4. Taxas de Juros e Inflação

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CAD 045 – Investimento e 
Cálculo Financeiro
Aula 04 – Taxas de Juros e Inflação. Fórmula 
de Fisher. Taxas acumulada e média. 
Conceito e aplicação de taxa over.
Prof. Bruno Pérez Ferreira
Faculdade de Ciências Econômicas - UFMG 2
Tópicos desta seção
 Taxas de juros e inflação;
 taxas aparente e real. 
 Fórmula de Fisher;
 Taxa acumulada e taxa média; 
 O conceito e a aplicação de Taxa over
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Taxas de juros e inflação
 As taxas geralmente divulgadas no mercado 
financeiro são taxas aparentes, pois 
incorporam uma expectativa de inflação;
 Assim, para a avaliação da rentabilidade real 
de um investimento de renda fixa, ou o custo 
real de um financiamento, é necessária a 
distinção entre taxas aparentes (que 
incorporam a inflação) e taxas reais (sem o 
efeito da inflação);
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Taxas de juros e inflação
 A distinção básica entre estas duas taxas 
reside então no papel da inflação. 
 Para melhor compreender esta relação, seja 
I0 o índice de preços no período 0 e I1 o 
índice de preços no período 1. A relação 
entre estes índices é dada por
  (1)   11
0
1
0
1
0
01
I
I
I
I
I
II
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Taxas de juros e inflação
 em que  representa a inflação ocorrida entre os 
períodos 0 e 1. Considerando a inflação na 
composição de um valor futuro no tempo teremos, a 
partir de S=P(1+i)n, considerando n = 1 
 
 
  









11
1
1
0
1
01
rVPVF
I
IrVPVF
I
rVP
I
VF
(2) 
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Taxa de juros e inflação
 assim, sabendo que o valor futuro VF será 
definido por uma taxa aparente efetiva i,
temos
 
     (3) 
Fisher de Equação à leva que o


111
1
ri
iVPVF
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Fórmula de Fisher
 A equação anterior permite deduzir a taxa 
real de juros r a partir de uma taxa aparente i
e da taxa de inflação . 
 Como exemplo inicial, vamos calcular a taxa 
real de juros para uma taxa aparente de 
12,25% a.a. e taxa esperada de inflação de 
4,5% a.a.
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Exemplos
 Qual é a taxa aparente de juros que deve ser 
cobrada em um empréstimo se o credor 
deseja uma rentabilidade real de 19%a.a., 
acrescida de correção pela inflação esperada 
de 5%.a.a.?
 Qual é a rentabilidade real de um 
investimento que no último mês apresentou 
ganho aparente/nominal de 2,5%, sabendo 
que a inflação anualizada foi de 4,5%.
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Fórmula de Fisher generalizada
 A fórmula de Fisher trabalha com o conceito 
de prêmios de risco, ao incorporar à taxa 
exigida um prêmio pela inflação;
 Fazendo então uma extensão do raciocínio 
anterior considerando outros tipos de 
prêmios, teremos a fórmula de Fisher 
generalizada: 
(4) )1()1)(1)(1()1( 21 nri   
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Fórmula de Fisher generalizada
 em que 1, 2,... n correspondem a prêmios 
para diversos fatores de risco (crédito, 
câmbio, etc.). 
 Cabe ressaltar que a taxa associada à 
inflação é uma taxa conjuntural, ao passo 
que os demais fatores são específicos, ou 
não-sistêmicos.
 O exemplo a seguir ilustra a aplicação deste 
conceito
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Exemplo
 Uma loja de eletrodomésticos opera no segmento 
de vendas a prazo. A empresa considera 
basicamente três tipos de risco: inflação, 
inadimplência e atraso nos pagamentos. A sua taxa 
efetiva nas operações de crédito deve cobrir estes 
riscos, e sabe-se que:
 a taxa de inflação prevista é de 0,5% a.m.;
 a taxa de inadimplência é historicamente de 3% a.m.;
 a taxa de atraso nos pagamentos é historicamente de 2% 
a.m.
 a taxa real pretendida nas operações é de 10% a.a.
 Com base nestes dados, determine a taxa efetiva 
de juros nas vendas a prazo, em termos mensais.
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Taxas de juros acumuladas e taxa média
 Caso a taxa de juros seja variável no regime 
de capitalização composta, temos então o 
seguinte fluxo:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 ... 
VP 
n n-1 
VF 
i1 i3 i4 in i5 i2 
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Taxas de juros acumuladas e taxa média
 Assim, a relação generalizada entre S e P define-se 
por:
 O que nos permite definir os conceitos de taxa 
acumulada e taxa média.
 A taxa acumulada nada mais é do que o produtório
das taxas praticadas no período, sendo que todas 
as taxas estão expressas em uma mesma unidade 
de tempo:
(5) )1()1)(1)(1( 321 niiiiPS  
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Taxas de juros acumuladas e taxa média
 Em termos formais, a partir da relação 
definida em (5), podemos deduzir:
 Taxa efetiva do período da aplicação (taxa 
acumulada iac):
 iac = F/P – 1 (6)
 substituindo (6) em (5), temos:
(7) )1()1)(1)(1()1(
)1()1)(1)(1()1(
)1()1)(1)(1(
321
321
321
nac
nac
n
iiiii
iiiiPPi
iiiiPF






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Taxas de juros acumuladas e taxa média
 Já a taxa média equivale à média geométrica 
das taxas no período. 
 Isto porque, se considerarmos que haja uma 
taxa efetiva constante que, incidindo sobre o 
mesmo principal P durante o mesmo prazo, 
acarrete o mesmo montante, teremos 
(8) )1()1)(1)(1( 321 niiiiPF  
(9) niPF )1( 
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Taxas de juros acumuladas e taxa média
 Da igualdade entre (8) e (9) resulta a fórmula 
para a taxa média de juros:
 Ou seja, a taxa média nada mais é do que a raiz 
n-ésima do produto dos fatores de capitalização 
das taxas vigentes no período de análise ou a 
média geométrica destes fatores.
  (10) 1)1()1)(1)(1(
)1()1)(1)(1()1(
/1
321
321


n
n
n
n
iiiii
iiiii


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Exemplo
 Um investidor aplicou R$ 50.000,00 no 
mercado financeiro por 3 meses, obtendo as 
seguintes rentabilidades mensais.
 Mês 1: 2,6%
 Mês 2: 1,7%
 Mês 3: -1,4%
 Qual foi o montante resgatado?
 Determine a taxa acumulada e a taxa média 
do exemplo anterior.
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Conceito e aplicação de taxa over
 No final de 1997, o BC elaborou uma nova configuração 
para as taxas de juros com dois objetivos:
 indicar a continuidade da taxa, independente do mês e do 
efeito dos dias úteis;
 tratar as taxas com base anual, procurando dar conotação de 
longo prazo.
 Uma das preocupações do BC foi mudar a forma de 
fixação da taxa que, ao ser fixada em termos mensais 
(taxa over mês), era influenciada pelo problema do 
número de dias úteis. Assim o BC através da Circular n° 
2761 de 18 de junho de 1997 estabeleceu o ano-base 
em 252 dias úteis, criando a chamada taxa over ano.
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Conceito e aplicação de taxa over
 A taxa over é adotada como referência 
em operações no mercado de renda fixa;
 Entretanto, seu valor não é usado nos 
cálculos pois a mesma não representa 
uma taxa efetiva;
 Na verdade, a taxa over é uma taxa 
nominal, pois costuma ser expressa ao 
mês com capitalização diária utilizando a 
convenção de dias úteis.
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Conceito e aplicação de taxa over
 Assim, o procedimento para 
operacionalização com a taxa over envolve a 
seguinte fórmula geral:
 Vale enfatizar que a taxa over é uma taxa 
nominal, sob a qual devemos calcular a taxa 
efetiva da operação.
(11) over taxa
du
PS 






30
1
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Exemplos
 Dada a taxa over de 2,7% a.m., determinar a taxa 
efetiva ao dia. 
 Dada a taxa over de 3,3% a.m., determinar a taxa 
efetiva mensal num mês de 21 dias úteis. 
 Uma operação com duraçãode 35 dias foi 
contratada a uma taxa over de 1,8%a.m. O número 
de dias úteis no período foi de 25 e deseja-se obter 
a taxa efetiva mês e o montante ao final da 
operação, considerando-se que foram aplicados R$ 
100.000,00.
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Exercícios
 Rangel: página 218, exercícios 11-20;
 Samanez, página 72, exercícios 33; 35; 39 e 
43.
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Leitura Sugerida:
 Básica:
 SECURATO, J.R. Cálculo Financeiro das 
Tesourarias. 3. Ed. São Paulo: Editora Saint Paul, 
2005. Páginas 69-92. 
 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: 
Aplicações à Análise de Investimentos. 4. ed. São 
Paulo: Prentice Hall, 2004. páginas 60-62.
 Complementar:
 RANGEL, A. S et. al. Matemática dos Mercados 
Financeiros. São Paulo: Atlas, 2003. Páginas 
202-212.