1722358613253Z0opVLTtp (1) (2)

Prévia do material em texto

1)
O modelo postula que um elétron orbita o núcleo devido a forças de atração. Considere um
elétron em uma órbita circular de raio sob a influência de uma força central , onde𝐹 = 𝑘/𝑟2
é uma constante. A força centrípeta necessária para este movimento circular é dada por𝑟
, onde é a massa do elétron e é a frequência circular.𝐹 = 𝑚ω2𝑟 𝑚 ω
A partir das condições de força, podemos escrever a seguinte equação: 𝑚ω2𝑟 = 𝑘/𝑟2
Com isso: ω2 = 𝑘/𝑚𝑟3
Agora, considere um elétron oscilando ao longo do diâmetro da órbita. Para uma pequena
oscilação, a força restauradora é proporcional ao deslocamento, seguindo a lei de Hooke
. Nesta situação, se o elétron se move ao longo do diâmetro, a equação da força se𝐹 =− 𝑘𝑥
torna . A frequência de pequenas oscilações pode ser encontrada usando𝐹 =− 𝑘𝑟
.𝑓
𝑜𝑠𝑐
= 1/(2π) 𝑘/𝑚
Note que, de acordo com o modelo de Thomson, a força detém. Por isso, temos𝐹 =− 𝑘𝑟
. Assim, pode-se concluir que a frequência de𝑓
𝑜𝑠𝑐
= 1/(2π) 𝑘/𝑚 = 1/(2π) 𝑘/𝑚𝑟3
oscilação da direção, , é igual à frequência orbital .𝑓
𝑜𝑠𝑐
𝑓
2)
A ideia principal é usar a abordagem clássica, na qual o elétron oscila dentro de uma
distribuição esférica de carga positiva, e a frequência dessa oscilação determina o
comprimento de onda da radiação emitida.
Frequência: ν = 𝑐
λ
Dados:
Åλ = 6000 = 6000 · 10−10𝑚
𝑐 = 3 · 108 𝑚/𝑠
ν = 3 · 108 𝑚/𝑠
6000 · 10−10𝑚
= 5 · 1014 𝐻𝑧
No modelo de Thomson, a força restauradora no elétron dentro da esfera carregada
positivamente é similar à de um oscilador harmônico. A frequência de oscilação para um
oscilador harmônico é dada por:
ν = 1
π
𝑘
𝑚
Onde 𝑘 é a constante de mola efetiva e 𝑚 é a massa do elétron. Para uma esfera
uniformemente carregada de raio 𝑅 e carga positiva total +𝑒, a constante de mola efetiva 𝑘
pode ser relacionada à distribuição de carga.
Para um átomo de um elétron, podemos aproximar a constante de mola efetiva 𝑘 usando:
𝑘 = 𝑒2
4πϵ
0
𝑅3
Aqui, 𝑒 é a carga elementar e 𝜖0 é a permissividade do espaço livre.
Agora, substituindo 𝑘 na fórmula de frequência: ν = 1
2π
𝑒2
4πϵ
0
𝑚
𝑒
𝑅3
Reorganizando para resolver para 𝑅:
𝑅3 = 𝑒2
4πϵ
0
𝑚
𝑒
(2πν)2
𝑅3 = (1,602 · 10−19)
2
4π · 8,854 · 10−12 · 9,109 · 10−31(2π · 5 · 1014)2
𝑅 =
3 (1,602 · 10−19)
2
4π · 8,854 · 10−12 · 9,109 · 10−31(2π · 5 · 1014)2
𝑅 = 2, 949 · 10−10 𝑚
11)
A constante de Planck, denotada por h, é frequentemente usada na mecânica quântica e está
relacionada com a energia de um fóton através da equação: E = hν
Vamos analisar as dimensões físicas das quantidades envolvidas.
Dimensões da energia (E):
A energia pode ser escrita em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T):
[E] = M L² T⁻²
Dimensões da frequência (ν):
A frequência é o inverso do tempo:
[ν] = T⁻¹
Agora, substituímos as dimensões de E e ν na equação E = hν:
[M L² T⁻²] = [h] [T⁻¹]
[h] = [E] [ν]⁻¹ = (M L² T⁻²)(T) = M L² T⁻¹
Então, as dimensões da constante de Planck são:
[h] = M L² T⁻¹
Dimensões do momento angular:
O momento angular (L) é dado por L = r・p,
As dimensões do vetor posição são:
[r] = L
E as dimensões do momento linear (p) são:
[p] = M L T⁻¹
Portanto, as dimensões do momento angular são:
[L] = [r] [p] = L (M L T⁻¹) = M L² T⁻¹
Comparando as dimensões da constante de Planck com as dimensões do momento angular,
vemos que são idênticas:
[h] = M L² T⁻¹
12)
A força gravitacional entre duas massas m₁ e m₂ separadas por uma distância r é dada pela
Lei da Gravitação Universal de Newton:
Fg = (G・m₁・m₂) / r²
G = 6,67430・10⁻¹¹ N m²/kg² (constante gravitacional)
m₁ = me = 9,10938356・10⁻³¹ kg (massa do elétron)
m₂ = mp = 1,6726219・10⁻²⁷ kg (massa do próton)
r ≈ 5,29・10⁻¹¹ m (raio de Bohr, distância média entre o elétron e o próton no estado
fundamental do átomo de hidrogênio)
Fg = (6,67430・10⁻¹¹・9,10938356・10⁻³¹・1,6726219・10⁻²⁷) / (5,29・10⁻¹¹)²
Fg ≈ (1,021998・10⁻⁶⁷) / (2,799961・10⁻²¹)
Fg ≈ 3,65・10⁻⁴⁷ N
A força eletrostática entre duas cargas q₁ e q₂ separadas por uma distância r é dada pela Lei de
Coulomb:
Fc = (ke・q₁・q₂) / r²
ke = 8,987551787・10⁹ N m²/C² (constante eletrostática)
q₁ = qe = -1,602176634・10⁻¹⁹ C (carga do elétron)
q₂ = qp = 1,602176634・10⁻¹⁹ C (carga do próton)
Fc = (8,987551787・10⁹・1,602176634・10⁻¹⁹)² / (5,29・10⁻¹¹)²
Fc ≈ (2,3070775・10⁻²⁸) / (2,799961・10⁻²¹)
Fc ≈ 8,238・10⁻⁸ N
Comparação das Forças:
Fc / Fg = 8,238・10⁻⁸ / 3,65・10⁻⁴⁷ ≈ 2,26・10³⁹
A força eletrostática entre o elétron e o próton é cerca de 10³⁹ vezes maior que a força
gravitacional entre eles. Portanto, temos razão ao ignorar a força gravitacional ao analisar a
interação entre o elétron e o próton no átomo de hidrogênio, pois a força gravitacional é
insignificante em comparação com a força eletrostática.
13)
A energia total E de um elétron em um átomo de hidrogênio no modelo de Bohr é a soma da
energia cinética T e da energia potencial V:
E = T + V
No modelo de Bohr, a energia cinética do elétron é igual em magnitude e oposta em sinal à
metade da energia potencial:
T = -V/2
A energia potencial de um elétron em uma órbita de raio r em torno do núcleo é dada por:
V = -e²/(4πε₀r)
Portanto, a energia total E é: E = -e²/(8πε₀r)
No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado: L = nħ
onde n é um número inteiro (número quântico principal) e ħ é a constante de Planck reduzida
(ħ = h/2π).
O momento angular também pode ser escrito como: L = mₑvr
Combinando essas duas expressões:
mₑvr = nħ
Da expressão para a energia total E e a quantização do momento angular, podemos encontrar
uma relação para o raio r:
r = (n²ħ²4πε₀)/(mₑe²)
A frequência de revolução v é a frequência com que o elétron orbita o núcleo. A velocidade
angular ω é dada por:
ω = v/r
Usando a relação do momento angular quantizado:
v = (nħ)/(mₑr)
Substituindo o valor de r da relação acima:
v = (nħ)/(mₑ(n²ħ²4πε₀)/(mₑe²)) = (mₑe⁴)/(n³ħ³(4πε₀)²)
Frequência em Termos da Energia:
A frequência de revolução v pode ser escrita em termos da energia total E. Sabemos que a
energia total do elétron é quantizada:
E = -mₑe⁴/(2n²ħ²(4πε₀)²)
Assim, podemos expressar v em termos de E :
v = (mₑe⁴)/(n³ħ³(4πε₀)²) = 2|E |/h
Já que h = 2πħ, obtemos:
v = 2|E |/(hn)
Portanto, mostramos que a frequência de revolução de um elétron no modelo de Bohr para o
átomo de hidrogênio é dada por:
v = 2|E|/(hn)
15)
(a)
No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, o elétron se move em uma órbita circular ao
redor do núcleo com uma velocidade que pode ser determinada usando a quantização do
momento angular. O momento angular do elétron é dado por:
L = nħ
Para o estado fundamental (n = 1), temos:
L = ħ
A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é proporcionada pela força eletrostática
entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática é dada por:
F = e² / (4πε₀r²)
A força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita é:
F = mv² / r
Igualando essas duas expressões, temos:
e² / (4πε₀r²) = mv² / r
e² / (4πε₀r) = mv²
A velocidade do elétron, v, pode ser isolada:
v = √[e² / (4πε₀mr)]
Agora, usamos a relação entre o raio da órbita e a constante de estrutura fina, α. A constante
de estrutura fina é definida como:
α = e² / (4πε₀ħc)
O raio da órbita de Bohr para o estado fundamental é:
r = (4πε₀ħ²) / (me²)
Substituindo o valor de r na expressão para v, obtemos:
v = √[(e² / (4πε₀m))・(me² / (4πε₀ħ²))]
v = (e² / (4πε₀ħ))
Usando a definição de α, obtemos: v = αc
Portanto, a velocidade do elétron no estado fundamental é dada por v = αc, onde α é a
constante de estrutura fina e c é a velocidade da luz.
(b)
A constante de estrutura fina α é aproximadamente igual a 1/137, um valor pequeno. Isso
indica que a velocidade do elétron no estado fundamental é muito menor que a velocidade da
luz, uma vez que v = αc.
Dado que α é pequeno, podemos concluir que os efeitos relativísticos, que se tornam
significativos quando as velocidades se aproximam da velocidade da luz, são desprezíveis
para o elétron no átomo de hidrogêniono estado fundamental. Portanto, o tratamento não
relativístico usado por Bohr é uma boa aproximação para descrever o comportamento do
elétron no átomo de hidrogênio nesse estado.
16)
Comece calculando a diferença de energia. De acordo com a fórmula de Balmer, a energia de
um elétron no nível n do hidrogênio é dada por E em eV. A diferença de energia (ΔE)
quando o elétron transita do 10º estado (E₁₀) para o estado fundamental (E₁) é dada por:
ΔE = E₁₀ - E₁
Converta essa energia em Joules (1 eV = 1.602・10⁻¹⁹ Joules):
ΔE (J) = ΔE (eV)・1.602・10⁻¹⁹ J
Em seguida, calcule o comprimento de onda do fóton. De acordo com a equação de Planck, a
energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda (λ) pela fórmula:
E = hc / λ
onde h é a constante de Planck (6.626・10⁻³⁴ J.s) e c é a velocidade da luz (3・10⁸ m/s).
Rearranjando para λ, a fórmula se torna:
λ = hc / E
Substituindo os valores na fórmula, obtemos:
λ = (6.626・10⁻³⁴ J.s・3・10⁸ m/s) / ΔE (J)
O resultado será em metros (m) ou, mais precisamente, em 92 nm.
Agora, determine o momento do fóton. De acordo com a relação de de Broglie, o momento p
de uma partícula pode ser calculado usando a fórmula:
p = h / λ
Substituindo os valores conhecidos, obtemos:
p = 6.626・10⁻³⁴ J.s / λ (m)
Velocidade de recuo
pₐ ₒ ₒ = -pₓₒ
Assim, se M é a massa do átomo de hidrogênio e v é sua velocidade de recuo, temos:
Mv = -p
E a velocidade de recuo v pode ser encontrada por:
v = p / M
p = h / λ
p = (6.626・10⁻³⁴ J.s) / (92・10⁻⁹ m)
p = 7.2・10⁻²⁷ Kg.m/s
v = (7.2・10⁻²⁷ Kg.m/s) / (1.67・10⁻²⁷ kg)
v ≈ 4.31 m/s
23)
Os níveis de energia do hidrogênio são dados pela fórmula En = -13,6 eV / n², onde n é o
número quântico principal.
A transição corresponde a um comprimento de onda de 1216 Å.
A energia correspondente é E = hc / λ.
Para λ = 1216 Å (ou 121,6 nm), E = (4,135667696・10⁻¹⁵ eV s・3・10⁸ m/s) / (121,6・10⁻⁹ m) =
10,2 eV.
Identificação da Transição:
O nível inicial ni = 2 e o nível final nf = 1.
A energia para ni = 2 é E2 = -13,6 eV / 4 = -3,4 eV.
A energia para nf = 1 é E1 = -13,6 eV.
Confirmação da Transição:
A diferença de energia entre ni = 2 e nf = 1 é ΔE = E1 - E2 = -13,6 eV - (-3,4 eV) = -10,2 eV.
Portanto, a transição de n = 2 para n = 1 resulta na emissão de um fóton com energia de 10,2
eV, que corresponde ao comprimento de onda de 1216 Å.
26)
De acordo com o modelo de Bohr, a energia de um elétron em uma órbita específica é dada
por En = -13,6・Z² / n² eV, onde n é o número quântico principal, Z é o número atômico e E é
a energia do nível. O hélio tem número atômico 2, então usamos essa fórmula com Z = 2 para
o hélio.
Calcular a diferença de energia para a transição do elétron entre os níveis de energia. A
diferença de energia ΔE é dada por ΔE = Efinal - Einicial.
Identificar os Níveis de Transição
Vamos supor que o elétron é capturado no primeiro nível de energia n = 1, a partir de um
nível n. A energia no nível n = 1 será E1 = -13,6・2² / 1² (já que Z = 2), e em qualquer outro
nível será En = -13,6・2² / n².
Aplicar a Relação Energia-Comprimento de Onda
A relação energia-comprimento de onda da equação de Planck, que é E = h・c / λ, onde h é a
constante de Planck (6,626・10⁻³⁴ m²・kg / s), c é a velocidade da luz (3,0・10⁸ m/s), e λ é o
comprimento de onda.
Resolver para o Comprimento de Onda
Para calcular o comprimento de onda do fóton emitido (λ), use a fórmula: λ = h・c / ΔE.
Agora, usando ΔE = E1 - En, a fórmula pode ser expandida para λ = h・c / (E1 - En).
O comprimento de onda do fóton único emitido (λ) pode ser encontrado usando a equação λ
= h・c / (E1 - En). O elétron é capturado no primeiro nível de energia (n = 1). O espectro do
átomo de hélio ionizado uma vez será semelhante ao do hidrogênio, mas terá quatro vezes a
energia devido ao aumento no número atômico (Z = 2) no caso do hélio, comparado a (Z = 1)
no caso do hidrogênio.
27)
O modelo de Bohr fornece uma maneira de calcular os níveis de energia dos elétrons em um
átomo. Para um íon parecido com o hidrogênio (que inclui o hélio ionizado, He⁺), a energia
do elétron no nível de energia n é dada por:
E(n) = - (Z²・13,6 eV) / n²
onde:
Z é o número atômico do elemento.
n é o número quântico principal do elétron.
13,6 eV é a energia de ionização do hidrogênio.
Para o hélio ionizado (He⁺):
Z = 2 (pois o hélio tem número atômico 2).
A energia necessária para remover um elétron do estado fundamental (onde n = 1) é a
diferença de energia entre o estado fundamental e n = ∞ (que é zero energia, pois o elétron
está completamente removido do átomo).
Portanto, a energia necessária para remover o elétron de He⁺ no estado fundamental é:
E(1) = - (2²・13,6 eV) / 1² = - 4・13,6 eV = - 54,4 eV
Portanto, a energia necessária para remover um elétron de um átomo de hélio ionizado é 54,4
eV.
30)
(a)
O íon de hélio He+ tem um único elétron, assim como o hidrogênio. A série de Balmer no
hidrogênio corresponde a transições para o nível n = 2. A primeira linha da série de Balmer
(H-α) ocorre na transição de n = 3 para n = 2.
Para o íon de hélio He+, a transição que resulta em um comprimento de onda similar à linha
H-α ocorre entre os mesmos níveis de energia: de n = 3 para n = 2.
(b)
O comprimento de onda da radiação emitida por uma transição em um íon é determinado pela
diferença de energia entre os níveis envolvidos. Para um íon como He+, que possui uma
carga nuclear maior que o hidrogênio, a energia dos níveis de energia será maior.
Para o hidrogênio:
En = -13.6 eV・(1 / n²)
Para o íon de hélio (He+):
En = -13.6 eV・(Z² / n²)
Onde Z = 2 para o íon de hélio.
Assim, a energia de transição no íon de hélio é maior do que no hidrogênio, resultando em
um comprimento de onda menor, já que a energia é inversamente proporcional ao
comprimento de onda:
E = hc / λ
(c) Calcule a diferença entre os comprimentos de onda
Para calcular os comprimentos de onda, precisamos primeiro calcular as energias de transição
para ambos:
Hidrogênio (H-α):
ΔEH = 13.6 eV・(1/2² - 1/3²) = 13.6 eV・(1/4 - 1/9) = 1.89 eV
O comprimento de onda é:
λH = hc / ΔEH
Onde h = 4.1357・10-15 eV・s e c = 3・108 m/s.
Íon de hélio (He+):
ΔEHe = 13.6 eV・4・(1/2² - 1/3²)
ΔEHe = 4・1.89 eV = 7.56 eV
O comprimento de onda é:
λHe = hc / ΔEHe
Calculando os comprimentos de onda:
Para o hidrogênio:
λH = (4.1357・10-15・3・108) / 1.89 = 6.56・10-7 m = 656 nm
Para o íon de hélio:
λHe = (4.1357・10-15・3・108) / 7.56 = 1.64・10-7 m = 164 nm
Diferença entre os comprimentos de onda: Δλ = λH - λHe = 656 nm - 164 nm = 492 nm
31)
(a)
A série de Pickering no espectro do hélio ionizado (He+) ocorre quando um elétron transita
para o nível n = 4 a partir de níveis de maior energia (n > 4). A fórmula para os
comprimentos de onda (λ) das linhas espectrais dessa série é derivada da fórmula de Rydberg,
adaptada para íons com carga Z:
1/λ = RH・Z²・(1/4² - 1/n²)
onde:
RH é a constante de Rydberg para o hidrogênio (RH ≈ 1.097 × 10⁷ m⁻¹),
Z é a carga do núcleo. Para He⁺, Z = 2,
n é o número quântico principal do nível inicial, que pode ser qualquer inteiro maior que 4.
Para o He⁺, a fórmula se torna:
1/λ = RH・4・(1/16 - 1/n²)
(b)
Para determinar a região do espectro, é útil calcular alguns comprimentos de onda específicos
da série. O limite da série ocorre quando n → ∞, e o menor comprimento de onda
corresponde ao maior valor de energia.
Vamos calcular o comprimento de onda para n = 5 como exemplo.
1/λ = RH・4・(1/16 - 1/25)
1/λ = RH・4・(25 - 16) / 400
1/λ = RH・4・9 / 400
1/λ = RH・36 / 400
1/λ = RH・0.09
λ = 1 / (RH・0.09)
Usando RH ≈ 1.097 × 10⁷ m⁻¹:
λ ≈ 1 / (1.097 × 10⁷・0.09)
λ ≈ 1.012 × 10⁻⁷ m
λ ≈ 1012 Å
Como os valores de n aumentam, os comprimentos de onda diminuem, mas permanecem na
região ultravioleta.
Portanto, a série de Pickering do He⁺ está na região ultravioleta do espectro eletromagnético.
(c)
O limite da série ocorre quando n → ∞:
1/λlimite = RH・4・(1/16)
1/λlimite = RH・4 / 16
1/λlimite = RH / 4
λlimite = 4 / RH
Usando RH ≈ 1.097 × 10⁷ m⁻¹:
λlimite≈ 4 / (1.097 × 10⁷)
λlimite ≈ 3.643 × 10⁻⁷ m
λlimite ≈ 3643 Å
(d)
O potencial de ionização é a energia necessária para remover um elétron do nível
fundamental (n = 1) para o infinito. Para He⁺, usando a fórmula da energia dos níveis de Bohr
adaptada para íons:
En = - (Z²・RH・h・c) / n²
Para o nível fundamental (n = 1, Z = 2):
E1 = - (4・RH・h・c)
Sabemos que a energia de ionização do hidrogênio é 13.6 eV. Para He⁺:
E1 = - 4・13.6 eV
E1 = - 54.4 eV
Portanto, o potencial de ionização do He⁺ no estado fundamental é 54.4 eV.