Calculo 3 Lista 2

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Exerćıcios Sugeridos da 2a Semana
1. Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
(a)
∫∫
D
y2
x2 + y2
dA, onde D é a região que fica entre os ćırculos x2 + y2 = 4 e
x2 + y2 = 9.
(b)
∫∫
D
x2y dA, onde
i) D é o semićırculo superior com centro na origem e raio 1.
ii) D é a região limitada pelo ćırculo (x− 1)2 + y2 = 1.
(c)
∫∫
D
e(−x
2−y2) dA, D é a região limitada pelo semićırculo x =
√
4− y2 e o eixo y.
2. Utilize integral dupla para calcular a área da região
(a) Um laço da rosácea de 3 pétalas: r = cos(3θ).
(b) A região dentro do ćırculo (x− 1)2 + y2 =1 e fora do ćırculo x2 + y2 =1.
3. Calcule a área da região limitada pelas curvas
(a) (x2 + y2)2 = 2xy.
(b)
(
x2
4
+
y2
9
)2
=
x2
4
− y2
9
.
4. Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido
(a) Abaixo do cone z =
√
x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 4.
(b) Dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4.
(c) Acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
(d) Dentro tanto do cilindro x2 + y2 = 4 quanto do elipsóide 4x2 + 4y2 + z2 = 64.
5. Determine o volume do sólido acima do plano xy e limitado pelas superf́ıcies z = 0,
x+ y + z = 1 e x2 + y2 = 1.
6. Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
(a)
∫ 3
0
∫ √9−x2
0
sen (x2 + y2)dydx.
(b)
∫ 2
0
∫ √2x−x2
0
√
x2 + y2dydx.
7. Utilize a transformação dada para calcular a integral
1
(a)
∫∫
R
(4x+ 8y)dA, onde R é o paralelogramo com vértices (−1, 3), (1,−3), (3,−1)
e (1, 5); x =
u+ v
4
, y =
v − 3u
4
.
(b)
∫∫
R
x2dA, onde R é a região limitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 36; x = 2u,
y = 3v.
(c)
∫∫
R
y2
x
dA, onde R é a região entre as parábolas x = 1 − y2 e x = 3(1 − y2);
x = v(1− u2), y = u.
(d)
∫∫
R
(x+ y)e(x+y)2+(x−y)2√
2x2 + 2y2
dA, onde R é a região dentro do ćırculo x2 + y2 = 1 com
x ≥ y; u = x+ y, v = x− y.
Calcule a integral efectuando uma mudança de variáveis apropriada
8.
∫∫
R
e(x−y) dA, R é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 3) e (2, 2) (compare esta resolução
com a do Exerćıcio 1 (c) da Lista 1) .
9.
∫∫
R
cos
(
y − x
y + x
)
dA, onde R é a região trapezoidal com vértices (1, 0) , (2, 0), (0, 2) e
(0, 1) .
10.
∫∫
R
(x+ y)e(x
2−y2) dA, onde R é o retângulo limitado pelas retas x− y = 0, x− y = 2,
x+ y = 0, x+ y = 3.
11.
∫∫
R
(2x+1)dA, onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y = x2,
y = x2 + 1, x+ y = 1, x+ y = 2.
12.
∫∫
R
e(x+y) dA, onde R é dada pela desigualdade |x|+ |y| ≤ 1.
2