Para resolver essa questão, vamos seguir os passos: 1. Identificar a função: A função dada é \( f(x, y) = x^2 + y^2 \). Isso representa uma superfície parabólica. 2. Projeção no plano xy: A projeção \( Q \) do ponto \( P \) sobre o plano \( xy \) está na reta \( x + y = 1 \). Podemos expressar \( y \) em termos de \( x \): \( y = 1 - x \). 3. Substituir na função: Agora, substituímos \( y \) na função \( f(x, y) \): \[ f(x, 1 - x) = x^2 + (1 - x)^2 = x^2 + (1 - 2x + x^2) = 2x^2 - 2x + 1. \] 4. Encontrar o mínimo: Para encontrar o ponto mais próximo do plano \( xy \), precisamos minimizar \( f(x, 1 - x) \). Derivamos a função em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{d}{dx}(2x^2 - 2x + 1) = 4x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}. \] 5. Encontrar \( y \): Substituindo \( x = \frac{1}{2} \) na equação da reta: \[ y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \] 6. Encontrar \( z \): Agora, substituímos \( x \) e \( y \) na função \( f \) para encontrar \( z \): \[ z = f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \] 7. Ponto mais próximo: Portanto, o ponto \( P \) que se encontra mais próximo do plano \( xy \) é \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \). 8. Desenho da trajetória: A trajetória descrita por \( P \) é a curva que se forma ao projetar a reta \( x + y = 1 \) sobre a superfície \( z = x^2 + y^2 \). Assim, o ponto mais próximo do plano \( xy \) é \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \).