C2 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Atividade de Monitoria 9
Equipe de Monitoria
1. Calcule a integral dupla
a)
∫∫
D
y2dA e D = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 1 , −y − 2 ≤ x ≤ y}
b)
∫∫
D
(
y
x5 + 1
)
dA e D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x2}
c)
∫∫
D
xdA e D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ sen(x)}
d)
∫∫
D
x3dA e D = {(x, y)| 1 ≤ x ≤ e , 0 ≤ y ≤ lnx}
e)
∫∫
D
x cos ydA, D é limitada por y = 0, y = x2, x = 1
f)
∫∫
D
(x2 + 2y)dA, D é limitada por y = x, y = x3 e x ≥ 0
g)
∫∫
D
y2dA, D é a região triangular com vértices (0, 1), (1, 2) e (4, 1)
h)
∫∫
D
(2x− y)dA, D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.
2. Determine o volume do sólido dado.
a) Abaixo do plano x− 2y + z = 1 e acima da região limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1
b) Abaixo da superfície z = 2x+ y2 e acima da região limitada por x = y2 e x = y3
c) Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo e vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2)
d) Limitado pelo paraboloide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0
e) Limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x+ 2y + z = 6
f) Limitado pelos planos z = x, y = x, x+ y = 2 e z = 0
g) Limitado pelos cilindros z = x2, y = x2 e pelos planos z = 0, y = 4
3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
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Universidade Federal do Pará
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a)
∫ 1
0
∫ y
0
f(x, y))dydx.
b)
∫ 2
0
∫ 4
x2
f(x, y))dydx.
c)
∫ 2
−2
∫ √4−2
0
f(x, y))dxdy.
d)
∫ 2
1
∫ lnx
0
f(x, y))dydx.
4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
a)
∫∫
D
x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
b)
∫∫
R
(2x− y)dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x2+ y2 = 4
e as retas x = 0 e y = x
c)
∫∫
R
sen (x2 + y2)dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro
na origem e raios 1 e 3
d)
∫∫
R
y2
x2 + y2
dA, onde R é a região que fica entre os círculos x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2
com 0 < a < b
e)
∫∫
D
e−x
2−y2dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo x =
√
4− y2 e o eixo y
5. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais:
a)
∫∫
B
(x+y)2dA, onde R é a região anelar localizada entre os círculos x2+y2 = 1 e x2+y2 = 8
b) calcule o volume do sólido sob o gráfico da função z =
√
9− x2 − y2 e sobre a região
x2 + y2 ≤ 7
c) calcule o volume do sólido acima do parabolóide z = x2+y2 e abaixo da esfera x2+y2+z2 =
2.
6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estão
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a) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9
b) Acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.
7. Calcule as integrais triplas sobre os paralelepípedos.
a)
∫∫∫
B
(x2 + y + 3z)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, −1 ≤ z ≤ 1}
b)
∫∫∫
B
sen(x+2y+3z)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 2}
c)
∫∫∫
B
(x+ cos(y) + ez)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π, 1 ≤ z ≤ 2}
d)
∫∫∫
B
x
y + z
dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3}
8. Calcule as integrais triplas.
a)
∫∫∫
B
2xdV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
b)
∫∫∫
B
ez/ydV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}.
c)
∫∫∫
B
z
x2 + z2
dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ y ≤ 4, y ≤ z ≤ 4, 0 ≤ x ≤ z}.
d)
∫∫∫
B
x2 sen(y)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤
√
π, 0 ≤ z ≤ x, 0 ≤ y ≤ xz}.
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