toaz info-sistemas-dinamicos-modelagem-simulaao-e-controle-by-craig-a-kluever-z-lib--pr_3b62139d9048c01625cc191cb1ab38ed

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<p>O autor e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os</p><p>detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis</p><p>acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida.</p><p>Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas</p><p>ou bens que tenham origem no uso desta publicação.</p><p>Apesar dos melhores esforços do autor, do tradutor, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam</p><p>erros no texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões</p><p>referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os</p><p>comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora</p><p>pelo e-mail ltc@grupogen.com.br.</p><p>Traduzido de</p><p>DYNAMIC SYSTEMS: MODELING, SIMULATION, AND</p><p>CONTROL, FIRST EDITION</p><p>Copyright © 2015 John Wiley & Sons, Inc.</p><p>All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley</p><p>& Sons, Inc.</p><p>ISBN: 978-1-118-28945-7</p><p>Direitos exclusivos para a língua portuguesa</p><p>Copyright © 2018 by</p><p>LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda.</p><p>Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional</p><p>Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em</p><p>parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia,</p><p>distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora.</p><p>Travessa do Ouvidor, 11</p><p>Rio de Janeiro, RJ – CEP 20040-040</p><p>Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770</p><p>Fax: 21-3543-0896</p><p>ltc@grupogen.com.br</p><p>www.grupogen.com.br</p><p>mailto:ltc@grupogen.com.br</p><p>mailto:ltc@grupogen.com.br</p><p>http://www.grupogen.com.br/</p><p>Design de capa: Léa Mara</p><p>Imagens de capa: LM3311 | iStockphoto – NOKFreelance | iStockphoto</p><p>Produção digital: Geethik</p><p>CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO</p><p>SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ</p><p>K74s</p><p>Kluever, Craig A.</p><p>Sistemas dinâmicos : modelagem, simulação e controle / Craig A. Kluever ; tradução Mauro</p><p>Speranza Neto. – 1. ed. – Rio de Janeiro : LTC, 2018.</p><p>28 cm.</p><p>Tradução de: Dynamic systems : modeling, simulation, and control</p><p>Apêndice</p><p>Inclui bibliografia e índice</p><p>ISBN 978-85-216-3458-4</p><p>1. Engenharia mecânica. 2. Sistemas dinâmicos diferenciais. I. Speranza Neto, Mauro. II. Título.</p><p>17-44396</p><p>CDD: 629.8</p><p>CDU: 681.5</p><p>http://www.geethik.com/</p><p>1</p><p>1.1</p><p>1.2</p><p>1.3</p><p>1.4</p><p>2</p><p>2.1</p><p>2.2</p><p>2.3</p><p>2.4</p><p>3</p><p>3.1</p><p>Prefácio</p><p>Introdução aos Sistemas Dinâmicos e de Controle</p><p>Introdução</p><p>Classificação de Sistemas Dinâmicos</p><p>Modelagem de Sistemas Dinâmicos</p><p>Objetivos e Resumo do Livro</p><p>Referências</p><p>Modelagem de Sistemas Mecânicos</p><p>Introdução</p><p>Leis de Elementos Mecânicos</p><p>Sistemas Mecânicos de Translação</p><p>Sistemas Mecânicos de Rotação</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos</p><p>Introdução</p><p>3.2</p><p>3.3</p><p>3.4</p><p>3.5</p><p>4</p><p>4.1</p><p>4.2</p><p>4.3</p><p>4.4</p><p>5</p><p>5.1</p><p>5.2</p><p>5.3</p><p>5.4</p><p>5.5</p><p>5.6</p><p>5.7</p><p>5.8</p><p>Leis de Elementos Elétricos</p><p>Sistemas Elétricos</p><p>Circuitos com Amplificadores Operacionais</p><p>Sistemas Eletromecânicos</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Modelagem de Sistemas Fluidos e Térmicos</p><p>Introdução</p><p>Sistemas Hidráulicos</p><p>Sistemas Pneumáticos</p><p>Sistemas Térmicos</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Modelos-Padrão para Sistemas Dinâmicos</p><p>Introdução</p><p>Equações em Variáveis de Estado</p><p>Representação no Espaço de Estado</p><p>Linearização</p><p>Equações Entrada-Saída</p><p>Funções de Transferência</p><p>Diagramas de Blocos</p><p>Funções de Entrada-Padrão</p><p>Sumário</p><p>6</p><p>6.1</p><p>6.2</p><p>6.3</p><p>6.4</p><p>6.5</p><p>6.6</p><p>7</p><p>7.1</p><p>7.2</p><p>7.3</p><p>7.4</p><p>7.5</p><p>7.6</p><p>7.7</p><p>8</p><p>8.1</p><p>Problemas</p><p>Solução Numérica de Sistemas Dinâmicos</p><p>Introdução</p><p>respostas de Sistemas Usando Comandos MATLAB</p><p>Construindo Simulações Usando o Simulink</p><p>Simulando Sistemas Lineares Usando o Simulink</p><p>Simulando Sistemas Não Lineares</p><p>Construindo Sistemas Integrados</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Solução Analítica de Sistemas Dinâmicos Lineares</p><p>Introdução</p><p>Soluções Analíticas para Equações Diferenciais Lineares</p><p>Resposta de Sistemas de Primeira Ordem</p><p>Resposta de Sistemas de Segunda Ordem</p><p>Sistemas de Ordem Superior</p><p>Representação no Espaço de Estado e Autovalores</p><p>Modelos Aproximados</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Análise de Sistemas Usando a Transformada de Laplace</p><p>Introdução</p><p>8.2</p><p>8.3</p><p>8.4</p><p>9</p><p>9.1</p><p>9.2</p><p>9.3</p><p>9.4</p><p>10</p><p>10.1</p><p>10.2</p><p>10.3</p><p>10.4</p><p>10.5</p><p>10.6</p><p>10.7</p><p>10.8</p><p>Transformada de Laplace</p><p>Transformada Inversa de Laplace</p><p>Análise de Sistemas Dinâmicos Usando Transformadas de</p><p>Laplace</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Análise de Resposta em Frequência</p><p>Introdução</p><p>Resposta em Frequência</p><p>Diagramas de Bode</p><p>Vibrações</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Introdução aos Sistemas de Controle</p><p>Introdução</p><p>Sistemas de Controle Realimentados</p><p>Controladores</p><p>Precisão em Regime Permanente</p><p>Estabilidade da Malha Fechada</p><p>Método do Lugar Geométrico das Raízes</p><p>Margens de Estabilidade</p><p>Implementando Sistemas de Controle</p><p>Sumário</p><p>11</p><p>11.1</p><p>11.2</p><p>11.3</p><p>11.4</p><p>11.5</p><p>11.6</p><p>Apêndice A</p><p>Apêndice B</p><p>B.1</p><p>B.2</p><p>B.3</p><p>B.4</p><p>B.5</p><p>B.6</p><p>B.7</p><p>Apêndice C</p><p>C.1</p><p>Referências</p><p>Problemas</p><p>Estudo de Casos em Sistemas Dinâmicos e Controle</p><p>Introdução</p><p>Sistema de Isolamento de Vibrações para um Veículo</p><p>Comercial</p><p>Sistema Atuador Solenoide-Válvula</p><p>Sistema de Freio Pneumático a Ar</p><p>Controle de um Servomecanismo Hidráulico</p><p>Controle Realimentado de um Sistema de Levitação Magnética</p><p>Sumário</p><p>Referências</p><p>Unidades</p><p>Apostila MATLAB para Análise de Sistemas Dinâmicos</p><p>Introdução</p><p>Cálculos Básicos em MATLAB</p><p>Gráficos em MATLAB</p><p>Construindo Arquivos M Básicos</p><p>Comandos para Análise de Sistemas Lineares</p><p>Comandos para Análise Via Transformada de Laplace</p><p>Comandos para Análise de Controle de Sistemas</p><p>Apostila Simulink</p><p>Introdução</p><p>C.2</p><p>C.3</p><p>C.4</p><p>Construindo Modelos Simulink para Sistemas Lineares</p><p>Construindo Modelos Simulink para Sistemas Não Lineares</p><p>Sumário de Blocos Simulink Úteis</p><p>Este livro é direcionado para um curso introdutório de sistemas dinâmicos e</p><p>de controle, tipicamente requerido nos currículos de graduação de</p><p>engenharia mecânica e de alguns em engenharia aeroespacial. Tal curso é</p><p>normalmente feito no início ou no final do ciclo profissional, depois de o</p><p>estudante ter completado os cursos de mecânica básica, equações</p><p>diferenciais e circuitos elétricos. Os principais tópicos de cursos sobre</p><p>sistemas dinâmicos e de controle incluem: (1) modelagem matemática; (2)</p><p>análise da resposta do sistema; e (3) uma introdução ao controle de sistemas</p><p>realimentados. O primeiro objetivo do livro é um tratamento compreensível,</p><p>porém conciso, desses principais tópicos com ênfase na apresentação de</p><p>aplicações em problemas reais de engenharia. A minha experiência com</p><p>estudantes de graduação mostra que eles ficam mais interessados em um</p><p>curso de sistemas dinâmicos quando os conceitos são apresentados</p><p>empregando sistemas reais de engenharia (como um atuador hidráulico) em</p><p>vez de exemplos acadêmicos. Este livro é uma compilação de 20 anos de</p><p>notas de aula e estratégias para ensinar dinâmica de sistemas no</p><p>Departamento de Engenharia Mecânica e Aeroespacial da University of</p><p>Missouri-Columbia. Assim, está fundamentado em minhas experiências nas</p><p>salas de aula e na realimentação dada pelos estudantes, que finalmente</p><p>resultaram em um texto no qual as características-chave diferem dos livros</p><p>comumente encontrados sobre sistemas dinâmicos.</p><p>O Capítulo 1 introduz os sistemas dinâmicos e de controle, incluindo</p><p>definições de termos relevantes e das categorias de sistemas dinâmicos. Os</p><p>três capítulos seguintes tratam do desenvolvimento de modelos</p><p>matemáticos de sistemas físicos empregados em engenharia. O Capítulo 2</p><p>introduz as técnicas fundamentais usadas para a obtenção das equações que</p><p>modelam sistemas mecânicos. Os sistemas mecânicos são tratados</p><p>inicialmente porque são mais intuitivamente compreendidos por estudantes</p><p>de graduação, uma vez que envolvem as leis do movimento de Newton. O</p><p>Capítulo 3 introduz os métodos fundamentais para o desenvolvimento dos</p><p>modelos matemáticos de sistemas elétricos e eletromecânicos. Os modelos</p><p>nesse capítulo são obtidos pela aplicação das leis de Kirchhoff</p><p>é a</p><p>presença de forças descontínuas, como as forças de contato e amortecimento</p><p>que ocorrem apenas quando uma massa mantém contato com um elemento</p><p>mecânico que possui propriedades de rigidez e/ou amortecimento. Nos</p><p>próximos exemplos serão apresentados sistemas mecânicos com efeitos não</p><p>lineares.</p><p>Exemplo 2.4</p><p>Considere novamente o sistema atuador solenoide-válvula mostrado na Figura</p><p>2.8 e discutido no Exemplo 2.1. Assumindo que o atrito Coulomb ou seco</p><p>atue na massa da armadura-válvula juntamente com o atrito viscoso linear,</p><p>desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico com esse efeito de</p><p>atrito não linear.</p><p>A Figura 2.14 mostra o atuador solenoide com a mola de retorno k,</p><p>coeficiente de atrito viscoso b (em razão do movimento da válvula carretel no</p><p>fluido hidráulico) e a força de atrito seco (em razão do movimento de</p><p>deslizamento da armadura na bobina elétrica). A força eletromagnética Fem é a</p><p>mesma do Exemplo 2.1.</p><p>Figura 2.14 Atuador solenoide com atrito seco (Exemplo 2.4).</p><p>O atrito Coulomb ou seco é a força de atrito cinético que existe quando</p><p>uma massa está deslizando em relação à uma superfície plana não lubrificada.</p><p>Da mecânica básica, sabe-se que o módulo da força de atrito seco é Fseco = µc</p><p>N, na qual µc é o coeficiente de atrito cinético e N é a força normal. Como a</p><p>força de atrito seco sempre se opõe ao sentido de movimento, ela é</p><p>usualmente modelada como Fseco sgn( ), na qual o operador “sgn” é a função</p><p>sinal, que retorna o valor do sinal da sua entrada. Nesse caso, a entrada da</p><p>função sinal é a velocidade . Consequentemente, sgn( ) = 1 quando > 0,</p><p>sgn( ) = –1 quando < 0 e sgn( ) = 0 quando = 0. A Figura 2.15 mostra a</p><p>natureza descontínua da força de atrito seco, que é claramente uma função não</p><p>linear da velocidade .</p><p>Figura 2.15 Força de atrito seco como função da velocidade.</p><p>A Figura 2.16 mostra o DCL do sistema mecânico com as forças da mola,</p><p>do amortecedor linear, do atrito seco, e eletromagnética. O leitor deve notar</p><p>que a força de atrito seco Fseco sgn( ) na Figura 2.16 sempre se opõe ao</p><p>movimento da massa m independentemente do sinal da velocidade .</p><p>Somando todas as forças externas sobre a massa m com a convenção de sinal</p><p>positivo para a direita fornece</p><p>Rearranjando essa equação com todas as variáveis dinâmicas no lado</p><p>esquerdo tem-se</p><p>Figura 2.16 Diagrama de corpo livre para o atuador solenoide com atrito seco (Exemplo 2.4).</p><p>A Eq. (2.26) é o modelo matemático dos componentes mecânicos do sistema</p><p>atuador solenoide. Ele é não linear por causa de inclusão do atrito seco. Se</p><p>essa força for ignorada, a Eq. (2.26) se torna o modelo matemático linear do</p><p>atuador como desenvolvido no Exemplo 2.1, ou Eq. (2.21).</p><p>Exemplo 2.5</p><p>Considere novamente o atuador solenoide mostrado na Figura 2.8 e discutido</p><p>nos Exemplos 2.1 e 2.4. Na maioria dos projetos de solenoides, a mola de</p><p>retorno possui uma “pré-carga” por causa da sua compressão quando a válvula</p><p>é instalada. Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico com a</p><p>mola de retorno pré-carregada.</p><p>Nos Exemplos 2.1 e 2.4 a mola de retorno não estava deformada quando a</p><p>massa da armadura-válvula foi instalada na posição zero. Assim sendo,</p><p>quando a força eletromagnética Fem é zero, os modelos matemáticos (2.21) e</p><p>(2.26) são satisfeitos quando a massa da armadura-válvula está em repouso na</p><p>posição de equilíbrio, ou x = = = 0. Entretanto, uma mola de retorno</p><p>comprimida, pré-carregada, irá fornecer uma força (para a esquerda) quando a</p><p>válvula estiver na posição de equilíbrio (x = 0) e em repouso ( = = 0).</p><p>Assim sendo, uma força de contato na parede atua no lado esquerdo da massa</p><p>da armadura para equilibrar a pré-carga da mola quando o sistema está na</p><p>posição de equilíbrio estático. Deve-se incorporar as forças de pré-carga da</p><p>mola e de contato no novo modelo matemático.</p><p>A Figura 2.17 mostra o sistema mecânico com as forças de pré-carga da</p><p>mola FPC e de contato FC. O deslocamento da massa x é medido a partir da</p><p>posição de equilíbrio, que ocorre quando o lado esquerdo da massa da</p><p>armadura está em contato com a parede do atuador. É importante notar que a</p><p>força de contato na parede pode apenas “empurrar” para o lado direito e não</p><p>pode “puxar” a massa da armadura para a esquerda. Consequentemente, a</p><p>descontinuidade da força de contato deve ser corretamente modelada.</p><p>Figura 2.17 Atuador solenoide com mola de retorno pré-carregada (Exemplo 2.5).</p><p>A Figura 2.18 mostra o DCL para o sistema mecânico com a mola pré-</p><p>carregada e a força de contato na parede. As forças da mola kx, de atrito, e</p><p>eletromagnética Fem são as mesmas do Exemplo 2.4. A força da mola kx na</p><p>Figura 2.18 é em razão da compressão adicional na mola de retorno, quando a</p><p>massa é deslocada para a direita, ou x > 0. Assim, a força total na mola é FPC +</p><p>kx. Note que a mola de retorno nunca pode ser tracionada, assim como o</p><p>deslocamento x possui limite inferior a zero porque existe o contato na parede</p><p>e a pré-carga compressiva quando x = 0. A força de contato na parede se torna</p><p>instantaneamente zero quando a massa da armadura-válvula é deslocada além</p><p>da posição de equilíbrio, ou x > 0. Somando todas as forças externas sobre a</p><p>massa m com a convenção de sinal positivo para a direita fornece</p><p>Figura 2.18 Diagrama de corpo livre para o atuador solenoide com mola de retorno pré-</p><p>carregada (Exemplo 2.5).</p><p>Rearranjando essa equação com todas as variáveis dinâmicas no lado</p><p>esquerdo tem-se</p><p>A Eq. (2.27) é o modelo matemático do sistema mecânico; entretanto, deve-se</p><p>levar em consideração que a força de contato na parede FC descontinua</p><p>quando a massa sai da posição de equilíbrio, ou x > 0. Obviamente, quando o</p><p>sistema está no equilíbrio estático e a massa na posição de equilíbrio (isto é,</p><p>= = x = 0), o lado direito da Eq. (2.27) deve ser igual à zero. Nesse caso, a</p><p>força de contato equilibra a diferença entre as forças de pré-carga da mola e</p><p>eletromagnética, ou FC = FPC – Fem. Entretanto, quando a força</p><p>eletromagnética ultrapassa a força de pré-carga da mola, uma força positiva</p><p>líquida faz com que a massa acelere e, consequentemente, a massa sai da</p><p>posição de equilíbrio e a força de contato torna-se zero. Assim, a força de</p><p>contato é definida como</p><p>As Eqs. (2.27) e (2.28) consistem no modelo matemático do sistema atuador</p><p>solenoide-válvula com a mola pré-carregada. O atuador solenoide será</p><p>revisitado no Capítulo 3 quando forem discutidos os sistemas eletromecânicos</p><p>e no Capítulo 6 quando as soluções numéricas forem tratadas.</p><p>Exemplo 2.6</p><p>A Figura 2.19 mostra o esquema de um atuador piezoelétrico, que é projetado</p><p>para manter contato com uma massa deslizante e movê-la para uma posição</p><p>desejada [2]. Desenvolva o modelo matemático completo.</p><p>O atuador mostrado na Figura 2.19 usa dois conjuntos de materiais</p><p>cerâmicos piezoelétricos (titanato zirconato de chumbo ou PZT é um material</p><p>piezoelétrico comum que exibe uma deformação mecânica quando uma tensão</p><p>é aplicada em camadas de materiais cerâmicos) para fornecer forças externas</p><p>para a massa m1. Uma “pilha” vertical de camadas PZT (não mostrada)</p><p>fornece uma força vertical que “adere” a massa m1 à massa deslizante m2</p><p>como mostrado na Figura 2.19a. A pilha horizontal de camadas PZT se</p><p>estende quando uma tensão é aplicada, e, portanto, empurra a massa m1 para a</p><p>direita como mostrado na Figura 2.19b. A massa deslizante m2 pode ser</p><p>movida para uma posição horizontal desejada usando a seguinte sequência:</p><p>(1) mantenha a massa m1 em contato com a massa deslizante (Fig. 2.19a), (2)</p><p>energize e estenda o atuador pilha PZT de modo a mover as massas m1 e m2</p><p>para a direita (Fig. 2.19b) e (3) libere a massa aderida e deixa-a retornar à</p><p>posição não deformada (inicial). Essa sequência “adere-estende-libera” é</p><p>repetida até que a massa deslizante seja movida para a posição desejada. O</p><p>atuador mostrado na Figura 2.19 é proposto para a manufatura de sistemas</p><p>microeletromecânicos (MEMS) muito pequenos nos quais o posicionamento</p><p>das peças com elevada precisão é requerido.</p><p>A Figura 2.20 mostra o sistema atuador PZT como um sistema mecânico</p><p>concentrado</p><p>com a massa m1 e a massa deslizante m2. A rigidez e o atrito</p><p>inerentes ao atuador PZT horizontal são modelados por uma mola ideal k e um</p><p>amortecedor ideal b. Aplicando uma tensão à pilha PZT estende o atuador e</p><p>produz uma força FPZT que pode apenas empurrar a massa m1 para a direita</p><p>como mostrado na Figura 2.20. A posição x1 da massa m1 é medida a partir da</p><p>posição de equilíbrio ou não estendida do atuador (isto é, tensão aplicada</p><p>nula). A massa aderida e a massa deslizante possuem atrito Coulomb (seco)</p><p>nas suas superfícies de contato quando existe movimento relativo entre as</p><p>duas massas.</p><p>Figura 2.19 Operação do atuador piezoelétrico MEMS para o Exemplo 2.6: (a) massa m1 é</p><p>“aderida” à massa deslizante m2 e (b) lâmina PZT estendida para mover a massa deslizante.</p><p>Figura 2.20 Modelo mecânico para o atuador piezoelétrico MEMS (Exemplo 2.6).</p><p>Quando a massa aderida é liberada da massa deslizante no final do curso de</p><p>extensão, o contato entre as duas massas não existe mais.</p><p>A Figura 2.21 mostra o DCL do sistema atuador PZT. As forças de rigidez</p><p>e atrito do atuador PZT irão atuar para a esquerda como mostrado na Figura</p><p>2.21. A força do PZT FPZT pode atuar apenas sobre a massa m1 para a direita</p><p>(extensão). A força de atrito Fa que resulta do contato e do movimento</p><p>relativo entre a massa m1 e a massa m2 é mostrada na Figura 2.21 para o caso</p><p>no qual a velocidade da massa aderida m1 é maior que a velocidade da massa</p><p>deslizante, ou 1 > 2. Essa força de atrito-aderência Fa atua em um par igual e</p><p>contrário nas duas massas de acordo com a terceira lei de Newton. Somando</p><p>todas as forças externas sobre a massa aderida m1 e a massa deslizante m2 com</p><p>a convenção de sinal positivo para a direita fornece</p><p>Figura 2.21 Diagrama de corpo livre para o atuador piezoelétrico MEMS no qual a massa m1</p><p>desliza relativamente à massa m2 (Exemplo 2.6).</p><p>Rearranjando essas equações com todas as variáveis dinâmicas do lado</p><p>esquerdo tem-se</p><p>Quando a massa aderida m1 está em contato com a massa m2, a força de atrito</p><p>devida ao deslizamento é</p><p>na qual a força de atrito seco Fseco = µc NA é proporcional a força de aderência</p><p>NA (produzida pela pilha PZT vertical) que atua na direção normal à massa</p><p>deslizante m2. O leitor deve notar que a função sinal sgn é usada na Eq. (2.31)</p><p>para determinar o sentido (ou sinal) da força de atrito Fa. Se 1 – 2 > 0 (isto é,</p><p>a massa aderida m1 está se movendo para a direita mais rapidamente que a</p><p>massa m2), então as setas para as forças de atrito Fa estão mostradas</p><p>corretamente na Figura 2.21. Entretanto, a Eq. (2.31) irá determinar</p><p>corretamente a força de atrito se 1 – 2 < 0 e a massa m2 está se movendo</p><p>mais rápido que a massa m1.</p><p>Quando a massa aderida m1 é liberada (NA = 0) e não há contato com a</p><p>massa deslizante, a força de atrito é nula. Tipicamente, a força no atuador PZT</p><p>FPZT é feita zero durante a fase de liberação, e a força de rigidez do atuador</p><p>estendido retorna a massa aderida m1 para sua posição de equilíbrio (x1 = 0).</p><p>Usando FPZT = 0 e Fa = 0, as Eqs. (2.29) e (2.30) se tornam</p><p>Sem contato (liberado):</p><p>Resumindo, o modelo matemático do sistema atuador PZT é composto de</p><p>dois conjuntos de equações</p><p>Movimento com deslizamento: NA > 0</p><p>Sem contato (liberado):</p><p>NA = 0 e FPZT = 0:</p><p>1.</p><p>2.</p><p>Os conjuntos de Eqs. (2.34) e (2.35) constituem o modelo matemático</p><p>completo do atuador PZT, que é não linear por causa da força de atrito seco. A</p><p>integração numérica do modelo do sistema é o único método prático para</p><p>obter a resposta do sistema em razão de uma força de atrito de deslizamento</p><p>não linear. Além disso, a simulação numérica deve continuamente monitorar a</p><p>força de aderência normal NA entre as duas massas e a força do atuador PZT</p><p>FPZT de modo a chavear para o conjunto apropriado de EDOs que governam a</p><p>dinâmica do sistema.</p><p>2.4 SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO</p><p>Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de rotação podem ser obtidos</p><p>usando o mesmo procedimento sistemático de dois passos empregado para os</p><p>sistemas de translação:</p><p>Desenhe um DCL para cada momento de inércia com setas</p><p>representando os torques externos atuando em cada momento de</p><p>inércia. Faça uso da terceira lei de Newton para mostrar os torques de</p><p>reação iguais e opostos. Escreva com atenção equações para cada</p><p>torque usando a lei do elemento apropriada e as convenções positivas</p><p>para as variáveis deslocamento angular.</p><p>Aplique a segunda lei de Newton para cada momento de inércia para</p><p>obter o modelo matemático do sistema mecânico completo.</p><p>A segunda lei de Newton para sistemas de rotação estabelece que a soma de</p><p>todos os torques externos atuando sobre um corpo é igual ao produto do</p><p>momento de inércia J e da aceleração angular do corpo</p><p>Os exemplos a seguir demonstram sistemas mecânicos de rotação de 1 GL e 2</p><p>GLs.</p><p>Exemplo 2.7</p><p>A Figura 2.22 mostra um sistema mecânico com um único disco, no qual o</p><p>rotor é suportado por rolamentos, e um motor fornece o torque Tent(t)</p><p>diretamente à inércia do rotor J. Desenvolva o modelo matemático do sistema</p><p>de 1 GL.</p><p>Nesse exemplo, tem-se uma única variável de deslocamento, a posição</p><p>angular θ, que é medida no sentido horário a partir de uma posição de</p><p>referência fixa como mostrado na Figura 2.22. O rotor possui atrito por causa</p><p>dos rolamentos e do fluido em torno do rotor. Assume-se um modelo de atrito</p><p>ideal (linear), e concentra-se o rolamento e o atrito fluido em um único</p><p>coeficiente de atrito rotacional b, com unidades de N·m·s/rad. Assim sendo, o</p><p>torque total de atrito é b , que sempre se opõe ao movimento angular.</p><p>Figura 2.22 Sistema mecânico com disco único para o Exemplo 2.7.</p><p>A Figura 2.23 apresenta o DCL do único momento de inércia J, mostrando</p><p>a convenção positiva (no sentido horário) para o deslocamento angular θ. O</p><p>torque de entrada Tent(t) está no sentido positivo. O sentido do torque de atrito</p><p>é determinado assumindo uma velocidade angular positiva (no sentido</p><p>horário). Essa velocidade angular positiva resulta em um torque resistivo que</p><p>se opõe ao movimento. Assim sendo, b é mostrado no sentido anti-horário</p><p>no DCL.</p><p>Somando todos os torques externos sobre o disco J com a convenção de</p><p>sinal positivo no sentido horário fornece</p><p>Figura 2.23 Diagrama de corpo livre para o rotor (Exemplo 2.7).</p><p>Rearranjando a Eq. (2.37), obtém-se o modelo matemático</p><p>A Eq. (2.38) é um modelo de segunda ordem, linear, do sistema mecânico de</p><p>um único disco. A variável dinâmica é a posição angular θ, e a entrada é o</p><p>torque aplicado Tent(t).</p><p>Note que para esse sistema mecânico de rotação, a posição angular θ não</p><p>aparece explicitamente no modelo de segunda ordem (2.38). Assim sendo,</p><p>pode-se reescrever a Eq. (2.38) como um modelo de primeira ordem usando a</p><p>velocidade angular ω como a variável dinâmica. Substituindo ω = e =</p><p>na Eq. (2.38) tem-se o modelo de primeira ordem</p><p>Ao resolver o modelo de segunda ordem (2.38) determina-se a posição</p><p>angular como função do tempo, ou θ(t), enquanto ao resolver o modelo de</p><p>primeira ordem (2.39) tem-se a velocidade angular ω(t).</p><p>Exemplo 2.8</p><p>A Figura 2.24 mostra um sistema turbina-gerador eólico usado para</p><p>transformar energia mecânica em energia elétrica. Para esse problema,</p><p>assume-se que a inércia da turbina J1 e a do gerador J2 são conectadas</p><p>rigidamente às suas engrenagens no trem de engrenagens. Desenvolva o</p><p>modelo matemático desse sistema mecânico de rotação.</p><p>A inércia da turbina J1 consiste nas pás da turbina eólica, no eixo da</p><p>turbina e na engrenagem 1 (com raio r1), e a inércia do gerador J2 consiste na</p><p>engrenagem 2 (com raio r2) e no rotor do gerador. Ambas as inércias da</p><p>turbina e o gerador possuem atrito viscoso modelado por b1 e b2,</p><p>respectivamente. As pás da turbina extraem energia do vento e produzem um</p><p>torque aerodinâmico Taero, que é a entrada para o sistema e comanda o trem de</p><p>engrenagens. O disco do gerador J2 inclui as bobinas e o movimento</p><p>rotacional dos enrolamentos em um campo magnético gera a energia elétrica.</p><p>Adicionalmente, a corrente nos fios das bobinas em um campo magnético</p><p>induz uma força que se opõe ao movimento do gerador,</p><p>que é representada</p><p>pelo torque do gerador Tger mostrado na Figura 2.24. Os detalhes das</p><p>interações eletromagnéticas são discutidos no Capítulo 3; por enquanto, o</p><p>leitor deve aceitar que Tger é um torque conhecido que se opõe à rotação</p><p>positiva da inércia do gerador J2 como mostrado na Figura 2.24.</p><p>Figura 2.24 Sistema turbina-gerador eólico para o Exemplo 2.8.</p><p>A Figura 2.25 mostra o DCL para o sistema turbina-gerador eólico. A</p><p>convenção de sinal positivo para as rotações angulares θ1 e θ2 é mostrada na</p><p>figura. A força fC no ponto de contato entre as duas engrenagens é ilustrada</p><p>como um par de forças iguais e opostas, de acordo com a terceira lei de</p><p>Newton. Como o torque aerodinâmico Taero fornece um torque positivo ao eixo</p><p>de entrada, a força de contato fC fornece um torque positivo transmitido para o</p><p>eixo de saída (gerador), que é igual à fC r2. Somando os torques em cada</p><p>elemento inércia e aplicando a segunda lei de Newton chega-se a</p><p>Figura 2.25 Diagrama de corpo livre para o sistema turbina-gerador eólico (Exemplo 2.8).</p><p>O sistema turbina-gerador possui um grau de liberdade pois as rotações</p><p>angulares θ1 e θ2 não são independentes por causa do trem de engrenagens. A</p><p>velocidade de ambas as engrenagens no ponto de contato é r1 1 = r2 2, e a</p><p>derivada no tempo da velocidade no ponto de contato fornece r1 1 = r2 2.</p><p>Assim sendo, as Eqs. (2.40) e (2.41) não são independentes. Pode-se usar a</p><p>Eq. (2.41) para determinar a força de contato fC desconhecida</p><p>e substituir essa expressão na Eq. (2.40), o que resulta em</p><p>Escolhe-se descrever o modelo do sistema em termos do ângulo de rotação da</p><p>turbina θ1; assim sendo, substitui-se a velocidade angular do eixo do gerador</p><p>por 2 = (r1/r2) 1 e a aceleração angular do eixo do gerador por 2 = (r1/r2) 1</p><p>na Eq. (2.42). Movendo todas as variáveis dinâmicas para o lado esquerdo</p><p>tem-se</p><p>Finalmente, pode-se substituir a relação de transmissão N = r2 / r1 na Eq.</p><p>(2.43)</p><p>A Eq. (2.44) é o modelo matemático do sistema turbina-gerador eólico. Pode-</p><p>se escrever o modelo do sistema de uma forma mais compacta definindo a</p><p>inércia e o coeficiente de atrito equivalentes ou “compostos” como</p><p>Assim sendo, o modelo completo do sistema usando os coeficientes</p><p>compostos é</p><p>Os termos compostos Jc1 e bc1 representam a inércia e o coeficiente de atrito</p><p>equivalentes experimentados pelo eixo da turbina. A inércia do gerador</p><p>“refletida” de volta para o eixo da turbina por meio do trem de engrenagens é</p><p>J2 / N2, e o coeficiente de atrito do gerador “refletido” para o eixo da turbina é</p><p>b2 / N2. O torque externo aplicado equivalente no eixo da turbina é a soma Taero</p><p>e – Tger / N.</p><p>Finalmente, note que pode-se reescrever o modelo matemático completo</p><p>(2.45) em termos da velocidade angular do eixo da turbina usando ω1 = 1 e</p><p>1 = 1</p><p>A Equação (2.46) é um modelo de primeira ordem para o sistema turbina-</p><p>gerador eólico, e sua solução irá fornecer apenas a informação de velocidade</p><p>angular. O leitor deve notar a similaridade entre o modelo turbina-gerador</p><p>eólico (2.46) e o modelo de um único disco mecânico do Exemplo 2.7.</p><p>Exemplo 2.9</p><p>A Figura 2.26 mostra um sistema mecânico com duplo disco proposto como</p><p>um eficiente gerador para veículos híbridos [3]. Desenvolva o modelo</p><p>matemático completo.</p><p>O sistema mecânico representado pelo Figura 2.26 é composto por um</p><p>pistão (disco J1) conectado a um cilindro (disco J2). Ambos os discos giram</p><p>em torno de um eixo comum. Os discos estão conectados por uma mola</p><p>torcional, representada pela mola rotacional de constante k. Os deslocamentos</p><p>angulares θ1 (disco pistão) e θ2 (disco cilindro) são medidos a partir das suas</p><p>posições de equilíbrio, com a rotação positiva no sentido horário quando o</p><p>sistema é visto a partir da esquerda. Ambos os discos possuem atrito, que é</p><p>modelado por um coeficiente de atrito viscoso b. Um torque em razão da</p><p>pressão dos gases de um motor diesel, Tent(t), comanda o sistema de dois</p><p>discos com um par igual e contrário, como indicado na Figura 2.26. As</p><p>rotações angulares dos discos relativas aos ímãs estacionários geram corrente</p><p>elétrica e torques de reação, mas esses efeitos não são incluídos nesse</p><p>exemplo. Durante o modo de operação normal, o torque de entrada do motor</p><p>Tent(t) é pulsado de tal maneira que o sistema elástico deflete fazendo com que</p><p>ambos os discos vibrem em torno de uma posição angular média em um</p><p>determinado sentido. Neste estágio inicial do livro, é importante que o leitor</p><p>seja capaz de desenvolver o modelo matemático dado o sistema mecânico</p><p>com seus deslocamentos e variáveis de entrada definidos na Figura 2.26.</p><p>Figura 2.26 Modelo mecânico para um gerador com duplo disco para o Exemplo 2.9.</p><p>Como nos exemplos anteriores, inicia-se com um DCL do sistema</p><p>mecânico de rotação acoplado, mostrado na Figura 2.27. Ambos os discos são</p><p>mostrados nos DCLs, com os deslocamentos angulares positivos (sentido</p><p>horário) θ1 e θ2. O torque de entrada Tent(t) é mostrado no sentido oposto da</p><p>rotação positiva para o disco pistão J1 e no mesmo sentido da rotação positiva</p><p>para o disco cilindro J2, o que está de acordo com as setas dos torques dadas</p><p>na Figura 2.26. Ambos os torques de atrito dependem apenas das velocidades</p><p>angulares dos respectivos discos, se opõem aos sentidos positivos das</p><p>rotações. O torque proveniente da torção da mola torcional k depende do</p><p>deslocamento angular relativo θ1 – θ2. Se for assumido que o ângulo do pistão</p><p>θ1 é maior do que o ângulo do cilindro θ2, então a torção da mola torcional k</p><p>irá impor um torque de reação negativo sobre o disco pistão J1 e um torque</p><p>positivo igual e contrário sobre o disco cilindro J2, como mostrado no DCL. É</p><p>claro que o ângulo do pistão θ1 pode ser menor que o ângulo do cilindro θ2. O</p><p>leitor deve verificar que a seta do torque da mola e equações correspondentes</p><p>mostradas na Figura 2.27 permanecem válidas nesse caso.</p><p>Figura 2.27 Diagrama de corpo livre para o sistema gerador com duplo disco (Exemplo 2.9).</p><p>Somando todos os torques externos com o sentido horário como o positivo</p><p>de acordo com a convenção de sinais e aplicando a segunda lei de Newton</p><p>para o sistema rotacional, obtém-se</p><p>Rearranjando essas equações com as variáveis dinâmicas (θ1 e θ2) no lado</p><p>esquerdo e a variável de entrada Tent(t) no lado direito, tem-se</p><p>As Eqs. (2.47a) e (2.47b) representam o modelo matemático do sistema</p><p>gerador de duplo disco. Como são dois elementos inércia, o modelo completo</p><p>consiste em duas EDOs de segunda ordem, acopladas. O modelo é linear, pois</p><p>foram assumidos elementos rigidez e amortecimento lineares. Note que todos</p><p>os termos relacionados com a aceleração, velocidade e posição angular do</p><p>disco J1 na Eq. (2.47a) possuem o mesmo sinal; similarmente, todos os termos</p><p>associados com θ2 (e suas derivadas) na Eq. (2.47b) possuem o mesmo sinal.</p><p>Essa característica ocorre para sistemas inerentemente estáveis, e o leitor é</p><p>estimulado a usar a verificação de sinais nos DCL e os passos algébricos que</p><p>levam ao modelo matemático correto.</p><p>Pode-se reescrever o modelo matemático em termos do deslocamento</p><p>angular relativo entre o disco cilindro J2 e o disco pistão J1, isto é, Δθ = θ2 –</p><p>θ1. Subtraindo a Eq. (2.47a) da Eq. (2.47b) fornece</p><p>Como as inércias do pistão e do cilindro são iguais (o sistema de duplo disco é</p><p>equilibrado), pode-se substituir J = J1 = J2. Além disso, pode-se substituir a</p><p>variável de deslocamento angular relativo Δθ = θ2 – θ1 e suas derivadas Δ =</p><p>2 – 1 e Δ = 2 – 1 para obter</p><p>A Eq. (2.48) é uma única EDO de segunda ordem, linear, que modela o</p><p>sistema mecânico de disco duplo. No caso de discos de inércias iguais, ela</p><p>representa a mesma dinâmica das Eqs. (2.47a) e (2.47b). Entretanto, a Eq.</p><p>(2.48) emprega o deslocamento angular relativo Δθ como a variável dinâmica,</p><p>e, portanto, sua solução fornecerá apenas informação sobre o ângulo relativo</p><p>entre os dois discos. Enquanto o emprego da torção angular relativa Δθ como</p><p>a única variável dinâmica pode parecer em um primeiro momento como</p><p>restritiva, ela pode ser usada para calcular medidas de desempenho</p><p>importantes para o sistema.</p><p>Por exemplo, considere a potência líquida de</p><p>entrada: a potência de entrada para um sistema mecânico é o produto da força</p><p>(ou torque) de entrada e da velocidade (ou velocidade angular). Nesse caso, o</p><p>torque de entrada Tent(t) é definido como positivo quando está no mesmo</p><p>sentido da rotação positiva do disco cilindro θ2 e da rotação negativa do disco</p><p>pistão θ1 (veja a Figura 2.26). Assim sendo, a potência líquida de entrada é</p><p>A Eq. (2.49) mostra que a potência líquida de entrada pode ser calculada a</p><p>partir da velocidade angular relativa entre os dois discos, que é determinada</p><p>pela solução da equação única (2.48) do modelo.</p><p>SUMÁRIO</p><p>Neste capítulo foi introduzida uma abordagem sistemática para o</p><p>desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas mecânicos.</p><p>Inicialmente, foram discutidas as características físicas dos elementos inércia,</p><p>rigidez e de dissipação de energia que existem em sistemas mecânicos. Em</p><p>seguida, o procedimento de modelagem foi iniciado pelo desenho de todas as</p><p>forças em um DCL para cada elemento inércia. A terceira lei de Newton é</p><p>usada para desenhar as forças de reação iguais e contrárias que existem entre</p><p>os elementos inércia. A soma de todas as forças de acordo com o sentido</p><p>positivo assumido é igualada ao produto da massa e aceleração (segunda lei</p><p>de Newton). Assim, cada elemento inércia em um sistema mecânico requer</p><p>uma EDO de segunda ordem porque a aceleração é a segunda derivada no</p><p>tempo da posição. Por exemplo, um sistema mecânico composto por três</p><p>massas concentradas, cada uma das quais possuindo uma variável de</p><p>deslocamento independente, é modelado por três EDOs de segunda ordem. No</p><p>caso especial no qual as equações que modelam o sistema não dependam das</p><p>variáveis deslocamento, a velocidade pode ser usada como a variável</p><p>dinâmica e, portanto, pode-se representar uma única massa concentrada por</p><p>uma EDO de primeira ordem. Para um sistema mecânico com movimento de</p><p>translação, o deslocamento horizontal ou vertical é a variável dinâmica. Para o</p><p>movimento de rotação, o DCL é desenhado mostrando os torques aplicados</p><p>em cada momento de inércia e o deslocamento angular é a variável dinâmica.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>5.</p><p>6.</p><p>2.1</p><p>Choi, S.B., Choi, J.H., Lee, Y.S., e Han, M.S., “Vibration Control of an</p><p>ER Seat Suspension for a Commercial Vehicle”, ASME Journal of</p><p>Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 125, March 2003, pp.</p><p>60-68.</p><p>Salisbury, S.P., Mrad, R.B., Waechter, D.F., e Prasad, S.E., “Design,</p><p>Modeling, and Closed-Loop Control of a Complementary Clamp</p><p>Piezoworm Stage”, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol. 14,</p><p>December 2009, pp. 724-732.</p><p>Dunne, J.F., “Dynamic Modeling and Control of Semifree-Piston Motion</p><p>in a Rotary Diesel Generator Concept”, ASME Journal of Dynamic</p><p>Systems, Measurement, and Control, Vol. 132, September 2010, pp.</p><p>051003/1-051003/12.</p><p>Liu, J.-J., e Yang, Y.-P., “Disk Wooble Control in Optical Disk Drives”,</p><p>ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol.</p><p>127, September 2005, pp. 508-514.</p><p>O’Connor, D.N., Eppinger, S.D., Seering, W.P., e Wormley, D.N.,</p><p>“Active Control of a High-Speed Pantograph”, ASME Journal of</p><p>Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 119, March 1997, pp.</p><p>1-4.</p><p>Genin, J., Ginsberg, J.H., e Ting, E.C., “Longitude Train-Track</p><p>Dynamics: A New Approach”, ASME Journal of Dynamic Systems,</p><p>Measurement, and Control, Vol. 96, December 1974, pp. 466-469.</p><p>PROBLEMAS</p><p>Problemas Conceituais</p><p>Um sistema de isolamento de vibrações é mostrado na Figura P2.1. O</p><p>amortecedor b1 conecta a massa m à superfície horizontal superior. O</p><p>suporte de vibrações que apoia a massa sobre a base móvel é</p><p>modelado por uma rigidez k e um atrito viscoso b2 concentrados. O</p><p>2.2</p><p>deslocamento de base zent(t) é a entrada do sistema e z é o</p><p>deslocamento vertical da massa m, medido a partir da posição de</p><p>equilíbrio estático. Desenvolva o modelo matemático para esse sistema</p><p>mecânico.</p><p>Figura P2.1</p><p>A Figura P2.2 mostra um sistema mecânico comandado pelo</p><p>deslocamento na extremidade esquerda, xent(t), que pode ser fornecido</p><p>por um came rotacional e um seguidor. Quando o deslocamento xent(t)</p><p>= 0 e x = 0, a mola k não está nem comprimida nem tracionada.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico.</p><p>Figura P2.2</p><p>2.3</p><p>a.</p><p>b.</p><p>2.4</p><p>A Figura P2.3 mostra um sistema massa-amortecedor de 1 GL. O</p><p>deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio, na qual o</p><p>amortecedor está na posição “neutra”. A força externa fa(t) é aplicada</p><p>diretamente sobre a massa m.</p><p>Figura P2.3</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico com a</p><p>posição x como a variável dinâmica.</p><p>Desenvolva o modelo matemático com a velocidade v(t) = (t)</p><p>como a variável dinâmica.</p><p>Um sistema mecânico de 2 GLs com um amortecedor e uma mola em</p><p>série é mostrado na Figura P2.4. O movimento independente da massa</p><p>m é z1, e z2 é o deslocamento independente do ponto de contato entre o</p><p>amortecedor b e a mola k. A mola não está deformada quando z1 = z2 =</p><p>0. Uma força externa fa(t) atua sobre a massa m. Desenvolva o modelo</p><p>matemático do sistema mecânico. [Sugestão: desenhe os DCLs para o</p><p>ponto de contato e para a massa m e despreze a inércia do “ponto sem</p><p>massa”.]</p><p>2.5</p><p>2.6</p><p>Figura P2.4</p><p>A Figura P2.5 mostra o mesmo sistema mecânico de 2 GLs da Figura</p><p>P2.4, porém com a conexão série do amortecedor e da mola invertida.</p><p>O movimento independente da massa m é z1 e z2 é o deslocamento</p><p>independente do ponto de contato entre o amortecedor b e a mola k. A</p><p>mola não está deformada quando z1 = z2 = 0. Uma força externa fa(t)</p><p>atua sobre a massa m. Desenvolva o modelo matemático do sistema</p><p>mecânico. [Sugestão: desenhe os DCLs para o ponto de contato e para</p><p>a massa m e despreze a inércia do “ponto sem massa”.]</p><p>Figura P2.5</p><p>A Figura P2.6 mostra uma massa m deslizando sobre um filme de óleo</p><p>com coeficiente de atrito viscoso b. A massa está se movendo em</p><p>direção ao elemento de rigidez k e no instante t = 0 sua posição é x(0)</p><p>= 0, a velocidade (0) = 0,4 m/s, e ela está a 0,5 m do elemento</p><p>rigidez. Desenvolva o modelo matemático desse sistema mecânico</p><p>(note que o modelo matemático requer duas equações – uma para o</p><p>caso de “não contato” com a mola k, e outra para o caso do contato</p><p>com a mola. Além disso, a mola não pode “puxar” a massa m em</p><p>tração).</p><p>2.7</p><p>2.8</p><p>Figura P2.6</p><p>A Figura P2.7 mostra um sistema mecânico de translação com duas</p><p>massas. A força aplicada fa(t) atua sobre a massa m1. Os deslocamentos</p><p>z1 e z2 são as posições absolutas das massas m1 e m2, respectivamente,</p><p>medidas relativamente às coordenadas fixas (as posições de equilíbrio</p><p>estático com fa(t) = 0). Um filme de óleo com coeficiente de atrito</p><p>viscoso b separa as massas m1 e m2. Desenvolva o modelo matemático</p><p>do sistema mecânico.</p><p>Figura P2.7</p><p>A Figura P2.8 mostra um sistema mecânico. A alavanca de conexão</p><p>possui momento de inércia J em relação ao pino de articulação e o</p><p>ângulo de rotação θ é positivo no sentido horário. A posição da massa</p><p>m é positiva para a direita. Ambos os deslocamentos angular e de</p><p>2.9</p><p>a.</p><p>b.</p><p>translação são medidos a partir da posição de equilíbrio, na qual todas</p><p>as molas estão não deformadas. Desenvolva o modelo matemático</p><p>desse sistema mecânico assumindo pequenos ângulos de rotação θ.</p><p>Figura P2.8</p><p>A Figura P2.9 mostra um sistema mecânico de 2 GLs sem atrito que</p><p>consiste apenas em elementos inércia e rigidez. Os deslocamentos x1 e</p><p>x2 são medidos a partir da posição de equilíbrio (molas não</p><p>deformadas).</p><p>Desenvolva o modelo matemático completo do sistema usando as</p><p>leis de Newton e os DCLs.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema usando o fato que a</p><p>energia mecânica total do sistema permanece constante. [Sugestão:</p><p>escreva uma expressão para a energia total do sistema e faça sua</p><p>derivada no tempo igual a zero.]</p><p>2.10</p><p>2.11</p><p>2.12</p><p>Figura P2.9</p><p>Um sistema mecânico com duas massas de translação possui o</p><p>seguinte modelo matemático:</p><p>Os deslocamentos x1 e x2 são medidos a partir das respectivas posições</p><p>de equilíbrio. Uma força externa fa(t) é aplicada sobre o sistema.</p><p>Esboce uma possível configuração</p><p>para o sistema mecânico com duas</p><p>massas. Rotule todos os elementos e mostre a convenção positiva para</p><p>os deslocamentos no esboço. Esboce os DCLs para cada massa e</p><p>verifique o modelo do sistema pela aplicação das leis de Newton.</p><p>Repita o Problema 2.10 se o modelo matemático do sistema mecânico</p><p>de duas massas é:</p><p>Repita o Problema 2.10 se o modelo matemático do sistema mecânico</p><p>de duas massas é:</p><p>2.13</p><p>2.14</p><p>A Figura P2.13 mostra um disco com momento de inércia J que está</p><p>inicialmente girando em um eixo apoiado em rolamentos. Não há</p><p>torque de entrada de uma fonte externa aplicada no disco. O disco</p><p>girante está imerso em um cilindro estacionário cheio de fluido</p><p>hidráulico. O disco está sujeito a atrito, modelado usando o coeficiente</p><p>de atrito viscoso linear b. Desenvolva uma equação para a taxa</p><p>instantânea de perda de energia (isto é, a potência dissipada) por causa</p><p>da rotação do disco no atrito viscoso usando dois métodos: (1) a</p><p>derivada no tempo da energia mecânica total e (2) a definição potência</p><p>= torque × velocidade angular.</p><p>Figura P2.13</p><p>A Figura P2.14 mostra um sistema mecânico que consiste em uma</p><p>polia montada em um eixo rígido. A polia possui momento de inércia J</p><p>e raio r. Um torque externo Tent é aplicado diretamente na polia.</p><p>Desenvolva o modelo matemático.</p><p>2.15</p><p>2.16</p><p>Figura P2.14</p><p>Um sistema mecânico de rotação com dois discos é mostrado na</p><p>Figura P2.15. Um motor externo (não mostrado) fornece o torque de</p><p>entrada Tent para a engrenagem de entrada 1 (raio r1). O momento de</p><p>inércia do disco 1 e engrenagem 2 é J1, e J2 é o momento de inércia do</p><p>segundo disco. O trem de engrenagens é ideal. A inércia da</p><p>engrenagem 1 pode ser desprezada, e a engrenagem 2 é maior que a</p><p>engrenagem 1 (r2 > r1). Os dois discos estão conectados por um eixo</p><p>flexível com constante de rigidez torcional k. O disco J2 está imerso</p><p>em um fluido viscoso modelado por um coeficiente de atrito b.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico completo.</p><p>Figura P2.15</p><p>A Figura P2.16 mostra um sistema mecânico com duplo disco e dois</p><p>eixos flexíveis representados pelas constantes de mola torcionais k1 e</p><p>k2, respectivamente. O disco J1 possui atrito viscoso b e um torque de</p><p>entrada Tent é aplicado diretamente sobre ele. Ambas as posições</p><p>angulares (θ1 e θ2) são medidas a partir da posição de equilíbrio ou não</p><p>deformada. Desenvolva o modelo matemático completo para esse</p><p>sistema.</p><p>2.17</p><p>2.18</p><p>Figura P2.16</p><p>A Figura P2.17 mostra um sistema com uma única alavanca</p><p>comandada por uma força externa fa(t). A alavanca possui momento de</p><p>inércia J em torno do eixo do pino. Quando o ângulo da alavanca θ = 0</p><p>a mola não está deformada. Desenvolva o modelo matemático para o</p><p>sistema com alavanca assumindo que rotação angular θ permanece</p><p>pequena.</p><p>Figura P2.17</p><p>Problemas MATLAB</p><p>Uma engenheira deseja desenvolver modelos matemáticos para duas</p><p>molas mecânicas. Ela carrega as molas (em tração e compressão),</p><p>mede suas deflexões estáticas e reúne os resultados na Tabela P2.18.</p><p>Use o comando MATLAB polyfit para determinar as equações que</p><p>modelam a força em cada mola. Trace o gráfico do modelo de força de</p><p>ambas as molas para deformações variando de – 8 a 8 mm e inclua os</p><p>pontos medidos da Tabela P2.18 nos gráficos. Comente se as molas</p><p>exibem relações lineares ou não lineares.</p><p>Tabela P2.18</p><p>Força de carregamento (N) Deformação mola #1 (mm) Deformação mola #2 (mm)</p><p>0 0 0</p><p>10 1,2482 1,1682</p><p>15 1,8822 1,7523</p><p>25 3,1938 2,9206</p><p>35 4,6099 4,0888</p><p>45 6,2354 5,2570</p><p>50 7,2055 5,8411</p><p>–10 –1,2482 –1,1682</p><p>–15 –1,8822 –1,7523</p><p>–25 –3,1938 –2,9206</p><p>–35 –4,6099 –4,0888</p><p>2.19</p><p>2.20</p><p>–45 –6,2354 –5,2570</p><p>–50 –7,2055 –5,8411</p><p>Modelar precisamente o atrito em sistemas mecânicos é sempre</p><p>desafiante por causa da característica “stick-slip” em velocidades</p><p>relativas muito pequenas. “Stick-slip” é a denominação dada para a</p><p>transição entre o atrito estático e o atrito cinético (ou dinâmico)</p><p>quando um corpo começa a deslizar. Um modelo de atrito não linear</p><p>que representa adequadamente o fenômeno do stick-slip é</p><p>no qual Fa é a força de atrito total, Fest é a força de atrito estática em</p><p>torno da velocidade zero, FC é a força de atrito de Coulomb (“seco”), c</p><p>é um coeficiente de velocidade, b é o coeficiente de atrito viscoso, e é</p><p>a velocidade relativa entre a massa deslizante e a superfície. Considere</p><p>os parâmetros do modelo de atrito como Fest = 10 N, FC = 7 N, b = 70</p><p>N×s/m. Use o MATLAB para traçar os gráficos da força de atrito total</p><p>versus a velocidade relativa para –0,05 ≤ ≤ 0,05 m/s, considerando</p><p>três valores do coeficiente de velocidade: c = 0,001, 0,002, e 0,005</p><p>m/s. Descreva a força de atrito em velocidades relativas muito</p><p>pequenas e em (relativamente) altas velocidades de ± 0,05 m/s.</p><p>Adicionalmente, explique como a variação do coeficiente de</p><p>velocidade c altera o denominado “efeito de atrito Stribeck” quando a</p><p>velocidade relativa é muito pequena.</p><p>A força de amortecimento em amortecedores de caminhões pesados</p><p>normalmente exibe uma relação não linear com a velocidade relativa</p><p>entre o pistão e o cilindro do amortecedor. Uma força de</p><p>amortecimento típica é</p><p>2.21</p><p>2.22</p><p>na qual Fa é a força de amortecimento (em N), é a velocidade relativa</p><p>entre o pistão e o cilindro (em m/s), e v = 0,2 m/s. Use o MATLAB</p><p>para traçar o gráfico de força de amortecimento versus a velocidade</p><p>relativa para –1,5 ≤ ≤ 1,5 m/s. Descreva a natureza da força de</p><p>amortecimento para valores “pequenos” e “elevados” da velocidade</p><p>relativa.</p><p>A força de amortecimento não linear de um amortecedor para</p><p>automóveis normalmente exibe uma elevada força durante o curso de</p><p>extensão ( > 0), comparada com o curso de compressão ( < 0) para o</p><p>mesmo módulo da velocidade relativa . Assim sendo, o modelo de</p><p>amortecimento não linear do Problema P2.20 é modificado para</p><p>na qual Fa é a força de amortecimento (em N), é a velocidade</p><p>relativa entre o pistão e o cilindro (em m/s), v1 = 0,06 m/s e v2 = 0,19</p><p>m/s. Escreva um programa M MATLAB para traçar o gráfico de força</p><p>de amortecimento versus a velocidade relativa para –1,5 ≤ ≤ 1,5 m/s.</p><p>Esse modelo de amortecimento representa de forma precisa a força de</p><p>atrito quando ≈ 0? Descreva a natureza da força de amortecimento</p><p>para valores “pequenos” e “elevados” da velocidade relativa.</p><p>Aplicações de Engenharia</p><p>A Figura P2.22 mostra um mola helicoidal feita de fio de aço</p><p>inoxidável com seção circular. Pesquise na literatura de engenharia</p><p>para encontrar a equação apropriada à determinação da constante de</p><p>mola e calcule a constante de mola k (em N/m).</p><p>2.23</p><p>2.24</p><p>Figura P2.22</p><p>Repita o Problema P2.22 para uma mola de aço inoxidável, com 5</p><p>espiras e área de seção reta quadrada de 0,8 mm2. O diâmetro externo</p><p>da mola com fio quadrado é idêntico ao da mola com fio circular</p><p>mostrada na Figura P2.22 (isto é, 1,5 cm).</p><p>A Figura P2.24 mostra um sistema de acoplamento fluido, que</p><p>consiste em um disco impulsor J1, um disco turbina J2 e um disco</p><p>carga J3. Cada disco possui uma variável de deslocamento angular</p><p>independente, θ1, θ2, e θ3, que são medidas a partir da posição de</p><p>equilíbrio não deformada (torção nula). Um torque externo Tent(t) é</p><p>aplicado diretamente sobre o disco impulsor J1, que transmite o torque</p><p>para o disco turbina J2 em razão da velocidade angular relativa e do</p><p>coeficiente de atrito viscoso b do fluido hidráulico (os discos J1 e J2</p><p>não estão mecanicamente conectados). O impulsor e a turbina estão</p><p>contidos em uma carcaça selada com fluido hidráulico no seu interior.</p><p>Um eixo flexível com constante de mola torcional k conecta o disco</p><p>turbina J2 ao disco carga J3. Um torque carga externo TC atua</p><p>diretamente sobre o disco J3. Desenvolva o modelo matemático do</p><p>sistema de acoplamento fluido.</p><p>2.25</p><p>Figura P2.24</p><p>A Figura P2.25 mostra um trem de engrenagens comandando um</p><p>braço robótico por meio de um eixo flexível. Um motor externo (não</p><p>mostrado) fornece o torque de entrada Tent para a engrenagem de</p><p>entrada 1 (raio r1). O momento de inércia do disco 1 e da engrenagem</p><p>2 é J1. O trem de engrenagens é ideal. A engrenagem 2 é maior que a</p><p>engrenagem 1 (r1 < r2)</p><p>e a inércia da engrenagem 1 pode ser</p><p>desprezada. O trem de engrenagens e o braço robótico estão</p><p>conectados por um eixo flexível com constante de mola torcional k. O</p><p>braço robótico possui inércia Jcm em torno do seu centro de massa</p><p>(c.m.) e seu c.m. está a uma distância d do eixo de rotação. O peso do</p><p>braço robótico (concentrado no c.m.) fornecerá um torque que se opõe</p><p>ao movimento do braço em torno do eixo de rotação para</p><p>deslocamento angular 0 < θ2 < 180o. O sistema possui atrito</p><p>desprezível. Desenvolva o modelo matemático para o sistema</p><p>mecânico completo. [Sugestão: o momento de inércia do braço em</p><p>torno do eixo de rotação é J2 = Jcm + md2 mediante o teorema dos eixos</p><p>paralelos.]</p><p>2.26</p><p>Figura P2.25</p><p>A Figura P2.26a mostra o esquema de um sistema de leitura óptica de</p><p>discos de computador. O motor do disco (contido no chassi) gira o</p><p>disco, e o motor do carrinho (c/ o leitor) translada a cabeça de leitura</p><p>ao longo da direção radial do disco girante, de tal modo que o laser</p><p>focado “lê” a trilha de dados desejada sobre o disco óptico. Note que</p><p>apesar do servo motor do carrinho poder posicioná-lo na direção</p><p>radial, o carrinho é rigidamente conectado ao chassi (veja a Referência</p><p>4 para maiores detalhes). A Figura P2.26b mostra o leitor de discos</p><p>como um sistema mecânico simplificado de duas massas. A massa m1</p><p>da cabeça de leitura é conectada ao carrinho pela rigidez k1 e o</p><p>coeficiente de atrito b1, enquanto o chassi e o carrinho são</p><p>concentrados na massa m2. Um conjunto de suportes de borracha</p><p>conecta a massa dos chassi m2 à estrutura e esses suportes possuem</p><p>rigidez k2 e coeficiente de amortecimento b2 concentrados. Os suportes</p><p>são usados para suprimir a vibração transmitida pelo movimento da</p><p>estrutura. Os deslocamentos absolutos (medidos a partir da posição de</p><p>equilíbrio) da cabeça de leitura e do chassi/carrinho são x1 e x2,</p><p>respectivamente. O deslocamento absoluto da estrutura é xent(t).</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema de leitura óptica de</p><p>discos.</p><p>2.27</p><p>Figura P2.26a</p><p>Figura P2.26b</p><p>Trens elétricos de alta velocidade empregam um braço mecânico</p><p>denominado pantógrafo para transferir a corrente elétrica dos cabos</p><p>aéreos para o trem (veja a Figura P2.27a). O pantógrafo tipicamente</p><p>consiste em uma estrutura articulada com dois braços, que fornece</p><p>uma força para cima de modo a manter o contato entre uma pequena</p><p>peça (cabeça de contato) e o cabo aéreo [5]. A Figura 2.26b mostra o</p><p>modelo mecânico com duas massas concentradas para o pantógrafo no</p><p>qual m1 é a massa da cabeça de contato, m2 é a massa da estrutura, e k1</p><p>é a rigidez da “sapata” de contato entre a cabeça e o cabo aéreo. A</p><p>suspensão da cabeça de contato é modelada pela rigidez concentrada k2</p><p>e pelo coeficiente de atrito concentrado b1 enquanto a suspensão da</p><p>estrutura envolve apenas um coeficiente de atrito concentrado b2. Um</p><p>pistão pneumático fornece a força fa(t) que empurra para cima a</p><p>estrutura de tal modo que a sapata permaneça em contato com o cabo.</p><p>Os deslocamentos z1 e z2 são medidos a partir das posições de</p><p>equilíbrio estático e zc(t) é o deslocamento do cabo aéreo. Desenvolva</p><p>o modelo matemático do sistema pantógrafo (note que o elemento</p><p>rigidez k1 pode apenas atuar em compressão; isto é, o cabo não pode</p><p>“puxar” em tração a massa da cabeça de contato).</p><p>Figura P2.27a</p><p>2.28</p><p>Figura P2.27b</p><p>A Figura P2.28 mostra um esquema do sistema de comando de</p><p>válvulas de automóveis. O came girante move a haste (seguidor), e o</p><p>balancim gira para mover a válvula na direção vertical. Um modelo</p><p>mecânico simplificado é mostrado ao lado do esquema do comando de</p><p>válvulas. O momento de inércia J representa a inércia do balancim em</p><p>torno do pino de articulação. A deformação da haste é modelada pela</p><p>mola k1, e a mola de retorno na válvula é k2. O atrito do pino do</p><p>balancim é modelado pelo coeficiente de atrito viscoso b. O</p><p>movimento vertical do seguidor imposto pelo came é xC(t), a entrada</p><p>do sistema. A posição angular do balancim é θ, positiva no sentido</p><p>horário. Quando o ângulo do balancim está nivelado (θ = 0), a mola de</p><p>retorno possui uma força de pré-carga compressiva FPC. Quando a</p><p>posição do seguidor é xC = 0 e θ = 0, então a haste (k1) não está</p><p>deformada. Assuma que o ângulo do balancim θ permanece pequeno</p><p>durante todo o tempo. Desenvolva o modelo matemático do sistema de</p><p>comando de válvulas e determine o deslocamento necessário do</p><p>2.29</p><p>seguidor xC quando o sistema estiver em repouso (equilíbrio) com o</p><p>nível do balancim (θ = 0).</p><p>Figura P2.28</p><p>A Figura P2.29 mostra uma locomotiva puxando dois vagões [6]. Os</p><p>dois acoplamentos são modelados pelo coeficiente de rigidez k e</p><p>coeficiente de atrito b. Os deslocamentos zi são as posições absolutas</p><p>de cada massa (vagão) medidas a partir da condição de equilíbrio</p><p>estático na qual não existem forças nos acoplamentos. De modo a</p><p>determinar um modelo linear, assume-se que o atrito de rolamento em</p><p>cada massa é igual ao produto do coeficiente de atrito br e sua</p><p>velocidade absoluta 1. O sistema de propulsão da locomotiva fornece</p><p>uma força externa Fa(t) para a massa m1. Desenvolva o modelo</p><p>matemático completo para o sistema de veículo ferroviário.</p><p>2.30</p><p>Figura P2.29</p><p>A Figura P2.30 mostra o modelo de 1/4 de carro que é empregado para</p><p>analisar a qualidade dos sistemas de suspensão de automóveis no seu</p><p>movimento vertical. A massa m1 é a “massa suspensa”, que</p><p>corresponde a um quarto da massa total do veículo que é suportada</p><p>pelo sistema de suspensão. A massa m2 é a “massa não suspensa”, que</p><p>é uma massa concentrada composta por um conjunto de roda e</p><p>componentes de meio-eixo, mais o amortecedor e mola da suspensão.</p><p>A rigidez e o amortecimento do sistema de suspensão são modelados</p><p>como a constante de mola k1 e o coeficiente de atrito b ideais,</p><p>respectivamente. A rigidez do pneu é modelada pela constante de mola</p><p>k2. Os deslocamentos verticais z1 e z2 das massas m1 e m2 são medidos a</p><p>partir das suas posições de equilíbrio estático. A entrada é o</p><p>deslocamento vertical imposto pela via, zent(t), que é medido em</p><p>relação a determinado nível. Desenvolva o modelo matemático do</p><p>sistema 1/4 de carro-suspensão.</p><p>2.31</p><p>2.32</p><p>Figura P2.30</p><p>Considere novamente o atuador piezoelétrico MEMS discutido no</p><p>Exemplo 2.6. Desenvolva o modelo matemático completo para o</p><p>cenário adicional, no qual o atrito entre as massas m1 e m2 faz com que</p><p>elas “deslizem juntas” e, portanto, o sistema pode ser modelado como</p><p>uma única massa (unida). Nesse caso, tem-se o “atrito estático” e o</p><p>movimento relativo entre as duas massas é nulo ( 1 = 2). Desenvolva</p><p>uma expressão para o módulo da força de atrito estático tal que 1 = 2</p><p>e 1 = 2. Note que o modelo matemático completo consistirá em três</p><p>conjuntos de EDOs para três casos: (1) atrito com deslizamento</p><p>(contato, FPZT > 0), (2) atrito estático (massas unidas, FPZT > 0), e (3)</p><p>sem contato (massas liberadas com FPZT = 0).</p><p>A Figura P2.32 mostra uma representação de parâmetros concentrados</p><p>para um “giroscópio diapasão” conceitual MEMS para medidas de</p><p>velocidades angulares. Os deslocamentos x1, x2 e x3 são as posições</p><p>absolutas das respectivas massas e são medidos a partir das posições</p><p>de equilíbrio nas quais não existe deformação nas molas. O atrito do</p><p>sistema é representado por três elementos amortecedor concentrados</p><p>b1, b2 e b3. Duas forças externar f1 e f2 são aplicadas às massas m1 e m2,</p><p>respectivamente. Desenvolva o modelo matemático para o giroscópio</p><p>MEMS.</p><p>Figura P2.32</p><p>3.1 INTRODUÇÃO</p><p>Circuitos elétricos e dispositivos eletromecânicos são amplamente</p><p>utilizados por engenheiros mecânicos em instrumentação e na conversão</p><p>entre energia elétrica e mecânica. Este capítulo introduz as técnicas</p><p>fundamentais para o desenvolvimento das equações que modelam os</p><p>sistemas elétricos, compostos por elementos resistor, capacitor e indutor. Os</p><p>modelos matemáticos para os sistemas elétricos são desenvolvidos pela</p><p>aplicação das leis da tensão e da corrente de Kirchhoff nos circuitos</p><p>elétricos, assim como pelas leis dos elementos que representam a interação</p><p>entre a carga elétrica, corrente,</p><p>enlace de fluxo magnético e tensão.</p><p>Sistemas eletromecânicos envolvem a interação entre a energia elétrica e</p><p>mecânica como ocorre nos motores, geradores e atuadores, que necessitam</p><p>da análise conjunta dos circuitos elétricos e dos diagramas de corpo livre</p><p>para os componentes mecânicos.</p><p>Como nos sistemas mecânicos no Capítulo 2, será empregada a</p><p>abordagem de parâmetros concentrados, e, desse modo, o modelo</p><p>matemático dos sistemas elétricos consiste em equações diferenciais</p><p>ordinárias (EDOs). Como o objetivo deste capítulo é desenvolver métodos</p><p>para a modelagem de sistemas elétricos e eletromecânicos, o leitor deve ter</p><p>em mente que a intenção é enfatizar as aplicações de engenharia desses</p><p>sistemas. Assim sendo, serão desenvolvidos modelos para dispositivos, tais</p><p>como motores e atuadores, e esses exemplos serão usados ao longo do</p><p>restante do livro. Assim como no capítulo anterior, a seguir são</p><p>desenvolvidos os modelos matemáticos, mas não as soluções das EDOs que</p><p>os representam, e os métodos para determinação da resposta dos sistemas só</p><p>serão tratados nos Capítulos 6-9.</p><p>3.2 LEIS DE ELEMENTOS ELÉTRICOS</p><p>Um sistema elétrico é composto de elementos elétricos, que podem ser</p><p>agrupados em duas categorias: (1) elementos passivos e (2) elementos</p><p>ativos. Os resistores, capacitores e indutores são os elementos passivos</p><p>elétricos, que não podem introduzir energia no sistema, apenas armazená-la</p><p>ou dissipá-la. Os três elementos mecânicos básicos (inércia, rigidez e atrito)</p><p>são também elementos passivos porque podem apenas armazenar energia</p><p>(elementos inércia e rigidez) ou dissipá-la (elemento atrito). Assim sendo, é</p><p>possível estabelecer analogias entre os elementos passivos elétricos e</p><p>mecânicos. As fontes de tensão e corrente são elementos ativos, que podem</p><p>introduzir energia elétrica no sistema, e elas são análogas às entradas de</p><p>força e de movimento para os sistemas mecânicos.</p><p>Esta seção apresenta breves descrições das leis fundamentais que</p><p>modelam os elementos elétricos. São empregados conceitos básicos de</p><p>eletricidade e magnetismo tratados nas disciplinas de física nas</p><p>universidades. A corrente I é a taxa de fluxo da carga elétrica q (em</p><p>coulombs, C) ou I = . Assim sendo, a corrente tem unidade de C/s ou</p><p>ampere (A). A tensão e (em volts, V) é a diferença de potencial elétrico</p><p>entre dois pontos ou as extremidades de um elemento com dois terminais.</p><p>Algumas vezes será considerado que parte do circuito é conectada à “terra”</p><p>na qual a tensão é zero.</p><p>Figura 3.1 Elemento resistor.</p><p>Resistor</p><p>Resistores são elementos elétricos que impedem (resistem) ao fluxo de</p><p>corrente. Os resistores dissipam a energia elétrica pela conversão em calor</p><p>e, consequentemente, são análogos aos elementos atrito em sistemas</p><p>mecânicos. A Figura 3.1 mostra o símbolo para um elemento resistor com</p><p>dois terminais com resistência R. Na Figura 3.1, a corrente I flui através do</p><p>elemento resistor R e eR é o potencial de tensão entre os dois terminais (o</p><p>sinal mais na Figura 3.1 indica o potencial elétrico mais elevado). A lei de</p><p>Ohm define a “queda de tensão” eR através de um resistor ideal como</p><p>na qual R é a resistência em V/A ou ohms (Ω). A Eq. (3.1) é a relação</p><p>tensão-corrente para um resistor linear; resistores podem exibir uma relação</p><p>não linear entre a corrente e a queda de tensão. Potência é a taxa no tempo</p><p>da energia ξ, e para um elemento elétrico é dada por tensão × corrente em</p><p>watts (W). Assim sendo, a potência dissipada por um resistor é</p><p>A Eq. (3.2) possui um sinal de menos para indicar que resistores sempre</p><p>dissipam energia. O leitor deve notar que as potências dissipadas por um</p><p>resistor e pelo amortecedor mecânico como apresentado pela Eq. (2.15) são</p><p>análogas: . A resistência elétrica R é análoga ao coeficiente de</p><p>atrito viscoso b e a corrente I(= ) é análoga à velocidade .</p><p>Capacitor</p><p>Dois condutores separados por um meio não condutor formam um</p><p>capacitor. Um exemplo são duas placas metálicas paralelas separadas por</p><p>um fino material dielétrico. Capacitores armazenam energia no campo</p><p>elétrico resultante do potencial de tensão entre os dois condutores. A Figura</p><p>3.2 mostra o símbolo para um capacitor de dois terminais com corrente I e</p><p>potencial de tensão eC entre os dois terminais. Os capacitores ideais</p><p>(lineares) obedecem a relação carga-tensão</p><p>na qual C é a capacitância em C/V ou farads (F). A capacitância é uma</p><p>medida da carga que pode ser armazenada para uma dada tensão entre os</p><p>condutores. A capacitância C depende de propriedades do material e</p><p>geométricas, tais como a área e a distância entre as duas placas paralelas.</p><p>Pode-se relacionar a capacitância com a corrente empregando a derivada no</p><p>tempo da Eq. (3.3)</p><p>Figura 3.2 Elemento capacitor.</p><p>A queda de tensão através do capacitor pode ser obtida pela integração da</p><p>Eq. (3.4)</p><p>Os capacitores podem armazenar energia em decorrência da sua tensão</p><p>A derivada no tempo da Eq. (3.6) fornece a potência</p><p>Substituindo CèC da Eq. (3.4) na Eq. (3.7), pode-se ver que a potência é</p><p>tensão × corrente.</p><p>Indutor</p><p>Uma simples bobina de fio enrolado forma um indutor. Indutores</p><p>armazenam energia no campo magnético resultante da corrente fluindo</p><p>através do enrolamento de fio. A Figura 3.3 mostra o símbolo para um</p><p>indutor de dois terminais com corrente IL e potencial de tensão eL entre os</p><p>dois terminais. Indutores ideais exibem uma relação linear entre a corrente</p><p>IL e o enlace de fluxo magnético λ</p><p>na qual L é a indutância em webers/ampere (Wb/A) ou henries (H). O</p><p>enlace de fluxo magnético l possui unidades de webers (Wb), e é o produto</p><p>da densidade de fluxo magnético (Wb/m2), área do enrolamento (m2) e do</p><p>número de voltas (ou espiras) na bobina de fio. A indutância L depende das</p><p>propriedades geométricas e do material, tais como o número de espiras</p><p>(voltas) e da área do enrolamento. Se a bobina está em torno de um núcleo</p><p>ferromagnético, a indutância se torna uma função não linear.</p><p>A lei de Faraday da indução magnética estabelece que o enrolamento de</p><p>fio terá uma diferença de tensão induzida entre seus terminais se o fluxo</p><p>magnético varia no tempo. A derivada no tempo do enlace de fluxo é igual</p><p>à tensão através do indutor</p><p>Para um indutor fixo com indutância constante L, pode-se substituir a</p><p>derivada no tempo da Eq. (3.8) na Eq. (3.9) para obter</p><p>Os indutores podem armazenar energia no seu campo magnético por causa</p><p>da corrente</p><p>A derivada no tempo da Eq. (3.11) fornece a potência</p><p>Substituindo da Eq. (3.10) na Eq. (3.11), pode-se ver que a potência é</p><p>tensão × corrente.</p><p>Figura 3.3 Elemento indutor.</p><p>Fontes</p><p>São utilizados dois tipos de fontes ideais para os sistemas elétricos: fontes</p><p>de tensão e de corrente. A Figura 3.4a mostra uma fonte ideal de tensão que</p><p>fornece uma tensão de entrada especificada eent(t) para o circuito,</p><p>independentemente da quantidade de corrente que esteja sendo retirada</p><p>dela. O terminal positivo da fonte de tensão mostrado na Figura 3.4a indica</p><p>o sentido positivo do fluxo de corrente (assume-se que o fluxo de corrente</p><p>ocorre do potencial mais elevado para o menor). A Figura 3.4b mostra uma</p><p>fonte de corrente ideal que fornece uma corrente especificada Ient(t) para o</p><p>circuito, independentemente da quantidade de tensão que seja requerida. O</p><p>símbolo seta na fonte de corrente indica a convenção positiva para o fluxo</p><p>de corrente. Essas fontes serão tratadas como as entradas conhecidas para o</p><p>sistema elétrico, assim como foram consideradas as entradas de força e</p><p>deslocamento para os sistemas mecânicos no Capítulo 2.</p><p>Figura 3.4 Fontes elétricas ideais: (a) fonte de tensão e (b) fonte de corrente.</p><p>3.3 SISTEMAS ELÉTRICOS</p><p>No Capítulo 2, foram desenvolvidos modelos matemáticos para os sistemas</p><p>mecânicos a partir do desenho dos diagramas de corpo livre e aplicação da</p><p>segunda lei de Newton para cada elemento inércia. Em todos os casos, as</p><p>“variáveis dinâmicas” do modelo matemático eram as variáveis de</p><p>deslocamento, como a posição para os sistemas de translação ou o</p><p>deslocamento angular para os sistemas rotacionais. É óbvio que o</p><p>conhecimento desses deslocamentos</p><p>e de suas derivadas (velocidades)</p><p>determina completamente a energia total (cinética + potencial) do sistema</p><p>mecânico. Para os sistemas elétricos, as “variáveis dinâmicas” importantes</p><p>são tensão e corrente: as Eqs. (3.4) e (3.10) mostram que a tensão no</p><p>capacitor eC e a corrente no indutor IL são representadas por EDOs de</p><p>primeira ordem. Além disso, a energia armazenada pelos capacitores e</p><p>indutores dependem da tensão no capacitor eC e da corrente no indutor IL;</p><p>veja as Eqs. (3.6) e (3.11). Assim sendo, os modelos matemáticos de</p><p>sistemas elétricos podem ser escritos em termos das “variáveis dinâmicas”</p><p>importantes (eC e IL) das EDOs de primeira ordem que representam os</p><p>elementos armazenadores de energia. As tensões e correntes em um circuito</p><p>elétrico que não são eC ou IL (isto é, a queda de tensão através de um</p><p>resistor) podem ser escritas em termos das variáveis dinâmicas importantes</p><p>empregando as leis de Kirchhoff.</p><p>Lei de Kirchhoff das Tensões</p><p>A leis de Kirchhoff das tensões (ou “malhas”) estabelece que a soma</p><p>algébrica de todas as tensões através dos elementos em qualquer caminho</p><p>fechado (malha) é igual a zero. A Figura 3.5 mostra um circuito que</p><p>consiste em uma única malha com fonte de tensão eent(t) e três elementos</p><p>passivos. Esses três elementos podem ser qualquer combinação de</p><p>resistores, capacitores ou indutores. O fluxo de corrente positiva I é</p><p>mostrado na figura, na qual a corrente flui através de cada elemento passivo</p><p>do terminal positivo para o terminal negativo. A convenção é atribuir um</p><p>sinal negativo para a “queda de tensão” (no sentido da corrente através de</p><p>um elemento passivo, ou do + para o – em uma fonte de tensão ativa) e um</p><p>sinal positivo para o “aumento de tensão” (no sentido contrário ao da</p><p>corrente através de um elemento passivo, ou do – para o + em uma fonte de</p><p>tensão). Somando as tensões na malha (no sentido horário da corrente)</p><p>resulta em</p><p>Figura 3.5 Exemplo da lei da Kirchhoff das tensões (malhas).</p><p>Logicamente, pode-se somar as tensões percorrendo a malha no sentido</p><p>anti-horário (contra a corrente)</p><p>o que leva ao mesmo resultado algébrico da Eq. (3.13).</p><p>Lei de Kirchhoff das Correntes</p><p>A lei de Kirchhoff das correntes (ou “dos nós”) estabelece que a soma</p><p>algébrica de todas as correntes entrando e saindo de um nó é igual a zero.</p><p>Um nó é definido como a junção de três ou mais fios, e escolhe-se a</p><p>convenção de atribuição do sinal positivo para as correntes entrando em um</p><p>nó, e do sinal negativo para as correntes saindo de um nó. A Figura 3.6</p><p>mostra quatro fios carregando correntes I1, I2, I3 e I4, na qual todos os fios se</p><p>encontram em um único nó. Aplicando a lei dos nós de Kirchhoff tem-se</p><p>1.</p><p>2.</p><p>Figura 3.6 Exemplo da lei da Kirchhoff das correntes (nós).</p><p>Modelos Matemáticos de Sistemas Elétricos</p><p>Modelos matemáticos de sistemas elétricos podem ser determinados usando</p><p>o procedimento esquemático de dois passos:</p><p>Escreva as correspondentes EDOs de primeira ordem para cada</p><p>elemento armazenador de energia (capacitor ou indutor). As</p><p>variáveis dinâmicas da EDOs serão a tensão eC (para um capacitor)</p><p>ou a corrente IL (para um indutor).</p><p>Use as leis de Kirchhoff para expressar as tensões e correntes</p><p>desconhecidas em termos das variáveis dinâmicas associadas com</p><p>os elementos armazenadores de energia (eC ou IL) ou com as fontes</p><p>(entrada de tensão eent ou entrada de corrente Ient).</p><p>Geralmente, escreve-se uma EDO de primeira ordem para cada elemento</p><p>armazenador de energia; isto é, cada capacitor e cada indutor. Por exemplo,</p><p>um circuito com dois capacitores e um indutor resultará em um modelo</p><p>matemático de terceira ordem (isto é, três EDOs de primeira ordem). É</p><p>importante que o modelo completo do sistema elétrico esteja em termos das</p><p>variáveis dinâmicas associadas aos elementos armazenadores de energia e</p><p>das variáveis das fontes de entrada. O procedimento de modelagem em dois</p><p>passos é melhor ilustrado pelos exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 3.1</p><p>A Figura 3.7 mostra um circuito RL série com uma fonte de tensão.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico.</p><p>Esse circuito contém um único elemento armazenador de energia (o</p><p>indutor L) e uma única malha. Consequentemente, o modelo consistirá em</p><p>uma EDO de primeira ordem, com a equação dinâmica para a corrente</p><p>através do indutor, Eq. (3.10)</p><p>Em seguida, deve-se expressar a tensão no indutor eL em termos da variável</p><p>dinâmica IL e/ou da tensão da fonte eent(t). Para tanto, aplica-se a lei de</p><p>Kirchhoff das tensões em torno da malha no sentido horário</p><p>Substituindo a lei de Ohm para a tensão através do resistor (eR = R IL) na</p><p>Eq. (3.17), a tensão no indutor é</p><p>Substituindo a Eq. (3.18) na EDO de primeira ordem (3.16) fornece</p><p>Finalmente, move-se todos os termos envolvendo a variável dinâmica IL</p><p>para o lado esquerdo</p><p>A Eq. (3.19) é o modelo matemático desse simples circuito RL série, uma</p><p>EDO linear, invariante no tempo de primeira ordem.</p><p>Para esse exemplo simples, seria possível iniciar com a lei de Kirchhoff</p><p>das tensões, Eq. (3.17), repetida a seguir</p><p>–eL – eR + eent (t) = 0</p><p>E, na sequência, substituir as leis apropriadas dos elementos para a tensão</p><p>através de um indutor (eL = L L) e a tensão através de um resistor (eR = RIL)</p><p>para fornecer o modelo matemático (3.19). Para circuitos simples de malha</p><p>única, pode-se facilmente encontrar o modelo matemático iniciando pela</p><p>equação de malha a partir da lei de Kirchhoff das tensões.</p><p>Figura 3.7 Circuito RL série para o Exemplo 3.1.</p><p>Exemplo 3.2</p><p>A Figura 3.8 mostra um circuito RLC série com uma fonte de tensão.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico.</p><p>Esse circuito contém dois elementos armazenadores de energia: indutor</p><p>L e capacitor C. Assim sendo, o modelo consiste em duas EDOs de primeira</p><p>ordem em termos da tensão do capacitor eC e da corrente no indutor IL</p><p>As duas variáveis dinâmicas importantes são a tensão no capacitor eC e a</p><p>corrente no indutor IL, e a entrada do sistema é a fonte de tensão eent(t).</p><p>Portanto, a Eq. (3.20) já está completa, porque seu lado direito está</p><p>expresso em termos da corrente IL. Em seguida, deve-se expressar a tensão</p><p>no indutor eL na Eq. (3.21) em termos de eC, IL, ou eent(t). Para tanto, aplica-</p><p>se a lei de Kirchhoff das tensões em torno da única malha no sentido</p><p>horário</p><p>Substituindo a lei de Ohm (eR = RIL) na Eq. (3.22) e resolvendo para a</p><p>tensão no indutor eL tem-se</p><p>A Eq. (3.23) pode ser substituída na Eq. (3.21) fornecendo</p><p>Finalmente, movendo todos os termos envolvendo as variáveis dinâmicas eC</p><p>e IL nas Eqs. (3.20) e (3.24) para o lado esquerdo chega-se à</p><p>As Eqs. (3.25) e (3.26) modelam matematicamente o sistema elétrico RLC</p><p>série. O modelo completo é linear de segunda ordem, pois consiste em duas</p><p>EDOs de primeira ordem acopladas, lineares.</p><p>Como esse sistema elétrico é simples, pode-se determinar outra forma</p><p>do modelo matemático diretamente da lei de Kirchhoff, Eq. (3.22), repetida</p><p>a seguir</p><p>Na sequência, substituindo as expressões apropriadas para as quedas de</p><p>tensão através de cada um dos três elementos passivos</p><p>Figura 3.8 Circuito RLC série para o Exemplo 3.2.</p><p>A Eq. (3.28) é uma equação íntegro-diferencial pois ela envolve tanto a</p><p>derivada quanto a integral de corrente IL. Pode-se tomar a derivada no</p><p>tempo da Eq. (3.28) para eliminar o termo integral (e adicionalmente,</p><p>mover a variável de entrada eent(t) para o lado direito)</p><p>A Eq. (3.29) é o modelo matemático do circuito RLC. Ele consiste em uma</p><p>única EDO de segunda ordem com variável dinâmica IL e variável de</p><p>entrada eent(t). O leitor deve notar que a única Eq. (3.29) de segunda ordem</p><p>é equivalente às duas Eqs. (3.25) e (3.26) de primeira ordem que modelam</p><p>o sistema. Para comprovar, pode-se tomar a derivada no tempo da Eq.</p><p>(3.26)</p><p>Em seguida, substituir a Eq. (3.25) para a derivada no tempo da tensão do</p><p>capacitor ( C = IL/C) e obter</p><p>que é equivalente ao modelo de segunda ordem (3.29).</p><p>Resumindo, pode-se usar ambos os modelos matemáticos para</p><p>representar a dinâmica do circuito RLC. Se a escolha for as duas equações</p><p>de primeira ordem (3.25) e (3.26), a solução</p><p>será em termos das variáveis</p><p>dinâmicas eC e IL. Se for usada a única EDO de segunda ordem (3.29), a</p><p>única variável dinâmica é IL e a entrada é a derivada no tempo da fonte de</p><p>tensão eent(t).</p><p>Exemplo 3.3</p><p>A Figura 3.9 mostra um circuito RLC paralelo alimentado por uma fonte de</p><p>corrente. Desenvolva o modelo matemático para o sistema elétrico.</p><p>Inicia-se o desenvolvimento do modelo como foi feito na Exemplo 3.2:</p><p>este circuito contém dois elementos armazenadores de energia, indutor L e</p><p>capacitor C. Portanto, o modelo consiste em duas EDOs de primeira ordem</p><p>em termos da tensão do capacitor eC e a corrente no indutor IL</p><p>Como o modelo a ser obtido envolve apenas as variáveis dinâmicas eC e IL e</p><p>a fonte de corrente Ient(t), deve-se expressar a corrente no capacitor IC e a</p><p>tensão no indutor eL em termos dessas variáveis. Pode-se aplicar a lei de</p><p>Kirchhoff das correntes ao nó comum que conecta os fios contendo a fonte</p><p>de corrente, resistor, capacitor e indutor. A Figura 3.9 mostra que as</p><p>correntes IR, IL e IC estão fluindo para fora do nó superior, enquanto a fonte</p><p>de corrente Ient(t) está fluindo para dentro do nó. Assim, a lei de Kirchhoff</p><p>das correntes fornece</p><p>que pode ser resolvida para a corrente do capacitor</p><p>Figura 3.9 Circuito RLC paralelo para o Exemplo 3.3.</p><p>A corrente no resistor IR deve ser agora expressa em termos de eC, IL ou</p><p>Ient(t). Pode-se aplicar a lei de Kirchhoff das tensões em qualquer malha que</p><p>contenha dois elementos passivos. Por exemplo, percorrendo no sentido</p><p>horário a malha que contém o resistor R e o indutor L tem-se</p><p>De maneira similar, percorrendo no sentido horário a malha da extremidade</p><p>direita contendo o indutor L e o capacitor C fornece</p><p>As Eqs. (3.36) e (3.37) mostram que todas as quedas de tensão são iguais:</p><p>eR = eL = eC (deve-se lembrar da física básica da universidade ou da</p><p>disciplina elementar de circuitos que dois ou mais elementos conectados em</p><p>um circuito paralelo possuem a mesma tensão entre os seus terminais</p><p>compartilhados). Usando a lei de Ohm, pode-se expressar a corrente no</p><p>resistor como IR = eR / R = eC / R, e, portanto, a corrente no capacitor na Eq.</p><p>(3.35) se torna</p><p>Adicionalmente, pode-se substituir a tensão do indutor (eL = eC) na Eq.</p><p>(3.33). Substituindo a Eq. (3.38) para IC na Eq. (3.32) e a tensão no</p><p>capacitor eC para eL na Eq. (3.33) chega-se à</p><p>As Eqs. (3.39) e (3.40) são as que modelam matematicamente o circuito</p><p>RLC paralelo. O modelo completo do sistema é linear e de segunda ordem</p><p>pois consiste em duas EDOs de primeira ordem lineares, acopladas.</p><p>Pode-se expressar o modelo elétrico com uma única EDO de segunda</p><p>ordem em termos da tensão no capacitor eC tomando a derivada no tempo</p><p>da Eq. (3.39)</p><p>Em seguida, resolvendo a Eq. (3.40) para a taxa no tempo da corrente do</p><p>indutor, L = eC / L, e substituindo o resultado na Eq. (3.41) tem-se</p><p>A Eq. (3.42) é o modelo matemático do circuito RLC paralelo, e é</p><p>equivalente ao representado pelas duas equações de primeira ordem (3.39) e</p><p>(3.40), acopladas.</p><p>Exemplo 3.4</p><p>A Figura 3.10 mostra um sistema elétrico com duas malhas alimentado por</p><p>uma fonte de corrente. Desenvolva o modelo matemático do sistema</p><p>elétrico.</p><p>Como o sistema possui apenas um elemento armazenador de energia,</p><p>inicia-se com a equação básica que modela um capacitor</p><p>Em seguida, usando a lei de Kirchhoff das correntes no nó marcado com</p><p>“A” na Figura 3.10</p><p>Figura 3.10 Sistema Elétrico para o Exemplo 3.4.</p><p>Assim, substituindo a Eq. (3.44) para a corrente no capacitor na Eq. (3.43)</p><p>obtém-se</p><p>Desse modo, é necessária uma expressão para a corrente através do resistor</p><p>R. Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões para a malha da direita na</p><p>Figura 3.10 (percorrida no sentido horário) fornece</p><p>Pode-se expressar a queda de tensão em ambos os resistores na Eq. (3.46)</p><p>usando a lei de Ohm</p><p>Substituindo IC = Ient(t) – I2 na Eq. (3.47) fornece</p><p>Agrupando os termos na Eq. (3.48) que envolve a corrente através do</p><p>resistor R2, obtém-se</p><p>Finalmente, pode-se resolver a Eq. (3.49) para a corrente I2 e substituindo o</p><p>resultado na Eq. (3.45) para obter a equação dinâmica do capacitor</p><p>Multiplicando a Eq. (3.50) por R1 + R2 e rearranjando tem-se</p><p>A Eq. (3.51) é o modelo matemático para o sistema elétrico, uma EDO</p><p>linear de primeira ordem, pois o circuito possui um único capacitor. O leitor</p><p>deve notar que todos os termos na Eq. (3.51) são tensões.</p><p>Exemplo 3.5</p><p>A Figura 3.11 mostra um sistema elétrico com duas malhas alimentado por</p><p>uma fonte de tensão. Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico.</p><p>Inicia-se o desenvolvimento do modelo como foi feito nos Exemplos</p><p>3.2 e 3.3: este circuito contém dois elementos armazenadores de energia, o</p><p>indutor L e o capacitor C. Assim sendo, o modelo consiste em duas EDOs</p><p>de primeira ordem em termos da tensão no capacitor eC e da corrente no</p><p>indutor IL</p><p>Figura 3.11 Sistema elétrico para o Exemplo 3.5.</p><p>Deve-se expressar a corrente no capacitor IC e a tensão no indutor eL em</p><p>termos das variáveis dinâmicas IL e eC e da tensão de entrada eent(t). Para</p><p>iniciar, aplicando a lei de Kirchhoff das correntes ao nó “A” na Figura 3.11</p><p>Portanto, a corrente no capacitor requerida na Eq. (3.52) é IC = I1 – IL. A</p><p>corrente através do resistor R1 pode ser determinada a partir da lei de Ohm,</p><p>I1 = eR1</p><p>/ R1, se for obtida a queda de tensão através do resistor. A queda de</p><p>tensão no resistor R1 é determinada a partir da lei de Kirchhoff das tensões</p><p>em torno da malha do lado esquerdo (percorrida no sentido horário):</p><p>Assim sendo, a queda de tensão em R1 é</p><p>e a corrente através do resistor R1 é</p><p>Finalmente, substituindo a Eq. (3.57) para a corrente do resistor R1 e usando</p><p>a Eq. (3.54) para a corrente do capacitor na Eq. (3.52), a equação que</p><p>modela a tensão no capacitor é</p><p>A Equação (3.58) é completa porque está em termos de eC, IL e eent(t).</p><p>Em seguida, deve-se determinar uma expressão para a tensão no indutor</p><p>eL na equação dinâmica do indutor, Eq. (3.53). Aplicando a lei de Kirchhoff</p><p>das tensões para a malha do lado direito na Figura 3.11 (percorrida no</p><p>sentido horário) fornece</p><p>Portanto, a queda de tensão no indutor é eL = eC – eR2</p><p>. A queda de tensão no</p><p>resistor R2 é determinada pela lei de Ohm, eR2</p><p>= R2IL, e, assim, a Eq. (3.53)</p><p>se torna</p><p>Finalmente, pode-se multiplicar a Eq. (3.58) por R1 e incluir todas as</p><p>variáveis dinâmicas (eC e IL) nas Eqs. (3.58) e (3.60) no lado esquerdo e a</p><p>entrada do sistema eent(t) no lado direito fornecendo</p><p>As Eqs. (3.61) e (3.62) são o modelo matemático do sistema elétrico de</p><p>dupla malha. O sistema completo é linear e de segunda ordem porque</p><p>consiste em duas EDOs acopladas, lineares, de primeira ordem. O leitor</p><p>deve notar que todos os termos nas Eqs. (3.61) e (3.62) são tensões.</p><p>3.4 CIRCUITOS COM AMPLIFICADORES OPERACIONAIS</p><p>Um amplificador operacional (“op-amp”) é um moderno dispositivo</p><p>eletrônico empregado para amplificar (“ganho”) um sinal de tensão. Eles</p><p>podem ser usados também em circuitos para construir filtros que removem</p><p>uma faixa de frequência desejada de sinais de entrada. Os op-amps foram</p><p>inicialmente desenvolvidos nos anos 1940 e durante sua evolução foram</p><p>utilizados tubos a vácuo, transistores e circuitos integrados. Não serão</p><p>investigados neste trabalho detalhes de um op-amp; no lugar disto, esta</p><p>seção focará nos circuitos básicos com op-amps.</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>A Figura 3.12 mostra o diagrama esquemático de um op-amp que</p><p>possui dois terminais no lado de entrada (esquerda) e um terminal de saída</p><p>(lado direito). Os terminais de entrada com sinais negativo e positivo são</p><p>conhecidos como os terminais inversor e não inversor, respectivamente. A</p><p>tensão de saída esai do op-amp mostrada na Figura 3.12 é</p><p>na qual K é o “ganho de tensão” do op-amp, que normalmente é muito</p><p>elevado e da ordem de 105 V/V.</p><p>Figura 3.12 Amplificador operacional.</p><p>A análise dos circuitos com op-amp é enormemente simplificada</p><p>utilizando o que é conhecido com um op-amp ideal, que possui as seguintes</p><p>características:</p><p>Nos terminais de entrada do op-amp flui corrente desprezível.</p><p>A diferença de tensão nos terminais</p><p>de entrada eB – eA é nula.</p><p>O ganho K é infinito.</p><p>Essas características do op-amp ideal mostram que é difícil determinar a</p><p>tensão de saída esai usando a configuração na Figura 3.12 e a Eq. (3.63), pois</p><p>a entrada eB – eA ≈ 0 e o ganho K é infinito. Pode ser visto que o uso de um</p><p>circuito com “realimentação negativa” conectando o terminal de saída ao</p><p>terminal inversor (negativo) de entrada (não mostrado na Figura 3.12)</p><p>provoca a segunda condição idealizada. Todos os circuitos com op-amp</p><p>considerados neste capítulo utilizam essa configuração com realimentação</p><p>negativa, como será demonstrado nos exemplos que seguem.</p><p>Exemplo 3.6</p><p>A Figura 3.13 mostra um circuito com op-amp, uma entrada (fonte) de</p><p>tensão eent(t) e uma tensão de saída esai. Desenvolva a relação entre as</p><p>tensões de entrada e saída.</p><p>Esse circuito contém um resistor R1 entre a tensão de entrada e o</p><p>terminal negativo de entrada do op-amp e um segundo resistor R2 entre a</p><p>tensão de saída e o terminal negativo de entrada do op-amp (realimentação</p><p>negativa). O terminal positivo de entrada do op-amp está diretamente</p><p>conectado à terra e portanto a tensão eB = 0. Como a diferença de tensão na</p><p>entrada é zero para um op-amp ideal com realimentação negativa (isto é, eB</p><p>– eA = 0) e eB = 0, a tensão de entrada eA para o terminal inversor é também</p><p>nula.</p><p>Figura 3.13 Circuito com op-amp para o Exemplo 3.6.</p><p>A lei de Kirchhoff das correntes é aplicada ao nó superior entre os dois</p><p>resistores na Figura 3.13:</p><p>Entretanto, a corrente que flui em um op-amp ideal é desprezível (IA = 0), e,</p><p>portanto, I1 = I2 e as correntes através dos dois resistores é igual. Pode-se</p><p>escrever expressões para I1 e I2 empregando a lei de Ohm e dividindo as</p><p>respectivas quedas de tensão pela resistência</p><p>O termo do lado esquerdo na Eq. (3.65) é a corrente I1, e o termo do lado</p><p>direito é a corrente I2. Pode-se reescrever a Eq. (3.65) como</p><p>Rearranjando a Eq. (3.66) com a tensão de entrada do op-amp eA no lado</p><p>esquerdo, obtém-se</p><p>ou, resolvendo para eA</p><p>Em seguida, substituindo a Eq. (3.68) na equação do ganho do amplificador</p><p>Eq. (3.63)</p><p>Note que eB = 0 uma vez que o terminal positivo de entrada do op-amp na</p><p>Figura 3.13 está diretamente conectado à terra. A Eq. (3.69) é rearranjada</p><p>com todos os termos da tensão de saída no lado esquerdo para fornecer</p><p>A Eq. (3.70) pode ser simplificada multiplicando ambos os lados por R1 +</p><p>R2</p><p>Finalmente, a tensão de saída é</p><p>Como o ganho K é extremamente elevado, pode-se tomar o limite da Eq.</p><p>(3.72) para K → ∞ e obter a relação da tensão de saída de um circuito com</p><p>op-amp ideal</p><p>A Eq. (3.73) mostra que a tensão de saída do circuito com op-amp pode</p><p>ser controlada selecionando os valores dos dois resistores R1 e R2. Note que</p><p>um valor específico do ganho K do op-amp não afeta a tensão de saída – o</p><p>único requerimento é que o ganho K seja muito alto. Como a tensão de</p><p>saída esai possui sinal negativo em relação à tensão de entrada, o circuito na</p><p>Figura. 3.13 é denominado um amplificador inversor. A relação tensão de</p><p>entrada-saída da Eq. (3.73) é uma equação algébrica e não é uma EDO</p><p>porque o circuito não contém nenhum dos elementos armazenadores de</p><p>energia.</p><p>Note que a tensão de entrada do op-amp eA pode ser obtida pela</p><p>substituição da tensão de saída determinada pela Eq. (3.73) na Eq. (3.68)</p><p>Assim, a conexão com realimentação negativa na Figura 3.13 entre os</p><p>terminais de saída e entrada do op-amp resulta em eA = 0. Como eB = 0, a</p><p>diferença de tensão nos terminais de entrada é eB – eA = 0, que é a segunda</p><p>característica de um op-amp ideal.</p><p>Como observação final desse exemplo, considere o circuito com op-</p><p>amp da Figura 3.13 empregando os seguintes valores numéricos: eent(t) =</p><p>1,5 V, R1 = 2 Ω e R2 = 4 Ω. Desse modo, usando a Eq. (3.73) a tensão de</p><p>saída é esai = – 3 V. Assim sendo, a corrente através do primeiro resistor R1 é</p><p>I1 = 1,5 V/ 2 Ω = 0,75 A fluindo do potencial mais elevado (eent = 1,5 V)</p><p>para o menor potencial (eA = 0). A corrente no segundo resistor R2 é I2 = 3</p><p>V/ 4 Ω = 0,75 A fluindo do potencial mais elevado (eA = 0) para o menor</p><p>potencial (esai = – 3 V).</p><p>Exemplo 3.7</p><p>A Figura 3.14 mostra um circuito com op-amp, uma tensão de entrada</p><p>eent(t), uma tensão de saída esai, e um capacitor C em um ramo conectando os</p><p>terminais de saída e entrada. Desenvolva a relação entre as tensões de</p><p>entrada e de saída.</p><p>Figura 3.14 Circuito com op-amp para o Exemplo 3.7.</p><p>Como esse circuito com op-amp contém uma conexão entre os</p><p>terminais de saída e de entrada com realimentação negativa, serão</p><p>empregadas as características do op-amp ideal e ajustado eA = 0 (o terminal</p><p>de entrada positiva eB = 0 uma vez que está conectado à terra). Além disso,</p><p>como não há corrente atravessando o op-amp (IA = 0), aplicando a lei de</p><p>Kirchhoff das correntes no nó superior tem-se</p><p>Substituindo a lei de Ohm para as correntes I1 e I2 e a equação que modela</p><p>um capacitor, Eq. (3.4) para a corrente I3 na Eq. (3.75) fornece</p><p>Fazendo eA = 0 por causa da conexão entre os terminais de saída e de</p><p>entrada com realimentação negativa, a Eq. (3.76) se torna</p><p>que pode ser reescrita como</p><p>A Eq. (3.78) é um modelo de EDO de primeira ordem do circuito com op-</p><p>amp na Figura 3.14. Foi obtido um modelo dinâmico (uma EDO), pois o</p><p>circuito inclui um elemento armazenador de energia (capacitor C).</p><p>Obviamente, se o capacitor for removido, o circuito se torna o amplificador</p><p>inversor do Exemplo 3.6 e a Eq. (3.78) fica igual à Eq. (3.73).</p><p>3.5 SISTEMAS ELETROMECÂNICOS</p><p>Como estabelecido na Seção 3.1, um dos principais objetivos deste capítulo</p><p>é desenvolver modelos matemáticos de sistemas eletromecânicos, que são</p><p>criados pela combinação de elementos mecânicos e elétricos. Engenheiros</p><p>mecânicos e aeroespaciais usam sistemas eletromecânicos para converter</p><p>energia elétrica em mecânica, como deslocamento e/ou velocidade de um</p><p>elemento mecânico. Esses dispositivos são denominados atuadores, e</p><p>exemplos comuns incluem motores e solenoides. Os engenheiros empregam</p><p>conceitos similares para desenvolver dispositivos de instrumentação que</p><p>convertem energia mecânica em sinais elétricos para medidas. Exemplos de</p><p>sensores eletromecânicos incluem acelerômetros, transformadores</p><p>diferenciais de variação linear (LVDTs) e enconders rotacionais. Será</p><p>apresentado o desenvolvimento dos modelos matemáticos de um motor</p><p>rotacional de corrente contínua (CC), de um atuador solenoide de translação</p><p>e de um atuador eletrostático para sistemas micromecânicos.</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>Interação Campo Magnético-Corrente</p><p>Um sistema eletromecânico utiliza a interação entre uma corrente elétrica e</p><p>um campo magnético de modo a estabelecer uma força mecânica. Essas</p><p>interações corrente-campo magnético são descritas pelas leis de Faraday da</p><p>indução e a lei de força de Lorentz. Para os objetivos deste capítulo, o</p><p>tratamento do eletromagnetismo está baseado nos princípios que são</p><p>tipicamente apresentados das disciplinas de física com nível universitário.</p><p>Assim sendo, pode-se empregar três relações básicas entre a corrente</p><p>elétrica e o magnetismo:</p><p>Uma corrente estabelece um campo magnético.</p><p>Um fio condutor com corrente em um campo magnético possui</p><p>uma força exercida sobre ele.</p><p>Um fio se movendo relativamente a um campo magnético terá uma</p><p>tensão induzida entre suas extremidades.</p><p>A Figura 3.15 ilustra a primeira relação básica corrente-magnetismo:</p><p>um fio transportando uma corrente I estabelece linhas de campo magnético</p><p>circulares concêntricas em torno do fio. A lei de Biot-Savart descreve o</p><p>campo magnético B mostrado na Figura 3.15, na qual o sentido das linhas</p><p>de campo é definido aplicando a “regra da mão direita”.</p><p>A Figura 3.16 ilustra a segunda relação corrente-magnetismo mostrando</p><p>um fio estacionário transportando uma corrente I em um campo magnético</p><p>B. O campo magnético B é um vetor com sentido do polo norte (N) para o</p><p>polo sul (S) do ímã permanente e possui uma densidade de fluxo magnético</p><p>em Wb/m2 ou tesla. A força induzida sobre o fio estacionário é representada</p><p>pelo produto vetorial</p><p>na qual ℓ é um vetor na direção ao longo do fio</p><p>e Faraday e</p><p>daquelas que representam as interações entre a carga elétrica, corrente,</p><p>fluxo magnético e tensão nos elementos elétricos. O Capítulo 4 apresenta as</p><p>técnicas fundamentais que possibilitam o desenvolvimento de modelos para</p><p>os sistemas fluidos e térmicos. Esse é o último capítulo dedicado à obtenção</p><p>de modelos matemáticos. Modelos fluidos (hidráulicos e pneumáticos)</p><p>estão baseados na conservação de massa, enquanto modelos térmicos são</p><p>obtidos usando a conservação da energia.</p><p>O Capítulo 5 apresenta formas-padrão para representação de modelos</p><p>matemáticos de sistemas dinâmicos: equações em variáveis de estado,</p><p>representação em espaço de estado, equações entrada-saída, funções de</p><p>transferência e diagramas de blocos. O processo de linearização é também</p><p>descrito nesse capítulo. Um conceito-chave enfatizado no Capítulo 5 é que</p><p>cada forma-padrão é simplesmente uma representação conveniente do</p><p>modelo do sistema (isto é, as equações diferenciais) que se presta para a</p><p>análise da sua resposta dinâmica. Assim sendo, o Capítulo 5 serve como</p><p>uma transição entre o modelo matemático desenvolvido (Capítulos 2 a 4) e</p><p>a determinação da resposta do sistema usando tanto a simulação numérica</p><p>quanto técnicas analíticas (Capítulos 6 a 10).</p><p>O Capítulo 6 apresenta métodos de simulação numérica para obtenção</p><p>da resposta de sistemas dinâmicos. Aqui, apenas o programa de simulação</p><p>MATLAB é usado, uma vez que ele se tornou a plataforma computacional-</p><p>padrão para a academia e para a indústria. Inicialmente, é mostrado como</p><p>simular a resposta de sistemas lineares usando comandos MATLAB. O</p><p>programa gráfico Simulink é apresentado em seguida e é o foco desse</p><p>capítulo, além da principal ferramenta de simulação usada ao longo do texto</p><p>a partir daí. O Simulink é empregado para simular sistemas lineares e não</p><p>lineares por meio das formas-padrão tratadas no Capítulo 5.</p><p>Os próximos três capítulos envolvem a solução analítica de sistemas</p><p>lineares. O Capítulo 7 cobre métodos analíticos para obtenção da resposta</p><p>no domínio do tempo com ênfase nos sistemas de primeira e segunda</p><p>ordens. Aqui, os dois conceitos-chave são: (1) a correlação entre as raízes</p><p>da equação característica e forma da resposta livre (ou transiente); e (2) a</p><p>equivalência entre as raízes características, polos da função de transferência</p><p>e autovalores da matriz de estado do sistema. O Capítulo 8 apresenta um</p><p>breve resumo da teoria da transformada de Laplace e o seu uso na obtenção</p><p>da resposta de sistemas dinâmicos lineares. O Capítulo 9 envolve a resposta</p><p>em frequência, ou a resposta do sistema a funções de entrada periódicas.</p><p>Nesse capítulo, a ênfase é sobre o diagrama de Bode como uma</p><p>representação gráfica de toda a informação requerida para a completa</p><p>análise da resposta em frequência.</p><p>O Capítulo 10 introduz o controle de sistemas realimentados nos quais o</p><p>controlador PID (e suas variantes) é enfatizado. Duas técnicas gráficas, o</p><p>método do lugar das raízes e o diagrama de Bode, são utilizadas para</p><p>analisar a resposta da malha fechada, o projeto de controladores e para</p><p>avaliar a estabilidade. O capítulo é concluído com uma breve discussão</p><p>sobre a implementação de controladores como algoritmos a tempo discreto</p><p>em computadores digitais.</p><p>Servindo como “clímax” para o livro, o Capítulo 11 apresenta estudos</p><p>de casos em sistemas dinâmicos e de controle. Sistemas de engenharia</p><p>integrados, multidisciplinares, inspirados pela pesquisa na literatura, servem</p><p>como casos de estudo. Cinco problemas ilustram os principais tópicos do</p><p>livro: (1) desenvolvimento de modelos matemáticos; (2) previsão do</p><p>comportamento do sistema usando métodos analíticos e numéricos; e (3)</p><p>especificação dos parâmetros importantes do sistema, de modo a melhorar</p><p>seu desempenho. O Simulink é extensivamente utilizado para obter a</p><p>resposta dinâmica desses sistemas que normalmente envolvem não</p><p>linearidades e outras complexidades.</p><p>Numerosos exemplos são fornecidos em pontos-chave ao longo dos</p><p>Capítulos 2 a 10 de modo a ilustrar os tópicos discutidos em uma seção</p><p>específica. O final dos Capítulos 2 a 10 contém problemas que são</p><p>agrupados em três categorias: (1) problemas conceituais; (2) problemas</p><p>MATLAB; e (3) aplicações de engenharia. Em vários casos, sistemas reais</p><p>de engenharia (tal como o sistema de suspensão, o atuador solenoide ou um</p><p>circuito de um filtro) são revisitados ao longo do livro nos exemplos e</p><p>problemas do capítulo. Assim como o caso do Capítulo 11, vários dos</p><p>exemplos e problemas no final dos capítulos ilustram conceitos de sistemas</p><p>dinâmicos e de controle pelo tratamento de sistemas físicos de engenharia</p><p>do “mundo real”.</p><p>O Apêndice A apresenta as unidades básicas e derivadas usadas neste</p><p>livro. O Apêndice B fornece uma breve introdução ao MATLAB, aos</p><p>arquivos M e aos comandos que possibilitam resolver problemas</p><p>envolvendo sistemas dinâmicos e de controle. O Apêndice C é uma apostila</p><p>sobre o Simulink e expande o breve tutorial tratado no Capítulo 6.</p><p>Como mencionado, este livro é resultado de 20 anos ensinando sistemas</p><p>dinâmicos e de controle. No longo tempo em que fui professor dessas</p><p>disciplinas, frequentemente empreguei a abordagem da tentativa-e-erro para</p><p>determinar um conjunto ótimo de estratégias que maximizassem a</p><p>1.</p><p>2.</p><p>compreensão dos tópicos fundamentais pelos estudantes. Algumas dessas</p><p>estratégias são exclusivas da minha maneira de ensinar e as apresento aqui</p><p>de tal modo que o leitor possa perceber como este livro marca um ponto de</p><p>partida para outros na área.</p><p>Como a análise e o projeto de controle de sistemas iniciam com o</p><p>desenvolvimento de modelos matemáticos apropriados, os</p><p>fundamentos de modelagem de sistemas físicos são apresentados</p><p>em sequência nos Capítulos 2 a 4. A meta desses capítulos é</p><p>explicar de forma clara e concisa o procedimento de modelagem e,</p><p>para isso, foca-se nos sistemas essenciais e representativos. O</p><p>Capítulo 5 sucintamente apresenta todas as formas-padrão para</p><p>representar modelos de sistemas de tal modo que os fundamentos</p><p>de modelagem são tratados no início do livro e não estão</p><p>espalhados ao longo do texto.</p><p>Soluções numéricas de sistemas lineares e não lineares usando</p><p>MATLAB e Simulink (Capítulo 6) são tratadas antes dos métodos</p><p>analíticos (Capítulos 7 a 9). Minha experiência diz que apresentar</p><p>modelagem e simulação de aplicações reais de engenharia no início</p><p>do semestre atrai os estudantes para o assunto da disciplina. A</p><p>indústria usa o Simulink há muito tempo para modelar e analisar</p><p>sistemas reais de engenharia. Minha experiência em sala de aula</p><p>tem mostrado que estudantes de graduação são bastante capazes –</p><p>e entusiasmados – de usar o Simulink para simular sistemas</p><p>integrados complexos que envolvam efeitos reais, tais como atrito</p><p>não linear, escoamento turbulento e descontinuidades. Instrutores</p><p>que desejarem apresentar métodos analíticos antes da simulação</p><p>numérica podem simplesmente analisar o Capítulo 6 depois dos</p><p>Capítulos 7 e 8.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>Os métodos para obter soluções analíticas não dependem apenas da</p><p>teoria da transformada de Laplace. No Capítulo 7 (resposta no</p><p>domínio do tempo) a equação característica e suas raízes</p><p>associadas (ou polos da função de transferência ou autovalores) são</p><p>usadas para determinar a resposta transiente. A resposta em</p><p>frequência é tratada no Capítulo 9 por meio da determinação da</p><p>resposta forçada à entrada est, na qual s = σ + jω é uma variável</p><p>complexa. Funções de transferência são amplamente utilizadas no</p><p>livro e são obtidas sem empregar transformadas de Laplace.</p><p>Acredito que usando transformadas de Laplace (e o processo de</p><p>inversão associado) para obter a resposta é extremamente tedioso;</p><p>além disso, minha experiência diz que a maioria dos estudantes</p><p>acha seu uso não intuitivo. Desse modo, minha abordagem é focar</p><p>nas raízes da equação característica ri e na forma da resposta do</p><p>sistema em termos de er1t. O Capítulo 8 apresenta a transformação</p><p>para o domínio de Laplace e seu uso para obter a resposta</p><p>dinâmica. Assim sendo, instrutores que desejarem utilizar os</p><p>métodos da transformada de Laplace podem</p><p>(com sentido do fluxo de</p><p>corrente) e com módulo igual ao comprimento do fio no campo. A Figura</p><p>3.16 mostra o vetor força induzida F que segue a “regra da mão direita” do</p><p>produto vetorial e é perpendicular aos vetores B e ℓ. Se o fio estacionário é</p><p>perpendicular ao vetor campo magnético B, o módulo da força induzida é</p><p>na qual ℓ é o comprimento do fio no campo magnético e B é a densidade de</p><p>fluxo magnético. Se o fio se mantém perpendicular ao campo B, pode-se</p><p>usar a equação escalar (3.80) para determinar o módulo da força induzida,</p><p>ou eletromagnética, que é a base dos atuadores eletromecânicos tais como</p><p>os motores CC e solenoides.</p><p>Figura 3.15 Uma corrente em um fio condutor estabelece um campo magnético.</p><p>Figura 3.16 Força induzida sobre um fio condutor com corrente em um campo magnético.</p><p>A Figura 3.17 ilustra a terceira relação básica corrente-magnetismo</p><p>mostrando um fio que está se movendo em relação ao campo magnético B.</p><p>A tensão induzida no fio móvel é</p><p>na qual v é o vetor velocidade do fio. A tensão induzida ec é o produto</p><p>escalar entre o vetor ℓ e o produto vetorial da velocidade e do campo</p><p>magnético. O produto vetorial v × B estabelece o sentido da polaridade</p><p>positiva (+) da tensão induzida ec mostrada na Figura 3.17, ou o sentido da</p><p>corrente causada pela tensão induzida. Pode-se entender melhor o efeito de</p><p>tensão induzida através da corrente transportada no fio estacionário na</p><p>Figura 3.16. A Eq. (3.79) e a Figura 3.16 mostram que o vetor corrente Iℓ e</p><p>o campo magnético B induzem a força F, que por sua vez fará com que o</p><p>fio se mova com a velocidade v mostrada na Figura 3.17. A Eq. (3.81) e a</p><p>Figura 3.17 mostram que a interação da velocidade e do campo magnético</p><p>induz uma tensão ec que se opõe ao vetor corrente Iℓ na Figura 3.16, que</p><p>originalmente estabeleceu a força induzida F. Assim sendo, a tensão</p><p>induzida ec é tradicionalmente denominada força contraeletromotriz, ou</p><p>contrafem. O leitor deve notar que “força eletromotriz” (fem) é um termo</p><p>antigo sinônimo de tensão. Deve ser observado também que o movimento</p><p>do fio pode ser causado por uma força externa aplicada (em vez da força</p><p>eletromagnética induzida como aqui descrito), como nas turbinas</p><p>empregadas em usinas de geração de potência elétrica.</p><p>Figura 3.17 Tensão induzida em um fio se movendo em relação a um campo magnético.</p><p>Se o fio é perpendicular ao vetor campo magnético B, o módulo da</p><p>tensão induzida é</p><p>Se o fio permanecer perpendicular ao campo B, pode-se empregar a</p><p>equação escalar (3.82) para determinar o módulo da contrafem.</p><p>Motor CC</p><p>Um motor CC é um sistema eletromecânico que converte energia elétrica</p><p>(fonte de tensão) para energia mecânica (movimento de rotação) utilizando</p><p>as relações básicas corrente-magnetismo. Um motor CC consiste em uma</p><p>armadura (ou rotor) e um campo magnético estabelecido pelo estator. O</p><p>disco do rotor ou armadura é envolvido com uma bobina de fio, ou</p><p>enrolamentos da armadura. A Figura 3.18 mostra uma vista em seção reta</p><p>de um motor CC simples: o estator é um ímã permanente (com polos norte</p><p>e sul) que estabelece um campo magnético B radial e a armadura (disco</p><p>rotor) gira em torno de um eixo fixo no centro do campo magnético. Os</p><p>enrolamentos da armadura estão na periferia do rotor de tal modo que o</p><p>sentido do fluxo de corrente é perpendicular ao plano (ou “à página”)</p><p>mostrado na Figura 3.18 (em outras palavras, os enrolamentos são paralelos</p><p>ao eixo do rotor). As escovas do comutador (não mostradas) mantêm o</p><p>contato elétrico entre a armadura-circuito da fonte de tensão (não mostrado)</p><p>e a armadura giratória. O leitor deve notar que enquanto o motor CC</p><p>simples usa ímãs permanentes (como o mostrado na Figura 3.18), o estator</p><p>pode consistir em um eletroímã produzido por “enrolamentos de campo”</p><p>em torno de um núcleo de ferro conectado a uma fonte auxiliar de tensão.</p><p>Em ambos os casos, o estator é estacionário e estabelece um campo</p><p>magnético B que interage com a corrente nos enrolamentos da armadura.</p><p>Os enrolamentos da armadura na “metade superior” do rotor na Figura</p><p>3.18 transportam corrente fluindo “para dentro” do plano (página),</p><p>enquanto os enrolamentos na “metade inferior” transportam corrente</p><p>fluindo “para fora” da página. Além disso, as linhas do campo magnético</p><p>radial B permanecem perpendiculares aos enrolamentos da armadura, e,</p><p>portanto, o produto vetorial na Eq. (3.79) resulta em uma força induzida em</p><p>cada fio individual tangente à superfície do rotor e no sentido indicado pela</p><p>rotação positiva do ângulo θ mostrado na Figura 3.18. Assim sendo, o</p><p>torque eletromagnético total sobre o rotor (Tm) é o produto da soma das</p><p>forças induzidas (em cada fio) e o braço de alavanca (isto é, o raio do rotor).</p><p>na qual r é o raio do rotor e ℓ é o comprimento total dos enrolamentos da</p><p>armadura imerso no campo magnético radial. Se a densidade do fluxo</p><p>magnético B é constante, os três termos Bℓr podem ser concentrados em</p><p>uma única constante, Km = Bℓr, e a Eq. (3.83) se torna</p><p>Figura 3.18 Estator e armadura de um motor CC.</p><p>Em outras palavras, o torque eletromagnético líquido sobre o rotor Tm é</p><p>linearmente proporcional à corrente I nos enrolamentos da armadura. A</p><p>constante Km é tipicamente denominada constante de torque do motor e</p><p>possui unidades de N·m/A. Os fabricantes de motores CC normalmente</p><p>fornecem a constante de torque do motor Km em catálogos resumindo as</p><p>especificações do motor.</p><p>A Eq. (3.84) representa o torque líquido aplicado sobre a parte mecânica</p><p>do sistema motor CC. Um torque positivo produzirá um movimento</p><p>rotacional positivo no sentido mostrado na Figura 3.18. Assim, os</p><p>enrolamentos da armadura se moverão relativamente ao campo magnético</p><p>radial e esse movimento resultará em uma tensão induzida (contrafem) que</p><p>se opõe à corrente na armadura. Como os vetores velocidade dos</p><p>enrolamentos permanecem tangentes ao rotor, os vetores velocidade</p><p>individuais são sempre perpendiculares ao campo magnético radial B.</p><p>Desse modo, a tensão induzida total (ec) é</p><p>na qual é a velocidade angular do rotor. Note que a velocidade</p><p>circunferencial de cada enrolamento da armadura no rotor v = r . Se o</p><p>campo magnético é constante, pode-se definir uma nova constante Kc = Bℓr</p><p>e a Eq. (3.85) se torna</p><p>A tensão induzida (contrafem) ec é linearmente proporcional à velocidade</p><p>angular do rotor. A constante Kc é tipicamente denominada constante de</p><p>contrafem e possui unidades de V·s/rad. Apesar de não serem aparentes, as</p><p>unidade para Km (N·m/A) e Kc (V·s/rad) são equivalentes pois 1 V = 1</p><p>kg·m2/(s3·A) = 1 N·m/(s·A). Portanto, Km e Kc possuem valores numéricos</p><p>idênticos quando expressos usando as unidades básicas SI. Os fabricantes</p><p>de motores CC também normalmente fornecem a constante de contrafem Kc</p><p>nos catálogos.</p><p>A Figura 3.19 mostra um diagrama esquemático de um motor CC. O</p><p>circuito da armadura é composto da fonte de tensão eent(t), da indutância da</p><p>bobina da armadura La (devida aos enrolamentos), da resistência da</p><p>armadura Ra, e da contrafem ec. Note que a contrafem é representada pelo</p><p>símbolo de uma fonte de tensão modificado com os terminais positivo e</p><p>negativo se opondo ao fluxo positivo (sentido horário) da corrente da</p><p>armadura Ia. O componente mecânico do motor CC é mostrado à direita do</p><p>circuito da armadura e inclui o momento de inércia do rotor J, o coeficiente</p><p>de atrito viscoso b, o torque motor Tm (a partir da interação corrente-</p><p>magnetismo) e o torque carga TC. Note que a rotação angular positiva do</p><p>rotor é no sentido horário e corresponde à corrente positiva na armadura Ia e</p><p>ao torque motor positivo Tm.</p><p>Figura 3.19 Diagrama esquemático de um motor CC.</p><p>Pode-se desenvolver o modelo matemático completo do motor CC pela</p><p>aplicação das leis de Kirchhoff ao circuito da armadura e das leis de</p><p>Newton ao rotor mecânico. Para iniciar, usa-se a lei de Kirchhoff das</p><p>tensões em torno da malha, percorrida no sentido horário</p><p>–eR – eL – ec + eent(t) = 0</p><p>O leitor deve notar que os primeiros três termos de tensão são as quedas de</p><p>tensão com a corrente assumida como positiva dos terminais positivo para o</p><p>negativo</p><p>no resistor, indutor e a contrafem. Em seguida, são substituídas as</p><p>leis dos elementos apropriadas para a queda de tensão através de um</p><p>resistor (eR = Ra Ia), a tensão através de um indutor (eL = La a), e a</p><p>contrafem (ec = Kc ) para obter</p><p>O modelo matemático do componente mecânico é desenvolvido usando os</p><p>métodos do Capítulo 2. A Figura 3.20 mostra o diagrama de corpo livre do</p><p>rotor da armadura com o torque motor (Tm = Km Ia), o torque de atrito</p><p>viscoso (b ), e o torque carga (TC). Somando os torques sobre o rotor (com</p><p>a convenção positiva no sentido horário) e aplicando a segunda lei de</p><p>Newton obtém-se</p><p>Figura 3.20 Diagrama de corpo livre para o rotor da armadura de um motor CC.</p><p>O modelo matemático completo do motor CC consiste na equação do</p><p>sistema elétrico (3.87) e na equação do sistema mecânico (3.88)</p><p>Assim sendo, tem-se que o modelo matemático do motor CC é de terceira</p><p>ordem; uma EDO de primeira ordem para o circuito da armadura (um</p><p>elemento armazenador de energia, La) e uma EDO de segunda ordem para o</p><p>rotor mecânico. As variáveis dinâmicas são a corrente da armadura Ia e o</p><p>ângulo do rotor θ, e as variáveis de entrada do sistema são a tensão na</p><p>armadura eent(t) e o torque carga TC. As Eqs. (3.89a) e (3.89b) são lineares e</p><p>acopladas porque não podem ser resolvidas separadamente. O lado direito</p><p>da equação do sistema mecânico (3.89b) mostra que uma corrente na</p><p>armadura positiva produz um torque motor positivo que por sua vez acelera</p><p>o rotor da armadura. Entretanto, o lado direito da equação da armadura</p><p>(3.89a) mostra que uma velocidade angular positiva do rotor cria uma</p><p>tensão induzida negativa (a contrafem) que por sua vez reduz a tensão</p><p>líquida no circuito.</p><p>Como a posição angular do rotor θ não aparece nas Eqs. (3.89a) e</p><p>(3.89b), pode-se substituir e de modo a ter um modelo de ordem reduzida:</p><p>Agora, o modelo matemático do motor CC é de segunda ordem e consiste</p><p>em duas EDOs de primeira ordem acopladas. A solução do modelo de</p><p>segunda ordem fornecerá informação sobre as variáveis dinâmicas corrente</p><p>Ia(t) e da velocidade angular ω(t), mas não a da posição angular θ(t).</p><p>Atuador Solenoide</p><p>Um atuador solenoide é um dispositivo eletromecânico que converte</p><p>energia elétrica (fonte de tensão) em energia mecânica (movimento de</p><p>translação) mediante o emprego de alguns princípios básicos de corrente-</p><p>magnetismo que representam a operação de um motor CC. Solenoides</p><p>podem gerar uma força de translação tanto para empurrar quanto para puxar</p><p>uma carga mecânica, como uma válvula em sistemas hidráulicos ou</p><p>pneumáticos. Um atuador solenoide consiste em uma bobina de fio com um</p><p>núcleo de ferro (a armadura ou pistão) que se move para dentro e para fora</p><p>do centro da bobina. A Figura 3.21 mostra os componentes de um atuador</p><p>solenoide do tipo que empurra a carga. Energizando a fonte de tensão eent(t)</p><p>produz um fluxo de corrente através da bobina que por sua vez estabelece</p><p>um campo magnético. A bobina energizada atua como um eletroímã e</p><p>aplica uma força na armadura (pistão), empurrando-o para o centro da</p><p>bobina (para a direita na Figura 3.21). O tipo de solenoide mostrado na</p><p>Figura 3.21 usa uma haste que empurra a carga (isto é, move a massa da</p><p>válvula) para a direita. A mola de retorno é empregada para gerar uma força</p><p>sobre a massa deslocada de tal modo a fazê-la voltar à sua posição quando a</p><p>corrente é nula.</p><p>Figura 3.21 Armadura e bobina para o atuador solenoide.</p><p>A indutância da bobina do atuador solenoide é uma função não linear da</p><p>posição da armadura. A indutância (e consequentemente, o fluxo</p><p>magnético) diminui conforme a armadura se afasta da bobina e aumenta</p><p>quando a armadura se aproxima do centro da bobina. A Figura 3.22 mostra</p><p>o sistema atuador solenoide-válvula adotado no Exemplo 2.1 (lembre-se de</p><p>que o modelo mecânico desse sistema foi desenvolvido no Capítulo 2).</p><p>Note que a Figura 3.22 mostra um solenoide do tipo empurra no qual ao</p><p>energizar a bobina a armadura é deslocada para fora do centro da bobina e,</p><p>portanto, empurra a válvula para a direita. Um método aceitável para</p><p>modelar a indutância da bobina é empregar a expressão não linear [1, 2]</p><p>na qual x é o deslocamento da armadura (medido como positivo para a</p><p>direita a partir da posição de equilíbrio; veja a Figura 3.22). As constantes c</p><p>e d dependem das propriedades geométricas e do material da bobina do</p><p>solenoide. Note que a indutância L(x) da bobina é mínima quando x = 0</p><p>(armadura na posição de equilíbrio) e aumenta quando x > 0 e a armadura</p><p>se move para a direita de modo a fechar o entreferro. A indutância quando x</p><p>= 0 é</p><p>na qual N é o número de voltas da bobina, A é a área do entreferro, l é o</p><p>comprimento da bobina, e μ é a permeabilidade magnética do ar e do núcleo</p><p>de ferro. A indutância mínima L0 da bobina é uma constante conhecida</p><p>dados os valores de A, N, l e μ.</p><p>Figura 3.22 Sistema atuador solenoide-válvula.</p><p>A Figura 3.23 mostra um diagrama esquemático do atuador solenoide.</p><p>O circuito da armadura (bobina) é composto da fonte de tensão eent(t), da</p><p>indutância da armadura da bobina L(x), e da resistência da armadura R.</p><p>Uma única massa concentrada m representa a soma das massas da armadura</p><p>(pistão) e da carga (válvula). A bobina do solenoide energizada produz uma</p><p>força eletromagnética Fem que empurra a massa m para a direita. O</p><p>deslocamento da massa é x (positivo para a direita), e a mola de retorno k e</p><p>o atrito viscoso b atuam sobre a massa m da armadura-válvula.</p><p>Assim como no motor CC, o modelo matemático completo do atuador</p><p>solenoide será desenvolvido pela aplicação das leis de Kirchhoff no circuito</p><p>da armadura e as leis de Newton ao elemento de massa único. Para iniciar,</p><p>aplica-se a lei de Kirchhoff das tensões em torno da malha</p><p>Figura 3.23 Diagrama esquemático do atuador solenoide.</p><p>Determinar a tensão eL no indutor do solenoide é mais complicado do que a</p><p>tensão no indutor para o motor CC porque a indutância do solenoide varia</p><p>com a posição do pistão. Assim sendo, é usada a Eq. (3.9) para obter a</p><p>tensão no indutor do solenoide em função da derivada no tempo do enlace</p><p>de fluxo magnético</p><p>na qual o enlace de fluxo é definido pela Eq. (3.8) como o produto da</p><p>indutância e da corrente, ou λ = L(x)I. Como ambas a indutância e a</p><p>corrente podem variar com o tempo, a derivada no tempo do enlace de</p><p>fluxo é</p><p>Empregando a regra da cadeia para expandir dL/dt, a Eq. (3.95) se torna</p><p>ou, usando a forma compacta</p><p>na qual Lx é uma notação resumida para a derivada dL/dt. Usando a Eq.</p><p>(3.91), a derivada dL/dx é</p><p>Finalmente, pode-se substituir a Eq. (3.97) na equação Kirchhoff da malha</p><p>(3.93) para a tensão eL do indutor juntamente com a queda de tensão no</p><p>resistor eR = RI para obter o modelo matemático do circuito da bobina</p><p>Note que o termo do lado direito Lx I na Eq. (3.99) atua como uma</p><p>contrafem na equação do modelo do motor CC (3.89a): quando a massa do</p><p>atuador se move com velocidade positiva se afastando do centro da bobina,</p><p>induz uma tensão negativa que diminui a tensão líquida no circuito. Além</p><p>disso, a tensão induzida Lx I no solenoide é não linear enquanto a</p><p>contrafem no motor CC é um termo linear (Kc ).</p><p>Figura 3.24 Diagrama de corpo livre do atuador solenoide.</p><p>O modelo matemático do componente mecânico do atuador solenoide é</p><p>desenvolvido usando os métodos apresentados no Capítulo 2. A Figura 3.24</p><p>mostra o diagrama de corpo livre da massa da armadura-válvula com a</p><p>força eletromagnética (Fem), força de atrito viscoso (b ) e a força na mola de</p><p>retorno (kx). Assumido que não há força de pré-carga (compressão inicial)</p><p>na mola de retorno e assim não há força de contato na parede. Somando as</p><p>forças sobre a massa e aplicando a segunda lei de Newton fornece-se</p><p>Agrupando todos os termos que envolvem o deslocamento x tem-se</p><p>De modo a completar o modelo é necessária uma expressão para a força</p><p>eletromagnética Fem, que é gerada pela energia armazenada na bobina do</p><p>solenoide. A partir do princípio de trabalho e energia, sabe-se que o produto</p><p>da força eletromagnética e de um deslocamento incremental dx é igual a</p><p>uma variação incremental</p><p>na energia dξ</p><p>Femdx = dξ</p><p>ou, resolvendo para a força eletromagnética</p><p>A Eq. (3.11) estabelece que a energia armazenada em um indutor é devida à</p><p>indutância e à corrente</p><p>Portanto, tomando a derivada da energia em relação ao deslocamento x e</p><p>substituindo o resultado na Eq. (3.101) tem-se uma expressão para a força</p><p>eletromagnética</p><p>Pode-se ver que a força eletromagnética é uma função não linear da</p><p>corrente e do deslocamento, pois a Eq. (3.98) mostra que a derivada Lx é</p><p>uma função não linear de x.</p><p>O modelo matemático completo do atuador solenoide consiste em uma</p><p>equação para o sistema elétrico (3.99) e uma para o sistema mecânico</p><p>(3.100) juntamente com a Eq. (3.102) usada para definir a força</p><p>eletromagnética</p><p>Verifica-se que o modelo matemático do atuador solenoide é de terceira</p><p>ordem: uma EDO de primeira ordem para o circuito do solenoide e uma</p><p>EDO de segunda ordem para a massa mecânica. As variáveis dinâmicas são</p><p>a corrente I na bobina e o deslocamento x do pistão, e a variável de entrada</p><p>do sistema é a tensão eent(t) na armadura. As Eqs. (3.103) e (3.104) formam</p><p>um sistema não linear de equações diferenciais acopladas. O leitor deve</p><p>lembrar que as Eqs. (3.91) e (3.98) são também necessárias para definir a</p><p>indutância L(x) e sua derivada Lx, ambas funções não lineares do</p><p>deslocamento do pistão.</p><p>Microatuador Eletrostático</p><p>Motores e atuadores solenoides são comandados pela interação corrente-</p><p>magnetismo que é modelada pelas leis de Faraday. Entretanto, para</p><p>pequenos dispositivos em microescala, não há espaço para bobinas e</p><p>indução eletromagnética [3]. Os sistemas microeletromecânicos (MEMS)</p><p>normalmente empregam forças eletrostáticas para atuação, e as aplicações</p><p>incluem micropinças cirúrgicas e microbturadores ópticos [3-5]. A força de</p><p>comando eletrostática é uma força elétrica de repulsão ou atração entre</p><p>partículas carregadas.</p><p>A Figura 3.25 mostra um dispositivo MEMS comumente conhecido</p><p>como atuador de “comando em pente” [3-25]. Os atuadores de comando em</p><p>pente consistem em duas estruturas em forma de “dedos” intertravadas que</p><p>possuem a aparência de dois pentes entrelaçados. Os dedos intertravados</p><p>são placas paralelas desalinhadas que atuam como capacitores em série nos</p><p>quais um comando móvel e a placa de fechamento estacionária possuem</p><p>cargas opostas. Uma tensão de entrada eent(t) é aplicada à estrutura de dentes</p><p>estabelecendo a força eletrostática que tenta realinhar as placas paralelas</p><p>dos dentes interconectados. Desse modo, a força eletrostática atrai o braço</p><p>de comando para o braço de fechamento estacionário. O movimento da</p><p>estrutura em pente pode atuar nos braços de extensão de um dispositivo</p><p>micropinça. As deflexões para esses dispositivos MEMS são da ordem de</p><p>mícrons, na qual 1 μm = 10–6 m. Um elemento rigidez (modelado pela</p><p>constante de mola k) é usado para retrair o braço de comando quando a</p><p>força eletrostática é removida.</p><p>A Figura 3.26 mostra um diagrama esquemático do atuador de comando</p><p>em pente, no qual as placas paralelas entrelaçadas foram substituídas por</p><p>um capacitor concentrado C(x). O circuito do pente consiste em uma fonte</p><p>de tensão eent(t), a capacitância C(x) do pente, e a resistência R. Uma única</p><p>massa concentrada m representa a estrutura móvel do comando em pente</p><p>que possui forças de rigidez e atrito modeladas por kx e b ,</p><p>respectivamente. Carregando as placas paralelas desalinhadas do pente</p><p>produz uma força eletrostática Fem que puxa o braço de comando para a</p><p>esquerda de modo a realinhar as placas.</p><p>Figura 3.25 Atuador MEMS comando em pente.</p><p>Figura 3.26 Diagrama esquemático do atuador MEMS comando em pente.</p><p>A capacitância equivalente do pente é</p><p>na qual n é o número de dedos, ε0 é constante dielétrica no ar (em F/m), A é</p><p>a área sobreposta dos dedos e d é a distância entre os dedos [3-5]. A área de</p><p>sobreposição A é o produto da largura do dedo w e da distância de</p><p>sobreposição x0 + x, na qual x0 é a sobreposição inicial entre os dedos</p><p>quando o pente está descarregado e não defletido (força eletrostática nula).</p><p>As Figuras 3.25 e 3.26 e a Eq. (3.105) mostram que puxando o comando em</p><p>pente para a esquerda (x > 0) aumenta a área de sobreposição e, portanto,</p><p>aumenta a capacitância C(x).</p><p>Assim como nos atuadores eletromagnéticos, será desenvolvido o</p><p>modelo matemático completo do atuador de comando em pente por meio da</p><p>aplicação das leis de Kirchhoff ao circuito do pente e as leis de Newton ao</p><p>único elemento inércia. Entretanto, determinar a tensão eC do capacitor em</p><p>pente é um pouco mais complicado porque a capacitância varia com a</p><p>posição x. Inicia-se com a relação básica carga-tensão de um capacitor</p><p>(3.3):</p><p>A derivada no tempo da carga é a corrente, I</p><p>Usando a regra da cadeia para expandir dC/dt, a Eq. (3.107) se torna</p><p>ou, usando a forma compacta</p><p>na qual Cx é uma notação resumida para a derivada dC/dt. Usando a Eq.</p><p>(3.105), a derivada dC/dx é</p><p>Assim, a variação na capacitância dependente da posição x é uma constante.</p><p>Pode-se substituir a lei de Ohm I = eR/R para a corrente na Eq. (3.109) e</p><p>determinar a tensão no resistor eR pela aplicação da lei de Kirchhoff das</p><p>tensões em torno da malha</p><p>Substituindo I = (eent(t) – eC)/R na Eq. (3.109) fornece</p><p>Note a similaridade entre o circuito com capacitor modelado pela Eq.</p><p>(3.112) e o circuito com o indutor do solenoide modelado pela Eq. (3.103).</p><p>Os circuitos contêm elementos armazenadores de energia que variam com a</p><p>posição, C(x) e L(x), e ambos possuem termos não lineares de contrafem</p><p>(tensões) que dependem da velocidade, RCx eC e Lx I.</p><p>O modelo matemático do componente mecânico do microatuador é</p><p>desenvolvido usando um diagrama de corpo livre que é essencialmente</p><p>idêntico ao diagrama de corpo livre do solenoide mostrado na Figura 3.24</p><p>exceto que a força eletrostática Fes puxa o comando em pente para a</p><p>esquerda (veja a Figura 3.26). Aplicando a segunda lei de Newton fornece a</p><p>equação familiar que modela um massa-mola-amortecedor</p><p>De modo a completar o modelo, é necessária uma expressão para a força</p><p>eletrostática Fes, que é gerada pela energia armazenada no capacitor. Será</p><p>empregado o mesmo princípio trabalho e energia que foi usado para obter a</p><p>força eletromagnética Fem no solenoide, que é,</p><p>A Eq. (3.6) mostra que a energia armazenada em um capacitor é devida à</p><p>sua capacitância e sua tensão</p><p>Portanto, tomando a derivada da energia com relação ao deslocamento x e</p><p>substituindo o resultado na Eq. (3.114) fornece uma expressão para a força</p><p>eletrostática</p><p>Verifica-se que a força eletrostática é uma função não linear da tensão eC. A</p><p>Equação (3.110) mostra que dC/dx é uma constante.</p><p>O modelo matemático completo do atuador de comando em pente</p><p>consiste nas equações dos sistemas elétrico (3.112) e mecânico (3.113)</p><p>juntamente com a Eq. (3.115) usada para definir a força eletrostática</p><p>Nota-se que o modelo matemático do microatuador é de terceira ordem:</p><p>uma EDO de primeira ordem para o circuito do pente e uma EDO de</p><p>segunda ordem para a massa mecânica. As variáveis dinâmicas são a tensão</p><p>no capacitor eC e o deslocamento do comando em pente x, e a variável de</p><p>entrada do sistema é a fonte de tensão eent(t). As Eqs. (3.116) e (3.117) são</p><p>equações diferenciais não lineares acopladas. O leitor deve lembrar que as</p><p>Eqs. (3.105) e (3.110) são também necessárias para definir a capacitância</p><p>C(x) e sua derivada Cx.</p><p>Como uma observação final, pode-se determinar a força eletrostática</p><p>para um atuador MEMS “típico” [3, 5] com n = 100 dedos, ε0 = 8,85 × 10–12</p><p>F/m, distância d = 2 μm, e largura do dedo w = 2 μm. Usando a Eq. (3.10)</p><p>pode-se ver que a derivada da capacitância com a posição Cx = 8,85 × 10–10</p><p>F/m. A Eq. (3.115) mostra que a força eletrostática é Fes = 1,77 × 10–7 N ou</p><p>0,177 μN se a tensão no capacitor é 20 V.</p><p>SUMÁRIO</p><p>Este capítulo ilustrou o desenvolvimento de modelos matemáticos para</p><p>sistemas elétricos e eletromecânicos. Inicialmente, foram apresentadas as</p><p>leis físicas que modelam a interação entre carga, corrente e tensão nos</p><p>elementos elétricos tais como resistores, capacitores e indutores. É</p><p>importante para o leitor</p><p>lembrar que apenas capacitores e indutores podem</p><p>armazenar energia elétrica e que cada elemento armazenador de energia</p><p>requer uma única EDO de primeira ordem. A tensão entre os terminais de</p><p>um capacitor e a corrente através de um indutor são as duas variáveis</p><p>dinâmicas de interesse para os elementos capacitor e indutor,</p><p>respectivamente. Por exemplo, um sistema elétrico composto de dois</p><p>indutores e um capacitor é modelado por três EDOs de primeira ordem:</p><p>duas EDOs de primeira ordem para as taxas no tempo das correntes nos</p><p>dois indutores (IL) e uma EDO de primeira ordem para a taxa no tempo da</p><p>tensão no capacitor (eC). As tensões e correntes em um circuito elétrico que</p><p>não são eC ou IL (isto é, a queda de tensão entre os terminais de um resistor)</p><p>podem ser determinadas em termos das variáveis dinâmicas importantes</p><p>pela aplicação no circuito elétrico das leis de Kirchhoff das tensões e/ou das</p><p>correntes. Além disso, foi mostrado como modelar sistemas elétricos que</p><p>contenham um amplificador operacional. Finalizou-se o capítulo com a</p><p>discussão dos sistemas eletromecânicos que envolvem a transferência de</p><p>energia elétrica e mecânica. Os sistemas eletromecânicos empregam a</p><p>interação entre a corrente e o magnetismo de modo a converter a corrente</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>5.</p><p>6.</p><p>7.</p><p>elétrica em força mecânica ou o movimento mecânico em tensão elétrica.</p><p>Os atuadores MEMS empregam a interação entre tensão e carga de modo a</p><p>converter a tensão elétrica em força eletrostática.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>Yuan, Q., e Li, P.Y., “Self-Calibration of Push-Pull Solenoid Actuators</p><p>in Electrohydraulic Valves”, ASME Paper No. 2004-62109, November</p><p>2004.</p><p>Chladny, R.R., Koch, C.R., e Lynch, A.F., “Modeling Automotive</p><p>Gas-Exchange Solenoid Valve Actuators”, IEEE Transactions on</p><p>Magnetics, Vol. 41, No. 3, March 2005, pp 1155-1162.</p><p>Hsu, T.-R., MEMS and Microsystems: Design, Manufacture, and</p><p>Nanoscale Engineering, 2nd ed., Wiley, Hoboken, NJ, 2008.</p><p>Tang, W.C., Lim, M.G., e Howe, R.T., “Electrostatic Comb Drive</p><p>Levitation and Control Method”, IEEE Journal of</p><p>Microelectromechanical Systems, Vol. 1, No. 4, 1992, pp 170-178.</p><p>Legtenberg, R., Groeneveld, A.W., e Elwenspoek, M., “Comb-Drive</p><p>Actuators for Large Displacements”, Journal of Micromechanics and</p><p>Microengineering, Vol. 6, 1996, pp 320-329.</p><p>Vaughan, N.D., e Gamble, J.B., “The Modeling and Simulation of a</p><p>Proportional Valve”, ASME Journal of Dynamic Systems,</p><p>Measurement, and Control, Vol. 118, March 1996, pp. 120-125.</p><p>Yeh, T.-J., Chung, Y.-J, e Wu, W.-C., “Sliding Control of Magnetic</p><p>Bearing Systems”, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement,</p><p>and Control, Vol. 123, September 2001, pp. 353-362.</p><p>PROBLEMAS</p><p>Problemas Conceituais</p><p>3.1</p><p>3.2</p><p>3.3</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico mostrado na</p><p>Figura P3.1, em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>Figura P3.1</p><p>Um circuito elétrico é mostrado na Figura P3.2. A fonte de corrente</p><p>fornece a corrente de entrada Ient(t). Desenvolva o modelo</p><p>matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>Figura P3.2</p><p>A Figura P3.3 mostra um circuito LC paralelo alimentado por uma</p><p>fonte de corrente Ient(t). Desenvolva o modelo matemático em</p><p>termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>3.4</p><p>3.5</p><p>Figura P3.3</p><p>A Figura P3.4 mostra um circuito RC paralelo alimentado por uma</p><p>fonte de corrente Ient(t). Desenvolva o modelo matemático em</p><p>termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>Figura P3.4</p><p>A Figura P3.5 mostra o mesmo sistema elétrico da Figura P3.4,</p><p>exceto que um resistor R2 é adicionado em série com o capacitor C.</p><p>Desenvolva o modelo matemático em termos das variáveis</p><p>dinâmicas apropriadas.</p><p>3.6</p><p>3.7</p><p>3.8</p><p>Figura P3.5</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico mostrado na</p><p>Figura P3.6 em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>Figura P3.6</p><p>Um sistema elétrico é mostrado na Figura P3.7. Desenvolva o</p><p>modelo matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>A fonte fornece a tensão de entrada eent(t).</p><p>Figura P3.7</p><p>Um sistema elétrico é mostrado na Figura P3.8. Desenvolva o</p><p>modelo matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>A fonte fornece a tensão de entrada eent(t).</p><p>3.9</p><p>3.10</p><p>Figura P3.8</p><p>A Figura P3.9 mostra um circuito elétrico com uma fonte de</p><p>corrente Ient(t). Desenvolva o modelo matemático em termos das</p><p>variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>Figura P3.9</p><p>Um circuito RLC com um resistor paralelo de desvio é mostrado na</p><p>Figura P3.10. Desenvolva o modelo matemático em termos das</p><p>variáveis dinâmicas apropriadas.</p><p>3.11</p><p>Figura P3.10</p><p>A Figura P3.11 mostra um circuito RL série simples com um indutor</p><p>não linear L. Um engenheiro realiza um conjunto de testes e mede o</p><p>enlace de fluxo magnético l e a corrente IL através do indutor. Após</p><p>uma interpolação dos resultados experimentais, ele desenvolveu a</p><p>seguinte função não linear para a corrente do indutor</p><p>IL(λ) = 97λ3 + 4,2λ (amps, A)</p><p>na qual λ é o enlace de fluxo em webers (Wb). Desenvolva o modelo</p><p>matemático do circuito RL com o enlace de fluxo l como variável</p><p>dinâmica.</p><p>Figura P3.11</p><p>3.12</p><p>3.13</p><p>3.14</p><p>Suponha um circuito elétrico que consiste em um resistor R, um</p><p>capacitor C e uma fonte de tensão eent(t) conectados em série. O</p><p>modelo matemático do sistema é</p><p>A tensão de saída esai é a tensão entre os terminais do resistor ou do</p><p>capacitor? Explique a resposta.</p><p>A Figura P3.13 mostra um sistema elétrico. A chave está aberta para</p><p>t < 0. No intervalo 0 ≤ t ≤ 1 s, a chave está na posição “1” e a fonte</p><p>de tensão eent(t) está conectada à malha RL. Para t > 1s a chave está</p><p>na posição “2”. Desenvolva o modelo matemático completo do</p><p>sistema elétrico que leve em consideração ambas as posições da</p><p>chave (serão necessárias duas EDOs para modelar o sistema).</p><p>Figura P3.13</p><p>A Figura P3.14 mostra um circuito RC com chave. Para t < 0, a</p><p>chave está na posição 1 e o capacitor está conectado à fonte de</p><p>tensão eent(t) = 3 V. No instante t = 0, a chave passa para a posição 2</p><p>desconectando a fonte de tensão do circuito RC e o capacitor</p><p>começa a descarregar. Como será visto no Capítulo 7, a fase de</p><p>descarga do capacitor (t ≥ 0) é representada pela equação</p><p>3.15</p><p>eC(t) = 3e–t/RC V</p><p>na qual a tensão inicial no capacitor é eC(0) = eent(t) = 3 V.</p><p>Desenvolva uma equação para a taxa no tempo da energia (isto é,</p><p>potência) dissipada pelo resistor e mostre que a energia total</p><p>dissipada pelo resistor é igual à energia inicial armazenada pelo</p><p>capacitor no instante t = 0.</p><p>Figura P3.14</p><p>A Figura P3.15 apresenta um circuito com op-amp. Determine a</p><p>relação entre as tensões de entrada e saída.</p><p>Figura P3.15</p><p>3.16</p><p>3.17</p><p>A Figura P3.16 apresenta um circuito com op-amp. Determine a</p><p>relação entre as tensões de entrada e de saída.</p><p>Figura P3.16</p><p>A Figura P3.17 apresenta um circuito com op-amp. Determine a</p><p>relação entre as tensões de entrada e de saída.</p><p>Figura P3.17</p><p>3.18</p><p>3.19</p><p>3.20</p><p>A Figura P3.18 apresenta um circuito com op-amp. Determine a</p><p>relação entre as tensões de entrada e de saída.</p><p>Figura P3.18</p><p>Um microfone consiste em um diafragma com massa m conectado a</p><p>uma bobina de fio circular que se move para trás e para a frente</p><p>relativamente a um campo magnético fixo. As ondas sonoras</p><p>(pressão) colidem com o diafragma de modo a produzir uma força</p><p>líquida, e o diafragma possui forças de rigidez e de atrito por causa</p><p>do seu movimento. O fio da bobina possui resistência R e sua</p><p>corrente de saída é amplificada por um ganho constante. Liste as</p><p>variáveis dinâmicas e as variáveis de entrada para esse sistema.</p><p>Problemas MATLAB</p><p>Considere novamente o circuito RC no Problema 3.14. Trace o</p><p>gráfico da energia armazenada pelo capacitor versus o tempo</p><p>durante a fase de descarga t ≥ 0.</p><p>3.21</p><p>3.22</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>3.23</p><p>Um circuito RL é alimentado por uma fonte de tensão constante de</p><p>2 V (veja a Figura 3.7 no Exemplo 3.1). Os parâmetros do sistema</p><p>são L = 0,08 H e R = 4 Ω. Como será visto no Capítulo 7, a resposta</p><p>resultante para a corrente nesse circuito é</p><p>IL(t) = 0,5(1 – e–50t) A</p><p>Use o MATLAB para determinar a energia armazenada pelo indutor</p><p>no intervalo 0 ≤ t ≤ 0,2 s. Trace o gráfico da</p><p>energia armazenada</p><p>versus o tempo.</p><p>No Problema 3.11, a seguinte relação empírica entre a corrente no</p><p>indutor IL e o enlace de fluxo magnético λ foi usada</p><p>IL(λ) = 97,3λ 3 + 4,2λ (amps, A)</p><p>Use o MATLAB para traçar um gráfico da corrente IL como</p><p>função do enlace de fluxo l para a faixa –0,4 ≤ λ ≤ 0,4 Wb.</p><p>Use os dados do item (a) para traçar o gráfico do enlace de fluxo</p><p>λ como função da corrente IL.</p><p>Escreva um programa .M que emprega os dados do item (b) para</p><p>estimar a indutância L e trace o gráfico da indutância como</p><p>função do enlace de fluxo λ. [Sugestão: lembre-se de que a</p><p>indutância é L = dλ/dIL.]</p><p>Aplicações de Engenharia</p><p>Um capacitor simples consiste em duas placas paralelas separadas</p><p>por um isolante de silicone. A área de uma das placas é 300 mm2 e a</p><p>distância de separação entre as placas é 0,5 mm. Pesquise na</p><p>literatura de engenharia para encontrar a equação apropriada para a</p><p>capacitância e calcule C para esse capacitor específico.</p><p>3.24</p><p>3.25</p><p>a.</p><p>b.</p><p>3.26</p><p>Um simples indutor com “núcleo a ar” é construído enrolando um</p><p>fio em uma bobina. A bobina possui 12 voltas, o comprimento total</p><p>da bobina é 2,4 cm, e o diâmetro (interno) da bobina é 0,8 cm.</p><p>Pesquise na literatura de engenharia para encontrar a equação</p><p>apropriada para a indutância e calcule L para esse indutor específico.</p><p>O circuito LC mostrado na Figura P3.25 está conectado a uma</p><p>antena e é o circuito básico usado em osciladores elétricos e</p><p>sintonizadores de frequência.</p><p>Figura P3.25</p><p>Desenvolva o modelo matemático do circuito LC, no qual a</p><p>tensão eC no capacitor é a única variável dinâmica (o capacitor</p><p>está armazenando uma carga e, consequentemente, uma tensão</p><p>no instante t = 0).</p><p>Desenvolva o modelo matemático do circuito LC, no qual a</p><p>carga q no capacitor é a única variável dinâmica (o capacitor</p><p>está armazenando uma carga no instante t = 0).</p><p>A Figura P3.26 mostra um circuito simplificado para a fase de</p><p>descarga que produz o flash de uma câmera fotográfica. Durante a</p><p>fase de carga o capacitor C é carregado por uma bateria de 1,5 V</p><p>conectada a um circuito oscilador que inclui um transformador que</p><p>amplifica a tensão (não mostrado na Figura P3.26). A tensão entre</p><p>3.27</p><p>os terminais do capacitor completamente carregado está em torno de</p><p>200 V. Pressionando o botão de disparo ativa-se o circuito mostrado</p><p>na Figura 3.26 e o capacitor descarrega energia para o circuito RC.</p><p>Um segundo transformador (mostrado na Figura 3.26) amplifica a</p><p>tensão por um fator de 10 de modo a ionizar o gás de xenônio e</p><p>produzir o flash. Desenvolva o modelo matemático do circuito de</p><p>descarga (despreze os efeitos do transformador).</p><p>Figura P3.26</p><p>A Figura P3.27 mostra o sistema elétrico conhecido como “buck</p><p>converter”, que é um circuito conversor usado para “diminuir” uma</p><p>fonte de tensão eent(t) em uma tensão de saída esai = eC menor</p><p>desejada (a tensão entre os terminais do capacitor). O conversor de</p><p>diminuição de tensão usa uma chave para conectar a fonte de tensão</p><p>eent(t) aos demais elementos do circuito até que eC seja igual à tensão</p><p>desejada. Desenvolva o modelo matemático desse sistema em</p><p>termos das variáveis dinâmicas apropriadas e inclua o efeito do</p><p>chaveamento.</p><p>3.28</p><p>3.29</p><p>Figura P3.27</p><p>O circuito RC série conhecido como filtro “washout” é mostrado na</p><p>Figura 3.28. Esse circuito (ou filtro) deixar “passar” a parte inicial</p><p>da resposta dinâmica da tensão de saída esai (tensão através dos</p><p>terminais do resistor), mas ao final “elimina” (isto é, reduz a zero)</p><p>uma tensão constante de entrada. Esses filtros normalmente são</p><p>empregados em sistemas de controle de voo automático de um</p><p>avião. Desenvolva o modelo matemático com a tensão esai (tensão</p><p>através dos terminais do resistor) como a variável dinâmica e a fonte</p><p>de tensão eent(t) como a entrada.</p><p>Figura P3.28</p><p>A Figura P3.29 mostra um circuito elétrico conhecido como filtro</p><p>elimina banda ou filtro “notch”, que atenua (reduz) a amplitude de</p><p>a.</p><p>b.</p><p>3.30</p><p>sinais de entrada que possuam certa faixa de frequências e “deixa</p><p>passar” todos os demais sinais sem alterações. Esses circuitos</p><p>elétricos são empregados para remover sinais com frequências</p><p>indesejáveis; por exemplo, os filtros elimina banda são usados em</p><p>veículos aeroespaciais para remover vibrações mecânicas que são</p><p>transmitidas para os sensores como giroscópios e acelerômetros.</p><p>Figura P3.29</p><p>Desenvolva o modelo matemático do filtro elimina banda no</p><p>qual a corrente I é a única variável dinâmica de resposta e a</p><p>fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do filtro elimina banda no</p><p>qual a tensão de saída esai é a única variável dinâmica de resposta</p><p>e a fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.</p><p>O sistema elétrico RC mostrado na Figura P3.30 é conhecido como</p><p>filtro de avanço e é empregado como um “compensador” em</p><p>sistemas de controle realimentados de modo a melhorar as</p><p>características de amortecimento. A fonte de tensão eent(t) é a</p><p>variável de entrada.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>3.31</p><p>Figura P3.30</p><p>Desenvolva o modelo matemático do filtro de avanço em termos</p><p>das variáveis dinâmicas apropriadas associadas aos elementos</p><p>armazenadores de energia.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do filtro de avanço no qual a</p><p>tensão de saída esai é a única variável dinâmica de resposta e a</p><p>fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.</p><p>A Figura P3.31 mostra um sistema elétrico RC conhecido como</p><p>filtro de atraso que é empregado com um “compensador” em</p><p>sistemas de controle realimentados de modo a reduzir erros entre as</p><p>variáveis de referência e de realimentação. A fonte de tensão eent(t) é</p><p>a variável de entrada.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>3.32</p><p>Figura P3.31</p><p>Desenvolva o modelo matemático do filtro de atraso em termos</p><p>das variáveis dinâmicas apropriadas associadas aos elementos</p><p>armazenadores de energia.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do filtro de atraso no qual a</p><p>tensão de saída esai é a única variável dinâmica de resposta e a</p><p>fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.</p><p>A Figura P3.32 mostra um diagrama esquemático de um atuador</p><p>solenoide. Energizando a bobina (circuito da armadura) cria-se a</p><p>força eletromagnética Fem que atua sobre a massa m da armadura-</p><p>válvula. Por meio da experimentação Vaughan e Gamble [6]</p><p>desenvolveu-se a seguinte equação não linear para corrente no</p><p>solenoide:</p><p>IL(λ) = a3λ3 + a1λ (amps, A)</p><p>na qual λ é o enlace de fluxo magnético (Wb) e a3 e a1 são</p><p>constantes. Esse modelo de corrente não linear deve ser considerado</p><p>para a contrafem e a indutância variável por causa do deslocamento</p><p>da massa da armadura. Vaughan e Gamble também desenvolveram a</p><p>equação empírica para a força eletromagnética:</p><p>Fem(λ) = c6λ6 + c4λ4 + c2λ2 (N)</p><p>na qual c6, c4 e c2 são constantes empíricas obtidas a partir dos</p><p>experimentos. Desenvolva o modelo matemático completo para o</p><p>atuador eletromecânico. Considere que a mola de retorno não está</p><p>defletida quando x = 0 e a força eletromagnética é nula.</p><p>3.33</p><p>Figura P3.32</p><p>A levitação magnética (“maglev”) é usada para sustentar e propelir</p><p>trens sem o contato com o trilho. A levitação magnética também é</p><p>empregada para suportar rolamentos rotacionais em máquinas de</p><p>alto desempenho de modo a eliminar o atrito e a necessidade de</p><p>lubrificação [7]. Um experimento de laboratório demonstrando a</p><p>levitação magnética é ilustrado na Figura P3.33. A corrente</p><p>transportada na bobina produz um eletroímã que fornece uma força</p><p>de atração Fem sobre a esfera de metal</p><p>3.34</p><p>Figura P3.33</p><p>na qual KF é a “constante de força” (unidades de N·m2/A2) que</p><p>depende do número de voltas da bobina, das propriedades</p><p>eletromagnéticas do material do núcleo e da geometria do eletroímã</p><p>[7]. A posição da esfera é medida para cima a partir de uma posição</p><p>de repouso fixa e a distância d é uma constante igual à distância de</p><p>entreferro nominal entre a ponta do eletroímã e a esfera para uma</p><p>corrente nominal na bobina.</p><p>Desenvolva o modelo matemático completo do sistema de levitação</p><p>magnética no qual a fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.</p><p>Considere um atuador MEMS comando em pente com as seguintes</p><p>dimensões físicas:</p><p>Largura do pente w = 5 μm</p><p>Distância</p><p>entre os dedos d = 2 μm</p><p>86 dedos</p><p>Fonte de tensão eent = 30 V (constante)</p><p>Rigidez do atuador k = 0,04 N/m</p><p>Calcule o deslocamento do comando em pente em mícrons no</p><p>“regime permanente” no qual eC = eent e a massa do pente está</p><p>estacionária e não acelerando (isto é, = = 0).</p><p>4.1 INTRODUÇÃO</p><p>Fluidos pressurizados (líquidos e gases) são usados por engenheiros</p><p>mecânicos para projetar dispositivos que fornecem forças e torques de</p><p>modo a mover cargas mecânicas. Sistemas hidráulicos usam um líquido</p><p>como fluido de trabalho enquanto sistemas pneumáticos empregam ar ou</p><p>outros gases. Atuadores hidráulicos são adotados em máquinas de</p><p>construção e de agricultura para elevar cargas, mover o solo e comandar</p><p>brocas rotacionais. São também empregados em veículos aeroespaciais para</p><p>posicionar superfícies aerodinâmicas (lemes, elevadores, ailerons e flaps),</p><p>deslocar o trem de pouso e os suportes giratórios dos motores a jato. Além</p><p>disso, atuadores hidráulicos e pneumáticos são usados para manobrar</p><p>manipuladores robóticos e ativar sistemas de frenagem automotivos. Assim</p><p>como os sistemas eletromecânicos analisados no Capítulo 3, os sistemas</p><p>fluidos convertem energia de uma fonte de potência para energia mecânica</p><p>(posição e velocidade). No caso dos sistemas fluidos, a fonte de potência é</p><p>um fluido pressurizado, um líquido (sistema hidráulico) ou um gás (sistema</p><p>pneumático). Sistemas térmicos envolvem a transferência de energia do</p><p>calor, e a temperatura é normalmente a variável dinâmica de interesse.</p><p>Este capítulo introduz as técnicas fundamentais para o desenvolvimento</p><p>das equações que modelam os sistemas fluidos e térmicos. Os modelos</p><p>matemáticos dos sistemas fluidos são obtidos por meio da utilização da</p><p>conservação de massa enquanto para os sistemas térmicos é aplicada a</p><p>conservação de energia. Quando um sistema fluido é empregado em um</p><p>atuador para mover ou interagir com uma carga mecânica, são adotados</p><p>também os diagramas de corpo livre dos componentes mecânicos e as leis</p><p>de Newton de modo a obter o modelo matemático completo. Assim como</p><p>nos sistemas mecânicos no Capítulo 2 e sistemas elétricos no Capítulo 3, é</p><p>utilizada a abordagem dos parâmetros concentrados, e, portanto, os modelos</p><p>matemáticos desenvolvidos neste capítulo consistem em equações</p><p>diferenciais ordinárias (EDOs). O objetivo é obter modelos de sistemas e</p><p>dispositivos que empregam componentes fluidos e/ou térmicos de uso</p><p>comum pelos engenheiros mecânicos e aeroespaciais. Em particular, a</p><p>discussão será focada nos sistemas de atuadores fluidos. Este é o último</p><p>capítulo dedicado à modelagem de sistemas físicos; nos próximos serão</p><p>tratadas as técnicas para obtenção e análise da resposta dinâmica dos</p><p>sistemas.</p><p>4.2 SISTEMAS HIDRÁULICOS</p><p>Um sistema fluido geralmente é composto pelos elementos fundamentais:</p><p>(1) uma bomba que fornece um fluido a alta pressão; (2) uma capacitância</p><p>fluida devida à energia armazenada em um reservatório ou tanque; e (3)</p><p>mangueiras, tubos e válvulas que conectam os vários reservatórios e</p><p>controlam o fluxo. Se o sistema fluido é um atuador de translação (como</p><p>um servomecanismo hidráulico), ele tipicamente envolve um reservatório</p><p>cilíndrico no qual o fluido pressurizado move um pistão conectado à uma</p><p>carga mecânica para realizar trabalho.</p><p>Esta seção apresenta uma breve descrição das relações fundamentais</p><p>que descrevem os sistemas nos quais um líquido é o fluido de trabalho. São</p><p>empregados conceitos básicos de mecânica dos fluidos tratados em cursos</p><p>elementares de física nas universidades. As variáveis fundamentais nos</p><p>sistemas hidráulicos são pressão P (em N/m2 ou pascal, Pa), vazão de massa</p><p>w = (em kg/s), e a vazão volumétrica Q = (em m3/s), nas quais m e V</p><p>são, respectivamente, a massa e o volume de fluido. É importante empregar</p><p>a pressão absoluta, ou a pressão relativa ao vácuo perfeito, nos cálculos</p><p>teóricos (pressão absoluta = pressão manométrica + pressão atmosférica). A</p><p>vazão volumétrica Q é empregada para descrever o fluxo dos líquidos nos</p><p>sistemas hidráulicos. A massa específica ρ é uma propriedade física de um</p><p>fluido, e significa a quantidade de massa por unidade de volume (em</p><p>kg/m3).</p><p>Módulo de Compressibilidade Fluido</p><p>Um fluido é dito incompressível se sua massa específica se mantém</p><p>constante e compressível se varia com a pressão. Sob pressões relativamente</p><p>baixas, os líquidos são considerados como fluido incompressíveis, enquanto</p><p>em altas pressões os fluidos hidráulicos são compressíveis. O módulo de</p><p>compressibilidade fluido β mede a resistência do fluido à compressão e é</p><p>definido como</p><p>na qual ρ0 é a massa específica de referência do fluido para pressão e</p><p>temperatura nominais. A derivada dP/dρ na Eq. (4.1) é determinada em uma</p><p>temperatura constante. Note que o módulo de compressibilidade β possui as</p><p>mesmas unidades da pressão (N/m2 ou Pa) porque o termo ρ0/dρ é</p><p>adimensional. O módulo de compressibilidade é o inverso da</p><p>compressibilidade de um fluido, e, portanto, fluidos que possuem pequenas</p><p>variações da massa específica sobre alta pressão (isto é, dρ/dP é “pequena”)</p><p>têm um valor extremamente elevado para β. Por exemplo, um óleo</p><p>hidráulico típico usado em aplicações industriais possui um módulo de</p><p>compressibilidade β = 109 Pa (ou 1 Gpa) e uma massa específica nominal</p><p>em torno de ρ0 = 860 kg/m3. Empregando os valores nominais, pode-se</p><p>aplicar a Eq. (4.1) para obter a variação da massa específica em razão do</p><p>aumento na pressão</p><p>Assim sendo, a variação de primeira ordem na massa específica do fluido</p><p>para um aumento na pressão hidráulica de 20 MPa está em torno de 17,2</p><p>kg/m3 ou 2% acima do seu valor nominal. O módulo de compressibilidade</p><p>pode ser considerado como um análogo fluido do módulo de elasticidade de</p><p>um sólido, e, portanto, um β muito elevado significa que o fluido é</p><p>extremamente “rígido”.</p><p>Resistência em Sistemas Hidráulicos</p><p>Um elemento de resistência fluida é qualquer componente que resiste ao</p><p>fluxo e dissipa energia, e, portanto, é análogo ao resistor elétrico.</p><p>Geralmente, o fluxo (escoamento) pode ser caracterizado como laminar ou</p><p>turbulento. A Figura 4.1 mostra um fluxo laminar através de um tubo no</p><p>qual as linhas de corrente são suaves e paralelas. O fluxo laminar existe</p><p>quando o diâmetro do tubo é “grande” e a velocidade do fluxo é “pequena”</p><p>(note que a velocidade do fluxo na Figura 4.1 é v = Q/A). A resistência</p><p>fluida laminar é representada por uma relação linear entre a queda de</p><p>pressão ΔP = P1 – P2 e a vazão volumétrica Q</p><p>na qual RL é a resistência fluida laminar (em Pa·s/m3). Note que a resistência</p><p>laminar (4.2) é análoga à resistência elétrica eR = RI, na qual a queda de</p><p>tensão através do resistor eR é análoga à queda de pressão ΔP, e a corrente I</p><p>é análoga ao escoamento do fluido (vazão) Q. Um fluxo laminar existe</p><p>quando a diferença de pressão ΔP é “pequena” e, consequentemente, o</p><p>escoamento do fluido Q é “pequeno” (ou a velocidade é baixa). Para o fluxo</p><p>laminar cujo comprimento L do tubo é significativamente maior que o</p><p>diâmetro d (como na Figura 4.1), a resistência fluida laminar pode ser</p><p>determinada empregando a lei de Hagen-Poiseuille</p><p>Figura 4.1 Escoamento laminar em tubulações.</p><p>na qual μ é a viscosidade dinâmica (ou absoluta) do fluido, em Pa·s.</p><p>A Figura 4.2 mostra o fluxo (escoamento) turbulento através de uma</p><p>abertura de pequena dimensão (ou orifício) em um tubo. O escoamento</p><p>turbulento é caracterizado pelo fluxo irregular, turbilhonado, na forma de</p><p>redemoinho no qual as linhas de corrente não são uniformes e paralelas. A</p><p>resistência fluida turbulenta possui uma relação não linear entre a queda de</p><p>pressão ΔP = P1 – P2 através do orifício e a vazão volumétrica Q</p><p>na qual RT é a resistência fluida (turbulenta) não linear (em Pa·s2/m6). O</p><p>fluxo turbulento existe quando a diferença de pressão ΔP através do orifício</p><p>é “grande” e, consequentemente, a velocidade do fluido é elevada. Pode-se</p><p>reescrever a equação do fluxo turbulento (4.4) em termos da vazão</p><p>volumétrica</p><p>na qual é o coeficiente de fluxo turbulento.</p><p>Figura 4.2 Escoamento turbulento através de um orifício.</p><p>A maioria dos sistemas hidráulicos industriais envolvem fluxos de alta</p><p>pressão através das aberturas de válvulas ou pequenas restrições e, portanto,</p><p>o escoamento resultante é tipicamente turbulento. Será desenvolvido a</p><p>seguir um modelo aproximado para o fluxo hidráulico turbulento através de</p><p>um orifício ou pequenas aberturas em válvulas. A Figura 4.3 mostra óleo</p><p>hidráulico escoando através de um pequeno orifício (como nas aberturas de</p><p>válvulas) com área A0. O fluido possui pressão muito elevada P1 no lado 1,</p><p>que está a montante (antes) do orifício, e baixa pressão P2 no lado 2, que</p><p>está imediatamente a jusante (depois) do orifício. Assume-se que a</p><p>velocidade do óleo no lado 1 é pequena e pode ser desprezada, isto é, v1 ≈ 0.</p><p>Em seguida, aplica-se a equação de Bernoulli ao escoamento do fluido entre</p><p>os lados 1 e 2:</p><p>Figura 4.3 Fluido hidráulico escoando através de um pequeno orifício.</p><p>A equação de Bernoulli considera um fluxo sem atrito, incompressível,</p><p>constante e, consequentemente, a energia total é conservada ao longo das</p><p>linhas de corrente entre os lados 1 e 2. Assumindo v1 ≈ 0, pode-se resolver a</p><p>Eq. (4.6) para a velocidade v2 através do orifício</p><p>Pode-se multiplicar a velocidade v2 que passa pelo orifício por sua área A0</p><p>para obter a vazão volumétrica Q</p><p>A Eq. (4.8) é uma vazão volumétrica idealizada na qual a diferença de</p><p>pressão do fluido P1 – P2 é convertida em energia cinética sem qualquer</p><p>perda. Um fluxo hidráulico real através do orifício irá incorrer em perdas</p><p>por atrito, que poderão ser consideradas multiplicando o lado direito da Eq.</p><p>(4.8) pelo “coeficiente de descarga” Cd < 1</p><p>O leitor deve notar que a Eq. (4.9) do fluxo através do orifício é equivalente</p><p>às Eqs. (4.4) e (4.5) do escoamento turbulento nos quais o coeficiente de</p><p>fluxo turbulento é . A Eq. (4.9) será empregada para</p><p>modelar o fluxo hidráulico através de um orifício ou da abertura de uma</p><p>válvula. O coeficiente de descarga Cd = 0,62 é tipicamente usado para o</p><p>escoamento de alta pressão em uma válvula encontrada em sistemas</p><p>hidráulicos industriais. A área A0 pode ser constante ou variável: é constante</p><p>para um orifício de geometria fixa e variável para uma válvula. A Figura</p><p>4.4 mostra uma válvula carretel de 4 vias que é usada para controlar o fluxo</p><p>em um circuito hidráulico. Quando o carretel da válvula é deslocado para a</p><p>direita (y > 0, como mostrado na Figura 4.4) a porta B é aberta e,</p><p>consequentemente, o óleo a alta pressão da fonte de alimentação PF escoa</p><p>através da porta B, fornecendo a vazão volumétrica Q1. Adicionalmente, o</p><p>óleo com vazão volumétrica Q2 escoa através da porta A para o dreno a</p><p>baixa pressão Pr como mostrado na Figura 4.4. Quando a válvula é movida</p><p>para a esquerda (y < 0), o fluxo é invertido. A área da válvula na Figura 4.4</p><p>é Av = h | y |, na qual h é a altura da abertura da válvula.</p><p>Figura 4.4 Fluido hidráulico escoando através de uma válvula carretel.</p><p>A Figura 4.5 mostra o símbolo de uma “válvula” genérica usado para</p><p>descrever resistência fluida. Esse símbolo representa uma resistência fluida</p><p>de parâmetros concentrados que pode ser devida ao fluxo laminar através de</p><p>um tubo longo, fluxo turbulento em um orifício de pequena dimensão ou o</p><p>fluxo turbulento através da abertura de uma válvula. Esse símbolo de</p><p>válvula é análogo ao usado para o amortecedor (ou dispositivo de</p><p>amortecimento) que representa atrito em um sistema mecânico.</p><p>Figura 4.5 Elemento de resistência fluida.</p><p>Capacitância Fluida</p><p>A capacitância de um reservatório fluido ou tanque é uma medida da sua</p><p>capacidade de armazenar energia devida à pressão do fluido. Para sistemas</p><p>hidráulicos (líquidos), a capacitância fluida C é usualmente definida como a</p><p>razão entre as variações no volume V e na pressão P</p><p>A capacitância fluida hidráulica possui unidades de m3/Pa ou m5/N. A</p><p>Figura 4.6 mostra um reservatório (tanque) com área de seção reta circular</p><p>constante A parcialmente cheio com um líquido. A pressão na base do</p><p>tanque é determinada a partir da equação hidrostática</p><p>na qual g é a aceleração da gravidade, h é a altura do líquido e Patm é a</p><p>pressão atmosférica. A pressão na base é a soma da pressão atmosférica</p><p>(atuando sobre a superfície livre do fluido) e do peso da coluna de líquido</p><p>(rgAh) dividido pela sua área (A). Pode-se obter a capacitância fluida do</p><p>tanque usando a Eq. (4.10), notando que o volume é V = Ah, e então sua</p><p>diferencial é dV = Adh. Em seguida, determinam-se as diferenciais nos dois</p><p>lados da equação hidrostática (4.11) para um fluido incompressível (ρ =</p><p>constante) e encontra-se</p><p>Usando as Eqs. (4.10), (4.12), e a diferencial dV = Adh, a capacitância</p><p>fluida do tanque é</p><p>Assim sendo, a capacitância fluida dV/dP de um reservatório hidráulico</p><p>com área de seção reta constante contendo um fluido incompressível é uma</p><p>constante.</p><p>Figura 4.6 Reservatório hidráulico.</p><p>A definição da capacitância fluida (4.10) pode ser reescrita separando as</p><p>variáveis</p><p>Dividindo ambos os lados da Eq. (4.14) por dt tem-se</p><p>A Eq. (4.15) é análoga à da capacitância elétrica, C C = I, a qual estabelece</p><p>que o produto da capacitância elétrica e da taxa no tempo da tensão é igual</p><p>à corrente através do capacitor. Assim, no sistema tanque hidráulico, a</p><p>pressão é análoga ao potencial elétrico (tensão) e a vazão volumétrica Q à</p><p>corrente elétrica. A Eq. (4.15) será revisitada quando for aplicada a</p><p>conservação de massa no volume de controle (VC) de um sistema fluido.</p><p>Inertância Fluida</p><p>A inertância (ou indutância) fluida é o efeito por causa da inércia do fluido</p><p>conforme é acelerada ao longo de uma tubulação. Para sistemas fluidos, a</p><p>inertância Lf é definida como a razão entre a variação da pressão P e da taxa</p><p>no tempo da vazão volumétrica</p><p>A inertância fluida hidráulica possui unidades de Pa·s2/m3. Pode-se</p><p>empregar a Eq. (4.16) para escrever uma expressão relacionando a queda de</p><p>pressão à aceleração do fluido</p><p>A Eq. (4.17) é análoga à relação do indutor elétrico eL = L , na qual a queda</p><p>de pressão ΔP é análoga à queda de tensão no indutor eL, e a vazão</p><p>volumétrica Q é análoga à corrente I. Enquanto o efeito de inércia é</p><p>importante na modelagem de sistemas mecânicos, os efeitos da inércia</p><p>fluida são normalmente insignificantes e podem ser ignorados na</p><p>modelagem de sistemas fluidos.</p><p>Fontes Fluidas</p><p>Podem ser utilizados dois tipos de fontes ideais para os sistemas fluidos:</p><p>fontes de pressão e de vazão. Essas fontes fluidas ideais são análogas às</p><p>fontes ideais de tensão e corrente para os sistemas elétricos. Uma bomba</p><p>comandada por um motor é tipicamente utilizada para fornecer um fluido</p><p>pressurizado ou uma vazão de fluido desejada. Não serão considerados os</p><p>detalhes que descrevem a operação de uma bomba neste capítulo, mas em</p><p>vez disso é assumido que fontes de pressão ou de vazão desejadas são</p><p>entradas conhecidas para o sistema fluido.</p><p>Conservação de Massa</p><p>Modelos matemáticos de sistemas fluidos podem ser desenvolvidos pela</p><p>aplicação da conservação de massa em um VC. A Figura 4.7 mostra um VC</p><p>no qual a massa pode estar entrando ( positiva) e saindo ( negativa)</p><p>através de vários caminhos. Adicionalmente, a massa pode ser acumulada</p><p>no VC. A conservação de massa no VC estabelece que</p><p>na qual VC é a taxa de variação líquida da massa de fluido total no VC. Se</p><p>não é acumulada massa no VC (isto é, fluxo constante através do VC) então</p><p>VC = 0. Pode-se reescrever a equação de continuidade de massa (4.18)</p><p>usando o símbolo w = para a vazão de massa</p><p>Figura 4.7 Volume de controle.</p><p>Os termos do lado direito da equação de continuidade de massa (4.19) são</p><p>devidos ao escoamento de fluido para dentro e fora do VC através de tubos,</p><p>orifícios ou válvulas. O lado direito da Eq. (4.19) é a derivada no tempo da</p><p>massa total contida no VC, mVC = ρ V.</p><p>Assim sendo, a vazão de massa líquida no VC é afetada pelas variações da</p><p>massa específica ρ e do volume V. São discutidos a seguir diferentes</p><p>sistemas hidráulicos que envolvem fluidos incompressíveis ( = 0) e</p><p>compressíveis ( ≠ 0).</p><p>Modelagem de Sistemas com Tanques Hidráulicos</p><p>Como um primeiro exemplo de um</p><p>sistema fluido simples, é desenvolvido</p><p>o modelo matemático de um reservatório hidráulico (tanque). Como a</p><p>pressão do fluido no tanque é devido à sua altura (isto é, a equação</p><p>hidrostática (4.11)) ela é relativamente baixa, e, portanto, o fluido pode ser</p><p>considerado como incompressível ( = 0). Usando as Eqs. (4.19) e (4.20), a</p><p>taxa de variação líquida da massa do fluido é devida apenas a sua variação</p><p>de volume</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>Pode-se dividir a Eq. (4.21) pela massa específica r e usar as vazões</p><p>volumétricas de entrada e saída em vez das vazões de massa.</p><p>Substituindo a Eq. (4.15) no lado esquerdo da Eq. (4.22) tem-se</p><p>A Eq. (4.23) é o modelo fundamental para um sistema hidráulico com</p><p>escoamento incompressível. Note que o lado esquerdo da Eq. (4.23) é =</p><p>(dV/dP)(dP/dt), na qual dV/dP = C. Deve-se aplicar a Eq. (4.23) para cada</p><p>reservatório hidráulico (ou VC) em um sistema com tanques comunicantes.</p><p>O exemplo a seguir mostra os passos de modelagem para um sistema de um</p><p>único tanque hidráulico.</p><p>Exemplo 4.1</p><p>A Figura 4.8 mostra um único tanque hidráulico com uma vazão</p><p>volumétrica de entrada Qent.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema hidráulico</p><p>assumindo escoamento laminar através da válvula.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema hidráulico</p><p>assumindo escoamento turbulento através da válvula.</p><p>Repita os problemas (a) e (b) com o modelo representado em</p><p>termos da altura do líquido h.</p><p>Figura 4.8 Sistema com tanque hidráulico para o Exemplo 4.1.</p><p>(a) Como o sistema hidráulico consiste em um único tanque, o modelo</p><p>matemático é desenvolvido a partir da conservação de massa (4.23) para um</p><p>único VC</p><p>no qual P é a pressão na base do tanque, Qent é a vazão volumétrica de</p><p>entrada (fornecida) e Qsai é a vazão de saída através da válvula. Usando a</p><p>Eq. (4.2) para representar a vazão laminar de saída</p><p>na qual RL é a resistência de fluxo laminar, e a queda de pressão através de</p><p>válvula é ΔP = P – Patm porque a pressão externa da válvula é a atmosférica.</p><p>Usando a Eq. (4.25) na Eq. (4.24) chega-se à</p><p>Multiplicando a Eq. (4.26) por RL e agrupando os termos envolvendo a</p><p>variável dinâmica P no lado esquerdo tem-se</p><p>A Eq. (4.27) é o modelo matemático do sistema tanque hidráulico com</p><p>escoamento laminar através da válvula. Esse sistema é modelado por uma</p><p>única EDO de primeira ordem linear porque possui apenas uma</p><p>capacitância fluida que pode armazenar energia. A capacitância fluida do</p><p>tanque é uma constante: C = A / (ρg). As entradas do sistema são Qent e Patm</p><p>e, consequentemente, estão agrupadas no lado direito da Eq. (4.27).</p><p>(b) Para o escoamento turbulento através da válvula, emprega-se a Eq.</p><p>(4.25) para a vazão de saída</p><p>na qual KT é o coeficiente de fluxo turbulento e ΔP = P – Patm. Substituindo</p><p>a Eq. (4.28) na equação de continuidade (4.24) fornece</p><p>A Eq. (4.29) é o modelo matemático do sistema tanque hidráulico com</p><p>escoamento turbulento através da válvula. O sistema é modelado por uma</p><p>única EDO de primeira ordem não linear porque possui apenas uma</p><p>capacitância fluida que pode armazenar energia.</p><p>(c) Deseja-se escrever os modelos matemáticos linear e não linear (4.27)</p><p>e (4.28) em termos da altura do líquido h em vez da pressão na base P.</p><p>Pressão e altura estão relacionados com a equação hidrostática (4.11)</p><p>A taxa de variação no tempo da pressão hidrostática (4.30) é</p><p>Em seguida, substituindo a Eq. (4.31) para e a Eq. (4.30) para P – Patm no</p><p>modelo do tanque hidráulico linear (4.27) tem-se</p><p>Finalmente, pode-se dividir todos os termos na Eq. (4.32) por rg</p><p>A Eq. (4.33) é o modelo matemático do tanque hidráulico com escoamento</p><p>laminar através da válvula, no qual a altura do líquido h é a variável</p><p>dinâmica. As Eqs. (4.27) e (4.33) são modelos dinâmicos equivalentes do</p><p>tanque hidráulico com escoamento laminar através da válvula.</p><p>Pode-se obter o modelo não linear (escoamento turbulento) em termos</p><p>da altura do líquido h substituindo as Eqs. (4.30) e (4.31) para P – Patm e no</p><p>modelo não linear do tanque hidráulico (4.29) e chegar à</p><p>A Eq. (4.34) é o modelo matemático do tanque hidráulico com escoamento</p><p>turbulento na válvula no qual a altura do líquido h é a variável dinâmica. O</p><p>leitor deve notar que se a capacitância fluida C = A/(ρg) for substituída na</p><p>Eq. (4.34), o primeiro termo do lado esquerdo é claramente a taxa de</p><p>variação do volume (A = ) e possui equivalência dimensional com Qent e</p><p>. As Eqs. (4.29) e (4.34) são modelos dinâmicos equivalentes</p><p>para o tanque hidráulico com escoamento turbulento na válvula.</p><p>Em resumo, sistemas com tanque hidráulico exigem uma EDO de</p><p>primeira ordem para cada capacitância fluida (reservatório) que pode ser</p><p>escrita com a pressão P ou na altura h do líquido como variável dinâmica.</p><p>Assim sendo, se forem dois tanques interconectados, o modelo matemático</p><p>completo envolverá duas EDOs de primeira ordem. O fluxo através de</p><p>válvulas (resistências), sendo laminar (linear) ou turbulento (não linear),</p><p>será sempre uma função da queda de pressão ΔP através da válvula. Como</p><p>os sistemas de atuadores fluidos são a prioridade deste capítulo, não serão</p><p>tratados exemplos adicionais com tanques hidráulicos.</p><p>Modelagem de Sistemas Hidromecânicos</p><p>Sistemas hidromecânicos são criados pela combinação de componentes</p><p>hidráulicos e mecânicos, e são usados para converter a energia armazenada</p><p>no fluido pressurizado em energia mecânica (movimento e deslocamento).</p><p>Por exemplo, um atuador hidráulico (ou servomecanismo) emprega um</p><p>líquido pressurizado para mover o pistão em um cilindro que é conectado a</p><p>uma carga mecânica. Como comentado anteriormente, servomecanismos</p><p>hidráulicos são amplamente utilizados na indústria para fornecer elevadas</p><p>forças para maquinaria pesada, tais como colheitadeiras, escavadoras e</p><p>prensas de forjamento. Os acumuladores hidráulicos armazenam energia em</p><p>um reservatório pressurizado e normalmente usam um subsistema mecânico</p><p>massa-mola para tanto.</p><p>A Figura 4.9 mostra um simples atuador hidráulico que consiste em um</p><p>pistão e cilindro com área de seção reta circular A. Neste exemplo</p><p>elementar, o óleo hidráulico está fluindo para a câmara esquerda do cilindro</p><p>(Qent), e, portanto, é estabelecido um VC nesse lado (a maioria dos</p><p>servomecanismos hidráulicos envolve fluido pressurizado em ambos os</p><p>lados do cilindro de tal modo que o pistão pode se mover para a esquerda</p><p>ou para a direita). A conservação de massa (4.19) é aplicada ao VC</p><p>O lado esquerdo da Eq. (4.35) é a derivada no tempo da massa total no VC.</p><p>Figura 4.9 Pistão e cilindro hidráulicos.</p><p>Considera-se que o fluido hidráulico a alta pressão é compressível, e,</p><p>portanto, ≠ 0 (o leitor deve notar que a maioria dos óleos hidráulicos</p><p>possui variação de massa específica menor que 2% para um aumento de</p><p>pressão na ordem de 20 MPa). Expressando a vazão de massa na entrada</p><p>como went = ρQent e observando que a vazão de massa na saída wsai é zero, a</p><p>Eq. (4.35) se torna</p><p>A derivada no tempo da massa específica pode ser expressa utilizando a</p><p>regra da cadeia</p><p>A definição do módulo de compressibilidade, Eq. (4.1), pode ser empregada</p><p>para determinar a taxa de variação na massa específica devida à variação na</p><p>pressão, ou dρ / dP = ρ /β. Portanto, a taxa no tempo da massa específica é</p><p>= ρ / β e a equação de continuidade de massa (4.37) se torna</p><p>Eliminando a massa específica e rearranjando a Eq. (4.39) tem-se</p><p>A Eq. (4.40) é o modelo fundamental para a taxa de variação no tempo da</p><p>pressão em um cilindro hidráulico com fluido compressível. O atuador</p><p>hidráulico mostrado na Figura 4.9 é conhecido como cilindro de ação</p><p>simples porque o fluido hidráulico escoa para apenas um lado do pistão. Se</p><p>a Eq. (4.40) for comparada com a Eq. (4.15) da capacitância hidráulica,</p><p>nota-se que V / β é a capacitância fluida de um atuador hidráulico. A Eq.</p><p>(4.40) mostra que o fluido escoando para o VC (Qent > 0) aumenta a pressão</p><p>do fluido enquanto uma expansão do VC ( > 0) diminui a pressão. O</p><p>volume instantâneo do VC é V = Ax (na qual x é a posição do pistão na</p><p>Figura 4.9), e, portanto, a taxa de variação no tempo do volume é = A .</p><p>Está claro que</p><p>o movimento do pistão (x e ) deve ser levando em</p><p>consideração na equação servo-hidráulica (4.40), e, consequentemente,</p><p>deve-se incluir um modelo do sistema mecânico (pistão e carga).</p><p>Finalmente, deve-se notar que a Eq. (4.40) é não linear uma vez que o</p><p>coeficiente 1 / V envolve a inversa da variável dinâmica x.</p><p>Exemplo 4.2</p><p>A Figura 4.10 mostra um atuador hidráulico simples com uma vazão de</p><p>entrada Qent para o cilindro e um pistão conectado a uma massa carga.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema hidromecânico.</p><p>Figura 4.10 Atuador hidráulico para o Exemplo 4.2.</p><p>Inicia-se com a Eq. (4.40), que modela a variação de pressão no lado</p><p>esquerdo do cilindro</p><p>na qual P e V são a pressão e o volume do lado esquerdo do cilindro,</p><p>respectivamente. O volume instantâneo é</p><p>na qual a posição do pistão x é medida a partir da posição de equilíbrio</p><p>estático (sem deflexão da mola) e V0 é o volume do lado esquerdo quando x</p><p>= 0. Se for empregada a Eq. (4.42), a taxa de variação no tempo do volume</p><p>da câmara é = A e então a Eq. (4.41) se torna</p><p>Em seguida, desenvolve-se o modelo mecânico que descreve a posição</p><p>e velocidade do pistão e massa carga. A Figura 4.11 mostra o diagrama de</p><p>corpo livre do sistema mecânico, no qual m é a massa total do pistão, haste</p><p>de conexão e massa carga. A força da pressão hidráulica PA atua sobre o</p><p>lado esquerdo do pistão, enquanto a força da pressão atmosférica PatmA age</p><p>no lado direito do pistão (note que apesar da área do lado direito do pistão</p><p>ser menor que A por causa da área da haste de conexão Ahaste, a distribuição</p><p>da pressão atmosférica sobre a massa carga resulta em um incremento de</p><p>força PatmAhaste atuando para o lado esquerdo e, assim, a força da pressão</p><p>atmosférica líquida sobre o pistão/massa carga é PatmA). As forças da mola,</p><p>do atrito e de carga atuam sobre a massa carga como mostrado na Figura</p><p>4.11. Em seguida, aplicando a segunda lei de Newton e somando todas as</p><p>forças externas sobre o pistão/massa carga m com a convenção de sinal</p><p>positivo para a direita:</p><p>Rearranjando a Eq. (4.44) tem-se</p><p>Figura 4.11 Diagrama de corpo livre para o atuador hidráulico (Exemplo 4.2).</p><p>As Eqs. (4.43) e (4.45) constituem o modelo matemático do sistema</p><p>hidromecânico. O leitor deve notar que o sistema completo envolve uma</p><p>EDO de primeira ordem para a capacitância fluida e uma EDO de segunda</p><p>ordem para a inércia mecânica. As Eqs. (4.43) e (4.45) são acopladas, pois a</p><p>pressão P é necessária no modelo mecânico (4.45) e a posição e velocidade</p><p>(x e ) são requeridas no modelo fluido (4.43). O sistema é não linear</p><p>porque a equação do modelo fluido (4.43) é uma EDO não linear.</p><p>Finalmente, o leitor deve notar que as variáveis dinâmicas são a pressão na</p><p>câmara P e a posição x, enquanto as variáveis de entrada do sistema são a</p><p>vazão Qent, a pressão atmosférica Patm e a força carga FC.</p><p>Exemplo 4.3</p><p>A Figura 4.12 mostra um acumulador em um circuito hidráulico no qual</p><p>Qent é a vazão volumétrica de entrada. Desenvolva o modelo matemático do</p><p>sistema completo.</p><p>Figura 4.12 Acumulador hidráulico para o Exemplo 4.3.</p><p>Acumuladores são localizados a jusante (depois) das fontes hidráulicas</p><p>(por exemplo, bombas) de modo a atenuar (reduzir) oscilações ou picos na</p><p>vazão ou pressão. O sistema mostrado na Figura 4.12 consiste em uma</p><p>mangueira (com volume constante Vm) conectando uma bomba a uma carga</p><p>hidráulica. A carga pode ser um motor hidráulico que faz parte de uma</p><p>transmissão hidrostática que necessita de uma vazão Qm prescrita para</p><p>operar adequadamente. O acumulador consiste em uma câmara com pressão</p><p>Pc e volume Vc e uma placa móvel (massa m) restrita por uma mola k. O</p><p>fluido a alta pressão escoa da mangueira para o acumulador através de um</p><p>orifício de pequenas dimensões com área constante A0. O acumulador pode</p><p>armazenar fluido durante variações rápidas na pressão Pm da mangueira e</p><p>devolver fluido para a mangueira quando há diminuição rápida na sua</p><p>pressão. Consequentemente, os acumuladores são empregados para</p><p>amortecer flutuações na pressão ou na vazão da mangueira.</p><p>Inicia-se pela aplicação da equação da taxa de pressão (4.40) para cada</p><p>VC fluido: o VC da mangueira e o VC do acumulador.</p><p>Note que na Eq. (4.46) a vazão volumétrica líquida para o VC da mangueira</p><p>é Qent – Qc – Qm. Além disso, o volume da mangueira Vm é constante, e,</p><p>portanto, m = 0 na Eq. (4.46). Pode-se usar a Eq. (4.9) para representar o</p><p>escoamento turbulento através do orifício de pequenas dimensões</p><p>na qual ρ é a massa específica nominal do fluido e Cd o coeficiente de</p><p>descarga. O leitor deve notar que a Eq. (4.48) indica o fluxo da mangueira</p><p>para o acumulador que ocorre quando Pm > Pc, como descrito na Figura</p><p>4.12. Entretanto, é possível que a pressão do acumulador exceda a da</p><p>mangueira, o que inverte o sentido (e o sinal) do fluxo Qc. Nesse caso, Pc ></p><p>Pm e a Eq. (4.48) não pode ser utilizada porque o radicando é negativo.</p><p>Assim sendo, deve-se modificar a Eq. (4.48) de modo a produzir uma</p><p>equação geral que possa ser empregada para fluxos positivos ou negativos</p><p>no orifício</p><p>Note que o radicando será sempre positivo (por causa do valor absoluto da</p><p>diferença de pressão) e a função sinal sgn(Pm – Pc) resultará em +1, –1, ou</p><p>zero, e, portanto, determinará se o fluxo no orifício é positivo (da</p><p>mangueira para o acumulador), negativo (do acumulador para a mangueira),</p><p>ou zero.</p><p>O volume do acumulador é</p><p>na qual Vc0 é o volume do acumulador quando x = 0. A posição da placa x é</p><p>medida a partir da posição de equilíbrio estático na qual a força da mola</p><p>equilibra a força de pressão nominal. Está claro que a taxa no tempo do VC</p><p>do acumulador é c = A .</p><p>Em seguida, desenvolve-se o modelo mecânico para a massa da placa</p><p>do acumulador empregando o diagrama de corpo livre mostrado na Figura</p><p>4.13. Note que foi assumido atrito viscoso linear atuando sobre a placa (b )</p><p>e a pressão atmosférica Patm agindo na sua parte superior. Além disso, a</p><p>mola do acumulador está inicialmente comprimida de modo a equilibrar a</p><p>força de pressão nominal e assim a força de pré-carga da mola FPC é</p><p>incluída no diagrama de corpo livre. O leitor deve notar que quando a placa</p><p>está parada na posição x = 0, o acumulador está no equilíbrio estático e a</p><p>pré-carga FPC compensa as forças de pressão. Somando todas as forças</p><p>externas sobre a massa da placa m fornece</p><p>Figura 4.13 Diagrama de corpo livre para a placa do acumulador hidráulico (Exemplo 4.3).</p><p>ou, após rearrumar a Eq. (4.51)</p><p>A Eq. (4.52) mostra claramente que quando a força de pré-carga na mola</p><p>FPC equilibra a força da diferença da pressão (Pc – Patm)A a massa da placa</p><p>deve estar no equilíbrio estático (isto é, = = x = 0).</p><p>O modelo matemático completo do sistema acumulador é composto das</p><p>Eqs. (4.46), (4.47) e (4.52), que são repetidas a seguir com as devidas</p><p>substituições para os volumes e suas taxas no tempo:</p><p>As Eqs. (4.53), (4.54) e (4.55) representam o modelo matemático do</p><p>sistema hidromecânico. A Eq. (4.49) também é necessária para determinar a</p><p>vazão através do orifício Qc. O modelo completo é de quarta ordem,</p><p>consistindo em duas EDOs de primeira ordem e de uma de segunda ordem.</p><p>As EDOs são acopladas porque o conhecimento do movimento mecânico é</p><p>requerido na Eq. (4.54) do VC do acumulador e a informação de pressão é</p><p>necessária nas equações da vazão no orifício (4.49) e mecânica (4.55). O</p><p>sistema é claramente não linear por causa da equação da vazão no orifício</p><p>(4.49). Em resumo, as variáveis dinâmicas do sistema são as pressões da</p><p>mangueira Pm e do acumulador Pc, e a posição da placa x, enquanto as</p><p>variáveis de entrada são as vazões Qent e a da mangueira Qm, a pressão</p><p>atmosférica Patm, e a força de pré-carga na mola FPC.</p><p>Exemplo 4.4</p><p>Considere novamente o sistema hidráulico do Exemplo 4.3. Determine a</p><p>capacitância fluida C da mangueira e a vazão volumétrica inicial Qc através</p><p>do orifício se o sistema possui as seguintes características no instante t = 0:</p><p>volume da mangueira Vm = 0,003 m3, pressão da mangueira Pm = 2(107) Pa,</p><p>pressão do acumulador Pc = 1,95(107) Pa, massa específica do fluido ρ =</p><p>875 kg/m3, módulo de compressibilidade β = 0,8(109) Pa, coeficiente de</p><p>descarga Cd = 0,62, e área do orifício A0 = 5(10–6) m2.</p><p>A capacitância fluida de uma mangueira com volume constante é C =</p><p>Vm / β = 0,003 m3/0,8(109) Pa, ou C = 3,75(10–12) m3/Pa.</p><p>A Eq. (4.48) determina a vazão volumétrica inicial através do orifício</p><p>na qual a diferença de pressão inicial através do orifício é Pm – Pc = 2(107) –</p><p>1,95(107) = 5(105) Pa. Usando os valores numéricos fornecidos para o</p><p>fluido hidráulico e orifício chega-se à vazão volumétrica inicial de Qc =</p><p>1,048(10–4) m3/s.</p><p>Á</p><p>4.3 SISTEMAS PNEUMÁTICOS</p><p>Esta seção apresenta uma breve descrição das relações fundamentais que</p><p>descrevem os sistemas pneumáticos nos quais um gás (normalmente o ar) é</p><p>o fluido de trabalho. Na seção anterior, foi comentado que uma variação</p><p>muito elevada na pressão (da ordem de 20 MPa) produz um aumento de 2%</p><p>na massa específica de um óleo hidráulico típico. Enquanto sistemas</p><p>pneumáticos envolvem pressões de operação muito menores quando</p><p>comparadas com os sistemas hidráulicos, eles quase sempre trabalham com</p><p>gases compressíveis nos quais a massa específica varia de forma</p><p>significativa com a pressão. Consequentemente, os sistemas pneumáticos</p><p>são menos “rígidos” quando comparados aos hidráulicos, e, portanto,</p><p>exibem uma resposta mais lenta a variações no estado de operação. Outra</p><p>diferença entre os sistemas hidráulicos e pneumáticos envolve a inclusão</p><p>dos efeitos termodinâmicos. Apesar das variações de temperatura afetarem</p><p>as propriedades dos líquidos (como a viscosidade e o módulo de</p><p>compressibilidade), os efeitos são pequenos comparados aos das variações</p><p>de pressão e então não foram considerados no desenvolvimento dos</p><p>modelos dos sistemas hidráulicos. Por outro lado, os sistemas pneumáticos</p><p>exibem uma relação funcional entre pressão, temperatura e massa</p><p>específica, como mostrado pela lei dos gases ideais</p><p>na qual P é a pressão absoluta, r é a massa específica do gás, R é a constante</p><p>dos gases, e T a temperatura absoluta (em kelvin, K). Incluir os efeitos</p><p>termodinâmicos complica imensamente a análise dos sistemas pneumáticos.</p><p>As variáveis fundamentais dos sistemas pneumáticos são pressão P e a</p><p>vazão de massa w. Como os gases são altamente compressíveis, não se pode</p><p>simplesmente relacionar a vazão de massa com a vazão volumétrica. Além</p><p>disso, diferentemente dos gases, os líquidos “enchem” um recipiente com</p><p>uma altura (nível) reconhecível. Por isso é usada a vazão de massa w para</p><p>os sistemas pneumáticos em vez da vazão volumétrica Q.</p><p>Resistência de Sistemas Pneumáticos</p><p>Nos raros casos em que o gás é incompressível (isto é, fluxo de velocidade</p><p>muito baixa), a resistência pneumática pode ser modelada tanto pela</p><p>equação laminar linear (4.2) quanto pela turbulenta não linear (4.4). Os</p><p>coeficientes das resistências correspondentes laminar ou turbulenta RL e RT</p><p>podem ser aproximados a partir de resultados experimentais, como um</p><p>gráfico da vazão de massa w versus a queda de pressão.</p><p>Na maioria das aplicações industriais (tais como atuadores</p><p>pneumáticos), o gás de trabalho escoa através das válvulas e orifícios em</p><p>alta velocidade, e, portanto, é compressível. Fluxo de gás compressível é</p><p>um fenômeno complexo, e, por isso, não serão desenvolvidas as respectivas</p><p>equações neste texto. Em vez disso, serão apresentados resultados para o</p><p>escoamento de gás através de um orifício de pequenas dimensões, que</p><p>poderão ser empregados para modelar o fluxo compressível em um sistema</p><p>pneumático (veja a Referência 1 para uma discussão detalhada para o</p><p>escoamento de gás compressível).</p><p>A Figura 4.14 mostra o fluxo de um gás compressível através de um</p><p>orifício de pequenas dimensões com área A0 no estrangulamento (mínima</p><p>área). Expressões para a vazão de massa de gás podem ser desenvolvidas</p><p>assumindo que a expansão de um gás ideal através do orifício é isentrópica</p><p>(isto é, sem atrito e adiabática). Adicionalmente, é necessário considerar</p><p>dois casos: (1) fluxo “ilimitado” e (2) fluxo “limitado”. O fluxo é dito</p><p>“limitado” quando atinge condições sônicas (a velocidade do som, ou Mach</p><p>= 1) no estrangulamento. A razão entre as pressões a jusante (depois) e a</p><p>montante (antes) P2 / P1, determina se o fluxo é limitado ou não.</p><p>Obviamente, se as pressões a montante e a jusante são praticamente iguais</p><p>(P2 / P1 ≈ 1), então não há escoamento através do orifício. O gás começa a</p><p>escoar através do orifício com velocidade em ascensão conforme a razão de</p><p>pressão P2 / P1 diminui para valores menores que um. Enquanto P2 / P1 é</p><p>maior que a razão crítica Cr o fluxo de gás é subsônico e “ilimitado” e a</p><p>vazão de massa correspondente é</p><p>Figura 4.14 Escoamento de gás através de um pequeno orifício.</p><p>na qual γ é a razão dos calores específicos (= 1,4 para o ar) e Cd é o</p><p>coeficiente de descarga para as perdas associadas ao fluxo através do</p><p>orifício. A Eq. (4.57) é uma função altamente não linear da razão de pressão</p><p>P2 / P1, temperatura T1, área do orifício A0, coeficiente de descarga Cd,</p><p>constante dos gases R e da razão dos calores específicos γ. A equação do</p><p>fluxo ilimitado claramente mostra que a vazão de massa é nula se a razão de</p><p>pressão P2 / P1 é exatamente igual a um. Se a pressão a jusante P2 se torna</p><p>muito pequena, a velocidade do fluxo aumenta até atingir a sônica (Mach 1)</p><p>no estrangulamento e o escoamento se torna limitado. Diminuindo a pressão</p><p>a jusante P2 abaixo do seu ponto crítico não irá alterar as condições no</p><p>estrangulamento. Nesse caso, a vazão de massa limitada é</p><p>A razão crítica de pressão que divide os regimes de escoamento ilimitado e</p><p>limitado é uma função de g</p><p>Para o ar, γ = 1,4, e, portanto, a pressão crítica é Cr = 0,528. A Figura 4.15</p><p>mostra a vazão de massa para o ar escoando através de um pequeno orifício</p><p>com as seguintes condições: pressão a montante P1 = 6(105) Pa, área do</p><p>orifício A0 = 4 mm2, temperatura a montante T1 = 298 K, e coeficiente de</p><p>descarga Cd = 0,8. A pressão a jusante P2 varia entre um valor muito</p><p>pequeno (próximo do vácuo) e um limite superior igual à P1. O fluxo</p><p>limitado, como calculado pela Eq. (4.58), é facilmente identificado pela</p><p>vazão de massa constante quando a razão de pressão P2 / P1 ≤ 0,528. O</p><p>fluxo se torna ilimitado (subsônico) quando P2 / P1 > 0,528 e diminui até</p><p>zero para P2 / P1 = 1.</p><p>Figura 4.15 Vazão de massa para o ar através de um pequeno orifício.</p><p>Capacitância Pneumática</p><p>Como os sistemas pneumáticos normalmente envolvem um gás escoando</p><p>para um reservatório de volume constante, a capacitância fluida C é</p><p>usualmente definida como a razão entre as variações na massa m e na</p><p>pressão P</p><p>e possui unidades de kg/Pa ou kg·m2/N. A massa de gás em um reservatório</p><p>é m = ρV, e, portanto, o diferencial de massa para um reservatório de</p><p>volume constante é dm = Vdρ. Consequentemente, a capacitância</p><p>pneumática (4.60) para um reservatório com volume constante se torna</p><p>Assim sendo, a capacitância pneumática depende da compressibilidade do</p><p>gás em relação à variação na pressão. Lembre-se de que a partir da</p><p>termodinâmica básica o processo de expansão de um gás pode ser a</p><p>temperatura constante (isotérmico), a pressão constante (isobárico) ou a</p><p>entropia constante (isentrópico). Considera-se aqui o processo isotérmico e</p><p>isentrópico (adiabático e reversível), que pode ser modelado pelo o</p><p>processo politrópico</p><p>na qual a é uma constante e n é o expoente politrópico. Para o processo</p><p>isotérmico n = 1; para o processo isentrópico n = γ. Tomando a diferencial</p><p>em ambos os lados da Eq. (4.62) tem-se</p><p>Resolvendo a Eq. (4.63) para dρ /dP obtém-se</p><p>Em seguida, resolvendo a Eq. (4.62) para a constante a = Pρ–n e</p><p>substituindo na Eq. (4.64) chega-se à</p><p>Usando a lei dos gases ideais (4.56) para substituir a pressão na Eq. (4.65) a</p><p>derivada dρ /dP se torna</p><p>Finalmente, substituindo a Eq. (4.66) na Eq. (4.61) tem-se a capacitância</p><p>pneumática para um reservatório de volume constante</p><p>Note que a capacitância pneumática para um reservatório fixo pode variar</p><p>dependendo da temperatura, do tipo de gás e do processo termodinâmico.</p><p>Pode-se separar as variáveis</p><p>fazê-lo. Entretanto, o</p><p>Capítulo 8 pode ser omitido se o instrutor não se importar em</p><p>incluir o método da transformada de Laplace.</p><p>O Capítulo 11 apresenta cinco estudos de caso de engenharia em</p><p>sistemas dinâmicos e de controle. Os cinco estudos de caso,</p><p>inspirados por artigos de pesquisa, são: (1) isolamento de vibrações</p><p>em um sistema de suspensão veicular; (2) um atuador</p><p>eletromecânico (solenoide); (3) um sistema de freio pneumático;</p><p>(4) um servomecanismo hidráulico de controle; e (5) o controle de</p><p>um sistema de levitação eletromagnética realimentado. Esses casos</p><p>ilustram tópicos dos capítulos anteriores: modelagem, simulação,</p><p>linearização, métodos analíticos e controle. Os instrutores podem</p><p>desejar antecipar no semestre a introdução das várias aplicações</p><p>contidas no Capítulo 11, conforme certos tópicos são tratados e</p><p>depois revisitar os casos de estudo conforme a disciplina progrida.</p><p>Novamente, não exagero a importância de apresentar a análise de</p><p>sistemas complexos de engenharia, reais, para estudantes de</p><p>graduação de modo a motivá-los, atrair o interesse, e ilustrar os</p><p>conceitos-chave em sistemas dinâmicos e de controle.</p><p>Muitas pessoas contribuíram com a produção deste livro. Gostaria de</p><p>agradecer a Roger C. Fales, meu colega na University of Missouri, por seu</p><p>conhecimento especializado e comentários sobre os sistemas fluidos. Dois</p><p>estudantes da University of Missouri forneceram imensa assistência:</p><p>Annemarie Hoyer pesquisou a literatura de engenharia e ajudou no manual</p><p>de soluções, e James Smith criou as ilustrações para os desenhos</p><p>manuscritos. Muitos revisores forneceram valiosas sugestões para</p><p>aperfeiçoamento deste livro e são listados a seguir:</p><p>Bradley T. Burchett, Rose-Hulman Institute of Technology</p><p>Mark B. Colton, Brigham Young University</p><p>Eric Constans, Rowan University</p><p>R. Rees Fullmer, Utah State University</p><p>Rajesh Ganesan, George Mason University</p><p>Seon Han, Texas Tech University</p><p>S. Graham Kelly, The University of Akron</p><p>Kathleen Lamkin-Kennard, Rochester Institute of Technology</p><p>Javad Mohammadpour, University of Georgia</p><p>Nejat Olgac, University of Connecticut</p><p>Andrew R. Plummer, University of Bath</p><p>Ernest W. Tollner, University of Georgia</p><p>Hwan-Sik Yoon, University of Alabama</p><p>Foi um grande prazer trabalhar com a equipe editorial e de produção do</p><p>livro, e agradeço especialmente a Linda Ratts e Hope Ellis. Também</p><p>agradeço a minha esposa Nancy M. West por seu hábil trabalho editorial e</p><p>sincero encorajamento durante este projeto. Finalmente, reconheço e</p><p>agradeço o trabalho de meus mentores que tiveram um imenso impacto em</p><p>minha vida: meu orientador Bion L. Pierson da Iowa State University, John</p><p>P. Riehl do NASA Glenn Research Center, e meus pais Allan e Janet</p><p>Kluever.</p><p>E, finalmente, agradeço a meu filho, Silas West Kluever, para quem,</p><p>juntamente com meus pais, dedico este livro. Aos 12 anos, ele possui todas</p><p>as características de um engenheiro mecânico, apesar de no momento estar</p><p>muito mais interessado em se tornar um jogador da liga profissional de</p><p>beisebol.</p><p>Craig A. Kluever</p><p>Engenheiro Mecânico e Aeroespacial</p><p>University of Missouri-Columbia</p><p>Janeiro de 2015</p><p>1.1 INTRODUÇÃO</p><p>Na solução de problemas de engenharia, é necessário compreender e</p><p>determinar a resposta dinâmica de sistemas físicos que podem consistir em</p><p>vários componentes. Esses esforços envolvem modelagem, análise e</p><p>simulação. Geralmente, construir um sistema protótipo e conduzir testes</p><p>experimentais pode ser impraticável ou muito caro para um projeto</p><p>preliminar. Assim sendo, a modelagem matemática, a análise e a simulação</p><p>de sistemas de engenharia auxiliam imensamente no processo de projeto.</p><p>Sistemas dinâmicos e de controle envolvem a análise, projeto e controle</p><p>de sistemas físicos de engenharia normalmente compostos por subsistemas</p><p>e componentes mecânicos, elétricos e fluidos que interagem. Um exemplo é</p><p>um atuador hidráulico eletricamente controlado empregado para variar a</p><p>posição de uma superfície aerodinâmica (por exemplo, leme) em um</p><p>aeroplano. Esse sistema consiste em vários componentes interagindo: um</p><p>circuito eletromagnético é usado para abrir uma válvula mecânica que</p><p>possibilita um fluido hidráulico à alta pressão escoar para a câmara de um</p><p>cilindro; a pressão do fluido faz com que um pistão mecânico se mova; e</p><p>ligações mecânicas (mecanismo) conectando o pistão hidráulico ao leme</p><p>causam a variação da sua posição angular. Finalmente, um computador</p><p>digital embarcado (um “piloto automático”) usa a realimentação de</p><p>transdutores (sensores) para ajustar a operação do atuador hidráulico de tal</p><p>modo que a posição do leme (e, consequentemente, a resposta do</p><p>aeroplano) atinja o valor desejado. Esse exemplo mostra porque é vantajoso</p><p>para um engenheiro entender a resposta dinâmica desse sistema</p><p>interconectado sem depender da experimentação com um protótipo físico.</p><p>Seguem definições de termos importantes que serão empregados ao</p><p>longo do livro:</p><p>Sistema: Uma combinação de componentes atuando em conjunto para</p><p>realizar um objetivo especificado. Os componentes ou elementos</p><p>interagindo possuem relações de causa e efeito (ou de entrada-</p><p>saída). Um exemplo de um sistema é um motor de corrente contínua</p><p>(CC) no qual a tensão de entrada causa a velocidade angular (saída)</p><p>de uma carga mecânica conectada ao eixo do motor.</p><p>Sistema dinâmico: Um sistema no qual as variáveis de saída (ou</p><p>variáveis dinâmicas) atuais dependem das condições iniciais (ou da</p><p>energia armazenada) do sistema e/ou das variáveis de entrada</p><p>anteriores. As variáveis dinâmicas de um sistema (por exemplo,</p><p>deslocamento, velocidade, tensão, pressão) variam com o tempo.</p><p>Para o exemplo do motor CC, a velocidade angular do motor é a</p><p>variável dinâmica e a tensão do circuito é a entrada.</p><p>Modelagem: O processo de aplicar as leis físicas fundamentais</p><p>apropriadas de modo a determinar as equações matemáticas que</p><p>adequadamente descrevem o comportamento do sistema de</p><p>engenharia. Sistemas dinâmicos são representados por equações</p><p>diferenciais. Para o exemplo do motor CC, o circuito elétrico é</p><p>modelado usando a lei das tensões (malhas) de Kirchhoff e o</p><p>movimento mecânico por meio da segunda lei de Newton (aplicada</p><p>a sistemas mecânicos de rotação).</p><p>Modelo matemático: A descrição matemática do comportamento de</p><p>um sistema dinâmico, normalmente um conjunto de equações</p><p>diferenciais ordinárias (EDOs) lineares ou não lineares. Para o</p><p>exemplo do motor CC, o modelo matemático consiste em uma</p><p>equação diferencial para a corrente elétrica e outra para o</p><p>movimento mecânico.</p><p>Simulação: O processo de obtenção da resposta de sistemas dinâmicos</p><p>por solução numérica das equações que os modelam. A simulação</p><p>envolve a integração numérica das equações diferenciais do modelo</p><p>e é realizada por computadores digitais e programas de simulação.</p><p>Análise do sistema: O emprego de cálculos analíticos ou ferramentas</p><p>de simulação numérica para determinar a resposta do sistema de</p><p>modo a entender e interpretar seu desempenho. Análises repetidas</p><p>ajudam no procedimento de projeto no qual a configuração do</p><p>sistema ou de seus parâmetros são alterados para melhorar o</p><p>desempenho ou alcançar os limites desejados. Para o exemplo do</p><p>motor CC, pode-se aplicar uma tensão de entrada constante e</p><p>determinar as características de resposta da velocidade angular por</p><p>meio de cálculos analíticos (“na mão”) ou simulações numéricas. Se</p><p>a resposta da velocidade angular é inadequada, deve-se alterar os</p><p>parâmetros do sistema de modo a melhorar seu desempenho.</p><p>1.2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS</p><p>Em geral, pode-se classificar os sistemas dinâmicos de acordo com as</p><p>quatro seguintes categorias: (1) sistemas distribuídos ou “concentrados”, (2)</p><p>sistemas contínuos ou discretos no tempo, (3) sistemas invariantes ou</p><p>variantes no tempo, e (4) sistemas lineares ou não lineares.</p><p>Sistemas Distribuídos versus Concentrados</p><p>Um sistema distribuído (ou de parâmetros distribuídos) necessita de um</p><p>número infinito de variáveis “internas”, e, portanto, é representado por</p><p>equações diferenciais parciais (EDPs). Um sistema concentrado (ou de</p><p>parâmetros</p><p>na equação da capacitância pneumática</p><p>(4.60) para obter CdP = dm e dividir esse resultado por dt para encontrar a</p><p>equação diferencial</p><p>A Eq. (4.68) é análoga à de um capacitor elétrico e à do reservatório</p><p>hidráulico desenvolvida na Seção 4.2.</p><p>Modelagem de Sistemas Pneumáticos</p><p>Modelos matemáticos de sistemas pneumáticos podem ser desenvolvidos</p><p>pela aplicação da conservação de massa e da abordagem do VC apresentada</p><p>na Seção 4.2. O procedimento é apenas um pouco diferente dos passos</p><p>aplicados ao sistema hidráulico com um fluido compressível. Para iniciar,</p><p>lembre-se da equação de continuidade de massa (4.19) para um VC, que é</p><p>repetida aqui</p><p>A massa total de gás no VC em qualquer instante de tempo é mVC = ρV, e,</p><p>portanto, sua derivada no tempo é</p><p>Foi usado o módulo de compressibilidade fluido para definir a variação na</p><p>massa específica para um sistema hidráulico com fluido compressível.</p><p>Para os sistemas pneumáticos encontra-se tomando a derivada no tempo</p><p>do processo de expansão politrópica do gás</p><p>Substituindo o modelo de processo politrópico P = aρn na Eq. (4.71) tem-se</p><p>uma expressão para a derivada no tempo da massa específica</p><p>Substituindo a Eq. (4.72) na equação da vazão de massa (4.70) e usando a</p><p>lei dos gases ideais para substituir a massa específica (ρ = P/RT) obtém-se</p><p>Como o interesse está na variação de pressão do sistema pneumático,</p><p>resolve-se a Eq. (4.73) para a taxa no tempo da pressão para obter</p><p>na qual wliq = ∑ went – ∑ wsai é a taxa de variação líquida da massa total do</p><p>fluido no VC. A Eq.(4.74) é o modelo fundamental de um sistema</p><p>pneumático. Pode-se ver que para um reservatório de volume constante (</p><p>= 0) a Eq. (4.74) é idêntica à equação diferencial para a pressão (4.68) que</p><p>foi desenvolvida a partir da definição da capacitância pneumática. Além</p><p>disso, a equação da taxa de pressão pneumática (4.74) possui uma estrutura</p><p>que é muito similar à da taxa de variação da pressão hidráulica</p><p>compressível (4.40): ambas as equações mostram um aumento na pressão</p><p>quando há um fluxo líquido positivo para o VC e uma diminuição na</p><p>pressão quando o VC expande (isto é, > 0). Para o caso de volume</p><p>constante ( = 0), a capacitância fluida do sistema hidráulico na Eq. (4.40)</p><p>é V / β enquanto a capacitância pneumática na Eq. (4.74) é V / nRT, o que</p><p>corresponde à Eq. (4.67).</p><p>Exemplo 4.5</p><p>A Figura 4.16 mostra um sistema pneumático simples que consiste em uma</p><p>câmara com volume fixo V conectada a um tanque de abastecimento de ar</p><p>com pressão constante PF. Desenvolva o modelo matemático do sistema</p><p>pneumático assumindo fluxo compressível através do orifício de pequenas</p><p>dimensões (válvula) com área de estrangulamento A0.</p><p>Figura 4.16 Sistema pneumático para o Exemplo 4.5.</p><p>A taxa de variação da pressão na câmara é descrita pela Eq. (4.74), que</p><p>é a equação fundamental de modelagem de um reservatório pneumático</p><p>na qual went é a vazão de massa do tanque de abastecimento para a válvula.</p><p>Como o volume da câmara é constante faz-se = 0 na Eq. (4.73) para obter</p><p>na qual a capacitância pneumática para o reservatório de volume fixo é</p><p>A vazão de massa went para um gás compressível é descrita pelas Eqs. (4.57)</p><p>e (4.58), dependendo se o escoamento é ilimitado (subsônico) ou limitado.</p><p>Assim sendo, usando as equações de fluxo compressível, a taxa de variação</p><p>da pressão (4.76) se torna</p><p>As Eqs. (4.78) e (4.79) formam o modelo matemático de um sistema</p><p>simples com tanque pneumático. A Eq. (4.77) é usada para definir a</p><p>capacitância pneumática C e a Eq. (4.59) é necessária para estabelecer a</p><p>razão de pressão crítica (Cr = 0,528 para o ar). O modelo matemático</p><p>consiste na EDO de primeira ordem apropriada (isto é, fluxo ilimitado ou</p><p>limitado) e é claramente não linear para o fluxo ilimitado. A única variável</p><p>dinâmica é a pressão P da câmara e a entrada do sistema é a pressão do</p><p>tanque de abastecimento PF. Os parâmetros do sistema incluem o volume da</p><p>câmara V, o expoente politrópico n, a área do orifício A0, a temperatura do</p><p>gás a montante T e o coeficiente de descarga Cd.</p><p>Exemplo 4.6</p><p>Considere novamente o sistema pneumático do Exemplo 4.5. Determine a</p><p>capacitância pneumática C e a vazão de massa inicial went através da válvula</p><p>se o sistema possui as seguintes características no instante em que a válvula</p><p>é aberta: volume da câmara V = 3(10–4) m3, temperatura do ar a montante T</p><p>= 298 K, pressão da fonte a montante PF = 6(105) Pa, pressão da câmara a</p><p>jusante P = 1,2(105) Pa, coeficiente de descarga Cd = 0,8, e área da válvula</p><p>A0 = 2(10–6) m2. Assuma um processo de expansão isotérmica com ar como</p><p>o fluido de trabalho.</p><p>A Eq. (4.67) define a capacitância pneumática para um reservatório com</p><p>volume fixo:</p><p>na qual n = 1 (processo isotérmico) e R = 287 N·m/kg·K é a constante de</p><p>gás para o ar. Usando as características pneumáticas fornecidas para esse</p><p>problema, a capacitância pneumática é C = 3,5077(10–9) kg·m2/N.</p><p>A vazão de massa de entrada inicial went é determinada pela Eq. (4.57)</p><p>para o fluxo ilimitado ou Eq. (4.58) para o fluxo limitado. Assim, deve-se</p><p>calcular a razão de pressão jusante-montante inicial P/PF e comparar o valor</p><p>com a razão de pressão crítica, Cr = 0,528 para o ar (veja a Eq. (4.59)). A</p><p>razão de pressão inicial é P/PF = 1,2(105) / 6(105) = 0,2, menor do que a</p><p>razão de pressão crítica Cr. Logo, a vazão de massa inicial é limitada, e seu</p><p>valor numérico é calculado usando a Eq. (4.58)</p><p>na qual γ = 1,4 para o ar. Usando os valores numéricos para as</p><p>características do gás e da válvula na equação acima tem-se went = 0,002248</p><p>kg/s.</p><p>4.4 SISTEMAS TÉRMICOS</p><p>Sistemas térmicos envolvem o armazenamento e o fluxo da energia do</p><p>calor. A temperatura T (em kelvin, K) é a principal variável dinâmica de</p><p>interesse e o fluxo de calor q é também fundamental em modelos térmicos.</p><p>A energia térmica possui unidade de joules (J), e, portanto, a taxa de</p><p>transferência de calor q possui unidade de J/s ou watts (W), que é a mesma</p><p>de potência. Modelos de sistemas térmicos são desenvolvidos a partir da</p><p>aplicação da conservação de energia na fronteira do sistema considerando</p><p>os fluxos de calor entrando e saindo. A Figura 4.17 mostra um sistema</p><p>térmico aberto com fronteira que envolve uma capacitância térmica C. A</p><p>fronteira pode ser um material isolante que impede o fluxo de calor. A</p><p>energia térmica pode entrar para a capacitância (por exemplo, fornecida por</p><p>um elemento aquecedor) ou sair (por exemplo, o calor fluindo de uma</p><p>câmara quente para o ambiente externo mais frio). Além disso, a energia</p><p>térmica pode entrar ou sair do sistema por causa da massa transferida</p><p>através da fronteira (por exemplo, devido ao fluxo de fluido). Aplicando a</p><p>conservação de energia na fronteira do sistema na Figura 4.17 tem-se</p><p>na qual ξc é a taxa no tempo da energia térmica líquida armazenada no</p><p>interior da fronteira do sistema. A taxa no tempo da entalpia é em razão</p><p>da massa se transferindo através de fronteira. Assim sendo, a taxa de</p><p>variação da entalpia é nula para um sistema térmico fechado (isto é, sem</p><p>transferência de massa). A Eq. (4.80) assume que o sistema não gera calor</p><p>no interior da fronteira e não há trabalho realizado sobre ou pelo sistema. A</p><p>equação de balanço de energia (4.80) é essencialmente a primeira lei da</p><p>termodinâmica expressa como a taxa no tempo da energia contida no</p><p>interior da fronteira do sistema.</p><p>Figura 4.17 Fronteira para um sistema térmico aberto.</p><p>Os sistemas térmicos são geralmente mais difíceis de modelar</p><p>comparados aos sistemas mecânicos, elétricos ou fluidos. A temperatura</p><p>tipicamente exibe uma distribuição espacial; isto é, varia entre os diferentes</p><p>pontos em um corpo nas diversas direções. Assim sendo, a temperatura de</p><p>um corpo deve ser representada por T(x, y, z, t) que estabelece como ela</p><p>varia com as coordenadas cartesianas de localização (x, y, z) ao longo do</p><p>corpo e também com o tempo t. Por isso, sistemas térmicos são mais</p><p>precisamente modelados como sistemas distribuídos, que empregam</p><p>equações diferenciais parciais (EDPs) em vez das EDOs para representá-</p><p>los. De modo a desenvolver modelos térmicos simplificados,</p><p>aproximados,</p><p>assume-se que todos os pontos de um “corpo térmico” possuem a mesma</p><p>temperatura (média). Essa hipótese permite obter modelos de parâmetros</p><p>concentrados nos quais cada “corpo térmico” (ou capacitância térmica)</p><p>possui uma temperatura uniforme. Portanto, os modelos térmicos de</p><p>parâmetros concentrados são similares aos modelos fluidos, nos quais cada</p><p>capacitância fluida (isto é, câmara ou reservatório) possui uma única</p><p>pressão a cada instante de tempo (isto é, não existe variação de pressão ao</p><p>longo da capacitância fluida).</p><p>Resistência Térmica</p><p>O calor pode ser transferido de três formas: condução, convecção e</p><p>radiação. Condução envolve a difusão da energia térmica entre dois corpos</p><p>que estão em contato físico, como a transferência de calor por meio de um</p><p>material sólido. Convecção envolve a transferência de energia térmica</p><p>mediante o movimento de um fluido. Radiação envolve a transferência de</p><p>calor por meio da absorção da radiação eletromagnética, como as ondas</p><p>infravermelhas e a energia solar. As transferências de calor condutiva e</p><p>convectiva podem ser aproximadas por funções lineares da diferença de</p><p>temperatura, enquanto a por radiação é uma função altamente não linear da</p><p>diferença de temperatura. Assim sendo, nessa seção serão consideradas</p><p>apenas a condução e convecção.</p><p>Elementos de resistência térmica impedem (resistem) o fluxo de calor,</p><p>apesar da diferença de temperatura. Materiais de isolamento térmico podem</p><p>ser modelados como elementos de resistência. Para condução e convecção,</p><p>a taxa de transferência de calor q pode ser aproximada por uma função</p><p>linear da diferença de temperatura ΔT</p><p>na qual R é a resistência térmica (em K·s/J ou K/W). Outra forma de</p><p>expressar a Eq. (4.81) é ΔT = Rq, que é análoga a lei de Ohm para um</p><p>resistor elétrico (eR = RI), na qual o fluxo de calor q é análogo à corrente</p><p>elétrica I e a diferença de temperatura ΔT à queda de tensão eR. A Eq. (4.81)</p><p>faz sentido intuitivamente se forem considerados dois casos extremos.</p><p>Quando a resistência térmica é infinita, R → ∞ (isto é, isolamento perfeito),</p><p>a transferência de calor q → 0 independentemente da diferença de</p><p>temperatura ΔT entre os dois corpos. No outro extremo, quando R → 0 (isto</p><p>é, isolamento nulo), a transferência de calor q → ∞, implicando que o calor</p><p>é transferido instantaneamente entre os dois corpos.</p><p>A resistência térmica R para a condução é proporcional à espessura do</p><p>material (x) e inversamente proporcional à área normal ao fluxo de calor (A)</p><p>e ao coeficiente de condutividade térmica do material (k):</p><p>Por exemplo, o cobre possui um coeficiente de condutividade térmica k que</p><p>é da ordem de 18 vezes maior que o do aço inoxidável. Consequentemente,</p><p>o cobre é um excelente condutor de calor e um material isolante péssimo.</p><p>A resistência térmica R para convecção é inversamente proporcional à</p><p>área A e ao coeficiente de convecção H:</p><p>O coeficiente de convecção para a água é 50 a 100 vezes maior do que o</p><p>para o ar, e, portanto, o ar é um melhor isolante comparado com a água.</p><p>Capacitância Térmica</p><p>A capacitância térmica é uma medida da capacidade do corpo em</p><p>armazenar energia do calor devido à sua massa e propriedades térmicas. A</p><p>capacitância térmica C é o produto da massa do corpo m e seu calor</p><p>específico a pressão constante cp (com unidades J/kg·K)</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>Assim sendo, a capacitância térmica possui unidades de energia armazenada</p><p>por temperatura, ou J/K. Por exemplo, 1 kg de água possui mais de quatro</p><p>vezes capacitância térmica do que 1 kg de ar.</p><p>Modelagem de Sistemas Térmicos</p><p>Modelos de sistemas térmicos são baseados na equação de balanço de</p><p>energia (4.80), na qual a taxa de energia armazenada pela capacitância</p><p>térmica é c = C , pois a capacitância possui unidades de J/K e a taxa no</p><p>tempo da temperatura de K/s. Substituindo a taxa no tempo da entalpia =</p><p>cp na Eq. (4.80) obtém-se</p><p>na qual Tent e Tsai são as temperaturas do fluido escoando para dentro e fora</p><p>da capacitância térmica, respectivamente, e T é a temperatura uniforme da</p><p>capacitância térmica de parâmetros concentrados.</p><p>Modelos de sistemas térmicos podem ser desenvolvidos empregando os</p><p>seguintes passos:</p><p>Desenhe fronteiras do sistema térmico em torno de cada</p><p>capacitância térmica, identificando se o sistema é fechado ou</p><p>aberto.</p><p>Rotule os fluxos de calor de entrada e saída qi entre as</p><p>capacitâncias térmicas e suas vizinhanças.</p><p>Para sistemas abertos, rotule as taxa de entalpia por causa das</p><p>massas fluindo para dentro ou fora da capacitância térmica.</p><p>Aplique a equação de balanço de energia (4.85) para cada</p><p>capacitância térmica.</p><p>É importante notar que o modelo matemático resultante consistirá em uma</p><p>equação diferencial de primeira ordem para cada capacitância térmica, na</p><p>qual a variável dinâmica é a temperatura de cada capacitância. Ilustra-se o</p><p>procedimento de modelagem nos exemplos que seguem.</p><p>Exemplo 4.7</p><p>A Figura 4.18 mostra o interior de um quarto com um aquecedor de rodapé,</p><p>que pode ser modelado por um sistema térmico com uma capacitância</p><p>concentrada (por exemplo, veja a Referência 2). O ar no quarto possui</p><p>capacitância térmica total C e temperatura T e o aquecedor de rodapé</p><p>fornece um fluxo de calor de entrada qAR. As quatro paredes e as superfícies</p><p>do teto e chão são modeladas por seis diferentes resistências térmicas (Ri, i</p><p>= 1, 2, ..., 6) em razão dos diferentes materiais, dimensões e da existência</p><p>de uma janela ou porta em determinada superfície. Desenvolva o modelo do</p><p>sistema térmico.</p><p>Figura 4.18 Sistema térmico: interior de um quarto com aquecedor de rodapé (Exemplo</p><p>4.7).</p><p>A Figura 4.19 mostra a fronteira do sistema térmico e o fluxo de calor.</p><p>A fronteira do sistema é o volume retangular englobando as quatro paredes</p><p>e as superfícies do teto e do chão. Como o quarto retangular possui seis</p><p>superfícies (cada uma modelada por uma resistência térmica discreta) são</p><p>mostrados seis fluxos de calor qi, i = 1, 2, ..., 6 normais a cada superfície. O</p><p>calor de entrada do aquecedor é qAR. Como não existe massa atravessando a</p><p>fronteira do sistema, a equação de balanço de energia (4.85) será usada sem</p><p>os termos de taxa de entalpia</p><p>na qual o único fluxo de calor de entrada é claramente qAR e os fluxos de</p><p>calor de saída para as vizinhanças são qi, i = 1, 2, ..., 6. Cada um dos seis</p><p>fluxos de calor de saída podem ser expressos usando a Eq. (4.81) e as</p><p>diferenças de temperatura entre as correspondentes superfícies e suas</p><p>resistências térmicas Ri</p><p>nas quais Ta é a temperatura ambiente (exterior). Substituindo a Eq. (4.87)</p><p>para os seis fluxos de calor de saída na equação de balanço de energia</p><p>(4.86) obtém-se</p><p>Figura 4.19 Fronteira dos sistemas térmicos e os fluxos de calor (Exemplo 4.7).</p><p>A Eq. (4.88) é uma forma aceitável para o modelo do sistema térmico.</p><p>Entretanto, pode-se simplificar a Eq. (4.88) usando a seguinte notação</p><p>compacta</p><p>A Eq. (4.89) pode ainda ser simplificada como</p><p>na qual REQ é a resistência térmica equivalente (ou combinada) definida por</p><p>O leitor deve notar que a resistência térmica equivalente é definida da</p><p>mesma forma que a resistência elétrica equivalente para resistores em</p><p>paralelo. Finalmente, pode-se mover todos os termos envolvendo a variável</p><p>dinâmica T na Eq. (4.90) para o lado esquerdo e chegar à</p><p>A Eq. (4.92) é o modelo dinâmico do sistema térmico e é equivalente à Eq.</p><p>(4.88). A temperatura do quarto T é a variável dinâmica e o calor do</p><p>aquecedor qAR e a temperatura ambiente Ta são as duas entradas do sistema.</p><p>Exemplo 4.8</p><p>A Figura 4.20 mostra um diagrama esquemático de um trocador de calor de</p><p>duplo tubo, que é empregado para transferir calor de um fluido “quente”</p><p>escoando através do tubo para um fluido “frio” escoando entre a casca</p><p>externa e o tubo. Ambos os fluxos são constantes, e, portanto, as vazões de</p><p>massa de entrada e saída do tubo e da casca são 1 e 2, respectivamente.</p><p>Desenvolva o modelo matemático do trocador de calor.</p><p>O tubo mostrado na Figura 4.20 está dentro da casca. Um fluido</p><p>“quente” escoa através do tubo e um fluido “frio” (usualmente água) na</p><p>região anelar entre a casca externa</p><p>e as paredes do tubo (os dois fluidos não</p><p>se misturam). As temperaturas dos fluxos de entrada e saída do tubo e da</p><p>casca são Tent,1 e Tent,2, respectivamente. Assume-se que as temperaturas dos</p><p>fluxos de saída do tubo e da casca são iguais às das suas capacitâncias</p><p>concentradas, isso é, Tsai,1 = T1 e Tsai,2 = T2. Note que as paredes do tubo e da</p><p>casca possuem resistências térmicas R1 e R2, respectivamente.</p><p>A Figura 4.21 mostra as fronteiras das capacitâncias térmicas do</p><p>trocador de calor e os fluxos de calor. Note que são duas capacitâncias</p><p>térmicas C1 (fluido do tubo) e C2 (fluido da casca) e os fluxos do tubo para</p><p>o fluido da casca q1 e do fluido da casca para o ar ambiente externo q2.</p><p>Como o trocador de calor é um sistema aberto (isto é, massa é transferida</p><p>através das fronteiras do sistema), são incluídas as taxas de entalpia na</p><p>Figura 4.21 e na equação de balanço de energia (4.85):</p><p>Figura 4.20 Trocador de calor com duplo tubo (Exemplo 4.8).</p><p>Figura 4.21 Fronteiras térmicas do trocador de calor e os fluxos de calor (Exemplo 4.8).</p><p>Em seguida, usando a equação da resistência térmica (4.81) para definir os</p><p>fluxos de calor como q1 = (T1 – T2) / R1 (tubo para o fluido da casca) e q2 =</p><p>(T2 – Ta) / R2 (fluido da casca para o ambiente externo). Além disso,</p><p>substituindo a equação da taxa de entalpia = cpT nas Eqs. (4.93) e (4.94)</p><p>para cada fluxo de fluido chega-se à</p><p>Note que devem ser usados dois calores específicos distintos cp,1 e cp,2</p><p>porque o fluido do tubo é uma solução química e o da casca é água.</p><p>Finalmente, pode-se mover as variáveis dinâmicas (T1 e T2) para o lado</p><p>esquerdo das Eqs. (4.95) e (4.96) para obter</p><p>As Eqs. (4.97) e (4.98) constituem o modelo matemático do sistema</p><p>trocador de calor. Como são duas capacitâncias térmicas, o modelo</p><p>completo consiste em duas equações diferenciais de primeira ordem</p><p>acopladas. Se as taxas de fluxo de massa 1 e 2 são constantes, então o</p><p>modelo do sistema térmico é linear nas variáveis temperatura. As variáveis</p><p>dinâmicas são as temperaturas dos fluidos T1 e T2 e as entradas são as</p><p>temperaturas Tent,1 e Tent,2, as taxas de fluxo de massa 1 e 2, e a</p><p>temperatura ambiente Ta.</p><p>SUMÁRIO</p><p>Neste capítulo foi mostrado como modelar sistemas fluidos e térmicos.</p><p>Iniciou-se cada seção de modelagem com uma discussão sobre as</p><p>características físicas dos elementos resistência (isto é, resistências fluida e</p><p>térmica) e armazenadores de energia (isto é, capacitâncias fluida e térmica).</p><p>A energia fluida é armazenada por causa da pressão de cada capacitância</p><p>fluida concentrada, enquanto a energia térmica é armazenada como</p><p>resultado da temperatura de cada capacitância térmica concentrada. Os</p><p>sistemas hidráulicos envolvem líquidos como fluido de trabalho enquanto</p><p>os pneumáticos, gases (usualmente ar). Os modelos de sistemas fluidos são</p><p>desenvolvidos aplicando a conservação de massa em um VC, no qual a</p><p>pressão uniforme do fluido no interior do VC é a variável dinâmica de</p><p>interesse. Consequentemente, cada VC (ou capacitância fluida) em um</p><p>sistema fluido necessitará de uma EDO de primeira ordem com a pressão</p><p>como variável dinâmica. Os modelos de sistemas fluidos são normalmente</p><p>não lineares, pois o fluxo através de válvulas é uma função não linear da</p><p>pressão. Efeitos termodinâmicos e a interação entre pressão, massa</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>4.1.</p><p>específica, e temperatura são requeridos para modelar completamente os</p><p>sistemas pneumáticos, o que complica o procedimento de modelagem. Os</p><p>modelos de sistemas térmicos são desenvolvidos pela aplicação da</p><p>conservação de energia à uma fronteira térmica e considerando as taxas de</p><p>transferência de calor por meio da fronteira do sistema. Cada capacitância</p><p>térmica concentrada irá necessitar de uma EDO de primeira ordem com a</p><p>temperatura como variável dinâmica.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>Blackburn, J.F., Reethof, G., and Shearer, J.L., Fluid Power Control,</p><p>MIT Press, Cambridge, MA, 1960, pp. 61 – 69, 214 – 219.</p><p>Pfafflin, J.R., “Space Heating Dynamics,” IEEE Transactions on</p><p>Industry Applications, Vol. IA-19, No. 5, 1983, pp. 844 – 847.</p><p>Langjord, H., and Johansen, T.A., “Dual-Mode Switched Control of an</p><p>Electropneumatic Clutch Actuator,” IEEE/ASME Transactions on</p><p>Mechatronics, Vol. 15, No. 6, 2010, pp. 969 – 981.</p><p>Franklin, G.F., Powell, J.D., and Emami-Naeini A., Feedback Control</p><p>of Dynamic Systems, 4th ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ,</p><p>2002, pp. 59 – 61.</p><p>PROBLEMAS</p><p>Problemas Conceituais</p><p>Um tanque hidráulico possui a seguinte relação pressão-massa:</p><p>P = 1,013(10)5 + 3,6m N/m2</p><p>na qual a massa fluida m está em kg. O tanque armazena água</p><p>(massa específica ρ = 1000 kg/m3) e possui uma seção reta circular</p><p>constante de área A. Determine a capacitância fluida C do tanque.</p><p>4.2</p><p>4.3</p><p>a.</p><p>b.</p><p>Um engenheiro mede a altura h do nível de água e a vazão</p><p>volumétrica Q por meio de uma válvula que está drenando um</p><p>tanque hidráulico. A Tabela P4.2 resume as medidas.</p><p>Tabela P4.2</p><p>Altura do líquido (m) Vazão volumétrica de �uido (m3/s)</p><p>4,10 8,9689(10–4)</p><p>3,24 7,9730(10–4)</p><p>2,68 7,2513(10–4)</p><p>1,79 5,9262(10–4)</p><p>1,05 4,5388(10–4)</p><p>0,33 2,5445(10–4)</p><p>O fluxo através da válvula é laminar ou turbulento? Justifique sua</p><p>resposta.</p><p>Um sistema de dois tanques hidráulicos é mostrado na Figura. P4.3.</p><p>Assuma que o escoamento do fluido é laminar em ambas as</p><p>válvulas.</p><p>Desenvolva o modelo matemático completo do sistema com as</p><p>pressões de base nos tanques P1 e P2 como as variáveis</p><p>dinâmicas.</p><p>Desenvolva o modelo matemático completo do sistema com as</p><p>alturas dos tanques h1 e h2 com as variáveis dinâmicas.</p><p>4.4</p><p>Figura P4.3</p><p>A Figura P4.4 mostra um sistema hidráulico com dois tanques. A</p><p>bomba retira água de um reservatório (cárter) na pressão atmosférica</p><p>Patm e aumenta a pressão de uma quantidade constante ΔP = ρgH, na</p><p>qual H é a “pressão de altura de coluna de água” (pressure head).</p><p>Assuma que a pressão de coluna de água constante H é maior que a</p><p>altura vertical da parede do tanque 1. O fluxo através de todas as</p><p>válvulas é laminar. Desenvolva o modelo matemático completo com</p><p>as pressões nos tanques P1 e P2 como as variáveis dinâmicas e a</p><p>altura de coluna de água H como a variável de entrada.</p><p>Figura P4.4</p><p>4.5</p><p>a.</p><p>b.</p><p>4.6</p><p>A Figura P4.5 mostra uma bomba centrífuga que fornece uma vazão</p><p>volumétrica Qent para o tanque hidráulico. A bomba retira água do</p><p>reservatório (cárter) na pressão atmosférica e aumenta a pressão de</p><p>acordo com a equação</p><p>ΔP = aω2 Pa</p><p>na qual ω é a velocidade angular da bomba centrífuga em rotações</p><p>por minuto (rpm) e a é uma constante obtida a partir de dados</p><p>empíricos. O fluxo através da válvula de saída 2 é assumido como</p><p>laminar.</p><p>Assumindo que o fluxo através da válvula 1 é laminar (isto é, R1</p><p>= RL) desenvolva o modelo matemático com a pressão P com a</p><p>variável dinâmica e a velocidade da bomba ω como variável de</p><p>entrada.</p><p>Repita a parte (a) assumindo que o fluxo através da válvula 1 é</p><p>turbulento no qual R1 = RT.</p><p>Figura P4.5</p><p>A Figura P4.6 mostra um sistema pneumático que consiste em um</p><p>vaso rígido e um tubo de entrada com uma válvula que pode ser</p><p>conectada a dois tanques de abastecimento separados (ar ou</p><p>4.7</p><p>a.</p><p>b.</p><p>nitrogênio). Suponha que a resistência fluida através da válvula é</p><p>laminar e independente do tipo de gás. Ambos os tanques de</p><p>abastecimento possuem a mesma pressão constante, e o processo é</p><p>assumido como sendo isotérmico e em 40 oC nos dois casos. Se o</p><p>vaso rígido é independentemente pressurizado por cada um dos</p><p>tanques, os perfis de resposta das pressões correspondentes no vaso</p><p>serão idênticos ou diferentes? Justifique sua resposta.</p><p>Figura P4.6</p><p>A Figura P4.7 mostra um vaso rígido com uma vazão volumétrica</p><p>de entrada Qent. O fluido hidráulico possui um módulo de</p><p>compressibilidade β = 1,2(109) Pa. No instante mostrado, a pressão</p><p>na câmara é P = 1,8(106) Pa, a temperatura é T = 345 K, e a vazão</p><p>volumétrica é Qent = 2,4(10–6) m3/s.</p><p>Determine a capacitância fluida C do sistema hidráulico.</p><p>Determine a taxa de variação no tempo da pressão dP/dt nesse</p><p>instante.</p><p>4.8</p><p>4.9</p><p>Figura P4.7</p><p>Repita o Problema 4.7 se o mesmo vaso rígido é</p><p>usado para um</p><p>sistema pneumático com ar como o fluido de trabalho. Assuma que</p><p>a vazão de massa de entrada went = 0,0035 kg/s, a temperatura T =</p><p>298 K, a pressão na câmara é P = 2,5(105) Pa e o processo é</p><p>isotérmico.</p><p>Um acumulador hidráulico com mola é mostrado na Figura P4.9. O</p><p>fluido hidráulico escoa para o acumulador com uma vazão</p><p>volumétrica Qent. O “lado da mola” do acumulador possui pressão</p><p>atmosférica constante Patm. Desenvolva uma expressão para a</p><p>capacitância total C do acumulador hidráulico. [Sugestão: o objetivo</p><p>é encontrar uma expressão na forma C = Qent. Inicie com a equação</p><p>básica da taxa de pressão para o VC, Eq. (4.40), e substitua por</p><p>uma equação em termos de , notando que uma variação diferencial</p><p>na pressão é equilibrada por um deslocamento diferencial do pistão</p><p>ou da placa de área A. Essa análise despreza o atrito e a inércia do</p><p>pistão do acumulador.]</p><p>4.10</p><p>Figura P4.9</p><p>Um acumulador pneumático com mola é mostrado na Figura P4.10.</p><p>O ar escoa para o acumulador com uma vazão de massa went. O</p><p>“lado da mola” do acumulador possui pressão atmosférica constante</p><p>Patm. Desenvolva uma expressão para a capacitância total C do</p><p>acumulador pneumático. [Sugestão: o objetivo é encontrar uma</p><p>expressão na forma C = went. Inicie com a equação básica da taxa</p><p>de pressão para o VC, Eq. (4.74), e substitua por uma equação em</p><p>termos de , notando que uma variação diferencial na pressão é</p><p>equilibrada por um deslocamento diferencial do pistão ou da placa</p><p>de área A. Essa análise despreza o atrito e a inércia do pistão do</p><p>acumulador.]</p><p>Figura P4.10</p><p>4.11</p><p>4.12</p><p>4.13</p><p>Aplicações de Engenharia</p><p>A Figura P4.11 mostra um fluxo laminar através de uma tubulação.</p><p>A equação de Darcy relaciona a queda de pressão para um líquido</p><p>escoando em um tubo (com fluxo laminar ou turbulento):</p><p>na qual f é o fator de atrito adimensional de Darcy. Para o fluxo</p><p>laminar, o fator de atrito é uma função simples do número de</p><p>Reynolds, Re: f = 64/Re. Pesquise na literatura de engenharia para</p><p>determinar uma expressão para o número de Reynolds e mostrar que</p><p>para o fluxo laminar a equação de Darcy é equivalente à lei de</p><p>Hagen-Poiseuille para a resistência ao fluxo laminar, Eq. (4.3).</p><p>Figura P4.11</p><p>Um tubo de aço está transportando água (massa específica ρ = 1000</p><p>kg/m3). O comprimento do tubo é 2 m e seu diâmetro é 4 cm. O</p><p>fluxo é turbulento e o diagrama de Moody é usado para obter o fator</p><p>de atrito de Darcy, que possui valor f = 0,038. Use a equação de</p><p>Darcy no Problema 4.11 para determinar o coeficiente de resistência</p><p>ao fluxo turbulento para esse tubo (incluindo as unidades).</p><p>Um engenheiro deseja modelar a vazão de água (massa específica r</p><p>= 1000 kg/m3) em baixa velocidade por meio de um tubo com</p><p>determinado comprimento. Após conduzir experimentos e medir a</p><p>4.14</p><p>a.</p><p>b.</p><p>4.15</p><p>vazão volumétrica e a queda de pressão no tubo, os dados são</p><p>tabulados, como mostrado na Tabela P4.13:</p><p>Tabela P4.13</p><p>Experimento Queda de Pressão (Pa)</p><p>Vazão volumétrica de �uido</p><p>(m3/s)</p><p>1 7,2 6(10–5)</p><p>2 16,8 1,4(10–4)</p><p>3 25,2 2,1(10–4)</p><p>Determine o coeficiente de resistência ao fluxo laminar RL para o</p><p>tubo.</p><p>Um fabricante de válvulas fornece a seguinte equação relacionando</p><p>a queda de pressão (em N/m2 ou Pa) e a vazão volumétrica (em</p><p>m3/s) quando a válvula está completamente aberta:</p><p>ΔP = 2,1646(1011)Q2 N/m2</p><p>Se a massa específica do óleo hidráulico é ρ = 864 kg/m3 e o</p><p>coeficiente de descarga é Cd = 0,62, determine a área A0 quando</p><p>a válvula está totalmente aberta.</p><p>Usando o MATLAB, represente graficamente a vazão Q versus a</p><p>queda de pressão ΔP para os três casos: (1) uma válvula</p><p>totalmente aberta, (2) a válvula meio aberta, e (3) a válvula um</p><p>quarto aberta. Coloque todos os três gráficos em uma mesma</p><p>figura e faça a queda de pressão na faixa de 0 a 1,4 MPa.</p><p>Um amortecedor hidráulico ou um dispositivo de dissipação é</p><p>mostrado na Figura P4.15. O cilindro está rigidamente fixado e a</p><p>a.</p><p>b.</p><p>haste e o pistão possuem massa m. O deslocamento do pistão x é</p><p>medido a partir da posição central do cilindro, e V0 é o seu volume</p><p>quando x = 0 (isto é, V1 = V2 = V0 se x = 0). Vários orifícios com</p><p>área total A0 permitem o fluido hidráulico escoar entre as câmaras 1</p><p>e 2. O atrito entre o pistão e o cilindro é assumido como sendo linear</p><p>e é modelado por um coeficiente de atrito viscoso b. Desenvolva o</p><p>modelo matemático completo do dispositivo de amortecimento para</p><p>os dois casos:</p><p>O fluido é suposto como incompressível, e, portanto, a vazão</p><p>entrando/saindo da câmara é sempre igual à taxa no tempo do</p><p>volume ou Q = A . [Sugestão: a pressão diferencial entre as</p><p>câmaras é uma função da velocidade .]</p><p>O fluido é suposto como compressível, e, portanto, não se pode</p><p>assumir que Q = A sempre ocorra. As equações da taxa no</p><p>tempo da pressão devem ser incluídas no modelo.</p><p>Ambos os modelos devem ser válidos para velocidades positivas e</p><p>negativas.</p><p>Figura P4.15</p><p>4.16</p><p>4.17</p><p>Repita o Problema 4.15 se o dispositivo é um amortecedor</p><p>pneumático que usa ar em vez de líquido. Considere apenas o caso</p><p>compressível [parte (b)], que é o único cenário realista.</p><p>A Figura P4.17 mostra um servomecanismo hidráulico pistão-</p><p>cilindro de dupla ação. Um deslocamento positivo z > 0 da válvula</p><p>carretel conecta a fonte de alta pressão PF com a câmara 1 esquerda</p><p>do cilindro e a câmara 2 é conectada com o dreno de baixa pressão</p><p>Pr. Consequentemente, para z > 0, a vazão volumétrica Q1 entra para</p><p>a câmara 1 e a vazão Q2 sai da câmara 2 para o dreno. Quando z < 0</p><p>o fluxo é invertido. A área do orifício da válvula gaveta é A0 = | z | h,</p><p>na qual h é a altura da abertura da válvula. A posição do pistão x é</p><p>medida a partir do lado esquerdo e, portanto, o volume da câmara 1</p><p>é V1 = A1 x e o volume da câmara 2 é V2 = A2 (L – x), na qual L é o</p><p>comprimento total do curso do pistão. Desenvolva o modelo</p><p>matemático completo do sistema hidromecânico.</p><p>4.18</p><p>a.</p><p>Figura P4.17</p><p>A Figura P4.18 mostra um forno com pressão P, volume fixo V = 25</p><p>m3, e temperatura T. A pressão ambiente é Patm = 1,013(105) Pa.</p><p>Figura P4.18</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema pneumático com</p><p>fluxo compressível para as condições atmosféricas por meio da</p><p>válvula com orifício de pequena dimensão.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>4.19</p><p>No instante em que a válvula é aberta, o sistema possui as</p><p>seguintes características: temperatura da câmara T = 373 K,</p><p>pressão na câmara P = 9(105) Pa, coeficiente de descarga da</p><p>válvula Cd = 0,8, e área da válvula A0 = 5(10–4) m2. Assuma um</p><p>processo de expansão isotérmica no qual a razão de calor</p><p>específico para o gás de cozinha é 1,41 e sua constante de gás é</p><p>R = 300 N·m/kg·K. Determine a capacitância pneumática C e a</p><p>vazão de massa inicial w através da válvula. A vazão de massa</p><p>inicial é limitada ou ilimitada?</p><p>Eventualmente, a pressão interior do forno P atingirá a pressão</p><p>atmosférica e a vazão de massa chegará a zero. Use o MATLAB</p><p>para representar graficamente a vazão da massa w como uma</p><p>função da pressão do forno P.</p><p>Uma “mola de ar” é mostrada na Figura P4.19. A coluna de ar no</p><p>volume V0 e pressão P0 nominais suporta a massa do pistão em</p><p>equilíbrio estático. O deslocamento do pistão (x) é medido como</p><p>positivo para baixo a partir da posição de equilíbrio estático.</p><p>Desenvolva uma equação para a “constante de mola de ar”</p><p>equivalente kar (N/m), assumindo que a força de reação pneumática</p><p>gerada pelo ar comprimido é F = kar x. [Sugestão: aplique um</p><p>deslocamento positivo diferencial dx e assuma que o gás sofra uma</p><p>expansão politrópica quando é comprimido.]</p><p>4.20</p><p>Figura P4.19</p><p>A Figura P4.20 mostra o sistema de atuação eletropneumática de</p><p>uma embreagem para caminhões pesados [3]. Uma unidade</p><p>eletrônica de controle (não mostrada) envia um sinal para abrir</p><p>completamente a válvula da fonte ou a de exaustão. Quando a</p><p>válvula da fonte está aberta, o ar em alta pressão do tanque fonte</p><p>escoa através da válvula para a câmara do cilindro. Quando a</p><p>válvula de exaustão é aberta, o ar escoa da câmara do cilindro para o</p><p>ambiente. As duas válvulas não podem ser abertas ao mesmo tempo.</p><p>A pressão constante da fonte é PF e a pressão ambiente</p><p>é Patm. A área</p><p>do orifício completamente aberto para ambas as válvulas é A0. Para</p><p>a operação normal, a pressão da fonte é muito maior que a pressão</p><p>da câmara P que, por sua vez, é significativamente maior que a</p><p>pressão atmosférica Patm. Assim, pode-se assumir que os fluxos nas</p><p>válvulas da fonte e da exaustão são sempre limitados. A força FC é a</p><p>reação causada pelo deslocamento da mola de compressão da</p><p>embreagem quando suas placas são acionadas. O volume da câmara</p><p>é V = V0 + A1 x, na qual V0 é o volume quando o deslocamento do</p><p>pistão é zero. Desenvolva o modelo matemático completo do</p><p>sistema eletropneumático.</p><p>Figura P4.20</p><p>4.21</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>4.22</p><p>A Figura P4.21 mostra uma visão em seção reta de um volume</p><p>retangular de ar que está contido em cinco lados por um isolante</p><p>perfeito (transferência de calor nula). No sexto lado (direito) há uma</p><p>placa quadrada de papel cartão com espessura de 0,015 m. As</p><p>dimensões do volume de ar são 0,5 m de comprimento, 0,2 m de</p><p>altura, e 0,2 m de largura. O ar está inicialmente em 35 oC e a</p><p>temperatura ambiente é Ta = 25 oC. Pesquise na literatura de</p><p>engenharia as constantes físicas apropriadas requeridas para esse</p><p>problema e responda as seguintes questões:</p><p>Desenvolva o modelo matemático do sistema térmico.</p><p>Determine a taxa de transferência de calor inicial q(0) para o</p><p>ambiente.</p><p>Determine a taxa no tempo inicial da temperatura do ar interno</p><p>Figura P4.21</p><p>Um forno é construído como um cubo: quatro paredes verticais e</p><p>duas superfícies horizontais (topo e fundo). Todas as superfícies</p><p>possuem áreas iguais. O forno é modelado como um sistema térmico</p><p>simples com uma capacitância térmica C (a câmara interior) e as</p><p>quatro paredes verticais e a superfície do topo cada uma possui</p><p>resistência térmica R. Assuma que a superfície do fundo (o “chão”</p><p>4.23</p><p>4.24</p><p>do forno) é um isolador perfeito. Um dispositivo aquecedor fornece</p><p>um fluxo de calor qent para o interior do forno. Desenvolva o modelo</p><p>matemático do forno e defina todas as variáveis dinâmicas e de</p><p>entrada.</p><p>A Figura P4.23 mostra uma garrafa térmica de café como um</p><p>simples sistema térmico de parâmetros concentrados. A resistência</p><p>térmica total da garrafa é R. Desenvolva o modelo matemático desse</p><p>sistema térmico.</p><p>Figura P4.23</p><p>Um sistema térmico simples consistindo em duas capacitâncias</p><p>térmicas C1 e C2 é mostrado na Figura P4.24. As resistências</p><p>térmicas R1 separam as duas capacitâncias do ambiente e a</p><p>resistência térmica R2 está entre elas. Um dispositivo aquecedor</p><p>fornece o fluxo de calor de entrada qent para a câmara térmica 1. As</p><p>fronteiras superior e inferior do sistema possuem isolamento</p><p>perfeito (resistência térmica infinita). Desenvolva o modelo</p><p>matemático completo e identifique todas as variáveis dinâmicas e de</p><p>entrada.</p><p>4.25</p><p>Figura P4.24</p><p>A Figura P4.25 mostra um sistema térmico no qual o fluido de</p><p>entrada que escoa para a câmara, é misturado e aquecido, e depois</p><p>sai da câmara. As vazões de massa de entrada e saída são iguais, isto</p><p>é, went = wsai = w. A temperatura da vazão de entrada é Tent e a da</p><p>vazão de saída é a mesma da câmara (T). O aquecedor fornece o</p><p>calor de entrada qent. A câmara é coberta por um material isolante</p><p>com resistência térmica R. Desenvolva o modelo matemático</p><p>completo do sistema e identifique todas as variáveis dinâmica e de</p><p>entrada.</p><p>4.26</p><p>Figura P4.25</p><p>Um modelo simplificado de um trocador de calor é mostrado na</p><p>Figura P4.26 [4]. O vapor entra na câmara com temperatura Tent,1 e</p><p>vazão de massa went,1 e sai com Tsai,1 = T1 e wsai,1 = went,1 = w1. A</p><p>temperatura do vapor na câmara é T1, que é igual à temperatura do</p><p>vapor na saída. A água fria que escoa através dos tubos de cobre</p><p>entra na câmara com temperatura Tent,2 e vazão de massa went,2. A</p><p>temperatura da água dentro da câmara é T2, que é igual à</p><p>temperatura da água quente na saída. O calor é transferido do vapor</p><p>para a água através dos tubos de cobre, que possuem resistência</p><p>térmica R2, e a água quente sai da câmara com a mesma vazão de</p><p>massa da água fria que entra. O isolamento térmico R1 envolve o</p><p>trocador de calor e fornece uma barreira térmica em relação à</p><p>temperatura ambiente Ta. Desenvolva o modelo matemático</p><p>completo do sistema térmico.</p><p>Figura P4.26</p><p>5.1 INTRODUÇÃO</p><p>Os Capítulos 2-4 trataram do desenvolvimento de modelos matemáticos</p><p>para os sistemas mecânicos, elétricos, eletromecânicos, fluidos e térmicos.</p><p>Em cada caso, a representação matemática completa consiste em um</p><p>conjunto de equações diferenciais de primeira ordem (como a de um</p><p>circuito elétrico com um único indutor) e/ou de segunda ordem (como a de</p><p>um sistema mecânico com um único elemento inércia). Quando os</p><p>elementos são interconectados para formar um sistema com múltiplas</p><p>variáveis dinâmicas, o modelo completo consiste em um conjunto de</p><p>equações diferenciais ordinárias (EDOs) acopladas.</p><p>Neste capítulo serão apresentadas as formas-padrão para representar o</p><p>modelo matemático completo. O objetivo é usar o conjunto de equações</p><p>diferenciais (isto é, aquelas que modelam completamente o sistema) e</p><p>reescrevê-las em uma forma conveniente para analisar a resposta dinâmica</p><p>do sistema, o que pode envolver métodos analíticos ou numéricos como o</p><p>MATLAB e o Simulink; em cada caso, o modelo deve ser representado por</p><p>uma forma-padrão adequada. O leitor deve lembrar que o ponto de partida</p><p>para a análise de um sistema é sempre o desenvolvimento das equações que</p><p>o modelam matematicamente a partir das leis fundamentais (tais como a</p><p>segunda lei de Newton e as leis de Kirchhoff), e os modelos-padrão são</p><p>simplesmente representações dessas equações.</p><p>5.2 EQUAÇÕES EM VARIÁVEIS DE ESTADO</p><p>Um método-padrão para representar um sistema é usar as variáveis de</p><p>estado, que são um conjunto de variáveis dinâmicas que definem</p><p>completamente todas as suas características. As variáveis de estado são</p><p>normalmente as variáveis físicas do sistema, como os deslocamentos e</p><p>velocidades nos mecânicos, correntes e tensões para os elétricos, pressão e</p><p>vazão nos fluidos, temperatura nos térmicos, e podem, portanto, ser usadas</p><p>para determinar a energia armazenada no sistema. O estado de um sistema é</p><p>o conjunto mínimo de variáveis dinâmicas que podem definir</p><p>completamente todas as suas características. Assim sendo, as variáveis de</p><p>estado são as variáveis dinâmicas que descrevem o estado do sistema. Por</p><p>exemplo, tipicamente escolhe-se a posição z e a velocidade como</p><p>variáveis de estado de um sistema mecânico de uma única massa, logo (z, )</p><p>é o estado do sistema. A energia potencial (ou cinética) não pode ser</p><p>selecionada como uma variável de estado adicional porque é determinada a</p><p>partir da variável de estado posição (ou velocidade). Qualquer característica</p><p>do sistema, tal como energia ou quantidade de movimento, pode ser</p><p>determinada a partir do conhecimento das variáveis de estado.</p><p>A convenção-padrão é utilizar x1, x2, ..., xn como as variáveis de estado e</p><p>u1, u2, ..., ur como as variáveis de entrada (ou controle). O inteiro n é o</p><p>número total de variáveis de estado, ou a ordem do sistema, e o inteiro r é o</p><p>número total de variáveis de entrada. As equações em variáveis de estado</p><p>são um conjunto de n equações diferenciais derivadas de primeira ordem de</p><p>cada variável de estado</p><p>As funções do lado direito f1, f2, ..., fn podem ser lineares ou não lineares, e</p><p>depender apenas das variáveis de estado xi ou das entradas uj. Se todas as</p><p>funções fi são lineares, então as equações em variáveis de estado (5.1)</p><p>podem ser escritas em um formato conveniente matriz-vetor denominado</p><p>representação no espaço de estado (REE), a ser descrito na Seção 5.3. Se</p><p>apenas uma única função fi é não linear, tem-se duas opções: (1) usar um</p><p>método de integração numérica (como o Runge-Kutta) para obter a resposta</p><p>do sistema, ou (2) desenvolver uma aproximação linear (a ser tratado na</p><p>Seção 5.4), o que pode levar a uma REE. Em qualquer caso, desenvolver as</p><p>equações em variáveis de estado é o primeiro passo, como será mostrado</p><p>nos três exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 5.1</p><p>Determine as equações em variáveis de estado para o sistema modelado</p><p>pelas seguintes EDOs, nas quais z e w são as variáveis dinâmicas e v é a</p><p>entrada</p><p>O primeiro passo é determinar a ordem do sistema. A Equação (5.2) é</p><p>uma EDO de segunda ordem não linear nas variáveis dinâmicas z e w,</p><p>enquanto a Eq. (5.3) é uma EDO de primeira ordem não linear em z e w e</p><p>na variável de entrada v. Assim sendo, o sistema completo é de terceira</p><p>ordem e são necessárias três variáveis de estado, definidas como x1 = z, x2 =</p><p>e x3 = w, e uma única entrada u = v. Em seguida, são escritas as três</p><p>derivadas de primeira ordem no tempo das variáveis de estado</p><p>Note que a EDO de segunda ordem (5.2) foi substituída por , e a de</p><p>primeira ordem (5.3) por . Como deseja-se que todo o lado direito da Eq.</p><p>(5.4) seja função dos estados xi e da entrada u, são substituídos x1 = z, x2 = ,</p><p>x3 = w e u = v para encontrar</p><p>As Equações (5.5) são as equações em variáveis de estado do sistema</p><p>descrito pelas Eqs. (5.2) e (5.3). Todas as três equações do lado direito são</p><p>funções dos estados xi e da entrada u, e duas das três são não lineares, em</p><p>razão dos termos –0,1x2x3 (segunda equação de estado) e –0,025x3</p><p>3 (terceira</p><p>equação de estado). O leitor deve notar que a atribuição de variáveis de</p><p>estado é arbitrária; por exemplo, poderia-se trocar a definição dos estados x1</p><p>e x3 e usar x1 = w e x3 = z.</p><p>Exemplo 5.2</p><p>Considere o sistema mecânico simples com uma única massa mostrado na</p><p>Figura 5.1, no qual estão envolvidos também elementos rigidez e</p><p>amortecedor. Determine as equações em variáveis de estado.</p><p>A posição da massa é denominada por z, que é medida a partir do</p><p>equilíbrio estático quando a força aplicada Fa(t) = 0. A rigidez é modelada</p><p>por uma mola não linear, que exibe a seguinte relação força-deslocamento:</p><p>A força de amortecimento é assumida como uma função linear do</p><p>coeficiente de atrito viscos b e da velocidade. A força aplicada Fa(t) é a</p><p>entrada do sistema.</p><p>Inicia-se com o modelo matemático, que é desenvolvido usando o</p><p>diagrama de corpo livre e os métodos apresentados no Capítulo 2. A</p><p>equação de modelagem é idêntica à do sistema massa-mola-amortecedor no</p><p>Exemplo 2.1, exceto que força da mola não linear (5.6) deve ser usada:</p><p>A Equação (5.7) é uma EDO de segunda ordem (não linear). Como n = 2,</p><p>isso requer duas variáveis de estado, e são selecionadas a posição z e a</p><p>velocidade , pois o conhecimento dessas duas variáveis permitirá</p><p>determinar a energia total (potencial + cinética) do sistema. A força</p><p>aplicada é a única entrada. Assim sendo, utilizando a convenção na qual xi</p><p>são as variáveis de estado e uj são as de entrada, tem-se x1 = z, x2 = e u =</p><p>Fa(t).</p><p>Uma vez definidas as variáveis de estado, deve-se simplesmente</p><p>escrever as equações diferenciais de primeira ordem a partir das derivadas</p><p>no tempo de cada uma delas, ou seja</p><p>Note que o modelo matemático (5.7) foi resolvido para a aceleração e</p><p>substituído na segunda equação em variáveis de estado (5.9). A convenção-</p><p>padrão para equações em variáveis de estado representada pela Eq. (5.1)</p><p>mostra que as funções do lado direito devem envolver apenas os estados xi e</p><p>as entradas uj. Assim sendo, são substituídos x1 = z, x2 = e u = Fa(t) nas</p><p>Eqs. (5.8) e (5.9) para gerar a forma final</p><p>A primeira equação de estado (5.10) é linear, mas a segunda (5.11) é não</p><p>linear por causa do termo envolvendo x3</p><p>1. O leitor deve notar que os índices</p><p>poderiam ser invertidos e selecionados x1 = e x2 = z como as variáveis de</p><p>estado, e nesse caso as Eqs. (5.10) e (5.11) também deveriam ser invertidas.</p><p>Entretanto, a prática usual é definir a variável de estado sucessiva como a</p><p>derivada no tempo da precedente.</p><p>Figura 5.1 Sistema mecânico para o Exemplo 5.2.</p><p>Exemplo 5.3</p><p>A Figura 5.2 mostra o sistema atuador solenoide-válvula descrito nos</p><p>Capítulos 2 e 3. Obtenha um conjunto de equações em variáveis de estado</p><p>para esse sistema.</p><p>O atuador solenoide consiste no circuito do enrolamento e a massa da</p><p>válvula restrita pela mola de retorno. Quando uma tensão é aplicada ao</p><p>circuito da armadura, uma força eletromagnética é produzida, o que</p><p>empurra a válvula para controlar o fluxo hidráulico. Lembre-se de que no</p><p>Capítulo 3 foi mostrado que a indutância L(z) do enrolamento do solenoide</p><p>é uma função não linear do deslocamento da armadura z. Foi também</p><p>mostrado que a força eletromagnética Fem é uma função não linear da</p><p>corrente I e da posição z, ou Fem = 0,5KI2, na qual K = dL/dz. Além disso, o</p><p>movimento do núcleo do pistão no enrolamento produz uma tensão</p><p>“contrafem” KIż, uma função não linear da corrente, velocidade e posição.</p><p>De modo a simplificar, são assumidos valores nominais (constantes) para a</p><p>indutância L e seu gradiente K = dL/dz; além disso, consideram-se para o</p><p>sistema mecânico atrito linear e força de pré-carga nula na mola. Assim</p><p>sendo, o modelo matemático completo para o atuador solenoide é</p><p>A Equação (5.12) é uma EDO de primeira ordem não linear, e a Eq. (5.13) é</p><p>uma EDO de segunda ordem não linear. Sendo n = 3, o sistema completo</p><p>requer três variáveis de estado, para as quais foram selecionadas a corrente</p><p>I, a posição z e a velocidade da armadura, e a única variável de entrada é a</p><p>tensão aplicada eent(t). Portanto, tem-se x1 = I, x2 = z, x3 = e u = eent(t).</p><p>Uma vez definidas as variáveis de estado, são escritas as n equações</p><p>diferenciais de primeira ordem a partir da derivada no tempo de cada uma</p><p>delas</p><p>Figura 5.2 Sistema atuador solenoide-válvula para o Exemplo 5.3.</p><p>Note que foram substituídas as equações do modelo matemático (5.12) e</p><p>(5.13) por e , respectivamente. Finalmente, são substituídos x1 = I, x2 = z,</p><p>x3 = e u = eent(t) nas três equações diferenciais de primeira ordem para</p><p>encontrar</p><p>As Equações (5.17), (5.18) e (5.19) são as equações em variáveis de estado</p><p>para o atuador solenoide. O leitor deve notar que cada equação do lado</p><p>direito envolve apenas os estados xi e a entrada u.</p><p>5.3 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADO</p><p>Se as equações que modelam matematicamente um sistema são lineares,</p><p>então a representação em variáveis de estado (5.1) será composta por EDOs</p><p>de primeira ordem lineares. Nesse caso, pode-se escrever o modelo em um</p><p>formato matriz-vetor conveniente denominado representação no espaço de</p><p>estado (REE), que é muito adequada para implementação em simulações</p><p>computacionais numéricas usando o MATLAB ou o Simulink como</p><p>discutido no Capítulo 6.</p><p>Algumas definições são necessárias antes da REE ser apresentada.</p><p>Lembre-se de que um sistema de na. ordem requer n variáveis de estado x1,</p><p>x2, ..., xn. Define-se o vetor de estado x como o vetor coluna n × 1 composto</p><p>pelas variáveis de estado xi</p><p>Deve-se notar que o vetor de estado não representa um vetor físico (como</p><p>as três componentes do vetor força em mecânica), mas uma coleção</p><p>conveniente de todas as n variáveis de estado. O espaço de estado é</p><p>definido como o “espaço geométrico” n-dimensional que contém o vetor de</p><p>estado x.</p><p>Uma REE completa inclui duas equações no formato matriz-vetor: a</p><p>equação de estado e a equação de saída. As variáveis de saída</p><p>denominadas y1, y2, ..., ym, são funções das variáveis de estado e de entrada:</p><p>As equações de saída (5.20) podem ser lineares ou não lineares; entretanto</p><p>devem ser lineares de modo a empregar a REE matriz-vetor. As variáveis de</p><p>saída normalmente representam as medidas de sensores da resposta de um</p><p>sistema. Por exemplo, se um sistema mecânico rotacional de 1 GL possui</p><p>variáveis de estado x1 = posição angular e x2 = velocidade angular e um</p><p>tacômetro está medindo velocidade angular, a única equação de saída é y =</p><p>x2.</p><p>Por exemplo, se o sistema é linear invariante no tempo (LIT) e de</p><p>terceira ordem (n = 3) com duas entradas (r = 2), então as equações em</p><p>variáveis de estado terão a forma geral:</p><p>Note que as primeiras derivadas no tempo dos estados são combinações</p><p>lineares de todos os três estados (x1, x2, x3) e de ambas as entradas (u1, u2).</p><p>Nesse caso no qual n = 3 e r = 2, existirão um total n2 = 9 coeficientes aij e n</p><p>× r = 6 coeficientes bij. Se o sistema possui dois sensores que produzem</p><p>medidas (m = 2) que são funções lineares dos estados</p><p>e das entradas, as</p><p>equações de saída terão a forma geral:</p><p>Nesse caso no qual n = 3, r = 2 e m = 2, existirá um total de m × n = 6</p><p>coeficientes cij e m × r = 4 coeficientes dij. Para sistemas invariantes no</p><p>tempo, todos os coeficientes a, b, c e d são constantes.</p><p>Para um sistema genérico LIT, de na. ordem, com r entradas e m saídas,</p><p>as equações de estado terão a forma</p><p>e as equações de saída terão a forma</p><p>Como as equações em variáveis de estado e de saída são combinações</p><p>lineares dos estados e das entradas, pode-se organizar ambos os conjuntos</p><p>de equações em um formato compacto matriz-vetor. Para iniciar, serão</p><p>organizadas as r variáveis de entrada em um vetor u e as m variáveis de</p><p>saída no vetor y, da mesma maneira que a definição do vetor de estado x:</p><p>Assim sendo, todos os três vetores x, u e y são vetores coluna. Deve-se</p><p>notar que a primeira derivada no tempo do vetor de estado é também um</p><p>vetor n × 1:</p><p>Pode-se organizar os coeficientes a, b, c e d das equações de estado e de</p><p>saída em quatro matrizes:</p><p>A matriz n × n (quadrada) A é a matriz de estado ou do sistema; a matriz n</p><p>× r B é a matriz de entrada; a matriz m × n C é a matriz de saída; e a matriz</p><p>m × r D é a matriz de ligação direta. Finalmente, deve-se usar as definições</p><p>dessas matrizes e vetores para representar de forma compacta as equações</p><p>de estado e de saída</p><p>A Equação (5.21) é a equação de estado, e a Eq. (5.22) é a equação de</p><p>saída e juntas consistem na REE completa. O leitor deve notar que a</p><p>equação de estado (5.21) representa a dinâmica do sistema; isto é, os</p><p>coeficientes lineares das equações diferenciais que contêm o modelo</p><p>matemático estão combinados nas matrizes A e B. A equação de saída</p><p>(5.22) é um mapeamento algébrico linear das variáveis de estado e de</p><p>entrada com as saídas ou medidas.</p><p>Uma observação final está relacionada com a multiplicação matriz-</p><p>vetor. Todos os termos do lado direito nas equações de estado e saída</p><p>envolvem uma matriz multiplicada por um vetor coluna, e ambos os termos</p><p>do lado esquerdo são vetores coluna. Quando uma matriz e um vetor são</p><p>multiplicados, o número de colunas da matriz deve ser igual ao número de</p><p>linhas do vetor coluna. Por exemplo, considere um caso com quatro estados</p><p>(n = 4) e duas entradas (r = 2). As dimensões das matrizes e vetores da</p><p>equação de estado nesse caso são</p><p>Aqui, nota-se que a matriz de estado A deve ter quatro colunas de modo a</p><p>multiplicar com o vetor de estado x 4 × 1, e a matriz de entrada B deve</p><p>possuir duas colunas para multiplicar com o vetor de entrada u 2 × 1. Como</p><p>o lado esquerdo é a primeira derivada do vetor de estado x 4 × 1, ambas as</p><p>matrizes A e B devem ter quatro linhas. O leitor deve verificar que uma</p><p>única equação de estado pode ser escrita simplesmente usando os</p><p>coeficientes da linha apropriada das matrizes A e B. Por exemplo, a terceira</p><p>equação de estado é</p><p>que emprega os coeficientes das terceiras linhas das matrizes A e B.</p><p>Argumentos similares podem ser aplicados à multiplicação matriz-vetor</p><p>para as equações de saída.</p><p>Uma REE não altera a dinâmica do sistema; é simplesmente uma forma</p><p>compacta matriz-vetor para representar o modelo matemático (as EDOs) e</p><p>as variáveis de saída desejadas. Como estabelecido previamente, essa forma</p><p>compacta é muito adequada para representação de sistemas complexos com</p><p>múltiplas entradas e saídas em um ambiente de simulação computacional</p><p>como o MATLAB e Simulink. Deve ser reforçado que uma REE só pode</p><p>ser obtida se as equações do modelo matemático são lineares. Os exemplos</p><p>a seguir ilustram como desenvolver uma REE completa.</p><p>Exemplo 5.4</p><p>Dadas as equações em variáveis de estado de um sistema de terceira ordem,</p><p>obtenha as matrizes da REE se as duas variáveis de saída são y1 = x1 e y2 =</p><p>x2 – x3.</p><p>As equações e matrizes da REE completa podem ser desenvolvidas apenas</p><p>se o sistema é linear, e verifica-se que as três equações em variáveis de</p><p>estado (5.23) são de fato combinações lineares dos estados xi e das entradas</p><p>uj. Desenvolve-se primeiro a equação de estado, cujo formato geral é dado</p><p>pela Eq. (5.21). Nesse caso, o vetor de estado x é 3 × 1 e o vetor de entrada</p><p>u é 2 × 1 (note que a Eq. (5.23) inclui duas entradas u1 e u2). As linhas das</p><p>matrizes de estado A e de entrada B contêm os coeficientes das três</p><p>respectivas equações em variáveis de estado de acordo com</p><p>O leitor deve ser capaz de realizar a multiplicação matriz-vetor na Eq.</p><p>(5.24) e reproduzir as três equações individuais em Eq. (5.23).</p><p>O sistema possui duas variáveis de saída, y1 = x1 e y2 = x2 – x3. Assim</p><p>sendo, o vetor de saída y é 2 × 1. A equação (5.22) apresenta o formato</p><p>geral da equação de saída, o qual fica</p><p>Novamente, o leitor deve ser capaz de realizar a multiplicação matriz-vetor</p><p>na Eq. (5.25) e reproduzir as variáveis de saída desejadas, y1 = x1 e y2 = x2 –</p><p>x3. A REE completa é</p><p>na qual as matrizes de estado e entrada são</p><p>e as matrizes de saída e ligação direta são</p><p>Resumindo, tem-se um sistema de terceira ordem (n = 3) com duas</p><p>entradas e duas saídas. Assim sendo, a matriz de estado A é 3 × 3, a matriz</p><p>de entrada B é 3 × 2, a matriz de saída C é 2 × 3, e a matriz de ligação</p><p>direta D é uma 2 × 2 nula, que mesmo contendo todos os coeficientes zero</p><p>deve ser definida de modo a realizar as simulações numéricas com o</p><p>MATLAB e o Simulink, como será visto no Capítulo 6.</p><p>Exemplo 5.5</p><p>Considere novamente o sistema mecânico simples com uma única massa</p><p>mostrado na Figura 5.1 que foi descrito no Exemplo 5.2. Obtenha a REE</p><p>completa se a rigidez é modelada por um elemento mola ideal (linear). Um</p><p>único sensor mede o deslocamento de translação da massa.</p><p>É possível desenvolver a REE apenas se as equações de estado e saída</p><p>são lineares. Assim sendo, será assumida uma força linear na mola com k1 =</p><p>k (constante de mola linear) e k3 = 0. Lembre-se de que as variáveis de</p><p>estado são x1 = z (posição) e x2 = (velocidade), e a variável de entrada é u =</p><p>Fa(t) (força aplicada). O vetor de estado possui dois elementos</p><p>As equações lineares em variáveis de estado são</p><p>Inicialmente, será construída a equação matriz-vetor de estado. As</p><p>primeiras linhas das matrizes A e B envolverão os coeficientes associados à</p><p>primeira equação em variáveis de estado (5.26), 1 = 2, e, portanto, a</p><p>primeira linha de Aé formada pelo zero na primeira coluna (que multiplica</p><p>x1) e um na segunda coluna (que multiplica x2), e a de B pelo coeficiente</p><p>zero uma vez que a primeira equação não inclui a entrada u. As segundas</p><p>linhas de A e B envolverão os coeficientes da segunda equação em</p><p>variáveis de estado (5.27). Então a equação de estado tem a forma</p><p>O leitor deve ser capaz de realizar a multiplicação matriz-vetor na Eq.</p><p>(5.28) e chegar às duas equações em variáveis de estado (5.26) e (5.27).</p><p>Em geral, a equação de saída depende de quais variáveis são medidas ou</p><p>definidas como sendo as saídas do sistema. Nesse caso, um único sensor</p><p>mede a posição da translação da massa. Assim sendo, a saída é y = z = x1, e</p><p>a equação de saída na forma matriz-vetor para esse problema é</p><p>A REE completa é</p><p>na qual as matrizes de estado e entrada são</p><p>e as matrizes de saída e ligação direta são</p><p>C = [1 0] D = 0</p><p>Em resumo, tem-se um sistema de segunda ordem (n = 2) com uma entrada</p><p>e uma saída. Então, a matriz de estado A é 2 × 2, a matriz de entrada B é 2</p><p>× 1 (um vetor coluna), a matriz de saída C é 1 × 2 (um vetor linha), e a</p><p>matriz de ligação direta é um escalar (zero nesse caso).</p><p>Exemplo 5.6</p><p>Obtenha a REE completa para o sistema eletromecânico motor CC que foi</p><p>apresentado no Capítulo 3. São usados um tacômetro para medir a</p><p>velocidade angular do motor ( ) e um amperímetro para a corrente no</p><p>circuito da armadura (I).</p><p>O modelo matemático do motor CC foi desenvolvido no Capítulo 3, e</p><p>suas equações repetidas a seguir</p><p>As Equações (5.30) e (5.31) são EDOs lineares de primeira e segunda</p><p>ordem, respectivamente. Consequentemente, n = 3 e o sistema requer três</p><p>variáveis de estado, as quais foram selecionadas como a corrente I, o</p><p>deslocamento angular θ e a velocidade angular ω. A tensão aplicada na</p><p>armadura</p><p>eent(t) e o torque carga TC são as duas entradas do sistema. Assim</p><p>sendo, tem-se os estados x1 = I, x2 = θ, x3 = e as entradas u1 = eent(t), u2 =</p><p>TC.</p><p>Em seguida, são escritas as três equações de estado de primeira ordem a</p><p>partir da derivada no tempo de cada variável de estado e substituídas a Eq.</p><p>(5.30) para derivada da corrente I e a Eq. (5.31) para a da velocidade</p><p>angular</p><p>Os estados x1 = I, x2 = θ, x3 = e as entradas u1 = eent(t), u2 = TC são</p><p>substituídos nas três equações diferenciais de primeira ordem para chegar à</p><p>Finalmente, as Eqs. (5.35)–(5.37) são colocadas na forma matriz-vetor-</p><p>padrão para construir as equações de estado, nas quais as linhas das</p><p>matrizes A e B envolverão os coeficientes associados a cada equação em</p><p>variáveis de estado, ou seja</p><p>O leitor deve ser capaz de multiplicar cada linha das matrizes de estado A e</p><p>de entradas B pelos vetores coluna x e u, respectivamente, e reproduzir as</p><p>três equações de estado (5.35)–(5.37).</p><p>O sistema possui duas medidas, velocidade angular e corrente, e,</p><p>portanto, as variáveis de saída são y1 = e y2 = I, e ambas são variáveis de</p><p>estado: y1 = = x3 e y2 = I = x1. Portanto, a equação de saída é</p><p>A REE completa é</p><p>na qual as matrizes de estado e de entrada são</p><p>e as matrizes de saída e ligação direta são</p><p>Em resumo, tem-se um sistema de terceira ordem (n = 3) com duas</p><p>entradas e duas saídas. Consequentemente, a matriz de estado A é 3 × 3, a</p><p>matriz de entrada B é 3 × 2, a matriz de saída C é 2 × 3, a matriz de ligação</p><p>direta D é 2 × 2 nula.</p><p>Exemplo 5.7</p><p>Note que a REE do motor CC no Exemplo 5.6 não depende do</p><p>deslocamento angular do rotor (θ). Assim, essa variável de estado pode ser</p><p>eliminada. Obtenha uma REE “de ordem reduzida” do motor CC em termos</p><p>das duas variáveis de estado: corrente I e velocidade angular . As duas</p><p>saídas (medidas) são as próprias variáveis de estado.</p><p>No Exemplo 5.6, a segunda variável de estado (x2 = θ) não aparece nas</p><p>equações de estado (5.32)–(5.34), e não é uma variável de saída. Uma</p><p>maneira de reorganizar a falta de dependência do sistema em relação ao</p><p>deslocamento angular θ pode ser obtida notando os três zeros na segunda</p><p>coluna da matriz de estado A e os dois zeros na segunda coluna da matriz</p><p>de saída C, que são os coeficientes da segunda variável de estado x2 nas</p><p>respectivas matrizes. Assim sendo, pode-se eliminar a segunda equação de</p><p>estado (5.33) na REE de terceira ordem do Exemplo 5.6. Para tanto,</p><p>substitui-se ω = e = nos modelos elétrico e mecânico, ou a primeira e</p><p>terceira equações de estado (5.32) e (5.34), que se tornam</p><p>Note que ambas são EDOs de primeira ordem. Consequentemente, são</p><p>necessárias duas variáveis de estado (n = 2), sendo escolhidas x1 = I e x2 =</p><p>ω, e as entradas são u1 = eent(t) e u2 = TC. Substituindo as variáveis de estado</p><p>e entrada nas Eqs. (5.40) e (5.41) usando o formato matriz-vetor tem-se a</p><p>equação de estado</p><p>Note que as matrizes A e B para a REE de ordem reduzida são idênticas às</p><p>de terceira ordem na Eq. (5.38) com as segundas linha e coluna removidas</p><p>(a equação de estado para o deslocamento angular θ). A equação de saída</p><p>para a REE de ordem reduzida é</p><p>Deve ser notado que a matriz de saída de ordem reduzida C é idêntica a de</p><p>terceira ordem na Eq. (5.39) com a segunda coluna removida.</p><p>Uma última observação se faz necessária. Se a resposta do sistema</p><p>motor CC é obtida para uma dada tensão de entrada eent(t) e um torque carga</p><p>TC (por exemplo, usando o Simulink MATLAB), os resultados para as</p><p>saídas y1(t) e y2(t) (velocidade angular ω e corrente I) serão idênticos se for</p><p>empregada a REE de terceira ordem desenvolvida no Exemplo 5.6 ou a de</p><p>segunda ordem apresentada nesse exemplo. Ambos os modelos no espaço</p><p>de estado são baseados nas mesmas relações que caracterizam a dinâmica</p><p>dos sistemas e usam as mesmas variáveis de entrada e saída. A REE de</p><p>terceira ordem no Exemplo 5.6 emprega uma variável de estado adicional</p><p>(θ) que não contribui na dinâmica ou na saída do sistema, e, portanto, ela</p><p>própria e sua equação podem ser removidas do modelo. Entretanto, a</p><p>informação da posição angular θ(t) do motor CC é perdida quando a REE</p><p>de segunda ordem apresentada nesse exemplo é adotada.</p><p>Exemplo 5.8</p><p>A Figura 5.3 mostra o sistema assento-suspensão tratado no Exemplo 2.3 no</p><p>Capítulo 2. Obtenha a REE completa, na qual as medidas dos dois sensores</p><p>são o deslocamento e a aceleração da massa que representa o motorista.</p><p>Repetindo o modelo matemático do Exemplo 2.3</p><p>Figura 5.3 (a) Diagrama esquemático para o sistema assento-suspensão do Exemplo 5.8.</p><p>(b) Modelo mecânico para o sistema assento-suspensão.</p><p>Lembre-se de que as variáveis do sistema são os deslocamentos verticais</p><p>das massas do assento (z1) e do motorista (z2), e ambos são medidos</p><p>relativamente às suas posições de equilíbrio estático. O deslocamento</p><p>vertical do chão da cabine (por causa das vibrações impostas pela</p><p>pavimentação da rua) é z0(t), que é considerado como uma entrada para o</p><p>sistema. Os parâmetros são as massas do assento e do motorista (m1 e m2), e</p><p>os coeficientes passivos de atrito e rigidez (bi e ki, respectivamente). As</p><p>duas medidas associadas ao aparato de teste são o deslocamento z2 e a</p><p>aceleração 2 do motorista, obtidos, respectivamente, por meio de um</p><p>transformador diferencial variável linear (LVDT, em inglês), um dispositivo</p><p>eletromecânico empregado para medir deslocamentos de translação, e um</p><p>acelerômetro.</p><p>O objetivo é desenvolver uma REE completa dadas as equações do</p><p>modelo (5.44a) e (5.44b). Claramente, esse sistema é linear e de quarta</p><p>ordem (n = 4). Em uma primeira análise, z1, z2 e suas derivadas são as</p><p>escolhas óbvias para variáveis de estado. Entretanto, se forem escolhidas x1</p><p>= z1 e x2 = 1, nota-se da Eq. (5.44a) que a segunda equação de estado 2 =</p><p>1 irá envolver o termo 0(t), a derivada no tempo da entrada u = z0(t). A</p><p>forma-padrão da equação de estado (5.21) não contém um termo matriz-</p><p>vetor envolvendo , então não se pode empregar essa escolha de variáveis</p><p>de estado com uma única entrada definida como u = z0(t). Em geral, quando</p><p>um modelo matemático envolve as derivadas das variáveis de entrada,</p><p>como a Eq. (5.44a), a escolha das variáveis de estado se torna um pouco</p><p>mais complicada e menos intuitiva. Serão mostradas duas soluções para</p><p>esse problema no espaço de estado quando a derivada no tempo da entrada</p><p>u aparece na dinâmica do sistema. O primeiro método de solução é mais</p><p>intuitivo e fácil de aplicar e será apresentado neste exemplo; o segundo</p><p>método é menos intuitivo e será tratado no Problema 5.32 ao final deste</p><p>capítulo.</p><p>A solução fácil e intuitiva é simplesmente definir uma variável de</p><p>entrada adicional que é a derivada de z0. Desse modo, definem-se duas</p><p>variáveis de entrada u1 = z0(t) e u2 = 0(t), e pode-se estabelecer as quatro</p><p>variáveis de estado:</p><p>Tomando a primeira derivada no tempo de cada variável de estado e</p><p>substituindo na dinâmica do sistema (5.44a) e (5.44b) para 1 e 2 tem-se</p><p>Em seguida, substituindo as variáveis físicas usando as definições dos</p><p>estados (x1 = z1, x2 = 1, x3 = z2 e x4 = 2) e das duas entradas (u1 = z0(t) e u2 =</p><p>0(t)) chega-se à</p><p>A equação de estado completa é a reunião das Eqs. (5.53) – (5.56) no</p><p>formato matriz-vetor</p><p>Lembre-se de que as duas saídas do sistema ou medidas foram</p><p>especificadas como y1 = z2 e y2 = 2. A primeira equação de saída é</p><p>simplesmente y1 = x3, e a segunda é obtida a partir da quarta equação de</p><p>estado (5.56) ou dos termos da última linha na Eq. (5.57)</p><p>As Equações (5.57) e (5.58) consistem na REE completa. Uma forte</p><p>palavra de atenção é necessária: o desenvolvimento do modelo no espaço</p><p>de estado foi muito simplificado pela definição de duas variáveis de entrada</p><p>independentes u1 = z0(t) e u2 = 0(t). Na verdade, existe apenas uma única</p><p>entrada independente para o sistema, que é u = z0(t). No modelo com duas</p><p>entradas descrito pelas Eqs. (5.57) e (5.58) não existe uma restrição</p><p>exigindo que a segunda entrada u2 seja a derivada no tempo da entrada u1.</p><p>Portanto, deve-se ter cuidado ao impor a restrição u2 = 1 quando a</p><p>dinâmica do sistema</p><p>for analisada ou simulada a partir da REE com duas</p><p>entradas desenvolvida nesse exemplo. No Capítulo 11 esse sistema e a</p><p>questão de modelagem identificada serão revisitados quando for investigada</p><p>a capacidade da suspensão do assento suprimir as vibrações da rua</p><p>transmitidas pela entrada no chão da cabine z0(t).</p><p>5.4 LINEARIZAÇÃO</p><p>A maioria dos sistemas dinâmicos do mundo real são não lineares; isto é,</p><p>são modelados por equações diferenciais não lineares. Não existe uma</p><p>teoria geral, unificada, para obtenção da solução de um sistema não linear, e</p><p>na maioria dos casos são adotados procedimentos de integração numérica</p><p>para obter a resposta do sistema. Por outro lado, existem diversas</p><p>ferramentas de análise para determinação da solução de um sistema linear.</p><p>Além disso, existem várias técnicas de projeto de sistemas de controle que</p><p>podem ser aplicadas apenas aos sistemas dinâmicos lineares. Portanto, é</p><p>desejável ter um modelo linear do sistema visando a sua análise e projeto.</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>Linearização é um método para converter uma equação (ou modelo)</p><p>não linear em linear, baseado na expansão em série de Taylor em torno de</p><p>um ponto de operação nominal (ou de referência), no qual apenas os termos</p><p>de primeira ordem são mantidos. Como os termos de segunda e maior</p><p>ordem são desprezados na expansão em série de Taylor, o modelo linear</p><p>resultante é preciso apenas se o estado do sistema não se desvia muito do</p><p>ponto de operação nominal. A linearização possui três passos básicos:</p><p>Escolha (ou resolva para) o ponto (ou estado) de operação nominal</p><p>em torno do qual o sistema será linearizado. Esse ponto pode ser</p><p>dado, ou ser uma condição de equilíbrio obtida a partir do modelo</p><p>não linear. Em vários casos, o ponto de operação nominal é um</p><p>estado estático. Será usada a notação x* e u* para indicar,</p><p>respectivamente, as variáveis de estado e de entrada nominais.</p><p>Redefina as equações do modelo não linear em termos das</p><p>variáveis nominais e de perturbação (ou de desvio) com relação</p><p>aos valores nominais. Será usada a convenção δx = x – x* para a</p><p>perturbação (desvio) do estado nominal x* e δu = u – u* para a</p><p>perturbação da entrada nominal u*.</p><p>Expanda as equações do modelo não linear em uma série de Taylor</p><p>em torno do ponto de operação nominal e mantenha apenas os</p><p>termos de primeira ordem (lineares). O modelo linearizado</p><p>resultante será descrito pelas variáveis de perturbação δx e δu.</p><p>Como estabelecido anteriormente, o modelo linearizado é razoavelmente</p><p>preciso e representativo do (verdadeiro) modelo não linear enquanto as</p><p>variáveis dinâmicas não se desviam para “muito longe” do ponto de</p><p>operação (isto é, δx permanece “pequeno” em todos os instantes de tempo).</p><p>Os três passos do procedimento de linearização são demonstrados no</p><p>exemplo a seguir. Suponha um sistema não linear com uma variável de</p><p>estado x e uma de entrada u</p><p>Passo 1: A entrada nominal u* (que deve ser dada no problema) resulta</p><p>na solução do estado nominal x*, que é o ponto de operação</p><p>nominal.</p><p>Passo 2: As variáveis de perturbação são δx = x – x* e δu = u – u*.</p><p>Assim sendo, deve-se substituir x = δx + x* e u = δu + u* no modelo</p><p>não linear (5.59)</p><p>Passo 3: Expanda o lado direito da equação não linear (5.60) em uma</p><p>série de Taylor em torno de x* e u*</p><p>Como o estado solução nominal é * = f(x*, u*), esses dois termos</p><p>cancelam um ao outro na Eq. (5.61). Deve ser notado que todas as</p><p>derivadas parciais na Eq. (5.61) são avaliadas no estado e entrada nominais,</p><p>x* e u*, respectivamente. Finalmente, eliminando da série de Taylor todos</p><p>os termos de ordem acima da primeira chega-se à</p><p>A Equação (5.62) é o modelo linearizado do sistema original não linear</p><p>(5.59). As duas derivadas de primeira ordem ∂f /∂x e ∂f /∂u são constantes</p><p>enquanto x* e u* permanecem fixos. É importante notar que o modelo</p><p>linear (5.62) é em termos das variáveis de perturbação δx e δu. Assim</p><p>sendo, sua solução fornece δx(t), que é a história no tempo do estado desvio</p><p>a partir do ponto de operação x*. Se for desejado estimar a história do</p><p>estado a partir da solução linear, deve-se usar x(t) = δx(t) + x*.</p><p>Exemplo 5.9</p><p>Desenvolva o modelo linear da seguinte equação não linear em variáveis de</p><p>estado, em torno do estado de equilíbrio estático x* resultante da entrada</p><p>nominal u* = 2.</p><p>O primeiro passo é obter o estado nominal x* dada a entrada nominal u*</p><p>= 2. Assume-se que o estado estático de equilíbrio existe quando a entrada</p><p>nominal é u* = 2; isso é, = 0 e, portanto, x permanece constante.</p><p>Resolvendo a Eq. (5.63) para x com e u = u* = 2 tem-se o polinômio de</p><p>terceira ordem em x</p><p>Pode-se usar o comando MATLAB roots para obter as três raízes</p><p>>> roots([ –0.4 0 –2 0.6 ])</p><p>no qual o vetor linha entre colchetes contém os coeficientes do polinômio</p><p>de terceira ordem na Eq. (5.64) em potências decrescentes de x. As três</p><p>raízes incluem uma raiz real (x = 0,2949), e duas complexas conjugadas (x</p><p>= –0,1474 ± j2,2506; lembrando que j é o número imaginário, ).</p><p>Como o estado de equilíbrio deve ser um número real, o estado nominal é</p><p>x* = 0,2949.</p><p>Em seguida, são definidas as variáveis de perturbação δx = x – x* e δu =</p><p>u – u* e escreve-se a equação linearizada (5.62) resultante do termo de</p><p>primeira ordem na expansão em série de Taylor</p><p>As duas derivadas parciais são facilmente determinadas usando o lado</p><p>direito da função f (x, u) definida na Eq. (5.63), calculadas no estado x* e</p><p>entrada u* nominais</p><p>Note que o valor da entrada nominal u* não foi necessário em nenhuma das</p><p>duas derivadas parciais. Além disso, a derivada parcial ∂f /∂u é 0,3, que é o</p><p>mesmo coeficiente da entrada na equação não linear (5.63), porque o termo</p><p>envolvendo u já é linear. Finalmente, substituindo os valores numéricos das</p><p>duas derivadas parciais no termo de primeira ordem da série de Taylor</p><p>(5.65) tem-se</p><p>A Eq. (5.66) é a versão linearizada da equação não linear original (5.63), na</p><p>qual a linearização foi realizada em torno do estado nominal x* = 0,2949,</p><p>que é o valor do estado de equilíbrio para a entrada nominal u* = 2. Note</p><p>que a equação linearizada é escrita em termos das variáveis de perturbação</p><p>δx e δu. Será mostrado no Capítulo 7 que é relativamente fácil obter a</p><p>solução analítica para a EDO de primeira ordem linear como a Eq. (5.66),</p><p>que, entretanto, nesse caso produz a variável de perturbação δx(t); caso</p><p>deseje-se estimar a solução não linear da Eq. (5.63), deve-se adicionar à</p><p>variável de perturbação ao estado nominal, ou x(t) = x* + δx(t).</p><p>Exemplo 5.10</p><p>Considere o simples sistema hidráulico mostrado na Figura 5.4, que</p><p>consiste em um único tanque com área de seção reta constante A sendo</p><p>preenchido por um líquido com uma vazão volumétrica de entrada Qent. O</p><p>escoamento de saída através da válvula é turbulento. O objetivo é</p><p>desenvolver um modelo linear para a dinâmica do tanque hidráulico dada</p><p>uma vazão volumétrica de entrada nominal Q*ent.</p><p>Note-se na Figura 5.4 que a vazão de saída através da válvula é Qsai. A</p><p>variável de estado do sistema é a pressão P na base do tanque, e a pressão</p><p>atmosférica na saída da válvula é Patm. O modelo para esse simples sistema</p><p>hidráulico pode ser desenvolvido a partir da conservação de massa, como</p><p>demonstrado no Capítulo 4</p><p>na qual C = dV/dP é a capacitância fluida do tanque, que é fixa por causa da</p><p>sua área de seção reta constante. O escoamento turbulento na válvula é</p><p>representado pela equação não linear</p><p>Figura 5.4 Sistema tanque hidráulico para o Exemplo 5.10.</p><p>Assim sendo, a equação não linear que modela o sistema tanque hidráulico</p><p>é</p><p>Inicia-se reescrevendo o modelo não linear (5.69) como uma equação em</p><p>variável de estado</p><p>O primeiro passo é determinar o ponto de operação P* dada uma entrada</p><p>nominal constante Q*ent. Espera-se que a partir de certo instante de tempo o</p><p>fluxo de saída Qsai irá equilibrar a vazão de entrada constante Q*ent. Assim</p><p>sendo, = 0 e a pressão atinge um valor constante P* (a altura do nível do</p><p>líquido no tanque também atingirá um valor constante, pois está relacionada</p><p>com pressão pela equação hidrostática). Resolvendo a Eq. (5.69) para a</p><p>pressão constante quando</p><p>C = 0 fornece</p><p>que é a pressão nominal ou o ponto de operação do sistema hidráulico. As</p><p>variáveis de perturbação são definidas como δP = P – P* e δQent = Qent –</p><p>Q*ent. Em seguida, usando a Eq. (5.62), o termo de primeira ordem</p><p>expansão em série de Taylor</p><p>na qual as derivadas parciais de primeira ordem podem ser determinadas</p><p>usando a Eq. (5.70)</p><p>Substituindo a Eq. (5.71) para P* nominal, chega-se à derivada de primeira</p><p>ordem</p><p>Essa derivada é uma constante conhecida, dados os valores numéricos do</p><p>coeficiente de escoamento turbulento KT, a capacitância fluida C e a vazão</p><p>volumétrica nominal de entrada Q*ent. Finalmente, o modelo hidráulico</p><p>linear é</p><p>A solução do modelo linear irá produzir a perturbação de pressão δP(t).</p><p>Esse problema será revisitado no Capítulo 6 quando forem comparadas as</p><p>respostas dos modelos hidráulicos linear e não linear usando simulações</p><p>numéricas.</p><p>O método de linearização pode ser generalizado e aplicado às equações</p><p>de estado não lineares vetoriais de na. ordem</p><p>A história no tempo do vetor de entrada nominal u*(t) irá produzir um vetor</p><p>de estado nominal x*(t) no tempo, normalmente denominado de trajetória</p><p>de estado. Por exemplo, um programa predefinido para as entradas em</p><p>torque dos motores para um sistema robótico irá produzir trajetórias</p><p>nominais para as posições e velocidades dos braços articulados do robô. O</p><p>procedimento de linearização em três passos descrito anteriormente pode</p><p>ser aplicado ao sistema não linear vetorial (5.74) resultando em</p><p>na qual δx = x – x* e δu = u – u*. Finalmente, o sistema linearizado (5.75)</p><p>pode ser escrito na forma compacta de equação de estado</p><p>na qual as matrizes A e B são as derivadas parciais de primeira ordem das</p><p>equações de estado não lineares (5.74)</p><p>Essas matrizes são determinadas nos estado e entrada nominais. Assim</p><p>sendo, as matrizes do sistema linearizado serão variantes no tempo se x*(t)</p><p>e u*(t) (isto é, não forem constantes). O exemplo a seguir demonstra como</p><p>desenvolver as matrizes linearizadas de estado e entrada para o caso com u*</p><p>e vetor x* nominais constantes.</p><p>Exemplo 5.11</p><p>Considere novamente o sistema não linear do Exemplo 5.1 e as equações</p><p>em variáveis de estado correspondentes. Desenvolva a equação de estado</p><p>linear para uma entrada nominal constante u* = 0,15.</p><p>A linearização é realizada em torno do vetor de estado nominal. Deve-</p><p>se determinar o vetor de estado de equilíbrio x*, dada uma entrada</p><p>constante u*. A primeira equação em variáveis de estado (5.77) mostra que</p><p>a configuração 1 = 0 para o equilíbrio requer o estado x2 = 0, que usado na</p><p>Eq. (5.78) com 2 = 0 resulta na condição de equilíbrio –0,4x1 + 0,2x3 = 0 ou</p><p>x1 = 0,5x3. A equação em variável de estado final (5.79) com a condição x1</p><p>= 0,5x3 e a entrada nominal u = u* = 0,15 fornece o polinômio de terceira</p><p>ordem em x3</p><p>ou</p><p>Pode-se usar o comando MATLAB roots para obter as três raízes</p><p>>> roots([ –0.025 0 0 0.3 ])</p><p>As três raízes incluem uma raiz real (x3 = 2,2894), e duas complexas</p><p>conjugadas (x3 = –1,1447 ± j1,9827). Como o estado de equilíbrio deve ser</p><p>um número real, o valor nominal do terceiro estado é x*3 = 2,2894. Assim,</p><p>o valor nominal do primeiro estado é x*1 = 1,1447 e o vetor de estado</p><p>nominal é</p><p>As Equações (5.75) e (5.76) mostram que a matriz do sistema A é composta</p><p>pelas derivadas parciais de primeira ordem das três funções do lado direito</p><p>fi (x, u) nas Eqs. (5.77)–(5.79), que são</p><p>Determinando cada elemento da matriz no vetor de estado nominal x* tem-</p><p>se</p><p>A matriz de entrada B é composta pelas derivadas parciais de primeira</p><p>ordem de fi (x, u) em relação à entrada u</p><p>Como influência da entrada u é linear nas Eqs. (5.77)–(5.79), a matriz de</p><p>entrada B contém os coeficientes lineares de u. A equação de estado linear é</p><p>A Equação (5.84) é a versão linearizada do sistema não linear (5.77)–(5.79),</p><p>em termos das variáveis de perturbação δx = x – x* e δu = u – u*, em torno</p><p>do vetor de estado de equilíbrio mostrado na Eq. (5.82).</p><p>5.5 EQUAÇÕES ENTRADA-SAÍDA</p><p>Nas seções anteriores, as equações em variáveis de estado foram</p><p>desenvolvidas e, no caso de sistemas lineares, a REE. Foi também</p><p>apresentado um procedimento de linearização que pode transformar</p><p>equações em variáveis de estado não lineares e desenvolver um modelo</p><p>linear no espaço de estado. Em geral, as equações em variáveis de estado e</p><p>no espaço de estado envolverão um conjunto de equações diferenciais de</p><p>primeira ordem, acopladas, significando que devem ser resolvidas</p><p>simultaneamente. Nesta seção serão desenvolvidas as equações entrada-</p><p>saída (E/S) que são apenas uma única função entre as variáveis desejadas de</p><p>entrada e saída e suas derivadas.</p><p>Figura 5.5 Sistema de entrada única e saída única.</p><p>Considere um sistema dinâmico com entrada única e saída única (SISO</p><p>– single-input, single-output em inglês) mostrado na Figura 5.3,</p><p>representado pelo “diagrama de bloco” ou “caixa-preta” genérico. Para um</p><p>sistema SISO, uma equação E/S envolve apenas as variáveis de entrada u e</p><p>de saída y e suas derivadas:</p><p>na qual y(n) = dny / dtn, y(n–1) = dn–1y / dtn–1, e assim por diante. Em geral, a</p><p>derivada mais elevada da variável de entrada é menor ou igual que a da</p><p>saída, ou m ≤ n. Para um sistema invariante no tempo, os coeficientes ai e bj</p><p>são constantes. A Equação (5.85) é a forma geral da uma equação E/S para</p><p>um sistema SISO. Para sistemas com duas ou mais entradas, o lado direito</p><p>da equação E/S envolverá termos adicionais. Um sistema com p variáveis</p><p>de saída terá p equações E/S, uma para cada saída. Assim sendo,</p><p>diferentemente das equações em variáveis de estado acopladas, pode-se</p><p>resolver cada equação E/S independentemente das outras. Os exemplos a</p><p>seguir ilustram o desenvolvimento das equações E/S.</p><p>Exemplo 5.12</p><p>A Figura 5.6 mostra um sistema elétrico composto de um circuito RLC</p><p>série e uma fonte de tensão de entrada eent(t). Desenvolva a equação E/S</p><p>com saída y = I (corrente na malha) e u = eent(t).</p><p>O modelo matemático do circuito RLC pode ser determinado pela</p><p>aplicação da lei de Kirchhoff das tensões em torno da única malha que</p><p>fornece</p><p>Substituindo as tensões em cada elemento, obtém-se</p><p>Tomando a derivada no tempo da Eq. (5,87) de modo a eliminar o termo</p><p>integral chega-se à</p><p>Sendo a corrente I a variável de saída y, e a fonte de tensão eent(t) a entrada</p><p>u, a equação E/S é obtida diretamente da Eq. (5.88)</p><p>o que confere com a forma básica da equação E/S (5.85), uma vez que o</p><p>coeficiente a2 igual à unidade por causa da divisão de toda a equação pela</p><p>indutância L.</p><p>Figura 5.6 Circuito RLC série para o Exemplo 5.12.</p><p>Operador Diferencial</p><p>Desenvolver a equação E/S é relativamente simples quando o modelo</p><p>matemático consiste em uma única equação diferencial com uma variável</p><p>dinâmica (saída) e uma entrada, como no caso do Exemplo 5.12. Quando o</p><p>modelo é formado por duas ou mais equações diferenciais com múltiplas</p><p>saídas e entradas, obter as equações E/S se torna significativamente mais</p><p>complicado, pois cada variável de saída deve ser separada em uma equação</p><p>E/S independente. Uma maneira de simplificar a análise é definir o</p><p>operador diferencial ou “D” como</p><p>Assim sendo, as derivadas no tempo podem ser escritas como potências do</p><p>operador D: por exemplo, Dy = , D2y = etc. Pode-se usar o operador D</p><p>para manipular as equações dinâmicas de modo a obter a equação E/S</p><p>desejada, como é demonstrado no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 5.13</p><p>A Figura 5.7 mostra um sistema mecânico simples com duas massas.</p><p>Deseja-se desenvolver a equação E/S com o deslocamento da massa m1</p><p>como a variável de saída, ou y = z1, e a força aplicada Fa(t) como a de</p><p>entrada.</p><p>Os deslocamentos z1 e z2 são medidos a partir das respectivas posições</p><p>(não deformadas) de equilíbrio. O modelo matemático pode ser obtido</p><p>usando o diagrama de corpo livre e os métodos do Capítulo 2, resultando</p><p>em</p><p>Portanto, o modelo matemático (5.90) se torna</p><p>Claramente, z2 deve ser eliminada na equação diferencial contendo de</p><p>maneira a obter a equação E/S, isto é, em termos apenas da saída y.</p><p>Aplicando o operador D, pode-se escrever a Eq. (5.91) como</p><p>concentrados) envolve um número finito de variáveis</p><p>“internas”, e, assim, é representado por EDOs. Por exemplo, se for</p><p>necessário modelar um pistão hidráulico, pode-se “concentrar” toda a</p><p>distribuição de pressão na câmara do cilindro em um único termo de</p><p>pressão. Assim sendo, tem-se uma EDO para a derivada no tempo da</p><p>pressão (dP/dt ou ) considerada a “concentração” de fluido em uma</p><p>determinada câmara. Neste livro serão tratados apenas os modelos</p><p>concentrados e EDOs.</p><p>Sistemas Contínuos no Tempo versus Discretos no Tempo</p><p>Um sistema contínuo no tempo envolve variáveis e funções que são</p><p>definidas em todos os instantes de tempo, enquanto um sistema discreto no</p><p>tempo envolve variáveis que são definidas apenas em determinados</p><p>instantes de tempo. Pode-se pensar em um sistema contínuo no tempo</p><p>consistindo de variáveis no domínio “analógico”, como a posição x(t).</p><p>Sistemas discretos no tempo consistem em variáveis no domínio “digital”,</p><p>como a posição amostrada (medida) x(kTs), que existe apenas nos instantes</p><p>discretos de tempo t = Ts, t = 2Ts, . . ., t = kTs, no qual Ts é o intervalo de</p><p>amostragem. Os sistemas a tempo contínuo são descritos por equações</p><p>diferenciais enquanto os a tempo discreto são descritos por equações de</p><p>diferenças. Neste texto serão tratados os sistemas contínuos no tempo e as</p><p>equações diferenciais. Os sistemas discretos no tempo são introduzidos no</p><p>Capítulo 10, quando for tratada a função do computador digital no controle</p><p>automático de sistemas e a necessidade de converter sinais analógicos em</p><p>sinais digitais e vice-versa.</p><p>Sistemas Variantes no Tempo versus Invariantes no Tempo</p><p>1.</p><p>2.</p><p>Em um sistema variante no tempo os parâmetros são variáveis com o tempo</p><p>(por exemplo, o coeficiente de atrito varia com o tempo). Em um sistema</p><p>invariante no tempo os parâmetros permanecem constantes. O leitor não</p><p>deve confundir a variação dos parâmetros do sistema com a variação das</p><p>suas variáveis dinâmicas. Para o exemplo do motor CC, os parâmetros do</p><p>sistema devem ser a resistência elétrica do circuito, a indutância dos</p><p>enrolamentos em torno do rotor, o coeficiente de atrito nos mancais do rotor</p><p>e o momento de inércia do rotor. Se esses parâmetros não variam com o</p><p>tempo (isto é, são constantes para o modelo do sistema), então o motor CC</p><p>é um sistema invariante no tempo. É claro que as variáveis dinâmicas</p><p>associadas ao motor CC (a corrente elétrica no circuito e a velocidade</p><p>angular no eixo de saída) podem variar com o tempo. O principal foco neste</p><p>livro serão os sistemas invariantes no tempo.</p><p>Sistemas Lineares versus Não Lineares</p><p>Suponha que a relação entre a entrada e a saída de um sistema seja descrita</p><p>pela função y = f(u), na qual u é a entrada e y é a saída. Os sistemas lineares</p><p>obedecem a propriedade da superposição:</p><p>Se y1 = f(u1), então ay1 = f(au1), na qual a = constante qualquer.</p><p>Se y1 = f(u1) e y2 = f(u2), então y1 + y2 = f(u1 + u2).</p><p>Considere novamente o exemplo do motor CC: suponha que são aplicados</p><p>12 volts (V) sobre o motor e a velocidade angular em regime permanente</p><p>(constante) medida é 1600 rotações (revoluções) por minuto (rpm). Em</p><p>seguida, se são aplicados 6 V ao motor e a velocidade angular em regime</p><p>permanente medida é 800 rpm, então o sistema obedece a primeira</p><p>propriedade da superposição e o sistema motor CC é linear. É claro que um</p><p>sistema físico (real) que apresenta linearidade (como o motor CC) possui</p><p>uma faixa linear de operação limitada; isso é, não se pode aumentar a</p><p>tensão de entrada por um fator de 100 e esperar que a velocidade angular</p><p>correspondente seja aumentada pelo fator 100. Aumentar a entrada do</p><p>sistema acima de um limiar pode causar saturação na saída (isto é, atingir</p><p>um limite) e, assim, o sistema não ser mais linear.</p><p>A segunda propriedade da superposição mostra que a resposta dinâmica</p><p>total de um sistema linear pode ser obtida adicionando ou superpondo as</p><p>respostas (ou soluções) a funções de entrada individuais. Sistemas não</p><p>lineares não obedecem qualquer uma das propriedades da superposição.</p><p>As seguintes equações são exemplos de EDOs lineares:</p><p>A Equação (1.1) é uma EDO de segunda ordem linear porque a variável</p><p>dinâmica x e suas derivadas aparecem como combinações lineares (será</p><p>usada a notação do ponto em cima da variável para denotar derivadas com</p><p>relação ao tempo; assim, etc.). A Equação (1.1)</p><p>envolve coeficientes constantes e, desse modo, é uma equação diferencial</p><p>linear invariante no tempo (LIT). A Equação (1.2) é linear uma vez que x e</p><p>suas derivadas aparecem como combinações lineares. Como o coeficiente</p><p>0,6 e–2t varia com o tempo, a Eq. (1.2) é uma EDO linear variante no tempo.</p><p>A seguinte equação</p><p>é uma EDO não linear por causa do termo x2.</p><p>Todos os sistemas físicos são não lineares. Entretanto, se as variáveis de</p><p>entrada e saída são limitadas a uma faixa (nominal) restrita, então pode-se</p><p>normalmente substituir o sistema não linear por um modelo linear</p><p>representado por equações diferenciais lineares. Esse procedimento é</p><p>denominado linearização. Obter um modelo linear é extremamente</p><p>importante e vantajoso na análise de sistemas porque é possível encontrar</p><p>uma solução analítica (forma fechada) para as EDOs lineares. Sistemas não</p><p>lineares devem ser resolvidos mediante métodos numéricos para integrar as</p><p>EDOs.</p><p>1.3 MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS</p><p>O principal foco deste livro é a modelagem matemática de sistemas</p><p>dinâmicos. Desenvolver um modelo apropriado é sempre o primeiro passo</p><p>na análise do sistema porque é impossível determinar sua resposta sem uma</p><p>representação matemática da sua dinâmica. Modelos matemáticos são</p><p>obtidos pela aplicação das leis da Física apropriadas a cada elemento do</p><p>sistema. Alguns parâmetros do sistema (como as características de atrito)</p><p>podem ser desconhecidos, e esses parâmetros são normalmente</p><p>determinados por meio de experimentos e observação, o que leva a relações</p><p>empíricas. A sensibilidade de engenharia deve ser empregada para avaliar a</p><p>complexidade do modelo com a exatidão da análise. Não linearidades</p><p>(como a folga ou espaço morto em engrenagens) são normalmente</p><p>ignoradas em um estudo preliminar de um projeto de modo a desenvolver</p><p>modelos lineares. Algumas vezes, modelos lineares aproximados de menor</p><p>ordem podem ser suficientes para representar de forma precisa a dinâmica</p><p>do sistema. Esses modelos lineares de menor ordem podem ser resolvidos</p><p>analiticamente (“na mão”), o que fornece ao engenheiro uma sensibilidade</p><p>intuitiva para a natureza do sistema dinâmico. Além disso, simulações são</p><p>fáceis de serem construídas com modelos lineares de menor ordem e, desse</p><p>modo, o tempo requerido para realizar a análise do sistema é reduzido.</p><p>Modelos não lineares, por outro lado, necessitam de soluções numéricas</p><p>empregando programas de simulação. Modelos não lineares extremamente</p><p>complexos tipicamente exigem passos com pequenos intervalos de tempo</p><p>de integração para resolver as EDOs com precisão, aumentando o tempo de</p><p>execução no computador. Consequentemente, existe uma troca entre a</p><p>complexidade do modelo e o tempo de análise.</p><p>Engenheiros devem lembrar que os resultados obtidos a partir de um</p><p>modelo matemático específico são apenas aproximações e válidos dentro</p><p>das hipóteses adotadas para seu desenvolvimento. O modelo deve ser</p><p>suficientemente sofisticado para mostrar os aspectos relevantes da resposta</p><p>dinâmica sem se tornar muito pesado para as ferramentas de análise</p><p>disponíveis. A validade de um modelo matemático pode ser sempre</p><p>verificada por meio da comparação da sua solução (como os resultados da</p><p>simulação) com os resultados experimentais. O Laboratório de Integração</p><p>Aviônica do Ônibus Espacial (SAIL – Shuttle Avionics Integration</p><p>Laboratory) possui um ambiente de teste integrando equipamentos e</p><p>programas de computador (hardware-in-the-loop) no Centro Espacial</p><p>Johnson da NASA [1] que possibilita tais comparações. O SAIL é</p><p>constituído pelos equipamentos reais do Ônibus Espacial (tais como a</p><p>cabine de voo e os seus instrumentos, sensores e a eletrônica de bordo) e os</p><p>modelos matemáticos para as forças físicas devidas</p><p>Resolvendo a Eq. (5.93) para o deslocamento z2</p><p>Figura 5.7 Sistema mecânico com duas massas para o Exemplo 5.13.</p><p>e substituindo na Eq. (5.92), o resultado é</p><p>Multiplicando essa equação por m2D2 + k de modo a evitar a fração tem-se</p><p>Finalmente, pode-se converter essa equação na forma operador para a</p><p>equação diferencial por meio da substituição dos termos Dk pelas</p><p>respectivas derivadas no tempo</p><p>na qual y(4) = d4y / dt4. A Equação (5.94) é a representação E/S para o</p><p>sistema com dupla massa e saída y = z1. Note que o modelo matemático</p><p>(5.90) é de quarta ordem (isto é, são necessárias quatro variáveis de estado</p><p>para uma REE), consequentemente, a equação E/S (5.94) é de ordem</p><p>quatro.</p><p>Em geral, desenvolver a equação E/S é simples quando o sistema é</p><p>modelado por uma única equação diferencial com apenas uma variável</p><p>dinâmica, porém é consideravelmente mais complicado do que obter as</p><p>equações em variáveis de estado quando o sistema envolve duas ou mais</p><p>equações diferenciais com múltiplas variáveis de entrada e saída. Além</p><p>disso, a maioria dos métodos de solução numérica (tais como os</p><p>empregados no MATLAB e Simulink) requer que o sistema dinâmico</p><p>consista em um conjunto com n equações diferenciais de primeira ordem</p><p>(isto é, equações em variáveis de estado) como a estratégia-padrão para</p><p>integrá-las numericamente simultaneamente. Por essas razões, empregam-</p><p>se tipicamente as equações E/S para sistemas SISO e são usados os modelos</p><p>em variáveis de estado para ambos os sistemas SISO e de múltiplas</p><p>entradas e múltiplas saídas (MIMO em inglês).</p><p>5.6 FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA</p><p>As funções de transferência são uma forma conveniente de representar e</p><p>analisar a relação E/S (ou de causa e efeito) de um sistema dinâmico LIT.</p><p>Elas são frequentemente empregadas em diagramas de simulação</p><p>(“diagrama de blocos” a serem discutidos na próxima seção) para</p><p>caracterizar uma desejada equação entrada/saída. Algoritmos numéricos</p><p>como o MATLAB e Simulink usam funções de transferência para</p><p>representar os sistemas dinâmicos que possuem uma entrada e uma saída.</p><p>Tradicionalmente, as funções de transferência são introduzidas a partir</p><p>dos métodos da transformada de Laplace, que mapeia uma função f(t) do</p><p>domínio do tempo para o domínio da variável complexa s, e é definida por</p><p>O leitor deve lembrar que as transformadas de Laplace podem ser usadas</p><p>para resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes,</p><p>que é convertida em uma equação algébrica na variável s. Se existe uma</p><p>função de forçamento f(t) na equação diferencial, ela deve ser convertida</p><p>em uma função F(s) no domínio de s empregando a Eq. (5.95). Assim</p><p>sendo, uma tabela composta das transformadas de Laplace de funções no</p><p>tempo “padrão” (tais como as funções senoidais) pode ser construída. A</p><p>solução de equações diferenciais no domínio do tempo é obtida pela</p><p>aplicação da transformada de Laplace inversa nas equações algébricas no</p><p>domínio de s. O Capítulo 8 apresenta uma breve revisão da teoria de</p><p>transformada de Laplace, incluindo as transformadas das funções no tempo</p><p>mais comuns, suas propriedades e a solução das equações diferenciais por</p><p>meio desse método.</p><p>Neste livro, não será empregado apenas o método da transformada de</p><p>Laplace para resolver equações diferenciais lineares, que apesar de ser</p><p>sistemático, envolve normalmente um procedimento tedioso de cálculo da</p><p>expansão em frações parciais de modo a poder utilizar as tabelas de</p><p>transformadas comuns para obter a inversa de Laplace. Em vez disso, o</p><p>foco será na análise direta das equações diferenciais no domínio do tempo</p><p>para sistemas SISO de baixa ordem, e nas técnicas de simulação numérica</p><p>para sistemas MIMO complexos. Entretanto, as funções de transferência</p><p>serão usadas para representar e analisar os sistemas dinâmicos com entrada</p><p>e saída únicas sem formalmente empregar a transformada de Laplace. Deve</p><p>ser comentado que o programa de simulação Simulink adota funções de</p><p>transferência para representar uma equação E/S, mas não usa a teoria da</p><p>transformada de Laplace para obter a resposta do sistema (emprega</p><p>diretamente a integração numérica das equações diferenciais no domínio do</p><p>tempo). Serão mostradas duas técnicas para desenvolver a função de</p><p>transferência sem usar a transformada de Laplace.</p><p>O exemplo a seguir demonstra a determinação da função de</p><p>transferência no domínio de s sem a necessidade da transformada de</p><p>Laplace. Inicialmente, considere a equação E/S de terceira ordem</p><p>Em seguida, considere uma entrada exponencial, u(t) = U(s)est, na qual s = σ</p><p>+ jω é uma variável complexa e U(s) é uma função complexa. A função</p><p>exponencial é</p><p>na qual a última substituição vem da aplicação da fórmula de Euler ejθ = cos</p><p>θ + j sen θ. A Equação (5.97) mostra que est é complexo, consistindo em</p><p>partes real e imaginária. Como a entrada u(t) é estritamente real, U(s)</p><p>deverá ser o complexo conjugado de est. Lembrando das equações</p><p>diferenciais que se a entrada u(t) = U(s)est, a solução particular (isto é, a</p><p>resposta por causa de uma entrada) deverá também ser uma função</p><p>exponencial, y(t) = Y(s)est. Portanto, essas funções exponenciais de entrada</p><p>e saída e suas derivadas ( etc.)</p><p>podem ser substituídas na equação diferencial E/S (5.96) para encontrar</p><p>Finalmente, usando a Eq. (5.98) na forma da razão Y(s) / U(s)</p><p>A função de transferência G(s) é definida como a razão mostrada na Eq.</p><p>(5.99). A definição matemática formal da função de transferência de uma</p><p>equação E/S linear, invariante no tempo, é a transformada de Laplace da</p><p>saída Y(s) dividida pela transformada de Laplace da entrada U(s),</p><p>assumindo as condições iniciais nulas (essa definição será repetida no</p><p>Capítulo 8). A definição formal da função de transferência é idêntica ao</p><p>resultado demonstrado nesse exemplo.</p><p>Como um segundo exemplo, pode-se desenvolver a função de</p><p>transferência no “domínio do tempo” pela aplicação do operador diferencial</p><p>D na equação E/S de terceira ordem (5.96)</p><p>Explicitando y(t) e u(t) em ambos os lados da Eq. (5.100) e obtendo a razão</p><p>da entrada pela saída:</p><p>A Equação (5.101) é idêntica à função de transferência G(s) na Eq. (5.99)</p><p>se simplesmente for substituído o operador diferencial D pela variável</p><p>complexa s. Note que na teoria da transformada de Laplace, o teorema da</p><p>diferenciação estabelece que a transformada de Laplace de é igual à sY(s)</p><p>– y(0), e a de é s2Y(s) – sy(0) – (0), e daí por diante para sistemas com</p><p>derivadas de ordem maior. Como as condições iniciais y(0), (0) e (0) são</p><p>assumidas nulas para uma função de transferência, pode-se concluir que</p><p>multiplicar pela késima potência da variável s no domínio de Laplace é</p><p>equivalente à késima derivada no domínio do tempo.</p><p>Na opinião do autor deste livro, usar o método da transformada de</p><p>Laplace para obter a resposta do sistema é extremamente tedioso e exige</p><p>um elevado consumo de tempo. Assim sendo, será dada atenção à análise</p><p>das equações diferenciais no domínio do tempo e à simulação numérica</p><p>usando o MATLAB e Simulink. Além disso, deve ser reenfatizado que</p><p>apesar do MATLAB e Simulink normalmente adotarem as funções de</p><p>transferência (que usam a variável complexa s) para representar as</p><p>equações diferenciais E/S, suas técnicas de solução numérica são baseadas</p><p>em procedimentos no domínio do tempo e não na teoria de transformada de</p><p>Laplace. Com o objetivo de apenas representar sistemas dinâmicos, pode-se</p><p>simplesmente trocar os símbolos D e s para obter as funções de</p><p>transferência. Também, como se verá nos Capítulos 7, 9 e 10, as funções de</p><p>transferência serão empregadas para analisar a resposta do sistema sem</p><p>fazer uso da teoria da transformada de Laplace (entretanto, tais métodos</p><p>serão apresentados no Capítulo 8, de modo a fornecer ao leitor uma base</p><p>completa da área abordada neste livro). Os dois exemplos a seguir</p><p>demonstram a relação entre a EDO no domínio do tempo e a função de</p><p>transferência.</p><p>Exemplo 5.14</p><p>A Equação (5.89) é a equação E/S de um circuito RLC série do Exemplo</p><p>5.12 (Fig. 5.6), na qual a corrente é a variável de saída y e a fonte de tensão</p><p>é a de entrada u. Desenvolva</p><p>a função de transferência G(s) do sistema que</p><p>relaciona a saída com a entrada usando os seguintes valores numéricos para</p><p>parâmetros do sistema elétrico: resistência R = 2 Ω, indutância L = 0,25 H,</p><p>e capacitância C = 0,4 F.</p><p>Empregando os valores prescritos para os parâmetros elétricos, a</p><p>equação E/S é</p><p>Aplicando o operador D, a Eq. (5.102) se torna</p><p>que pode ser organizada na forma da razão saída-entrada y(t) / u(t)</p><p>Substituindo o operador diferencial D por s obtém-se a função de</p><p>transferência</p><p>O leitor deve ser também capaz de converter uma função de transferência</p><p>em uma equação diferencial E/S.</p><p>Exemplo 5.15</p><p>A Equação (5.106) é a função de transferência entre a variável de saída y(t)</p><p>e da variável de entrada u(t)</p><p>Desenvolva a EDO no domínio do tempo para a equação E/S desse sistema.</p><p>Inicia-se, reescrevendo a função de transferência G(s) com a variável de</p><p>Laplace s substituída pelo operador diferencial D</p><p>Realizando a multiplicação cruzada do termo no denominador da Eq.</p><p>(5.107) (2D2 + 10D + 28) pela saída y, e do termo no numerador (7D + 4)</p><p>pela entrada u tem-se</p><p>Finalmente, aplicando o operador diferencial para produzir os termos de</p><p>derivada no tempo D2y = , Dy = , e Du = , tem-se a equação diferencial</p><p>A Equação (5.109) é a expressão E/S desejada, equivalente à função de</p><p>transferência mostrada na Eq. (5.106). Pode-se dividir a equação E/S por 2</p><p>para ter o coeficiente unitário no termo da derivada de maior ordem,</p><p>fornecendo a equação E/S equivalente</p><p>Com alguma prática, o leitor deve ser capaz de obter funções de</p><p>transferência diretamente das equações E/S (e vice-versa) sem necessidade</p><p>do passo intermediário com o operador D.</p><p>5.7 DIAGRAMAS DE BLOCOS</p><p>Os diagramas de blocos são representações-padrão visuais ou gráficas de</p><p>sistemas interconectados. Cada sistema dinâmico que possui uma relação</p><p>E/S é um “bloco”, que normalmente é uma única função de transferência.</p><p>Outros tipos de blocos incluem fatores multiplicativos (“ganhos”),</p><p>diferenciação e integração (“integradores”) no tempo. Os blocos são</p><p>conectados por caminhos de sinais, que representam o fluxo dos sinais de</p><p>entrada e saída e os cálculos realizados com eles. O fluxo de sinal para um</p><p>bloco representa uma operação matemática, usualmente multiplicação. O</p><p>Simulink é baseado nos diagramas de blocos, que são construídos pela</p><p>conexão dos ícones para vários tipos de blocos existentes nesse ambiente</p><p>computacional (tratado no Capítulo 6 e Apêndice C).</p><p>Componentes-Padrão de Diagramas de Blocos</p><p>A Figura 5.8 mostra a multiplicação do sinal de entrada u pela constante (ou</p><p>ganho) K para produzir o sinal de saída y. O Simulink emprega um bloco na</p><p>forma de triângulo para representar um ganho, uma vez que esse é o</p><p>símbolo tradicional para o amplificador operacional (“op-amp”) usado para</p><p>aumentar sinais elétricos.</p><p>A Figura 5.9 mostra três blocos que representam a integração no tempo</p><p>do sinal de entrada u. A Figura 5.9b mostra a integração como a inversa do</p><p>operador diferencial ou D, enquanto a Figura 5.9c usa a função de</p><p>transferência 1/s para indicar a integração, como é empregado pelo</p><p>Simulink. O valor inicial da saída do integrador, y(0), pode ser ajustado no</p><p>ambiente Simulink (veja o Capítulo 6 e o Apêndice C).</p><p>A Figura 5.10 mostra um bloco função de transferência que representa</p><p>uma equação diferencial E/S. Por exemplo, se a função de transferência</p><p>G(s) na Figura 5.10 é</p><p>a equação E/S correspondente é</p><p>É importante notar que a função de transferência G(s) representa a relação</p><p>E/S ou o modelo matemático de um sistema dinâmico e é independente da</p><p>natureza da função de entrada u(t). Por exemplo, se um sinal de entrada</p><p>arbitrário for aplicado (como uma constante ou uma função senoidal) ao</p><p>diagrama de bloco mostrado na Figura. 5.10, a saída y(t) será determinada</p><p>pela equação E/S (5.112).</p><p>Normalmente é necessário representar a adição ou subtração das</p><p>variáveis dinâmicas em um diagrama de blocos. A Figura 5.11 mostra um</p><p>componente comum conhecido como junção soma. Deve-se incluir um</p><p>sinal de mais ou menos em cada sinal de entrada para indicar adição ou</p><p>subtração.</p><p>Figura 5.8 Bloco ganho.</p><p>Figura 5.9 Blocos integrador: (a) símbolo de integral, (b) símbolo operador D, e (c)</p><p>símbolo função de transferência.</p><p>Figura 5.10 Bloco função de transferência.</p><p>Figura 5.11 Junção soma.</p><p>Exemplo 5.16</p><p>A Figura 5.12 mostra um circuito RL série simples que possui uma fonte de</p><p>tensão eent(t) como entrada. A saída desejada, provavelmente medida por um</p><p>voltímetro, é a tensão através do resistor R. Deseja-se desenhar o diagrama</p><p>de blocos para esse sistema usando (1) um bloco função de transferência e</p><p>(3) um bloco integrador.</p><p>Figura 5.12 Circuito RL série para o Exemplo 5.16.</p><p>Como em todos os problemas, inicia-se pelo modelo matemático.</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões em torno da malha tem-se</p><p>–eL – eR + eent(t) = 0</p><p>na qual a tensão através do indutor é eL = L e a do resistor é eR = RI.</p><p>Organizando todos os termos envolvendo a variável dinâmica (corrente I)</p><p>no lado esquerdo, obtém-se o modelo matemático</p><p>Pode-se obter a função de transferência pela aplicação do operador D na Eq.</p><p>(5.113) e determinando a razão entre a corrente a fonte de tensão chega-se à</p><p>Em seguida, substitui-se s = D para obter a função de transferência G(s)</p><p>Essa função de transferência possui uma fonte de tensão eent(t) como entrada</p><p>e a corrente I como a saída; entretanto, deseja-se a tensão no resistor esai =</p><p>RI como a variável de saída. Assim sendo, deve-se multiplicar a saída da</p><p>função de transferência (corrente) pela resistência R para obter a saída do</p><p>sistema desejada esai. A Figura 5.13a mostra essa configuração em um</p><p>diagrama com dois blocos em série: o sinal de corrente do bloco função de</p><p>transferência é enviado para um bloco ganho com valor R de modo a</p><p>produzir a saída desejada do sistema esai. A Figura 5.13b mostra um</p><p>diagrama de blocos equivalente para o circuito RL, no qual o bloco ganho R</p><p>é simplesmente incorporado na função de transferência.</p><p>Figura 5.13 Diagramas de blocos para o Exemplo 5.16: (a) dois blocos em série e (b) um</p><p>único bloco equivalente.</p><p>Um segundo diagrama de blocos é desenhado para esse sistema usando</p><p>um bloco integrador em vez do bloco função de transferência. A chave para</p><p>desenhar o diagrama de blocos de um sistema por meio de integradores é</p><p>escrever o modelo matemático na forma de variáveis de estado e então</p><p>enviar os sinais que representam cada termo do lado direito das equações de</p><p>estado para os diferentes integradores independentes. Como esse exemplo</p><p>envolve um sistema de primeira ordem, é necessário apenas um bloco</p><p>integrador. Inicia-se reescrevendo a equação do modelo (5.113) na forma de</p><p>estado</p><p>A Equação (5.116) mostra que o caminho do sinal que representa dI /dt</p><p>pode ser construído pelo cálculo da diferença entre a tensão de entrada</p><p>eent(t) e a tensão do resistor esai, multiplicada pelo bloco ganho 1/L. A Figura</p><p>5.14 mostra o diagrama de blocos usando essa abordagem, na qual a junção</p><p>soma é empregada para calcular a diferença de tensão eent(t) – RI. A saída</p><p>do integrador é a corrente I, que é multiplicada pela resistência R para</p><p>produzir a saída desejada. Note que a tensão de saída esai é “realimentada”</p><p>para a junção soma. O leitor deve também notar que todos os sinais em uma</p><p>junção soma têm que possuir as mesmas unidades, que é volts nesse caso.</p><p>Figura 5.14 Diagrama de blocos para o Exemplo 5.16 usando um bloco integrador.</p><p>Exemplo 5.17</p><p>Considere o sistema eletromecânico motor CC apresentado no Capítulo 3 e</p><p>nos Exemplos 5.6 e 5.7. Desenhe o diagrama de blocos completo do motor</p><p>CC usando funções de transferência para representar as dinâmicas do</p><p>circuito da armadura e da mecânica do rotor. A saída desejada do sistema é</p><p>a velocidade angular do rotor, ω.</p><p>O modelo matemático do motor CC consiste em duas EDOs de primeira</p><p>ordem lineares, acopladas</p><p>Foi escolhido utilizar o modelo de primeira ordem do rotor mecânico</p><p>(5.118) porque deseja-se a velocidade angular ω como saída do sistema. A</p><p>função de transferência para o circuito</p><p>da armadura pode ser desenvolvida</p><p>considerando o lado direito da Eq. (5.117) como a entrada u1</p><p>Assim, a função de transferência é</p><p>na qual a entrada é u1 = eent(t) – Kbω, ou a “tensão líquida” dada pela fonte</p><p>de tensão menos a “contrafem”. Similarmente, a função de transferência do</p><p>rotor mecânico pode ser desenvolvida a partir da Eq. (5.118) definindo o</p><p>torque líquido de entrada u2 = KmI – TC,</p><p>A função de transferência mecânica é</p><p>na qual ℒ {ω(t)} = Ω(s) é a transformada de Laplace da velocidade angular,</p><p>e a entrada é o torque do motor menos o torque carga.</p><p>Agora é possível construir o diagrama de blocos completo para o motor</p><p>CC. A função de transferência do circuito da armadura (5.120) irá aparecer</p><p>antes no diagrama, pois sua variável de saída (corrente I) determina o</p><p>torque do motor KmI, que é a entrada da função de transferência mecânica.</p><p>A Figura 5.15 mostra o diagrama de blocos completo do motor CC. Note</p><p>que foram usadas duas junções soma para construir os sinais de entrada u1 =</p><p>eent(t) – Kbω e u2 = KmI – TC. A primeira junção soma é a “tensão líquida”</p><p>entrada para o circuito da armadura, e a segunda produz o “torque líquido”</p><p>entrada para o rotor mecânico. A saída da função de transferência do</p><p>circuito (corrente I) é multiplicada pela constante (ganho) Km para produzir</p><p>o torque do motor. De maneira similar, a saída da função de transferência</p><p>mecânica (velocidade angular ω) é multiplicada pela constante (ganho) Kb</p><p>para produzir a tensão “contrafem” que é realimentada para a fonte de</p><p>tensão. Note que os sinais em cada junção soma possuem as mesmas</p><p>unidades (volts na primeira junção, e N·m na segunda).</p><p>Figura 5.15 Diagrama de blocos para o motor CC (Exemplo 5.17).</p><p>5.8 FUNÇÕES DE ENTRADA-PADRÃO</p><p>As seções anteriores apresentaram várias formas-padrão de modelagem</p><p>para sistemas dinâmicos. Em todos os casos o sistema dinâmico consistia</p><p>em equações diferenciais com uma ou mais variáveis de entrada e saída. Os</p><p>próximos capítulos enfatizam a obtenção da saída ou resposta do sistema</p><p>para uma função de entrada desejada. O desempenho do sistema dinâmico</p><p>(como a velocidade de resposta e os atributos de amortecimento) é</p><p>normalmente caracterizado pela resposta a algumas funções de entrada-</p><p>padrão, que podem ser consideradas como “sinais de teste” para a avaliação</p><p>da resposta dinâmica dos sistemas. Muitas funções de entrada-padrão</p><p>possuem como base entradas realistas ou esperadas para o sistema</p><p>dinâmico.</p><p>Entrada em Degrau</p><p>Uma função de entrada em degrau exibe uma variação súbita, instantânea,</p><p>a partir de um valor constante para outro valor constante. A função de</p><p>entrada em degrau unitário U(t) “varia em degrau” de zero para um no</p><p>instante t = 0+</p><p>Pode-se representar uma entrada em degrau com amplitude A como u(t) =</p><p>AU(t). Por exemplo, uma força súbita constante de 30 N aplicada no</p><p>instante t = 0 pode ser representada como u(t) = 30U(t) N.</p><p>Entrada em Rampa</p><p>Uma função de entrada em rampa aumenta linearmente com o tempo com</p><p>uma taxa constante. A rampa unitária é dada por u(t) = t, cuja “inclinação” é</p><p>claramente du/dt = 1. Uma rampa genérica é dada por u(t) = at na qual a é a</p><p>inclinação, que pode ser positiva ou negativa.</p><p>Entrada em Degrau com Rampa</p><p>Uma função de entrada em degrau com rampa exibe uma “rampa de</p><p>subida” (ou “rampa de descida) linear de zero a um valor constante (ou</p><p>degrau). Assim, a função em degrau com rampa é caracterizada pela</p><p>inclinação a e a amplitude do degrau A</p><p>Logicamente, o instante de tempo final da rampa é t1 = A/a. Em alguns</p><p>casos a entrada em degrau com rampa é uma representação mais realista</p><p>para a entrada em degrau, pois a maioria dos sistemas físicos requer um</p><p>intervalo de tempo finito de modo a atingir um novo valor constante.</p><p>Entrada em Pulso</p><p>Uma entrada em pulso consiste em uma entrada constante (degrau) que se</p><p>mantém por uma duração finita, e instantaneamente volta para zero. Assim</p><p>sendo, uma entrada em pulso com amplitude constante A pode ser descrita</p><p>como</p><p>Na Eq. (5.125), a entrada em pulso atinge a amplitude A no instante t = 0, e</p><p>depois volta para zero em t = t1.</p><p>Entrada em Impulso</p><p>Uma função impulso é normalmente empregada para representar uma</p><p>entrada com amplitude constante que existe em um intervalo de tempo</p><p>muito pequeno, e pode ser tratada como uma função pulso na qual a</p><p>duração tende à zero no limite. Por exemplo, considere uma entrada em</p><p>pulso que consiste em uma força de 150 N que dura 0,1 s como mostrado na</p><p>Figura 5.16a. A partir dos conceitos de engenharia mecânica, sabe-se que o</p><p>impulso da força é a integral no tempo, e, portanto, a área (ou impulso) é 15</p><p>N·s. A Figura 5.16b mostra a entrada em pulso com o dobro da força (300</p><p>N) com a metade da duração (0,05 s) de tal maneira que a área permanece</p><p>em 15 N·s. Se a área for mantida conforme a duração do pulso for reduzida</p><p>para zero, a amplitude se aproxima do infinito e a entrada se torna uma</p><p>função impulso com “intensidade” ou “peso” de 15 N·s.</p><p>Figura 5.16 Entradas em pulso de força com um impulso de 15 N·s.</p><p>No exemplo mostrado na Figura 5.16, a função pulso tem uma área de</p><p>15 N·s. Porém se a função pulso original possuir uma área unitária, pode-se</p><p>definir a função impulso unitário pela manutenção da área e redução da</p><p>duração para zero, o que matematicamente é representado pela função delta</p><p>de Dirac δ(t), descrita por</p><p>A função impulso δ(t) não existe na natureza por causa da sua</p><p>descontinuidade, e aplicá-la como entrada em um sistema provoca uma</p><p>variação instantânea na sua energia. Uma função impulso Aδ(t) possui</p><p>“intensidade” ou “peso” A, que pode representar um pulso muito “estreito”</p><p>com área A. Por exemplo, a entrada em força impulsiva mostrada na Figura</p><p>5.16 pode ser representada matematicamente como f(t) = 15δ(t) (em N), na</p><p>qual a área (ou intensidade) A = 15 N·s e a função delta de Dirac δ(t) possui</p><p>unidade s–1. A função impulso pode ser graficamente representada por uma</p><p>seta (com o valor de sua intensidade) localizada no ponto apropriado sobre</p><p>o eixo do tempo.</p><p>Entrada Senoidal</p><p>Uma função de entrada senoidal é um sinal repetitivo, periódico, que pode</p><p>ser representado por funções seno e/ou cosseno</p><p>na qual A e B são as amplitudes e ω é a frequência em rad/s. Se a entrada</p><p>senoidal é zero no instante t = 0, então deve-se usar u(t) = A sen ωt. As</p><p>entradas senoidais são empregadas para representar excitações periódicas</p><p>tais como forças em sistemas mecânicos e fontes de tensão em sistemas</p><p>elétricos oscilatórias. Algumas vezes a frequência dos sinais de entrada é</p><p>dada em unidades de hertz (Hz) ou ciclos por segundo. A frequência</p><p>angular ω é maior do que a frequência em hertz por um fator de 2π, por</p><p>exemplo, ω = 2π rad/s = 1 Hz (ou ciclos por segundo). A resposta de um</p><p>sistema à entrada senoidal é denominada resposta em frequência e é</p><p>estudada em detalhes no Capítulo 9.</p><p>SUMÁRIO</p><p>Neste capítulo foram introduzidas e discutidas as formas-padrão para</p><p>representar modelos matemáticos de sistemas físicos, que incluem: (1)</p><p>equações em variáveis de estado, (2) representação no espaço de estado</p><p>(REE), (3) equações entrada-saída (E/S), (4) funções de transferência e (5)</p><p>diagrama de blocos. Logicamente, a dinâmica do sistema (definida por um</p><p>conjunto de EDOs) não é alterada se for escolhida para representá-la em</p><p>uma ou mais diferentes formas-padrão. Como será visto nos próximos</p><p>capítulos, cada forma-padrão possui vantagens e desvantagens quando se</p><p>deseja obter a resposta do sistema por meio de simulação numérica ou</p><p>técnicas analíticas.</p><p>As equações em variáveis de estado são um conjunto de n equações</p><p>diferenciais de primeira ordem, que podem ser lineares ou não lineares.</p><p>Uma REE é um formato matriz-vetor conveniente para as equações em</p><p>variáveis de estado, que pode ser aplicada apenas às EDOs lineares. Como</p><p>será visto no Capítulo 6, a REE é muito adequada para simulações</p><p>computacionais de sistemas dinâmicos lineares. Uma equação E/S é uma</p><p>única EDO de na. ordem que inclui uma variável de saída e uma ou mais</p><p>variáveis de entrada. Uma função de transferência, por definição, é a razão</p><p>entre</p><p>as transformadas de Laplace das variáveis de saída e entrada para</p><p>condições iniciais nulas. Neste texto, será enfatizado o uso das funções de</p><p>transferência para representar a dinâmica de um sistema de uma única</p><p>entrada e uma única saída (SISO). Neste capítulo, foi demonstrado como</p><p>obter a função de transferência pela aplicação do operador diferencial (ou</p><p>D) à equação E/S.</p><p>Também foram apresentados os passos básicos do procedimento de</p><p>linearização, que permite desenvolver um modelo linear que representa o</p><p>sistema dinâmico nas vizinhanças de um ponto de operação nominal. Desse</p><p>modo, pode-se aplicar o procedimento de linearização às equações não</p><p>lineares em variáveis de estado para obter uma REE na forma matriz-vetor.</p><p>Finalmente, foram apresentados os diagramas de blocos, uma</p><p>representação gráfica para sistemas dinâmicos, na qual as variáveis</p><p>dinâmicas são indicadas por meio do caminho dos sinais, e operações tais</p><p>como adição, multiplicação, e integração são representadas por “blocos”</p><p>com variáveis de entrada e de saída. Os diagramas de blocos são a base do</p><p>programa Simulink, uma ferramenta extremamente poderosa de simulação</p><p>numérica, que será o foco do próximo capítulo.</p><p>PROBLEMAS</p><p>5.1</p><p>5.2</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>5.3</p><p>5.4</p><p>5.5</p><p>Problemas Conceituais</p><p>Desenvolva as equações no espaço de estado para o sistema</p><p>modelado pelas seguintes EDOs nas quais α, w e z são as variáveis</p><p>dinâmicas e v é a entrada.</p><p>Dada a seguinte equação de um sistema</p><p>Obtenha uma REE completa com entrada u e saída y = .</p><p>Desenvolva a função de transferência do sistema G(s) =</p><p>Z(s)/U(s).</p><p>Desenvolva a função de transferência do sistema Y(s)/U(s), na</p><p>qual a saída y = .</p><p>Obtenha uma REE completa para o sistema dado, com entrada u = v</p><p>e variáveis de saída y1 = e y2 = w – z.</p><p>Dado o sistema não linear de primeira ordem</p><p>Desenvolva o modelo linear realizando a linearização em torno do</p><p>estado de equilíbrio estático x* resultante de quando a entrada</p><p>nominal é u* = 0,25.</p><p>Dado o sistema não linear de segunda ordem</p><p>5.6</p><p>5.7</p><p>5.8</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.9</p><p>Desenvolva o modelo linear realizando a linearização em torno do</p><p>vetor de equilíbrio estático x* = [x*1 x*2]T resultante de quando a</p><p>entrada nominal é u* = 1. Represente o modelo linear por uma</p><p>equação de estado matriz-vetor.</p><p>Desenvolva a função de transferência G(s) = Y(s)/U(s), dada a</p><p>equação E/S</p><p>O modelo matemático de um sistema é</p><p>Desenvolva a função de transferência global do sistema, na qual y é</p><p>a saída e u é a entrada.</p><p>Dada a REE</p><p>Obtenha a equação E/S desse sistema, na qual y é a saída e u é a</p><p>entrada.</p><p>Obtenha a função de transferência do sistema.</p><p>Dada a REE</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.10</p><p>5.11</p><p>Obtenha a equação E/S desse sistema, na qual y é a saída e u é a</p><p>entrada.</p><p>Obtenha a função de transferência.</p><p>Um simples sistema mecânico de 1 GL é mostrado na Figura P5.10</p><p>(veja o Problema 2.2). O sistema é comandado pelo deslocamento</p><p>da extremidade esquerda, xent(t), que pode ser fornecido por um</p><p>came rotatório e um seguidor. Quando o deslocamento é xent(t) = 0 e</p><p>x = 0, a mola k não está comprimida ou tracionada. Desenvolva a</p><p>função de transferência do sistema com a posição x como a variável</p><p>de saída e o deslocamento xent(t) como a de entrada.</p><p>Figura P5.10</p><p>Um circuito RLC com um resistor paralelo de desvio (veja o</p><p>Problema 3.10) é mostrado na Figura P5.11. Obtenha uma REE</p><p>completa com a fonte de tensão eent(t) como entrada e a tensão</p><p>através do capacitor eC como saída.</p><p>Figura P5.11</p><p>5.12</p><p>5.13</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.14</p><p>Considere novamente o atuador solenoide analisado no Exemplo</p><p>5.3. Pode-se expressar as equações em variáveis de estado obtidas</p><p>no Exemplo 5.3 na forma REE matriz-vetor? Justifique a resposta.</p><p>O sistema de isolamento de vibrações do Problema 2.1 é mostrado</p><p>na Figura P5.13. O amortecedor b1 conecta a massa m à superfície</p><p>horizontal fixa superior. Os absorvedores de vibração que suportam</p><p>a massa sobre a base móvel são modelados por uma rigidez k e um</p><p>atrito viscoso b concentrados.</p><p>Obtenha uma REE completa desse sistema mecânico, na qual a</p><p>posição da massa é a saída e as duas variáveis de entrada são o</p><p>deslocamento e a velocidade da base, zent(t) e ent(t).</p><p>Desenvolva a função de transferência G(s) = Z(s)/Zent(s) do</p><p>sistema.</p><p>Figura P5.13</p><p>A Figura P5.14 mostra um sistema massa-amortecedor de 1 GL</p><p>(Problema 2.3). O deslocamento x é medido a partir de uma posição</p><p>de equilíbrio, na qual o amortecedor está na condição “neutra”. A</p><p>força externa fa(t) é a variável de entrada.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.15</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>5.16</p><p>Figura P5.14</p><p>Desenvolva a função de transferência do sistema mecânico, na</p><p>qual a posição x é a variável de saída.</p><p>Desenvolva a função de transferência com a velocidade v(t) =</p><p>(t) com a variável de saída.</p><p>A Figura P5.15 mostra o sistema mecânico de 2 GLs com uma única</p><p>massa do Problema 2.4 no Capítulo 2. Os deslocamentos</p><p>independentes são z1 da massa m e z2 do nó (ponto) entre o</p><p>amortecedor b e a mola k.</p><p>Figura P5.15</p><p>Obtenha uma REE para esse sistema mecânico, na qual a</p><p>posição da massa é a saída e a força aplicada é a entrada.</p><p>Desenvolva a equação E/S usando o método do operador D.</p><p>Use o resultado da parte (b) para desenvolver a função de</p><p>transferência desse sistema.</p><p>A Figura P5.16 mostra o sistema mecânico de 2 GLs com uma única</p><p>massa do Problema 2.5 no Capítulo 2. Note que a conexão série</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.17</p><p>entre o amortecedor e a mola é invertida em relação ao Problema</p><p>5.15.</p><p>Figura P5.16</p><p>Obtenha uma REE para esse sistema mecânico, na qual a</p><p>posição da massa é a saída e a força aplicada é a entrada.</p><p>Desenvolva a equação E/S usando o método do operador D.</p><p>Mostre que as equações E/S (e portanto, a função de</p><p>transferência) para os sistemas mostrados nas Figs. P5.15 e</p><p>P5.16 são idênticas. Assim sendo, ambas as conexões série entre</p><p>mola e amortecedor resultam na mesma dinâmica para o</p><p>sistema.</p><p>Um sistema elétrico é apresentado na Figura P5.17 (veja o Problema</p><p>3.7). Obtenha uma REE completa, na qual a fonte de tensão eent(t) é</p><p>a entrada e as duas variáveis de saída são as quedas de tensão</p><p>através do resistor R e do capacitor C2, respectivamente.</p><p>5.18</p><p>5.19</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.20</p><p>Figura P5.17</p><p>Esboce o diagrama de blocos para o sistema de terceira ordem no</p><p>Problema 5.6 usando o método do bloco integrador. Rotule todos os</p><p>blocos e as variáveis do caminho dos sinais.</p><p>As equações que modelam um sistema linear são dadas abaixo. As</p><p>variáveis de entrada e saída do sistema como um todo são u e y,</p><p>respectivamente.</p><p>Esboce o diagrama de blocos mais simples possível para o caso</p><p>no qual todas as variáveis possuem condição inicial zero. Rotule</p><p>todos os blocos e as variáveis do caminho dos sinais.</p><p>Esboce o diagrama de blocos usando o método dos blocos</p><p>integradores para o caso, no qual condições iniciais não nulas</p><p>estão presentes; isso é: z(0) = 2 e y(0) = – 3. Rotule todos os</p><p>blocos e as variáveis do caminho dos sinais.</p><p>Esboce o diagrama de blocos mais simples possível para o seguinte</p><p>sistema:</p><p>Todas as variáveis dinâmicas possuem condição inicial nula. O</p><p>parâmetro K é uma constante ou “ganho”. Rotule todas as variáveis</p><p>do caminho dos sinais.</p><p>Problemas MATLAB</p><p>5.21</p><p>5.22</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>Uma bomba centrífuga possui a seguinte relação pressão-vazão não</p><p>linear</p><p>na qual Q é a vazão volumétrica (em m3/s) e P é a pressão de saída</p><p>da bomba (em Pa). O modelo da bomba é válido para 0 < Q ≤</p><p>0,0175 m3/s. A vazão volumétrica nominal (de operação) é 0,008</p><p>m3/s. Desenvolva um modelo linear para a pressão da bomba em</p><p>torno do ponto de operação (nominal). Trace um gráfico para as</p><p>pressões da bomba verdadeira (não nominal) e aproximada</p><p>(linearizada) versus a vazão volumétrica entre 0 < Q < 0,0175 m3/s.</p><p>Comente sobre a faixa de precisão do modelo linear da bomba.</p><p>A indutância de um atuador solenoide varia com a posição da</p><p>armadura (ou curso) x e pode ser modelada pela expressão não</p><p>linear</p><p>Para um enrolamento específico do solenoide, a constante d = 7,8</p><p>mm e a indutância no curso zero é L0 = 0,006 H. Note que a</p><p>indutância L(x) aumenta com o curso x conforme a armadura se</p><p>move para o centro do enrolamento.</p><p>Desenvolva uma aproximação linearizada para</p><p>a indutância L(x)</p><p>em torno do curso nominal x* = 1 mm.</p><p>Trace um gráfico da indutância (verdadeira) não linear L(x) e da</p><p>aproximação linearizada para um curso 0 < x < 3 mm.</p><p>Trace um gráfico para o erro percentual entre as indutâncias</p><p>linear e não linear versus o curso e comente sobre a precisão da</p><p>5.23</p><p>5.24</p><p>aproximação linear.</p><p>Aplicações de Engenharia</p><p>A Figura P5.23 mostra o atuador hidromecânico do Exemplo 4.2 no</p><p>Capítulo 4. Obtenha o conjunto completo de equações no espaço de</p><p>estado para esse sistema (note que a posição do pistão é redefinida</p><p>como z, de tal modo que x pode ser usada como variável de estado).</p><p>Identifique as variáveis de estado e de entrada.</p><p>Figura P5.23</p><p>A Figura P5.24 mostra um sistema elétrico conhecido como</p><p>conversor “buck”, que é um circuito usado para diminuir uma fonte</p><p>de tensão eent(t) em uma tensão de saída menor desejada (veja o</p><p>Problema 3.27 no Capítulo 3). O conversor de diminuição de tensão</p><p>usa uma chave para conectar e desconectar a fonte de tensão eent(t)</p><p>dos demais elementos do circuito até que a tensão de saída e0 = eC</p><p>seja igual à tensão desejada.</p><p>5.25</p><p>Figura P5.24</p><p>Obtenha uma REE completa para o circuito conversor, na qual os</p><p>estados são as variáveis dinâmicas associadas com os elementos</p><p>armazenadores de energia, e0 é a saída do sistema e eent(t) é a</p><p>entrada.</p><p>A Figura P5.25 mostra o sistema elétrico (filtro elimina banda ou</p><p>filtro “notch”) do Problema 3.29. Esses circuitos são usados para</p><p>“eliminar” ou atenuar sinais de entrada em certa faixa de</p><p>frequências. Por exemplo, os filtros elimina banda são usados em</p><p>veículos aeroespaciais para remover vibrações mecânicas</p><p>transmitidas para os sensores como giroscópios e acelerômetros.</p><p>Desenvolva a função de transferência G(s) desse filtro, na qual a</p><p>tensão e0 é a saída desejada e a fonte de tensão eent(t) é a entrada.</p><p>Figura P5.25</p><p>5.26</p><p>5.27</p><p>a.</p><p>b.</p><p>5.28</p><p>5.29</p><p>Obtenha a REE completa para o filtro elimina banda descrito no</p><p>Problema 5.25, na qual os estados são as variáveis dinâmicas</p><p>associadas aos elementos armazenadores de energia, e0 é a saída do</p><p>sistema e eent(t) é a entrada.</p><p>Uma representação linear, simplificada, de um atuador eletro-</p><p>hidráulico (AEH) consiste nos modelos de um amplificador de</p><p>potência, de um solenoide e de uma válvula mecânica. As equações</p><p>E/S lineares para cada subsistema são</p><p>nas quais eent(t) é a tensão de baixa potência de entrada do</p><p>amplificador, e0 é a tensão de saída do amplificador, f é a força de</p><p>saída do atuador solenoide (em N) e z é a posição da massa m da</p><p>válvula carretel (em m).</p><p>Obtenha uma REE completa com a posição da válvula z como a</p><p>única variável de saída.</p><p>Desenvolva as funções de transferência para cada subsistema do</p><p>AEH. Esboce um diagrama de blocos do sistema AEH completo.</p><p>Assuma que todas as variáveis dinâmicas possuam condição</p><p>inicial nula. Rotule todos os blocos e as variáveis do caminho</p><p>dos sinais (com unidades).</p><p>Usando as equações que modelam o amplificador de potência e o</p><p>solenoide do sistema AEH no Problema 5.27, desenvolva a equação</p><p>E/S com a tensão de baixa potência eent(t) como variável de entrada e</p><p>a força do solenoide f como a saída.</p><p>A Figura P5.29 mostra o sistema mecânico de duplo disco do</p><p>Exemplo 2.9 no Capítulo 2. Lembre-se de que esse sistema foi</p><p>5.30</p><p>5.31</p><p>proposto como um eficiente gerador para veículos híbridos. Obtenha</p><p>uma REE completa com o deslocamento angular relativo θ2 – θ1</p><p>como a variável de saída, e o torque Tent(t) como variável de entrada.</p><p>Figura P5.29</p><p>Um modelo simplificado de um atuador solenoide é</p><p>no qual z é a posição do subsistema mecânico massa-mola-</p><p>amortecedor e I é a corrente no circuito da armadura do solenoide. A</p><p>única entrada do sistema é a fonte de tensão eent(t). Obtenha uma</p><p>REE completa com a posição da massa (z) como a única variável de</p><p>saída.</p><p>A Figura P5.31 mostra o sistema ferroviário locomotiva-vagões do</p><p>Problema 2.29 (Capítulo 2). Obtenha uma REE completa na qual a</p><p>força da locomotiva Fa(t) é a entrada e as duas saídas medidas são a</p><p>velocidade da locomotiva (massa m1) e o deslocamento relativo</p><p>entre a locomotiva e o vagão 1 (isto é, z1 – z2).</p><p>5.32</p><p>5.33</p><p>Figura P5.31</p><p>Considere novamente o sistema assento-suspensão apresentado no</p><p>Exemplo 5.8 e Figura 5.3. Obtenha a REE completa empregando a</p><p>entrada única u = z0(t). As duas variáveis de saída são a posição e a</p><p>aceleração do motorista, z2 e 2, respectivamente. [Sugestão: defina a</p><p>segunda variável de estado como x2 = 1 – b1z0(t)/m1.]</p><p>As Figuras P5.33a e P5.33b mostram o sistema pantógrafo descrito</p><p>no Problema 2.27 (Capítulo 2). Obtenha a REE completa na qual as</p><p>duas entradas são o deslocamento do cabo aéreo zc(t) e a força do</p><p>pistão fa(t), e as duas saídas medidas são a força (compressiva) de</p><p>contato entre o cabo e a massa da cabeça e o deslocamento entre as</p><p>massas de cabeça e da estrutura (isto é, z1 – z2). Deve-se assumir que</p><p>a mola k está sempre comprimida.</p><p>5.34</p><p>Figura P5.33a</p><p>Figura P5.33b</p><p>A Figura P5.34 mostra o sistema de levitação magnética descrito no</p><p>Problema 3.33 (Capítulo 3). Lembre-se de que a força</p><p>eletromagnética é</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>na qual KF é a “constante de força” que depende do número de</p><p>espiras do enrolamento, das propriedades do material do núcleo</p><p>eletromagnético e da geometria do eletroímã; I é a corrente no</p><p>enrolamento; e z é a posição da esfera metálica medida para cima a</p><p>partir de uma posição fixa de repouso. A distância d é uma constante</p><p>igual ao entreferro nominal a partir da ponta do eletroímã e a esfera</p><p>para uma corrente nominal no enrolamento de 0,8 A. A fonte de</p><p>tensão eent(t) é a entrada para o circuito eletromagnético. O sistema</p><p>possui os seguintes parâmetros:</p><p>Indutância da bobina L = 0,018 H</p><p>Resistência R = 5 Ω</p><p>Constante de força KF = 2,6487(10–5) N·m2/A2</p><p>Massa da esfera metálica m = 0,003 kg</p><p>Desenvolva o conjunto completo de equações em variáveis de</p><p>estado [Sugestão: trate a aceleração da gravidade g como a</p><p>segunda variável de entrada].</p><p>Se a entrada de tensão nominal é e*ent(t) = 4 V e a corrente</p><p>nominal no enrolamento é I* = 0,8 A, calcule a distância</p><p>nominal (constante) de levitação d (o entreferro) na posição de</p><p>equilíbrio estático z* = 0.</p><p>Linearize as equações em variáveis de estado da parte (a) e</p><p>obtenha uma REE com a perturbação na esfera a partir da</p><p>posição nominal como a saída do sistema. O que acontece com a</p><p>força gravitacional no sistema linearizado?</p><p>5.35</p><p>Figura P5.34</p><p>A Figura P5.35a mostra um diagrama esquemático do sistema de</p><p>leitura óptica de discos de computador descrito no Problema 2.26</p><p>(Capítulo 2) e a Figura P5.35b mostra uma representação mecânica</p><p>simplificada desse sistema em parâmetros concentrados.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>Figura P5.35a</p><p>Figura P5.35b</p><p>Desenvolva uma equação E/S para o sistema com o</p><p>deslocamento da massa da cabeça de leitura z1 como saída, e o</p><p>da estrutura zent(t) como entrada.</p><p>Desenvolva a função de transferência do sistema, na qual o</p><p>deslocamento da massa da cabeça de leitura z1 é a saída, e o da</p><p>estrutura zent(t) é a entrada.</p><p>6.1 INTRODUÇÃO</p><p>A primeira seção deste livro enfatizou como desenvolver modelos</p><p>matemáticos de diversos sistemas físicos de engenharia. No Capítulo 5,</p><p>esses modelos (isto é, as equações diferenciais ordinárias, ou EDOs) foram</p><p>escritos em diferentes “formas-padrão”, incluindo as equações em variáveis</p><p>de estado, a representação no espaço de estado (REE), as equações entrada-</p><p>saída (E/S), e funções de transferência. Deve ser observado que a dinâmica</p><p>do sistema não é alterada quando se escolhe representar o modelo</p><p>matemático em determinada “forma-padrão” como a REE ou uma função</p><p>de transferência. O Capítulo 5 é concluído com a apresentação dos</p><p>diagramas de blocos, uma representação gráfica de sistemas interconectados</p><p>que define claramente os sinais de entrada e saída e na qual os “blocos”</p><p>indicam relações E/S específicas.</p><p>Desenvolver um modelo matemático é sempre o primeiro passo na</p><p>análise e projeto de sistemas dinâmicos. Determinar a resposta do sistema a</p><p>uma entrada específica (isto é, resolver as EDOs) é o segundo passo, pois o</p><p>engenheiro está interessado</p><p>em características, tais como velocidade de</p><p>resposta, valor máximo da saída e o tempo para atingir o regime</p><p>permanente ou uma saída constante. Uma vez que o modelo matemático</p><p>tenha sido desenvolvido, o engenheiro tem duas opções para determinar a</p><p>resposta do sistema: (1) métodos analíticos ou (2) simulações numéricas</p><p>usando um computador digital. As técnicas analíticas envolvem resolver as</p><p>EDOs “na mão”, o que é factível para sistemas lineares, invariantes no</p><p>tempo (LIT) de primeira ou segunda ordem. Os engenheiros devem ser</p><p>capazes de identificar as características fundamentais da resposta desses</p><p>sistemas de primeira e segunda ordem LIT pela aplicação de alguns</p><p>cálculos analíticos relativamente simples, que serão discutidos no Capítulo</p><p>7. Entretanto, quando a dinâmica do sistema envolve termos não lineares,</p><p>uma simulação numérica é a única opção para determinar sua resposta.</p><p>Além disso, é também a melhor maneira para obter a resposta de sistemas</p><p>reais de elevada ordem que envolvem a interação de múltiplas entradas e</p><p>saídas.</p><p>A simulação é o procedimento de obter a resposta dinâmica dos</p><p>sistemas pela solução numérica das equações que os modelam; em outras</p><p>palavras, a integração numérica das equações diferenciais dos modelos.</p><p>Neste capítulo, será introduzido o programa de simulação MATLAB e serão</p><p>apresentados diversos exemplos que ilustram a simulação de sistemas</p><p>dinâmicos. Os dois objetivos deste capítulo são (1) simular sistemas LIT</p><p>empregando comandos internos do MATLAB e (2) explicar como construir</p><p>e executar a simulação de um sistema dinâmico utilizando o Simulink, um</p><p>programa gráfico do MATLAB. Como os comandos internos do MATLAB</p><p>podem ser usados apenas para simular sistemas LIT (enquanto o Simulink</p><p>pode tratar ambos os modelos lineares e não lineares), o Simulink é o foco</p><p>primário deste capítulo e a principal ferramenta de simulação no restante do</p><p>livro. Inicia-se a discussão com sistemas lineares simples e no final do</p><p>capítulo serão tratados sistemas mais complexos, integrados, com</p><p>componentes lineares e não lineares interconectados.</p><p>6.2 RESPOSTAS DE SISTEMAS USANDO COMANDOS MATLAB</p><p>O MATLAB possui um conjunto de comandos internos para obtenção da</p><p>resposta de um sistema dinâmico linear dadas as suas condições iniciais</p><p>e/ou funções de entrada. Deve ser enfatizado que esses comandos</p><p>MATLAB podem ser usados apenas para sistemas lineares. Além disso,</p><p>eles são fáceis de serem empregados e permitem ao usuário rapidamente</p><p>obter a resposta dinâmica do sistema linear que pode ser representado por</p><p>uma função de transferência ou pela REE. O Apêndice B apresenta uma</p><p>introdução básica ao uso do MATLAB e a Tabela B.2 resume vários dos</p><p>seus comandos úteis para simulação de sistemas dinâmicos.</p><p>Os quatro comandos MATLAB básicos para simulação apresentados</p><p>serão step, impulse, lsim e initial. Todos requerem que o usuário defina</p><p>o modelo do sistema LIT usando o formato função de transferência ou o</p><p>REE. Por exemplo, considere a equação E/S de segunda ordem</p><p>Aplicando o operador D para substituir os termos derivativos, isso é, =</p><p>Dy, e = D2y, a Eq. (6.1) se torna</p><p>Em seguida, formando a razão da saída pela entrada e substituindo o</p><p>operador D pela variável de Laplace s encontra-se a função de transferência</p><p>G(s)</p><p>Os seguintes comandos MATLAB geram o objeto sys que representa a</p><p>função de transferência na Eq. (6.3)</p><p>>> numG = 0.8; % numerador de G(s) = 0,8/(s2 + 3s + 12)</p><p>>> denG = [1 3 12]; % denominador de G(s) = 0,8/(s2 + 3s + 12)</p><p>>> sys = tf(numG,denG) % criação da função de transferência LIT</p><p>G(s)</p><p>Note que denG é um vetor linha com os coeficientes do polinômio do</p><p>denominador em potências decrescentes de s. Após executar os comandos,</p><p>o MATLAB apresenta na tela sys como</p><p>Transfer function:</p><p>0.8</p><p>--------------</p><p>s^2 + 3 s + 12</p><p>de tal modo que o usuário possa verificar se definiu corretamente a função</p><p>de transferência desejada. Em seguida, o usuário pode obter um gráfico da</p><p>resposta ao degrau unitário usando o comando interno MATLAB step da</p><p>seguinte forma</p><p>>> step(sys)</p><p>O comando step simula a resposta à entrada u(t) = U(t) e automaticamente</p><p>traça o gráfico da saída y(t) na tela. Nesse caso, o sistema LIT sys é a</p><p>função de transferência G(s).</p><p>De maneira similar, o comando interno MATLAB impulse simula a</p><p>resposta ao impulso unitário u(t) = δ(t):</p><p>>> impulse(sys)</p><p>Como anteriormente, um gráfico da resposta é automaticamente gerado. O</p><p>usuário tem a opção de definir um vetor de tempo t para a simulação e</p><p>introduzi-lo como argumento no comando step, de modo a gerar um</p><p>gráfico de acordo com seu interesse, conforme mostrado a seguir</p><p>>> t = 0:0.01:5; % definição do vetor tempo de 0 a 5 em</p><p>passos de Δt = 0,01 s</p><p>>> [y,t] = step(sys,t); % determinação da resposta ao degrau</p><p>unitário y(t) (sem gráfico)</p><p>>> plot(t,y) % traçar o gráfico da resposta ao degrau</p><p>unitário y(t)</p><p>Pode-se também empregar os comandos step e impulse com o sistema</p><p>LIT definido em sys como uma representação no espaço de estado. Usando</p><p>o modelo da Eq. (6.1), pode-se definir a seguinte REE para os estados x1 = y</p><p>e x2 =</p><p>Em seguida, defina as matrizes da REE notando que o MATLAB emprega</p><p>colchetes para indicar matrizes e vetores, nos quais cada linha é separada</p><p>por um ponto e vírgula (veja o Apêndice B com o tutorial básico</p><p>MATLAB):</p><p>>> A = [ 0 1 ; -12 -3 ]; % definição da matriz de estado A</p><p>>> B = [ 0 ; 0.8 ]; % definição da matriz de entrada B</p><p>>> C = [ 1 0 ]; % definição da matriz de saída C</p><p>>> D = 0; % definição da “matriz” de ligação direta D</p><p>Pode-se gerar o objeto sys com a REE por meio do comando ss</p><p>>> sys = ss(A,B,C,D)</p><p>Finalmente, pode-se simular e traçar os gráficos das respostas ao degrau ou</p><p>impulso unitários empregando os comandos step e impulse com o objeto</p><p>sys da REE representando a dinâmica do sistema. Como a função de</p><p>transferência Eq. (6.3) e a REE Eq. (6.4) representam o sistema dinâmico,</p><p>isso é, a Eq. (6.1), os resultados da simulação serão idênticos se for</p><p>escolhido definir sys a partir de tf(numG,denG) ou ss(A, B, C, D).</p><p>O comando MATLAB lsim (“simulação linear” em inglês) permite</p><p>simular a resposta de um sistema linear a uma função de entrada arbitrária</p><p>definida pelo usuário. Por exemplo, suponha que a entrada desejada é um</p><p>pulso com amplitude 20 que dura 5 s. Para simular a resposta ao pulso,</p><p>digitam-se os comandos</p><p>>> t = 0:0.01:10; % definição do vetor tempo de 0 a 10 em</p><p>passos de Δt = 0,01 s</p><p>>> u(1:501) = 20; % definição do pulso u(t) = 20 para 0 ≤ t ≤ 5</p><p>s</p><p>>> u(502:1001) = 0; % definição da entrada nula pulso u(t) = 0</p><p>para t > 5 s</p><p>>> [y,t] = lsim(sys,u,t); % obtenção da saída do sistema y(t) para a</p><p>entrada definida pelo usuário u(t)</p><p>O leitor deve notar que os três primeiros comandos definem os vetores</p><p>tempo t e pulso de entrada u. É óbvio que o objeto sys deve ser definido e</p><p>o usuário pode escolher uma função de transferência ou REE.</p><p>Os comandos internos MATLAB step e impulse assumem que o</p><p>sistema LIT possui condição inicial nula (é claro, por definição os sistemas</p><p>representados por função de transferência têm condições iniciais nulas). Em</p><p>vários casos deseja-se simular sistemas com condições iniciais não nulas</p><p>(assim o sistema deve ser gerado como um modelo no espaço de estado).</p><p>Pode-se incluir as condições iniciais usando os comandos MATLAB lsim e</p><p>initial. O comando lsim é modificado adicionando o vetor de estado</p><p>inicial x0 na lista de argumentos do lado direito:</p><p>>> [y,t] = lsim(sys,u,t,x0);</p><p>Como anteriormente, o usuário pode definir os vetores de entrada u e do</p><p>tempo de simulação t. É claro, as condições iniciais x0 podem ser usadas</p><p>apenas quando o objeto sys é definido por uma REE.</p><p>O comando initial simula a resposta de um sistema LIT para suas</p><p>condições iniciais (com entrada nula). Se existem condições iniciais, o</p><p>usuário deve definir o sistema usando um modelo no espaço de estado. O</p><p>emprego de initial é similar ao dos comandos step, impulse e lsim:</p><p>>> [y,t] = initial(sys,x0,t);</p><p>Novamente, deve-se enfatizar que o comando initial não pode ser</p><p>empregado com modelos em função de transferência,</p><p>pois (por definição)</p><p>elas são desenvolvidas assumindo condições iniciais nulas.</p><p>Em resumo, os comandos internos MATLAB permitem ao usuário</p><p>rapidamente obter a resposta do sistema a entradas-padrão (step para um</p><p>degrau unitário e impulse para o impulso unitário, respectivamente),</p><p>entradas arbitrárias (lsim) e condições iniciais quaisquer (initial, apenas</p><p>para modelos REE). Esses comandos podem ser empregados apenas para</p><p>sistemas lineares que são representados por modelos em função de</p><p>transferência ou no espaço de estado. Os exemplos a seguir ilustram o uso</p><p>dos comandos internos do MATLAB.</p><p>Exemplo 6.1</p><p>A Figura 6.1 mostra o circuito RL série simples do Exemplo 5.16. Use o</p><p>MATLAB para determinar a corrente I(t) e a tensão do resistor esai(t) se a</p><p>tensão de entrada eent(t) é uma função degrau 1 V aplicada no instante t = 0.</p><p>A corrente é inicialmente nula, e L = 0,1 H e R = 1,6 Ω.</p><p>O modelo matemático do circuito RL é</p><p>Uma função de transferência é provavelmente a forma mais simples de</p><p>representar esse sistema de primeira ordem. Entretanto, o leitor deve notar</p><p>que funções de transferência assumem condição inicial nula, o que pode</p><p>não ser aplicável em todos os problemas (por sorte, a corrente inicial é nula</p><p>nesse caso). Usando o operador D para substituir os termos derivativos, isso</p><p>é, = DI, a Eq. (6.5) se torna</p><p>Em seguida, a partir da razão da corrente com a tensão de entrada,</p><p>I(t)/eent(t), substituindo D pela variável de Laplace s, e substituindo os</p><p>valores numéricos de L e R tem-se a função de transferência</p><p>Figura 6.1 Circuito RL série para o Exemplo 6.1.</p><p>Como a tensão de entrada eent(t) é uma constante com amplitude unitária,</p><p>pode-se empregar o comando step para obter a resposta ao degrau unitário.</p><p>Os comandos MATLAB a seguir permitem obter as respostas para a</p><p>corrente I(t) e a tensão no resistor esai(t) = RI(t)</p><p>>> sys = tf(1,[0.1 1.6]); % criação do objeto sys função de</p><p>transferência</p><p>>> t = 0:0.001:0.5; % definição do vetor tempo de simulação t</p><p>>> [I,t]=step(sys,t); % obtenção da resposta ao degrau unitário</p><p>para a corrente I(t)</p><p>>> e_s = 1.6*I; % cálculo da tensão no resistor esai(t) = RI(t)</p><p>Traçar os gráficos das variáveis desejadas pode ser feito empregando o</p><p>comando MATLAB plot juntamente com as opções de representação</p><p>gráfica requeridas; os comandos para traçar o gráfico da corrente versus</p><p>tempo são</p><p>>> plot(t,I) % traçar o gráfico da corrente versus tempo</p><p>>> grid % adicionar o reticulado no gráfico</p><p>>> xlabel(‘Tempo, s’) % adicionar a legenda no eixo x</p><p>>> ylabel(‘Corrente, A’) % adicionar a legenda no eixo y</p><p>Um conjunto similar de comandos permite traçar o gráfico da tensão do</p><p>resistor esai(t). A Figura 6.2 apresenta os gráficos da corrente I(t) e da tensão</p><p>do resistor esai(t) versus o tempo (veja N.T.). Note que ambas as respostas</p><p>exibem uma subida exponencial a partir da condição inicial nula até um</p><p>valor constante, o que é uma característica da resposta de um sistema de</p><p>primeira ordem a ser tratada no Capítulo 7.</p><p>Note que poderia ter sido usado o comando lsim para obter a resposta</p><p>ao degrau unitário, como mostrado a seguir:</p><p>>> t=0:0.001:0.5; % definição do vetor tempo de simulação t</p><p>>> u=ones(size(t)); % definição do vetor de entrada em degrau</p><p>unitário u(t) = U(t)</p><p>>> [I,t]=lsim(sys,u,t); % obtenção da resposta ao degrau unitário</p><p>para a corrente I(t)</p><p>Aqui deve-se definir a entrada u, que é um vetor de valores unitários com a</p><p>mesma dimensão do vetor tempo de simulação t.</p><p>Figura 6.2 Resposta do circuito RL para entrada em degrau unitário do Exemplo 6.1: (a)</p><p>corrente versus tempo e (b) tensão de saída do resistor esai versus tempo.</p><p>N.T.: Em todos os gráficos gerados pelo MATLAB apresentados neste capítulo a indicação de</p><p>decimais depois da unidade será feita através do “ . ” (notação inglesa) ao invés da “ , ” (notação</p><p>em português) de modo a manter a representação original do programa.</p><p>Exemplo 6.2</p><p>A Figura 6.3 mostra a válvula carretel de três vias empregada para controlar</p><p>a vazão em um sistema hidráulico, e a Eq. (6.8) é o modelo matemático da</p><p>válvula. Use o MATLAB para obter a resposta do sistema se a força</p><p>aplicada f(t) é uma função pulso que varia de zero a 12 N no instante de</p><p>tempo t = 0,02 s e volta para zero em t = 0,06 s. A válvula inicialmente está</p><p>em repouso.</p><p>A Eq. (6.8) é o modelo matemático da válvula carretel, que consiste em</p><p>uma única massa (m = 0,04 kg), uma força de atrito linear (coeficiente de</p><p>atrito viscoso b = 16 N·s/m), e uma força de mola linear (constante de mola</p><p>k = 7000 N/m). A variável y(t) é de deslocamento da válvula carretel (em</p><p>m) e f(t) é força de um atuador eletromagnético que empurra a válvula.</p><p>Assume-se que não existe desequilíbrio na pressão do fluido hidráulico</p><p>sobre a massa da válvula, e que as forças de fluxo são desprezadas; assim, a</p><p>força do atuador f(t) é a única aplicada sobre a massa da válvula. O sistema</p><p>inicialmente está em repouso ( 0 = y0 = 0) no instante t = 0, e a força varia</p><p>de 0 a 12 N no instante t = 0,02 s.</p><p>Desenvolve-se a função de transferência do sistema a partir da equação</p><p>E/S (6.8) usando o operador D para substituir os termos derivativos, isso é,</p><p>= D2y e = Dy, o que fornece</p><p>Em seguida, a partir da razão da saída pela entrada, y(t)/f(t), e substituindo</p><p>D pela variável de Laplace s, tem-se a função de transferência</p><p>A Eq. (6.10) é a função de transferência que representa o sistema válvula</p><p>carretel. Como a entrada é arbitrária (um pulso), deve-se utilizar o comando</p><p>lsim. Os seguintes comandos MATLAB devem ser escritos para produzir a</p><p>resposta ao pulso:</p><p>>> sys = tf(1,[0.04 16</p><p>7000]);</p><p>% criação do objeto sys função de</p><p>transferência</p><p>>> t = 0:0.0001:0.1; % definição do vetor tempo de simulação 0 ≤</p><p>t ≤ 0,1 s</p><p>>> f(1:200) = 0; % definição da entrada zero para 0 ≤ t < 0,02</p><p>s</p><p>>> f(201:601) = 12; % definição da entrada em força de 12 N</p><p>para 0,02 ≤ t ≤ 0,06 s</p><p>>> f(602:1001) = 0; % definição da entrada zero para t > 0,06 s</p><p>>> [y,t]=lsim(sys,f,t); % obtenção da resposta ao pulso para a</p><p>posição da válvula y(t)</p><p>O comando MATLAB plot pode ser empregado para gerar o gráfico de y(t)</p><p>mostrado na Figura 6.4. Note que a posição da válvula inicia em zero (sua</p><p>condição inicial), responde à força em degrau de 12 N aplicada em t = 0,02</p><p>s, atinge um valor de pico em torno 0,002 m (2 mm), e finalmente</p><p>permanece com um deslocamento constante de 0,0017 m (1,7 mm). Em t =</p><p>0,06 s a força aplicada retorna instantaneamente para zero e claramente a</p><p>válvula responde de forma inversa mas simétrica, voltando para a posição</p><p>zero.</p><p>Figura 6.3 Válvula carretel de três vias para o Exemplo 6.2.</p><p>Figura 6.4 Resposta da válvula carretel ao pulso de força 12 N (Exemplo 6.2).</p><p>6.3 CONSTRUINDO SIMULAÇÕES USANDO O SIMULINK</p><p>O Simulink MATLAB é uma ferramenta computacional extremamente útil</p><p>e poderosa para simular sistemas dinâmicos e obter suas respostas.</p><p>Universalmente aceito, é empregado tanto nas pesquisas acadêmicas quanto</p><p>na indústria de engenharia. O Simulink é uma ferramenta gráfica baseada</p><p>nos diagramas de blocos compostos de blocos individuais de E/S. Nesta</p><p>seção são apresentados os passos básicos para construir uma simulação e</p><p>exemplos de aplicação; o Apêndice C apresenta um tutorial mais completo</p><p>do Simulink.</p><p>Uma boa ferramenta de simulação numérica para ter sucesso deve</p><p>incorporar as seguintes características:</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>5.</p><p>Facilidade para definição dos modelos matemáticos que</p><p>representam a dinâmica dos sistemas;</p><p>Capacidade para incluir entradas-padrão e arbitrárias;</p><p>Facilidade para armazenar e traçar gráficos das variáveis de saída</p><p>desejadas;</p><p>Capacidade para incluir condições iniciais arbitrárias para as</p><p>variáveis dinâmicas;</p><p>Facilidade de ajuste do tempo de execução e dos parâmetros de</p><p>integração numérica.</p><p>O Simulink emprega uma interface gráfica com o usuário (GUI em inglês)</p><p>que permite navegar e selecionar blocos E/S de diversas bibliotecas, como a</p><p>Continuous e a Math Operations. A biblioteca Continuous inclui ícones</p><p>dos blocos para os modelos-padrão, tais como funções de transferência,</p><p>REE e o bloco integrador</p><p>para equações E/S. A biblioteca Math</p><p>Operations inclui blocos úteis, tais como o ganho e junção soma que</p><p>podem ser usados para construir uma representação desejada em diagrama</p><p>de blocos da dinâmica de um sistema. O usuário “arrasta e solta” os blocos</p><p>desejados para a tela de trabalho (“template”, em inglês) e conecta as portas</p><p>de entrada e saída de modo a construir um modelo para simulação. Pode-se</p><p>selecionar as funções de entrada entre várias disponíveis na biblioteca</p><p>Sources, tais como o degrau, o gerador de sinais e a onda senoidal. Assim,</p><p>todos os blocos na biblioteca Sources possuem portas de saída, mas não de</p><p>entrada. Os caminhos dos sinais que conectam as várias E/S dos blocos e</p><p>funções de entrada contêm a informação da história no tempo dos sinais e</p><p>podem ser ligados aos diversos elementos de armazenamento de dados e</p><p>geração de gráficos contidos na biblioteca Sinks. Portanto, todos os blocos</p><p>da biblioteca Sinks (tais como Scope e To Workspace) possuem portas de</p><p>entrada mas não de saída. As condições iniciais das variáveis dinâmicas</p><p>podem ser ajustadas “clicando” duas vezes (abrindo) no bloco apropriado</p><p>(como o Integrator ou o State Space) e entrando com os valores</p><p>desejados. Finalmente, os parâmetros que definem o procedimento de</p><p>integração numérica estão contidos na opção Model Configuration</p><p>Parameters dentro do menu Simulation na janela do espaço de trabalho</p><p>(“workspace”) do modelo. Aqui, o usuário pode entrar com o tempo de</p><p>simulação, o tipo método de integração numérica (Euler, Runge-Kutta etc.),</p><p>e também com o intervalo de integração para métodos com passo fixo ou as</p><p>tolerâncias para os erros associados ao tamanho do passo de integração</p><p>variável.</p><p>Para iniciar o programa Simulink, simplesmente entre com o seguinte</p><p>comando no ambiente MATLAB</p><p>>> simulink</p><p>que abre o navegador da biblioteca Simulink. Clicando no ícone “New</p><p>model”, no canto esquerdo superior, irá criar um novo modelo Simulink,</p><p>que inicia uma tela (“template”) em branco para construção do diagrama de</p><p>blocos para simulação. O usuário pode agora acessar as bibliotecas</p><p>Simulink e adicionar e conectar os blocos E/S desejados para gerar a</p><p>simulação. O Apêndice C apresenta figuras descrevendo as bibliotecas,</p><p>blocos e janelas associadas usados para ajustar os parâmetros de simulação,</p><p>assim como detalhes adicionais para construir um modelo de simulação.</p><p>Construir modelos usando o Simulink é melhor demonstrado mediante a</p><p>apresentação de exemplos. Esta seção é concluída com a simulação do</p><p>diagrama de blocos do sistema de primeira ordem simples, tratado em um</p><p>exemplo do Capítulo 5.</p><p>Exemplo 6.3</p><p>Considere novamente o circuito RL simples do Exemplo 6.1 e Figura 6.1.</p><p>Empregando o Simulink, construa uma simulação desse sistema e</p><p>determine a corrente I(t) e a tensão do resistor esai(t) se a tensão de entrada</p><p>eent(t) é uma função degrau 2 V aplicada no instante t = 0. A corrente é</p><p>inicialmente nula, e L = 0,1 H e R = 1,6 Ω.</p><p>É necessário construir um diagrama de blocos desse sistema e uma</p><p>função de transferência provavelmente é a maneira mais fácil de representar</p><p>esse modelo simples de primeira ordem. O leitor deve notar que a condição</p><p>inicial é nula e, portanto, pode-se usar a função de transferência que foi</p><p>desenvolvida no Exemplo 6.1 e é repetida a seguir</p><p>A Figura 6.5 mostra a relação E/S entre a fonte de tensão eent(t) e a corrente</p><p>I. Como deseja-se a variável de saída esai(t) = RI, multiplica-se a corrente I</p><p>pela resistência R, o que também é mostrado na Figura 6.5. O modelo</p><p>Simulink é construído usando o diagrama de blocos da Figura 6.5, que</p><p>consiste em uma função de transferência simples para a dinâmica do</p><p>circuito RL, Eq. (6.11), seguida por um bloco ganho (resistência R) que</p><p>produz o sinal de saída desejado esai.</p><p>Figura 6.5 Diagrama de blocos para o Exemplo 6.3.</p><p>Após iniciar o programa Simulink e abrir a tela de um novo modelo,</p><p>deve-se abrir a biblioteca Continuous e “arrastar e soltar” o ícone de função</p><p>de transferência (Transfer Fcn) para a janela do novo modelo. O bloco</p><p>Gain (ganho) da biblioteca Math Operations é adicionado à direita da</p><p>função de transferência. Em seguida, deve-se abrir a biblioteca Sources e</p><p>incluir a função degrau (Step) para a fonte de tensão eent(t) e o ícone relógio</p><p>(Clock) para o tempo de simulação. Abre-se a biblioteca Sinks para incluir</p><p>o ícone To Workspace após o bloco ganho. As conexões dos caminhos dos</p><p>sinais são feitas da função degrau para a porta de entrada da função de</p><p>transferência, da porta de saída da função de transferência para a porta de</p><p>entrada do bloco ganho e da porta de saída do bloco ganho para o bloco To</p><p>Workspace. Finalmente, são incluídos três ícones To Workspace adicionais</p><p>da biblioteca Sinks e são conectados os caminhos dos sinais dos blocos</p><p>Step e Clock (de Sources) com dois blocos To Workspace (de Sinks) de</p><p>modo a armazenar eent(t) e t. Como deseja-se também armazenar a corrente</p><p>I(t), envia-se um sinal para o terceiro bloco To Workspace. Pode-se definir</p><p>a variável para os valores armazenados clicando duas vezes no bloco To</p><p>Workspace apropriado, e alterando o Variable name na caixa de diálogo.</p><p>Por exemplo, pode-se definir o nome da variável e_ent para a fonte de</p><p>tensão enviada para o bloco To Workspace. É importante salvar o formato</p><p>da variável armazenada como uma sequência de números (“array” em</p><p>inglês), de modo que seu gráfico possa ser traçado a partir da linha de</p><p>comandos no MATLAB. Para variar o formato, clique duas vezes em cada</p><p>bloco To Workspace e selecione Array na caixa de diálogo Save format.</p><p>Os parâmetros do sistema desejados (tensão de entrada eent = 2 V,</p><p>indutância L = 0,1 H, e resistência R = 1,6 Ω) são ajustados clicando duas</p><p>vezes nos blocos apropriados Step, Transfer Fcn e Gain e entrando com</p><p>os valores numéricos. O bloco da função de transferência possui duas</p><p>caixas de diálogo para os coeficientes do numerador e denominador, que</p><p>devem entrar como vetores linha em potências decrescentes de s. Note que</p><p>o Simulink exibe os valores numéricos dos blocos Transfer Fcn e Gain,</p><p>uma vez que tenham sido ajustados. O método de Runge-Kutta de quarta</p><p>ordem, com passo fixo, ode4 é selecionado como o algoritmo de solução</p><p>numérica no menu Simulation > Model Configuration Parameters e o</p><p>intervalo de integração fixo é ajustado em 10–3 s. Para tornar mais clara a</p><p>representação no Simulink, podem ser adicionados rótulos nos blocos e</p><p>caminhos de sinais. A Figura 6.6 mostra o modelo final em Simulink (veja</p><p>N.T.), que essencialmente reproduz o diagrama de blocos da Figura 6.5.</p><p>Deve ser enfatizado que o Simulink emprega o bloco função de</p><p>transferência na Figura 6.6 para representar a equação E/S da dinâmica do</p><p>circuito RL, e mesmo incluindo a variável complexa s de Laplace,</p><p>determina a resposta do sistema por meio de algoritmos de integração</p><p>numérica no MATLAB e não usa a teoria da transformada de Laplace.</p><p>Assim, é correto empregar rótulos no domínio do tempo, como esai(t), nos</p><p>caminhos dos sinais e não as transformadas de Laplace das variáveis, como</p><p>Esai(s).</p><p>Após o modelo Simulink ter sido construído e todos os parâmetros</p><p>ajustados, a simulação é executada selecionando Simulation > Run (ou,</p><p>clicando duas vezes o botão Run). Os gráficos das variáveis armazenadas I</p><p>e e_sai podem ser traçados usando o comando MATLAB plot. A Figura</p><p>6.7 apresenta o comportamento da corrente I(t) e da tensão do resistor esai(t)</p><p>versus o tempo. Note que ambas as respostas ao degrau 2 V são idênticas às</p><p>do degrau unitário (Figura 6.2 do Exemplo 6.1) se for aplicado um fator de</p><p>escala 2. Essa comparação faz sentido para sistemas lineares porque a</p><p>entrada aqui é um degrau de 2 V, enquanto a fonte de tensão no Exemplo</p><p>6.1 era de 1 V (degrau unitário).</p><p>Figura 6.6 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.3.</p><p>N.T.: Em todos os diagramas de blocos para simulação através do Simulink apresentados neste</p><p>capítulo será mantida terminologia original do programa (em inglês) para os blocos de uso comum</p><p>(tais como Step, Clock, To Workspace, Integrator, Gain, entre outros) e a notação dos decimais,</p><p>empregando</p><p>“ . ” ao invés da “ , ” (no caso, por exemplo, dos coeficientes das funções de</p><p>transferência Transfer Fcn ou dos ganhos Gain).</p><p>Figura 6.7 Resposta do circuito RL para o Exemplo 6.3: (a) corrente versus tempo e (b)</p><p>tensão no resistor esai versus tempo.</p><p>6.4 Simulando Sistemas Lineares Usando o Simulink</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>Nesta seção serão apresentados três diferentes métodos para simular um</p><p>sistema linear através do Simulink, que são</p><p>Funções de transferência</p><p>Representação no espaço de estado</p><p>Blocos integradores para cada equação em variável de estado</p><p>Logicamente, pode-se usar a função de transferência e uma REE apenas se</p><p>o modelo matemático consiste em EDOs lineares. O Exemplo 6.3 mostrou a</p><p>abordagem por função de transferência para simular um sistema elétrico de</p><p>primeira ordem simples. O terceiro método, integrar cada equação em</p><p>variáveis de estado usando o bloco integrador, pode ser aplicado para</p><p>ambos os modelos matemáticos linear e não linear. Todos os três métodos</p><p>possuem suas vantagens e inconvenientes, como será demonstrado e</p><p>discutido nesta seção pela apresentação das múltiplas abordagens de</p><p>simulação aplicadas a um mesmo sistema dinâmico linear.</p><p>Exemplo 6.4</p><p>Considere novamente o sistema válvula carretel de três vias descrito no</p><p>Exemplo 6.2 (Figura 6.3). Simule a resposta do sistema usando o Simulink</p><p>com a representação função de transferência. A força aplicada f(t) é uma</p><p>função degrau com amplitude 12 N.</p><p>No exemplo 6.2 foi desenvolvida a função de transferência que</p><p>relaciona a posição da válvula carretel y(t) com a força do atuador f(t):</p><p>O diagrama Simulink é construído usando o bloco Transfer Fcn da</p><p>biblioteca Continuous, os blocos Clock e Step da biblioteca Sources, e</p><p>dois blocos To Workspace da biblioteca Sinks. Clicando duas vezes no</p><p>bloco Transfer Fcn abre-se a caixa de diálogo, na qual pode-se entrar com</p><p>os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência</p><p>desejada na Eq. (6.12). Os parâmetros da força de entrada são também</p><p>ajustados clicando duas vezes no bloco Step: o instante de aplicação do</p><p>degrau é 0,02 s, o valor inicial é 0 N, e o final é 12 N. Finalmente, escolhe-</p><p>se o algoritmo de integração numérica Runge-Kutta, de passo fixo, ode4</p><p>(com intervalo de 10–4 s) no menu Simulation > Model Configuration</p><p>Parameters. A Figura 6.8 apresenta o diagrama Simulink da válvula</p><p>carretel usando a abordagem da função de transferência. A Figura 6.9</p><p>apresenta a resposta da posição y(t) da válvula carretel à entrada em degrau</p><p>de força 12 N. Note que y(t) inicia em zero (sua condição inicial), responde</p><p>ao degrau de força aplicado em t = 0,02 s, atinge um pico de</p><p>aproximadamente 0,002 m (2 mm), e tende ao valor final constante de</p><p>0,0017 m (1,7 mm). A resposta ao degrau mostrada na Figura 6.9 é idêntica</p><p>à resposta ao pulso de 12 N do Exemplo 6.2 até t = 0,06 s quando a entrada</p><p>em pulso volta à zero (veja Figura 6.4).</p><p>Figura 6.8 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.4: abordagem por função de</p><p>transferência.</p><p>Figura 6.9 Resposta da válvula carretel ao degrau de força 12 N (Exemplo 6.4).</p><p>Exemplo 6.5</p><p>Dado o sistema válvula carretel na Figura 6.3 e Exemplo 6.2, gere e execute</p><p>uma simulação empregando um modelo no espaço de estado. A força</p><p>aplicada f(t) é uma função degrau com amplitude 12 N.</p><p>Inicia-se pela determinação de uma REE a partir da equação E/S de</p><p>segunda ordem (6.8) mediante a definição de duas variáveis de estado: x1 =</p><p>y (posição da válvula) e x2 = (velocidade da válvula). Assim, as duas</p><p>equações em variáveis de estado são</p><p>Substituindo as variáveis de estado, x1 = y e x2 = , e a entrada u = f(t) nas</p><p>Eqs. (6.13) e (6.14) tem-se</p><p>que podem ser organizadas na forma matriz-vetor da equação de estado</p><p>Lembre-se de que a matriz quadrada 2 × 2 na Eq. (6.17) é a matriz de</p><p>estado A, e o vetor coluna 2 × 1 é a matriz de entrada B. De modo a</p><p>completar a REE, escreve-se a equação matriz-vetor de saída, na qual a</p><p>saída (posição da válvula) é a primeira variável de estado, ou y = x1</p><p>O vetor linha 1 × 2 na Eq. (6.18) é a matriz de saída C, e a “matriz” D é</p><p>nula.</p><p>O diagrama Simulink é construído usando o bloco State Space da</p><p>biblioteca Continuous, os blocos Clock e Step da biblioteca Sources, e</p><p>dois blocos To Workspace da biblioteca Sinks. Clicando duas vezes no</p><p>bloco State Space abre-se a caixa de diálogo, na qual pode-se colocar os</p><p>valores numéricos apropriados para as matrizes A, B, C e D, como</p><p>mostrado a seguir</p><p>A = [ 0 1 ; -175e3 -400 ]</p><p>B = [ 0 ; 25 ]</p><p>C = [ 1 0 ]</p><p>D = 0</p><p>Note que mesmo uma matriz nula (como a matriz de ligação direta D, nesse</p><p>caso) deve ser definida, pois o Simulink requer todas as matrizes do bloco</p><p>State Space. O leitor deve entrar com as matrizes cuidadosamente, pois o</p><p>Simulink não irá executar a simulação se todas as quatro matrizes não</p><p>possuírem as dimensões apropriadas: A deve ser n × n, Bn × r, Cm × n, e</p><p>Dm × r (neste exemplo, n = 2, r = 1, e m = 1).</p><p>O bloco State Space possui uma caixa de diálogo para o vetor estado</p><p>inicial, x(0). Nesse exemplo, os estados iniciais são x1(0) = y0 = 0 e x2(0) =</p><p>0 = 0. Portanto, o estado inicial é inserido como um vetor coluna 2 × 1 [ 0 ;</p><p>0 ] na caixa de diálogo Initial conditions. A capacidade de incluir</p><p>condições iniciais para todos os estados é uma vantagem a se destacar no</p><p>uso da abordagem por espaço de estado.</p><p>Os demais passos para a construção do modelo Simulink (os blocos</p><p>Step, Clock, e To Workspace) são idênticos ao do exemplo anterior, e a</p><p>Figura 6.10 apresenta o diagrama da válvula carretel usando a abordagem</p><p>por espaço de estado. Note que o Simulink não exibe os valores numéricos</p><p>das matrizes da REE; o usuário deve abrir a caixa de diálogo para vê-los.</p><p>Executar a simulação e traçar o gráfico da saída y(t) (posição da válvula)</p><p>leva a resultado idêntico ao da Figura 6.9.</p><p>Uma última observação é importante: se é desejado observar a posição e</p><p>a velocidade da válvula, pode-se utilizar o método do espaço de estado</p><p>redefinindo o vetor de saída incluindo ambas as variáveis de estado, isso é,</p><p>y = x. Assim, a matriz C deve ser a identidade 2 × 2 e a matriz D é um vetor</p><p>2 × 1 nulo:</p><p>C = [ 1 0 ; 0 1 ]</p><p>D = zeros(2,1)</p><p>Quando a simulação é executada, a saída y enviada para o espaço de</p><p>trabalho do MATLAB irá conter duas colunas. A primeira coluna é a</p><p>posição da válvula e a segunda são os resultados da sua velocidade para o</p><p>tempo de simulação. Esse exemplo mostrou outra vantagem de usar o</p><p>método do espaço de estado: pode-se obter as respostas dinâmicas de todos</p><p>os estados. O método da função de transferência fornece apenas a resposta</p><p>dinâmica de uma única variável de saída, que é o deslocamento da válvula</p><p>nesse exemplo.</p><p>Figura 6.10 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.5: abordagem por espaço de estado.</p><p>Exemplo 6.6</p><p>Dado o sistema válvula carretel de três vias na Figura 6.3 e Exemplo 6.2,</p><p>gere e execute uma simulação empregando a abordagem por blocos</p><p>integradores. A força aplicada f(t) é uma função degrau com amplitude 12</p><p>N.</p><p>O conceito básico da abordagem por blocos integradores é</p><p>simplesmente “encadear” uma série de n blocos integradores para cada</p><p>equação E/S de na. ordem. Para este exemplo, tem-se uma única equação</p><p>E/S de segunda ordem, e, portanto, o “núcleo” da simulação serão duas</p><p>integrais sucessivas da aceleração, como mostrado na Figura 6.11. Note que</p><p>cada bloco integrador possui uma condição inicial (a constante de</p><p>integração) que é adicionada à integral no tempo do sinal de entrada.</p><p>Figura 6.11 Diagrama de blocos para duas integrações sucessivas da aceleração.</p><p>De modo a usar o método dos blocos integradores, inicia-se com uma</p><p>expressão para o termo da derivada de na ordem (aceleração nesse caso),</p><p>que é obtida a partir da Eq. (6.8)</p><p>Portanto, o lado esquerdo do diagrama de blocos na Figura 6.11</p><p>(aceleração) deve ser igual ao lado direito da Eq. (6.19), que é a soma das</p><p>forças de atrito, de rigidez e aplicada dividida pela massa.</p><p>A Figura 6.12 mostra o diagrama Simulink para o sistema válvula</p><p>carretel usando a abordagem dos blocos integradores. Inicia-se a construção</p><p>da simulação conectando</p><p>dois blocos Integrator da biblioteca</p><p>Continuous. A força de atrito é produzida “capturando” o sinal de</p><p>velocidade (dy, saída do primeiro integrador) e multiplicando por um bloco</p><p>Gain que representa o coeficiente de atrito viscoso. A força de rigidez é</p><p>construída de maneira similar usando a posição y (o usuário deve notar que</p><p>o bloco triangular Gain pode ser “girado” na direção e sentido destacando o</p><p>bloco e selecionando Rotate & Flip dentro do menu Diagram). Todas as</p><p>três forças são adicionadas em uma junção soma (Sum) da biblioteca Math</p><p>Operations (note os sinais positivo e negativos), e a força líquida é</p><p>dividida pela massa (bloco Gain) para produzir a aceleração (d2y na Figura</p><p>6.12). As condições iniciais para cada integrador ( 0 e y0) são ajustadas</p><p>1.</p><p>clicando duas vezes no respectivo bloco Integrator e inserindo os valores</p><p>numéricos na caixa de diálogo (ambas as condições iniciais são zero neste</p><p>exemplo).</p><p>Executando o diagrama Simulink na Figura 6.12 e traçando o gráfico de</p><p>y(t) produz-se um resultado idêntico ao da Figura 6.9. Note que é possível</p><p>“capturar” e enviar vários sinais do diagrama Simulink na Figura 6.12 para</p><p>o espaço de trabalho MATLAB, de modo a traçar gráficos da: força líquida,</p><p>aceleração (t), velocidade (t), força de atrito e força na mola. Assim, a</p><p>abordagem por blocos integradores pode ser a mais versátil dos três</p><p>métodos de simulação tratados nesses exemplos.</p><p>Figura 6.12 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.6: abordagem por blocos integradores.</p><p>Pode-se resumir as características das três abordagens Simulink baseado</p><p>nos resultados dos exemplos anteriores:</p><p>A abordagem por função de transferência é o método mais conciso</p><p>e fácil dos três, porque é relativamente simples desenvolver a(s)</p><p>função(ões) de transferência para os sistemas lineares. Além disso,</p><p>o Simulink exibe o numerador e o denominador das funções de</p><p>transferência, o que possibilita verificar a construção do diagrama</p><p>2.</p><p>3.</p><p>de simulação. Entretanto, por definição, a função de transferência</p><p>assume condições iniciais nulas. Assim, não pode ser usada quando</p><p>o sistema possui condições iniciais não nulas. E também, cada</p><p>função de transferência fornece uma única variável de saída e</p><p>algumas variáveis dinâmicas “internas” podem ser de impossível</p><p>obtenção. Note que nos exemplos prévios, a posição y(t) está</p><p>disponível se for usada a abordagem por função de transferência,</p><p>mas a velocidade (t) não.</p><p>A abordagem por espaço de estado é concisa (representa um</p><p>sistema linear inteiro por meio de um único bloco), mas requer que</p><p>o usuário desenvolva as matrizes da REE completa. Entretanto, é</p><p>flexível e permite ao usuário ajustar arbitrariamente as condições</p><p>iniciais para todos os n estados. Além disso, o usuário pode obter a</p><p>resposta dinâmica de todos os n estados fazendo a matriz de saída</p><p>C igual à identidade n × n.</p><p>A abordagem por blocos integradores é o método mais flexível,</p><p>pois permite ao usuário ajustar condições iniciais arbitrárias para</p><p>todas as variáveis dinâmicas; além disso, o usuário pode armazenar</p><p>e traçar gráficos de qualquer variável dos caminhos dos sinais, o</p><p>que pode ajudar na solução de problemas de simulações</p><p>complexas. Entretanto, para sistemas complexos, o usuário pode</p><p>necessitar de um planejamento cuidadoso para o diagrama de</p><p>simulação, porque ele envolverá múltiplos caminhos de sinais,</p><p>junções soma e blocos, o que pode dificultar sua leitura e</p><p>interpretação.</p><p>6.5 Simulando Sistemas Não Lineares</p><p>Em seguida será tratado o uso do Simulink para simular sistemas</p><p>representados por modelos matemáticos não lineares. Como citado na</p><p>Introdução, métodos numéricos de simulação são a única solução</p><p>disponível para obter a resposta dinâmica de sistemas não lineares,</p><p>enquanto as técnicas analíticas (descritas no Capítulo 7) podem ser</p><p>empregadas para determinar a solução de sistemas lineares, tais como o</p><p>sistema mecânico de segunda ordem dos exemplos anteriores. É importante</p><p>lembrar que não se pode usar funções de transferência ou uma REE quando</p><p>se trata com sistemas não lineares; a única opção é empregar a integração</p><p>numérica de cada EDO não linear, o que pode ser feito por meio do</p><p>Simulink e da abordagem por blocos integradores. A simulação de sistemas</p><p>não lineares será demonstrada revisitando o Exemplo 6.2 da válvula carretel</p><p>e o tanque hidráulico do Capítulo 5.</p><p>Exemplo 6.7</p><p>Considere novamente o sistema válvula carretel no Figura 6.3 e Exemplo</p><p>6.2, mas com a inclusão do atrito Coulomb ou seco juntamente com o</p><p>viscoso. Simule a resposta para uma entrada em degrau de 12 N.</p><p>Assume-se que a força de atrito seco Fseco possui uma amplitude de 0,4</p><p>N. Como ela sempre se opõe ao sentido do movimento, pode ser modelada</p><p>por Fsecosgn( ), na qual a função sinal “sgn” retorna o sinal do seu valor de</p><p>entrada, que é a velocidade . Adicionando o termo Fsecosgn( ) à equação</p><p>linear da válvula carretel (6.8), tem-se o seu modelo matemático não linear</p><p>Como o modelo matemático é não linear, deve-se usar a abordagem dos</p><p>blocos integradores para obter a resposta do sistema. Lembrando que no</p><p>Exemplo 6.6 foi construído um diagrama de blocos a partir da dupla</p><p>integração da aceleração da massa da válvula, portanto resolve-se a Eq.</p><p>(6.20) para a aceleração</p><p>Todos os termos da Eq. (6.21) dentro dos parênteses são forças: atrito</p><p>viscoso, atrito seco, rigidez da mola e a força aplicada f(t). Pode-se</p><p>modificar o diagrama Simulink do sistema linear, mostrado na Figura 6.12,</p><p>e incluir um caminho de realimentação adicional para a força de atrito seco,</p><p>como apresentado na Figura 6.13. Essa força é gerada enviando a</p><p>velocidade para a função sinal (ou Sign) da biblioteca Math Operations,</p><p>seguida de um bloco Gain que representa a amplitude da força de atrito seco</p><p>(0,4 N nesse caso). Note que a junção soma deve ser modificada para</p><p>aceitar quatro entradas (forças) com os sinais (positivos e negativos)</p><p>apropriados de modo a satisfazer a Eq. (6.21).</p><p>Figura 6.13 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.7: sistema mecânico não linear por meio</p><p>da abordagem de blocos integradores.</p><p>A Figura 6.14 apresenta a resposta do sistema válvula carretel não linear</p><p>à entrada em degrau de 12 N aplicado no instante t = 0,02 s. A linha sólida</p><p>na Figura 6.14 é a resposta do sistema não linear com o atrito seco e a linha</p><p>tracejada a do sistema linear do Exemplo 6.2. Note que a inclusão do atrito</p><p>seco não linear reduz um pouco o pico da resposta de y(t) quando</p><p>comparado com o do modelo linear. Além disso, a resposta não linear não</p><p>exibe “subvalor” (“undershoot”, em inglês) após o pico, e atinge seu valor</p><p>constante em aproximadamente 0,035 s (enquanto o modelo linear leva</p><p>cerca de 0,04 s).</p><p>A modelagem do atrito seco ou Coulomb usando a função sinal pode</p><p>eventualmente causar problemas na simulação por causa da</p><p>descontinuidade na velocidade zero. Tal condição normalmente requer um</p><p>intervalo de integração muito pequeno, de modo que a força possa ser</p><p>calculada com precisão próxima da velocidade nula, fazendo com que o</p><p>tempo de execução da simulação seja muito demorado. Além disso, a</p><p>função sinal pode levar a “oscilações” quando a força de atrito seco varia</p><p>rapidamente de sinal entre ± Fseco por causa da variação do sinal da</p><p>velocidade conforme se aproxima de zero (equilíbrio). Por essas razões,</p><p>pode ser útil aproximar a força de atrito seco descontínua Fsecosgn( ) pela</p><p>seguinte função</p><p>em que FAS é a força de atrito seco e e é uma constante com unidades de</p><p>velocidade. Conforme o parâmetro e se torna “pequeno” a Eq. (6.22)</p><p>fornece uma boa aproximação para a função descontínua Fsecosgn( ), e</p><p>quando e é exatamente zero, a Eq. (6.22) é igual ao modelo de atrito seco</p><p>descontínuo. A Figura 6.15 mostra a Eq. (6.22) do atrito seco contínuo para</p><p>uma faixa esperada da velocidade da massa da válvula carretel (–0,5 até 0,5</p><p>m/s) com ε = 10–4 m/s e Fseco = 0,4 N. Pela Figura 6.15a, parece que o</p><p>modelo da Eq. (6.22) varia de forma descontínua entre ± Fseco quando a</p><p>velocidade troca de sinal. Entretanto, a vista “ampliada” próxima à origem</p><p>como mostrado na Figura 6.15b demonstra que</p><p>à aerodinâmica,</p><p>gravidade e propulsão. Engenheiros e astronautas usam o SAIL para</p><p>realizar simulações em “tempo real” das missões do Ônibus Espacial de</p><p>modo a testar e validar o programa de voo. As simulações resultantes dos</p><p>testes no SAIL mostraram uma excelente aproximação com os dados de voo</p><p>do Ônibus Espacial real. Os testes do SAIL, entretanto, podem</p><p>ocasionalmente ser intermitentes por causa da necessidade do emprego de</p><p>modelos matemáticos muito complexos (isto é, programas de computador)</p><p>para fazer a interface e comandar todos os equipamentos físicos do Ônibus</p><p>Espacial. O ambiente de teste do SAIL é um exemplo de um dos extremos</p><p>do espectro da modelagem matemática: uma complexa simulação, de “alta</p><p>fidelidade”, que de vez em quando causa problemas nos testes. Conviver</p><p>com essa limitação foi necessário para modelar de forma precisa a dinâmica</p><p>de voo do Ônibus Espacial.</p><p>Ferramentas de Simulação</p><p>Diversas ferramentas comerciais de simulação têm sido desenvolvidas para</p><p>auxiliar os projetos de engenheiros e analisar os sistemas dinâmicos. Vamos</p><p>discutir brevemente alguns desses programas de modo a exemplificar a</p><p>modelagem matemática e a análise dos sistemas.</p><p>O Simulink é uma ferramenta numérica de simulação que faz parte do</p><p>programa MATLAB desenvolvido pela MathWorks [2]. Ele usa uma</p><p>interface gráfica amigável com o usuário (GUI) que possibilita a criação de</p><p>representações em diagrama de blocos dos sistemas dinâmicos. O Simulink</p><p>é usado por engenheiros na indústria e na academia. A construção de</p><p>modelos de sistemas com o Simulink é relativamente fácil e, portanto, é</p><p>normalmente utilizado para construir modelos simples durante os primeiros</p><p>estágios do projeto. Entretanto, o Simulink pode ser empregado para</p><p>simular modelos complexos, altamente não lineares. Neste livro, ele será</p><p>usado extensivamente para simular e analisar sistemas dinâmicos.</p><p>A Caterpillar Inc. desenvolveu a ferramenta de simulação Dynasty que</p><p>permite aos engenheiros construir modelos complexos de veículos fora de</p><p>estrada de grande porte [3]. O engenheiro pode construir programas com os</p><p>modelos de máquinas integradas a partir de uma biblioteca de modelos de</p><p>subsistemas pelo processo de “arrasta e cola”. Esses subsistemas incluem</p><p>motores, mecanismos, componentes de transmissão, componentes</p><p>hidráulicos, comandos e controles. A física de cada subsistema está contida</p><p>no modelo matemático de cada componente individual. O programa</p><p>Dynasty simula a dinâmica do modelo do veículo integrado e possibilita ao</p><p>engenheiro realizar testes, analisar a resposta no tempo e variar os</p><p>subsistemas componentes de modo a melhorar o desempenho do sistema</p><p>como um todo. Os engenheiros da Caterpillar usaram o Dynasty para</p><p>analisar e projetar o caminhão de mineração 797B (seu maior veículo) e o</p><p>levaram para produção em menos da metade do tempo que levariam a partir</p><p>da construção de protótipos físicos do caminhão.</p><p>O EASY5, originalmente desenvolvido pela Boeing, é uma ferramenta</p><p>com base gráfica para a construção de protótipos virtuais de sistemas de</p><p>engenharia [4]. Assim como no Dynasty, o usuário pode selecionar</p><p>componentes pré-construídos em bibliotecas que incluem modelos de</p><p>subsistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos e térmicos. O</p><p>EASY5 possui interface com o Simulink e outras ferramentas</p><p>computacionais de auxílio em engenharia. Os engenheiros têm empregado o</p><p>EASY5 para analisar e projetar veículos aeroespaciais.</p><p>Resumindo, deve ser observado que todas as ferramentas de simulação</p><p>numérica são construídas usando os princípios básicos de modelagem</p><p>matemática apresentados neste livro. Isso é, a lei da Física apropriada (por</p><p>exemplo, segunda lei de Newton, lei das tensões de Kirchhoff) é aplicada ao</p><p>sistema específico (mecânico, elétrico, fluido etc.) de modo a desenvolver</p><p>as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema, que então</p><p>são normalmente resolvidas usando métodos numéricos de integração. A</p><p>solução dessas equações é a resposta do sistema dinâmico.</p><p>1.4 OBJETIVOS E RESUMO DO LIVRO</p><p>O objetivo deste livro é apresentar um tratamento abrangente, mas conciso,</p><p>dos sistemas dinâmicos e de controle. Ao concluir este texto, o leitor deve</p><p>ser capaz de realizar as seguintes tarefas: (1) desenvolver modelos</p><p>matemáticos para sistemas mecânicos, elétricos, fluidos e térmicos; (2)</p><p>obter a resposta do sistema dinâmico (em razão das funções de entrada e/ou</p><p>de armazenamento inicial de energia) por meio de ferramentas de simulação</p><p>numérica e técnicas analíticas; e (3) analisar e projetar o controle de</p><p>sistemas realimentados de modo a atingir uma resposta desejada do sistema.</p><p>Este livro enfatiza prioritariamente sistemas com parâmetros concentrados,</p><p>contínuos no tempo e LIT. Assim sendo, todos os modelos matemáticos</p><p>envolvem EDOs e a maioria possui coeficientes constantes. É dada uma</p><p>atenção considerável aos sistemas não lineares, e, portanto, será feito o uso</p><p>frequente do Simulink para obter suas respostas dinâmicas. Entretanto,</p><p>normalmente será empregado o processo de linearização de modo a</p><p>aproximar a dinâmica não linear pela linear. Como será mostrado, a</p><p>obtenção de um modelo matemático linear permite utilizar um conjunto de</p><p>ferramentas analíticas para análise do sistema e técnicas gráficas para</p><p>projetar o controle de sistemas realimentados.</p><p>O livro é organizado de acordo com seus três principais objetivos. Os</p><p>Capítulos 2 a 4 tratam do desenvolvimento de modelos matemáticos de</p><p>sistemas físicos de engenharia. O Capítulo 2 aborda os sistemas mecânicos</p><p>e a determinação das equações de modelagem pela aplicação das leis de</p><p>movimento de Newton. O Capítulo 3 apresenta os modelos matemáticos</p><p>para sistemas elétricos e eletromecânicos. Aqui aplicam-se as leis dos</p><p>elementos que representam as interações entre a carga elétrica, corrente,</p><p>fluxo magnético e tensão. Modelos matemáticos para os sistemas fluidos e</p><p>térmicos são desenvolvidos no Capítulo 4 mediante o emprego,</p><p>respectivamente, da conversão de massa e de energia. Os Capítulos 2 a 4</p><p>focam o desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos de</p><p>engenharia do “mundo real” tais como sistemas de suspensão de veículos,</p><p>dispositivos de transmissão de energia e sistemas interdisciplinares tais</p><p>como atuadores eletromecânicos, hidromecânicos e pneumáticos. O</p><p>Capítulo 5 aborda as formas-padrão de representar os vários modelos</p><p>matemáticos desenvolvidos nos três capítulos anteriores. Esses formatos-</p><p>padrão facilitam o segundo principal tópico do livro – a obtenção da</p><p>resposta do sistema – utilizando tanto as técnicas numéricas quanto as</p><p>analíticas.</p><p>O Capítulo 6 inicia a seção do livro relativa à análise dos sistemas. Esse</p><p>capítulo introduz o Simulink como a ferramenta de simulação numérica</p><p>escolhida para obtenção da resposta de sistemas dinâmicos lineares e não</p><p>lineares. O Capítulo 7 apresenta as técnicas analíticas para solução das</p><p>equações de modelagem matemática “na mão”. Aqui é analisada a resposta</p><p>completa do sistema (compreendendo as respostas transiente e em regime</p><p>permanente) a funções de entrada. No Capítulo 8 é introduzido o método da</p><p>transformação para o domínio de Laplace a fim de determinar a resposta de</p><p>sistemas dinâmicos que são modelados pelas equações diferenciais LIT. O</p><p>Capítulo 9 trata da obtenção da resposta de um sistema dinâmico que é</p><p>comandado por uma função oscilatória ou harmônica. A análise da resposta</p><p>em frequência é auxiliada por técnicas gráficas como o diagrama de Bode.</p><p>O Capítulo 10 introduz o leitor ao terceiro principal objetivo do livro: a</p><p>análise e o projeto do controle de sistemas realimentados. Aqui é</p><p>investigado o uso da realimentação (a partir de sensores de medida) para</p><p>ajustar a função de entrada do sistema de modo a atingir uma resposta</p><p>desejada na saída. Apesar de diferentes esquemas de controle serem</p><p>discutidos, o capítulo enfatiza o controlador proporcional-integral-</p><p>derivativo (PID) e suas variantes, porque é o mais amplamente utilizado nos</p><p>esquemas de controle das indústrias. O projeto de sistemas de controle é</p><p>auxiliado por duas</p><p>a função é na verdade</p><p>contínua.</p><p>Figura 6.14 Respostas da válvula carretel ao degrau de força 12 N: modelos não linear e</p><p>linear do sistema (Exemplo 6.7).</p><p>Figura 6.15 Modelo contínuo para a força de atrito seco, Eq. (6.22): (a) faixa de operação</p><p>para a velocidade e (b) vista “ampliada” em torno da velocidade zero.</p><p>Pode-se modificar o diagrama Simulink não linear mostrado na Figura</p><p>6.13 e usar a função contínua (6.22) para modelar a força de atrito seco,</p><p>como apresentado na Figura 6.14. Nesse caso, deve-se definir a força de</p><p>atrito seco por meio do bloco Fcn (função) da biblioteca User-Defined</p><p>Functions, que permite ao usuário escrever qualquer relação funcional da</p><p>saída em termos de uma única entrada (u). Para tanto, deve-se clicar duas</p><p>vezes no bloco Fcn e entrar com a equação desejada na caixa de diálogo</p><p>Expression. A Figura 6.16 mostra a Eq. (6.22) no bloco função, no qual u é</p><p>o símbolo genérico que representa sua entrada (velocidade, , nesse caso).</p><p>Note que a constante ε é ajustada em 10–4 m/s. Executando o diagrama</p><p>Simulink na Figura 6.16, reproduz-se a resposta para a posição da válvula</p><p>y(t) que é essencialmente idêntica à mostrada na Figura 6.14 para o</p><p>diagrama Simulink não linear que emprega a função sinal descontínua para</p><p>a força de atrito seco.</p><p>Figura 6.16 Diagrama Simulink do Exemplo 6.7: sistema mecânico não linear com função</p><p>contínua para o atrito seco.</p><p>Exemplo 6.8</p><p>Considere novamente o simples sistema com tanque hidráulico do Exemplo</p><p>5.10, mostrado na Figura 6.17. O fluido de trabalho é água. No Exemplo</p><p>5.10, foi desenvolvido o modelo matemático não linear e, por meio da</p><p>linearização, encontrado um modelo linear em torno de um ponto nominal.</p><p>Usando o Simulink, simule os sistemas não linear e linear sob as mesmas</p><p>condições de operação e compare as suas respostas.</p><p>Simulação de sistema não linear</p><p>A Figura 6.17 mostra um único tanque com área de seção reta constante A,</p><p>que está sendo preenchido com água a uma vazão volumétrica de entrada</p><p>Qent. A vazão volumétrica de saída Qsai é modelada pelo escoamento</p><p>turbulento através da válvula para a pressão atmosférica Patm, e a equação</p><p>que modela o sistema tanque hidráulico não linear é</p><p>em que C é a capacitância do tanque, P é a pressão de sua base e KT é o</p><p>coeficiente de escoamento turbulento.</p><p>Figura 6.17 Sistema tanque hidráulico para o Exemplo 6.8.</p><p>Desenvolve-se primeiro a simulação não linear, empregando os</p><p>seguintes parâmetros numéricos: área de seção reta do tanque A = 1,962 m2,</p><p>massa específica da água ρ = 1000 kg/m3, coeficiente de escoamento</p><p>turbulento KT = 4(10–4) m3,5/kg0,5, e pressão atmosférica Patm = 1,0133(105)</p><p>N/m2. Assim sendo, a capacitância fluida é C = A /ρg = 2(10–4) m4·s2 /kg.</p><p>O diagrama Simulink consiste em um único bloco integrador que</p><p>resolve a equação em variável de estado não linear para a pressão do tanque</p><p>P, que é obtida a partir da Eq. (6.23)</p><p>A Figura 6.18 apresenta o diagrama Simulink para o modelo não linear do</p><p>tanque. A entrada do sistema, Qent, é representada pelo bloco Constant da</p><p>biblioteca Sources. Neste exemplo, o nome da variável Q_ent foi definido</p><p>na caixa de diálogo do bloco Constant ao invés de um valor numérico</p><p>específico. De forma similar, o bloco Constant é usado para definir a</p><p>pressão atmosférica P_atm, que é subtraída da pressão do tanque para obter</p><p>a diferença de pressão. Assim, o usuário deve definir as constantes Q_ent e</p><p>P_atm no espaço de trabalho MATLAB antes de executar a simulação do</p><p>modelo Simulink. O termo não linear na Eq. (6.24), a raiz quadrada da</p><p>diferença de pressão é claramente vista na Figura 6.18. A diferença de</p><p>pressão é calculada usando a junção soma e a operação de extração da raiz</p><p>quadrada é realizada pelo bloco Sqrt da biblioteca Math Operations (note</p><p>que em versões anteriores do MATLAB a função raiz quadrada reside no</p><p>bloco Math Function). O diagrama Simulink inclui ainda uma junção soma</p><p>para calcular a vazão volumétrica líquida e um ganho (1/C = 5000 Pa/m3)</p><p>para produzir a derivada no tempo da pressão, . O leitor deve ser capaz de</p><p>verificar como o modelo não linear (Eq. 6.24) é reproduzido pelo diagrama</p><p>da Figura 6.18.</p><p>Figura 6.18 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.8: modelo não linear do tanque.</p><p>O usuário deve ajustar os parâmetros Q_ent, P_atm e P0 (a pressão</p><p>inicial do tanque no bloco integrador) no espaço de trabalho do MATLAB</p><p>antes de executar o modelo Simulink na Figura 6.18. Uma maneira de fazer</p><p>os ajustes é escrever um programa (ou “script”) MATLAB denominado</p><p>arquivo M, que é simplesmente um conjunto dos comandos de uma única</p><p>linha requeridos. O arquivo MATLAB M 6.1 (denominado</p><p>executa_tanque_NL.m) ajusta os parâmetros requeridos e executa o modelo</p><p>Simulink tanque_NL.mdl (Fig. 6.18) usando o comando sim. Esse arquivo</p><p>M também traça o gráfico da pressão do tanque P. A resposta da simulação</p><p>não linear será apresentada após a discussão da simulação linear.</p><p>Arquivo MATLAB M 6.1</p><p>%</p><p>% executa_tanque_NL.m</p><p>%</p><p>% Este arquivo M define os parâmetros para</p><p>% o sistema tanque hidráulico, executa o</p><p>% modelo não linear Simulink e traça o</p><p>% gráfico do resultado</p><p>%</p><p>% Parâmetros do sistema tanque</p><p>Q_ent = 0.052; % vazão volumétrica constante de entrada,</p><p>m^3/s</p><p>P0 = 1.15e5; % pressão inicial da base do tanque, N/m^2</p><p>P_atm = 1.0133e5; % pressão atmosférica, N/m^2</p><p>% Execução do modelo não linear Simulink</p><p>sim tanque_NL</p><p>% Traçar o gráfico da pressão do tanque</p><p>plot(t,P)</p><p>grid</p><p>title(‘Modelo não linear: pressão do tanque X tempo’)</p><p>xlabel(‘Tempo, s’)</p><p>ylabel(‘Pressão do tanque, P(t), N/m^2’)</p><p>Simulação de sistema linear</p><p>Um modelo hidráulico linear foi desenvolvido no Exemplo 5.10 por meio</p><p>da linearização do sistema não linear Eq. (6.24) em torno de uma entrada de</p><p>vazão volumétrica (constante) Q*ent e a correspondente pressão nominal</p><p>(constante) P*, resultando em</p><p>em que δP = P – P* e s δQent = Qent – Q*ent ão perturbações a partir das suas</p><p>condições nominais, e = f(P,Qent) é a EDO não linear apresentada na Eq.</p><p>(6.24). As derivadas parciais de primeira ordem foram determinadas no</p><p>Exemplo 5.10 e são repetidas a seguir</p><p>A pressão nominal P* é</p><p>que produz uma condição de equilíbrio (C = 0) fornecendo uma vazão</p><p>volumétrica nominal Q*ent. Utilizando os valores numéricos para KT e a</p><p>vazão volumétrica de entrada nominal Q*ent = 0,05 m3/s, a pressão nominal</p><p>é P* = 1,16955(105) N/m2; e para C, KT e Q*ent dados pode-se calcular as</p><p>derivadas parciais de primeira ordem na Eq. (6.26), chegando ao modelo</p><p>linear</p><p>Agora já é possível construir o diagrama Simulink linear usando a Eq.</p><p>(6.28), e poderia ser empregada a abordagem da função de transferência;</p><p>entretanto ela é aplicável apenas a problemas com condições iniciais nulas,</p><p>ou δP(0) = P0 – P* = 0. Ao invés disso, será usada a abordagem dos blocos</p><p>integradores para o modelo linear na qual qualquer condição inicial</p><p>arbitrária pode ser aplicada. A Figura 6.19 apresenta o diagrama Simulink</p><p>para o modelo linear do tanque. Note que o núcleo da simulação é a Eq.</p><p>(6.28), que envolve δQent como a variável de entrada e δP a variável</p><p>dinâmica. Assim sendo, a simulação calcula a perturbação da vazão de</p><p>entrada δQent = Qent – Q*ent usando a junção soma que compara os dois</p><p>sinais constantes de entrada. Como a solução do modelo linear Eq. (6.28) é</p><p>em termos da perturbação na pressão δP, deve-se adicionar a pressão</p><p>nominal P* de modo a obter a aproximação linear da pressão no tanque P</p><p>como mostrado na Figura 6.19.</p><p>Figura 6.19 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.8: modelo linear do tanque.</p><p>Como no modelo não linear, o usuário deve ajustar os parâmetros</p><p>constantes no espaço de trabalho MATLAB antes de executar a simulação</p><p>na Figura 6.19. Devem ser ajustados os parâmetros Q_ent, Q_ent_nom,</p><p>P_nom e dP0 (a perturbação inicial na pressão para o bloco integrador). O</p><p>arquivo MATLAB M 6.2 (denominado executar_tanque_linear.m) ajusta</p><p>os parâmetros requeridos, executa o modelo linear Simulink</p><p>tanque_linear.mdl (Fig. 6.19) e traça o gráfico da aproximação linear para</p><p>a pressão P(t).</p><p>Agora é possível executar ambas as simulações e</p><p>técnicas gráficas, o método do lugar das raízes e o</p><p>diagrama de Bode, que são discutidas nesse capítulo.</p><p>O Capítulo 11 apresenta cinco casos de estudo em engenharia que</p><p>demonstram os três principais objetivos do livro: modelagem, análise, e</p><p>controle de sistemas dinâmicos. Esses exemplos são inspirados pela</p><p>pesquisa na literatura em engenharia e envolvem sistemas físicos tais como</p><p>suspensão de veículos e atuadores. O capítulo final serve como um</p><p>“clímax” para o livro.</p><p>O Apêndice A apresenta as unidades e o Apêndice B fornece um breve</p><p>resumo do uso do MATLAB, seus comandos e a programação com o</p><p>MATLAB. Apenas os comandos MATLAB que possibilitam a solução de</p><p>problemas em sistemas dinâmicos e de controle são apresentados no</p><p>Apêndice B. O Apêndice C é um tutorial sobre o emprego do Simulink para</p><p>simular sistemas dinâmicos lineares e não lineares.</p><p>Ê</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>Melone, K., “SAILing Through Space”, Boeing Frontiers, Vol. 9,</p><p>September 2010, pp. 24-25.</p><p>http://www.mathworks.com/products/simulink/ (acessado em 10 de</p><p>março de 2014).</p><p>Dvorak, P., “Software Simulates Many Disciplines in One Model”,</p><p>MachineDesign.com, http://machinedesign.com/article/software-</p><p>simulates-many-disciplines-in-one-model-1106 (acessado em 10 de</p><p>março de 2014).</p><p>http://www.mscsoftware.com/Products/CAE-Tools/Easy5.aspx</p><p>(acessado em 10 de março de 2014).</p><p>http://www.mathworks.com/products/simulink/</p><p>http://machinedesign.com/</p><p>http://machinedesign.com/article/software-simulates-many-disciplines-in-one-model-1106</p><p>http://www.mscsoftware.com/Products/CAE-Tools/Easy5.aspx</p><p>2.1 INTRODUÇÃO</p><p>O objetivo deste e dos próximos dois capítulos é desenvolver os modelos</p><p>matemáticos de sistemas físicos de engenharia. Este capítulo introduz as</p><p>técnicas fundamentais para a determinação das equações que modelam os</p><p>sistemas mecânicos, compostos por elementos inércia, rigidez e atrito. Os</p><p>modelos matemáticos de sistemas mecânicos são desenvolvidos pela</p><p>aplicação das leis de movimento de Newton, que governam a interação entre</p><p>força, massa e aceleração. É utilizada a abordagem de sistemas de parâmetros</p><p>concentrados, e, por isso, o modelo matemático consiste em equações</p><p>diferenciais ordinárias (EDOs). Sistemas mecânicos com movimento de</p><p>translação e movimento de rotação em relação a eixos fixos são tratados neste</p><p>capítulo.</p><p>O leitor deve ter em mente que o objetivo geral deste capítulo é determinar</p><p>os modelos matemáticos que representam o comportamento de sistemas</p><p>mecânicos. Não será dada (ainda) atenção à obtenção da resposta desses</p><p>sistemas a entradas em força ou movimento conhecidos, o que será discutido</p><p>nos Capítulos 6–9.</p><p>2.2 LEIS DE ELEMENTOS MECÂNICOS</p><p>Um sistema mecânico é composto por elementos inércia, rigidez e de</p><p>dissipação de energia. Além disso, podem conter transformadores mecânicos,</p><p>tais como engrenagens e alavancas. Esta seção apresenta descrições sucintas</p><p>das leis fundamentais que representam esses elementos mecânicos.</p><p>Elementos Inércia</p><p>Elementos inércia são tanto as massas concentradas (sistemas mecânicos de</p><p>translação) quanto os momentos de inércia (sistemas mecânicos de rotação).</p><p>Eles são facilmente identificados na segunda lei de Newton</p><p>Assim sendo, o elemento inércia é a razão entre a força e a aceleração (ou</p><p>torque e a aceleração angular). Um corpo rígido que possui movimento de</p><p>translação (“em linha reta”) tem toda a sua massa concentrada em um único</p><p>elemento, m, com unidade de kg. Um corpo rígido com movimento de rotação</p><p>pura em torno de um eixo possui toda a sua massa concentrada em um</p><p>momento de inércia, J, definido como</p><p>no qual dm é uma massa infinitesimal com distância radial r em relação ao</p><p>eixo de rotação. A Eq. (2.1) mostra que J possui unidade de kg·m2. Equações</p><p>para os momentos de inércia podem ser determinadas para corpos rígidos,</p><p>homogêneos com forma (geometria) padrão. Um exemplo é um disco</p><p>cilíndrico com raio R e massa M uniformemente distribuída. O momento de</p><p>inércia em torno do eixo de simetria para um disco uniforme é</p><p>Elementos inércia podem armazenar energia potencial por causa da</p><p>posição no campo gravitacional, ou energia cinética em razão do movimento.</p><p>Energia potencial ξP de uma massa m em um campo uniforme com constante</p><p>gravitacional g é</p><p>na qual h é a posição vertical da massa medida em relação a uma altura de</p><p>referência. A Eq. (2.3) mostra que a energia potencial possui dimensões de</p><p>força (mg) e comprimento (h), ou unidades de N·m ou joule (J). A energia</p><p>cinética ξC de uma massa m se movendo com velocidade = dx/dt é</p><p>A energia cinética de um momento de inércia J girando com velocidade</p><p>angular é</p><p>Como estabelecido no Capítulo 1, será adotada ao longo do livro a convenção</p><p>do ponto sobre a variável para indicar sua derivada em relação ao tempo;</p><p>assim = dθ e = d2x/dt2. A Eq. (2.4) mostra que a energia cinética de</p><p>translação possui dimensão de massa (m) e velocidade ao quadrado (x2), ou</p><p>unidades de kg·m2/s2, que é equivalente a N·m ou joules. A Eq. (2.5) mostra</p><p>que a energia cinética de rotação possui dimensão de momento de inércia (J) e</p><p>velocidade angular ao quadrado (θ2), ou unidades de kg·m2 rad2/s2, que é</p><p>equivalente a N·m ou joules. Obviamente, todas as expressões de energia</p><p>devem ter as mesmas unidades de N·m ou joules.</p><p>Elementos Rigidez</p><p>Quando um elemento mecânico armazena energia por causa da deformação ou</p><p>à mudança de forma, deve ser modelado com um elemento rigidez. Nesses</p><p>casos, uma relação fundamental entre força e a deformação resultante é</p><p>necessária para modelar a rigidez. A relação força-deformação mais simples é</p><p>a lei de Hooke, que estabelece a força necessária para estender ou comprimir</p><p>uma mola como proporcional ao deslocamento. A Figura 2.1 mostra uma</p><p>mola fixada em sua extremidade esquerda, mas livre na direita. Suponha que</p><p>uma força de tração F é aplicada na extremidade (livre) direita e x é o</p><p>deslocamento correspondente em relação à sua posição de equilíbrio (não</p><p>estendida). A força necessária para produzir o deslocamento x é</p><p>na qual k é denominado constante de mola e possui unidades de N/m.</p><p>Obviamente, Eq. (2.6) é uma relação linear entre força e deslocamento. A</p><p>Figura 2.1 mostra que a convenção positiva para o deslocamento x é para a</p><p>direita e, portanto, a convenção positiva para a força F é também para a</p><p>direita. Se a força F é compressiva, então ambos, F e x, são negativos e a Eq.</p><p>(2.6) é também válida.</p><p>Figura 2.1 Força alongando a extremidade livre de uma mola.</p><p>Quando ambas as extremidades de uma mola são livres para mover, então</p><p>a força requerida para estender ou comprimir uma mola depende do</p><p>deslocamento relativo</p><p>A Figura 2.2 mostra o caso no qual uma força de tração F é aplicada em</p><p>ambas as extremidades da mola k, e x1 e x2 são os deslocamentos absolutos (o</p><p>deslocamento positivo é para a direita). As posições de referência para x1 e x2</p><p>são mostradas na Figura 2.2 e representam as posições não estendidas (de</p><p>equilíbrio) quando não há força aplicada na mola. Assim, a Eq. (2.7) e a</p><p>Figura 2.2 mostram que se ambas as extremidades da mola são deslocadas por</p><p>+ 0,1 m, então não existe força, F = 0. Se x2 = + 0,25 m e x1 = + 0,15 m, então</p><p>existe uma força de tração proporcional ao deslocamento relativo de 0,1 m. Se</p><p>x2 = + 0,15 m e x1 = + 0,25 m, então existe uma força de compressão</p><p>proporcional ao deslocamento relativo de 0,1 m. Além disso, a Eq. (2.7)</p><p>mostra que a força compressiva F é negativa, o que está de acordo com a</p><p>convenção para o sentido positivo estabelecido na Figura 2.2.</p><p>Figura 2.2 Força deformando as extremidades livres de uma mola.</p><p>Figura 2.3 Torque girando a extremidade livre de um eixo sob torção.</p><p>Um sistema mecânico de rotação possui rigidez quando existe uma relação</p><p>entre um torque aplicado e o deslocamento angular resultante. Um exemplo</p><p>básico é um eixo submetido à torção descrito na Figura 2.3, na qual a</p><p>extremidade esquerda do eixo é fixada e a extremidade direita é livre. O</p><p>deslocamento angular positivo θ (em radianos) é mostrado como sendo no</p><p>sentido horário e é medido em relação à posição não deformada (de</p><p>equilíbrio)</p><p>da extremidade livre. A aplicação de um torque T positivo resulta</p><p>em um deslocamento angular positivo. A relação linear torque-deslocamento é</p><p>na qual k é denominada constante de rigidez torcional e possui unidades de</p><p>N·m/rad. Quando ambas as extremidades do eixo são livres para girar, o</p><p>torque depende do deslocamento angular relativo</p><p>Elementos rigidez podem armazenar energia potencial por causa das</p><p>deformações ou deflexões. A energia potencial ξP armazenada em uma mola</p><p>de translação ideal é</p><p>na qual Δx = x2 – x1, ou o deslocamento relativo entre as extremidades livres</p><p>da mola. Note que as unidades de energia na Eq. (2.1) são (N/m)·m2, ou N·m,</p><p>o que se reconhece da mecânica básica como as mesmas unidades para</p><p>trabalho (= força × deslocamento). Lembre-se que a energia pode ser definida</p><p>como a capacidade para realizar trabalho, e assim energia e trabalho possuem</p><p>as mesmas unidades.</p><p>A energia potencial em uma mola torcional ideal é</p><p>na qual Δθ = θ2 – θ1 é o deslocamento angular relativo entre as extremidades</p><p>livres da mola torcional. A energia potencial armazenada em uma mola</p><p>torcional possui unidades de (N·m/rad)·rad2, ou N·m, o que novamente são as</p><p>mesmas unidades para trabalho.</p><p>Quando são modelados sistemas mecânicos que possuem elementos</p><p>rigidez, normalmente todos os efeitos de rigidez do sistema são concentrados</p><p>em um “elemento mola”, existindo ou não uma mola mecânica física (real) no</p><p>sistema. Em alguns casos, tal como uma válvula hidráulica com uma mola de</p><p>retorno, uma mola física pode existir no sistema mecânico. Em outros casos, o</p><p>“elemento rigidez” mostrado na Figura 2.1 pode ser empregado para</p><p>representar a rigidez intrínseca de um corpo deformável. Neste livro, são</p><p>tratados sistemas concentrados. Assim sendo, todos os efeitos de rigidez serão</p><p>concentrados em um elemento rigidez e todas as massas concentradas em</p><p>elementos inércia. Desse modo, são tratados elementos molas “ideais” que</p><p>não possuem inércia e nos quais não há efeitos de dissipação de energia.</p><p>Elementos mola podem exibir relações força-deslocamento lineares ou</p><p>não lineares. As Eqs. (2.6)–(2.9) representam elementos mola linear. Molas</p><p>mecânicas reais exibem efeitos não lineares quando submetidos a</p><p>deslocamentos extremos; por exemplo, a rigidez diminui conforme uma mola</p><p>é deformada além do seu ponto de escoamento.</p><p>Em alguns casos, é possível determinar equações para a constante de mola</p><p>k. Por exemplo, a constante de mola de translação para uma haste uniforme</p><p>em tração ou compressão é</p><p>na qual E é o módulo de elasticidade de Young para o material da haste, A é a</p><p>área de seção reta, e L é o comprimento da haste. Para um eixo circular em</p><p>torção, a constante de mola torcional é</p><p>na qual G é o módulo de elasticidade de cisalhamento, d é o diâmetro do eixo</p><p>e L seu comprimento. Expressões para k das molas mecânicas podem ser</p><p>encontradas em livros sobre projetos de máquinas, e essas constantes de mola</p><p>dependem das propriedades dos materiais, das características geométricas (tais</p><p>como os raios da helicoide e o diâmetro do fio em molas helicoidais) e do</p><p>número de espiras.</p><p>Elementos Atrito</p><p>Quando um elemento mecânico dissipa energia em razão do seu movimento,</p><p>pode ser modelado como um elemento atrito. Nesses casos, uma relação</p><p>fundamental entre a velocidade relativa e força de resistência é necessária para</p><p>modelar o atrito. Assim como foi empregado um “elemento mola” para</p><p>modelar a rigidez em sistemas mecânicos, será usado um elemento</p><p>“amortecedor” para representar o atrito. A Figura 2.4 mostra um amortecedor</p><p>de translação, que é um cilindro com fluido no seu interior e possui um pistão</p><p>e uma haste. A velocidade absoluta do pistão/haste é 2 (positiva para a</p><p>direita), e a velocidade absoluta do cilindro é 1 (também positiva para a</p><p>direita). Se o amortecedor possui uma relação linear entre a força resistiva e o</p><p>seu movimento relativo, então a força do amortecedor é</p><p>na qual b é o coeficiente de atrito viscoso, com dimensões de</p><p>força/velocidade, ou unidades de N·s/m. Fica claro que a força do</p><p>amortecedor depende da velocidade relativa entre o pistão/haste e o cilindro.</p><p>Figura 2.4 Amortecedor de translação.</p><p>Elementos atrito podem apenas dissipar energia. A partir da mecânica</p><p>básica sabe-se que a potência é a taxa de variação no tempo da energia, ou</p><p>força × velocidade. Considere um amortecedor de translação no qual é o</p><p>módulo da velocidade do pistão relativa ao cilindro estacionário. A taxa de</p><p>dissipação de energia no amortecedor é</p><p>Lembre-se de que a energia é o produto escalar do vetor força e do vetor</p><p>deslocamento, e, portanto, o sinal menos é inserido para indicar que a força de</p><p>atrito é no sentido contrário ao da velocidade. A Eq. (2.15) mostra que a taxa</p><p>de perda de energia é sempre negativa, independentemente do sentido da</p><p>velocidade. A potência ou taxa de variação no tempo da energia possui</p><p>unidades de N·m/s ou J/s ou watts (W).</p><p>Agora, considere um amortecedor rotacional ou torcional, no qual o torque</p><p>de amortecimento é proporcional à velocidade angular relativa</p><p>Aqui b é o coeficiente de atrito viscoso torcional, com dimensões de</p><p>torque/velocidade angular, ou unidades de N·m×s/rad. Um exemplo de</p><p>amortecedor de rotação é um acoplamento fluido, no qual dois discos estão</p><p>separados por um fluido viscoso, e o torque de atrito existe se a velocidade</p><p>angular relativa 2 – 1 é não nula. A taxa de dissipação de energia em um</p><p>amortecedor rotacional é o produto do torque de atrito e da velocidade</p><p>angular, análogo à Eq. (2.15) para a taxa de dissipação de energia do</p><p>amortecedor de translação.</p><p>Quando é modelado um sistema mecânico que envolve dissipação da</p><p>energia devida ao atrito, os efeitos de atrito são concentrados em um</p><p>“elemento amortecedor”, existindo ou não um componente físico real pistão-</p><p>cilindro do tipo amortecedor. Em alguns casos, como os amortecedores da</p><p>suspensão de um automóvel, um amortecedor físico pistão-cilindro realmente</p><p>existe no sistema mecânico. Assim, como é empregado o símbolo genérico de</p><p>mola para representar o efeito de rigidez, pode-se usar os símbolos genéricos</p><p>de amortecedor de translação ou de rotação mostrados na Figura 2.5 para</p><p>representar qualquer atrito em um sistema mecânico. Novamente, análogo à</p><p>mola ideal, o elemento amortecedor ideal não possui inércia ou rigidez.</p><p>Figura 2.5 Símbolos genéricos para os elementos amortecedor: (a) de translação e (b) de</p><p>rotação.</p><p>Atrito em sistemas mecânicos pode envolver relações não lineares entre</p><p>força e velocidade. Exemplos comuns são o atrito seco (Coulomb) ou a lei de</p><p>atrito quadrática (como o arrasto aerodinâmico). No caso do atrito seco ou</p><p>Coulomb, a força resistiva permanece constante e contrária ao movimento,</p><p>enquanto a velocidade relativa não é nula. Para o atrito de arrasto, a força</p><p>resistiva é proporcional ao quadrado da velocidade relativa.</p><p>Transformadores Mecânicos</p><p>Aparatos mecânicos que transformam uma entrada de movimento ou de força</p><p>são denominados transformadores mecânicos. Exemplos comuns incluem</p><p>alavancas e trens de engrenagens. A Figura 2.6 mostra uma alavanca ideal,</p><p>que consiste em uma barra fina girando em torno de uma rótula fixa. Uma</p><p>alavanca ideal é rígida, e não possui inércia nem atrito, e, portanto, não pode</p><p>armazenar ou dissipar energia. Os deslocamentos verticais das extremidades</p><p>esquerda e direita da alavanca na Figura 2.6 são L1 sen θ e L2 sen θ,</p><p>respectivamente. Para um pequeno angulo de rotação sen θ ≈ θ e os</p><p>deslocamentos verticais são aproximadamente L1θ e L2θ. Como a alavanca</p><p>ideal não tem inércia, o momento em torno da rótula é zero, e, portanto, f1 L1</p><p>cos θ = f2 L2 cos θ; para pequenos ângulos cos θ ≈ 1 e f1 L1 = f2 L2. Se a força f1</p><p>for considerada a força de entrada, então a força de saída da alavanca é f2 = f1</p><p>L1/L2, que é maior do que a força de entrada quando o comprimento L1 > L2.</p><p>Figura 2.6 Alavanca ideal.</p><p>A Figura 2.7 mostra um trem de engrenagens, que pode ser empregado</p><p>para aumentar ou diminuir a velocidade angular ou torque do eixo de entrada</p><p>para o eixo de saída. Em um trem de engrenagens ideal</p><p>assume-se que as</p><p>engrenagens possuem inércia zero, os dentes das engrenagens encaixam</p><p>perfeitamente, sem folga, e a energia é transmitida do eixo de entrada para o</p><p>eixo de saída sem perdas (não há atrito). Como os dentes das engrenagens</p><p>encaixam perfeitamente, os dentes estão igualmente espaçados em ambas as</p><p>engrenagens, e, portanto, a razão dos raios das engrenagens (r2/r1) é igual à</p><p>razão do número de dentes das engrenagens (n2/n1).</p><p>Figura 2.7 Trem de engrenagens ideal.</p><p>na qual N é denominada relação de transmissão. Pode-se determinar a razão</p><p>entre as velocidades angulares da entrada e da saída para o trem de</p><p>engrenagens apenas considerando que a velocidade no ponto de contato</p><p>(encaixe) é a mesma em ambas as engrenagens, isso é, Vcontato = r1ω1 = r2ω2.</p><p>Assim sendo, a razão entre as velocidades angulares é</p><p>Se a engrenagem no eixo de entrada possui raio menor do que a do eixo de</p><p>saída como na Figura 2.7, então N > 1 e a velocidade angular de saída ω2 é</p><p>menor que a de entrada ω1 e o trem de engrenagens é um redutor de</p><p>velocidade. Se r1 > r2, então ω2 > ω1 e o eixo de saída gira mais rápido do que</p><p>o de entrada.</p><p>Como o atrito é desprezado em um trem de engrenagens ideal, a energia é</p><p>transmitida sem perdas. Trabalho (ou energia) para um sistema rotacional é</p><p>torque × deslocamento angular, e, portanto, potência é torque × velocidade</p><p>angular. Igualando a potência no eixo de entrada com a liberada no eixo de</p><p>saída tem-se T1ω1 = T2ω2, e, assim, a razão de torques entrada-saída é</p><p>Portanto, quando um trem de engrenagens é um redutor de velocidades (como</p><p>na Figura 2.7), o torque de saída T2 é maior do que o de entrada T1.</p><p>2.3 SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO</p><p>1.</p><p>2.</p><p>Modelos matemáticos de sistemas mecânicos podem ser determinados usando</p><p>o procedimento esquemático de dois passos:</p><p>Desenhe um diagrama de corpo livre (DCL) para cada elemento</p><p>inércia com setas representando as forças (ou torques) externos</p><p>atuando em cada massa (ou momento de inércia). Use a terceira lei de</p><p>Newton para mostrar as forças (ou torques) de reação iguais e opostas</p><p>nos elementos inércia interconectados. Escreva com atenção</p><p>equações para cada força (ou torque) usando a lei do elemento</p><p>apropriada e as convenções positivas para as variáveis de</p><p>deslocamento.</p><p>Aplique a segunda lei de Newton para cada elemento inércia para</p><p>obter o modelo matemático do sistema mecânico completo.</p><p>A segunda lei de Newton para sistemas de translação estabelece que a soma</p><p>de todas as forças externas atuando sobre um corpo é igual ao produto da</p><p>massa m e da aceleração do corpo</p><p>O leitor deve ter cuidado para somar as forças de acordo com a convenção</p><p>positiva condizente com a adotada para os deslocamentos (e, portanto,</p><p>também com a aceleração positiva).</p><p>Exemplo 2.1</p><p>Um sistema atuador por solenoide de alta velocidade e válvula é mostrado na</p><p>Figura 2.8. Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico.</p><p>Figura 2.8 Sistema atuador solenoide-válvula para o Exemplo 2.1.</p><p>Esse tipo de atuador é usado em sistemas hidráulicos e pneumáticos para</p><p>posicionar válvulas carretel visando ao controle do fluxo de fluido. A corrente</p><p>elétrica circula na bobina que envolve a armadura (pistão) e gera um campo</p><p>magnético, que produz uma força atrativa na armadura, puxando-a para a</p><p>direita. Desse modo, a força eletromagnética puxa a armadura para o centro da</p><p>bobina e fecha o entreferro. A armadura é rigidamente conectada ao carretel</p><p>por meio de uma haste, e portanto eles podem ser considerados uma única</p><p>massa concentrada. O movimento da massa armadura-válvula é puramente de</p><p>translação e na direção horizontal, e ambos a força eletromagnética e o</p><p>deslocamento da massa são positivos para a direita. Quando a força</p><p>eletromagnética desloca a armadura-válvula para a direita a partir da sua</p><p>posição inicial, a mola de retorno é comprimida e empurra de volta a válvula</p><p>carretel para a esquerda. Assim a mola de retorno é usada para trazer de volta</p><p>a massa armadura-válvula à sua posição inicial quando a força</p><p>eletromagnética é removida. Para esse exemplo, assume-se que a mola de</p><p>retorno encontra-se não deformada quando a armadura-válvula está na sua</p><p>posição inicial.</p><p>A Figura 2.9 mostra uma descrição esquemática dos componentes</p><p>mecânicos do atuador solenoide usando os elementos inércia, rigidez e atrito.</p><p>Como a armadura e a válvula carretel são rigidamente conectadas, ambas as</p><p>massas serão concentradas em um único elemento m. A posição da massa</p><p>armadura-válvula é denominada x, que é medida a partir da posição de</p><p>equilíbrio estático (mola não deformada com a massa em repouso). O</p><p>deslocamento positivo x é para a direita, como indicado na figura. A força</p><p>eletromagnética Fem é uma força externa aplicada diretamente sobre a massa</p><p>m. Assume-se que o atrito causado pelo movimento da válvula imersa no</p><p>fluido hidráulico é modelado por um coeficiente de atrito viscoso linear b, ou</p><p>um elemento amortecedor ideal. Finalmente, a mola de retorno é modelada</p><p>por uma mola ideal (linear) com coeficiente de rigidez k. A mola de retorno</p><p>encontra-se sem deformação quando a massa armadura-válvula está na</p><p>posição inicial e x = 0. Nesse ponto, o leitor deve ser capaz de identificar os</p><p>vários elementos mecânicos tanto no esquema do solenoide (Fig. 2.8) quanto</p><p>no seu esquema sistema mecânico equivalente (Fig. 2.9).</p><p>O modelo matemático desse sistema será desenvolvido aplicando o</p><p>procedimento de dois passos. Inicialmente, o DCL da massa m (veja a Fig.</p><p>2.10) é desenhado com as forças externas Fem (a força eletromagnética</p><p>aplicada), a força da mola e a força do amortecedor. A força aplicada Fem é</p><p>positiva para a direita, conforme dado na definição do problema. O sentido</p><p>apropriado da força da mola pode ser determinado assumindo um</p><p>deslocamento positivo para a massa m. A Figura 2.9 mostra que se x > 0, a</p><p>mola é comprimida, e, portanto, ela irá “empurrar” a massa m para a esquerda</p><p>com uma força igual à kx. A Figura 2.10 mostra o sentido apropriado para a</p><p>força da mola, com a equação correspondente. O sentido da força do</p><p>amortecedor é determinado de maneira similar: uma velocidade positiva para</p><p>a massa m é assumida, o que resulta em uma força resistiva oposta ao</p><p>movimento. Desse modo a força do amortecedor é também para a esquerda no</p><p>DCL. Se a massa m estiver se movendo para a esquerda ( < 0), então a força</p><p>do amortecedor atua para a direita e o DCL na Figura 2.10 continua válido.</p><p>Figura 2.9 Atuador solenoide como um sistema mecânico (Exemplo 2.1).</p><p>Figura 2.10 Diagrama de corpo livre para um atuador solenoide (Exemplo 2.1).</p><p>Em seguida, aplicando a segunda lei de Newton e somando as forças</p><p>externas sobre a massa m com a convenção do sinal positivo para a direita</p><p>É uma prática normal colocar todas as variáveis “dinâmicas” ou “de saída” e</p><p>suas derivadas em um lado do sinal de igualdade e todas as variáveis de</p><p>entrada no outro lado. Assim sendo, rearranjando a equação anterior, tem-se</p><p>A Eq. (2.21) é o modelo matemático do componente mecânico atuador</p><p>solenoide. Ele é conhecido como um sistema massa-mola-amortecedor</p><p>porque consiste em um elemento inércia, um elemento rigidez e um elemento</p><p>atrito. O modelo matemático (2.21) é uma EDO linear, de segunda ordem.</p><p>Normalmente, obtém-se uma EDO de segunda ordem para cada elemento</p><p>inércia de um sistema mecânico, desde que sejam usados os deslocamentos</p><p>dos elementos inércia no modelo matemático. Esse fato decorre da aplicação</p><p>de F = m em cada massa, o que resulta em uma EDO de segunda ordem. O</p><p>único sistema massa-mola-amortecedor na Figura 2.9 é um sistema de um</p><p>grau de liberdade (1 GL), pois apenas uma única coordenada variável</p><p>independente (x nesse caso) é necessária para determinar a posição do único</p><p>elemento inércia. A força eletromagnética Fem é a entrada do sistema. Esse</p><p>exemplo do solenoide será revisitado no Capítulo 3 e discutido como a força</p><p>eletromagnética é gerada pela corrente que atravessa uma bobina.</p><p>Movimento Vertical</p><p>O Exemplo 2.1 apresentou um sistema mecânico com movimento de</p><p>translação horizontal. Vários sistemas mecânicos envolvem movimento</p><p>de</p><p>translação vertical, no qual as forças gravitacionais devem ser consideradas</p><p>nas equações dinâmicas. Um exemplo é um sistema de suspensão para um</p><p>automóvel, no qual os amortecedores e molas suportam o conjunto eixo-roda</p><p>e amortecem as vibrações provocadas pela via. As forças gravitacionais</p><p>aparecem ou não explicitamente no modelo matemático, dependendo da</p><p>escolha das coordenadas de deslocamento, o que pode ser demonstrado com</p><p>um simples exemplo de 1 GL.</p><p>Exemplo 2.2</p><p>O sistema mecânico mostrado na Figura 2.11a é composto por uma única</p><p>massa m, uma mola k e um amortecedor b. A posição vertical da massa é x,</p><p>que é medida a partir da posição não deformada da mola.</p><p>A Figura 2.11b mostra o DCL da massa m, que inclui a força da mola, a</p><p>força do amortecedor e a força gravitacional mg. Somando todas as forças</p><p>externas considerando o sentido para baixo como a convenção de sinal</p><p>positivo (veja a Fig. 2.11a) e aplicando a segunda lei de Newton, tem-se</p><p>Rearranjando essa equação com todas as variáveis dinâmicas no lado</p><p>esquerdo, tem-se</p><p>Figura 2.11 (a) Sistema massa-mola-amortecedor vertical para o Exemplo 2.2 e (b) diagrama</p><p>de corpo livre.</p><p>A Eq. (2.22) é o modelo matemático do sistema massa-mola-amortecedor</p><p>vertical para o caso no qual o deslocamento x é medido a partir da posição da</p><p>mola não deformada. Note que a força gravitacional mg aparece no lado</p><p>direito como uma entrada para o modelo do sistema mecânico.</p><p>Pode-se redefinir o modelo matemático de modo que a força gravitacional</p><p>mg não apareça explicitamente na EDO. Inicialmente, considera-se o caso no</p><p>qual o sistema mecânico vertical na Figura 2.11a encontra-se em repouso na</p><p>posição de equilíbrio, isso é, = = 0. Assim sendo, a partir do modelo</p><p>matemático (2.22), obtém-se kx = mg e a força de mola equilibra a força</p><p>gravitacional. Definindo a deflexão estática da mola como</p><p>Em seguida, definindo z como a posição da massa relativa à sua deflexão</p><p>estática, então a deflexão total é x = d + z. Em outras palavras, quando z = 0, a</p><p>massa está em sua posição de deflexão estática x = d. Pode-se calcular a</p><p>primeira e a segunda derivadas no tempo de x = d + z para obter = + e</p><p>= + , que podem ser simplificadas para = e = porque a deflexão</p><p>estática d é constante. Finalmente, pode-se substituir = , = e x = d + z</p><p>no modelo matemático (2.22) para obter</p><p>A força de deflexão estática da mola cancela a força gravitacional, ou kd =</p><p>mg, e então o modelo matemático se torna</p><p>A Equação (2.24) é o modelo matemático do sistema mecânico básico em</p><p>termos da variável de posição z (deflexão a partir do equilíbrio estático). Ele é</p><p>idêntico ao modelo (2.22). Note que a força gravitacional não aparece na Eq.</p><p>(2.24). Normalmente, as forças gravitacionais não aparecem nas equações</p><p>matemáticas que modelam sistemas mecânicos com movimento vertical nos</p><p>quais todas as variáveis posição são referidas às suas respectivas posições de</p><p>equilíbrio estático. Essa convenção é usualmente adotada porque as medidas</p><p>em laboratórios de sistemas físicos são tipicamente referenciadas à posição</p><p>“zero” quando o sistema está em repouso. No próximo exemplo esse conceito</p><p>será demonstrado mais detalhadamente.</p><p>Exemplo 2.3</p><p>A Figura 2.12a mostra o esquema de um sistema de assento com suspensão,</p><p>que é projetado para atenuar (suprimir) as vibrações do terreno transmitidas ao</p><p>motorista [1]. Desenvolva o modelo matemático completo.</p><p>Figura 2.12 (a) Diagrama esquemático do sistema suspensão-assento do Exemplo 2.3. (b)</p><p>Modelo mecânico do sistema suspensão-assento.</p><p>A Figura 2.12b mostra o modelo mecânico concentrado do sistema</p><p>suspensão-assento. A massa total do assento é m1, enquanto a m2 representa a</p><p>massa do motorista. A mola ideal k1 e o amortecedor viscoso b1 modelam o</p><p>amortecedor físico, conectando o assento ao assoalho da cabine do veículo. A</p><p>mola ideal k2 e o coeficiente de atrito b2 representam, respectivamente, a</p><p>rigidez e o amortecimento da almofada do assento. Finalmente, z1 é o</p><p>deslocamento vertical da massa do assento e z2 é o da massa do motorista, e</p><p>ambos são medidos com relação às suas posições de equilíbrio estático. O</p><p>deslocamento vertical do assoalho da cabine (por causa das vibrações</p><p>induzidas pelo terreno) é z0(t) (note que o sentido para cima é a convenção de</p><p>sinal positivo para todos os deslocamentos como definido pela Referência 1).</p><p>A descrição completa da análise e do projeto do sistema suspensão-assento é</p><p>apresentada no Capítulo 11. Entretanto, todos os problemas de projeto</p><p>envolvendo sistemas dinâmicos iniciam com o desenvolvimento de modelos</p><p>matemáticos, que são tratados nesse exemplo.</p><p>A Figura 2.13 mostra o DCL do sistema mecânico de duas massas. A</p><p>convenção positiva (para cima) para os deslocamentos z1 e z2 são também</p><p>mostradas. Obviamente, todas as forças de molas e amortecedores dependem</p><p>dos deslocamentos e velocidades relativos entre a massa do assento e o</p><p>assoalho da cabine, e das massas do assento e do motorista, respectivamente.</p><p>Assume-se que o deslocamento relativo z1 – z0 é positivo, quando a mola da</p><p>suspensão k1 está em tração e a força de reação atua para baixo sobre a massa</p><p>do assento m1 como mostrado na Figura 2.13. Similarmente, considera-se que</p><p>o deslocamento relativo z1 – z2 é positivo, quando a almofada do assento é</p><p>comprimida e a força de reação atua para baixo sobre a massa do acento m1 e</p><p>para cima na do motorista m2 como mostrado pelas forças de mola k(z1 – z2)</p><p>iguais e contrárias no DCL. As forças de atrito dependem da velocidade</p><p>relativa. Se for assumido que a velocidade relativa 1 – 0 é positiva (isto é, a</p><p>massa do assento m1 está se movendo “para fora” em relação ao assoalho da</p><p>cabine), então a força de reação do atrito b1( 1 – 0) sobre a massa m1 se opõe</p><p>ao movimento relativo, como mostrado no DCL. Similarmente, se for</p><p>assumido que a velocidade relativa 1 – 2 é positiva (isto é, as massas do</p><p>assento m1 e do motorista m2 estão “se aproximando”), então a força de reação</p><p>do amortecimento da almofada do assento atua para baixo sobre a massa do</p><p>assento m1 e para cima sobre a do motorista m2, como mostrado pelas forças</p><p>do amortecedor iguais e contrárias b2 ( 1 – 2) no DCL. O leitor deve perceber</p><p>que os DCLs na Figura 2.13 permanecem válidos se forem assumidos</p><p>deslocamentos e velocidades relativos negativos, nos quais as setas das forças</p><p>serão invertidas. Finalmente, como os deslocamentos estão referenciados às</p><p>posições de equilíbrio estático, as forças gravitacionais não aparecem nos</p><p>DCLs.</p><p>Figura 2.13 Diagrama de corpo livre para o sistema suspensão-assento (Exemplo 2.3).</p><p>Somando todas as forças externas com a convenção de sinal positivo para</p><p>cima e aplicando a segunda lei de Newton, tem-se</p><p>Rearranjando essas equações com as variáveis dinâmicas (z1 e z2) no lado</p><p>esquerdo e a variável de entrada z0 no lado esquerdo, tem-se</p><p>As Eqs. (2.25a) e (2.25b) representam o modelo matemático do sistema</p><p>suspensão-assento. Como existem dois elementos inércia, o modelo completo</p><p>consiste em duas EDOs de segunda ordem, acopladas, significando que não se</p><p>pode resolver uma separadamente da outra. O modelo é linear porque foram</p><p>assumidos elementos rigidez e amortecimento lineares. Além disso, o leitor</p><p>deve notar que todos os termos relacionados com aceleração, velocidade e</p><p>posição da massa m1 na Eq. (2.25a) possuem o mesmo sinal, isso é, são</p><p>positivos. Similarmente, todos os termos associados à z2 (e suas derivadas) na</p><p>Eq. (2.25b) possuem o mesmo sinal. Normalmente, essas condições ocorrem</p><p>para um sistema que é inerentemente estável. A intuição diz que o sistema</p><p>suspensão-assento na Figura 2.12 é estável e sempre retornará ao equilíbrio</p><p>estático quando as vibrações de entrada z0(t) cessarem. No Capítulo 7, a</p><p>estabilidade será discutida em detalhes quando for tratada a resposta de</p><p>sistemas dinâmicos.</p><p>Sistemas Mecânicos com Não Linearidades</p><p>Vários sistemas mecânicos envolvem efeitos não lineares como o atrito</p><p>Coulomb (ou seco), folga em engrenagens e elementos rigidez que não</p><p>exibem características força-deformação lineares. Outro efeito não linear</p>