Cálculo de Integrais Duplas

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo N3
Lista 1 – Integrais Duplas
1. Calcule as integrais:
a)
∫ 4
1
∫ 2
0
(6x2y + 2x) dydx.
b)
∫ π/6
0
∫ π/2
0
(sinx+ sin y) dydx.
c)
∫ 3
1
∫ 5
1
ln y
xy
dydx.
d)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dydx.
e)
∫ 1
0
∫ 2
1
xex
y
dydx
f)
∫ 1
0
∫ 2
0
yex−y dxdy.
g)
∫ 2
0
∫ π/3
0
t2 sin2 θ dθdt.
h)
∫ 2
0
∫ π
0
r sin2 θ dθdr.
2. Calcule as integrais duplas:
a)
∫ π/2
0
∫ x
0
x sin y dydx
b)
∫ 2
0
∫ x2
0
yx2 dydx
c)
∫ 4
0
∫ √
y
y/2
(x2 + y2) dxdy
d)
∫∫
R
xy dA, onde D = {(x, y)/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}.
3. Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com ordem de
integração invertida.
(a)
∫ 1
0
∫ 4−2x
2
f(x, y) dydx (b)
∫ 1
0
∫ √
y
y
f(x, y) dxdy (c)
∫ 1
0
∫ √
1−y2
−
√
1−y2
f(x, y) dxdy
4. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(a)
∫ π
0
∫ π
x
sin y
y
dydx (b)
∫ 1
0
∫ 1
y
x2exydxdy
5. Determine o volume do sólido indicado.
(a) O sólido que se encontra abaixo do plano 4x + 6y + 15 = 0 e acima do retâongulo
R = {(x, y)/− 1 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1}.
6. Utilize coordenadas polares para calcular as integrais
(a)
∫∫
D
(x− y) dA, onde D é o semićırculo x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0
(b)
∫ 1
0
∫ √
1−x2
0
(x2 + y2) dydx
(c)
∫∫
D
ex
2+y2 dA, D é a região semicircular limitada pelo eixo x e a curva y =
√
1− x2.
(d)
∫∫
D
(3x + 4y2) dA, onde D é a região no semiplano superior limitada pelos ćırculos
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
(e)
∫∫
D
e−x2−y2 dA, onde D é a região limitada pelo semićırculo x =
√
4− y2 e o eixo y.
7. Determine a área da região dada.
(a) A região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 no plano xy.
(b) A região limitada pelas curvas y2 = 4x e x2 = 4y no plano xy.
(c) A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 9− x2 no plano xy.
8. Calcule as integrais duplas
(a)
∫ 2
0
∫ π/2
0
x sin y dydx
(b)
∫ 1
0
∫ 1
0
xy
√
x2 + y2 dyxdxy
(c)
∫ 4
0
∫ y
0
√
9 + y2 dxdy
(d)
∫ 4
1
∫ y
y2
√
y
x
dydx
(e)
∫∫
R
r sin2 θ dA, R = {(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}.
(f)
∫∫
D
xy2 dA, D é limitado por x = 0 e x =
√
1− y2.
(g)
∫∫
D
(2x− y) dA, D é o ćırculo de centro na origem e raio 2.
9. Calcule as integrais
(a)
∫∫
R
1 + x2
1 + y2
dA, R = [0, 1]× [0, 1]
(b)
∫∫
D
sinxdA onde D é a região limitada pelas retas y = 2x, y = 1
2
x e x = π.
(c)
∫∫
D
(x2 + 2y) dA, D é limitado por y = x, y = x3, x ≥ 0.
(d)
∫∫
R
ex
2+y2 dA, onde R é a região limitada pelas circunferências x2+y2 = 1 e x2+y2 = 9.
(e)
∫∫
R
x
x2 + y2
dA, onde R é a região do primeiro quadrante, limitada pela circunferência
x2 + y2 = 1 e pelos eixos coordenados.
(f)
∫ √
π
0
∫ √
π
y
cos (x2) dxdy.