04 - De Broglie Schroedinger

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Desenvolvimento histórico da 
mecânica quântica
De Broglie (1924) Pauli (1925) Schroedinger (1926) 
Heisenberg (1927) Dirac (1928)
Gerações…
Planck - nascido em 1858
Einstein - nascido em 1879
Bohr - nascido em 1885
Schroedinger - 1887
De Broglie - 1892
Quantum - 1900
Pauli - 1900
Heisenberg - 1901
Dirac - 1902
Os 5 Anos Finais que Fundaram a Mecânica Quântica
De 1924 a 1928 os fundamentos da mecânica quântica foram estabelecidos:
1924 - De Broglie - Dualidade onda/partícula para a matéria
1925 - Pauli - A existência do spin e suas consequências na estrutura da matéria
1926 - Schroedinger - A equação de onda para a matéria
1927 - Heisenberg - a limitação das medidas experimentais, incerteza
1928 - Dirac - A equação de onda relativística prevê a existência do spin e 
anti-matéria
De Broglie -
De Broglie propôs que o comportamento dual onda/partícula da luz também 
deveria ser observado para a matéria e, usando um desenvolvimento matemático 
simples definiu a relação entre o momento linear (p = m v) de um corpo material e 
o correspondente comprimento da onda (𝜆)que o acompanha:
𝜆 = h/p
ou
𝜆 = h/(m v)
Descrevendo uma onda de matéria 
Uma onda mecânica estacionária tem a expressão
A(𝘹) = A0{ cos(2𝜋 𝘹/𝜆 ) ± i sen(2𝜋 𝘹/𝜆 )}
Onde A0 é a amplitude máxima da onda, A(x) é a amplitude na posição x e 𝜆 é o 
comprimento de onda correspondente. O sinal ± indica a direção de rotação da 
onda. 
A forma exponencial correspondente é 
A(x) = A0 exp ± i(2𝜋𝘹/𝜆 )
Uma Corda Vibrante
u(x,t) representa a amplitude de deslocamento da corda de comprimento l no ponto x, no 
instante t
As condições de contorno do problema são u(0,t) = u(l,t) = 0
Equação Diferencial de Onda para Uma Corda Vibrante
Recorreremos ao Cálculo III para resolver a equação
Método de Separação de Variáveis
Analisando a equação de onda, não encontramos nenhum vínculo funcional 
entre x e t que impeça que escrevamos u(x,t) como o produto de 2 funções, uma 
X(x) que só depende de x e outra T(t) que só depende de t 
u(x,t) = X(x) T(t) 
Método de Separação de Variáveis
Reescrevendo a equação obtemos, 
neste ponto podemos transferir os termos em x para o lado esquerdo e os termos 
em t para o lado direito
Método de Separação de Variáveis
Com este arranjo, temos duas equações diferenciais de uma variável cada
A igualdade acima diz que o lado esquerdo é igual ao lado direito não importa que valor 
de x e t assumam, isso significa que o valor de cada equação é uma constante C, 
chamada de constante de separação de variáveis
Equações diferenciais separadas
Cada equação agora está 
separada e pode ser 
resolvida individualmente
Equações diferenciais separadas
Equações diferenciais com solução exponencial
Soluções
exp(a x)
exp(-a x)
sen(ax)
cos(ax)
e combinações destas, por exemplo:
B exp(ax) + C exp(a x)
B cos(x) + C sen(x)
etc
Testando f(x) = exp(a.x)
f(x) = exp(a.x)
f’(x) = a exp(a.x)
f”(x) = a² exp(a.x)
Comparado com X”(x) = C X(x), vemos que C = a² torna f(x) uma solução do tipo 
X(x) = exp( ±C ¹/² . x), 
Se C <0 a solução é imaginária: X(x) = exp( ± C¹/² i.x), lembrando que:
exp( ± i.x) = cos(x) ± i sen(x)
Aplicando condições de contorno
 X(0) = 0, X(l) = 0 a solução real exp(±C ¹/² . x) não é solução do problema, mas
exp( ± i.x) = cos(x) ± i sen(x) pode ser solução se o termo cosseno é eliminado e 
se fizermos sen(l)=0, o que acontece quando l = n𝝅. n=0,1,2,3, etc
Gráfico das soluções
https://www.wtamu.edu/~cbaird/sq/images/string.gif
https://www.wtamu.edu/~cbaird/sq/images/string.gif
https://docs.google.com/file/d/134ig2POodTTOBb27seCmdwzoS7jaHvgW/preview
Para T(t)
T”(t) = v² C T(t)
Testando 
g(t) = exp( b t) => g’(t) = b exp(b t) => g”(t) = b² exp(b t)
A função g(t) é uma solução se 
v² C = b² ou b = ± v C ¹/², isto é T(t) = exp( ± v C ¹/² t), novamente, as soluções 
reais não atendem as condições do problema e a solução é do tipo 
 exp( ± i v C ¹/² t)
Schroedinger usou os resultados de Planck e De Broglie
Histórico: 
 Antes do recesso de Natal de 1925, Debye, chefe da equipe de Schroedinger, 
deu a ele uma cópia do trabalho de De Broglie e pediu para ele preparar um 
seminário de grupo para ser apresentado após o recesso.
 Schroedinger passou o recesso em uma hospedaria nos Alpes nevados e 
retornou com uma equação de onda que incorporava os resultados de Planck e 
Bohr e usava princípios da óptica ondulatória na descrição de fenômenos e na 
interpretação dos resultados obtidos.
Schroedinger usou os resultados de Planck e De Broglie
 Não existe registro da dedução da equação de Schroedinger, ele nunca os 
publicou. 
 Existem argumentos plausíveis para justificá-la, basicamente, partindo da 
equação de onda clássica:
Resultados de Planck e De Broglie
Planck definiu 
e De Broglie propôs 
Argumentos Plausíveis para a Equação de Schroedinger
Com essas definições a equação da onda para uma partícula livre fica
De posse dessa equação de onda podemos enunciar os postulados associados a 
ela.
Leitura
Chapter 4 - Gamow “Thirty Years That Shook Phyics 
- disponível para ler/baixar em 
https://archive.org/details/ThirtyYearsThatShookPhy
sics-TheBirthOfQuantamTheory/mode/2up
Paper - Revisiting Louis de Broglie's famous 1924 
paper in the Philosophical Magazine - P. Weinberger 
(disponíbilizado no Classroom)
https://archive.org/details/ThirtyYearsThatShookPhysics-TheBirthOfQuantamTheory/mode/2up
https://archive.org/details/ThirtyYearsThatShookPhysics-TheBirthOfQuantamTheory/mode/2up
Exercícios
Exemplos 1-6, 1-7
Exercícios 1-25 a 1-30