Momentos de Inércia e Centróide

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Capítulo 5: 
Torção
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Qx = y dA (mm3) Qy = x dA (mm3)
Momento estático da área A
 
A A
• Considerando a figura ao 
lado, é possível notar que, 
dependendo da posição 
dos eixos coordenados, 
cada uma das integrais 
pode ser positiva, negativa 
ou nula.
Considerando a área A situada no plano xy; se x e y forem
coordenadas de um elemento de área dA teremos o momento
estático da área A, em relação aos eixos x e y, como a integral:
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• Considerando que o momento estático é a integral de xdA ou ydA, vemos
que a centróide pode ser definida como o ponto C de coordenadas x e y 
que satisfazem as seguintes relações:
A . x = x dA A . y = y dA
Centróide da área A
• Os momentos estáticos da área A podem ser 
expressos como o produto da área pelas 
coordenadas de sua centróide.
A . x = Qy
A . y = Qx
 
A A
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• Quando uma área possui um eixo 
de simetria, o momento estático da 
área em relação ao eixo de simetria 
é zero. Assim sendo, se uma área 
possui um eixo de simetria, sua 
centróide se localiza nesse eixo. 
Centróide da área A
• Como um retângulo ou
uma área circular 
possuem dois eixos de 
simetria, o centróide
coincidirá com seu centro
geométrico.
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Cálcule o momento estático da figura abaixo, em relação aos eixos x e y.
Exemplo 5.0
Qy = A . x logo: Qy = (b.h).(b/2) = (h.b2) / 2
Qx = A . y logo: Qx = (b.h).(h/2) = (b.h2) / 2
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Determinar, para a área triangular ao lado:
a) O momento estático Qx da área em relação ao eixo x.
b) A ordenada y do centróide da área.
Exemplo 5.1
a) Momento estático Qx
Sendo o momento estático solicitado em relação à x, escolhemos como 
elemento de área, uma faixa horizontal de comprimento u e espessura dy.
Por semelhança de triângulo, temos:
(u / b) = (h – y) / h logo: u = b [(h-y)/h]
dA = u dy = b*[(h-y)/h] dy
Qx = y dA
A
Qx = y dA
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Exemplo 5.1
O momento estático da área em relação ao eixo x é:
0
h

A
Qx = y dA = y* {b [(h-y)/h)]} dy = b/h (hy – y2) dy
= b/h [h (y2 / 2) - y3 / 3)] logo: Qx = (bh2) / 6
0
h

0
h
b) Ordenada do centróide:
Qx = A . y logo: Qx = (bh2) / 6 = [(b.h) / 2] . y
Finalizando: y = h / 3
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• Para o desenho ao lado, temos 
que F = m.a, e F = m dv/dt.
• Sendo v = ώ * R → F = 
m*R*dώ/dt.
• Se multiplicarmos os dois lados 
por R, temos: R*F = 
m*R2*dώ/dt.
• Onde R*F é o Torque e,
• m*R2 = Momento de Inércia, o 
qual varia com o quadrado da 
distância, que, para 
coordenadas polares é o Raio.
Momento de Inércia da área A
Momento de Inércia é o 
grau de dificuldade em se 
alterar o estado de 
movimento de um corpo.
A forma Polar é utilizada 
quando se quer analisar 
barras sob torção.
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Momento de Inércia da área A
• Considerando a figura ao lado, o momento 
retângular de inércia da área A em relação ao 
eixo x e o momento de inércia de A em relação 
ao eixo y são definidos respectivamente como: 
• O Momento de Inércia Polar em relação ao
ponto O, pode ser definido como:
Jo = ρ2 dA
A
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Relação entre os momentos de inércia
• Sendo o triângulo retângulo xyp, considerando pitágoras, é 
possível afirmar que ρ2 = x2 + y2 , ficando o Momento de 
Inércia Polar como:
Jo = ρ2 dA e Jo = (x2 + y2) dA e Jo = y2 dA + x2 dA 
logo: Jo = Ix + Iy

A

A

A

A
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Determinar, para a área circular indicada na figura, o Momento Polar de Inércia (Jo) 
e os Momentos Retângulares de Inércia (Ix e Iy).
Exemplo 5.2
a) Momento de Inércia Polar Jo
Vamos adotar como elemento de área um anel (2¶) de raio ρ (2¶ρ) e 
espessura dρ. Uma vez que todos os pontos do anel estão à mesma 
distância ρ do ponto O, temos o momento de inércia polar dado por:
dJo = ρ2 dA onde dA = (2*¶*ρ dρ)
Integrando na variável ρ de O até c, encontramos:
= ρ2 (2*¶*ρ dρ) = 2*¶ * ρ3 dρ finalizando: Jo = (¶.c4) / 2Jo = ρ2 dA
A
0
c

0
c

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Determinar, para a área circular indicada na figura, o Momento Polar de Inércia (Jo) 
e os Momentos Retângulares de Inércia (Ix e Iy).
Exemplo 5.2
b) Momento de Inércia Retangulares
Devido à simetria da área circular, temos Ix = Iy.
Se Jo = Ix + Iy temos que: Jo = 2*Ix onde Jo = (¶*c4) / 2
logo: (¶*c4) / 2 = 2*Ix finalizando: Ix = Iy = (¶.c4) / 4
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• Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça,
• Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,
4
2
cJ

=
( )44
2
io ccJ −=

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Se o momento de torção T tem um valor tal que as tensões de cisalhamento estão 
abaixo das tensões de escoamento, é possível aplicar a Lei de Hooke.
Nesse caso as tensões estão dentro do limite de proporcionalidade e abaixo do 
limite de elasticidade.
Considerando as afirmações acima e a variação de tensão ao longo da seção 
transversal de um tubo, é possível afirmar que:
( ) máx c=
Torque e Tensão no regime Elástico
( )
máx
 c2
=
min
c1
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu 
eixo longitudinal.
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Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em 
uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao 
longo de qualquer linha radial na seção transversal.
J
T
J
Tc 
 == ou máx
= tensão de cisalhamento máxima no eixo (MPa)
= tensão de cisalhamento no ponto ρ (MPa)
= torque interno resultante (N.mm)
= momento polar de inércia da área da seção 
transversal (mm4)
= raio externo do eixo (mm)
= distância intermediária (mm)
máx

T
J
c

A fórmula da torção
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. 
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O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A (ρ = c = 75 mm) e B (ρ = 15 mm) 
localizados na seção a–a do eixo.
Exemplo 5.4
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Solução:
Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
mmkN 250.10000.3250.4 ;0 ==−−= TTM x
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
( )( )
(Resposta) MPa 377,0
1097,4
15250.1
7
=

==
J
Tc
B
O momento polar de inércia para o eixo é
( ) mm 1097,475
2
74
==

J
4
Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm,
( )( )
(Resposta) MPa 89,1
1097,4
75250.1
7
=

==
J
Tc
B A
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• Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
• Onde: P (Joule / s = N*m / s = watt); T (N*m); ω = s-1
• Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
• Para um ciclo, a equação da potência é:
• Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro 
geométrico é:
dtdTP / é eixo doangular e velocidada onde  ==
f 2rad 2ciclo 1 == fTP 2=
adm
T
c
J
=
Transmissão de potência
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Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual 
está acoplado. Se o eixo girarcom f = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo 
com precisão de mm.
Exemplo 5.5
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Solução:
O torque no eixo é
Nm 6,204
60
2175
750.3 =




 
=
=
TT
TP


Assim,
( )( )
( )
mm 92,10
100
000.16,20422
2
3/13/1
adm
adm
4
=





=







=
==



T
c
T
c
c
c
J
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu 
eixo longitudinal.
• O ângulo de torção aumenta a medida que X aumenta.
Deformação por torção de um eixo circular
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Φ = ângulo de torção
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
Ângulo de torção
JG
TL
=
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• Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos
• Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
• A convenção de sinal é determinada pela regra 
da mão direita.
• Sentido saindo do eixo = positivo.
( )
( )=
L
GxJ
dxxT
0

Φ = ângulo de torção
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
JG
TL
=
Ângulo de torção
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Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. 
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o 
torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos 
mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 
20 mm.
Exemplo 5.8
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Solução:
Do diagrama de corpo livre,
( ) ( ) Nm 5,22075,0300
N 30015,0/45
==
==
xDT
F
O ângulo de torção em C é
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0269,0
1080001,02
5,15,22
94
+=
+
==


JG
TLDC
C
Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas, seus deslocamentos 
tangenciais, no engrenamento, devem ser iguais. (r*Ø = constante)
( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 =B
Ou: (Td / 75) = (45 / 150) = 22,5 Nm 
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Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB 
causada pelo torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0716,0
1080010,02
245
94/ +=
+
==


JG
LT ABAB
BA
A rotação da extremidade A é portanto
(Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA 
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• A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção 
transversal não circular são:
Eixos maciços não circulares
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O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um 
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à 
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o 
ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad. 
Qual é a intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção 
transversal circular feito com a mesma quantidade de material? Gal = 26 GPa.
Exemplo 5.13
Para os dois casos, avaliar pela 
restrição de ângulo e pela tensão 
admissível.
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Solução:
Por inspeção, o torque interno resultante em qualquer seção 
transversal ao longo da linha central do eixo também é T.
Por comparação, o torque é limitado 
devido ao ângulo de torção.
( )( )
( ) 
(Resposta) Nm 12,24
102640
102,146
,020 ;
46
Nm 2,779.1
40
20
56 ;
20
34
3
al
4adm
33adm
===
===
T
T
Ga
T
T
T
a
T


Ø
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( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( ) 
(Resposta) Nm 10,33
102685,142/
102,1
02,0 ;
Nm 06,288
85,142/
85,14
56 ;
34
3
al
adm
4adm
===
===
T
T
JG
TL
T
T
J
Tc




Para seção transversal circular, temos
( )( ) mm 85,1460sen4040
2
1
 ; 2
triângulocírculo === ccAA 
As limitações de tensão e ângulo de torção exigem
Novamente, o ângulo de torção limita o torque aplicado.
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• O fator de concentração de tensão por torção, K, é usado para simplificar 
a análise complexa da tensão.
• A tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação:
J
Tc
K=máx
Concentração de tensão
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O eixo em degrau está apoiado nos mancais em A e B. Determine a tensão máxima 
no eixo resultante dos torques aplicados. O filete na junção de cada eixo tem raio 
r = 6 mm.
Exemplo 5.18
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Solução:
Por inspeção, o equilíbrio de momento em torno da central do eixo é satisfeito. 
( )
( ) ( )
15,0
202
6
 ;2
202
402
====
d
r
d
D
( )
( )( )
(Resposta) MPa 10,3
020,02
020,030
3,1
4máx =





==


J
Tc
K
O fator de concentração de tensão pode ser determinado pela geometria do eixo:
Assim, K = 1,3 e a tensão máxima é