relatório pendulo simples

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA- FÍSICA EXPERIMENTAL MOFT
Professor: Anderson Fabian Ferreira Higino 
Data de entrega do relatório: 20/08/2024
Data do experimento: 17/08/2024
Turma: 7M34
PÊNDULO SIMPLES 
Italo Gustavo Donato Cordeiro, Engenharia de Computação, Turma 25
Luana Rocha do Carmo, Química Tecnológica, Turma 25
Mariana Cristina Silva Diniz, Engenharia de Materiais, Turma 25
Belo Horizonte,
Agosto de 2024
1 ELEMENTOS TEXTUAIS
1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Desde o badalar de um relógio cuco às vibrações dos instrumentos musicais, o mundo está repleto de oscilações as quais são importantes serem estudadas. Uma das formas mais comuns de se estudar uma oscilação é através do uso de pêndulos (FERREIRA, 2020). Um pêndulo simples consiste em uma partícula de massa “m” na qual está suspensa em um fio inextensível e sem massa de comprimento ℓ, conforme exemplificado na Fig. 1. Ao ser retirado de sua posição de equilíbrio e solto o pêndulo começa a oscilar em um determinado plano, seguindo da esquerda para a direita de uma linha vertical invisível que passa através do ponto no qual a extremidade superior do fio está fixada (OLIVEIRA,2020 ;HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 1993). 
Figura 1- Imagem ilustrativa de um pêndulo simples
As forças que atuam sobre o pêndulo são seu peso em relação com a gravidade (m∙g) e a tensão T exercida no fio. Decompondo-se em mg senθ, uma vez que senθ é tangencial à trajetória da partícula (HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 1993), podemos escrever a força de restauração resultante como:
F= -mg senθ (eq.1) 
O sinal negativo é referente à força agindo de forma oposta ao deslocamento. Supondo-se que o ângulo θ é inferior a 10º o sen de θ será quase igual a θ em radianos, como o deslocamento s da partícula medido é igual a ℓθ (HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 1993). Então para um θ pequeno temos que:
F= -mg = - s (eq.2)
Todo movimento oscilatório é caracterizado por um determinado período T. Se o pêndulo simples oscila com pequenas amplitudes executando um movimento harmônico simples, de acordo com Halliday, Resnick e Walker (1993) pode-se substituir k na equação para períodos da lei de Hook por mg/ℓ, obtendo-se portanto:
T= 2π (eq.3)
Fazendo as modificações necessárias obtém-se, para um pêndulo simples, uma fórmula obtida a partir da teoria:
T=2π (eq.4)
1.2 OBJETIVOS
Determinar o valor da aceleração da gravidade, por meio do estudo da oscilação de um pêndulo simples.
1.3 MATERIAIS 
· Barbante; 
· contra-peso;
· esfera;
· cronômetro;
· régua; 
· trena digital.
1.4 MÉTODO
 	Ao se realizar o experimento o pêndulo varia de um lado a outro formando um ângulo θ. 
Figura 2- Oscilações de um pêndulo 
Fonte: adaptado de HIGINO, MENDONÇA & BOAVENTURA, 2022
De acordo com Nussenzveig (2014) para amplitudes até 10º o erro relativo para a aproximação sen θ≌ θ, fica em torno de 0,5%. Aproximando-se o movimento do pêndulo com uma área triangular, obtém-se que:
Figura 3- Triângulo para cálculo do senθ
l
x
Logo,
= sen θ (eq.5)
ℓ
x= 0,17ℓ
x ≤ 17% ℓ
Com o auxílio de um cronômetro, é possível determinar o período de oscilação do pêndulo. De forma a se obter um erro relacionado ao tempo de reação ao se acionar o cronômetro ao soltar o pêndulo e ao se pausar o pêndulo é recomendado contar pelo menos 5 oscilações antes de pausar o cronômetro, assim ao dividir o tempo obtido pelo número de oscilações pode-se montar uma tabela do período T em função do comprimento da corda do pêndulo (ℓ). Obtém-se a partir da tabela um gráfico não linearizado, o qual necessita portanto de um tratamento matemático, realizando-se a linearização do gráfico. Para tanto pode-se utilizar de duas equações, a partir da equação 4 apresentada na fundamentação teórica.
Eq.T. linearizada 1: ) (eq.6)
ou,
Eq.T. linearizada 2:) (eq.7)
A partir do gráfico linearizado obtém-se a equação:
To= A (eq.8)
E juntando as equações linearizadas com a equação experimental, é possível encontrar o valor da aceleração da gravidade e sua respectiva incerteza. Assim,
A= (eq.9)
ou,
 A= (eq.10)
	Por sua vez, a incerteza gerada nesse método não poderia ser medida de alguma forma, porém poderá ser trabalhada através de grandezas mensuráveis, portanto será aplicado o método de incerteza padrão combinada. Abaixo, temos a fórmula da incerteza padrão combinada que será estudada.
	 (eq.11)
Para uma análise de resultados mais confiável é necessário privilegiar as comparações quantitativas, de forma a analisar a exatidão e a precisão da análise, para isso utiliza-se de parâmetros como a diferença percentual e incerteza percentual, representadas pelas equações 12 e 13 respectivamente.
∆% (𝑎, 𝑏) = × 100% (eq.12)
𝐼 𝑎% = )×100% (eq.13)
1.5 PROCEDIMENTO 
	Inicialmente o barbante amarrado em um contra-peso foi estendido até o teto e passado por um gancho preso. Sua outra ponta foi amarrada na esfera que, por sua vez, ficou estendida sob a mesa com um barbante de aproximadamente 2 metros até o gancho definido por ℓ, como ilustrado na figura abaixo.
Figura 4 - Montagem do experimento
 
Fonte: autoria própria
	Após isso, o tempo do período T foi deduzido a partir de uma medição com o cronômetro de 5 períodos de um movimento de pêndulo cujo valor inicial da angulação Θ em relação a sua posição de estabilidade é ≤ 10° e, após isso, o uso de uma média aritmética. Este procedimento foi repetido algumas vezes diminuindo o comprimento ℓ em aproximadamente 0,20 m a cada vez, como representado na figura abaixo.
Figura 5 - Representação do experimento
Fonte: autoria própria
	Com os dados medidos, foi aplicada uma linearização e construído um gráfico de ℓ em função de T, linearizados. Com isso, uma regressão linear foi aplicada nos dados no gráfico e, a partir disso, foi possível chegar a um valor para a constante da aceleração da gravidade.
1.6 RESULTADO
Os resultados obtidos experimentalmente para o período estão representados na tabela 1.1
TABELA 1.1 - T em função de ℓ
	(m)
	(s)*5
	
	
	
	2,088
	12,81
	0,05
	2,562
	0,05
	1,818
	12,48
	0,05
	2,496
	0,05
	1,596
	12,09
	0,05
	2,418
	0,05
	1,366
	10,87
	0,05
	2,174
	0,05
	1,2
	9,56
	0,05
	1,912
	0,05
Utilizou-se para encontrar : . Fazendo-se a linearização dos valores de T obtidos utilizando-se da equação 7 O gráfico construído com os dados da tabela 1.2, utilizando-se do software scidavis, é mostrado no GRAF. 1.
TABELA 1.2 - Período obtido a partir da linearização de 
	(m)
	2 
	2,1
	6,6
	1,8
	6,2
	1,6
	5,8
	1,4
	4,7
	1,2
	3,6
Fonte: ExcelGRÁFICO 1- Período T (s) em relação ao comprimento ℓ (m)
Observando-se o gráfico encontrou-se a equação linearizada tal que:
 To= A , 
Deste modo os valores encontrados utilizando-se do programa estão representados na tabela 1.3
TABELA 1.3- Parâmetros obtidos 
	Parâmetro
	Valor
	Incerteza 
	A
	3,2
	0,6
	R2
	0,99604
Fonte:scidavis 
Utilizando-se a equação 10, obtém-se que
 A = 
g = 
g = 
g = 12,34 m/s2
Para o cálculo da incerteza da gravidade, será usada a incerteza padrão combinada, sendo assim:
 m/s2
1.7 DISCUSSÃO
Comparando-se o valor para a aceleração da gravidade obtido experimentalmente (m/s2), com o valor fornecido pela UFMG para a aceleração da gravidade (9,784 0,001 m/s2) percebe-se uma grande discrepância. Utilizando-se das equações 12 e 13 se é possível calcular a diferença percentual desses dois valores e a incerteza percentual do resultado obtido. Desta forma:
∆% (gexp.,gt.) = × 100%= 22%
𝐼g% =×100%= 66,6%
Para uma análise concisa dos resultados obtidos exclui-se o efeito das forças de amortecimento, despreza-se a massa do fio e estabelece-se que as as amplitudes de oscilação da massa se restringem a pequenos ângulos. Desta forma, a discrepância do resultado obtido em função do valor da aceleração da gravidade tabelado está relacionado com o tempo de reação do experimentador, uma vez que de acordo com a literatura o tempo de reação ao estímulo é de 0,25s (de SOUZA e CARDOSO,2020). 
Outro fator que influencia na diferença do resultado obtido com o tabelado está relacionado com os valores de ℓ escolhidos, o que pode ser observado através do GRAF. 1 analisando-se o R2 (coeficiente de correlação) percebe-se que os pontos, mesmo após os cálculos de linearização ficaram pouco lineares, sendo apenas para os ℓ equivalentes a 2,088m e 1,2m respectivamente, que ficaram próximos de formar uma reta. Isso ocorre uma vez que ao se ter valores de ℓ bem distribuídos se abrange uma maior população de amostras e dessa forma o valor da aceleração da gravidade empírica em função da altura se aproxima mais do valor da aceleração da gravidade teórico, proporcionando um menor erro e uma maior precisão para a análise, ao se escolher mal os pontos da análise erros relacionados ao tempo de reação deixam de ser desprezíveis e passam a ser considerados. 
Outros possíveis erros associados são erros de operadores devido a falta de uma maior preparação prévia para o experimento e erros relacionados aos equipamentos como a trena eletrônica que apresentou erros durante a execução da prática.
1.8 CONCLUSÃO
 	No experimento referente a prática do pêndulo simples, tratamos especificamente do movimento que um pêndulo simples faz, considerando pequenas oscilações, neste experimento foi possível verificar experimentalmente a relação entre o comprimento do fio e o período do pêndulo, uma vez que quanto maior o comprimento do fio maior o tempo entre as oscilações. Ainda foi possível obter, a partir desta relação, a fórmula para o cálculo da aceleração da gravidade. Conclui-se portanto que, mesmo o resultado obtido apresentando uma precisão e uma exatidão ruins, os objetivos propostos para a prática foram cumpridos. 
REFERÊNCIAS
FERREIRA, D.P.C., de DEUS, J. A., CHAVES, A. A. F. ESTUDO DO PÊNDULO SIMPLES E PÊNDULO FÍSICO: Uma abordagem a partir do movimento harmônico simples. Instituto Federal de Rondônia. 2020. Disponível em: repositorio.ifro.edu.br. Acesso em: 18 de agosto de 2024
HIGINO, A.F.F., MENDONÇA, PÊNDULO SIMPLES, DF/CEFET-MG, 2022.
NUSSENZVEIG; H. M. CURSO DE FÍSICA BÁSICA 2: fluidos, oscilações e ondas, calor. 5. ed. São Paulo: Blucher, 2014. Referenciado em: FERREIRA, D.P.C., de DEUS, J. A., CHAVES, A. A. F. ESTUDO DO PÊNDULO SIMPLES E PÊNDULO FÍSICO: Uma abordagem a partir do movimento harmônico simples. Instituto Federal de Rondônia. 2020. Disponível em: repositorio.ifro.edu.br. Acesso em: 18 de agosto de 2024
de OLIVEIRA, E. F. ESTUDO DO PERÍODO SIMPLES DEPENDENTE DA AMPLITUDE DE OSCILAÇÃO. Trabalho de conclusão de curso para o curso de licenciatura plena em física. Escola de Ciências exatas e da computação. PUC Goiás. 2020. Disponível em: repositorio.pucgoias.edu.br. Acesso em: 18 de agosto de 2024
SOARES, D. ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE PARA LEIGOS. UFMG, 2003. Disponível em:https://lilith.fisica.ufmg.br/~dsoares/g/gleigo.htm#:~:text=A%20acelera%C3%A7%C3%A3o%20da%20gravidade%20em,%2C7838163%20m%2Fs2. Acessado em: 20 de agosto de 2024
de SOUZA, F.M.L., CARDOSO, S.C. ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE: análise de experimentos didáticos. Bras. Ensino Fís., 2020. DOI:https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2020-0202. Acessado em: 20 de agosto de 2024 
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