EBOOK UNIDADE 2 RESMAT IBMR

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
CARGA AXIAL, TORÇÃO ECARGA AXIAL, TORÇÃO E
FLEXÃOFLEXÃO
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Nesta unidade apresentaremos conceitos de esforços, dentro de um contexto
prático. A Resistência dos Materiais está sempre preocupada em fornecer a
base para que engenheiros possam projetar com cautela os elementos,
sistemas e estruturas que estão sob efeitos de cargas, que podem ser de
diversas naturezas. Nesse sentido, a natureza de alguns esforços começa a
ser tratada como carregamentos axiais, torção e �exão, que são tópicos desta
unidade. Com o conteúdo abordado nesta unidade, você será capaz de atuar
com autonomia, correlacionando diretas com aplicações de engenharia e do
dia a dia. Além disso, esses conceitos servirão de base para estudos mais
avançados dentro da resistência dos materiais.
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Caro aluno, existem vários exemplos de elementos carregados axialmente,
como membros de suporte, hastes de conexão em motores, aros em rodas de
bicicleta, colunas em prédios, elementos como molas, cabos e barras
prismáticas.
O grande problema de elementos carregados axialmente é a determinação de
sua deformação, como o alongamento, encurtamento e deslocamento
causado pelos carregamentos axiais.
Nesse sentido, suponha que um elemento carregado axialmente tem o efeito
de diminuir em seções mais afastadas das extremidades, conforme a Figura
2.1.
Carga AxialCarga Axial
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Como podemos observar, as deformações se nivelam e tornam-se uniformes
em toda a seção média da barra. A tensão no interior da barra será
distribuída uniformemente por toda a área da seção transversal (afastado do
ponto de aplicação da carga externa). A seção a-a, próxima da extremidade e
do carregamento, possui �echas que indicam vetores de força de intensidade
média que, por sua vez, são distribuídas de forma não uniforme. A seção b-b,
mais afastada da extremidade que a seção a-a, mostra uma diminuição na
intensidade média das �echas e a discrepância na distribuição de
intensidades é menor do que em a-a. Já a seção c-c, mais afastada da
extremidade do que   a seção b-b, tem um per�l de distribuição de
intensidades uniforme.
A distância mínima entre a extremidade e dita seção transversal é igual à
maior dimensão da seção transversal carregada, isso não é regra geral.
Princípio de Saint-Venant
Figura 2.1 - Barra submetida a carga axial
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 91).
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O Princípio de Saint-Venant a�rma que:
Efeitos localizados ou causados por cargas que agem no corpo são
dissipados em regiões, su�cientemente, afastadas do ponto de
aplicação;
A tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo
su�cientemente distantes da região de aplicação de carga e de
vínculos serão iguais às tensões e deformações produzidas por
qualquer carregamento aplicado, que possua a mesma resultante
estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da
mesma região.
Molas Submetidas a Cargas Axiais
A mola submetida a carregamentos axiais é analisada observando os
seguintes princípios:
É feita de um material elástico linear;
O material resiste à tração e compressão;
A constante de rigidez k , que é de�nida como a força necessária para
produzir uma unidade de alongamento;
f é a �exibilidade (também chamada de compliância) de�nida como o
alongamento produzido por uma carga unitária.
Dessa forma, temos as seguintes equações, eq. 1.1 de força necessária
aplicada a uma mola para alongá-la a um valor , eq. 1.2 de uma deformação
causada por uma força P e eq. 1.3 que resulta na rigidez de uma mola.
 (eq. 1.1)   (eq. 1.2)     (eq. 1.3)
Cabos Sujeitos a Cargas Axiais
Cabos são utilizados para transmitir cargas de tração e não resistem à
compressão. Além disso, eles têm pouca resistência à �exão. Um cabo é
composto de um grande número de �os que são entrelaçados, a �m de obter
δ
P   =  kδ δ  =  fP k  = 1
f
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con�gurações diferentes. A área transversal (ou efetiva) é menor que a área
de um círculo com o mesmo diâmetro que o cabo, portanto, o módulo de
Young também é menor do que o material do qual ele é feito.
Barras Prismáticas Sujeitas a Cargas Axiais
Por sua vez, barras prismáticas são elementos estruturais como eixos
longitudinais retilíneos com uma seção transversal que seja constante ao
longo de seu comprimento e resistem tanto à tração quanto à compressão. As
seções transversais possuem diversos tipos diferentes de geometrias,
podendo ser ou não vazadas, com seções circulares e retangulares em I.
Nas barras prismáticas, uma carga denominada P age no centroide da seção.
Logo, aplicando o conceito da tensão média ( ), temos que a força P age
sobre uma área A , conforme eq. 1.4. Como o material é homogêneo,
podemos aplicar o conceito da deformação média, conforme a eq. 1.5, em
que é o alongamento e é a deformação média. E, como o material é
elástico linear, aplicamos a lei de Hooke, que relaciona a tensão com a
deformação e o módulo de elasticidade, observe na �gura eq. 1.6.
(eq. 1.4)     (eq. 1.5)   (eq. 1.6)
A determinação da deformação elástica de uma barra carregada axialmente é
calculada utilizando o seguinte conceito:
Nesse sentido, existem  4 casos de barras prismáticos carregadas axialmente:
Variações contínuas de cargas e dimensões;
Seção transversal e força externas constantes;
Carregamento axial em ponto intermediário;
Segmentos prismáticos.
σm dé
δ εm dé
  =  σm dé
P
A
  =  εm dé
δ
L
= Eσm dé εm dé
δ =  
PL
AE
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Convenção de sinais: P e δ são positivos em casos de tração e alongamento,
eles são negativos apenas em casos de compressão e contração.
1.4.1 Procedimento de análise
O deslocamento relativo entre dois pontos, A e B, em um componente sujeito
a uma carga axial pode ser determinado com uso do princípio de Saint-Venant
e a Lei de Hooke, conforme a equação a seguir.
Determinação da força axial interna: método das seções para
determinar a força interna P(x) em relação a uma extremidade e
esboço do diagrama de força normal.
Determinar o deslocamento relativo : especi�car a força interna
P(x) e o módulo elástico, em cada segmento; atribuir o sinal para P(x)
conforme a convenção; calcular as deformações, da extremidade A
em relação à B e do ponto A em relação ao ponto �xo B.
Exemplo 1
Uma barra de aço feita de aço A-36 é composta por dois segmentos, AB e BD,
com áreas de seção transversal AB = 600 mm² e BD = 1200 mm². Nesse caso,
precisamos determinar o deslocamento vertical da extremidade A e o
deslocamento de B em relação a C.
δ =  
PL
AE
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Este caso, se trata de segmentos prismáticos, com vários segmentos, carga
axial variável e áreas de seção transversal variáveis. O material é homogêneo,
com E = 210 GPa.As cargas internas são calculadas utilizando o método das seções e as
equações de equilíbrio.
Figura 2.2 - Barra submetida a cargas axiais
Fonte: Elaborada pelo autor.
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1. Deslocamento vertical da extremidade A (deslocamento de A em
relação ao apoio �xo D).
2. Deslocamento da extremidade B em relação a C.
= +0,1042 mm
Figura 2.3 - Seções da barra
Fonte: Elaborada pelo autor.
= = = + +δA δA/D ∑3
i=1 δi δ1 δ2 δ3
= = ( + + )δA ∑3
i=1
PiLi
EAi
1
E
PABLAB
AAB
PBCLBC
ABC
PCDLCD
ACD
=   + 0, 6101 mmδA
=δB/C δ2
=δB/C
PBCLBC
ABC
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Deformações Elásticas, Inelásticas e
Térmicas
As Deformações Elásticas
Essas deformações são regidas pela Lei de Hooke, no regime elástico. Um
exemplo de deformação elástica é aquele que ocorre em uma mola, que
quando sujeita à uma força F, ela sofre deformação. Porém, quando a força F
é removida, a mola volta a sua posição inicial.
As Deformações Inelásticas ou Plásticas
São aquelas em que não há capacidade de recuperação ao estado geométrico
inicial. Suponha que um cilindro é sujeito a uma força compressiva axial F . O
cilindro sofre deformações que vão além da deformação na direção da força
de compressão. Nesses casos, a lei de Hooke não se aplica.
As Deformações Térmicas
Elas ocorrem quando uma mudança na temperatura provoca alterações nas
dimensões do material. O aumento de temperatura tende a gerar uma
expansão do material e uma diminuição tende a gerar uma contração no
corpo. Considerando um material homogêneo e isotrópico, podemos calcular
a deformação de um elemento com comprimento L por meio da fórmula a
seguir.
Em que, α é o coe�ciente linear de expansão térmica, intrínseco ao material,
∆T é a variação de temperatura do elemento e L é o comprimento inicial do
elemento.
= αΔTLδT
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praticar
Vamos Praticar
Há uma barra sob carga axial compressiva de P = - 150 kN e uma área transversal A
= 700 mm². Considere que o módulo elástico do material é E = 210 GPa, e seu
comprimento inicial L=70 mm. Calcule, utilizando o princípio de Saint-Venant e a lei
de Hooke, a deformação que o corpo sofrerá. Assinale a alternativa correta.
a) +0,0902 mm.
b) -1,0421 mm.
c) -0,0714 mm.
d) -0,0695 mm.
reflita
Re�ita
Por exemplo, se um eixo for submetido a um tratamento
térmico a altas temperaturas (> 1000 °C), ele sofrerá
deformações térmicas expansivas. Se um eixo precisa de um
dimensionamento especí�co e tem uma tolerância de
, que cuidados o projetista, o técnico e o
executor da tarefa devem ter? Pense no projeto como um
todo, desde seu desenho até as condições de resfriamento da
peça, após ser retirada do forno.
Fonte: Elaborado pelo autor.
±0, 02 mm
=δ
=δ
=δ
=δ
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e) -0,0847 mm.=δ
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A Torção é o efeito de rotação que o eixo longitudinal de uma peça sofre
quando ela é solicitada por momentos/torques.
Torque ( T ) é o momento de rotação de um determinado corpo em torno de
seu eixo longitudinal. O sentido do momento de torção é indicado pela regra
da mão direita .
TorçãoTorção
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A torção pura é o tipo de torção que ocorre em peças que apresentam seção
transversal idêntica ao longo de todo o seu eixo longitudinal, que são sujeitas
ao mesmo torque interno. Nesse material, abordaremos casos de torção
pura.
Figura 2.4 – Regra da mão direita mostrando sentido do Torque
Fonte: Adaptada de Udaix / 123RF.
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Figura 2.5 - Deformação de um eixo gerada por Torque
Fonte: Elaborada pelo autor.
Considerando um elemento longo com seção transversal circular, como um
eixo, é importante o estudo do efeito do torque nesse tipo de componente,
pois ele tem aplicação em muitos mecanismos dentro da engenharia.
saiba mais
Saiba mais
Caro aluno, o artigo a seguir mostra como a
torção é aplicada em estudo da aplicação
biomédica, comparando diversos tipos de
implantes odontológicos submetidos a
torção e subsequente avaliação de suas
propriedades. Acesso o artigo e saiba mais
sobre o torque.
ACESSAR
http://revodonto.bvsalud.org/pdf/rfo/v19n1/a10v19n1.pdf
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Se aplicarmos um torque na extremidade de um eixo que esteja preso na sua
outra extremidade, como mostrado na �gura a seguir, obteremos um ângulo
formado entre uma linha radial localizada em uma seção transversal do eixo,
antes e depois da deformação gerada pelo torque. Esse ângulo é denominado
ângulo de torção ϕ, veja na Figura 2.6, ele variará ao longo do comprimento
x do eixo.
Figura 2.6 - Deformação de uma barra presa em uma extremidade
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse sentido, é importante ressaltar que quando o ângulo de rotação entre
as extremidades da barra é pequeno, o comprimento da barra e o raio da
seção transversal permanecem inalterados, mesmo depois da deformação.
Se analisarmos somente um elemento isolado da barra da Figura 2.7 sendo
torcido, veremos que devido a diferença de deformações entre a face anterior
e posterior do elemento, ele �cará em cisalhamento puro.
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Figura 2.7 - Elemento sendo deformado por torção
Fonte: Hibbeler (2010, p. 139).
A deformação por cisalhamento ( γ ) no interior do eixo varia de forma
linear ao longo de qualquer linha radial, de zero na linha central do eixo até
um valor máximo ( γ máx) em seu contorno externo . A deformação por
cisalhamento em qualquer ponto da linha radial (ρ) pode ser obtida por meio
da equação:
Obs.: essa fórmula só pode ser utilizada em tubos circulares.
Fórmula de Torção
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria um torque interno
correspondente no interior do eixo.
Se o material for linear elástico, homogêneo, então a lei de Hooke será
aplicada.
γ = ( )ρ
c
γm xá
τ = Gγ
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Por consequência, podemos a�rmar que a variação linear na deformação
por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de
cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção
transversal.
Assim, conforme mencionado anteriormente para a deformação por
cisalhamento ( γ) , a tensão de cisalhamento (τ) variará de zero na linha
central do eixo até um valor máximo (τmáx) na superfície externa. Para
obtermos o valor da tensão de cisalhamento em qualquer ponto da linha
radial (ρ), precisamos calcular:
Cada elemento de área (dA), localizado em ρ, está sujeito a uma força de
cisalhamento:
Podemos obter o momento de cisalhamento calculando a seguir equação:
γ = ( )ρ
c
γm xá
Figura 2.8 - Tensão de cisalhamento na seção transversal da barra
Fonte: Elaborada pelo autor.
= τdAFτ
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Já o torque interno resultante ( T ) agindo na seção transversal é obtido por:
Logo, a integral destacada e identi�cada de J é conhecida como momento
polar de inércia da seção transversal do eixo e depende somente da
geometria do eixo. Com isso, a fórmula da tensão máxima de cisalhamento
pode ser representada como a fórmula de torção.
A tensão de cisalhamento para um ponto intermediário da linha radial (ρ)
pode ser calculada por:
Assim, a tensão de cisalhamento para um ponto intermediário da linha radial
(ρ), por sua vez,  pode ser calculada por:
Nesse sentido, a Tensão máxima de cisalhamento do eixo, na
superfície externa é obtida em Pa (N/m²);
A Tensão de cisalhamento em um ponto intermediário da linha radial
é obtida em (N/m²);
= ρ = ρτdA = ρ ( ) dA = ( ) ρ dAMτ Fτ
ρ
c
τm xá
τm xá
c
2
T = = ρ dA∫
A
Mτ ( )τm xá
c
∫
A
2
=τm xá
Tc
J
=τm xá
Tc
J
τ =
Tρ
J
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O Torque interno resultante na seção transversal é obtido em N.m;
O Raio externo do eixo é dado é obtido em m;
O Raio intermediário do eixo é obtido em m ;
O Momento polar de inércia é obtido em m⁴.
Para um eixo circular sólido, J é calculado por meio da igualdade a seguir.
Já para um eixo circular tubular J é obtido pelo cálculo de:
Sendo “ c ext ” o raio externo do tubo e “ c int ” o raio interno do tubo.
Ressaltamos que,  estas fórmulas de torção só devem ser utilizadas se o eixo
for circular e o material se comportar conforme a lei de Hooke.
Diagrama de Torque
Nessa seção, encontraremos aplicações em que diferentes torques serão
aplicados ao longo do comprimento de um eixo. A tensão de cisalhamento
máxima neste eixo ocorrerá na região onde o maior torque agir. Para
determinar essa região de maior torque, devemos montar o diagrama de
torque .
Para se conseguir somar diferentes torques aplicados ao longo de um eixo, é
necessário que haja uma convenção em seus sinais. Para isso, usamos a regra
da mão direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos se a direção
indicada pelo polegar for no sentido para fora ou se afastando da seção do
eixo considerada, conforme mostrado anteriormente.
Exemplo 2
Observe o caso a seguir, em que quatro torques estão agindo sobre o eixo.
J =
π
2
c4
J = ( − )
π
2
c4
ext c4
int
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Figura 2.9 - Eixo sob efeito do torque
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para de�nir o torque de cada um dos trechos (LAB, LBC e LCD), usaremos o
método das seções .
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Logo,
Obs.: O sentido de giro de TAB, TBC e TCD são atribuídos durante o cálculo, se
o resultado for negativo isso indica que foi atribuído o sentido oposto ao real.
Figura 2.10 - Análise de cada uma das seções do eixo
Fonte: Elaborada pelo autor.
− = 0TA TAB
= = 80 N .mTAB TA
− + = 0TA TB TBC
80 − 150 + = 0TBC
= 70 N .mTBC
− = 0TD TCD
= = 10 N .mTCD TD
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Outra forma de calcularmos os valores dos torques em cada região do eixo é
montando o diagrama de torque , conforme �gura a seguir.
Podemos notar que a região com maior torque está entre A e B, com T=80
N.m, logo, é nessa região onde teremos a tensão máxima de cisalhamento.
Supondo que, o eixo seja maciço e tenha diâmetro de 30 mm, ou seja, raio de
15 mm, o momento polar de inércia pode ser obtido através do cálculo a
seguir.
E, a tensão máxima de cisalhamento no eixo será:
Transmissão de Potência
Figura 2.11 - Diagrama de força cortante
Fonte: Elaborada pelo autor.
J = = = 79, 52 ×π
2
c4 π
2
0, 0154 10−9m4
= = = 15 × Pa =  15 MPaτm x,ABá
cTAB
J
80×0,015
79,52×10−9 106
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Na maioria das vezes, em uma transmissão de potência gerada por uma
máquina, os eixos circulares serão aplicados. Dessa forma, o torque
desenvolvido no eixo pela máquina depende diretamente da potência do
motor. A relação entre potência e torque é dada pela equação:
ω representa a velocidade angular do eixo, dada em rad/s;
P é a potência do motor dada em W (watts).
Outra importante relação é a de frequência de rotação do eixo (f), que pode
ser expressada por meio da igualdade:
em que, f é a frequência de rotação do eixo, dada em ciclos/s ou Hz
(Hertz);
Lembrando que: 1 ciclo equivale a 2π rad;
Com isso, durante o projeto de um eixo, em caso de obtermos apenas
algumas informações disponíveis como a potência do motor, a frequência de
rotação e a tensão de cisalhamento admissível do material, podemos utilizar
as fórmulas apresentadas para se obter o torque T desenvolvido, e assim
determinar a dimensão do eixo conforme a necessidade.
Por exemplo, no caso de um eixo maciço, o raio do eixo pode ser
determinado variando “c” até o valor da tensão de cisalhamento obtido seja
menor que a tensão admissível do material. Para isso, utilize a seguir fórmula.
Ângulo de Torção
Em algumas aplicações, é necessário calcular o ângulo de torção ϕ,
mencionado anteriormente, que é o ângulo formado entre uma extremidade
de um eixo em relação a outra após a torção.
P = Tω
P = 2πfT
= =τm xá
Tc
J
Tc
( )π
2
c4
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Considerando um eixo de material homogêneo, como módulo de elasticidade
de cisalhamento (G) constante e área da seção transversal constante ao longo
seu comprimento, a relação entre o torque aplicado e o ângulo de torção
poder ser obtida por meio da igualdade a seguir.
Em que:
ϕ é o Ângulo de torção em radianos ( rad );
T é o Torque interno determinado pelo método das seções, dado em
N.m;
L é o Comprimento do trecho do eixo analisado em m ;
J é o Momento polar de inércia mm4.
G é o Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material em Pa.
praticar
Vamos Praticar
Um motor acoplado transmite 150 kW de potência ao eixo. Desses 150 kW, 70 % é
recebido pela engrenagem C e 30 % pela engrenagem D. A rotação do eixo é ω= 800
rev/min. O material do eixo é o aço A-36, com módulo de elasticidade ao
cisalhamento de G = 75 GPa e seu diâmetro é de 100 mm.
Φ =
TL
JG
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Eixo sob torção
Fonte: Elaborada pelo autor.
Considerando as informações e �gura apresentada, calcule o torque em B, C
 e D. Assinale a alternativa correta.
a) 1790 N.m, 1720 N.m e 1690 N.m.
b) 1500 N.m, 1050 N.m e 450 N.m
c) 1700 N.m, 1650 N.m e 1200 N.m
d) 1790 N.m, 1080 N.m e 540 N.m.
e) 1790 N.m, 1250 N.m e 540 N.m
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Uma haste de roupeiro segura diversos cabides e cada cabide carrega consigo
casacos, camisas, etc. A haste está sujeita um tipo de carregamento, ou seja, a
haste pode ser considerada um elemento estrutural do roupeiro, pois tem a
função de manter as roupas no seu devido lugar.
Nesse sentido, podemos transpor esse conceito para nosso contexto, quando
uma viga é sujeita a um sistema de carregamentos ou força que age
perpendicularmente ao eixo de simetria longitudinal, ela deformará. Em
termos simples, a deformação que ocorre nesse sentido é chamada de �exão
de uma viga. Devido à força de cisalhamento e ao momento �etor, a viga sofre
deformação.Flexão SimplesFlexão Simples
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Para calcular a tensão de �exão de uma viga, considere os pontos listados a
seguir.
Inicialmente, a viga é reta e tem seção transversal constante;
A viga é feita de um material homogêneo e tem um plano
longitudinal de simetria;
A resultante de cargas aplicadas �ca no plano de simetria;
A geometria do membro como um todo, em que a causa de falha é
�exão e não �ambagem;
O limite elástico não é excedido e E é o mesmo em tensão e
compressão;
O plano da seção transversal permanece plano antes e depois da
�exão.
A �exão é pura quando ocorre apenas por causa dos vínculos nas
extremidades. Neste caso, não existe chances de tensão de cisalhamento na
viga. A tensão que se propaga na viga é uma tensão normal, não ocasionando
danos à viga.
Figura 2.12 - Viga sob �exão
Fonte: Avenafatua / Wikimedia Commons.
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Por outro lado, a �exão será simples quando ela acontecer por causa do
próprio peso da viga e/ou um carregamento externo. Nesse caso, ela resulta
em tensão de cisalhamento e tensão normal na viga.
Em que M é o momento �etor, I é o momento de inércia da seção do eixo de
�exão, R é o raio de curvatura da viga �etida e y é a distância perpendicular ao
eixo neutro.
Diagramas de Força Cortante e Momento
Fletor
Os diagramas de força cortante e momento �etor são ferramentas analíticas
usadas na análise estrutural, com o objetivo de obter a noção dos pontos
críticos em um elemento estrutural, como uma viga. Eles fornecem
informações que determinam o tipo, o tamanho e o material que um membro
estrutural deve possuir para suportar os carregamentos sem falhas.
Se a variação da força cortante V e do momento �etor M são escritos como
funções de posição ( x ), e plotados, obtemos os diagramas de força cortante e
momento �etor.
A inclinação do diagrama de força cortante corresponde a negativa do
carregamento distribuído. A inclinação do diagrama de momento é o
cisalhamento. A área negativa sob o diagrama de carregamento representa a
mudança da força cortante e a área sob o diagrama de força cortante
representa a mudança no momento �etor.
A seguir, veja um exemplo do procedimento de análise adotado para os
diagramas de força cortante e momento �etor, considerando a viga.
= =
M
I
σ
y
E
R
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1º passo: encontrar as reações de apoio. Para esse passo, utilize as
seguintes igualdades:
2º passo: estabelecer os eixos V e x e plotar os valores de força
cortante em cada extremidade. (x=0;V=P) e (X=3L;V=-P)
No intervalo de 0 < x < L, a inclinação do diagrama é igual ao
carregamento, que é w(x)=0. Portanto, obtemos uma linha reta.
Figura 2.13 - Eixo carregado
Fonte: Shear... (2020, on-line).
= 0 = −P (L + 2L) + (3L)∑ MA By
= 0 = + − 2P∑ FY Ay By
= = PAy By
= 0 =∑ Fx Ax
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No ponto x = L, uma carga concentrada P de sinal negativo é aplicada.
Há uma descontinuidade no diagrama e a cortante é 0.
De L < x < 2L, w(x)=0 portanto a inclinação é nula também.
Em 2L, há outra descontinuidade no diagrama, devido a aplicação da
outra força P, também negativa. De 2L a 3L w(x)=0, portanto, a
inclinação é nula.
Em 3L, com a reação em B, o diagrama termina em 0.
Para o diagrama de momento �etor, considere os pontos listados a seguir.
Estabeleça os eixos de M e x e as extremidades (x=0; M=0) e (x=3L;
M=0);
A inclinação de 0 < x < L é igual ao valor da cortante, nesse caso, V = P
, indicando a inclinação positiva.
A inclinação do momento de L < x < 2L é igual ao valor da cortante,
nesse caso V = 0.
A inclinação do momento de 2L < x < 3L é igual a V = - P.
Figura 2.14 - Diagrama de força cortante
Fonte: Shear… (2020, on-line).
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Figura 2.15 - Diagrama de momento �etor
Fonte: Shear… (2020, on-line).
Nesse sentido, podemos a�rmar que, se um carregamento é dado por ,
a inclinação de seu diagrama de força cortante será e a inclinação de
seu diagrama de momento �etor poderá ser obtida por .
Flexão Assimétrica
Em determinados casos, podemos encontrar carregamentos em que o
momento interno não atue diretamente em torno dos eixos principais da
seção transversal, mas em uma posição oblíqua em relação aos eixos. Na
�gura a seguir, um momento M é aplicado, formando um ângulo θ com o eixo
principal z.
w (x)
= wdV
dx
= VdM
dx
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Neste caso, uma decomposição do momento oblíquo deve ser realizada para
os eixos principais, de forma que a tensão gerada em um ponto (A, por
exemplo) pela componente decomposta poderá ser calculada pela fórmula da
�exão a seguir.
Figura 2.16 - Representação de um momento em posição oblíqua
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Logo, Iz e Iy correspondem aos momentos de inércia de área da seção
transversal, dados em m⁴, mm⁴, etc.
Obs .: O sinal de negativo em σAz ocorre devido ao ponto A que é comprimido
pelo Mz , ou seja, a sua tensão está no sentido negativo do eixo x
estabelecido. Nesse sentido, podemos conferir, aplicando a regra da mão
direita com o polegar apontando para a direção de Mz, notando que o
restante dos dedos comprimem A. Se o ponto A estivesse abaixo do eixo z, ele
Figura 2.17 -  Decomposição nos eixos y e z do momento
Fonte: Elaborada pelo autor.
= McosθMz
= MsenθMy
σ = −Az
Mzcy
Iz
σ =Ay
Mycz
Iy
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seria tracionado por Mz , dessa forma, a tensão teria sinal positivo, como em
σAz .
Por �m, utilizando a equação para determinação de tensões em uma �exão
assimétrica, obtemos a tensão resultante para o ponto escolhido.
A seguir, apresentamos uma representação grá�ca da distribuição de tensões
do caso analisado.
No exemplo, notamos que a linha neutra N do carregamento, ou seja, a linha
em que as tensões são nulas. Nesse sentido, podemos ressaltar que o ângulo
α não é o mesmo ângulo θ que o momento inicial M faz com o eixo z. O
ângulo α pode ser determinado pela igualdade:
= − +σA
Mzcy
Iz
Mycz
Iy
Figura 2.18 - Distribuição de tensões superpostas e isoladas
Fonte: Elaborada pelo autor.
tgα = tgθ
Iz
Iy
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praticar
Vamos Praticar
As alternativas a seguir apresentam alguns exemplos de carregamentos aplicados
no dia a dia. Com base nos seus conhecimentos adquiridos nessa unidade, analise
FLEXÃO
P
A �exão é resultante da aplicação de uma
força perpendicular ao eixo longitudinal de
um corpo e tende a dobrá-lo ou arquea-lo.
Colunas de uma ponte estão sujeitas a
esforços de �exão.
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as alternativas e assinale aquela que corresponde a situações de elementos sob
�exão.
a) Mola de amortecedor, carrinho de mão com tijolos e grua carregando
container.
b) Eixo girando com engrenagens, corpode prova comprimido e panela
sendo conformada em prensa.
c) Paleteira levando caixas, uma pessoa no trampolim de piscina e a haste de
um roupeiro com cabides.
d) Colunas sob uma ponte, pano sendo torcido e prego sendo martelado.
e) Régua  sendo dobrada, papel sendo cortado e guincho puxando um
automóvel.
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Resistência dos Materiais
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
ISBN: 978-85-760-5373-6
Comentário: Recomenda-se uma leitura aprofundada
dos capítulos 4, 5 e 6, que abordam a Resistência dos
Materiais. Nele você verá muitos exemplos sobre
carregamentos, bem como exercícios de �xação que
podem te ajudar a compreender os conceitos e
formular soluções.
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FILME
Como fazer um aeromodelo de controle
remoto
Ano: 2019
Comentário: O canal Manual do Mundo, no YouTube,
possui diversos vídeos didáticos e interessantes que
relacionam conteúdos de física, química e engenharia
com práticas adotadas no dia a dia. No vídeo indicado a
seguir, podemos aprender como fazer um aeromodelo
controlado por controle remoto. Esse material é
interessante, pois nos dá uma noção sobre um
equipamento em que a resistência dos materiais se
aplica diretamente.
TRA ILER
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conclusão
Conclusão
Nessa unidade, aprendemos a calcular tensões e deformações de diversas
naturezas, sejam elas ocasionadas por cargas axiais, torção ou �exão. Além
disso, aprendemos sobre a transmissão de potência em eixos, discernindo
sobre materiais simétricos e assimétricos, entre diversos outros
conhecimentos que encontram aplicações reais na engenharia. Os esforços
axiais, momentos �etores, forças cortantes e momentos torçores serão
estudados em conteúdos mais avançados. Com o conteúdo que aprendemos
nessa unidade, você terá base para resolver problemas de maior
complexidade, como aqueles que exigem a combinação de mais de um tipo
de carregamento em uma estrutura.
referências
Referências
Bibliográ�cas
HIBBELER, R. Resistência dos Materiais . São Paulo: Pearson, 2010.
CALLISTER, W. D. Ciência e engenharia de materiais : uma introdução. Rio
de Janeiro: LTC, 2008.
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GERE, J. B. Mechanics of Materials : brief edition. Stamford: Cengage
Learning, 2012.
SHEAR Force and Bending Moment Diagrams. Memphis [on-line]. Disponível
em: http://www.ce.memphis.edu/3121/notes/notes_04c.pdf . Acesso em: 15
jan. 2020.
http://www.ce.memphis.edu/3121/notes/notes_04c.pdf