Normas e Relatórios de Laboratório de Física

Física Experimental

zKiMB _
em 18/08/2024
Conteúdos escolhidos para você

83 pág.
Apostila-FisExpI

93 pág.
Apostila_ExpA (2)

UFSCAR
62 pág.
pdf introducao-ao-laboratorio-de-fisica-piacentini

104 pág.
labfisicai-2010

55 pág.
Medição do Tempo de Queda

UFCG
Perguntas dessa disciplina

59:49 Progresso:0/5 60 minutos QUESTIONÁRIO 01 – EXPRESSÃO GRÁFICA 1 A geometria gráfica tem evoluído com o tempo, especialmente no que diz respeito a

alharmos resolução de problemas envolvendo medidas do volume de blocos retangulares em sala de aula, os alunos podem apresentar algumas dificuldades n

Conteúdo do(a) G1 Pergunta 1 Pergunta 1 0,2 Pontos Pergunta 1 O grau com que uma estrutura se deforma depende da magnitude da tensão imposta. Para a m

UNILASALLE
As treliças são estruturas formadas por barras retas e finas ligadas entre si por nós articulados, onde as cargas atuam apenas nesses nós. Com isso, c

FMU
No processo de análise química, é comum a ocorrência de erros ao longo do processo, sendo OS motivos mais variados possíveis. É essencial que 0 químic

Uniasselvi
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Apostila-FisExpI

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Apostila_ExpA (2)

UFSCAR
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104 pág.
labfisicai-2010

55 pág.
Medição do Tempo de Queda

UFCG
Perguntas dessa disciplina

59:49 Progresso:0/5 60 minutos QUESTIONÁRIO 01 – EXPRESSÃO GRÁFICA 1 A geometria gráfica tem evoluído com o tempo, especialmente no que diz respeito a

alharmos resolução de problemas envolvendo medidas do volume de blocos retangulares em sala de aula, os alunos podem apresentar algumas dificuldades n

Conteúdo do(a) G1 Pergunta 1 Pergunta 1 0,2 Pontos Pergunta 1 O grau com que uma estrutura se deforma depende da magnitude da tensão imposta. Para a m

UNILASALLE
As treliças são estruturas formadas por barras retas e finas ligadas entre si por nós articulados, onde as cargas atuam apenas nesses nós. Com isso, c

FMU
No processo de análise química, é comum a ocorrência de erros ao longo do processo, sendo OS motivos mais variados possíveis. É essencial que 0 químic

Uniasselvi
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Universidade Federal de Lavras - UFLA
Departamento de F́ısica - DFI
Apostila de Laboratório de F́ısica D
Prof. Dr. Alexandre Alberto Chaves Cotta
Profa. Dra. Angela Dayana Barrera de Brito
Prof. Dr. Jonas Henrique Osório
Prof. Dr. Júlio César Ugucioni
SUMÁRIO
1 Prática 1: Pêndulo Simples e F́ısico 5
2 Prática 2: Sistema massa mola 11
3 Prática 3: Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 13
4 Prática 4: Refração e Reflexão interna total da Luz 17
5 Prática 5: Obtenção da distância focal de lentes. 21
6 Prática 6: Difração da luz. 24
NORMAS OPERACIONAIS EM
LABORATÓRIOS DE FÍSICA
1. Estar consciente do que estiver fazendo, ser disciplinado e responsável;
2. O acesso ao laboratório é restrito quando experimentos estão em andamento;
3. Respeitar as advertências do professor sobre perigos e riscos;
4. Para utilizar os instrumentos ou equipamentos, é necessário autorização dos professores,técnicos e monitores;
5. Manter hábitos de higiene;
6. Não é permitido beber, comer, fumar ou aplicar cosméticos dentro do laboratório;
7. Guardar casacos, pastas e bolsas nas áreas reservadas para isso, e não na bancada, onde podem danificar os
instrumentos de medidas, materiais ou equipamentos, além de atrapalhar o desenvolvimento do experimento;
8. Mantenha uma organização da bancada evitando que os equipamentos sejam danificados, evitando acidentes
decorrentes do mal uso ou desatenção no uso dos equipamentos durante o experimento;
9. Manusear os instrumentos e materiais com o máximo cuidado;
10. Verificar atentamente a tensão dos equipamentos e das tomadas antes de plugá-los;
11. Sempre usar o material didático proposto e seguir o roteiro na execução das práticas;
12. Não respirar vapores e gases, não provar reagentes de qualquer natureza;
13. Ao derramar qualquer substância, providenciar a limpeza imediatamente, utilizando material próprio para tal;
14. Não jogar nenhum material sólido ou ĺıquido dentro da pia ou rede de esgoto comum;
15. Nunca apanhar cacos de vidro com as mãos ou pano, caso haja, use escova ou vassoura;
16. Caso você tenha alguma ferida exposta, esta deve estar devidamente protegida;
17. Manter o rosto sempre afastado do recipiente onde esteja ocorrendo um aquecimento;
18. Não usar vidrarias trincadas ou quebradas;
19. O laboratório deve ser mantido limpo e livre de todo e qualquer material não relacionado às atividades nele
executadas;
20. Cada equipe é responsável pelo material utilizado na aula prática, portanto ao término do experimento limpar
e guardar os materiais em seus devidos lugares;
21. No caso de quebra ou dano de vidrarias, materiais ou equipamentos, comunicar imediatamente ao professor,
técnico ou monitor;
22. Ao término da aula, desligar todos os equipamentos e tirá-los da tomada;
23. Em caso de acidentes, avisar imediatamente o professor.
MODELO DE RELATÓRIOS EM
LABORATÓRIO DE FÍSICA D
Um relatório é utilizado para registrar resultados parciais ou totais de uma determinada atividade,
experimento, projeto, ação, pesquisa, ou outro evento, que esteja finalizado ou em andamento. Nesse sentido,
saber como registrar esses dados de forma adequada é de extrema importância. Essa parte da apostila trata
somente de algumas sugestões para uma melhor organização das informações a serem registradas em um
relatório acadêmico.
Normalmente, utiliza-se uma formatação padronizada para escrita de relatórios, o que não implica apre-
sentar modificações nessa decorrentes do autor do trabalho ou mesmo do professor responsável pela disciplina.
O relatório é dividido em diferentes partes, cada uma com sua importância no texto. No entanto, fica a
critério do professor responsável a escolha das partes mais importantes. A seguir são apresentados algumas
partes que devem estar contidas em relatórios de laboratórios de F́ısica.
� T́ıtulo: Ao qual se refere o relatório ou trabalho, onde deve constar de forma sucinta o objetivo da
prática, qual procedimento utilizado e qual o objeto de estudo.
� Autores: Deve conter o nome completo dos autores do trabalho. Usar ı́ndices super-escritos para
indicar a turma ao qual o aluno pertence.
� Turma: Designar a turma e o curso ao qual o aluno pertence.
� Data: Colocar a data de realização da referida prática.
OBS: Atentar para o fato que as palavras “TÍTULO”, “AUTORES”, “TURMA” e “DATA” não
precedam as respectivas informações, ou seja, o Tı́tulo não deve ser precedido pela palavra “TÍTULO”.
� Resumo: Deve ser apresentado o PORQUÊ da importância em se realizar a referida prática. Tem
que ser objetivo, coerente e curto, dando ao leitor do trabalho compreensão do que foi realizado e
conduzi-lo as conclusões do mesmo. Deve conter a apresentação da prática, o que foi feito e como, e
finalmente os principais resultados e conclusões.
� Introdução: Nessa parte, pode-se descrever o conteúdo teórico necessário, para dar suporte às con-
clusões, situando o leitor no assunto que está sendo abordado, porem de forma sucinta. Deve estar
claro quais são os objetivos da prática. Um relatório de laboratório deve explicar a F́ısica envolvida
para análise dos resultados experimentais obtidos. Pode conter o histórico do que já foi produzido
sobre o objeto em estudo.
� Objetivos: É curto e breve; é formado por apenas um parágrafo, dando uma ideia da onde queremos
chegar com essa prática. Você pode encontrar os objetivos de cada prática nos roteiros roteiro.
� Procedimento experimental: É a metodologia usada para realização da prática. Pode ser escrito em
forma de itens numerados em ordem cronológica, ou mesmo escrito em forma de um texto descritivo.
Pode conter esquemas da montagem experimental, se posśıvel. Por meio dele, deve-se explicar os
métodos que foram utilizados para obtenção dos dados experimentais e quais critérios foram usados
Modelo de Relatórios em Laboratório de F́ısica D 3
para avaliação de incertezas. Um fato importante que deve ser lembrado é que o leitor do trabalho deve
ser capaz de reproduzir o experimento a partir da leitura desta seção. Importante, os verbos devem
ser utilizados na forma impessoal (foi feito ou fez-se) e no tempo passado, já que os procedimentos
foram realizados.
� Resultados e discussões: Essa é parte mais importante de um relatório onde devem ser apresentados
os dados coletados, a discussão do comportamento ou tendência dos dados e o resultados das análises.
Não se deve apresentar apenas tabelas com números ou gráficos sem comentários sobre incertezas
obtidas. Os resultados da análise estat́ıstica, bem como tratamento de dados por meio de ajustes de
curvas são obrigatórios, sendo interessante a comparação com a literatura discutida na introdução.
Um fato importante é mostrar a qualidade e confiabilidade dos resultados por meio de estat́ıstica
apropriada. Por exemplo, o erro percentual entre o valor experimental e o valor teórico nos revela
confiança ou não dos resultados apresentados. Tente justificar eventuais discrepâncias que forem
observadas e aponte sugestões para melhorar a qualidade dos dados.
� Conclusões: A conclusão deve ser um texto independente do resto do relatório como no resumo. O
leitor deve ser capaz de entender o relatório todo por meio da leitura somente dessa parte. Essa pode
definir se um relatório será aprovado ou não e deve ser discutida em relação ao objetivo proposto,
focando se esse foi alcançado ou não. Pode ser enunciado os valores encontrados e as comparações
com resultados da literatura. Se forem utilizados diferentes métodos experimentais para analisar um
determinado conjunto de dados, a comparação entre os métodos é importante para encontrar o mais
apropriado e com menor incerteza. A justificativa dos resultados que não forem adequados é de extrema
importância e mostra domı́nio dos autores sobre os conteúdos abordados.
� Referências bibliográficas: Esta seçãodeve ser a última em um relatório, contudo deve-se lembrar
que toda referência utilizada deve ser citada no decorrer do relatório, ou seja, colocar uma referência
sem indicar em que local foi utilizada no texto, torna esta referencia sem sentido. Não é necessário que a
formatação das referências bibliográficas sejam de acordo com as normas ABNT. Porém, as referências
devem ser apresentadas de forma clara, na qual outros leitores consigam entender. Enumere os livros,
apostilas, revistas cient́ıficas, sites na internet etc. consultados para a elaboração do relatório e cite-os
no texto do relatório. Vale lembrar que para sites é necessário colocar data e horário do acesso. Seguem
alguns formas baseadas na ABNT:
– Livro: SOBRENOME, PRENOME abreviado. T́ıtulo: subt́ıtulo (se houver). Edição (se houver).
Local de publicação: Editora, data de publicação da obra. Nº de páginas ou volume. (Coleção
ou série) Ex.: TIPPLER, P.A.; MOSCA, G. F́ısica para Cientistas e Engenheiros - Eletricidade
e Magnetismo, Óptica. Sexta Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2014. Volume 2.
– Artigos: SOBRENOME, PRENOME; SOBRENOME, PRENOME abreviado abreviado T́ıtulo:
subt́ıtulo (se houver). Nome do periódico, volume, número ou fasćıculo, paginação, ano de pu-
blicação do periódico. Ex.: CALDEIRA-FILHO, A. M. ; UGUCIONI, J.C. ; MULATO, M. .
Red mercuric iodide crystals obtained by isothermal solution evaporation: Characterization for
mammographic X-ray imaging detectors. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research,
Section A, Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, v. 737, p. 87-91,
2014.
– Textos eletrônicos, Sites, etc: Os elementos essenciais para referenciar os documentos em
meio eletrônico são os mesmos recomendados para documentos impressos, acrescentando-se, em
seguida, as informações relativas a descrição f́ısica do meio ou suporte (CD, disquete). Quando se
tratar de obras consultadas on line, são essenciais as informações sobre o endereço eletrônico,
apresentado entre os sinais <>, precedido da expressão Dispońıvel em: e a data de acesso
do documento, precedido da expressão “Acesso em:”. Ex.: Introdução a Teoria de Erros.
Dispońıvel em: < https : //drive.google.com/viewerng/viewer?a = v&pid = site&srcid =
ZGVmYXV sdGRvbWFpbnxwcm9manV saW9jZXNh >. Acesso em: 07/01/2015.
– Outras formas de referências podem ser consultadas em sites especializados.
Modelo de Relatórios em Laboratório de F́ısica D 4
Muito Importante!!
Esquemas, Figuras, Gráficos e Tabelas: Essa não é uma parte do relatório, mas sim uma
orientação de como apresentar essas informações tanto na introdução e procedimentos experimentais
como nos resultados e discussões. Esquemas, figuras e gráficos são reconhecidos como figuras no texto.
Toda figura e tabela deve ser numerada de acordo a ser citada no texto e deverá ser citada no texto, o
que implica na sua explicação. Essa numeração pode ser números cardinais (1,2,3...), romanos (I, II,
III), letras do alfabeto (A, B, C...). Toda tabela e figura deve apresentar uma legenda explicativa, e
essa pode ser colocada embaixo das figuras e acima das tabelas.
Importante: Se algum texto foi extráıdo de algum livro, deve ser colocado nas referências bibliográficas.
Não mencionar as fontes caracteriza plágio.
Important́ıssimo: Um relatório é um relato das observações feitas em laboratório. Um relatório nunca
manda fazer. Assim o uso da forma impessoal (foi feito ou fez-se...), como foi anteriormente dito para
escrita do procedimento experimental, deve ser regra para o relatório todo.
Toda grandeza experimental determinada deve ser enunciada com as respectivas unidades. Cuidado para
não esquecer das unidades na confecção do relatório.
PLÁGIO, CTRL+C, CTRL+V, NÃO SERÃO ACEITOS!!!
CAPÍTULO 1
PRÁTICA 1: PÊNDULO SIMPLES E FÍSICO
“Então Einstein estava errado quando disse:
“Deus não joga dados”.
Considerando os buracos negros,
sugere não só que Deus não joga dados,
mas que às vezes nos confunde jogando-os
onde eles não podem ser vistos.”
Stephen Hawking
Introdução
Existem inúmeros pêndulos estudados na f́ısica. Esses são descritos como objetos de fácil previsão de
movimentos e possibilitaram inúmeros avanços tecnológicos. Alguns desses pêndulos são o simples, f́ısico,
de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Os pêndulos simples e f́ısico são
sistemas que obedecem o movimento harmônico simples. A solução desses resulta em equações diferenciais
de segunda ordem, cuja soluções são funções periódica com o tempo.
Pêndulo Simples
O modelo mais simples é o Pêndulo Simples. Este consiste em uma massa presa na extremidade de um
fio flex́ıvel e inextenśıvel com massa despreźıvel. Esse sistema deve oscilar livremente em relação a uma
posição de equiĺıbrio. Um esquema desse sistema é visto na Figura 1.1.
Quando afastamos a massa da posição de equiĺıbrio e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao
desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão no fio e a
força peso. As componentes da força peso na direção y (Py) se anula com a tração (T) e a única força
responsável pelo movimento do pêndulo está na direção x (Px). Assim:
F = mgsenθ −→ m.a = mgsenθ −→ a = gsenθ (1.1)
Considerando a aceleração (a) como sendo:
a =
d2x
dt2
−→ a = L
d2θ
dt2
(1.2)
Onde L seria o comprimento do fio e θ, o ângulo de oscilação. Isso resulta na seguinte equação diferencial:
d2θ
dt2
− g
L
senθ = 0 (1.3)
Se θ for menor que 10o, senθ −→ θ e a frequência angular ao quadrado (ω2) será igual a g
L . Sendo o
peŕıodo igual a T = 2π
ω , obtemos o peŕıodo de oscilação desse sistema como sendo:
T = 2π
√
L
g
(1.4)
Pêndulo Simples e F́ısico 6
Figura 1.1: (a) Esquema do Pêndulo Simples e (b) diagrama de forças desse sistema.
Pêndulo F́ısico
O pêndulo f́ısico é qualquer pêndulo real, que consiste de um corpo ŕıgido (com qualquer forma) suspenso
em um ponto fixo O e que pode girar livremente (sem atrito) em torno dele. A Figura 1.2 mostra o pêndulo
f́ısico genérico e o diagrama de forças envolvido fora do equiĺıbrio para esse sistema.
Figura 1.2: (a) Pêndulo f́ısico e (b) diagrama de forças no centro de gravidade (CG) do sistema.
O torque desse sistema, provocado pela força é descrito pela equação:
τ = Iα = −d.Mgsenθ (1.5)
Onde I é o momento de inercia do pêndulo; α é a aceleração angular, que pode ser escrita como sendo
a segunda derivada do ângulo de oscilação, ou seja, α = d2θ/dt2; d é a distância do ponto O e o centro de
Pêndulo Simples e F́ısico 7
gravidade (CM); M é a massa do pêndulo e g a aceleração da gravidade.
Fazendo alguns ajustes nessa equação, podemos obter a seguinte equação diferencial de segunda ordem
homogênea:
d2θ
dt2
+
Mgd
I
senθ = 0 (1.6)
Se tomarmos cuidado de oscilar o pendulo para ângulos menores que 10o, podemos considerar senθ ≈ θ
e a frequência angular ao quadrado é ω2 = Mgd
I , assim:
d2θ
dt2
+ ω2θ = 0 (1.7)
Sendo:
ω =
√
Mgd
I
(1.8)
Nessa expressão (equação 1.8), M é massa o pêndulo, g a aceleração da gravidade, d a distância do ponto
em relação ao centro de gravidade e I o momento de inercia nesse ponto. O peŕıodo (T), por sua vez, será:
T = 2π
√
I
Mgd
(1.9)
O momento de inercia teórico das formas de pêndulo f́ısico que usaremos nessa prática são dadas na
Figura 1.3.
Figura 1.3: Momento de inércia de placas usadas nessa prática.
Os cálculos desses momento de inercia são apresentados no apêndice desse caṕıtulo.
Por fim, o teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos permite obter o momento de inércia de um
sólido ŕıgido em relação ao momento de inércia do centro de massa (CM). Assim obtemos a seguinte relação
para o calculo do momento e inercia em qualquer ponto do sólido:
I = ICM +Md2 (1.10)
Onde M é a massa doobjeto e d a distância do eixo em relação ao CM.
Pêndulo Simples e F́ısico 8
Objetivos
Estudar o movimento do pêndulo simples, obter a aceleração da gravidade local. Estudar o movimento
do pêndulo f́ısico e obter o momento de inércia de alguns corpos ŕıgidos.
Materiais utilizados
Tripé com suporte, 2 massas esféricas, barbante, trena, transferidor, cronômetro do celular, presilha com
pivô, placa retangular com furos, placas geométricas (circular maciça e anel).
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente esses antes de iniciar o experimento.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “A TEORIA DE
ERROS RESUMIDA”.
Parte 1 - Obtenção aceleração da gravidade por meio de um pêndulo simples
1. Obtenha usando uma balança as massas (em g) dos corpos (bolinhas) que serão usados e anote esse
valores.
2. Como sugestão monte uma tabela em seu caderno para facilitar na aquisição dos dados. Para essas
tabela serão obtidos o 5 peŕıodos de 10 oscilações (T10) para cada comprimento de fio (L).
3. Amarre o fio no suporte e, com o maior comprimento, pendure o corpo na extremidade do fio formando
um pêndulo. Meça L.
4. Para um mesmo comprimento, obtenha 5 tempos de 10 oscilações (T10). Para isso retire o pêndulo
de sua posição de equiĺıbrio com um afastamento de aproximadamente 10o. Use um transferidor para
isso. Lembre-se que esse afastamento deve ser mantido durante todas as medidas.
5. Varie o comprimento L enrolando o fio no suporte. Meça L novamente. Repita o procedimento de 5
medidas de T10.
6. Diminua o fio pelo mais 3 vezes, obtendo 5 medidas de T10 para cada L.
7. Com essas medidas em mão, faça a análise estat́ıstica adequada.
8. Obtenha a aceleração da gravidade local por dois métodos: 1) Calculo de cada valor de g para os
valores médios de peŕıodo de oscilação; e 2) Obtenção de g pelo método gráfico.
Parte 2 – Obtenção do momento de inércia de uma placa retangular em dois pontos distintos.
1. Nessa parte vamos utilizar a placa plástica retangular com 3 orif́ıcios.
2. Monte uma tabela para auxiliar na aquisição dos dados experimentais.
3. Meça a distância entre a posição do centro de massa usando a trena em relação ao orif́ıcio (d).
4. Pendure a placa em um dos seus orif́ıcios no pivô preso ao tripé.
5. Retire o corpo de sua posição de equiĺıbrio com um afastamento de no máximo 10o. Ele deverá oscilar
livremente.
6. Obtenha o peŕıodo de 10 oscilações. Repita esse procedimento por mais 4 vezes.
7. Troque de orif́ıcio e repita os procedimentos anteriores.
8. Coloque, por fim, a peça para oscilar no furo central. Por que nesse orif́ıcio a peça não oscila?
Pêndulo Simples e F́ısico 9
9. Obtenha, assim, o momento de inércia da placa para os dois orif́ıcios de forma experimental e compare
com os valores teóricos obtidos usando a relação do momento de inércia para esse objeto e o teorema
dos eixos paralelos.
Parte 3 – Obtenção do momento de inércia de uma placa geométrica.
1. Nessa parte vamos utilizar a placa geométrica (circular ou anel) com orif́ıcio.
2. Monte uma tabela para auxiliar na aquisição dos dados experimentais.
3. Meça a distância entre a posição do centro de massa usando a trena em relação ao orif́ıcio (d).
4. Pendure a placa em um dos seus orif́ıcios no pivô preso ao tripé.
5. Retire o corpo de sua posição de equiĺıbrio com um afastamento de no máximo 10o. Ele deverá oscilar
livremente.
6. Obtenha o peŕıodo de 10 oscilações. Repita esse procedimento por mais 4 vezes.
7. Obtenha, assim, o momento de inércia da placa para os dois orif́ıcios de forma experimental e compare
com os valores teóricos obtidos usando a relação do momento de inércia para esse objeto e o teorema
dos eixos paralelos.
Cálculos Teóricos dos momentos de inercia no centro de massa dos objetos estudados.
Placa retangular.
Figura 1.4: Placa retangular.
Na Figura 1.4 temos uma placa retangular de
lado “a” e comprimento “b”. O momento de inercia
no centro de massa desse objeto pode ser obtido
usando a seguinte relação:
ICM =
∫
S
r2dm (1.11)
Se considerarmos que a placa é fina o bastante
e apresenta uma densidade superficial contante, po-
demos escrever dm = σdA, onde σ é a densidade
superficial de massa e dA o diferencial de massa,
que pode ser reescrito como sendo dA = dx · dy.
Ainda r pode ser escrito em função de x e y, usando o teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Assim obtemos:
ICM =
∫ b/2
−b/2
∫ a/2
−a/2
(x2 + y2)σdy · dx (1.12)
Sendo que os limites de integração designam a centro de massa desse objeto e se considerarmos que
a distribuição de massa é contante, ou seja, σ = M
a·b , sendo M a massa da barra e a · b a área da placa.
Resolvendo essa integral:
ICM =
M
a · b
(∫ b/2
−b/2
∫ a/2
−a/2
x2dx · dy +
∫ b/2
−b/2
∫ a/2
−a/2
y2dx · dy
)
ICM =
M
a · b
(∫ b/2
−b/2
x2
[a
2
−
(
−a
2
)]
dx+
∫ b/2
−b/2
[
a3
3.8
−
(
− a3
3.8
)]
dx
)
ICM =
M
a · b
([
b3
3.8
−
(
b3
3.8
)]
a+
a3
12
[
b
2
−
(
− b
2
)])
.
ICM =
M
a · b
(
ab3
12
+
ba3
12
)
.
Sendo o resultado final igual a:
ICM =
1
12
M
(
a2 + b2
)
. (1.13)
Pêndulo Simples e F́ısico 10
Placa circular.
Figura 1.5: Placa circular.
Na Figura 1.5 temos uma placa circular de raio R. Usando a
equação 2.1, podemos obter o momento de inercia desse objeto,
se considerarmos que a placa é fina o bastante e apresenta
uma densidade superficial contante. Assim, podemos escrever
dm = σdA, onde σ = M
πR2 . Sendo o diferencial de área escrito
como dA = 2πrdr. Dessa forma:
ICM =
M
πR2
∫ R
0
2πr3dr (1.14)
Como resultado dessa integral, temos:
ICM =
2πM
πR2
(R4 − 0)
4
ICM =
M
2
(R2)
Sendo o resultado final igual a:
ICM =
1
2
MR2. (1.15)
Placa em forma de anel.
Figura 1.6: Placa circular oca/anel.
Na Figura 1.6 temos uma placa em forma de anel de raios
R1 interno e R2 externo. Usando a equação 2.1, podemos obter
o momento de inercia desse objeto, se considerarmos que a
placa é fina o bastante e apresenta uma densidade superficial
contante. Assim, podemos escrever dm = σdA, onde σ =
M
π(R2
2−R2
1)
. Sendo o diferencial de área escrito como dA = 2πrdr.
Dessa forma:
ICM =
M
π(R2
2 −R2
1)
∫ R2
R1
2πr3dr (1.16)
Como resultado dessa integral, temos:
ICM =
2πM
π(R2
2 −R2
1)
(R4
2 −R4
1)
4
ICM =
M
2(R2
2 −R2
1)
(R2
2 −R2
1)(R
2
2 +R2
1)
ICM =
M
2
(R2
2 +R2
1)
Sendo o resultado final igual a:
ICM =
1
2
M(R2
2 +R2
1) (1.17)
CAPÍTULO 2
PRÁTICA 2: SISTEMA MASSA MOLA
“O caminho para o progresso
não é rápido nem fácil.”
Marie Currie
Introdução
Um sistema massa mola (Figura 2.1) é formado por uma massa ligada a uma mola com constante elástica
conhecida. No Laboratório de F́ısica A esse sistema foi estudado de forma estática, onde foi posśıvel obter a
constante elástica da mola (k) por meio da variação de massas (m), obtendo diferentes elongações (y). Esse
sistema é explicado pelo diagrama de forças, sendo equacionados a seguir (equação 2.1).
Figura 2.1: Sistema massa mola mostrando o efeito de uma massa na elongação de uma mola.
P = Fe −→ mg = ky −→ y =
g
k
m (2.1)
Se esse sistema for movido do ponto de equiĺıbrio, irá oscilar obedecendo o seguinte expressão:
P − Fe = Ma −→ Mg + ky = Ma (2.2)
Onde M seria a massa do sistema, que é soma das massas (m) e da massa efetiva da mola (mef ), que a
massa da mola dividida por 3 (Você saberia por que disso? Explique isso em seu relatório). Considerando
a aceleração (a) como sendo igual a a = d2y
dt2
, obtemos:
d2y
dt2
+
k
M
y = g −→ d2y
dt2
+ ω2y = g (2.3)
Sistema massa mola 12
Onde ω é a frequência angular. Desse modo o peŕıodo T seria igual a:
T = 2π
√
M
k
(2.4)
Objetivos
Estudar o sistema massa mola, obter a constante elástica em sistemas estáticos e a massa efetiva da
mola em sistemas dinâmicos.Materiais utilizados
Tripé com suporte, trena, cronômetro, 5 massas e mola com constante elástica conhecida.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente esses antes de iniciar o experimento.
Tome cuidado ao manusear a mola. Não fique puxando a mola sem necessidade.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “A TEORIA DE
ERROS RESUMIDA”.
Obtenção da massa efetiva de uma mola oscilante
1. Observe as massas (em g) dos corpos que serão usados e anote esses valores.
2. Meça a massa da mola usando uma balança.
3. Vamos coletar medidas concomitantes durante a prática.
4. Primeiramente, posicione a mola na haste e fixe a marcação superior da régua na base da mola (acima
do arco onde vamos pendurar as massas).
5. Pendure uma das massas e observe a elongação. Posicione a marcação inferior da régua na base da
mola. Anote o quanto a mola elongou.
6. Para essa massa, vamos colocar o sistema (massa + mola) para oscilar. Para isso, puxe a mola 1 cm
da posição de equiĺıbrio e deixe oscilar 10 vezes. juntamente, meça o tempo das 10 oscilação usando
o cronometro do celular.
7. Anote o valor do peŕıodo de 10 oscilações (T10) e repita essas mais 4 vezes, tomando cuidado de manter
a mesma elongação do sistema para todas as medidas.
8. Troque de massa e repita os procedimentos anteriores. Faça isso para todas as massas dispońıveis.
9. Com a elongação da mola para cada massa, obtenha a constante da mola de forma estática. Para isso
faça um gráfico adequado e obtenha k.
10. Por meio das medidas de oscilação da mola, obtenha a massa efetiva (mef ) da mola usando o valor da
constante obtida de forma estática.
11. Explique e discuta em seu relatório por que a mef é igual a massa da mola dividida por 3.
CAPÍTULO 3
PRÁTICA 3: ONDAS ESTACIONÁRIAS EM
CORDAS E TUBOS
“Não existem métodos fáceis
para resolver problemas dif́ıceis.”
René Descartes
Introdução
Ondas estacionárias são as que apresentam um padrão de vibração dito estacionário. Essas ondas se
formam pela superposição de duas ondas idênticas e com sentidos opostos. Exemplos de ondas estacionárias
em cordas são vistos na Figura 3.1. Esse comportamento é muito interessante e explica o funcionamento de
alguns instrumentos musicais de corda e sopro.
Figura 3.1: Ondas estacionárias em cordas com extremidades fixas. (retirado do site: http :
//www.lef.ifsc.usp.br/salaConhece/index.php?option = comcontent&view = article&id = 12 : tubo −
de− chamas− dancantes&catid = 1 : experimentoscalor&Itemid = 28)
Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 14
Ondas Estacionárias em Cordas
Vamos considerar uma corda fixa em suas extremidades em movimento harmônico simples. As frequências
onde são gerados padrões observados na Figura 3.1 são chamadas frequências de ressonância, sendo que a
menor é a frequência fundamental o que produz uma onda estacionária chamada de modo fundamental ou
primeiro harmônico (Figura 3.2). Com o aumento da frequência podemos observar os demais harmônicos
de ressonância que são múltiplos da metade do comprimento de onda (λ), ou seja: L = nλ
2 , onde L é o
comprimento da corda e n é um número natural igual a 1,2,3...
As frequências de ressonância também obedecem essa regra. Se considerarmos que uma onda apresenta
uma velocidade (v) igual a v = 2L
T , onde T seria o peŕıodo da onda se propagar até uma extremidade e
voltar. Como o peŕıodo é o inverso da frequência, podemos obter a seguinte expressão:
fn = n
v
2L
;n = 1, 2, 3... (3.1)
A velocidade em uma corda pode ser obtida do impulso e seria igual a v =
√
F
µ (Você saberia como
chegar nessa expressão?), onde F seria a tensão na corda e µ a densidade linear da corda (dada em kg/m).
F seria igual a força peso nessa prática, o que conduz a equação 3.2 que iremos usar em nossas análises.
fn = n
1
2L
√
Mg
µ
;n = 1, 2, 3... (3.2)
Ondas Estacionárias em Tubos
(a) (b)
Figura 3.2: Ondas estacionárias em tubos: (a) tubo fechado e (b) tubo semiaberto (retirado de: Daniel
Cosmo Pizetta, Adilson Barros Wanderley, Valmor Roberto Mastelaro, Fernando Fernandes Paiva. Uma
avaliação experimental do tubo de ondas sonoras estacionárias. Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol.
39, nº 3, e3301 (2017).)
Quando estudamos o comportamento de ondas sonoras em tubos, observamos também o efeito de res-
sonância, que depende diretamente se o tubo é totalmente fechado e aberto ou semiaberto. A Figura 3.2(a)
mostra o comportamento de ressonância posśıvel em tubos fechados e abertos. O mesmo padrão de res-
sonância observado para cordas vibrando é visto para esses casos. Nesse sentido, a mesma formula para as
frequência de ressonância para é usada, ou seja:
fn = n
v
2L
;n = 1, 2, 3... (3.3)
onde v seria agora a velocidade do som no ar e L é o comprimento do tubo.
Para o tubo semiaberto o comportamento das ondas é observado na Figura 3.2(b). Nesse caso, o
comprimento do tubo (L) é um quarto do comprimento de onda (λ), ou seja, L = nλ
4 , onde n = 1,2,3...
Assim a frequência de ressonância para o caso do tubo semiaberto é igual a:
fn = n
v
4L
;n = 1, 2, 3... (3.4)
Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 15
Objetivos
Estudar o comportamento de ondas estacionárias em cordas e tubos. Obter a densidade linear e a
velocidade do som no ar por meio desses experimentos.
Materiais utilizados
Gerador de ondas, cordão com densidade linear conhecida, aparato de vibração de cordas, massa, tripés
e suporte, gerador de funções, caixa de madeira com alto falante acoplado, tubo de PVC, circuito com
microfone, osciloscópio, alimentação do microfone com fonte de 9V.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente esses antes de iniciar o experimento.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “A TEORIA DE
ERROS RESUMIDA”.
Parte 1 - Ondas Estacionárias em Cordas
1. Observe o aparato montado sobre a bancada.
2. Pendure a massa na extremidade da corda de forma que a corda fique esticada.
3. Ligue o gerador de ondas e diminua a frequência no ajuste grosso até quase zero Hz.
4. Aumente a frequência no ajuste grosso até encontrar um único ventre.
5. Utilize o botão de ajuste fino do gerador para obter o máximo de amplitude na oscilação da corda.
6. Anote a frequência encontrada, que corresponde a n = 1.
7. Aumente a frequência, obtendo as dos harmônicos de 2 a 8, ajustando conforme necessário nos ajustes
grosso e fino. Os harmônicos são reconhecidos pelo número de ventres formados na corda.
8. Diminua novamente a frequência e obtenha mais duas vezes as frequências de n = 1 a 8.
9. Meça o comprimento da corda, sua massa e calcule a densidade linear da corda.
10. Com base na análise dos dados experimentais, obtenha a densidade linear da corda e compare-a com
o valor obtido pelas medidas de comprimento e massa.
11. Lembre-se de considerar as incertezas presentes nessas medidas.
Parte 2 - Ondas Estacionárias em Tubos
1. Observe o aparato montado sobre a bancada.
2. Calcule a frequência do primeiro harmônico para o tubo fechado usando a velocidade do som no ar,
que é igual a 343 m/s.
3. Posicione o tubo encostado no alto-falante para criar um tubo fechado.
4. Ligue o gerador de funções e aplique um sinal senoidal.
5. Aumente a frequência enquanto observa o som emitido pelo alto-falante e a onda visualizada no
osciloscópio.
6. Use a frequência calculada para n = 1 como ponto de partida e aumente a frequência no gerador de
funções até que ela esteja próxima do valor calculado anteriormente.
Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 16
7. Observe que próximo desse valor, o tubo começará a vibrar, gerando um som ressonante. No osci-
loscópio, você verá umaonda com amplitude máxima. Anote essa frequência.
8. Aumente a frequência e observe as mesmas condições ressonantes. Anote essa outra frequência, que
será o segundo harmônico. Repita esse procedimento até obter o oitavo harmônico.
9. Diminua a frequência, e aumente novamente obtendo as frequências dos harmônicos de n = 1 a 8.
Faça isso mais duas vezes.
10. Desloque o tubo ligeiramente, abrindo a extremidade em contato com o alto-falante.
11. Agora, vamos repetir os procedimentos anteriores, mas anotando os harmônicos ı́mpares.
12. Comece calculando a frequência para o primeiro harmônico do tubo semi-aberto, utilizando a veloci-
dade do som no ar como 343 m/s.
13. Repita os procedimentos anteriores, como no caso do tubo fechado.
14. Realize a análise das duas medidas e calcule a velocidade experimental do som no ar para ambas
condições de tubo fechado e semiaberto.
15. Não se esqueça de levar em conta as incertezas associadas.
CAPÍTULO 4
PRÁTICA 4: REFRAÇÃO E REFLEXÃO
INTERNA TOTAL DA LUZ
(Fonte: Ilusão de Óptica: Elefante de Quantas Patas? 1).
Introdução
A luz é fascinante quando estudamos seu comportamento. Ela pode apresentar comportamento ondu-
latório, explicado pelos modelos de ondas eletromagnéticas clássicas, e comportamento corpuscular, expli-
cado pela f́ısica moderna. No entanto, os efeitos clássicos explicam o comportamento da luz no nosso dia a
dia, especialmente quando observamos o efeito de ilusão de uma colher quebrada quando colocada dentro de
um copo repleto de água. Nessa primeira prática iniciaremos nosso estudo das propriedades da luz, sendo o
foco dessa prática a refração e a reflexão interna total.
Refração e Reflexão da Luz
A refração da luz, basicamente, é um efeito da mudança de velocidade da luz quando atravessa dois
meios transparentes com diferentes propriedades ópticas. Uma dessas propriedades ópticas é conhecida
como ı́ndice de refração (n). Esse é definido como:
n =
c
v
(4.1)
onde c é a velocidade da luz e v a velocidade da luz do meio.
Além disso, por meio de relações geométricas é posśıvel obter uma relação entre os ı́ndices de refração
dos meios e os ângulos de incidência e refração. Essa relação é denominada como Lei de Snell-Descartes e
matematicamente é dada pela seguinte expressão:
niseni = nrsenr (4.2)
1Dispońıvel em http : //www.putsgrilo.com.br/montagens/03− ilusao− de− otica− elefante− de− quantas− patas/ >.
Acesso em 27− 03− 2018
Refração e Reflexão interna total da Luz 18
Onde ni é o incide de refração do meio incidente que possui um ângulo i, e nr, ı́ndice de refração do meio
refratado com um angulo r.
Outro efeito óptico que verificaremos nessa prática é a reflexão interna total. Esse efeito segue a lei
da reflexão, que descreve que ângulo de incidência da luz deve ser igual ao ângulo de reflexão (θi = θref ).
Essa lei funciona bem para meios refletivos, no entanto, esse efeito pode ocorrer em meios transparentes em
condições especiais. Você saberia em qual condição isso ocorre? Discuta isso em seu relatório.
Luz atravessando prismas
Quando uma luz policromática atravessa um prisma, um efeito interessante pode ser notado, a dispersão
da luz. Esse efeito nada mais é que separação dos cores, e deve-se a caracteŕıstica da ı́ndice de refração
ser dependente com comprimento de onda (e consequentemente da frequência). Isso ocorre pois diferentes
comprimentos de onda da luz podem ter pequenas variação de velocidade no meio, o que modifica o ı́ndice
de refração (ver equação 4.1). A Figura 4.1 apresenta a dependência do indice de refração para diferentes
materiais.
Figura 4.1: Variação do ı́ndice de refração (n) em função do comprimento de onda para diferentes materiais.
O comportamento de um feixe monocromático em um prisma pode ser observado na Figura 4.2.
Figura 4.2: Caminho percorrido por um feixe de luz em um prisma.
Onde i1 e r1 se referem aos ângulos de incidência e refração da primeira face do prisma, e i2 e r2 , ângulos
respectivos da face 2. Além disso, se observa os ângulos A, que é igual a 60o para esse prisma, e D, que seria
o ângulo em formado entre os ângulos de incidência i1 e refração r2.
Por meio relações geométricas, é posśıvel obter seguinte expressão do ı́ndice de refração para cada
comprimento de onda, ou seja, cada cor (Você saberia como chegar na expressão 4.3? Discuta isso em seu
Refração e Reflexão interna total da Luz 19
relatório como chegamos nela.).
nλ =
sen
(
D+A
2
)
sen
(
A
2
) (4.3)
Objetivos
Nessa prática vamos testar a validade da lei de Snell-Descartes para refração. Determinar o ângulo cŕıtico
no qual ocorre reflexão interna total e confirmá-lo usando a Lei de Snell-Descartes. Analisar a dependência
do ı́ndice de refração de um prisma com o comprimento de onda.
Materiais utilizados
Banco óptico, cavaletes de metal, peça de acŕılico em forma de meia lua, prisma de acŕılico, disco
giratório, fenda única e lente convergente de 100 mm de distância focal.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente esses antes de iniciar o experimento.
A lente e os acŕılicos não devem ser manuseados de forma a deixar reśıduos de gorduras nas suas
faces. Nesse sentido cuidado ao manuseá-los.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “A TEORIA DE
ERROS RESUMIDA”.
Parte 1 - Obtenção do ı́ndice de refração do acŕılico na parte plana
Figura 4.3: Montagem do Experimento
1. Monte o aparato conforme a Figura 4.3.
2. Ligue a fonte de luz tomando cuidado que esteja na tensão correta.
3. Calibre o feixe de luz de forma que seja fino suficiente e percorra sobre o disco giratório o ângulo zero
graus (0 graus) em linha reta. Para tornar o feixe mais fino, desloque a lente e a fenda única até
observar o feixe mais fino posśıvel.
4. Posicione o acŕılico de forma que a parte plana fique alinhada a linha perpendicular ao feixe de luz.
Esse posicionamento deve ser de forma a parte plana ficar orientada para a fonte de luz.
5. Varie o ângulo de incidência de 0o a 85o, variando de 5 em 5 graus. Para cada ângulo de incidência
anotado, anote o de refração com suas respectivas incertezas. Lembre-se que o disco é analógico e a
incerteza no angulo seria a metade do valor da menor medida.
6. Repita a coleta de ângulos mais duas vezes para fazer uma média e estat́ıstica adequada.
7. Para esses dados, faça as seguintes análises:
Refração e Reflexão interna total da Luz 20
(a) Obtenha o ı́ndice de refração para cada ângulo de incidência e refração médio. Faça incerteza
nos valores médios e use propagação de erros para obter a incerteza de n.
(b) Faça uma média dos valores dos ı́ndices de refração obtidos no item anterior e calcule o desvio.
(c) Faça um gráfico e obtenha o ı́ndice de refração pelo método gráfico. Para isso use programa
gráfico. Uma sugestão de uso seria o SciDavis, que é um programa gráfico gratuito. Caso
não saiba como usar esse programa, consulte no final dessa apostila o caṕıtulo “UMA BREVE
INTRODUÇÃO DO SCIDAVIS”
Parte 2 - Obtenção do ı́ndice de refração do acŕılico parte curva
1. Com a mesma montagem experimental da parte 1, posicione o acŕılico de modo que o raio de incidência
atinja a parte curva do acŕılico.
2. Varie o ângulo de incidência de 0 a 85 graus de 5 em 5 graus, da mesma forma como foi feito na parte
plana.
3. Repita a coleta de ângulos mais duas vezes para fazer uma média e estat́ıstica adequada.
4. Obtenha o ı́ndice de refração do acŕılico somente pelo método gráfico.
5. Foi observado algo de diferente na segunda parte do experimento?
6. Calcule o angulo cŕıtico teórico e compare com o valor experimental.
Parte 3 - Dispersão da Luz
Figura 4.4: Prima e dispersão da luz branca.Tabela 4.1: Comprimentos de
onda médios (λ)das cores da
luz.
Cor λ (nm)
Violeta 420
Anil 452
Azul 473
Verde 534
Amarelo 587
Laranja 609
Vermelho 701
1. Monte o aparato experimental como mostrado na Figura 4.4.
2. Ligue a fonte de luz tomando cuidado que esteja na voltagem cor-
reta.
3. Calibre o feixe de luz de forma que seja fino suficiente e percorra
sobre o disco giratório o ângulo zero graus (0 graus) em linha reta.
Para tornar o feixe mais fino, desloque a lente e a fenda única até
observar o feixe mais fino posśıvel.
4. Posicione o prisma de modo que uma das faces planas esteja per-
pendicular ao feixe incidente. Use um dos vértices do prisma como
referência, posicionando sobre a “linha de 0 graus”.
5. Gire o prisma até o ângulo onde é posśıvel observar a dispersão da
luz.
6. Obtenha o ângulo D para cada cor com suas incertezas. Faça isso
para no minimo 4 cores. As incertezas devem ser obtidas pela
propagação de erros.
7. Com os comprimentos de onda (λ) das cores do espectro viśıvel
dado na Tabela 4.1, faça um gráfico do ı́ndice de refração em função
do comprimento de onda(λ). Discuta esses resultados no relatório.
CAPÍTULO 5
PRÁTICA 5: OBTENÇÃO DA DISTÂNCIA
FOCAL DE LENTES.
(Fonte: Blog Informatica Naomi 1).
Introdução
Lentes são parte da maioria dos principais instrumentos ópticos: microscópicos, lunetas, telescópios, etc.
O seu entendimento baseia-se na óptica geométrica, que nos revela o comportamento dos feixes de luz diante
desse dispositivo.
As lentes são classificadas como convergentes, que convergem dos feixes de luz em um ponto, e divergentes,
que divergem os feixes. Apresentam diversas caracteŕısticas, tais como distância focal (f), raio de curvatura
(R), vértice (V). Como as lentes funcionam com relações geométricas, o tamanho de objeto (o) e imagem
(i) em relação as distâncias objeto-lente (p) e imagem-lente (q), obedecem a seguinte relação
i
o
= −q
p
(5.1)
Ainda, nessa prática vamos obter a distância focal de lentes por meio de duas expressões: a 1) equação
de Gauss e 2) a equação de Bessel. A equação de Gauss relaciona a distância focal (f) com as distâncias
objeto-lente (p) e lente-imagem (q) pela relação:
1
f
=
1
p
+
1
q
ou f =
p.q
p+ q
(5.2)
1Dispońıvel em http : //naomiboillat.blogspot.com.br/2013/04/ilusao− de− otica.html >. Acesso em 27− 03− 2018
Obtenção da distância focal de lentes. 22
Outra forma de obter a distância f é pela equação de Bessel, no entanto, faz necessário mover a lente
para obter dois pontos onde a imagem se encontra focada. Nesse movimento, a distância objeto-imagem
(L) e a distância de deslocamento da lente (d) são necessárias para os cálculos. A figura 5.1 mostra um
esquema apesentando essas distâncias. Nessa Figura também são apresentadas a distância objeto-lente para
a primeira posição (p1) e segunda (p2), além da distância lente-imagem para a primeira (q1) e segunda
posições (q2). Com esses valores:
L = p1 + q1 = p2 + q2 (5.3)
e
d = p2 − p1 = q1 − q2 (5.4)
Figura 5.1: Esquema apresentando os elementos básicos para obtenção da distância focal usando a equação
de Bessel.
A equação de Bessel é a seguinte:
f =
L2 − d2
4L
(5.5)
Objetivos
Nessa prática vamos obter distância focal de uma lente convergente usando as equações de Gauss e
Bessel.
Materiais utilizados
Banco óptico, cavaletes de metal, lentes convergentes de distância focal 5 cm e 10 cm, fenda em formato
de F, anteparo e folha de papel A4.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Desse
modo leia atentamente esses antes de iniciar o experimento.
Obtenção da distância focal de lentes. 23
As lentes não devem ser manuseados de forma a deixar reśıduos nas suas superf́ıcies. Nesse sentido
cuidado ao manuseá-los.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “A TEORIA DE
ERROS RESUMIDA”.
Parte 1 - Determinação da distância focal de uma lente
Figura 5.2: Montagem experimental.
1. Monte o aparato conforme a Figura 5.2.
2. Posicione as lentes de distância focal 10 cm antes da fenda em F. Essa lente será usada somente para
focar a luz na fenda em F.
3. Coloque a lente de 5 cm de distância focal depois da fenda em F. Posicione o anteparo no final do
trilho.
4. Mova o anteparo e a lente de f=5cm de modo que seja posśıvel visualizar o F ńıtido no anteparo.
5. Dobre uma folha de papel A4 e coloque presa no anteparo. Risque nesse papel o F ńıtido.
6. Anote as distâncias objeto-lente (p), lente imagem (q), tamanho do objeto (o) e tamanho da imagem
(i). Lembre-se que o tamanho do objeto não varia e é igual a 1,00±0,05 cm.
7. Repita os procedimentos anteriores para mais quatro distâncias diferentes, lembrando de sempre mover
a fenda F, a lente e o anteparo para obter uma imagem ńıtida.
8. Obtenha a distância focal e sua incerteza para cada distância diferente usando a equação de Gauss.
Lembre-se que a incerteza é obtida pela propagação de erros.
9. Teste se a razão i
o = − q
p . Você sabe o porquê do sinal negativo nessa relação?
10. Para cada distância, classifique a imagem como real ou virtual, direta ou invertida.
Parte 2 - Determinação da distância focal usando a equação de Bessel
1. Essa parte será feita com a mesma montagem experimental da Parte 1.
2. Posicione a fenda F o mais próximo da lente de f=10cm. Encontre uma posição p1 e q1 que a imagem
fique ńıtida no anteparo. Obtenha p1 e q1.
3. Mova a lente para próximo do anteparo de modo que a imagem fique focada em um ponto ou que
apareça um F muito pequeno. Obtenha p2 e q2.
4. Repita esse procedimento mais 4 vezes para obter uma média das distâncias. Não se esqueça das
incertezas.
5. Usando a equação de Bessel, obtenha a distância focal e sua incerteza.
CAPÍTULO 6
PRÁTICA 6: DIFRAÇÃO DA LUZ.
(Fonte: 10 incŕıveis ilusões de óptica. 3).
Introdução
Nessa prática vamos estudar a interferência e a difração da luz. A interferência é a formação de um padrão
de intensidades pela interação de duas ou mais ondas que se superpõe no espaço. Esse efeito é resultado
da diferença de fase (δ) entre essas ondas, que é resultado da diferença de caminho óptico percorrido pelas
ondas. Essa é dada por:
δ =
∆r
λ
.2.π =
∆r
λ
.360o (6.1)
A difração, por sua vez, é o desvio de ondas em torno de bordas, que ocorre quando uma porção de
uma frente de onda é bloqueada por uma barreira ou obstáculo. Esses efeitos ocorrem para a luz sempre
que ocorre coerência entre essas ondas, sou seja, quando duas ondas luminosas apresentam comprimento de
onda e frequência iguais, diferindo ou não de fase.
Um experimento clássico onde são observados esses fenômenos é o experimento de Young. A Figura 6.1
(a) apresenta um desenho desse experimento, onde S1 é uma fenda única (ponto a) e S2 é uma fenda dupla
(pontos b e c). Se S1 é da ordem do comprimento de onda da radiação, essa sofre um “encurvamento”, o
que corresponde ao fenômeno de difração. Assim, o ponto a seria como uma nova fonte de luz. O mesmo
acontece em S2 nos pontos b e c, que seriam fontes de duas novas ondas. Essas duas ondas podem ser
interferir, o que geraria um padrão de claros e escuros. Esse padrão representa interferência construtivas e
destrutivas dessa ondas, como visto no anteparo F.
Podemos predizer por meio de modelo matemático a localização do padrões de claro e escuro. Na Figura
6.1 (b) duas ondas geradas pelas fendas em B apresentam uma diferença de caminho igual a b (r1 = r2+ b).
A distância b pode ser obtida por meio do triangulo retângulo formado pelos pontos F1, F2 e b. Assim
b = dsenθ.
Se em P tivermos uma interferência construtiva a diferença de caminho óptico deve ser dada por:
3Dispońıvel em < http : //vamoslasabercomoe.blogspot.com.br/search/label/10%20incr
%C3%ADveis%20ilus%C3%B5es%20de%20%C3%B3ptica%20%20− %20%20HY PE%20SCIENCE%20%20 −
%20%2017%20de%20Julho%20de%202014 > Acesso em08− 03− 2015
Difração da luz. 25
Figura 6.1: Experimento de Young (a) e esquema do mesmo experimento (b)
mλ = ∆x = dsenθ (6.2)
Por sua vez, o seno de θ é igual a:
senθ =
X√
X2 + y2
(6.3)
Desse modo:
mλ = d
X√
X2 + y2
⇒ λ = d
X√
X2 + y2
(6.4)
Onde m determina a ordem da interferência que para nosso caso será igual a 1.
Uma parte desse experimento vamos obter o comprimentos de onda de radiação policromáticas (luz
branca) e monocromática (LASER). A Tabela 6.1 são apresentados as faixas de comprimento de onda e
frequência das radiações viśıveis.
Tabela 6.1: Faixa de frequência e comprimento de onda das cores.
Cor Comprimento de onda (nm) Frequência (THz)
Violeta 390 - 450 769 - 665
Anil 450 - 455 565 - 659
Azul 455 - 492 659 - 610
Verde 492 - 577 610 - 520
Amarelo 577 - 597 520 - 503
Laranja 597 - 522 503 - 482
Vermelho 622 - 780 482 - 384
Com a mesma expressão podemos obter o diâmetro de fios finos, como o caso de fios de cabelo. Partindo
da expressão 6.5, obtemos:
Difração da luz. 26
mλ = d
X√
X2 + y2
(6.5)
Considerando d como sendo a espessura do cabelo e isolando nessa expressão:
d = mλ
√
X2 + y2
X
d = mλ
√
1 +
y2
X2
(6.6)
Onde podemos adotar m como sendo 1 pois espera-se que as distâncias entre os máximo sejam de valores
próximos. Ainda, como X é muito menor que y, y2
X2 é muito maior que 1 e podemos aproximar o termo
dentro da raiz para:
d = λ
y
X
(6.7)
Objetivos
Nessa prática vamos obter o comprimento de onda de cor da luz policromática e de LASER’s. Também
será obtida a espessura de um fio de cabelo usando os fenômenos de interferência e difração.
Materiais utilizados
Banco óptico, cavaletes de metal, fenda única, lente com distância focal de 10 cm, régua milimetrada,
rede de difração de 500 fendas/mm, LASER vermelho e verde, e fio de cabelo.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente procedimentos antes de iniciar o experimento.
A lente e a rede de difração não devem ser manuseados de forma a deixar reśıduos em suas superf́ıcies.
Nesse sentido cuidado ao manuseá-los.
Certifique-se que a chave da fonte de alimentação do LASER esteja na posição 12V. Essa é a tensão
correta para alimentação desse equipamentos.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “A TEORIA DE
ERROS RESUMIDA”.
Parte 1 - Difração da luz branca e obtenção do comprimento de onda das cores.
1. Monte o aparato colocando a lente convergente de f = 10cm, a fenda única e o no final do trilho coloque
o anteparo.
2. Ajuste a posição da lente e fenda para que o feixe de luz fique o mais fino posśıvel e atinja o zero na
régua do anteparo. Ajuste a régua, caso isso não ocorra.
3. Coloque a rede de difração e observe no anteparo luz de intensidade máxima na cor da lâmpada no
zero da régua e duas faixas com luz dispersa, mostrando um arco-́ıris.
4. Meça y (distância entre rede e anteparo) e X (distância de cada cor no anteparo). Use a régua do
trilho para medir y e do anteparo para medir X. Meça X para pelo menos 4 cores diferentes. Sempre
adote o centro da cor como y.
5. Varie y e obtenha X para mais 4 distâncias diferentes, sendo que no total teremos 5 conjunto de
medidas.
6. Vamos usar a expressão 6.4 para calcular o comprimento de onda. Para isso use d = 1/500 mm. Esse
valor deve ser usado pois a rede de difração é composta por 500 fendas a cada milimetro dela.
Difração da luz. 27
7. Compare os resultados calculados de comprimento de onda com os valores teóricos dados na Tabela
6.1. Eles estão na faixa das cores? Se não, a que você associa esse problema?
Parte 2 - Difração da luz do LASER e obtenção do comprimento de onda.
1. Remova a fonte de luz, lente e fenda da montagem da Parte 1.
2. Incida o LASER diretamente sobre a rede de difração. Mas antes de colocar a rede de difração na
frente do LASER, certifique-se que o feixe de luz está no zero da régua do anteparo.
3. Posicione a rede de difração entre o LASER e o anteparo e observe o que acontece no anteparo.
4. Obtenha y e X, como feito para a parte 1, para 5 distâncias diferentes.
5. Faça os mesmos procedimentos para os LASER’s dispońıveis.
Parte 3 - Medida do diâmetro de um fio de cabelo por meio de um LASER.
1. Com a mesma montagem da parte 2, remova o anteparo e use a parede como anteparo.
2. Prenda usando uma fita crepe um fio de cabelo no cavalete de metal.
3. Posicione o LASER próximo do fio de cabelo de forma que se observe um padrão interferência na
parede.
4. Prenda a folha de papel na parede com uma fita adesiva.
5. Anote a distância y entre o anteparo e o suporte do fio de cabelo.
6. Observe um padrão de interferência no papel. Risque, no papel, as regiões onde são observados
máximos de interferência, ou seja, regiões onde a luz do LASER é observada. Fala isso completando
a folha de papel. Com isso teremos várias medidas
7. Meça no papel, as distância onde ocorre interferência construtiva, ou seja, regiões onde a luz é obser-
vada. Esses valores serão o X. Faça uma media do número de X obtidos.
8. Mude a distância y mais 4 vezes e repita os procedimentos anteriores.
9. Com o comprimento de onda (λ) obtido na parte 2, calcule a espessura do fio de cabelo (d) usando a
equação 6.7 e os valores de y e valores os médios de X.
10. Compare esse resultado com medidas usando paqúımetro digital e valores padrão para espessura de
fios de cabelo.
A TEORIA DE ERROS RESUMIDA
A teoria de erros é uma ferramenta matemática nos auxilia no entendimento de flutuações associadas as
medidas experimentais, ou seja, nos auxilia na obtenção das posśıveis variações de valores devido a forma de
coleta, falha do experimentador, condições ambientais, entre outros. Assim vamos lembrar alguns conceitos
importantes que nos conduzem a essa teoria.
Algumas Definições Importantes
1. Grandeza experimental - é a grandeza cujo valor é determinado por um conjunto de dados expe-
rimentais.
2. Medida direta - é o resultado da leitura de um instrumento de medida. Ex.: o comprimento com
uma régua graduada, a massa de uma bolinha com uma balança ou o intervalo de tempo com um
cronômetro.
3. Medida indireta - é a que resulta da aplicação de uma relação matemática nas medidas diretas, que
conduzem a uma determinada grandeza f́ısica.
4. Valor verdadeiro - valor real de uma determinada grandeza, que devemos considerar desconhecida
para a maioria dos problemas.
5. Incerteza ou erro (I) - é a diferença entre o valor experimental (x) e o valor verdadeiro (xv) em
módulo (I = |x − xv|). Essa quantidade indica o quanto é o melhor valor obtido para esta grandeza,
que só pode ser interpretado em termos de probabilidades.
6. Precisão - é a indicação do quanto uma medida experimental é reprodut́ıvel.
7. Acurácia - é a indicação de quanto um resultado está próximo do valor verdadeiro.
8. Discrepância - é a diferença entre dois valores medidos de uma mesma grandeza f́ısica.
Dentre as incertezas classificamos essas em sistemáticas e aleatórias. Vamos relembrar.
1. Incertezas ou erros sistemáticos - são responsáveis por desvios regulares nas medidas devido a imper-
feições instrumentais, observacionais ou teóricas. Esses tipos de incertezas podem levar a um efeito
aditivo ou multiplicativo nos resultados encontrados. Dentre essas incertezas temos:
� Instrumentais: Incertezas ou erros que resultam da calibração do instrumento de medida. Esse
erro pode ser eliminado por meio da recalibração do equipamento.
� Teóricas: Incertezas ou erros que resultam do uso de fórmulas teóricas aproximadas ou do uso de
valores aproximados de constantes f́ısicas.
� Ambientais: Incertezas ou erros devido a efeitos do ambiente a qual é submetida a experiência.Esse erro pode ser eliminado por meio do controle das condições ambientais.
A teoria de erros resumida 29
� Observacionais: Incertezas ou erros devido a falhas de procedimento do observador. Essas incerte-
zas podem ser reduzidas seguindo cuidadosamente os procedimentos de uso de cada instrumento.
� Residuais: Incertezas ou erros que não podem ser reduzidos a um valor baixo ou para as quais
não se podem realizar correções.
� Grosseiras: São devidos à falta de atenção, pouco treino ou falta de peŕıcia do operador. Nor-
malmente esse tipo de incerteza ou erro gera valores com diferenças muito grandes em relação ao
valor real.
2. Incertezas ou erros aleatórios - são resultado de flutuações que são inevitáveis no processo de medida
e que provocam uma dispersão ao redor de um valor médio. Essa pode ser reduzida pela repetição de
n medidas. Vamos rever alguns conceitos importantes nos próximas seções desse caṕıtulo.
Valor médio ou média para medidas idênticas
Esse é definido pela equação A.1. Se realizarmos n medidas idênticas, ou seja, realizadas da mesma
maneira com os mesmos instrumentos, os resultados podem ser ligeiramente diferentes. Assim, para um
mesmo valor, o valor médio de n medidas é definido como:
x̄ =< x >=
n∑
i=1
xi
n
(A.1)
Vale lembrar que o valor médio x̄ se torna mais próximo do valor real ou verdadeiro quanto maior for o
número de medidas (n).
Incertezas em Instrumentos de Medidas
Essas incertezas são relacionada a limitação de leitura dos equipamentos, denominadas também como
incertezas de calibração. No geral, quando compramos certo equipamento, o fabricante informa esse valor
de incerteza em manuais. Com a falta dessa informação é sempre importante considerar que:
A incerteza de calibração de qualquer instrumento métrico (instrumentos analógicos) pode
ser estimada admitindo a menor divisão ou menor leitura do mesmo dividido por 2, ou seja:
σc ∼=
L
2
(A.2)
onde σc é a incerteza padrão de calibração e L é a menor leitura ou divisão do equipamento.
IMPORTANTE: Para a incerteza de qualquer outro equipamento (instrumentos digitais)
onde obtemos a leitura direta, como é o caso de cronômetros ou balanças, usa-se o próprio
limite de calibração para estimar esse valor.
Média dos desvios ou Desvio Médio (δ̄):
É o tipo de incerteza aleatória muito usual em f́ısica experimental, sendo usado para até 5 medidas
experimentais. A média dos desvios pode ser definida como:
δ̄ =
n∑
i=1
|xi − x̄|
n
(A.3)
Desvio ou incerteza padrão populacional (σp) e amostral (σa)
O desvio padrão é forma de obtenção de incertezas aleatórias mais precisa que outras formas de obtenção
de incertezas (média dos desvios - δ̄). No entanto, é mais adequado usar esses desvios para mais de 5 medidas
experimentais.
A variância amostral, por sua vez, é definida como sendo:
A teoria de erros resumida 30
s2 =
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n− 1
(A.4)
onde o desvio padrão amostral é:
σa =
√
s2 =
√√√√√√
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n− 1
(A.5)
A variância populacional é dada pela equação A.6:
σ2 =
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n
(A.6)
onde yi é o valor medido, ȳ é o valor médio e n é o número de dados experimentais. Defini-se desvio padrão
populacional como:
σp =
√
σ2 =
√√√√√√
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n
(A.7)
A diferença no uso do desvio padrão populacional (σp) e amostral (σa) está na quantidade de amostras
ou medidas de uma determinada grandeza f́ısica. Quanto maior for o numero de medidas, a utilização de
σp é mais adequada. Vamos limitar o uso de σp em mais de 90 medidas idênticas.
Desvio médio Total (δ) e Desvio padrão total (σ)
O desvio médio total (δ) de sua medida pode ser estimada como sendo a soma da incerteza aleatória e
da incerteza sistemática, que no nosso caso será considerada a incerteza padrão de calibração. Assim:
δ ∼= δ̄ + σc (A.8)
Esse desvio é definido como a raiz quadrada da soma do desvio aleatório (nesse caso o desvio padrão σp
ou σa) ao quadrado e a incerteza de calibração (σc) ao quadrado, ou seja:
σ =
√
σ2
p + σ2
c (A.9)
para o desvio padrão populacional e,
σ =
√
σ2
a + σ2
c (A.10)
para o desvio padrão amostral.
Esse desvio total é diferente do desvio total calculado anteriormente com a média dos desvios, sendo
também mais preciso.
Propagação de erros e desvio padrão.
A propagação de erros deve ser considerada com cuidado. Para o desvio médio (δ) de uma função
w(p1,p2...pn) a formula geral é:
δx =
n∑
i=1
(
∂w
∂pi
)
δi (A.11)
Quando tratamos do desvio padrão devemos considerar a seguinte situação relação:
σx =
n∑
i=1
(
∂w
∂pi
)2
σ2 (A.12)
A teoria de erros resumida 31
Linearização de curvas.
A linearização de curvas nos resulta na obtenção dos coeficientes linear e angular que são associados
a grandezas f́ısicas importantes. Vamos relembrar como fazer linearização de dados experimentais. Para
facilitar essa análise, vamos considerar alguns pontos relevantes quando já possúımos o gráfico de nosso
dados experimentais:
1. Se os dados experimentais obedecerem a uma teoria espećıfica, ou seja, se estivermos estudando a
posição de queda de um corpo, por exemplo, sabemos que esse corpo abandonado deve obedecer a
uma função horária que depende do quadrado do tempo. Nesse caso, nossos dados experimentais não
vão obedecer a uma reta, e sim a uma parábola. Dessa forma, devemos fazer a linearização dos dados
experimentais.
2. Caso não conheçamos a teoria envolvida, devemos observar o gráfico dos dados experimentais, e se não
obedecer a uma reta, devemos tentar encontrar a melhor forma de ajuste. Lembre-se que esse trabalho
pode ser dif́ıcil se não soubermos trabalhar com funções. Vale lembrar que um gráfico é uma dispersão
de pontos e a tendência desse pontos que nos conduz a um resultado linear ou não-linear. Como
exemplo, se um gráfico apresentar pontos dispersos obedecendo a um crescimento linear, classificamos
esses dados como uma reta.
3. A quantidade de pontos experimentais é um fato importante para verificarmos qual é a tendência e a
melhor curva de ajuste. Quanto mais pontos experimentais tiver, melhor será para encontrar qual é
a curva de ajuste. Como exemplo, se nossos dados obedecerem a uma função senoidal e o numero de
pontos for pequeno, talvez nos equivocaremos com relação a tendência dos dados experimentais, no
levando assim a um valor constante ou mesmo a uma reta, o que não seria real para nossa análise.
Com essas informações já podemos entender como linearizar curvas. Para isso existem diferentes formas,
sendo que a mais simples é aplicar aos dados experimentais a tendência dos pontos escolhida para linearizar.
Como exemplo, se nossos dados obedecerem a uma tendência logaŕıtmica (como y = A lnx), para linearizar
devemos aplicar ao x logaŕıtmico neperiano, e assim graficar y em função de lnx. Se nosso dados obedecerem
a uma função exponencial (como y = A10x), devemos graficar y em função de 10x. Dessa forma estamos
linearizando nossos dados experimentais.
Para auxiliar na escolha do melhor linearização dos dados experimentais, apresenta-se a Tabela T.1.
Método dos Mı́nimos Quadrados (MMQ)
O método dos mı́nimos quadrados (MMQ) é uma ferramenta útil para o ajuste de curvas em f́ısica
experimental. Trata-se de encontrar coeficientes de ajuste de uma curva tais que soma dos quadrados dos
desvios seja mı́nima, ou seja, encontrar o melhor ajuste de pontos experimentais onde as distâncias entre a
curva planejada e os pontos experimentais seja a menor posśıvel. Em nosso caso nossa curva experimental
será uma reta, assim por meio desse método podemos obter os coeficientes angular e linear. Vamos entender
a importância desse método e como usá-lo em ajustes lineares.
Dedução do método.
Vamos considerar quatro pontos experimentais (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) e (x4,y4) com incertezas somente
em y dadas pelas barras de erro apresentadas na Figura F.1. Seo melhor ajuste para esses pontos é uma
reta f(x), a distância (desvio - d) entre os pontos experimentais e a reta em módulo é dada pelas equações
abaixo para cada ponto.
d1 = |f(x1)− y1|
d2 = |f(x2)− y2|
d3 = |f(x3)− y3|
d4 = |f(x4)− y4|
Definido f(xi) = b+ axi, obtemos os seguintes conjunto de equações:
A teoria de erros resumida 32
Tabela T.1: Tabela de Linearização de curvas.
Equação Gráficos Linearizado
y = Cx2 +D y em função de x2
y = Cx1/2 +D y em função de x1/2
y = Cx−1 +D y em função de x−1
y = Cx3 +D y em função de x3
y = Cxn +D, n - número qualquer y em função de xn
y = C cosx+D y em função de cos x
y = C lnx+D y em função de ln x
y = C log x+D y em função de log x
y = Cex +D y em função de ex
y = Cx−1 +D y em função de x−1
Figura F.1: Pontos experimentais e ajuste f(x).
d1 = |b+ ax1 − y1|
d2 = |b+ ax2 − y2|
d3 = |b+ ax3 − y3|
d4 = |b+ ax4 − y4|
A soma (S) dos desvio ao quadrado também é dada abaixo. Utilizamos esse valor, pois queremos
sim somar os desvios para que esse valor seja mı́nimo, condição que dá o nome ao Método dos Mı́nimos
Quadrados. Além disso, o módulo deixa de fazer sentido quando tratamos de números ao quadrado, e assim
nossa soma será sempre positiva. Dessa forma S será:
S(a, b) =
4∑
i=1
d2i =
4∑
i−1
(nb+ axi − yi)
2
Onde n é o numero total de pontos. Assim como n = 4 podemos generalizar o somatório n pontos, cujo o
resultado é dado:
A teoria de erros resumida 33
S(a, b) =
n∑
i=1
(nb+ axi − yi)
2
Usando do calculo diferencial, sabe-se que para a função S(a,b) ser mı́nima, devemos derivar essa ex-
pressão em relação ao coeficientes a e b e igualá-las a zero. As derivadas de S(a,b) são:
dS(a, b)
da
=
n∑
i=1
2(nb+ axi − yi)(xi) =
n∑
i=1
2(xib+ ax2i − yixi)
dS(a, b)
db
=
n∑
i=1
2(nb+ axi − yi)(n) =
n∑
i=1
2n(nb+ ax2i − yixi)
Observa-se que nessas expressões o n pode ser descartado pois o somatório desse termos seria:
n∑
i=1
bxi =
b
n∑
i=1
xi = bx1 + bx2 + bx3 + ...bxn, onde o b será multiplicado a xi n vezes e somado. Igualando as duas
equações a zero, obtemos:
dS(a, b)
da
=
n∑
i=1
(xib+ ax2i − yixi) = 0 ⇒ a
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
xi =
n∑
i=1
yixi
dS(a, b)
db
=
n∑
i=1
2n(nb+ ax2i − yi) = 0 ⇒ a
n∑
i=1
xi + nb =
n∑
i=1
yi
Como os valores
n∑
i=1
xi,
n∑
i=1
yi,
n∑
i=1
x2i e
n∑
i=1
yixi são obtidos dos dados experimentais e são números conhe-
cidos que podemos substituir por χ, ω, δ e ε, respectivamente, pode-se obter o seguinte sistema de equações
com incógnitas a e b:
aδ + bχ = ε
aχ+ nb = ω
Resolvendo esse sistema. obtemos as seguintes soluções:
a =
nε− ωχ
nδ − χ2
(A.13)
b =
ωδ − εχ
nδ − χ2
(A.14)
Em termos de somatórios essas equações seriam:
a =
n
n∑
i=1
yixi −
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (A.15)
b =
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
x2i −
n∑
i=1
yixi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (A.16)
A teoria de erros resumida 34
Incertezas em y.
Vamos considerar para essa parte que temos total certeza dos valores de x, e somente temos incertezas
em y, como observado na Figura F.1. Por definição o desvio padrão desses valores pode ser escrito como:
σ2
y =
n∑
i=1
(f(xi)− yi)
2
n
(A.17)
Sabendo quer f(xi) = axi + b, obtemos:
σy =
√√√√ n∑
i=1
(axi + b− yi)2
n
(A.18)
No entanto, vamos adotar:
σy =
√√√√ n∑
i=1
(axi + b− yi)2
n− 2
(A.19)
A adoção de n-2 ao invés de n tem suas considerações:
1. Para n muito grande, a diferença de n e n-2 é muito pouco relevante;
2. Para apenas 2 pontos, a incerteza torna-se igual a zero quando dividimos por n, o que não é razoável
já que temos incertezas associadas as medidas. Quando dividimos por n-2 a incerteza torna-se 0/0,
que é uma indeterminação, mais adequado para esse caso. Isso significa que dois pontos em um
gráfico experimental não são adequados para o traçado de uma reta (apesar de ser uma condição para
existência dela)
Dessa forma, é mais razoável adotar n-2 ao invés de n. Agora podemos estimar as incertezas nos
coeficientes a e b.
Incertezas em a e b.
Para obter as incertezas em “a” e “b”, usamos as seguintes expressões:
σa = σy
√√√√√ n
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (A.20)
σb = σy
√√√√√
∑
x2
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (A.21)
onde o valor de σy foi deduzido anteriormente. Como vamos somente aplicar e usar esses resultados, fica
como exerćıcio ao leitor a dedução dessa expressões.
Coeficiente de determinação (r2) e correlação (r).
Esses coeficientes são importantes ferramentas para sabermos se nosso ajuste linear é adequando ou não.
O coeficiente de determinação (r2) indica o quanto a reta de regressão está adequada ao ajuste da reta
e o coeficiente de correlação (r) deve ser usado como uma medida de quão correlacionados são os valores
experimentais com o ajuste escolhido. Se os dados experimentais forem muito dispersos ou se a curva de
ajuste não for adequadas ao dados experimentais, esse valor será próximo de 0. Quanto mais próximo o
valor de r2 e r for de 1, melhor será o ajuste e a correlação dos dados experimentais. Para obter r usamos a
seguinte expressão:
A teoria de erros resumida 35
r =
n∑
i=1
xiyi −
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
yi
n√√√√√
 n∑
i=1
x2i −
n∑
i=1
(xi)2
n
 n∑
i=1
y2i −
n∑
i=1
(yi)2
n

(A.22)
O coeficiente de determinação (r2) é obtido elevando ao quadrado o valor de r.
Tabela T.2: Dados para cálculo de coeficientes por meio do método de mı́nimos quadrados.
medida tempo-x (10−2 s) Posição-y (cm) σy x2 x.y
1 0,0000 20,0 0,1 0,0000 0,00
2 1,7307 40,0 0,1 2,9952 69,23
3 3,9937 60,0 0,1 15,9494 239,62
4 5,9812 80,0 0,1 35,7744 478,49
5 8,0040 100,0 0,1 64,0640 800,40∑
19,7095 300,0 - 118,7830 1587,74
Exemplo:
Vamos considerar um móvel em movimento uniforme cujo é apresentado Tabela T.2 a posição em função
do tempo (sendo o tempo nossa variável independente). Vamos considerar que temos muita certeza nos
valores de tempo, ou seja, que essa medida não presenta incerteza significativa. Vamos obter os valores dos
coeficientes angular, linear, de correlação e determinação e as incertezas nos valores dos coeficientes angular
e linear.
Os resultados das somas dessa tabela podem ser substitúıdos nas equações A.15 e A.16 e obter a = 9,86
cm/s e b = 21,13 cm e a equação da reta é y = 9, 86x + 21, 12. Os desvios ou incertezas são calculados
obtendo σy usando a equação A.19 e posteriormente pelas expressões A.20 e A.21. Para esses resultados
foram obtidos: σy = 1, 2660, σa = 0, 20 cm/s e σb = 0, 96 cm. Assim: a = (9,86 ± 0,20) cm/s e b = (21,13 ±
0,96) cm. O coeficiente de correlação é obtido pela equação A.22 e o valor foi de r = 0, 99939 e o quadrado
desse valor foi r2 = 0, 99879, que é o coeficiente de determinação. Com esses resultados notamos que esses
dados são bem correlacionados, sendo o ajuste adequado para os pontos.
A teoria de erros resumida 36
Resumo:
Simbolo Fórmula Equação
Valor Médio x̄ ou < x > x̄ =< x >=
n∑
i=1
xi
n
A.1
Desvio Médio (Usado em até
5 medidas)
δ δ̄ =
n∑
i=1
|xi − x̄|
n A.3
Desvio Padrão amostral
(usado de 5 a 90 medidas)
σa σa =
√
s2 =
√√√√√ n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n−1 A.5
Desvio Padrão populacional
(usado para mais de 90 medi-
das)
σp σp =
√
σ2 =
√√√√√ n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n A.7
Coeficiente Angular a a =
n
n∑
i=1
yixi−
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2
i−
(
n∑
i=1
xi
)2 A.15
Coeficiente Linear b b =
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
x2
i−
n∑
i=1
yixi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2
i−
(
n∑
i=1
xi
)2 A.16
Incerteza em y σy σy =
√
n∑
i=1
(axi+b−yi)2
n−2 1.16
Incerteza no Coeficiente An-
gular
σa σa = σy
√
n
n
n∑
i=1
x2
i−
(
n∑
i=1
xi
)2 1.17
Incerteza no Coeficiente Li-
near
σb σb = σy
√ ∑
x2
n
n∑
i=1
x2
i−
(
n∑
i=1
xi
)2 ??
Coeficiente de Correlação r r =
n∑
i=1
xiyi−
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
yi
n√√√√√√
 n∑
i=1
x2
i−
n∑
i=1
(xi)
2
n

 n∑
i=1
y2i −
n∑
i=1
(yi)
2
n

A.22
O coeficiente de determinação(r2) deve ser obtido com o quadrado de r.
Referências Bibliográficas
1. VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. Segunda Edição. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996.
2. TAYLOR, J.R. Introdução à análise de erros. O estudo de incertezas em medições f́ısicas. Segunda edição.
Porto Alegre: Editora Bookman, 2012.
3. SANTORO, A.; MAHON, J.R.; OLIVEIRA, J.U.C.L.; MUNDIM FILHO, L.M.; OGURI,V.; SILVA, W.L.P.
Estimativa e Erros em Experimentos de F́ısica. Terceira edição. Rio de Janeiro: EdUERJ, 2013.
UMA BREVE INTRODUÇÃO AO SCIDAVIS
O nome SciDAVis vem do inglês Scientific Data Analysis and Visualization (Visualização e Análise de
Dados Cient́ıficos). É um software livre, que pode ser utilizado em várias plataformas (Linux, Mac OS / X,
Windows), para analisar dados e fazer gráficos em duas e três dimensões. Este projeto iniciou-se como um
fork do QtiPlot. Mais informações (em inglês) podem ser obtidas na página do projeto (site do Scidavis).
De um modo geral, este tutorial utiliza como referência a versão 0.2.3 deste software, mas a maioria
dos itens abordados deverão funcionar perfeitamente em versões anteriores, especialmente na série 0.2, e
posteriores.
Para que o SciDAVis possa ser utilizado em seu computador alguns programas devem estar previamente
instalados nele. Se você usa o Windows deverá instalar primeiramente o Python1 2.6 (normalmente, durante
a instalação é perguntado se você deseja instalar esta dependência). Se você usa Linux ou Mac, consulte a
página do projeto para saber exatamente quais são as dependências de software. A partir deste momento,
tudo o que for dito funcionará de forma igual em qualquer que seja o sistema operacional utilizado.
Começando a usar o SciDAVIs
Depois de conclúıda a instalação, inicie o programa. Uma tela como a mostrada na Figura G.1 será
aberta (não necessariamente igual). Nesta figura podemos identificar uma tabela e os diversos controles do
programa (menus e botões de funções). O uso do SciDAVis é simples e, em geral, intuitivo. A maior parte
de suas funcionalidades podem ser conhecidas simplesmente navegando pelos menus e/ou clicando com o
botão direito do mouse em algumas áreas, por isso, vamos nos concentrar em coisas mais objetivas e que
servirão como base.
Alterando o idioma
O idioma padrão do SciDAVis é o Inglês, por isso será necessário alterá-lo, caso queira utilizar a interface
em Português. Para isto, acesse o menu Edit −→ Preferences....
A seção General-Geral(Figura G.2) mostrará a aba Application-Aplicação, onde se pode ver a opção
Language, que deve ser alterada de English para o idioma desejado. Feito isto, clique em Apply-Aplicar
para que as mudanças no idioma entrem em vigor imediatamente. Algumas versões mais atuais trazem o
idioma “português brasileiro”.
Se desejar, aproveite que está no editor de preferências e acesse a aba Formato numérico para trocar o
separador decimal e usar v́ırgula, ao invés de ponto (particularmente, neste ponto eu costumo não selecionar
o checkbox “Usar separador de grupos”).
Construindo um gráfico
Como exemplo, considere um conjunto de dados como o da Tabela V.1, que consiste de três colunas de
valores: X, Y e σY .
1Na verdade, o Python só é realmente necessário se você preferir utilizá-lo como linguagem de scripting ao invés da linguagem
padrão, que é o muParser.
Uma breve introdução ao SciDAVIs 38
Figura G.1: Tela Inicial do programa
Figura G.2: Janela
de controle de preferências
Uma breve introdução ao SciDAVIs 39
Tabela V.1: Valores para teste.
X Y σY
1,0 00,33 0,02
1,9 03,19 0,10
2,8 07,20 0,50
3,8 14,80 0,90
4,9 21,10 1,30
Figura G.3: Alterando o tipo de dado da coluna.
As novas tabelas criadas pelo SciDAVis tem, por padrão, apenas duas colunas. Então a primeira coisa
que devemos fazer é alterar o número de colunas da tabela. Para isto, acesse o menu Tabela, e poderá
simplesmente adicionar uma nova coluna (Adicionar coluna) ou então alterar suas dimensões (Dimensões)
para definir uma tabela com quantas linhas e colunas desejar.
Agora entre com os valores na tabela. As novas colunas adicionadas são, por padrão, definidas como
sendo de valores em Y. Para mudar isto, clique com o botão direito no cabeçalho da coluna desejada e,
no menu que surgirá (Figura G.3), acesse a opção Definir coluna(s) como. No nosso exemplo, vamos
escolher a opção Erro em Y (desvio padrão em Y) para a coluna 3. Com isto, teremos nossa tabela com a
seguinte configuração: coluna 1⇒ X, coluna 2 ⇒ Y e coluna 3 ⇒ yEr.
Um ponto importante a ser citado aqui é a maneira como se faz a seleção de colunas no SciDAVis (a
partir da versão 0.2.0). Se você tentar selecionar mais de uma coluna clicando no cabeçalho da primeira e
arrastando o mouse, notará que a primeira coluna selecionada se move, ou seja, a coluna 2 troca de lugar
com a coluna 3, por exemplo2. Deste modo, para selecionar duas colunas, pressione a tecla Ctlr e clique
nas colunas que deseja selecionar. Se precisar selecionar várias colunas, clique na primeira, segure a tecla
Shift e depois clique na última coluna a ser selecionada.
Tudo preparado. Agora vamos plotar um gráfico. Estamos querendo plotar uma curva que tem barras
de erro em Y. A maneira mais fácil de fazer isto é: selecione, pelo menos, as colunas 2 e 3 (Y e yEr), acesse
2Esta é uma caracteŕıstica do programa que tem como intenção futura implementação da funcionalidade de apenas arrastar
uma coluna para um gráfico para adicionar uma nova curva, dentre outras coisas.
Uma breve introdução ao SciDAVIs 40
Figura G.4: Gráfico
dos dados a tabela V.1.
o menu Gráfico e escolha uma das opções que aparecem (linha, dispersão, linha+śımbolo, etc.). Escolhendo,
por exemplo, Dispersão obtemos um gráfico como o apresentado na figura G.4.
Os campos T́ıtulo, T́ıtulo do eixo X e T́ıtulo do eixo Y podem ser editados simplesmente dando
um duplo clique sobre os nomes, assim como qualquer outro texto que esteja sendo mostrado no gráfico.
Se desejar alterar outras opções do gráfico (ampliar/reduzir a escala de um eixo ou colocar grades, por
exemplo), dê um duplo clique sobre os números de um dos eixos e um diálogo com as opções dispońıveis
será aberto.
Análise dos dados
Estat́ısticas em linhas e colunas: Para obter informações de colunas como: média dos valores, desvio
padrão, variância, soma e etc., simplesmente selecione a(s) coluna(s) desejada(s) e acesse o menu Análise
→ Estat́ısticas em coluna. Com isto, será gerada uma nova tabela com várias informações sobre a(s)
coluna(s) selecionada(s). O procedimento para obter dados estat́ısticos das linhas é semelhante, bastando
selecionar as desejadas e acessar o menu Análise → Estat́ısticas em linhas.
Ajustes utilizando fórmulas incorporadas: Como em outros programas de análise de dados, o menu
Analise apresenta algumas opções diferentes para tabelas e gráficos, dependendo da janela que esteja em
foco. Por isso, para que as opções de ajuste de curvas possam ser usadas, deixe a janela com o gráfico “por
cima” da tabela.
Acessando o menu Análise → Ajuste rápido são mostradas as principais curvas de ajuste incorporadas
ao SciDAVis. Outras curvas podem ser definidas no Assistente de ajuste, que discutiremos adiante.
Como exemplo, ainda para o gráfico da Figura G.4, vamos tentar dois ajustes: uma regressão linear
e uma regressão polinomial de ordem 2. No menu Análise → Ajuste rápido, escolha Regressão linear.
Imediatamente será efetuado o ajuste da curva do gráfico, tratando-a como se fosse uma reta, ou seja, com
se obedecesse à equação y = ax + b. O resultado é mostrado na Figura G.5 (esquerda). Nesta mesma
figura, podemos ver que o Registro de resultados foi alterado: agora ele contém informações referentes
aos coeficientes obtidos (valores e respectivos erros) e à qualidade do ajuste (Chi-quadrado (χ2) e coeficiente
de determinação (r2, onde no programaaparece como R maiúsculo). Já na figura G.5 (direita), podemos
ver a curva de ajuste obtida ao ser usada uma regressão polinomial de ordem 2, ao invés da linear. Neste
Uma breve introdução ao SciDAVIs 41
Figura G.5: Exemplos de curvas de ajustes.
Figura G.5: Exemplos de curvas de ajustes.
caso, a ordem do polinômio deve ser escolhida no diálogo que aparece ao ser acessado o menu Análise →
Ajuste rápido → Regressão polinomial.
Eventualmente, podemos querer copiar os valores dos parâmetros para exibi-los no gráfico (ou adicionar
alguma informação textual ao mesmo). Devido à uma limitação do SciDAVis (que deverá ser eliminada no
futuro) não é posśıvel simplesmente selecionar um texto, copiá-lo, clicar no gráfico com o botão direito do
mouse e colar o texto. Mas isto não impede que qualquer texto seja adicionado ao gráfico. A adição de
informações textuais aos gráficos pode ser feita acessando o menu Gráfico → Adicionar texto. Neste
momento, surgirá uma caixa de diálogo perguntando se você quer adicionar o texto em uma nova camada
ou na camada ativa. Escolha na camada ativa e, em seguida, clique em algum lugar do gráfico. Com
isto, podemos, por exemplo, copiar texto do registro de resultados (selecionando-o com o mouse e teclando
Ctrl+C, por exemplo) e inseri-lo na área do gráfico. No caso espećıfico de parâmetros obtidos nos ajustes de
curvas, podemos também, nessa caixa de diálogo configurar preferências no menu Editar, na seção Ajustes,
habilitar a opção Colar parâmetros no gráfico. Desta forma, para todo ajuste que for efetuado, as informações
dos parâmetros serão sempre adicionadas ao gráfico.
Ainda no que se refere à inserção de texto nos gráficos, uma vez que já exista algum texto no mesmo,
é posśıvel realizar a operação de clicar na caixa de texto para selecioná-la e utilizar as teclas de atalho
Ctrl+C e Ctrl+V, para copiá-la e a colar, respectivamente.
Utilizando o “Assistente de Ajuste”: Embora a regressão polinomial de ordem 2 efetuada nos nossos
dados de teste tenha sido satisfatória (a curva de ajuste passa por todos os pontos), pode ser que tenhamos
uma ideia de uma função que possa descrever melhor seu comportamento. Se tal função não estiver presente
na lista de funções incorporadas, podemos implementá-la acessando o menu Análise → Assistente de
ajuste (o atalho Ctrl+Y pode ser utilizado, se preferir). Uma caixa de diálogo como o mostrado na Figura
G.6 será aberta.
Para inserir a função desejada basta digitá-la na área de texto, utilizando a letra “x” (sem aspas) como
variável e quaisquer outras letras que queira como parâmetros. Feito isto, dê um nome à função e clique em
Salvar. No nosso exemplo, vamos utilizar como função de ajuste a expressão:
a ∗ x ∗ x+ b/x+ c (B.1)
ou seja:
ax2 +
b
x
+ c (B.2)
onde estamos utilizando a, b e c como parâmetros e x como variável. Não se esqueça de mudar os parâmetros
no local indicado, caso use outras letras. Salve a função com o nome que queira (poli2teste, por exemplo).
Feito isto, clique no checkbox Ajustar com função definida por usuários e, em seguida, no botão
Ajustar. Um novo diálogo, como o mostrado na Figura G.7 será aberto.
Para finalizar o ajuste basta inserir, nos campos correspondentes, estimativas iniciais para os parâmetros
a, b e c, clicar em Ajustar e, depois de gerada a curva de ajuste, clicar em Fechar. Se a curva tiver barras de
Uma breve introdução ao SciDAVIs 42
Figura G.6: Caixa de diálogo do Assistente de Ajuste.
Figura G.7: Caixa de diálogo com as opções finais do ajuste.
Uma breve introdução ao SciDAVIs 43
erro, como a do nosso exemplo, não esqueça de alterar a opção Fonte de erros em Y de Erros desconhecidos
para Associados (considerando que tais erros sejam os que inserimos na própria tabela).
Escolhendo os valores 1, -1 e 0 para a, b e c, respectivamente, observamos, no registro de resultados,
que o ajuste forneceu novos valores para os parâmetros. Notamos que o valor do fator de correlação obtido
com este ajuste foi bem parecido com o obtido na regressão com polinômio de grau 2, porém, o valor de χ2
caiu pela metade, o que indica que a última expressão utilizada, juntamente com os parâmetros obtidos no
ajuste, descreve melhor o comportamento da nossa curva.
Salvando o projeto e exportando gráficos
Salvar o projeto é muito simples, basta acessar o menu Arquivo→Salvar como... e, no diálogo que se
abrirá, dar o nome que desejar ao arquivo. Os projetos do SciDAVis tem a extensão sciprj.
Para utilizar os gráficos gerados pelo SciDAVis nós podemos clicar com o botão direito do mouse e:
� selecionar a opção Copiar → Camada (ou Janela);
� selecionar a opção Exportar → Camada (ou Janela).
A diferença entre os dois casos é que, no primeiro, você terá que “Colar” a figura num editor de textos ou
imagens, por exemplo, e no segundo a figura será salva no local que desejar, com a vantagem de ser posśıvel
escolher o formato de sáıda (jpg, png, bmp, etc.).
Normas e Relatórios de Laboratório de Física

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