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<p>8 Rectasy Planos Diedrosy Triedros y Práctica CEPRES! + EXAMENES DE ADMISION Luis Lazo Gutierrez EDIT</p><p>8 Rectas Y Planos Diedros Y Poliedros Teoria y Practica E E i Full CEPRES! + EXAMENES DE ADMISION Luis Lazo EDIT</p><p>PRESENTACIÓN El Fondo Editorial RODO es un grupo educativo con formado por profesionales de experiencia que por muchos años vienen participando en el análisis y producción de textos acordes con las necesidades del sistema educativo. Conocedores de la realidad de nuestro educando que día a día nos muestra la interacción con ellos en las aulas de clase y poniendo de manifiesto nuestro compromiso como educadores hemos asumido el reto de contribuir a elevar el nivel académico de manera integral. Continuando con la elaboración de nuestra colección con miras al ciclo académico 2014, en está oportunidad presentamos el texto teórico práctico denominado TEMAS SELECTOS DE desarrollado con la gran experiencia de nuestro grupo humano. Caracterizándolo así por el rigor y la exigencia académica, ya que abarca los temas y preguntas solicitadas según la currícula de los centros preuniversitarios de las universidades más importantes del país relacionados con el curso. Esta obra es la continuación de nuestra serie de publicaciones, caracterizada por la calidad e innovación constatada en los miles de ingresantes que han tenido como apoyo nuestras colecciones, esperando los comentarios y sugerencias las cuales sabremos aceptar La presente serie de boletines consta de una sección teórica, donde se muestra toda la teoría referente al capítulo o capítulos mostrados en el boletín, luego se determina una sección de 100 problemas resueltos por los autores clasificados por nivel de exigencia de menor a mayor dificultad, explicados de manera clara y sencilla que servirá tanto para alumnos que recién empiezan su camino a la universidad, como alumnos de nivel avanzado, dándole nuevas alternativas de solución, luego se cuenta con 100 problemas propuestos con sus respectivas claves para que el alumno mida su nivel de comprensión respecto al capítulo con problemas de igual exigencia que la sección anterior, por último se muestra una sección de exámenes de admisión del curso en mención, con soluciones explicadas de la mejor manera. Fondo Editorial RODO De: Walter Benitez</p><p>MEZA BRAVO ELVIS RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS GEOMETRÍA-TEMA SELECTO 08, 1ra Edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, tampoco su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. DERECHOS RESERVADOS Octubre 2014 por FONDO EDITORIAL RODO de Walter Z. Benitez Nuñez Av. Venezuela 979 Of. 205 - Breña LIMA 05, 424-6350 992-796104 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú 2014-15304 EQUIPO PEDAGÓGICO Luis Lazo Gutiérrez DIAGRAMACIÓN, DIGITACIÓN Y GRÁFICOS José Miguel Gallo Ballena Meneses Huamán IMPRESO EN PRINTED IN Impreso en los Talleres Gráficos de CORPORACIÓN PIANCASH S.A.C. Jr. Chancay 446 Of. 112 - Lima 01</p><p>RECTAS PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS EDITORIA RODO RECTAS Y PLANOS NOCIONES Y POSTULADOS FUNDAMENTALES Recordemos que los entes geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano. Tanto la recta como el plano son conjuntos de puntos y el conjunto de todos los puntos es el espacio geométrico. PLANO La superficie plana o simplemente plano es aquella superficie tal que contiene a la recta determinada por dos puntos cualesquiera de dicha superficie. La superficie de las aguas tranquilas, la de los espejos, la de las pizarras bien pulimentadas, etc; nos dan una idea aproximada de una porción de superficie plana. Y si la imaginamos extendida indefinidamente en todas direcciones, tenemos la idea de plano geométrico. De la noción dada se deduce que el plano es ilimitado, pero en los dibujos se representa por medio de figuras limitadas, como regiones poligonales, circulares, etc. Frecuentemente se utilizan regiones Notación: Los planos se designan con una sola letra y cuando sea necesario, para evitar confusiones, con dos o más. Plano Ho OBSERVA Los puntos de un conjunto están alineados son colineales, si hay una recta que los contiene a todos. - Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contiene a todos. POSTULADO DE SEPARACIÓN DE PUNTOS DE UN PLANO Una recta de un plano H separa este plano en dos conjuntos de puntos y H2 tales que: a) b) H2 son convexos c) AB interseca a H1 r A B H2 Cada uno de los conjuntos y H2 se denominan semiplano. La recta se llama arista u origen de cada uno de los semiplanos. H1 H2 se llaman semiplanos opuestos. 5</p><p>MEZA BRAVO ELVIS RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS GEOMETRÍA-TEMA SELECTO 08, 1ra Edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, tampoco su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. DERECHOS RESERVADOS Octubre 2014 por FONDO EDITORIAL RODO de Walter Z. Benitez Nuñez Av. Venezuela 979 Of. 205 - Breña LIMA 05, 424-6350 992-796104 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú 2014 - 15304 EQUIPO PEDAGÓGICO Luis Lazo Gutiérrez DIGITACIÓN Y GRÁFICOS José Miguel Gallo Ballena Meneses Huamán IMPRESO EN PERU PRINTED IN Impreso en los Talleres Gráficos de CORPORACIÓN PIANCASH S.A.C. Jr. Chancay 446 Of. 112 - Lima 01</p><p>RECTAS Y PLANOS DIEDROS Y TRIEDROS RECTAS Y PLANOS NOCIONES Y POSTULADOS FUNDAMENTALES Recordemos que los entes geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano. Tanto la recta como el plano son conjuntos de puntos y el conjunto de todos los puntos es el espacio geométrico. PLANO La superficie plana o simplemente plano es aquella superficie tal que contiene a la recta determinada por dos puntos cualesquiera de dicha superficie. La superficie de las aguas tranquilas, la de los espejos, la de las pizarras bien pulimentadas, etc; nos dan una idea aproximada de una porción de superficie plana. Y si la imaginamos extendida indefinidamente en todas direcciones, tenemos la idea de plano geométrico. De la noción dada se deduce que el plano es ilimitado, pero en los dibujos se representa por medio de figuras limitadas, como regiones poligonales, circulares, etc. Frecuentemente se utilizan regiones Notación: Los planos se designan con una sola letra y cuando sea necesario, para evitar confusiones, con dos o más. Plano H Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que los contiene a todos. Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contiene a POSTULADO DE SEPARACIÓN DE PUNTOS DE UN PLANO Una recta de un plano H separa este plano en dos conjuntos de puntos H2 tales que: a) = b) yH2 son convexos c) y AB interseca a A B H2 Cada uno de los conjuntos y H2 se denominan semiplano. La recta se llama arista u origen de cada uno de los semiplanos. H1 y H2 se llaman semiplanos opuestos. 5</p><p>MEZA BRAVO ELVIS EDITORIA BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 POSTULADO DE SEPARACIÓN DE PUNTOS DEL ESPACIO Un plano H del espacio tridimensional separa a este A especio en dos conjuntos de puntos y E2 tales que: a) b) son convexos c) AB interseca al plano H Cada uno de los conjuntos y E2 se llama E2 B semiespacio. el plano H se denomina cara de cada uno de los semiespacios. DETERMINACIÓN DE UN PLANO Postulado: Tres puntos no colineales determinan un único plano al cual pertenecen. Si B y son puntos no colineales, entonces: A, By C determinan el plano H. B A C De este postulado se desprende los siguientes teoremas: 1. Una recta y un punto exterior a ella determinan un único plano, al cual pertenecen. A n A y n determinan el plano P 2. Dos rectas que se intersecan determinan un único plano, al cual pertenecen. n o m myn determinan el plano Q Finalmente diremos que un plano queda determinado por dos rectas paralelas. Desde luego dos rectas paralelas están siempre situadas por definición en un mismo plano. Este es el único plano que las contiene, puesto que no hay más que un plano que pase por la primera y un punto de la segunda. "Dos rectas paralelas determinan un único plano, al cual pertenecen". a b R/ Si a b ellas determinan el plano R 6</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS Posiciones relativas de dos planos Dados dos planos del espacio: a) Son secantes, si tienen una recta en común, es decir, la intersección de dos planos secantes es una recta. B R y S: secantes A b) Son paralelos, si no se intersecan. Si Posiciones relativas entre una recta y un plano Dadas una recta y un plano: a) La recta está contenida en el plano si tiene todos sus puntos comunes con él. D C L Si B A A; B; C; b) Son secantes si se intersecan en un punto. L P y OH son secantes c) Son paralelos si no se intersecan. L 7</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 Posiciones relativas de dos rectas en el espacio Dos rectas en el espacio pueden pertenecer a un mismo plano (rectas coplanarias) o no pertenecer al mismo plano. Si las rectas son coplanarias: a) Son secantes, si su intersección es un punto. m P y son secantes n b) Son paralelos, si no se intersecan. p q H/ Si las rectas no son coplanarias, entonces no se intersecan. En este caso de denominan rectas alabeadas o cruzadas. L2 Así en la figura son rectas alabeadas RECTA PARALELA A UN PLANO Una recta es paralela a un plano cuando la recta y el plano no tiene ningún punto en común. Para que una recta no contenida en un plano sea paralela a dicho plano, es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea paralela a una recta que esté contenida en el plano. a Sea a una recta no contenida en el plano H b H/ NOTA Si una recta es paralela a un plano, esto no significa que dicha recta será paralela a todas las rectas del plano. TEOREMAS SOBRE PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS 1. Si una recta es paralela a un plano, todo plano que pase por al recta y que corte al primero, le intersecará según una recta paralela a la recta dada. 8</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS EDITORIA L2 P R/ 2. Si dos rectas secantes de un plano son paralelas a otras dos rectas secantes de otro plano, entonces ambos planos son paralelos. a b m n 3. Las intersecciones de dos planos paralelos con un tercer plano, son paralelas. B A Si AB CD D C ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS Es el ángulo determinado por dos rayos respectivamente paralelos a las rectas dadas y cuyo origen es un punto cualquiera del espacio. B M Así, dadas las rectas alabeadas AB y si o a H OM//AB y ON // CD, entonces "a" es la medida N del ángulo entre las rectas que se cruzan AB y CD. D 9</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 RODO B El ángulo entre dos rectas alabeadas también se A obtiene trazando la paralela a una de las rectas dadas por un punto cualquiera de la otra. F Si EF AB, entonces "0" es la medida del ángulo entre las rectas que se cruzan AB y CD. D RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas que se intersecan o se cruzan, serán perpendiculares entre sí, si el ángulo que forman entre ellas es recto. H m Así en la figura: albymin a En algunos cursos se usa el término n H/ b ortogonalidad como sinónimo de perpendicularidad. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano. El plano se dice, a su vez, perpendicular a la recta. El punto de intersección de la recta perpendicular y el plano, se denomina pie de la perpendicular. Así en la figura el punto es el pie de la recta perpendicular L. L L 1 siempre y cuando: NOTA a2 Si la recta interseca al plano sin serle perpendicular se llama oblicua al plano. TEOREMA Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano. L m Sean myn rectas no paralelas del plano H, si n 10</p><p>RECTAS PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO Y UNA RECTA SOBRE UN PLANO La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada de dicho punto hacia el plano. La proyección ortogonal de una recta sobre un plano en el conjunto de puntos del plano que son las proyecciones de los puntos de la recta sobre dicho plano. H : Plano de proyección L B P, D : Proyectante P' : Proyección ortogonal de P sobre H A A'B' : Proyección ortogonal de AB sobre H B' D' C CD' : Proyección ortogonal de CD sobre OH N A' N : Proyección ortogonal de L sobre H ( L 1 H) ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO El ángulo entre una recta y un plano, es el ángulo que determina la recta con su proyección en dicho plano. L En la figura es la proyección de L sobre el plano H, luego "0" es la medida del ángulo entre la recta L el plano H. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si por el pie de una recta perpendicular a un plano, se traza otra recta perpendicular a una de las rectas contenida en dicho plano, entonces toda recta trazada por el pie de esta última recta y un punto cualquiera de la recta perpendicular al plano será perpendicular a la recta contenida en dicho plano. L r P Sea: H a (2da 1) S (3ra 1) N : 11</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS La distancia entre dos rectas alabeadas es la longitud del segmento perpendicular a ambas rectas, cuyos extremos pertenecen uno a cada recta. b A Si: AB b d B Entonces: AB = d es la distancia entre a y b a MÉTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS Primer método Para calcular la distancia entre dos rectas alabeadas es recomendable fijar un plano perpendicular a una de las rectas, a éste se le denomina plano de proyección. Luego la distancia entre las proyecciones de las rectas dadas sobre dicho plano (distancia entre punto y recta) será la distancia buscada. a b Sean a y b dos rectas alabeadas. Si P (punto) y son las proyecciones de a y b sobre entonces: P d PQ = d es la distancia entre a y b Segundo método Para calcular la distancia entre dos rectas alabeadas es recomendable fijar un plano perpendicular a los planos paralelos que contienen a estas rectas alabeadas. Dicho plano será llamado plano de proyección. Luego la distancia entre las proyecciones de las rectas dadas sobre dicho plano (distancia entre dos rectas paralelas) será la distancia buscada. Q Sean a y b dos rectas alabeadas contenidas en b4 los Sea H un plano perpendicular al plano Q. las proyecciones de a y b sobre H, entonces: d B AB = d es la distancia entre a y b 12</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO ÁNGULO DIEDRO DEFINICIÓN Un ángulo diedro es la reunión de una recta y dos semiplanos no coplanarios que tienen dicha recta en común como origen. La recta se llama arista del diedro y la reunión de la arista con cualquiera de los semiplanos, es una cara del ángulo diedro. F X B 0 Cara y A Cara Arista NOTACIÓN Ángulo diedro F - - AB H o simplemente diedro AB XOY: Ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro. 0 : Medida del ángulo diedro. PLANOS PERPENDICULARES Dos planos son perpendiculares si determinan diedros que mide H A En la figura mostrada entonces: H OP 13</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 Si una recta es perpendicular a un plano, entonces todo plano que contenga a la recta será perpendicular al plano dado. L En el gráfico mostrado I es perpendicular E al plano Q, en el punto y P es un plano cualquiera que contiene a L, entonces: o D TEOREMA El área de la proyección ortogonal de una región plana sobre un plano es igual al producto del área de dicha región son el coseno del ángulo diedro, determinado por el plano que contiene a la región y el plano dado. B A S C B' Sp C' S : Área de la región proyectada Sp : Área de la proyección a : Medida del ángulo diedro determinado por los planos HyQ Sp = S a 14</p><p>RECTAS Y PLANOS DIEDROS Y TRIEDROS RODO ÁNGULO TRIEDRO DEFINICIÓN Figura geométrica que está determinado por la reunión de tres regiones angulares no coplanares, consecutivas y de vértice común. El vértice común es el vértice del ángulo triedro, los lados del ángulo son las aristas y pertenecen a dos caras del triedro. A ARISTA ELEMENTOS: VERTICE Vértice : o Aristas : OA, OB y OC C o Caras : AOB, BOC y AOC Diedros : diedro OA, diedro OB y diedro OC MEDIDA DR UNA CARA B NOTACIÓN MEDIDA DE TRIEDRO O-ABC DIEDRO TEOREMAS DE TRIEDRO 1. En todo triedro la suma de las medidas de sus tres caras está comprendida entre 0° y 360°. 0<a+b+c<360 2. En todo triedro se cumple que la medida del de una cara es menor que la suma de las medidas de las otras dos y mayor que la diferencia de las otras dos. b-c<a<b+c 3. En todo triedro se cumple que la suma de las medidas de sus tres diedros está comprendida entre 180° y 540° 4. En todo triedro se cumple que a mayor cara se le opone mayor diedro, y viceversa. 5. En todo triedro se cumple que a caras de igual medida se le oponen diedros de igual medida y viceversa. 15</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIEDROS Los ángulos triedros, según las medidas de sus caras son: 1. TRIEDRO ESCALENO.- Sus tres caras tienen diferentes medidas. 2. TRIEDRO Tiene dos caras de igual medida. 3. TRIEDRO Sus tres caras tienen igual medida. 4. TRIEDRO UNIRRECTÁNGULO.- Una de sus caras miden 90° a = 90 5. TRIEDRO BIRRECTANGULAR.- Dos caras miden 90° y diedros opuestos miden 90° 90 at Ejemplo: AR * En la figura podemos observar un triedro birrectángulo cuyas dos caras miden 90° así como sus diedros opuestos. B C 6. TRIEDRO Sus tres caras miden 90° y sus tres triedros miden 90° A * En la figura podemos observar un triedro trirrectángulo B cuyas caras y diedros miden 90° o 16</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS TRIEDROS TRIEDRO TEOREMAS H es el ortocentro del triángulo ABC a b h 1 1 1 2 + b2 + A 3 C = + ÁNGULO TRIEDRO POLAR o SUPLEMENTARIO DEFINICIÓN Un ángulo triedro polar o suplementario de un ángulo triedro dado es aquel que se obtiene al trazar por un punto interior al triedro dado tres perpendiculares a cada cara. TEOREMA DEL TRIEDRO POLAR Dado el triedro o - ABC y su triedro polar luego se cumple que la medida de las caras de uno de ellos es suplementario de las medidas de los diedros del triedro polar. TRIEDRO POLAR A B A' B' C C' 17</p><p>BRAVO ELVIS EDITORI BOLETIN DE GEOMETRIA - 08 RODO PROBLEMAS 1. Dos caras de un triedro miden y 5. Calcular el máximo número de planos Calcular el máximo valor entero que se pueden determinar con 5 de la medida de la tercera cara. rectas paralelas. A) 10° B) 89° C) 109° A) 5 B) 8 C) 10 D) 179° D) 15 E) 17 E) 6. Calcular el máximo número de planos 2. Un segmento AB forma con un plano que se pueden determinar con 8 un ángulo de 45°, un segmento AC rectas y 6 puntos no alineados. contenido en el plano forma con la proyección de AB sobre dicho plano A) 28 B) 20 C) 48 un ángulo de Calcular la medida D) 68 E) 96 del 7. Sea AB un segmento exterior a un A) 50° B) 60° C) 70° plano, tal que las distancias de "A" y D) 30° E) 45° "B" al plano midan 4 y 9 cm. Si AB = 13 cm, calcular la longitud de la 3. Indique falso verdadero según proyección de AB sobre dicho plano. corresponda: I) Dos rectas cruzadas tienen un A) 5 cm B) 13 cm C) 10 cm punto en común. D) 12 cm E) 16 cm II) Tres puntos siempre determinan 8. un plano. PO es un segmento que forma 45° con III) La proyección de un segmento un plano. Si PQ = calcular la sobre un plano, es siempre otro proyección de PQ sobre dicho segmento. A) m B)3m A) FVF B) VVF C) VFV D) 1m D) FFF E) VVV 9. Sea ABC un triángulo de 4 cm de lado. Levante AH perpendicu- 4. Se tiene 7 puntos en el espacio. lar al plano del triángulo, de modo Calcular el máximo número de planos que HA = 7 cm. Calcular la suma de que se pueden determinar. HB y HC. A) 35 B) 40 C) 70 A) B) cm cm D) 95 E) 110 D) 18</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO 10. Un triángulo ABC está 14. Sean los planos "P", "Q" y "R" inscrito en una circunferencia de 4 cm paralelos entre sí. Una recta corta a de radio y de centro Levante la estos planos en "A", "B" y "C" respec- perpendicular OH al plano de este tivamente y otra recta corta a dichos triángulo, de modo que HO = 2 cm. planos en "E", "F" y "H" respectiva- Calcule la distancia de "H" hacia uno mente. Calcular el valor de "FE", de los lados del triángulo. sabiendo que: A) B)2cm C) cm D) 3cm E) A) 5,2 B) 6,8 C) 8,6 11. Se tiene un cubo de 4 cm de arista, D) 6,9 E) 9,6 donde su base es el cuadrado ABCD y una de sus alturas es CF. Calcule el 15. Se tienen los cuadrados ABCD y ABPQ área del triángulo FBD. de planos Si el lado de estos cuadrados mide 6 cm, A) calcular la distancia entre sus centros. D) E) A) 6cm B) cm C) 4 cm 12. Se tiene un triángulo ABC, tal que D) cm E) cm AC = 6 cm y su altura BH = 3 cm. Perpendicularmente al plano de este 16. Un ángulo diedro mide 60°, ¿A qué triángulo, se levanta BS, de modo que distancia de la arista se encuentra un BS = 4 cm. Calcule el área de la región punto P si se halla a 30 de cada cara? triangular ASC. A) 20u B)30u C) 40u A) 30 B) D) 60u E) D) 6 17. Se tiene un plano P y un segmento 13. Sea ABCD un rectángulo de modo que AB de 12 u de longitud que no CD = 6 cm. Perpendicularmente a su pertenece a dicho plano. Calcular la plano, se levanta BQ, de modo que medida del ángulo formado por AB QD = 10 cm. Calcule el área de la con el plano si las proyectantes de A y región triangular QDC. B miden 13 uy 7 u respectivamente. A) 60 A) 45° B) 30° C) 60° D) 24 E) D) 37° E) 53° 19</p><p>BRAVO ELVIS BOLETÍN DE - 08 18. Una región triangular al ser proyecta- 22. En el gráfico, PB es perpendicular al da sobre un plano determina otra plano R, AH = 2u, HC = 8u, PB = 3u. región triangular cuya área es la mitad Calcular el área de la región APC. del área de la región del primero. P Calcule la medida del diedro que forman los planos de los C B A) 15° B) 45° H D) R A 19. Dado un triángulo rectángulo isós- celes AOB, siendo AO = OB = u; en 6 el vértice o se levanta una perpendi- 23. En el gráfico; cular al plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo Calcular el área de la re- M con los vértices A y B. Calcule el gión PSR. P valor de OM para que el diedro AB A) 3u HR R D) 4 E)5u 20. Dos caras de un ángulo triedro miden 25 y 170° respectivamente. Entonces, la mayor medida entera de la tercera cara es: 2 24. En el gráfico, PH es perpendicular al A)21° C) 30° plano Q, PH = 12, AP = BP = 13 y D) 38° E) 39° AB=8. Calcular HL P. 21. En un triedro o - ABC, sus caras miden a = 90°, b = = 60°. Calcular la B medida del ángulo que forma la arista H OA con el plano OBC. L A A) B) 30° C) 45° A) 5 B) 4 C) D) 37° D) 2 E) 1 20</p><p>RECTAS PLANOS - DIEDROS TRIEDROS CONDO EDITORIA 25. En el gráfico, BF es perpendicular al A) B plano del cuadrado ABCD. B) Si: AB = BF = BC = a y "M" es punto C) P medio de CD, hallar el área de la región sombreada. D) C E) 3 F 28. En la figura ABCD es un cuadrado y C B ABE es un triángulo situa- dos en planos perpendiculares. Si: AB M = 2 cm, AM = ME y "0" es centro del cuadrado. Hallar el área del triángulo MOD. D E B C M 26. En el gráfico, ABC es un triángulo de ortocentro M, MD A D perpendicular al plano del triángulo. Calcular la medida del diedro 2 15 cm B) C) formado por ABC y ABD (MD = 2 4 AC=6). D 29. Hallar la menor distancia entre EC y AB en la figura mostrada. B F A A) 2 cm M B) 2,4 cm E C C) 2,8 cm C D) 3 cm 4 cm B E) 3,2 cm A 3 cm D 53° 127° C) 30. Calcular la medida del diedro forma- 2 do por los semicírculos de radio "R". 2 2 Si el área de la región PCD es además: CD // AB, m CD = 90°. (P: 27. En la figura, hay un triedro cuyas caras son mutuamente ortogonales y la Punto medio de AB). longitud de sus aristas es: PA = PB = PC = 6 m. Hallar el área de la región A) 25° C) 35° triangular ABC. D) E) 45° 21</p><p>BRAVO ELVIS BOLETÍN DE - 08 EDITORIA 31. Las proyecciones de un segmento de 36. Dos puntos A y B, situados a uno y recta AB sobre un plano y sobre una otro lado de un plano X, distan de recta perpendicular al plano miden, dicho plano, 6 cm y 9 cm, respectiva- respectivamente 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mente. Si la proyección del segmento mide el segmento AB? AB sobre el plano es 30 cm. Hallar la distancia entre los puntos AyB. A) 10 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 13 cm E) 14 cm A) B)15cm C) cm D) E) 12 cm 32. Un segmento de recta de 26 cm, une el punto A del plano "X" con el punto B 37. Sean L1 y L2 son rectas cruzadas que del plano Y, X e Y son planos paralelos, la proyección de AB sobre X Y mide forman un ángulo de medida igual a 24 m. La distancia entre se marcan los puntos "A" y "B", en L2 se marcan los puntos "P" y A) 10 cm B) 11 cm "Q" de modo que: AP sea la mínima D) 12 cm 13 cm distancia entre ellas y AB=PQ=2(PA) Calcular la relación de QB AP. 33. Se han determinado como máximo 45 planos utilizando "n" rectas secantes. A) B) Calcular "n". D) E) A) 9 B) 10 C) 11 38. Los planos que contienen a los rectán- D) 12 E) 13 gulos ABCD y BCEF forman un ángulo 34. Tres planos paralelos determinan sobre diedro recto, tal que: BC = 8 y BF = 6, una recta secante los segmentos AE entonces, la longitud del segmento que une los puntos medios de FD es: y EB y sobre otra secante, los segmentos CF y FD. Si: AB = 8m, CD = A) 4 B) 4,5 C) 5 12myFD-EB=1m.CalcularCE = D) 5,5 E) 6 A)6m C) m 39. Sea ABC un triángulo se E) 10 m levanta CF perpendicular al plano del 35. Dado un triángulo rectángulo AOB, triángulo ABC de modo que CF BA. siendo: OA = OB = 2a; en O, se levanta Calcular la medida del ángulo diedro una perpendicular al plano AOB, sobre que forman los planos ABC y AFB. la que se toma M, OM = a y luego se A) 30° B) une M con los puntos A y B. Calcule la medida del diedro AB. C) sen A) 15° B) 30° C) 45° D) E) D) 60° E) 75° 3 22</p><p>Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS 40. Uno de los catetos de un triángulo 44. Si una recta es perpendicular a tres isósceles está contenida en el plano rectas dadas: "P" y el otro forma con dicho plano un ángulo de Calcular el ángulo que A) Las tres rectas dadas tienen que forma su hipotenusa con el plano "P". ser paralelas. B) Las tres rectas dadas tienen que estar en un mismo plano que A) 45° B) 30° contenga a la perpendicular. C) 60° C) Por las tres rectas pueden pasar D) E) arccos tres planos paralelos entre sí. 4 D) Por las tres rectas dadas no pueden pasar planos paralelos entre sí. 41. La recta I es la intersección de dos E) Ninguna de las afirmaciones ante- planos e y, perpendiculares entre sí, riores es correcta. es paralela a una recta R del plano "x" y a una recta S del plano "y" si la dis- 45. Cuando dos planos son perpendicu- tancia entre I y R es de 16 cm, y la lares: distancia entre I y es de 12 cm. ¿Cuál es la distancia entre A) Todo plano perpendicular a uno de ellos lo es también al otro. A) 14 cm B)25 cm C) cm B) Toda recta perpendicular a la in- tersección de ambos debe estar D) 10/3 cm E) 20 cm contenida en uno de ellos. C) Todas las rectas de uno de ellos son 42. A - BCD es un triedro trirrectángulo perpendiculares al otro. de modo que: AB = AD = 6 m. Si D) No siempre se cortan. o es la proyección de A sobe el plano E) Todo plano perpendicular a su inter- BCD, entonces la distancia que hay sección es perpendicular a ambos. entre y la arista AB es: 46. Se tienen los segmentos alabeados AB y A) 8m C) 6 CD ortogonales: AB = 4yCD = 6. Hallar D) E) la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD, si AC es perpendicular a ambos segmentos. 43. Si un plano es paralelo a una recta: A) 3 B) C) A) Toda perpendicular a la recta será D) V11 E) paralela al plano. B) Toda recta paralela al plano será 47. El punto A está 8 cm encima de un plano horizontal y el punto B está 4 paralela a la recta dada. cm encima del mismo plano. La pro- C) Todo plano perpendicular al plano yección de AB sobre el plano mide 9 dado será paralelo a la recta dada. cm. Calcular la longitud en cm del D) Toda recta que es perpendicular al menor camino de A hacia B pasando plano tendrá que ser perpendicular por un punto del plano. a la recta. E) Ninguna de las afirmaciones es A) 15 B) 17 C) 14 correcta. D) 21 E) 13 23</p><p>A BRAVO ELVIS BOLETÍN DE - 08 48. Un triángulo isósceles ABC, donde: 51. Dado un triángulo ABC. AB = 15; BC AB = AC= a, está inscrito en un = 8 y AC = 17. Por el incentro "I" se de radio a. En A, se levanta una per- eleva ID, perpendicular al plano ABC, pendicular AD al plano del triángulo y siendo ID Calcular la medida se une el punto D con los vértices B del ángulo DAB. Calcular la longitud del segmento DB A) 37° C) 60° para que el diedro D BC A mida 30° D) 45° E) 75° a. 13 B)a 13 12 52. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cuyo cateto AB = 3m, se traza la mediana BM; luego por B, se E) a 13 levanta un segmento BH perpendicu- 2 lar al plano del triángulo ABC. Si el 49. Una hoja de papel de forma rectan- área de BHM es y el área de su gular ABCD, tiene como dimensiones: proyección sobre el plano determina- AB = 1) m, BC = 3 m. Por los do por BHC es de 10 hallar la medida de la hipotenusa AC. puntos medios de AB y CD, se dobla la hoja de papel, de tal manera que el A) ángulo diedro formado es de D) m Hallar la distancia mínima que existe entre la arista del diedro y el segmento 53. En el plano P, se tiene el triángulo que une el centro de sus caras. ABC, cuyo ángulo A mide Se tiene A) 2m B) 3m un punto S fuera del plano P. Si las distancias, de S al punto A es igual a C)4m 25cm, de S al lado AC igual a 20cm, y D) + de S al lado AB igual a 7cm. Hallar la distancia de S al plano P. 50. Sea un círculo de centro "0" y un A) C) 38 cm cuadrado ABCD que se encuentran D) 6cm contenidos en planos perpendiculares (sea AB una cuerda de Se marca 54. Se tiene un cuadrado ABCD de lado "M" en DC, de modo que: 3DM=5MC igual a cm. Un semicírculo de diá- AB 8 dm y OA = 5 dm. Calcular la metro OC es perpendicular al plano del distancia de "M" a OB. cuadrado y se traza la tangente AP. Hallar el área de la región triangular APB siendo "0" centro del cuadrado. A) 24</p><p>EDITORIA RECTAS PLANOS - DIEDROS TRIEDROS RODO 55. Un punto "P" se mueve permanecien- 58. Dado el do a 7m de los extremos de AB cuya punto E entre las caras P y Q que longitud es de 10m. Calcular el área distan de dichas caras 6 12u de la región limitada por el lugar geo- respectivamente. Además la distancia métrico de los puntos de E a AB mide 15u. Hallar la medida del ángulo diedro. A) A) B) 127° C) 93° D) D) 97°30' E) 116° 30' 56. En un triángulo equilátero ABC, 59. Dos caras de un triedro miden 45° inscrito en una circunferencia; por M cada uno y se encuentran formando punto medio del arco BC se levanta un diedro de Hallar la medida de una perpendicular al plano del la tercera cara. triángulo hasta un punto D. Hallar la distancia del punto D al baricentro del A) 45° B) 30° C) 60° triángulo ABC. Si: D) E) 135° A) B)3u C) 1,5u 60. Dado el segmento MN de 35 cm de E) longitud y secante a un plano de tal modo que las distancias de "M" y "N" al plano suma 28 cm. Calcular la 57. Indicar si es falso o verdadero, según longitud de la proyección sobre el corresponda: plano. * Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha recta será paralela a A) 17 cm B) 18 cm C) 19 cm todas las rectas contenidas en dicho D) 20 cm E) 21 cm plano. ( ) * Si un conjunto de rectas son para- 61. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 8 lelas, necesariamente dichas rectas y AC = 10. Por el vértice "A" se levanta son coplanares. ( ) AD perpendicular al plano del trián- * Si una recta es perpendicular a gulo. Si "M" es punto medio de BC, otras tres dadas, las rectas dadas calcular la medida del ángulo entre necesariamente tienen que estar en los segmentos AB y DM, sabiendo un mismo plano que contenga a la además que AD = perpendicular. ( ) A) 30° B) 60° C) 45° A) FVV B) FVF C) VFF E) VVF D) 37° E) D) FFF 25</p><p>A BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 EDITORIA 62. Se tiene un triángulo rectángulo ABC 65. Indique el valor de verdad de las donde los catetos AB y AC miden cada siguientes proposiciones: uno Por "B" se levanta la perpen- I. Dos planos paralelos a una misma recta son paralelas. dicular BH al plano del triángulo tal II. Todo plano perpendicular a una que BH = 3. Calcular HM si "M" es recta situada en un plano es punto medio de la hipotenusa. perpendicular a dicho plano. III. Si una recta no es perpendicular a A) B) 3 C) 7 un plano, entonces, no es perpen- D) 6 E) 5 dicular a ninguna recta contenida en el plano. 63. Se considera un punto "P" exterior y no coplanar a un rectángulo ABCD. Si: A) VVF B) FVV C) VFV PA=3; Calcular PD. D) FVF E) FFF A) C) 66. En el gráfico, los planos R son para- D) E) 6 lelos. = y AD + 4(CE) = 20, calcule el máximo 64. En la figura, las regiones rectangulares valor entero del perímetro de la región ABCD y ABEF están ubicadas en triangular BQM. planos perpendiculares, P es punto de tangencia y pertenece al plano ABCD, D A AB=2(BC)=4myAF= P Calcule el área de la región triangular C P D B M B E C E R A F A) 5 B) 6 C) D) 9 D) 13 E)9m2 26</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO 67. En el gráfico, BE es perpendicular al 70. Sean y dos rectas cruzadas y plano del cuadrado ABCD. Si BN=NE ortogonales. Se ubican los puntos A y y m MC = 37°, calcule la medida del B en C y modo que AC ángulo entre AQ y DC. es perpendicular a ambas Si E AC = 2(AB) = 2(CD), calcule la N M medida del ángulo entre BD AC. B C A) are tan (2) B) are tan 2 C) 45° D) (2) tan A D A) 15° B) 37° 2 53° 71. En el gráfico se muestra dos semi- círculos de diámetro AB. Si AB = D) 16° PQ=8; m AP = m BQ, la medida del ángulo que forma PQ con el plano 68. Se tiene un triángulo ABC, recto en By se traza AP perpendicular al plano que ABQ es 30° 5 calcule la me- lo contiene, además, la medida del dida del diedro P-AB Q. ángulo entre PB y dicho plano es a. Si P ACB = 0 y BC = a, calcule el área a de la región PBC. A sec a Q a E) A) 30° B) C) 45° D) 53° 69. Se tiene un rectángulo ABCD. se 72. En un cubo de arista 2 (ABCD ubica el punto Pexterior al plano que lo contiene. Si M es punto medio de PD; EFGH), o es centro de la cara ADHE y M pertenece a CH de modo que: AC = 2(AM) 50°, calcule HM = 3MC. Calcule la distancia entre la medida del ángulo entre AM y PB. BO y FM. A) 50° B) A) 1 B) C) D) 45° E) 75° D) 2 E) 27</p><p>ZA BRAVO ELVIS BOLETIN DE GEOMETRÍA - 08 RODO 73. Dos semicircunferencias de diámetro 77. Si el cuadrado ABCD (AB = 4 y el AB están contenidas en planos per- triángulo DAE determinan pendiculares, y en cada una de ellas se un diedro cuya medida es 30°, calcule ubican los punto P y Q, respectiva- la distancia del baricentro de la región mente, de modo que la mBQ = mAP = triangular ADE al punto medio de AB. 0. Calcule la medida del ángulo que forman PO y el plano APB, si: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 3 0 = are tan 78. Sean las regiones poligonales regula- A) 45° B) 37° C) 30° res ABC - DEF y AFGH ubicadas en D) 60° E) 53° distintos planos. Si la medida del diedro AF es 90°, calcule la medida 74. Por el vértice A de un hexágono regu- del ángulo diedro determinado por lar se traza AP perpendicular al plano las regiones HCE y ABCDEF. que lo contiene. SiAP = EF = 4, calcule la distancia entre FC y PD. A) are tan are tan A) 3 B) C) V13 C)arctan D) 13 E) 75. Por el centro de un cuadrante AOB D) arctan 3/13 13 E) arc tan 13 se traza la perpendicular OP a su plano, en AB se ubica M tal que: 79. Sobre una mesa se hace girar una m AM = 4(OA) = 5(OP) y lámina rectangular de dimensiones a y b (b > a) alrededor del lado cuya AO = OB = 5 Calcule el doble de la longitud es a, de tal forma que su pro- distancia entre AB y PM yección ortogonal sobre la mesa sea una región cuadrada. Calcule la dis- A) - tancia entre los centros de la lámina y su proyección. D) E) 8 4/2 C) 2 76. En un triángulo ABC, = 2m2 BCA, además, en AC se ubica el punto D) E) 2 D tal que AB = AD. Si por el punto medio M de BD se traza MP perpendi- 80. Calcule la medida de un ángulo cular al plano del triángulo ABC; diedro, si las distancias de un punto MP=12 y AP = BC, calcule la distancia interior a las caras y a la arista son entre BD AP. 3 y 6 respectivamente. A) 9 B) 6 C) 8 A) B) 60° C) 75° D) 10 E) 12 D) 100° E) 120° 28</p><p>EDITORIA PLANOS - DIEDROS TRIEDROS 81. Si una semicircunferencia de diáme- 85. En las aristas OA, un triedro tro AB = 4, centro o y el rectángulo equilátero - ABC, se ubican los BNPC (C E OA) pertenecen a distintos puntos L, K y S, respectivamente, de planos, calcule la medida del diedro modo que OL = 6; OK = 4; os = 2 y la que determinan dichos planos. SOK = Calcule el área de la Considere que : MC = = región triangular LKS. MN = 10 y OB = BN(M AB) A) C) B) 37° C) D) E) D) E) 60° 86. Se tiene 82. En un triedro o - ABC, la cara a mide sus caras miden b 90° 90° y las caras by miden 60°, en OA se Calcule la medida del diedro si el ubica el punto M, siendo L la proyec- diedro OB mide 120°. de M sobre la cara OBC; además, por M se traza una recta perpendicular A) are cos 4 B) are que inteseca a OL en Q. Si PQ =4y POL = 15°, calcule MP. C) arc A) C) 2 E) D) 3 D) are cos E) are cos 2 7 83. Si los cuadrados ABCD y MNPQ (M, N, R y S son puntos medios de AB, BC, CD 87. Un triángulo DEF se pro- y AD), respectivamente, se ubican en yecta ortogonalmente sobre un plano, planos secantes, de modo que QLP es el triángulo ABC un triángulo equilátero (L E SR), cuyas regiones correspondientes son calcule la medida del diedro que equivalentes. Sean M y T puntos determina la región cuadrada ABCD y medios de FE y AB, respectivamente, la región equilátera QPL. de modo que el ángulo determinado por TM y CF mide 30°. Calcule la medida del ángulo determinado por A) 30° B)45° C) are cos 5 A) aresen D) E) 60° 4 B) arcsen 84. Se sabe que O-ABC es un triedro tri- 7 Si OA = OB = OC = 3, C) calcule la distancia de A hacia el orto- centro de la región triangular ABC. D) A) B) C) 2 E) D) 6 E) 29</p><p>ZA BRAVO ELVIS DE - 08 RODO 88. En un triángulo rectángulo ABC, recto 91. Dado un triángulo ABC, de incentro I, en B, por A y C se trazan las perpendi- donde AB = 14, BC = 13 yAC = 15. Si culares AP y CQ al plano que contiene G es baricentro de la región ABC y la a dicho triángulo, tal que los ángulos distancia de G a un plano que contiene APB y BQC son complementarios y a BA es 3, calcule la distancia de I a diferentes. Si AP = y AC = 2, calcu- dicho plano. le el valor entero que puede tomar PQ. A) 2 B) 3 C) 2,5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 1,8 E) 3,2 D) 4 E) 5 92. Se tiene el cuadrado ABCD, de centro 89. Sea ABCD un cuadrado. Se trazan las y el triángulo equilátero AMB, perpendiculares BP y MQ al plano que ubicados en planos perpendiculares; contiene a dicho cuadrado (PyQen además se traza la semicircunferencia un mismo semiespacio). Si M es punto de diámetro BC perpendicular al medio de CD; PB = AB = 2(MQ) y plano del cuadrado y se ubica el punto BN=NC (N E BC), calcule la medida medio P de BC. Si G es baricentro de la del ángulo que determinan AP y NQ. región AMB y S el punto medio de GP, calcule la medida del ángulo que A) B) 53° C) 60° forman os con el plano que contiene D) 75° E) 90° al cuadrado. 90. Del gráfico, AP es perpendicular al plano que contiene al cuadrado ABCD. A) B) are tan Si: PA = BC = 6 y MD = MC, calcule la C) are tan - 1) distancia entre PM y AC. P D) arc tan E) are tan 93. Se traza HQ perpendicular al plano del triángulo ABM de modo que: A B m/ BQM = mL BAM, = 90° QAM 45°, AQB + QAB = 120°. Calcule la AQB. D C M A) 45 B) 50 C) 55 A) 3 B) C) 2/2 D) 60 E) 72 D) E) 30</p><p>RECTAS PLANOS - DIEDROS TRIEDROS 94. Si por el vértice A de un triángulo ABC 98. Se traza BQ perpendicular al plano se traza una perpendicular AD al que contiene a los cuadrados ABCD y plano del triángulo, luego por el CGFE tal que BE GD = {P}. Si BP=4 vértice A se trazan las perpendiculares y BQ = PE = 3, calcule el área de la AM a BD y AN a CD, entonces el cua- región triangular DQG (en BMNC es: 35 A) Equiángulo B) Circunscriptible 3 2 C) Inscriptible D) 16 D) Un trapecio E) Un trapezoide 99. En un triedro trirrectángulo - ABC 95. ABCD y CFED son regiones cuadradas se ubica el punto P interior a dicho contenidas en planos perpendiculares, ángulo triedro, luego se proyecta el "M" es punto medio de EF y "N" punto segmento OP sobre las caras del ángu- medio de BM. SiAB = 2a entonces DN lo triedro, si la suma de los cuadrados mide: de sus respectivas proyecciones es A) a B) C) Calcular la longitud de OP. A) 3 u B) 4u C) 2 E) D)6u 96. En un triedro - ABC, los diedros OB 100. Se tiene un cuadrado ABCD y una y OC miden Calcule la medida semicircunferencia de AB del diedro OA, si su medida es menor a ubicados en planos perpendiculares y 150° yes entero. se ubica el punto medio N de AB; luego se traza CM perpendicular al A) 145° B) 130° plano que contiene al cuadrado de D) 149° E) modo que CM = CD. Si G1 y G2 son baricentros de las regiones BCD y 97. ABC es un triángulo y DBC CMD, respectivamente, calcule la es un triángulo rectángulo contenidos medida del ángulo que determinan en planos perpendiculares, AC = 8; DC = 4. Determine la medida de la cara ADC en el triedro D ABC. A) B) C) 60° D) 75° E) 37° A) arccos C)arccos 31</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETIN DE - 08 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolución 1: Se sabe que: 120° + 120° También: + 130° < < 360° Luego: entero =109° Rpta.: C Resolución 2: B 2n n 45° T A 45° n 2 n R C P A ABT: Notable de B AB = 2n 2n A ART: Notable de 45°: AR = n A BR 1 AC : Teorema de las tres perpendiculares R A ABR: Notable de 30° y 60° X = 60° Rpta.: B 32</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO EDITORIA Resolución 3: Falso. L2 II) Falso. Si los tres puntos son colineales, no determinan un plano. C B A III) Falso. A B En el gráfico la proyección de AB sobre P es el puto C. P La secuencia correcta es: FFF Rpta.: D Resolución 4: Postulado: Tres puntos no colineales determinan un único plano al cual pertenecen. # Máximo Entonces: de planos = # Máximo 41 5 6 7 de planos 3 2 1 # Máximo = 35 de planos Rpta.: A 33</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE - 08 EDITORIA Resolución 5: Teorema: Dos rectas paralelas determinan un único plano, al cual pertenecen. # Máximo Entonces: de = planos # Máximo 10 de planos 2 Rpta.: C Resolución 6: Con 8 rectas: = Con 6 puntos: = 20 Con 8 rectas y 6 puntos: = 48 Entonces: máximo de planos = 28+20+48 máximo de planos = 96 Rpta.: E Resolución 7: Piden: A'B' 13 5 9 Q Se observa: A 4 B 4 B' 13 5 A' A X Q Por el teorema de Pitágoras: = 12cm Rpta.: D 34</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS EDITORIAL Resolución 8: Piden: PQ' Q APQQ': Notable de 45° Q 2 45 2 45° P P 2 Q' Rpta.: C Resolución 9: H 7 4 A 4 60° 60° C B P Teorema de Pitágoras: H Se observa en la figura: HB = 65 7 HB = HC = HB + HC = 2 /65 cm B A 4 Rpta.: B 35</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 RODO? Resolución 10: H 45 2 C 45 B 2 M A Piden : d (H->AB) HM HM : Teorema de las tres perpendiculares. Circuncentro, ortocentro, incentro, baricentro del A ABC. C Se observa en el plano del A ABC: Luego: HOM: Notable de 45° HM = 4 30 Rpta.: A A B M Notable Resolución 11: Piden: A AFBD F G Se observa que: C D H E 45 4 4 B A 4 Además la región sombreada es C D formada por las dia- 4 gonales de 3 caras del cubo. B 4 A BD = A FBD = 4 Rpta.: D 36</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO Resolución 12: S Piden: SH I AC: Teorema de las 3 perpendiculares. Se observa: A S C 4 A 6 P B 3 H Luego: S SH = 5 5 = 2 = 15cm2 A C H 6 Rpta.: B Resolución 13: Q Piden: DC: Teorema de las 3 perpendiculares. B C 10 Se observa: A Q 6 10 A D o 6 C QC 8 Luego: AAQDC = 2 AAQDC = Rpta.: B 37</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE - 08 CONDO RODO EDITORIA Resolución 14: Piden : EF = X Datos: EH = 24 AB 2 = E BC 3 A Tenemos : AB = 2K 2K X BC = 3K F B Por el teorema de Thales: 2K X 24-x 31 24 - X 3K H 48 C 5 R : X = 9,6 Rpta.: E Resolución 15: Piden: P ABD : Base media = 3 ABQ : Base media Q = 3 'O2 Luego: B O2 6 3 3 M 3 M A 3 C = cm 6 D Rpta.: D 38</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO Resolución 16: Piden: PQ 30u P 30 30u P QBP QAP(Caso: L.L. Amayor). mZBQP m/PQA = 30° 30 Luego: QPA (Notable de 30° y 60°) 30° QP = 60u Q A Rpta.: D Resolución 17: A 12u 6 0 B 13 R 7 P P Trazamos RB PQ. mZBPQ = = 0 (Ls correspondientes). Se observa: A ARB (Notable 30° y 60°) A 12=2k 0 = 30° k=6 R B Rpta.: B 39</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 Resolución 18: Piden: a S: Área de la región proyectada Q Sp: Área de la proyección. a: m/diedro determinado por a P los planos PyQ Sabemos que: Sp = Sx cosa (1) Por datos del problema: (2) Luego: Reemplazando (2) en (1): cosa 2 cosa : a Rpta.: D Resolución 19: M Piden: OM Se observa: AOB (notable 45°) 6 60 45° B A B P AB = AP = PB = M Luego: A MOP (Notable y 30°): 30 OM = OM = 3u Rpta.: A o P 3 40</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS EDITORIA RODO Resolución 20: Sabemos que: 170° - 150° + B A 20° También: < 150° <40° Luego: o 20° C =39° Rpta.: B Resolución 21: Piden: m/ AOH = a A 45° o 60 H 1 B Teorema de las tres perpendiculares: ^ AB 1 OB ^ AC 1 OC AOB AAOC (Teorema de Pitágoras). ACH HC=HB=1 m/HOB = 41</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 CONDO RODO OHD (Notable de 45°): OB=BM ABH (Teorema de Pitágoras): = 12 + (AH)2 = AOH a=45° Rpta.: C Resolución 22: P 3 5 C 8 4 B H 2 R A Piden: En : Por relaciones métricas: = (2)(8) BH = 4 También: PH AC : Teorema de las tres perpendiculares. PBH (Notable de 53° y Por último: 2 Rpta.: B 42</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS RODO Resolución 23: P Piden: AAPSR HR: Diámetro (HR = 10) m/HSR = 90° HSR: Notable 30° y 5 HS = ^ SR = 5 R H 30 o SR = 5 S : Teorema de las tres perpendiculares. PHS: Pitágoras: PS = Luego: = 2 2 Rpta.: A Resolución 24: P 12 13 Piden: HL 13 5 B PH H 4 HA L 5 8 PH 1 HB 4 A PHA: (Teorema de Pitágoras) HA =5 BPH APH: BH = HA = 5 A AHB: Isósceles: AL = LB = 4 BHL: Notable de 37° y 53° HL = 3 Rpta.: 43</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 Resolución 25: F Piden: S : Teorema de las tres a perpendiculares. BFC: Notable de 45° B FC = a C S a a xav2 a 2 S= 2 2 M a 2 A S = a D 4 Rpta.: A Resolución 26: D 27 3 B a 30° 3 3 3 A 30 M 3 3 3 C Piden: "a" "M" : Baricentro (A ABC) PM = 2 Se observa : 27 = 143° 2 a Rpta.: D 44</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS Resolución 27: Piden: A B AABC Del gráfico : AB = BC = = 6 A ABC : 6 6 P 6 45 4 45° 45° A C AABC = Rpta.: B Resolución 28: E 1 30° M 60° B 1 2 3 2 H 60° N 1 4 S 45° A 2 C 2 45° 2 D Piden : AMOD MH 1 HD (Teorema de las tres perpendiculares). AMN (Notable de 30° y 2 MN NB 2 2 BNH (Notable de = 3 3 2 2 4 45</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 EDITORIA RODO MNH (Teorema de Pitágoras): 2 2 (MH)2 = 2 + 4 MH = 15 8 S = - 1 15 Luego : 2 V 8 S = 15 4 Rpta.: B Resolución 29: F Piden: Mínima distancia entre EC y AB Fijamos el 1 AB donde ED E M es la proyección de EC sobre el P R. Entonces: AQ = d (mínima distancia entre EC y AB) AED (Notable de y ED = 5 4 cm Por relaciones métricas = 5(d) d C B : d=12 12 5 53° A Rpta.: B 3 cm D P Resolución 30: h B a a 2 A C 45 a H a a D 90° 46</p><p>RECTAS Y PLANOS - DIEDROS Y TRIEDROS EDITORIA Piden: m/POH = a COD (Notable de Dato : SPCD = R2 2 P (2a)(h) 2 2 a a o H a Rpta.: E Resolución 31: L B 5 Piden: AB ABC (Teorema de A 12 Pitágoras): = 12 = = 13cm Rpta.: C Resolución 32: Piden: A Se observa: X 26=1x13 26 d 24=2x12 A 24 B d=2x5 y d = 10 cm Rpta.: A 47</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 08 n! Resolución 33: Con rectas secantes : "n" - (n-1)(n)=90 n = 10 Rpta.: B Resolución 34: L1 L2 Piden: CF Dato: FD - EB = 1 A C FD=EB+1 P FD )=a+1 8-a Teorema de Thales: F 8 E 12 8-a 11-a = a Q (8-a)(a+1)=(11-a)(a) a at D B a=2 CF = 11 - 2 R : CF = 9m Rpta.: D Resolución 35: M 6 10 a av 8a 2a 45 B 2a 45 48</p>