Modelagem-de-sistemas-dinâmicos

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Traduzido de 
DYNAMIC SYSTEMS: MODELING, SIMULATION, AND 
CONTROL, FIRST EDITION 
Copyright © 2015 John Wiley & Sons, Inc. 
All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley
& Sons, Inc. 
ISBN: 978-1-118-28945-7
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
K74s
Kluever, Craig A. 
Sistemas dinâmicos : modelagem, simulação e controle / Craig A. Kluever ; tradução Mauro
Speranza Neto. – 1. ed. – Rio de Janeiro : LTC, 2018. 
28 cm.
Tradução de: Dynamic systems : modeling, simulation, and control 
Apêndice 
Inclui bibliografia e índice
ISBN 978-85-216-3458-4
1. Engenharia mecânica. 2. Sistemas dinâmicos diferenciais. I. Speranza Neto, Mauro. II. Título.
17-44396 
 
CDD: 629.8 
CDU: 681.5
http://www.geethik.com/
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1
Prefácio
Introdução aos Sistemas Dinâmicos e de Controle
Introdução
Classificação de Sistemas Dinâmicos
Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Objetivos e Resumo do Livro
Referências
Modelagem de Sistemas Mecânicos
Introdução
Leis de Elementos Mecânicos
Sistemas Mecânicos de Translação
Sistemas Mecânicos de Rotação
Sumário
Referências
Problemas
Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos
Introdução
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Leis de Elementos Elétricos
Sistemas Elétricos
Circuitos com Amplificadores Operacionais
Sistemas Eletromecânicos
Sumário
Referências
Problemas
Modelagem de Sistemas Fluidos e Térmicos
Introdução
Sistemas Hidráulicos
Sistemas Pneumáticos
Sistemas Térmicos
Sumário
Referências
Problemas
Modelos-Padrão para Sistemas Dinâmicos
Introdução
Equações em Variáveis de Estado
Representação no Espaço de Estado
Linearização
Equações Entrada-Saída
Funções de Transferência
Diagramas de Blocos
Funções de Entrada-Padrão
Sumário
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
8
8.1
Problemas
Solução Numérica de Sistemas Dinâmicos
Introdução
respostas de Sistemas Usando Comandos MATLAB
Construindo Simulações Usando o Simulink
Simulando Sistemas Lineares Usando o Simulink
Simulando Sistemas Não Lineares
Construindo Sistemas Integrados
Sumário
Referências
Problemas
Solução Analítica de Sistemas Dinâmicos Lineares
Introdução
Soluções Analíticas para Equações Diferenciais Lineares
Resposta de Sistemas de Primeira Ordem
Resposta de Sistemas de Segunda Ordem
Sistemas de Ordem Superior
Representação no Espaço de Estado e Autovalores
Modelos Aproximados
Sumário
Referências
Problemas
Análise de Sistemas Usando a Transformada de Laplace
Introdução
8.2
8.3
8.4
9
9.1
9.2
9.3
9.4
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
Análise de Sistemas Dinâmicos Usando Transformadas de
Laplace
Sumário
Referências
Problemas
Análise de Resposta em Frequência
Introdução
Resposta em Frequência
Diagramas de Bode
Vibrações
Sumário
Referências
Problemas
Introdução aos Sistemas de Controle
Introdução
Sistemas de Controle Realimentados
Controladores
Precisão em Regime Permanente
Estabilidade da Malha Fechada
Método do Lugar Geométrico das Raízes
Margens de Estabilidade
Implementando Sistemas de Controle
Sumário
11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
Apêndice A
Apêndice B
B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
B.6
B.7
Apêndice C
C.1
Referências
Problemas
Estudo de Casos em Sistemas Dinâmicos e Controle
Introdução
Sistema de Isolamento de Vibrações para um Veículo
Comercial
Sistema Atuador Solenoide-Válvula
Sistema de Freio Pneumático a Ar
Controle de um Servomecanismo Hidráulico
Controle Realimentado de um Sistema de Levitação Magnética
Sumário
Referências
Unidades
Apostila MATLAB para Análise de Sistemas Dinâmicos
Introdução
Cálculos Básicos em MATLAB
Gráficos em MATLAB
Construindo Arquivos M Básicos
Comandos para Análise de Sistemas Lineares
Comandos para Análise Via Transformada de Laplace
Comandos para Análise de Controle de Sistemas
Apostila Simulink
Introdução
C.2
C.3
C.4
Construindo Modelos Simulink para Sistemas Lineares
Construindo Modelos Simulink para Sistemas Não Lineares
Sumário de Blocos Simulink Úteis
Este livro é direcionado para um curso introdutório de sistemas dinâmicos e
de controle, tipicamente requerido nos currículos de graduação de
engenharia mecânica e de alguns em engenharia aeroespacial. Tal curso é
normalmente feito no início ou no final do ciclo profissional, depois de o
estudante ter completado os cursos de mecânica básica, equações
diferenciais e circuitos elétricos. Os principais tópicos de cursos sobre
sistemas dinâmicos e de controle incluem: (1) modelagem matemática; (2)
análise da resposta do sistema; e (3) uma introdução ao controle de sistemas
realimentados. O primeiro objetivo do livro é um tratamento compreensível,
porém conciso, desses principais tópicos com ênfase na apresentação de
aplicações em problemas reais de engenharia. A minha experiência com
estudantes de graduação mostra que eles ficam mais interessados em um
curso de sistemas dinâmicos quando os conceitos são apresentados
empregando sistemas reais de engenharia (como um atuador hidráulico) em
vez de exemplos acadêmicos. Este livro é uma compilação de 20 anos de
notas de aula e estratégias para ensinar dinâmica de sistemas no
Departamento de Engenharia Mecânica e Aeroespacial da University of
Missouri-Columbia. Assim, está fundamentado em minhas experiências nas
salas de aula e na realimentação dada pelos estudantes, que finalmente
resultaram em um texto no qual as características-chave diferem dos livros
comumente encontrados sobre sistemas dinâmicos.
O Capítulo 1 introduz os sistemas dinâmicos e de controle, incluindo
definições de termos relevantes e das categorias de sistemas dinâmicos. Os
três capítulos seguintes tratam do desenvolvimento de modelos
matemáticos de sistemas físicos empregados em engenharia. O Capítulo 2
introduz as técnicas fundamentais usadas para a obtenção das equações que
modelam sistemas mecânicos. Os sistemas mecânicos são tratados
inicialmente porque são mais intuitivamente compreendidos por estudantes
de graduação, uma vez que envolvem as leis do movimento de Newton. O
Capítulo 3 introduz os métodos fundamentais para o desenvolvimento dos
modelos matemáticos de sistemas elétricos e eletromecânicos. Os modelos
nesse capítulo são obtidos pela aplicação das leis de Kirchhoffe Faraday e
daquelas que representam as interações entre a carga elétrica, corrente,
fluxo magnético e tensão nos elementos elétricos. O Capítulo 4 apresenta as
técnicas fundamentais que possibilitam o desenvolvimento de modelos para
os sistemas fluidos e térmicos. Esse é o último capítulo dedicado à obtenção
de modelos matemáticos. Modelos fluidos (hidráulicos e pneumáticos)
estão baseados na conservação de massa, enquanto modelos térmicos são
obtidos usando a conservação da energia.
O Capítulo 5 apresenta formas-padrão para representação de modelos
matemáticos de sistemas dinâmicos: equações em variáveis de estado,
representação em espaço de estado, equações entrada-saída, funções de
transferência e diagramas de blocos. O processo de linearização é também
descrito nesse capítulo. Um conceito-chave enfatizado no Capítulo 5 é que
cada forma-padrão é simplesmente uma representação conveniente do
modelo do sistema (isto é, as equações diferenciais) que se presta para a
análise da sua resposta dinâmica. Assim sendo, o Capítulo 5 serve como
uma transição entre o modelo matemático desenvolvido (Capítulos 2 a 4) e
a determinação da resposta do sistema usando tanto a simulação numérica
quanto técnicas analíticas (Capítulos 6 a 10).
O Capítulo 6 apresenta métodos de simulação numérica para obtenção
da resposta de sistemas dinâmicos. Aqui, apenas o programa de simulação
MATLAB é usado, uma vez que ele se tornou a plataforma computacional-
padrão para a academia e para a indústria. Inicialmente, é mostrado como
simular a resposta de sistemas lineares usando comandos MATLAB. O
programa gráfico Simulink é apresentado em seguida e é o foco desse
capítulo, além da principal ferramenta de simulação usada ao longo do texto
a partir daí. O Simulink é empregado para simular sistemas lineares e não
lineares por meio das formas-padrão tratadas no Capítulo 5.
Os próximos três capítulos envolvem a solução analítica de sistemas
lineares. O Capítulo 7 cobre métodos analíticos para obtenção da resposta
no domínio do tempo com ênfase nos sistemas de primeira e segunda
ordens. Aqui, os dois conceitos-chave são: (1) a correlação entre as raízes
da equação característica e forma da resposta livre (ou transiente); e (2) a
equivalência entre as raízes características, polos da função de transferência
e autovalores da matriz de estado do sistema. O Capítulo 8 apresenta um
breve resumo da teoria da transformada de Laplace e o seu uso na obtenção
da resposta de sistemas dinâmicos lineares. O Capítulo 9 envolve a resposta
em frequência, ou a resposta do sistema a funções de entrada periódicas.
Nesse capítulo, a ênfase é sobre o diagrama de Bode como uma
representação gráfica de toda a informação requerida para a completa
análise da resposta em frequência.
O Capítulo 10 introduz o controle de sistemas realimentados nos quais o
controlador PID (e suas variantes) é enfatizado. Duas técnicas gráficas, o
método do lugar das raízes e o diagrama de Bode, são utilizadas para
analisar a resposta da malha fechada, o projeto de controladores e para
avaliar a estabilidade. O capítulo é concluído com uma breve discussão
sobre a implementação de controladores como algoritmos a tempo discreto
em computadores digitais.
Servindo como “clímax” para o livro, o Capítulo 11 apresenta estudos
de casos em sistemas dinâmicos e de controle. Sistemas de engenharia
integrados, multidisciplinares, inspirados pela pesquisa na literatura, servem
como casos de estudo. Cinco problemas ilustram os principais tópicos do
livro: (1) desenvolvimento de modelos matemáticos; (2) previsão do
comportamento do sistema usando métodos analíticos e numéricos; e (3)
especificação dos parâmetros importantes do sistema, de modo a melhorar
seu desempenho. O Simulink é extensivamente utilizado para obter a
resposta dinâmica desses sistemas que normalmente envolvem não
linearidades e outras complexidades.
Numerosos exemplos são fornecidos em pontos-chave ao longo dos
Capítulos 2 a 10 de modo a ilustrar os tópicos discutidos em uma seção
específica. O final dos Capítulos 2 a 10 contém problemas que são
agrupados em três categorias: (1) problemas conceituais; (2) problemas
MATLAB; e (3) aplicações de engenharia. Em vários casos, sistemas reais
de engenharia (tal como o sistema de suspensão, o atuador solenoide ou um
circuito de um filtro) são revisitados ao longo do livro nos exemplos e
problemas do capítulo. Assim como o caso do Capítulo 11, vários dos
exemplos e problemas no final dos capítulos ilustram conceitos de sistemas
dinâmicos e de controle pelo tratamento de sistemas físicos de engenharia
do “mundo real”.
O Apêndice A apresenta as unidades básicas e derivadas usadas neste
livro. O Apêndice B fornece uma breve introdução ao MATLAB, aos
arquivos M e aos comandos que possibilitam resolver problemas
envolvendo sistemas dinâmicos e de controle. O Apêndice C é uma apostila
sobre o Simulink e expande o breve tutorial tratado no Capítulo 6.
Como mencionado, este livro é resultado de 20 anos ensinando sistemas
dinâmicos e de controle. No longo tempo em que fui professor dessas
disciplinas, frequentemente empreguei a abordagem da tentativa-e-erro para
determinar um conjunto ótimo de estratégias que maximizassem a
1.
2.
compreensão dos tópicos fundamentais pelos estudantes. Algumas dessas
estratégias são exclusivas da minha maneira de ensinar e as apresento aqui
de tal modo que o leitor possa perceber como este livro marca um ponto de
partida para outros na área.
Como a análise e o projeto de controle de sistemas iniciam com o
desenvolvimento de modelos matemáticos apropriados, os
fundamentos de modelagem de sistemas físicos são apresentados
em sequência nos Capítulos 2 a 4. A meta desses capítulos é
explicar de forma clara e concisa o procedimento de modelagem e,
para isso, foca-se nos sistemas essenciais e representativos. O
Capítulo 5 sucintamente apresenta todas as formas-padrão para
representar modelos de sistemas de tal modo que os fundamentos
de modelagem são tratados no início do livro e não estão
espalhados ao longo do texto.
Soluções numéricas de sistemas lineares e não lineares usando
MATLAB e Simulink (Capítulo 6) são tratadas antes dos métodos
analíticos (Capítulos 7 a 9). Minha experiência diz que apresentar
modelagem e simulação de aplicações reais de engenharia no início
do semestre atrai os estudantes para o assunto da disciplina. A
indústria usa o Simulink há muito tempo para modelar e analisar
sistemas reais de engenharia. Minha experiência em sala de aula
tem mostrado que estudantes de graduação são bastante capazes –
e entusiasmados – de usar o Simulink para simular sistemas
integrados complexos que envolvam efeitos reais, tais como atrito
não linear, escoamento turbulento e descontinuidades. Instrutores
que desejarem apresentar métodos analíticos antes da simulação
numérica podem simplesmente analisar o Capítulo 6 depois dos
Capítulos 7 e 8.
3.
4.
Os métodos para obter soluções analíticas não dependem apenas da
teoria da transformada de Laplace. No Capítulo 7 (resposta no
domínio do tempo) a equação característica e suas raízes
associadas (ou polos da função de transferência ou autovalores) são
usadas para determinar a resposta transiente. A resposta em
frequência é tratada no Capítulo 9 por meio da determinação da
resposta forçada à entrada est, na qual s = σ + jω é uma variável
complexa. Funções de transferência são amplamente utilizadas no
livro e são obtidas sem empregar transformadas de Laplace.
Acredito que usando transformadas de Laplace (e o processo de
inversão associado) para obter a resposta é extremamente tedioso;
além disso, minha experiência diz que a maioria dos estudantes
acha seu uso não intuitivo. Desse modo, minha abordagem é focar
nas raízes da equação característica ri e na forma da resposta do
sistema em termos de er1t. O Capítulo 8 apresenta a transformação
para o domínio de Laplace e seu uso para obter a resposta
dinâmica. Assim sendo, instrutores que desejarem utilizar os
métodos da transformada de Laplace podemfazê-lo. Entretanto, o
Capítulo 8 pode ser omitido se o instrutor não se importar em
incluir o método da transformada de Laplace.
O Capítulo 11 apresenta cinco estudos de caso de engenharia em
sistemas dinâmicos e de controle. Os cinco estudos de caso,
inspirados por artigos de pesquisa, são: (1) isolamento de vibrações
em um sistema de suspensão veicular; (2) um atuador
eletromecânico (solenoide); (3) um sistema de freio pneumático;
(4) um servomecanismo hidráulico de controle; e (5) o controle de
um sistema de levitação eletromagnética realimentado. Esses casos
ilustram tópicos dos capítulos anteriores: modelagem, simulação,
linearização, métodos analíticos e controle. Os instrutores podem
desejar antecipar no semestre a introdução das várias aplicações
contidas no Capítulo 11, conforme certos tópicos são tratados e
depois revisitar os casos de estudo conforme a disciplina progrida.
Novamente, não exagero a importância de apresentar a análise de
sistemas complexos de engenharia, reais, para estudantes de
graduação de modo a motivá-los, atrair o interesse, e ilustrar os
conceitos-chave em sistemas dinâmicos e de controle.
Muitas pessoas contribuíram com a produção deste livro. Gostaria de
agradecer a Roger C. Fales, meu colega na University of Missouri, por seu
conhecimento especializado e comentários sobre os sistemas fluidos. Dois
estudantes da University of Missouri forneceram imensa assistência:
Annemarie Hoyer pesquisou a literatura de engenharia e ajudou no manual
de soluções, e James Smith criou as ilustrações para os desenhos
manuscritos. Muitos revisores forneceram valiosas sugestões para
aperfeiçoamento deste livro e são listados a seguir:
Bradley T. Burchett, Rose-Hulman Institute of Technology
Mark B. Colton, Brigham Young University
Eric Constans, Rowan University
R. Rees Fullmer, Utah State University
Rajesh Ganesan, George Mason University
Seon Han, Texas Tech University
S. Graham Kelly, The University of Akron
Kathleen Lamkin-Kennard, Rochester Institute of Technology
Javad Mohammadpour, University of Georgia
Nejat Olgac, University of Connecticut
Andrew R. Plummer, University of Bath
Ernest W. Tollner, University of Georgia
Hwan-Sik Yoon, University of Alabama
Foi um grande prazer trabalhar com a equipe editorial e de produção do
livro, e agradeço especialmente a Linda Ratts e Hope Ellis. Também
agradeço a minha esposa Nancy M. West por seu hábil trabalho editorial e
sincero encorajamento durante este projeto. Finalmente, reconheço e
agradeço o trabalho de meus mentores que tiveram um imenso impacto em
minha vida: meu orientador Bion L. Pierson da Iowa State University, John
P. Riehl do NASA Glenn Research Center, e meus pais Allan e Janet
Kluever.
E, finalmente, agradeço a meu filho, Silas West Kluever, para quem,
juntamente com meus pais, dedico este livro. Aos 12 anos, ele possui todas
as características de um engenheiro mecânico, apesar de no momento estar
muito mais interessado em se tornar um jogador da liga profissional de
beisebol.
Craig A. Kluever 
Engenheiro Mecânico e Aeroespacial 
University of Missouri-Columbia 
Janeiro de 2015
1.1 INTRODUÇÃO
Na solução de problemas de engenharia, é necessário compreender e
determinar a resposta dinâmica de sistemas físicos que podem consistir em
vários componentes. Esses esforços envolvem modelagem, análise e
simulação. Geralmente, construir um sistema protótipo e conduzir testes
experimentais pode ser impraticável ou muito caro para um projeto
preliminar. Assim sendo, a modelagem matemática, a análise e a simulação
de sistemas de engenharia auxiliam imensamente no processo de projeto.
Sistemas dinâmicos e de controle envolvem a análise, projeto e controle
de sistemas físicos de engenharia normalmente compostos por subsistemas
e componentes mecânicos, elétricos e fluidos que interagem. Um exemplo é
um atuador hidráulico eletricamente controlado empregado para variar a
posição de uma superfície aerodinâmica (por exemplo, leme) em um
aeroplano. Esse sistema consiste em vários componentes interagindo: um
circuito eletromagnético é usado para abrir uma válvula mecânica que
possibilita um fluido hidráulico à alta pressão escoar para a câmara de um
cilindro; a pressão do fluido faz com que um pistão mecânico se mova; e
ligações mecânicas (mecanismo) conectando o pistão hidráulico ao leme
causam a variação da sua posição angular. Finalmente, um computador
digital embarcado (um “piloto automático”) usa a realimentação de
transdutores (sensores) para ajustar a operação do atuador hidráulico de tal
modo que a posição do leme (e, consequentemente, a resposta do
aeroplano) atinja o valor desejado. Esse exemplo mostra porque é vantajoso
para um engenheiro entender a resposta dinâmica desse sistema
interconectado sem depender da experimentação com um protótipo físico.
Seguem definições de termos importantes que serão empregados ao
longo do livro:
Sistema: Uma combinação de componentes atuando em conjunto para
realizar um objetivo especificado. Os componentes ou elementos
interagindo possuem relações de causa e efeito (ou de entrada-
saída). Um exemplo de um sistema é um motor de corrente contínua
(CC) no qual a tensão de entrada causa a velocidade angular (saída)
de uma carga mecânica conectada ao eixo do motor.
Sistema dinâmico: Um sistema no qual as variáveis de saída (ou
variáveis dinâmicas) atuais dependem das condições iniciais (ou da
energia armazenada) do sistema e/ou das variáveis de entrada
anteriores. As variáveis dinâmicas de um sistema (por exemplo,
deslocamento, velocidade, tensão, pressão) variam com o tempo.
Para o exemplo do motor CC, a velocidade angular do motor é a
variável dinâmica e a tensão do circuito é a entrada.
Modelagem: O processo de aplicar as leis físicas fundamentais
apropriadas de modo a determinar as equações matemáticas que
adequadamente descrevem o comportamento do sistema de
engenharia. Sistemas dinâmicos são representados por equações
diferenciais. Para o exemplo do motor CC, o circuito elétrico é
modelado usando a lei das tensões (malhas) de Kirchhoff e o
movimento mecânico por meio da segunda lei de Newton (aplicada
a sistemas mecânicos de rotação).
Modelo matemático: A descrição matemática do comportamento de
um sistema dinâmico, normalmente um conjunto de equações
diferenciais ordinárias (EDOs) lineares ou não lineares. Para o
exemplo do motor CC, o modelo matemático consiste em uma
equação diferencial para a corrente elétrica e outra para o
movimento mecânico.
Simulação: O processo de obtenção da resposta de sistemas dinâmicos
por solução numérica das equações que os modelam. A simulação
envolve a integração numérica das equações diferenciais do modelo
e é realizada por computadores digitais e programas de simulação.
Análise do sistema: O emprego de cálculos analíticos ou ferramentas
de simulação numérica para determinar a resposta do sistema de
modo a entender e interpretar seu desempenho. Análises repetidas
ajudam no procedimento de projeto no qual a configuração do
sistema ou de seus parâmetros são alterados para melhorar o
desempenho ou alcançar os limites desejados. Para o exemplo do
motor CC, pode-se aplicar uma tensão de entrada constante e
determinar as características de resposta da velocidade angular por
meio de cálculos analíticos (“na mão”) ou simulações numéricas. Se
a resposta da velocidade angular é inadequada, deve-se alterar os
parâmetros do sistema de modo a melhorar seu desempenho.
1.2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS
Em geral, pode-se classificar os sistemas dinâmicos de acordo com as
quatro seguintes categorias: (1) sistemas distribuídos ou “concentrados”, (2)
sistemas contínuos ou discretos no tempo, (3) sistemas invariantes ou
variantes no tempo, e (4) sistemas lineares ou não lineares.
Sistemas Distribuídos versus Concentrados
Um sistema distribuído (ou de parâmetros distribuídos) necessita de um
número infinito de variáveis “internas”, e, portanto, é representado por
equações diferenciais parciais (EDPs). Um sistema concentrado (ou de
parâmetrosconcentrados) envolve um número finito de variáveis
“internas”, e, assim, é representado por EDOs. Por exemplo, se for
necessário modelar um pistão hidráulico, pode-se “concentrar” toda a
distribuição de pressão na câmara do cilindro em um único termo de
pressão. Assim sendo, tem-se uma EDO para a derivada no tempo da
pressão (dP/dt ou ) considerada a “concentração” de fluido em uma
determinada câmara. Neste livro serão tratados apenas os modelos
concentrados e EDOs.
Sistemas Contínuos no Tempo versus Discretos no Tempo
Um sistema contínuo no tempo envolve variáveis e funções que são
definidas em todos os instantes de tempo, enquanto um sistema discreto no
tempo envolve variáveis que são definidas apenas em determinados
instantes de tempo. Pode-se pensar em um sistema contínuo no tempo
consistindo de variáveis no domínio “analógico”, como a posição x(t).
Sistemas discretos no tempo consistem em variáveis no domínio “digital”,
como a posição amostrada (medida) x(kTs), que existe apenas nos instantes
discretos de tempo t = Ts, t = 2Ts, . . ., t = kTs, no qual Ts é o intervalo de
amostragem. Os sistemas a tempo contínuo são descritos por equações
diferenciais enquanto os a tempo discreto são descritos por equações de
diferenças. Neste texto serão tratados os sistemas contínuos no tempo e as
equações diferenciais. Os sistemas discretos no tempo são introduzidos no
Capítulo 10, quando for tratada a função do computador digital no controle
automático de sistemas e a necessidade de converter sinais analógicos em
sinais digitais e vice-versa.
Sistemas Variantes no Tempo versus Invariantes no Tempo
1.
2.
Em um sistema variante no tempo os parâmetros são variáveis com o tempo
(por exemplo, o coeficiente de atrito varia com o tempo). Em um sistema
invariante no tempo os parâmetros permanecem constantes. O leitor não
deve confundir a variação dos parâmetros do sistema com a variação das
suas variáveis dinâmicas. Para o exemplo do motor CC, os parâmetros do
sistema devem ser a resistência elétrica do circuito, a indutância dos
enrolamentos em torno do rotor, o coeficiente de atrito nos mancais do rotor
e o momento de inércia do rotor. Se esses parâmetros não variam com o
tempo (isto é, são constantes para o modelo do sistema), então o motor CC
é um sistema invariante no tempo. É claro que as variáveis dinâmicas
associadas ao motor CC (a corrente elétrica no circuito e a velocidade
angular no eixo de saída) podem variar com o tempo. O principal foco neste
livro serão os sistemas invariantes no tempo.
Sistemas Lineares versus Não Lineares
Suponha que a relação entre a entrada e a saída de um sistema seja descrita
pela função y = f(u), na qual u é a entrada e y é a saída. Os sistemas lineares
obedecem a propriedade da superposição:
Se y1 = f(u1), então ay1 = f(au1), na qual a = constante qualquer.
Se y1 = f(u1) e y2 = f(u2), então y1 + y2 = f(u1 + u2).
Considere novamente o exemplo do motor CC: suponha que são aplicados
12 volts (V) sobre o motor e a velocidade angular em regime permanente
(constante) medida é 1600 rotações (revoluções) por minuto (rpm). Em
seguida, se são aplicados 6 V ao motor e a velocidade angular em regime
permanente medida é 800 rpm, então o sistema obedece a primeira
propriedade da superposição e o sistema motor CC é linear. É claro que um
sistema físico (real) que apresenta linearidade (como o motor CC) possui
uma faixa linear de operação limitada; isso é, não se pode aumentar a
tensão de entrada por um fator de 100 e esperar que a velocidade angular
correspondente seja aumentada pelo fator 100. Aumentar a entrada do
sistema acima de um limiar pode causar saturação na saída (isto é, atingir
um limite) e, assim, o sistema não ser mais linear.
A segunda propriedade da superposição mostra que a resposta dinâmica
total de um sistema linear pode ser obtida adicionando ou superpondo as
respostas (ou soluções) a funções de entrada individuais. Sistemas não
lineares não obedecem qualquer uma das propriedades da superposição.
As seguintes equações são exemplos de EDOs lineares:
A Equação (1.1) é uma EDO de segunda ordem linear porque a variável
dinâmica x e suas derivadas aparecem como combinações lineares (será
usada a notação do ponto em cima da variável para denotar derivadas com
relação ao tempo; assim, etc.). A Equação (1.1)
envolve coeficientes constantes e, desse modo, é uma equação diferencial
linear invariante no tempo (LIT). A Equação (1.2) é linear uma vez que x e
suas derivadas aparecem como combinações lineares. Como o coeficiente
0,6 e–2t varia com o tempo, a Eq. (1.2) é uma EDO linear variante no tempo.
A seguinte equação
é uma EDO não linear por causa do termo x2.
Todos os sistemas físicos são não lineares. Entretanto, se as variáveis de
entrada e saída são limitadas a uma faixa (nominal) restrita, então pode-se
normalmente substituir o sistema não linear por um modelo linear
representado por equações diferenciais lineares. Esse procedimento é
denominado linearização. Obter um modelo linear é extremamente
importante e vantajoso na análise de sistemas porque é possível encontrar
uma solução analítica (forma fechada) para as EDOs lineares. Sistemas não
lineares devem ser resolvidos mediante métodos numéricos para integrar as
EDOs.
1.3 MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS
O principal foco deste livro é a modelagem matemática de sistemas
dinâmicos. Desenvolver um modelo apropriado é sempre o primeiro passo
na análise do sistema porque é impossível determinar sua resposta sem uma
representação matemática da sua dinâmica. Modelos matemáticos são
obtidos pela aplicação das leis da Física apropriadas a cada elemento do
sistema. Alguns parâmetros do sistema (como as características de atrito)
podem ser desconhecidos, e esses parâmetros são normalmente
determinados por meio de experimentos e observação, o que leva a relações
empíricas. A sensibilidade de engenharia deve ser empregada para avaliar a
complexidade do modelo com a exatidão da análise. Não linearidades
(como a folga ou espaço morto em engrenagens) são normalmente
ignoradas em um estudo preliminar de um projeto de modo a desenvolver
modelos lineares. Algumas vezes, modelos lineares aproximados de menor
ordem podem ser suficientes para representar de forma precisa a dinâmica
do sistema. Esses modelos lineares de menor ordem podem ser resolvidos
analiticamente (“na mão”), o que fornece ao engenheiro uma sensibilidade
intuitiva para a natureza do sistema dinâmico. Além disso, simulações são
fáceis de serem construídas com modelos lineares de menor ordem e, desse
modo, o tempo requerido para realizar a análise do sistema é reduzido.
Modelos não lineares, por outro lado, necessitam de soluções numéricas
empregando programas de simulação. Modelos não lineares extremamente
complexos tipicamente exigem passos com pequenos intervalos de tempo
de integração para resolver as EDOs com precisão, aumentando o tempo de
execução no computador. Consequentemente, existe uma troca entre a
complexidade do modelo e o tempo de análise.
Engenheiros devem lembrar que os resultados obtidos a partir de um
modelo matemático específico são apenas aproximações e válidos dentro
das hipóteses adotadas para seu desenvolvimento. O modelo deve ser
suficientemente sofisticado para mostrar os aspectos relevantes da resposta
dinâmica sem se tornar muito pesado para as ferramentas de análise
disponíveis. A validade de um modelo matemático pode ser sempre
verificada por meio da comparação da sua solução (como os resultados da
simulação) com os resultados experimentais. O Laboratório de Integração
Aviônica do Ônibus Espacial (SAIL – Shuttle Avionics Integration
Laboratory) possui um ambiente de teste integrando equipamentos e
programas de computador (hardware-in-the-loop) no Centro Espacial
Johnson da NASA [1] que possibilita tais comparações. O SAIL é
constituído pelos equipamentos reais do Ônibus Espacial (tais como a
cabine de voo e os seus instrumentos, sensores e a eletrônica de bordo) e os
modelos matemáticos para as forças físicas devidasà aerodinâmica,
gravidade e propulsão. Engenheiros e astronautas usam o SAIL para
realizar simulações em “tempo real” das missões do Ônibus Espacial de
modo a testar e validar o programa de voo. As simulações resultantes dos
testes no SAIL mostraram uma excelente aproximação com os dados de voo
do Ônibus Espacial real. Os testes do SAIL, entretanto, podem
ocasionalmente ser intermitentes por causa da necessidade do emprego de
modelos matemáticos muito complexos (isto é, programas de computador)
para fazer a interface e comandar todos os equipamentos físicos do Ônibus
Espacial. O ambiente de teste do SAIL é um exemplo de um dos extremos
do espectro da modelagem matemática: uma complexa simulação, de “alta
fidelidade”, que de vez em quando causa problemas nos testes. Conviver
com essa limitação foi necessário para modelar de forma precisa a dinâmica
de voo do Ônibus Espacial.
Ferramentas de Simulação
Diversas ferramentas comerciais de simulação têm sido desenvolvidas para
auxiliar os projetos de engenheiros e analisar os sistemas dinâmicos. Vamos
discutir brevemente alguns desses programas de modo a exemplificar a
modelagem matemática e a análise dos sistemas.
O Simulink é uma ferramenta numérica de simulação que faz parte do
programa MATLAB desenvolvido pela MathWorks [2]. Ele usa uma
interface gráfica amigável com o usuário (GUI) que possibilita a criação de
representações em diagrama de blocos dos sistemas dinâmicos. O Simulink
é usado por engenheiros na indústria e na academia. A construção de
modelos de sistemas com o Simulink é relativamente fácil e, portanto, é
normalmente utilizado para construir modelos simples durante os primeiros
estágios do projeto. Entretanto, o Simulink pode ser empregado para
simular modelos complexos, altamente não lineares. Neste livro, ele será
usado extensivamente para simular e analisar sistemas dinâmicos.
A Caterpillar Inc. desenvolveu a ferramenta de simulação Dynasty que
permite aos engenheiros construir modelos complexos de veículos fora de
estrada de grande porte [3]. O engenheiro pode construir programas com os
modelos de máquinas integradas a partir de uma biblioteca de modelos de
subsistemas pelo processo de “arrasta e cola”. Esses subsistemas incluem
motores, mecanismos, componentes de transmissão, componentes
hidráulicos, comandos e controles. A física de cada subsistema está contida
no modelo matemático de cada componente individual. O programa
Dynasty simula a dinâmica do modelo do veículo integrado e possibilita ao
engenheiro realizar testes, analisar a resposta no tempo e variar os
subsistemas componentes de modo a melhorar o desempenho do sistema
como um todo. Os engenheiros da Caterpillar usaram o Dynasty para
analisar e projetar o caminhão de mineração 797B (seu maior veículo) e o
levaram para produção em menos da metade do tempo que levariam a partir
da construção de protótipos físicos do caminhão.
O EASY5, originalmente desenvolvido pela Boeing, é uma ferramenta
com base gráfica para a construção de protótipos virtuais de sistemas de
engenharia [4]. Assim como no Dynasty, o usuário pode selecionar
componentes pré-construídos em bibliotecas que incluem modelos de
subsistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos e térmicos. O
EASY5 possui interface com o Simulink e outras ferramentas
computacionais de auxílio em engenharia. Os engenheiros têm empregado o
EASY5 para analisar e projetar veículos aeroespaciais.
Resumindo, deve ser observado que todas as ferramentas de simulação
numérica são construídas usando os princípios básicos de modelagem
matemática apresentados neste livro. Isso é, a lei da Física apropriada (por
exemplo, segunda lei de Newton, lei das tensões de Kirchhoff) é aplicada ao
sistema específico (mecânico, elétrico, fluido etc.) de modo a desenvolver
as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema, que então
são normalmente resolvidas usando métodos numéricos de integração. A
solução dessas equações é a resposta do sistema dinâmico.
1.4 OBJETIVOS E RESUMO DO LIVRO
O objetivo deste livro é apresentar um tratamento abrangente, mas conciso,
dos sistemas dinâmicos e de controle. Ao concluir este texto, o leitor deve
ser capaz de realizar as seguintes tarefas: (1) desenvolver modelos
matemáticos para sistemas mecânicos, elétricos, fluidos e térmicos; (2)
obter a resposta do sistema dinâmico (em razão das funções de entrada e/ou
de armazenamento inicial de energia) por meio de ferramentas de simulação
numérica e técnicas analíticas; e (3) analisar e projetar o controle de
sistemas realimentados de modo a atingir uma resposta desejada do sistema.
Este livro enfatiza prioritariamente sistemas com parâmetros concentrados,
contínuos no tempo e LIT. Assim sendo, todos os modelos matemáticos
envolvem EDOs e a maioria possui coeficientes constantes. É dada uma
atenção considerável aos sistemas não lineares, e, portanto, será feito o uso
frequente do Simulink para obter suas respostas dinâmicas. Entretanto,
normalmente será empregado o processo de linearização de modo a
aproximar a dinâmica não linear pela linear. Como será mostrado, a
obtenção de um modelo matemático linear permite utilizar um conjunto de
ferramentas analíticas para análise do sistema e técnicas gráficas para
projetar o controle de sistemas realimentados.
O livro é organizado de acordo com seus três principais objetivos. Os
Capítulos 2 a 4 tratam do desenvolvimento de modelos matemáticos de
sistemas físicos de engenharia. O Capítulo 2 aborda os sistemas mecânicos
e a determinação das equações de modelagem pela aplicação das leis de
movimento de Newton. O Capítulo 3 apresenta os modelos matemáticos
para sistemas elétricos e eletromecânicos. Aqui aplicam-se as leis dos
elementos que representam as interações entre a carga elétrica, corrente,
fluxo magnético e tensão. Modelos matemáticos para os sistemas fluidos e
térmicos são desenvolvidos no Capítulo 4 mediante o emprego,
respectivamente, da conversão de massa e de energia. Os Capítulos 2 a 4
focam o desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos de
engenharia do “mundo real” tais como sistemas de suspensão de veículos,
dispositivos de transmissão de energia e sistemas interdisciplinares tais
como atuadores eletromecânicos, hidromecânicos e pneumáticos. O
Capítulo 5 aborda as formas-padrão de representar os vários modelos
matemáticos desenvolvidos nos três capítulos anteriores. Esses formatos-
padrão facilitam o segundo principal tópico do livro – a obtenção da
resposta do sistema – utilizando tanto as técnicas numéricas quanto as
analíticas.
O Capítulo 6 inicia a seção do livro relativa à análise dos sistemas. Esse
capítulo introduz o Simulink como a ferramenta de simulação numérica
escolhida para obtenção da resposta de sistemas dinâmicos lineares e não
lineares. O Capítulo 7 apresenta as técnicas analíticas para solução das
equações de modelagem matemática “na mão”. Aqui é analisada a resposta
completa do sistema (compreendendo as respostas transiente e em regime
permanente) a funções de entrada. No Capítulo 8 é introduzido o método da
transformação para o domínio de Laplace a fim de determinar a resposta de
sistemas dinâmicos que são modelados pelas equações diferenciais LIT. O
Capítulo 9 trata da obtenção da resposta de um sistema dinâmico que é
comandado por uma função oscilatória ou harmônica. A análise da resposta
em frequência é auxiliada por técnicas gráficas como o diagrama de Bode.
O Capítulo 10 introduz o leitor ao terceiro principal objetivo do livro: a
análise e o projeto do controle de sistemas realimentados. Aqui é
investigado o uso da realimentação (a partir de sensores de medida) para
ajustar a função de entrada do sistema de modo a atingir uma resposta
desejada na saída. Apesar de diferentes esquemas de controle serem
discutidos, o capítulo enfatiza o controlador proporcional-integral-
derivativo (PID) e suas variantes, porque é o mais amplamente utilizado nos
esquemas de controle das indústrias. O projeto de sistemas de controle é
auxiliado por duastécnicas gráficas, o método do lugar das raízes e o
diagrama de Bode, que são discutidas nesse capítulo.
O Capítulo 11 apresenta cinco casos de estudo em engenharia que
demonstram os três principais objetivos do livro: modelagem, análise, e
controle de sistemas dinâmicos. Esses exemplos são inspirados pela
pesquisa na literatura em engenharia e envolvem sistemas físicos tais como
suspensão de veículos e atuadores. O capítulo final serve como um
“clímax” para o livro.
O Apêndice A apresenta as unidades e o Apêndice B fornece um breve
resumo do uso do MATLAB, seus comandos e a programação com o
MATLAB. Apenas os comandos MATLAB que possibilitam a solução de
problemas em sistemas dinâmicos e de controle são apresentados no
Apêndice B. O Apêndice C é um tutorial sobre o emprego do Simulink para
simular sistemas dinâmicos lineares e não lineares.
Ê
1.
2.
3.
4.
REFERÊNCIAS
Melone, K., “SAILing Through Space”, Boeing Frontiers, Vol. 9,
September 2010, pp. 24-25.
http://www.mathworks.com/products/simulink/ (acessado em 10 de
março de 2014).
Dvorak, P., “Software Simulates Many Disciplines in One Model”,
MachineDesign.com, http://machinedesign.com/article/software-
simulates-many-disciplines-in-one-model-1106 (acessado em 10 de
março de 2014).
http://www.mscsoftware.com/Products/CAE-Tools/Easy5.aspx
(acessado em 10 de março de 2014).
http://www.mathworks.com/products/simulink/
http://machinedesign.com/
http://machinedesign.com/article/software-simulates-many-disciplines-in-one-model-1106
http://www.mscsoftware.com/Products/CAE-Tools/Easy5.aspx
2.1 INTRODUÇÃO
O objetivo deste e dos próximos dois capítulos é desenvolver os modelos
matemáticos de sistemas físicos de engenharia. Este capítulo introduz as
técnicas fundamentais para a determinação das equações que modelam os
sistemas mecânicos, compostos por elementos inércia, rigidez e atrito. Os
modelos matemáticos de sistemas mecânicos são desenvolvidos pela
aplicação das leis de movimento de Newton, que governam a interação entre
força, massa e aceleração. É utilizada a abordagem de sistemas de parâmetros
concentrados, e, por isso, o modelo matemático consiste em equações
diferenciais ordinárias (EDOs). Sistemas mecânicos com movimento de
translação e movimento de rotação em relação a eixos fixos são tratados neste
capítulo.
O leitor deve ter em mente que o objetivo geral deste capítulo é determinar
os modelos matemáticos que representam o comportamento de sistemas
mecânicos. Não será dada (ainda) atenção à obtenção da resposta desses
sistemas a entradas em força ou movimento conhecidos, o que será discutido
nos Capítulos 6–9.
2.2 LEIS DE ELEMENTOS MECÂNICOS
Um sistema mecânico é composto por elementos inércia, rigidez e de
dissipação de energia. Além disso, podem conter transformadores mecânicos,
tais como engrenagens e alavancas. Esta seção apresenta descrições sucintas
das leis fundamentais que representam esses elementos mecânicos.
Elementos Inércia
Elementos inércia são tanto as massas concentradas (sistemas mecânicos de
translação) quanto os momentos de inércia (sistemas mecânicos de rotação).
Eles são facilmente identificados na segunda lei de Newton
Assim sendo, o elemento inércia é a razão entre a força e a aceleração (ou
torque e a aceleração angular). Um corpo rígido que possui movimento de
translação (“em linha reta”) tem toda a sua massa concentrada em um único
elemento, m, com unidade de kg. Um corpo rígido com movimento de rotação
pura em torno de um eixo possui toda a sua massa concentrada em um
momento de inércia, J, definido como
no qual dm é uma massa infinitesimal com distância radial r em relação ao
eixo de rotação. A Eq. (2.1) mostra que J possui unidade de kg·m2. Equações
para os momentos de inércia podem ser determinadas para corpos rígidos,
homogêneos com forma (geometria) padrão. Um exemplo é um disco
cilíndrico com raio R e massa M uniformemente distribuída. O momento de
inércia em torno do eixo de simetria para um disco uniforme é
Elementos inércia podem armazenar energia potencial por causa da
posição no campo gravitacional, ou energia cinética em razão do movimento.
Energia potencial ξP de uma massa m em um campo uniforme com constante
gravitacional g é
na qual h é a posição vertical da massa medida em relação a uma altura de
referência. A Eq. (2.3) mostra que a energia potencial possui dimensões de
força (mg) e comprimento (h), ou unidades de N·m ou joule (J). A energia
cinética ξC de uma massa m se movendo com velocidade = dx/dt é
A energia cinética de um momento de inércia J girando com velocidade
angular é
Como estabelecido no Capítulo 1, será adotada ao longo do livro a convenção
do ponto sobre a variável para indicar sua derivada em relação ao tempo;
assim = dθ e = d2x/dt2. A Eq. (2.4) mostra que a energia cinética de
translação possui dimensão de massa (m) e velocidade ao quadrado (x2), ou
unidades de kg·m2/s2, que é equivalente a N·m ou joules. A Eq. (2.5) mostra
que a energia cinética de rotação possui dimensão de momento de inércia (J) e
velocidade angular ao quadrado (θ2), ou unidades de kg·m2 rad2/s2, que é
equivalente a N·m ou joules. Obviamente, todas as expressões de energia
devem ter as mesmas unidades de N·m ou joules.
Elementos Rigidez
Quando um elemento mecânico armazena energia por causa da deformação ou
à mudança de forma, deve ser modelado com um elemento rigidez. Nesses
casos, uma relação fundamental entre força e a deformação resultante é
necessária para modelar a rigidez. A relação força-deformação mais simples é
a lei de Hooke, que estabelece a força necessária para estender ou comprimir
uma mola como proporcional ao deslocamento. A Figura 2.1 mostra uma
mola fixada em sua extremidade esquerda, mas livre na direita. Suponha que
uma força de tração F é aplicada na extremidade (livre) direita e x é o
deslocamento correspondente em relação à sua posição de equilíbrio (não
estendida). A força necessária para produzir o deslocamento x é
na qual k é denominado constante de mola e possui unidades de N/m.
Obviamente, Eq. (2.6) é uma relação linear entre força e deslocamento. A
Figura 2.1 mostra que a convenção positiva para o deslocamento x é para a
direita e, portanto, a convenção positiva para a força F é também para a
direita. Se a força F é compressiva, então ambos, F e x, são negativos e a Eq.
(2.6) é também válida.
Figura 2.1 Força alongando a extremidade livre de uma mola.
Quando ambas as extremidades de uma mola são livres para mover, então
a força requerida para estender ou comprimir uma mola depende do
deslocamento relativo
A Figura 2.2 mostra o caso no qual uma força de tração F é aplicada em
ambas as extremidades da mola k, e x1 e x2 são os deslocamentos absolutos (o
deslocamento positivo é para a direita). As posições de referência para x1 e x2
são mostradas na Figura 2.2 e representam as posições não estendidas (de
equilíbrio) quando não há força aplicada na mola. Assim, a Eq. (2.7) e a
Figura 2.2 mostram que se ambas as extremidades da mola são deslocadas por
+ 0,1 m, então não existe força, F = 0. Se x2 = + 0,25 m e x1 = + 0,15 m, então
existe uma força de tração proporcional ao deslocamento relativo de 0,1 m. Se
x2 = + 0,15 m e x1 = + 0,25 m, então existe uma força de compressão
proporcional ao deslocamento relativo de 0,1 m. Além disso, a Eq. (2.7)
mostra que a força compressiva F é negativa, o que está de acordo com a
convenção para o sentido positivo estabelecido na Figura 2.2.
Figura 2.2 Força deformando as extremidades livres de uma mola.
Figura 2.3 Torque girando a extremidade livre de um eixo sob torção.
Um sistema mecânico de rotação possui rigidez quando existe uma relação
entre um torque aplicado e o deslocamento angular resultante. Um exemplo
básico é um eixo submetido à torção descrito na Figura 2.3, na qual a
extremidade esquerda do eixo é fixada e a extremidade direita é livre. O
deslocamento angular positivo θ (em radianos) é mostrado como sendo no
sentido horário e é medido em relação à posição não deformada (de
equilíbrio)da extremidade livre. A aplicação de um torque T positivo resulta
em um deslocamento angular positivo. A relação linear torque-deslocamento é
na qual k é denominada constante de rigidez torcional e possui unidades de
N·m/rad. Quando ambas as extremidades do eixo são livres para girar, o
torque depende do deslocamento angular relativo
Elementos rigidez podem armazenar energia potencial por causa das
deformações ou deflexões. A energia potencial ξP armazenada em uma mola
de translação ideal é
na qual Δx = x2 – x1, ou o deslocamento relativo entre as extremidades livres
da mola. Note que as unidades de energia na Eq. (2.1) são (N/m)·m2, ou N·m,
o que se reconhece da mecânica básica como as mesmas unidades para
trabalho (= força × deslocamento). Lembre-se que a energia pode ser definida
como a capacidade para realizar trabalho, e assim energia e trabalho possuem
as mesmas unidades.
A energia potencial em uma mola torcional ideal é
na qual Δθ = θ2 – θ1 é o deslocamento angular relativo entre as extremidades
livres da mola torcional. A energia potencial armazenada em uma mola
torcional possui unidades de (N·m/rad)·rad2, ou N·m, o que novamente são as
mesmas unidades para trabalho.
Quando são modelados sistemas mecânicos que possuem elementos
rigidez, normalmente todos os efeitos de rigidez do sistema são concentrados
em um “elemento mola”, existindo ou não uma mola mecânica física (real) no
sistema. Em alguns casos, tal como uma válvula hidráulica com uma mola de
retorno, uma mola física pode existir no sistema mecânico. Em outros casos, o
“elemento rigidez” mostrado na Figura 2.1 pode ser empregado para
representar a rigidez intrínseca de um corpo deformável. Neste livro, são
tratados sistemas concentrados. Assim sendo, todos os efeitos de rigidez serão
concentrados em um elemento rigidez e todas as massas concentradas em
elementos inércia. Desse modo, são tratados elementos molas “ideais” que
não possuem inércia e nos quais não há efeitos de dissipação de energia.
Elementos mola podem exibir relações força-deslocamento lineares ou
não lineares. As Eqs. (2.6)–(2.9) representam elementos mola linear. Molas
mecânicas reais exibem efeitos não lineares quando submetidos a
deslocamentos extremos; por exemplo, a rigidez diminui conforme uma mola
é deformada além do seu ponto de escoamento.
Em alguns casos, é possível determinar equações para a constante de mola
k. Por exemplo, a constante de mola de translação para uma haste uniforme
em tração ou compressão é
na qual E é o módulo de elasticidade de Young para o material da haste, A é a
área de seção reta, e L é o comprimento da haste. Para um eixo circular em
torção, a constante de mola torcional é
na qual G é o módulo de elasticidade de cisalhamento, d é o diâmetro do eixo
e L seu comprimento. Expressões para k das molas mecânicas podem ser
encontradas em livros sobre projetos de máquinas, e essas constantes de mola
dependem das propriedades dos materiais, das características geométricas (tais
como os raios da helicoide e o diâmetro do fio em molas helicoidais) e do
número de espiras.
Elementos Atrito
Quando um elemento mecânico dissipa energia em razão do seu movimento,
pode ser modelado como um elemento atrito. Nesses casos, uma relação
fundamental entre a velocidade relativa e força de resistência é necessária para
modelar o atrito. Assim como foi empregado um “elemento mola” para
modelar a rigidez em sistemas mecânicos, será usado um elemento
“amortecedor” para representar o atrito. A Figura 2.4 mostra um amortecedor
de translação, que é um cilindro com fluido no seu interior e possui um pistão
e uma haste. A velocidade absoluta do pistão/haste é 2 (positiva para a
direita), e a velocidade absoluta do cilindro é 1 (também positiva para a
direita). Se o amortecedor possui uma relação linear entre a força resistiva e o
seu movimento relativo, então a força do amortecedor é
na qual b é o coeficiente de atrito viscoso, com dimensões de
força/velocidade, ou unidades de N·s/m. Fica claro que a força do
amortecedor depende da velocidade relativa entre o pistão/haste e o cilindro.
Figura 2.4 Amortecedor de translação.
Elementos atrito podem apenas dissipar energia. A partir da mecânica
básica sabe-se que a potência é a taxa de variação no tempo da energia, ou
força × velocidade. Considere um amortecedor de translação no qual é o
módulo da velocidade do pistão relativa ao cilindro estacionário. A taxa de
dissipação de energia no amortecedor é
Lembre-se de que a energia é o produto escalar do vetor força e do vetor
deslocamento, e, portanto, o sinal menos é inserido para indicar que a força de
atrito é no sentido contrário ao da velocidade. A Eq. (2.15) mostra que a taxa
de perda de energia é sempre negativa, independentemente do sentido da
velocidade. A potência ou taxa de variação no tempo da energia possui
unidades de N·m/s ou J/s ou watts (W).
Agora, considere um amortecedor rotacional ou torcional, no qual o torque
de amortecimento é proporcional à velocidade angular relativa
Aqui b é o coeficiente de atrito viscoso torcional, com dimensões de
torque/velocidade angular, ou unidades de N·m×s/rad. Um exemplo de
amortecedor de rotação é um acoplamento fluido, no qual dois discos estão
separados por um fluido viscoso, e o torque de atrito existe se a velocidade
angular relativa 2 – 1 é não nula. A taxa de dissipação de energia em um
amortecedor rotacional é o produto do torque de atrito e da velocidade
angular, análogo à Eq. (2.15) para a taxa de dissipação de energia do
amortecedor de translação.
Quando é modelado um sistema mecânico que envolve dissipação da
energia devida ao atrito, os efeitos de atrito são concentrados em um
“elemento amortecedor”, existindo ou não um componente físico real pistão-
cilindro do tipo amortecedor. Em alguns casos, como os amortecedores da
suspensão de um automóvel, um amortecedor físico pistão-cilindro realmente
existe no sistema mecânico. Assim, como é empregado o símbolo genérico de
mola para representar o efeito de rigidez, pode-se usar os símbolos genéricos
de amortecedor de translação ou de rotação mostrados na Figura 2.5 para
representar qualquer atrito em um sistema mecânico. Novamente, análogo à
mola ideal, o elemento amortecedor ideal não possui inércia ou rigidez.
Figura 2.5 Símbolos genéricos para os elementos amortecedor: (a) de translação e (b) de
rotação.
Atrito em sistemas mecânicos pode envolver relações não lineares entre
força e velocidade. Exemplos comuns são o atrito seco (Coulomb) ou a lei de
atrito quadrática (como o arrasto aerodinâmico). No caso do atrito seco ou
Coulomb, a força resistiva permanece constante e contrária ao movimento,
enquanto a velocidade relativa não é nula. Para o atrito de arrasto, a força
resistiva é proporcional ao quadrado da velocidade relativa.
Transformadores Mecânicos
Aparatos mecânicos que transformam uma entrada de movimento ou de força
são denominados transformadores mecânicos. Exemplos comuns incluem
alavancas e trens de engrenagens. A Figura 2.6 mostra uma alavanca ideal,
que consiste em uma barra fina girando em torno de uma rótula fixa. Uma
alavanca ideal é rígida, e não possui inércia nem atrito, e, portanto, não pode
armazenar ou dissipar energia. Os deslocamentos verticais das extremidades
esquerda e direita da alavanca na Figura 2.6 são L1 sen θ e L2 sen θ,
respectivamente. Para um pequeno angulo de rotação sen θ ≈ θ e os
deslocamentos verticais são aproximadamente L1θ e L2θ. Como a alavanca
ideal não tem inércia, o momento em torno da rótula é zero, e, portanto, f1 L1
cos θ = f2 L2 cos θ; para pequenos ângulos cos θ ≈ 1 e f1 L1 = f2 L2. Se a força f1
for considerada a força de entrada, então a força de saída da alavanca é f2 = f1
L1/L2, que é maior do que a força de entrada quando o comprimento L1 > L2.
Figura 2.6 Alavanca ideal.
A Figura 2.7 mostra um trem de engrenagens, que pode ser empregado
para aumentar ou diminuir a velocidade angular ou torque do eixo de entrada
para o eixo de saída. Em um trem de engrenagens idealassume-se que as
engrenagens possuem inércia zero, os dentes das engrenagens encaixam
perfeitamente, sem folga, e a energia é transmitida do eixo de entrada para o
eixo de saída sem perdas (não há atrito). Como os dentes das engrenagens
encaixam perfeitamente, os dentes estão igualmente espaçados em ambas as
engrenagens, e, portanto, a razão dos raios das engrenagens (r2/r1) é igual à
razão do número de dentes das engrenagens (n2/n1).
Figura 2.7 Trem de engrenagens ideal.
na qual N é denominada relação de transmissão. Pode-se determinar a razão
entre as velocidades angulares da entrada e da saída para o trem de
engrenagens apenas considerando que a velocidade no ponto de contato
(encaixe) é a mesma em ambas as engrenagens, isso é, Vcontato = r1ω1 = r2ω2.
Assim sendo, a razão entre as velocidades angulares é
Se a engrenagem no eixo de entrada possui raio menor do que a do eixo de
saída como na Figura 2.7, então N > 1 e a velocidade angular de saída ω2 é
menor que a de entrada ω1 e o trem de engrenagens é um redutor de
velocidade. Se r1 > r2, então ω2 > ω1 e o eixo de saída gira mais rápido do que
o de entrada.
Como o atrito é desprezado em um trem de engrenagens ideal, a energia é
transmitida sem perdas. Trabalho (ou energia) para um sistema rotacional é
torque × deslocamento angular, e, portanto, potência é torque × velocidade
angular. Igualando a potência no eixo de entrada com a liberada no eixo de
saída tem-se T1ω1 = T2ω2, e, assim, a razão de torques entrada-saída é
Portanto, quando um trem de engrenagens é um redutor de velocidades (como
na Figura 2.7), o torque de saída T2 é maior do que o de entrada T1.
2.3 SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO
1.
2.
Modelos matemáticos de sistemas mecânicos podem ser determinados usando
o procedimento esquemático de dois passos:
Desenhe um diagrama de corpo livre (DCL) para cada elemento
inércia com setas representando as forças (ou torques) externos
atuando em cada massa (ou momento de inércia). Use a terceira lei de
Newton para mostrar as forças (ou torques) de reação iguais e opostas
nos elementos inércia interconectados. Escreva com atenção
equações para cada força (ou torque) usando a lei do elemento
apropriada e as convenções positivas para as variáveis de
deslocamento.
Aplique a segunda lei de Newton para cada elemento inércia para
obter o modelo matemático do sistema mecânico completo.
A segunda lei de Newton para sistemas de translação estabelece que a soma
de todas as forças externas atuando sobre um corpo é igual ao produto da
massa m e da aceleração do corpo
O leitor deve ter cuidado para somar as forças de acordo com a convenção
positiva condizente com a adotada para os deslocamentos (e, portanto,
também com a aceleração positiva).
Exemplo 2.1
Um sistema atuador por solenoide de alta velocidade e válvula é mostrado na
Figura 2.8. Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico.
Figura 2.8 Sistema atuador solenoide-válvula para o Exemplo 2.1.
Esse tipo de atuador é usado em sistemas hidráulicos e pneumáticos para
posicionar válvulas carretel visando ao controle do fluxo de fluido. A corrente
elétrica circula na bobina que envolve a armadura (pistão) e gera um campo
magnético, que produz uma força atrativa na armadura, puxando-a para a
direita. Desse modo, a força eletromagnética puxa a armadura para o centro da
bobina e fecha o entreferro. A armadura é rigidamente conectada ao carretel
por meio de uma haste, e portanto eles podem ser considerados uma única
massa concentrada. O movimento da massa armadura-válvula é puramente de
translação e na direção horizontal, e ambos a força eletromagnética e o
deslocamento da massa são positivos para a direita. Quando a força
eletromagnética desloca a armadura-válvula para a direita a partir da sua
posição inicial, a mola de retorno é comprimida e empurra de volta a válvula
carretel para a esquerda. Assim a mola de retorno é usada para trazer de volta
a massa armadura-válvula à sua posição inicial quando a força
eletromagnética é removida. Para esse exemplo, assume-se que a mola de
retorno encontra-se não deformada quando a armadura-válvula está na sua
posição inicial.
A Figura 2.9 mostra uma descrição esquemática dos componentes
mecânicos do atuador solenoide usando os elementos inércia, rigidez e atrito.
Como a armadura e a válvula carretel são rigidamente conectadas, ambas as
massas serão concentradas em um único elemento m. A posição da massa
armadura-válvula é denominada x, que é medida a partir da posição de
equilíbrio estático (mola não deformada com a massa em repouso). O
deslocamento positivo x é para a direita, como indicado na figura. A força
eletromagnética Fem é uma força externa aplicada diretamente sobre a massa
m. Assume-se que o atrito causado pelo movimento da válvula imersa no
fluido hidráulico é modelado por um coeficiente de atrito viscoso linear b, ou
um elemento amortecedor ideal. Finalmente, a mola de retorno é modelada
por uma mola ideal (linear) com coeficiente de rigidez k. A mola de retorno
encontra-se sem deformação quando a massa armadura-válvula está na
posição inicial e x = 0. Nesse ponto, o leitor deve ser capaz de identificar os
vários elementos mecânicos tanto no esquema do solenoide (Fig. 2.8) quanto
no seu esquema sistema mecânico equivalente (Fig. 2.9).
O modelo matemático desse sistema será desenvolvido aplicando o
procedimento de dois passos. Inicialmente, o DCL da massa m (veja a Fig.
2.10) é desenhado com as forças externas Fem (a força eletromagnética
aplicada), a força da mola e a força do amortecedor. A força aplicada Fem é
positiva para a direita, conforme dado na definição do problema. O sentido
apropriado da força da mola pode ser determinado assumindo um
deslocamento positivo para a massa m. A Figura 2.9 mostra que se x > 0, a
mola é comprimida, e, portanto, ela irá “empurrar” a massa m para a esquerda
com uma força igual à kx. A Figura 2.10 mostra o sentido apropriado para a
força da mola, com a equação correspondente. O sentido da força do
amortecedor é determinado de maneira similar: uma velocidade positiva para
a massa m é assumida, o que resulta em uma força resistiva oposta ao
movimento. Desse modo a força do amortecedor é também para a esquerda no
DCL. Se a massa m estiver se movendo para a esquerda ( < 0), então a força
do amortecedor atua para a direita e o DCL na Figura 2.10 continua válido.
Figura 2.9 Atuador solenoide como um sistema mecânico (Exemplo 2.1).
Figura 2.10 Diagrama de corpo livre para um atuador solenoide (Exemplo 2.1).
Em seguida, aplicando a segunda lei de Newton e somando as forças
externas sobre a massa m com a convenção do sinal positivo para a direita
É uma prática normal colocar todas as variáveis “dinâmicas” ou “de saída” e
suas derivadas em um lado do sinal de igualdade e todas as variáveis de
entrada no outro lado. Assim sendo, rearranjando a equação anterior, tem-se
A Eq. (2.21) é o modelo matemático do componente mecânico atuador
solenoide. Ele é conhecido como um sistema massa-mola-amortecedor
porque consiste em um elemento inércia, um elemento rigidez e um elemento
atrito. O modelo matemático (2.21) é uma EDO linear, de segunda ordem.
Normalmente, obtém-se uma EDO de segunda ordem para cada elemento
inércia de um sistema mecânico, desde que sejam usados os deslocamentos
dos elementos inércia no modelo matemático. Esse fato decorre da aplicação
de F = m em cada massa, o que resulta em uma EDO de segunda ordem. O
único sistema massa-mola-amortecedor na Figura 2.9 é um sistema de um
grau de liberdade (1 GL), pois apenas uma única coordenada variável
independente (x nesse caso) é necessária para determinar a posição do único
elemento inércia. A força eletromagnética Fem é a entrada do sistema. Esse
exemplo do solenoide será revisitado no Capítulo 3 e discutido como a força
eletromagnética é gerada pela corrente que atravessa uma bobina.
Movimento Vertical
O Exemplo 2.1 apresentou um sistema mecânico com movimento de
translação horizontal. Vários sistemas mecânicos envolvem movimentode
translação vertical, no qual as forças gravitacionais devem ser consideradas
nas equações dinâmicas. Um exemplo é um sistema de suspensão para um
automóvel, no qual os amortecedores e molas suportam o conjunto eixo-roda
e amortecem as vibrações provocadas pela via. As forças gravitacionais
aparecem ou não explicitamente no modelo matemático, dependendo da
escolha das coordenadas de deslocamento, o que pode ser demonstrado com
um simples exemplo de 1 GL.
Exemplo 2.2
O sistema mecânico mostrado na Figura 2.11a é composto por uma única
massa m, uma mola k e um amortecedor b. A posição vertical da massa é x,
que é medida a partir da posição não deformada da mola.
A Figura 2.11b mostra o DCL da massa m, que inclui a força da mola, a
força do amortecedor e a força gravitacional mg. Somando todas as forças
externas considerando o sentido para baixo como a convenção de sinal
positivo (veja a Fig. 2.11a) e aplicando a segunda lei de Newton, tem-se
Rearranjando essa equação com todas as variáveis dinâmicas no lado
esquerdo, tem-se
Figura 2.11 (a) Sistema massa-mola-amortecedor vertical para o Exemplo 2.2 e (b) diagrama
de corpo livre.
A Eq. (2.22) é o modelo matemático do sistema massa-mola-amortecedor
vertical para o caso no qual o deslocamento x é medido a partir da posição da
mola não deformada. Note que a força gravitacional mg aparece no lado
direito como uma entrada para o modelo do sistema mecânico.
Pode-se redefinir o modelo matemático de modo que a força gravitacional
mg não apareça explicitamente na EDO. Inicialmente, considera-se o caso no
qual o sistema mecânico vertical na Figura 2.11a encontra-se em repouso na
posição de equilíbrio, isso é, = = 0. Assim sendo, a partir do modelo
matemático (2.22), obtém-se kx = mg e a força de mola equilibra a força
gravitacional. Definindo a deflexão estática da mola como
Em seguida, definindo z como a posição da massa relativa à sua deflexão
estática, então a deflexão total é x = d + z. Em outras palavras, quando z = 0, a
massa está em sua posição de deflexão estática x = d. Pode-se calcular a
primeira e a segunda derivadas no tempo de x = d + z para obter = + e 
= + , que podem ser simplificadas para = e = porque a deflexão
estática d é constante. Finalmente, pode-se substituir = , = e x = d + z
no modelo matemático (2.22) para obter
A força de deflexão estática da mola cancela a força gravitacional, ou kd =
mg, e então o modelo matemático se torna
A Equação (2.24) é o modelo matemático do sistema mecânico básico em
termos da variável de posição z (deflexão a partir do equilíbrio estático). Ele é
idêntico ao modelo (2.22). Note que a força gravitacional não aparece na Eq.
(2.24). Normalmente, as forças gravitacionais não aparecem nas equações
matemáticas que modelam sistemas mecânicos com movimento vertical nos
quais todas as variáveis posição são referidas às suas respectivas posições de
equilíbrio estático. Essa convenção é usualmente adotada porque as medidas
em laboratórios de sistemas físicos são tipicamente referenciadas à posição
“zero” quando o sistema está em repouso. No próximo exemplo esse conceito
será demonstrado mais detalhadamente.
Exemplo 2.3
A Figura 2.12a mostra o esquema de um sistema de assento com suspensão,
que é projetado para atenuar (suprimir) as vibrações do terreno transmitidas ao
motorista [1]. Desenvolva o modelo matemático completo.
Figura 2.12 (a) Diagrama esquemático do sistema suspensão-assento do Exemplo 2.3. (b)
Modelo mecânico do sistema suspensão-assento.
A Figura 2.12b mostra o modelo mecânico concentrado do sistema
suspensão-assento. A massa total do assento é m1, enquanto a m2 representa a
massa do motorista. A mola ideal k1 e o amortecedor viscoso b1 modelam o
amortecedor físico, conectando o assento ao assoalho da cabine do veículo. A
mola ideal k2 e o coeficiente de atrito b2 representam, respectivamente, a
rigidez e o amortecimento da almofada do assento. Finalmente, z1 é o
deslocamento vertical da massa do assento e z2 é o da massa do motorista, e
ambos são medidos com relação às suas posições de equilíbrio estático. O
deslocamento vertical do assoalho da cabine (por causa das vibrações
induzidas pelo terreno) é z0(t) (note que o sentido para cima é a convenção de
sinal positivo para todos os deslocamentos como definido pela Referência 1).
A descrição completa da análise e do projeto do sistema suspensão-assento é
apresentada no Capítulo 11. Entretanto, todos os problemas de projeto
envolvendo sistemas dinâmicos iniciam com o desenvolvimento de modelos
matemáticos, que são tratados nesse exemplo.
A Figura 2.13 mostra o DCL do sistema mecânico de duas massas. A
convenção positiva (para cima) para os deslocamentos z1 e z2 são também
mostradas. Obviamente, todas as forças de molas e amortecedores dependem
dos deslocamentos e velocidades relativos entre a massa do assento e o
assoalho da cabine, e das massas do assento e do motorista, respectivamente.
Assume-se que o deslocamento relativo z1 – z0 é positivo, quando a mola da
suspensão k1 está em tração e a força de reação atua para baixo sobre a massa
do assento m1 como mostrado na Figura 2.13. Similarmente, considera-se que
o deslocamento relativo z1 – z2 é positivo, quando a almofada do assento é
comprimida e a força de reação atua para baixo sobre a massa do acento m1 e
para cima na do motorista m2 como mostrado pelas forças de mola k(z1 – z2)
iguais e contrárias no DCL. As forças de atrito dependem da velocidade
relativa. Se for assumido que a velocidade relativa 1 – 0 é positiva (isto é, a
massa do assento m1 está se movendo “para fora” em relação ao assoalho da
cabine), então a força de reação do atrito b1( 1 – 0) sobre a massa m1 se opõe
ao movimento relativo, como mostrado no DCL. Similarmente, se for
assumido que a velocidade relativa 1 – 2 é positiva (isto é, as massas do
assento m1 e do motorista m2 estão “se aproximando”), então a força de reação
do amortecimento da almofada do assento atua para baixo sobre a massa do
assento m1 e para cima sobre a do motorista m2, como mostrado pelas forças
do amortecedor iguais e contrárias b2 ( 1 – 2) no DCL. O leitor deve perceber
que os DCLs na Figura 2.13 permanecem válidos se forem assumidos
deslocamentos e velocidades relativos negativos, nos quais as setas das forças
serão invertidas. Finalmente, como os deslocamentos estão referenciados às
posições de equilíbrio estático, as forças gravitacionais não aparecem nos
DCLs.
Figura 2.13 Diagrama de corpo livre para o sistema suspensão-assento (Exemplo 2.3).
Somando todas as forças externas com a convenção de sinal positivo para
cima e aplicando a segunda lei de Newton, tem-se
Rearranjando essas equações com as variáveis dinâmicas (z1 e z2) no lado
esquerdo e a variável de entrada z0 no lado esquerdo, tem-se
As Eqs. (2.25a) e (2.25b) representam o modelo matemático do sistema
suspensão-assento. Como existem dois elementos inércia, o modelo completo
consiste em duas EDOs de segunda ordem, acopladas, significando que não se
pode resolver uma separadamente da outra. O modelo é linear porque foram
assumidos elementos rigidez e amortecimento lineares. Além disso, o leitor
deve notar que todos os termos relacionados com aceleração, velocidade e
posição da massa m1 na Eq. (2.25a) possuem o mesmo sinal, isso é, são
positivos. Similarmente, todos os termos associados à z2 (e suas derivadas) na
Eq. (2.25b) possuem o mesmo sinal. Normalmente, essas condições ocorrem
para um sistema que é inerentemente estável. A intuição diz que o sistema
suspensão-assento na Figura 2.12 é estável e sempre retornará ao equilíbrio
estático quando as vibrações de entrada z0(t) cessarem. No Capítulo 7, a
estabilidade será discutida em detalhes quando for tratada a resposta de
sistemas dinâmicos.
Sistemas Mecânicos com Não Linearidades
Vários sistemas mecânicos envolvem efeitos não lineares como o atrito
Coulomb (ou seco), folga em engrenagens e elementos rigidez que não
exibem características força-deformação lineares. Outro efeito não linearé a
presença de forças descontínuas, como as forças de contato e amortecimento
que ocorrem apenas quando uma massa mantém contato com um elemento
mecânico que possui propriedades de rigidez e/ou amortecimento. Nos
próximos exemplos serão apresentados sistemas mecânicos com efeitos não
lineares.
Exemplo 2.4
Considere novamente o sistema atuador solenoide-válvula mostrado na Figura
2.8 e discutido no Exemplo 2.1. Assumindo que o atrito Coulomb ou seco
atue na massa da armadura-válvula juntamente com o atrito viscoso linear,
desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico com esse efeito de
atrito não linear.
A Figura 2.14 mostra o atuador solenoide com a mola de retorno k,
coeficiente de atrito viscoso b (em razão do movimento da válvula carretel no
fluido hidráulico) e a força de atrito seco (em razão do movimento de
deslizamento da armadura na bobina elétrica). A força eletromagnética Fem é a
mesma do Exemplo 2.1.
Figura 2.14 Atuador solenoide com atrito seco (Exemplo 2.4).
O atrito Coulomb ou seco é a força de atrito cinético que existe quando
uma massa está deslizando em relação à uma superfície plana não lubrificada.
Da mecânica básica, sabe-se que o módulo da força de atrito seco é Fseco = µc
N, na qual µc é o coeficiente de atrito cinético e N é a força normal. Como a
força de atrito seco sempre se opõe ao sentido de movimento, ela é
usualmente modelada como Fseco sgn( ), na qual o operador “sgn” é a função
sinal, que retorna o valor do sinal da sua entrada. Nesse caso, a entrada da
função sinal é a velocidade . Consequentemente, sgn( ) = 1 quando > 0,
sgn( ) = –1 quando < 0 e sgn( ) = 0 quando = 0. A Figura 2.15 mostra a
natureza descontínua da força de atrito seco, que é claramente uma função não
linear da velocidade .
Figura 2.15 Força de atrito seco como função da velocidade.
A Figura 2.16 mostra o DCL do sistema mecânico com as forças da mola,
do amortecedor linear, do atrito seco, e eletromagnética. O leitor deve notar
que a força de atrito seco Fseco sgn( ) na Figura 2.16 sempre se opõe ao
movimento da massa m independentemente do sinal da velocidade .
Somando todas as forças externas sobre a massa m com a convenção de sinal
positivo para a direita fornece
Rearranjando essa equação com todas as variáveis dinâmicas no lado
esquerdo tem-se
Figura 2.16 Diagrama de corpo livre para o atuador solenoide com atrito seco (Exemplo 2.4).
A Eq. (2.26) é o modelo matemático dos componentes mecânicos do sistema
atuador solenoide. Ele é não linear por causa de inclusão do atrito seco. Se
essa força for ignorada, a Eq. (2.26) se torna o modelo matemático linear do
atuador como desenvolvido no Exemplo 2.1, ou Eq. (2.21).
Exemplo 2.5
Considere novamente o atuador solenoide mostrado na Figura 2.8 e discutido
nos Exemplos 2.1 e 2.4. Na maioria dos projetos de solenoides, a mola de
retorno possui uma “pré-carga” por causa da sua compressão quando a válvula
é instalada. Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico com a
mola de retorno pré-carregada.
Nos Exemplos 2.1 e 2.4 a mola de retorno não estava deformada quando a
massa da armadura-válvula foi instalada na posição zero. Assim sendo,
quando a força eletromagnética Fem é zero, os modelos matemáticos (2.21) e
(2.26) são satisfeitos quando a massa da armadura-válvula está em repouso na
posição de equilíbrio, ou x = = = 0. Entretanto, uma mola de retorno
comprimida, pré-carregada, irá fornecer uma força (para a esquerda) quando a
válvula estiver na posição de equilíbrio (x = 0) e em repouso ( = = 0).
Assim sendo, uma força de contato na parede atua no lado esquerdo da massa
da armadura para equilibrar a pré-carga da mola quando o sistema está na
posição de equilíbrio estático. Deve-se incorporar as forças de pré-carga da
mola e de contato no novo modelo matemático.
A Figura 2.17 mostra o sistema mecânico com as forças de pré-carga da
mola FPC e de contato FC. O deslocamento da massa x é medido a partir da
posição de equilíbrio, que ocorre quando o lado esquerdo da massa da
armadura está em contato com a parede do atuador. É importante notar que a
força de contato na parede pode apenas “empurrar” para o lado direito e não
pode “puxar” a massa da armadura para a esquerda. Consequentemente, a
descontinuidade da força de contato deve ser corretamente modelada.
Figura 2.17 Atuador solenoide com mola de retorno pré-carregada (Exemplo 2.5).
A Figura 2.18 mostra o DCL para o sistema mecânico com a mola pré-
carregada e a força de contato na parede. As forças da mola kx, de atrito, e
eletromagnética Fem são as mesmas do Exemplo 2.4. A força da mola kx na
Figura 2.18 é em razão da compressão adicional na mola de retorno, quando a
massa é deslocada para a direita, ou x > 0. Assim, a força total na mola é FPC +
kx. Note que a mola de retorno nunca pode ser tracionada, assim como o
deslocamento x possui limite inferior a zero porque existe o contato na parede
e a pré-carga compressiva quando x = 0. A força de contato na parede se torna
instantaneamente zero quando a massa da armadura-válvula é deslocada além
da posição de equilíbrio, ou x > 0. Somando todas as forças externas sobre a
massa m com a convenção de sinal positivo para a direita fornece
Figura 2.18 Diagrama de corpo livre para o atuador solenoide com mola de retorno pré-
carregada (Exemplo 2.5).
Rearranjando essa equação com todas as variáveis dinâmicas no lado
esquerdo tem-se
A Eq. (2.27) é o modelo matemático do sistema mecânico; entretanto, deve-se
levar em consideração que a força de contato na parede FC descontinua
quando a massa sai da posição de equilíbrio, ou x > 0. Obviamente, quando o
sistema está no equilíbrio estático e a massa na posição de equilíbrio (isto é, 
= = x = 0), o lado direito da Eq. (2.27) deve ser igual à zero. Nesse caso, a
força de contato equilibra a diferença entre as forças de pré-carga da mola e
eletromagnética, ou FC = FPC – Fem. Entretanto, quando a força
eletromagnética ultrapassa a força de pré-carga da mola, uma força positiva
líquida faz com que a massa acelere e, consequentemente, a massa sai da
posição de equilíbrio e a força de contato torna-se zero. Assim, a força de
contato é definida como
As Eqs. (2.27) e (2.28) consistem no modelo matemático do sistema atuador
solenoide-válvula com a mola pré-carregada. O atuador solenoide será
revisitado no Capítulo 3 quando forem discutidos os sistemas eletromecânicos
e no Capítulo 6 quando as soluções numéricas forem tratadas.
Exemplo 2.6
A Figura 2.19 mostra o esquema de um atuador piezoelétrico, que é projetado
para manter contato com uma massa deslizante e movê-la para uma posição
desejada [2]. Desenvolva o modelo matemático completo.
O atuador mostrado na Figura 2.19 usa dois conjuntos de materiais
cerâmicos piezoelétricos (titanato zirconato de chumbo ou PZT é um material
piezoelétrico comum que exibe uma deformação mecânica quando uma tensão
é aplicada em camadas de materiais cerâmicos) para fornecer forças externas
para a massa m1. Uma “pilha” vertical de camadas PZT (não mostrada)
fornece uma força vertical que “adere” a massa m1 à massa deslizante m2
como mostrado na Figura 2.19a. A pilha horizontal de camadas PZT se
estende quando uma tensão é aplicada, e, portanto, empurra a massa m1 para a
direita como mostrado na Figura 2.19b. A massa deslizante m2 pode ser
movida para uma posição horizontal desejada usando a seguinte sequência:
(1) mantenha a massa m1 em contato com a massa deslizante (Fig. 2.19a), (2)
energize e estenda o atuador pilha PZT de modo a mover as massas m1 e m2
para a direita (Fig. 2.19b) e (3) libere a massa aderida e deixa-a retornar à
posição não deformada (inicial). Essa sequência “adere-estende-libera” é
repetida até que a massa deslizante seja movida para a posição desejada. O
atuador mostrado na Figura 2.19 é proposto para a manufatura de sistemas
microeletromecânicos (MEMS) muito pequenos nos quais o posicionamento
das peças com elevada precisão é requerido.
A Figura 2.20 mostra o sistema atuador PZT como um sistema mecânico
concentradocom a massa m1 e a massa deslizante m2. A rigidez e o atrito
inerentes ao atuador PZT horizontal são modelados por uma mola ideal k e um
amortecedor ideal b. Aplicando uma tensão à pilha PZT estende o atuador e
produz uma força FPZT que pode apenas empurrar a massa m1 para a direita
como mostrado na Figura 2.20. A posição x1 da massa m1 é medida a partir da
posição de equilíbrio ou não estendida do atuador (isto é, tensão aplicada
nula). A massa aderida e a massa deslizante possuem atrito Coulomb (seco)
nas suas superfícies de contato quando existe movimento relativo entre as
duas massas.
Figura 2.19 Operação do atuador piezoelétrico MEMS para o Exemplo 2.6: (a) massa m1 é
“aderida” à massa deslizante m2 e (b) lâmina PZT estendida para mover a massa deslizante.
Figura 2.20 Modelo mecânico para o atuador piezoelétrico MEMS (Exemplo 2.6).
Quando a massa aderida é liberada da massa deslizante no final do curso de
extensão, o contato entre as duas massas não existe mais.
A Figura 2.21 mostra o DCL do sistema atuador PZT. As forças de rigidez
e atrito do atuador PZT irão atuar para a esquerda como mostrado na Figura
2.21. A força do PZT FPZT pode atuar apenas sobre a massa m1 para a direita
(extensão). A força de atrito Fa que resulta do contato e do movimento
relativo entre a massa m1 e a massa m2 é mostrada na Figura 2.21 para o caso
no qual a velocidade da massa aderida m1 é maior que a velocidade da massa
deslizante, ou 1 > 2. Essa força de atrito-aderência Fa atua em um par igual e
contrário nas duas massas de acordo com a terceira lei de Newton. Somando
todas as forças externas sobre a massa aderida m1 e a massa deslizante m2 com
a convenção de sinal positivo para a direita fornece
Figura 2.21 Diagrama de corpo livre para o atuador piezoelétrico MEMS no qual a massa m1
desliza relativamente à massa m2 (Exemplo 2.6).
Rearranjando essas equações com todas as variáveis dinâmicas do lado
esquerdo tem-se
Quando a massa aderida m1 está em contato com a massa m2, a força de atrito
devida ao deslizamento é
na qual a força de atrito seco Fseco = µc NA é proporcional a força de aderência
NA (produzida pela pilha PZT vertical) que atua na direção normal à massa
deslizante m2. O leitor deve notar que a função sinal sgn é usada na Eq. (2.31)
para determinar o sentido (ou sinal) da força de atrito Fa. Se 1 – 2 > 0 (isto é,
a massa aderida m1 está se movendo para a direita mais rapidamente que a
massa m2), então as setas para as forças de atrito Fa estão mostradas
corretamente na Figura 2.21. Entretanto, a Eq. (2.31) irá determinar
corretamente a força de atrito se 1 – 2 < 0 e a massa m2 está se movendo
mais rápido que a massa m1.
Quando a massa aderida m1 é liberada (NA = 0) e não há contato com a
massa deslizante, a força de atrito é nula. Tipicamente, a força no atuador PZT
FPZT é feita zero durante a fase de liberação, e a força de rigidez do atuador
estendido retorna a massa aderida m1 para sua posição de equilíbrio (x1 = 0).
Usando FPZT = 0 e Fa = 0, as Eqs. (2.29) e (2.30) se tornam
Sem contato (liberado):
Resumindo, o modelo matemático do sistema atuador PZT é composto de
dois conjuntos de equações
Movimento com deslizamento: NA > 0
Sem contato (liberado):
NA = 0 e FPZT = 0:
1.
2.
Os conjuntos de Eqs. (2.34) e (2.35) constituem o modelo matemático
completo do atuador PZT, que é não linear por causa da força de atrito seco. A
integração numérica do modelo do sistema é o único método prático para
obter a resposta do sistema em razão de uma força de atrito de deslizamento
não linear. Além disso, a simulação numérica deve continuamente monitorar a
força de aderência normal NA entre as duas massas e a força do atuador PZT
FPZT de modo a chavear para o conjunto apropriado de EDOs que governam a
dinâmica do sistema.
2.4 SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO
Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de rotação podem ser obtidos
usando o mesmo procedimento sistemático de dois passos empregado para os
sistemas de translação:
Desenhe um DCL para cada momento de inércia com setas
representando os torques externos atuando em cada momento de
inércia. Faça uso da terceira lei de Newton para mostrar os torques de
reação iguais e opostos. Escreva com atenção equações para cada
torque usando a lei do elemento apropriada e as convenções positivas
para as variáveis deslocamento angular.
Aplique a segunda lei de Newton para cada momento de inércia para
obter o modelo matemático do sistema mecânico completo.
A segunda lei de Newton para sistemas de rotação estabelece que a soma de
todos os torques externos atuando sobre um corpo é igual ao produto do
momento de inércia J e da aceleração angular do corpo
Os exemplos a seguir demonstram sistemas mecânicos de rotação de 1 GL e 2
GLs.
Exemplo 2.7
A Figura 2.22 mostra um sistema mecânico com um único disco, no qual o
rotor é suportado por rolamentos, e um motor fornece o torque Tent(t)
diretamente à inércia do rotor J. Desenvolva o modelo matemático do sistema
de 1 GL.
Nesse exemplo, tem-se uma única variável de deslocamento, a posição
angular θ, que é medida no sentido horário a partir de uma posição de
referência fixa como mostrado na Figura 2.22. O rotor possui atrito por causa
dos rolamentos e do fluido em torno do rotor. Assume-se um modelo de atrito
ideal (linear), e concentra-se o rolamento e o atrito fluido em um único
coeficiente de atrito rotacional b, com unidades de N·m·s/rad. Assim sendo, o
torque total de atrito é b , que sempre se opõe ao movimento angular.
Figura 2.22 Sistema mecânico com disco único para o Exemplo 2.7.
A Figura 2.23 apresenta o DCL do único momento de inércia J, mostrando
a convenção positiva (no sentido horário) para o deslocamento angular θ. O
torque de entrada Tent(t) está no sentido positivo. O sentido do torque de atrito
é determinado assumindo uma velocidade angular positiva (no sentido
horário). Essa velocidade angular positiva resulta em um torque resistivo que
se opõe ao movimento. Assim sendo, b é mostrado no sentido anti-horário
no DCL.
Somando todos os torques externos sobre o disco J com a convenção de
sinal positivo no sentido horário fornece
Figura 2.23 Diagrama de corpo livre para o rotor (Exemplo 2.7).
Rearranjando a Eq. (2.37), obtém-se o modelo matemático
A Eq. (2.38) é um modelo de segunda ordem, linear, do sistema mecânico de
um único disco. A variável dinâmica é a posição angular θ, e a entrada é o
torque aplicado Tent(t).
Note que para esse sistema mecânico de rotação, a posição angular θ não
aparece explicitamente no modelo de segunda ordem (2.38). Assim sendo,
pode-se reescrever a Eq. (2.38) como um modelo de primeira ordem usando a
velocidade angular ω como a variável dinâmica. Substituindo ω = e = 
na Eq. (2.38) tem-se o modelo de primeira ordem
Ao resolver o modelo de segunda ordem (2.38) determina-se a posição
angular como função do tempo, ou θ(t), enquanto ao resolver o modelo de
primeira ordem (2.39) tem-se a velocidade angular ω(t).
Exemplo 2.8
A Figura 2.24 mostra um sistema turbina-gerador eólico usado para
transformar energia mecânica em energia elétrica. Para esse problema,
assume-se que a inércia da turbina J1 e a do gerador J2 são conectadas
rigidamente às suas engrenagens no trem de engrenagens. Desenvolva o
modelo matemático desse sistema mecânico de rotação.
A inércia da turbina J1 consiste nas pás da turbina eólica, no eixo da
turbina e na engrenagem 1 (com raio r1), e a inércia do gerador J2 consiste na
engrenagem 2 (com raio r2) e no rotor do gerador. Ambas as inércias da
turbina e o gerador possuem atrito viscoso modelado por b1 e b2,
respectivamente. As pás da turbina extraem energia do vento e produzem um
torque aerodinâmico Taero, que é a entrada para o sistema e comanda o trem de
engrenagens. O disco do gerador J2 inclui as bobinas e o movimento
rotacional dos enrolamentos em um campo magnético gera a energia elétrica.
Adicionalmente, a corrente nos fios das bobinas em um campo magnético
induz uma força que se opõe ao movimento do gerador, queé representada
pelo torque do gerador Tger mostrado na Figura 2.24. Os detalhes das
interações eletromagnéticas são discutidos no Capítulo 3; por enquanto, o
leitor deve aceitar que Tger é um torque conhecido que se opõe à rotação
positiva da inércia do gerador J2 como mostrado na Figura 2.24.
Figura 2.24 Sistema turbina-gerador eólico para o Exemplo 2.8.
A Figura 2.25 mostra o DCL para o sistema turbina-gerador eólico. A
convenção de sinal positivo para as rotações angulares θ1 e θ2 é mostrada na
figura. A força fC no ponto de contato entre as duas engrenagens é ilustrada
como um par de forças iguais e opostas, de acordo com a terceira lei de
Newton. Como o torque aerodinâmico Taero fornece um torque positivo ao eixo
de entrada, a força de contato fC fornece um torque positivo transmitido para o
eixo de saída (gerador), que é igual à fC r2. Somando os torques em cada
elemento inércia e aplicando a segunda lei de Newton chega-se a
Figura 2.25 Diagrama de corpo livre para o sistema turbina-gerador eólico (Exemplo 2.8).
O sistema turbina-gerador possui um grau de liberdade pois as rotações
angulares θ1 e θ2 não são independentes por causa do trem de engrenagens. A
velocidade de ambas as engrenagens no ponto de contato é r1 1 = r2 2, e a
derivada no tempo da velocidade no ponto de contato fornece r1 1 = r2 2.
Assim sendo, as Eqs. (2.40) e (2.41) não são independentes. Pode-se usar a
Eq. (2.41) para determinar a força de contato fC desconhecida
e substituir essa expressão na Eq. (2.40), o que resulta em
Escolhe-se descrever o modelo do sistema em termos do ângulo de rotação da
turbina θ1; assim sendo, substitui-se a velocidade angular do eixo do gerador
por 2 = (r1/r2) 1 e a aceleração angular do eixo do gerador por 2 = (r1/r2) 1
na Eq. (2.42). Movendo todas as variáveis dinâmicas para o lado esquerdo
tem-se
Finalmente, pode-se substituir a relação de transmissão N = r2 / r1 na Eq.
(2.43)
A Eq. (2.44) é o modelo matemático do sistema turbina-gerador eólico. Pode-
se escrever o modelo do sistema de uma forma mais compacta definindo a
inércia e o coeficiente de atrito equivalentes ou “compostos” como
Assim sendo, o modelo completo do sistema usando os coeficientes
compostos é
Os termos compostos Jc1 e bc1 representam a inércia e o coeficiente de atrito
equivalentes experimentados pelo eixo da turbina. A inércia do gerador
“refletida” de volta para o eixo da turbina por meio do trem de engrenagens é
J2 / N2, e o coeficiente de atrito do gerador “refletido” para o eixo da turbina é
b2 / N2. O torque externo aplicado equivalente no eixo da turbina é a soma Taero
e – Tger / N.
Finalmente, note que pode-se reescrever o modelo matemático completo
(2.45) em termos da velocidade angular do eixo da turbina usando ω1 = 1 e 
1 = 1
A Equação (2.46) é um modelo de primeira ordem para o sistema turbina-
gerador eólico, e sua solução irá fornecer apenas a informação de velocidade
angular. O leitor deve notar a similaridade entre o modelo turbina-gerador
eólico (2.46) e o modelo de um único disco mecânico do Exemplo 2.7.
Exemplo 2.9
A Figura 2.26 mostra um sistema mecânico com duplo disco proposto como
um eficiente gerador para veículos híbridos [3]. Desenvolva o modelo
matemático completo.
O sistema mecânico representado pelo Figura 2.26 é composto por um
pistão (disco J1) conectado a um cilindro (disco J2). Ambos os discos giram
em torno de um eixo comum. Os discos estão conectados por uma mola
torcional, representada pela mola rotacional de constante k. Os deslocamentos
angulares θ1 (disco pistão) e θ2 (disco cilindro) são medidos a partir das suas
posições de equilíbrio, com a rotação positiva no sentido horário quando o
sistema é visto a partir da esquerda. Ambos os discos possuem atrito, que é
modelado por um coeficiente de atrito viscoso b. Um torque em razão da
pressão dos gases de um motor diesel, Tent(t), comanda o sistema de dois
discos com um par igual e contrário, como indicado na Figura 2.26. As
rotações angulares dos discos relativas aos ímãs estacionários geram corrente
elétrica e torques de reação, mas esses efeitos não são incluídos nesse
exemplo. Durante o modo de operação normal, o torque de entrada do motor
Tent(t) é pulsado de tal maneira que o sistema elástico deflete fazendo com que
ambos os discos vibrem em torno de uma posição angular média em um
determinado sentido. Neste estágio inicial do livro, é importante que o leitor
seja capaz de desenvolver o modelo matemático dado o sistema mecânico
com seus deslocamentos e variáveis de entrada definidos na Figura 2.26.
Figura 2.26 Modelo mecânico para um gerador com duplo disco para o Exemplo 2.9.
Como nos exemplos anteriores, inicia-se com um DCL do sistema
mecânico de rotação acoplado, mostrado na Figura 2.27. Ambos os discos são
mostrados nos DCLs, com os deslocamentos angulares positivos (sentido
horário) θ1 e θ2. O torque de entrada Tent(t) é mostrado no sentido oposto da
rotação positiva para o disco pistão J1 e no mesmo sentido da rotação positiva
para o disco cilindro J2, o que está de acordo com as setas dos torques dadas
na Figura 2.26. Ambos os torques de atrito dependem apenas das velocidades
angulares dos respectivos discos, se opõem aos sentidos positivos das
rotações. O torque proveniente da torção da mola torcional k depende do
deslocamento angular relativo θ1 – θ2. Se for assumido que o ângulo do pistão
θ1 é maior do que o ângulo do cilindro θ2, então a torção da mola torcional k
irá impor um torque de reação negativo sobre o disco pistão J1 e um torque
positivo igual e contrário sobre o disco cilindro J2, como mostrado no DCL. É
claro que o ângulo do pistão θ1 pode ser menor que o ângulo do cilindro θ2. O
leitor deve verificar que a seta do torque da mola e equações correspondentes
mostradas na Figura 2.27 permanecem válidas nesse caso.
Figura 2.27 Diagrama de corpo livre para o sistema gerador com duplo disco (Exemplo 2.9).
Somando todos os torques externos com o sentido horário como o positivo
de acordo com a convenção de sinais e aplicando a segunda lei de Newton
para o sistema rotacional, obtém-se
Rearranjando essas equações com as variáveis dinâmicas (θ1 e θ2) no lado
esquerdo e a variável de entrada Tent(t) no lado direito, tem-se
As Eqs. (2.47a) e (2.47b) representam o modelo matemático do sistema
gerador de duplo disco. Como são dois elementos inércia, o modelo completo
consiste em duas EDOs de segunda ordem, acopladas. O modelo é linear, pois
foram assumidos elementos rigidez e amortecimento lineares. Note que todos
os termos relacionados com a aceleração, velocidade e posição angular do
disco J1 na Eq. (2.47a) possuem o mesmo sinal; similarmente, todos os termos
associados com θ2 (e suas derivadas) na Eq. (2.47b) possuem o mesmo sinal.
Essa característica ocorre para sistemas inerentemente estáveis, e o leitor é
estimulado a usar a verificação de sinais nos DCL e os passos algébricos que
levam ao modelo matemático correto.
Pode-se reescrever o modelo matemático em termos do deslocamento
angular relativo entre o disco cilindro J2 e o disco pistão J1, isto é, Δθ = θ2 –
θ1. Subtraindo a Eq. (2.47a) da Eq. (2.47b) fornece
Como as inércias do pistão e do cilindro são iguais (o sistema de duplo disco é
equilibrado), pode-se substituir J = J1 = J2. Além disso, pode-se substituir a
variável de deslocamento angular relativo Δθ = θ2 – θ1 e suas derivadas Δ = 
2 – 1 e Δ = 2 – 1 para obter
A Eq. (2.48) é uma única EDO de segunda ordem, linear, que modela o
sistema mecânico de disco duplo. No caso de discos de inércias iguais, ela
representa a mesma dinâmica das Eqs. (2.47a) e (2.47b). Entretanto, a Eq.
(2.48) emprega o deslocamento angular relativo Δθ como a variável dinâmica,
e, portanto, sua solução fornecerá apenas informação sobre o ângulo relativo
entre os dois discos. Enquanto o emprego da torção angular relativa Δθ como
a única variável dinâmica pode parecer em um primeiro momento como
restritiva, ela pode ser usada para calcular medidas de desempenho
importantes para o sistema.Por exemplo, considere a potência líquida de
entrada: a potência de entrada para um sistema mecânico é o produto da força
(ou torque) de entrada e da velocidade (ou velocidade angular). Nesse caso, o
torque de entrada Tent(t) é definido como positivo quando está no mesmo
sentido da rotação positiva do disco cilindro θ2 e da rotação negativa do disco
pistão θ1 (veja a Figura 2.26). Assim sendo, a potência líquida de entrada é
A Eq. (2.49) mostra que a potência líquida de entrada pode ser calculada a
partir da velocidade angular relativa entre os dois discos, que é determinada
pela solução da equação única (2.48) do modelo.
SUMÁRIO
Neste capítulo foi introduzida uma abordagem sistemática para o
desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas mecânicos.
Inicialmente, foram discutidas as características físicas dos elementos inércia,
rigidez e de dissipação de energia que existem em sistemas mecânicos. Em
seguida, o procedimento de modelagem foi iniciado pelo desenho de todas as
forças em um DCL para cada elemento inércia. A terceira lei de Newton é
usada para desenhar as forças de reação iguais e contrárias que existem entre
os elementos inércia. A soma de todas as forças de acordo com o sentido
positivo assumido é igualada ao produto da massa e aceleração (segunda lei
de Newton). Assim, cada elemento inércia em um sistema mecânico requer
uma EDO de segunda ordem porque a aceleração é a segunda derivada no
tempo da posição. Por exemplo, um sistema mecânico composto por três
massas concentradas, cada uma das quais possuindo uma variável de
deslocamento independente, é modelado por três EDOs de segunda ordem. No
caso especial no qual as equações que modelam o sistema não dependam das
variáveis deslocamento, a velocidade pode ser usada como a variável
dinâmica e, portanto, pode-se representar uma única massa concentrada por
uma EDO de primeira ordem. Para um sistema mecânico com movimento de
translação, o deslocamento horizontal ou vertical é a variável dinâmica. Para o
movimento de rotação, o DCL é desenhado mostrando os torques aplicados
em cada momento de inércia e o deslocamento angular é a variável dinâmica.
REFERÊNCIAS
1.
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3.
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6.
2.1
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Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 125, March 2003, pp.
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ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol.
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“Active Control of a High-Speed Pantograph”, ASME Journal of
Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 119, March 1997, pp.
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Dynamics: A New Approach”, ASME Journal of Dynamic Systems,
Measurement, and Control, Vol. 96, December 1974, pp. 466-469.
PROBLEMAS
Problemas Conceituais
Um sistema de isolamento de vibrações é mostrado na Figura P2.1. O
amortecedor b1 conecta a massa m à superfície horizontal superior. O
suporte de vibrações que apoia a massa sobre a base móvel é
modelado por uma rigidez k e um atrito viscoso b2 concentrados. O
2.2
deslocamento de base zent(t) é a entrada do sistema e z é o
deslocamento vertical da massa m, medido a partir da posição de
equilíbrio estático. Desenvolva o modelo matemático para esse sistema
mecânico.
Figura P2.1
A Figura P2.2 mostra um sistema mecânico comandado pelo
deslocamento na extremidade esquerda, xent(t), que pode ser fornecido
por um came rotacional e um seguidor. Quando o deslocamento xent(t)
= 0 e x = 0, a mola k não está nem comprimida nem tracionada.
Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico.
Figura P2.2
2.3
a.
b.
2.4
A Figura P2.3 mostra um sistema massa-amortecedor de 1 GL. O
deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio, na qual o
amortecedor está na posição “neutra”. A força externa fa(t) é aplicada
diretamente sobre a massa m.
Figura P2.3
Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico com a
posição x como a variável dinâmica.
Desenvolva o modelo matemático com a velocidade v(t) = (t)
como a variável dinâmica.
Um sistema mecânico de 2 GLs com um amortecedor e uma mola em
série é mostrado na Figura P2.4. O movimento independente da massa
m é z1, e z2 é o deslocamento independente do ponto de contato entre o
amortecedor b e a mola k. A mola não está deformada quando z1 = z2 =
0. Uma força externa fa(t) atua sobre a massa m. Desenvolva o modelo
matemático do sistema mecânico. [Sugestão: desenhe os DCLs para o
ponto de contato e para a massa m e despreze a inércia do “ponto sem
massa”.]
2.5
2.6
Figura P2.4
A Figura P2.5 mostra o mesmo sistema mecânico de 2 GLs da Figura
P2.4, porém com a conexão série do amortecedor e da mola invertida.
O movimento independente da massa m é z1 e z2 é o deslocamento
independente do ponto de contato entre o amortecedor b e a mola k. A
mola não está deformada quando z1 = z2 = 0. Uma força externa fa(t)
atua sobre a massa m. Desenvolva o modelo matemático do sistema
mecânico. [Sugestão: desenhe os DCLs para o ponto de contato e para
a massa m e despreze a inércia do “ponto sem massa”.]
Figura P2.5
A Figura P2.6 mostra uma massa m deslizando sobre um filme de óleo
com coeficiente de atrito viscoso b. A massa está se movendo em
direção ao elemento de rigidez k e no instante t = 0 sua posição é x(0)
= 0, a velocidade (0) = 0,4 m/s, e ela está a 0,5 m do elemento
rigidez. Desenvolva o modelo matemático desse sistema mecânico
(note que o modelo matemático requer duas equações – uma para o
caso de “não contato” com a mola k, e outra para o caso do contato
com a mola. Além disso, a mola não pode “puxar” a massa m em
tração).
2.7
2.8
Figura P2.6
A Figura P2.7 mostra um sistema mecânico de translação com duas
massas. A força aplicada fa(t) atua sobre a massa m1. Os deslocamentos
z1 e z2 são as posições absolutas das massas m1 e m2, respectivamente,
medidas relativamente às coordenadas fixas (as posições de equilíbrio
estático com fa(t) = 0). Um filme de óleo com coeficiente de atrito
viscoso b separa as massas m1 e m2. Desenvolva o modelo matemático
do sistema mecânico.
Figura P2.7
A Figura P2.8 mostra um sistema mecânico. A alavanca de conexão
possui momento de inércia J em relação ao pino de articulação e o
ângulo de rotação θ é positivo no sentido horário. A posição da massa
m é positiva para a direita. Ambos os deslocamentos angular e de
2.9
a.
b.
translação são medidos a partir da posição de equilíbrio, na qual todas
as molas estão não deformadas. Desenvolva o modelo matemático
desse sistema mecânico assumindo pequenos ângulos de rotação θ.
Figura P2.8
A Figura P2.9 mostra um sistema mecânico de 2 GLs sem atrito que
consiste apenas em elementos inércia e rigidez. Os deslocamentos x1 e
x2 são medidos a partir da posição de equilíbrio (molas não
deformadas).
Desenvolva o modelo matemático completo do sistema usando as
leis de Newton e os DCLs.
Desenvolva o modelo matemático do sistema usando o fato que a
energia mecânica total do sistema permanece constante. [Sugestão:
escreva uma expressão para a energia total do sistema e faça sua
derivada no tempo igual a zero.]
2.10
2.11
2.12
Figura P2.9
Um sistema mecânico com duas massas de translação possui o
seguinte modelo matemático:
Os deslocamentos x1 e x2 são medidos a partir das respectivas posições
de equilíbrio. Uma força externa fa(t) é aplicada sobre o sistema.
Esboce uma possível configuraçãopara o sistema mecânico com duas
massas. Rotule todos os elementos e mostre a convenção positiva para
os deslocamentos no esboço. Esboce os DCLs para cada massa e
verifique o modelo do sistema pela aplicação das leis de Newton.
Repita o Problema 2.10 se o modelo matemático do sistema mecânico
de duas massas é:
Repita o Problema 2.10 se o modelo matemático do sistema mecânico
de duas massas é:
2.13
2.14
A Figura P2.13 mostra um disco com momento de inércia J que está
inicialmente girando em um eixo apoiado em rolamentos. Não há
torque de entrada de uma fonte externa aplicada no disco. O disco
girante está imerso em um cilindro estacionário cheio de fluido
hidráulico. O disco está sujeito a atrito, modelado usando o coeficiente
de atrito viscoso linear b. Desenvolva uma equação para a taxa
instantânea de perda de energia (isto é, a potência dissipada) por causa
da rotação do disco no atrito viscoso usando dois métodos: (1) a
derivada no tempo da energia mecânica total e (2) a definição potência
= torque × velocidade angular.
Figura P2.13
A Figura P2.14 mostra um sistema mecânico que consiste em uma
polia montada em um eixo rígido. A polia possui momento de inércia J
e raio r. Um torque externo Tent é aplicado diretamente na polia.
Desenvolva o modelo matemático.
2.15
2.16
Figura P2.14
Um sistema mecânico de rotação com dois discos é mostrado na
Figura P2.15. Um motor externo (não mostrado) fornece o torque de
entrada Tent para a engrenagem de entrada 1 (raio r1). O momento de
inércia do disco 1 e engrenagem 2 é J1, e J2 é o momento de inércia do
segundo disco. O trem de engrenagens é ideal. A inércia da
engrenagem 1 pode ser desprezada, e a engrenagem 2 é maior que a
engrenagem 1 (r2 > r1). Os dois discos estão conectados por um eixo
flexível com constante de rigidez torcional k. O disco J2 está imerso
em um fluido viscoso modelado por um coeficiente de atrito b.
Desenvolva o modelo matemático do sistema mecânico completo.
Figura P2.15
A Figura P2.16 mostra um sistema mecânico com duplo disco e dois
eixos flexíveis representados pelas constantes de mola torcionais k1 e
k2, respectivamente. O disco J1 possui atrito viscoso b e um torque de
entrada Tent é aplicado diretamente sobre ele. Ambas as posições
angulares (θ1 e θ2) são medidas a partir da posição de equilíbrio ou não
deformada. Desenvolva o modelo matemático completo para esse
sistema.
2.17
2.18
Figura P2.16
A Figura P2.17 mostra um sistema com uma única alavanca
comandada por uma força externa fa(t). A alavanca possui momento de
inércia J em torno do eixo do pino. Quando o ângulo da alavanca θ = 0
a mola não está deformada. Desenvolva o modelo matemático para o
sistema com alavanca assumindo que rotação angular θ permanece
pequena.
Figura P2.17
Problemas MATLAB
Uma engenheira deseja desenvolver modelos matemáticos para duas
molas mecânicas. Ela carrega as molas (em tração e compressão),
mede suas deflexões estáticas e reúne os resultados na Tabela P2.18.
Use o comando MATLAB polyfit para determinar as equações que
modelam a força em cada mola. Trace o gráfico do modelo de força de
ambas as molas para deformações variando de – 8 a 8 mm e inclua os
pontos medidos da Tabela P2.18 nos gráficos. Comente se as molas
exibem relações lineares ou não lineares.
Tabela P2.18
Força de carregamento (N) Deformação mola #1 (mm) Deformação mola #2 (mm)
0 0 0
10 1,2482 1,1682
15 1,8822 1,7523
25 3,1938 2,9206
35 4,6099 4,0888
45 6,2354 5,2570
50 7,2055 5,8411
–10 –1,2482 –1,1682
–15 –1,8822 –1,7523
–25 –3,1938 –2,9206
–35 –4,6099 –4,0888
2.19
2.20
–45 –6,2354 –5,2570
–50 –7,2055 –5,8411
Modelar precisamente o atrito em sistemas mecânicos é sempre
desafiante por causa da característica “stick-slip” em velocidades
relativas muito pequenas. “Stick-slip” é a denominação dada para a
transição entre o atrito estático e o atrito cinético (ou dinâmico)
quando um corpo começa a deslizar. Um modelo de atrito não linear
que representa adequadamente o fenômeno do stick-slip é
no qual Fa é a força de atrito total, Fest é a força de atrito estática em
torno da velocidade zero, FC é a força de atrito de Coulomb (“seco”), c
é um coeficiente de velocidade, b é o coeficiente de atrito viscoso, e é
a velocidade relativa entre a massa deslizante e a superfície. Considere
os parâmetros do modelo de atrito como Fest = 10 N, FC = 7 N, b = 70
N×s/m. Use o MATLAB para traçar os gráficos da força de atrito total
versus a velocidade relativa para –0,05 ≤ ≤ 0,05 m/s, considerando
três valores do coeficiente de velocidade: c = 0,001, 0,002, e 0,005
m/s. Descreva a força de atrito em velocidades relativas muito
pequenas e em (relativamente) altas velocidades de ± 0,05 m/s.
Adicionalmente, explique como a variação do coeficiente de
velocidade c altera o denominado “efeito de atrito Stribeck” quando a
velocidade relativa é muito pequena.
A força de amortecimento em amortecedores de caminhões pesados
normalmente exibe uma relação não linear com a velocidade relativa
entre o pistão e o cilindro do amortecedor. Uma força de
amortecimento típica é
2.21
2.22
na qual Fa é a força de amortecimento (em N), é a velocidade relativa
entre o pistão e o cilindro (em m/s), e v = 0,2 m/s. Use o MATLAB
para traçar o gráfico de força de amortecimento versus a velocidade
relativa para –1,5 ≤ ≤ 1,5 m/s. Descreva a natureza da força de
amortecimento para valores “pequenos” e “elevados” da velocidade
relativa.
A força de amortecimento não linear de um amortecedor para
automóveis normalmente exibe uma elevada força durante o curso de
extensão ( > 0), comparada com o curso de compressão ( < 0) para o
mesmo módulo da velocidade relativa . Assim sendo, o modelo de
amortecimento não linear do Problema P2.20 é modificado para
na qual Fa é a força de amortecimento (em N), é a velocidade
relativa entre o pistão e o cilindro (em m/s), v1 = 0,06 m/s e v2 = 0,19
m/s. Escreva um programa M MATLAB para traçar o gráfico de força
de amortecimento versus a velocidade relativa para –1,5 ≤ ≤ 1,5 m/s.
Esse modelo de amortecimento representa de forma precisa a força de
atrito quando ≈ 0? Descreva a natureza da força de amortecimento
para valores “pequenos” e “elevados” da velocidade relativa.
Aplicações de Engenharia
A Figura P2.22 mostra um mola helicoidal feita de fio de aço
inoxidável com seção circular. Pesquise na literatura de engenharia
para encontrar a equação apropriada à determinação da constante de
mola e calcule a constante de mola k (em N/m).
2.23
2.24
Figura P2.22
Repita o Problema P2.22 para uma mola de aço inoxidável, com 5
espiras e área de seção reta quadrada de 0,8 mm2. O diâmetro externo
da mola com fio quadrado é idêntico ao da mola com fio circular
mostrada na Figura P2.22 (isto é, 1,5 cm).
A Figura P2.24 mostra um sistema de acoplamento fluido, que
consiste em um disco impulsor J1, um disco turbina J2 e um disco
carga J3. Cada disco possui uma variável de deslocamento angular
independente, θ1, θ2, e θ3, que são medidas a partir da posição de
equilíbrio não deformada (torção nula). Um torque externo Tent(t) é
aplicado diretamente sobre o disco impulsor J1, que transmite o torque
para o disco turbina J2 em razão da velocidade angular relativa e do
coeficiente de atrito viscoso b do fluido hidráulico (os discos J1 e J2
não estão mecanicamente conectados). O impulsor e a turbina estão
contidos em uma carcaça selada com fluido hidráulico no seu interior.
Um eixo flexível com constante de mola torcional k conecta o disco
turbina J2 ao disco carga J3. Um torque carga externo TC atua
diretamente sobre o disco J3. Desenvolva o modelo matemático do
sistema de acoplamento fluido.
2.25
Figura P2.24
A Figura P2.25 mostra um trem de engrenagens comandando um
braço robótico por meio de um eixo flexível. Um motor externo (não
mostrado) fornece o torque de entrada Tent para a engrenagem de
entrada 1 (raio r1). O momento de inércia do disco 1 e da engrenagem
2 é J1. O trem de engrenagens é ideal. A engrenagem 2 é maior que a
engrenagem 1 (r1 < r2)e a inércia da engrenagem 1 pode ser
desprezada. O trem de engrenagens e o braço robótico estão
conectados por um eixo flexível com constante de mola torcional k. O
braço robótico possui inércia Jcm em torno do seu centro de massa
(c.m.) e seu c.m. está a uma distância d do eixo de rotação. O peso do
braço robótico (concentrado no c.m.) fornecerá um torque que se opõe
ao movimento do braço em torno do eixo de rotação para
deslocamento angular 0 < θ2 < 180o. O sistema possui atrito
desprezível. Desenvolva o modelo matemático para o sistema
mecânico completo. [Sugestão: o momento de inércia do braço em
torno do eixo de rotação é J2 = Jcm + md2 mediante o teorema dos eixos
paralelos.]
2.26
Figura P2.25
A Figura P2.26a mostra o esquema de um sistema de leitura óptica de
discos de computador. O motor do disco (contido no chassi) gira o
disco, e o motor do carrinho (c/ o leitor) translada a cabeça de leitura
ao longo da direção radial do disco girante, de tal modo que o laser
focado “lê” a trilha de dados desejada sobre o disco óptico. Note que
apesar do servo motor do carrinho poder posicioná-lo na direção
radial, o carrinho é rigidamente conectado ao chassi (veja a Referência
4 para maiores detalhes). A Figura P2.26b mostra o leitor de discos
como um sistema mecânico simplificado de duas massas. A massa m1
da cabeça de leitura é conectada ao carrinho pela rigidez k1 e o
coeficiente de atrito b1, enquanto o chassi e o carrinho são
concentrados na massa m2. Um conjunto de suportes de borracha
conecta a massa dos chassi m2 à estrutura e esses suportes possuem
rigidez k2 e coeficiente de amortecimento b2 concentrados. Os suportes
são usados para suprimir a vibração transmitida pelo movimento da
estrutura. Os deslocamentos absolutos (medidos a partir da posição de
equilíbrio) da cabeça de leitura e do chassi/carrinho são x1 e x2,
respectivamente. O deslocamento absoluto da estrutura é xent(t).
Desenvolva o modelo matemático do sistema de leitura óptica de
discos.
2.27
Figura P2.26a
Figura P2.26b
Trens elétricos de alta velocidade empregam um braço mecânico
denominado pantógrafo para transferir a corrente elétrica dos cabos
aéreos para o trem (veja a Figura P2.27a). O pantógrafo tipicamente
consiste em uma estrutura articulada com dois braços, que fornece
uma força para cima de modo a manter o contato entre uma pequena
peça (cabeça de contato) e o cabo aéreo [5]. A Figura 2.26b mostra o
modelo mecânico com duas massas concentradas para o pantógrafo no
qual m1 é a massa da cabeça de contato, m2 é a massa da estrutura, e k1
é a rigidez da “sapata” de contato entre a cabeça e o cabo aéreo. A
suspensão da cabeça de contato é modelada pela rigidez concentrada k2
e pelo coeficiente de atrito concentrado b1 enquanto a suspensão da
estrutura envolve apenas um coeficiente de atrito concentrado b2. Um
pistão pneumático fornece a força fa(t) que empurra para cima a
estrutura de tal modo que a sapata permaneça em contato com o cabo.
Os deslocamentos z1 e z2 são medidos a partir das posições de
equilíbrio estático e zc(t) é o deslocamento do cabo aéreo. Desenvolva
o modelo matemático do sistema pantógrafo (note que o elemento
rigidez k1 pode apenas atuar em compressão; isto é, o cabo não pode
“puxar” em tração a massa da cabeça de contato).
Figura P2.27a
2.28
Figura P2.27b
A Figura P2.28 mostra um esquema do sistema de comando de
válvulas de automóveis. O came girante move a haste (seguidor), e o
balancim gira para mover a válvula na direção vertical. Um modelo
mecânico simplificado é mostrado ao lado do esquema do comando de
válvulas. O momento de inércia J representa a inércia do balancim em
torno do pino de articulação. A deformação da haste é modelada pela
mola k1, e a mola de retorno na válvula é k2. O atrito do pino do
balancim é modelado pelo coeficiente de atrito viscoso b. O
movimento vertical do seguidor imposto pelo came é xC(t), a entrada
do sistema. A posição angular do balancim é θ, positiva no sentido
horário. Quando o ângulo do balancim está nivelado (θ = 0), a mola de
retorno possui uma força de pré-carga compressiva FPC. Quando a
posição do seguidor é xC = 0 e θ = 0, então a haste (k1) não está
deformada. Assuma que o ângulo do balancim θ permanece pequeno
durante todo o tempo. Desenvolva o modelo matemático do sistema de
comando de válvulas e determine o deslocamento necessário do
2.29
seguidor xC quando o sistema estiver em repouso (equilíbrio) com o
nível do balancim (θ = 0).
Figura P2.28
A Figura P2.29 mostra uma locomotiva puxando dois vagões [6]. Os
dois acoplamentos são modelados pelo coeficiente de rigidez k e
coeficiente de atrito b. Os deslocamentos zi são as posições absolutas
de cada massa (vagão) medidas a partir da condição de equilíbrio
estático na qual não existem forças nos acoplamentos. De modo a
determinar um modelo linear, assume-se que o atrito de rolamento em
cada massa é igual ao produto do coeficiente de atrito br e sua
velocidade absoluta 1. O sistema de propulsão da locomotiva fornece
uma força externa Fa(t) para a massa m1. Desenvolva o modelo
matemático completo para o sistema de veículo ferroviário.
2.30
Figura P2.29
A Figura P2.30 mostra o modelo de 1/4 de carro que é empregado para
analisar a qualidade dos sistemas de suspensão de automóveis no seu
movimento vertical. A massa m1 é a “massa suspensa”, que
corresponde a um quarto da massa total do veículo que é suportada
pelo sistema de suspensão. A massa m2 é a “massa não suspensa”, que
é uma massa concentrada composta por um conjunto de roda e
componentes de meio-eixo, mais o amortecedor e mola da suspensão.
A rigidez e o amortecimento do sistema de suspensão são modelados
como a constante de mola k1 e o coeficiente de atrito b ideais,
respectivamente. A rigidez do pneu é modelada pela constante de mola
k2. Os deslocamentos verticais z1 e z2 das massas m1 e m2 são medidos a
partir das suas posições de equilíbrio estático. A entrada é o
deslocamento vertical imposto pela via, zent(t), que é medido em
relação a determinado nível. Desenvolva o modelo matemático do
sistema 1/4 de carro-suspensão.
2.31
2.32
Figura P2.30
Considere novamente o atuador piezoelétrico MEMS discutido no
Exemplo 2.6. Desenvolva o modelo matemático completo para o
cenário adicional, no qual o atrito entre as massas m1 e m2 faz com que
elas “deslizem juntas” e, portanto, o sistema pode ser modelado como
uma única massa (unida). Nesse caso, tem-se o “atrito estático” e o
movimento relativo entre as duas massas é nulo ( 1 = 2). Desenvolva
uma expressão para o módulo da força de atrito estático tal que 1 = 2
e 1 = 2. Note que o modelo matemático completo consistirá em três
conjuntos de EDOs para três casos: (1) atrito com deslizamento
(contato, FPZT > 0), (2) atrito estático (massas unidas, FPZT > 0), e (3)
sem contato (massas liberadas com FPZT = 0).
A Figura P2.32 mostra uma representação de parâmetros concentrados
para um “giroscópio diapasão” conceitual MEMS para medidas de
velocidades angulares. Os deslocamentos x1, x2 e x3 são as posições
absolutas das respectivas massas e são medidos a partir das posições
de equilíbrio nas quais não existe deformação nas molas. O atrito do
sistema é representado por três elementos amortecedor concentrados
b1, b2 e b3. Duas forças externar f1 e f2 são aplicadas às massas m1 e m2,
respectivamente. Desenvolva o modelo matemático para o giroscópio
MEMS.
Figura P2.32
3.1 INTRODUÇÃO
Circuitos elétricos e dispositivos eletromecânicos são amplamente
utilizados por engenheiros mecânicos em instrumentação e na conversão
entre energia elétrica e mecânica. Este capítulo introduz as técnicas
fundamentais para o desenvolvimento das equações que modelam os
sistemas elétricos, compostos por elementos resistor, capacitor e indutor. Os
modelos matemáticos para os sistemas elétricos são desenvolvidos pela
aplicação das leis da tensão e da corrente de Kirchhoff nos circuitos
elétricos, assim como pelas leis dos elementos que representam a interação
entre a carga elétrica, corrente, enlacede fluxo magnético e tensão.
Sistemas eletromecânicos envolvem a interação entre a energia elétrica e
mecânica como ocorre nos motores, geradores e atuadores, que necessitam
da análise conjunta dos circuitos elétricos e dos diagramas de corpo livre
para os componentes mecânicos.
Como nos sistemas mecânicos no Capítulo 2, será empregada a
abordagem de parâmetros concentrados, e, desse modo, o modelo
matemático dos sistemas elétricos consiste em equações diferenciais
ordinárias (EDOs). Como o objetivo deste capítulo é desenvolver métodos
para a modelagem de sistemas elétricos e eletromecânicos, o leitor deve ter
em mente que a intenção é enfatizar as aplicações de engenharia desses
sistemas. Assim sendo, serão desenvolvidos modelos para dispositivos, tais
como motores e atuadores, e esses exemplos serão usados ao longo do
restante do livro. Assim como no capítulo anterior, a seguir são
desenvolvidos os modelos matemáticos, mas não as soluções das EDOs que
os representam, e os métodos para determinação da resposta dos sistemas só
serão tratados nos Capítulos 6-9.
3.2 LEIS DE ELEMENTOS ELÉTRICOS
Um sistema elétrico é composto de elementos elétricos, que podem ser
agrupados em duas categorias: (1) elementos passivos e (2) elementos
ativos. Os resistores, capacitores e indutores são os elementos passivos
elétricos, que não podem introduzir energia no sistema, apenas armazená-la
ou dissipá-la. Os três elementos mecânicos básicos (inércia, rigidez e atrito)
são também elementos passivos porque podem apenas armazenar energia
(elementos inércia e rigidez) ou dissipá-la (elemento atrito). Assim sendo, é
possível estabelecer analogias entre os elementos passivos elétricos e
mecânicos. As fontes de tensão e corrente são elementos ativos, que podem
introduzir energia elétrica no sistema, e elas são análogas às entradas de
força e de movimento para os sistemas mecânicos.
Esta seção apresenta breves descrições das leis fundamentais que
modelam os elementos elétricos. São empregados conceitos básicos de
eletricidade e magnetismo tratados nas disciplinas de física nas
universidades. A corrente I é a taxa de fluxo da carga elétrica q (em
coulombs, C) ou I = . Assim sendo, a corrente tem unidade de C/s ou
ampere (A). A tensão e (em volts, V) é a diferença de potencial elétrico
entre dois pontos ou as extremidades de um elemento com dois terminais.
Algumas vezes será considerado que parte do circuito é conectada à “terra”
na qual a tensão é zero.
Figura 3.1 Elemento resistor.
Resistor
Resistores são elementos elétricos que impedem (resistem) ao fluxo de
corrente. Os resistores dissipam a energia elétrica pela conversão em calor
e, consequentemente, são análogos aos elementos atrito em sistemas
mecânicos. A Figura 3.1 mostra o símbolo para um elemento resistor com
dois terminais com resistência R. Na Figura 3.1, a corrente I flui através do
elemento resistor R e eR é o potencial de tensão entre os dois terminais (o
sinal mais na Figura 3.1 indica o potencial elétrico mais elevado). A lei de
Ohm define a “queda de tensão” eR através de um resistor ideal como
na qual R é a resistência em V/A ou ohms (Ω). A Eq. (3.1) é a relação
tensão-corrente para um resistor linear; resistores podem exibir uma relação
não linear entre a corrente e a queda de tensão. Potência é a taxa no tempo
da energia ξ, e para um elemento elétrico é dada por tensão × corrente em
watts (W). Assim sendo, a potência dissipada por um resistor é
A Eq. (3.2) possui um sinal de menos para indicar que resistores sempre
dissipam energia. O leitor deve notar que as potências dissipadas por um
resistor e pelo amortecedor mecânico como apresentado pela Eq. (2.15) são
análogas: . A resistência elétrica R é análoga ao coeficiente de
atrito viscoso b e a corrente I(= ) é análoga à velocidade .
Capacitor
Dois condutores separados por um meio não condutor formam um
capacitor. Um exemplo são duas placas metálicas paralelas separadas por
um fino material dielétrico. Capacitores armazenam energia no campo
elétrico resultante do potencial de tensão entre os dois condutores. A Figura
3.2 mostra o símbolo para um capacitor de dois terminais com corrente I e
potencial de tensão eC entre os dois terminais. Os capacitores ideais
(lineares) obedecem a relação carga-tensão
na qual C é a capacitância em C/V ou farads (F). A capacitância é uma
medida da carga que pode ser armazenada para uma dada tensão entre os
condutores. A capacitância C depende de propriedades do material e
geométricas, tais como a área e a distância entre as duas placas paralelas.
Pode-se relacionar a capacitância com a corrente empregando a derivada no
tempo da Eq. (3.3)
Figura 3.2 Elemento capacitor.
A queda de tensão através do capacitor pode ser obtida pela integração da
Eq. (3.4)
Os capacitores podem armazenar energia em decorrência da sua tensão
A derivada no tempo da Eq. (3.6) fornece a potência
Substituindo CèC da Eq. (3.4) na Eq. (3.7), pode-se ver que a potência é
tensão × corrente.
Indutor
Uma simples bobina de fio enrolado forma um indutor. Indutores
armazenam energia no campo magnético resultante da corrente fluindo
através do enrolamento de fio. A Figura 3.3 mostra o símbolo para um
indutor de dois terminais com corrente IL e potencial de tensão eL entre os
dois terminais. Indutores ideais exibem uma relação linear entre a corrente
IL e o enlace de fluxo magnético λ
na qual L é a indutância em webers/ampere (Wb/A) ou henries (H). O
enlace de fluxo magnético l possui unidades de webers (Wb), e é o produto
da densidade de fluxo magnético (Wb/m2), área do enrolamento (m2) e do
número de voltas (ou espiras) na bobina de fio. A indutância L depende das
propriedades geométricas e do material, tais como o número de espiras
(voltas) e da área do enrolamento. Se a bobina está em torno de um núcleo
ferromagnético, a indutância se torna uma função não linear.
A lei de Faraday da indução magnética estabelece que o enrolamento de
fio terá uma diferença de tensão induzida entre seus terminais se o fluxo
magnético varia no tempo. A derivada no tempo do enlace de fluxo é igual
à tensão através do indutor
Para um indutor fixo com indutância constante L, pode-se substituir a
derivada no tempo da Eq. (3.8) na Eq. (3.9) para obter
Os indutores podem armazenar energia no seu campo magnético por causa
da corrente
A derivada no tempo da Eq. (3.11) fornece a potência
Substituindo da Eq. (3.10) na Eq. (3.11), pode-se ver que a potência é
tensão × corrente.
Figura 3.3 Elemento indutor.
Fontes
São utilizados dois tipos de fontes ideais para os sistemas elétricos: fontes
de tensão e de corrente. A Figura 3.4a mostra uma fonte ideal de tensão que
fornece uma tensão de entrada especificada eent(t) para o circuito,
independentemente da quantidade de corrente que esteja sendo retirada
dela. O terminal positivo da fonte de tensão mostrado na Figura 3.4a indica
o sentido positivo do fluxo de corrente (assume-se que o fluxo de corrente
ocorre do potencial mais elevado para o menor). A Figura 3.4b mostra uma
fonte de corrente ideal que fornece uma corrente especificada Ient(t) para o
circuito, independentemente da quantidade de tensão que seja requerida. O
símbolo seta na fonte de corrente indica a convenção positiva para o fluxo
de corrente. Essas fontes serão tratadas como as entradas conhecidas para o
sistema elétrico, assim como foram consideradas as entradas de força e
deslocamento para os sistemas mecânicos no Capítulo 2.
Figura 3.4 Fontes elétricas ideais: (a) fonte de tensão e (b) fonte de corrente.
3.3 SISTEMAS ELÉTRICOS
No Capítulo 2, foram desenvolvidos modelos matemáticos para os sistemas
mecânicos a partir do desenho dos diagramas de corpo livre e aplicação da
segunda lei de Newton para cada elemento inércia. Em todos os casos, as
“variáveis dinâmicas” do modelo matemático eram as variáveis de
deslocamento, como a posição para os sistemas de translação ou o
deslocamento angular para os sistemas rotacionais. É óbvio que o
conhecimento desses deslocamentos e de suasderivadas (velocidades)
determina completamente a energia total (cinética + potencial) do sistema
mecânico. Para os sistemas elétricos, as “variáveis dinâmicas” importantes
são tensão e corrente: as Eqs. (3.4) e (3.10) mostram que a tensão no
capacitor eC e a corrente no indutor IL são representadas por EDOs de
primeira ordem. Além disso, a energia armazenada pelos capacitores e
indutores dependem da tensão no capacitor eC e da corrente no indutor IL;
veja as Eqs. (3.6) e (3.11). Assim sendo, os modelos matemáticos de
sistemas elétricos podem ser escritos em termos das “variáveis dinâmicas”
importantes (eC e IL) das EDOs de primeira ordem que representam os
elementos armazenadores de energia. As tensões e correntes em um circuito
elétrico que não são eC ou IL (isto é, a queda de tensão através de um
resistor) podem ser escritas em termos das variáveis dinâmicas importantes
empregando as leis de Kirchhoff.
Lei de Kirchhoff das Tensões
A leis de Kirchhoff das tensões (ou “malhas”) estabelece que a soma
algébrica de todas as tensões através dos elementos em qualquer caminho
fechado (malha) é igual a zero. A Figura 3.5 mostra um circuito que
consiste em uma única malha com fonte de tensão eent(t) e três elementos
passivos. Esses três elementos podem ser qualquer combinação de
resistores, capacitores ou indutores. O fluxo de corrente positiva I é
mostrado na figura, na qual a corrente flui através de cada elemento passivo
do terminal positivo para o terminal negativo. A convenção é atribuir um
sinal negativo para a “queda de tensão” (no sentido da corrente através de
um elemento passivo, ou do + para o – em uma fonte de tensão ativa) e um
sinal positivo para o “aumento de tensão” (no sentido contrário ao da
corrente através de um elemento passivo, ou do – para o + em uma fonte de
tensão). Somando as tensões na malha (no sentido horário da corrente)
resulta em
Figura 3.5 Exemplo da lei da Kirchhoff das tensões (malhas).
Logicamente, pode-se somar as tensões percorrendo a malha no sentido
anti-horário (contra a corrente)
o que leva ao mesmo resultado algébrico da Eq. (3.13).
Lei de Kirchhoff das Correntes
A lei de Kirchhoff das correntes (ou “dos nós”) estabelece que a soma
algébrica de todas as correntes entrando e saindo de um nó é igual a zero.
Um nó é definido como a junção de três ou mais fios, e escolhe-se a
convenção de atribuição do sinal positivo para as correntes entrando em um
nó, e do sinal negativo para as correntes saindo de um nó. A Figura 3.6
mostra quatro fios carregando correntes I1, I2, I3 e I4, na qual todos os fios se
encontram em um único nó. Aplicando a lei dos nós de Kirchhoff tem-se
1.
2.
Figura 3.6 Exemplo da lei da Kirchhoff das correntes (nós).
Modelos Matemáticos de Sistemas Elétricos
Modelos matemáticos de sistemas elétricos podem ser determinados usando
o procedimento esquemático de dois passos:
Escreva as correspondentes EDOs de primeira ordem para cada
elemento armazenador de energia (capacitor ou indutor). As
variáveis dinâmicas da EDOs serão a tensão eC (para um capacitor)
ou a corrente IL (para um indutor).
Use as leis de Kirchhoff para expressar as tensões e correntes
desconhecidas em termos das variáveis dinâmicas associadas com
os elementos armazenadores de energia (eC ou IL) ou com as fontes
(entrada de tensão eent ou entrada de corrente Ient).
Geralmente, escreve-se uma EDO de primeira ordem para cada elemento
armazenador de energia; isto é, cada capacitor e cada indutor. Por exemplo,
um circuito com dois capacitores e um indutor resultará em um modelo
matemático de terceira ordem (isto é, três EDOs de primeira ordem). É
importante que o modelo completo do sistema elétrico esteja em termos das
variáveis dinâmicas associadas aos elementos armazenadores de energia e
das variáveis das fontes de entrada. O procedimento de modelagem em dois
passos é melhor ilustrado pelos exemplos a seguir.
Exemplo 3.1
A Figura 3.7 mostra um circuito RL série com uma fonte de tensão.
Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico.
Esse circuito contém um único elemento armazenador de energia (o
indutor L) e uma única malha. Consequentemente, o modelo consistirá em
uma EDO de primeira ordem, com a equação dinâmica para a corrente
através do indutor, Eq. (3.10)
Em seguida, deve-se expressar a tensão no indutor eL em termos da variável
dinâmica IL e/ou da tensão da fonte eent(t). Para tanto, aplica-se a lei de
Kirchhoff das tensões em torno da malha no sentido horário
Substituindo a lei de Ohm para a tensão através do resistor (eR = R IL) na
Eq. (3.17), a tensão no indutor é
Substituindo a Eq. (3.18) na EDO de primeira ordem (3.16) fornece
Finalmente, move-se todos os termos envolvendo a variável dinâmica IL
para o lado esquerdo
A Eq. (3.19) é o modelo matemático desse simples circuito RL série, uma
EDO linear, invariante no tempo de primeira ordem.
Para esse exemplo simples, seria possível iniciar com a lei de Kirchhoff
das tensões, Eq. (3.17), repetida a seguir
–eL – eR + eent (t) = 0
E, na sequência, substituir as leis apropriadas dos elementos para a tensão
através de um indutor (eL = L L) e a tensão através de um resistor (eR = RIL)
para fornecer o modelo matemático (3.19). Para circuitos simples de malha
única, pode-se facilmente encontrar o modelo matemático iniciando pela
equação de malha a partir da lei de Kirchhoff das tensões.
Figura 3.7 Circuito RL série para o Exemplo 3.1.
Exemplo 3.2
A Figura 3.8 mostra um circuito RLC série com uma fonte de tensão.
Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico.
Esse circuito contém dois elementos armazenadores de energia: indutor
L e capacitor C. Assim sendo, o modelo consiste em duas EDOs de primeira
ordem em termos da tensão do capacitor eC e da corrente no indutor IL
As duas variáveis dinâmicas importantes são a tensão no capacitor eC e a
corrente no indutor IL, e a entrada do sistema é a fonte de tensão eent(t).
Portanto, a Eq. (3.20) já está completa, porque seu lado direito está
expresso em termos da corrente IL. Em seguida, deve-se expressar a tensão
no indutor eL na Eq. (3.21) em termos de eC, IL, ou eent(t). Para tanto, aplica-
se a lei de Kirchhoff das tensões em torno da única malha no sentido
horário
Substituindo a lei de Ohm (eR = RIL) na Eq. (3.22) e resolvendo para a
tensão no indutor eL tem-se
A Eq. (3.23) pode ser substituída na Eq. (3.21) fornecendo
Finalmente, movendo todos os termos envolvendo as variáveis dinâmicas eC
e IL nas Eqs. (3.20) e (3.24) para o lado esquerdo chega-se à
As Eqs. (3.25) e (3.26) modelam matematicamente o sistema elétrico RLC
série. O modelo completo é linear de segunda ordem, pois consiste em duas
EDOs de primeira ordem acopladas, lineares.
Como esse sistema elétrico é simples, pode-se determinar outra forma
do modelo matemático diretamente da lei de Kirchhoff, Eq. (3.22), repetida
a seguir
Na sequência, substituindo as expressões apropriadas para as quedas de
tensão através de cada um dos três elementos passivos
Figura 3.8 Circuito RLC série para o Exemplo 3.2.
A Eq. (3.28) é uma equação íntegro-diferencial pois ela envolve tanto a
derivada quanto a integral de corrente IL. Pode-se tomar a derivada no
tempo da Eq. (3.28) para eliminar o termo integral (e adicionalmente,
mover a variável de entrada eent(t) para o lado direito)
A Eq. (3.29) é o modelo matemático do circuito RLC. Ele consiste em uma
única EDO de segunda ordem com variável dinâmica IL e variável de
entrada eent(t). O leitor deve notar que a única Eq. (3.29) de segunda ordem
é equivalente às duas Eqs. (3.25) e (3.26) de primeira ordem que modelam
o sistema. Para comprovar, pode-se tomar a derivada no tempo da Eq.
(3.26)
Em seguida, substituir a Eq. (3.25) para a derivada no tempo da tensão do
capacitor ( C = IL/C) e obter
que é equivalente ao modelo de segunda ordem (3.29).
Resumindo, pode-se usar ambos os modelos matemáticos para
representar a dinâmica do circuito RLC. Se a escolha for as duas equações
de primeira ordem (3.25) e (3.26), a solução será em termosdas variáveis
dinâmicas eC e IL. Se for usada a única EDO de segunda ordem (3.29), a
única variável dinâmica é IL e a entrada é a derivada no tempo da fonte de
tensão eent(t).
Exemplo 3.3
A Figura 3.9 mostra um circuito RLC paralelo alimentado por uma fonte de
corrente. Desenvolva o modelo matemático para o sistema elétrico.
Inicia-se o desenvolvimento do modelo como foi feito na Exemplo 3.2:
este circuito contém dois elementos armazenadores de energia, indutor L e
capacitor C. Portanto, o modelo consiste em duas EDOs de primeira ordem
em termos da tensão do capacitor eC e a corrente no indutor IL
Como o modelo a ser obtido envolve apenas as variáveis dinâmicas eC e IL e
a fonte de corrente Ient(t), deve-se expressar a corrente no capacitor IC e a
tensão no indutor eL em termos dessas variáveis. Pode-se aplicar a lei de
Kirchhoff das correntes ao nó comum que conecta os fios contendo a fonte
de corrente, resistor, capacitor e indutor. A Figura 3.9 mostra que as
correntes IR, IL e IC estão fluindo para fora do nó superior, enquanto a fonte
de corrente Ient(t) está fluindo para dentro do nó. Assim, a lei de Kirchhoff
das correntes fornece
que pode ser resolvida para a corrente do capacitor
Figura 3.9 Circuito RLC paralelo para o Exemplo 3.3.
A corrente no resistor IR deve ser agora expressa em termos de eC, IL ou
Ient(t). Pode-se aplicar a lei de Kirchhoff das tensões em qualquer malha que
contenha dois elementos passivos. Por exemplo, percorrendo no sentido
horário a malha que contém o resistor R e o indutor L tem-se
De maneira similar, percorrendo no sentido horário a malha da extremidade
direita contendo o indutor L e o capacitor C fornece
As Eqs. (3.36) e (3.37) mostram que todas as quedas de tensão são iguais:
eR = eL = eC (deve-se lembrar da física básica da universidade ou da
disciplina elementar de circuitos que dois ou mais elementos conectados em
um circuito paralelo possuem a mesma tensão entre os seus terminais
compartilhados). Usando a lei de Ohm, pode-se expressar a corrente no
resistor como IR = eR / R = eC / R, e, portanto, a corrente no capacitor na Eq.
(3.35) se torna
Adicionalmente, pode-se substituir a tensão do indutor (eL = eC) na Eq.
(3.33). Substituindo a Eq. (3.38) para IC na Eq. (3.32) e a tensão no
capacitor eC para eL na Eq. (3.33) chega-se à
As Eqs. (3.39) e (3.40) são as que modelam matematicamente o circuito
RLC paralelo. O modelo completo do sistema é linear e de segunda ordem
pois consiste em duas EDOs de primeira ordem lineares, acopladas.
Pode-se expressar o modelo elétrico com uma única EDO de segunda
ordem em termos da tensão no capacitor eC tomando a derivada no tempo
da Eq. (3.39)
Em seguida, resolvendo a Eq. (3.40) para a taxa no tempo da corrente do
indutor, L = eC / L, e substituindo o resultado na Eq. (3.41) tem-se
A Eq. (3.42) é o modelo matemático do circuito RLC paralelo, e é
equivalente ao representado pelas duas equações de primeira ordem (3.39) e
(3.40), acopladas.
Exemplo 3.4
A Figura 3.10 mostra um sistema elétrico com duas malhas alimentado por
uma fonte de corrente. Desenvolva o modelo matemático do sistema
elétrico.
Como o sistema possui apenas um elemento armazenador de energia,
inicia-se com a equação básica que modela um capacitor
Em seguida, usando a lei de Kirchhoff das correntes no nó marcado com
“A” na Figura 3.10
Figura 3.10 Sistema Elétrico para o Exemplo 3.4.
Assim, substituindo a Eq. (3.44) para a corrente no capacitor na Eq. (3.43)
obtém-se
Desse modo, é necessária uma expressão para a corrente através do resistor
R. Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões para a malha da direita na
Figura 3.10 (percorrida no sentido horário) fornece
Pode-se expressar a queda de tensão em ambos os resistores na Eq. (3.46)
usando a lei de Ohm
Substituindo IC = Ient(t) – I2 na Eq. (3.47) fornece
Agrupando os termos na Eq. (3.48) que envolve a corrente através do
resistor R2, obtém-se
Finalmente, pode-se resolver a Eq. (3.49) para a corrente I2 e substituindo o
resultado na Eq. (3.45) para obter a equação dinâmica do capacitor
Multiplicando a Eq. (3.50) por R1 + R2 e rearranjando tem-se
A Eq. (3.51) é o modelo matemático para o sistema elétrico, uma EDO
linear de primeira ordem, pois o circuito possui um único capacitor. O leitor
deve notar que todos os termos na Eq. (3.51) são tensões.
Exemplo 3.5
A Figura 3.11 mostra um sistema elétrico com duas malhas alimentado por
uma fonte de tensão. Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico.
Inicia-se o desenvolvimento do modelo como foi feito nos Exemplos
3.2 e 3.3: este circuito contém dois elementos armazenadores de energia, o
indutor L e o capacitor C. Assim sendo, o modelo consiste em duas EDOs
de primeira ordem em termos da tensão no capacitor eC e da corrente no
indutor IL
Figura 3.11 Sistema elétrico para o Exemplo 3.5.
Deve-se expressar a corrente no capacitor IC e a tensão no indutor eL em
termos das variáveis dinâmicas IL e eC e da tensão de entrada eent(t). Para
iniciar, aplicando a lei de Kirchhoff das correntes ao nó “A” na Figura 3.11
Portanto, a corrente no capacitor requerida na Eq. (3.52) é IC = I1 – IL. A
corrente através do resistor R1 pode ser determinada a partir da lei de Ohm,
I1 = eR1 / R1, se for obtida a queda de tensão através do resistor. A queda de
tensão no resistor R1 é determinada a partir da lei de Kirchhoff das tensões
em torno da malha do lado esquerdo (percorrida no sentido horário):
Assim sendo, a queda de tensão em R1 é
e a corrente através do resistor R1 é
Finalmente, substituindo a Eq. (3.57) para a corrente do resistor R1 e usando
a Eq. (3.54) para a corrente do capacitor na Eq. (3.52), a equação que
modela a tensão no capacitor é
A Equação (3.58) é completa porque está em termos de eC, IL e eent(t).
Em seguida, deve-se determinar uma expressão para a tensão no indutor
eL na equação dinâmica do indutor, Eq. (3.53). Aplicando a lei de Kirchhoff
das tensões para a malha do lado direito na Figura 3.11 (percorrida no
sentido horário) fornece
Portanto, a queda de tensão no indutor é eL = eC – eR2. A queda de tensão no
resistor R2 é determinada pela lei de Ohm, eR2 = R2IL, e, assim, a Eq. (3.53)
se torna
Finalmente, pode-se multiplicar a Eq. (3.58) por R1 e incluir todas as
variáveis dinâmicas (eC e IL) nas Eqs. (3.58) e (3.60) no lado esquerdo e a
entrada do sistema eent(t) no lado direito fornecendo
As Eqs. (3.61) e (3.62) são o modelo matemático do sistema elétrico de
dupla malha. O sistema completo é linear e de segunda ordem porque
consiste em duas EDOs acopladas, lineares, de primeira ordem. O leitor
deve notar que todos os termos nas Eqs. (3.61) e (3.62) são tensões.
3.4 CIRCUITOS COM AMPLIFICADORES OPERACIONAIS
Um amplificador operacional (“op-amp”) é um moderno dispositivo
eletrônico empregado para amplificar (“ganho”) um sinal de tensão. Eles
podem ser usados também em circuitos para construir filtros que removem
uma faixa de frequência desejada de sinais de entrada. Os op-amps foram
inicialmente desenvolvidos nos anos 1940 e durante sua evolução foram
utilizados tubos a vácuo, transistores e circuitos integrados. Não serão
investigados neste trabalho detalhes de um op-amp; no lugar disto, esta
seção focará nos circuitos básicos com op-amps.
1.
2.
3.
A Figura 3.12 mostra o diagrama esquemático de um op-amp que
possui dois terminais no lado de entrada (esquerda) e um terminal de saída
(lado direito). Os terminais de entrada com sinais negativo e positivo são
conhecidos como os terminais inversor e não inversor, respectivamente. A
tensão de saída esai do op-amp mostrada na Figura 3.12 é
na qual K é o “ganho de tensão” do op-amp, que normalmente é muito
elevado e da ordem de 105 V/V.
Figura 3.12 Amplificador operacional.
A análise dos circuitos com op-amp é enormemente simplificada
utilizando o que é conhecido com um op-amp ideal, que possui as seguintes
características:
Nos terminais de entrada do op-amp flui corrente desprezível.
A diferença de tensão nos terminais de entrada eB – eA énula.
O ganho K é infinito.
Essas características do op-amp ideal mostram que é difícil determinar a
tensão de saída esai usando a configuração na Figura 3.12 e a Eq. (3.63), pois
a entrada eB – eA ≈ 0 e o ganho K é infinito. Pode ser visto que o uso de um
circuito com “realimentação negativa” conectando o terminal de saída ao
terminal inversor (negativo) de entrada (não mostrado na Figura 3.12)
provoca a segunda condição idealizada. Todos os circuitos com op-amp
considerados neste capítulo utilizam essa configuração com realimentação
negativa, como será demonstrado nos exemplos que seguem.
Exemplo 3.6
A Figura 3.13 mostra um circuito com op-amp, uma entrada (fonte) de
tensão eent(t) e uma tensão de saída esai. Desenvolva a relação entre as
tensões de entrada e saída.
Esse circuito contém um resistor R1 entre a tensão de entrada e o
terminal negativo de entrada do op-amp e um segundo resistor R2 entre a
tensão de saída e o terminal negativo de entrada do op-amp (realimentação
negativa). O terminal positivo de entrada do op-amp está diretamente
conectado à terra e portanto a tensão eB = 0. Como a diferença de tensão na
entrada é zero para um op-amp ideal com realimentação negativa (isto é, eB
– eA = 0) e eB = 0, a tensão de entrada eA para o terminal inversor é também
nula.
Figura 3.13 Circuito com op-amp para o Exemplo 3.6.
A lei de Kirchhoff das correntes é aplicada ao nó superior entre os dois
resistores na Figura 3.13:
Entretanto, a corrente que flui em um op-amp ideal é desprezível (IA = 0), e,
portanto, I1 = I2 e as correntes através dos dois resistores é igual. Pode-se
escrever expressões para I1 e I2 empregando a lei de Ohm e dividindo as
respectivas quedas de tensão pela resistência
O termo do lado esquerdo na Eq. (3.65) é a corrente I1, e o termo do lado
direito é a corrente I2. Pode-se reescrever a Eq. (3.65) como
Rearranjando a Eq. (3.66) com a tensão de entrada do op-amp eA no lado
esquerdo, obtém-se
ou, resolvendo para eA
Em seguida, substituindo a Eq. (3.68) na equação do ganho do amplificador
Eq. (3.63)
Note que eB = 0 uma vez que o terminal positivo de entrada do op-amp na
Figura 3.13 está diretamente conectado à terra. A Eq. (3.69) é rearranjada
com todos os termos da tensão de saída no lado esquerdo para fornecer
A Eq. (3.70) pode ser simplificada multiplicando ambos os lados por R1 +
R2
Finalmente, a tensão de saída é
Como o ganho K é extremamente elevado, pode-se tomar o limite da Eq.
(3.72) para K → ∞ e obter a relação da tensão de saída de um circuito com
op-amp ideal
A Eq. (3.73) mostra que a tensão de saída do circuito com op-amp pode
ser controlada selecionando os valores dos dois resistores R1 e R2. Note que
um valor específico do ganho K do op-amp não afeta a tensão de saída – o
único requerimento é que o ganho K seja muito alto. Como a tensão de
saída esai possui sinal negativo em relação à tensão de entrada, o circuito na
Figura. 3.13 é denominado um amplificador inversor. A relação tensão de
entrada-saída da Eq. (3.73) é uma equação algébrica e não é uma EDO
porque o circuito não contém nenhum dos elementos armazenadores de
energia.
Note que a tensão de entrada do op-amp eA pode ser obtida pela
substituição da tensão de saída determinada pela Eq. (3.73) na Eq. (3.68)
Assim, a conexão com realimentação negativa na Figura 3.13 entre os
terminais de saída e entrada do op-amp resulta em eA = 0. Como eB = 0, a
diferença de tensão nos terminais de entrada é eB – eA = 0, que é a segunda
característica de um op-amp ideal.
Como observação final desse exemplo, considere o circuito com op-
amp da Figura 3.13 empregando os seguintes valores numéricos: eent(t) =
1,5 V, R1 = 2 Ω e R2 = 4 Ω. Desse modo, usando a Eq. (3.73) a tensão de
saída é esai = – 3 V. Assim sendo, a corrente através do primeiro resistor R1 é
I1 = 1,5 V/ 2 Ω = 0,75 A fluindo do potencial mais elevado (eent = 1,5 V)
para o menor potencial (eA = 0). A corrente no segundo resistor R2 é I2 = 3
V/ 4 Ω = 0,75 A fluindo do potencial mais elevado (eA = 0) para o menor
potencial (esai = – 3 V).
Exemplo 3.7
A Figura 3.14 mostra um circuito com op-amp, uma tensão de entrada
eent(t), uma tensão de saída esai, e um capacitor C em um ramo conectando os
terminais de saída e entrada. Desenvolva a relação entre as tensões de
entrada e de saída.
Figura 3.14 Circuito com op-amp para o Exemplo 3.7.
Como esse circuito com op-amp contém uma conexão entre os
terminais de saída e de entrada com realimentação negativa, serão
empregadas as características do op-amp ideal e ajustado eA = 0 (o terminal
de entrada positiva eB = 0 uma vez que está conectado à terra). Além disso,
como não há corrente atravessando o op-amp (IA = 0), aplicando a lei de
Kirchhoff das correntes no nó superior tem-se
Substituindo a lei de Ohm para as correntes I1 e I2 e a equação que modela
um capacitor, Eq. (3.4) para a corrente I3 na Eq. (3.75) fornece
Fazendo eA = 0 por causa da conexão entre os terminais de saída e de
entrada com realimentação negativa, a Eq. (3.76) se torna
que pode ser reescrita como
A Eq. (3.78) é um modelo de EDO de primeira ordem do circuito com op-
amp na Figura 3.14. Foi obtido um modelo dinâmico (uma EDO), pois o
circuito inclui um elemento armazenador de energia (capacitor C).
Obviamente, se o capacitor for removido, o circuito se torna o amplificador
inversor do Exemplo 3.6 e a Eq. (3.78) fica igual à Eq. (3.73).
3.5 SISTEMAS ELETROMECÂNICOS
Como estabelecido na Seção 3.1, um dos principais objetivos deste capítulo
é desenvolver modelos matemáticos de sistemas eletromecânicos, que são
criados pela combinação de elementos mecânicos e elétricos. Engenheiros
mecânicos e aeroespaciais usam sistemas eletromecânicos para converter
energia elétrica em mecânica, como deslocamento e/ou velocidade de um
elemento mecânico. Esses dispositivos são denominados atuadores, e
exemplos comuns incluem motores e solenoides. Os engenheiros empregam
conceitos similares para desenvolver dispositivos de instrumentação que
convertem energia mecânica em sinais elétricos para medidas. Exemplos de
sensores eletromecânicos incluem acelerômetros, transformadores
diferenciais de variação linear (LVDTs) e enconders rotacionais. Será
apresentado o desenvolvimento dos modelos matemáticos de um motor
rotacional de corrente contínua (CC), de um atuador solenoide de translação
e de um atuador eletrostático para sistemas micromecânicos.
1.
2.
3.
Interação Campo Magnético-Corrente
Um sistema eletromecânico utiliza a interação entre uma corrente elétrica e
um campo magnético de modo a estabelecer uma força mecânica. Essas
interações corrente-campo magnético são descritas pelas leis de Faraday da
indução e a lei de força de Lorentz. Para os objetivos deste capítulo, o
tratamento do eletromagnetismo está baseado nos princípios que são
tipicamente apresentados das disciplinas de física com nível universitário.
Assim sendo, pode-se empregar três relações básicas entre a corrente
elétrica e o magnetismo:
Uma corrente estabelece um campo magnético.
Um fio condutor com corrente em um campo magnético possui
uma força exercida sobre ele.
Um fio se movendo relativamente a um campo magnético terá uma
tensão induzida entre suas extremidades.
A Figura 3.15 ilustra a primeira relação básica corrente-magnetismo:
um fio transportando uma corrente I estabelece linhas de campo magnético
circulares concêntricas em torno do fio. A lei de Biot-Savart descreve o
campo magnético B mostrado na Figura 3.15, na qual o sentido das linhas
de campo é definido aplicando a “regra da mão direita”.
A Figura 3.16 ilustra a segunda relação corrente-magnetismo mostrando
um fio estacionário transportando uma corrente I em um campo magnético
B. O campo magnético B é um vetor com sentido do polo norte (N) para o
polo sul (S) do ímã permanente e possui uma densidade de fluxo magnético
em Wb/m2 ou tesla. A força induzida sobre o fio estacionário é representada
pelo produto vetorial
na qual ℓ é um vetor na direção ao longo do fio (com sentido do fluxode
corrente) e com módulo igual ao comprimento do fio no campo. A Figura
3.16 mostra o vetor força induzida F que segue a “regra da mão direita” do
produto vetorial e é perpendicular aos vetores B e ℓ. Se o fio estacionário é
perpendicular ao vetor campo magnético B, o módulo da força induzida é
na qual ℓ é o comprimento do fio no campo magnético e B é a densidade de
fluxo magnético. Se o fio se mantém perpendicular ao campo B, pode-se
usar a equação escalar (3.80) para determinar o módulo da força induzida,
ou eletromagnética, que é a base dos atuadores eletromecânicos tais como
os motores CC e solenoides.
Figura 3.15 Uma corrente em um fio condutor estabelece um campo magnético.
Figura 3.16 Força induzida sobre um fio condutor com corrente em um campo magnético.
A Figura 3.17 ilustra a terceira relação básica corrente-magnetismo
mostrando um fio que está se movendo em relação ao campo magnético B.
A tensão induzida no fio móvel é
na qual v é o vetor velocidade do fio. A tensão induzida ec é o produto
escalar entre o vetor ℓ e o produto vetorial da velocidade e do campo
magnético. O produto vetorial v × B estabelece o sentido da polaridade
positiva (+) da tensão induzida ec mostrada na Figura 3.17, ou o sentido da
corrente causada pela tensão induzida. Pode-se entender melhor o efeito de
tensão induzida através da corrente transportada no fio estacionário na
Figura 3.16. A Eq. (3.79) e a Figura 3.16 mostram que o vetor corrente Iℓ e
o campo magnético B induzem a força F, que por sua vez fará com que o
fio se mova com a velocidade v mostrada na Figura 3.17. A Eq. (3.81) e a
Figura 3.17 mostram que a interação da velocidade e do campo magnético
induz uma tensão ec que se opõe ao vetor corrente Iℓ na Figura 3.16, que
originalmente estabeleceu a força induzida F. Assim sendo, a tensão
induzida ec é tradicionalmente denominada força contraeletromotriz, ou
contrafem. O leitor deve notar que “força eletromotriz” (fem) é um termo
antigo sinônimo de tensão. Deve ser observado também que o movimento
do fio pode ser causado por uma força externa aplicada (em vez da força
eletromagnética induzida como aqui descrito), como nas turbinas
empregadas em usinas de geração de potência elétrica.
Figura 3.17 Tensão induzida em um fio se movendo em relação a um campo magnético.
Se o fio é perpendicular ao vetor campo magnético B, o módulo da
tensão induzida é
Se o fio permanecer perpendicular ao campo B, pode-se empregar a
equação escalar (3.82) para determinar o módulo da contrafem.
Motor CC
Um motor CC é um sistema eletromecânico que converte energia elétrica
(fonte de tensão) para energia mecânica (movimento de rotação) utilizando
as relações básicas corrente-magnetismo. Um motor CC consiste em uma
armadura (ou rotor) e um campo magnético estabelecido pelo estator. O
disco do rotor ou armadura é envolvido com uma bobina de fio, ou
enrolamentos da armadura. A Figura 3.18 mostra uma vista em seção reta
de um motor CC simples: o estator é um ímã permanente (com polos norte
e sul) que estabelece um campo magnético B radial e a armadura (disco
rotor) gira em torno de um eixo fixo no centro do campo magnético. Os
enrolamentos da armadura estão na periferia do rotor de tal modo que o
sentido do fluxo de corrente é perpendicular ao plano (ou “à página”)
mostrado na Figura 3.18 (em outras palavras, os enrolamentos são paralelos
ao eixo do rotor). As escovas do comutador (não mostradas) mantêm o
contato elétrico entre a armadura-circuito da fonte de tensão (não mostrado)
e a armadura giratória. O leitor deve notar que enquanto o motor CC
simples usa ímãs permanentes (como o mostrado na Figura 3.18), o estator
pode consistir em um eletroímã produzido por “enrolamentos de campo”
em torno de um núcleo de ferro conectado a uma fonte auxiliar de tensão.
Em ambos os casos, o estator é estacionário e estabelece um campo
magnético B que interage com a corrente nos enrolamentos da armadura.
Os enrolamentos da armadura na “metade superior” do rotor na Figura
3.18 transportam corrente fluindo “para dentro” do plano (página),
enquanto os enrolamentos na “metade inferior” transportam corrente
fluindo “para fora” da página. Além disso, as linhas do campo magnético
radial B permanecem perpendiculares aos enrolamentos da armadura, e,
portanto, o produto vetorial na Eq. (3.79) resulta em uma força induzida em
cada fio individual tangente à superfície do rotor e no sentido indicado pela
rotação positiva do ângulo θ mostrado na Figura 3.18. Assim sendo, o
torque eletromagnético total sobre o rotor (Tm) é o produto da soma das
forças induzidas (em cada fio) e o braço de alavanca (isto é, o raio do rotor).
na qual r é o raio do rotor e ℓ é o comprimento total dos enrolamentos da
armadura imerso no campo magnético radial. Se a densidade do fluxo
magnético B é constante, os três termos Bℓr podem ser concentrados em
uma única constante, Km = Bℓr, e a Eq. (3.83) se torna
Figura 3.18 Estator e armadura de um motor CC.
Em outras palavras, o torque eletromagnético líquido sobre o rotor Tm é
linearmente proporcional à corrente I nos enrolamentos da armadura. A
constante Km é tipicamente denominada constante de torque do motor e
possui unidades de N·m/A. Os fabricantes de motores CC normalmente
fornecem a constante de torque do motor Km em catálogos resumindo as
especificações do motor.
A Eq. (3.84) representa o torque líquido aplicado sobre a parte mecânica
do sistema motor CC. Um torque positivo produzirá um movimento
rotacional positivo no sentido mostrado na Figura 3.18. Assim, os
enrolamentos da armadura se moverão relativamente ao campo magnético
radial e esse movimento resultará em uma tensão induzida (contrafem) que
se opõe à corrente na armadura. Como os vetores velocidade dos
enrolamentos permanecem tangentes ao rotor, os vetores velocidade
individuais são sempre perpendiculares ao campo magnético radial B.
Desse modo, a tensão induzida total (ec) é
na qual é a velocidade angular do rotor. Note que a velocidade
circunferencial de cada enrolamento da armadura no rotor v = r . Se o
campo magnético é constante, pode-se definir uma nova constante Kc = Bℓr
e a Eq. (3.85) se torna
A tensão induzida (contrafem) ec é linearmente proporcional à velocidade
angular do rotor. A constante Kc é tipicamente denominada constante de
contrafem e possui unidades de V·s/rad. Apesar de não serem aparentes, as
unidade para Km (N·m/A) e Kc (V·s/rad) são equivalentes pois 1 V = 1
kg·m2/(s3·A) = 1 N·m/(s·A). Portanto, Km e Kc possuem valores numéricos
idênticos quando expressos usando as unidades básicas SI. Os fabricantes
de motores CC também normalmente fornecem a constante de contrafem Kc
nos catálogos.
A Figura 3.19 mostra um diagrama esquemático de um motor CC. O
circuito da armadura é composto da fonte de tensão eent(t), da indutância da
bobina da armadura La (devida aos enrolamentos), da resistência da
armadura Ra, e da contrafem ec. Note que a contrafem é representada pelo
símbolo de uma fonte de tensão modificado com os terminais positivo e
negativo se opondo ao fluxo positivo (sentido horário) da corrente da
armadura Ia. O componente mecânico do motor CC é mostrado à direita do
circuito da armadura e inclui o momento de inércia do rotor J, o coeficiente
de atrito viscoso b, o torque motor Tm (a partir da interação corrente-
magnetismo) e o torque carga TC. Note que a rotação angular positiva do
rotor é no sentido horário e corresponde à corrente positiva na armadura Ia e
ao torque motor positivo Tm.
Figura 3.19 Diagrama esquemático de um motor CC.
Pode-se desenvolver o modelo matemático completo do motor CC pela
aplicação das leis de Kirchhoff ao circuito da armadura e das leis de
Newton ao rotor mecânico. Para iniciar, usa-se a lei de Kirchhoff das
tensões em torno da malha, percorrida no sentido horário
–eR – eL – ec + eent(t) = 0
O leitor deve notar que os primeiros três termos de tensão são as quedas de
tensão com a corrente assumida como positiva dos terminais positivo para o
negativo no resistor, indutore a contrafem. Em seguida, são substituídas as
leis dos elementos apropriadas para a queda de tensão através de um
resistor (eR = Ra Ia), a tensão através de um indutor (eL = La a), e a
contrafem (ec = Kc ) para obter
O modelo matemático do componente mecânico é desenvolvido usando os
métodos do Capítulo 2. A Figura 3.20 mostra o diagrama de corpo livre do
rotor da armadura com o torque motor (Tm = Km Ia), o torque de atrito
viscoso (b ), e o torque carga (TC). Somando os torques sobre o rotor (com
a convenção positiva no sentido horário) e aplicando a segunda lei de
Newton obtém-se
Figura 3.20 Diagrama de corpo livre para o rotor da armadura de um motor CC.
O modelo matemático completo do motor CC consiste na equação do
sistema elétrico (3.87) e na equação do sistema mecânico (3.88)
Assim sendo, tem-se que o modelo matemático do motor CC é de terceira
ordem; uma EDO de primeira ordem para o circuito da armadura (um
elemento armazenador de energia, La) e uma EDO de segunda ordem para o
rotor mecânico. As variáveis dinâmicas são a corrente da armadura Ia e o
ângulo do rotor θ, e as variáveis de entrada do sistema são a tensão na
armadura eent(t) e o torque carga TC. As Eqs. (3.89a) e (3.89b) são lineares e
acopladas porque não podem ser resolvidas separadamente. O lado direito
da equação do sistema mecânico (3.89b) mostra que uma corrente na
armadura positiva produz um torque motor positivo que por sua vez acelera
o rotor da armadura. Entretanto, o lado direito da equação da armadura
(3.89a) mostra que uma velocidade angular positiva do rotor cria uma
tensão induzida negativa (a contrafem) que por sua vez reduz a tensão
líquida no circuito.
Como a posição angular do rotor θ não aparece nas Eqs. (3.89a) e
(3.89b), pode-se substituir e de modo a ter um modelo de ordem reduzida:
Agora, o modelo matemático do motor CC é de segunda ordem e consiste
em duas EDOs de primeira ordem acopladas. A solução do modelo de
segunda ordem fornecerá informação sobre as variáveis dinâmicas corrente
Ia(t) e da velocidade angular ω(t), mas não a da posição angular θ(t).
Atuador Solenoide
Um atuador solenoide é um dispositivo eletromecânico que converte
energia elétrica (fonte de tensão) em energia mecânica (movimento de
translação) mediante o emprego de alguns princípios básicos de corrente-
magnetismo que representam a operação de um motor CC. Solenoides
podem gerar uma força de translação tanto para empurrar quanto para puxar
uma carga mecânica, como uma válvula em sistemas hidráulicos ou
pneumáticos. Um atuador solenoide consiste em uma bobina de fio com um
núcleo de ferro (a armadura ou pistão) que se move para dentro e para fora
do centro da bobina. A Figura 3.21 mostra os componentes de um atuador
solenoide do tipo que empurra a carga. Energizando a fonte de tensão eent(t)
produz um fluxo de corrente através da bobina que por sua vez estabelece
um campo magnético. A bobina energizada atua como um eletroímã e
aplica uma força na armadura (pistão), empurrando-o para o centro da
bobina (para a direita na Figura 3.21). O tipo de solenoide mostrado na
Figura 3.21 usa uma haste que empurra a carga (isto é, move a massa da
válvula) para a direita. A mola de retorno é empregada para gerar uma força
sobre a massa deslocada de tal modo a fazê-la voltar à sua posição quando a
corrente é nula.
Figura 3.21 Armadura e bobina para o atuador solenoide.
A indutância da bobina do atuador solenoide é uma função não linear da
posição da armadura. A indutância (e consequentemente, o fluxo
magnético) diminui conforme a armadura se afasta da bobina e aumenta
quando a armadura se aproxima do centro da bobina. A Figura 3.22 mostra
o sistema atuador solenoide-válvula adotado no Exemplo 2.1 (lembre-se de
que o modelo mecânico desse sistema foi desenvolvido no Capítulo 2).
Note que a Figura 3.22 mostra um solenoide do tipo empurra no qual ao
energizar a bobina a armadura é deslocada para fora do centro da bobina e,
portanto, empurra a válvula para a direita. Um método aceitável para
modelar a indutância da bobina é empregar a expressão não linear [1, 2]
na qual x é o deslocamento da armadura (medido como positivo para a
direita a partir da posição de equilíbrio; veja a Figura 3.22). As constantes c
e d dependem das propriedades geométricas e do material da bobina do
solenoide. Note que a indutância L(x) da bobina é mínima quando x = 0
(armadura na posição de equilíbrio) e aumenta quando x > 0 e a armadura
se move para a direita de modo a fechar o entreferro. A indutância quando x
= 0 é
na qual N é o número de voltas da bobina, A é a área do entreferro, l é o
comprimento da bobina, e μ é a permeabilidade magnética do ar e do núcleo
de ferro. A indutância mínima L0 da bobina é uma constante conhecida
dados os valores de A, N, l e μ.
Figura 3.22 Sistema atuador solenoide-válvula.
A Figura 3.23 mostra um diagrama esquemático do atuador solenoide.
O circuito da armadura (bobina) é composto da fonte de tensão eent(t), da
indutância da armadura da bobina L(x), e da resistência da armadura R.
Uma única massa concentrada m representa a soma das massas da armadura
(pistão) e da carga (válvula). A bobina do solenoide energizada produz uma
força eletromagnética Fem que empurra a massa m para a direita. O
deslocamento da massa é x (positivo para a direita), e a mola de retorno k e
o atrito viscoso b atuam sobre a massa m da armadura-válvula.
Assim como no motor CC, o modelo matemático completo do atuador
solenoide será desenvolvido pela aplicação das leis de Kirchhoff no circuito
da armadura e as leis de Newton ao elemento de massa único. Para iniciar,
aplica-se a lei de Kirchhoff das tensões em torno da malha
Figura 3.23 Diagrama esquemático do atuador solenoide.
Determinar a tensão eL no indutor do solenoide é mais complicado do que a
tensão no indutor para o motor CC porque a indutância do solenoide varia
com a posição do pistão. Assim sendo, é usada a Eq. (3.9) para obter a
tensão no indutor do solenoide em função da derivada no tempo do enlace
de fluxo magnético
na qual o enlace de fluxo é definido pela Eq. (3.8) como o produto da
indutância e da corrente, ou λ = L(x)I. Como ambas a indutância e a
corrente podem variar com o tempo, a derivada no tempo do enlace de
fluxo é
Empregando a regra da cadeia para expandir dL/dt, a Eq. (3.95) se torna
ou, usando a forma compacta
na qual Lx é uma notação resumida para a derivada dL/dt. Usando a Eq.
(3.91), a derivada dL/dx é
Finalmente, pode-se substituir a Eq. (3.97) na equação Kirchhoff da malha
(3.93) para a tensão eL do indutor juntamente com a queda de tensão no
resistor eR = RI para obter o modelo matemático do circuito da bobina
Note que o termo do lado direito Lx I na Eq. (3.99) atua como uma
contrafem na equação do modelo do motor CC (3.89a): quando a massa do
atuador se move com velocidade positiva se afastando do centro da bobina,
induz uma tensão negativa que diminui a tensão líquida no circuito. Além
disso, a tensão induzida Lx I no solenoide é não linear enquanto a
contrafem no motor CC é um termo linear (Kc ).
Figura 3.24 Diagrama de corpo livre do atuador solenoide.
O modelo matemático do componente mecânico do atuador solenoide é
desenvolvido usando os métodos apresentados no Capítulo 2. A Figura 3.24
mostra o diagrama de corpo livre da massa da armadura-válvula com a
força eletromagnética (Fem), força de atrito viscoso (b ) e a força na mola de
retorno (kx). Assumido que não há força de pré-carga (compressão inicial)
na mola de retorno e assim não há força de contato na parede. Somando as
forças sobre a massa e aplicando a segunda lei de Newton fornece-se
Agrupando todos os termos que envolvem o deslocamento x tem-se
De modo a completar o modelo é necessária uma expressão para a força
eletromagnética Fem, que é gerada pela energia armazenada na bobina do
solenoide. A partir do princípio de trabalho e energia, sabe-se que o produto
da força eletromagnética e de um deslocamento incremental dx é igual a
uma variação incremental na energia dξFemdx = dξ
ou, resolvendo para a força eletromagnética
A Eq. (3.11) estabelece que a energia armazenada em um indutor é devida à
indutância e à corrente
Portanto, tomando a derivada da energia em relação ao deslocamento x e
substituindo o resultado na Eq. (3.101) tem-se uma expressão para a força
eletromagnética
Pode-se ver que a força eletromagnética é uma função não linear da
corrente e do deslocamento, pois a Eq. (3.98) mostra que a derivada Lx é
uma função não linear de x.
O modelo matemático completo do atuador solenoide consiste em uma
equação para o sistema elétrico (3.99) e uma para o sistema mecânico
(3.100) juntamente com a Eq. (3.102) usada para definir a força
eletromagnética
Verifica-se que o modelo matemático do atuador solenoide é de terceira
ordem: uma EDO de primeira ordem para o circuito do solenoide e uma
EDO de segunda ordem para a massa mecânica. As variáveis dinâmicas são
a corrente I na bobina e o deslocamento x do pistão, e a variável de entrada
do sistema é a tensão eent(t) na armadura. As Eqs. (3.103) e (3.104) formam
um sistema não linear de equações diferenciais acopladas. O leitor deve
lembrar que as Eqs. (3.91) e (3.98) são também necessárias para definir a
indutância L(x) e sua derivada Lx, ambas funções não lineares do
deslocamento do pistão.
Microatuador Eletrostático
Motores e atuadores solenoides são comandados pela interação corrente-
magnetismo que é modelada pelas leis de Faraday. Entretanto, para
pequenos dispositivos em microescala, não há espaço para bobinas e
indução eletromagnética [3]. Os sistemas microeletromecânicos (MEMS)
normalmente empregam forças eletrostáticas para atuação, e as aplicações
incluem micropinças cirúrgicas e microbturadores ópticos [3-5]. A força de
comando eletrostática é uma força elétrica de repulsão ou atração entre
partículas carregadas.
A Figura 3.25 mostra um dispositivo MEMS comumente conhecido
como atuador de “comando em pente” [3-25]. Os atuadores de comando em
pente consistem em duas estruturas em forma de “dedos” intertravadas que
possuem a aparência de dois pentes entrelaçados. Os dedos intertravados
são placas paralelas desalinhadas que atuam como capacitores em série nos
quais um comando móvel e a placa de fechamento estacionária possuem
cargas opostas. Uma tensão de entrada eent(t) é aplicada à estrutura de dentes
estabelecendo a força eletrostática que tenta realinhar as placas paralelas
dos dentes interconectados. Desse modo, a força eletrostática atrai o braço
de comando para o braço de fechamento estacionário. O movimento da
estrutura em pente pode atuar nos braços de extensão de um dispositivo
micropinça. As deflexões para esses dispositivos MEMS são da ordem de
mícrons, na qual 1 μm = 10–6 m. Um elemento rigidez (modelado pela
constante de mola k) é usado para retrair o braço de comando quando a
força eletrostática é removida.
A Figura 3.26 mostra um diagrama esquemático do atuador de comando
em pente, no qual as placas paralelas entrelaçadas foram substituídas por
um capacitor concentrado C(x). O circuito do pente consiste em uma fonte
de tensão eent(t), a capacitância C(x) do pente, e a resistência R. Uma única
massa concentrada m representa a estrutura móvel do comando em pente
que possui forças de rigidez e atrito modeladas por kx e b ,
respectivamente. Carregando as placas paralelas desalinhadas do pente
produz uma força eletrostática Fem que puxa o braço de comando para a
esquerda de modo a realinhar as placas.
Figura 3.25 Atuador MEMS comando em pente.
Figura 3.26 Diagrama esquemático do atuador MEMS comando em pente.
A capacitância equivalente do pente é
na qual n é o número de dedos, ε0 é constante dielétrica no ar (em F/m), A é
a área sobreposta dos dedos e d é a distância entre os dedos [3-5]. A área de
sobreposição A é o produto da largura do dedo w e da distância de
sobreposição x0 + x, na qual x0 é a sobreposição inicial entre os dedos
quando o pente está descarregado e não defletido (força eletrostática nula).
As Figuras 3.25 e 3.26 e a Eq. (3.105) mostram que puxando o comando em
pente para a esquerda (x > 0) aumenta a área de sobreposição e, portanto,
aumenta a capacitância C(x).
Assim como nos atuadores eletromagnéticos, será desenvolvido o
modelo matemático completo do atuador de comando em pente por meio da
aplicação das leis de Kirchhoff ao circuito do pente e as leis de Newton ao
único elemento inércia. Entretanto, determinar a tensão eC do capacitor em
pente é um pouco mais complicado porque a capacitância varia com a
posição x. Inicia-se com a relação básica carga-tensão de um capacitor
(3.3):
A derivada no tempo da carga é a corrente, I
Usando a regra da cadeia para expandir dC/dt, a Eq. (3.107) se torna
ou, usando a forma compacta
na qual Cx é uma notação resumida para a derivada dC/dt. Usando a Eq.
(3.105), a derivada dC/dx é
Assim, a variação na capacitância dependente da posição x é uma constante.
Pode-se substituir a lei de Ohm I = eR/R para a corrente na Eq. (3.109) e
determinar a tensão no resistor eR pela aplicação da lei de Kirchhoff das
tensões em torno da malha
Substituindo I = (eent(t) – eC)/R na Eq. (3.109) fornece
Note a similaridade entre o circuito com capacitor modelado pela Eq.
(3.112) e o circuito com o indutor do solenoide modelado pela Eq. (3.103).
Os circuitos contêm elementos armazenadores de energia que variam com a
posição, C(x) e L(x), e ambos possuem termos não lineares de contrafem
(tensões) que dependem da velocidade, RCx eC e Lx I.
O modelo matemático do componente mecânico do microatuador é
desenvolvido usando um diagrama de corpo livre que é essencialmente
idêntico ao diagrama de corpo livre do solenoide mostrado na Figura 3.24
exceto que a força eletrostática Fes puxa o comando em pente para a
esquerda (veja a Figura 3.26). Aplicando a segunda lei de Newton fornece a
equação familiar que modela um massa-mola-amortecedor
De modo a completar o modelo, é necessária uma expressão para a força
eletrostática Fes, que é gerada pela energia armazenada no capacitor. Será
empregado o mesmo princípio trabalho e energia que foi usado para obter a
força eletromagnética Fem no solenoide, que é,
A Eq. (3.6) mostra que a energia armazenada em um capacitor é devida à
sua capacitância e sua tensão
Portanto, tomando a derivada da energia com relação ao deslocamento x e
substituindo o resultado na Eq. (3.114) fornece uma expressão para a força
eletrostática
Verifica-se que a força eletrostática é uma função não linear da tensão eC. A
Equação (3.110) mostra que dC/dx é uma constante.
O modelo matemático completo do atuador de comando em pente
consiste nas equações dos sistemas elétrico (3.112) e mecânico (3.113)
juntamente com a Eq. (3.115) usada para definir a força eletrostática
Nota-se que o modelo matemático do microatuador é de terceira ordem:
uma EDO de primeira ordem para o circuito do pente e uma EDO de
segunda ordem para a massa mecânica. As variáveis dinâmicas são a tensão
no capacitor eC e o deslocamento do comando em pente x, e a variável de
entrada do sistema é a fonte de tensão eent(t). As Eqs. (3.116) e (3.117) são
equações diferenciais não lineares acopladas. O leitor deve lembrar que as
Eqs. (3.105) e (3.110) são também necessárias para definir a capacitância
C(x) e sua derivada Cx.
Como uma observação final, pode-se determinar a força eletrostática
para um atuador MEMS “típico” [3, 5] com n = 100 dedos, ε0 = 8,85 × 10–12
F/m, distância d = 2 μm, e largura do dedo w = 2 μm. Usando a Eq. (3.10)
pode-se ver que a derivada da capacitância com a posição Cx = 8,85 × 10–10
F/m. A Eq. (3.115) mostra que a força eletrostática é Fes = 1,77 × 10–7 N ou
0,177 μN se a tensão no capacitor é 20 V.
SUMÁRIO
Este capítulo ilustrou o desenvolvimento de modelos matemáticos para
sistemas elétricos e eletromecânicos. Inicialmente, foram apresentadas as
leis físicas que modelam a interação entre carga, corrente e tensão nos
elementos elétricos tais como resistores, capacitores e indutores. É
importante para o leitor lembrar queapenas capacitores e indutores podem
armazenar energia elétrica e que cada elemento armazenador de energia
requer uma única EDO de primeira ordem. A tensão entre os terminais de
um capacitor e a corrente através de um indutor são as duas variáveis
dinâmicas de interesse para os elementos capacitor e indutor,
respectivamente. Por exemplo, um sistema elétrico composto de dois
indutores e um capacitor é modelado por três EDOs de primeira ordem:
duas EDOs de primeira ordem para as taxas no tempo das correntes nos
dois indutores (IL) e uma EDO de primeira ordem para a taxa no tempo da
tensão no capacitor (eC). As tensões e correntes em um circuito elétrico que
não são eC ou IL (isto é, a queda de tensão entre os terminais de um resistor)
podem ser determinadas em termos das variáveis dinâmicas importantes
pela aplicação no circuito elétrico das leis de Kirchhoff das tensões e/ou das
correntes. Além disso, foi mostrado como modelar sistemas elétricos que
contenham um amplificador operacional. Finalizou-se o capítulo com a
discussão dos sistemas eletromecânicos que envolvem a transferência de
energia elétrica e mecânica. Os sistemas eletromecânicos empregam a
interação entre a corrente e o magnetismo de modo a converter a corrente
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
elétrica em força mecânica ou o movimento mecânico em tensão elétrica.
Os atuadores MEMS empregam a interação entre tensão e carga de modo a
converter a tensão elétrica em força eletrostática.
REFERÊNCIAS
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in Electrohydraulic Valves”, ASME Paper No. 2004-62109, November
2004.
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Gas-Exchange Solenoid Valve Actuators”, IEEE Transactions on
Magnetics, Vol. 41, No. 3, March 2005, pp 1155-1162.
Hsu, T.-R., MEMS and Microsystems: Design, Manufacture, and
Nanoscale Engineering, 2nd ed., Wiley, Hoboken, NJ, 2008.
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Levitation and Control Method”, IEEE Journal of
Microelectromechanical Systems, Vol. 1, No. 4, 1992, pp 170-178.
Legtenberg, R., Groeneveld, A.W., e Elwenspoek, M., “Comb-Drive
Actuators for Large Displacements”, Journal of Micromechanics and
Microengineering, Vol. 6, 1996, pp 320-329.
Vaughan, N.D., e Gamble, J.B., “The Modeling and Simulation of a
Proportional Valve”, ASME Journal of Dynamic Systems,
Measurement, and Control, Vol. 118, March 1996, pp. 120-125.
Yeh, T.-J., Chung, Y.-J, e Wu, W.-C., “Sliding Control of Magnetic
Bearing Systems”, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement,
and Control, Vol. 123, September 2001, pp. 353-362.
PROBLEMAS
Problemas Conceituais
3.1
3.2
3.3
Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico mostrado na
Figura P3.1, em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
Figura P3.1
Um circuito elétrico é mostrado na Figura P3.2. A fonte de corrente
fornece a corrente de entrada Ient(t). Desenvolva o modelo
matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
Figura P3.2
A Figura P3.3 mostra um circuito LC paralelo alimentado por uma
fonte de corrente Ient(t). Desenvolva o modelo matemático em
termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
3.4
3.5
Figura P3.3
A Figura P3.4 mostra um circuito RC paralelo alimentado por uma
fonte de corrente Ient(t). Desenvolva o modelo matemático em
termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
Figura P3.4
A Figura P3.5 mostra o mesmo sistema elétrico da Figura P3.4,
exceto que um resistor R2 é adicionado em série com o capacitor C.
Desenvolva o modelo matemático em termos das variáveis
dinâmicas apropriadas.
3.6
3.7
3.8
Figura P3.5
Desenvolva o modelo matemático do sistema elétrico mostrado na
Figura P3.6 em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
Figura P3.6
Um sistema elétrico é mostrado na Figura P3.7. Desenvolva o
modelo matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
A fonte fornece a tensão de entrada eent(t).
Figura P3.7
Um sistema elétrico é mostrado na Figura P3.8. Desenvolva o
modelo matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas.
A fonte fornece a tensão de entrada eent(t).
3.9
3.10
Figura P3.8
A Figura P3.9 mostra um circuito elétrico com uma fonte de
corrente Ient(t). Desenvolva o modelo matemático em termos das
variáveis dinâmicas apropriadas.
Figura P3.9
Um circuito RLC com um resistor paralelo de desvio é mostrado na
Figura P3.10. Desenvolva o modelo matemático em termos das
variáveis dinâmicas apropriadas.
3.11
Figura P3.10
A Figura P3.11 mostra um circuito RL série simples com um indutor
não linear L. Um engenheiro realiza um conjunto de testes e mede o
enlace de fluxo magnético l e a corrente IL através do indutor. Após
uma interpolação dos resultados experimentais, ele desenvolveu a
seguinte função não linear para a corrente do indutor
IL(λ) = 97λ3 + 4,2λ (amps, A)
na qual λ é o enlace de fluxo em webers (Wb). Desenvolva o modelo
matemático do circuito RL com o enlace de fluxo l como variável
dinâmica.
Figura P3.11
3.12
3.13
3.14
Suponha um circuito elétrico que consiste em um resistor R, um
capacitor C e uma fonte de tensão eent(t) conectados em série. O
modelo matemático do sistema é
A tensão de saída esai é a tensão entre os terminais do resistor ou do
capacitor? Explique a resposta.
A Figura P3.13 mostra um sistema elétrico. A chave está aberta para
t < 0. No intervalo 0 ≤ t ≤ 1 s, a chave está na posição “1” e a fonte
de tensão eent(t) está conectada à malha RL. Para t > 1s a chave está
na posição “2”. Desenvolva o modelo matemático completo do
sistema elétrico que leve em consideração ambas as posições da
chave (serão necessárias duas EDOs para modelar o sistema).
Figura P3.13
A Figura P3.14 mostra um circuito RC com chave. Para t < 0, a
chave está na posição 1 e o capacitor está conectado à fonte de
tensão eent(t) = 3 V. No instante t = 0, a chave passa para a posição 2
desconectando a fonte de tensão do circuito RC e o capacitor
começa a descarregar. Como será visto no Capítulo 7, a fase de
descarga do capacitor (t ≥ 0) é representada pela equação
3.15
eC(t) = 3e–t/RC V
na qual a tensão inicial no capacitor é eC(0) = eent(t) = 3 V.
Desenvolva uma equação para a taxa no tempo da energia (isto é,
potência) dissipada pelo resistor e mostre que a energia total
dissipada pelo resistor é igual à energia inicial armazenada pelo
capacitor no instante t = 0.
Figura P3.14
A Figura P3.15 apresenta um circuito com op-amp. Determine a
relação entre as tensões de entrada e saída.
Figura P3.15
3.16
3.17
A Figura P3.16 apresenta um circuito com op-amp. Determine a
relação entre as tensões de entrada e de saída.
Figura P3.16
A Figura P3.17 apresenta um circuito com op-amp. Determine a
relação entre as tensões de entrada e de saída.
Figura P3.17
3.18
3.19
3.20
A Figura P3.18 apresenta um circuito com op-amp. Determine a
relação entre as tensões de entrada e de saída.
Figura P3.18
Um microfone consiste em um diafragma com massa m conectado a
uma bobina de fio circular que se move para trás e para a frente
relativamente a um campo magnético fixo. As ondas sonoras
(pressão) colidem com o diafragma de modo a produzir uma força
líquida, e o diafragma possui forças de rigidez e de atrito por causa
do seu movimento. O fio da bobina possui resistência R e sua
corrente de saída é amplificada por um ganho constante. Liste as
variáveis dinâmicas e as variáveis de entrada para esse sistema.
Problemas MATLAB
Considere novamente o circuito RC no Problema 3.14. Trace o
gráfico da energia armazenada pelo capacitor versus o tempo
durante a fase de descarga t ≥ 0.
3.21
3.22
a.
b.
c.
3.23
Um circuito RL é alimentado por uma fonte de tensão constante de
2 V (veja a Figura 3.7 no Exemplo 3.1). Os parâmetros do sistema
são L = 0,08 H e R = 4 Ω. Como será visto no Capítulo 7, a resposta
resultante para a corrente nesse circuito é
IL(t) = 0,5(1 – e–50t) A
Use o MATLAB para determinar a energia armazenada pelo indutor
no intervalo 0 ≤ t ≤ 0,2 s. Trace o gráfico da energia armazenadaversus o tempo.
No Problema 3.11, a seguinte relação empírica entre a corrente no
indutor IL e o enlace de fluxo magnético λ foi usada
IL(λ) = 97,3λ 3 + 4,2λ (amps, A)
Use o MATLAB para traçar um gráfico da corrente IL como
função do enlace de fluxo l para a faixa –0,4 ≤ λ ≤ 0,4 Wb.
Use os dados do item (a) para traçar o gráfico do enlace de fluxo
λ como função da corrente IL.
Escreva um programa .M que emprega os dados do item (b) para
estimar a indutância L e trace o gráfico da indutância como
função do enlace de fluxo λ. [Sugestão: lembre-se de que a
indutância é L = dλ/dIL.]
Aplicações de Engenharia
Um capacitor simples consiste em duas placas paralelas separadas
por um isolante de silicone. A área de uma das placas é 300 mm2 e a
distância de separação entre as placas é 0,5 mm. Pesquise na
literatura de engenharia para encontrar a equação apropriada para a
capacitância e calcule C para esse capacitor específico.
3.24
3.25
a.
b.
3.26
Um simples indutor com “núcleo a ar” é construído enrolando um
fio em uma bobina. A bobina possui 12 voltas, o comprimento total
da bobina é 2,4 cm, e o diâmetro (interno) da bobina é 0,8 cm.
Pesquise na literatura de engenharia para encontrar a equação
apropriada para a indutância e calcule L para esse indutor específico.
O circuito LC mostrado na Figura P3.25 está conectado a uma
antena e é o circuito básico usado em osciladores elétricos e
sintonizadores de frequência.
Figura P3.25
Desenvolva o modelo matemático do circuito LC, no qual a
tensão eC no capacitor é a única variável dinâmica (o capacitor
está armazenando uma carga e, consequentemente, uma tensão
no instante t = 0).
Desenvolva o modelo matemático do circuito LC, no qual a
carga q no capacitor é a única variável dinâmica (o capacitor
está armazenando uma carga no instante t = 0).
A Figura P3.26 mostra um circuito simplificado para a fase de
descarga que produz o flash de uma câmera fotográfica. Durante a
fase de carga o capacitor C é carregado por uma bateria de 1,5 V
conectada a um circuito oscilador que inclui um transformador que
amplifica a tensão (não mostrado na Figura P3.26). A tensão entre
3.27
os terminais do capacitor completamente carregado está em torno de
200 V. Pressionando o botão de disparo ativa-se o circuito mostrado
na Figura 3.26 e o capacitor descarrega energia para o circuito RC.
Um segundo transformador (mostrado na Figura 3.26) amplifica a
tensão por um fator de 10 de modo a ionizar o gás de xenônio e
produzir o flash. Desenvolva o modelo matemático do circuito de
descarga (despreze os efeitos do transformador).
Figura P3.26
A Figura P3.27 mostra o sistema elétrico conhecido como “buck
converter”, que é um circuito conversor usado para “diminuir” uma
fonte de tensão eent(t) em uma tensão de saída esai = eC menor
desejada (a tensão entre os terminais do capacitor). O conversor de
diminuição de tensão usa uma chave para conectar a fonte de tensão
eent(t) aos demais elementos do circuito até que eC seja igual à tensão
desejada. Desenvolva o modelo matemático desse sistema em
termos das variáveis dinâmicas apropriadas e inclua o efeito do
chaveamento.
3.28
3.29
Figura P3.27
O circuito RC série conhecido como filtro “washout” é mostrado na
Figura 3.28. Esse circuito (ou filtro) deixar “passar” a parte inicial
da resposta dinâmica da tensão de saída esai (tensão através dos
terminais do resistor), mas ao final “elimina” (isto é, reduz a zero)
uma tensão constante de entrada. Esses filtros normalmente são
empregados em sistemas de controle de voo automático de um
avião. Desenvolva o modelo matemático com a tensão esai (tensão
através dos terminais do resistor) como a variável dinâmica e a fonte
de tensão eent(t) como a entrada.
Figura P3.28
A Figura P3.29 mostra um circuito elétrico conhecido como filtro
elimina banda ou filtro “notch”, que atenua (reduz) a amplitude de
a.
b.
3.30
sinais de entrada que possuam certa faixa de frequências e “deixa
passar” todos os demais sinais sem alterações. Esses circuitos
elétricos são empregados para remover sinais com frequências
indesejáveis; por exemplo, os filtros elimina banda são usados em
veículos aeroespaciais para remover vibrações mecânicas que são
transmitidas para os sensores como giroscópios e acelerômetros.
Figura P3.29
Desenvolva o modelo matemático do filtro elimina banda no
qual a corrente I é a única variável dinâmica de resposta e a
fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.
Desenvolva o modelo matemático do filtro elimina banda no
qual a tensão de saída esai é a única variável dinâmica de resposta
e a fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.
O sistema elétrico RC mostrado na Figura P3.30 é conhecido como
filtro de avanço e é empregado como um “compensador” em
sistemas de controle realimentados de modo a melhorar as
características de amortecimento. A fonte de tensão eent(t) é a
variável de entrada.
a.
b.
3.31
Figura P3.30
Desenvolva o modelo matemático do filtro de avanço em termos
das variáveis dinâmicas apropriadas associadas aos elementos
armazenadores de energia.
Desenvolva o modelo matemático do filtro de avanço no qual a
tensão de saída esai é a única variável dinâmica de resposta e a
fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.
A Figura P3.31 mostra um sistema elétrico RC conhecido como
filtro de atraso que é empregado com um “compensador” em
sistemas de controle realimentados de modo a reduzir erros entre as
variáveis de referência e de realimentação. A fonte de tensão eent(t) é
a variável de entrada.
a.
b.
3.32
Figura P3.31
Desenvolva o modelo matemático do filtro de atraso em termos
das variáveis dinâmicas apropriadas associadas aos elementos
armazenadores de energia.
Desenvolva o modelo matemático do filtro de atraso no qual a
tensão de saída esai é a única variável dinâmica de resposta e a
fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.
A Figura P3.32 mostra um diagrama esquemático de um atuador
solenoide. Energizando a bobina (circuito da armadura) cria-se a
força eletromagnética Fem que atua sobre a massa m da armadura-
válvula. Por meio da experimentação Vaughan e Gamble [6]
desenvolveu-se a seguinte equação não linear para corrente no
solenoide:
IL(λ) = a3λ3 + a1λ (amps, A)
na qual λ é o enlace de fluxo magnético (Wb) e a3 e a1 são
constantes. Esse modelo de corrente não linear deve ser considerado
para a contrafem e a indutância variável por causa do deslocamento
da massa da armadura. Vaughan e Gamble também desenvolveram a
equação empírica para a força eletromagnética:
Fem(λ) = c6λ6 + c4λ4 + c2λ2 (N)
na qual c6, c4 e c2 são constantes empíricas obtidas a partir dos
experimentos. Desenvolva o modelo matemático completo para o
atuador eletromecânico. Considere que a mola de retorno não está
defletida quando x = 0 e a força eletromagnética é nula.
3.33
Figura P3.32
A levitação magnética (“maglev”) é usada para sustentar e propelir
trens sem o contato com o trilho. A levitação magnética também é
empregada para suportar rolamentos rotacionais em máquinas de
alto desempenho de modo a eliminar o atrito e a necessidade de
lubrificação [7]. Um experimento de laboratório demonstrando a
levitação magnética é ilustrado na Figura P3.33. A corrente
transportada na bobina produz um eletroímã que fornece uma força
de atração Fem sobre a esfera de metal
3.34
Figura P3.33
na qual KF é a “constante de força” (unidades de N·m2/A2) que
depende do número de voltas da bobina, das propriedades
eletromagnéticas do material do núcleo e da geometria do eletroímã
[7]. A posição da esfera é medida para cima a partir de uma posição
de repouso fixa e a distância d é uma constante igual à distância de
entreferro nominal entre a ponta do eletroímã e a esfera para uma
corrente nominal na bobina.
Desenvolva o modelo matemático completo do sistema de levitação
magnética no qual a fonte de tensão eent(t) é a variável de entrada.
Considere um atuador MEMS comando em pente com as seguintes
dimensões físicas:
Largura do pente w = 5 μm 
Distância entre os dedosd = 2 μm 
86 dedos 
Fonte de tensão eent = 30 V (constante) 
Rigidez do atuador k = 0,04 N/m
Calcule o deslocamento do comando em pente em mícrons no
“regime permanente” no qual eC = eent e a massa do pente está
estacionária e não acelerando (isto é, = = 0).
4.1 INTRODUÇÃO
Fluidos pressurizados (líquidos e gases) são usados por engenheiros
mecânicos para projetar dispositivos que fornecem forças e torques de
modo a mover cargas mecânicas. Sistemas hidráulicos usam um líquido
como fluido de trabalho enquanto sistemas pneumáticos empregam ar ou
outros gases. Atuadores hidráulicos são adotados em máquinas de
construção e de agricultura para elevar cargas, mover o solo e comandar
brocas rotacionais. São também empregados em veículos aeroespaciais para
posicionar superfícies aerodinâmicas (lemes, elevadores, ailerons e flaps),
deslocar o trem de pouso e os suportes giratórios dos motores a jato. Além
disso, atuadores hidráulicos e pneumáticos são usados para manobrar
manipuladores robóticos e ativar sistemas de frenagem automotivos. Assim
como os sistemas eletromecânicos analisados no Capítulo 3, os sistemas
fluidos convertem energia de uma fonte de potência para energia mecânica
(posição e velocidade). No caso dos sistemas fluidos, a fonte de potência é
um fluido pressurizado, um líquido (sistema hidráulico) ou um gás (sistema
pneumático). Sistemas térmicos envolvem a transferência de energia do
calor, e a temperatura é normalmente a variável dinâmica de interesse.
Este capítulo introduz as técnicas fundamentais para o desenvolvimento
das equações que modelam os sistemas fluidos e térmicos. Os modelos
matemáticos dos sistemas fluidos são obtidos por meio da utilização da
conservação de massa enquanto para os sistemas térmicos é aplicada a
conservação de energia. Quando um sistema fluido é empregado em um
atuador para mover ou interagir com uma carga mecânica, são adotados
também os diagramas de corpo livre dos componentes mecânicos e as leis
de Newton de modo a obter o modelo matemático completo. Assim como
nos sistemas mecânicos no Capítulo 2 e sistemas elétricos no Capítulo 3, é
utilizada a abordagem dos parâmetros concentrados, e, portanto, os modelos
matemáticos desenvolvidos neste capítulo consistem em equações
diferenciais ordinárias (EDOs). O objetivo é obter modelos de sistemas e
dispositivos que empregam componentes fluidos e/ou térmicos de uso
comum pelos engenheiros mecânicos e aeroespaciais. Em particular, a
discussão será focada nos sistemas de atuadores fluidos. Este é o último
capítulo dedicado à modelagem de sistemas físicos; nos próximos serão
tratadas as técnicas para obtenção e análise da resposta dinâmica dos
sistemas.
4.2 SISTEMAS HIDRÁULICOS
Um sistema fluido geralmente é composto pelos elementos fundamentais:
(1) uma bomba que fornece um fluido a alta pressão; (2) uma capacitância
fluida devida à energia armazenada em um reservatório ou tanque; e (3)
mangueiras, tubos e válvulas que conectam os vários reservatórios e
controlam o fluxo. Se o sistema fluido é um atuador de translação (como
um servomecanismo hidráulico), ele tipicamente envolve um reservatório
cilíndrico no qual o fluido pressurizado move um pistão conectado à uma
carga mecânica para realizar trabalho.
Esta seção apresenta uma breve descrição das relações fundamentais
que descrevem os sistemas nos quais um líquido é o fluido de trabalho. São
empregados conceitos básicos de mecânica dos fluidos tratados em cursos
elementares de física nas universidades. As variáveis fundamentais nos
sistemas hidráulicos são pressão P (em N/m2 ou pascal, Pa), vazão de massa
w = (em kg/s), e a vazão volumétrica Q = (em m3/s), nas quais m e V
são, respectivamente, a massa e o volume de fluido. É importante empregar
a pressão absoluta, ou a pressão relativa ao vácuo perfeito, nos cálculos
teóricos (pressão absoluta = pressão manométrica + pressão atmosférica). A
vazão volumétrica Q é empregada para descrever o fluxo dos líquidos nos
sistemas hidráulicos. A massa específica ρ é uma propriedade física de um
fluido, e significa a quantidade de massa por unidade de volume (em
kg/m3).
Módulo de Compressibilidade Fluido
Um fluido é dito incompressível se sua massa específica se mantém
constante e compressível se varia com a pressão. Sob pressões relativamente
baixas, os líquidos são considerados como fluido incompressíveis, enquanto
em altas pressões os fluidos hidráulicos são compressíveis. O módulo de
compressibilidade fluido β mede a resistência do fluido à compressão e é
definido como
na qual ρ0 é a massa específica de referência do fluido para pressão e
temperatura nominais. A derivada dP/dρ na Eq. (4.1) é determinada em uma
temperatura constante. Note que o módulo de compressibilidade β possui as
mesmas unidades da pressão (N/m2 ou Pa) porque o termo ρ0/dρ é
adimensional. O módulo de compressibilidade é o inverso da
compressibilidade de um fluido, e, portanto, fluidos que possuem pequenas
variações da massa específica sobre alta pressão (isto é, dρ/dP é “pequena”)
têm um valor extremamente elevado para β. Por exemplo, um óleo
hidráulico típico usado em aplicações industriais possui um módulo de
compressibilidade β = 109 Pa (ou 1 Gpa) e uma massa específica nominal
em torno de ρ0 = 860 kg/m3. Empregando os valores nominais, pode-se
aplicar a Eq. (4.1) para obter a variação da massa específica em razão do
aumento na pressão
Assim sendo, a variação de primeira ordem na massa específica do fluido
para um aumento na pressão hidráulica de 20 MPa está em torno de 17,2
kg/m3 ou 2% acima do seu valor nominal. O módulo de compressibilidade
pode ser considerado como um análogo fluido do módulo de elasticidade de
um sólido, e, portanto, um β muito elevado significa que o fluido é
extremamente “rígido”.
Resistência em Sistemas Hidráulicos
Um elemento de resistência fluida é qualquer componente que resiste ao
fluxo e dissipa energia, e, portanto, é análogo ao resistor elétrico.
Geralmente, o fluxo (escoamento) pode ser caracterizado como laminar ou
turbulento. A Figura 4.1 mostra um fluxo laminar através de um tubo no
qual as linhas de corrente são suaves e paralelas. O fluxo laminar existe
quando o diâmetro do tubo é “grande” e a velocidade do fluxo é “pequena”
(note que a velocidade do fluxo na Figura 4.1 é v = Q/A). A resistência
fluida laminar é representada por uma relação linear entre a queda de
pressão ΔP = P1 – P2 e a vazão volumétrica Q
na qual RL é a resistência fluida laminar (em Pa·s/m3). Note que a resistência
laminar (4.2) é análoga à resistência elétrica eR = RI, na qual a queda de
tensão através do resistor eR é análoga à queda de pressão ΔP, e a corrente I
é análoga ao escoamento do fluido (vazão) Q. Um fluxo laminar existe
quando a diferença de pressão ΔP é “pequena” e, consequentemente, o
escoamento do fluido Q é “pequeno” (ou a velocidade é baixa). Para o fluxo
laminar cujo comprimento L do tubo é significativamente maior que o
diâmetro d (como na Figura 4.1), a resistência fluida laminar pode ser
determinada empregando a lei de Hagen-Poiseuille
Figura 4.1 Escoamento laminar em tubulações.
na qual μ é a viscosidade dinâmica (ou absoluta) do fluido, em Pa·s.
A Figura 4.2 mostra o fluxo (escoamento) turbulento através de uma
abertura de pequena dimensão (ou orifício) em um tubo. O escoamento
turbulento é caracterizado pelo fluxo irregular, turbilhonado, na forma de
redemoinho no qual as linhas de corrente não são uniformes e paralelas. A
resistência fluida turbulenta possui uma relação não linear entre a queda de
pressão ΔP = P1 – P2 através do orifício e a vazão volumétrica Q
na qual RT é a resistência fluida (turbulenta) não linear (em Pa·s2/m6). O
fluxo turbulento existe quando a diferença de pressão ΔP através do orifício
é “grande” e, consequentemente, a velocidade do fluido é elevada. Pode-se
reescrever a equação do fluxo turbulento (4.4) em termos da vazão
volumétrica
na qual é o coeficiente de fluxo turbulento.
Figura 4.2 Escoamento turbulento através de um orifício.
A maioriados sistemas hidráulicos industriais envolvem fluxos de alta
pressão através das aberturas de válvulas ou pequenas restrições e, portanto,
o escoamento resultante é tipicamente turbulento. Será desenvolvido a
seguir um modelo aproximado para o fluxo hidráulico turbulento através de
um orifício ou pequenas aberturas em válvulas. A Figura 4.3 mostra óleo
hidráulico escoando através de um pequeno orifício (como nas aberturas de
válvulas) com área A0. O fluido possui pressão muito elevada P1 no lado 1,
que está a montante (antes) do orifício, e baixa pressão P2 no lado 2, que
está imediatamente a jusante (depois) do orifício. Assume-se que a
velocidade do óleo no lado 1 é pequena e pode ser desprezada, isto é, v1 ≈ 0.
Em seguida, aplica-se a equação de Bernoulli ao escoamento do fluido entre
os lados 1 e 2:
Figura 4.3 Fluido hidráulico escoando através de um pequeno orifício.
A equação de Bernoulli considera um fluxo sem atrito, incompressível,
constante e, consequentemente, a energia total é conservada ao longo das
linhas de corrente entre os lados 1 e 2. Assumindo v1 ≈ 0, pode-se resolver a
Eq. (4.6) para a velocidade v2 através do orifício
Pode-se multiplicar a velocidade v2 que passa pelo orifício por sua área A0
para obter a vazão volumétrica Q
A Eq. (4.8) é uma vazão volumétrica idealizada na qual a diferença de
pressão do fluido P1 – P2 é convertida em energia cinética sem qualquer
perda. Um fluxo hidráulico real através do orifício irá incorrer em perdas
por atrito, que poderão ser consideradas multiplicando o lado direito da Eq.
(4.8) pelo “coeficiente de descarga” Cd < 1
O leitor deve notar que a Eq. (4.9) do fluxo através do orifício é equivalente
às Eqs. (4.4) e (4.5) do escoamento turbulento nos quais o coeficiente de
fluxo turbulento é . A Eq. (4.9) será empregada para
modelar o fluxo hidráulico através de um orifício ou da abertura de uma
válvula. O coeficiente de descarga Cd = 0,62 é tipicamente usado para o
escoamento de alta pressão em uma válvula encontrada em sistemas
hidráulicos industriais. A área A0 pode ser constante ou variável: é constante
para um orifício de geometria fixa e variável para uma válvula. A Figura
4.4 mostra uma válvula carretel de 4 vias que é usada para controlar o fluxo
em um circuito hidráulico. Quando o carretel da válvula é deslocado para a
direita (y > 0, como mostrado na Figura 4.4) a porta B é aberta e,
consequentemente, o óleo a alta pressão da fonte de alimentação PF escoa
através da porta B, fornecendo a vazão volumétrica Q1. Adicionalmente, o
óleo com vazão volumétrica Q2 escoa através da porta A para o dreno a
baixa pressão Pr como mostrado na Figura 4.4. Quando a válvula é movida
para a esquerda (y < 0), o fluxo é invertido. A área da válvula na Figura 4.4
é Av = h | y |, na qual h é a altura da abertura da válvula.
Figura 4.4 Fluido hidráulico escoando através de uma válvula carretel.
A Figura 4.5 mostra o símbolo de uma “válvula” genérica usado para
descrever resistência fluida. Esse símbolo representa uma resistência fluida
de parâmetros concentrados que pode ser devida ao fluxo laminar através de
um tubo longo, fluxo turbulento em um orifício de pequena dimensão ou o
fluxo turbulento através da abertura de uma válvula. Esse símbolo de
válvula é análogo ao usado para o amortecedor (ou dispositivo de
amortecimento) que representa atrito em um sistema mecânico.
Figura 4.5 Elemento de resistência fluida.
Capacitância Fluida
A capacitância de um reservatório fluido ou tanque é uma medida da sua
capacidade de armazenar energia devida à pressão do fluido. Para sistemas
hidráulicos (líquidos), a capacitância fluida C é usualmente definida como a
razão entre as variações no volume V e na pressão P
A capacitância fluida hidráulica possui unidades de m3/Pa ou m5/N. A
Figura 4.6 mostra um reservatório (tanque) com área de seção reta circular
constante A parcialmente cheio com um líquido. A pressão na base do
tanque é determinada a partir da equação hidrostática
na qual g é a aceleração da gravidade, h é a altura do líquido e Patm é a
pressão atmosférica. A pressão na base é a soma da pressão atmosférica
(atuando sobre a superfície livre do fluido) e do peso da coluna de líquido
(rgAh) dividido pela sua área (A). Pode-se obter a capacitância fluida do
tanque usando a Eq. (4.10), notando que o volume é V = Ah, e então sua
diferencial é dV = Adh. Em seguida, determinam-se as diferenciais nos dois
lados da equação hidrostática (4.11) para um fluido incompressível (ρ =
constante) e encontra-se
Usando as Eqs. (4.10), (4.12), e a diferencial dV = Adh, a capacitância
fluida do tanque é
Assim sendo, a capacitância fluida dV/dP de um reservatório hidráulico
com área de seção reta constante contendo um fluido incompressível é uma
constante.
Figura 4.6 Reservatório hidráulico.
A definição da capacitância fluida (4.10) pode ser reescrita separando as
variáveis
Dividindo ambos os lados da Eq. (4.14) por dt tem-se
A Eq. (4.15) é análoga à da capacitância elétrica, C C = I, a qual estabelece
que o produto da capacitância elétrica e da taxa no tempo da tensão é igual
à corrente através do capacitor. Assim, no sistema tanque hidráulico, a
pressão é análoga ao potencial elétrico (tensão) e a vazão volumétrica Q à
corrente elétrica. A Eq. (4.15) será revisitada quando for aplicada a
conservação de massa no volume de controle (VC) de um sistema fluido.
Inertância Fluida
A inertância (ou indutância) fluida é o efeito por causa da inércia do fluido
conforme é acelerada ao longo de uma tubulação. Para sistemas fluidos, a
inertância Lf é definida como a razão entre a variação da pressão P e da taxa
no tempo da vazão volumétrica
A inertância fluida hidráulica possui unidades de Pa·s2/m3. Pode-se
empregar a Eq. (4.16) para escrever uma expressão relacionando a queda de
pressão à aceleração do fluido
A Eq. (4.17) é análoga à relação do indutor elétrico eL = L , na qual a queda
de pressão ΔP é análoga à queda de tensão no indutor eL, e a vazão
volumétrica Q é análoga à corrente I. Enquanto o efeito de inércia é
importante na modelagem de sistemas mecânicos, os efeitos da inércia
fluida são normalmente insignificantes e podem ser ignorados na
modelagem de sistemas fluidos.
Fontes Fluidas
Podem ser utilizados dois tipos de fontes ideais para os sistemas fluidos:
fontes de pressão e de vazão. Essas fontes fluidas ideais são análogas às
fontes ideais de tensão e corrente para os sistemas elétricos. Uma bomba
comandada por um motor é tipicamente utilizada para fornecer um fluido
pressurizado ou uma vazão de fluido desejada. Não serão considerados os
detalhes que descrevem a operação de uma bomba neste capítulo, mas em
vez disso é assumido que fontes de pressão ou de vazão desejadas são
entradas conhecidas para o sistema fluido.
Conservação de Massa
Modelos matemáticos de sistemas fluidos podem ser desenvolvidos pela
aplicação da conservação de massa em um VC. A Figura 4.7 mostra um VC
no qual a massa pode estar entrando ( positiva) e saindo ( negativa)
através de vários caminhos. Adicionalmente, a massa pode ser acumulada
no VC. A conservação de massa no VC estabelece que
na qual VC é a taxa de variação líquida da massa de fluido total no VC. Se
não é acumulada massa no VC (isto é, fluxo constante através do VC) então
VC = 0. Pode-se reescrever a equação de continuidade de massa (4.18)
usando o símbolo w = para a vazão de massa
Figura 4.7 Volume de controle.
Os termos do lado direito da equação de continuidade de massa (4.19) são
devidos ao escoamento de fluido para dentro e fora do VC através de tubos,
orifícios ou válvulas. O lado direito da Eq. (4.19) é a derivada no tempo da
massa total contida no VC, mVC = ρ V.
Assim sendo, a vazão de massa líquida no VC é afetada pelas variações da
massa específica ρ e do volume V. São discutidos a seguir diferentes
sistemas hidráulicos que envolvem fluidos incompressíveis ( = 0) e
compressíveis ( ≠ 0).
Modelagem de Sistemas com Tanques Hidráulicos
Como um primeiro exemplo de um sistema fluidosimples, é desenvolvido
o modelo matemático de um reservatório hidráulico (tanque). Como a
pressão do fluido no tanque é devido à sua altura (isto é, a equação
hidrostática (4.11)) ela é relativamente baixa, e, portanto, o fluido pode ser
considerado como incompressível ( = 0). Usando as Eqs. (4.19) e (4.20), a
taxa de variação líquida da massa do fluido é devida apenas a sua variação
de volume
a.
b.
c.
Pode-se dividir a Eq. (4.21) pela massa específica r e usar as vazões
volumétricas de entrada e saída em vez das vazões de massa.
Substituindo a Eq. (4.15) no lado esquerdo da Eq. (4.22) tem-se
A Eq. (4.23) é o modelo fundamental para um sistema hidráulico com
escoamento incompressível. Note que o lado esquerdo da Eq. (4.23) é =
(dV/dP)(dP/dt), na qual dV/dP = C. Deve-se aplicar a Eq. (4.23) para cada
reservatório hidráulico (ou VC) em um sistema com tanques comunicantes.
O exemplo a seguir mostra os passos de modelagem para um sistema de um
único tanque hidráulico.
Exemplo 4.1
A Figura 4.8 mostra um único tanque hidráulico com uma vazão
volumétrica de entrada Qent.
Desenvolva o modelo matemático do sistema hidráulico
assumindo escoamento laminar através da válvula.
Desenvolva o modelo matemático do sistema hidráulico
assumindo escoamento turbulento através da válvula.
Repita os problemas (a) e (b) com o modelo representado em
termos da altura do líquido h.
Figura 4.8 Sistema com tanque hidráulico para o Exemplo 4.1.
(a) Como o sistema hidráulico consiste em um único tanque, o modelo
matemático é desenvolvido a partir da conservação de massa (4.23) para um
único VC
no qual P é a pressão na base do tanque, Qent é a vazão volumétrica de
entrada (fornecida) e Qsai é a vazão de saída através da válvula. Usando a
Eq. (4.2) para representar a vazão laminar de saída
na qual RL é a resistência de fluxo laminar, e a queda de pressão através de
válvula é ΔP = P – Patm porque a pressão externa da válvula é a atmosférica.
Usando a Eq. (4.25) na Eq. (4.24) chega-se à
Multiplicando a Eq. (4.26) por RL e agrupando os termos envolvendo a
variável dinâmica P no lado esquerdo tem-se
A Eq. (4.27) é o modelo matemático do sistema tanque hidráulico com
escoamento laminar através da válvula. Esse sistema é modelado por uma
única EDO de primeira ordem linear porque possui apenas uma
capacitância fluida que pode armazenar energia. A capacitância fluida do
tanque é uma constante: C = A / (ρg). As entradas do sistema são Qent e Patm
e, consequentemente, estão agrupadas no lado direito da Eq. (4.27).
(b) Para o escoamento turbulento através da válvula, emprega-se a Eq.
(4.25) para a vazão de saída
na qual KT é o coeficiente de fluxo turbulento e ΔP = P – Patm. Substituindo
a Eq. (4.28) na equação de continuidade (4.24) fornece
A Eq. (4.29) é o modelo matemático do sistema tanque hidráulico com
escoamento turbulento através da válvula. O sistema é modelado por uma
única EDO de primeira ordem não linear porque possui apenas uma
capacitância fluida que pode armazenar energia.
(c) Deseja-se escrever os modelos matemáticos linear e não linear (4.27)
e (4.28) em termos da altura do líquido h em vez da pressão na base P.
Pressão e altura estão relacionados com a equação hidrostática (4.11)
A taxa de variação no tempo da pressão hidrostática (4.30) é
Em seguida, substituindo a Eq. (4.31) para e a Eq. (4.30) para P – Patm no
modelo do tanque hidráulico linear (4.27) tem-se
Finalmente, pode-se dividir todos os termos na Eq. (4.32) por rg
A Eq. (4.33) é o modelo matemático do tanque hidráulico com escoamento
laminar através da válvula, no qual a altura do líquido h é a variável
dinâmica. As Eqs. (4.27) e (4.33) são modelos dinâmicos equivalentes do
tanque hidráulico com escoamento laminar através da válvula.
Pode-se obter o modelo não linear (escoamento turbulento) em termos
da altura do líquido h substituindo as Eqs. (4.30) e (4.31) para P – Patm e no
modelo não linear do tanque hidráulico (4.29) e chegar à
A Eq. (4.34) é o modelo matemático do tanque hidráulico com escoamento
turbulento na válvula no qual a altura do líquido h é a variável dinâmica. O
leitor deve notar que se a capacitância fluida C = A/(ρg) for substituída na
Eq. (4.34), o primeiro termo do lado esquerdo é claramente a taxa de
variação do volume (A = ) e possui equivalência dimensional com Qent e 
. As Eqs. (4.29) e (4.34) são modelos dinâmicos equivalentes
para o tanque hidráulico com escoamento turbulento na válvula.
Em resumo, sistemas com tanque hidráulico exigem uma EDO de
primeira ordem para cada capacitância fluida (reservatório) que pode ser
escrita com a pressão P ou na altura h do líquido como variável dinâmica.
Assim sendo, se forem dois tanques interconectados, o modelo matemático
completo envolverá duas EDOs de primeira ordem. O fluxo através de
válvulas (resistências), sendo laminar (linear) ou turbulento (não linear),
será sempre uma função da queda de pressão ΔP através da válvula. Como
os sistemas de atuadores fluidos são a prioridade deste capítulo, não serão
tratados exemplos adicionais com tanques hidráulicos.
Modelagem de Sistemas Hidromecânicos
Sistemas hidromecânicos são criados pela combinação de componentes
hidráulicos e mecânicos, e são usados para converter a energia armazenada
no fluido pressurizado em energia mecânica (movimento e deslocamento).
Por exemplo, um atuador hidráulico (ou servomecanismo) emprega um
líquido pressurizado para mover o pistão em um cilindro que é conectado a
uma carga mecânica. Como comentado anteriormente, servomecanismos
hidráulicos são amplamente utilizados na indústria para fornecer elevadas
forças para maquinaria pesada, tais como colheitadeiras, escavadoras e
prensas de forjamento. Os acumuladores hidráulicos armazenam energia em
um reservatório pressurizado e normalmente usam um subsistema mecânico
massa-mola para tanto.
A Figura 4.9 mostra um simples atuador hidráulico que consiste em um
pistão e cilindro com área de seção reta circular A. Neste exemplo
elementar, o óleo hidráulico está fluindo para a câmara esquerda do cilindro
(Qent), e, portanto, é estabelecido um VC nesse lado (a maioria dos
servomecanismos hidráulicos envolve fluido pressurizado em ambos os
lados do cilindro de tal modo que o pistão pode se mover para a esquerda
ou para a direita). A conservação de massa (4.19) é aplicada ao VC
O lado esquerdo da Eq. (4.35) é a derivada no tempo da massa total no VC.
Figura 4.9 Pistão e cilindro hidráulicos.
Considera-se que o fluido hidráulico a alta pressão é compressível, e,
portanto, ≠ 0 (o leitor deve notar que a maioria dos óleos hidráulicos
possui variação de massa específica menor que 2% para um aumento de
pressão na ordem de 20 MPa). Expressando a vazão de massa na entrada
como went = ρQent e observando que a vazão de massa na saída wsai é zero, a
Eq. (4.35) se torna
A derivada no tempo da massa específica pode ser expressa utilizando a
regra da cadeia
A definição do módulo de compressibilidade, Eq. (4.1), pode ser empregada
para determinar a taxa de variação na massa específica devida à variação na
pressão, ou dρ / dP = ρ /β. Portanto, a taxa no tempo da massa específica é 
 = ρ / β e a equação de continuidade de massa (4.37) se torna
Eliminando a massa específica e rearranjando a Eq. (4.39) tem-se
A Eq. (4.40) é o modelo fundamental para a taxa de variação no tempo da
pressão em um cilindro hidráulico com fluido compressível. O atuador
hidráulico mostrado na Figura 4.9 é conhecido como cilindro de ação
simples porque o fluido hidráulico escoa para apenas um lado do pistão. Se
a Eq. (4.40) for comparada com a Eq. (4.15) da capacitância hidráulica,
nota-se que V / β é a capacitância fluida de um atuador hidráulico. A Eq.
(4.40) mostra que o fluido escoando para o VC (Qent > 0) aumenta a pressão
do fluido enquanto uma expansão do VC ( > 0) diminui a pressão. O
volume instantâneo do VC é V = Ax (na qual x é a posição do pistão na
Figura 4.9), e, portanto, a taxa de variação no tempo do volume é = A .
Está claro que o movimento dopistão (x e ) deve ser levando em
consideração na equação servo-hidráulica (4.40), e, consequentemente,
deve-se incluir um modelo do sistema mecânico (pistão e carga).
Finalmente, deve-se notar que a Eq. (4.40) é não linear uma vez que o
coeficiente 1 / V envolve a inversa da variável dinâmica x.
Exemplo 4.2
A Figura 4.10 mostra um atuador hidráulico simples com uma vazão de
entrada Qent para o cilindro e um pistão conectado a uma massa carga.
Desenvolva o modelo matemático do sistema hidromecânico.
Figura 4.10 Atuador hidráulico para o Exemplo 4.2.
Inicia-se com a Eq. (4.40), que modela a variação de pressão no lado
esquerdo do cilindro
na qual P e V são a pressão e o volume do lado esquerdo do cilindro,
respectivamente. O volume instantâneo é
na qual a posição do pistão x é medida a partir da posição de equilíbrio
estático (sem deflexão da mola) e V0 é o volume do lado esquerdo quando x
= 0. Se for empregada a Eq. (4.42), a taxa de variação no tempo do volume
da câmara é = A e então a Eq. (4.41) se torna
Em seguida, desenvolve-se o modelo mecânico que descreve a posição
e velocidade do pistão e massa carga. A Figura 4.11 mostra o diagrama de
corpo livre do sistema mecânico, no qual m é a massa total do pistão, haste
de conexão e massa carga. A força da pressão hidráulica PA atua sobre o
lado esquerdo do pistão, enquanto a força da pressão atmosférica PatmA age
no lado direito do pistão (note que apesar da área do lado direito do pistão
ser menor que A por causa da área da haste de conexão Ahaste, a distribuição
da pressão atmosférica sobre a massa carga resulta em um incremento de
força PatmAhaste atuando para o lado esquerdo e, assim, a força da pressão
atmosférica líquida sobre o pistão/massa carga é PatmA). As forças da mola,
do atrito e de carga atuam sobre a massa carga como mostrado na Figura
4.11. Em seguida, aplicando a segunda lei de Newton e somando todas as
forças externas sobre o pistão/massa carga m com a convenção de sinal
positivo para a direita:
Rearranjando a Eq. (4.44) tem-se
Figura 4.11 Diagrama de corpo livre para o atuador hidráulico (Exemplo 4.2).
As Eqs. (4.43) e (4.45) constituem o modelo matemático do sistema
hidromecânico. O leitor deve notar que o sistema completo envolve uma
EDO de primeira ordem para a capacitância fluida e uma EDO de segunda
ordem para a inércia mecânica. As Eqs. (4.43) e (4.45) são acopladas, pois a
pressão P é necessária no modelo mecânico (4.45) e a posição e velocidade
(x e ) são requeridas no modelo fluido (4.43). O sistema é não linear
porque a equação do modelo fluido (4.43) é uma EDO não linear.
Finalmente, o leitor deve notar que as variáveis dinâmicas são a pressão na
câmara P e a posição x, enquanto as variáveis de entrada do sistema são a
vazão Qent, a pressão atmosférica Patm e a força carga FC.
Exemplo 4.3
A Figura 4.12 mostra um acumulador em um circuito hidráulico no qual
Qent é a vazão volumétrica de entrada. Desenvolva o modelo matemático do
sistema completo.
Figura 4.12 Acumulador hidráulico para o Exemplo 4.3.
Acumuladores são localizados a jusante (depois) das fontes hidráulicas
(por exemplo, bombas) de modo a atenuar (reduzir) oscilações ou picos na
vazão ou pressão. O sistema mostrado na Figura 4.12 consiste em uma
mangueira (com volume constante Vm) conectando uma bomba a uma carga
hidráulica. A carga pode ser um motor hidráulico que faz parte de uma
transmissão hidrostática que necessita de uma vazão Qm prescrita para
operar adequadamente. O acumulador consiste em uma câmara com pressão
Pc e volume Vc e uma placa móvel (massa m) restrita por uma mola k. O
fluido a alta pressão escoa da mangueira para o acumulador através de um
orifício de pequenas dimensões com área constante A0. O acumulador pode
armazenar fluido durante variações rápidas na pressão Pm da mangueira e
devolver fluido para a mangueira quando há diminuição rápida na sua
pressão. Consequentemente, os acumuladores são empregados para
amortecer flutuações na pressão ou na vazão da mangueira.
Inicia-se pela aplicação da equação da taxa de pressão (4.40) para cada
VC fluido: o VC da mangueira e o VC do acumulador.
Note que na Eq. (4.46) a vazão volumétrica líquida para o VC da mangueira
é Qent – Qc – Qm. Além disso, o volume da mangueira Vm é constante, e,
portanto, m = 0 na Eq. (4.46). Pode-se usar a Eq. (4.9) para representar o
escoamento turbulento através do orifício de pequenas dimensões
na qual ρ é a massa específica nominal do fluido e Cd o coeficiente de
descarga. O leitor deve notar que a Eq. (4.48) indica o fluxo da mangueira
para o acumulador que ocorre quando Pm > Pc, como descrito na Figura
4.12. Entretanto, é possível que a pressão do acumulador exceda a da
mangueira, o que inverte o sentido (e o sinal) do fluxo Qc. Nesse caso, Pc >
Pm e a Eq. (4.48) não pode ser utilizada porque o radicando é negativo.
Assim sendo, deve-se modificar a Eq. (4.48) de modo a produzir uma
equação geral que possa ser empregada para fluxos positivos ou negativos
no orifício
Note que o radicando será sempre positivo (por causa do valor absoluto da
diferença de pressão) e a função sinal sgn(Pm – Pc) resultará em +1, –1, ou
zero, e, portanto, determinará se o fluxo no orifício é positivo (da
mangueira para o acumulador), negativo (do acumulador para a mangueira),
ou zero.
O volume do acumulador é
na qual Vc0 é o volume do acumulador quando x = 0. A posição da placa x é
medida a partir da posição de equilíbrio estático na qual a força da mola
equilibra a força de pressão nominal. Está claro que a taxa no tempo do VC
do acumulador é c = A .
Em seguida, desenvolve-se o modelo mecânico para a massa da placa
do acumulador empregando o diagrama de corpo livre mostrado na Figura
4.13. Note que foi assumido atrito viscoso linear atuando sobre a placa (b )
e a pressão atmosférica Patm agindo na sua parte superior. Além disso, a
mola do acumulador está inicialmente comprimida de modo a equilibrar a
força de pressão nominal e assim a força de pré-carga da mola FPC é
incluída no diagrama de corpo livre. O leitor deve notar que quando a placa
está parada na posição x = 0, o acumulador está no equilíbrio estático e a
pré-carga FPC compensa as forças de pressão. Somando todas as forças
externas sobre a massa da placa m fornece
Figura 4.13 Diagrama de corpo livre para a placa do acumulador hidráulico (Exemplo 4.3).
ou, após rearrumar a Eq. (4.51)
A Eq. (4.52) mostra claramente que quando a força de pré-carga na mola
FPC equilibra a força da diferença da pressão (Pc – Patm)A a massa da placa
deve estar no equilíbrio estático (isto é, = = x = 0).
O modelo matemático completo do sistema acumulador é composto das
Eqs. (4.46), (4.47) e (4.52), que são repetidas a seguir com as devidas
substituições para os volumes e suas taxas no tempo:
As Eqs. (4.53), (4.54) e (4.55) representam o modelo matemático do
sistema hidromecânico. A Eq. (4.49) também é necessária para determinar a
vazão através do orifício Qc. O modelo completo é de quarta ordem,
consistindo em duas EDOs de primeira ordem e de uma de segunda ordem.
As EDOs são acopladas porque o conhecimento do movimento mecânico é
requerido na Eq. (4.54) do VC do acumulador e a informação de pressão é
necessária nas equações da vazão no orifício (4.49) e mecânica (4.55). O
sistema é claramente não linear por causa da equação da vazão no orifício
(4.49). Em resumo, as variáveis dinâmicas do sistema são as pressões da
mangueira Pm e do acumulador Pc, e a posição da placa x, enquanto as
variáveis de entrada são as vazões Qent e a da mangueira Qm, a pressão
atmosférica Patm, e a força de pré-carga na mola FPC.
Exemplo 4.4
Considere novamente o sistema hidráulico do Exemplo 4.3. Determine a
capacitância fluida C da mangueira e a vazão volumétrica inicial Qc através
do orifício se o sistema possui as seguintes características no instante t = 0:
volume da mangueira Vm = 0,003 m3, pressão da mangueira Pm = 2(107) Pa,
pressão do acumulador Pc = 1,95(107) Pa, massa específica do fluido ρ =
875 kg/m3, módulode compressibilidade β = 0,8(109) Pa, coeficiente de
descarga Cd = 0,62, e área do orifício A0 = 5(10–6) m2.
A capacitância fluida de uma mangueira com volume constante é C =
Vm / β = 0,003 m3/0,8(109) Pa, ou C = 3,75(10–12) m3/Pa.
A Eq. (4.48) determina a vazão volumétrica inicial através do orifício
na qual a diferença de pressão inicial através do orifício é Pm – Pc = 2(107) –
1,95(107) = 5(105) Pa. Usando os valores numéricos fornecidos para o
fluido hidráulico e orifício chega-se à vazão volumétrica inicial de Qc =
1,048(10–4) m3/s.
Á
4.3 SISTEMAS PNEUMÁTICOS
Esta seção apresenta uma breve descrição das relações fundamentais que
descrevem os sistemas pneumáticos nos quais um gás (normalmente o ar) é
o fluido de trabalho. Na seção anterior, foi comentado que uma variação
muito elevada na pressão (da ordem de 20 MPa) produz um aumento de 2%
na massa específica de um óleo hidráulico típico. Enquanto sistemas
pneumáticos envolvem pressões de operação muito menores quando
comparadas com os sistemas hidráulicos, eles quase sempre trabalham com
gases compressíveis nos quais a massa específica varia de forma
significativa com a pressão. Consequentemente, os sistemas pneumáticos
são menos “rígidos” quando comparados aos hidráulicos, e, portanto,
exibem uma resposta mais lenta a variações no estado de operação. Outra
diferença entre os sistemas hidráulicos e pneumáticos envolve a inclusão
dos efeitos termodinâmicos. Apesar das variações de temperatura afetarem
as propriedades dos líquidos (como a viscosidade e o módulo de
compressibilidade), os efeitos são pequenos comparados aos das variações
de pressão e então não foram considerados no desenvolvimento dos
modelos dos sistemas hidráulicos. Por outro lado, os sistemas pneumáticos
exibem uma relação funcional entre pressão, temperatura e massa
específica, como mostrado pela lei dos gases ideais
na qual P é a pressão absoluta, r é a massa específica do gás, R é a constante
dos gases, e T a temperatura absoluta (em kelvin, K). Incluir os efeitos
termodinâmicos complica imensamente a análise dos sistemas pneumáticos.
As variáveis fundamentais dos sistemas pneumáticos são pressão P e a
vazão de massa w. Como os gases são altamente compressíveis, não se pode
simplesmente relacionar a vazão de massa com a vazão volumétrica. Além
disso, diferentemente dos gases, os líquidos “enchem” um recipiente com
uma altura (nível) reconhecível. Por isso é usada a vazão de massa w para
os sistemas pneumáticos em vez da vazão volumétrica Q.
Resistência de Sistemas Pneumáticos
Nos raros casos em que o gás é incompressível (isto é, fluxo de velocidade
muito baixa), a resistência pneumática pode ser modelada tanto pela
equação laminar linear (4.2) quanto pela turbulenta não linear (4.4). Os
coeficientes das resistências correspondentes laminar ou turbulenta RL e RT
podem ser aproximados a partir de resultados experimentais, como um
gráfico da vazão de massa w versus a queda de pressão.
Na maioria das aplicações industriais (tais como atuadores
pneumáticos), o gás de trabalho escoa através das válvulas e orifícios em
alta velocidade, e, portanto, é compressível. Fluxo de gás compressível é
um fenômeno complexo, e, por isso, não serão desenvolvidas as respectivas
equações neste texto. Em vez disso, serão apresentados resultados para o
escoamento de gás através de um orifício de pequenas dimensões, que
poderão ser empregados para modelar o fluxo compressível em um sistema
pneumático (veja a Referência 1 para uma discussão detalhada para o
escoamento de gás compressível).
A Figura 4.14 mostra o fluxo de um gás compressível através de um
orifício de pequenas dimensões com área A0 no estrangulamento (mínima
área). Expressões para a vazão de massa de gás podem ser desenvolvidas
assumindo que a expansão de um gás ideal através do orifício é isentrópica
(isto é, sem atrito e adiabática). Adicionalmente, é necessário considerar
dois casos: (1) fluxo “ilimitado” e (2) fluxo “limitado”. O fluxo é dito
“limitado” quando atinge condições sônicas (a velocidade do som, ou Mach
= 1) no estrangulamento. A razão entre as pressões a jusante (depois) e a
montante (antes) P2 / P1, determina se o fluxo é limitado ou não.
Obviamente, se as pressões a montante e a jusante são praticamente iguais
(P2 / P1 ≈ 1), então não há escoamento através do orifício. O gás começa a
escoar através do orifício com velocidade em ascensão conforme a razão de
pressão P2 / P1 diminui para valores menores que um. Enquanto P2 / P1 é
maior que a razão crítica Cr o fluxo de gás é subsônico e “ilimitado” e a
vazão de massa correspondente é
Figura 4.14 Escoamento de gás através de um pequeno orifício.
na qual γ é a razão dos calores específicos (= 1,4 para o ar) e Cd é o
coeficiente de descarga para as perdas associadas ao fluxo através do
orifício. A Eq. (4.57) é uma função altamente não linear da razão de pressão
P2 / P1, temperatura T1, área do orifício A0, coeficiente de descarga Cd,
constante dos gases R e da razão dos calores específicos γ. A equação do
fluxo ilimitado claramente mostra que a vazão de massa é nula se a razão de
pressão P2 / P1 é exatamente igual a um. Se a pressão a jusante P2 se torna
muito pequena, a velocidade do fluxo aumenta até atingir a sônica (Mach 1)
no estrangulamento e o escoamento se torna limitado. Diminuindo a pressão
a jusante P2 abaixo do seu ponto crítico não irá alterar as condições no
estrangulamento. Nesse caso, a vazão de massa limitada é
A razão crítica de pressão que divide os regimes de escoamento ilimitado e
limitado é uma função de g
Para o ar, γ = 1,4, e, portanto, a pressão crítica é Cr = 0,528. A Figura 4.15
mostra a vazão de massa para o ar escoando através de um pequeno orifício
com as seguintes condições: pressão a montante P1 = 6(105) Pa, área do
orifício A0 = 4 mm2, temperatura a montante T1 = 298 K, e coeficiente de
descarga Cd = 0,8. A pressão a jusante P2 varia entre um valor muito
pequeno (próximo do vácuo) e um limite superior igual à P1. O fluxo
limitado, como calculado pela Eq. (4.58), é facilmente identificado pela
vazão de massa constante quando a razão de pressão P2 / P1 ≤ 0,528. O
fluxo se torna ilimitado (subsônico) quando P2 / P1 > 0,528 e diminui até
zero para P2 / P1 = 1.
Figura 4.15 Vazão de massa para o ar através de um pequeno orifício.
Capacitância Pneumática
Como os sistemas pneumáticos normalmente envolvem um gás escoando
para um reservatório de volume constante, a capacitância fluida C é
usualmente definida como a razão entre as variações na massa m e na
pressão P
e possui unidades de kg/Pa ou kg·m2/N. A massa de gás em um reservatório
é m = ρV, e, portanto, o diferencial de massa para um reservatório de
volume constante é dm = Vdρ. Consequentemente, a capacitância
pneumática (4.60) para um reservatório com volume constante se torna
Assim sendo, a capacitância pneumática depende da compressibilidade do
gás em relação à variação na pressão. Lembre-se de que a partir da
termodinâmica básica o processo de expansão de um gás pode ser a
temperatura constante (isotérmico), a pressão constante (isobárico) ou a
entropia constante (isentrópico). Considera-se aqui o processo isotérmico e
isentrópico (adiabático e reversível), que pode ser modelado pelo o
processo politrópico
na qual a é uma constante e n é o expoente politrópico. Para o processo
isotérmico n = 1; para o processo isentrópico n = γ. Tomando a diferencial
em ambos os lados da Eq. (4.62) tem-se
Resolvendo a Eq. (4.63) para dρ /dP obtém-se
Em seguida, resolvendo a Eq. (4.62) para a constante a = Pρ–n e
substituindo na Eq. (4.64) chega-se à
Usando a lei dos gases ideais (4.56) para substituir a pressão na Eq. (4.65) a
derivada dρ /dP se torna
Finalmente, substituindo a Eq. (4.66) na Eq. (4.61) tem-se a capacitância
pneumática para um reservatório de volume constante
Note que a capacitância pneumática para um reservatório fixo pode variar
dependendo da temperatura, do tipo de gás e do processo termodinâmico.
Pode-se separar as variáveis na equaçãoda capacitância pneumática
(4.60) para obter CdP = dm e dividir esse resultado por dt para encontrar a
equação diferencial
A Eq. (4.68) é análoga à de um capacitor elétrico e à do reservatório
hidráulico desenvolvida na Seção 4.2.
Modelagem de Sistemas Pneumáticos
Modelos matemáticos de sistemas pneumáticos podem ser desenvolvidos
pela aplicação da conservação de massa e da abordagem do VC apresentada
na Seção 4.2. O procedimento é apenas um pouco diferente dos passos
aplicados ao sistema hidráulico com um fluido compressível. Para iniciar,
lembre-se da equação de continuidade de massa (4.19) para um VC, que é
repetida aqui
A massa total de gás no VC em qualquer instante de tempo é mVC = ρV, e,
portanto, sua derivada no tempo é
Foi usado o módulo de compressibilidade fluido para definir a variação na
massa específica para um sistema hidráulico com fluido compressível.
Para os sistemas pneumáticos encontra-se tomando a derivada no tempo
do processo de expansão politrópica do gás
Substituindo o modelo de processo politrópico P = aρn na Eq. (4.71) tem-se
uma expressão para a derivada no tempo da massa específica
Substituindo a Eq. (4.72) na equação da vazão de massa (4.70) e usando a
lei dos gases ideais para substituir a massa específica (ρ = P/RT) obtém-se
Como o interesse está na variação de pressão do sistema pneumático,
resolve-se a Eq. (4.73) para a taxa no tempo da pressão para obter
na qual wliq = ∑ went – ∑ wsai é a taxa de variação líquida da massa total do
fluido no VC. A Eq.(4.74) é o modelo fundamental de um sistema
pneumático. Pode-se ver que para um reservatório de volume constante (
= 0) a Eq. (4.74) é idêntica à equação diferencial para a pressão (4.68) que
foi desenvolvida a partir da definição da capacitância pneumática. Além
disso, a equação da taxa de pressão pneumática (4.74) possui uma estrutura
que é muito similar à da taxa de variação da pressão hidráulica
compressível (4.40): ambas as equações mostram um aumento na pressão
quando há um fluxo líquido positivo para o VC e uma diminuição na
pressão quando o VC expande (isto é, > 0). Para o caso de volume
constante ( = 0), a capacitância fluida do sistema hidráulico na Eq. (4.40)
é V / β enquanto a capacitância pneumática na Eq. (4.74) é V / nRT, o que
corresponde à Eq. (4.67).
Exemplo 4.5
A Figura 4.16 mostra um sistema pneumático simples que consiste em uma
câmara com volume fixo V conectada a um tanque de abastecimento de ar
com pressão constante PF. Desenvolva o modelo matemático do sistema
pneumático assumindo fluxo compressível através do orifício de pequenas
dimensões (válvula) com área de estrangulamento A0.
Figura 4.16 Sistema pneumático para o Exemplo 4.5.
A taxa de variação da pressão na câmara é descrita pela Eq. (4.74), que
é a equação fundamental de modelagem de um reservatório pneumático
na qual went é a vazão de massa do tanque de abastecimento para a válvula.
Como o volume da câmara é constante faz-se = 0 na Eq. (4.73) para obter
na qual a capacitância pneumática para o reservatório de volume fixo é
A vazão de massa went para um gás compressível é descrita pelas Eqs. (4.57)
e (4.58), dependendo se o escoamento é ilimitado (subsônico) ou limitado.
Assim sendo, usando as equações de fluxo compressível, a taxa de variação
da pressão (4.76) se torna
As Eqs. (4.78) e (4.79) formam o modelo matemático de um sistema
simples com tanque pneumático. A Eq. (4.77) é usada para definir a
capacitância pneumática C e a Eq. (4.59) é necessária para estabelecer a
razão de pressão crítica (Cr = 0,528 para o ar). O modelo matemático
consiste na EDO de primeira ordem apropriada (isto é, fluxo ilimitado ou
limitado) e é claramente não linear para o fluxo ilimitado. A única variável
dinâmica é a pressão P da câmara e a entrada do sistema é a pressão do
tanque de abastecimento PF. Os parâmetros do sistema incluem o volume da
câmara V, o expoente politrópico n, a área do orifício A0, a temperatura do
gás a montante T e o coeficiente de descarga Cd.
Exemplo 4.6
Considere novamente o sistema pneumático do Exemplo 4.5. Determine a
capacitância pneumática C e a vazão de massa inicial went através da válvula
se o sistema possui as seguintes características no instante em que a válvula
é aberta: volume da câmara V = 3(10–4) m3, temperatura do ar a montante T
= 298 K, pressão da fonte a montante PF = 6(105) Pa, pressão da câmara a
jusante P = 1,2(105) Pa, coeficiente de descarga Cd = 0,8, e área da válvula
A0 = 2(10–6) m2. Assuma um processo de expansão isotérmica com ar como
o fluido de trabalho.
A Eq. (4.67) define a capacitância pneumática para um reservatório com
volume fixo:
na qual n = 1 (processo isotérmico) e R = 287 N·m/kg·K é a constante de
gás para o ar. Usando as características pneumáticas fornecidas para esse
problema, a capacitância pneumática é C = 3,5077(10–9) kg·m2/N.
A vazão de massa de entrada inicial went é determinada pela Eq. (4.57)
para o fluxo ilimitado ou Eq. (4.58) para o fluxo limitado. Assim, deve-se
calcular a razão de pressão jusante-montante inicial P/PF e comparar o valor
com a razão de pressão crítica, Cr = 0,528 para o ar (veja a Eq. (4.59)). A
razão de pressão inicial é P/PF = 1,2(105) / 6(105) = 0,2, menor do que a
razão de pressão crítica Cr. Logo, a vazão de massa inicial é limitada, e seu
valor numérico é calculado usando a Eq. (4.58)
na qual γ = 1,4 para o ar. Usando os valores numéricos para as
características do gás e da válvula na equação acima tem-se went = 0,002248
kg/s.
4.4 SISTEMAS TÉRMICOS
Sistemas térmicos envolvem o armazenamento e o fluxo da energia do
calor. A temperatura T (em kelvin, K) é a principal variável dinâmica de
interesse e o fluxo de calor q é também fundamental em modelos térmicos.
A energia térmica possui unidade de joules (J), e, portanto, a taxa de
transferência de calor q possui unidade de J/s ou watts (W), que é a mesma
de potência. Modelos de sistemas térmicos são desenvolvidos a partir da
aplicação da conservação de energia na fronteira do sistema considerando
os fluxos de calor entrando e saindo. A Figura 4.17 mostra um sistema
térmico aberto com fronteira que envolve uma capacitância térmica C. A
fronteira pode ser um material isolante que impede o fluxo de calor. A
energia térmica pode entrar para a capacitância (por exemplo, fornecida por
um elemento aquecedor) ou sair (por exemplo, o calor fluindo de uma
câmara quente para o ambiente externo mais frio). Além disso, a energia
térmica pode entrar ou sair do sistema por causa da massa transferida
através da fronteira (por exemplo, devido ao fluxo de fluido). Aplicando a
conservação de energia na fronteira do sistema na Figura 4.17 tem-se
na qual ξc é a taxa no tempo da energia térmica líquida armazenada no
interior da fronteira do sistema. A taxa no tempo da entalpia é em razão
da massa se transferindo através de fronteira. Assim sendo, a taxa de
variação da entalpia é nula para um sistema térmico fechado (isto é, sem
transferência de massa). A Eq. (4.80) assume que o sistema não gera calor
no interior da fronteira e não há trabalho realizado sobre ou pelo sistema. A
equação de balanço de energia (4.80) é essencialmente a primeira lei da
termodinâmica expressa como a taxa no tempo da energia contida no
interior da fronteira do sistema.
Figura 4.17 Fronteira para um sistema térmico aberto.
Os sistemas térmicos são geralmente mais difíceis de modelar
comparados aos sistemas mecânicos, elétricos ou fluidos. A temperatura
tipicamente exibe uma distribuição espacial; isto é, varia entre os diferentes
pontos em um corpo nas diversas direções. Assim sendo, a temperatura de
um corpo deve ser representada por T(x, y, z, t) que estabelece como ela
varia com as coordenadas cartesianas de localização (x, y, z) ao longo do
corpo e também com o tempo t. Por isso, sistemas térmicos são mais
precisamente modelados como sistemas distribuídos, que empregam
equações diferenciais parciais (EDPs) em vez das EDOs para representá-
los. De modo a desenvolver modelos térmicos simplificados,aproximados,
assume-se que todos os pontos de um “corpo térmico” possuem a mesma
temperatura (média). Essa hipótese permite obter modelos de parâmetros
concentrados nos quais cada “corpo térmico” (ou capacitância térmica)
possui uma temperatura uniforme. Portanto, os modelos térmicos de
parâmetros concentrados são similares aos modelos fluidos, nos quais cada
capacitância fluida (isto é, câmara ou reservatório) possui uma única
pressão a cada instante de tempo (isto é, não existe variação de pressão ao
longo da capacitância fluida).
Resistência Térmica
O calor pode ser transferido de três formas: condução, convecção e
radiação. Condução envolve a difusão da energia térmica entre dois corpos
que estão em contato físico, como a transferência de calor por meio de um
material sólido. Convecção envolve a transferência de energia térmica
mediante o movimento de um fluido. Radiação envolve a transferência de
calor por meio da absorção da radiação eletromagnética, como as ondas
infravermelhas e a energia solar. As transferências de calor condutiva e
convectiva podem ser aproximadas por funções lineares da diferença de
temperatura, enquanto a por radiação é uma função altamente não linear da
diferença de temperatura. Assim sendo, nessa seção serão consideradas
apenas a condução e convecção.
Elementos de resistência térmica impedem (resistem) o fluxo de calor,
apesar da diferença de temperatura. Materiais de isolamento térmico podem
ser modelados como elementos de resistência. Para condução e convecção,
a taxa de transferência de calor q pode ser aproximada por uma função
linear da diferença de temperatura ΔT
na qual R é a resistência térmica (em K·s/J ou K/W). Outra forma de
expressar a Eq. (4.81) é ΔT = Rq, que é análoga a lei de Ohm para um
resistor elétrico (eR = RI), na qual o fluxo de calor q é análogo à corrente
elétrica I e a diferença de temperatura ΔT à queda de tensão eR. A Eq. (4.81)
faz sentido intuitivamente se forem considerados dois casos extremos.
Quando a resistência térmica é infinita, R → ∞ (isto é, isolamento perfeito),
a transferência de calor q → 0 independentemente da diferença de
temperatura ΔT entre os dois corpos. No outro extremo, quando R → 0 (isto
é, isolamento nulo), a transferência de calor q → ∞, implicando que o calor
é transferido instantaneamente entre os dois corpos.
A resistência térmica R para a condução é proporcional à espessura do
material (x) e inversamente proporcional à área normal ao fluxo de calor (A)
e ao coeficiente de condutividade térmica do material (k):
Por exemplo, o cobre possui um coeficiente de condutividade térmica k que
é da ordem de 18 vezes maior que o do aço inoxidável. Consequentemente,
o cobre é um excelente condutor de calor e um material isolante péssimo.
A resistência térmica R para convecção é inversamente proporcional à
área A e ao coeficiente de convecção H:
O coeficiente de convecção para a água é 50 a 100 vezes maior do que o
para o ar, e, portanto, o ar é um melhor isolante comparado com a água.
Capacitância Térmica
A capacitância térmica é uma medida da capacidade do corpo em
armazenar energia do calor devido à sua massa e propriedades térmicas. A
capacitância térmica C é o produto da massa do corpo m e seu calor
específico a pressão constante cp (com unidades J/kg·K)
1.
2.
3.
Assim sendo, a capacitância térmica possui unidades de energia armazenada
por temperatura, ou J/K. Por exemplo, 1 kg de água possui mais de quatro
vezes capacitância térmica do que 1 kg de ar.
Modelagem de Sistemas Térmicos
Modelos de sistemas térmicos são baseados na equação de balanço de
energia (4.80), na qual a taxa de energia armazenada pela capacitância
térmica é c = C , pois a capacitância possui unidades de J/K e a taxa no
tempo da temperatura de K/s. Substituindo a taxa no tempo da entalpia = 
cp na Eq. (4.80) obtém-se
na qual Tent e Tsai são as temperaturas do fluido escoando para dentro e fora
da capacitância térmica, respectivamente, e T é a temperatura uniforme da
capacitância térmica de parâmetros concentrados.
Modelos de sistemas térmicos podem ser desenvolvidos empregando os
seguintes passos:
Desenhe fronteiras do sistema térmico em torno de cada
capacitância térmica, identificando se o sistema é fechado ou
aberto.
Rotule os fluxos de calor de entrada e saída qi entre as
capacitâncias térmicas e suas vizinhanças.
Para sistemas abertos, rotule as taxa de entalpia por causa das
massas fluindo para dentro ou fora da capacitância térmica.
Aplique a equação de balanço de energia (4.85) para cada
capacitância térmica.
É importante notar que o modelo matemático resultante consistirá em uma
equação diferencial de primeira ordem para cada capacitância térmica, na
qual a variável dinâmica é a temperatura de cada capacitância. Ilustra-se o
procedimento de modelagem nos exemplos que seguem.
Exemplo 4.7
A Figura 4.18 mostra o interior de um quarto com um aquecedor de rodapé,
que pode ser modelado por um sistema térmico com uma capacitância
concentrada (por exemplo, veja a Referência 2). O ar no quarto possui
capacitância térmica total C e temperatura T e o aquecedor de rodapé
fornece um fluxo de calor de entrada qAR. As quatro paredes e as superfícies
do teto e chão são modeladas por seis diferentes resistências térmicas (Ri, i
= 1, 2, ..., 6) em razão dos diferentes materiais, dimensões e da existência
de uma janela ou porta em determinada superfície. Desenvolva o modelo do
sistema térmico.
Figura 4.18 Sistema térmico: interior de um quarto com aquecedor de rodapé (Exemplo
4.7).
A Figura 4.19 mostra a fronteira do sistema térmico e o fluxo de calor.
A fronteira do sistema é o volume retangular englobando as quatro paredes
e as superfícies do teto e do chão. Como o quarto retangular possui seis
superfícies (cada uma modelada por uma resistência térmica discreta) são
mostrados seis fluxos de calor qi, i = 1, 2, ..., 6 normais a cada superfície. O
calor de entrada do aquecedor é qAR. Como não existe massa atravessando a
fronteira do sistema, a equação de balanço de energia (4.85) será usada sem
os termos de taxa de entalpia
na qual o único fluxo de calor de entrada é claramente qAR e os fluxos de
calor de saída para as vizinhanças são qi, i = 1, 2, ..., 6. Cada um dos seis
fluxos de calor de saída podem ser expressos usando a Eq. (4.81) e as
diferenças de temperatura entre as correspondentes superfícies e suas
resistências térmicas Ri
nas quais Ta é a temperatura ambiente (exterior). Substituindo a Eq. (4.87)
para os seis fluxos de calor de saída na equação de balanço de energia
(4.86) obtém-se
Figura 4.19 Fronteira dos sistemas térmicos e os fluxos de calor (Exemplo 4.7).
A Eq. (4.88) é uma forma aceitável para o modelo do sistema térmico.
Entretanto, pode-se simplificar a Eq. (4.88) usando a seguinte notação
compacta
A Eq. (4.89) pode ainda ser simplificada como
na qual REQ é a resistência térmica equivalente (ou combinada) definida por
O leitor deve notar que a resistência térmica equivalente é definida da
mesma forma que a resistência elétrica equivalente para resistores em
paralelo. Finalmente, pode-se mover todos os termos envolvendo a variável
dinâmica T na Eq. (4.90) para o lado esquerdo e chegar à
A Eq. (4.92) é o modelo dinâmico do sistema térmico e é equivalente à Eq.
(4.88). A temperatura do quarto T é a variável dinâmica e o calor do
aquecedor qAR e a temperatura ambiente Ta são as duas entradas do sistema.
Exemplo 4.8
A Figura 4.20 mostra um diagrama esquemático de um trocador de calor de
duplo tubo, que é empregado para transferir calor de um fluido “quente”
escoando através do tubo para um fluido “frio” escoando entre a casca
externa e o tubo. Ambos os fluxos são constantes, e, portanto, as vazões de
massa de entrada e saída do tubo e da casca são 1 e 2, respectivamente.
Desenvolva o modelo matemático do trocador de calor.
O tubo mostrado na Figura 4.20 está dentro da casca. Um fluido
“quente” escoa através do tubo e um fluido “frio” (usualmente água) na
região anelar entre a casca externae as paredes do tubo (os dois fluidos não
se misturam). As temperaturas dos fluxos de entrada e saída do tubo e da
casca são Tent,1 e Tent,2, respectivamente. Assume-se que as temperaturas dos
fluxos de saída do tubo e da casca são iguais às das suas capacitâncias
concentradas, isso é, Tsai,1 = T1 e Tsai,2 = T2. Note que as paredes do tubo e da
casca possuem resistências térmicas R1 e R2, respectivamente.
A Figura 4.21 mostra as fronteiras das capacitâncias térmicas do
trocador de calor e os fluxos de calor. Note que são duas capacitâncias
térmicas C1 (fluido do tubo) e C2 (fluido da casca) e os fluxos do tubo para
o fluido da casca q1 e do fluido da casca para o ar ambiente externo q2.
Como o trocador de calor é um sistema aberto (isto é, massa é transferida
através das fronteiras do sistema), são incluídas as taxas de entalpia na
Figura 4.21 e na equação de balanço de energia (4.85):
Figura 4.20 Trocador de calor com duplo tubo (Exemplo 4.8).
Figura 4.21 Fronteiras térmicas do trocador de calor e os fluxos de calor (Exemplo 4.8).
Em seguida, usando a equação da resistência térmica (4.81) para definir os
fluxos de calor como q1 = (T1 – T2) / R1 (tubo para o fluido da casca) e q2 =
(T2 – Ta) / R2 (fluido da casca para o ambiente externo). Além disso,
substituindo a equação da taxa de entalpia = cpT nas Eqs. (4.93) e (4.94)
para cada fluxo de fluido chega-se à
Note que devem ser usados dois calores específicos distintos cp,1 e cp,2
porque o fluido do tubo é uma solução química e o da casca é água.
Finalmente, pode-se mover as variáveis dinâmicas (T1 e T2) para o lado
esquerdo das Eqs. (4.95) e (4.96) para obter
As Eqs. (4.97) e (4.98) constituem o modelo matemático do sistema
trocador de calor. Como são duas capacitâncias térmicas, o modelo
completo consiste em duas equações diferenciais de primeira ordem
acopladas. Se as taxas de fluxo de massa 1 e 2 são constantes, então o
modelo do sistema térmico é linear nas variáveis temperatura. As variáveis
dinâmicas são as temperaturas dos fluidos T1 e T2 e as entradas são as
temperaturas Tent,1 e Tent,2, as taxas de fluxo de massa 1 e 2, e a
temperatura ambiente Ta.
SUMÁRIO
Neste capítulo foi mostrado como modelar sistemas fluidos e térmicos.
Iniciou-se cada seção de modelagem com uma discussão sobre as
características físicas dos elementos resistência (isto é, resistências fluida e
térmica) e armazenadores de energia (isto é, capacitâncias fluida e térmica).
A energia fluida é armazenada por causa da pressão de cada capacitância
fluida concentrada, enquanto a energia térmica é armazenada como
resultado da temperatura de cada capacitância térmica concentrada. Os
sistemas hidráulicos envolvem líquidos como fluido de trabalho enquanto
os pneumáticos, gases (usualmente ar). Os modelos de sistemas fluidos são
desenvolvidos aplicando a conservação de massa em um VC, no qual a
pressão uniforme do fluido no interior do VC é a variável dinâmica de
interesse. Consequentemente, cada VC (ou capacitância fluida) em um
sistema fluido necessitará de uma EDO de primeira ordem com a pressão
como variável dinâmica. Os modelos de sistemas fluidos são normalmente
não lineares, pois o fluxo através de válvulas é uma função não linear da
pressão. Efeitos termodinâmicos e a interação entre pressão, massa
1.
2.
3.
4.
4.1.
específica, e temperatura são requeridos para modelar completamente os
sistemas pneumáticos, o que complica o procedimento de modelagem. Os
modelos de sistemas térmicos são desenvolvidos pela aplicação da
conservação de energia à uma fronteira térmica e considerando as taxas de
transferência de calor por meio da fronteira do sistema. Cada capacitância
térmica concentrada irá necessitar de uma EDO de primeira ordem com a
temperatura como variável dinâmica.
REFERÊNCIAS
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PROBLEMAS
Problemas Conceituais
Um tanque hidráulico possui a seguinte relação pressão-massa:
P = 1,013(10)5 + 3,6m N/m2
na qual a massa fluida m está em kg. O tanque armazena água
(massa específica ρ = 1000 kg/m3) e possui uma seção reta circular
constante de área A. Determine a capacitância fluida C do tanque.
4.2
4.3
a.
b.
Um engenheiro mede a altura h do nível de água e a vazão
volumétrica Q por meio de uma válvula que está drenando um
tanque hidráulico. A Tabela P4.2 resume as medidas.
Tabela P4.2
Altura do líquido (m) Vazão volumétrica de �uido (m3/s)
4,10 8,9689(10–4)
3,24 7,9730(10–4)
2,68 7,2513(10–4)
1,79 5,9262(10–4)
1,05 4,5388(10–4)
0,33 2,5445(10–4)
O fluxo através da válvula é laminar ou turbulento? Justifique sua
resposta.
Um sistema de dois tanques hidráulicos é mostrado na Figura. P4.3.
Assuma que o escoamento do fluido é laminar em ambas as
válvulas.
Desenvolva o modelo matemático completo do sistema com as
pressões de base nos tanques P1 e P2 como as variáveis
dinâmicas.
Desenvolva o modelo matemático completo do sistema com as
alturas dos tanques h1 e h2 com as variáveis dinâmicas.
4.4
Figura P4.3
A Figura P4.4 mostra um sistema hidráulico com dois tanques. A
bomba retira água de um reservatório (cárter) na pressão atmosférica
Patm e aumenta a pressão de uma quantidade constante ΔP = ρgH, na
qual H é a “pressão de altura de coluna de água” (pressure head).
Assuma que a pressão de coluna de água constante H é maior que a
altura vertical da parede do tanque 1. O fluxo através de todas as
válvulas é laminar. Desenvolva o modelo matemático completo com
as pressões nos tanques P1 e P2 como as variáveis dinâmicas e a
altura de coluna de água H como a variável de entrada.
Figura P4.4
4.5
a.
b.
4.6
A Figura P4.5 mostra uma bomba centrífuga que fornece uma vazão
volumétrica Qent para o tanque hidráulico. A bomba retira água do
reservatório (cárter) na pressão atmosférica e aumenta a pressão de
acordo com a equação
ΔP = aω2 Pa
na qual ω é a velocidade angular da bomba centrífuga em rotações
por minuto (rpm) e a é uma constante obtida a partir de dados
empíricos. O fluxo através da válvula de saída 2 é assumido como
laminar.
Assumindo que o fluxo através da válvula 1 é laminar (isto é, R1
= RL) desenvolva o modelo matemático com a pressão P com a
variável dinâmica e a velocidade da bomba ω como variável de
entrada.
Repita a parte (a) assumindo que o fluxo através da válvula 1 é
turbulento no qual R1 = RT.
Figura P4.5
A Figura P4.6 mostra um sistema pneumático que consiste em um
vaso rígido e um tubo de entrada com uma válvula que pode ser
conectada a dois tanques de abastecimento separados (ar ou
4.7
a.
b.
nitrogênio). Suponha que a resistência fluida através da válvula é
laminar e independente do tipo de gás. Ambos os tanques de
abastecimento possuem a mesma pressão constante, e o processo é
assumido como sendo isotérmico e em 40 oC nos dois casos. Se o
vaso rígido é independentemente pressurizado por cada um dos
tanques, os perfis de resposta das pressões correspondentes no vaso
serão idênticos ou diferentes? Justifique sua resposta.
Figura P4.6
A Figura P4.7 mostra um vaso rígido com uma vazão volumétrica
de entrada Qent. O fluido hidráulico possui um módulo de
compressibilidade β = 1,2(109) Pa. No instante mostrado, a pressão
na câmara é P = 1,8(106) Pa, a temperatura é T = 345 K, e a vazão
volumétrica é Qent = 2,4(10–6) m3/s.
Determine a capacitância fluida C do sistema hidráulico.
Determine a taxa de variação no tempo da pressão dP/dt nesse
instante.
4.8
4.9
Figura P4.7
Repita o Problema 4.7 se o mesmo vaso rígido é usadopara um
sistema pneumático com ar como o fluido de trabalho. Assuma que
a vazão de massa de entrada went = 0,0035 kg/s, a temperatura T =
298 K, a pressão na câmara é P = 2,5(105) Pa e o processo é
isotérmico.
Um acumulador hidráulico com mola é mostrado na Figura P4.9. O
fluido hidráulico escoa para o acumulador com uma vazão
volumétrica Qent. O “lado da mola” do acumulador possui pressão
atmosférica constante Patm. Desenvolva uma expressão para a
capacitância total C do acumulador hidráulico. [Sugestão: o objetivo
é encontrar uma expressão na forma C = Qent. Inicie com a equação
básica da taxa de pressão para o VC, Eq. (4.40), e substitua por
uma equação em termos de , notando que uma variação diferencial
na pressão é equilibrada por um deslocamento diferencial do pistão
ou da placa de área A. Essa análise despreza o atrito e a inércia do
pistão do acumulador.]
4.10
Figura P4.9
Um acumulador pneumático com mola é mostrado na Figura P4.10.
O ar escoa para o acumulador com uma vazão de massa went. O
“lado da mola” do acumulador possui pressão atmosférica constante
Patm. Desenvolva uma expressão para a capacitância total C do
acumulador pneumático. [Sugestão: o objetivo é encontrar uma
expressão na forma C = went. Inicie com a equação básica da taxa
de pressão para o VC, Eq. (4.74), e substitua por uma equação em
termos de , notando que uma variação diferencial na pressão é
equilibrada por um deslocamento diferencial do pistão ou da placa
de área A. Essa análise despreza o atrito e a inércia do pistão do
acumulador.]
Figura P4.10
4.11
4.12
4.13
Aplicações de Engenharia
A Figura P4.11 mostra um fluxo laminar através de uma tubulação.
A equação de Darcy relaciona a queda de pressão para um líquido
escoando em um tubo (com fluxo laminar ou turbulento):
na qual f é o fator de atrito adimensional de Darcy. Para o fluxo
laminar, o fator de atrito é uma função simples do número de
Reynolds, Re: f = 64/Re. Pesquise na literatura de engenharia para
determinar uma expressão para o número de Reynolds e mostrar que
para o fluxo laminar a equação de Darcy é equivalente à lei de
Hagen-Poiseuille para a resistência ao fluxo laminar, Eq. (4.3).
Figura P4.11
Um tubo de aço está transportando água (massa específica ρ = 1000
kg/m3). O comprimento do tubo é 2 m e seu diâmetro é 4 cm. O
fluxo é turbulento e o diagrama de Moody é usado para obter o fator
de atrito de Darcy, que possui valor f = 0,038. Use a equação de
Darcy no Problema 4.11 para determinar o coeficiente de resistência
ao fluxo turbulento para esse tubo (incluindo as unidades).
Um engenheiro deseja modelar a vazão de água (massa específica r
= 1000 kg/m3) em baixa velocidade por meio de um tubo com
determinado comprimento. Após conduzir experimentos e medir a
4.14
a.
b.
4.15
vazão volumétrica e a queda de pressão no tubo, os dados são
tabulados, como mostrado na Tabela P4.13:
Tabela P4.13
Experimento Queda de Pressão (Pa)
Vazão volumétrica de �uido
(m3/s)
1 7,2 6(10–5)
2 16,8 1,4(10–4)
3 25,2 2,1(10–4)
Determine o coeficiente de resistência ao fluxo laminar RL para o
tubo.
Um fabricante de válvulas fornece a seguinte equação relacionando
a queda de pressão (em N/m2 ou Pa) e a vazão volumétrica (em
m3/s) quando a válvula está completamente aberta:
ΔP = 2,1646(1011)Q2 N/m2
Se a massa específica do óleo hidráulico é ρ = 864 kg/m3 e o
coeficiente de descarga é Cd = 0,62, determine a área A0 quando
a válvula está totalmente aberta.
Usando o MATLAB, represente graficamente a vazão Q versus a
queda de pressão ΔP para os três casos: (1) uma válvula
totalmente aberta, (2) a válvula meio aberta, e (3) a válvula um
quarto aberta. Coloque todos os três gráficos em uma mesma
figura e faça a queda de pressão na faixa de 0 a 1,4 MPa.
Um amortecedor hidráulico ou um dispositivo de dissipação é
mostrado na Figura P4.15. O cilindro está rigidamente fixado e a
a.
b.
haste e o pistão possuem massa m. O deslocamento do pistão x é
medido a partir da posição central do cilindro, e V0 é o seu volume
quando x = 0 (isto é, V1 = V2 = V0 se x = 0). Vários orifícios com
área total A0 permitem o fluido hidráulico escoar entre as câmaras 1
e 2. O atrito entre o pistão e o cilindro é assumido como sendo linear
e é modelado por um coeficiente de atrito viscoso b. Desenvolva o
modelo matemático completo do dispositivo de amortecimento para
os dois casos:
O fluido é suposto como incompressível, e, portanto, a vazão
entrando/saindo da câmara é sempre igual à taxa no tempo do
volume ou Q = A . [Sugestão: a pressão diferencial entre as
câmaras é uma função da velocidade .]
O fluido é suposto como compressível, e, portanto, não se pode
assumir que Q = A sempre ocorra. As equações da taxa no
tempo da pressão devem ser incluídas no modelo.
Ambos os modelos devem ser válidos para velocidades positivas e
negativas.
Figura P4.15
4.16
4.17
Repita o Problema 4.15 se o dispositivo é um amortecedor
pneumático que usa ar em vez de líquido. Considere apenas o caso
compressível [parte (b)], que é o único cenário realista.
A Figura P4.17 mostra um servomecanismo hidráulico pistão-
cilindro de dupla ação. Um deslocamento positivo z > 0 da válvula
carretel conecta a fonte de alta pressão PF com a câmara 1 esquerda
do cilindro e a câmara 2 é conectada com o dreno de baixa pressão
Pr. Consequentemente, para z > 0, a vazão volumétrica Q1 entra para
a câmara 1 e a vazão Q2 sai da câmara 2 para o dreno. Quando z < 0
o fluxo é invertido. A área do orifício da válvula gaveta é A0 = | z | h,
na qual h é a altura da abertura da válvula. A posição do pistão x é
medida a partir do lado esquerdo e, portanto, o volume da câmara 1
é V1 = A1 x e o volume da câmara 2 é V2 = A2 (L – x), na qual L é o
comprimento total do curso do pistão. Desenvolva o modelo
matemático completo do sistema hidromecânico.
4.18
a.
Figura P4.17
A Figura P4.18 mostra um forno com pressão P, volume fixo V = 25
m3, e temperatura T. A pressão ambiente é Patm = 1,013(105) Pa.
Figura P4.18
Desenvolva o modelo matemático do sistema pneumático com
fluxo compressível para as condições atmosféricas por meio da
válvula com orifício de pequena dimensão.
b.
c.
4.19
No instante em que a válvula é aberta, o sistema possui as
seguintes características: temperatura da câmara T = 373 K,
pressão na câmara P = 9(105) Pa, coeficiente de descarga da
válvula Cd = 0,8, e área da válvula A0 = 5(10–4) m2. Assuma um
processo de expansão isotérmica no qual a razão de calor
específico para o gás de cozinha é 1,41 e sua constante de gás é
R = 300 N·m/kg·K. Determine a capacitância pneumática C e a
vazão de massa inicial w através da válvula. A vazão de massa
inicial é limitada ou ilimitada?
Eventualmente, a pressão interior do forno P atingirá a pressão
atmosférica e a vazão de massa chegará a zero. Use o MATLAB
para representar graficamente a vazão da massa w como uma
função da pressão do forno P.
Uma “mola de ar” é mostrada na Figura P4.19. A coluna de ar no
volume V0 e pressão P0 nominais suporta a massa do pistão em
equilíbrio estático. O deslocamento do pistão (x) é medido como
positivo para baixo a partir da posição de equilíbrio estático.
Desenvolva uma equação para a “constante de mola de ar”
equivalente kar (N/m), assumindo que a força de reação pneumática
gerada pelo ar comprimido é F = kar x. [Sugestão: aplique um
deslocamento positivo diferencial dx e assuma que o gás sofra uma
expansão politrópica quando é comprimido.]
4.20
Figura P4.19
A Figura P4.20 mostra o sistema de atuação eletropneumática de
uma embreagem para caminhões pesados [3]. Uma unidade
eletrônica de controle (não mostrada) envia um sinal para abrir
completamente a válvula da fonte ou a de exaustão. Quando a
válvula da fonte está aberta, o ar em alta pressão do tanque fonte
escoa através da válvula para a câmara do cilindro. Quando a
válvula de exaustão é aberta, o ar escoa da câmara do cilindro para o
ambiente. As duas válvulas não podem ser abertas ao mesmo tempo.
A pressão constante da fonte é PF e a pressão ambiente é Patm.A área
do orifício completamente aberto para ambas as válvulas é A0. Para
a operação normal, a pressão da fonte é muito maior que a pressão
da câmara P que, por sua vez, é significativamente maior que a
pressão atmosférica Patm. Assim, pode-se assumir que os fluxos nas
válvulas da fonte e da exaustão são sempre limitados. A força FC é a
reação causada pelo deslocamento da mola de compressão da
embreagem quando suas placas são acionadas. O volume da câmara
é V = V0 + A1 x, na qual V0 é o volume quando o deslocamento do
pistão é zero. Desenvolva o modelo matemático completo do
sistema eletropneumático.
Figura P4.20
4.21
a.
b.
c.
4.22
A Figura P4.21 mostra uma visão em seção reta de um volume
retangular de ar que está contido em cinco lados por um isolante
perfeito (transferência de calor nula). No sexto lado (direito) há uma
placa quadrada de papel cartão com espessura de 0,015 m. As
dimensões do volume de ar são 0,5 m de comprimento, 0,2 m de
altura, e 0,2 m de largura. O ar está inicialmente em 35 oC e a
temperatura ambiente é Ta = 25 oC. Pesquise na literatura de
engenharia as constantes físicas apropriadas requeridas para esse
problema e responda as seguintes questões:
Desenvolva o modelo matemático do sistema térmico.
Determine a taxa de transferência de calor inicial q(0) para o
ambiente.
Determine a taxa no tempo inicial da temperatura do ar interno
Figura P4.21
Um forno é construído como um cubo: quatro paredes verticais e
duas superfícies horizontais (topo e fundo). Todas as superfícies
possuem áreas iguais. O forno é modelado como um sistema térmico
simples com uma capacitância térmica C (a câmara interior) e as
quatro paredes verticais e a superfície do topo cada uma possui
resistência térmica R. Assuma que a superfície do fundo (o “chão”
4.23
4.24
do forno) é um isolador perfeito. Um dispositivo aquecedor fornece
um fluxo de calor qent para o interior do forno. Desenvolva o modelo
matemático do forno e defina todas as variáveis dinâmicas e de
entrada.
A Figura P4.23 mostra uma garrafa térmica de café como um
simples sistema térmico de parâmetros concentrados. A resistência
térmica total da garrafa é R. Desenvolva o modelo matemático desse
sistema térmico.
Figura P4.23
Um sistema térmico simples consistindo em duas capacitâncias
térmicas C1 e C2 é mostrado na Figura P4.24. As resistências
térmicas R1 separam as duas capacitâncias do ambiente e a
resistência térmica R2 está entre elas. Um dispositivo aquecedor
fornece o fluxo de calor de entrada qent para a câmara térmica 1. As
fronteiras superior e inferior do sistema possuem isolamento
perfeito (resistência térmica infinita). Desenvolva o modelo
matemático completo e identifique todas as variáveis dinâmicas e de
entrada.
4.25
Figura P4.24
A Figura P4.25 mostra um sistema térmico no qual o fluido de
entrada que escoa para a câmara, é misturado e aquecido, e depois
sai da câmara. As vazões de massa de entrada e saída são iguais, isto
é, went = wsai = w. A temperatura da vazão de entrada é Tent e a da
vazão de saída é a mesma da câmara (T). O aquecedor fornece o
calor de entrada qent. A câmara é coberta por um material isolante
com resistência térmica R. Desenvolva o modelo matemático
completo do sistema e identifique todas as variáveis dinâmica e de
entrada.
4.26
Figura P4.25
Um modelo simplificado de um trocador de calor é mostrado na
Figura P4.26 [4]. O vapor entra na câmara com temperatura Tent,1 e
vazão de massa went,1 e sai com Tsai,1 = T1 e wsai,1 = went,1 = w1. A
temperatura do vapor na câmara é T1, que é igual à temperatura do
vapor na saída. A água fria que escoa através dos tubos de cobre
entra na câmara com temperatura Tent,2 e vazão de massa went,2. A
temperatura da água dentro da câmara é T2, que é igual à
temperatura da água quente na saída. O calor é transferido do vapor
para a água através dos tubos de cobre, que possuem resistência
térmica R2, e a água quente sai da câmara com a mesma vazão de
massa da água fria que entra. O isolamento térmico R1 envolve o
trocador de calor e fornece uma barreira térmica em relação à
temperatura ambiente Ta. Desenvolva o modelo matemático
completo do sistema térmico.
Figura P4.26
5.1 INTRODUÇÃO
Os Capítulos 2-4 trataram do desenvolvimento de modelos matemáticos
para os sistemas mecânicos, elétricos, eletromecânicos, fluidos e térmicos.
Em cada caso, a representação matemática completa consiste em um
conjunto de equações diferenciais de primeira ordem (como a de um
circuito elétrico com um único indutor) e/ou de segunda ordem (como a de
um sistema mecânico com um único elemento inércia). Quando os
elementos são interconectados para formar um sistema com múltiplas
variáveis dinâmicas, o modelo completo consiste em um conjunto de
equações diferenciais ordinárias (EDOs) acopladas.
Neste capítulo serão apresentadas as formas-padrão para representar o
modelo matemático completo. O objetivo é usar o conjunto de equações
diferenciais (isto é, aquelas que modelam completamente o sistema) e
reescrevê-las em uma forma conveniente para analisar a resposta dinâmica
do sistema, o que pode envolver métodos analíticos ou numéricos como o
MATLAB e o Simulink; em cada caso, o modelo deve ser representado por
uma forma-padrão adequada. O leitor deve lembrar que o ponto de partida
para a análise de um sistema é sempre o desenvolvimento das equações que
o modelam matematicamente a partir das leis fundamentais (tais como a
segunda lei de Newton e as leis de Kirchhoff), e os modelos-padrão são
simplesmente representações dessas equações.
5.2 EQUAÇÕES EM VARIÁVEIS DE ESTADO
Um método-padrão para representar um sistema é usar as variáveis de
estado, que são um conjunto de variáveis dinâmicas que definem
completamente todas as suas características. As variáveis de estado são
normalmente as variáveis físicas do sistema, como os deslocamentos e
velocidades nos mecânicos, correntes e tensões para os elétricos, pressão e
vazão nos fluidos, temperatura nos térmicos, e podem, portanto, ser usadas
para determinar a energia armazenada no sistema. O estado de um sistema é
o conjunto mínimo de variáveis dinâmicas que podem definir
completamente todas as suas características. Assim sendo, as variáveis de
estado são as variáveis dinâmicas que descrevem o estado do sistema. Por
exemplo, tipicamente escolhe-se a posição z e a velocidade como
variáveis de estado de um sistema mecânico de uma única massa, logo (z, )
é o estado do sistema. A energia potencial (ou cinética) não pode ser
selecionada como uma variável de estado adicional porque é determinada a
partir da variável de estado posição (ou velocidade). Qualquer característica
do sistema, tal como energia ou quantidade de movimento, pode ser
determinada a partir do conhecimento das variáveis de estado.
A convenção-padrão é utilizar x1, x2, ..., xn como as variáveis de estado e
u1, u2, ..., ur como as variáveis de entrada (ou controle). O inteiro n é o
número total de variáveis de estado, ou a ordem do sistema, e o inteiro r é o
número total de variáveis de entrada. As equações em variáveis de estado
são um conjunto de n equações diferenciais derivadas de primeira ordem de
cada variável de estado
As funções do lado direito f1, f2, ..., fn podem ser lineares ou não lineares, e
depender apenas das variáveis de estado xi ou das entradas uj. Se todas as
funções fi são lineares, então as equações em variáveis de estado (5.1)
podem ser escritas em um formato conveniente matriz-vetor denominado
representação no espaço de estado (REE), a ser descrito na Seção 5.3. Se
apenas uma única função fi é não linear, tem-se duas opções: (1) usar um
método de integração numérica (como o Runge-Kutta) para obter a resposta
do sistema, ou (2) desenvolver uma aproximação linear (a ser tratado na
Seção 5.4), o que pode levar a uma REE. Em qualquer caso, desenvolver as
equações em variáveis de estado é o primeiro passo, como será mostrado
nos três exemplos a seguir.
Exemplo 5.1
Determine as equações em variáveis de estado para o sistema modelado
pelasseguintes EDOs, nas quais z e w são as variáveis dinâmicas e v é a
entrada
O primeiro passo é determinar a ordem do sistema. A Equação (5.2) é
uma EDO de segunda ordem não linear nas variáveis dinâmicas z e w,
enquanto a Eq. (5.3) é uma EDO de primeira ordem não linear em z e w e
na variável de entrada v. Assim sendo, o sistema completo é de terceira
ordem e são necessárias três variáveis de estado, definidas como x1 = z, x2 = 
 e x3 = w, e uma única entrada u = v. Em seguida, são escritas as três
derivadas de primeira ordem no tempo das variáveis de estado
Note que a EDO de segunda ordem (5.2) foi substituída por , e a de
primeira ordem (5.3) por . Como deseja-se que todo o lado direito da Eq.
(5.4) seja função dos estados xi e da entrada u, são substituídos x1 = z, x2 = ,
x3 = w e u = v para encontrar
As Equações (5.5) são as equações em variáveis de estado do sistema
descrito pelas Eqs. (5.2) e (5.3). Todas as três equações do lado direito são
funções dos estados xi e da entrada u, e duas das três são não lineares, em
razão dos termos –0,1x2x3 (segunda equação de estado) e –0,025x33 (terceira
equação de estado). O leitor deve notar que a atribuição de variáveis de
estado é arbitrária; por exemplo, poderia-se trocar a definição dos estados x1
e x3 e usar x1 = w e x3 = z.
Exemplo 5.2
Considere o sistema mecânico simples com uma única massa mostrado na
Figura 5.1, no qual estão envolvidos também elementos rigidez e
amortecedor. Determine as equações em variáveis de estado.
A posição da massa é denominada por z, que é medida a partir do
equilíbrio estático quando a força aplicada Fa(t) = 0. A rigidez é modelada
por uma mola não linear, que exibe a seguinte relação força-deslocamento:
A força de amortecimento é assumida como uma função linear do
coeficiente de atrito viscos b e da velocidade. A força aplicada Fa(t) é a
entrada do sistema.
Inicia-se com o modelo matemático, que é desenvolvido usando o
diagrama de corpo livre e os métodos apresentados no Capítulo 2. A
equação de modelagem é idêntica à do sistema massa-mola-amortecedor no
Exemplo 2.1, exceto que força da mola não linear (5.6) deve ser usada:
A Equação (5.7) é uma EDO de segunda ordem (não linear). Como n = 2,
isso requer duas variáveis de estado, e são selecionadas a posição z e a
velocidade , pois o conhecimento dessas duas variáveis permitirá
determinar a energia total (potencial + cinética) do sistema. A força
aplicada é a única entrada. Assim sendo, utilizando a convenção na qual xi
são as variáveis de estado e uj são as de entrada, tem-se x1 = z, x2 = e u =
Fa(t).
Uma vez definidas as variáveis de estado, deve-se simplesmente
escrever as equações diferenciais de primeira ordem a partir das derivadas
no tempo de cada uma delas, ou seja
Note que o modelo matemático (5.7) foi resolvido para a aceleração e
substituído na segunda equação em variáveis de estado (5.9). A convenção-
padrão para equações em variáveis de estado representada pela Eq. (5.1)
mostra que as funções do lado direito devem envolver apenas os estados xi e
as entradas uj. Assim sendo, são substituídos x1 = z, x2 = e u = Fa(t) nas
Eqs. (5.8) e (5.9) para gerar a forma final
A primeira equação de estado (5.10) é linear, mas a segunda (5.11) é não
linear por causa do termo envolvendo x31. O leitor deve notar que os índices
poderiam ser invertidos e selecionados x1 = e x2 = z como as variáveis de
estado, e nesse caso as Eqs. (5.10) e (5.11) também deveriam ser invertidas.
Entretanto, a prática usual é definir a variável de estado sucessiva como a
derivada no tempo da precedente.
Figura 5.1 Sistema mecânico para o Exemplo 5.2.
Exemplo 5.3
A Figura 5.2 mostra o sistema atuador solenoide-válvula descrito nos
Capítulos 2 e 3. Obtenha um conjunto de equações em variáveis de estado
para esse sistema.
O atuador solenoide consiste no circuito do enrolamento e a massa da
válvula restrita pela mola de retorno. Quando uma tensão é aplicada ao
circuito da armadura, uma força eletromagnética é produzida, o que
empurra a válvula para controlar o fluxo hidráulico. Lembre-se de que no
Capítulo 3 foi mostrado que a indutância L(z) do enrolamento do solenoide
é uma função não linear do deslocamento da armadura z. Foi também
mostrado que a força eletromagnética Fem é uma função não linear da
corrente I e da posição z, ou Fem = 0,5KI2, na qual K = dL/dz. Além disso, o
movimento do núcleo do pistão no enrolamento produz uma tensão
“contrafem” KIż, uma função não linear da corrente, velocidade e posição.
De modo a simplificar, são assumidos valores nominais (constantes) para a
indutância L e seu gradiente K = dL/dz; além disso, consideram-se para o
sistema mecânico atrito linear e força de pré-carga nula na mola. Assim
sendo, o modelo matemático completo para o atuador solenoide é
A Equação (5.12) é uma EDO de primeira ordem não linear, e a Eq. (5.13) é
uma EDO de segunda ordem não linear. Sendo n = 3, o sistema completo
requer três variáveis de estado, para as quais foram selecionadas a corrente
I, a posição z e a velocidade da armadura, e a única variável de entrada é a
tensão aplicada eent(t). Portanto, tem-se x1 = I, x2 = z, x3 = e u = eent(t).
Uma vez definidas as variáveis de estado, são escritas as n equações
diferenciais de primeira ordem a partir da derivada no tempo de cada uma
delas
Figura 5.2 Sistema atuador solenoide-válvula para o Exemplo 5.3.
Note que foram substituídas as equações do modelo matemático (5.12) e
(5.13) por e , respectivamente. Finalmente, são substituídos x1 = I, x2 = z,
x3 = e u = eent(t) nas três equações diferenciais de primeira ordem para
encontrar
As Equações (5.17), (5.18) e (5.19) são as equações em variáveis de estado
para o atuador solenoide. O leitor deve notar que cada equação do lado
direito envolve apenas os estados xi e a entrada u.
5.3 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADO
Se as equações que modelam matematicamente um sistema são lineares,
então a representação em variáveis de estado (5.1) será composta por EDOs
de primeira ordem lineares. Nesse caso, pode-se escrever o modelo em um
formato matriz-vetor conveniente denominado representação no espaço de
estado (REE), que é muito adequada para implementação em simulações
computacionais numéricas usando o MATLAB ou o Simulink como
discutido no Capítulo 6.
Algumas definições são necessárias antes da REE ser apresentada.
Lembre-se de que um sistema de na. ordem requer n variáveis de estado x1,
x2, ..., xn. Define-se o vetor de estado x como o vetor coluna n × 1 composto
pelas variáveis de estado xi
Deve-se notar que o vetor de estado não representa um vetor físico (como
as três componentes do vetor força em mecânica), mas uma coleção
conveniente de todas as n variáveis de estado. O espaço de estado é
definido como o “espaço geométrico” n-dimensional que contém o vetor de
estado x.
Uma REE completa inclui duas equações no formato matriz-vetor: a
equação de estado e a equação de saída. As variáveis de saída
denominadas y1, y2, ..., ym, são funções das variáveis de estado e de entrada:
As equações de saída (5.20) podem ser lineares ou não lineares; entretanto
devem ser lineares de modo a empregar a REE matriz-vetor. As variáveis de
saída normalmente representam as medidas de sensores da resposta de um
sistema. Por exemplo, se um sistema mecânico rotacional de 1 GL possui
variáveis de estado x1 = posição angular e x2 = velocidade angular e um
tacômetro está medindo velocidade angular, a única equação de saída é y =
x2.
Por exemplo, se o sistema é linear invariante no tempo (LIT) e de
terceira ordem (n = 3) com duas entradas (r = 2), então as equações em
variáveis de estado terão a forma geral:
Note que as primeiras derivadas no tempo dos estados são combinações
lineares de todos os três estados (x1, x2, x3) e de ambas as entradas (u1, u2).
Nesse caso no qual n = 3 e r = 2, existirão um total n2 = 9 coeficientes aij e n
× r = 6 coeficientes bij. Se o sistema possui dois sensores que produzem
medidas (m = 2) que são funções lineares dos estados e das entradas,as
equações de saída terão a forma geral:
Nesse caso no qual n = 3, r = 2 e m = 2, existirá um total de m × n = 6
coeficientes cij e m × r = 4 coeficientes dij. Para sistemas invariantes no
tempo, todos os coeficientes a, b, c e d são constantes.
Para um sistema genérico LIT, de na. ordem, com r entradas e m saídas,
as equações de estado terão a forma
e as equações de saída terão a forma
Como as equações em variáveis de estado e de saída são combinações
lineares dos estados e das entradas, pode-se organizar ambos os conjuntos
de equações em um formato compacto matriz-vetor. Para iniciar, serão
organizadas as r variáveis de entrada em um vetor u e as m variáveis de
saída no vetor y, da mesma maneira que a definição do vetor de estado x:
Assim sendo, todos os três vetores x, u e y são vetores coluna. Deve-se
notar que a primeira derivada no tempo do vetor de estado é também um
vetor n × 1:
Pode-se organizar os coeficientes a, b, c e d das equações de estado e de
saída em quatro matrizes:
A matriz n × n (quadrada) A é a matriz de estado ou do sistema; a matriz n
× r B é a matriz de entrada; a matriz m × n C é a matriz de saída; e a matriz
m × r D é a matriz de ligação direta. Finalmente, deve-se usar as definições
dessas matrizes e vetores para representar de forma compacta as equações
de estado e de saída
A Equação (5.21) é a equação de estado, e a Eq. (5.22) é a equação de
saída e juntas consistem na REE completa. O leitor deve notar que a
equação de estado (5.21) representa a dinâmica do sistema; isto é, os
coeficientes lineares das equações diferenciais que contêm o modelo
matemático estão combinados nas matrizes A e B. A equação de saída
(5.22) é um mapeamento algébrico linear das variáveis de estado e de
entrada com as saídas ou medidas.
Uma observação final está relacionada com a multiplicação matriz-
vetor. Todos os termos do lado direito nas equações de estado e saída
envolvem uma matriz multiplicada por um vetor coluna, e ambos os termos
do lado esquerdo são vetores coluna. Quando uma matriz e um vetor são
multiplicados, o número de colunas da matriz deve ser igual ao número de
linhas do vetor coluna. Por exemplo, considere um caso com quatro estados
(n = 4) e duas entradas (r = 2). As dimensões das matrizes e vetores da
equação de estado nesse caso são
Aqui, nota-se que a matriz de estado A deve ter quatro colunas de modo a
multiplicar com o vetor de estado x 4 × 1, e a matriz de entrada B deve
possuir duas colunas para multiplicar com o vetor de entrada u 2 × 1. Como
o lado esquerdo é a primeira derivada do vetor de estado x 4 × 1, ambas as
matrizes A e B devem ter quatro linhas. O leitor deve verificar que uma
única equação de estado pode ser escrita simplesmente usando os
coeficientes da linha apropriada das matrizes A e B. Por exemplo, a terceira
equação de estado é
que emprega os coeficientes das terceiras linhas das matrizes A e B.
Argumentos similares podem ser aplicados à multiplicação matriz-vetor
para as equações de saída.
Uma REE não altera a dinâmica do sistema; é simplesmente uma forma
compacta matriz-vetor para representar o modelo matemático (as EDOs) e
as variáveis de saída desejadas. Como estabelecido previamente, essa forma
compacta é muito adequada para representação de sistemas complexos com
múltiplas entradas e saídas em um ambiente de simulação computacional
como o MATLAB e Simulink. Deve ser reforçado que uma REE só pode
ser obtida se as equações do modelo matemático são lineares. Os exemplos
a seguir ilustram como desenvolver uma REE completa.
Exemplo 5.4
Dadas as equações em variáveis de estado de um sistema de terceira ordem,
obtenha as matrizes da REE se as duas variáveis de saída são y1 = x1 e y2 =
x2 – x3.
As equações e matrizes da REE completa podem ser desenvolvidas apenas
se o sistema é linear, e verifica-se que as três equações em variáveis de
estado (5.23) são de fato combinações lineares dos estados xi e das entradas
uj. Desenvolve-se primeiro a equação de estado, cujo formato geral é dado
pela Eq. (5.21). Nesse caso, o vetor de estado x é 3 × 1 e o vetor de entrada
u é 2 × 1 (note que a Eq. (5.23) inclui duas entradas u1 e u2). As linhas das
matrizes de estado A e de entrada B contêm os coeficientes das três
respectivas equações em variáveis de estado de acordo com
O leitor deve ser capaz de realizar a multiplicação matriz-vetor na Eq.
(5.24) e reproduzir as três equações individuais em Eq. (5.23).
O sistema possui duas variáveis de saída, y1 = x1 e y2 = x2 – x3. Assim
sendo, o vetor de saída y é 2 × 1. A equação (5.22) apresenta o formato
geral da equação de saída, o qual fica
Novamente, o leitor deve ser capaz de realizar a multiplicação matriz-vetor
na Eq. (5.25) e reproduzir as variáveis de saída desejadas, y1 = x1 e y2 = x2 –
x3. A REE completa é
na qual as matrizes de estado e entrada são
e as matrizes de saída e ligação direta são
Resumindo, tem-se um sistema de terceira ordem (n = 3) com duas
entradas e duas saídas. Assim sendo, a matriz de estado A é 3 × 3, a matriz
de entrada B é 3 × 2, a matriz de saída C é 2 × 3, e a matriz de ligação
direta D é uma 2 × 2 nula, que mesmo contendo todos os coeficientes zero
deve ser definida de modo a realizar as simulações numéricas com o
MATLAB e o Simulink, como será visto no Capítulo 6.
Exemplo 5.5
Considere novamente o sistema mecânico simples com uma única massa
mostrado na Figura 5.1 que foi descrito no Exemplo 5.2. Obtenha a REE
completa se a rigidez é modelada por um elemento mola ideal (linear). Um
único sensor mede o deslocamento de translação da massa.
É possível desenvolver a REE apenas se as equações de estado e saída
são lineares. Assim sendo, será assumida uma força linear na mola com k1 =
k (constante de mola linear) e k3 = 0. Lembre-se de que as variáveis de
estado são x1 = z (posição) e x2 = (velocidade), e a variável de entrada é u =
Fa(t) (força aplicada). O vetor de estado possui dois elementos
As equações lineares em variáveis de estado são
Inicialmente, será construída a equação matriz-vetor de estado. As
primeiras linhas das matrizes A e B envolverão os coeficientes associados à
primeira equação em variáveis de estado (5.26), 1 = 2, e, portanto, a
primeira linha de Aé formada pelo zero na primeira coluna (que multiplica
x1) e um na segunda coluna (que multiplica x2), e a de B pelo coeficiente
zero uma vez que a primeira equação não inclui a entrada u. As segundas
linhas de A e B envolverão os coeficientes da segunda equação em
variáveis de estado (5.27). Então a equação de estado tem a forma
O leitor deve ser capaz de realizar a multiplicação matriz-vetor na Eq.
(5.28) e chegar às duas equações em variáveis de estado (5.26) e (5.27).
Em geral, a equação de saída depende de quais variáveis são medidas ou
definidas como sendo as saídas do sistema. Nesse caso, um único sensor
mede a posição da translação da massa. Assim sendo, a saída é y = z = x1, e
a equação de saída na forma matriz-vetor para esse problema é
A REE completa é
na qual as matrizes de estado e entrada são
e as matrizes de saída e ligação direta são
C = [1 0] D = 0
Em resumo, tem-se um sistema de segunda ordem (n = 2) com uma entrada
e uma saída. Então, a matriz de estado A é 2 × 2, a matriz de entrada B é 2
× 1 (um vetor coluna), a matriz de saída C é 1 × 2 (um vetor linha), e a
matriz de ligação direta é um escalar (zero nesse caso).
Exemplo 5.6
Obtenha a REE completa para o sistema eletromecânico motor CC que foi
apresentado no Capítulo 3. São usados um tacômetro para medir a
velocidade angular do motor ( ) e um amperímetro para a corrente no
circuito da armadura (I).
O modelo matemático do motor CC foi desenvolvido no Capítulo 3, e
suas equações repetidas a seguir
As Equações (5.30) e (5.31) são EDOs lineares de primeira e segunda
ordem, respectivamente. Consequentemente, n = 3 e o sistema requer três
variáveis de estado, as quais foram selecionadas como a corrente I, o
deslocamento angular θ e a velocidade angular ω. A tensão aplicada na
armadura eent(t) e otorque carga TC são as duas entradas do sistema. Assim
sendo, tem-se os estados x1 = I, x2 = θ, x3 = e as entradas u1 = eent(t), u2 =
TC.
Em seguida, são escritas as três equações de estado de primeira ordem a
partir da derivada no tempo de cada variável de estado e substituídas a Eq.
(5.30) para derivada da corrente I e a Eq. (5.31) para a da velocidade
angular 
Os estados x1 = I, x2 = θ, x3 = e as entradas u1 = eent(t), u2 = TC são
substituídos nas três equações diferenciais de primeira ordem para chegar à
Finalmente, as Eqs. (5.35)–(5.37) são colocadas na forma matriz-vetor-
padrão para construir as equações de estado, nas quais as linhas das
matrizes A e B envolverão os coeficientes associados a cada equação em
variáveis de estado, ou seja
O leitor deve ser capaz de multiplicar cada linha das matrizes de estado A e
de entradas B pelos vetores coluna x e u, respectivamente, e reproduzir as
três equações de estado (5.35)–(5.37).
O sistema possui duas medidas, velocidade angular e corrente, e,
portanto, as variáveis de saída são y1 = e y2 = I, e ambas são variáveis de
estado: y1 = = x3 e y2 = I = x1. Portanto, a equação de saída é
A REE completa é
na qual as matrizes de estado e de entrada são
e as matrizes de saída e ligação direta são
Em resumo, tem-se um sistema de terceira ordem (n = 3) com duas
entradas e duas saídas. Consequentemente, a matriz de estado A é 3 × 3, a
matriz de entrada B é 3 × 2, a matriz de saída C é 2 × 3, a matriz de ligação
direta D é 2 × 2 nula.
Exemplo 5.7
Note que a REE do motor CC no Exemplo 5.6 não depende do
deslocamento angular do rotor (θ). Assim, essa variável de estado pode ser
eliminada. Obtenha uma REE “de ordem reduzida” do motor CC em termos
das duas variáveis de estado: corrente I e velocidade angular . As duas
saídas (medidas) são as próprias variáveis de estado.
No Exemplo 5.6, a segunda variável de estado (x2 = θ) não aparece nas
equações de estado (5.32)–(5.34), e não é uma variável de saída. Uma
maneira de reorganizar a falta de dependência do sistema em relação ao
deslocamento angular θ pode ser obtida notando os três zeros na segunda
coluna da matriz de estado A e os dois zeros na segunda coluna da matriz
de saída C, que são os coeficientes da segunda variável de estado x2 nas
respectivas matrizes. Assim sendo, pode-se eliminar a segunda equação de
estado (5.33) na REE de terceira ordem do Exemplo 5.6. Para tanto,
substitui-se ω = e = nos modelos elétrico e mecânico, ou a primeira e
terceira equações de estado (5.32) e (5.34), que se tornam
Note que ambas são EDOs de primeira ordem. Consequentemente, são
necessárias duas variáveis de estado (n = 2), sendo escolhidas x1 = I e x2 =
ω, e as entradas são u1 = eent(t) e u2 = TC. Substituindo as variáveis de estado
e entrada nas Eqs. (5.40) e (5.41) usando o formato matriz-vetor tem-se a
equação de estado
Note que as matrizes A e B para a REE de ordem reduzida são idênticas às
de terceira ordem na Eq. (5.38) com as segundas linha e coluna removidas
(a equação de estado para o deslocamento angular θ). A equação de saída
para a REE de ordem reduzida é
Deve ser notado que a matriz de saída de ordem reduzida C é idêntica a de
terceira ordem na Eq. (5.39) com a segunda coluna removida.
Uma última observação se faz necessária. Se a resposta do sistema
motor CC é obtida para uma dada tensão de entrada eent(t) e um torque carga
TC (por exemplo, usando o Simulink MATLAB), os resultados para as
saídas y1(t) e y2(t) (velocidade angular ω e corrente I) serão idênticos se for
empregada a REE de terceira ordem desenvolvida no Exemplo 5.6 ou a de
segunda ordem apresentada nesse exemplo. Ambos os modelos no espaço
de estado são baseados nas mesmas relações que caracterizam a dinâmica
dos sistemas e usam as mesmas variáveis de entrada e saída. A REE de
terceira ordem no Exemplo 5.6 emprega uma variável de estado adicional
(θ) que não contribui na dinâmica ou na saída do sistema, e, portanto, ela
própria e sua equação podem ser removidas do modelo. Entretanto, a
informação da posição angular θ(t) do motor CC é perdida quando a REE
de segunda ordem apresentada nesse exemplo é adotada.
Exemplo 5.8
A Figura 5.3 mostra o sistema assento-suspensão tratado no Exemplo 2.3 no
Capítulo 2. Obtenha a REE completa, na qual as medidas dos dois sensores
são o deslocamento e a aceleração da massa que representa o motorista.
Repetindo o modelo matemático do Exemplo 2.3
Figura 5.3 (a) Diagrama esquemático para o sistema assento-suspensão do Exemplo 5.8.
(b) Modelo mecânico para o sistema assento-suspensão.
Lembre-se de que as variáveis do sistema são os deslocamentos verticais
das massas do assento (z1) e do motorista (z2), e ambos são medidos
relativamente às suas posições de equilíbrio estático. O deslocamento
vertical do chão da cabine (por causa das vibrações impostas pela
pavimentação da rua) é z0(t), que é considerado como uma entrada para o
sistema. Os parâmetros são as massas do assento e do motorista (m1 e m2), e
os coeficientes passivos de atrito e rigidez (bi e ki, respectivamente). As
duas medidas associadas ao aparato de teste são o deslocamento z2 e a
aceleração 2 do motorista, obtidos, respectivamente, por meio de um
transformador diferencial variável linear (LVDT, em inglês), um dispositivo
eletromecânico empregado para medir deslocamentos de translação, e um
acelerômetro.
O objetivo é desenvolver uma REE completa dadas as equações do
modelo (5.44a) e (5.44b). Claramente, esse sistema é linear e de quarta
ordem (n = 4). Em uma primeira análise, z1, z2 e suas derivadas são as
escolhas óbvias para variáveis de estado. Entretanto, se forem escolhidas x1
= z1 e x2 = 1, nota-se da Eq. (5.44a) que a segunda equação de estado 2 = 
1 irá envolver o termo 0(t), a derivada no tempo da entrada u = z0(t). A
forma-padrão da equação de estado (5.21) não contém um termo matriz-
vetor envolvendo , então não se pode empregar essa escolha de variáveis
de estado com uma única entrada definida como u = z0(t). Em geral, quando
um modelo matemático envolve as derivadas das variáveis de entrada,
como a Eq. (5.44a), a escolha das variáveis de estado se torna um pouco
mais complicada e menos intuitiva. Serão mostradas duas soluções para
esse problema no espaço de estado quando a derivada no tempo da entrada
u aparece na dinâmica do sistema. O primeiro método de solução é mais
intuitivo e fácil de aplicar e será apresentado neste exemplo; o segundo
método é menos intuitivo e será tratado no Problema 5.32 ao final deste
capítulo.
A solução fácil e intuitiva é simplesmente definir uma variável de
entrada adicional que é a derivada de z0. Desse modo, definem-se duas
variáveis de entrada u1 = z0(t) e u2 = 0(t), e pode-se estabelecer as quatro
variáveis de estado:
Tomando a primeira derivada no tempo de cada variável de estado e
substituindo na dinâmica do sistema (5.44a) e (5.44b) para 1 e 2 tem-se
Em seguida, substituindo as variáveis físicas usando as definições dos
estados (x1 = z1, x2 = 1, x3 = z2 e x4 = 2) e das duas entradas (u1 = z0(t) e u2 =
0(t)) chega-se à
A equação de estado completa é a reunião das Eqs. (5.53) – (5.56) no
formato matriz-vetor
Lembre-se de que as duas saídas do sistema ou medidas foram
especificadas como y1 = z2 e y2 = 2. A primeira equação de saída é
simplesmente y1 = x3, e a segunda é obtida a partir da quarta equação de
estado (5.56) ou dos termos da última linha na Eq. (5.57)
As Equações (5.57) e (5.58) consistem na REE completa. Uma forte
palavra de atenção é necessária: o desenvolvimento do modelo no espaço
de estado foi muito simplificado pela definição de duas variáveis de entrada
independentes u1 = z0(t) e u2 = 0(t). Na verdade, existe apenas uma única
entrada independente para o sistema, que é u = z0(t). No modelo com duas
entradas descrito pelas Eqs. (5.57) e (5.58) não existe uma restrição
exigindo que a segunda entrada u2 seja a derivada no tempo da entrada u1.
Portanto, deve-se ter cuidado ao impor a restrição u2 = 1 quando a
dinâmica do sistema for analisadaou simulada a partir da REE com duas
entradas desenvolvida nesse exemplo. No Capítulo 11 esse sistema e a
questão de modelagem identificada serão revisitados quando for investigada
a capacidade da suspensão do assento suprimir as vibrações da rua
transmitidas pela entrada no chão da cabine z0(t).
5.4 LINEARIZAÇÃO
A maioria dos sistemas dinâmicos do mundo real são não lineares; isto é,
são modelados por equações diferenciais não lineares. Não existe uma
teoria geral, unificada, para obtenção da solução de um sistema não linear, e
na maioria dos casos são adotados procedimentos de integração numérica
para obter a resposta do sistema. Por outro lado, existem diversas
ferramentas de análise para determinação da solução de um sistema linear.
Além disso, existem várias técnicas de projeto de sistemas de controle que
podem ser aplicadas apenas aos sistemas dinâmicos lineares. Portanto, é
desejável ter um modelo linear do sistema visando a sua análise e projeto.
1.
2.
3.
Linearização é um método para converter uma equação (ou modelo)
não linear em linear, baseado na expansão em série de Taylor em torno de
um ponto de operação nominal (ou de referência), no qual apenas os termos
de primeira ordem são mantidos. Como os termos de segunda e maior
ordem são desprezados na expansão em série de Taylor, o modelo linear
resultante é preciso apenas se o estado do sistema não se desvia muito do
ponto de operação nominal. A linearização possui três passos básicos:
Escolha (ou resolva para) o ponto (ou estado) de operação nominal
em torno do qual o sistema será linearizado. Esse ponto pode ser
dado, ou ser uma condição de equilíbrio obtida a partir do modelo
não linear. Em vários casos, o ponto de operação nominal é um
estado estático. Será usada a notação x* e u* para indicar,
respectivamente, as variáveis de estado e de entrada nominais.
Redefina as equações do modelo não linear em termos das
variáveis nominais e de perturbação (ou de desvio) com relação
aos valores nominais. Será usada a convenção δx = x – x* para a
perturbação (desvio) do estado nominal x* e δu = u – u* para a
perturbação da entrada nominal u*.
Expanda as equações do modelo não linear em uma série de Taylor
em torno do ponto de operação nominal e mantenha apenas os
termos de primeira ordem (lineares). O modelo linearizado
resultante será descrito pelas variáveis de perturbação δx e δu.
Como estabelecido anteriormente, o modelo linearizado é razoavelmente
preciso e representativo do (verdadeiro) modelo não linear enquanto as
variáveis dinâmicas não se desviam para “muito longe” do ponto de
operação (isto é, δx permanece “pequeno” em todos os instantes de tempo).
Os três passos do procedimento de linearização são demonstrados no
exemplo a seguir. Suponha um sistema não linear com uma variável de
estado x e uma de entrada u
Passo 1: A entrada nominal u* (que deve ser dada no problema) resulta
na solução do estado nominal x*, que é o ponto de operação
nominal.
Passo 2: As variáveis de perturbação são δx = x – x* e δu = u – u*.
Assim sendo, deve-se substituir x = δx + x* e u = δu + u* no modelo
não linear (5.59)
Passo 3: Expanda o lado direito da equação não linear (5.60) em uma
série de Taylor em torno de x* e u*
Como o estado solução nominal é * = f(x*, u*), esses dois termos
cancelam um ao outro na Eq. (5.61). Deve ser notado que todas as
derivadas parciais na Eq. (5.61) são avaliadas no estado e entrada nominais,
x* e u*, respectivamente. Finalmente, eliminando da série de Taylor todos
os termos de ordem acima da primeira chega-se à
A Equação (5.62) é o modelo linearizado do sistema original não linear
(5.59). As duas derivadas de primeira ordem ∂f /∂x e ∂f /∂u são constantes
enquanto x* e u* permanecem fixos. É importante notar que o modelo
linear (5.62) é em termos das variáveis de perturbação δx e δu. Assim
sendo, sua solução fornece δx(t), que é a história no tempo do estado desvio
a partir do ponto de operação x*. Se for desejado estimar a história do
estado a partir da solução linear, deve-se usar x(t) = δx(t) + x*.
Exemplo 5.9
Desenvolva o modelo linear da seguinte equação não linear em variáveis de
estado, em torno do estado de equilíbrio estático x* resultante da entrada
nominal u* = 2.
O primeiro passo é obter o estado nominal x* dada a entrada nominal u*
= 2. Assume-se que o estado estático de equilíbrio existe quando a entrada
nominal é u* = 2; isso é, = 0 e, portanto, x permanece constante.
Resolvendo a Eq. (5.63) para x com e u = u* = 2 tem-se o polinômio de
terceira ordem em x
Pode-se usar o comando MATLAB roots para obter as três raízes
>> roots([ –0.4 0 –2 0.6 ])
no qual o vetor linha entre colchetes contém os coeficientes do polinômio
de terceira ordem na Eq. (5.64) em potências decrescentes de x. As três
raízes incluem uma raiz real (x = 0,2949), e duas complexas conjugadas (x
= –0,1474 ± j2,2506; lembrando que j é o número imaginário, ).
Como o estado de equilíbrio deve ser um número real, o estado nominal é
x* = 0,2949.
Em seguida, são definidas as variáveis de perturbação δx = x – x* e δu =
u – u* e escreve-se a equação linearizada (5.62) resultante do termo de
primeira ordem na expansão em série de Taylor
As duas derivadas parciais são facilmente determinadas usando o lado
direito da função f (x, u) definida na Eq. (5.63), calculadas no estado x* e
entrada u* nominais
Note que o valor da entrada nominal u* não foi necessário em nenhuma das
duas derivadas parciais. Além disso, a derivada parcial ∂f /∂u é 0,3, que é o
mesmo coeficiente da entrada na equação não linear (5.63), porque o termo
envolvendo u já é linear. Finalmente, substituindo os valores numéricos das
duas derivadas parciais no termo de primeira ordem da série de Taylor
(5.65) tem-se
A Eq. (5.66) é a versão linearizada da equação não linear original (5.63), na
qual a linearização foi realizada em torno do estado nominal x* = 0,2949,
que é o valor do estado de equilíbrio para a entrada nominal u* = 2. Note
que a equação linearizada é escrita em termos das variáveis de perturbação
δx e δu. Será mostrado no Capítulo 7 que é relativamente fácil obter a
solução analítica para a EDO de primeira ordem linear como a Eq. (5.66),
que, entretanto, nesse caso produz a variável de perturbação δx(t); caso
deseje-se estimar a solução não linear da Eq. (5.63), deve-se adicionar à
variável de perturbação ao estado nominal, ou x(t) = x* + δx(t).
Exemplo 5.10
Considere o simples sistema hidráulico mostrado na Figura 5.4, que
consiste em um único tanque com área de seção reta constante A sendo
preenchido por um líquido com uma vazão volumétrica de entrada Qent. O
escoamento de saída através da válvula é turbulento. O objetivo é
desenvolver um modelo linear para a dinâmica do tanque hidráulico dada
uma vazão volumétrica de entrada nominal Q*ent.
Note-se na Figura 5.4 que a vazão de saída através da válvula é Qsai. A
variável de estado do sistema é a pressão P na base do tanque, e a pressão
atmosférica na saída da válvula é Patm. O modelo para esse simples sistema
hidráulico pode ser desenvolvido a partir da conservação de massa, como
demonstrado no Capítulo 4
na qual C = dV/dP é a capacitância fluida do tanque, que é fixa por causa da
sua área de seção reta constante. O escoamento turbulento na válvula é
representado pela equação não linear
Figura 5.4 Sistema tanque hidráulico para o Exemplo 5.10.
Assim sendo, a equação não linear que modela o sistema tanque hidráulico
é
Inicia-se reescrevendo o modelo não linear (5.69) como uma equação em
variável de estado
O primeiro passo é determinar o ponto de operação P* dada uma entrada
nominal constante Q*ent. Espera-se que a partir de certo instante de tempo o
fluxo de saída Qsai irá equilibrar a vazão de entrada constante Q*ent. Assim
sendo, = 0 e a pressão atinge um valor constante P* (a altura do nível do
líquido no tanque também atingirá um valor constante, pois está relacionada
com pressão pela equação hidrostática). Resolvendo a Eq. (5.69) para a
pressão constante quando C = 0 forneceque é a pressão nominal ou o ponto de operação do sistema hidráulico. As
variáveis de perturbação são definidas como δP = P – P* e δQent = Qent –
Q*ent. Em seguida, usando a Eq. (5.62), o termo de primeira ordem
expansão em série de Taylor
na qual as derivadas parciais de primeira ordem podem ser determinadas
usando a Eq. (5.70)
Substituindo a Eq. (5.71) para P* nominal, chega-se à derivada de primeira
ordem
Essa derivada é uma constante conhecida, dados os valores numéricos do
coeficiente de escoamento turbulento KT, a capacitância fluida C e a vazão
volumétrica nominal de entrada Q*ent. Finalmente, o modelo hidráulico
linear é
A solução do modelo linear irá produzir a perturbação de pressão δP(t).
Esse problema será revisitado no Capítulo 6 quando forem comparadas as
respostas dos modelos hidráulicos linear e não linear usando simulações
numéricas.
O método de linearização pode ser generalizado e aplicado às equações
de estado não lineares vetoriais de na. ordem
A história no tempo do vetor de entrada nominal u*(t) irá produzir um vetor
de estado nominal x*(t) no tempo, normalmente denominado de trajetória
de estado. Por exemplo, um programa predefinido para as entradas em
torque dos motores para um sistema robótico irá produzir trajetórias
nominais para as posições e velocidades dos braços articulados do robô. O
procedimento de linearização em três passos descrito anteriormente pode
ser aplicado ao sistema não linear vetorial (5.74) resultando em
na qual δx = x – x* e δu = u – u*. Finalmente, o sistema linearizado (5.75)
pode ser escrito na forma compacta de equação de estado
na qual as matrizes A e B são as derivadas parciais de primeira ordem das
equações de estado não lineares (5.74)
Essas matrizes são determinadas nos estado e entrada nominais. Assim
sendo, as matrizes do sistema linearizado serão variantes no tempo se x*(t)
e u*(t) (isto é, não forem constantes). O exemplo a seguir demonstra como
desenvolver as matrizes linearizadas de estado e entrada para o caso com u*
e vetor x* nominais constantes.
Exemplo 5.11
Considere novamente o sistema não linear do Exemplo 5.1 e as equações
em variáveis de estado correspondentes. Desenvolva a equação de estado
linear para uma entrada nominal constante u* = 0,15.
A linearização é realizada em torno do vetor de estado nominal. Deve-
se determinar o vetor de estado de equilíbrio x*, dada uma entrada
constante u*. A primeira equação em variáveis de estado (5.77) mostra que
a configuração 1 = 0 para o equilíbrio requer o estado x2 = 0, que usado na
Eq. (5.78) com 2 = 0 resulta na condição de equilíbrio –0,4x1 + 0,2x3 = 0 ou
x1 = 0,5x3. A equação em variável de estado final (5.79) com a condição x1
= 0,5x3 e a entrada nominal u = u* = 0,15 fornece o polinômio de terceira
ordem em x3
ou
Pode-se usar o comando MATLAB roots para obter as três raízes
>> roots([ –0.025 0 0 0.3 ])
As três raízes incluem uma raiz real (x3 = 2,2894), e duas complexas
conjugadas (x3 = –1,1447 ± j1,9827). Como o estado de equilíbrio deve ser
um número real, o valor nominal do terceiro estado é x*3 = 2,2894. Assim,
o valor nominal do primeiro estado é x*1 = 1,1447 e o vetor de estado
nominal é
As Equações (5.75) e (5.76) mostram que a matriz do sistema A é composta
pelas derivadas parciais de primeira ordem das três funções do lado direito
fi (x, u) nas Eqs. (5.77)–(5.79), que são
Determinando cada elemento da matriz no vetor de estado nominal x* tem-
se
A matriz de entrada B é composta pelas derivadas parciais de primeira
ordem de fi (x, u) em relação à entrada u
Como influência da entrada u é linear nas Eqs. (5.77)–(5.79), a matriz de
entrada B contém os coeficientes lineares de u. A equação de estado linear é
A Equação (5.84) é a versão linearizada do sistema não linear (5.77)–(5.79),
em termos das variáveis de perturbação δx = x – x* e δu = u – u*, em torno
do vetor de estado de equilíbrio mostrado na Eq. (5.82).
5.5 EQUAÇÕES ENTRADA-SAÍDA
Nas seções anteriores, as equações em variáveis de estado foram
desenvolvidas e, no caso de sistemas lineares, a REE. Foi também
apresentado um procedimento de linearização que pode transformar
equações em variáveis de estado não lineares e desenvolver um modelo
linear no espaço de estado. Em geral, as equações em variáveis de estado e
no espaço de estado envolverão um conjunto de equações diferenciais de
primeira ordem, acopladas, significando que devem ser resolvidas
simultaneamente. Nesta seção serão desenvolvidas as equações entrada-
saída (E/S) que são apenas uma única função entre as variáveis desejadas de
entrada e saída e suas derivadas.
Figura 5.5 Sistema de entrada única e saída única.
Considere um sistema dinâmico com entrada única e saída única (SISO
– single-input, single-output em inglês) mostrado na Figura 5.3,
representado pelo “diagrama de bloco” ou “caixa-preta” genérico. Para um
sistema SISO, uma equação E/S envolve apenas as variáveis de entrada u e
de saída y e suas derivadas:
na qual y(n) = dny / dtn, y(n–1) = dn–1y / dtn–1, e assim por diante. Em geral, a
derivada mais elevada da variável de entrada é menor ou igual que a da
saída, ou m ≤ n. Para um sistema invariante no tempo, os coeficientes ai e bj
são constantes. A Equação (5.85) é a forma geral da uma equação E/S para
um sistema SISO. Para sistemas com duas ou mais entradas, o lado direito
da equação E/S envolverá termos adicionais. Um sistema com p variáveis
de saída terá p equações E/S, uma para cada saída. Assim sendo,
diferentemente das equações em variáveis de estado acopladas, pode-se
resolver cada equação E/S independentemente das outras. Os exemplos a
seguir ilustram o desenvolvimento das equações E/S.
Exemplo 5.12
A Figura 5.6 mostra um sistema elétrico composto de um circuito RLC
série e uma fonte de tensão de entrada eent(t). Desenvolva a equação E/S
com saída y = I (corrente na malha) e u = eent(t).
O modelo matemático do circuito RLC pode ser determinado pela
aplicação da lei de Kirchhoff das tensões em torno da única malha que
fornece
Substituindo as tensões em cada elemento, obtém-se
Tomando a derivada no tempo da Eq. (5,87) de modo a eliminar o termo
integral chega-se à
Sendo a corrente I a variável de saída y, e a fonte de tensão eent(t) a entrada
u, a equação E/S é obtida diretamente da Eq. (5.88)
o que confere com a forma básica da equação E/S (5.85), uma vez que o
coeficiente a2 igual à unidade por causa da divisão de toda a equação pela
indutância L.
Figura 5.6 Circuito RLC série para o Exemplo 5.12.
Operador Diferencial
Desenvolver a equação E/S é relativamente simples quando o modelo
matemático consiste em uma única equação diferencial com uma variável
dinâmica (saída) e uma entrada, como no caso do Exemplo 5.12. Quando o
modelo é formado por duas ou mais equações diferenciais com múltiplas
saídas e entradas, obter as equações E/S se torna significativamente mais
complicado, pois cada variável de saída deve ser separada em uma equação
E/S independente. Uma maneira de simplificar a análise é definir o
operador diferencial ou “D” como
Assim sendo, as derivadas no tempo podem ser escritas como potências do
operador D: por exemplo, Dy = , D2y = etc. Pode-se usar o operador D
para manipular as equações dinâmicas de modo a obter a equação E/S
desejada, como é demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplo 5.13
A Figura 5.7 mostra um sistema mecânico simples com duas massas.
Deseja-se desenvolver a equação E/S com o deslocamento da massa m1
como a variável de saída, ou y = z1, e a força aplicada Fa(t) como a de
entrada.
Os deslocamentos z1 e z2 são medidos a partir das respectivas posições
(não deformadas) de equilíbrio. O modelo matemático pode ser obtido
usando o diagrama de corpo livre e os métodos do Capítulo 2, resultando
em
Portanto, o modelo matemático (5.90) se torna
Claramente, z2 deve ser eliminada na equação diferencial contendo de
maneira a obter a equação E/S, isto é, em termos apenas da saída y.
Aplicando o operador D, pode-se escrever a Eq. (5.91) como
Resolvendo a Eq. (5.93)para o deslocamento z2
Figura 5.7 Sistema mecânico com duas massas para o Exemplo 5.13.
e substituindo na Eq. (5.92), o resultado é
Multiplicando essa equação por m2D2 + k de modo a evitar a fração tem-se
Finalmente, pode-se converter essa equação na forma operador para a
equação diferencial por meio da substituição dos termos Dk pelas
respectivas derivadas no tempo
na qual y(4) = d4y / dt4. A Equação (5.94) é a representação E/S para o
sistema com dupla massa e saída y = z1. Note que o modelo matemático
(5.90) é de quarta ordem (isto é, são necessárias quatro variáveis de estado
para uma REE), consequentemente, a equação E/S (5.94) é de ordem
quatro.
Em geral, desenvolver a equação E/S é simples quando o sistema é
modelado por uma única equação diferencial com apenas uma variável
dinâmica, porém é consideravelmente mais complicado do que obter as
equações em variáveis de estado quando o sistema envolve duas ou mais
equações diferenciais com múltiplas variáveis de entrada e saída. Além
disso, a maioria dos métodos de solução numérica (tais como os
empregados no MATLAB e Simulink) requer que o sistema dinâmico
consista em um conjunto com n equações diferenciais de primeira ordem
(isto é, equações em variáveis de estado) como a estratégia-padrão para
integrá-las numericamente simultaneamente. Por essas razões, empregam-
se tipicamente as equações E/S para sistemas SISO e são usados os modelos
em variáveis de estado para ambos os sistemas SISO e de múltiplas
entradas e múltiplas saídas (MIMO em inglês).
5.6 FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
As funções de transferência são uma forma conveniente de representar e
analisar a relação E/S (ou de causa e efeito) de um sistema dinâmico LIT.
Elas são frequentemente empregadas em diagramas de simulação
(“diagrama de blocos” a serem discutidos na próxima seção) para
caracterizar uma desejada equação entrada/saída. Algoritmos numéricos
como o MATLAB e Simulink usam funções de transferência para
representar os sistemas dinâmicos que possuem uma entrada e uma saída.
Tradicionalmente, as funções de transferência são introduzidas a partir
dos métodos da transformada de Laplace, que mapeia uma função f(t) do
domínio do tempo para o domínio da variável complexa s, e é definida por
O leitor deve lembrar que as transformadas de Laplace podem ser usadas
para resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes,
que é convertida em uma equação algébrica na variável s. Se existe uma
função de forçamento f(t) na equação diferencial, ela deve ser convertida
em uma função F(s) no domínio de s empregando a Eq. (5.95). Assim
sendo, uma tabela composta das transformadas de Laplace de funções no
tempo “padrão” (tais como as funções senoidais) pode ser construída. A
solução de equações diferenciais no domínio do tempo é obtida pela
aplicação da transformada de Laplace inversa nas equações algébricas no
domínio de s. O Capítulo 8 apresenta uma breve revisão da teoria de
transformada de Laplace, incluindo as transformadas das funções no tempo
mais comuns, suas propriedades e a solução das equações diferenciais por
meio desse método.
Neste livro, não será empregado apenas o método da transformada de
Laplace para resolver equações diferenciais lineares, que apesar de ser
sistemático, envolve normalmente um procedimento tedioso de cálculo da
expansão em frações parciais de modo a poder utilizar as tabelas de
transformadas comuns para obter a inversa de Laplace. Em vez disso, o
foco será na análise direta das equações diferenciais no domínio do tempo
para sistemas SISO de baixa ordem, e nas técnicas de simulação numérica
para sistemas MIMO complexos. Entretanto, as funções de transferência
serão usadas para representar e analisar os sistemas dinâmicos com entrada
e saída únicas sem formalmente empregar a transformada de Laplace. Deve
ser comentado que o programa de simulação Simulink adota funções de
transferência para representar uma equação E/S, mas não usa a teoria da
transformada de Laplace para obter a resposta do sistema (emprega
diretamente a integração numérica das equações diferenciais no domínio do
tempo). Serão mostradas duas técnicas para desenvolver a função de
transferência sem usar a transformada de Laplace.
O exemplo a seguir demonstra a determinação da função de
transferência no domínio de s sem a necessidade da transformada de
Laplace. Inicialmente, considere a equação E/S de terceira ordem
Em seguida, considere uma entrada exponencial, u(t) = U(s)est, na qual s = σ
+ jω é uma variável complexa e U(s) é uma função complexa. A função
exponencial é
na qual a última substituição vem da aplicação da fórmula de Euler ejθ = cos
θ + j sen θ. A Equação (5.97) mostra que est é complexo, consistindo em
partes real e imaginária. Como a entrada u(t) é estritamente real, U(s)
deverá ser o complexo conjugado de est. Lembrando das equações
diferenciais que se a entrada u(t) = U(s)est, a solução particular (isto é, a
resposta por causa de uma entrada) deverá também ser uma função
exponencial, y(t) = Y(s)est. Portanto, essas funções exponenciais de entrada
e saída e suas derivadas ( etc.)
podem ser substituídas na equação diferencial E/S (5.96) para encontrar
Finalmente, usando a Eq. (5.98) na forma da razão Y(s) / U(s)
A função de transferência G(s) é definida como a razão mostrada na Eq.
(5.99). A definição matemática formal da função de transferência de uma
equação E/S linear, invariante no tempo, é a transformada de Laplace da
saída Y(s) dividida pela transformada de Laplace da entrada U(s),
assumindo as condições iniciais nulas (essa definição será repetida no
Capítulo 8). A definição formal da função de transferência é idêntica ao
resultado demonstrado nesse exemplo.
Como um segundo exemplo, pode-se desenvolver a função de
transferência no “domínio do tempo” pela aplicação do operador diferencial
D na equação E/S de terceira ordem (5.96)
Explicitando y(t) e u(t) em ambos os lados da Eq. (5.100) e obtendo a razão
da entrada pela saída:
A Equação (5.101) é idêntica à função de transferência G(s) na Eq. (5.99)
se simplesmente for substituído o operador diferencial D pela variável
complexa s. Note que na teoria da transformada de Laplace, o teorema da
diferenciação estabelece que a transformada de Laplace de é igual à sY(s)
– y(0), e a de é s2Y(s) – sy(0) – (0), e daí por diante para sistemas com
derivadas de ordem maior. Como as condições iniciais y(0), (0) e (0) são
assumidas nulas para uma função de transferência, pode-se concluir que
multiplicar pela késima potência da variável s no domínio de Laplace é
equivalente à késima derivada no domínio do tempo.
Na opinião do autor deste livro, usar o método da transformada de
Laplace para obter a resposta do sistema é extremamente tedioso e exige
um elevado consumo de tempo. Assim sendo, será dada atenção à análise
das equações diferenciais no domínio do tempo e à simulação numérica
usando o MATLAB e Simulink. Além disso, deve ser reenfatizado que
apesar do MATLAB e Simulink normalmente adotarem as funções de
transferência (que usam a variável complexa s) para representar as
equações diferenciais E/S, suas técnicas de solução numérica são baseadas
em procedimentos no domínio do tempo e não na teoria de transformada de
Laplace. Com o objetivo de apenas representar sistemas dinâmicos, pode-se
simplesmente trocar os símbolos D e s para obter as funções de
transferência. Também, como se verá nos Capítulos 7, 9 e 10, as funções de
transferência serão empregadas para analisar a resposta do sistema sem
fazer uso da teoria da transformada de Laplace (entretanto, tais métodos
serão apresentados no Capítulo 8, de modo a fornecer ao leitor uma base
completa da área abordada neste livro). Os dois exemplos a seguir
demonstram a relação entre a EDO no domínio do tempo e a função de
transferência.
Exemplo 5.14
A Equação (5.89) é a equação E/S de um circuito RLC série do Exemplo
5.12 (Fig. 5.6), na qual a corrente é a variável de saída y e a fonte de tensão
é a de entrada u. Desenvolva a função de transferênciaG(s) do sistema que
relaciona a saída com a entrada usando os seguintes valores numéricos para
parâmetros do sistema elétrico: resistência R = 2 Ω, indutância L = 0,25 H,
e capacitância C = 0,4 F.
Empregando os valores prescritos para os parâmetros elétricos, a
equação E/S é
Aplicando o operador D, a Eq. (5.102) se torna
que pode ser organizada na forma da razão saída-entrada y(t) / u(t)
Substituindo o operador diferencial D por s obtém-se a função de
transferência
O leitor deve ser também capaz de converter uma função de transferência
em uma equação diferencial E/S.
Exemplo 5.15
A Equação (5.106) é a função de transferência entre a variável de saída y(t)
e da variável de entrada u(t)
Desenvolva a EDO no domínio do tempo para a equação E/S desse sistema.
Inicia-se, reescrevendo a função de transferência G(s) com a variável de
Laplace s substituída pelo operador diferencial D
Realizando a multiplicação cruzada do termo no denominador da Eq.
(5.107) (2D2 + 10D + 28) pela saída y, e do termo no numerador (7D + 4)
pela entrada u tem-se
Finalmente, aplicando o operador diferencial para produzir os termos de
derivada no tempo D2y = , Dy = , e Du = , tem-se a equação diferencial
A Equação (5.109) é a expressão E/S desejada, equivalente à função de
transferência mostrada na Eq. (5.106). Pode-se dividir a equação E/S por 2
para ter o coeficiente unitário no termo da derivada de maior ordem,
fornecendo a equação E/S equivalente
Com alguma prática, o leitor deve ser capaz de obter funções de
transferência diretamente das equações E/S (e vice-versa) sem necessidade
do passo intermediário com o operador D.
5.7 DIAGRAMAS DE BLOCOS
Os diagramas de blocos são representações-padrão visuais ou gráficas de
sistemas interconectados. Cada sistema dinâmico que possui uma relação
E/S é um “bloco”, que normalmente é uma única função de transferência.
Outros tipos de blocos incluem fatores multiplicativos (“ganhos”),
diferenciação e integração (“integradores”) no tempo. Os blocos são
conectados por caminhos de sinais, que representam o fluxo dos sinais de
entrada e saída e os cálculos realizados com eles. O fluxo de sinal para um
bloco representa uma operação matemática, usualmente multiplicação. O
Simulink é baseado nos diagramas de blocos, que são construídos pela
conexão dos ícones para vários tipos de blocos existentes nesse ambiente
computacional (tratado no Capítulo 6 e Apêndice C).
Componentes-Padrão de Diagramas de Blocos
A Figura 5.8 mostra a multiplicação do sinal de entrada u pela constante (ou
ganho) K para produzir o sinal de saída y. O Simulink emprega um bloco na
forma de triângulo para representar um ganho, uma vez que esse é o
símbolo tradicional para o amplificador operacional (“op-amp”) usado para
aumentar sinais elétricos.
A Figura 5.9 mostra três blocos que representam a integração no tempo
do sinal de entrada u. A Figura 5.9b mostra a integração como a inversa do
operador diferencial ou D, enquanto a Figura 5.9c usa a função de
transferência 1/s para indicar a integração, como é empregado pelo
Simulink. O valor inicial da saída do integrador, y(0), pode ser ajustado no
ambiente Simulink (veja o Capítulo 6 e o Apêndice C).
A Figura 5.10 mostra um bloco função de transferência que representa
uma equação diferencial E/S. Por exemplo, se a função de transferência
G(s) na Figura 5.10 é
a equação E/S correspondente é
É importante notar que a função de transferência G(s) representa a relação
E/S ou o modelo matemático de um sistema dinâmico e é independente da
natureza da função de entrada u(t). Por exemplo, se um sinal de entrada
arbitrário for aplicado (como uma constante ou uma função senoidal) ao
diagrama de bloco mostrado na Figura. 5.10, a saída y(t) será determinada
pela equação E/S (5.112).
Normalmente é necessário representar a adição ou subtração das
variáveis dinâmicas em um diagrama de blocos. A Figura 5.11 mostra um
componente comum conhecido como junção soma. Deve-se incluir um
sinal de mais ou menos em cada sinal de entrada para indicar adição ou
subtração.
Figura 5.8 Bloco ganho.
Figura 5.9 Blocos integrador: (a) símbolo de integral, (b) símbolo operador D, e (c)
símbolo função de transferência.
Figura 5.10 Bloco função de transferência.
Figura 5.11 Junção soma.
Exemplo 5.16
A Figura 5.12 mostra um circuito RL série simples que possui uma fonte de
tensão eent(t) como entrada. A saída desejada, provavelmente medida por um
voltímetro, é a tensão através do resistor R. Deseja-se desenhar o diagrama
de blocos para esse sistema usando (1) um bloco função de transferência e
(3) um bloco integrador.
Figura 5.12 Circuito RL série para o Exemplo 5.16.
Como em todos os problemas, inicia-se pelo modelo matemático.
Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões em torno da malha tem-se
–eL – eR + eent(t) = 0
na qual a tensão através do indutor é eL = L e a do resistor é eR = RI.
Organizando todos os termos envolvendo a variável dinâmica (corrente I)
no lado esquerdo, obtém-se o modelo matemático
Pode-se obter a função de transferência pela aplicação do operador D na Eq.
(5.113) e determinando a razão entre a corrente a fonte de tensão chega-se à
Em seguida, substitui-se s = D para obter a função de transferência G(s)
Essa função de transferência possui uma fonte de tensão eent(t) como entrada
e a corrente I como a saída; entretanto, deseja-se a tensão no resistor esai =
RI como a variável de saída. Assim sendo, deve-se multiplicar a saída da
função de transferência (corrente) pela resistência R para obter a saída do
sistema desejada esai. A Figura 5.13a mostra essa configuração em um
diagrama com dois blocos em série: o sinal de corrente do bloco função de
transferência é enviado para um bloco ganho com valor R de modo a
produzir a saída desejada do sistema esai. A Figura 5.13b mostra um
diagrama de blocos equivalente para o circuito RL, no qual o bloco ganho R
é simplesmente incorporado na função de transferência.
Figura 5.13 Diagramas de blocos para o Exemplo 5.16: (a) dois blocos em série e (b) um
único bloco equivalente.
Um segundo diagrama de blocos é desenhado para esse sistema usando
um bloco integrador em vez do bloco função de transferência. A chave para
desenhar o diagrama de blocos de um sistema por meio de integradores é
escrever o modelo matemático na forma de variáveis de estado e então
enviar os sinais que representam cada termo do lado direito das equações de
estado para os diferentes integradores independentes. Como esse exemplo
envolve um sistema de primeira ordem, é necessário apenas um bloco
integrador. Inicia-se reescrevendo a equação do modelo (5.113) na forma de
estado
A Equação (5.116) mostra que o caminho do sinal que representa dI /dt
pode ser construído pelo cálculo da diferença entre a tensão de entrada
eent(t) e a tensão do resistor esai, multiplicada pelo bloco ganho 1/L. A Figura
5.14 mostra o diagrama de blocos usando essa abordagem, na qual a junção
soma é empregada para calcular a diferença de tensão eent(t) – RI. A saída
do integrador é a corrente I, que é multiplicada pela resistência R para
produzir a saída desejada. Note que a tensão de saída esai é “realimentada”
para a junção soma. O leitor deve também notar que todos os sinais em uma
junção soma têm que possuir as mesmas unidades, que é volts nesse caso.
Figura 5.14 Diagrama de blocos para o Exemplo 5.16 usando um bloco integrador.
Exemplo 5.17
Considere o sistema eletromecânico motor CC apresentado no Capítulo 3 e
nos Exemplos 5.6 e 5.7. Desenhe o diagrama de blocos completo do motor
CC usando funções de transferência para representar as dinâmicas do
circuito da armadura e da mecânica do rotor. A saída desejada do sistema é
a velocidade angular do rotor, ω.
O modelo matemático do motor CC consiste em duas EDOs de primeira
ordem lineares, acopladas
Foi escolhido utilizar o modelo de primeira ordem do rotor mecânico
(5.118) porque deseja-se a velocidade angular ω como saída do sistema. A
função de transferência para o circuito da armadura pode serdesenvolvida
considerando o lado direito da Eq. (5.117) como a entrada u1
Assim, a função de transferência é
na qual a entrada é u1 = eent(t) – Kbω, ou a “tensão líquida” dada pela fonte
de tensão menos a “contrafem”. Similarmente, a função de transferência do
rotor mecânico pode ser desenvolvida a partir da Eq. (5.118) definindo o
torque líquido de entrada u2 = KmI – TC,
A função de transferência mecânica é
na qual ℒ {ω(t)} = Ω(s) é a transformada de Laplace da velocidade angular,
e a entrada é o torque do motor menos o torque carga.
Agora é possível construir o diagrama de blocos completo para o motor
CC. A função de transferência do circuito da armadura (5.120) irá aparecer
antes no diagrama, pois sua variável de saída (corrente I) determina o
torque do motor KmI, que é a entrada da função de transferência mecânica.
A Figura 5.15 mostra o diagrama de blocos completo do motor CC. Note
que foram usadas duas junções soma para construir os sinais de entrada u1 =
eent(t) – Kbω e u2 = KmI – TC. A primeira junção soma é a “tensão líquida”
entrada para o circuito da armadura, e a segunda produz o “torque líquido”
entrada para o rotor mecânico. A saída da função de transferência do
circuito (corrente I) é multiplicada pela constante (ganho) Km para produzir
o torque do motor. De maneira similar, a saída da função de transferência
mecânica (velocidade angular ω) é multiplicada pela constante (ganho) Kb
para produzir a tensão “contrafem” que é realimentada para a fonte de
tensão. Note que os sinais em cada junção soma possuem as mesmas
unidades (volts na primeira junção, e N·m na segunda).
Figura 5.15 Diagrama de blocos para o motor CC (Exemplo 5.17).
5.8 FUNÇÕES DE ENTRADA-PADRÃO
As seções anteriores apresentaram várias formas-padrão de modelagem
para sistemas dinâmicos. Em todos os casos o sistema dinâmico consistia
em equações diferenciais com uma ou mais variáveis de entrada e saída. Os
próximos capítulos enfatizam a obtenção da saída ou resposta do sistema
para uma função de entrada desejada. O desempenho do sistema dinâmico
(como a velocidade de resposta e os atributos de amortecimento) é
normalmente caracterizado pela resposta a algumas funções de entrada-
padrão, que podem ser consideradas como “sinais de teste” para a avaliação
da resposta dinâmica dos sistemas. Muitas funções de entrada-padrão
possuem como base entradas realistas ou esperadas para o sistema
dinâmico.
Entrada em Degrau
Uma função de entrada em degrau exibe uma variação súbita, instantânea,
a partir de um valor constante para outro valor constante. A função de
entrada em degrau unitário U(t) “varia em degrau” de zero para um no
instante t = 0+
Pode-se representar uma entrada em degrau com amplitude A como u(t) =
AU(t). Por exemplo, uma força súbita constante de 30 N aplicada no
instante t = 0 pode ser representada como u(t) = 30U(t) N.
Entrada em Rampa
Uma função de entrada em rampa aumenta linearmente com o tempo com
uma taxa constante. A rampa unitária é dada por u(t) = t, cuja “inclinação” é
claramente du/dt = 1. Uma rampa genérica é dada por u(t) = at na qual a é a
inclinação, que pode ser positiva ou negativa.
Entrada em Degrau com Rampa
Uma função de entrada em degrau com rampa exibe uma “rampa de
subida” (ou “rampa de descida) linear de zero a um valor constante (ou
degrau). Assim, a função em degrau com rampa é caracterizada pela
inclinação a e a amplitude do degrau A
Logicamente, o instante de tempo final da rampa é t1 = A/a. Em alguns
casos a entrada em degrau com rampa é uma representação mais realista
para a entrada em degrau, pois a maioria dos sistemas físicos requer um
intervalo de tempo finito de modo a atingir um novo valor constante.
Entrada em Pulso
Uma entrada em pulso consiste em uma entrada constante (degrau) que se
mantém por uma duração finita, e instantaneamente volta para zero. Assim
sendo, uma entrada em pulso com amplitude constante A pode ser descrita
como
Na Eq. (5.125), a entrada em pulso atinge a amplitude A no instante t = 0, e
depois volta para zero em t = t1.
Entrada em Impulso
Uma função impulso é normalmente empregada para representar uma
entrada com amplitude constante que existe em um intervalo de tempo
muito pequeno, e pode ser tratada como uma função pulso na qual a
duração tende à zero no limite. Por exemplo, considere uma entrada em
pulso que consiste em uma força de 150 N que dura 0,1 s como mostrado na
Figura 5.16a. A partir dos conceitos de engenharia mecânica, sabe-se que o
impulso da força é a integral no tempo, e, portanto, a área (ou impulso) é 15
N·s. A Figura 5.16b mostra a entrada em pulso com o dobro da força (300
N) com a metade da duração (0,05 s) de tal maneira que a área permanece
em 15 N·s. Se a área for mantida conforme a duração do pulso for reduzida
para zero, a amplitude se aproxima do infinito e a entrada se torna uma
função impulso com “intensidade” ou “peso” de 15 N·s.
Figura 5.16 Entradas em pulso de força com um impulso de 15 N·s.
No exemplo mostrado na Figura 5.16, a função pulso tem uma área de
15 N·s. Porém se a função pulso original possuir uma área unitária, pode-se
definir a função impulso unitário pela manutenção da área e redução da
duração para zero, o que matematicamente é representado pela função delta
de Dirac δ(t), descrita por
A função impulso δ(t) não existe na natureza por causa da sua
descontinuidade, e aplicá-la como entrada em um sistema provoca uma
variação instantânea na sua energia. Uma função impulso Aδ(t) possui
“intensidade” ou “peso” A, que pode representar um pulso muito “estreito”
com área A. Por exemplo, a entrada em força impulsiva mostrada na Figura
5.16 pode ser representada matematicamente como f(t) = 15δ(t) (em N), na
qual a área (ou intensidade) A = 15 N·s e a função delta de Dirac δ(t) possui
unidade s–1. A função impulso pode ser graficamente representada por uma
seta (com o valor de sua intensidade) localizada no ponto apropriado sobre
o eixo do tempo.
Entrada Senoidal
Uma função de entrada senoidal é um sinal repetitivo, periódico, que pode
ser representado por funções seno e/ou cosseno
na qual A e B são as amplitudes e ω é a frequência em rad/s. Se a entrada
senoidal é zero no instante t = 0, então deve-se usar u(t) = A sen ωt. As
entradas senoidais são empregadas para representar excitações periódicas
tais como forças em sistemas mecânicos e fontes de tensão em sistemas
elétricos oscilatórias. Algumas vezes a frequência dos sinais de entrada é
dada em unidades de hertz (Hz) ou ciclos por segundo. A frequência
angular ω é maior do que a frequência em hertz por um fator de 2π, por
exemplo, ω = 2π rad/s = 1 Hz (ou ciclos por segundo). A resposta de um
sistema à entrada senoidal é denominada resposta em frequência e é
estudada em detalhes no Capítulo 9.
SUMÁRIO
Neste capítulo foram introduzidas e discutidas as formas-padrão para
representar modelos matemáticos de sistemas físicos, que incluem: (1)
equações em variáveis de estado, (2) representação no espaço de estado
(REE), (3) equações entrada-saída (E/S), (4) funções de transferência e (5)
diagrama de blocos. Logicamente, a dinâmica do sistema (definida por um
conjunto de EDOs) não é alterada se for escolhida para representá-la em
uma ou mais diferentes formas-padrão. Como será visto nos próximos
capítulos, cada forma-padrão possui vantagens e desvantagens quando se
deseja obter a resposta do sistema por meio de simulação numérica ou
técnicas analíticas.
As equações em variáveis de estado são um conjunto de n equações
diferenciais de primeira ordem, que podem ser lineares ou não lineares.
Uma REE é um formato matriz-vetor conveniente para as equações em
variáveis de estado, que pode ser aplicada apenas às EDOs lineares. Como
será visto no Capítulo 6, a REE é muito adequada para simulações
computacionais de sistemas dinâmicos lineares. Uma equação E/S é uma
única EDO de na. ordem que inclui uma variável de saída e uma ou mais
variáveis de entrada. Uma função de transferência, por definição, é a razão
entre as transformadas deLaplace das variáveis de saída e entrada para
condições iniciais nulas. Neste texto, será enfatizado o uso das funções de
transferência para representar a dinâmica de um sistema de uma única
entrada e uma única saída (SISO). Neste capítulo, foi demonstrado como
obter a função de transferência pela aplicação do operador diferencial (ou
D) à equação E/S.
Também foram apresentados os passos básicos do procedimento de
linearização, que permite desenvolver um modelo linear que representa o
sistema dinâmico nas vizinhanças de um ponto de operação nominal. Desse
modo, pode-se aplicar o procedimento de linearização às equações não
lineares em variáveis de estado para obter uma REE na forma matriz-vetor.
Finalmente, foram apresentados os diagramas de blocos, uma
representação gráfica para sistemas dinâmicos, na qual as variáveis
dinâmicas são indicadas por meio do caminho dos sinais, e operações tais
como adição, multiplicação, e integração são representadas por “blocos”
com variáveis de entrada e de saída. Os diagramas de blocos são a base do
programa Simulink, uma ferramenta extremamente poderosa de simulação
numérica, que será o foco do próximo capítulo.
PROBLEMAS
5.1
5.2
a.
b.
c.
5.3
5.4
5.5
Problemas Conceituais
Desenvolva as equações no espaço de estado para o sistema
modelado pelas seguintes EDOs nas quais α, w e z são as variáveis
dinâmicas e v é a entrada.
Dada a seguinte equação de um sistema
Obtenha uma REE completa com entrada u e saída y = .
Desenvolva a função de transferência do sistema G(s) =
Z(s)/U(s).
Desenvolva a função de transferência do sistema Y(s)/U(s), na
qual a saída y = .
Obtenha uma REE completa para o sistema dado, com entrada u = v
e variáveis de saída y1 = e y2 = w – z.
Dado o sistema não linear de primeira ordem
Desenvolva o modelo linear realizando a linearização em torno do
estado de equilíbrio estático x* resultante de quando a entrada
nominal é u* = 0,25.
Dado o sistema não linear de segunda ordem
5.6
5.7
5.8
a.
b.
5.9
Desenvolva o modelo linear realizando a linearização em torno do
vetor de equilíbrio estático x* = [x*1 x*2]T resultante de quando a
entrada nominal é u* = 1. Represente o modelo linear por uma
equação de estado matriz-vetor.
Desenvolva a função de transferência G(s) = Y(s)/U(s), dada a
equação E/S
O modelo matemático de um sistema é
Desenvolva a função de transferência global do sistema, na qual y é
a saída e u é a entrada.
Dada a REE
Obtenha a equação E/S desse sistema, na qual y é a saída e u é a
entrada.
Obtenha a função de transferência do sistema.
Dada a REE
a.
b.
5.10
5.11
Obtenha a equação E/S desse sistema, na qual y é a saída e u é a
entrada.
Obtenha a função de transferência.
Um simples sistema mecânico de 1 GL é mostrado na Figura P5.10
(veja o Problema 2.2). O sistema é comandado pelo deslocamento
da extremidade esquerda, xent(t), que pode ser fornecido por um
came rotatório e um seguidor. Quando o deslocamento é xent(t) = 0 e
x = 0, a mola k não está comprimida ou tracionada. Desenvolva a
função de transferência do sistema com a posição x como a variável
de saída e o deslocamento xent(t) como a de entrada.
Figura P5.10
Um circuito RLC com um resistor paralelo de desvio (veja o
Problema 3.10) é mostrado na Figura P5.11. Obtenha uma REE
completa com a fonte de tensão eent(t) como entrada e a tensão
através do capacitor eC como saída.
Figura P5.11
5.12
5.13
a.
b.
5.14
Considere novamente o atuador solenoide analisado no Exemplo
5.3. Pode-se expressar as equações em variáveis de estado obtidas
no Exemplo 5.3 na forma REE matriz-vetor? Justifique a resposta.
O sistema de isolamento de vibrações do Problema 2.1 é mostrado
na Figura P5.13. O amortecedor b1 conecta a massa m à superfície
horizontal fixa superior. Os absorvedores de vibração que suportam
a massa sobre a base móvel são modelados por uma rigidez k e um
atrito viscoso b concentrados.
Obtenha uma REE completa desse sistema mecânico, na qual a
posição da massa é a saída e as duas variáveis de entrada são o
deslocamento e a velocidade da base, zent(t) e ent(t).
Desenvolva a função de transferência G(s) = Z(s)/Zent(s) do
sistema.
Figura P5.13
A Figura P5.14 mostra um sistema massa-amortecedor de 1 GL
(Problema 2.3). O deslocamento x é medido a partir de uma posição
de equilíbrio, na qual o amortecedor está na condição “neutra”. A
força externa fa(t) é a variável de entrada.
a.
b.
5.15
a.
b.
c.
5.16
Figura P5.14
Desenvolva a função de transferência do sistema mecânico, na
qual a posição x é a variável de saída.
Desenvolva a função de transferência com a velocidade v(t) = 
(t) com a variável de saída.
A Figura P5.15 mostra o sistema mecânico de 2 GLs com uma única
massa do Problema 2.4 no Capítulo 2. Os deslocamentos
independentes são z1 da massa m e z2 do nó (ponto) entre o
amortecedor b e a mola k.
Figura P5.15
Obtenha uma REE para esse sistema mecânico, na qual a
posição da massa é a saída e a força aplicada é a entrada.
Desenvolva a equação E/S usando o método do operador D.
Use o resultado da parte (b) para desenvolver a função de
transferência desse sistema.
A Figura P5.16 mostra o sistema mecânico de 2 GLs com uma única
massa do Problema 2.5 no Capítulo 2. Note que a conexão série
a.
b.
5.17
entre o amortecedor e a mola é invertida em relação ao Problema
5.15.
Figura P5.16
Obtenha uma REE para esse sistema mecânico, na qual a
posição da massa é a saída e a força aplicada é a entrada.
Desenvolva a equação E/S usando o método do operador D.
Mostre que as equações E/S (e portanto, a função de
transferência) para os sistemas mostrados nas Figs. P5.15 e
P5.16 são idênticas. Assim sendo, ambas as conexões série entre
mola e amortecedor resultam na mesma dinâmica para o
sistema.
Um sistema elétrico é apresentado na Figura P5.17 (veja o Problema
3.7). Obtenha uma REE completa, na qual a fonte de tensão eent(t) é
a entrada e as duas variáveis de saída são as quedas de tensão
através do resistor R e do capacitor C2, respectivamente.
5.18
5.19
a.
b.
5.20
Figura P5.17
Esboce o diagrama de blocos para o sistema de terceira ordem no
Problema 5.6 usando o método do bloco integrador. Rotule todos os
blocos e as variáveis do caminho dos sinais.
As equações que modelam um sistema linear são dadas abaixo. As
variáveis de entrada e saída do sistema como um todo são u e y,
respectivamente.
Esboce o diagrama de blocos mais simples possível para o caso
no qual todas as variáveis possuem condição inicial zero. Rotule
todos os blocos e as variáveis do caminho dos sinais.
Esboce o diagrama de blocos usando o método dos blocos
integradores para o caso, no qual condições iniciais não nulas
estão presentes; isso é: z(0) = 2 e y(0) = – 3. Rotule todos os
blocos e as variáveis do caminho dos sinais.
Esboce o diagrama de blocos mais simples possível para o seguinte
sistema:
Todas as variáveis dinâmicas possuem condição inicial nula. O
parâmetro K é uma constante ou “ganho”. Rotule todas as variáveis
do caminho dos sinais.
Problemas MATLAB
5.21
5.22
a.
b.
c.
Uma bomba centrífuga possui a seguinte relação pressão-vazão não
linear
na qual Q é a vazão volumétrica (em m3/s) e P é a pressão de saída
da bomba (em Pa). O modelo da bomba é válido para 0 < Q ≤
0,0175 m3/s. A vazão volumétrica nominal (de operação) é 0,008
m3/s. Desenvolva um modelo linear para a pressão da bomba em
torno do ponto de operação (nominal). Trace um gráfico para as
pressões da bomba verdadeira (não nominal) e aproximada
(linearizada) versus a vazão volumétrica entre 0 < Q < 0,0175 m3/s.
Comente sobre a faixa de precisão do modelo linear da bomba.
A indutância de um atuador solenoide varia com a posição da
armadura (ou curso) x e pode ser modelada pela expressão não
linear
Para um enrolamento específico do solenoide, a constante d = 7,8
mm e a indutância no curso zero é L0 = 0,006 H. Note que a
indutância L(x) aumenta com o curso x conforme a armadura se
move para o centro do enrolamento.
Desenvolva uma aproximação linearizada para a indutância L(x)em torno do curso nominal x* = 1 mm.
Trace um gráfico da indutância (verdadeira) não linear L(x) e da
aproximação linearizada para um curso 0 < x < 3 mm.
Trace um gráfico para o erro percentual entre as indutâncias
linear e não linear versus o curso e comente sobre a precisão da
5.23
5.24
aproximação linear.
Aplicações de Engenharia
A Figura P5.23 mostra o atuador hidromecânico do Exemplo 4.2 no
Capítulo 4. Obtenha o conjunto completo de equações no espaço de
estado para esse sistema (note que a posição do pistão é redefinida
como z, de tal modo que x pode ser usada como variável de estado).
Identifique as variáveis de estado e de entrada.
Figura P5.23
A Figura P5.24 mostra um sistema elétrico conhecido como
conversor “buck”, que é um circuito usado para diminuir uma fonte
de tensão eent(t) em uma tensão de saída menor desejada (veja o
Problema 3.27 no Capítulo 3). O conversor de diminuição de tensão
usa uma chave para conectar e desconectar a fonte de tensão eent(t)
dos demais elementos do circuito até que a tensão de saída e0 = eC
seja igual à tensão desejada.
5.25
Figura P5.24
Obtenha uma REE completa para o circuito conversor, na qual os
estados são as variáveis dinâmicas associadas com os elementos
armazenadores de energia, e0 é a saída do sistema e eent(t) é a
entrada.
A Figura P5.25 mostra o sistema elétrico (filtro elimina banda ou
filtro “notch”) do Problema 3.29. Esses circuitos são usados para
“eliminar” ou atenuar sinais de entrada em certa faixa de
frequências. Por exemplo, os filtros elimina banda são usados em
veículos aeroespaciais para remover vibrações mecânicas
transmitidas para os sensores como giroscópios e acelerômetros.
Desenvolva a função de transferência G(s) desse filtro, na qual a
tensão e0 é a saída desejada e a fonte de tensão eent(t) é a entrada.
Figura P5.25
5.26
5.27
a.
b.
5.28
5.29
Obtenha a REE completa para o filtro elimina banda descrito no
Problema 5.25, na qual os estados são as variáveis dinâmicas
associadas aos elementos armazenadores de energia, e0 é a saída do
sistema e eent(t) é a entrada.
Uma representação linear, simplificada, de um atuador eletro-
hidráulico (AEH) consiste nos modelos de um amplificador de
potência, de um solenoide e de uma válvula mecânica. As equações
E/S lineares para cada subsistema são
nas quais eent(t) é a tensão de baixa potência de entrada do
amplificador, e0 é a tensão de saída do amplificador, f é a força de
saída do atuador solenoide (em N) e z é a posição da massa m da
válvula carretel (em m).
Obtenha uma REE completa com a posição da válvula z como a
única variável de saída.
Desenvolva as funções de transferência para cada subsistema do
AEH. Esboce um diagrama de blocos do sistema AEH completo.
Assuma que todas as variáveis dinâmicas possuam condição
inicial nula. Rotule todos os blocos e as variáveis do caminho
dos sinais (com unidades).
Usando as equações que modelam o amplificador de potência e o
solenoide do sistema AEH no Problema 5.27, desenvolva a equação
E/S com a tensão de baixa potência eent(t) como variável de entrada e
a força do solenoide f como a saída.
A Figura P5.29 mostra o sistema mecânico de duplo disco do
Exemplo 2.9 no Capítulo 2. Lembre-se de que esse sistema foi
5.30
5.31
proposto como um eficiente gerador para veículos híbridos. Obtenha
uma REE completa com o deslocamento angular relativo θ2 – θ1
como a variável de saída, e o torque Tent(t) como variável de entrada.
Figura P5.29
Um modelo simplificado de um atuador solenoide é
no qual z é a posição do subsistema mecânico massa-mola-
amortecedor e I é a corrente no circuito da armadura do solenoide. A
única entrada do sistema é a fonte de tensão eent(t). Obtenha uma
REE completa com a posição da massa (z) como a única variável de
saída.
A Figura P5.31 mostra o sistema ferroviário locomotiva-vagões do
Problema 2.29 (Capítulo 2). Obtenha uma REE completa na qual a
força da locomotiva Fa(t) é a entrada e as duas saídas medidas são a
velocidade da locomotiva (massa m1) e o deslocamento relativo
entre a locomotiva e o vagão 1 (isto é, z1 – z2).
5.32
5.33
Figura P5.31
Considere novamente o sistema assento-suspensão apresentado no
Exemplo 5.8 e Figura 5.3. Obtenha a REE completa empregando a
entrada única u = z0(t). As duas variáveis de saída são a posição e a
aceleração do motorista, z2 e 2, respectivamente. [Sugestão: defina a
segunda variável de estado como x2 = 1 – b1z0(t)/m1.]
As Figuras P5.33a e P5.33b mostram o sistema pantógrafo descrito
no Problema 2.27 (Capítulo 2). Obtenha a REE completa na qual as
duas entradas são o deslocamento do cabo aéreo zc(t) e a força do
pistão fa(t), e as duas saídas medidas são a força (compressiva) de
contato entre o cabo e a massa da cabeça e o deslocamento entre as
massas de cabeça e da estrutura (isto é, z1 – z2). Deve-se assumir que
a mola k está sempre comprimida.
5.34
Figura P5.33a
Figura P5.33b
A Figura P5.34 mostra o sistema de levitação magnética descrito no
Problema 3.33 (Capítulo 3). Lembre-se de que a força
eletromagnética é
a.
b.
c.
na qual KF é a “constante de força” que depende do número de
espiras do enrolamento, das propriedades do material do núcleo
eletromagnético e da geometria do eletroímã; I é a corrente no
enrolamento; e z é a posição da esfera metálica medida para cima a
partir de uma posição fixa de repouso. A distância d é uma constante
igual ao entreferro nominal a partir da ponta do eletroímã e a esfera
para uma corrente nominal no enrolamento de 0,8 A. A fonte de
tensão eent(t) é a entrada para o circuito eletromagnético. O sistema
possui os seguintes parâmetros:
Indutância da bobina L = 0,018 H 
Resistência R = 5 Ω 
Constante de força KF = 2,6487(10–5) N·m2/A2 
Massa da esfera metálica m = 0,003 kg
Desenvolva o conjunto completo de equações em variáveis de
estado [Sugestão: trate a aceleração da gravidade g como a
segunda variável de entrada].
Se a entrada de tensão nominal é e*ent(t) = 4 V e a corrente
nominal no enrolamento é I* = 0,8 A, calcule a distância
nominal (constante) de levitação d (o entreferro) na posição de
equilíbrio estático z* = 0.
Linearize as equações em variáveis de estado da parte (a) e
obtenha uma REE com a perturbação na esfera a partir da
posição nominal como a saída do sistema. O que acontece com a
força gravitacional no sistema linearizado?
5.35
Figura P5.34
A Figura P5.35a mostra um diagrama esquemático do sistema de
leitura óptica de discos de computador descrito no Problema 2.26
(Capítulo 2) e a Figura P5.35b mostra uma representação mecânica
simplificada desse sistema em parâmetros concentrados.
a.
b.
Figura P5.35a
Figura P5.35b
Desenvolva uma equação E/S para o sistema com o
deslocamento da massa da cabeça de leitura z1 como saída, e o
da estrutura zent(t) como entrada.
Desenvolva a função de transferência do sistema, na qual o
deslocamento da massa da cabeça de leitura z1 é a saída, e o da
estrutura zent(t) é a entrada.
6.1 INTRODUÇÃO
A primeira seção deste livro enfatizou como desenvolver modelos
matemáticos de diversos sistemas físicos de engenharia. No Capítulo 5,
esses modelos (isto é, as equações diferenciais ordinárias, ou EDOs) foram
escritos em diferentes “formas-padrão”, incluindo as equações em variáveis
de estado, a representação no espaço de estado (REE), as equações entrada-
saída (E/S), e funções de transferência. Deve ser observado que a dinâmica
do sistema não é alterada quando se escolhe representar o modelo
matemático em determinada “forma-padrão” como a REE ou uma função
de transferência. O Capítulo 5 é concluído com a apresentação dos
diagramas de blocos, uma representação gráfica de sistemas interconectados
que define claramente os sinais de entrada e saída e na qual os “blocos”
indicam relações E/S específicas.
Desenvolver um modelo matemático é sempre o primeiro passo na
análise e projeto de sistemas dinâmicos. Determinar a resposta do sistema a
uma entrada específica (isto é, resolver as EDOs) é o segundo passo, pois o
engenheiro está interessado em características,tais como velocidade de
resposta, valor máximo da saída e o tempo para atingir o regime
permanente ou uma saída constante. Uma vez que o modelo matemático
tenha sido desenvolvido, o engenheiro tem duas opções para determinar a
resposta do sistema: (1) métodos analíticos ou (2) simulações numéricas
usando um computador digital. As técnicas analíticas envolvem resolver as
EDOs “na mão”, o que é factível para sistemas lineares, invariantes no
tempo (LIT) de primeira ou segunda ordem. Os engenheiros devem ser
capazes de identificar as características fundamentais da resposta desses
sistemas de primeira e segunda ordem LIT pela aplicação de alguns
cálculos analíticos relativamente simples, que serão discutidos no Capítulo
7. Entretanto, quando a dinâmica do sistema envolve termos não lineares,
uma simulação numérica é a única opção para determinar sua resposta.
Além disso, é também a melhor maneira para obter a resposta de sistemas
reais de elevada ordem que envolvem a interação de múltiplas entradas e
saídas.
A simulação é o procedimento de obter a resposta dinâmica dos
sistemas pela solução numérica das equações que os modelam; em outras
palavras, a integração numérica das equações diferenciais dos modelos.
Neste capítulo, será introduzido o programa de simulação MATLAB e serão
apresentados diversos exemplos que ilustram a simulação de sistemas
dinâmicos. Os dois objetivos deste capítulo são (1) simular sistemas LIT
empregando comandos internos do MATLAB e (2) explicar como construir
e executar a simulação de um sistema dinâmico utilizando o Simulink, um
programa gráfico do MATLAB. Como os comandos internos do MATLAB
podem ser usados apenas para simular sistemas LIT (enquanto o Simulink
pode tratar ambos os modelos lineares e não lineares), o Simulink é o foco
primário deste capítulo e a principal ferramenta de simulação no restante do
livro. Inicia-se a discussão com sistemas lineares simples e no final do
capítulo serão tratados sistemas mais complexos, integrados, com
componentes lineares e não lineares interconectados.
6.2 RESPOSTAS DE SISTEMAS USANDO COMANDOS MATLAB
O MATLAB possui um conjunto de comandos internos para obtenção da
resposta de um sistema dinâmico linear dadas as suas condições iniciais
e/ou funções de entrada. Deve ser enfatizado que esses comandos
MATLAB podem ser usados apenas para sistemas lineares. Além disso,
eles são fáceis de serem empregados e permitem ao usuário rapidamente
obter a resposta dinâmica do sistema linear que pode ser representado por
uma função de transferência ou pela REE. O Apêndice B apresenta uma
introdução básica ao uso do MATLAB e a Tabela B.2 resume vários dos
seus comandos úteis para simulação de sistemas dinâmicos.
Os quatro comandos MATLAB básicos para simulação apresentados
serão step, impulse, lsim e initial. Todos requerem que o usuário defina
o modelo do sistema LIT usando o formato função de transferência ou o
REE. Por exemplo, considere a equação E/S de segunda ordem
Aplicando o operador D para substituir os termos derivativos, isso é, =
Dy, e = D2y, a Eq. (6.1) se torna
Em seguida, formando a razão da saída pela entrada e substituindo o
operador D pela variável de Laplace s encontra-se a função de transferência
G(s)
Os seguintes comandos MATLAB geram o objeto sys que representa a
função de transferência na Eq. (6.3)
>> numG = 0.8; % numerador de G(s) = 0,8/(s2 + 3s + 12)
>> denG = [1 3 12]; % denominador de G(s) = 0,8/(s2 + 3s + 12)
>> sys = tf(numG,denG) % criação da função de transferência LIT
G(s)
Note que denG é um vetor linha com os coeficientes do polinômio do
denominador em potências decrescentes de s. Após executar os comandos,
o MATLAB apresenta na tela sys como
Transfer function:
 0.8
--------------
s^2 + 3 s + 12
de tal modo que o usuário possa verificar se definiu corretamente a função
de transferência desejada. Em seguida, o usuário pode obter um gráfico da
resposta ao degrau unitário usando o comando interno MATLAB step da
seguinte forma
>> step(sys)
O comando step simula a resposta à entrada u(t) = U(t) e automaticamente
traça o gráfico da saída y(t) na tela. Nesse caso, o sistema LIT sys é a
função de transferência G(s).
De maneira similar, o comando interno MATLAB impulse simula a
resposta ao impulso unitário u(t) = δ(t):
>> impulse(sys)
Como anteriormente, um gráfico da resposta é automaticamente gerado. O
usuário tem a opção de definir um vetor de tempo t para a simulação e
introduzi-lo como argumento no comando step, de modo a gerar um
gráfico de acordo com seu interesse, conforme mostrado a seguir
>> t = 0:0.01:5; % definição do vetor tempo de 0 a 5 em
passos de Δt = 0,01 s
>> [y,t] = step(sys,t); % determinação da resposta ao degrau
unitário y(t) (sem gráfico)
>> plot(t,y) % traçar o gráfico da resposta ao degrau
unitário y(t)
Pode-se também empregar os comandos step e impulse com o sistema
LIT definido em sys como uma representação no espaço de estado. Usando
o modelo da Eq. (6.1), pode-se definir a seguinte REE para os estados x1 = y
e x2 = 
Em seguida, defina as matrizes da REE notando que o MATLAB emprega
colchetes para indicar matrizes e vetores, nos quais cada linha é separada
por um ponto e vírgula (veja o Apêndice B com o tutorial básico
MATLAB):
>> A = [ 0 1 ; -12 -3 ]; % definição da matriz de estado A
>> B = [ 0 ; 0.8 ]; % definição da matriz de entrada B
>> C = [ 1 0 ]; % definição da matriz de saída C
>> D = 0; % definição da “matriz” de ligação direta D
Pode-se gerar o objeto sys com a REE por meio do comando ss
>> sys = ss(A,B,C,D)
Finalmente, pode-se simular e traçar os gráficos das respostas ao degrau ou
impulso unitários empregando os comandos step e impulse com o objeto
sys da REE representando a dinâmica do sistema. Como a função de
transferência Eq. (6.3) e a REE Eq. (6.4) representam o sistema dinâmico,
isso é, a Eq. (6.1), os resultados da simulação serão idênticos se for
escolhido definir sys a partir de tf(numG,denG) ou ss(A, B, C, D).
O comando MATLAB lsim (“simulação linear” em inglês) permite
simular a resposta de um sistema linear a uma função de entrada arbitrária
definida pelo usuário. Por exemplo, suponha que a entrada desejada é um
pulso com amplitude 20 que dura 5 s. Para simular a resposta ao pulso,
digitam-se os comandos
>> t = 0:0.01:10; % definição do vetor tempo de 0 a 10 em
passos de Δt = 0,01 s
>> u(1:501) = 20; % definição do pulso u(t) = 20 para 0 ≤ t ≤ 5
s
>> u(502:1001) = 0; % definição da entrada nula pulso u(t) = 0
para t > 5 s
>> [y,t] = lsim(sys,u,t); % obtenção da saída do sistema y(t) para a
entrada definida pelo usuário u(t)
O leitor deve notar que os três primeiros comandos definem os vetores
tempo t e pulso de entrada u. É óbvio que o objeto sys deve ser definido e
o usuário pode escolher uma função de transferência ou REE.
Os comandos internos MATLAB step e impulse assumem que o
sistema LIT possui condição inicial nula (é claro, por definição os sistemas
representados por função de transferência têm condições iniciais nulas). Em
vários casos deseja-se simular sistemas com condições iniciais não nulas
(assim o sistema deve ser gerado como um modelo no espaço de estado).
Pode-se incluir as condições iniciais usando os comandos MATLAB lsim e
initial. O comando lsim é modificado adicionando o vetor de estado
inicial x0 na lista de argumentos do lado direito:
>> [y,t] = lsim(sys,u,t,x0);
Como anteriormente, o usuário pode definir os vetores de entrada u e do
tempo de simulação t. É claro, as condições iniciais x0 podem ser usadas
apenas quando o objeto sys é definido por uma REE.
O comando initial simula a resposta de um sistema LIT para suas
condições iniciais (com entrada nula). Se existem condições iniciais, o
usuário deve definir o sistema usando um modelo no espaço de estado. O
emprego de initial é similar ao dos comandos step, impulse e lsim:
>> [y,t] = initial(sys,x0,t);
Novamente, deve-se enfatizar que o comando initial não pode ser
empregado com modelos em função de transferência, pois (por definição)elas são desenvolvidas assumindo condições iniciais nulas.
Em resumo, os comandos internos MATLAB permitem ao usuário
rapidamente obter a resposta do sistema a entradas-padrão (step para um
degrau unitário e impulse para o impulso unitário, respectivamente),
entradas arbitrárias (lsim) e condições iniciais quaisquer (initial, apenas
para modelos REE). Esses comandos podem ser empregados apenas para
sistemas lineares que são representados por modelos em função de
transferência ou no espaço de estado. Os exemplos a seguir ilustram o uso
dos comandos internos do MATLAB.
Exemplo 6.1
A Figura 6.1 mostra o circuito RL série simples do Exemplo 5.16. Use o
MATLAB para determinar a corrente I(t) e a tensão do resistor esai(t) se a
tensão de entrada eent(t) é uma função degrau 1 V aplicada no instante t = 0.
A corrente é inicialmente nula, e L = 0,1 H e R = 1,6 Ω.
O modelo matemático do circuito RL é
Uma função de transferência é provavelmente a forma mais simples de
representar esse sistema de primeira ordem. Entretanto, o leitor deve notar
que funções de transferência assumem condição inicial nula, o que pode
não ser aplicável em todos os problemas (por sorte, a corrente inicial é nula
nesse caso). Usando o operador D para substituir os termos derivativos, isso
é, = DI, a Eq. (6.5) se torna
Em seguida, a partir da razão da corrente com a tensão de entrada,
I(t)/eent(t), substituindo D pela variável de Laplace s, e substituindo os
valores numéricos de L e R tem-se a função de transferência
Figura 6.1 Circuito RL série para o Exemplo 6.1.
Como a tensão de entrada eent(t) é uma constante com amplitude unitária,
pode-se empregar o comando step para obter a resposta ao degrau unitário.
Os comandos MATLAB a seguir permitem obter as respostas para a
corrente I(t) e a tensão no resistor esai(t) = RI(t)
>> sys = tf(1,[0.1 1.6]); % criação do objeto sys função de
transferência
>> t = 0:0.001:0.5; % definição do vetor tempo de simulação t
>> [I,t]=step(sys,t); % obtenção da resposta ao degrau unitário
para a corrente I(t)
>> e_s = 1.6*I; % cálculo da tensão no resistor esai(t) = RI(t)
Traçar os gráficos das variáveis desejadas pode ser feito empregando o
comando MATLAB plot juntamente com as opções de representação
gráfica requeridas; os comandos para traçar o gráfico da corrente versus
tempo são
>> plot(t,I) % traçar o gráfico da corrente versus tempo
>> grid % adicionar o reticulado no gráfico
>> xlabel(‘Tempo, s’) % adicionar a legenda no eixo x
>> ylabel(‘Corrente, A’) % adicionar a legenda no eixo y
Um conjunto similar de comandos permite traçar o gráfico da tensão do
resistor esai(t). A Figura 6.2 apresenta os gráficos da corrente I(t) e da tensão
do resistor esai(t) versus o tempo (veja N.T.). Note que ambas as respostas
exibem uma subida exponencial a partir da condição inicial nula até um
valor constante, o que é uma característica da resposta de um sistema de
primeira ordem a ser tratada no Capítulo 7.
Note que poderia ter sido usado o comando lsim para obter a resposta
ao degrau unitário, como mostrado a seguir:
>> t=0:0.001:0.5; % definição do vetor tempo de simulação t
>> u=ones(size(t)); % definição do vetor de entrada em degrau
unitário u(t) = U(t)
>> [I,t]=lsim(sys,u,t); % obtenção da resposta ao degrau unitário
para a corrente I(t)
Aqui deve-se definir a entrada u, que é um vetor de valores unitários com a
mesma dimensão do vetor tempo de simulação t.
Figura 6.2 Resposta do circuito RL para entrada em degrau unitário do Exemplo 6.1: (a)
corrente versus tempo e (b) tensão de saída do resistor esai versus tempo.
N.T.: Em todos os gráficos gerados pelo MATLAB apresentados neste capítulo a indicação de
decimais depois da unidade será feita através do “ . ” (notação inglesa) ao invés da “ , ” (notação
em português) de modo a manter a representação original do programa.
Exemplo 6.2
A Figura 6.3 mostra a válvula carretel de três vias empregada para controlar
a vazão em um sistema hidráulico, e a Eq. (6.8) é o modelo matemático da
válvula. Use o MATLAB para obter a resposta do sistema se a força
aplicada f(t) é uma função pulso que varia de zero a 12 N no instante de
tempo t = 0,02 s e volta para zero em t = 0,06 s. A válvula inicialmente está
em repouso.
A Eq. (6.8) é o modelo matemático da válvula carretel, que consiste em
uma única massa (m = 0,04 kg), uma força de atrito linear (coeficiente de
atrito viscoso b = 16 N·s/m), e uma força de mola linear (constante de mola
k = 7000 N/m). A variável y(t) é de deslocamento da válvula carretel (em
m) e f(t) é força de um atuador eletromagnético que empurra a válvula.
Assume-se que não existe desequilíbrio na pressão do fluido hidráulico
sobre a massa da válvula, e que as forças de fluxo são desprezadas; assim, a
força do atuador f(t) é a única aplicada sobre a massa da válvula. O sistema
inicialmente está em repouso ( 0 = y0 = 0) no instante t = 0, e a força varia
de 0 a 12 N no instante t = 0,02 s.
Desenvolve-se a função de transferência do sistema a partir da equação
E/S (6.8) usando o operador D para substituir os termos derivativos, isso é, 
 = D2y e = Dy, o que fornece
Em seguida, a partir da razão da saída pela entrada, y(t)/f(t), e substituindo
D pela variável de Laplace s, tem-se a função de transferência
A Eq. (6.10) é a função de transferência que representa o sistema válvula
carretel. Como a entrada é arbitrária (um pulso), deve-se utilizar o comando
lsim. Os seguintes comandos MATLAB devem ser escritos para produzir a
resposta ao pulso:
>> sys = tf(1,[0.04 16
7000]);
% criação do objeto sys função de
transferência
>> t = 0:0.0001:0.1; % definição do vetor tempo de simulação 0 ≤
t ≤ 0,1 s
>> f(1:200) = 0; % definição da entrada zero para 0 ≤ t < 0,02
s
>> f(201:601) = 12; % definição da entrada em força de 12 N
para 0,02 ≤ t ≤ 0,06 s
>> f(602:1001) = 0; % definição da entrada zero para t > 0,06 s
>> [y,t]=lsim(sys,f,t); % obtenção da resposta ao pulso para a
posição da válvula y(t)
O comando MATLAB plot pode ser empregado para gerar o gráfico de y(t)
mostrado na Figura 6.4. Note que a posição da válvula inicia em zero (sua
condição inicial), responde à força em degrau de 12 N aplicada em t = 0,02
s, atinge um valor de pico em torno 0,002 m (2 mm), e finalmente
permanece com um deslocamento constante de 0,0017 m (1,7 mm). Em t =
0,06 s a força aplicada retorna instantaneamente para zero e claramente a
válvula responde de forma inversa mas simétrica, voltando para a posição
zero.
Figura 6.3 Válvula carretel de três vias para o Exemplo 6.2.
Figura 6.4 Resposta da válvula carretel ao pulso de força 12 N (Exemplo 6.2).
6.3 CONSTRUINDO SIMULAÇÕES USANDO O SIMULINK
O Simulink MATLAB é uma ferramenta computacional extremamente útil
e poderosa para simular sistemas dinâmicos e obter suas respostas.
Universalmente aceito, é empregado tanto nas pesquisas acadêmicas quanto
na indústria de engenharia. O Simulink é uma ferramenta gráfica baseada
nos diagramas de blocos compostos de blocos individuais de E/S. Nesta
seção são apresentados os passos básicos para construir uma simulação e
exemplos de aplicação; o Apêndice C apresenta um tutorial mais completo
do Simulink.
Uma boa ferramenta de simulação numérica para ter sucesso deve
incorporar as seguintes características:
1.
2.
3.
4.
5.
Facilidade para definição dos modelos matemáticos que
representam a dinâmica dos sistemas;
Capacidade para incluir entradas-padrão e arbitrárias;
Facilidade para armazenar e traçar gráficos das variáveis de saída
desejadas;
Capacidade para incluir condições iniciais arbitrárias para as
variáveis dinâmicas;
Facilidade de ajuste do tempo de execução e dos parâmetros de
integração numérica.
O Simulink emprega uma interface gráfica com o usuário (GUI em inglês)
que permite navegar e selecionar blocos E/S de diversas bibliotecas, como a
Continuous e a Math Operations. A biblioteca Continuous inclui ícones
dos blocos para os modelos-padrão, tais como funções de transferência,
REE e o bloco integrador para equações E/S.A biblioteca Math
Operations inclui blocos úteis, tais como o ganho e junção soma que
podem ser usados para construir uma representação desejada em diagrama
de blocos da dinâmica de um sistema. O usuário “arrasta e solta” os blocos
desejados para a tela de trabalho (“template”, em inglês) e conecta as portas
de entrada e saída de modo a construir um modelo para simulação. Pode-se
selecionar as funções de entrada entre várias disponíveis na biblioteca
Sources, tais como o degrau, o gerador de sinais e a onda senoidal. Assim,
todos os blocos na biblioteca Sources possuem portas de saída, mas não de
entrada. Os caminhos dos sinais que conectam as várias E/S dos blocos e
funções de entrada contêm a informação da história no tempo dos sinais e
podem ser ligados aos diversos elementos de armazenamento de dados e
geração de gráficos contidos na biblioteca Sinks. Portanto, todos os blocos
da biblioteca Sinks (tais como Scope e To Workspace) possuem portas de
entrada mas não de saída. As condições iniciais das variáveis dinâmicas
podem ser ajustadas “clicando” duas vezes (abrindo) no bloco apropriado
(como o Integrator ou o State Space) e entrando com os valores
desejados. Finalmente, os parâmetros que definem o procedimento de
integração numérica estão contidos na opção Model Configuration
Parameters dentro do menu Simulation na janela do espaço de trabalho
(“workspace”) do modelo. Aqui, o usuário pode entrar com o tempo de
simulação, o tipo método de integração numérica (Euler, Runge-Kutta etc.),
e também com o intervalo de integração para métodos com passo fixo ou as
tolerâncias para os erros associados ao tamanho do passo de integração
variável.
Para iniciar o programa Simulink, simplesmente entre com o seguinte
comando no ambiente MATLAB
>> simulink
que abre o navegador da biblioteca Simulink. Clicando no ícone “New
model”, no canto esquerdo superior, irá criar um novo modelo Simulink,
que inicia uma tela (“template”) em branco para construção do diagrama de
blocos para simulação. O usuário pode agora acessar as bibliotecas
Simulink e adicionar e conectar os blocos E/S desejados para gerar a
simulação. O Apêndice C apresenta figuras descrevendo as bibliotecas,
blocos e janelas associadas usados para ajustar os parâmetros de simulação,
assim como detalhes adicionais para construir um modelo de simulação.
Construir modelos usando o Simulink é melhor demonstrado mediante a
apresentação de exemplos. Esta seção é concluída com a simulação do
diagrama de blocos do sistema de primeira ordem simples, tratado em um
exemplo do Capítulo 5.
Exemplo 6.3
Considere novamente o circuito RL simples do Exemplo 6.1 e Figura 6.1.
Empregando o Simulink, construa uma simulação desse sistema e
determine a corrente I(t) e a tensão do resistor esai(t) se a tensão de entrada
eent(t) é uma função degrau 2 V aplicada no instante t = 0. A corrente é
inicialmente nula, e L = 0,1 H e R = 1,6 Ω.
É necessário construir um diagrama de blocos desse sistema e uma
função de transferência provavelmente é a maneira mais fácil de representar
esse modelo simples de primeira ordem. O leitor deve notar que a condição
inicial é nula e, portanto, pode-se usar a função de transferência que foi
desenvolvida no Exemplo 6.1 e é repetida a seguir
A Figura 6.5 mostra a relação E/S entre a fonte de tensão eent(t) e a corrente
I. Como deseja-se a variável de saída esai(t) = RI, multiplica-se a corrente I
pela resistência R, o que também é mostrado na Figura 6.5. O modelo
Simulink é construído usando o diagrama de blocos da Figura 6.5, que
consiste em uma função de transferência simples para a dinâmica do
circuito RL, Eq. (6.11), seguida por um bloco ganho (resistência R) que
produz o sinal de saída desejado esai.
Figura 6.5 Diagrama de blocos para o Exemplo 6.3.
Após iniciar o programa Simulink e abrir a tela de um novo modelo,
deve-se abrir a biblioteca Continuous e “arrastar e soltar” o ícone de função
de transferência (Transfer Fcn) para a janela do novo modelo. O bloco
Gain (ganho) da biblioteca Math Operations é adicionado à direita da
função de transferência. Em seguida, deve-se abrir a biblioteca Sources e
incluir a função degrau (Step) para a fonte de tensão eent(t) e o ícone relógio
(Clock) para o tempo de simulação. Abre-se a biblioteca Sinks para incluir
o ícone To Workspace após o bloco ganho. As conexões dos caminhos dos
sinais são feitas da função degrau para a porta de entrada da função de
transferência, da porta de saída da função de transferência para a porta de
entrada do bloco ganho e da porta de saída do bloco ganho para o bloco To
Workspace. Finalmente, são incluídos três ícones To Workspace adicionais
da biblioteca Sinks e são conectados os caminhos dos sinais dos blocos
Step e Clock (de Sources) com dois blocos To Workspace (de Sinks) de
modo a armazenar eent(t) e t. Como deseja-se também armazenar a corrente
I(t), envia-se um sinal para o terceiro bloco To Workspace. Pode-se definir
a variável para os valores armazenados clicando duas vezes no bloco To
Workspace apropriado, e alterando o Variable name na caixa de diálogo.
Por exemplo, pode-se definir o nome da variável e_ent para a fonte de
tensão enviada para o bloco To Workspace. É importante salvar o formato
da variável armazenada como uma sequência de números (“array” em
inglês), de modo que seu gráfico possa ser traçado a partir da linha de
comandos no MATLAB. Para variar o formato, clique duas vezes em cada
bloco To Workspace e selecione Array na caixa de diálogo Save format.
Os parâmetros do sistema desejados (tensão de entrada eent = 2 V,
indutância L = 0,1 H, e resistência R = 1,6 Ω) são ajustados clicando duas
vezes nos blocos apropriados Step, Transfer Fcn e Gain e entrando com
os valores numéricos. O bloco da função de transferência possui duas
caixas de diálogo para os coeficientes do numerador e denominador, que
devem entrar como vetores linha em potências decrescentes de s. Note que
o Simulink exibe os valores numéricos dos blocos Transfer Fcn e Gain,
uma vez que tenham sido ajustados. O método de Runge-Kutta de quarta
ordem, com passo fixo, ode4 é selecionado como o algoritmo de solução
numérica no menu Simulation > Model Configuration Parameters e o
intervalo de integração fixo é ajustado em 10–3 s. Para tornar mais clara a
representação no Simulink, podem ser adicionados rótulos nos blocos e
caminhos de sinais. A Figura 6.6 mostra o modelo final em Simulink (veja
N.T.), que essencialmente reproduz o diagrama de blocos da Figura 6.5.
Deve ser enfatizado que o Simulink emprega o bloco função de
transferência na Figura 6.6 para representar a equação E/S da dinâmica do
circuito RL, e mesmo incluindo a variável complexa s de Laplace,
determina a resposta do sistema por meio de algoritmos de integração
numérica no MATLAB e não usa a teoria da transformada de Laplace.
Assim, é correto empregar rótulos no domínio do tempo, como esai(t), nos
caminhos dos sinais e não as transformadas de Laplace das variáveis, como
Esai(s).
Após o modelo Simulink ter sido construído e todos os parâmetros
ajustados, a simulação é executada selecionando Simulation > Run (ou,
clicando duas vezes o botão Run). Os gráficos das variáveis armazenadas I
e e_sai podem ser traçados usando o comando MATLAB plot. A Figura
6.7 apresenta o comportamento da corrente I(t) e da tensão do resistor esai(t)
versus o tempo. Note que ambas as respostas ao degrau 2 V são idênticas às
do degrau unitário (Figura 6.2 do Exemplo 6.1) se for aplicado um fator de
escala 2. Essa comparação faz sentido para sistemas lineares porque a
entrada aqui é um degrau de 2 V, enquanto a fonte de tensão no Exemplo
6.1 era de 1 V (degrau unitário).
Figura 6.6 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.3.
N.T.: Em todos os diagramas de blocos para simulação através do Simulink apresentados neste
capítulo será mantida terminologia original do programa (em inglês) para os blocos de uso comum
(tais como Step, Clock, To Workspace, Integrator, Gain, entre outros) e a notação dos decimais,
empregando “ . ” ao invésda “ , ” (no caso, por exemplo, dos coeficientes das funções de
transferência Transfer Fcn ou dos ganhos Gain).
Figura 6.7 Resposta do circuito RL para o Exemplo 6.3: (a) corrente versus tempo e (b)
tensão no resistor esai versus tempo.
6.4 Simulando Sistemas Lineares Usando o Simulink
1.
2.
3.
Nesta seção serão apresentados três diferentes métodos para simular um
sistema linear através do Simulink, que são
Funções de transferência
Representação no espaço de estado
Blocos integradores para cada equação em variável de estado
Logicamente, pode-se usar a função de transferência e uma REE apenas se
o modelo matemático consiste em EDOs lineares. O Exemplo 6.3 mostrou a
abordagem por função de transferência para simular um sistema elétrico de
primeira ordem simples. O terceiro método, integrar cada equação em
variáveis de estado usando o bloco integrador, pode ser aplicado para
ambos os modelos matemáticos linear e não linear. Todos os três métodos
possuem suas vantagens e inconvenientes, como será demonstrado e
discutido nesta seção pela apresentação das múltiplas abordagens de
simulação aplicadas a um mesmo sistema dinâmico linear.
Exemplo 6.4
Considere novamente o sistema válvula carretel de três vias descrito no
Exemplo 6.2 (Figura 6.3). Simule a resposta do sistema usando o Simulink
com a representação função de transferência. A força aplicada f(t) é uma
função degrau com amplitude 12 N.
No exemplo 6.2 foi desenvolvida a função de transferência que
relaciona a posição da válvula carretel y(t) com a força do atuador f(t):
O diagrama Simulink é construído usando o bloco Transfer Fcn da
biblioteca Continuous, os blocos Clock e Step da biblioteca Sources, e
dois blocos To Workspace da biblioteca Sinks. Clicando duas vezes no
bloco Transfer Fcn abre-se a caixa de diálogo, na qual pode-se entrar com
os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência
desejada na Eq. (6.12). Os parâmetros da força de entrada são também
ajustados clicando duas vezes no bloco Step: o instante de aplicação do
degrau é 0,02 s, o valor inicial é 0 N, e o final é 12 N. Finalmente, escolhe-
se o algoritmo de integração numérica Runge-Kutta, de passo fixo, ode4
(com intervalo de 10–4 s) no menu Simulation > Model Configuration
Parameters. A Figura 6.8 apresenta o diagrama Simulink da válvula
carretel usando a abordagem da função de transferência. A Figura 6.9
apresenta a resposta da posição y(t) da válvula carretel à entrada em degrau
de força 12 N. Note que y(t) inicia em zero (sua condição inicial), responde
ao degrau de força aplicado em t = 0,02 s, atinge um pico de
aproximadamente 0,002 m (2 mm), e tende ao valor final constante de
0,0017 m (1,7 mm). A resposta ao degrau mostrada na Figura 6.9 é idêntica
à resposta ao pulso de 12 N do Exemplo 6.2 até t = 0,06 s quando a entrada
em pulso volta à zero (veja Figura 6.4).
Figura 6.8 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.4: abordagem por função de
transferência.
Figura 6.9 Resposta da válvula carretel ao degrau de força 12 N (Exemplo 6.4).
Exemplo 6.5
Dado o sistema válvula carretel na Figura 6.3 e Exemplo 6.2, gere e execute
uma simulação empregando um modelo no espaço de estado. A força
aplicada f(t) é uma função degrau com amplitude 12 N.
Inicia-se pela determinação de uma REE a partir da equação E/S de
segunda ordem (6.8) mediante a definição de duas variáveis de estado: x1 =
y (posição da válvula) e x2 = (velocidade da válvula). Assim, as duas
equações em variáveis de estado são
Substituindo as variáveis de estado, x1 = y e x2 = , e a entrada u = f(t) nas
Eqs. (6.13) e (6.14) tem-se
que podem ser organizadas na forma matriz-vetor da equação de estado
Lembre-se de que a matriz quadrada 2 × 2 na Eq. (6.17) é a matriz de
estado A, e o vetor coluna 2 × 1 é a matriz de entrada B. De modo a
completar a REE, escreve-se a equação matriz-vetor de saída, na qual a
saída (posição da válvula) é a primeira variável de estado, ou y = x1
O vetor linha 1 × 2 na Eq. (6.18) é a matriz de saída C, e a “matriz” D é
nula.
O diagrama Simulink é construído usando o bloco State Space da
biblioteca Continuous, os blocos Clock e Step da biblioteca Sources, e
dois blocos To Workspace da biblioteca Sinks. Clicando duas vezes no
bloco State Space abre-se a caixa de diálogo, na qual pode-se colocar os
valores numéricos apropriados para as matrizes A, B, C e D, como
mostrado a seguir
A = [ 0 1 ; -175e3 -400 ]
B = [ 0 ; 25 ]
C = [ 1 0 ]
D = 0
Note que mesmo uma matriz nula (como a matriz de ligação direta D, nesse
caso) deve ser definida, pois o Simulink requer todas as matrizes do bloco
State Space. O leitor deve entrar com as matrizes cuidadosamente, pois o
Simulink não irá executar a simulação se todas as quatro matrizes não
possuírem as dimensões apropriadas: A deve ser n × n, Bn × r, Cm × n, e
Dm × r (neste exemplo, n = 2, r = 1, e m = 1).
O bloco State Space possui uma caixa de diálogo para o vetor estado
inicial, x(0). Nesse exemplo, os estados iniciais são x1(0) = y0 = 0 e x2(0) = 
0 = 0. Portanto, o estado inicial é inserido como um vetor coluna 2 × 1 [ 0 ;
0 ] na caixa de diálogo Initial conditions. A capacidade de incluir
condições iniciais para todos os estados é uma vantagem a se destacar no
uso da abordagem por espaço de estado.
Os demais passos para a construção do modelo Simulink (os blocos
Step, Clock, e To Workspace) são idênticos ao do exemplo anterior, e a
Figura 6.10 apresenta o diagrama da válvula carretel usando a abordagem
por espaço de estado. Note que o Simulink não exibe os valores numéricos
das matrizes da REE; o usuário deve abrir a caixa de diálogo para vê-los.
Executar a simulação e traçar o gráfico da saída y(t) (posição da válvula)
leva a resultado idêntico ao da Figura 6.9.
Uma última observação é importante: se é desejado observar a posição e
a velocidade da válvula, pode-se utilizar o método do espaço de estado
redefinindo o vetor de saída incluindo ambas as variáveis de estado, isso é,
y = x. Assim, a matriz C deve ser a identidade 2 × 2 e a matriz D é um vetor
2 × 1 nulo:
C = [ 1 0 ; 0 1 ]
D = zeros(2,1)
Quando a simulação é executada, a saída y enviada para o espaço de
trabalho do MATLAB irá conter duas colunas. A primeira coluna é a
posição da válvula e a segunda são os resultados da sua velocidade para o
tempo de simulação. Esse exemplo mostrou outra vantagem de usar o
método do espaço de estado: pode-se obter as respostas dinâmicas de todos
os estados. O método da função de transferência fornece apenas a resposta
dinâmica de uma única variável de saída, que é o deslocamento da válvula
nesse exemplo.
Figura 6.10 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.5: abordagem por espaço de estado.
Exemplo 6.6
Dado o sistema válvula carretel de três vias na Figura 6.3 e Exemplo 6.2,
gere e execute uma simulação empregando a abordagem por blocos
integradores. A força aplicada f(t) é uma função degrau com amplitude 12
N.
O conceito básico da abordagem por blocos integradores é
simplesmente “encadear” uma série de n blocos integradores para cada
equação E/S de na. ordem. Para este exemplo, tem-se uma única equação
E/S de segunda ordem, e, portanto, o “núcleo” da simulação serão duas
integrais sucessivas da aceleração, como mostrado na Figura 6.11. Note que
cada bloco integrador possui uma condição inicial (a constante de
integração) que é adicionada à integral no tempo do sinal de entrada.
Figura 6.11 Diagrama de blocos para duas integrações sucessivas da aceleração.
De modo a usar o método dos blocos integradores, inicia-se com uma
expressão para o termo da derivada de na ordem (aceleração nesse caso),
que é obtida a partir da Eq. (6.8)
Portanto, o lado esquerdo do diagrama de blocos na Figura 6.11
(aceleração) deve ser igual ao lado direito da Eq. (6.19), que é a soma das
forças de atrito, de rigidez e aplicada dividida pela massa.
A Figura 6.12 mostra o diagrama Simulink para o sistema válvula
carretel usando a abordagem dos blocos integradores. Inicia-se a construção
da simulação conectando dois blocosIntegrator da biblioteca
Continuous. A força de atrito é produzida “capturando” o sinal de
velocidade (dy, saída do primeiro integrador) e multiplicando por um bloco
Gain que representa o coeficiente de atrito viscoso. A força de rigidez é
construída de maneira similar usando a posição y (o usuário deve notar que
o bloco triangular Gain pode ser “girado” na direção e sentido destacando o
bloco e selecionando Rotate & Flip dentro do menu Diagram). Todas as
três forças são adicionadas em uma junção soma (Sum) da biblioteca Math
Operations (note os sinais positivo e negativos), e a força líquida é
dividida pela massa (bloco Gain) para produzir a aceleração (d2y na Figura
6.12). As condições iniciais para cada integrador ( 0 e y0) são ajustadas
1.
clicando duas vezes no respectivo bloco Integrator e inserindo os valores
numéricos na caixa de diálogo (ambas as condições iniciais são zero neste
exemplo).
Executando o diagrama Simulink na Figura 6.12 e traçando o gráfico de
y(t) produz-se um resultado idêntico ao da Figura 6.9. Note que é possível
“capturar” e enviar vários sinais do diagrama Simulink na Figura 6.12 para
o espaço de trabalho MATLAB, de modo a traçar gráficos da: força líquida,
aceleração (t), velocidade (t), força de atrito e força na mola. Assim, a
abordagem por blocos integradores pode ser a mais versátil dos três
métodos de simulação tratados nesses exemplos.
Figura 6.12 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.6: abordagem por blocos integradores.
Pode-se resumir as características das três abordagens Simulink baseado
nos resultados dos exemplos anteriores:
A abordagem por função de transferência é o método mais conciso
e fácil dos três, porque é relativamente simples desenvolver a(s)
função(ões) de transferência para os sistemas lineares. Além disso,
o Simulink exibe o numerador e o denominador das funções de
transferência, o que possibilita verificar a construção do diagrama
2.
3.
de simulação. Entretanto, por definição, a função de transferência
assume condições iniciais nulas. Assim, não pode ser usada quando
o sistema possui condições iniciais não nulas. E também, cada
função de transferência fornece uma única variável de saída e
algumas variáveis dinâmicas “internas” podem ser de impossível
obtenção. Note que nos exemplos prévios, a posição y(t) está
disponível se for usada a abordagem por função de transferência,
mas a velocidade (t) não.
A abordagem por espaço de estado é concisa (representa um
sistema linear inteiro por meio de um único bloco), mas requer que
o usuário desenvolva as matrizes da REE completa. Entretanto, é
flexível e permite ao usuário ajustar arbitrariamente as condições
iniciais para todos os n estados. Além disso, o usuário pode obter a
resposta dinâmica de todos os n estados fazendo a matriz de saída
C igual à identidade n × n.
A abordagem por blocos integradores é o método mais flexível,
pois permite ao usuário ajustar condições iniciais arbitrárias para
todas as variáveis dinâmicas; além disso, o usuário pode armazenar
e traçar gráficos de qualquer variável dos caminhos dos sinais, o
que pode ajudar na solução de problemas de simulações
complexas. Entretanto, para sistemas complexos, o usuário pode
necessitar de um planejamento cuidadoso para o diagrama de
simulação, porque ele envolverá múltiplos caminhos de sinais,
junções soma e blocos, o que pode dificultar sua leitura e
interpretação.
6.5 Simulando Sistemas Não Lineares
Em seguida será tratado o uso do Simulink para simular sistemas
representados por modelos matemáticos não lineares. Como citado na
Introdução, métodos numéricos de simulação são a única solução
disponível para obter a resposta dinâmica de sistemas não lineares,
enquanto as técnicas analíticas (descritas no Capítulo 7) podem ser
empregadas para determinar a solução de sistemas lineares, tais como o
sistema mecânico de segunda ordem dos exemplos anteriores. É importante
lembrar que não se pode usar funções de transferência ou uma REE quando
se trata com sistemas não lineares; a única opção é empregar a integração
numérica de cada EDO não linear, o que pode ser feito por meio do
Simulink e da abordagem por blocos integradores. A simulação de sistemas
não lineares será demonstrada revisitando o Exemplo 6.2 da válvula carretel
e o tanque hidráulico do Capítulo 5.
Exemplo 6.7
Considere novamente o sistema válvula carretel no Figura 6.3 e Exemplo
6.2, mas com a inclusão do atrito Coulomb ou seco juntamente com o
viscoso. Simule a resposta para uma entrada em degrau de 12 N.
Assume-se que a força de atrito seco Fseco possui uma amplitude de 0,4
N. Como ela sempre se opõe ao sentido do movimento, pode ser modelada
por Fsecosgn( ), na qual a função sinal “sgn” retorna o sinal do seu valor de
entrada, que é a velocidade . Adicionando o termo Fsecosgn( ) à equação
linear da válvula carretel (6.8), tem-se o seu modelo matemático não linear
Como o modelo matemático é não linear, deve-se usar a abordagem dos
blocos integradores para obter a resposta do sistema. Lembrando que no
Exemplo 6.6 foi construído um diagrama de blocos a partir da dupla
integração da aceleração da massa da válvula, portanto resolve-se a Eq.
(6.20) para a aceleração
Todos os termos da Eq. (6.21) dentro dos parênteses são forças: atrito
viscoso, atrito seco, rigidez da mola e a força aplicada f(t). Pode-se
modificar o diagrama Simulink do sistema linear, mostrado na Figura 6.12,
e incluir um caminho de realimentação adicional para a força de atrito seco,
como apresentado na Figura 6.13. Essa força é gerada enviando a
velocidade para a função sinal (ou Sign) da biblioteca Math Operations,
seguida de um bloco Gain que representa a amplitude da força de atrito seco
(0,4 N nesse caso). Note que a junção soma deve ser modificada para
aceitar quatro entradas (forças) com os sinais (positivos e negativos)
apropriados de modo a satisfazer a Eq. (6.21).
Figura 6.13 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.7: sistema mecânico não linear por meio
da abordagem de blocos integradores.
A Figura 6.14 apresenta a resposta do sistema válvula carretel não linear
à entrada em degrau de 12 N aplicado no instante t = 0,02 s. A linha sólida
na Figura 6.14 é a resposta do sistema não linear com o atrito seco e a linha
tracejada a do sistema linear do Exemplo 6.2. Note que a inclusão do atrito
seco não linear reduz um pouco o pico da resposta de y(t) quando
comparado com o do modelo linear. Além disso, a resposta não linear não
exibe “subvalor” (“undershoot”, em inglês) após o pico, e atinge seu valor
constante em aproximadamente 0,035 s (enquanto o modelo linear leva
cerca de 0,04 s).
A modelagem do atrito seco ou Coulomb usando a função sinal pode
eventualmente causar problemas na simulação por causa da
descontinuidade na velocidade zero. Tal condição normalmente requer um
intervalo de integração muito pequeno, de modo que a força possa ser
calculada com precisão próxima da velocidade nula, fazendo com que o
tempo de execução da simulação seja muito demorado. Além disso, a
função sinal pode levar a “oscilações” quando a força de atrito seco varia
rapidamente de sinal entre ± Fseco por causa da variação do sinal da
velocidade conforme se aproxima de zero (equilíbrio). Por essas razões,
pode ser útil aproximar a força de atrito seco descontínua Fsecosgn( ) pela
seguinte função
em que FAS é a força de atrito seco e e é uma constante com unidades de
velocidade. Conforme o parâmetro e se torna “pequeno” a Eq. (6.22)
fornece uma boa aproximação para a função descontínua Fsecosgn( ), e
quando e é exatamente zero, a Eq. (6.22) é igual ao modelo de atrito seco
descontínuo. A Figura 6.15 mostra a Eq. (6.22) do atrito seco contínuo para
uma faixa esperada da velocidade da massa da válvula carretel (–0,5 até 0,5
m/s) com ε = 10–4 m/s e Fseco = 0,4 N. Pela Figura 6.15a, parece que o
modelo da Eq. (6.22) varia de forma descontínua entre ± Fseco quando a
velocidade troca de sinal. Entretanto, a vista “ampliada” próxima à origem
como mostrado na Figura 6.15b demonstra que a funçãoé na verdade
contínua.
Figura 6.14 Respostas da válvula carretel ao degrau de força 12 N: modelos não linear e
linear do sistema (Exemplo 6.7).
Figura 6.15 Modelo contínuo para a força de atrito seco, Eq. (6.22): (a) faixa de operação
para a velocidade e (b) vista “ampliada” em torno da velocidade zero.
Pode-se modificar o diagrama Simulink não linear mostrado na Figura
6.13 e usar a função contínua (6.22) para modelar a força de atrito seco,
como apresentado na Figura 6.14. Nesse caso, deve-se definir a força de
atrito seco por meio do bloco Fcn (função) da biblioteca User-Defined
Functions, que permite ao usuário escrever qualquer relação funcional da
saída em termos de uma única entrada (u). Para tanto, deve-se clicar duas
vezes no bloco Fcn e entrar com a equação desejada na caixa de diálogo
Expression. A Figura 6.16 mostra a Eq. (6.22) no bloco função, no qual u é
o símbolo genérico que representa sua entrada (velocidade, , nesse caso).
Note que a constante ε é ajustada em 10–4 m/s. Executando o diagrama
Simulink na Figura 6.16, reproduz-se a resposta para a posição da válvula
y(t) que é essencialmente idêntica à mostrada na Figura 6.14 para o
diagrama Simulink não linear que emprega a função sinal descontínua para
a força de atrito seco.
Figura 6.16 Diagrama Simulink do Exemplo 6.7: sistema mecânico não linear com função
contínua para o atrito seco.
Exemplo 6.8
Considere novamente o simples sistema com tanque hidráulico do Exemplo
5.10, mostrado na Figura 6.17. O fluido de trabalho é água. No Exemplo
5.10, foi desenvolvido o modelo matemático não linear e, por meio da
linearização, encontrado um modelo linear em torno de um ponto nominal.
Usando o Simulink, simule os sistemas não linear e linear sob as mesmas
condições de operação e compare as suas respostas.
Simulação de sistema não linear
A Figura 6.17 mostra um único tanque com área de seção reta constante A,
que está sendo preenchido com água a uma vazão volumétrica de entrada
Qent. A vazão volumétrica de saída Qsai é modelada pelo escoamento
turbulento através da válvula para a pressão atmosférica Patm, e a equação
que modela o sistema tanque hidráulico não linear é
em que C é a capacitância do tanque, P é a pressão de sua base e KT é o
coeficiente de escoamento turbulento.
Figura 6.17 Sistema tanque hidráulico para o Exemplo 6.8.
Desenvolve-se primeiro a simulação não linear, empregando os
seguintes parâmetros numéricos: área de seção reta do tanque A = 1,962 m2,
massa específica da água ρ = 1000 kg/m3, coeficiente de escoamento
turbulento KT = 4(10–4) m3,5/kg0,5, e pressão atmosférica Patm = 1,0133(105)
N/m2. Assim sendo, a capacitância fluida é C = A /ρg = 2(10–4) m4·s2 /kg.
O diagrama Simulink consiste em um único bloco integrador que
resolve a equação em variável de estado não linear para a pressão do tanque
P, que é obtida a partir da Eq. (6.23)
A Figura 6.18 apresenta o diagrama Simulink para o modelo não linear do
tanque. A entrada do sistema, Qent, é representada pelo bloco Constant da
biblioteca Sources. Neste exemplo, o nome da variável Q_ent foi definido
na caixa de diálogo do bloco Constant ao invés de um valor numérico
específico. De forma similar, o bloco Constant é usado para definir a
pressão atmosférica P_atm, que é subtraída da pressão do tanque para obter
a diferença de pressão. Assim, o usuário deve definir as constantes Q_ent e
P_atm no espaço de trabalho MATLAB antes de executar a simulação do
modelo Simulink. O termo não linear na Eq. (6.24), a raiz quadrada da
diferença de pressão é claramente vista na Figura 6.18. A diferença de
pressão é calculada usando a junção soma e a operação de extração da raiz
quadrada é realizada pelo bloco Sqrt da biblioteca Math Operations (note
que em versões anteriores do MATLAB a função raiz quadrada reside no
bloco Math Function). O diagrama Simulink inclui ainda uma junção soma
para calcular a vazão volumétrica líquida e um ganho (1/C = 5000 Pa/m3)
para produzir a derivada no tempo da pressão, . O leitor deve ser capaz de
verificar como o modelo não linear (Eq. 6.24) é reproduzido pelo diagrama
da Figura 6.18.
Figura 6.18 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.8: modelo não linear do tanque.
O usuário deve ajustar os parâmetros Q_ent, P_atm e P0 (a pressão
inicial do tanque no bloco integrador) no espaço de trabalho do MATLAB
antes de executar o modelo Simulink na Figura 6.18. Uma maneira de fazer
os ajustes é escrever um programa (ou “script”) MATLAB denominado
arquivo M, que é simplesmente um conjunto dos comandos de uma única
linha requeridos. O arquivo MATLAB M 6.1 (denominado
executa_tanque_NL.m) ajusta os parâmetros requeridos e executa o modelo
Simulink tanque_NL.mdl (Fig. 6.18) usando o comando sim. Esse arquivo
M também traça o gráfico da pressão do tanque P. A resposta da simulação
não linear será apresentada após a discussão da simulação linear.
Arquivo MATLAB M 6.1
%
% executa_tanque_NL.m
%
% Este arquivo M define os parâmetros para
% o sistema tanque hidráulico, executa o
% modelo não linear Simulink e traça o
% gráfico do resultado
%
% Parâmetros do sistema tanque
Q_ent = 0.052; % vazão volumétrica constante de entrada,
m^3/s
P0 = 1.15e5; % pressão inicial da base do tanque, N/m^2
P_atm = 1.0133e5; % pressão atmosférica, N/m^2
% Execução do modelo não linear Simulink
sim tanque_NL
% Traçar o gráfico da pressão do tanque
plot(t,P)
grid
title(‘Modelo não linear: pressão do tanque X tempo’)
xlabel(‘Tempo, s’)
ylabel(‘Pressão do tanque, P(t), N/m^2’)
Simulação de sistema linear
Um modelo hidráulico linear foi desenvolvido no Exemplo 5.10 por meio
da linearização do sistema não linear Eq. (6.24) em torno de uma entrada de
vazão volumétrica (constante) Q*ent e a correspondente pressão nominal
(constante) P*, resultando em
em que δP = P – P* e s δQent = Qent – Q*ent ão perturbações a partir das suas
condições nominais, e = f(P,Qent) é a EDO não linear apresentada na Eq.
(6.24). As derivadas parciais de primeira ordem foram determinadas no
Exemplo 5.10 e são repetidas a seguir
A pressão nominal P* é
que produz uma condição de equilíbrio (C = 0) fornecendo uma vazão
volumétrica nominal Q*ent. Utilizando os valores numéricos para KT e a
vazão volumétrica de entrada nominal Q*ent = 0,05 m3/s, a pressão nominal
é P* = 1,16955(105) N/m2; e para C, KT e Q*ent dados pode-se calcular as
derivadas parciais de primeira ordem na Eq. (6.26), chegando ao modelo
linear
Agora já é possível construir o diagrama Simulink linear usando a Eq.
(6.28), e poderia ser empregada a abordagem da função de transferência;
entretanto ela é aplicável apenas a problemas com condições iniciais nulas,
ou δP(0) = P0 – P* = 0. Ao invés disso, será usada a abordagem dos blocos
integradores para o modelo linear na qual qualquer condição inicial
arbitrária pode ser aplicada. A Figura 6.19 apresenta o diagrama Simulink
para o modelo linear do tanque. Note que o núcleo da simulação é a Eq.
(6.28), que envolve δQent como a variável de entrada e δP a variável
dinâmica. Assim sendo, a simulação calcula a perturbação da vazão de
entrada δQent = Qent – Q*ent usando a junção soma que compara os dois
sinais constantes de entrada. Como a solução do modelo linear Eq. (6.28) é
em termos da perturbação na pressão δP, deve-se adicionar a pressão
nominal P* de modo a obter a aproximação linear da pressão no tanque P
como mostrado na Figura 6.19.
Figura 6.19 Diagrama Simulink para o Exemplo 6.8: modelo linear do tanque.
Como no modelo não linear, o usuário deve ajustar os parâmetros
constantes no espaço de trabalho MATLAB antes de executar a simulação
na Figura 6.19. Devem ser ajustados os parâmetros Q_ent, Q_ent_nom,
P_nom e dP0 (a perturbação inicial na pressão para o bloco integrador). O
arquivo MATLAB M 6.2 (denominado executar_tanque_linear.m) ajusta
os parâmetros requeridos, executa o modelo linear Simulink
tanque_linear.mdl (Fig. 6.19) e traça o gráfico da aproximação linear para
a pressão P(t).
Agora é possível executar ambas as simulações e comparar