ANALISE MATEMÁTICA NOTA 90 (1)

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<p>Atenção. Este gabarito é para uso exclusivo do aluno e não deve ser publicado ou compartilhado em redes</p><p>sociais ou grupo de mensagens.</p><p>O seu compartilhamento infringe as políticas do Centro Universitário UNINTER e poderá implicar sanções</p><p>disciplinares, com possibilidade de desligamento do quadro de alunos do Centro Universitário, bem como</p><p>responder ações judiciais no âmbito cível e criminal.</p><p>Questão 1/10 - Análise Matemática</p><p>Atente para a seguinte citação:</p><p>“Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se</p><p>aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos xx e yy”.</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm>. Acesso em: 21 jun. 2017.</p><p>Dada a função f:R→Rf:R→R tal que f(x)=xlnxf(x)=xln⁡x</p><p>Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Análise</p><p>Matemática sobre limite e continuidade, responda:</p><p>Qual é o limite da função dada quando x tende a 1 (um)?</p><p>Você não pontuou essa questão</p><p>A −1−1</p><p>B −∞−∞</p><p>C ∞∞</p><p>D 1</p><p>Você assinalou essa alternativa (D)</p><p>E 0</p><p>Questão 2/10 - Análise Matemática</p><p>Leia o trecho de texto a seguir:</p><p>“Sempre que falarmos em ‘número’ sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um número real.</p><p>Como os números reais são representados por pontos de uma reta, através de suas abscissas, é costume usar</p><p>a palavra ‘ponto’ em lugar de ‘número’; assim, ‘ponto xx’ significa ‘número xx’”.</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:</p><p>ÁVILA, G., Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 140.</p><p>De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, os pontos de um conjunto podem ser</p><p>classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se</p><p>relacionam a cada um dos pontos a seguir:</p><p>1. Ponto interior do conjunto XX</p><p>2. Ponto aderente ao conjunto XX</p><p>3. Ponto de acumulação do conjunto XX</p><p>4. Ponto isolado do conjunto XX</p><p>( ) É um ponto x∈Xx∈X que não é ponto de acumulação de XX.</p><p>( ) É um ponto x∈Xx∈X e que existe ε>0ε>0 tal que (x−ε,x+ε)⊂X(x−ε,x+ε)⊂X .</p><p>( ) É um ponto xx tal que para todo ε>0ε>0 tem-se</p><p>(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅.</p><p>( ) É um ponto que é o limite de alguma sequência formada por pontos de XX.</p><p>Agora, marque a sequência correta:</p><p>A 4-1-3-2</p><p>Você assinalou essa alternativa (A)</p><p>B 1-3-2-4</p><p>C 2-4-1-3</p><p>D 4-3-1-2</p><p>E 2-1-3-4</p><p>Questão 3/10 - Análise Matemática</p><p>Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x,</p><p>x>1.</p><p>Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é</p><p>correto afirmar que:</p><p>A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.</p><p>B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.</p><p>C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.</p><p>D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.</p><p>Você assinalou essa alternativa (D)</p><p>E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.</p><p>Questão 4/10 - Análise Matemática</p><p>Na definição de integral definida ∫baf(x)dx∫abf(x)dx, trabalhamos com uma função ff definida em um</p><p>intervalo limitado [a,b][a,b] e presumimos que ff não tenha uma descontinuidade infinita.</p><p>Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o</p><p>caso onde ff tem uma descontinuidade infinita em [a,b][a,b]. Em ambos os casos, a integral é chamada</p><p>integral imprópria.</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 470.</p><p>Observe a imagem:</p><p>Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Integrais impróprias, a</p><p>área da região hachurada na figura é o valor da integral imprópria ∫+∞11x2dx∫1+∞1x2dx que</p><p>corresponde a:</p><p>A A(D)=∞A(D)=∞</p><p>B A(D)=2A(D)=2</p><p>C A(D)=1A(D)=1</p><p>Você assinalou essa alternativa (C)</p><p>D A(D)=eA(D)=e</p><p>E A(D)=e−1A(D)=e−1</p><p>Questão 5/10 - Análise Matemática</p><p>Leia o fragmento de texto a seguir:</p><p>“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao</p><p>corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à</p><p>esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do</p><p>ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos</p><p>são os pontos aa e bb.”</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:</p><p>LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e</p><p>Aplicada, 2013. p. 162.</p><p>Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as</p><p>afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.</p><p>I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].</p><p>II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.</p><p>III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.</p><p>IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.</p><p>Assinale a alternativa que contém a sequência correta:</p><p>A V-V-F-V</p><p>B F-F-V-V</p><p>C V-F-F-V</p><p>D V-F-V-F</p><p>E F-V-V-V</p><p>Você assinalou essa alternativa (E)</p><p>Questão 6/10 - Análise Matemática</p><p>Leia o seguinte fragmento de texto:</p><p>“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”.</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 164.</p><p>De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a</p><p>função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é ∫10exdx∫01exdx é equivalente a:</p><p>A ∫10exdx=0∫01exdx=0</p><p>B ∫10exdx=1−e2∫01exdx=1−e2</p><p>C ∫10exdx=1−2e∫01exdx=1−2e</p><p>D</p><p>∫10exdx=e−1∫01exdx=e−1</p><p>Você assinalou essa alternativa (D)</p><p>E ∫10exdx=1+e∫01exdx=1+e</p><p>Questão 7/10 - Análise Matemática</p><p>Leia o seguinte fragmento de texto:</p><p>“Diz-se que uma função ff, definida num intervalo aberto II, é derivável em x0∈Ix0∈I se existe e</p><p>é finito o limite da razão incremental</p><p>f(x)−f(x0)x−x0f(x)−f(x0)x−x0</p><p>com x→x0x→x0. Esse limite é, por definição, a derivada da função ff no ponto x0x0. Para</p><p>indicar esse limite, usam-se as notações</p><p>f′(x0), (∂f)(x0) e dfdx(x0),f′(x0), (∂f)(x0) e dfdx(x0),</p><p>esta última sendo o quociente de diferenciais”.</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ÁVILA, G. Ánálise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 175-176.</p><p>De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise</p><p>Matemática a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir e marque</p><p>V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.</p><p>I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto x0x0 do seu domínio possui derivada neste</p><p>ponto.</p><p>II. ( ) Se duas funções f,g:I→Rf,g:I→R possuem derivada num ponto x0∈Ix0∈I, então a</p><p>derivada da soma é igual à soma das derivadas.</p><p>III. ( ) Uma função f:I→Rf:I→R possui derivada num ponto de acumulação x0x0 do seu</p><p>domínio se, e somente se, existe e é finito o limite</p><p>limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0.</p><p>IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto x0x0 de uma curva indica a inclinação</p><p>da reta tangente à curva em x0x0.</p><p>Agora,</p><p>assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>A V-F-V-F</p><p>B F-V-F-V</p><p>C V-V-V-F</p><p>D F-V-V-F</p><p>E F-V-V-V</p><p>Você assinalou essa alternativa (E)</p><p>Questão 8/10 - Análise Matemática</p><p>Observe a seguinte série numérica:</p><p>∑∞132k41−k∑1∞32k41−k</p><p>Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência</p><p>de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima.</p><p>A A série converge para 9494</p><p>B A série converge para 3434</p><p>C A série diverge.</p><p>Você assinalou essa alternativa (C)</p><p>D A série diverge para 4343</p><p>E A série converge para 12.</p><p>Questão 9/10 - Análise Matemática</p><p>Considere o seguinte trecho de texto a seguir:</p><p>“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num intervalo</p><p>compacto, é derivável num ponto a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d)a∈(c,d),</p><p>que possui as duas derivadas laterais no ponto aa e elas são iguais. No caso de aa ser um dos</p><p>extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, aquela derivada lateral que faz sentido.”</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:</p><p>LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257.</p><p>De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:</p><p>A As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores</p><p>diferentes para exista a derivada no ponto x0x0.</p><p>B Toda função derivável em um ponto x0x0 é contínua no ponto x0x0.</p><p>Você assinalou essa alternativa (B)</p><p>C Toda função contínua em um ponto x0x0 é derivável no ponto x0x0.</p><p>D Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no</p><p>cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.</p><p>E Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções ff e</p><p>gg é igual ao produto das derivadas.</p><p>Questão 10/10 - Análise Matemática</p><p>Considere a seguinte citação:</p><p>“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe</p><p>ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário”.</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>.</p><p>Acesso em: 20 jun. 2017.</p><p>Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1limx→12x−2x2−1</p><p>Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre</p><p>limites, assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado:</p><p>A −2−2</p><p>B 2</p><p>C ∞∞</p><p>D 0</p><p>E 1</p><p>Você assinalou essa alternativa (E)</p>