Relações de Equivalência e Implicação Lógica

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<p>Relações de Equivalência e</p><p>Implicação Lógica</p><p>Apresentação</p><p>As equivalências podem ser utilizadas para substituir uma parte de uma expressão, mantendo o</p><p>valor lógico da sentença original. Já a implicação lógica é utilizada na demonstração de teoremas e</p><p>na validade de argumentos.</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer as relações de equivalência e implicação</p><p>lógica, que são conceitos muito importantes do desenvolvimento da lógica matemática.</p><p>Bons estudos.</p><p>Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>Definir as relações de equivalência e implicação lógica.•</p><p>Distinguir relações de equivalência e implicação lógica.•</p><p>Usar os conceitos de equivalência e implicação lógica na resolução de problemas.•</p><p>Desafio</p><p>Ana e Mateus são alunos da disciplina de Raciocínio Lógico. Nesta semana, seu professor abordou</p><p>as relações de equivalência e implicação lógica.</p><p>Ana revisou as definições abaixo e ficou com dúvida, questionando seu colega:</p><p>- Mateus, entendi que para que a proposição P ↔ Q seja tautologia, as colunas de P e Q devem ser</p><p>iguais, já que a biconcicional P ↔ Q será verdadeira quando os valores lógicos das proposições P e</p><p>Q forem iguais. Só não entendi por que na relação de implicação não pode ocorrer VF nesta ordem</p><p>em uma mesma linha. Você pode me ajudar?</p><p>Sabendo que Mateus respondeu corretamente ao questionamento de Ana, escreva o que pode ter</p><p>sido sua resposta.</p><p>Infográfico</p><p>Acompanhe o infográfico para saber mais sobre o conteúdo abordado nesta Unidade de</p><p>Aprendizagem!</p><p>Conteúdo do Livro</p><p>A lógica proposicional possui uma linguagem própria, com regras que especificam o significado de</p><p>sentenças matemáticas. A lógica é a base do raciocínio matemático, mas também muito utilizada</p><p>em ciência da computação, análise de sistemas e em outros campos de estudo, como a engenharia,</p><p>por exemplo. Além de sua relevância para o campo da matemática e demais ciências, ela está muito</p><p>presente em concursos públicos, em alguns cursos de graduação e pós-graduação. Nesta obra</p><p>estudaremos a relação de equivalência que é caracterizada por uma relação binária com as</p><p>propriedades reflexiva, simétrica e transitiva atendidas. A implicação lógica, também foco do nosso</p><p>estudo, pode ser entendida como uma relação entre duas proposições compostas dadas e uma</p><p>tautologia.</p><p>No capítulo Relações de equivalência e implicação lógica, você aprofundará os conhecimentos a</p><p>respeito destas relações. Conhecerá novos conceitos muito importantes para a matemática,</p><p>especialmente no que diz respeito a transformação da linguagem com a qual estamos habituados, a</p><p>nossa linguagem corrente, para uma formulação lógica bem como sua exemplificação por meio de</p><p>tabelas verdade. Além disso, serão fornecidos exemplos e situações problema envolvendo estas</p><p>definições e conceitos.</p><p>Boa leitura.</p><p>RACIOCÍNIO</p><p>LÓGICO</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Definir as relações de equivalência e implicação lógica.</p><p>> Distinguir relações de equivalência e implicação lógica.</p><p>> Usar os conceitos de equivalência e implicação lógica na resolução de pro-</p><p>blemas.</p><p>Introdução</p><p>Uma das aplicações da lógica matemática é na formalização e na justificativa dos</p><p>elementos do raciocínio empregados em demonstrações e provas de teoremas.</p><p>No estudo da lógica, as proposições (sentenças/afirmações) assumem valores-</p><p>-verdade que podem ser verdadeiros ou falsos. Além disso, algumas relações que</p><p>se estabelecem entre as proposições são muito importantes, como as relações</p><p>de equivalência e implicação lógica. Na matemática, a equivalência indica que as</p><p>características das grandezas têm o mesmo valor, como a força ou o peso. Para a</p><p>lógica, equivalência significa igualdade entre duas proposições, ou seja, que elas</p><p>têm o mesmo valor-verdade.</p><p>Neste capítulo, você vai estudar a definição de equivalência e implicação lógica,</p><p>as diferenças entre as duas e a resolução de problemas relacionados.</p><p>Relações de</p><p>equivalência e</p><p>implicação lógica</p><p>Cristiane da Silva</p><p>Relações de equivalência e implicação</p><p>lógica</p><p>No estudo de lógica proposicional, proposição é uma sentença declarativa, ou</p><p>seja, que declara um fato. Pode ser verdadeira ou falsa, mas não verdadeira e</p><p>falsa ao mesmo tempo. Nesta seção, conheceremos duas relações importantes,</p><p>denominadas equivalência e implicação lógica. Dizemos que duas proposições</p><p>p e q são equivalentes quando os resultados de suas tabelas-verdade são</p><p>iguais, têm os mesmos valores lógicos em cada linha. Segundo Barbosa (2017,</p><p>p. 65), “A relação de equivalência é entendida sempre que temos duas propo-</p><p>sições com o mesmo valor lógico. Assim, concluímos que duas proposições</p><p>são equivalentes quando apresentam a mesma tabela-verdade.”</p><p>Para dizer que p e q são equivalentes, podemos escrever p ≡ q ou p ⇔ q</p><p>ou p = q. A dupla negação ~p(~p) é equivalente a p, assim como ~p(p ∨ q) é</p><p>equivalente a ~p ∧ ~q. Observe:</p><p>p q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ~(~p) ~q ~p ∧ ~q</p><p>V V V F F V F F</p><p>V F V F F V V F</p><p>F V V F V F F F</p><p>F F F V V F V V</p><p>Note que as proposições p e ~(~p) e as proposições ~(p ∨ ~q) e ~p ∧ ~q</p><p>têm o mesmo valor lógico, apresentando a mesma tabela-verdade e, por-</p><p>tanto, são equivalentes. Em outras palavras, proposições equivalentes são</p><p>aquelas que apresentam a mesma sequência de valores na devida coluna</p><p>da tabela-verdade.</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica2</p><p>Outro caso de relação de equivalência pode ser observado ao considerar</p><p>as proposições p ∧ q e q ∧ p e suas tabelas-verdade:</p><p>p q p ∧ q q ∧ p</p><p>V V V V</p><p>V F F F</p><p>F V F F</p><p>F F F F</p><p>Perceba que as proposições p ∧ q e q ∧ p têm o mesmo valor lógico em</p><p>sua tabela-verdade, portanto, são equivalentes.</p><p>Uma relação em um conjunto A é denominada relação de equivalência</p><p>se for reflexiva, simétrica e transitiva. O exemplo de Rosen (2009) a seguir</p><p>evidencia essa definição.</p><p>Exemplo</p><p>Seja m um inteiro positivo com m > 1, mostre que R = {(a, b) | a ≡ b (mod m)}</p><p>é uma relação de equivalência no conjunto dos inteiros.</p><p>Solução</p><p>Por definição, temos que, se a e b forem números inteiros e m for um número</p><p>inteiro positivo, então a é congruente a . b módulo m se m divide a – b.</p><p>Utiliza-se a notação a = b (mod m) para indicar que a é congruente a ab</p><p>módulo m Portanto:</p><p>a ≡ b (mod m) se e somente se m divide a – b</p><p>Note que a – a = 0 é divisível por m, pois 0 = 0. Portanto, a ≡ a (mod m),</p><p>de modo que a congruência módulo m é reflexiva. Suponha agora que a ≡ b</p><p>(mod m). Então, a – b é divisível por m, de modo que a – b = km, em que k é</p><p>um inteiro. Segue que b – a = (–k)m, de modo que b ≡ a (mod m). Portanto, a</p><p>congruência módulo m é simétrica. Agora, suponha que a ≡ b (mod m) e b ≡ c</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica 3</p><p>(mod m). Então, m divide tanto a – b quanto b – c. Portanto, existem inteiros</p><p>k e l com a – b = km e b – c = l m. Somando essas duas equações, obtém-se:</p><p>Logo, a = c (mod m). Portanto, a congruência módulo m é transitiva. Segue</p><p>que a congruência módulo m é uma relação de equivalência. Para ficar mais</p><p>claro, acompanhe o seguinte detalhamento:</p><p>� porque é múltiplo de 3.</p><p>� porque é múltiplo de 3.</p><p>� porque não é múltiplo de 3.</p><p>Uma notação frequentemente utilizada para indicar que dois ele-</p><p>mentos, a e b, são equivalentes é dada por a ~ b.</p><p>Também é possível combinar proposições por meio de uma relação de</p><p>implicação. Por definição, tomamos p e q como duas proposições. A proposição</p><p>condicional p → q é a proposição “se p, então q”. A condicional p → q é falsa</p><p>quando p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira em qualquer outro caso. Na</p><p>condicional p → q, p é chamada de hipótese, antecedente ou premissa, e q é</p><p>denominada conclusão, consequência ou consequente. Importante destacar</p><p>que a proposição p → q é chamada de condicional porque p → q afirma que q</p><p>é verdadeira na condição de que p também o seja. Uma proposição condicional</p><p>é também denominada implicação (ROSEN, 2009). Confira a tabela-verdade</p><p>a seguir que exemplifica a relação de implicação:</p><p>p q p → q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V</p><p>V</p><p>F F V</p><p>Como se percebe, a implicação, ou condicional, indica que uma condição</p><p>deve ser satisfeita necessariamente para que a outra seja verdadeira.</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica4</p><p>Existe diferença entre os símbolos → e ⇒. Enquanto → representa</p><p>uma operação matemática entre as proposições p e q que tem como</p><p>resultado a proposição p → q, com valor lógico V ou F, o símbolo ⇒ representa</p><p>a não ocorrência de VF na tabela verdade de p → q, ou seja, o valor lógico da</p><p>condicional p → q será sempre V, o que se denomina tautologia. Alguns autores,</p><p>no entanto, não fazem essa distinção, deixando a cargo do leitor identificar se o</p><p>contexto é de condicional ou de implicação. Outro aspecto que merece atenção</p><p>é o símbolo ≡, que não é um conectivo lógico, e p ≡ q não é uma proposição</p><p>composta, apenas quer dizer que p ↔ q (a bicondicional) é uma tautologia. O</p><p>símbolo ⇔ é comumente utilizado no lugar de ≡ para indicar equivalências</p><p>lógicas (ROSEN, 2009).</p><p>Na próxima seção, aprofundaremos o estudo das relações de equivalência</p><p>e implicação lógica abordando a distinção entre elas.</p><p>Distinguindo relações de equivalência e de</p><p>implicação</p><p>Em uma relação lógica entre duas proposições, p e q, expressa por p → q (p</p><p>então q), em que p é verdadeira, então q também precisa ser verdadeira, a</p><p>informação contida em q está incluída em p. Conforme Bispo, Castanheira e</p><p>Souza Filho (2012), uma implicação tautológica é uma proposição condicional</p><p>tautológica.</p><p>Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro, ou seja,</p><p>a última coluna da tabela-verdade só possui V. Contradição é uma proposição</p><p>cujo valor lógico é sempre falso, ou seja, a última coluna da tabela-verdade</p><p>só possui F. É o contrário da tautologia. Contingência é uma proposição cujo</p><p>valor lógico pode ser verdadeiro ou falso, ou seja, não é nem uma tautologia</p><p>e nem uma contradição, é uma proposição indeterminada.</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica 5</p><p>Note, pela tabela-verdade, que a proposição p ∧ q → p é tautológica:</p><p>p q p ∧ q p ∧ q → p</p><p>V V V V</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F F V</p><p>Isso permite afirmar que p ∧ q implica tautologicamente p, ou seja,</p><p>p ∧ q ⇒ q. Perceba que, nas relações de implicação, as proposições envolvi-</p><p>das podem assumir o valor lógico V ou F sem a necessidade de que tenham</p><p>o mesmo valor-verdade final. Já no caso das relações de equivalência lógica,</p><p>as proposições envolvidas têm o mesmo valor lógico, apresentando a mesma</p><p>tabela-verdade, como detalhado na seção anterior. Bispo, Castanheira e Souza</p><p>Filho (2012) apresentam o exemplo de uma equivalência tautológica, observe:</p><p>A proposição é uma equivalência tautológica:</p><p>p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) (~p ∨ ~q) ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)</p><p>V V F F V F F V</p><p>V F F V F V V V</p><p>F V V F F V V V</p><p>F F V V F V V V</p><p>A equivalência lógica p ↔ q significa que, p é verdadeiro se, e somente se,</p><p>q também for verdadeiro. Se p for falso neste caso, então q também será falso.</p><p>Em outras palavras, p ≡ q. Em lógica, a igualdade é chamada de equivalência,</p><p>e utiliza-se o sinal ↔. Na relação de implicação tem-se que:</p><p>O símbolo ⇔ é utilizado porque a equivalência lógica também pode ser en-</p><p>tendida como uma implicação nos dois sentidos. No caso da implicação lógica,</p><p>a tabela-verdade para a condicional (implicação) p → q é verdadeira quando</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica6</p><p>ambos o são e quando p é falsa, independentemente do valor-verdade de q.</p><p>Portanto, p → q só será falsa quando p for verdadeira e q for falsa. Observe:</p><p>p q p → q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>Pode-se utilizar diferentes termos para expressar a implicação lógica</p><p>p → q, alguns deles são:</p><p>“se p, então q” “p implica q”</p><p>“se p, q” “p apenas se q”</p><p>“p é suficiente para q” “uma condição suficiente para q é p”</p><p>“q se p” q sempre que p”</p><p>“q quando ocorrer p” “q é necessário para p”</p><p>“uma condição necessária para p é q” “q segue de p”</p><p>“q a menos que ~p”</p><p>Fonte: Adaptado de Rosen (2009).</p><p>Grande parte das equivalências envolve a proposição P → Q, chamada de</p><p>condicional, ou implicação. Na implicação, vimos que P é o antecedente, e Q</p><p>é o consequente. A primeira equivalência transforma a condicional em uma</p><p>disjunção: Construindo a tabela-verdade, temos:</p><p>P Q P → Q ~P ~P ∨ Q</p><p>V V V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V V V V</p><p>F F V V V</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica 7</p><p>Isso nos permite concluir que a equivalência é obtida a partir da disjunção</p><p>entre a negação do antecedente ~P e o consequente Q. Na prática, quando</p><p>queremos saber se existe uma equivalência, verificamos se a bicondicional</p><p>é uma tautologia, que é o mesmo que verificar se suas colunas na tabela</p><p>são iguais. Se desejamos saber se a proposição P implica a proposição Q,</p><p>verificamos se a condicional, se P então Q, é uma tautologia. A implicação,</p><p>portanto, está relacionada com a condicional, e a equivalência está relacio-</p><p>nada com a bicondicional.</p><p>Solução de problemas</p><p>Nesta seção, vamos acompanhar problemas de implicação e equivalência em</p><p>que, a partir da linguagem corrente, realize-se a passagem para a linguagem</p><p>simbólica, avaliando se P implica Q ou se P é equivalente a Q.</p><p>Para iniciar, considere a seguinte frase: “Se Ana estudou, então foi apro-</p><p>vada”. De acordo com a lógica proposicional, essa frase é equivalente a:</p><p>a) Ana não estudou e foi aprovada.</p><p>b) Ana não estudou e não foi aprovada.</p><p>c) Ana estudou ou não foi aprovada.</p><p>d) Ana estudou se, e somente se, foi aprovada.</p><p>e) Ana não estudou ou foi aprovada.</p><p>Para encontrar a solução, lembre-se de que “Ana estudou” é o antecedente,</p><p>e “foi aprovada” é o consequente. Para identificar a proposição equivalente,</p><p>desconsidere a expressão “se”, negue o antecedente e troque o “então” por</p><p>“ou”. Mantendo-se o consequente, tem-se:</p><p>Se Ana estudou, então foi aprovada.</p><p>Ana não estudou ou foi aprovada.</p><p>A resposta correta é a alternativa e, que diz: “Ana não estudou ou foi</p><p>aprovada”. Confira a tabela-verdade desse problema:</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica8</p><p>p q p → q ~p ~p ∨ q</p><p>V V V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V V V V</p><p>F F V V V</p><p>Como as colunas na tabela são iguais para as proposições p → q e ~p ∨ q,</p><p>dizemos que elas são equivalentes.</p><p>Agora, considere a seguinte frase: “Se Gustavo tem CRC, então é profis-</p><p>sional da contabilidade”. De acordo com a lógica proposicional, essa frase</p><p>é equivalente a:</p><p>a) Gustavo tem CRC ou é profissional da contabilidade.</p><p>b) Se Gustavo não tem CRC, então não é profissional da contabilidade.</p><p>c) Se Gustavo não é profissional da contabilidade, então não tem CRC.</p><p>d) Gustavo é profissional da contabilidade e não tem CRC.</p><p>e) Se é profissional da contabilidade, então Gustavo tem CRC.</p><p>Para encontrar a solução, aplica-se a contra-positiva para determinar a</p><p>proposição equivalente para “Se Gustavo tem CRC, então é professional da</p><p>contabilidade”. Fazemos a negação de “é profissional da contabilidade” para</p><p>obter a negação de “Gustavo tem CRC”. Desta forma, tem-se:</p><p>Se Gustavo tem CRC, então é profissional da contabilidade.</p><p>Se Gustavo não é profissional da contabilidade, então não tem CRC.</p><p>A resposta correta é a alternativa c, que diz: “Se Gustavo não é profissional</p><p>da contabilidade, então não tem CRC”. Confira a tabela-verdade deste problema:</p><p>p q p → q ~p ~q ~q → ~p</p><p>V V V F F V</p><p>V F F F V F</p><p>F V V V F V</p><p>F F V V V V</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica 9</p><p>Como as colunas na tabela são iguais para as proposições p → q e ~q → ~p,</p><p>dizemos que elas são equivalentes.</p><p>Vejamos mais alguns exemplos aplicados de Rosen (2009) e Hunter (2011).</p><p>Caso de uma condicional (implicação)</p><p>Tome como exemplo a seguinte afirmação: “Se eu for eleito, então vou diminuir</p><p>os impostos”. Se o político for eleito, os eleitores devem esperar que esse</p><p>político diminua os impostos. No entanto, se o político não for eleito, os</p><p>eleitores não terão nenhuma expectativa sobre o que tal político fará com</p><p>os impostos, mesmo que a pessoa tenha influência suficiente para baixá-los.</p><p>Será apenas quando o político for eleito, mas não baixar os impostos, que os</p><p>eleitores</p><p>poderão dizer que o político quebrou sua promessa de campanha.</p><p>Esse último cenário corresponde ao caso em que p é verdadeira e p é falsa</p><p>em p → q.</p><p>Caso do quadrilátero</p><p>Se um quadrilátero tem um par de lados paralelos, então ele tem um par de</p><p>ângulos suplementares. Observe a Figura 1.</p><p>Figura 1. Quadrilátero.</p><p>Fonte: Hunter (2011, p. 4).</p><p>Esse teorema é da forma p → q, em que p é a sentença de que o quadrilátero</p><p>tem um par de lados paralelos, e q é a sentença de que o quadrilátero tem</p><p>um par de ângulos suplementares. Podemos, além disso, afirmar um teorema</p><p>diferente, representado por ~q → ~p: se o quadrilátero não tem um par de</p><p>ângulos suplementares, então ele não tem um par de lados paralelos. Este</p><p>segundo teorema é logicamente equivalente ao primeiro, pois a sentença</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica10</p><p>formal p → q é logicamente equivalente à sentença formal ~q → ~p, como é</p><p>possível observar na tabela-verdade a seguir:</p><p>p q p → q ~q ~p ~q → ~p</p><p>V V V F F V</p><p>V F F V F F</p><p>F V V F V V</p><p>F F V V V V</p><p>Note que a coluna p → q é igual a coluna ~q → ~p. Uma vez que o primeiro</p><p>teorema é um teorema de geometria verdadeiro, concluímos que o segundo</p><p>também é.</p><p>Agora, vamos considerar a seguinte variação para esse teorema: “Se um</p><p>quadrilátero tem um par de ângulos suplementares, então ele tem um par</p><p>de lados paralelos”. Essa sentença é da forma q → p. Mas a tabela verdade</p><p>mostra que q → p não é logicamente equivalente a p → q, pois os valores</p><p>V, F são diferentes na segunda e terceira linhas comparativamente ao caso</p><p>anterior. Observe:</p><p>p q p → q ~q ~p ~q → ~p q → p</p><p>V V V F F V V</p><p>V F F V F F V</p><p>F V V F V V F</p><p>F F V V V V V</p><p>De fato, esta última sentença geralmente não é verdadeira em geometria.</p><p>A sentença ~q → ~p é chamada de contrapositiva de p → q, e a sentença q → p</p><p>é chamada de recíproca. A tabela-verdade nos prova que, para qualquer</p><p>sentença s, a contrapositiva de s é logicamente equivalente a s, enquanto a</p><p>recíproca de s pode não ser logicamente equivalente.</p><p>Por fim, considere a seguinte proposição: “Não é verdade que nossa energia</p><p>elétrica é barata e oriunda de fontes renováveis”, que é logicamente equi-</p><p>valente a “Nossa energia elétrica não é barata ou não é oriunda de fontes</p><p>renováveis”. De fato, negar a conjunção “Nossa energia elétrica é barata e</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica 11</p><p>oriunda de fontes renováveis” é negar pelo menos uma das proposições que</p><p>a compõe. Escrevemos:</p><p>� p: nossa energia elétrica é barata.</p><p>� ~p: nossa energia elétrica não é barata.</p><p>� q: nossa energia elétrica é oriunda de fontes renováveis.</p><p>� ~q: nossa energia elétrica não é oriunda de fontes renováveis.</p><p>� ~(p ∧ q): não é verdade que nossa energia elétrica é barata e é oriunda</p><p>de fontes renováveis.</p><p>� ~p ∨ ~q: nossa energia elétrica não é barata ou não é oriunda de fontes</p><p>renováveis.</p><p>Construindo as duas tabelas-verdade, teremos:</p><p>p p p ∧ q ~(p ∧ q)</p><p>V V V F</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F F V</p><p>p q ~p ~q (~p ∨ ~q)</p><p>V V F F F</p><p>V F F V V</p><p>F V V F V</p><p>F F V V V</p><p>Comparando os valores lógicos da última coluna das duas tabelas, con-</p><p>cluímos que Esse resultado vale para quaisquer que</p><p>sejam as proposições p e q.</p><p>Nesta seção, você acompanhou diversos problemas aplicados envolvendo</p><p>as relações de implicação e equivalência. O uso da linguagem corrente (por-</p><p>tuguês) permitiu compreender a passagem desta para a linguagem simbólica,</p><p>utilizada em lógica. O capítulo do livro também apresentou a definição de</p><p>equivalência e implicação lógica, evidenciando exemplos e tabelas-verdade,</p><p>além de tratar da distinção entre essas duas relações lógicas.</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica12</p><p>Referências</p><p>BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: InterSa-</p><p>beres, 2017.</p><p>BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à lógica matemática.</p><p>São Paulo: Cengage Learning, 2012.</p><p>HUNTER, D. J. Fundamentos da matemática discreta. Rio de Janeiro: LTC, 2011.</p><p>ROSEN, K. H. Matemática discreta e suas aplicações. 6. ed. Porto Alegre: AMGH, 2009.</p><p>Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos</p><p>testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da</p><p>publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas</p><p>páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores</p><p>declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou</p><p>integralidade das informações referidas em tais links.</p><p>Relações de equivalência e implicação lógica 13</p><p>Dica do Professor</p><p>Assista ao vídeo a seguir para conferir uma síntese dos conceitos apresentados nesta Unidade de</p><p>Aprendizagem. Esse conteúdo ajudará você na resolução dos exercícios!</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/afb3600486597f561cb87a83af1ae5eb</p><p>Exercícios</p><p>1) Marque a alternativa correta sobre as relações de equivalência e implicação lógica.</p><p>A) Uma proposição P é logicamente equivalente a uma proposição Q se e somente se a</p><p>proposição P → Q for uma tautologia.</p><p>B) Uma proposição P é logicamente equivalente a uma proposição Q se e somente se a</p><p>proposição P ↔ Q for uma contradição.</p><p>C) Uma proposição P implica logicamente uma proposição Q se e somente se a proposição P →</p><p>Q for uma contingência.</p><p>D) Uma proposição P implica logicamente uma proposição Q se e somente se a proposição P ∧</p><p>Q for uma tautologia.</p><p>E) Observando a tabela-verdade de duas proposições P e Q logicamente equivalentes, podemos</p><p>constatar que as colunas de P e Q são iguais.</p><p>2) Marque a alternativa que contém uma proposição logicamente equivalente à proposição</p><p>composta P: Se o inverno chegou, então as temperaturas estão baixas.</p><p>A) Q: O inverno chegou se e somente se as temperaturas estão baixas.</p><p>B) R: O inverno chegou ou as temperaturas estão baixas.</p><p>C) S: O inverno não chegou ou as temperaturas estão baixas.</p><p>D) T: O inverno não chegou, e as temperaturas estão baixas.</p><p>E) U: O inverno chegou, e as temperaturas não estão baixas.</p><p>3) Marque a alternativa que contém uma proposição composta P que implica logicamente a</p><p>proposição composta Q: Se o inverno chegou, então as temperaturas estão baixas, e o</p><p>inverno chegou.</p><p>A) Se o inverno chegou, então as temperaturas estão baixas.</p><p>B) O inverno chegou ou as temperaturas não estão baixas.</p><p>C) O inverno chegou, e as temperaturas não estão baixas.</p><p>D) Se o inverno não chegou, então as temperaturas não estão baixas.</p><p>E) O inverno não chegou se e somente se as temperaturas estão baixas.</p><p>4) Marque a alternativa que contém uma proposição logicamente equivalente à proposição ~p</p><p>→ (p ∨ q).</p><p>A) p ∧ q.</p><p>B) p.</p><p>C) ~p.</p><p>D) p ∨ q.</p><p>E) p → q.</p><p>5) Marque a alternativa que contém uma proposição que implica logicamente a proposição</p><p>simples p.</p><p>A) p ∨ q.</p><p>B) (p ∨ q) ∧ ~q.</p><p>C) ~p ∧ q.</p><p>D) ~p ∧ ~q.</p><p>E) p ↔ q.</p><p>Na prática</p><p>A relação de equivalência, um dos conceitos abordados nesta Unidade de Aprendizagem, é muito</p><p>utilizada na resolução de problemas.</p><p>Por exemplo, considere duas matrizes quadradas A e B. Quando trabalhamos com o cálculo da</p><p>matriz inversa, temos a seguinte equivalência:</p><p>B-1.A-1 = (AB)-1</p><p>O número de cálculos necessários para realizar a inversão da matriz é bem maior que o utilizado</p><p>para a multiplicação. Portanto, se desejamos calcular B-1.A-1, precisamos calcular duas inversões de</p><p>matrizes (B-1 e A-1) e uma multiplicação (B-1.A-1). Mas, usando o conceito de equivalência,</p><p>poderemos utilizar a expressão da direita e calcularemos apenas uma multiplicação (A.B) e uma</p><p>inversão ((AB)-1), e o programa será executado mais rapidamente.</p><p>Saiba mais</p><p>Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:</p><p>Lógica Proposicional : Aula 5 - Implicação (Condicional).</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Raciocínio lógico - Equivalência Lógica (aula 5).</p><p>Aponte a câmera para</p><p>o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Matemática discreta</p><p>LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.</p><p>Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!</p><p>https://www.youtube.com/embed/TtOuVyj6HAA</p><p>https://www.youtube.com/embed/kEjTiK139fo</p>