Teorema de Tissot

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<p>Teoria das Distorções</p><p>GEO05023 – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS</p><p>TEMA 02</p><p>O problema básico da Cartografia</p><p>O teorema de Tissot</p><p>Tópico 2.2</p><p>O teorema de Tissot O TEOREMA DE TISSOT E AS DIREÇÕES PRINCIPAIS</p><p>“Para qualquer sistema de projeção há, para cada ponto de uma superfície, 2</p><p>direções perpendiculares uma à outra e, se os ângulos não são preservados,</p><p>há somente 2 delas, tais que as direções que as correspondem na outra</p><p>superfície também se interceptam em ângulo reto.”</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>C</p><p>A B</p><p>Θ</p><p>C’</p><p>A’ B’</p><p>Θ’</p><p>Θ ≠ Θ’</p><p>SUPERFÍCIE ESFÉRICA SUPERFÍCIE PLANA</p><p>O teorema de Tissot O TEOREMA DE TISSOT E AS DIREÇÕES PRINCIPAIS</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>C</p><p>A B</p><p>Θ</p><p>C’</p><p>A’ B’</p><p>Θ’</p><p>Θ ≠ Θ’</p><p>C</p><p>A B</p><p>Θ</p><p>C’</p><p>A’ B’</p><p>Θ’</p><p>Θ = Θ’ = 90o</p><p>SUPERFÍCIE ESFÉRICA SUPERFÍCIE PLANA</p><p>Θ = Θ’ = 90o DIREÇÕES PRINCIPAIS</p><p>O teorema de Tissot O TEOREMA DE TISSOT E AS DIREÇÕES PRINCIPAIS</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>“Um círculo infinitesimal no globo se transformará numa elipse</p><p>infinitesimal no plano, cujos semieixos estão localizados ao longo</p><p>das direções principais.”</p><p>O teorema de Tissot</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>I</p><p>I’</p><p>II II’</p><p>ϕa</p><p>ϕa’</p><p>λa</p><p>λa’</p><p>A A’</p><p>C</p><p>C’</p><p>d’sd s</p><p>x</p><p>x’</p><p>y</p><p>y’</p><p>α α’</p><p>u u’</p><p>β β’</p><p>a</p><p>b</p><p>GLOBO PLANO</p><p>O teorema de Tissot</p><p>A(ϕ,λ)</p><p>A’(ϕ,λ)</p><p>A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>I</p><p>I’</p><p>II II’</p><p>ϕa</p><p>ϕa’</p><p>λa</p><p>λa’</p><p>A A’</p><p>C</p><p>C’</p><p>d’sd s</p><p>x</p><p>x’</p><p>y</p><p>y’</p><p>α α’</p><p>u u’</p><p>β β’</p><p>a</p><p>b</p><p>O teorema de Tissot</p><p>𝑟𝑔 = 1 ∴ 𝜇0 = 1 ∴ 𝑑𝑠 = 1</p><p>A’I’ e A’II’ → direções principais → eixos da elipse</p><p>A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>𝑎 =</p><p>𝑦′</p><p>𝑦</p><p>𝑦′ = 𝑎𝑦</p><p>𝑦′ = 𝑑𝑠′ cos 𝑢′</p><p>𝑦 = 𝑑𝑠 cos 𝑢 = cos 𝑢</p><p>𝑑𝑠′ cos 𝑢′ = 𝑎 cos𝑢</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>𝑎 =</p><p>𝑦′</p><p>𝑦</p><p>𝑦′ = 𝑎𝑦</p><p>𝑦′ = 𝑑𝑠′ cos 𝑢′</p><p>𝑦 = 𝑑𝑠 cos 𝑢 = cos 𝑢</p><p>𝑑𝑠′ cos 𝑢′ = 𝑎 cos𝑢</p><p>𝑏 =</p><p>𝑥′</p><p>𝑥</p><p>𝑥′ = 𝑏𝑥</p><p>𝑥′ = 𝑑𝑠′ sin 𝑢′</p><p>𝑥 = 𝑑𝑠 sin 𝑢 = sin 𝑢</p><p>𝑑𝑠′ sin 𝑢′ = 𝑏 sin 𝑢</p><p>𝑑𝑠′ cos 𝑢′ 2 = 𝑎 cos𝑢 2</p><p>𝑑𝑠′ sin 𝑢′ 2 = 𝑏 sin 𝑢 2</p><p>+</p><p>𝑑𝑠′2 = 𝑎2 cos 𝑢 2 + 𝑏2 sin 𝑢 2</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>𝑑𝑠′2 = 𝑎2 cos 𝑢 2 + 𝑏2 sin 𝑢 2</p><p>PARA A ESCALA AO LONGO DO MERIDIANO DE A (h)</p><p>ℎ2 = 𝑎2 cos 𝛽 2 + 𝑏2 sin𝛽 2</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>𝑑𝑠′2 = 𝑎2 cos 𝑢 2 + 𝑏2 sin 𝑢 2</p><p>PARA A ESCALA AO LONGO DO PARALELO DE A (k)</p><p>𝑘2 = 𝑎2 cos 90° + 𝛽 2 + 𝑏2 sin 90° + 𝛽 2</p><p>𝑘2 = 𝑎2 sin𝛽 2 + 𝑏2 cos𝛽 2</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>1° Teorema de Apolônio – “a soma dos quadrados de 2 diâmetros conjugados de uma elipse é</p><p>constante”.</p><p>O diâmetro conjugado de uma curva plana é o lugar geométrico dos meios de todas as cordas</p><p>paralelas a uma mesma direção. Deste modo, toda a corda que passar pelo (meio) centro da</p><p>elipse é um de seus diâmetros. Dois diâmetros são ditos conjugados quando um deles divide ao</p><p>meio as cordas paralelas ao outro.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>ℎ2 = 𝑎2 cos 𝛽 2 + 𝑏2 sin 𝛽 2</p><p>𝑘2 = 𝑎2 sin 𝛽 2 + 𝑏2 cos 𝛽 2</p><p>+ ℎ2 + 𝑘2 = 𝑎2 + 𝑏2</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>2° Teorema de Apolônio – “a área do paralelogramo formado por 2 semidiâmetros conjugados</p><p>de uma elipse é igual a área do retângulo formado pelos semieixos daquela elipse”.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>I’</p><p>II’</p><p>ϕa’</p><p>λa’</p><p>A’</p><p>C’</p><p>d’s</p><p>x’</p><p>y’</p><p>α’</p><p>u’</p><p>β’</p><p>a</p><p>b</p><p>Θ’</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>2° Teorema de Apolônio – “a área do paralelogramo formado</p><p>por 2 semidiâmetros conjugados de uma elipse é igual a área</p><p>do retângulo formado pelos semieixos daquela elipse”.</p><p>ℎ ∗ 𝑘 ∗ sinΘ′ = 𝑎 ∗ 𝑏</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p><p>2° Teorema de Apolônio – “a área do paralelogramo formado por 2 semidiâmetros conjugados de uma</p><p>elipse é igual a área do retângulo formado pelos semieixos daquela elipse”.</p><p>O teorema de Tissot A ELIPSE DE TISSOT (ELIPSE DE DISTORÇÃO)</p><p>1° Teorema de Apolônio – “a soma dos quadrados de 2 diâmetros conjugados de uma elipse é constante”.</p><p>ℎ × 𝑘 × sinΘ′ = 𝑎 × 𝑏</p><p>ℎ2 + 𝑘2 = 𝑎2 + 𝑏2</p><p>× 2</p><p>+ 𝑎 ± 𝑏 = ℎ2 + 𝑘2 ± 2ℎ𝑘 sin 𝜃′</p><p>D. H. MALING. Coordinate Systems and Map Projections. Oxford, England: Press. 2º ed. 1992.</p>