Para determinar as alturas máxima e mínima do ponto P na superfície \( z = xy \), precisamos primeiro expressar \( z \) em termos de \( t \) usando as equações da projeção Q. Dadas as equações: - \( x = 5 - t \) - \( y = t^2 + 3e \) Substituímos \( x \) e \( y \) na equação da superfície: \[ z = xy = (5 - t)(t^2 + 3e) \] Agora, precisamos encontrar as alturas máxima e mínima de \( z \) em relação a \( t \). Para isso, vamos derivar \( z \) em relação a \( t \) e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Derivada de \( z \): \[ z = (5 - t)(t^2 + 3e) = 5t^2 + 15e - t^3 - 3et \] Derivando: \[ \frac{dz}{dt} = 10t - 3e - 3t^2 \] 2. Igualando a zero: \[ 10t - 3e - 3t^2 = 0 \] Rearranjando: \[ 3t^2 - 10t + 3e = 0 \] 3. Resolvendo a equação quadrática: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3e}}{2 \cdot 3} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36e}}{6} \] 4. Substituindo os valores de \( t \) encontrados em \( z \) para determinar as alturas máxima e mínima. 5. Verificando os extremos: Avalie \( z \) nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo de \( t \) que você está considerando. Assim, você encontrará as alturas máxima e mínima do ponto P em relação ao plano xy.