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E-book 1 Ricardo Cintra MATEMÁTICA FINANCEIRA Neste E-Book: INTRODUÇÃO ���������������������������������������������� 3 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E AS TAXAS DE JUROS ����������������������������������������4 Capitalização Simples ���������������������������������������������6 Capitalização Composta �����������������������������������������8 Taxas Nominais e Efetivas ����������������������������������� 10 Taxas Proporcionais e Equivalentes �������������������� 12 TAXA APARENTE E TAXA REAL �������������18 TAXA ACUMULADA, TAXA OVER E TAXA MÉDIA �����������������������������������������������24 CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������34 SÍNTESE ������������������������������������������������������� 35 2 INTRODUÇÃO Olá! É muito bom poder ajudar você a compreender a Matemática Financeira – na verdade, mais uma apli- cação da boa, já idosa e cada vez mais importante Matemática� Sem ela não passamos um dia sequer de nossas vidas e eu tenho certeza de que você já percebeu isso� A partir de agora, trataremos de finanças empresa- riais, inicialmente, mas você perceberá que diversos conceitos, sugestões e indicações são totalmente aplicáveis às finanças pessoais, aumentando, assim, a importância dos estudos que você começa agora� 3 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E AS TAXAS DE JUROS Para que cálculos financeiros sejam realizados, por mais básicos que eles sejam, alguns elementos de- verão estar presentes� Para começar, você precisará de um valor monetário, que será a base dos seus cálculos, isto é, sobre esse valor ocorrerão as ope- rações matemáticas; uma dimensão de tempo – dia, mês, semestre, ano etc� – também será necessária, afinal presume-se que qualquer operação financeira ocorrerá durante período conhecido ou a conhecer; uma taxa de juros, que incidirá durante o prazo do negócio, sobre o valor monetário, completa a lista de elementos essenciais para que operações mate- máticas com interesse financeiro e comercial sejam realizadas. Finalmente, tem-se que, para cálculos fi- nanceiros, os elementos essenciais são: a) expressão da quantidade de dinheiro, b) prazo e c) taxa de juros� Quando alguém conta a você que acabou de obter um empréstimo bancário, caso ele queira oferecer- -lhe detalhes, poderá dizer que o empréstimo foi no valor de R$10�000,00, a ser restituído ao banco em 18 parcelas mensais, à taxa de 2,0% a�m� Esse é um exemplo simples, mas fiel ao princípio de tudo o que ocorre na relação da Matemática com o mundo dos negócios� Agora, virão os detalhes interessantes� 4 Vamos começar entendendo o que são os juros? As diversas definições disponíveis na literatura partem de pontos de vista diferentes. Um texto que se refira a ganhos de um investidor poderá tratar juros como um benefício resultante da aplicação de uma porcen- tagem sobre valor em dinheiro, durante certo tempo� Se estiver sendo considerado valor a pagar por al- guém, referente a empréstimo ou a multa por atraso em um compromisso, os juros serão tratados como sacrifício financeiro ou expressões equivalentes. E o valor dos juros, como calcular? Nada complicado e a fórmula a seguir mostra isso� J = P×i×n Onde: J Valor dos juros; P Valor sobre o qual a taxa deverá incidir; i é a taxa de juros (formato decimal) n número de períodos em que a taxa de juros produzirá seus efeitos� Como exemplo, considere que você devesse pagar uma conta no valor de R$ 880,00 com vencimento ontem� No caso de atrasos, deveria ser aplicada a taxa de 2% a�m� sobre o valor devido� Você pagará a conta hoje, com atraso de 1 dia, portanto� Qual seria o valor a pagar? Vamos ver� 5 Substituindo-se os valores conhecidos, na fórmula de juros 0,02J = R$ 880,00 × × 1 = R$ 0,59 30 Pronto! Já seria de seu conhecimento, ter R$0,59 a pagar, além do valor da conta, é claro� Quando os juros são adicionados à base de cálcu- lo, isto é, ao capital, ocorre a capitalização, impor- tantíssimo conceito para quem pretende estudar Matemática Financeira e suas utilizações� A capitali- zação pode ocorrer de duas maneiras, denominadas Regimes de Capitalização: a capitalização simples e a capitalização composta ou, como preferem al- guns, regime de juros simples e regime de juros compostos� Capitalização Simples Neste primeiro tipo, independentemente do período, a taxa de juros incidirá somente sobre o valor princi- pal, isto é, sobre o valor original� A Tabela 1 resume o acúmulo dos juros sobre R$100�000,00, sob a taxa de 1,00 % a.m., durante 4 meses. No fim do prazo, R$104�000,00 seria o valor a receber ou a pagar� 6 Mês Saldo credor no início do mês Juros do mês Saldo credor no final do mês antes do pagamento Pagamento do mês Saldo credor no final do mês após o pagamento 1 100�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 101�000,00 0,00 101�000,00 2 101�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 102�000,00 0,00 102�000,00 3 102�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 103�000,00 0,00 103�000,00 4 103�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 104�000,00 104�000,00 0,00 Tabela 1: Capitalização Simples. Fonte: Adaptado de Puccini (2017, p. 18) O modelo de juros simples é caracterizado pela expressão S = P (1+i×n) Onde: S montante acumulado ao final do prazo da operação P valor do principal ou capital i taxa de juros incidente a cada período n número de períodos Se voltarmos à Tabela 1 e utilizarmos os dados da operação lá resumida, colocando-os na expressão característica dos juros simples, teremos: S = P (1 + in) S = 100�000,00 (1 + 0,01x4) = 104.000,00 De fato, lá na tabela, pudemos verificar esse mesmo valor acumulado no fim do prazo. 7 Capitalização Composta O segundo tipo traz novidades, que poderão ser boas ou ruins, dependendo do interesse que alguém tem no cálculo de juros – recebê-los ou pagá-los� No mo- delo de juros compostos, a capitalização ocorre em todos os períodos que compõem o prazo da opera- ção� Em uma operação de 12 meses, com incidência de taxa mensal, por exemplo, os juros seriam incorpo- rados a cada mês, fazendo com que os juros de um período fossem calculados sobre juros acumulados até o período imediatamente anterior� A Tabela 2 resume o acúmulo mensal dos juros so- bre os R$100�000,00 iniciais, sob a taxa de 1,00 % a.m. No fim do prazo, R$ 104.060,40 seria o valor a receber ou a pagar� Mês Saldo credor no início do mês Juros do mês Saldo credor no final do mês antes do pagamento Pagamento do mês Saldo credor no final do mês após o pagamento 1 100�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 101�000,00 0,00 101�000,00 2 101�000,00 1% × 101�000,00 = 1�010,00 102�010,00 0,00 102�010,00 3 102�010,00 1% × 102�010,00 = 1�020,10 103�030,10 0,00 103�030,00 4 103�030,10 1% × 103�030,10 = 1�030,30 104�060,40 104�060,40 0,00 Tabela 2: Capitalização Composta. Fonte: Adaptado de Puccini (2017) p. 36. 8 O modelo de juros compostos, tal e qual ocorreu no outro modelo, tem uma expressão que o representa: S = P(1+i)n As variáveis e seus significados são as mesmas da capitalização simples� Então, substituindo os valores mostrados, teremos: S = P (1 + i)n S = 100�000,00 (1 + 0,01)4 = 104.060,40 Reflita Compare com o valor final, obtido por aplicação de juros simples, mostrado na Tabela 1� Embora raramente seja possível escolher o regime de ju- ros de uma operação, apenas como um exercício, responda: Quais seriam as suas preferências, quanto ao modelo de juros a ser empregado, em uma ope- ração de empréstimo, nos dois casos a seguir descritos? (a) você emprestou o dinheiro a um parente e es- pera recebê-lo de volta em 6 parcelas mensais; (b) você recebeu o empréstimo de um parente e espera pagá-lo em 6 parcelas mensais; 9 Taxas Nominais e Efetivas Ao lidar com taxas de juros, alguns cuidados são necessários e você irá conhecê-los durante seus estudos de Matemática Financeira� Uma primeira cautela recomendada é ter a certeza de que em seus cálculos você usará a taxa de fato incidente na operação avaliada�O risco da não observância dessa necessidade é o de levar você a cálculos errados e, consequentemente, a decisões ruins e potencialmente danosas. Você deverá certificar-se de estar considerando a taxa efetiva da operação e não a taxa nominal� Vamos conhecer as diferenças e como encontrá-las? Uma taxa de juros será dita efetiva quando o período em que ocorrer a capitalização for o mesmo utiliza- do como referência temporal da taxa� Observe os exemplos a seguir� Exemplos I Capitalização Referência temporal da taxa 3,0 % a�m�, com capitaliza- ção mensal mensal mês 5,0 % a�t�, com capitaliza- ção trimestral trimestral trimestre 20,0 % a�a� com capitaliza- ção anual anual ano 8,0 % a�s� com capitaliza- ção semestral semestral semestre Tabela 3: Período de capitalização igual ao utilizado como referência temporal da taxa. Fonte: Elaboração própria. 10 Note que, nos quatro exemplos da Tabela 3, a ca- pitalização (mensal, trimestral, anual e semestral) ocorrerá em período igual ao de referência temporal de cada uma das taxas (mês, trimestre, ano e semes- tre)� Por isso mesmo, as quatro taxas são efetivas, portanto, verdadeiramente incidentes nas respectivas operações� E se assim não fosse? Analise o próximo quadro� Exemplos II Capitalização Referência temporal da taxa 8,0 % a�a�, com capitaliza- ção mensal mensal ano 10,0 % a�t�, com capitaliza- ção mensal mensal trimestre 5,0 % a�s� com capitaliza- ção anual anual semestre 3,0 % a�m� com capitaliza- ção diária diária semestre Tabela 4: Período de capitalização diferente do utilizado como refe- rência temporal da taxa. Fonte: Elaboração própria. Certamente você percebeu que, nesse segundo conjunto de exemplos, não há coincidência entre os períodos em que se esperam as capitalizações e as unidades de tempo utilizadas para comunicar cada uma das taxas, isto é, a referência temporal de cada uma delas� Exatamente por isso, as quatro taxas são nominais e não deverão, sem os necessá- rios ajustes, ser utilizadas nas operações a que se refiram. Os “ajustes” citados serão estudados mais 11 à frente� Neste momento dos estudos, é importante você identificar taxas efetivas e taxas nominais. Um alerta: durante os contatos comerciais, nem sempre as informações necessárias à diferenciação entre taxas nominais e efetivas estarão explicitadas, mas isso não deverá justificar qualquer tomada de decisão insegura� Diante da falta de clareza, peça as informações – que agora você já sabe quais são – que lhe permitam analisar a(s) taxa(s) informada(s)� Taxas Proporcionais e Equivalentes No modelo de juros simples, quando duas taxas ex- pressas em diferentes unidades de tempo, aplicadas sobre um mesmo capital, resultarem em iguais valo- res finais, serão consideradas proporcionais� Vamos a alguns exemplos disso� No centro de uma capital brasileira, algumas insti- tuições financeiras anunciam empréstimos de até R$10.000,00, em condições “especiais”, para pessoas físicas. A instituição “A” informa ao público que, em apenas duas horas, poderá liberar crédito à taxa de 2,0% a.m. e sua concorrente, a instituição “B”, anuncia crédito semelhante em valor (até R$10�000,00), mas com juros de 24,0% a�a� Com essas informações e a título de exercício, calcule o montante que você deveria pagar por dois empréstimos de R$8�000,00, contratados por 30 meses, nas duas instituições financeiras. 12 A solução desse desafio deveria cumprir as seguin- tes etapas: 1. Instituição A Principal = R$8�000,00 Prazo = 30 meses Taxa de juros = 2,0% a.m. Valor de liquidação do empréstimo = ? ○ Valor de liquidação = S = P (1 + in) S = 8�000,00 (1 + 0,02x30) = 12.800,00 2. Instituição B Principal = R$8�000,00 Prazo = 30 meses Taxa de juros = 24,0 % a.a. Valor de liquidação do empréstimo = ? Taxa mensal de juros de juros ○ Valor de liquidação = S = P (1 + in) S = 8�000,00 (1 + (0,24/12) × 30) = 12.800,00 Conclusão: embora as duas instituições estejam oferecendo taxas diferentes, se essas taxas forem aplicadas sobre um mesmo capital, por determinado prazo, no regime de capitalização simples, resultarão em montantes idênticos (R$ 12�800,00)� Por conta disso, pode-se afirmar que 2,0 % a.m. e 24 % a.a. são taxas proporcionais� 13 Agora, percebamos o que pode acontecer em outra simulação, mas dessa vez considerando uma capi- talização composta� Acompanhe: Um estudante recebe proposta de aplicação financei- ra pelo prazo de 60 dias� Quem o convidou informou a taxa efetiva anual de 12,683%� Na mesma data, o jovem recebe uma segunda proposta: a de fazer aplicação financeira, também por 60 dias, mas à taxa efetiva de 6,152% a�s� (ao semestre)� Nos 60 dias de aplicação, para cada um dos casos, qual o valor a resgatar, se a aplicação for R$5�000,00? 1º. Caso P = 5�000,00 Taxa = 12,683% a.a. (efetiva) Prazo = 60 dias [como a taxa é expressa em “ano” o prazo da operação, fornecido em dias, deverá ser convertido para ano = 60/360 = 0,166667 ano] Valor a resgatar (S) = ? S = P (1+i)n = 5�000 × (1 + 0,12683)60/360 = 5�000 X 1,020101 = 5.100,50 2º. Caso P = 5�000,00 14 Taxa = 6,152% a.s. (efetiva) Prazo = 60 dias [como a taxa é expressa em “semes- tre” o prazo da operação, fornecido em dias, deverá ser convertido para semestre = 60/180 = 0,333333 semestre] Valor a resgatar (S) = ? S = P (1+i)n = 5�000 × (1 + 0,06152)60/180 = 5�000 X 1,020100 = 5.100,50 Conclusão: em regime de capitalização composta, duas taxas com referências de tempo diferentes (ano e semestre), incidentes sobre um mesmo capital (R$5�000), durante mesmo prazo (60 dias), resul- taram em montantes iguais (R$5�100,50)� Por que isso aconteceu? Porque as duas taxas 12,683% a�a� e 6,152% a�s� são equivalentes� Você poderá determinar taxas equivalentes entre si, trabalhando apenas com as taxas, isto é, indepen- dentemente de valores monetários sobre os quais elas, as taxas, incidam� São dois os movimentos possíveis aqui: a) O interessado deseja uma taxa equivalente “à sua”, sendo que a desejada será referente a um pe- ríodo maior� Exemplo 1. Você precisa determinar a taxa anual, equivalente a 2,0% a�m� Primeiro passo será notar que em um ano há 12 meses, então teremos que fazer uma capitalização da taxa mensal, assim: 15 Esse procedimento levará à conclusão de que a taxa procurada é 26,8% a.a. Você concorda? Exemplo 2. Você deseja preencher um contrato com “taxa efetiva semestral” equivalente à taxa bimestral de 2,3%� Qual a taxa com que você preencheria o contrato? Em cada semestre há 3 bimestres, não é assim? Então, você precisará capitalizar a taxa bi- mestral por três vezes, seguindo o procedimento: Deve-se chegar a 7,1% a.s. Então, você chegou a esse resultado? b) O interessado deseja uma taxa equivalente “à sua”, sendo que a desejada será referente a um pe- ríodo menor� Exemplo 1. O custo efetivo de 20,0% a�a� precisa ser informado, mas por meio de sua taxa equivalente mensal, que é���? 16 A cada ano, são 12 meses, como sabemos� Então, neste caso, deveria ser feita uma descapitalização de ano para mês� Seria 1,53% a.m., o resultado? Confira. Exemplo 2. Documentação de financiamento traz a informação de que o custo efetivo total da operação será de 280,0% a�a� Assustado com o número, você decide avaliar o custo efetivo semestral da mesma operação, para poder compará-lo com algumas de suas anotações� Considerando o procedimento a seguir e que cada ano é composto por 2 semes- tres, 94,9% a.s. seria o resultado correto para essa equivalência? 17 TAXA APARENTE E TAXA REAL Esses dois conceitos, taxa (de juros) aparente e taxa (de juros) real estão ligados ao conceito de inflação, cujo indicador oficial, no caso brasileiro, é o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), apurado e divulgado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Para entendermos um excelente exemplo para este ponto de seus estudos sobre a Matemática Financeira, é necessáriocompreendermos o papel do Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil (COPOM), um colegiado do Banco Central do Brasil (BACEN). Com intervalos aproximados de 45 dias, o comitê é reunido para definir a meta da taxa de juros básicos da economia brasileira – Taxa Selic – até a próxima reunião� A importância dessa taxa e de seus movimentos é enorme, porque ela serve de referência para o custo do crédito para a formação de diversas outras taxas dos mercados� Aliás, não é por outro motivo que ela é conhecida como “taxa básica da economia”, “taxa básica de juros” ou, mais objetivamente, “taxa básica”. E sobre inflação e cálculos financeiros, o que dizer? Em definição objetiva e suficiente, inflação é o au- mento generalizado dos preços de uma economia, além de ser, em termos práticos, um fenômeno cruel que desvaloriza uma moeda nacional, isto é, reduz 18 o poder aquisitivo dessa moeda� Nesse contexto, podemos imaginar três possibilidades de ilustração: 1. Você faz uma aplicação financeira com taxa de juros que vem a se mostrar inferior à inflação veri- ficada no mesmo período da operação; você perde dinheiro, porque a remuneração a receber seria in- ferior à desvalorização sofrida por seu dinheiro, por efeito inflacionário. 2. A taxa de juros vem a se mostrar igual à inflação verificada no mesmo período da operação; você não perde tampouco ganha dinheiro, porque a remune- ração a receber seria idêntica à desvalorização cau- sada pela inflação. 3. A taxa de juros que vem a se mostrar superior à inflação verificada no mesmo período da operação; nesse caso, sim, você ganha dinheiro, porque a re- muneração a receber seria superior à desvalorização sofrida do seu dinheiro� Antes de concluir o estudo das possibilidades, vamos conhecer as definições de taxa real e taxa aparente? Taxa real de juros, ou juros reais, é a taxa de juros descontada da taxa de inflação e taxa aparente de juros, ou juros nominais, é a taxa de juros sem que a inflação tenha sido descontada. Voltemos às “três possibilidades de ilustração”, agora conhecendo mais dois conceitos de taxas de juros� A possibilidade 1 mostra a ocorrência de juros reais negativos, isto é, a taxa de juros contratada não teria sido suficiente, sequer, para anular a perda inflacio- 19 nária. Você teria perdido a batalha contra a inflação! A possibilidade 2 é menos desagradável – mostra a ocorrência de juros reais nulos; não é uma situa- ção a comemorar, mas, ao menos, não há perda a lamentar� Você teria empatado a batalha contra a inflação. Menos mau, não é? Finalmente, a possibi- lidade 3. Ela, sim, justificaria a alegria do investidor, porque mostra uma situação em que o investidor teria vencido a batalha contra a inflação, pois teria obtido juros reais positivos� Com essa explicação você pode entender o que são juros reais, mas ainda não pode calculá-los� Quanto de juros negativos e positivos, respectivamente, teriam as possibilidades “1” e “3”? Vamos resolver isso, já! O conceito geral é: a taxa real de juros resulta da taxa aparente descontada da inflação e convém assina- lar, desde já, que o termo “descontada” não remete à operação de subtração, como será visto� Desse conceito, aqui considerado “geral”, pode-se construir uma relação matemática entre taxa aparente (ou taxa nominal, lembre-se), taxa real e inflação, começando por nomear as variáveis� Sejam, então: ia ou in Taxa aparente de juros ou taxa nominal de juros, no período� iinf Taxa de inflação no período. ir Taxa real de juros no período� 20 A relação existente entre as variáveis é O Exemplo Como exemplo de aplicação, consideremos o Boletim Focus, publicado pelo BACEN em 23 de setembro de 2019, referente à semana 16 a 20 do mesmo mês/ ano e reproduzido, em parte, a seguir� Esse Boletim é uma publicação semanal em que o BACEN resume as expectativas de diversos técni- cos dos mercados financeiros acerca de variáveis a exemplo de inflação, taxa básica de juros, câmbio R$/US$, atividade econômica etc� Figura 1: Boletim Focus. Fonte: https://www.bcb.gov.br/content/ focus/focus/R20190920.pdf. Entre muitas outras informações, os profissionais dos mercados financeiros, empresários, estudantes e jornalistas, acompanham as expectativas de taxa real de juros� É uma informação muito valiosa para o planejamento, em diversas atividades� No exemplo 21 https://www.bcb.gov.br/content/focus/focus/R20190920.pdf https://www.bcb.gov.br/content/focus/focus/R20190920.pdf que se traz, vamos dirigir nossa atenção para a Meta Taxa Selic-fim de período (% a.a.) e IPCA (%), refe- rentes ao ano de 2019� Qual a perspectiva brasileira de taxa real de juros que essa edição do Boletim Focus nos permite conhecer? A resposta exige que se aplique fórmula para determinação da taxa real de juros (ir) recém-apresentada� ia ou in Taxa aparente ou taxa nominal de juros: será a Meta da Taxa Selic = 5,0 % a�a� iinf Taxa de inflação: será a expectativa para o IPCA = 3,44 % a�a� ir Taxa real de juros: é o valor que se pretende conhecer, neste momento� Com essas informações, já dá para saber qual era a expectativa do mercado (sim, o Boletim Focus tem o status de “representante do mercado”) para os juros reais de 2019 na semana de referência. Basta subs- tituir os valores conhecidos de variáveis na equação dos juros reais� Vamos fazer? Solução do Exemplo ⟶ {[(5,00/100)]/[(3,44/100)+ 1] }×100~𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟏𝟏𝟓 𝒂𝒂. 𝒂𝒂. 22 Comentários da Solução 1. 1,51% é uma taxa real de juros, expressa na unida- de “ao ano (a.a.)”, porque resulta da relação de duas taxas igualmente anuais (inflação e taxa aparente). 2. O resultado significa que, além da reposição da perda inflacionária (3,44%), se fosse confirmada a Taxa Selic de 5,00% a�a�, ela proporcionaria ganho real (juros reais positivos) de 1,51% a�a� 3. Note que, se você efetuar a operação Taxa apa- rente (ia) – Taxa de inflação (Iinf), não chegará ao valor correto de taxa real de juros (ir)� Seria bom você se certificar. 4. Outro cálculo que é errado (independentemen- te de proporcionar resultado próximo do correto): efetuar a soma (Taxa real + Taxa de inflação), para obter a taxa aparente. Seria bom você se certificar disso também� 5. A maneira correta de você obter a taxa apa- rente, conhecidas as taxas real e de inflação é � Em seu lugar, eu verificaria a “qualidade” da informação que eu acabo de oferecer-lhe� Podcast 1 23 https://famonline.instructure.com/files/168687/download?download_frd=1 TAXA ACUMULADA, TAXA OVER E TAXA MÉDIA Em 6 de setembro de 2019, o site de notícias G1 publicou matéria sob o título “Inflação oficial fica em 0,11% em agosto e em 3,43% em 12 meses” (ALVARENGA; SILVEIRA, 2019)� As duas palavras iniciais da matéria – “Inflação ofi- cial” – merecem um esclarecimento. No Brasil, exis- tem diversos índices de preços (IGP-M, IGP-DI, INCC, IPA e muitos outros), mas somente um deles é con- siderado “oficial”, como dito na citada reportagem, é o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), apurado e divulgado, mensalmente, pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Com esse comentário, e lendo, mais uma vez, a notícia, você poderá entender que o IPCA referente a agosto/2019 foi 0,11%. A expressão “12 meses” se refere aos 11 meses antecedentes mais agosto/19� Portanto, o período cuja inflação se mediu é setembro/18 a agos- to/19� A porcentagem 3,43% se refere, então, às (12) taxas de cada mês, devidamente acumuladas� Como o repórter chegou a esse número? Genericamente, como determinar uma taxa acumulada? Na tabela a seguir, você tem valores mensais do IPCA, a taxa acumulada dentro de cada ano (2018 e 2019) e a taxa acumulada “nos últimos 12 meses”. 24 Mês/ano Índice do mês (%) Índice acumulado no ano (%) Índice acumulado nos últimos 12 meses (%) Ago/2019 0,11 2,5354 3,4288 Jul/2019 0,19 2,4228 3,2222 Jun/2019 0,01 2,2285 3,3664 Mai/2019 0,13 2,2183 4,6584 Abr/2019 0,572,0856 4,9406 Mar/2019 0,75 1,5070 4,5754 Fev/2019 0,43 0,7514 3,8903 Jan/2019 0,32 0,3200 3,7765 Dez/2018 0,15 3,7455 3,7455 Nov/2018 -0,21 3,5901 4,0459 Out/2018 0,45 3,8081 4,5568 Set/2018 0,48 3,3431 4,5256 Ago/2018 -0,09 2,8494 4,1927 Jul/2018 0,33 2,9420 4,4847 Jun/2018 1,26 2,6034 4,3910 Mai/2018 0,40 1,3267 2,8549 Abr/2018 0,22 0,9230 2,7627 Tabela 5: Valores IPCA. Fonte: Adaptado de Portal Brasil. Acesso em 27 set. 2019. Antes de fazermos os cálculos necessários, é im- portante entendermos o processo de acumulação de taxas. Se as “n” taxas a serem acumuladas forem representadas por i1, i2, i3����in, a taxa acumulada iac % será: 25 https://www.portalbrasil.net/ipca.htm Nesse ponto é necessário considerarmos uma par- ticularidade que aparece no exemplo – e ainda bem que aparece, pois você terá uma experiência a mais� Algumas dessas taxas podem ser negativas, indi- cando deflação, o fenômeno inverso da inflação. Em novembro de 2018 isso aconteceu! A taxa de inflação (i3) foi negativa (- 0,21 %), caracterizando deflação de 0,21%� Mais claramente: os preços foram reduzi- dos ao invés de elevados� E qual o impacto disso no cálculo de iac? O fator que contiver o índice negativo deverá ser dividido pelo até então acumulado, não multiplicado� Nesse exemplo, em particular, a equa- ção de iac deveria ser escrita assim: 𝑖𝑖"# = %& 1+ 𝑖𝑖) 100 × 1 + 𝑖𝑖, 100 ÷ 1 + 𝑖𝑖. 100 ×⋯⋯× 1 + 𝑖𝑖$ 100 − 1 '×100 No exemplo considerado, n = 12, i1 = 0,48% (setem- bro/18), i2=045% (outubro/18) e seguintes, até i12 = 0,11 (agosto/2019)� Substitua esses valores na fór- mula para cálculo de taxa acumulada (iac) e confira se a informação prestada pelo repórter está correta� Cuidado nunca é demais, não é mesmo? Ainda se tratando do conceito de taxa acumulada, vamos explorar outra de suas aplicações mais fre- quentes: a “taxa acumulada no ano” ou o “acumulado- 26 -ano”, ainda utilizando o quadro com valores de IPCA já visto� Esse conceito inclui, necessariamente, o índice referente ao mês de janeiro do ano a que se fizer referência e meses subsequentes, até o último valor conhecido. Um exemplo parece ser suficiente para pleno entendimento: Exemplo. Imagine-se em maio de 2019, em situação tal que precisa conhecer o IPCA acumulado “no ano”. Algumas considerações: a) se ainda corre o mês de maio e, de acordo com calendário de divulgação estabelecido pelo IBGE, você não conhece o IPCA daquele mês; b) conhecidos, portanto, somente os valores de IPCA referentes ao período janeiro/19 a abril/19� Agora, basta aplicar o conceito de taxa acu- mulada, considerando os valores de IPCA, Janeiro- Abril/2019� A partir da tabela com valores de IPCA, já seria possível estabelecer que: IPCA acum Jan-Abr19 = {[(1+0,0032)(1+0,0043) (1+0,0075)(1+0,0057)] – 1} x 100 = 2,0856 % Em conclusão, compare o valor que acaba de calcular com aquele informado no quadro inicial de IPCA, na coluna “Índice acumulado no ano (%)”, apresentada na linha referente ao mês abril/19� Conferência feita e resultado satisfatório? Então, fica um desafio: no início de dezembro/2018, qual seria a inflação oficial acumulada-ano? 27 É tempo de conhecer e entender mais uma forma de apresentação de taxas de juros: a taxa over� Preparado(a)? Todos os mercados têm suas particularidades e com os financeiros não é diferente. Em ambiente técnico, particularmente em que se trate de operações com títulos públicos e mercado interbancário (DI) é bas- tante conhecido o conceito de taxa over� A palavra “over” é uma forma reduzida de overnight, palavra inglesa que significa pernoite ou “durante a noite”, em português. A expressão “taxa over” traz, portanto, uma mensagem de “operação de um dia”, ou simples- mente “um dia” e considerará, exclusivamente, dias úteis� De fato, a taxa over é uma taxa efetiva diária, multiplicada por 30 para ser apresentada como men- sal� Nos cálculos deverão ser usados 252 dias úteis para o ano e 21 dias úteis para cada mês� Perceba alguns exemplos: Exemplo 1: Para 5,0% a�a� efetivos, qual a taxa over correspondente? Primeira providência deverá ser determinar a taxa equivalente diária (para ano de 252 dias úteis, lem- bre-se!): o procedimento a seguir trará o resultado parcial 0,0194 % a.d. Em seguida, e para concluir, a taxa diária deverá ser multiplicada por 30, para expressá-la em unidade 28 mês� Então, concluo que a taxa over para essa ope- ração é 0,58% a.m.o. (a�m�o� = ao mês over)� Exemplo 2: Qual deverá ser a taxa anual efetiva cor- respondente a 2,07% a.m.o. Bem, se é uma “a.m.o.” já devo saber que não se trata de uma taxa efetiva, porque não há taxa over efetiva� Existem, isso sim, as taxas efetivas correspondentes a taxas over� A solução passará por duas etapas� 1) determinar a taxa diária efetiva e 2) calcular a anual equivalente à taxa efetiva diária� Assim: (1) Taxa diária efetiva = Taxa "a�m�o�"/30 = 2,07/30 = 0,069 % a�d� (lembre-se aqui se trata apenas de "dia útil") (2) 𝑖𝑖"#$"% '(')*+" = 𝑖𝑖-*á/*" '(')*+" 100 + 1 343 − 1 ×100 = 0,069 100 + 1 343 −1 ×100= 18,98% 𝑎𝑎.𝑎𝑎. Passa-se, a partir deste ponto, a se fazer considera- ções sobre taxa média, um conceito muito aberto, isto é, com muitas possibilidades de interpretação, que, por isso mesmo, não é muito fácil de resumir� Acredita-se, entretanto, que boa parte das principais aplicações do conceito venham a ficar a seu alcance nas próximas linhas� O mais importante, inicialmente, é definir-se o que se pretende ao buscar “a taxa média”. Que situação se apresenta? O que significaria essa taxa média? 29 Somente então seriam feitos os cálculos adequados a cada situação� Dois dos mais frequentes interes- ses, entretanto, são: a) diante de uma série de taxas aplicadas durante um período, conhecer a taxa média do mesmo período; b) conhecidas taxas de juros e valores monetários a elas relacionados, conhecer a taxa média aplicada ou a aplicar� Como se disse, há diversas possibilidades a considerar, mas esses dois pontos se destacam pela frequência claramente diferenciada� Notemos cada um dos casos� Uma situação fictícia, mas bastante comum: inves- tidor em ações avalia desempenho de uma de suas carteiras durante 4 meses, a partir dos seguintes dados Mês/ano de referência Valorização ou (desvalorização) Em % Novembro/18 0,45 Dezembro/18 0,30 Janeiro/19 (0,15) Fevereiro/19 (0,12) Tabela 6: Desempenho da carteira. Fonte: Elaboração própria. O processo de solução deve ter 2 etapas� Na primei- ra, deve ser calculada a taxa acumulada no período, para, na etapa seguinte, ser calculada a taxa para um dos “n” meses, considerado o modelo de capitaliza- ção composta� O resultado será considerado taxa média no período� Vamos aos números? 30 Taxa acumulada no período (note que nos meses de janeiro e fevereiro/19 teria havido desvalorizações) = {[(1+0,0045)(1+0,0030)(1+0,0015)(1+0,0012)]-1} x 100 {[(1+0,0045)(1+0,0030) (1/1,0015) (1/1,0012)]- 1} x 100 0,480 % Taxa média no período avaliado = {[(1 + 0,0048)1/3] -1} × 100 = 0,16 % a.m. O resultado significa que, se a cada mês o desempe- nho fosse a valorização de 0,16%, o resultado final seria idêntico ao que “de fato” se constatou, após as valorizações e desvalorizações ocorridas� Vamos a mais um exemplo de muita ocorrência nos mercados financeiros. Uma empresa desejando avaliar o custo médio do capital de terceiros, empregado em seu negócio, du- rante o ano anterior, reúne em lista todas os emprésti- mos contratados, relacionando valores e respectivas taxas efetivas� Consideremos o quadro seguinte: Número da operação de crédito Valor do contrato (R$) Taxa efetiva anual (%) 1 500�000,00 30,00 2 280�000,00 32,00 3 600�000�00 28,00 4 150�000�00 33,00 Tabela 7: Empréstimos e suas taxas efetivas. Fonte: Elaboração própria. 31 Como há valores diferentes para cada custo anual, é importante que cada um desses valores seja relacio- nado ao respectivo custo anual; parece maisjusto, já que a taxa média a apurar significará o custo mé- dio dos empréstimos contraídos no período� Nesse caso, a taxa média seria representada pela média aritmética ponderada dos custos de empréstimos� Assim, para taxas efetivas anuais i1, i2, i3 e i4 e res- pectivos valores contratados VC1, VC2, VC3 e VC4, a taxa média, assim considerada a média aritmética ponderada das taxas praticadas, seria: Substituindo os números para o problema que se pretende resolver e considerando-se o quadro a se- guir, o resultado seria obtido pela divisão do total D pelo total C, isto é 29,9% a.a. Número da operação de crédito Valor do contrato (R$) (A) Taxa efetiva anual (%) (B) A x B 1 500�000,00 30,00 15�000�000,00 2 280�000,00 32,00 8�960000,00 3 600�000�00 28,00 16�800�000,00 4 150�000�00 33,00 4�950�000,00 ∑ 1�530�000,00 (C) 45�710�000,00 (D) Tabela 8: Empréstimos e suas taxas efetivas e a taxa média. Fonte: Elaboração própria. 32 Viram-se, como prometido, apenas duas possibili- dades para o conceito de taxa média, mas, também como já dito, são possibilidades muito relevantes� Podcast 2 REFLITA Em 1996, a taxa básica de juros chegou a 58,78% e a inflação brasileira, medida pelo IPCA, atingiu 9,56%� A taxa real de juros naquele ano poderia ser considerada estímulo ao empreendedorismo? 33 https://famonline.instructure.com/files/168688/download?download_frd=1 CONSIDERAÇÕES FINAIS A Matemática Financeira é um poderoso instrumento à disposição da sociedade, seja em ambiente cor- porativo ou individual-familiar� Necessariamente, o início do seu estudo deve ocorrer, como aqui se faz, pelo conhecimento de regimes de capitalização e uma boa conversa sobre taxas� Importante é que o exercício dos conhecimentos que já chegaram a você e os que estão por chegar seja ininterrupto e isso não é difícil� Todos os dias, se essa for sua vontade, você poderá analisar pautas para aplicar e desenvolver seus conhecimentos deste componente curricular� Nunca se falou tanto de educação financeira como agora e a Matemática aplicada aos negócios é item imprescindível para que a pretendida educação finan- ceira seja vitoriosa� Você já está no melhor caminho! 34 SÍNTESE MATEMÁTICA FINANCEIRA Regimes de Capitalização e as Taxas de Juros • O Regime de Capitalização simples, de aplicação limitada, mas necessário ao conhecimento; • Capitalização composta, essa, sim, de ampla utilização em todas as esferas comerciais; • Os conceitos e aplicações de taxas nominais e efetivas, além de orientações para reconhecê-las; • Taxas proporcionais e equivalentes, em seus respectivos regimes de utilização – simples e composto; • Taxa aparente e taxa real e seus importantíssimos significados, para a gestão de qualquer negócio, além de aplicáveis às finanças pessoais; • Conceitos e aplicações de taxa acumulada, taxa over e taxa média. Referências Bibliográficas & Consultadas ALVARENGA, D.; SILVEIRA, D. Inflação oficial fica em 0,11% em agosto e em 3,43% em 12 meses� G1, Economia, 06 set� 2019� Disponível em: https:// g1.globo.com/economia/noticia/2019/09/06/infla- cao-oficial-fica-em-011percent-em-agosto-diz-ibge. ghtml� Acesso em: 27 set� 2019� BANCO CENTRAL DO BRASIL. Boletim Focus. Brasília, 18 set. 2019. Disponível em: https://www. bcb.gov.br/content/focus/focus/R20190920.pdf� Acesso em 24 set� 2019� BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplica- da: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel� 4� ed� São Paulo: Cengage Learning, 2015� [Minha Biblioteca]. BREALEY, R. A.; MYERS, S. C.; ALLEN, F. Princípios de finanças corporativas� 12� ed� Porto Alegre: AMGH, 2018. [Minha Biblioteca]. 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