa 02: A baleia é um mamífero. 
Premissa 03: A baleia tem trombas. 
Você sabe que baleias não possuem trombas, não é mesmo? No entanto, se você observar 
as premissas 01 e 02, verá que a conclusão se faz verdadeira. Assim, se partíssemos para o racio-
cínio material, que vimos anteriormente, poderíamos provar que tal conclusão não é verdadeira. 
Entretanto, do ponto de vista da lógica formal, a premissa 03 se faz válida, uma vez que ela não se 
preocupa em avaliar o conteúdo propriamente dito, mas sim se as premissas foram bem constru-
ídas para embasar a conclusão.
SAIBA MAIS!
Para saber mais sobre o raciocínio formal, leia o artigo “Uma nota sobre a lógica formal 
de Kant”, de Pedro Santos, que aborda a teoria kantiana (baseada na lógica formal) e a 
silogística. Acesse em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-
60452012000100004&lang=pt>. 
Para analisar as diferentes proposições, a lógica formal utiliza-se de dois tipos de argumentação: 
a dedutiva (dedução) e a indutiva (indução), que estudaremos melhor a seguir. 
3.1 Argumentação Dedutiva
A argumentação dedutiva, ou dedução, que pode também ser compreendida como silogismo, 
é uma ilação que parte do princípio para uma consequência lógica. Em outras palavras: parte de 
uma proposição global para uma conclusão também global ou particular. Observe o exemplo.
EXEMPLO
Premissa 01: Todas as mulheres são mortais. 
Premissa 02: Todas as francesas são mulheres.
Premissa 03: Todas as francesas são mortais 
A conclusão é que a Premissa 03 seja verdadeira. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 87 – 
A partir do exemplo dado, observe que a dedução ocorre quando partimos de uma ou 
mais proposições (consideradas premissas) e, a partir delas, retiramos outra proposição 
(considerada conclusão). 
 
Figura 03 - A dedução
Fonte: Ragma images/shutterstock.com
Dessa forma, a conclusão se sustenta corretamente ao compararmos as premissas. Na 
argumentação dedutiva partimos de uma comparação do meio global para uma conclusão tam-
bém global.
SAIBA MAIS!
A série de televisão “Sherlock Holmes” retrata, de maneira eximia, as questões sobre 
dedução e indução, mostrando, de forma clara, como o detetive utiliza o raciocínio 
lógico para chegar a suas conclusões.
3.2 Argumentação Indutiva
A argumentação indutiva observa diversas premissas particularmente para, então, se chegar 
a uma conclusão global. Na indução, podemos nos utilizar da observação de diversos fatos ou, 
ainda, da coleta de dados. Todavia, como dificilmente se investiga todos os fatos e possibilidades 
de uma premissa, utilizamos o que chamamos de princípio da probabilidade, ou seja: a verdade ou 
não de uma conclusão parte da observação de casos semelhantes e das informações que estas 
observações proporcionam. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Figura 04 - A argumentação indutiva
Fonte: AVN Photo Lab/shutterstock.com 
Esse raciocínio pode ser considerado mais rigoroso, pois utiliza valores não exatos para se 
chegar a verdade.
FIQUE ATENTO!
O raciocínio indutivo sempre utiliza da observação de casos em particular para en-
tão se chegar a uma conclusão global sobre o que é exposto.
O esquema a seguir mostra o processo do raciocínio indutivo, acompanhe:
 • Pedro é homem e é forte; 
 • Todo trabalhador é homem e também é forte; 
 • Todo professor é homem e também é forte; 
 • Todo veterinário é homem e também é forte; 
 • Logo, todos os homens também são fortes.
Veja nesse esquema que, por meio do raciocínio indutivo e a partir da observação de muitos 
casos particulares, chegamos a uma conclusão de cunho global. Observe, portanto, que é um 
raciocínio que utiliza de proporções e amostras para obter um resultado. 
Fechamento
Neste tema, você conheceu mais sobre o raciocínio formal e material e como cada um deles 
atua. Além disso, você estudou que a lógica material, que analisa as sentenças propostas a partir 
do ambiente externo, é muito utilizada no campo das ciências, economia e biologia, por exemplo. 
Por outro lado, você viu também a lógica formal, que utiliza da comparação entre as sentenças 
(proposições), para se chegar a uma conclusão verdadeira ou falsa.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 89 – 
Você teve a oportunidade de ver como ocorre a argumentação dedutiva, que é aquela que usa 
a comparação entre as proposições (particular em cada uma delas) para se chegar a uma conclu-
são (geral), sendo ela verdadeira ou falsa e indutiva. A argumentação indutiva utiliza a comparação 
e a observação de diversas proposições para verificar a verdade do que está sendo exposto.
Nesta aula, você teve a oportunidade de
 • entender o raciocínio material e o raciocínio formal;
 • conhecer as argumentações dedutiva e indutiva.
Referências
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática, 1999.
JOLIVET, Regis. Curso de Filosofia. Rio de Janeiro: Agir, 1968.
SANTOS, Pedro. Uma nota sobre a lógica formal de Kant. Disponível em: <http://www.scielo.br/
scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-60452012000100004&lang=pt>. Acesso em: 09 set. 
2016.
VIDOR, Alécio. Filosofia Lógica: Material distribuído para o primeiro ano do curso de Ontopsicolo-
gia. São Paulo: EPU, 2015.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Estudo das proposições e silogismo
Carlos Henrique Berg
Introdução
O silogismo, ou lógica silogística, surgiu na Grécia Antiga a partir dos estudos do filósofo 
Aristóteles (384 a.C – 322 a.C), que queria designar uma forma de argumentação perfeita. Nesse 
sentido, um silogismo pode ser considerado uma proposição e, por isso, é passível de receber um 
valor lógico verdadeiro ou falso.
Nesta aula, você terá a oportunidade de compreender o conceito de silogismo e suas estrutu-
ras básicas, bem como os tipos de proposições e sua relação com o raciocínio lógico. 
Objetivos de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de silogismo, identificando suas estruturas básicas;
 • identificar os tipos de proposições e sua relação com o raciocínio lógico.
1 Silogismo: aspectos gerais
Podemos definir o silogismo como um raciocínio dedutivo cujos argumentos são colocados 
de maneira perfeita a partir de três proposições, comparadas de dois em dois: a partir de duas 
proposições (premissas) é possível obter, por dedução, uma terceira (conclusão).
Dentre essas premissas, uma é identificada como MAIOR, pois tem maior extensão; outra é 
chamada de MENOR, pois tem menor extensão; e a terceira é chamado de MÉDIA, uma vez que é 
intermediária em relação às anteriores ou, ainda, porque é nela que as duas anteriores se relacionam.
EXEMPLO
Premissa 1: Todo ser humano é mortal. mortal <-> homem
Premissa 2: Foucault é homem. Foucault <-> homem
Conclusão 3: Logo, Foucault é mortal. Foucault <-> mortal
Vamos analisar o exemplo dado: o termo ‘mortal’ é o maior; ‘Foucault’ é o termo menor e 
temos ‘homem’ como termo médio. As duas primeiras proposições (ou sentenças) são conheci-
das como antecedentes ou premissas. Dessa forma, o termo maior contempla a premissa maior; 
já o termo menor recebe o nome de premissa menor. Vale reforçar que a última sentença é cha-
mada, então, de conclusão (ASSUNÇÃO, 2015).
 – 91 – 
TEMA 13
Figura 1 – Aristóteles, considerado o pai do silogismo.
Fonte: blackboard1965/shutterstock.com
No silogismo, existem cinco regras, sendo que uma delas está relacionada aos termos das 
proposições e quatro são relacionadas às premissas. Vamos estudá-las melhor a seguir.
Primeira regra: o silogismo deve conter somente duas premissas (sentenças). No entanto, algu-
mas exceções sãoconcedidas. Confira a seguir: 
a) Atribuímos ao termo médio duas extensões, por exemplo:
1. O pássaro canta.
2. Ora, o pássaro é uma estrela.
3. Logo, uma estrela canta.
b) Quando utilizamos o termo médio duas vezes de maneira particular, observe:
1. Os políticos são santos.
2. Ora, os corruptos são políticos.
3. Logo, os corruptos são santos.
c) Quando atribuímos ao termo menor ou ao maior uma maior extensão na conclusão 
das premissas:
1. Os americanos são covardes.
2. Ora, todo americano é preconceituoso.
3. Logo, todo covarde é preconceituoso.
FIQUE ATENTO!
se o problema exposto tiver menos ou mais de três premissas, ele não poderá ser 
considerado um silogismo. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 92 – 
Segunda regra: quando existir duas premissas afirmativas, não é possível ocorrer uma conclu-
são negativa. 
1. A lógica é amor.
2. O raciocínio é uma lógica.
3. Logo, o raciocínio é amor.
Figura 2 – Não há conclusão negativa a partir de duas premissas afirmativas.
Fonte: Fabrika Taz/shutterstock.com
Terceira regra: quando existir duas premissas negativas, não é possível obter uma conclusão. 
Acompanhe:
1. O brasileiro não é corrupto.
2. Ora, o corrupto não é preso.
3. Logo, (não podemos concluir nada).
Quarta regra: quando uma das premissas se der de forma negativa, a conclusão obrigatoriamente 
será negativa. Veja:
1. Todo quadrado tem quatro lados.
2. Um pentágono não é um quadrado.
3. Logo, um pentágono não tem quatro lados.
Quinta regra: quando temos duas premissas que são consideradas particulares, também não é 
possível obter uma conclusão:
1. Algum político é honesto.
2. Kalil é um político.
3. Logo, Kalil é (não se pode concluir que Kalil é honesto)
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 93 – 
Figura 3 - Premissa é particular
Fonte: El nariz/shutterstock.com
É importante compreendermos que, dentro do silogismo, a ordem das premissas pode não 
seguir a lógica Maior – Menor. Todavia, isso não invalida o silogismo. Em alguns casos, pode 
ocorrer de a premissa menor ou maior ser omitida. Em outras palavras, o antecedente menor fica 
subentendido (ASSUNÇÃO, 2015). Confira o exemplo a seguir:
EXEMPLO
Premissa 01: Zahir é um homem.
Premissa 02: Logo, Zahir é mortal
Conclusão: Fica subentendida a premissa maior “Todo homem é mortal”.
No caso apresentado, o fato da premissa maior ficar subentendida (ou implícita) não causa 
prejuízo para a validação do silogismo que, nessa circunstância, ganha o nome de entimema 
(argumento que contém pelo menos uma premissa não formulada). 
SAIBA MAIS!
Você sabia que filme “O Nome da Rosa” (1986), de Jean-Jacques Arnaud, aborda 
questões complexas e envolventes sobre as concepções filosóficas? O filme traz 
apontamentos sobre as críticas, as reflexões, os silogismos e sobre acesso ao 
conhecimento, que era restrito para os leigos da época em que se passa filme. 
Até este ponto, estudamos o silogismo categórico ou tradicional. Todavia, a lógica silogística 
apresenta-se de diversas maneiras. A seguir, verificaremos outros tipos de silogismos, sendo eles 
o disjuntivo, o conjuntivo e o condicional. No entanto, qualquer uma destas formas de silogismo 
pode ser convertida para o silogismo categórico (tradicional). (ASSUNÇÃO, 2015)
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 94 – 
SAIBA MAIS!
Para aprender mais sobre o silogismo, leia o artigo “Os silogismos e as suposições 
contraditórias de Raimundo Lúlio como métodos resolutivos de inconsistência”, 
produzido por Guilherme Wyllie. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/trans/
v35nspe/14.pdf>.
1.1 Silogismo disjuntivo
O silogismo disjuntivo é compreendido como aquele onde a premissa maior é uma proposi-
ção disjuntiva (separadas). Acompanhe:
EXEMPLO
Premissa 1: Ou Rhayssa estuda, ou ela trabalha.
Premissa 2: Ora, Rhayssa estuda.
Conclusão: Logo, Rhayssa não trabalha.
Veja que temos duas escolhas a serem observadas: estudar e trabalhar. Logo, se ela estuda, 
ela não trabalha. 
1.2 Silogismo conjuntivo
O silogismo conjuntivo é considerado aquele onde a maior proposição é uma proposição 
conjuntiva (ligada, subordinada). Observe:
EXEMPLO
Premissa 1: Uma pessoa não come farinha e assovia ao mesmo tempo.
Premissa 2: Jorge está assoviando.
Conclusão: Logo, Jorge não está comendo farinha.
Note que a maior proposição é conjuntiva, assim, ou Jorge assovia ou come farinha, mas não 
as duas coisas simultaneamente. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 95 – 
1.3 Silogismo condicional
Silogismo condicional é aquele onde a maior proposição é condicional. Confira:
EXEMPLO
Premissa 1: Se Cida estudar, ela passará na prova final.
Premissa 2: Ora, Cida está estudando.
Conclusão: Logo, Cida passará na prova final.
Ao analisarmos tais formas de silogismo, necessitamos, primeiramente, convertê-las em 
silogismo categórico. Porém, de acordo com Assunção (2015), o silogismo condicional conta com 
regras próprias para tal conversão, que estudaremos melhor a seguir:
 • Primeira regra: ao se admitir a condição, obrigatoriamente admitimos o condicionado. 
Lembre-se sempre que se você aceitar a condição você deve, por obrigação, admitir o 
condicionado.
 • Segunda regra: ao se negar a condição, podemos não negar o condicionado. Assim, 
mesmo ocorrendo um silogismo correto, a conclusão pode ser inválida.
 • Terceira regra: mesmo que admitamos o condicionado, não necessariamente temos 
de admitir a condição. 
 • Quarta regra: ao se negar o condicionado, negamos a condição.
1.4 Outros tipos de Silogismo
O silogismo sorites consiste num conjunto de proposições encadeadas. Logo, o predicado da 
primeira proposição é o sujeito da segunda proposição, o predicado da segunda proposição é o 
sujeito da terceira proposição, até acabarem as proposições. Nesta última proposição, reunimos o 
sujeito da primeira proposição, com o predicado da última.
EXEMPLO
Sentença 1: Marília é uma criança bagunceira.
Sentença 2: Uma criança bagunceira é muito esperta.
Sentença 3: Quem é muito esperto é mais inteligente.
Conclusão: Logo, Marília é inteligente.
FIQUE ATENTO!
A última proposição une o sujeito da primeira proposição com o predicado da últi-
ma proposição.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 96 – 
Até aqui, observamos que a partir dos silogismos fica mais fácil compreender as verdades 
ditas, utilizando apenas da lógica. Vale entender que os silogismos são amplamente utilizados nos 
dias atuais em áreas como o Direito, ao influenciar nas decisões jurídicas (FALCÃO, 2007).
Figura 4 – Mesma conclusão
Fonte: Sarawut Padungkwan/Shutterstock.com
Agora que já compreendemos o que é um silogismo, você sabe dizer o que são proposições? 
Fique atento, pois é o que vamos estudar a seguir!
2 Identificando os Tipos de Proposições
Proposição é um termo utilizado para descrever o conteúdo de asserções, entendendo a 
asserção como um determinado conteúdo passível de ser falso ou verdadeiro. As proposições 
classificam-se quanto a sua qualidade e sua quantidade. Proposições classificadas quanto à qua-
lidade podem ser afirmativas e negativas. Já as proposições relacionadas à quantidade são uni-
versais ou particulares (CHAUI, 2010).
FIQUE ATENTO!
A proposição se faz presente no raciocínio lógico com a finalidade de facilitar a com-
preensão e a verificação da verdade por meio de comparações entre as mesmas.
Observe um exemplo: “Toda e qualquer palavra proparoxítona é acentuada”. Tal proposição 
é universal e afirmativa, uma vez que afirma que toda palavra proparoxítona é acentuada. Assim, 
todas as palavras que se encaixem como proparoxítona (1º classe) farão parte da 2º classe (são 
acentuadas).
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 97 – 
Fechamento
Neste tema, você conheceu o conceito de silogismo e as regras o compõem. Você viu tam-
bém que o silogismo é uma argumentação perfeita e que proposição é um termo lógico que 
designa o conteúdode asserções, sendo elas divididas entre qualidade (afirmativa e negativa) e 
quantidade (universal e particular).
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • compreender o conceito de silogismo e suas regras;
 • entender os silogismos disjuntivo, condicional e conjuntivo;
 • identificar os tipos de proposições e suas classificações.
Referência
ASSUNÇÃO, Luiz Márcio. Lógica. UPE – FCAP. Recife: 2015.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. Ed. Ática, São Paulo, 2010.
FALCÃO, Pablo Ricardo de Lima. Do direito que é, aquele que vem a ser: implicações epistêmi-
cas da relação entre decidibilidade jurídica e raciocínio lógico-dedutivo. Anais do XVI Congresso 
Nacional do CONPEDI, Belo Horizonte: 2007.
O NOME da Rosa. Direção: Jean-Jacques Annaud, Produção: Bernd Eichinger. Frankfurt (Alema-
nha): Cristaldifilm, 1986.
WYLLIE, Guilherme. Os silogismos e as suposições contraditórias de Raimundo Lúlio como méto-
dos resolutivos de inconsciência. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/trans/v35nspe/14.
pdf>. Acesso em 13 set. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 98 – 
Operações lógicas
Carlos Henrique Berg
Introdução 
A lógica faz parte de nosso cotidiano. Diariamente, nos deparamos com proposições, mas, 
muitas vezes, chegamos a conclusões equivocadas, pois não as compreendemos corretamente. 
Vejamos, então, no que consiste as operações lógicas, proposições e a tabela verdade, temas que 
estudaremos nesta aula.
Objetivos de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar o valor lógico das proposições;
 • compreender a resolução de problemas envolvendo as proposições.
1 O que entendemos por proposição? 
A proposição é considerada um dos pilares no estudo da lógica. Podemos compreendê-la 
facilmente como sendo uma sentença declarativa, em que algo é declarado por meio de termos, 
proposições, símbolos e palavras (GENSLER, 2016).
Figura1 - As proposições nos auxiliam na busca pela verdade.
Fonte: Mopic/Shutterstock.com
Dessa forma, para que uma proposição seja assim classificada, devemos poder atribuir, ao 
conteúdo da sentença, um valor lógico. Em outras palavras: só será uma proposição se pudermos 
considerar que o conteúdo da sentença é falso ou verdadeiro. 
 – 99 – 
TEMA 14
FIQUE ATENTO!
Sentenças exclamativas, interrogativas, imperativas, optativas, frases sem verbos 
e sentenças abertas não podem ter um valor lógico atribuído e, por consequência, 
não são consideradas proposições.
Observe a seguinte frase: “os índios já viviam no Brasil antes da chegada dos portugueses”. 
Com esse exemplo, estaremos diante de uma proposição que tem seu valor lógico verdadeiro. Fica 
claro, portanto, que estamos nos referindo a um dos dois juízos possíveis de atribuição junto da 
proposição, ou seja: verdadeiro (V) ou falso (F). Partindo desse pressuposto, vale ressaltar que não 
são todas as sentenças que podem ser vistas como proposições (ALENCAR FILHO, 2008), como 
já vimos anteriormente.
EXEMPLO
As sentenças “Feliz natal!” e “Quem ganhou o jogo?” não podem ser classificadas 
como verdadeiro (V) ou falso (F), pois não temos como atribuir um valor lógico para 
elas. É importante compreendermos que somente sentenças declarativas, ou seja, 
aquelas onde declaramos uma informação, é que tem possibilidade de ter valores 
lógicos atribuídos. 
Neste ponto, é importante compreendermos que as proposições são representadas por 
letras minúsculas (a, b, c, p, q, r, x, y, z). Observe:
Sentença m: Marta é professora.
Sentença z: 10<5
Sentença k: Rhayssa foi ao cinema domingo.
 
Figura 2 - Proposição verdadeira: “Marta é professora”
Fonte: Iconic Bestiary/ Shutterstock.com 
Tenha em mente que, dentro do raciocínio lógico, quando afirmamos que a proposição é ver-
dadeira, conforme a sentença “m: Marta é professora”, representamos a proposição apenas por: VL 
(m) = V, onde o valor lógico (VL) de m (m) é verdadeiro (V).
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 100 – 
Neste ponto, é importante compreendermos que o raciocínio lógico está fundamentado em 
alguns princípios de fácil compreensão e que devem ser respeitados. Acompanhe.
 • Princípio da identidade: uma proposição verdadeira é verdadeira e uma proposição 
falsa é falsa.
 • Princípio da não contradição: não é possível uma proposição ser falsa e verdadeira ao 
mesmo tempo.
 • Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou será verdadeira ou será falsa, não 
existe outra possibilidade.
No próximo tópico, estudaremos a classificação das proposições, fique atento!
1.1 Classificação das proposições
As proposições podem ser classificadas como simples ou compostas, sendo que uma pro-
posição simples é aquela que sempre aparece sozinha. Observe:
 • Todo ser humano é mortal.
 • Belo Horizonte é a capital do estado de Minas Gerais.
Por outro lado, quando duas proposições vierem conectadas entre si, em uma só sentença, 
teremos uma proposição composta. Acompanhe o exemplo:
EXEMPLO
Rhayssa é professora e Zahir vereador.
Kalil vai ao parque ou Lays vai à academia.
Ou Jorge é paulista, ou mineiro.
Se amanhã de manhã chover, então não irei à escola.
Comprarei um avião, se, e somente se, eu ganhar na loteria.
Verifique que as sentenças apresentadas no exemplo trazem vários tipos de conectivos des-
tacados. Tais conectivos são reconhecidos como conectivos lógicos e atuam para unir duas ou 
mais proposições. Verificaremos, ainda neste tema, mais detalhes sobre os conectivos lógicos e o 
valor lógico de proposições compostas.
2 Tabela-Verdade
Neste tópico, trabalharemos com a tabela-verdade, que atua para dar um valor lógico para 
proposições compostas. No entanto, antes de começarmos nossos estudos sobre essa ferra-
menta, precisamos compreender o que são conectivos lógicos, bem como sua linguagem simbó-
lica e idiomática. Observe a tabela a seguir:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 101 – 
CONECTIVO
 – Linguagem Idiomática
CONECTIVO
– Símbolo ESTRUTURA LÓGICA EXEMPLO
E ^ Conjunção: Z ^ B Luzia é paulista e aposentada.
Ou V Disjunção: K v Z Irei no circo ou ao clube.
ou ... ou, mas não os dois V Disjunção Exclusiva: L v M Ou Marta é professora ou pedagoga, não ambos.
se ... então → Condicional: B → A Se chover, então fará frio.
se e somente se ↔ Bicondicional: O ↔ Z Sou feliz se e somente se como chocolate.
Tabela 1 – Conectivos Lógicos
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Para cada um dos conectivos, existe um modelo de tabela-verdade a ser seguida.
Observe que cada conectivo apresentado na linguagem idiomática apresenta um conectivo 
simbólico que nos permite representar a proposição de forma lógica. A partir desse entendimento, 
partiremos para a compreensão e montagem das tabelas-verdade, de acordo com cada conectivo.
FIQUE ATENTO!
Ressaltamos que para cada conectivo existe um símbolo que o representa. Logo, 
não podemos representar dois conectivos diferentes, com um mesmo símbolo.
Nesse contexto, devemos entender que chamamos de tabela-verdade a ferramenta utilizada 
para analisar as proposições compostas e dar a elas seus valores lógicos. Para criar a tabela, leva-
mos em conta o número de proposições. Assim, é preciso realizar o seguinte cálculo:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 nº de proposições
Ou seja, se tivermos três proposições, a tabela terá, então, 8 linhas (2³ = 8).
SAIBA MAIS!
Para conhecer melhor a aplicação da tabela-verdade, leia o artigo disponível no 
link: <http://www.mtm.ufsc.br/~gilles/ensino/2013-01/mtm5801/TabelasVerdade.
pdf>. Acesso em: 22 set. 2016.
Nos tópicos a seguir, estudaremos melhor alguns conectivos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 102 – 
2.1 Conectivo de Conjunção “e” (^)
Imagine a seguinte proposição: “sou rico e bonito”. Simbolicamente, podemos representar 
essa sentença por: r^b. Agora, veja a tabela-verdade da proposição apresentada:
r b r “e” bV V V
V F F
F V F
F F F
Tabela 2 – Tabela-verdade para o conectivo “e”
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Para a conjunção “e” (^), obteremos uma proposição verdadeira quando as duas proposições que 
a compõe forem verdadeiras. Em outras condições, acabamos por encontrar uma proposição falsa.
2.2 Conectivo Disjunção “ou” (v)
Observe a frase: “sou gordo ou magro”. Simbolicamente, temos essa proposição por: g v m. 
Agora, veja a construção da tabela-verdade para este conectivo:
g m g “ou” m
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela 3 – Tabela-verdade para o conectivo “ou”
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Quando trabalhamos com o conectivo “ou”, nos deparamos com uma proposição falsa 
quando ambas as proposições que a compõe forem falsas.
2.3 Conectivo Disjunção Exclusiva “ou ... ou, 
mas não ambos” (v)
Observe a proposição “ou sou rico ou bonito”. Simbolicamente, teremos: r v b. Agora, acom-
panhe a seguir a construção da tabela-verdade para este conectivo:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 103 – 
r b r “ou...ou, mas não ambos” b
V V F
V F V
F V V
F F F
Tabela 4 – Tabela-verdade para o conectivo “ou ... ou, mas não ambos”
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Note que daremos o valor lógico “falso” para as sentenças compostas por duas proposições 
verdadeiras ou duas falsas. Isto ocorre porque o conectivo apresentado é chamado de disjunção 
exclusiva, onde as proposições não podem ser iguais.
2.4 Conectivo Condicional “se...então” (→)
Veja a frase “se corro, então emagreço”. Simbolicamente, teremos: c→e. Observe a constru-
ção da tabela-verdade para este conectivo:
c e c “se...então” e
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 5 – Tabela-verdade para o conectivo “se...então”
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Perceba que somente quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa é 
que teremos uma proposição composta falsa. Nos outros casos, teremos sempre uma proposição 
composta verdadeira.
2.5 Conectivo Bicondicional “se e somente se” (↔)
Para conhecer melhor este conectivo, usaremos como exemplo a seguinte frase: “Me canso 
se, e somente se, andar”. Simbolicamente, teremos: c↔a. Agora, acompanhe a seguir a constru-
ção da tabela-verdade para este conectivo:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 104 – 
c a c “se e somente se então” a
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela 6 – Tabela-verdade para o conectivo “se e somente se”
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Observe que a sentença somente será verdadeira quando ambas proposições forem verda-
deiras ou ambas forem falsas. Se uma das proposições for verdadeira e a outra falsa, teremos uma 
proposição composta falsa.
SAIBA MAIS!
Para aprender mais sobre o uso da tabela verdade, leia o artigo disponível em: <http://
revistabioetica.cfm.org.br/index.php/revista_bioetica/article/view/762/815>.
3 Resolução de problema envolvendo proposições 
Neste tópico, vamos estudar a resolução de problemas envolvendo a tabela-verdade, que 
colabora para a tomada de decisão mais acertada e ajuda a evitar erros. Então, suponha a 
seguinte situação:
s1: Se faz sol, então vou ao parque.
A seguir, você verá a tabela-verdade para a frase proposta, a fim de encontrarmos seu valor 
lógico.
s p s “se...então” p
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 7 – Tabela-verdade para a sentença s1
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 105 – 
A partir da frase exposta, construímos a tabela-verdade do conectivo “se ... então”. Assim, a 
tabela nos mostra em quais circunstâncias a sentença apresentada é verdadeira ou falsa.
Vamos a outro exemplo:
s2: “Ou sou alto, ou sou pobre”
Agora, acompanhe a tabela-verdade:
a p a “ou...ou” p
V V F
V F V
F V V
F F F
Tabela 8 – Tabela-verdade para a sentença s2
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
A partir desta proposição, construímos a tabela-verdade onde somente pode ser verdadeira 
a frase se “Ou sou alto” “Ou sou pobre”. A frase é falsa caso “eu seja alto e pobre”, pois o conectivo 
não permite que ambas sejam verdadeiras.
Fechamento 
Neste tema, você conheceu sobre as proposições lógicas e a diferença entre proposições 
simples e compostas, sendo que essa última tem o auxílio da tabela-verdade e o uso dos conec-
tivos lógicos. Você também conheceu a resolução de problemas envolvendo a construção da 
tabela-verdade.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • identificar o valor lógico das proposições;
 • compreender a resolução de problemas envolvendo as proposições.
Referências
ALENCAR FILHO, Edgar. Iniciação à Lógica Matemática. 21 ed. Editora Nobel: 2008.
CASTRO, Gilles Gonçalves de. Tabelas-verdade. Disponível em: <http://www.mtm.ufsc.br/~gilles/
ensino/2013-01/mtm5801/TabelasVerdade.pdf>. Acesso em: 22 set. 2016.
GENSLER, Harry J. Introdução à Lógica. Paulus Editora: 2016.
SPIANDORELLO, Wilson Palaschi. Cenário de desenvolvimento da vida humana e reflexões sobre 
o aborto. In Revista Bioética. CFM, 2012. Disponível em: <http://revistabioetica.cfm.org.br/index.
php/revista_bioetica/article/view/762/815>. Acesso em: 22 set. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 106 – 
A Realidade e Seus Modelos Abstratos
 Luis Zanin
Introdução
Nesta aula, teremos a oportunidade de estudar um dos modelos abstratos criados pelo ser 
humano com o objetivo de compreender fenômenos naturais e simular o mundo que o rodeia, que 
é conhecido como função. Veremos também a ideia de aproximação de situações reais através 
da utilização dessas funções. Porém, primeiramente, devemos conhecer a teoria matemática e os 
conceitos que estão envolvidos na fundamentação da ideia de função. Para isso, estudaremos o 
plano cartesiano e suas características, bem como a relação binária, até chegarmos na constru-
ção da função. Mantenha-se concentrado e bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer o conceito de abstrato, relacionando com os fenômenos;
 • conhecer e caracterizar o plano cartesiano;
 • compreender a função como caso particular de uma relação.
1 A abstração em Matemática
Você sabe dizer como conseguimos entender a natureza? Como é possível realizar as pre-
visões de tempo? Ou como sabemos o momento exato da posição de um planeta em relação ao 
Sol? Estas são perguntas comuns e as respostas nem sempre são tão simples. Porém, a evolução 
da matemática possibilitou desenvolver meios para que dúvidas como essas fossem respondidas.
Figura 1 - Sistema solar
Fonte: Christos Georghiou/Shutterstock.com
 – 107 – 
TEMA 15
Porém, antes de falarmos sobre a realidade e seus modelos abstratos, precisamos fazer 
algumas reflexões iniciais. O universo que nos rodeia possui (tanto nas coisas maiores, como o 
sistema solar, como nas extremamente pequenas, como as bactérias) uma grande quantidade 
de características que interferem em seu comportamento, como o movimento de translação do 
planeta ou a velocidade com a que uma bactéria se reproduz. Por isso, em alguns casos, o estudo 
de tais fenômenos fica extremamente difícil, havendo a necessidade de se utilizar um modelo que 
represente o fenômeno estudado. 
Em muitos casos, este modelo pode ser difícil de ser construído, principalmente quando se 
quer representar perfeitamente tal fenômeno. Dessa forma, quando não é impossível criar um 
modelo que obtenha esse grau de perfeição, é necessário utilizar modelos que se aproximem do 
real, de tal maneira, que os resultados obtidos sejam aceitos – também conhecidos como mode-
los abstratos. 
FIQUE ATENTO!
Modelos matemáticos não produzem necessariamente resultados fiéis ao fenôme-
no estudado, mas são úteis por produzirem valores consideravelmente próximos.
E então, nesse cenário, você sabe qual conceito da Matemática tem sido mais utilizado para 
criar estes modelos? Nesses casos, podemos utilizar o conceitode função, a partir do qual se 
desenvolveu os princípios do Cálculo Diferencial Integral. É com estes princípios, por exemplo, que 
podemos determinar a velocidade instantânea de um veículo, indicada no painel de um carro.
EXEMPLO
Uma corrida de táxi tem seu valor calculado de acordo com a distância percorrida, 
ou seja, quanto mais se anda mais se paga. Logo, é possível criar uma representa-
ção matemática deste caso e de outros similares, pois são valores progressivos e 
diretamente proporcionais.
Nesse sentido, podemos dizer que existem diversas expressões matemáticas básicas que 
são utilizadas com muita frequência em situações complexas do nosso cotidiano. Um exemplo 
disso é a representação de juros simples, que é dada da seguinte forma: J = C ∙ i ∙ n. . Essa é 
uma expressão simples, composta pela multiplicação de três fatores distintos. Por sua vez, a 
expressão   
 0
2 EM= . log 
3 E
 que determina a magnitude de terremotos, é composta por logaritmos, 
multiplicação e razão.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 108 – 
2 Função matemática e outros conceitos
Antes de iniciarmos nossos estudos sobre este assunto, é necessário conferirmos alguns 
conceitos que antecedem a função matemática. Você sabe o que é o sistema cartesiano, por 
exemplo? É o que vamos estudar no tópico a seguir. 
2.1 Plano cartesiano
O sistema cartesiano, criado pelo físico e matemático francês René Descartes (1596 – 1650), 
consiste, basicamente, em duas retas numeradas e ortogonais. 
SAIBA MAIS!
 Além da matemática e da física, René Descartes atuou em outros ramos, como 
direito e fi losofi a. Sua principal obra é “O discurso do método”, publicado em 1637. 
Para saber mais sobre ele, acesse o arquivo disponível em: <http://www.dec.ufcg.
edu.br/biografi as/ReneDesc.html>.
No ponto de cruzamento entre as duas retas que compõem o plano cartesiano, fi ca locali-
zado o ponto chamado de origem. A reta horizontal recebe o nome de abscissa e a reta vertical 
recebe o nome de ordenada. Acompanhe na fi gura 2:
 
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1 2 3 4-1-2-3-4
Ordenada
Abscissa
Origem
0
0
Figura 2 - Plano Cartesiano
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Perceba que é possível identifi car qualquer ponto sobre o plano. Chamados de par ordenado, 
cada um desses pontos representa, então, um único par de coordenadas, que são os pontos loca-
lizados sobre a ordenada e a abcissa. Assim, imagine um ponto A qualquer com as coordenadas 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 109 – 
(2, 3). A leitura que devemos realizar é a seguinte: o ponto se localiza no cruzamento entre os eixos, 
quando x = 2 e y = 3. 
FIQUE ATENTO!
As coordenadas do ponto cartesiano respeitam a seguinte nomenclatura: o primei-
ro número refere-se ao valor da coordenada x e o segundo número refere-se às 
coordenadas y, portanto, (x, y). Assim, um ponto B, com coordenadas (3, 5) fica 
localizado em uma posição diferente se coordenadas (5, 3). 
2.2 Produto cartesiano
Podemos entender o produto cartesiano como o conjunto de pares ordenados (x, y) formados 
por pontos pertencentes a dois conjuntos. O elemento x pertence ao primeiro conjunto e y pertence 
ao segundo conjunto. Em uma linguagem mais formal, temos: A × B = {(x , y)| x ∈ A e y ∈ B } . Para 
compreender melhor este conceito, observe o exemplo a seguir: 
Sejam dois conjuntos:
A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}
Então:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}; e
B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}.
Vale a pena observar que com a inversão da ordem dos conjuntos a realização do produto 
cartesiano produziu conjuntos com elementos diferentes. 
Vale destacar que é possível também construir uma representação do produto cartesiano, 
confira:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
0 1 2 3 4 5 6-1
Figura 3 - Representação gráfica do produto cartesiano A x B 
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 110 – 
A leitura desta imagem nos permite visualizar a coleção ou o conjunto de pontos que compõe 
um produto cartesiano. É possível, ainda, verifi car a localização de cada ponto no plano e as coor-
denadas que determinam a sua posição.
2.3 Relação binária
A relação binária está intimamente relacionada à ideia de produto cartesiano, pois ela é um 
subconjunto do produto cartesiano. Para compreendermos melhor, vamos a um exemplo:
Considere o produto cartesiano A x B, sendo A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}: 
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}.
Considere, agora, aqueles que possuem a seguinte relação: x ⋅ y < 10. Como resposta tere-
mos o subconjunto {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4)}, que é uma relação binária. O resultado está relacio-
nado ao fato de que, em cada um destes pares ordenados, a multiplicação entres as coordenadas 
resulta em um valor menor que 10. Para os demais pares ordenados de A x B, esse não é um 
resultado possível.
É importante entendermos que quando se estuda relações binárias é bastante comum utili-
zarmos a representação gráfi ca destas relações. Para compreender melhor, considere a relação 
{(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5)}, que tem a seguinte representação gráfi ca: 
1
2
4
5
6
i
Figura 4 - Representação gráfi ca da relação binária
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
Este tipo de representação é muito interessante, pois permite verifi car se, por exemplo, existe 
algum elemento que não está relacionado com outro elemento, ou, ainda, ver quais elementos 
possuem mais de uma relação.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 111 – 
FIQUE ATENTO!
Para que uma relação binária seja considerada uma função ela deve obedecer às 
seguintes regras: todos os elementos x devem participar da relação binária e todos 
os elementos de x devem ter um único correspondente em y. Caso a relação binária 
não obedeça essas regras, ela não pode ser considerada uma função.
A partir dos conceitos apresentados, podemos agora definir a ideia de função. Vamos lá?!
2.4 Função matemática
Por uma questão de nomenclatura, chamamos de x os valores pertencentes ao conjunto de 
partida da relação e y os valores pertencentes ao conjunto de chegada da relação. Podemos enten-
der como conjunto de partida aquele com os valores que aplicamos em uma função. O conjunto 
de chegada, por sua vez, é o conjunto de valores que resultam das funções quando aplicamos os 
valores do conjunto de partida. Dessa forma, podemos dizer que função é, então, uma relação 
binária especial de tal forma que todo o elemento x possua somente um único correspondente y.
SAIBA MAIS!
Leia a seção “Funções e seus gráficos”, no livro Matemática Aplicada à Economia 
e Administração, elaborado por Lowis Leithold, que mostra como interpretar os 
conceitos de funções em situações diversas do cotidiano.
Aplicando a ideia de função ao plano cartesiano, podemos imaginar que, no eixo das abcis-
sas, todos os valores de x devem ter um único correspondente em y. Caso o valor de x possua dois 
ou mais valores em y, então esta relação não pode ser considerada como uma função.
EXEMPLO
A relação binária {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}, representada na figura 5, pode ser con-
siderada uma função, pois cada valor distinto de x se relaciona com um único valor 
de y. Já a relação binária {(1, 3), (1, 5), (3, 7), (4, 9)}, exposta na figura 6, não pode ser 
considerada uma função, pois existe um valor de x = 1 que se relaciona com dois 
valores para y = 3 e y = 5.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 112 – 
5
7
9
31
2
4
3
A B
Figura 5 – Representa uma função.
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
5
7
9
31
2
4
3
A B
Figura 6 – Não representa uma função.
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Fechamento
Ao concluir essa aula, você entendeualguns dos conceitos que fundamentam a ideia de 
função, conheceu os objetos matemáticos importantes para a defi nição de relação e, consequen-
temente, de função. 
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender a ideia de abstração matemática;
 • conhecer o plano cartesiano e seu funcionamento com as coordenadas e os pares 
ordenados;
 • ter contato com a ideia de produto cartesiano e sua representação gráfi ca;
 • conhecer as características de uma Relação Binária;
 • compreender a ideia de função como sendo uma relação binária com características 
especiais.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 113 – 
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
RIBEIRO, Jackson. Matemática: Ciência e Linguagem. São Paulo: Scipione, 2008.
UNIVERSIDADE Federal de Campina Grande. Biografias: René Descartes. Disponível em: <http://
www.dec.ufcg.edu.br/biografias/ReneDesc.html>. Acesso em: 26 set. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 114 – 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 115 – 
Teoria das Funções
Vagner Luis Zanin
Introdução
Você sabe dizer por que é importante estudar funções? Uma função, ou uma combinação 
de funções, serve, basicamente, para determinar a relação entre os valores do eixo horizontal com 
os valores do eixo vertical. Mas esta é a explicação matemática. E na vida prática, o que é uma 
função? Podemos dizer que ela reproduz ou simula situações que, dependendo do valor aplicado, 
darão um determinado valor de resposta. 
Este tipo de situação ocorre em diversos momentos do cotidiano, como, por exemplo, o 
pagamento do valor do táxi ou a cobrança de juros simples e compostos, onde é possível utilizar 
expressões simples como uma equação da reta para realizar uma simulação.
Mas, para conseguir utilizar estas expressões em simulações de determinadas situações, 
é necessário compreender alguns detalhes relacionados aos conjuntos, que estudaremos nesta 
aula. Sendo assim, mantenha-se concentrado e bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • reconhecer a Teoria das funções;
 • entender o conceito abstrato de linearidade;
 • compreender o conceito de função linear como aproximação primeira da realidade.
1 A ideia de função
Ao tentarmos criar ou relacionar coisas no nosso dia a dia, utilizamos a noção de função. 
Logo, ao associarmos o lucro com a quantidade vendida de um produto, por exemplo, descreve-
mos uma função de uma variável real. É interessante notarmos que fenômenos do nosso cotidiano 
podem se caracterizar como uma relação entre dois conjuntos numéricos que sofrem influência 
de uma “lei” que relaciona os elementos de um aos elementos do outro, ou seja: a interpretação 
dos dois conjuntos e da lei de formação pode esclarecer o fenômeno estudado.
Para compreendemos melhor este conceito, fique atento ao seguinte exemplo:
Considere um conjunto T de indivíduos, que possua somente elementos dos números natu-
rais (ℕ), e um conjunto I formado pelas possíveis idades de uma pessoa, com elementos que tam-
bém pertencem ao conjunto dos naturais (ℕ).
Assim, é possível construir uma função que relaciona cada indivíduo de T a uma idade em I. 
Então, deve ficar claro que: 
TEMA 16
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 116 – 
 • qualquer elemento de T corresponde a um elemento de I, já que todo indivíduo tem 
apenas uma idade;
 • nenhum indivíduo tem duas ou mais idades.
Desta maneira, cada elemento x de T corresponde um único elemento y de I. Observe, em um 
linguajar matemático bem simples, que função nada mais é, então, do que uma relação entre duas 
variáveis (y e x), onde y é a variável dependente e x é a variável independente, pois y depende de x. 
Por exemplo: escrevendo y = x + 1, temos que y depende do valor de x, de forma que para 
cada x colocado, teremos um único y que satisfaz à expressão característica da função. Em outras 
palavras, a regra determinada pela função é que todo x faz com que exista um y que é igual a x + 
1. Se fi zermos x = 1, teremos que y = 1 + 1 = 2.
Agora que você entendeu o conceito básico de função, que tal conhecer quais são as suas 
características? É o que veremos no próximo tópico.
2 Características de uma função
Em uma função defi nida de A em B, chamamos A e B, respectivamente, de domínio e contra-
domínio da função e o conjunto de todas as imagens chamamos de conjunto imagem. Para que 
esses conceitos sejam mais claros, acompanhe:
 • Domínio: é o conjunto partida formado pelos valores aos quais a função está defi nida. 
Notação Df .
 • Contradomínio: é o conjunto chegada, que contém o conjunto imagem.
 • Conjunto imagem: é o conjunto formado pelos pontos do contradomínio, que são ima-
gens de algum ponto do domínio. Notação Imf .
Im
D Contra domínio 
f
f
Figura 1 - Domínio, Contradomínio e Imagem
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
Neste ponto, é importante entendermos que, quando trabalhamos com função, é comum 
utilizarmos o recurso gráfi co de uma determinada função para visualizarmos seu comportamento. 
A construção deste gráfi co ocorre sobre o plano cartesiano, sendo que no eixo horizontal fi ca 
o domínio e no eixo vertical a imagem. Para melhor compreendermos, observe a fi gura 2:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 117 – 
1
2
-1
-2
1
y = x – 
2 3-1-2
A
B
-3
0
0
3
4
-3
-4
5
3
1
3
Figura 2 - Gráfi co de uma função
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
Perceba na fi gura 2 que o domínio, nesse caso, são os todos os números reais entre -1 e 2, do 
eixo horizontal. E a imagem são todos os números reais entre – 2 e 3 do eixo vertical.
FIQUE ATENTO!
O eixo horizontal também recebe o nome de eixo x, e o eixo vertical é chamado de y. 
Isso quer dizer que o eixo horizontal recebe os valores x e a reta vertical recebe os 
valores y.
Sempre que quisermos defi nir uma função, então, é necessário descrevermos o domínio, o 
contradomínio e a regra, que pode ser uma expressão algébrica e leva cada elemento x do domínio 
ou um elemento y da imagem. Observe a representação a seguir:
f : ℝ → ℝ
f(x) = x – 1
Perceba que podemos ver o conjunto numérico do domínio e do contradomínio a partir da 
expressão f : ℝ → ℝ e também a regra da relação entre os dois conjuntos com a expressão f(x) = x – 1.
FIQUE ATENTO!
Para determinar a regra da relação, podemos utilizar a f(x) = x – 1 ou também 
y = x – 1. Ou seja, as formas f(x) e y são equivalentes.
Para melhor entender a ideia da “regra de relação”, ou lei de associação, devemos ter em 
mente que ela é a responsável por associar cada valor x a um valor y.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 118 – 
EXEMPLO
É possível termos uma função onde o domínio e o contradomínio sejam conjuntos 
distintos. Veja a seguinte função:
f : ℕ → ℝ
f (x) = –3x + 4
Neste caso, o domínio é o conjunto dos números naturais e o contradomínio é o 
conjunto dos números Reais.
3 Função constante, função identidade e função linear
Uma função de ℝ em ℝ é chamada de função constante quando, a cada elemento do domí-
nio, associamos sempre o mesmo elemento c (f (x ) = c ). Note que, aqui, o domínio e o contrado-
mínio são o conjunto dos números reais, enquanto que o conjunto imagem é o conjunto unitário 
{c}. Um exemplo deste tipo de função é a seguinte:
f : ℝ → ℝ
f (x) = 7
Vale destacar que uma função é considerada constante quando, para qualquer valor x, o valor 
de y é o mesmo, ou seja: o valor da ordenada será sempre constante.
1
2
-1
1 2 3-1-2-3
0
0
3
4
5
6
7
8
9
4 5-4-5
Figura 3 - Gráfico de uma função constante
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 119 – 
Agora, uma função de ℝ em ℝ é chamadade função identidade quando, para cada elemento 
do domínio, se relaciona um número idêntico da imagem, ou em linguagem matemática:
f : ℝ → ℝ
f (x) = x
SAIBA MAIS!
O gráfico de uma função identidade é uma reta que passa pela origem e que têm 
um ângulo de 45º com os eixos. Para aprender mais sobre este gráfico, consulte 
o artigo disponível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/funcoes/
funcoes.htm#m20212>. 
A função linear é um tipo especial de função do 1° grau (que veremos a seguir) e a lei de 
formação é do tipo f(x) = a . x (a é um número real diferente de zero). O gráfico da função linear 
produz uma linha reta que passa pela origem. A função identidade é um caso particular de função 
linear, onde a = 1. 
EXEMPLO
Veja a função:
f : ℝ → ℝ
f(x) = 3 x
Essa é uma função linear, já que passa pela origem, mas não é a função identidade, 
pois a = 3.
4 Funções polinomial do 1° grau
A função afim ou polinomial do 1° Grau é do tipo f (x) = ax + b, onde ‘a’ e ‘b’ são constantes 
reais com a ≠ 0. Funções deste tipo, quando definidas de ℝ em ℝ, têm como curva característica 
do seu gráfico uma reta.
FIQUE ATENTO!
Note que toda função linear é uma função afim com o valor b = 0. Em outras pala-
vras, a função linear é representada da seguinte forma: f(x) = ax + 0. 
Aplicada a esse conceito, veja que a função f (x) = 2x + 1, definida ℝ em ℝ , tem como gráfico 
uma reta, conforme você pode observar na figura 3. Note também que a = 2 e b = 1: 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 120 – 
1
2
-1
-2
1 2 3-1-2-3
0
0
Figura 4 - Gráfi co de uma função f(x) = 2x + 1 
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
Podemos classifi car a função polinomial do 1º grau em dois tipos:
 • crescente: uma função é considerada crescente quando, sempre que aumentarmos os 
valores de x, os valores de y também aumentarem; 
 • decrescente: uma função é considerada decrescente quando, sempre que aumentar-
mos os valores de x, os valores de y diminuírem;
Agora, imagine a seguinte situação: uma empresa de telefonia construiu uma tabela que 
indica o gasto médio de uma empresa de telemarketing em ligações a seus clientes, relacionando 
a quantidade de pessoas e o respectivo gasto em reais.
Números de funcionários Valor gasto em Reais com ligações
3 180,00
9 540,00
21 1260,00
36 2160,00
54 3240,00
Tabela 1 – Exemplo de gastos de uma empresa de telemarketing
Fonte: elaborado pelo autor, 2016
A partir dos dados apresentados na tabela 1, é possível observar que o crescimento do valor 
gasto em reais é proporcional ao número de funcionários. Assim, podemos dizer que cada fun-
cionário gasta R$ 60,00, uma vez que 180 540 2160 = = 60,00 = = 60,00 = = 60,00180 540 2160 = = 60,00180 540 2160
3 9 36
 = = 60,00
3 9 36
 = = 60,00 = = 60,00� = = 60,00 , ou seja, o acréscimo do valor gasto 
é constante por funcionário e essa é uma das características da linearidade. Com estas informa-
ções, é possível, por exemplo, determinar os valores gastos, em reais, do número de funcionários 
que não estão na tabela acima. Um exemplo é o gasto de seis funcionários, que é de R$ 360,00, ou 
de quinze funcionários, que é de R$ 900,00. 
A expressão que representa todos estes valores é y = 60x, onde y representa o valor gasto em 
reais e x representa a quantidade de funcionários. Essa expressão é linear e, a partir dela, pode-
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 121 – 
mos construir um gráfico que possui o formato de uma reta e é formado por pontos onde, no eixo 
horizontal está indicada a quantidade de funcionários e no eixo vertical está indicado o valor gasto.
Sobre estes pontos, podemos criar uma função afim que represente tal situação, sendo que 
não necessariamente a reta passará por cima de todos os pontos. No entanto, a reta passará tão 
perto que proporciona uma representação muito próxima do real. Veja o gráfico a seguir:
3000
2000
1000
0 10 20 30 40 50 60
Figura 5 - Gráfico de pontos com função polinomial do 1º grau
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Como já vimos, a função do exemplo dado possui a expressão y = 60x, sendo que o domínio 
são todos os valores reais maiores ou igual a zero.
É importante compreender que o gráfico é um exemplo simples de aproximação para uma 
função polinomial do 1º grau, de uma situação do cotidiano. 
SAIBA MAIS!
Para aprender mais sobre o procedimento utilizado para determinar a equação das 
funções polinomiais do 1º grau, consulte o artigo “Análise de Regressão: Notas de 
Aula”, disponível em: <http://www.fau.usp.br/cursos/graduacao/arq_urbanismo/
disciplinas/aut0516/Apostila_Regressao_Linear.pdf>.
Fechamento 
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender as características básicas de uma função.
 • conhecer a ideia de domínio, contradomínio e imagem.
 • entender as funções dos tipos constante, identidade e linear.
 • conhecer uma aplicação de aproximação de uma função para um caso real.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 122 – 
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
3. ed. São Paulo: Atual, 1977.
BEZERRA, Manoel Jairo. Curso de matemática: para os cursos de segundo grau. 32. ed. São Paulo: 
Companhia Editora Nacional, 1975.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. vol1.
UNIVERSIDADE de São Paulo. Análise de Regressão: Notas de Aula. Disponível em: <http://www.
fau.usp.br/cursos/graduacao/arq_urbanismo/disciplinas/aut0516/Apostila_Regressao_Linear.
pdf>. Acesso em: 28 set. 2016.
UNIVERSIDADE Estadual de Londrina. Relações e Funções. Disponível em: <http://www.uel.br/
projetos/matessencial/medio/funcoes/funcoes.htm#m20212>. Acesso em: 30 set. 2016.
As funções não lineares fundamentais: 
Funções Quadráticas
Vagner Luis Zanin
Introdução
Nesta aula, vamos discutir quais são as principais propriedades acerca da função polinomial do 
segundo grau. A representação gráfica ou curva, característica da função, é dada por uma parábola. 
O matemático indiano Bhaskara Akaria (1114 – 1185), que está relacionado diretamente à 
função quadrática, faz parte do conjunto dos grandes matemáticos da história, e, durante o século 
XII, começou a tentar resolver uma equação do segundo grau com a promessa de divulgação dos 
resultados. A tentativa deu-se porque a grande questão para os matemáticos dessa época estava 
na existência de um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sendo assim, utilizando princípios 
simples, Akaria conseguiu encontrar um valor para x. 
Com o passar do tempo, a fórmula resolutiva desenvolvida pelo matemático indiano serviu 
de base para outras operações, como Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores das 
coordenadas dos vértices de uma função quadrática.
Nesta aula, vamos percorrer o caminho da função quadrática. Por isso, fique atento ao con-
teúdo apresentado e bons estudos! 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de função quadrática;
 • entender como a função quadrática pode descrever e representar diversas situações.
1 A função de 2º grau
A função quadrática ou função polinomial do 2° grau é uma função f(x) = ax² + bx + c, onde a, 
b e c são números reais com a ≠ 0. Funções deste tipo, quando definidas de ℝ em ℝ, apresentam 
os valores de a, b e c fixos e x é a variável.
EXEMPLO
Vamos analisar a função a seguir: 
f(x) = 2x2 + 5x - 6
Aqui, podemos verificar os seguintes valores:
a = 2, b = 5 e c = -6
 – 123 – 
TEMA 17
Observe a representação gráfi ca de uma função quadrática do 2º grau na fi gura a seguir:
0 1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6 2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
0
Figura 1 – Gráfi co de uma equação do 2º grau
Fonte: elaborado pelo autor,2016.
Neste ponto, é importante compreendermos que o gráfi co de uma função quadrática, ou 
polinomial, do 2º grau é uma curva aberta que recebe o nome de parábola. 
2 Aplicações diversas na equação de 2º grau 
(concavidade, vértice e zeros)
As características da concavidade da parábola que representa uma equação quadrática, das 
coordenadas do vértice e a descrição das raízes (ou zeros da função) são alguns dos pontos 
fundamentais para o desenvolvimento da resolução de aplicações diversas acerca desse tipo de 
função. Acompanhe:
 • Concavidade: com relação à parábola que representa geometricamente a função 
f(x) = ax² + bx + c, vemos que a mesma apresenta concavidade para cima, caso a > 0. 
Contrariamente, se a < 0, então, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
0 1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6 2
2
3
3
4
4
5
5 y = x2 + x
y = -5x2 - 4x + 4
6
6
0
Figura 2 – Gráfi co dos dois tipos de concavidade
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 124 – 
 • Coordenadas do vértice: em qualquer caso, o vértice da parábola é o ponto V ;  –b – –b –V ;  V ; –b –V ; –b – –b –V ; –b –∆ ∆  V ;  V ; V ;  V ;    –b – –b – –b – –b –V ;  V ;  V ;  V ; –b –V ; –b – –b –V ; –b – –b –V ; –b – –b –V ; –b –∆ ∆ ∆ ∆
 2a 4a 2a 4a
 
 
 V ;  V ; 
 
V ;  V ; 2a 4a 2a 4a 2a 4a
 2a 4a
V ; 
2a 4a
V ;  V ; 2a 4a
V ; 
 
V ; 
2a 4a
V ;  V ; 2a 4a
V ;  ,
onde ∆ = b2 – 4a. Ou seja, isso nos diz que a abscissa do vértice da parábola tem coor-
denada –b
2a
, enquanto que a ordenada do vértice da parábola tem coordenada –
4a
∆ .
SAIBA MAIS!
Quando a parábola apresentar a concavidade voltada para baixo (a < 0), então esta 
admite um ponto máximo no vértice. Caso contrário, se a concavidade estiver 
voltada para cima (a > 0), então ela terá um ponto mínimo no vértice. Para conhecer 
mais sobre este assunto, consulte o texto disponível em: <http://www.uel.br/
projetos/matessencial/fundam/eq2g/quadratica.htm>.
 • Discriminante: Delta (∆) é o discriminante da função, pelo valor de ∆ podemos estudar 
o comportamento da função quanto às raízes.
 • Raízes reais e diferentes: quando o valor da expressão ∆ = b² – 4ac for positivo, a pará-
bola intercepta o eixo x das abscissas em dois pontos distintos (x’; 0) e (x”; 0), onde x’ e x” 
são dados pela fórmula –b ± 
2a
∆ . Ou seja, x’ e x” são as duas raízes reais distintas da 
equação do segundo grau.
 • Raízes reais e iguais: quando o valor da expressão ∆ = b² – 4ac for igual a zero, então 
a parábola é tangente ao eixo x das abscissas no ponto v
–bx = vx = v 2a
. E, neste caso, a função 
quadrática possui duas raízes reais e iguais.
 • Sem raízes reais: quando o valor da expressão ∆ = b² – 4ac for negativo, signifi ca que 
a função quadrática não admite raízes reais. Geometricamente, isso nos diz que a pará-
bola não toca o eixo x das abscissas.
f (x)= ax² + bx + c 
∆ = b² – 4ac
a < 0 a > 0 
∆ < 0
0 1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-6
2 3 4 5 6
0
x
y
0 1
1
-1
-1
-2
-2
2
2
3
3
4
4
5
5
6
0
x
y
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 125 – 
f (x)= ax² + bx + c 
∆ = b² – 4ac
a < 0 a > 0 
∆ = 0
0 1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-6
2 3 4 5 6
0
x
y
0 1
1
-1
-1
-2
-2
2
2
3
3
4
4
5
5
6
0
x
y
∆ > 0
0 1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-6
2 3 4 5 6
0
x
y
0 1
1
-1
-1
-2
-2
2
2
3
3
4
4
5
5
6
0
x
y
Quadro 1 – Representação gráfica de expressões
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Quando o valor do delta for menor que zero, ou seja, ∆ < 0, a função não possui 
raízes reais, já que neste conjunto não há nenhum número que seja raiz quadrada 
de um número negativo.
O trinômio do 2º grau ax2 + bx + c grau é positivo para todo x real se, e somente se, a > 0 e 
∆ < 0. Contrariamente, o trinômio do 2º grau ax2 + bx + c é negativo para todo x real se, e somente 
se, a < 0 e ∆ < 0. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 126 – 
EXEMPLO
Vamos visualizar cada uma das propriedades descritas anteriormente, considerando a 
função quadrática f : → → → defi nida por f(x) = x2 – 6x + 8. Inicialmente, devemos deter-
minar os valores de a, b e c. Assim, temos a = 1, b = –6 e c = 8.
 • Como o valor de a = 1, ou seja, a > 0, a concavidade do gráfi co desta função é voltada 
pra cima.
 • Aplicando as expressões ∆ = b2 – 4ac teremos ∆ = (–6)2 – 4 · 1 · 8 = 4. As coordena-
das do vértice da expressão ( )–b – –4V ;  V ;  V 3; –1(V ;  V ;  V 3; –1(–b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4
2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
 ( ( ) )– –6 – –6(– –6( (– –6(–b – –4 –b – –4)–b – –4) )–b – –4)–b – –4 –b – –4– –6–b – –4– –6 – –6–b – –4– –6(– –6(–b – –4(– –6( (– –6(–b – –4(– –6( –b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1–b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4–b – –4∆–b – –4 –b – –4∆–b – –4–b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4∆–b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4∆–b – –4V ;  V ;  V 3; –1–b – –4V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1
(
V ;  V ;  V 3; –1
(
 
(
V ;  V ;  V 3; –1
( )
V ;  V ;  V 3; –1
)
 
)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
 
–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4(–b – –4(
V ;  V ;  V 3; –1
(–b – –4(
 
(–b – –4(
V ;  V ;  V 3; –1
(–b – –4( )–b – –4)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4)
 
)–b – –4)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4) 
 
 –b – –4 –b – –4
 
–b – –4 –b – –4)–b – –4) )–b – –4)
 
)–b – –4) )–b – –4)–b – –4 –b – –4
 
–b – –4 –b – –4– –6–b – –4– –6 – –6–b – –4– –6
 
– –6–b – –4– –6 – –6–b – –4– –6(– –6(–b – –4(– –6( (– –6(–b – –4(– –6(
 
(– –6(–b – –4(– –6( (– –6(–b – –4(– –6(
V ;  V ;  V 3; –1
 
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1
 
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4 –b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
 
–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4 –b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4(–b – –4(
V ;  V ;  V 3; –1
(–b – –4( (–b – –4(
V ;  V ;  V 3; –1
(–b – –4(
 
(–b – –4(
V ;  V ;  V 3; –1
(–b – –4( (–b – –4(
V ;  V ;  V 3; –1
(–b – –4( )–b – –4)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4) )–b – –4)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4)
 
)–b – –4)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4) )–b – –4)
V ;  V ;  V 3; –1
)–b – –4)– –6–b – –4– –6
V ;  V ;  V 3; –1
– –6–b – –4– –6 – –6–b – –4– –6
V ;  V ;  V 3; –1
– –6–b – –4– –6
 
– –6–b – –4– –6
V ;  V ;  V 3; –1
– –6–b – –4– –6 – –6–b – –4– –6
V ;  V ;  V 3; –1
– –6–b – –4– –6(– –6(–b – –4(– –6(
V ;  V ;  V 3; –1
(– –6(–b – –4(– –6( (– –6(–b – –4(– –6(
V ;  V ;  V 3; –1
(– –6(–b – –4(– –6(
 
(– –6(–b – –4(– –6(
V ;  V ;  V 3; –1
(– –6(–b – –4(– –6( (– –6(–b – –4(– –6(
V ;  V ;  V 3; –1
(– –6(–b – –4(– –6(
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1
(
V ;  V ;  V 3; –1
(
→ →
(
V ;  V ;  V 3; –1
(
 
(
V ;  V ;  V 3; –1
(
→ →
(
V ;  V ;  V 3; –1
( )
V ;  V ;  V 3; –1
)
→ →
)
V ;  V ;  V 3; –1
)
 
)
V ;  V ;  V 3; –1
)
→ →
)
V ;  V ;  V 3; –1
)
V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1→ →V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1V ;  V ;  V 3; –1
 V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1
 V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
 
–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4∆–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4∆–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
 
–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4∆–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4 –b – –4V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4∆–b – –4
V ;  V ;  V 3; –1
–b – –4
 2a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1
 
 
 V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1
 
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1
 2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
 
V ;  V ;  V 3; –1
2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
 2a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1
 
 
 V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –1
 
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1
 2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
 
V ;  V ;  V 3; –1
2a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1 V ;  V ;  V 3; –12a 4a 2 1 4 1
V ;  V ;  V 3; –1
2a 4a 2 1 4 1⋅ ⋅2a 4a 2 1 4 1 2a 4a 2 1 4 1⋅ ⋅2a 4a 2 1 4 1
. 
 • Como neste caso ∆ = 4, logo ∆ > 0, isso signifi ca que existem duas raízes reais dis-
tintas, são elas:
( )– –6 ± 4(– –6 ± 4( )– –6 ± 4)– –6 ± 4–b ± 
x = x = x = 4 e x = 2x = x = x = 4 e x = 2x = x = x = 4 e x = 2x = x = x = 4 e x = 2x = x = x = 4 e x = 2
(
x = x = x = 4 e x = 2
( )
x = x = x = 4 e x = 2
)
x = x = x = 4 e x = 2x = x = x = 4 e x = 2x = x = x = 4 e x = 2
– –6 ± 4
x = x = x = 4 e x = 2
– –6 ± 4(– –6 ± 4(
x = x = x = 4 e x = 2
(– –6 ± 4( )– –6 ± 4)
x = x = x = 4 e x = 2
)– –6 ± 4)– –6 ± 4
x = x = x = 4 e x = 2
– –6 ± 4–b ± 
x = x = x = 4 e x = 2
–b ± 
2a 2 1
′ ′′x = x = x = 4 e x = 2′ ′′x = x = x = 4 e x = 2
∆
x = x = x = 4 e x = 2
∆
x = x = x = 4 e x = 2→ →x = x = x = 4 e x = 2→ →x = x = x = 4 e x = 2
(
x = x = x = 4 e x = 2
(
→ →
(
x = x = x = 4 e x = 2
( )
x = x = x = 4 e x = 2
)
→ →
)
x = x = x = 4 e x = 2
)
x = x = x = 4 e x = 2→ →x = x = x = 4 e x = 2
2a 2 1⋅2a 2 1
0 1
1
-1
-2
2
x’ x”
2
3
3
x
y
4 5
Vértice V
6
0
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
3 Aplicação da função polinomial do 2º grau
A função quadrática é aplicada em diversas situações por conta das características que já 
vimos até aqui, como a parábola e o ponto de vértice, por exemplo. É importante termos em mente 
que uma considerável gama de problemas pode ser resolvida com esta função. Em geral, toda situ-
ação que possua um ponto máximo ou mínimo e que também tenha uma parábola como o gráfi co 
que representa o seu comportamento pode ser simulada através de uma função polinomial do 2º 
grau. Para compreender melhor esse conceito, acompanhe o exemplo a seguir.
No próximo verão, um grupo de amigos deseja viajar para a Europa, mais especifi camente 
para a França. Sendo assim, eles têm interesse em alugar um avião com capacidade máxima para 
100 pessoas e, desta forma, procuraram a AFA Airlines, que é uma companhia aérea que já atua 
em voos internacionais desde a década de 80. Diante da solicitação, a empresa informa que as 
regras específi cas para o aluguel do avião são as que seguem:
 • regra 1: o preço (PR) de cada passagem será dado pela expressão PR = 1000 + 80 · NV, 
onde NV denota o número de vagas que possivelmente sobram;
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 127 – 
 • regra 2: a assinatura do contrato de locação com a AFA Airlines está condicionado ao 
número mínimo de 12 passageiros.
A partir dessas informações, é possível sabermos qual é o número de pessoas que gerará 
receita máxima para a AFA Airlines?
Essa situação explicita bem como são realizadas as modelagens matemáticas. Primeira-
mente, determinamos os problemas e, em seguinda, descrevemos matematicamente as situa-
ções que fazem parte do problema estudado. Agora, para determinar a solução do problema dado, 
vamos chamar a receita da AFA Airlines de R. Logo, teremos a seguinte fórmula:
R = PR · N
Onde N representa o número de pessoas que participarão do voo. De outra forma, temos:
NV = 100 – N
Logo, 
R = [1000 + 80 · (100 – N)] · N = [1000 + 8000 – 80N]. N = [9000 – 80N] · N
R = – 80 · N2 + 9000 · N
Ou seja, temos a função quadrática associada com concavidade voltada para baixo, como 
podemos observar na figura a seguir:
0-50
-100000
-200000
-300000
-400000
50
100000
200000
300000
100 150 200
0
Figura 4 – Representação gráfica da recita da AFA Airlines
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 128 – 
Dessa forma, o vértice da parábola y = – 80 · x2 + 9000 · x possui abscissa dada por:
v
–b –9000
x  = = = 56,25x  = = = 56,25x  = = = 56,25vx  = = = 56,25v
–b –9000
x  = = = 56,25
–b –9000
2a –160
x  = = = 56,25
2a –160
x  = = = 56,25
Observe que o vértice corresponde ao ponto máximo da função receita. Como o número 
de passageiros N é um número natural, concluimos, portanto, que a receita (R) da AFA Airlines é 
máxima para N = 56 pessoas.
FIQUE ATENTO!
Em problemas de máximos e mínimos relacionados à função quadrática, sempre 
teremos que trabalhar com as coordenadas do vértice da parábola.
Como vimos na situação apresentada, quando aplicamos a função do 2º grau para resolver 
um determinado problema é muito comum que seja necessário a identifi cação dos pontos impor-
tantes da função, como raízes e vértices, por exemplo. É por isso que estudamos os vários tipos de 
função dentro da matemática, pois, assim, conhecendo préviamente as principais características 
de cada função e seus respectivos comportamentos, podemos compreender com muito mais 
facilidade as situações em que aplicamos tais funções, uma vez que as características das fun-
ções já foram estudadas.
FIQUE ATENTO!
É fundamental, para a interpretação e resolução de problemas matemáticos, o per-
feito entendimento e compreensão do texto.
Acompanhe, agora, mais um exemplo:
Luan deve cortar um pedaço de arame com o comprimento de 20 cm em duas partes de 
tal forma que, com uma das partes, ele possa construir um quadrado e, com a outra parte, um 
retângulo com base e altura na razão de 2 para 1. Qual seria o comprimento da parte relacionada 
à construção do quadrado, sabendo que a soma das áreas do quadrado e do retângulo deve ser 
mínima? Para iniciar a resolução, vamos representar as informações contidas no enunciado de 
acordo com a imagem a seguir:
u
A1 A2u
2v
2v
v v
u
u
Figura 5 - Disposição dos cortes
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 129 – 
A partir das informações obtidas na fi gura acima, temos:
( )
( )2 21 2
I4u + 6v = 20
  
IIA + A =1 2A + A =1 2 u + 2v
2 2 u + 2v2 2



















De (I), 4u + 6v = 20 
6v = 20 – 4u
20 – 4u ÷2
v =    v =    
6 ÷2
10 – 2uv = 
3
Logo, 10 – 2uv = 
3
 . Substituindo (I) em (II) temos que as somas das áreas são:
2
2
1 2
2
2
2
S = A + A = u + 22S = A + A = u + 221 2S = A + A = u + 21 2
S = u + 2 2S = u + 2 2
8u – 80u + 20028u – 80u + 2002
S = u + 2S = u + 2
S = A + A = u + 2 S = A + A = u + 21 2S = A + A = u + 21 2 1 2S = A + A = u + 21 2
9
 10 – 2u 10 – 2u
  
 
 
 10 – 2u 10 – 2u
 
10 – 2u 10 – 2u
 3 3   3 3 3 3
 224u – 40u + 100 4u – 40u + 10024u – 40u + 1002 24u – 40u + 1002
  9 9
 
 
 4u – 40u + 100 4u – 40u + 100
 
4u – 40u + 100 4u – 40u + 100
 9 9
 
 
 9 9 9
 9
Ou seja,
17 80 200217 80 2002S = u – u + S = u – u + S = u – u + 2S = u – u + 217 80 200S = u – u + 17 80 200217 80 2002S = u – u + 217 80 2002
9 999 99
Para determinar o comprimento mínimo, basta encontrar o valor da coordendada da abs-
cissa no ponto de vértice. Para isso, devemos utilizar somente a primeira fórmula na expressão 
V ;  
–b – –b –V ;  V ; 
–b –
V ; 
–b – –b –V ; 
–b –∆ ∆
  V ;  V ; V ;  V ; 
 
 
 –b – –b –
 
–b – –b –V ;  V ;  V ; 
 V ; 
–b –
V ; 
–b – –b –V ; 
–b –
 
–b –
V ; 
–b – –b –V ; 
–b –∆ ∆
 
∆ ∆
 2a 4a 2a 4a
 
 
 V ;  V ; 
 
V ;  V ; 2a 4a 2a 4a 2a 4a
 2a 4a
V ; 
2a 4a
V ;  V ; 2a 4a
V ; 
 
V ; 
2a 4a
V ;  V ; 2a 4a
V ;  , assim teremos:
v
80– –
–b 9x = = 2,353172a 2
9
 
















⋅
A partir da resolução da fórmula podemos concluir que a área mínima é u � 2,353. Além disso, 
o comprimento da parte destinada à construção do quadrado é dada por 4 · 2,353 = 9,412 (cm).
SAIBA MAIS!
Na prática, muitos são os estudos e fenômenos que se comportam como uma 
função polinomial do 2º grau. Veja uma aplicação mais detalhada no artigo 
“Modelagem Matemática no Ensino Médio – Um Estudo Sobre o número de 
contribuintes e aposentados da Previdência Social”, disponível em: <http://www.
uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/RE06_cnmem2009.pdf>.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 130 – 
Fechamento
Ao concluir esta aula, você viu que a função do 2º grau pode ser encontrada em modelagens 
de várias áreas do conhecimento, desde situações envolvendo lançamentos de objetos até pro-
blemas de mercado. Sua representação algébrica é comumente dada por f(x) = ax² + bx + c. Você 
viu também que sua representação geométrica é dada por uma parábola, que possui concavidade 
voltada para cima se a > 0 e concavidade voltada para baixo quando a < 0. 
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender quais as características e propriedades da função polinomial de 2º grau;
 • visualizar o seu gráfico, assim como o seu comportamento;
 • ter contato com exemplos aplicados e suas resoluções.
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. vol1.
OLIVEIRA, Alan Carlos; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem Matemática no Ensino Médio – um 
estudo sobre o número de contribuintes e aposentados da previdência social. Disponível em: <http://
www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/RE06_cnmem2009.pdf>. Acesso em: 03 out. 2016.
RIBEIRO, Jackson. Matemática: Ciência e Linguagem. São Paulo: Scipione, 2008. 
UNIVERSIDADE Estadual de Londrina. Projetos Matemática Essencial: Função Quadrática. Dispo-
nível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/eq2g/quadratica.htm>. Acesso em: 
03 out. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 131 – 
As funções não-lineares fundamentais: 
Funções Logarítmicas
Vagner Luis Zanin
Introdução
O logaritmo foi desenvolvido pelo matemático escocês John Napier (1550 – 1617), que tinha 
como objetivo original facilitar a realização de operações matemáticas com números que conti-
nham muitos dígitos, visto que, na época (século XVII), não havia calculadora ou qualquer outro 
recurso tecnológico. Muito utilizado por navegantes, cientistas e engenheiros, o logaritmo facili-
tava a realização dos cálculos, por meio da utilização de réguas e tabelas de logaritmos. 
Um exemplo de uso original do logaritmo é a possibilidade de, ao invés de realizar uma 
multiplicação entre dois números grandes, realizar a operação de adição, aplicando as proprie-
dades dos logaritmos.
Hoje, com a evolução da tecnologia, não é mais necessário utilizarmos tabelas e réguas para rea-
lizar ou simplificar as operações matemáticas. Essas operações são facilmente resolvidas com uma 
calculadora ou um computador. Então, por que devemos estudar o logaritmo e a função logarítmica? 
Nesse sentido, podemos dizer que as propriedades operacionais são a grande contribuição 
do logaritmo para o nosso cotidiano, visto que são bastante utilizadas ainda hoje. Além disso, o 
estudo da função logarítmica é capaz de simular, por exemplo, algumas situações da Física, como 
a medição do decibel e a Lei de Benford.
Sendo assim, fique atento aos conteúdos apresentados nesta aula e bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de função logarítmica; 
 • entender como a função logarítmica pode descrever e representar diversas situações.
1 O logaritmo
Para iniciarmos os estudos deste tópico, você saberia responder qual é o valor de x para que 
o valor de a e b, em uma equação exponencial bx = a, seja único se tivermos b > 0, b ≠ 1 e a > 0? 
Para respondermos a essa pergunta, é preciso compreender, primeiramente, o conceito formal de 
logaritmo. Vamos lá?
Acompanhe a seguinte definição: sejam dois números reais a e b, ambos positivos e com b ≠ 1, 
sempre existirá um único número real x tal que bx = a. Este expoente x, que deve ser colocado na base b 
para que o resultado seja a, é chamado de logaritmo de a na base b. Simbolicamente, escrevemos:
logba = x ↔ b
x = a
 – 132 – 
TEMA 18
Onde o número a é chamado de logaritmando e b é a base.
Para compreender melhor esse conceito, acompanhe o exemplo que segue.
EXEMPLO
Vamos encontrar os valores de x para que as seguintes expressões tenham somen-
te uma única solução.
• 2x = 16 – apresenta uma única solução que é x = 4, já que 2x = 16 = 24.
• 3x = 9 – apresenta x = 2 como única solução.
• 1x = 4 – não possui solução.
• 0x = 4 – não possui solução.
A partir da defi nição do conceito de logaritmo, observe a seguir alguns exemplos ilustrativos 
envolvendo sua defi nição formal. 
 • log216 = X
Para determinar o valor de x, devemos proceder da seguinte maneira:
log216 = x ↔ 2
x = 16 ↔ 2x = 24 ↔ x = 4.
 •
7
1log = xlog = x7log = x7
1log = x1
49
log = x
49
log = x
Para determinar o valor de x, devemos proceder da seguinte maneira:
x x -2
7
1 1x x -21 1x x -2log = x 7 = 7 = 7 x = –2log = x 7 = 7 = 7 x = –2↔ ↔ →log = x 7 = 7 = 7 x = –2↔ ↔ →↔ ↔ →log = x 7 = 7 = 7 x = –2↔ ↔ →x x -2log = x 7 = 7 = 7 x = –2x x -2↔ ↔ →x x -2↔ ↔ →log = x 7 = 7 = 7 x = –2↔ ↔ →x x -2↔ ↔ →7log = x 7 = 7 = 7 x = –27
1 1
log = x 7 = 7 = 7 x = –2
1 1x x -21 1x x -2log = x 7 = 7 = 7 x = –2x x -21 1x x -2
49 4
log = x 7 = 7 = 7 x = –2
49 4
log = x 7 = 7 = 7 x = –2
9
log = x 7 = 7 = 7 x = –2
9
log = x 7 = 7 = 7 x = –2
 • log171 = x
Para determinar o valor de x, devemos proceder da seguinte maneira: 
log171 = x ↔ 17
x = 1 ↔ 17x = 170 → x = 0.
FIQUE ATENTO!
Lembre-se que, para um número b qualquer, desde que seja positivo e diferente de 
1, tem-se que: logb1 = 0.
Neste ponto, é importante compreendermos que os logaritmos possuem propriedades que 
facilitam as operações, vamos e elas:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 133 – 
 • Logaritmo de um produto: loga (m ∙ n) = logam + logan. 
Exemplo: log1015 = log10 (3 ∙ 5) = log103 + log105 
 • Logaritmo do quociente: a a a
m
log =  log m – log nlog =  log m – log na a alog =  log m – log na a a
m
log =  log m – log n
m
na a ana a a
Exemplo: 3 3 3 3
10
log 5 = log = log 10 – log 2log 5 = log = log 10 – log 23 3 3 3log 5 = log = log 10 – log 23 3 3 3
10
log 5 = log = log 10 – log 2
10
23 3 3 323 3 3 33 3 3 3
log 5 = log = log 10 – log 23 3 3 323 3 3 3
log 5 = log = log10 – log 23 3 3 3
 • Logaritmo de uma potência: logan
k = k ∙ logan 
Exemplo: log58 = log52
3 = 3 ∙ log52
 • Mudança de base: ca
c
log bclog bclog b = alog b = a log aclog ac
 
Exemplo: 36
3
log 73log 73log 7 = 6log 7 = 6 log 63log 63
 
FIQUE ATENTO!
Diversos logaritmos são encontrados de modo simples, porém outros precisam de 
tabelas específi cas e do uso de suas propriedades. Em geral, quando trabalhamos 
com logaritmos, os valores x que queremos encontrar não são triviais ou imediatos. 
Por isso, na época em que John Napier construiu o conceito de logaritmo, era co-
mum a utilização de tabelas com os valores de vários logaritmos, para possibilitar 
a realização dos cálculos.
Figura 1 –John Napier
Fonte: Everett - Art/Shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 134 – 
É importante mencionar que é possível construir um logaritmo com diversas bases distintas. 
A base mais utilizada é a décima, descrita como logx. Já o logaritmo natural é descrito como Inx e, 
neste caso, a base do logaritmo é o número e, ou seja, logex.
SAIBA MAIS!
Para aprender mais sobre este tema, consulte o artigo “Logaritmos”, disponível em: 
<http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/expolog/logaritm.htm>.
2 A função logarítmica
Sendo b um número real positivo e diferente da unidade (0 < b ≠ 1), chamamos função loga-
rítmica a seguinte representação:
 + → + + → →g : 
* * 
x ⟼ g (x) = logbx 
Você viu, na defi nição formal sobre o logaritmo, que o mesmo só existe para números positi-
vos. Sendo assim, o domínio da função logarítmica é o conjunto +
* , sendo que os sinais de aste-
risco (*), de mais (+) e de menos (–) são utilizados para restringir o domínio da função logaritmica 
( )+* . Dessa forma, o sinal de mais indicado na parte inferior do símbolo do conjunto dos reais sig-
nifi ca que, neste conjunto, são aceitos apenas os números não negativos. Já o sinal de asterisco 
signifi ca que também não se deve utilizar o número zero. Caso houvesse um sinal de negativo 
na parte inferior do símbolo do conjunto dos números reais, ele indicaria que serão considerados 
somente os números não positivos. Este simbolismo é utilizado em todas as outras formas de 
função, quando necessário.
Agora, considere a função:
+ → + + → →g : 
* * 
x ⟼ g (x) = log2 x
Esta função logarítmica produzirá um gráfi co que possui o formato de uma curva. Acompa-
nhe na fi gura 2:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 135 – 
-1
-2
-3
-4
1
2
3
1 2 3 4-1-2 0
0
5 6 7
Figura 2 – Gráfi co de uma função logarítmica
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
Note que, da defi nição de logaritmo, podemos constatar que se logbx1 = y1 e logbx2 = y2, então, 
by1 = x1 e b
y2 = x2 , onde { }1 2x , x1 2x , x1 2 +⊂ * . 
Considerando x1 > x2, temos que:
1 2 b 1 b 2
1 2 b 1 b 2
y > y , isto é, log x > log x , se b > 11 2 b 1 b 2y > y , isto é, log x > log x , se b > 11 2 b 1 b 2
y < y , isto é, log x < log x , se 0 < b < 1 2 b 1 b 2y < y , isto é, log x < log x , se 0 < b < 1 2 b 1 b 2
1 2 b 1 b 2y > y , isto é, log x > log x , se b > 11 2 b 1 b 2 1 2 b 1 b 2y > y , isto é, log x > log x , se b > 11 2 b 1 b 2
1 2 b 1 b 2y < y , isto é, log x < log x , se 0 < b < 1 2 b 1 b 2 1 2 b 1 b 2y < y , isto é, log x < log x , se 0 < b < 1 2 b 1 b 2 1









Ou seja, de modo resumido, temos que: se b > 1, então a função f(x) = logbx é crescente.
-1
-2
-3
-4
1
2
3
1 2 3 4-1-2 0
0
5 6 7
f(x) = log3x
Figura 3 – O gráfi co da função f(x) = log3x - função crescente
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
De outra forma, temos: se 0 < b < 1, então a função f(x) = logbx é decrescente.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 136 – 
-1
-2
-3
-4
1
2
3
1 2 3 4-1-2 0
0
5 6 7
f(x) = log1x1
4
Figura 4 – O gráfi co da função f(x) = log3x - função decrescente
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
FIQUE ATENTO!
A função logaritmica f(x) = logbx é crescente ou decrescente, de acordo com o valor 
de b. Sendo que o valor de b é obrigatoriamente maior que zero e diferente de um.
3 Aplicações diversas da função logarítmica
A função logaritmica permite a simulação de diversas situações do nosso dia a dia, como 
quando trabalhamos com a aplicação de juros compostos, ou na Química, quando trabalhamos 
com radioatividade. A Geografi a, por sua vez, utiliza a função logaritma quando estuda a taxa de 
crescimentos de populações. 
Acompanhe o exemplo a seguir e veja mais uma aplicação para a função logarítmica.
EXEMPLO
Os geólogos utilizam o decaimento radioativo do isótopo de urânio-238 para datar 
as rochas e assim determinarem a sua idade. Como o seu decaimento é estável, 
eles utilizam a seguinte expressão:
T =  t t  log2 log2
 
 
 t t
 
t t
 log2 log2
 
 
 log2 log2 log2
 log2
 . log 1 +  2 2N Nlog 1 +  log 1 +   2 2log 1 +  log 1 + N N
 
 
 2 2 2
 2N N 
N N
log 1 + 
 
log 1 +  log 1 + 
 
log 1 + 
 1 1N N
 
 
 log 1 +  log 1 + 
 
log 1 +  log 1 + N N N
 N
Onde:
t – é igual a meia-vida do urânio;
N1 – é a quantidade de átomos de urânio-238; 
N2 – é a quantidade de chumbo-206.
Com isso, os geólogos conseguem determinar a idade de um fóssil, por exemplo. 
Para melhor compreendermos a aplicação da função logaritmica em nosso cotidiano, acom-
panhe a situação descrita a seguir. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 137 – 
Alessandro fez uma aplicação de R$22.000,00 em determinada data, produzindo a taxa com-
posta de juros de 2,4% ao mê, e um valor futuro de R$26.596,40. 
A partir desses dados, você saberia indicar qual foi o prazo da aplicação de Alessandro? A 
solução deste problema se desencadeia da seguinte forma: a partir da matemática fi nanceira, 
sabemos que o valor futuro no regime composto é calculado pela fórmula:
FV = PV ∙ (1 + i)n 
Onde:
FV – valor futuro ou montante;
PV – valor presente ou capital inicial;
i – taxa de juros;
n – período em meses.
Do enunciado, temos: PV = 22.000,00, i = 2,4% = 0,024 ao mês e FV = 26.596,40. Logo: 
FV = PV ∙ (1 + i)n
Aplicando os valores à fórmula, temos que:
26.596,40 = 22.000,00 ∙ (1 + 0,024)n 
( )
( )
n
n
26.596,40
 = 1,024( = 1,024(
22.000,00
1,208927  = 1,024(1,208927  = 1,024(
Neste instante, devemos aplicar o logaritmo nos termos dos dois lados da igualdade, para 
que ela se mantenha e seja possível determinar o valor de n:
log21,208927 = log2 (1,024)
n
log21,208927 = n ∙ log2 (1,024)
2
2
log 1,2089272log 1,2089272n = 
log 1,0242log 1,0242
Para valores aproximados, temos log21,208927 ≃ 0,2737 e log21,024 = 0,0342. Substituindo 
estes valores, teremos:
0,2737n = 8,0029n = 8,00290,2737n = 8,00290,2737
0,0342
n = 8,0029
0,0342
n = 8,0029n = 8,0029�n = 8,0029
Como o valor de n foi de aproximadamente 8,0029, podemos considerar que seja 8. Logo, é 
possível dizer que o prazo da aplicação de Alessandro foi de 8 meses.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 138 – 
SAIBA MAIS!
Na matemática fi nanceira, existem duas modalidades de regime de juros: o simples 
e o composto. Cada um destes regimes é utilizado em situações distintas e 
possuem fórmulas específi cas. Veja mais em < http://redeetec.mec.gov.br/images/
stories/pdf/proeja/matematica_fi n.pdf>.
3.1 A Lei de Benford (ou Lei do Primeiro Dígito)
A Lei de Benford foi defi nida pelo físico norte-americano Frank Benford (1883 – 1948), no ano 
de 1938, após analisar mais de 20.000 dados de diversas fontes, como as estatísticas de jogos 
de baseball e a distância do comprimentos dos rios. Atualmente essa lei pode ser utilizada para 
verifi car fraudes em sistemas de contabilidade, por exemplo, ou qualquer outro sistema onde uma 
alteração de dígitospode proporcionar algum tipo de desfalque. 
Nesse ponto, é importante compreendermos que a ocorrência do primeiro dígito de qualquer 
sequência de números não tem uma distribuição uniforme. Estes dígitos obedecem a Lei de Benford, 
onde, de forma natural, alguns algarismos do primeiro dígito ocorrem com mais frequência que outros. 
Vale ressaltar ainda que a Lei de Benford diz que, quando analisamos um conjunto grande de 
dados numéricos, há a predominância da ocorrência do dígito 1, seguido do dígito 2 e, assim por 
diante, até o dígito 9. 
Esta lei é modelada pela expressão:
( )P d = log 1+(P d = log 1+( )P d = log 1+)  1 1P d = log 1+ P d = log 1+  P d = log 1+ P d = log 1+
 
 
 1 1
 
1 1P d = log 1+ P d = log 1+ P d = log 1+
 P d = log 1+
 d d   
P d = log 1+ P d = log 1+
 
P d = log 1+ P d = log 1+ d d d d
Onde d é o dígito que queremos observar a ocorrência.
Fechamento
Estudamos, neste tema, a defi nição e as propriedades do logaritmo e a função logarítmica, 
bem como alguns exemplos de onde podemos utilizá-la.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender a ideia, o funcionamento e as propriedades do logaritmo;
 • entender como funciona a função logarítmica;
 • visualizar o gráfi co, assim como o comportamento dos logaritmos;
 • ter contato com exemplos aplicados de funções logarítmicas e suas resoluções.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 139 – 
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. vol1
MEDEIROS JUNIOR, Roberto José. Matemática Financeira. Instituto Federal do Paraná, 2012. Disponível 
em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/expolog/logaritm.htm>. Acesso em: 30 set. 2016.
TEIXEIRA, Alexandre Cano; KIRA, Elisabeti. Lei de Benford e aplicações. Disponível em: 
<http://www.ime.usp.br/~abe/lista/pdfr6aqDSXtbC.pdf>. Acesso em: 24 set. 2016.
RIBEIRO, Jackson. Matemática: Ciência e Linguagem. São Paulo: Scipione, 2008.
UEL Universidade Estadual de Londrina. Logaritmos. Disponível em: <http://www.uel.br/projetos/
matessencial/medio/expolog/logaritm.htm>. Acesso em: 30 set. 2016
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 140 – 
As funções não-lineares fundamentais: 
Funções Exponenciais
Vagner Luis Zanin
Introdução
Nesta aula, antes de iniciarmos o estudo da função exponencial, devemos primeiramente 
compreender o que é uma equação exponencial e compreender as características e proprieda-
des das partes que a compõem. Dessa forma, teremos conhecimento suficiente para compre-
ender o comportamento desta função, bem como realizar a leitura de seu gráfico. Fique atento 
e bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de função exponencial;
 • entender como a função exponencial pode descrever e representar diversas situações.
1 Potenciação
Antes de iniciarmos nossos estudos sobre a equação exponencial, é preciso entender o que 
é potenciação: essa operação consiste, basicamente, em representar uma sequência de multipli-
cação do mesmo número. 
EXEMPLO
 • 32 = 3 · 3
 • 65 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6
 • 13 = (–1) · (–1) · (–1)
 • 70 = 1
Agora, para conhecer as partes de uma potência, confira o exemplo a seguir:
 • 24, onde 2 é a base, o 4 é o expoente e a representação 24 é a potência.
Assim, podemos dizer que a base é o fator que se repetirá na multiplicação e o expoente 
indica quantas vezes o valor da base será repetido. 
 – 141 – 
TEMA 19
FIQUE ATENTO!
Lembre-se que qualquer número (com exceção do zero) elevado ao expoente zero 
tem como resposta o número um. Isso ocorre porque, quando dividimos duas potên-
cias iguais uma pela outra, obtemos uma outra potência com expoente igual a zero. 
Mas, como todo número dividido por ele mesmo resulta no valor um (com exceção 
do número zero), então o número elevado a zero é obrigatoriamente igual a um.
Agora que conhecemos o que é a potenciação, vamos entender como ela funciona aplicada 
à equação exponencial? Você vai perceber que a compreensão de potenciação se fez necessá-
ria, pois nesse tipo de equação a variável incógnita aparece no expoente. Acompanhe o exem-
plo a seguir para entender melhor esse conceito: considere um número real b tal que 0 < b ≠ 1. 
Se tivermos uma situação como a seguinte: 2x = 23, podemos dizer que x = 3. Se, ao invés, tivermos: 
3x = 54, não podemos assumir que x = 4, já que as bases são distintas.
FIQUE ATENTO!
Perceba que, em uma equação exponencial, só podemos igualar os expoentes se 
as suas respectivas bases forem iguais.
Note que, no exemplo dado com a expressão 2x = 23, devemos reduzir a equação exponencial 
para uma equação equivalente mais simples, onde as bases devem ser iguais e, consequente-
mente, devemos igualar os expoentes para determinar o valor da incógnita que estamos procu-
rando. Acompanhe:
 • se 25 = 2x, podemos garantir que x = 5;
 • se tivermos 3x = 310, então x = 10.
Observe também que:
 • em 1x = 14, não podemos garantir que x = 4, já que para qualquer valor de x teremos a 
mesma resposta que 14, ou seja, um;
 • se (–1)x = (–1)5, não podemos garantir que x = 5.
Para ajudá-lo a compreender melhor este conceito, acompanhe o exemplo a seguir.
EXEMPLO
Você sabe qual é o conjunto solução da equação 23x+1 = 128? Para resolver esta 
equação, devemos proceder da seguinte maneira: 
23x + 1 = 128 → 23x + 1 = 27 → 3x + 1 = 7 → x = 2
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 142 – 
2 A função exponencial
Vamos considerar b um número real positivo e diferente de um, (b ≠ 1). Chamamos de função 
exponencial a função defi nida por: 
g : +→ → →
*
x ⟼ g (x) = bx
Onde b é conhecido como base.
Nesta defi nição, observamos que o domínio são todos os números do conjunto reais ( ). Já a 
imagem é composta por todos os números reais que não são negativos e também não seja zero ( +
* ).
Vejamos alguns exemplos ilustrativos para nos familiarizarmos com a função exponencial. 
Observe a função: g : +→ → →
* defi nida por g(x) = 2x. O gráfi co desta função é o seguinte:
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
1 2 3-1
-2
0
0
-4 -3-5-7-8-9 -6
Figura 1 – Gráfi co de uma função exponencial g(x) = 2x
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
No gráfi co acima, é possível verifi car que, inicialmente, ao aumentarmos os valores de x, 
teremos um crescimento modesto do gráfi co. Porém, a medida que o valor de x vai aumentando, 
o seu crescimento vai sendo mais acentuado. A este comportamento damos o nome de aumento 
exponencial.
Observe a seguinte função: f : +→ → →
* defi nida por ( )
x
f x = (f x = ( )f x = )  1 1  
 
 
 1 1
 
1 1
 2 2   2 2 2 2
. A representação gráfi ca 
desta função é apresentada a seguir.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 143 – 
-1
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
0
-2-3 -1
Figura 2 - Gráfi co de uma função exponencial ( )
x
f x = (f x = ( )f x = )  1 1  
 
 
 1 1
 
1 1
 2 2   2 2 2 2
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
No gráfi co representado na fi gura 2 é possível verifi car que, inicialmente, ao diminuirmos os 
valores de x, teremos um decrescimento muito intenso do gráfi co. Porém, a medida que se vai 
aumentando os valores de x, o seu decrescimento vai sendo menos acentuado. A este comporta-
mento damos o nome de decrescimento exponencial.
SAIBA MAIS!
A função exponencial possui diversas características e propriedades importantes. 
As informações sobre seu domínio e contradomínio também são essenciais 
para uma boa compreensão sobre o assunto. O artigo “Funções exponenciais 
e logarítmicas”, deMarco Pinheiro Matos, apresenta um estudo e um breve 
histórico sobre o tema. Acesse: <http://repositorio.cbc.ufms.br:8080/jspui/
bitstream/123456789/2153/1/MARCOS%20PINHEIRO%20MATOS.pdf>.
De acordo com as representações gráfi cas envolvendo algumas das funções exponenciais 
citadas acima, é possível observar informações importantes sobre domínio, contradomínio, conjunto 
imagem e crescimento das mesmas. Dessa forma, acompanhe, na sequência, algumas defi nições.
 • Função crescente: se x1 > x2, então 2
x1 > 2x2. Isto é, a função f(x) = 2x é crescente. 
Logo, concluímos que sendo b > 1, x1 > x2. Então, b
x1 > bx2, isto é, a função exponencial 
f(x) = bx é crescente.
 • Função decrescente: se x1 > x2, então 
1 2x x1 2x x1 2   1 2   1 2
x x
   
x x1 2x x1 2   1 2
x x1 21 1   1 11 21 11 2   1 21 11 2
x x1 1x x   
x x1 1x x1 2x x1 21 11 2x x1 2   1 2
x x1 21 11 2x x1 2
         <    < 
   
   
   1 1   1 1
   
1 1   1 1<    <    < 
   < 
   2 2   2 2         
<    < 
   
<    < 2 2   2 2   2 2   2 2 . Isto é, a função ( )
x
f x = (f x = ( )f x = )  1 1  
 
 
 1 1
 
1 1
 2 2   2 2 2 2
é decrescente. 
Logo, concluímos que sendo 0 < b < 1, x1 > x2, então b
x1 < bx2, isto é, a função exponencial 
f(x) = bx é decrescente.
Para melhor compreendermos, observe as tabelas a seguir:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 144 – 
Valor de x f(x) = 6x Valor de f(x)
1 f(1) = 61 6
2 f(2) = 62 = 6 · 6 36
3 f(3) = 63 = 6 · 6 · 6 216
Tabela 1 – Resultados da função f(x) = 6x
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
É possível verificar que, neste caso, com b > 1, a função é crescente. Agora, acompanhe a 
tabela 2: 
Valor de x f(x) = (0,25)x Valor de f(x)
1 f (1) = (0,25)1 0,25
2 f (2) = (0,25)2 = (0,25) · (0,25) 0,0625
3 f (3) = (0,25)3 = (0,25) · (0,25) · (0,25) 0,015625
Tabela 2 – Resultados da função f(x) = (0,25)x 
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
De acordo com as informações dadas na tabela 2, podemos observar que os valores dos 
resultados da função diminuem, pois 0 < b < 1.
3 Aplicações diversas
A função exponencial é comumente utilizada para simular situações onde ocorre a diminui-
ção ou o aumento muito rápido (ou intenso) da quantidade de objetos que estamos estudando.
SAIBA MAIS!
Em biologia, exitem dois processos de divisão celular: um é conhecido como 
meiose, onde, basicamente, a célula é divida ao meio, e o outro é a mitose, onde 
a célula produz uma outra célula identica. O crescimento dessas células por meio 
do processo de mitose pode ser representado através de funções expoenenciais.
Um exemplo desta aplicação é a determinação da quantidade de células que se multiplica 
através da divisão celular conhecida como mitose. Neste processo de divisão, cada célula mãe 
produz duas células filhas. E, no final de cada etapa de multiplicação, cada uma das células filhas 
produzem outras duas células filhas. Para melhor compreender este procedimento, veja a tabela 
a seguir:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 145 – 
Quantidade de 
divisões 
Quantidade de células 
na etapa (f (x)) 
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
Tabela 3 – Quantidade de células
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Como poderíamos modelar esta situação? Inicialmente, podemos verifi car que o aumento da 
quantidade de células fi lhas cresce com bastante velocidade. E, como já vimos, a função exponen-
cial também possui esta característica, uma vez que o seu gráfi co aumenta rapidamente.
Nesse caso, a função exponencial pode ser usada da seguinte forma:
f : +→ → →
* defi nida por f(x) = 2x. 
Note que esta expressão representa a situação na tabela 3, se utilizarmos somente valores 
onde x ≥ 0 e inteiros.
Agora, para compreender melhor a função exponencial decorrente do processo de mitose e 
meiose, acompanhe a tabela a seguir:
Quantidade de 
divisões (x) f (x) = 2
x Quantidade de células 
na etapa (f(x))
0 f (0) = 20 = 1 1
1 f (1) = 21 = 2 2
2 f (2) = 22 = 4 4
3 f (3) = 23 = 8 8
4 f (4) = 24 = 16 16
Tabela 4 – Quantidade de células
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Com base nas informações dadas na tabela 4, é possível responder à perguntas do tipo: 
quantas células fi lhas serão produzidas ao fi nal da 6ª etapa? E ao fi nal da 13ª? Para determinar 
essas respostas, basta realizar as seguintes substituições:
 • na 6ª etapa, teremos f(6) = 26 = 64. Ou seja, 64 células fi lhas; 
 • na 13ª etapa, teremos f(13) = 213 = 8.192. Ou seja, 8.192 células fi lhas.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 146 – 
Acompanhe outro exemplo de situação onde as funções exponenciais podem ser utilizadas: a 
Lei de Resfriamento de Newton, que associa o resfriamento de um corpo com o passar do tempo. 
Vejamos a expressão que representa esta lei e que utiliza uma função exponencial.
T (t) = Tm = (T0 – Tm)e
–kt
Onde:
T (t): é a temperatura que se quer determinar em relação a um determinado tempo
t: tempo
k: constante de cada material
T0: temperatura inicial do corpo
Tm: temperatura do ambiente
e: constante numérico.
Essa lei é utilizada para determinar, por exemplo, o horário da morte de uma pessoa. Para 
melhor entender esta aplicação, acompanhe a situação a seguir: na cena de um crime, o médico 
legista mede a temperatura do ambiente e do cadáver encontrado no local, em pontos extratégi-
cos, com o objetivo de obter um valor real da temperatura do corpo. Dessa forma, o legista obteve 
os seguintes valores:
T0 = 37,5ºC (temperatura média de uma pessoa viva);
T(t) = 7ºC (temperatura do cadáver);
Tm = 5ºC (temperatura da cena do crime).
Devemos considerar o seguinte valor para a constante: k = –0,3, sendo que este valor é 
determinado em testes e é típica de cada material e , no caso do corpo humano, a constante é 
k = –0,3. 
Assim, obtemos a seguinte expressão:
7 = 5 + (37,5 – 5) e–0,3t
Para determinar o valor de , devemos proceder da seguinte forma:
2 = 32,5e–0,3t
e–0,3t = 0,06154
Aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade, teremos:
ln e–0,3t = ln 0,06154
ln0,06154
–0,3t = 
1
–2,7881t = 
–0,3
t = 9,2936
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 147 – 
Assim, podemos dizer que a morte ocorreu, aproximadamente, 9 horas antes do corpo ser 
encontrado.
FIQUE ATENTO!
É importante destacar que esses são apenas alguns modelos de situações práticas 
onde podemos utilizar as funções exponenciais. Vale ressaltar que ela pode era 
utilizada também em outros casos onde a taxa de variação é considerada grande, 
como rendimentos financeiros e crescimento populacional.
Fechamento
O conceito de potência matemática é muito importante e, consequentemente, a ideia de fun-
ção também. O estudo de suas propriedades e comportamentos é importante para compreender-
mos a função exponencial.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender a ideia, o funcionamento e as propriedades do exponencial;
 • entender como funciona a função exponencial;
 • visualizar o gráfico de uma função exponencial;
 • entender o comportamento do gráfico da função exponencial;
 • ter contato com exemplos aplicados e suas resoluções.
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. vol1.
MATOS, Marco Pinheiro. Funções Exponenciais e Logarítmicas. Universidade Federal do Mato 
Grosso do Sul. Mestrado Profissional. Disponível em: <http://repositorio.cbc.ufms.br:8080/jspui/
bitstream/123456789/2153/1/MARCOS%20PINHEIRO%20MATOS.pdf>. Acesso em: 03 out. 2016.
RIBEIRO, Jackson. Matemática: Ciência e Linguagem. São Paulo: Scipione, 2008.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 148 –Representação gráfica, suas 
interpretações e soluções de problemas
Vagner Luis Zanin
Introdução
Quando realizamos a modelagem de um problema qualquer com a utilização de uma função, 
é de fundamental importância realizarmos a análise dos gráficos formados por essas funções. 
Isso ocorre porque esses gráficos podem conter informações importantes, uma vez que a função, 
a partir dessa representação, consegue transmitir o comportamento e as características do fenô-
meno estudado.
Nesse caso, o estudo prévio das funções polinomiais do 1º e do 2º grau, das funções loga-
rítmicas e exponenciais, ou mesmo de qualquer outra função, é muito conveniente, pois, quando 
utilizamos quaisquer umas delas para representar uma situação, a determinação e a interpretação 
dos resultados e comportamentos se torna mais fácil se tivermos estudados as funções citadas 
anteriormente. Portanto, entendemos quão importante é o estudo das funções, suas característi-
cas e comportamentos.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender diferentes formas de representação gráfica;
 • compreender os enunciados e representações gráficas nas soluções de problemas.
1 A função polinomial do 1º grau
Para compreender a análise do comportamento da função polinomial do 1º grau, tendo em 
vista a resolução de um problema, acompanhe a situação a seguir - vale comentar que esta situ-
ação melhor se reproduz através de um polinômio do 1º grau, pois existe a ideia de acréscimo 
constante do mesmo valor. Observe: José pretende contratar um serviço de seguro residencial. O 
corretor, então, propôs dois tipos de planos com a mesma abrangência de itens segurados:
 • uma entrada de R$ 230,00 e parcelas de R$ 25,00 ao mês;
 • uma entrada de R$ 310,00 e parcelas de R$ 15,00 ao mês.
Dada a situação, como podemos ajudar José a escolher qual o melhor plano de seguro? 
Primeiramente, devemos sistematizar as duas situações propostas na forma de funções. No pri-
meiro caso, a entrada é de R$ 230,00 e as parcelas fixas de R$ 25,00, ao mês. Assim, a função que 
simula essa situação é a seguinte:
 – 149 – 
TEMA 20
f(x) = 25x + 230
Onde a variável x representa a quantidade de meses que José pagará as parcelas. 
O segundo plano, por sua vez, pode ser representado pela seguinte função:
g(x) = 15x + 310
FIQUE ATENTO!
 Como a variável x está representando o tempo (mês), devemos considerar apenas 
números naturais porque, neste caso, não nos interessa determinar o preço do se-
guro com o valor de x quebrado, como, por exemplo, 3,5 meses.
A partir das funções determinadas para cada situação proposta para José, devemos fazer o 
seguinte questionamento: existe algum mês em que as duas propostas serão equivalentes? Para 
responder a esta pergunta, vamos igualar as duas funções:
f(x) = g(x)
310 + 15x = 230 + 25x
x = 8
A partir desse resultado, podemos afi rmar que no 8º mês os custos das duas propostas 
serão iguais. Agora, para escolher entre um plano e outro, José precisa decidir por quanto tempo 
precisará do serviço de seguro. Caso ele queira utilizar este serviço por menos de oito meses, 
então basta escolher a função que proporciona o menor valor para este período. Porém, se ele for 
utilizar por mais de oito meses, deverá escolher a outra proposta de seguro.
Mas, e se José pretende utilizar o seguro por um ano? Qual o plano de seguro que apresenta 
o menor valor? Vamos avaliar as duas funções a partir de seus gráfi cos:
0
100
200
300
400
500
600
700
2 4 6 8 10 12 14 160
y = 25x + 230
y = 15x + 310
Figura 1– Gráfi co das duas funções g(x) e f(x) 
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 150 – 
Note que, no gráfi co da fi gura 1, a função g(x) = 15x + 310 admite, após o 8º mês, um menor 
valor em relação a outra função. Em outras palavras, podemos entender que, para um período 
superior a 8 meses, José deve escolher o segundo plano de seguro pois, dessa forma, pagará 
menos pelo serviço.
EXEMPLO
 Em outras situações também podemos recorrer a ideia de igualdade de funções, 
como a análise de custo e de valor de venda, por exemplo, que exige uma análise 
de equilíbrio, uma vez que, nestes casos, o valor da venda não poderá ser menor do 
que o valor total dos custos.
2 A função polinomial do 2º grau
Para entendermos como analisar o comportamento da função com o objetivo de resolver 
problemas, veremos agora uma aplicação da função polinomial do 2º grau, que é utilizada em 
situações onde haverá um crescimento, um ponto de máximo e um decrescimento. Vamos lá?!
Física, estudamos os movimentos dos corpos e uma das teorias mais conhecidas é o Movi-
mento Uniformemente Variado (MUV), que baseia-se na ideia de uma partícula que sofre uma 
variação uniforme em seu movimento, como o lançamento de um projétil, por exemplo. Imagine 
você lançando uma pedra para o alto: no início, ela terá uma grande velocidade e, à medida que 
atingir sua altura máxima, a velocidade irá diminuir, chegando a zero. Após atingir a velocidade 
zero em seu ponto máximo, a pedra começa a cair e retomar a velocidade, chegando no ponto 
de lançamento com a mesma velocidade de saída. Perceba que a pedra sofreu uma variação uni-
forme em todo seu movimento!
FIQUE ATENTO!
Este movimento é muito estudado e não ocorre, necessariamente, somente no lan-
çamento de um projetil para o alto. O MUV pode ser verifi cado na trajetória de um 
carro ou no voo de um avião, por exemplo. 
Agora, imagine a seguinte situação: um grupo de engenharia quer testar um protótipo de 
foguete, que terá a velocidade de lançamento de 40m/s e sofrerá a força de gravidade com valor 
igual a 10m/s2.
Para determinar a altura máxima que este foguete atingirá, devemos primeiramente escrever 
a expressão matemática que simule este movimento:
( ) 20 0
1
S t = S + v t + at(S t = S + v t + at( )S t = S + v t + at)S t = S + v t + at0 0S t = S + v t + at0 0
1
S t = S + v t + at
1
2
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 151 – 
Sendo que:
S(t): posição que se quer determinar em relação ao tempo transcorrido;
v0: velocidade inicial;
a: aceleração (gravidade);
t: tempo transcorrido (em segundos).
De acordo com a situação descrita, temos:
( ) ( ) 21S t = 0 + 40t + –10 t(S t = 0 + 40t + –10 t( )S t = 0 + 40t + –10 t)S t = 0 + 40t + –10 t(S t = 0 + 40t + –10 t( )S t = 0 + 40t + –10 t)1S t = 0 + 40t + –10 t1
2
S (t) = 40t – 5t2
Perceba que a aceleração é colocada com sinal negativo, pois o foguete vai subir até uma 
determinada altura e, em seguida, começará a cair. É importante lembrarmos que a desaceleração é 
causada pela força da gravidade, que atrai qualquer objeto que possua massa em direção ao chão.
SAIBA MAIS!
Nesta situação, estamos considerando que o foguete não sofrerá nenhuma 
interferência relacionada ao vento ou à resistência do ar. Assim, seu gráfi co 
irá descrever uma parábola (fi gura 2), mas o foguete subiu e desceu no mesmo 
ponto. Nesse caso, o eixo horizontal se refere ao tempo transcorrido do início do 
lançamento até o fi m de sua queda, quando chegou ao chão novamente.
Temos, assim, a seguinte equação do 2º grau para representar o movimento do foguete:
S(t) = 40t – 5t2
Inicialmente, é possível verifi car que o gráfi co desta função possui concavidade voltada para 
baixo, já que a = –5. Então, o ponto de máximo que o foguete vai atingir é dado pelas coordenadas 
do vértice desta parábola. Para determinar este valor, devemos proceder da seguinte maneira:
V
2a 4a


















,�– –– –�
Sendo que:
a = –5; b = 40; e c = 0;
∆ = b2 – 4ac → ∆ = 402 – 4 (–5) 0 → ∆ = 1600
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 152 – 
Aplicando os valores à fórmula, teremos:
( )
 
 
 
 
 
   ) ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   ) ) ) )
  
 
   ) ) ) ) )
 ) ) )
 –40 –1600  
 
 –40 –1600 
 
 
V ,  V 4, 80(V ,  V 4, 80(→V ,  V 4, 80→ V ,  V 4, 80 
 
 
 
V ,  V 4, 80
 
 
 
   V ,  V 4, 80   ( ( ( (
V ,  V 4, 80
( ( ( ( ) ) ) )
V ,  V 4, 80
) ) ) )   
V ,  V 4, 80   ( ( ( (
V ,  V 4, 80
( ( ( ( ) ) ) )
V ,  V 4, 80
) ) ) )   
V ,  V 4, 80    
–40 –1600
 V ,  V 4, 80 
–40 –1600
 
 
 
 –40 –1600 
 
 
V ,  V 4, 80
 
 
 –40 –1600 
 
 
   2 –5 4 –5
   ( ( ( (2 –5 4 –5( ( ( ( ) ) ) )2 –5 4 –5) ) ) ) ( ( ( (2 –5 4 –5( ( ( ( 2 –5 4 –5 ( (2 –5 4 –5( ( ) )2 –5 4 –5) ) ( (2 –5 4 –5( (   2 –5 4 –5   ( ( ( (2 –5 4 –5( ( ( ( ) ) ) )2 –5 4 –5) ) ) ) ( ( ( (2 –5 4 –5( ( ( (
   
 
   2 –5 4 –5
   
 
   ( ( ( ( (
 ( ( (2 –5 4 –5( ( ( ( (
 ( ( ( ) ) ) ) )
 ) ) )2 –5 4 –5) ) ) ) )
 ) ) ) ( ( ( ( (
 ( ( (2 –5 4 –5( ( ( ( (
 ( ( (   
V ,  V 4, 80   2 –5 4 –5
   V ,  V 4, 80   ( ( ( (
V ,  V 4, 80
( ( ( (2 –5 4 –5( ( ( (
V ,  V 4, 80
( ( ( ( ) ) ) )
V ,  V 4, 80
) ) ) )2 –5 4 –5) ) ) )
V ,  V 4, 80
) ) ) ) ( ( ( (
V ,  V 4, 80
( ( ( (2 –5 4 –5( ( ( (
V ,  V 4, 80
( ( ( (
Agora, acompanhe como é representado o gráfi co desta função:
 
0
20
40
60
80
100
1 2 3 4 5 6 7 80
s (x) = 40t - 5t2
9
Figura 2 – Gráfi co de duas funções polinomial do 2º grau S(x) = 40t – 5t2 
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
Realizando a leitura das coordenadas do vértice e observando o gráfi co, podemos dizer que, 
no tempo igual a 4s (segundos), o foguete atingirá a altura máxima, que será de 80m (metros).
FIQUE ATENTO!
Na prática, o lançamento de um foguete com astronautas ou um satélite é muito 
mais complexo, pois é preciso considerar uma série de condições para que o lança-
mento ocorra de modo adequado, como a trajetória que o foguete deve percorrer, 
por exemplo.
3 A função exponencial
Com o objetivo de compreender melhor a função exponencial, vamos estudar uma 
aplicação prática.
Na área de educação, é comum nos preocuparmos em medir a capacidade ou a efi ciência 
com que uma pessoa consegue aprender algo. Para realizar essa medição, utilizamos a chamada 
curva de aprendizagem, representada pela seguinte função:
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 153 – 
Q(t) = C – Ae–kt
Onde:
 • Q(t): Quantidade de aprendizagem
 • C, A e k são constantes positivas, que são determinadas de acordo com cada situação.
 • e ≃ 2,7182818…
Quando realizamos o estudo de algum tema ou técnica, por exemplo, temos um aprendizado 
inicial bastante acentuado. Porém, com o passar do tempo, a tendência é de que ocorra uma esta-
bilização da aprendizagem.
Com isso em mente, considere o seguinte caso: uma determinada empresa analisou a capa-
cidade de aprendizagem de um serviço realizado pelos seus colaboradores e estabeleceu os 
seguintes parâmetros:
 • C = 6
 • A = 9
 • k = 0,5
A partir desses dados, a função que representa a curva de aprendizagem dos colaboradores 
fica da seguinte forma:
Q (t) = 6 – 9e–0,5t
Com essa informação, o proprietário da empresa deseja determinar a partir de quantos dias 
há uma estabilização na compreensão dos funcionários recém-contratados em relação às atribui-
ções que devem ser executadas no posto de trabalho que a função determinada acima representa. 
Assim, considerando que a variável t da função representa a quantidade de dias, o proprietário 
elaborou a seguinte tabela: 
Dias de trabalho Q (t) aproximado
1 0,5412
2 2,6891
3 3,9918
4 4,7820
5 5,2612
6 5,5519
7 5,7282
8 5,8352
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 154 – 
Dias de trabalho Q (t) aproximado
9 5,9000
10 5,9394
11 5,9632
12 5,9777
13 5,9865
14 5,9918
 Tabela 1 – Dados para a curva de aprendizagem
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
De acordo com a tabela 1, podemos verifi car que, com o passar dos dias, existe uma estabili-
zação da aprendizagem em torno do valor 6 (seis). Isso signifi ca que a partir 14º dia o colaborador 
recém-contratado tem uma aprendizagem estacionada, ou seja, ele não terá uma evolução acen-
tuada em relação a absorção dos afazeres da posição para qual ele foi contratado. Dessa forma, o 
proprietário pode concluir que nesse período o novo funcionário estará preparado para assumir a 
posição sem a necessidade de um mentor para orientá-lo.
4 A função logarítmica
Para entendermos melhor o conteúdo deste tópico, vamos utilizar exemplos do nosso coti-
diano. Para isso, é importante temos em mente que vamos nos deparar com uma situação onde 
haverá um crescimento rápido que tenderá a se estabilizar em torno de um determinado valor, por 
isso a função logarítmica será usada, já que o seu gráfi co possui tal comportamento. Vamos lá?!
Podemos dizer que a modernidade trouxe mais conforto e segurança para as pessoas. 
Porém, tantos avanços ocasionaram um aumento na poluição do ambiente em que vivemos, 
como a poluição sonora, que, normalmente, não é considerada relevante ou fonte de preocupação. 
A Organização Mundial da Saúde (OMS) recomenda que o nível máximo de ruído seja de até 
50 dB (decibéis) para a saúde humana, sendo que valores acima disso podem provocar prejuízos 
irreparáveis.
A função que determina a intensidade sonora (em decibéis) é a seguinte:
( ) –12
IB I = 10log (B I = 10log ( )B I = 10log )
10
Sendo que:
B(I): valor em decibel; 
I: intensidade sonora, em watts/metro quadrado 2
æ ö÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö÷÷÷÷çççç ÷÷÷÷ççççè ø2è ø2 ÷è ø÷çè øç
wæ öwæ ö
è ømè ø .
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 155 – 
A aplicação desta função produz a escala decibel, que possui como valor mínimo o zero, para 
um som mínimo, e até um determinado valor de decibel para o som máximo, ou do limite da dor 
para nossos ouvidos.
Considerando todos esses aspectos, como podemos determinar, então, um valor pos-
sível para esse limite máximo de decibel, ou seja, qual é a maior medida da escala decibel 
que podemos aguentar sem danificar nossos ouvidos? Para isso, construiremos um grá-
fico para a função ( ) –12
I
que podemos aguentar sem danificar nossos ouvidos? Para isso, construiremos um grá-
I
que podemos aguentar sem danificar nossos ouvidos? Para isso, construiremos um grá-
B I = 10log (B I = 10log ( )B I = 10log )
10
.
Observe!
0
20
40
60
80
100
120
140
1 2 3 4 5 6 70
160
B (x) = 10 . log I
10-¹²
Figura 3 - Funções logarítmicas para determinar limite de decibéis
Fonte: elaborado pelo autor, 2016 
Analisando o gráfi co, perceba que há uma relativa estabilização em torno do valor de 120 
decibéis. Vale ressaltar que a função sempre sofrerá um aumento de acordo com o aumento dos 
valores de I, mas este aumento sofre uma signifi cativa desaceleração depois que atinge o valor 
de 120 decibéis. Para determinar o valor da intensidade sonora ao atingir esse ponto, devemos 
proceder da seguinte maneira:
–12
I120 = 10log 
10
–12
I12 = log 
10
12 = logI – log10–12
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 156 – 
logI = 12 – 12 
logI = 0
I = 1
Observe, no quadro a seguir, quais os níveis máximo e mínimo para a intensidade sonora. 
Nele, é possível verifi car que realmente a intensidade máxima de som que o ouvido humano pode 
suportar é de 2w1 m , igual ao valor calculado. 
O mínimo som audível –12 2wI = 10 m
O limite da dor 2wI = 1 m
 Quadro1- Níveis de intensidade sonora.
Fonte: elaborado pelo autor, 2016. 
EXEMPLONa escala logarítmica, os resultados não obedecem a um crescimento ou decres-
cimento linear. Se considerarmos um decibel de 60, a intensidade sonora será de 
–6
2
wI = 10 m .
Dessa forma, a amplitude em que se mede o decibel é uma escala que se inicia no zero deci-
bel (som mínimo) até o máximo suportável para o ser humano, que é 120 decibéis.
SAIBA MAIS!
Para entender mais sobre a defi nição de função logarítmica, acesse o trabalho 
disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografi as_Noturna/Monografi a_
Magali_Laktim.pdf>.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender o conceito de função polinomial do 1º e do 2º e a análise de seu gráfi co apli-
cado em determinada situação;
 • compreender o conceito de função logarítmica e a análise de seu gráfi co aplicado em 
determinada situação.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 157 – 
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Claudio Xavier da. Matemática. São Paulo: Ftd, 2000
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. vol1.
LAKTIM, Magali. A função Logarítmica. Monografia. Universidade Federal de Minas Gerais. Dis-
ponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_Noturna/Monografia_Magali_Laktim.
pdf>. Acesso em: 05 out. 2016.
OMS. Organização Mundial da Saúde. Disponível em: <http://www.paho.org/bra/>. Acesso em: 05 
out. 2016.
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth S. FÍSICA 1. 5. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2003.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 158 –