ap1- historia da matematica

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – Gabarito – 1/2006</p><p>Questão 1 [2,5 pts] No antigo Egito a divisão já era considerada como a operação inversa da</p><p>multiplicação. Na prática dobrava-se sucessivamente o divisor em uma coluna alinhada com a coluna</p><p>formada por 1, 2, 22, 23, · · · , até o ponto em que o próximo dobro excedia o dividendo. Marcava-se</p><p>os dobros que somados davam o dividendo ou um número imediatamente inferior ao dividendo. O</p><p>quociente era a soma dos termos da seqüência 1, 2, 22, 23, · · · correspondentes aos dobros referidos</p><p>acima.</p><p>Divida 753 por 26 da maneira egipcia identificando o quociente e o resto.</p><p>(Sugestão: para a disposição das colunas da prática acima, pense na multiplicação à maneira egipcia).</p><p>Solução:</p><p>1 26</p><p>2 52</p><p>4 = 22 104 /</p><p>8 = 23 208 /</p><p>16 = 24 416 /</p><p>32 = 25 832 −→ dobro que excede o dividendo 753</p><p>4 + 8 + 16 = 28 −→ quociente da divisão</p><p>753 = 416 + 208 + 104 + 25</p><p>︸︷︷︸</p><p>resto</p><p>.</p><p>Questão 2 [2,5 pts] Os números figurados da forma t2 − t</p><p>2</p><p>+ t, t ∈ Z+, são chamados triangulares</p><p>(Tt), e os números da forma 3</p><p>t2 − t</p><p>2</p><p>+ t, t ∈ Z+, são os pentagonais (Pt).</p><p>a) (2,0 pts) Mostre que t + 3Tt−1 = Pt.</p><p>b) (0,5 pt) Dê um exemplo para o teorema do item (a).</p><p>Solução:</p><p>a) Temos que</p><p>Tt−1 =</p><p>(t − 1)2 − (t − 1)</p><p>2</p><p>+ (t − 1) =</p><p>t2 − 2t + 1 − t + 1</p><p>2</p><p>+ (t − 1) =</p><p>t2 − 3t + 2 + 2t − 2</p><p>2</p><p>=</p><p>t2 − t</p><p>2</p><p>.</p><p>Dáı,</p><p>t + 3Tt−1 = t + 3</p><p>t2 − t</p><p>2</p><p>=</p><p>2t + 3t2 − 3t</p><p>2</p><p>=</p><p>3t2 − t</p><p>2</p><p>(</p><p>= 3</p><p>t2 − t</p><p>2</p><p>+ t</p><p>)</p><p>= Pt .</p><p>b)</p><p>12</p><p>︸︷︷︸</p><p>P3</p><p>= 3</p><p>︸︷︷︸</p><p>t</p><p>+ 3 × 3</p><p>︸︷︷︸</p><p>T3−1=T2</p><p>.</p><p>HM AP1 – História da Matemática – Gabarito – 1/2006 2</p><p>Questão 3 [2,0 pts] Antifão, diz o texto 9.1 da Unidade 3, foi o primeiro matemático a sugerir que a área</p><p>do ćırculo poderia ser calculada em termos de poligonos regulares nele inscritos. O resultado dessa idéia é o</p><p>grande teorema a seguir: Um 2n-ágono regular inscrito em um ćırculo ocupa mais do que 1 −</p><p>1</p><p>2n−1</p><p>da área</p><p>desse ćırculo.</p><p>Mostre que a área de um octógono regular ocupa mais do que 3/4 da área do ćırculo em que está inscrito.</p><p>Solução: Octógono regular −→ 23-ágono regular ⇒ n = 3. Assim,</p><p>1 −</p><p>1</p><p>2n−1</p><p>= 1 −</p><p>1</p><p>23−1</p><p>= 1 −</p><p>1</p><p>22</p><p>= 1 −</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>Questão 4 [1,5 pts]</p><p>a) (0,9 pt) Enuncie dois paradoxos de Zenão.</p><p>b) (0,6 pt) O que eles têm em comum?</p><p>Solução: Unidade 3 - texto 8.</p><p>Questão 5 [1,5 pts]</p><p>a) (0,8 pt) Fale sobre a primeira grande crise na Matemática.</p><p>b) (0,7 pt) Explique de forma detalhada o que fez Eudoxo para tentar resolvê-la.</p><p>Solução: Unidade 2 - texto 5.6 e Unidade 3 - texto 6 e 9.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – Gabarito – 2/2006</p><p>Questão 1 [3,0 pts]: Sabemos que Pitágoras fundou uma sociedade</p><p>secreta conhecida como Escola Pitagórica cujo śımbolo era o penta-</p><p>grama, isto é, a estrela de cinco pontas, formada quando traçamos as</p><p>cinco diagonais de um pentágono regular.</p><p>PSfrag replacements</p><p>A</p><p>B</p><p>CD</p><p>E</p><p>A′</p><p>B</p><p>′</p><p>C ′</p><p>D′</p><p>E′</p><p>a) (1,0 pt) Como um pitagórico pode ter conclúıdo que um ângulo na ponta de sua estrela é</p><p>de 360?</p><p>b) (2,0 pts) Os pontos A′, B′, C ′, D′ e E ′ dividem as diagonais do pentagrama de um modo</p><p>notável: cada um deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais tais que, a razão</p><p>entre as medidas da diagonal toda e do segmento maior é igual à razão entre as medidas do</p><p>segmento maior e do segmento menor. Essa subdivisão das diagonais é a secção áurea. Mostre</p><p>que essa razão denominada razão áurea vale 1+</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>Sugestão: Considere, por exemplo, a diagonal EB fazendo EB = 1 e C ′B = x.</p><p>Solução:</p><p>a) Como BE//CD então BD̂C = x. Similarmente temos que</p><p>EĈD = x. Seja o ∆ACD. Pela figura temos, para este triângulo, em</p><p>relação aos seus ângulos internos:</p><p>2x + 2x + x = 1800 ⇔ x = 360 .</p><p>PSfrag replacements</p><p>A</p><p>B</p><p>CD</p><p>E</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>b) Seguindo o racioćınio temos:</p><p>EB</p><p>C ′B</p><p>=</p><p>C ′B</p><p>EC ′</p><p>⇔</p><p>1</p><p>x</p><p>=</p><p>x</p><p>1 − x</p><p>⇔ 1 − x = x2 ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =</p><p>−1 ±</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>Considerando a raiz positiva temos x = −1+</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>. Dáı,</p><p>EB</p><p>C ′B</p><p>=</p><p>1</p><p>−1+</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>=</p><p>2√</p><p>5 − 1</p><p>=</p><p>√</p><p>5 + 1</p><p>2</p><p>.</p><p>História da Matemática AP1 – gabarito – 2/2006 2</p><p>Questão 2 [2,0 pts]: Dividir um ângulo em duas partes com régua e compasso é considerado</p><p>fácil. Entretanto, o mesmo não pode ser dito para se dividir um ângulo em três partes iguais. Muitas</p><p>tentativas de solução para a trisseção de qualquer ângulo dado foram apresentadas. Certamente todas</p><p>elas apresentaram uma “falha”. Entre essas temos a “demonstração” de Arquimedes apresentada no</p><p>seu “Livro dos Lemas”:</p><p>PSfrag replacements</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>Seja AB̂C o ângulo central de uma circunferência. Os</p><p>lados AB e CB são raios da circunferência. Prolongue</p><p>AB para obter o diâmetro AD e intercepte a reta AD</p><p>com a reta CF , sendo F um ponto da circunferência, no</p><p>ponto E tal que FE = FB.</p><p>Mostre com Arquimedes que AB̂C = 3DÊF (o fato desta construção de Arquimedes não ser</p><p>euclideana está na impossibilidade de se determinar o ponto F na circunferência usando somente</p><p>régua e compasso).</p><p>Solução: Se FE = FB (= raio da circunferência), F ÊB = FB̂E(= α). No triângulo isósceles</p><p>EFB temos BF̂E = 1800 − 2α. Dáı,</p><p>BF̂C = 1800 − BF̂E = 2α .</p><p>Do mesmo modo, no triângulo isósceles FBC temos:</p><p>BF̂C = 1800 − 2(2α) = 1800 − 4α .</p><p>Logo,</p><p>AB̂C = 1800 − FB̂C − α = 1800 − (1800 − 4α) − α = 3α = 3FÊB = 3DÊF</p><p>Questão 3 [2,0 pts]:</p><p>a) (1,0 pt) Mostre que 496 é um número perfeito utilizando o teorema 36 apresentado por Euclides</p><p>no Livro IX dos Elementos que está na Unidade 4 – texto 11.2.</p><p>b) (1,0 pt) Qual é o quarto número perfeito?</p><p>Solução:</p><p>a) Temos que:</p><p>496 = 25−1</p><p>(</p><p>25 − 1</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>primo</p><p>)</p><p>(terceiro número perfeito) .</p><p>b) Com m = 7, obtemos o quarto número perfeito que é 8128.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>História da Matemática AP1 – gabarito – 2/2006 3</p><p>Questão 4 [3,0 pts]: Mostre usando a definição de proporção de Eudoxo que:</p><p>1 :</p><p>√</p><p>3 ::</p><p>√</p><p>3 : 3</p><p>Solução: Devemos provar que:</p><p>1) m1 < n</p><p>√</p><p>3 ⇒ m</p><p>√</p><p>3 < n3</p><p>2) m1 < n</p><p>√</p><p>3 ⇒ m</p><p>√</p><p>3 = n3</p><p>3) m1 < n</p><p>√</p><p>3 ⇒ m</p><p>√</p><p>3 > n3</p><p>Vamos provar (1):</p><p>Por hipótese, m < n</p><p>√</p><p>3 . Dáı, multiplicando por</p><p>√</p><p>3 > 0 ambos os membros da desigualdade temos</p><p>que m</p><p>√</p><p>3 < n</p><p>√</p><p>3</p><p>√</p><p>3 . Logo, m</p><p>√</p><p>3 < n3.</p><p>As provas de (2) e (3) seguem o mesmo racioćınio.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – Gabarito – 1/2007</p><p>Questão 1 [1,0 pt]: Na Unidade I do livro-texto são identificadas algumas caracteŕısticas da</p><p>Matemática. Cite quatro delas.</p><p>Solução:</p><p>• A Matemática lida com números e formas;</p><p>• A Matemática estuda padrões;</p><p>• A Matemática busca relações.</p><p>Questão 2 [2,0 pts]: No Menon, um diálogo de Platão, Sócrates explica a um jovem escravo a</p><p>duplicação do quadrado, isto é, explica como construir com régüa e compasso um quadrado que</p><p>tenha o dobro da área de um quadrado dado. Fale sobre a tentativa incorreta do escravo e a ajuda</p><p>que Sócrates lhe dá corrigindo-o.</p><p>Solução: Vamos mostrar a tentativa do escravo:</p><p>PSfrag replacements</p><p>`</p><p>Área=`</p><p>2</p><p>L = 2`</p><p>Área=4`</p><p>2</p><p>(não duplicou mas, quadruplicou)</p><p>Agora, vamos mostrar a explicação de Sócrates:</p><p>PSfrag replacements</p><p>`</p><p>L</p><p>L2 = 2`2</p><p>História da Matemática AP1 – gabarito – 1/2007 2</p><p>Questão 3 [2,5 pts]: No EP1 se falou das lúnulas que Hipócrates conseguiu “quadrar”. Considere</p><p>a figura abaixo.</p><p>PSfrag replacements</p><p>AA B</p><p>B C</p><p>D</p><p>A figura ABCD é um trapézio inscrito no semi-ćırculo AD tal que AB ≡ BC ≡ CD. As lúnulas</p><p>hachuradas estão contidas nos semi-ćırculos de diâmetro AB, BC e CD.</p><p>Demonstre</p><p>∖2 66</p><p>∖4 132</p><p>∖8 264</p><p>16 528</p><p>2 + 16 = 18 ⇒ 33 ⨯ 18 = 66 + 528 = 594.</p><p>b) O problema equivale a resolver a equação</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de 7 é 1.</p><p>Somando 7 a</p><p>1</p><p>7</p><p>de 7 obtemos 8.</p><p>7 +</p><p>1</p><p>7</p><p>× 7 = 8</p><p>Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que 𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples:</p><p>Quantidade Resultado</p><p>7 8</p><p>x 19</p><p>Portanto,</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>8</p><p>19</p><p>⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 =</p><p>133</p><p>8</p><p>.</p><p>Questão 2 [1,5 pt] - No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram o</p><p>diagonal de um quadrado de lado medindo (0,30) como sendo o produto de</p><p>(0 , 30) por (1 , 24 ; 51 ; 10) – onde o símbolo “,” (vírgula) separa a parte</p><p>inteira da parte fracionária da representação sexagesimal do número.</p><p>Determine a medida da diagonal, isto é, calcule (0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10).</p><p>(indique o resultado usando a representação sexagesimal).</p><p>Solução:</p><p>(0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) =</p><p>30</p><p>60</p><p>x (1 +</p><p>24</p><p>60</p><p>+</p><p>51</p><p>602</p><p>+</p><p>10</p><p>603</p><p>) =</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>720</p><p>602</p><p>+</p><p>1530</p><p>603</p><p>+</p><p>300</p><p>604</p><p>=</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>12</p><p>60</p><p>+</p><p>1500 + 30</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>603</p><p>=</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602 +</p><p>30</p><p>603 +</p><p>5</p><p>603 =</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602 +</p><p>35</p><p>603 = 0 , 42 ; 25 ; 35</p><p>Questão 3 [3,0 pontos]: Com o nome de Pitágoras (séc.VI a.C.) se relaciona uma série de dados um</p><p>tanto quanto não confiáveis. Em particular, o denominado Teorema de Pitágoras era</p><p>indiscutivelmente conhecido entre os povos do Antigo Oriente, dos quais os Gregos formalizaram a</p><p>sua demonstração. Resolva então os seguintes problemas relacionados ao teorema de Pitágoras.</p><p>[1,5 pt] - Problema 1: Para o cálculo dos lados de um triângulo retângulo, Pitágoras utilizava as</p><p>seguintes medidas: 2n +1 , 2n</p><p>2</p><p>+ 2n e 2n</p><p>2</p><p>+ 2n +1, com n natural. Tal resultado é denominado</p><p>“Regra de Pitágoras”. Demonstre a validade da “Regra de Pitágoras” e, em seguida, calcule os lados</p><p>dos triângulos para n = 1, 2, 3, 4.</p><p>Solução:</p><p>Para demonstrar a “Regra de Pitágoras”, basta verificar a identidade</p><p>(2n +1)</p><p>2</p><p>+(2n</p><p>2</p><p>+ 2n)</p><p>2</p><p>= (2n</p><p>2</p><p>+ 2n +1)</p><p>2</p><p>.</p><p>Com efeito:</p><p>(2n</p><p>2</p><p>+ 2n +1)</p><p>2</p><p>= (2n +1)</p><p>2</p><p>+ 2(2n</p><p>2</p><p>)(2n +1) +(2n</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>= (2n +1)</p><p>2</p><p>+ 2(2n</p><p>2</p><p>)(2n) + 2(2n</p><p>2</p><p>) + (2n</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>= (2n +1)</p><p>2</p><p>+ 2(2n</p><p>2</p><p>)(2n) + (2n)</p><p>2</p><p>+ (2n</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>= (2n +1)</p><p>2</p><p>+ (2n</p><p>2</p><p>+ 2n)</p><p>2</p><p>.</p><p>Para n = 1, os lados são 3 (cateto), 4 (cateto) e 5 (hipotenusa)</p><p>Para n = 2, os lados são 5 (cateto), 12 (cateto) e 13 (hipotenusa)</p><p>Para n = 3, os lados são 7 (cateto), 24 (cateto) e 25 (hipotenusa)</p><p>Para n = 4, os lados são 9 (cateto), 40 (cateto) e 41 (hipotenusa)</p><p>[1,5 pt] - Problema 2: Regra de Platão - “Se, em um triângulo retângulo, tomarmos um dos catetos</p><p>com medida 2p (um número par), então a medida do outro cateto será p</p><p>2</p><p>−1 e a medida da hipotenusa</p><p>será p</p><p>2</p><p>+1”. Verifique a veracidade do enunciado acima e calcule os lados dos triângulos para p = 2,</p><p>3, 4, 5.</p><p>Solução:</p><p>Podemos chegar a uma demonstração da Regra de Platão, dobrando os valores obtidos na Regra de</p><p>Pitágoras. Tome p = 2n +1; 2p é um número par.</p><p>As medidas dos catetos e da hipotenusa do triângulo serão dados por, respectivamente, por:</p><p>2(2n +1)= 2p</p><p>2(2n</p><p>2</p><p>+ 2n)= 4n</p><p>2</p><p>+ 4n = (2n +1)</p><p>2</p><p>−1= p</p><p>2</p><p>−1</p><p>2(2n</p><p>2</p><p>+ 2n +1)= 4n</p><p>2</p><p>+ 4n + 2 = (2n +1)</p><p>2</p><p>+1= p</p><p>2</p><p>+1</p><p>Para n = 2p, os lados são 2p (cateto), p</p><p>2</p><p>−1 (cateto) e p</p><p>2</p><p>+1 (hipotenusa)</p><p>Assim,</p><p>Para p = 2, os lados são 4 (cateto), 3 (cateto) e 5 (hipotenusa)</p><p>Para p = 3, os lados são 6 (cateto), 8 (cateto) e 10 (hipotenusa)</p><p>Para p = 4, os lados são 8 (cateto), 15 (cateto) e 17 (hipotenusa)</p><p>Para p = 5, os lados são 10 (cateto), 24 (cateto) e 26 (hipotenusa)</p><p>Questão 4 [1,0 pt]: Um clássico problema sobre o qual Arquimedes se debruçou foi a projeção de</p><p>supefície esférica sobre uma superfície cilíndrica que a envolve. Talvez o mestre de Siracusa já</p><p>quisesse fazer mapas do globo terrestre. A seguir, apresenta-se o enunciado do problema de</p><p>Arquimedes.</p><p>Considere um cilindro, cuja base é o círculo máximo de uma dada</p><p>esfera e cuja altura é o diâmetro desta mesma esfera. O volume do</p><p>cilindro é igual a uma vez e meia do volume da esfera e a área do</p><p>cilindro também é igual a uma vez e meia da área da esfera.</p><p>Atenção: “uma vez e meia” é igual a</p><p>1+</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>Usando seus conhecimentos atuais de geometria espacial, mostre que Arquimedes estava certo,</p><p>isto é, considerando o cilindro e a esfera nas condições do enunciado, demonstre que: O volume do</p><p>cilindro é igual a uma vez e meia do volume da esfera e a área do cilindro também é igual a uma vez</p><p>e meia da área da esfera.</p><p>Solução:</p><p>Pelas informações do problema, sejam a esfera de raio R e o cilindro de raio da base r = R e altura</p><p>h = 2R. Temos:</p><p>Questão 5 [1,5 pt]: Thabit ibn Qurra (836-901) viveu em Bagdá e foi</p><p>um membro do grupo neo-pitagórico chamado Sabians. Escreveu sobre</p><p>política, gramática, a República de Platão (um diálogo de Platão), varíola,</p><p>anatomia dos pássaros, salinidade do mar, equações cúbicas e</p><p>trigonometria esférica. Ao contrário de Aristóteles, acreditava em um</p><p>verdadeiro infinito (atual). No seu livro “Livro Sobre a Determinação de</p><p>Números Amigáveis” ele apresentou o seguinte teorema:</p><p>“Sejam 𝑛 ∈ 𝑍+, 𝑛 > 1, 𝑝 = 3 × 2𝑛 − 1, 𝑞 = 3 × 2𝑛−1 − 1 e 𝑟 = 9 × 22𝑛−1 − 1. Se p, q e r são</p><p>primos, então 2</p><p>n</p><p>pq e 2</p><p>n</p><p>r são números amigáveis.” (Obs: dizemos que dois números são amigos se</p><p>cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro).</p><p>Verifique que 220 e 284 formam um par amigável a partir do teorema acima, identificando os</p><p>valores de n, p, q e r.</p><p>Solução:</p><p>220 2</p><p>110 2</p><p>55 5</p><p>11 11</p><p>1</p><p>284 2</p><p>142 2</p><p>71 71</p><p>1</p><p>Temos que 220 = 22 × 5 × 11 e 284 = 22 × 71. Observemos inicialmente que, na</p><p>decomposição em fatores primos,22 aparece para 220 e 284. Assim, n = 2. Além disso, observemos</p><p>também 220 é da forma 2</p><p>n</p><p>pq e 284 é da forma 2</p><p>n</p><p>r.</p><p>Vejamos agora os valores de p, q e r. Temos que:</p><p>𝑝 = 3 × 22 − 1 = 11</p><p>𝑞 = 3 × 22−1 − 1 = 5</p><p>𝑟 = 9 × 22×2−1 − 1 = 71 são primos. Assim, 220 e 284 são números amigáveis.</p><p>Um abraço fraterno,</p><p>Prof. Wanderley.</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2016-1</p><p>Questão 1 [1,5 pt] – Resolva o problema (Prob. 9 de uma tábua do período Hitita - 1650 a</p><p>1200 a.C.) a seguir no espaço da questão 1 indicado no caderno de resposta.</p><p>Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 GAR</p><p>abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita. A que distância da parede está a</p><p>sua parte de baixo?</p><p>Solução:</p><p>Inicialmente devemos interpretar “perfeitamente direita” como perpendicular ao solo.</p><p>A figura 1 representa a situação inicial e a figura 2 a situação em que o topo da trave deslocou</p><p>verticalmente de 0,1 GAR.</p><p>Figura 1</p><p>Figura 2</p><p>Usando o Teorema de Pitágoras</p><p>(*)</p><p>, tem-se que a parte de baixo está a 0,3 GAR da parede</p><p>(*) Não se sabe se os egípcios tinham o conhecimento e uma demonstração do Teorema de</p><p>Pitágoras. Entretanto, eles tinham conhecimento da existência de alguns ternos pitagóricos:</p><p>(3,4,5) era um deles.</p><p>A civilização egípcia é uma das mais antigas do nosso planeta. As</p><p>questões a seguir versam sobre duas contribuições (uma aritmética</p><p>outra algébrica) desta civilização.</p><p>Resolva agora as questões 2 e 3 nos espaços indicados no</p><p>caderno de respostas.</p><p>Questão 2 [1,5 pt] - Multiplique, como os egípcios, 27 por 15, ou seja, tome 15 vezes o</p><p>número 27.</p><p>Solução:</p><p>∖1 27</p><p>∖2 54</p><p>∖4 108</p><p>∖8 216</p><p>16 432</p><p>1 + 2 + 4 + 8 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 27 + 54 + 108 + 216 = 405.</p><p>Questão 3 [1,5 pt] - Resolva a equação</p><p>𝑥</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 50, usando o método da falsa posição.</p><p>Solução:</p><p>Assim como o escriba,</p><p>vamos “evitar” as frações 1/3 e 1/7 simultaneamente.</p><p>Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um</p><p>múltiplo comum de 3 e 7, por exemplo: o m.m.c.(3,7) = 21 .</p><p>Substituindo na equação a posição inicial (21) temos:</p><p>21(1/3) + 21(1/7) = 7 + 3 = 10 (*)</p><p>Como o resultado esperado é 50 o resultado que obtivemos em (*) deve ser multiplicado por 5</p><p>para obtermos 50.</p><p>Sendo assim: x = 21 ∙ 5 = 105.</p><p>Arquimedes</p><p>Arquimedes foi um importante físico e matemático da Antiguidade,</p><p>considerado um dos precursores do cálculo integral. Além de determinar</p><p>a área do circulo por meio do método de exaustão, resolveu problemas</p><p>interessantes e curiosos com características próprias de seu espírito</p><p>crítico e criativo.</p><p>Resolva agora as questões 4 e 5 nos espaços indicados no caderno de</p><p>respostas.</p><p>Questão 4 [1,5 pt] - Resolva o seguinte problema proposto or Arquimedes: Seja ABC um</p><p>semicírculo. Pelo ponto B, traçamos uma perpendicular BD ao diâmetro AC. Sobre os</p><p>segmentos AD e DC, construímos dois outros semicírculos AFD e DHC. A área AFDHCB (que</p><p>Arquimedes chamava de Arbelos) é igual à área do círculo de diâmetro BD.</p><p>Solução:</p><p>A área procurada é a que se encontra dentro do semicírculo ABC e fora dos semicírculos AFD</p><p>e DHC. Vamos aos cálculos.</p><p>Portanto,</p><p>Como AC= AD+DC, temos:</p><p>Posto que BD é a média proporcional entre AD e DC (ver Problema 11), então BD</p><p>2</p><p>= AD×DC.</p><p>Logo,</p><p>Questão 5 [1,5 pt] - Resolva o seguinte problema proposto por Arquimedes:</p><p>Considere um círculo circunscrito a um quadrado e outro círculo inscrito neste mesmo</p><p>quadrado. Então, a área do círculo circunscrito é duas vezes maior que a área do círculo</p><p>inscrito.</p><p>Solução:</p><p>Seja “a” a medida do lado do quadrado. A medida do diâmetro do círculo circunscrito coincide</p><p>com a medida da diagonal deste quadrado, ou seja, a 2 . Já a medida do diâmetro do círculo</p><p>inscrito coincide com a medida do lado do quadrado, ou seja, a. Assim:</p><p>Tartaglia</p><p>Tartaglia e Scipione del Ferro desenvolveram métodos para a</p><p>resolução a equação do terceiro grau. As questões 6 e 7 referem-</p><p>se às etapas do método desenvolvido pelos matemáticos para a</p><p>resolução da equação cúbica x</p><p>3</p><p>+ 6x</p><p>2</p><p>+ 18x + 10 = 0.</p><p>Resolva agora as questões 6 e 7 nos espaços indicados no</p><p>caderno de respostas.</p><p>Questão 6 [1,0 pt] – Faça a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 para transformar a</p><p>equação cúbica x</p><p>3</p><p>+ 6x</p><p>2</p><p>+ 18x + 10 = 0 em uma equação reduzida da forma y</p><p>3</p><p>+Ay = B.</p><p>Identifique os valores de A e B que você encontrou na sua equação reduzida.</p><p>Solução:</p><p>Fazendo a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 tem-se:</p><p>(y − 2)</p><p>3</p><p>+ 6(y − 2)</p><p>2</p><p>+ 18(y − 2) + 10 = 0 =></p><p>y</p><p>3</p><p>− 6y</p><p>2</p><p>+ 12y – 8 +6y</p><p>2</p><p>– 24y + 24 + 18y – 36 + 10 = 0 =></p><p>y</p><p>3</p><p>+ 6y − 10 = 0 => y</p><p>3</p><p>+ 6y = 10.</p><p>A = 6 e B = 10.</p><p>Questão 7 [1,5 pt] Considerando y = s – t e o sistema {</p><p>3𝑠𝑡 = 𝐴</p><p>𝑠3 − 𝑡3 = 𝐵</p><p>, encontre a solução real</p><p>da equação x</p><p>3</p><p>+ 6x</p><p>2</p><p>+ 18x + 10 = 0.</p><p>Solução:</p><p>Para usar o método de Scipione dal Ferro, consideramos y = s – t e resolvemos o</p><p>sistema {</p><p>3𝑠𝑡 = 6</p><p>𝑠3 − 𝑡3 = 10</p><p>Resolução do sistema</p><p>Substituindo 𝑠 =</p><p>6</p><p>3𝑡</p><p>=</p><p>2</p><p>𝑡</p><p>na segunda equação tem-se</p><p>(</p><p>2</p><p>𝑡</p><p>)</p><p>3</p><p>− 𝑡3 = 10</p><p>8</p><p>𝑡3</p><p>− 𝑡3 − 10 = 0</p><p>8 − 𝑡6 − 10𝑡3 = 0</p><p>Fazendo outra substituição, 𝑤 = 𝑡3, tem-se que w é solução da equação do segundo</p><p>grau</p><p>8 − 𝑤2 − 10𝑤 = 0</p><p>Logo 𝑤 =</p><p>10±√100−4(−1)8</p><p>−2</p><p>= −5 ± √33</p><p>Escolhendo a o valor positivo para w, isto é, 𝑤 = −5 + √33, tem – se 𝑡 =</p><p>√−5 + √33</p><p>3</p><p>.</p><p>De 𝑠3 − 𝑡3 = 10, tem-se</p><p>𝑠3 − (−5 + √33) = 10</p><p>𝑠3 + 5 − √33 = 10</p><p>𝑠3 = 5 + √33</p><p>𝑠 = √5 + √33</p><p>3</p><p>Retornando á equação original...</p><p>y = s – t = √5 + √33</p><p>3</p><p>− √−5 + √33</p><p>3</p><p>x = y – 2 = √5 + √33</p><p>3</p><p>− √−5 + √33</p><p>3</p><p>− 2</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2016-2</p><p>(Gabarito)</p><p>Questão 1 [1,5 pt] – Resolva o problema o seguinte problema do papiro de Ahmes,</p><p>usando o método da falsa posição:</p><p>Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade?</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>O problema equivale a resolver a equação</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de</p><p>7 é 1. Somando 7 a</p><p>1</p><p>7</p><p>de 7 obtemos 8.</p><p>7 +</p><p>1</p><p>7</p><p>× 7 = 8</p><p>Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples:</p><p>Quantidade Resultado</p><p>7 8</p><p>x 19</p><p>Portanto,</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>8</p><p>19</p><p>⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 =</p><p>133</p><p>8</p><p>.</p><p>Questão 2 [1,5 pt] – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional</p><p>sexagesimal (base 60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os</p><p>dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2,..., 59. Para separar as ordens (potências de 60)</p><p>utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal”</p><p>usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo: o</p><p>número 15x60</p><p>2</p><p>+ 7x60</p><p>0</p><p>+26x60</p><p>-1</p><p>+ 51x60</p><p>-2</p><p>será representado por 15;0;7,26;51. Agora</p><p>resolva o seguinte problema.</p><p>No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram a diagonal de um quadrado de lado</p><p>medindo 0,30 como sendo o produto de 0,30 por 1,24;51;10. Determine a medida da</p><p>diagonal, isto é, calcule (0,30) x (1,24;51;10). (indique o resultado usando a</p><p>representação sexagesimal).</p><p>Solução:</p><p>(0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10)</p><p>30</p><p>60</p><p>x (1 +</p><p>24</p><p>60</p><p>+</p><p>51</p><p>602</p><p>+</p><p>10</p><p>603</p><p>) =</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>720</p><p>602</p><p>+</p><p>1530</p><p>603</p><p>+</p><p>300</p><p>604</p><p>=</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>12</p><p>60</p><p>+</p><p>1500 + 30</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>603</p><p>=</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602</p><p>+</p><p>30</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>603</p><p>=</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602</p><p>+</p><p>35</p><p>603</p><p>= 0,42;25;35</p><p>Questão 3 [1,5 pt] – O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um</p><p>triângulo retângulo. Tal conhecimento passou dos egípcios a Pitágoras, que o</p><p>imortalizou. Com base nas figuras abaixo faça uma demonstração do Teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>Solução: Alguns historiadores sugerem a seguinte demonstração geométrica como</p><p>viável para Pitágoras. Conforme indicado no enunciado considere as figuras abaixo:</p><p>Do diagrama (I) tem-se: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 4</p><p>𝑎𝑏</p><p>2</p><p>= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏</p><p>Do diagrama (II) tem-se: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑐2 + 4</p><p>𝑎𝑏</p><p>2</p><p>= 𝑐2 + 2𝑎𝑏</p><p>Logo, (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 .</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do</p><p>lado do quadrado ABCD.</p><p>Responda:</p><p>a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis?</p><p>Solução de (a):</p><p>Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno impresso ou o</p><p>texto complementar.</p><p>b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?</p><p>c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do</p><p>maior em relação ao menor.</p><p>Solução de (b) e (c) :</p><p>Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso:</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐹̅̅ ̅̅</p><p>=</p><p>2</p><p>1</p><p>isto é, AF̅̅̅̅ =</p><p>2 AC̅̅̅̅ .</p><p>Questão 5 [1,5 pt] – Dados dois números a e b inteiros positivos, a < b, prove que MG</p><p>= √𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 , onde MA , MH e MG são, respectivamente, a média aritmética, a média</p><p>harmônica e a média geométrica de a e b.</p><p>Solução:</p><p>Como 𝑀𝐴 =</p><p>𝑎+𝑏</p><p>2</p><p>e 𝑀𝐻 =</p><p>2</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>2𝑎𝑏</p><p>𝑎+𝑏</p><p>, tem-se que: 𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 =</p><p>𝑎+𝑏</p><p>2</p><p>.</p><p>2 𝑎𝑏</p><p>𝑎+𝑏</p><p>= 𝑎𝑏</p><p>Daí,</p><p>𝑀𝐺 = √𝑎𝑏 = √𝑀𝐴 . 𝑀𝐻</p><p>Questão 6 [2,0 pts] – Resolva o seguinte problema nas Aritméticas de Diofanto</p><p>(Problema 17, Livro I): “Encontre quatro números, sendo dadas as somas das quatro</p><p>combinações de três quaisquer deles, digamos, 22, 24, 27 e 20.”</p><p>Solução:</p><p>Sejam a, b, c e d os quatro números inteiros e positivos procurados. As combinações 3 a</p><p>3 desses números serão em número de quatro, pois: 𝐶4</p><p>3 =</p><p>4!</p><p>3!( 4−3)!</p><p>=</p><p>4 ×3!</p><p>3! ×1</p><p>= 4.</p><p>Daí, temos o sistema:</p><p>{</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22 (𝐼)</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 24 (𝐼𝐼)</p><p>𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 27 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 20 (𝐼𝑉)</p><p>De (I) e (II), obtemos d – c = 2 (V).</p><p>De (III) e (IV), obtemos a – b = 7 (VI) e a + b + 2c + 2d = 47 (VII)</p><p>De (I) e (VII), temos que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐⏟</p><p>=22</p><p>+ 𝑐 + 2𝑑 = 47 ⇒ 𝑐 + 2𝑑 = 25 (VIII)</p><p>Com as equações (V) e (VIII), obtemos o sistema:</p><p>{</p><p>𝑑 − 𝑐 = 2</p><p>2𝑑 + 𝑐 = 25</p><p>⇔ 𝑐 = 7 𝑒 𝑑 = 9</p><p>De (IV) e (VII), temos que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑⏟</p><p>20</p><p>= 47 ⇒ 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 27 ⇒ 𝑎 + 7 = 27 ⇒</p><p>𝑎 = 11.</p><p>Segue, de (I), que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22 ⇒ 11 + 𝑏 + 7 = 22 ⇒ 𝑏 = 4</p><p>Logo, os números procurados são: 11, 4, 7 e 9.</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2017-1</p><p>(Gabarito)</p><p>As questões 1, 2 e 3 versam sobre</p><p>contribuições das civilizações egípcia e</p><p>babilônica para o desenvolvimento da</p><p>matemática.</p><p>Questão 1 [1,0 pt] Multiplique, como os egípcios, 33 por 18.</p><p>Solução:</p><p>∖1 33</p><p>∖2 66</p><p>∖4 132</p><p>∖8 264</p><p>16 528</p><p>2 + 16 = 18 ⇒ 33 ⨯ 18 = 66 + 528 = 594.</p><p>Questão 2 [1,5 pt] Resolva o seguinte problema do papiro de Ahmes, usando o</p><p>método da falsa posição:</p><p>Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade?</p><p>Solução:</p><p>O problema equivale a resolver a equação 𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de</p><p>7 é 1. Somando 7 a</p><p>1</p><p>7</p><p>de 7 obtemos 8.</p><p>7 +</p><p>1</p><p>7</p><p>× 7 = 8</p><p>Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que 𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples:</p><p>Quantidade Resultado</p><p>7 8</p><p>x 19</p><p>Portanto,</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>8</p><p>19</p><p>⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 =</p><p>133</p><p>8</p><p>.</p><p>Questão 3 [1,5 pt] - No tablete YBC 7289 os babilônios</p><p>consideraram o diagonal de um quadrado de lado medindo</p><p>(0,30) como sendo o produto de (0,30) por (1,24;51;10) –</p><p>onde o símbolo “,” (vírgula) separa a parte inteira da parte</p><p>fracionária da representação sexagesimal do número.</p><p>Determine a medida da diagonal, isto é, calcule (0,30) x</p><p>(1,24;51;10). (indique o resultado usando a representação</p><p>sexagesimal).</p><p>Solução:</p><p>(0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) =</p><p>30</p><p>60</p><p>x (1 +</p><p>24</p><p>60</p><p>+</p><p>51</p><p>602</p><p>+</p><p>10</p><p>603</p><p>) =</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>720</p><p>602</p><p>+</p><p>1530</p><p>603</p><p>+</p><p>300</p><p>604</p><p>=</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>12</p><p>60</p><p>+</p><p>1500 + 30</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>603</p><p>=</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602 +</p><p>30</p><p>603 +</p><p>5</p><p>603 =</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602 +</p><p>35</p><p>603 = 0 , 42 ; 25 ; 35</p><p>As questões 4 e 5 versam sobre contribuições da</p><p>matemática da Grécia Antiga.</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Na figura a seguir podemos observar alguns exemplos de</p><p>números figurados:</p><p>Os números figurados formam uma sequência de números naturais. Por exemplo, os</p><p>números quadrados formam a seqüência Q1 = 1</p><p>2</p><p>, Q2 = 2</p><p>2</p><p>, Q3 = 3</p><p>2</p><p>, Q4 = 4</p><p>2</p><p>, Q5 = 5</p><p>2</p><p>, ...,</p><p>Qn = n</p><p>2</p><p>, .... Quer dizer, Qn = n</p><p>2</p><p>, n um número natural positivo, é o termo geral da</p><p>sequência de números quadrados (veja segunda linha da tabela acima).</p><p>a) Determine uma expressão em função de n do termo geral da sequência de</p><p>números pentagonais Pn.</p><p>b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece</p><p>destacada no triângulo de Pascal da figura a seguir trata-se de uma sequência de</p><p>números figurados. Determine o centésimo elemento desta sequência.</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>Observe na figura acima que: P2 = 3T1 + 2, P3 = 3T2 + 3, P4 = 3T3 + 4, ...,</p><p>𝑃𝑛 = 3𝑇𝑛−1 + 𝑛 =</p><p>3(𝑛−1)𝑛</p><p>2</p><p>+ 𝑛 =</p><p>3𝑛2−𝑛</p><p>2</p><p>b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece</p><p>destacada no triângulo de Pascal da figura é a sequência de números triangulares</p><p>𝑇𝑛 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =</p><p>𝑛(𝑛+1)</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo 𝑇100 =</p><p>100(100+1)</p><p>2</p><p>= 5050</p><p>Questão 5 [2,0 pts]: Um clássico problema sobre o qual Arquimedes se debruçou foi a</p><p>projeção de supefície esférica sobre uma superfície cilíndrica que a envolve. Talvez o</p><p>mestre de Siracusa já quisesse fazer mapas do globo terrestre. A seguir, apresenta-se o</p><p>enunciado do problema de Arquimedes.</p><p>Considere um cilindro, cuja base é o círculo máximo</p><p>de uma dada esfera e cuja altura é o diâmetro desta</p><p>mesma esfera. O volume do cilindro é igual a uma vez</p><p>e meia do volume da esfera e a área do cilindro</p><p>também é igual a uma vez e meia da área da esfera.</p><p>Atenção: “uma vez e meia” é igual a</p><p>1+</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>Usando seus conhecimentos atuais de geometria espacial, mostre que Arquimedes</p><p>estava certo, isto é, considerando o cilindro e a esfera nas condições do enunciado,</p><p>demonstre que: O volume do cilindro é igual a uma vez e meia do volume da esfera e a</p><p>área do cilindro também é igual a uma vez e meia da área da esfera.</p><p>Solução:</p><p>Pelas informações do problema, sejam a esfera de raio R e o cilindro de raio da base r =</p><p>R e altura h = 2R. Temos:</p><p>      </p><p> </p><p>           </p><p> </p><p>2 2 23 3 3</p><p>2 ( ) 2 ( 2 ) 2 (3 ) 6 4 4</p><p>2 2 2</p><p>cilindro esferaA r r h R R R R R R R R A</p><p>Questão 6 [2,0 pts] – Eis um problema e sua solução da obra de Al-</p><p>Khwarizmi, “Al-Labr W´al Muqabalah”:</p><p>“Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o</p><p>quadrado? – A solução é a seguinte: Tome a metade do número de raízes,</p><p>obtendo cinco. Isto é, multiplicando por si mesmo – o produto será vinte e</p><p>cinco. Adicione isto a trinta e nove e a soma será sessenta e quatro. Tome</p><p>então a raiz quadrada disto, que é igual a oito e subtraia disto a metade do</p><p>número de raízes, que é cinco. A diferença é três. Esta é a raiz do número</p><p>procurado – e o próprio quadrado é nove.”</p><p>a) [1,5 pt] Formule o problema e sua solução com a simbologia atual (na análise da</p><p>solução, formule-a passo a passo como no texto, indentificando-a com uma</p><p>solução atual).</p><p>b) [0,5 pt] Faça um esboço do raciocínio geométrico utilizado por Al-Khwarismi.</p><p>Solução:</p><p>a) Observe que:</p><p>² 10 39 Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove</p><p>² ? Qual é o quadrado?</p><p>x x</p><p>x</p><p>  </p><p> </p><p>A partir daí, temos que:</p><p>10</p><p>5 Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco;</p><p>2</p><p>5 5 25 Multiplicando por si mesmo, o produto será vinte e cinco;</p><p>25 39 64 Adicioneisto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;</p><p>64 8 Tome entã</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>  o a raiz quadrada disto, que é igual a oito;</p><p>8 5 3 E subtraia disto a metade do número de raizes, que é cinco. A diferença é três;</p><p>3 Esta é a raiz do número procurado;</p><p>9 E o próprio quadrado é nove.</p><p>  </p><p></p><p></p><p>b) Imagine um quadrado com um lado desconhecido medindo x. Construa</p><p>retângulos com área medindo 5x e monte a figura em forma de L abaixo.</p><p>Pela equação, essa figura tem área igual a 39.</p><p>Para completar o quadrado precisamos acrescentar o quadrado de área igual a 25.</p><p>Daí, (𝑥 + 5)2 = 64 . De onde obtem-se 𝑥 + 5 = √64 = 8.</p><p>Logo 𝑥 = 8 − 5 = 3.</p><p>Adicione isto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1a Avaliação Presencial de História da Matemática – 2018-2</p><p>Questão 1 [1,5 pt] - No tablete YBC 7289 os babilônios</p><p>consideraram o diagonal de um quadrado de lado medindo</p><p>(0,30) como sendo o produto de (0,30) por (1,24;51;10) – onde</p><p>o símbolo “,” (vírgula) separa a parte inteira da parte fracionária</p><p>da representação sexagesimal do número. Determine a medida</p><p>da diagonal, isto é, calcule (0,30) x (1,24;51;10). (indique o</p><p>resultado usando a representação sexagesimal).</p><p>Solução:</p><p>(0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) =</p><p>30</p><p>60</p><p>x (1 +</p><p>24</p><p>60</p><p>+</p><p>51</p><p>602 +</p><p>10</p><p>603) =</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>720</p><p>602 +</p><p>1530</p><p>603 +</p><p>300</p><p>604 =</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>12</p><p>60</p><p>+</p><p>1500 + 30</p><p>603 +</p><p>5</p><p>603 =</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602 +</p><p>30</p><p>603 +</p><p>5</p><p>603 =</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602 +</p><p>35</p><p>603 = 0 , 42</p><p>; 25 ; 35</p><p>Questão 2 [2,0 pts] – O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um triângulo</p><p>retângulo. Tal conhecimento passou dos egípcios a Pitágoras, que o imortalizou. Com base nas</p><p>figuras abaixo faça uma demonstração do Teorema de Pitágoras.</p><p>Solução: Alguns historiadores sugerem a seguinte demonstração geométrica como viável para</p><p>Pitágoras. Conforme indicado no enunciado considere as figuras abaixo:</p><p>Do diagrama (I) tem-se: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 4</p><p>𝑎𝑏</p><p>2</p><p>= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏</p><p>Do diagrama (II) tem-se: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑐2 + 4</p><p>𝑎𝑏</p><p>2</p><p>= 𝑐2 + 2𝑎𝑏</p><p>Logo, (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 .</p><p>Questão 3 [2,0 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do</p><p>quadrado ABCD.</p><p>Responda:</p><p>a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis?</p><p>Solução de (a):</p><p>Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno impresso ou o texto</p><p>complementar.</p><p>b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?</p><p>c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em</p><p>relação ao menor.</p><p>Solução de (b) e (c) :</p><p>Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso:</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐹̅̅ ̅̅</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>isto é, AF̅̅̅̅ = 2 AC̅̅̅̅ .</p><p>Questão 4 [2,0 pontos]: Euclides de Alexandria (séc. III a.C.), célebre geômetra da</p><p>Antiguidade, deu em seu tratado “Elementos” uma exposição sistemática dos fundamentos da</p><p>geometria. Esta obra consta de 13 volumes (os livros XIV e XV foram agregados</p><p>posteriormente). Os livros V, VII, VIII, IX e X contém a Aritmética conhecida até àquela época;</p><p>os livros I, II, III, IV e VI são dedicados à Geometria Plana; e os livros XI, XII e XIII se dedicam</p><p>à Geometria Espacial.</p><p>Resolva o seguinte problema que aparece no Livro I dos Elementos de Euclides:</p><p>Dividir um ângulo entre duas retas em duas partes iguais (equivalente ao problema de</p><p>construir a bissetriz de um ângulo dado).</p><p>Solução:</p><p>Considere o ângulo BÂC da figura ao lado. Tome um ponto qualquer D em</p><p>AB e, em seguida, tome um ponto E em AC, tal que as medidas dos</p><p>segmentos AD e AE sejam iguais. Construímos sobre o segmento DE o</p><p>triângulo equilátero DEF de lado DE. A reta AF divide o ângulo BÂC em</p><p>duas partes iguais.</p><p>Comentário: A justificativa do resultado vem do fato de que os triângulos ADF e AEF são</p><p>congruentes (LLL). Logo, os ângulos DÂF e EÂF são congruentes e, portanto, AF é bissetriz do</p><p>ângulo DÂE.</p><p>Questão 5 [2,5 pts] – Encontre a solução real da equação cúbica x3 + 6x2 + 18x + 10 = 0</p><p>utilizando os métodos de Tartaglia e Scipione dal Ferro. Para isso, realize as seguintes etapas:</p><p>a) Faça a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 para transformar a equação dada em</p><p>uma equação reduzida da forma y3 +Ay = B. Identifique os valores de A e B que você</p><p>encontrou na sua equação reduzida.</p><p>b) Considerando y = s – t e o sistema {</p><p>3𝑠𝑡 = 𝐴</p><p>𝑠3 − 𝑡3 = 𝐵</p><p>, encontre a solução real da equação</p><p>x3 + 6x2 + 18x + 10 = 0.</p><p>Solução:</p><p>a) Fazendo a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 tem-se:</p><p>(y − 2)3 + 6(y − 2)2 + 18(y − 2) + 10 = 0 =></p><p>y3 − 6y2 + 12y – 8 +6y2 – 24y + 24 + 18y – 36 + 10 = 0 =></p><p>y3 + 6y − 10 = 0 => y3 + 6y = 10.</p><p>A = 6 e B = 10.</p><p>b) Para usar o método de Scipione dal Ferro, consideramos y = s – t e resolvemos o</p><p>sistema {</p><p>3𝑠𝑡 = 6</p><p>𝑠3 − 𝑡3 = 10</p><p>Resolução do sistema</p><p>Substituindo 𝑠 =</p><p>6</p><p>3𝑡</p><p>=</p><p>2</p><p>𝑡</p><p>na segunda equação tem-se</p><p>(</p><p>2</p><p>𝑡</p><p>)</p><p>3</p><p>− 𝑡3 = 10</p><p>8</p><p>𝑡3</p><p>− 𝑡3 − 10 = 0</p><p>8 − 𝑡6 − 10𝑡3 = 0</p><p>Fazendo outra substituição, 𝑤 = 𝑡3, tem-se que w é solução da equação do segundo</p><p>grau</p><p>8 − 𝑤2 − 10𝑤 = 0</p><p>Logo 𝑤 =</p><p>10±√100−4(−1)8</p><p>−2</p><p>= −5 ± √33</p><p>Escolhendo a o valor positivo para w, isto é, 𝑤 = −5 + √33, tem – se 𝑡 =</p><p>√−5 + √33</p><p>3</p><p>.</p><p>De 𝑠3 − 𝑡3 = 10, tem-se</p><p>𝑠3 − (−5 + √33) = 10</p><p>𝑠3 + 5 − √33 = 10</p><p>𝑠3 = 5 + √33</p><p>𝑠 = √5 + √33</p><p>3</p><p>Retornando à equação original...</p><p>y = s – t = √5 + √33</p><p>3</p><p>− √−5 + √33</p><p>3</p><p>x = y – 2 = √5 + √33</p><p>3</p><p>− √−5 + √33</p><p>3</p><p>− 2</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1a Avaliação Presencial de História da Matemática – 2018-1</p><p>As questões 1 e 2 versam sobre</p><p>contribuições das civilizações egípcia e</p><p>babilônica para o desenvolvimento da</p><p>matemática.</p><p>Questão 1 [1,5 pt] – Resolva o seguinte problema do papiro de Ahmes, usando o método da</p><p>falsa posição:</p><p>Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade?</p><p>Solução:</p><p>O problema equivale a resolver a equação</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de 7 é 1.</p><p>Somando 7 a</p><p>1</p><p>7</p><p>de 7 obtemos 8.</p><p>7 +</p><p>1</p><p>7</p><p>× 7 = 8</p><p>Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19</p><p>Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples:</p><p>Quantidade Resultado</p><p>7 8</p><p>x 19</p><p>Portanto,</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>8</p><p>19</p><p>⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 =</p><p>133</p><p>8</p><p>.</p><p>Questão 2 [1,5 pt] – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal</p><p>(base 60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa</p><p>escrita: 0, 1, 2,..., 59. Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula)</p><p>e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como</p><p>fazemos na base decimal). Por exemplo: o número 15x602 + 7x600 +26x60-1 + 51x60-2 será</p><p>representado por 15;0;7,26;51. Agora resolva o seguinte problema.</p><p>No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram a diagonal de um quadrado de lado medindo</p><p>0,30 como sendo o produto de 0,30 por 1,24;51;10. Determine a medida da diagonal, isto é,</p><p>calcule (0,30) x (1,24;51;10). (indique o resultado usando a representação sexagesimal).</p><p>Solução:</p><p>(0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10)</p><p>30</p><p>60</p><p>x (1 +</p><p>24</p><p>60</p><p>+</p><p>51</p><p>602</p><p>+</p><p>10</p><p>603</p><p>) =</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>720</p><p>602</p><p>+</p><p>1530</p><p>603</p><p>+</p><p>300</p><p>604</p><p>=</p><p>30</p><p>60</p><p>+</p><p>12</p><p>60</p><p>+</p><p>1500 + 30</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>603</p><p>=</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602</p><p>+</p><p>30</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>603</p><p>=</p><p>42</p><p>60</p><p>+</p><p>25</p><p>602</p><p>+</p><p>35</p><p>603</p><p>= 0,42;25;35</p><p>Questão 3 [1,5 pt] – Dados dois números a e b inteiros positivos, a < b, prove que MG =</p><p>√𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 , onde MA , MH e MG são, respectivamente, a média aritmética, a média harmônica e</p><p>a média geométrica de a e b.</p><p>Solução:</p><p>Como 𝑀𝐴 =</p><p>𝑎+𝑏</p><p>2</p><p>e 𝑀𝐻 =</p><p>2</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>2𝑎𝑏</p><p>𝑎+𝑏</p><p>, tem-se que: 𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 =</p><p>𝑎+𝑏</p><p>2</p><p>.</p><p>2 𝑎𝑏</p><p>𝑎+𝑏</p><p>= 𝑎𝑏</p><p>Daí,</p><p>𝑀𝐺 = √𝑎𝑏 = √𝑀𝐴 . 𝑀𝐻</p><p>Questão 4 [1,5 pt] – Em Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália, Pitágoras, nascido</p><p>por volta de 572 a.C., fundou a famosa escola pitagórica voltada ao estudo de filosofia,</p><p>matemática e ciências naturais. Os pitagóricos foram os responsáveis por um dos momentos</p><p>mais críticos da matemática: a prova de que há segmentos não comensuráveis. Tal fato foi</p><p>verificado no problema que estabelece uma comparação entre o lado do quadrado e sua</p><p>diagonal. Considere o quadrado ABCD. Seja BC a diagonal e AB um dos lados do quadrado.</p><p>Demonstre que</p><p>𝑩𝑪̅̅ ̅̅</p><p>𝑨𝑩̅̅ ̅̅</p><p>não pode ser um número racional.</p><p>Solução:</p><p>Suponhamos, inicialmente, como os gregos, que existia uma subunidade u suficientemente</p><p>pequena de tal modo que 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑚. 𝑢 𝑒 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑛. 𝑢, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜</p><p>𝑚</p><p>𝑛</p><p>𝑖𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑡í𝑣𝑒𝑙. Logo 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =</p><p>𝑚</p><p>𝑛</p><p>𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .</p><p>Como o triângulo ABC é retângulo e isósceles, temos que:</p><p>(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 + (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 2. (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2.</p><p>Substituindo agora o valor de BC na equação acima, temos:</p><p>𝑚2</p><p>𝑛2</p><p>(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 2. (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2⇒</p><p>𝑚2</p><p>𝑛2</p><p>= 2⇒𝑚2 = 2𝑛2</p><p>Isto é, m2 é par.</p><p>Se m2 é par, então m é par.</p><p>Logo m = 2k, k um número inteiro. Mas como</p><p>𝑚</p><p>𝑛</p><p>é irredutível, temos que n é ímpar.</p><p>No entanto, ao substituir m = 2k, pode-se observar</p><p>(2k)2 = 2𝑛2 ⇒ 4𝑘2 = 2𝑛2 ⇒ 𝑛2 = 2𝑘2 ⇒ 𝑛2 é par ⇒ 𝑛 é par.</p><p>Assim, n deve ser simultaneamente par e ímpar. O</p><p>que é um absurdo!</p><p>Através do dilema de Pitágoras surgem neste contexto os segmentos incomensuráveis. A</p><p>diagonal do quadrado unitário e um de seus lados são segmentos incomensuráveis: isto é, não</p><p>existe razão</p><p>irredutível</p><p>𝑚</p><p>𝑛</p><p>que expresse sua medida.</p><p>Tal fato é consequência da prova anterior e foi desse modo que surgiu o número irracional √2.</p><p>Arquimedes</p><p>Arquimedes foi um importante físico e matemático da Antiguidade,</p><p>considerado um dos precursores do cálculo integral. Além de determinar</p><p>a área do circulo por meio do método de exaustão, resolveu problemas</p><p>interessantes e curiosos com características próprias de seu espírito</p><p>crítico e criativo.</p><p>Questão 5 [2,0 pts] - Resolva o seguinte problema proposto por Arquimedes, apresentando</p><p>uma demonstração para o resultado.</p><p>PROBLEMA 1: Seja ABC um semicírculo. Pelo ponto B, traçamos uma perpendicular</p><p>BD ao diâmetro AC. Sobre os segmentos AD e DC, construímos dois outros semicírculos</p><p>AFD e DHC. A área AFDHCB (da região cinza, que Arquimedes chamava de Arbelos) é</p><p>igual a área do círculo de diâmetro BD.</p><p>Solução:</p><p>A área procurada é a que se encontra dentro do semicírculo ABC e fora dos semicírculos AFD</p><p>e DHC. Vamos aos cálculos.</p><p>, e</p><p>Portanto,</p><p>A</p><p>AFDHCB</p><p>= A</p><p>ABC</p><p>- A</p><p>AFD</p><p>- A</p><p>DHC</p><p>=</p><p>AC</p><p>2</p><p>8</p><p>p -</p><p>AD</p><p>2</p><p>8</p><p>p -</p><p>DC</p><p>2</p><p>8</p><p>p =</p><p>p</p><p>8</p><p>AC</p><p>2</p><p>- AD</p><p>2</p><p>+DC</p><p>2æ</p><p>èç</p><p>ö</p><p>ø÷</p><p>é</p><p>ë</p><p>ê</p><p>ù</p><p>û</p><p>ú.</p><p>Como , temos:</p><p>A</p><p>ABC</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>p ×</p><p>AC</p><p>2</p><p>æ</p><p>è</p><p>ç</p><p>ö</p><p>ø</p><p>÷</p><p>2</p><p>=</p><p>AC</p><p>2</p><p>8</p><p>p</p><p>A</p><p>AFD</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>p ×</p><p>AD</p><p>2</p><p>æ</p><p>è</p><p>ç</p><p>ö</p><p>ø</p><p>÷</p><p>2</p><p>=</p><p>AD</p><p>2</p><p>8</p><p>p</p><p>A</p><p>DHC</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>p ×</p><p>DC</p><p>2</p><p>æ</p><p>è</p><p>ç</p><p>ö</p><p>ø</p><p>÷</p><p>2</p><p>=</p><p>DC</p><p>2</p><p>8</p><p>p</p><p>AC= AD+DC</p><p>A</p><p>AFDHCB</p><p>=</p><p>p</p><p>8</p><p>AD+DC( )</p><p>2</p><p>- AD</p><p>2</p><p>+DC</p><p>2æ</p><p>èç</p><p>ö</p><p>ø÷</p><p>é</p><p>ë</p><p>ê</p><p>ù</p><p>û</p><p>ú=</p><p>p</p><p>8</p><p>AD</p><p>2</p><p>+ 2×AD×DC+DC</p><p>2</p><p>- AD</p><p>2</p><p>-DC</p><p>2é</p><p>ëê</p><p>ù</p><p>ûú</p><p>=</p><p>p</p><p>8</p><p>2×AD×DC( ) =</p><p>p</p><p>4</p><p>×AD×DC</p><p>Posto que BD é a média proporcional entre AD e DC, então . Logo,</p><p>Questão 6 [2,0 pts] – Resolva o seguinte problema nas Aritméticas de Diofanto (Problema 17,</p><p>Livro I): “Encontre quatro números, sendo dadas as somas das quatro combinações de três</p><p>quaisquer deles, digamos, 22, 24, 27 e 20.”</p><p>Solução:</p><p>Sejam a, b, c e d os quatro números inteiros e positivos procurados. As combinações 3 a 3</p><p>desses números serão em número de quatro, pois: 𝐶4</p><p>3 =</p><p>4!</p><p>3!( 4−3)!</p><p>=</p><p>4 ×3!</p><p>3! ×1</p><p>= 4.</p><p>Daí, temos o sistema:</p><p>{</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22 (𝐼)</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 24 (𝐼𝐼)</p><p>𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 27 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 20 (𝐼𝑉)</p><p>De (I) e (II), obtemos d – c = 2 (V).</p><p>De (III) e (IV), obtemos a – b = 7 (VI) e a + b + 2c + 2d = 47 (VII)</p><p>De (I) e (VII), temos que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐⏟</p><p>=22</p><p>+ 𝑐 + 2𝑑 = 47 ⇒ 𝑐 + 2𝑑 = 25 (VIII)</p><p>Com as equações (V) e (VIII), obtemos o sistema:</p><p>{</p><p>𝑑 − 𝑐 = 2</p><p>2𝑑 + 𝑐 = 25</p><p>⇔ 𝑐 = 7 𝑒 𝑑 = 9</p><p>De (IV) e (VII), temos que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑⏟</p><p>20</p><p>= 47 ⇒ 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 27 ⇒ 𝑎 + 7 = 27 ⇒ 𝑎 =</p><p>11.</p><p>Segue, de (I), que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22 ⇒ 11 + 𝑏 + 7 = 22 ⇒ 𝑏 = 4</p><p>Logo, os números procurados são: 11, 4, 7 e 9.</p><p>BD</p><p>2</p><p>= AD×DC</p><p>A</p><p>AFDHCB</p><p>=</p><p>p</p><p>4</p><p>×AD×DC=</p><p>p</p><p>4</p><p>×BD</p><p>2</p><p>= p ×</p><p>BD</p><p>2</p><p>æ</p><p>è</p><p>ç</p><p>ö</p><p>ø</p><p>÷</p><p>2</p><p>= A</p><p>círculo de diâmetro BD</p><p>1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha de Respostas,</p><p>para desenvolver suas resoluções.</p><p>2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova. Caso contrário</p><p>verifique com o aplicador a solução cabível.</p><p>3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado para este fim.</p><p>4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando</p><p>os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado no</p><p>cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.</p><p>PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS</p><p>5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.</p><p>6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!</p><p>7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com conexão à</p><p>Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada pelo aplicador à Direção do</p><p>Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.</p><p>8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devidamente</p><p>assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.</p><p>1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções das questões</p><p>na(s) Folha(s) de Respostas.</p><p>2. Apresente as resoluções de forma clara, legível e organizada. Não se esqueça de numerá-las de acordo</p><p>com as questões.</p><p>3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Portanto, quaisquer</p><p>anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.</p><p>4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.</p><p>5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalização</p><p>e a correção.</p><p>1. É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de telefone celular ou de qualquer outro aparelho que</p><p>permita a conexão à Internet.</p><p>AP1 – História da Matemática – Semestre 1 / 2019</p><p>ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ON LINE</p><p>Orientações gerais</p><p>Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas</p><p>Orientação específica:</p><p>ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em algum prejuízo na sua avaliação, o que será de</p><p>sua inteira responsabilidade.</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – 1 / 2019</p><p>Código da disciplina EAD01069</p><p>Nome: ____________________________________________________ Matrícula:_________________</p><p>Polo: __________________________________________</p><p>Atenção!</p><p>• Identifique a Prova, colocando Nome, Matrícula e</p><p>Polo.</p><p>• Sua prova será corrigida online, siga as instruções</p><p>na capa deste caderno.</p><p>• Resoluções feitas nesta(s0 folha(s) de questões ou em</p><p>folha (es) de rascunho não serão corrigidas</p><p>• Devolva esta prova e as Folhas de Respostas ao</p><p>aplicador.</p><p>_____________________________________________________________________________</p><p>Questão	1	(3,0	pontos)</p><p>a)	[1,5	pt]		Multiplique,	como	os	egípcios,	38	por	23,	ou	seja,	tome	23	vezes	o	número	38.</p><p>b)	[1,5	pt]	Usando	o	método	da	falsa	posição	equacione	(isto	é,	determine	a	equação	que	modela	o</p><p>problema)	e	resolva	o	Problema	24	do	Papiro	de	Rhind:</p><p>“Encontrar	um	número	que,	aumentado	de	sua	sétima	parte,	dá	19.”</p><p>Questão	2	 (2,0	pontos)	 -	Os	babilônios	usavam	um	sistema	de	numeração	posicional	 sexagesimal	 (base</p><p>60).	Para	representar	os	“algarismos”	da	base	babilônica	usaremos	os	dígitos	da	nossa	escrita:	0,	1,	2,	...,</p><p>59.	Para	separar	as	ordens	(potências	de	60)	utilizaremos	“;”	(ponto	e	vírgula)	e	para	separar	a	parte	inteira</p><p>da	parte	“sexagesimal”	usaremos	“,”	 (a	vírgula	 -	 	assim	como	fazemos	na	base	decimal).	Por	exemplo:	o</p><p>número	15x602	+	7x600	+26x60-1	+	51x60-2	será	representado	por	15	;	0	;	7	,	26	;	51.</p><p>Determine	os	valores	das	expressões	a	seguir,	usando	a	notação	apresentada	acima:</p><p>a) [0,5 pt] 16;32,45 + 38,19 =</p><p>b) [1,0 pt] 48;32,0 ⨯ 3,2 =</p><p>c) [0,5 pt] 2;1;1,0 – 1;2;2,0 =</p><p>Questão	3	(3,0	pontos)	-	Os	gregos	desenvolveram	os	conceitos	de	média	aritmética,	média	geométrica	e</p><p>média	harmônica	a	partir	do	estudo	de	propriedades	das	proporções:</p><p>The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the</p><p>image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file</p><p>again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.</p><p>i. média	 aritmética	 -	 dados	 os	 números	 a	 e	 c,	 a	 média	 aritmética	 é	 o	 número	 b	 que</p><p>satisfaz	 a</p><p>seguinte	proporção:	!!!</p><p>!!!</p><p>= !</p><p>!</p><p>ii. média	 geométrica	 -	 dados	 os	 números	 a	 e	 c,	 a	média	 geométrica	 é	 o	 número	 b	 que	 satisfaz	 a</p><p>seguinte	proporção:	!!!</p><p>!!!</p><p>= !</p><p>!</p><p>iii. média	 harmônica	 -	 dados	 os	 números	 a	 e	 c,	 a	média	 harmônica	 é	 o	 número	b	 que	 satisfazia	 a</p><p>seguinte	proporção:	!!!</p><p>!!!</p><p>= !</p><p>!</p><p>Assim,	com	base	nas	definições	acima,	mostre:</p><p>a)	[0,5	pt]	que	a	média	aritmética	b	entre	os	números	a	e	c	é	dada	por	 b = !!!</p><p>!</p><p>;</p><p>b)	[0,5	pt]	que	a	média	geométrica	b	entre	os	números	a	e	c	é	dada	por		b = ac ;</p><p>c)	[0,5	pt]	que	a	média	harmônica	b	entre	os	números	a	e	c	é	dada	por	b = !"#</p><p>!!!</p><p>.</p><p>d)	[1,5	pt]	No	semicírculo	abaixo,	O	é	o	centro	e	DB	é	perpendicular	ao	diâmetro	AC.	Identifique	na	figura</p><p>os	segmentos	cujas	medidas	representam	as	médias	aritmética,	geométrica	e	harmônica	das	medidas	dos</p><p>segmentos	AB	e	BC.	Justifique	sua	resposta.</p><p>Questão	 4	 (2,0	 pontos)	 Eis	 um	 problema	 e	 sua	 solução	 da	 obra	 de	 Al-Khwarizmi,	 “Al-Labr	 W´al</p><p>Muqabalah”:</p><p>“Um	quadrado	mais	dez	raízes	do	mesmo	é	igual	a	trinta	e	nove.	Qual	é	o	quadrado?	–	A	solução	é	a</p><p>seguinte:	Tome	a	metade	do	número	de	raízes,	obtendo	cinco.	Isto	é,	multiplicando	por	si	mesmo	–</p><p>o	produto	será	vinte	e	cinco.	Adicione	 isto	a	trinta	e	nove	e	a	soma	será	sessenta	e	quatro.	Tome</p><p>então	a	raiz	quadrada	disto,	que	é	igual	a	oito	e	subtraia	disto	a	metade	do	número	de	raízes,	que	é</p><p>cinco.	A	diferença	é	três.	Esta	é	a	raiz	do	número	procurado	–	e	o	próprio	quadrado	é	nove.”</p><p>a) [1,5	pt]	Formule	o	problema	e	sua	solução	com	a	simbologia	atual	(na	análise	da	solução,	formule-a</p><p>passo	a	passo	como	no	texto,	indentificando-a	com	uma	solução	atual).</p><p>b) [0,5	pt]	Faça	um	esboço	do	raciocínio	geométrico	utilizado	por	Al-Khwarismi.</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1a Avaliação Presencial de História da Matemática – 2019-2</p><p>Questão 1 [1,5 pt] – Resolva o problema (Prob. 9 de uma tábua do período Hitita - 1650 a</p><p>1200 a.C.).</p><p>Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está</p><p>0,1 GAR abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita. A que</p><p>distância da parede está a sua parte de baixo?</p><p>Solução:</p><p>Inicialmente devemos interpretar “perfeitamente direita” como perpendicular ao solo.</p><p>A figura 1 representa a situação inicial e a figura 2 a situação em que o topo da trave deslocou</p><p>verticalmente de 0,1 GAR.</p><p>Figura 1</p><p>Figura 2</p><p>Usando o Teorema de Pitágoras(*), tem-se que a parte de baixo está a 0,3 GAR da parede</p><p>(*) Não se sabe se os egípcios tinham o conhecimento e uma demonstração do Teorema de</p><p>Pitágoras. Entretanto, eles tinham conhecimento da existência de alguns ternos pitagóricos:</p><p>(3,4,5) era um deles.</p><p>Questão 2 [1,5 pt] - Multiplique, como os egípcios, 32 por 19, ou seja, tome 19 vezes o</p><p>número 32.</p><p>Solução:</p><p>∖1 32</p><p>∖2 64</p><p>4 128</p><p>8 256</p><p>∖16 512</p><p>1 + 2 + 16 = 19 ⇒ 32 ⨯ 19 = 32 + 64 + 512 = 608.</p><p>Questão 3 [1,5 pt] - Resolva a equação</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑥</p><p>5</p><p>= 49, usando o método da falsa posição.</p><p>Solução:</p><p>Assim como o escriba, vamos “evitar” as frações 1/2 e 1/5 simultaneamente.</p><p>Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um</p><p>múltiplo comum de 2 e 5, por exemplo: o m.m.c.(2 , 5) = 10 .</p><p>Substituindo na equação a posição inicial (21) temos:</p><p>10(1/2) + 10(1/5) = 5 + 2 = 7 (*)</p><p>Como o resultado esperado é 49 o resultado que obtivemos em (*) deve ser multiplicado por 7</p><p>para obtermos 49.</p><p>Sendo assim: x = 10 ∙ 7 = 70.</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do</p><p>quadrado ABCD.</p><p>Responda:</p><p>a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis? Justifique sua resposta, fazendo</p><p>uma demonstração do fato.</p><p>b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?</p><p>c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior</p><p>em relação ao menor.</p><p>Solução:</p><p>a) Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno</p><p>impresso ou o texto complementar.</p><p>Solução de b) e c) :</p><p>Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso:</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐹̅̅ ̅̅</p><p>=</p><p>2</p><p>1</p><p>isto é, AF̅̅̅̅ = 2 AC̅̅̅̅ .</p><p>Questão 5 [1,5 pt] - Resolva o seguinte problema proposto por Arquimedes.</p><p>Seja ABC um semicírculo. Pelo ponto B, traçamos</p><p>uma perpendicular BD ao diâmetro AC. Sobre os</p><p>segmentos AD e DC, construímos dois outros</p><p>semicírculos AFD e DHC. A área AFDHCB (que</p><p>Arquimedes chamava de Arbelos) é igual à área do</p><p>círculo de diâmetro BD.</p><p>Solução:</p><p>A área procurada é a que se encontra dentro do semicírculo ABC e fora dos semicírculos AFD</p><p>e DHC. Vamos aos cálculos.</p><p>Questão 6 [2,0 pts]: Thabit ibn Qurra (836-901) viveu em Bagdá e</p><p>foi um membro do grupo neo-pitagórico chamado Sabians. Escreveu</p><p>sobre política, gramática, a República de Platão (um diálogo de</p><p>Platão), varíola, anatomia dos pássaros, salinidade do mar, equações</p><p>cúbicas e trigonometria esférica. Ao contrário de Aristóteles,</p><p>acreditava em um verdadeiro infinito (atual). No seu livro “Livro</p><p>Sobre a Determinação de Números Amigáveis” ele apresentou o</p><p>seguinte teorema:</p><p>“Sejam 𝑛 ∈ 𝑍+, 𝑛 > 1, 𝑝 = 3 × 2𝑛 − 1, 𝑞 = 3 × 2𝑛−1 − 1 𝑒 𝑟 = 9 × 22𝑛−1 − 1 .</p><p>Se p, q e r são primos, então 2n pq e 2nr são números amigáveis.”</p><p>Verifique que 220 e 284 formam um par amigável a partir do teorema acima, identificando</p><p>os valores de n, p, q e r.</p><p>(Obs: dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores</p><p>próprios do outro).</p><p>Solução:</p><p>220 2</p><p>110 2</p><p>55 5</p><p>11 11</p><p>1</p><p>284 2</p><p>142 2</p><p>71 71</p><p>1</p><p>Temos que 220 = 22 × 5 × 11 e 284 = 22 × 71. Observemos inicialmente que, na</p><p>decomposição em fatores primos,22 aparece para 220 e 284. Assim, n = 2. Além disso,</p><p>observemos também 220 é da forma 2n pq e 284 é da forma 2nr.</p><p>Vejamos agora os valores de p, q e r. Temos que:</p><p>𝑝 = 3 × 22 − 1 = 11</p><p>𝑞 = 3 × 22−1 − 1 = 5</p><p>𝑟 = 9 × 22×2−1 − 1 = 71 são primos.</p><p>Assim, 220 e 284 são números amigáveis.</p><p>AP1 – História da Matemática – 1º/2020</p><p>Código da disciplina EAD01069</p><p>Nome: ____________________________________________________ Matrícula:_________________</p><p>Polo: __________________________________________</p><p>Atenção!</p><p>Observe algumas ORIENTAÇÕES sobre a realização da prova (em especial os itens 7 e 9).</p><p>• 1 – Preencha cada folha de resposta com NOME,</p><p>MATRÍCULA e POLO;</p><p>• 2 – Escreva o total de páginas utilizadas;</p><p>• 3 – Utilize o número máximo de seis páginas;</p><p>RASCUNHOS não serão corrigidos</p><p>• 4 – Todas as respostas devem apresentar TODOS os</p><p>cálculos;</p><p>• 5 – Identifique as questões e resolva elas na ordem;</p><p>Primeiro a questão 1, depois a 2, e assim por diante, até</p><p>a questão 6.</p><p>• 6 – Em caso de não resolver alguma questão, indique:</p><p>Questão X: Não resolvida. Mas mantenha a ordem das</p><p>questões;</p><p>• 7 – Todas as respostas devem ser MANUSCRITAS</p><p>Questões digitadas receberão ZERO;</p><p>• 8 – Use APENAS canetas AZUIS ou PRETAS;</p><p>• 9 – O (ÚNICO) arquivo contendo todas as soluções</p><p>deve estar no formato PDF.</p><p>• 10 – Você tem até às 19 horas do sábado para enviar o</p><p>seu arquivo. Não deixe para enviar na última hora. O</p><p>risco do não envio é do próprio aluno.</p><p>Questão 1 (1,5 ponto) – Aprendemos, através do Papiro de Rhind, que os antigos egípicios expressavam todas</p><p>as frações próprias como somas de frações unitárias distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático</p><p>inglês James Sylvester, expresse</p><p>17</p><p>38</p><p>como soma de frações unitárias.</p><p>Solução:</p><p>Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 17/38.</p><p>1. Inverto 17/38 obtendo 38/17;</p><p>2. Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 2 < 38/17 < 3, o menor inteiro maior do que</p><p>38/17 é 3);</p><p>3. 1/3 < 17/38 é a maior fração com numerador 1, menor que 17/38;</p><p>4. Faço 17/38 – 1/3 = 13/114;</p><p>5. Repito o algoritmo</p><p>para 13/114.</p><p>(a) Inverto 13/114 obtendo 114/13;</p><p>(b) 8 < 114/13< 9, o menor inteiro maior do que 114/13 é 9;</p><p>(c) 1/9 < 13/114 é a maior fração com numerador 1 menor que 13/114;</p><p>(d) Faço 13/114 – 1/9 = 3/1026 = 1/342, logo 13/114 = 1/9 + 1/342;</p><p>Portanto,</p><p>17/38= 1/3 + 1/9 + 1/342.</p><p>Questão 2 (1,0 ponto) Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração</p><p>Babilônico. Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens (potências</p><p>de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a</p><p>vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo: o número</p><p>será representado por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51.</p><p>Assim, considerando x = 35 , 39 ; 48 e y = 17 , 20 ; 12, determine o valor numérico de 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐.</p><p>Solução:</p><p>x2 − 𝑦2 = [𝑥 − 𝑦] ∙ [𝑥 + 𝑦] = [35,39; 48 − 17,20; 12] ∙ [35,39; 48 + 17,20; 12] =</p><p>= [18,19;36] ∙ [53,0] = [18 × 600 + 19 × 60−1 + 36 × 60−2] ∙ [53 × 600] =</p><p>= (18 × 53) × 600 + (19 × 53) × 60−1+(36 × 53) × 60−2 =</p><p>= 954 × 600 + 1007 × 60−1 + 1908 × 60−2 =</p><p>= (15 × 60 + 54) × 600 + (16 × 60 + 47) × 60−1 + (31 × 60 + 48) × 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + 54 × 600 + 16× 600 + 47 × 60−1 + 31 × 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + 70 × 600 + 78× 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 15× 601 + (1 × 60+ 10) × 600 + (1 × 60 + 18) × 60−1 + 48× 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + 1 × 601 + 10 × 600 + 1 × 600 + 18 × 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 16× 601 + 11 × 600 + 18 × 60−1 + 48 × 60−2</p><p>Portanto, 𝐱𝟐 − 𝒚𝟐 =16 ; 11 , 18 ; 48</p><p>Questão 3 (3,0 pontos) Números figurados eram estudados pelos pitagóricos, que pretendiam, pela análise</p><p>das figuras formadas, descobrir a natureza íntima dos números. Em nosso curso estudamos os números</p><p>triangulares e números quadrados (ou quadrangulares). Considere Tn e Qn, respectivamente, os n-ézimos</p><p>termos das sequências de números triangulares e quadrados.</p><p>a) Mostre que Tn-1 + Tn = Qn, para n > 1.</p><p>b) Faça representações geométricas que ilustrem (ao estilo demonstração sem palvaras) que T2 + T3 = Q3 e</p><p>T3 + T4 = Q4.</p><p>c) Demonstre que a soma Sn dos n primeiros números quadrados é da por</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)</p><p>6</p><p>.</p><p>d) Usando a fórmula</p><p>S</p><p>n</p><p>dada no item anterior, determine uma expressão algébrica que determine a soma 𝜏𝑛</p><p>dos n primeiros números triangulares, isto é, determine uma expressão algébrica em função de n para</p><p>𝜏𝑛 = 𝑇1 + 𝑇2 +⋯+ 𝑇𝑛.</p><p>15x602 +7x600 +26x60-1 + 51x60-2</p><p>https://pt.wikipedia.org/wiki/Escola_pitag%C3%B3rica</p><p>Solução:</p><p>a) Números triangulares são números que podem ser escritos da forma</p><p>𝑘(𝑘+1)</p><p>2</p><p>, com k natural. Os primeiros</p><p>números triangulares são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...</p><p>O leitor pode observar que a soma de dois números triangulares consecutivos é sempre igual a um quadrado</p><p>perfeito, pois:</p><p>𝑇𝑘−1 + 𝑇𝑘 =</p><p>(𝑘−1)(𝑘−1+1)</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑘(𝑘+1)</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑘2−𝑘+𝑘2+𝑘</p><p>2</p><p>=</p><p>2𝑘2</p><p>2</p><p>= 𝑘2 = 𝑄𝑛 .</p><p>b)</p><p>T2 + T3 = Q3 T3 + T4 = Q4.</p><p>c) Vamos usar o princípio da indução finita para demonstrar o resultado.</p><p>- Para n = 1, temos que 𝑆1 =</p><p>1(1+1)(2.1+1)</p><p>6</p><p>=</p><p>1.2.3</p><p>6</p><p>=</p><p>6</p><p>6</p><p>= 1. Ok!</p><p>- Suponha que o resultado é valido para n = k, ou seja, 𝑆𝑘 =</p><p>𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)</p><p>6</p><p>. Vamos verificar se o resultado</p><p>também será válido para n = k+1.</p><p>𝑆𝑛 = 𝑆𝑘+1 = 1 + 4 + 9 +⋯+ 𝑘</p><p>2⏟</p><p>𝑆𝑘</p><p>+ (𝑘 + 1)2 =</p><p>𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)</p><p>6</p><p>+ (𝑘 + 1)2</p><p>=</p><p>𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) + 6(𝑘 + 1)2</p><p>6</p><p>=</p><p>(𝑘 + 1)[𝑘(2𝑘 + 1) + 6(𝑘 + 1)]</p><p>6</p><p>=</p><p>(𝑘 + 1). (2𝑘2 + 𝑘 + 6𝑘 + 6)</p><p>6</p><p>=</p><p>(𝑘 + 1). (2𝑘2 + 7𝑘 + 6)</p><p>6</p><p>=</p><p>(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)</p><p>6</p><p>=</p><p>[𝑘 + 1]. [(𝑘 + 1) + 1]. [2(𝑘 + 1) + 1]</p><p>6</p><p>=</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)</p><p>6</p><p>.</p><p>Logo, o resultado é valido para todo número n natural.</p><p>d) Seja 𝜏𝑛 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 +⋯+ 𝑇𝑛. Sabemos que:</p><p>𝑇1 + 𝑇2 = 2</p><p>2</p><p>𝑇2 + 𝑇3 = 3</p><p>2</p><p>𝑇3 + 𝑇4 = 4</p><p>2</p><p>⋮</p><p>𝑇𝑛−2 + 𝑇𝑛−1 = (𝑛 − 1)</p><p>2</p><p>𝑇𝑛−1 + 𝑇𝑛 = 𝑛</p><p>2</p><p>Somando todas as igualdades acima, temos:</p><p>(𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 +⋯+ 𝑇𝑛−2 + 𝑇𝑛−1) + (𝑇2 + 𝑇3 + 𝑇4 +⋯+ 𝑇𝑛−1 + 𝑇𝑛) = 2</p><p>2 + 32 +⋯+ (𝑛 − 1)2 + 𝑛2</p><p>𝑇1 + 2. 𝑇2 + 2.𝑇3 +⋯+ 2. 𝑇𝑛−2 + 2. 𝑇𝑛−1 + 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛 − 1</p><p>2</p><p>Onde 𝑆𝑛 é a soma nos n primeiros quadrados perfeitos. Seguindo, temos:</p><p>2. 𝜏𝑛 − (𝑇1 + 𝑇𝑛) = 𝑆𝑛 − 1</p><p>2. 𝜏𝑛 − 1 − 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛 − 1</p><p>2. 𝜏𝑛 = 𝑆𝑛 + 𝑇𝑛 =</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)</p><p>6</p><p>+</p><p>𝑛(𝑛 + 1)</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) + 3𝑛(𝑛 + 1)</p><p>6</p><p>𝜏𝑛 =</p><p>(𝑛 + 1)[𝑛(2𝑛 + 1) + 3𝑛]</p><p>12</p><p>=</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1 + 3)</p><p>12</p><p>=</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 4)</p><p>12</p><p>𝜏𝑛 =</p><p>𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)</p><p>6</p><p>Questão 4 (1,5 ponto) Um dos problemas clássicos que aparecem nos Elementos de Euclides é a divisão de</p><p>um segmento de reta em partes proporcionais. Resolva o problema a seguir:</p><p>“Dividir uma reta AB, por um ponto H, em duas partes tais que a parte maior seja a média proporcional</p><p>[média geométrica] entre a ‘reta’ AB e a parte menor.”</p><p>Obs: Você deverá realizar o passo-a-passo da construção geométrica, justificando a indicação do ponto do</p><p>ponto H.</p><p>Solução</p><p>Solução: Livro II – Proposição 11</p><p>Construção de Euclides. Inicialmente, construímos o quadrado ABCD, de lado AB.</p><p>Tomamos E o ponto médio de AC e, em seguida, construímos o segmento BE.</p><p>Prolongamos o segmento AC e, a partir de E, obtemos o segmento EF com a mesma</p><p>medida de BE. Construímos o quadrado AFGH a partir de AF e, em seguida,</p><p>prolongamos o lado GH até intersectar DC no ponto K. O ponto H divide AB de modo</p><p>que AH</p><p>2</p><p>= AB ×BH .</p><p>Comentário: Com efeito, sejam AH = x e AB = a . Então, BH = a - x . Como</p><p>AE =</p><p>a</p><p>2</p><p>, temos que</p><p>FE = x +</p><p>a</p><p>2</p><p>= BE . Pelo Teorema de Pitágoras, temos BE</p><p>2</p><p>= AB</p><p>2</p><p>+ AE</p><p>2</p><p>. Assim:</p><p>Concluímos, então, que AH</p><p>2</p><p>= AB ×BH .</p><p>A B</p><p>H</p><p>Questão 5 (1,5 ponto) – Resolva o seguinte problema de Diofanto:</p><p>“Encontrar três números (x, y e z) tais que o produto de qualquer par deles, mais a soma dos</p><p>mesmos, sejam, respectivamente, iguais a 8, 15 e 24.”</p><p>Solução:</p><p>Das informações, obtemos o sistema:</p><p>xy + x + y = 8</p><p>yz + y + z = 15</p><p>xz + x + z = 24</p><p>ì</p><p>í</p><p>ï</p><p>î</p><p>ï</p><p>xy + x + y = 8</p><p>yz + y + z = 15</p><p>xz + x + z = 24Þ z =</p><p>24 - x</p><p>x +1</p><p>ì</p><p>í</p><p>ï</p><p>ï</p><p>î</p><p>ï</p><p>ï</p><p>xy + x + y = 8</p><p>y</p><p>24 - x</p><p>x +1</p><p>æ</p><p>èç</p><p>ö</p><p>ø÷</p><p>+ y +</p><p>24 - x</p><p>x +1</p><p>= 15Þ</p><p>24y - xy + xy + y + 24 - x</p><p>x +1</p><p>= 15Þ 25y - x + 24 = 15x +15Þ y =</p><p>16x - 9</p><p>25</p><p>ì</p><p>í</p><p>ï</p><p>î</p><p>ï</p><p>x</p><p>16x - 9</p><p>25</p><p>æ</p><p>èç</p><p>ö</p><p>ø÷</p><p>+ x +</p><p>16x - 9</p><p>25</p><p>= 8Þ16x 2 - 9x + 25x +16x - 9 = 200Þ16x 2 + 32x - 209 = 0Þ x =</p><p>11</p><p>4</p><p>Daí:</p><p>y =</p><p>16 ×</p><p>11</p><p>4</p><p>- 9</p><p>25</p><p>=</p><p>7</p><p>5</p><p>e</p><p>z =</p><p>24 -</p><p>11</p><p>4</p><p>11</p><p>4</p><p>+1</p><p>=</p><p>17</p><p>3</p><p>.</p><p>Questão 6 (1,5 ponto) – Os matemáticos árabes desenvolveram a resolução de equações do segundo pelo</p><p>método geométrico de “completar quadrados”. Veja a solução de um desses problemas:</p><p>“O quadrado e oito raízes são iguais a 20. Multiplicamos a metade do número de raízes por si mesmo.</p><p>Somamos este produto ao número 20 e, da raiz quadrada, subtraímos a metade do número de raízes.</p><p>O resultado será igual a raiz do quadrado.”</p><p>Agora faça o que se pede em cada item:</p><p>a) Transcreva em linguagem algébrica atual a equação do segundo grau que está sendo resolvida no</p><p>problema enunciado.</p><p>b) Apresente o passo a passo da solução apresentada em linguagem atual.</p><p>c) Faça uma interpretação do método geométrico “completar quadrados” utilizado.</p><p>Solução</p><p>a) 𝑥2 + 8𝑥 = 20</p><p>b)</p><p>O quadrado e oito raízes são iguais a 20. 𝑥2 + 8𝑥 = 20</p><p>A metade do número de raízes 4</p><p>Multiplicamos a metade do número de raízes por si mesmo 42 = 16</p><p>Somamos este produto ao número 20 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 20 + 16</p><p>Raiz quadrada de 36 (𝑥 + 4)2 = 36 ⇔ (𝑥 + 4) = 6</p><p>Da raiz quadrada, subtraímos a metade do número de raízes. x = 6 – 4 = 2</p><p>c) Segue a interpretação do método geométrico de completar quadrados</p><p>x + 4 = 6</p><p>=> x = 2</p><p>AP1 – História da Matemática – 1/2022</p><p>Código da disciplina EAD01069</p><p>Atenção!</p><p>Observe algumas ORIENTAÇÕES sobre a realização da prova.</p><p>• 1 – A prova possui cinco questões: três questões de</p><p>múltipla escolha e duas questões discursivas, cada uma</p><p>delas valendo 2 pontos;</p><p>• 2 – Para cada questão discursiva deverá ser enviado um</p><p>único arquivo pdf;</p><p>• 3 – Nomeie o arquivo do seguinte modo: Qn-</p><p>SeunomeSeusobrenome. Exemplo: Q4-JoãodaSilva; Q5-</p><p>JoãodaSilva</p><p>• 4 – A prova será realizada no modo sequencial com</p><p>direito a apenas uma tentativa;</p><p>• 5 – Terá duração total de 5h, podendo ser realizada no</p><p>período de 24h: das 18h do dia 02/04/2022 às 18h do dia</p><p>03/04/2022;</p><p>• 6 – ATENÇÂO! Não deixe para fazer a prova no final;</p><p>seu tempo de realização poderá ficar reduzido; Exemplo:</p><p>Se você deixar para iniciar a prova apenas às 16h de</p><p>sábado, significa que terás apenas 2 horas para fazer a</p><p>prova;</p><p>• 7 – As respostas das questões discursivas devem</p><p>apresentar TODOS os cálculos;</p><p>• 8 – Todas as respostas das questões discursivas devem</p><p>ser MANUSCRITAS. Questões digitadas receberão</p><p>ZERO;</p><p>• 9 – Use APENAS canetas AZUIS ou PRETAS;</p><p>QUESTÃO 1 – 2,0 pontos (Babilônia)</p><p>Questão 1A: Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração</p><p>Babilônico. Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens</p><p>(potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal”</p><p>usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Sendo x = [1, 59; 58] e y = [0, 0; 2], temos que o valor de x2 + 2xy é igual a:</p><p>a. 1, 0; 0; 4</p><p>b. 1, 0; 0; 4</p><p>c. 1, 59; 59; 59; 56</p><p>d. 3, 0; 0; 0; 4</p><p>e. 3, 56</p><p>f. 3, 59; 59; 59; 56</p><p>g. 4, 0; 0; 4</p><p>h. 4, 56</p><p>Solução: Letra F</p><p>x2 + 2xy = (x+y)2 – y2 = [(1, 59; 58) + (0, 0; 2)]2 – [(0, 0; 2)]2 = 22 – (2/602)2 =</p><p>= 4 – 4/604 = [3, 59; 59; 59; 56]</p><p>Questão 1B: Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração</p><p>Babilônico. Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens</p><p>(potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal”</p><p>usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Sendo x = [1, 46; 50] e y = [0, 13; 10], temos que o valor de x2 + y – y2 é igual a:</p><p>a. 0, 20; 30</p><p>b. 0, 30; 20</p><p>c. 1, 0; 20; 30</p><p>d. 1, 20; 3</p><p>e. 2, 0; 20; 30</p><p>f. 2, 20; 30</p><p>g. 3, 0; 20; 30</p><p>h. 3, 20; 30</p><p>Solução: Letra H</p><p>x2 + y – y2 = (x+y)(x-y) + y = [(1, 46; 50) + (0, 13; 10)].[(1, 46; 50) - (0, 13;10)] + [0, 13; 10] =</p><p>= 2.[1, 33; 40] + [0, 13; 10] = [3, 7; 20] + [ 0, 13; 10] = [3, 20; 30]</p><p>Questão 1C: Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração</p><p>Babilônico. Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens</p><p>(potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal”</p><p>usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Sendo x = [0, 50] e y = [0, 10] , temos que o valor de x-1 + y-1 é igual a:</p><p>a. 1, 2</p><p>b. 1, 20</p><p>c. 6, 12</p><p>d. 6, 2</p><p>e. 6, 20</p><p>f. 7, 1</p><p>g. 7, 12</p><p>h. 7, 2</p><p>Solução: Letra G</p><p>[0, 50]-1 + [0, 10]-1 = [50/60]-1 + [10/60]-1 = [5/6]-1 + [1/6]-1 = [6/5] + 6 = 1 + 1/5 + 6 =</p><p>= 7 + 12/60 = [7, 12]</p><p>Questão 1D: Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 60). Para</p><p>representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59.</p><p>Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira</p><p>da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo:</p><p>o número 15x602 + 7x600 +26x60-1 + 51x60-2 será representado por [15; 0; 7, 26; 51].</p><p>Para facilitar seus cálculos costumavam construir tabelas de pares de recíprocos. Dois números formam</p><p>um par de recíprocos se o seu produto é 1. Os recíprocos dos números x = [8, 0] e y = [1; 21, 0] são,</p><p>respectivamente:</p><p>a. [1, 25] e [0, 0; 45]</p><p>b. [0, 7; 30] e [0, 0; 45]</p><p>c. [0, 8] e [0, 0; 45]</p><p>d. [0, 7; 30] e [0, 0; 44; 26; 40]</p><p>e. [0, 8] e [0, 0; 44; 26; 40]</p><p>f. [3, 45] e [0, 44; 26; 40]</p><p>g. [0, 7; 30] e [3, 45]</p><p>h. [1, 25] e [3, 45]</p><p>Solução: Letra D</p><p>[0, 7; 30] é o recíproco de [8, 0], pois [8, 0] x [0, 7; 30] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>[8, 0]</p><p>=</p><p>1</p><p>2 × 2 × 2</p><p>∙</p><p>30 × 30 × 30</p><p>30 × 30 × 30</p><p>=</p><p>27000</p><p>603</p><p>=</p><p>7 × 602 + 30 × 60</p><p>603</p><p>=</p><p>7</p><p>60</p><p>+</p><p>30</p><p>602</p><p>= 0 , 7 ; 30</p><p>[0, 0; 44; 26; 40] é o recíproco de [1; 21], pois [1; 21] x [0, 44; 26; 40] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>1; 21</p><p>=</p><p>1</p><p>60 + 21</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>=</p><p>1</p><p>34</p><p>∙</p><p>204</p><p>204</p><p>=</p><p>160000</p><p>(3 × 20)4</p><p>=</p><p>160000</p><p>604</p><p>=</p><p>44 × 602 + 26 × 60 + 40</p><p>604</p><p>=</p><p>=</p><p>44</p><p>602</p><p>+</p><p>26</p><p>603</p><p>+</p><p>40</p><p>604</p><p>= 0 , 0; 44 ; 26 ; 40.</p><p>Questão 1E – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 60). Para</p><p>representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59.</p><p>Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira</p><p>da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo:</p><p>o número 15x602 + 7x600 +26x60-1 + 51x60-2 será representado por [15; 0; 7, 26; 51]. Para facilitar seus</p><p>cálculos costumavam construir tabelas de pares de recíprocos. Dois números formam um par de</p><p>recíprocos se o seu produto é 1.</p><p>Os recíprocos dos números x = [0, 16] e y = [1; 21, 0] são, respectivamente:</p><p>a. [0, 7; 30] e [0, 3; 45]</p><p>b. [3, 45] e [0, 7; 30]</p><p>c. [3, 45] e [0, 0; 44; 26; 40]</p><p>d. [0, 7; 30] e [0, 0; 44; 40]</p><p>e. [3, 0; 45] e [0, 44; 26]</p><p>f. [0, 3; 45] e [0, 44; 26; 40]</p><p>g. [3, 0; 45] e [0, 44]</p><p>h. [7, 30] e [3, 45]</p><p>Solução: Letra C</p><p>[3, 45] é o recíproco de [0,16], pois [0,16] x [3,45] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>[0,16]</p><p>=</p><p>1</p><p>16</p><p>60</p><p>=</p><p>60</p><p>16</p><p>=</p><p>60</p><p>42</p><p>∙</p><p>15 × 15</p><p>15 × 15</p><p>=</p><p>13500</p><p>(4 × 15)2</p><p>=</p><p>3 × 602 + 45 × 60</p><p>602</p><p>= 3 +</p><p>45</p><p>60</p><p>= [3 , 45]</p><p>[0, 0; 44; 26; 40] é o recíproco de [1; 21, 0], pois [1; 21] x [0, 44; 26; 40] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>1; 21</p><p>=</p><p>1</p><p>60 + 21</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>=</p><p>1</p><p>34</p><p>∙</p><p>204</p><p>204</p><p>=</p><p>160000</p><p>(3 × 20)4</p><p>=</p><p>160000</p><p>604</p><p>=</p><p>44 × 602 + 26 × 60 + 40</p><p>604</p><p>=</p><p>=</p><p>44</p><p>602</p><p>+</p><p>26</p><p>603</p><p>+</p><p>40</p><p>604</p><p>= 0 , 0; 44 ; 26 ; 40.</p><p>Questão 1F</p><p>Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração Babilônico.</p><p>Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens (potências</p><p>de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos</p><p>“,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Sendo 𝒙 = [𝟐, 𝟓𝟗; 𝟓𝟗] e 𝑦 = [𝟎, 𝟎; 𝟏], temos que o valor de 𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚) é igual a</p><p>a) 9,59; 59</p><p>b) 9,0; 0; 1</p><p>c) 9,0; 0; 0; 59</p><p>d) 8,59; 59; 59; 59</p><p>e) 8,59; 59</p><p>f) 8,0; 0; 1</p><p>g) 8,0; 1</p><p>h) 9,59; 59; 59</p><p>Resposta: Letra D</p><p>𝑥(𝑥 + 2𝑦) = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑦)2 − 𝑦2 = (2,59; 59 + 0,0; 1)2 − (0,0; 1)2 = 32 − (</p><p>1</p><p>602</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>= 9 −</p><p>1</p><p>604</p><p>= 9 − 0,0; 0; 0; 1 = 8,59; 59; 59; 59</p><p>Questão 1G</p><p>Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração Babilônico.</p><p>Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens (potências</p><p>de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos</p><p>“,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Sendo 𝒙 = [𝟏, 𝟑𝟓; 𝟓𝟎] e 𝒚 = [𝟎, 𝟐𝟒; 𝟏𝟎], temos que o valor de 𝒙𝟐 − 𝒚 − 𝒚𝟐 é igual a</p><p>a) 1,47; 30</p><p>b) 1,59</p><p>c) 2,59; 10</p><p>d) 2,1; 10</p><p>e) 1,1; 10</p><p>f) 2,59</p><p>g) 2,47; 30</p><p>h) 1,59; 10</p><p>Resposta: Letra H</p><p>𝑥2 − 𝑦 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) − 𝑦 = (1,35; 50 + 0,24; 10)(1,35; 50 − 0,24; 10) − 0,24; 10 =</p><p>= 2 ∙ (1,11; 40) − 0,24; 10 = 2,23; 20 − 0,24; 10 = 1,59; 10</p><p>Questão 1H</p><p>Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração Babilônico.</p><p>Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita:</p><p>0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens (potências</p><p>de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos</p><p>“,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Sendo 𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟓 e 𝒚 = 𝟎, 𝟑𝟎, temos que o valor de (𝒙 + 𝒚)/𝒙𝒚 é igual a</p><p>a) 2,10; 20</p><p>b) 2,34; 30</p><p>c) 2,0; 20</p><p>d) 2,15</p><p>e) 3,20</p><p>f) 3,0; 20</p><p>g) 3,15</p><p>h) 2,20</p><p>Resposta: Letra E</p><p>𝑥 + 𝑦</p><p>𝑥𝑦</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>𝑥𝑦</p><p>+</p><p>𝑦</p><p>𝑥𝑦</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑦</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>1</p><p>0,45</p><p>+</p><p>1</p><p>0,30</p><p>=</p><p>1</p><p>45</p><p>60</p><p>+</p><p>1</p><p>30</p><p>60</p><p>=</p><p>60</p><p>45</p><p>+</p><p>60</p><p>30</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>+</p><p>6</p><p>3</p><p>= 1,20 + 2,0 = 3,20</p><p>Questão 1I</p><p>Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 60). Para representar</p><p>os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2 , ..., 59. Para separar</p><p>as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte</p><p>“sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo: o número</p><p>15x602 + 7x600 +26x60-1 + 51x60-2 será representado por [15; 0; 7, 26; 51]. Para facilitar seus cálculos</p><p>costumavam construir tabelas de pares de recíprocos. Dois números formam um par de recíprocos se</p><p>o seu produto é 1.</p><p>Os recíprocos dos números x = [8, 0] e y = [1; 21, 0] são, respectivamente:</p><p>a. [1, 25] e [0, 0; 45]</p><p>b. [0, 7; 30] e [0, 0; 45]</p><p>c. [0, 8] e [0, 0; 45]</p><p>d. [0, 7; 30] e [0, 0; 44; 26; 40]</p><p>e. [0, 8] e [0, 0; 44; 26; 40]</p><p>f. [3, 45] e [0, 44; 26; 40]</p><p>g. [0, 7; 30] e [3, 45]</p><p>h. [1, 25] e [3, 45]</p><p>Solução: Letra D</p><p>[0, 7; 30] é o recíproco de [8, 0], pois [8, 0] x [0, 7; 30] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>[8, 0]</p><p>=</p><p>1</p><p>2 × 2 × 2</p><p>∙</p><p>30 × 30 × 30</p><p>30 × 30 × 30</p><p>=</p><p>27000</p><p>603</p><p>=</p><p>7 × 602 + 30 × 60</p><p>603</p><p>=</p><p>7</p><p>60</p><p>+</p><p>30</p><p>602</p><p>= 0 , 7 ; 30</p><p>[0, 0; 44; 26; 40] é o recíproco de [1; 21,0], pois [1; 21] x [0, 44; 26; 40] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>1; 21</p><p>=</p><p>1</p><p>60 + 21</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>=</p><p>1</p><p>34</p><p>∙</p><p>204</p><p>204</p><p>=</p><p>160000</p><p>(3 × 20)4</p><p>=</p><p>160000</p><p>604</p><p>=</p><p>44 × 602 + 26 × 60 + 40</p><p>604</p><p>=</p><p>=</p><p>44</p><p>602</p><p>+</p><p>26</p><p>603</p><p>+</p><p>40</p><p>604</p><p>= 0 , 0; 44 ; 26 ; 40.</p><p>Questão 1J</p><p>Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 60). Para representar</p><p>os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar</p><p>as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte</p><p>“sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo: o número</p><p>15x602 + 7x600 +26x60-1 + 51x60-2 será representado por [15; 0; 7, 26; 51]. Para facilitar seus cálculos</p><p>costumavam construir tabelas de pares de recíprocos. Dois números formam um par de recíprocos se</p><p>o seu produto é 1.</p><p>Os recíprocos dos números x = [0, 16] e y = [1; 21, 0] são, respectivamente:</p><p>a. [0, 7; 30] e [0, 3; 45]</p><p>b. [3, 45] e [0, 7; 30]</p><p>c. [3, 45] e [0, 0; 44; 26; 40]</p><p>d. [0, 7; 30] e [0, 0; 44; 40]</p><p>e. [3, 0; 45] e [0, 44; 26]</p><p>f. [0, 3; 45] e [0, 44; 26; 40]</p><p>g. [3, 0; 45] e [0, 44]</p><p>h. [7, 30] e [3, 45]</p><p>Solução: Letra C</p><p>[3, 45] é o recíproco de [0,16], pois [0,16] x [3,45] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>[0,16]</p><p>=</p><p>1</p><p>16</p><p>60</p><p>=</p><p>60</p><p>16</p><p>=</p><p>60</p><p>42</p><p>∙</p><p>15 × 15</p><p>15 × 15</p><p>=</p><p>13500</p><p>(4 × 15)2</p><p>=</p><p>3 × 602 + 45 × 60</p><p>602</p><p>= 3 +</p><p>45</p><p>60</p><p>= [3 , 45]</p><p>[0, 0; 44; 26; 40] é o recíproco de [1; 21, 0], pois [1; 21] x [0, 44; 26; 40] = 1. Verificando:</p><p>1</p><p>1; 21</p><p>=</p><p>1</p><p>60 + 21</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>=</p><p>1</p><p>34</p><p>∙</p><p>204</p><p>204</p><p>=</p><p>160000</p><p>(3 × 20)4</p><p>=</p><p>160000</p><p>604</p><p>=</p><p>44 × 602 + 26 × 60 + 40</p><p>604</p><p>=</p><p>=</p><p>44</p><p>602</p><p>+</p><p>26</p><p>603</p><p>+</p><p>40</p><p>604</p><p>= 0 , 0; 44 ; 26 ; 40.</p><p>QUESTÃO 2 – 2,0 pontos (Egito)</p><p>Questão 2A: Os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações</p><p>unitárias distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester,</p><p>7</p><p>31</p><p>pode</p><p>ser escrito como soma de três frações unitárias do seguinte modo:</p><p>7</p><p>31</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>Então o valor de a + b + c é igual a:</p><p>a. 44</p><p>b. 186</p><p>c. 372</p><p>d. 648</p><p>e. 2015</p><p>f. 3720</p><p>g. 6045</p><p>h. 6089</p><p>Solução: Letra H</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 7/31.</p><p>• Inverto 7/31 obtendo 31/7;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 4 < 31/7 < 5, o menor inteiro maior</p><p>do que 15/7 é 5);</p><p>• 1/5 < 7/31 é a maior fração com numerador 1, menor que 7/31;</p><p>• Faço 7/31 – 1/5 = 4/155;</p><p>• Repito o algoritmo para 4/155.</p><p>• Inverto 4/155 obtendo 155/4;</p><p>• 38 < 155/4< 39, o menor inteiro maior do que 155/4 é 39;</p><p>• 1/39 < 4/155 é a maior fração com numerador 1 menor que 4/155;</p><p>• Faço 4/155 – 1/39 = (156 - 155)/(39 x 155) = 1/6045, logo 4/155 = 1/39 + 1/6045;</p><p>• 7/31= 1/5 + 1/39 + 1/6045.</p><p>Segue então que:</p><p>a + b + c = 5 + 39 + 6045 = 6089</p><p>Questão 2B: Os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações</p><p>unitárias distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester,</p><p>5</p><p>11</p><p>pode</p><p>ser escrito como soma de três frações unitárias do seguinte modo:</p><p>5</p><p>11</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>Então o valor de a + b + c é igual a:</p><p>a. 12</p><p>b. 16</p><p>c. 55</p><p>d. 102</p><p>e. 108</p><p>f. 111</p><p>g. 121</p><p>h. 128</p><p>Resposta: Letra F</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 5/11.</p><p>• Inverto 5/11 obtendo 11/5;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 2 < 11/5 < 3, o menor inteiro maior</p><p>do que 11/5 é 3);</p><p>• 1/3 < 5/11 é a maior fração com numerador 1, menor que 5/11;</p><p>• Faço 5/11 – 1/3 = 4/33;</p><p>• Repito o algoritmo para 4/33.</p><p>• Inverto 4/33 obtendo 33/4;</p><p>• 8 < 33/4 < 9, o maior inteiro é 9;</p><p>• 1/9 < 4/33 é a maior fração com numerador 1 menor que 4/33;</p><p>• Faço 4/33 – 1/9 = 1/99, logo 4/33 = 1/9 + 1/99;</p><p>• Portanto, 5/11 = 1/3 + 1/9 + 1/99.</p><p>Segue então que:</p><p>a + b + c = 3 + 9 + 99 = 111</p><p>Questão 2C</p><p>Os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações unitárias</p><p>distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester,</p><p>5</p><p>17</p><p>pode ser escrito</p><p>como soma de três frações unitárias do seguinte modo:</p><p>5</p><p>17</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>Então o valor de a + b + c é igual a:</p><p>a. 17</p><p>b. 27</p><p>c. 55</p><p>d. 502</p><p>e. 801</p><p>f. 1564</p><p>g. 1591</p><p>h. 1654</p><p>Resposta: Letra G.</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 5/17.</p><p>• Inverto 5/17 obtendo 17/5;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 3 < 17/5 < 4, o menor inteiro maior</p><p>do que 17/5 é 4);</p><p>• 1/4 < 5/17 é a maior fração com numerador 1, menor que 5/17;</p><p>• Faço 5/17 – 1/4 = 3/68;</p><p>• Repito o algoritmo para 3/68.</p><p>• Inverto 3/68 obtendo 68/3;</p><p>• 22 < 68/3 < 23, o maior inteiro é 23;</p><p>• 1/23 < 3/68 é a maior fração com numerador 1 menor que 3/68;</p><p>• Faço 3/68 – 1/23 = 1/1564, logo 3/68 = 1/23 + 1/1564;</p><p>• Portanto, 5/17 = 1/4 + 1/23 + 1/1564.</p><p>Segue então que:</p><p>a + b + c = 4 + 23 + 1564 = 1591</p><p>Questão 2D</p><p>Os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações unitárias</p><p>distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester,</p><p>17</p><p>21</p><p>pode ser escrito</p><p>como soma de três frações unitárias do seguinte modo:</p><p>17</p><p>21</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑑</p><p>Então o valor de a + b + c + d é igual a:</p><p>a. 21</p><p>b. 23</p><p>c. 551</p><p>d. 1428</p><p>e. 1451</p><p>f. 1564</p><p>g. 1591</p><p>h. 1654</p><p>Resposta: Letra E</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que</p><p>17/21.</p><p>• Inverto 17/21 obtendo 21/17;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 1 < 21/17 < 2, o menor inteiro</p><p>maior do que 21/17 é 2);</p><p>• 1/2 < 21/17 é a maior fração com numerador 1, menor que 17/21;</p><p>• Faço 17/21– 1/2 = 13/42;</p><p>• Repito o algoritmo para 13/42.</p><p>• Inverto 13/42 obtendo 42/13;</p><p>• 3 < 42/13 < 4, o maior inteiro é 4;</p><p>• 1/4 < 13/42 é a maior fração com numerador 1 menor que 13/42;</p><p>• Faço 13/42</p><p>– 1/4 = 10/168 = 5/84, logo 13/42 = 1/4 + 5/84;</p><p>• Repito o algoritmo para 5/84.</p><p>• Inverto 5/84 obtendo 84/5;</p><p>• 16 < 84/5 < 17, o maior inteiro é 17;</p><p>• 1/17 < 5/84 é a maior fração com numerador 1 menor que 5/84;</p><p>• Faço 5/84 – 1/17 = 1/1428 = 5/84, logo 5/84 = 1/17 + 1/1428;</p><p>• Portanto, 17/21 = 1/2 + 1/4 + 1/17 + 1/1428.</p><p>Segue então que:</p><p>a + b + c + d = 2 + 4 + 17 + 1428 = 1451</p><p>Questão 2E: Os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações</p><p>unitárias distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester,</p><p>7</p><p>31</p><p>pode</p><p>ser escrito como soma de três frações unitárias do seguinte modo:</p><p>19</p><p>20</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑑</p><p>Então o valor de a + b + c + d é igual a:</p><p>a. 14</p><p>b. 20</p><p>c. 60</p><p>d. 180</p><p>e. 185</p><p>f. 194</p><p>g. 380</p><p>h. 460</p><p>Solução: Letra F</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que</p><p>19/20.</p><p>• Inverto 19/20 obtendo 20/19;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 1 < 20/19 < 2, o menor inteiro</p><p>maior do que 20/19 é 2);</p><p>• 1/2 < 19/20 é a maior fração com numerador 1, menor que 19/20;</p><p>• Faço 19/20 – 1/2 = 9/20;</p><p>• Repito o algoritmo para 9/20.</p><p>• Inverto 9/20 obtendo 20/9;</p><p>• 2 < 20/9 < 3, o menor inteiro maior do que 20/9 é 3;</p><p>• 1/3 < 20/9 é a maior fração com numerador 1 menor que 20/9;</p><p>• Faço 9/20 – 1/3 = 7/60, logo 9/20 = 1/3 + 7/60;</p><p>• Repito o algoritmo para 7/60.</p><p>• Inverto 7/60 obtendo 60/7;</p><p>• 8 < 60/7 < 9, o menor inteiro maior do que 60/7 é 9;</p><p>• 1/9 < 60/7 é a maior fração com numerador 1 menor que 60/7;</p><p>• Faço 7/60 – 1/9 = 1/180, logo 7/60 = 1/9 + 1/180;</p><p>• Logo, 19/20 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/180</p><p>Segue então que:</p><p>a + b + c = 2 + 3 + 9 + 180 = 194</p><p>Questão 2F: Os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações</p><p>unitárias distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester,</p><p>6</p><p>13</p><p>pode</p><p>ser escrito como soma de três frações unitárias do seguinte modo:</p><p>6</p><p>13</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>Então o valor de a + b + c é igual a:</p><p>a. 11</p><p>b. 26</p><p>c. 52</p><p>d. 130</p><p>e. 273</p><p>f. 315</p><p>g. 323</p><p>h. 416</p><p>Solução: Letra G</p><p>Solução:</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 6/13.</p><p>• Inverto 6/13 obtendo 13/6;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 2 < 13/6 < 3, o menor inteiro maior</p><p>do que 13/6 é 3);</p><p>• 1/3 < 6/13 é a maior fração com numerador 1, menor que 6/13;</p><p>• Faço 6/13 – 1/3 = 5/39;</p><p>• Repito o algoritmo para 5/39.</p><p>• Inverto 5/39 obtendo 39/5;</p><p>• 7 < 39/5 < 8, o maior inteiro é 8;</p><p>• 1/8 < 5/39 é a maior fração com numerador 1 menor que 5/39;</p><p>• Faço 5/39 – 1/8 = 1/312, logo 5/39 = 1/8 + 1/312;</p><p>• Portanto, 6/13 = 1/3 + 1/8 + 1/312.</p><p>Segue então que:</p><p>a + b + c = 3 + 8 + 312 = 323</p><p>QUESTÃO 3 – 2,0 pontos (conceituais)</p><p>Questão 3A</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O método dedutivo foi desenvolvido nos primórdios da matemática egípcia.</p><p>II. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>III. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>IV. O método de exaustão na matemática grega utilizava a noção de limite.</p><p>V. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra o. Apenas a afirmação (V) é verdadeira</p><p>I. Falso. Neste período, em vez de argumentações, encontram-se apenas “receitas de como fazer”:</p><p>“Faça assim e assim”.</p><p>II. Falso. O sistema é decimal.</p><p>III. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>IV. Falso. O método de exaustão era um método indireto que utilizava uma dupla redução ao absurdo.</p><p>V. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>Questão 3B</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>II. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>III. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>IV. Euclides, em Os Elementos, ignora a existência de números irracionais.</p><p>V. Platão propõe o “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra l. Apenas a afirmação (II) é verdadeira</p><p>I. Falso. O sistema de numeração egípcio é decimal.</p><p>II. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>III. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>IV. Falso. Euclides considera os números irracionais através de processos de aproximações por valores</p><p>racionais, fazendo uso simultaneamente de sequência de valores inferiores quanto de sequência de</p><p>valores superiores a medida do segmento incomensurável.</p><p>V. Falso. Na verdade, foi Aristóteles quem propôs uma espécie de “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Platão sugere inclusive a ideia daquilo poderia ser a origem do conceito de variável.</p><p>Questão 3C</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>II. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>III. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem</p><p>que a área do trapézio ABCD é igual a soma das áreas das três lúnulas mais a área do</p><p>semi-ćırculo de diâmetro AB.</p><p>Solução: Temos que</p><p>área (trapézio ABCD) + 3 área (semi-ćırculo AB) = área (semi-ćırculo AD) + área (3 lúnulas) .</p><p>Como m(AD) = 2m(AB), então</p><p>área (semi-ćırculo AD) = 4 área (semi-ćırculo AB) .</p><p>Logo:</p><p>área (trapézio ABCD) = área (semi-ćırculo AB) + área (3 lúnulas) .</p><p>Questão 4 [2,0 pts]: Os pitagóricos distinguiam três tipos de média entre dois números, a média</p><p>aritmética, a média geométrica e a média harmônica. Para a média geométrica temos a definição:</p><p>“ Um número g ∈ Z+ é a média geométrica de dois</p><p>números a e b, com a, b ∈ Z+, se estes três números estão</p><p>em progressão geométrica”.</p><p>Escreva a igualdade que representa a média geométrica g de a e b a partir do fato que a seqüência</p><p>{a, g, b} forma uma progressão geométrica.</p><p>Solução: Como a seqüência {a, g, b} forma uma progressão geométrica, tem-se que</p><p>{a, g, b} = {a, ar, ar2} .</p><p>Dáı, b = ar2 e g = ar. Logo r2 = b/a se, e somente se, r =</p><p>√</p><p>b/a e</p><p>g = a</p><p>√</p><p>b</p><p>a</p><p>= a</p><p>√</p><p>b√</p><p>a</p><p>=</p><p>√</p><p>a</p><p>√</p><p>b =</p><p>√</p><p>ab .</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>História da Matemática AP1 – gabarito – 1/2007 3</p><p>Questão 5 [2,5 pts]: Estamos na Itália renascentista. Em 1530, Niccolo Tartaglia, arranjou um</p><p>método de resolver equações cúbicas, inclusive as da forma x3 + ax2 = b. Ele manteve em segredo</p><p>sua descoberta, mas divulgou a not́ıcia de que sabia resolver cúbicas. O matemático Antonio Maria</p><p>Fior desafiou então Tartaglia para um embate público em que cada oponente tinha de resolver 30</p><p>equações propostas pelo outro, em 50 dias. Tartaglia resolveu todas e Fior nenhuma. Esta disputa</p><p>deu fama a Tartaglia e chamou a atenção de Cardano para ele.</p><p>Jurando que guardaria o segredo, Cardano encontrou-se com Tartaglia e, conseguiu deste, um poema</p><p>que em forma de versos está a solução da cúbica. Um trecho desse poema diz:</p><p>Quando aquele cubo com as coisas por perto</p><p>se igualam a algum número discreto</p><p>}</p><p>x3 + ax = b</p><p>Encontra dois outros diferentes nele (. . .)</p><p>}</p><p>u − v = b</p><p>Que o produto deles sempre seja igual</p><p>ao cubo de um terço das coisas certas</p><p>}</p><p>uv =</p><p>(</p><p>a</p><p>3</p><p>)3</p><p>(. . .) Os lados dos cubos, bem subtráıdos</p><p>valerá a tua coisa principal</p><p>}</p><p>x = 3</p><p>√</p><p>u − 3</p><p>√</p><p>v</p><p>Mostre que o valor de x dado no poema é solução da cúbica dada, identificando os valores de a e</p><p>de b nesse processo.</p><p>Solução:</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u − 3</p><p>√</p><p>v</p><p>)3</p><p>=</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u</p><p>)3 − 3</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u</p><p>)2</p><p>3</p><p>√</p><p>v + 3 3</p><p>√</p><p>u</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>v</p><p>)2 −</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>v</p><p>)3</p><p>= u − 3 3</p><p>√</p><p>u 3</p><p>√</p><p>v</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u − 3</p><p>√</p><p>v</p><p>)</p><p>− v</p><p>= (u − v) − 3 3</p><p>√</p><p>uv</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u − 3</p><p>√</p><p>v</p><p>)</p><p>.</p><p>Finalmente:</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u − 3</p><p>√</p><p>v</p><p>)3</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>= x3</p><p>+ 3 3</p><p>√</p><p>uv</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>= a</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>u − 3</p><p>√</p><p>v</p><p>)</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>= x</p><p>= u − v</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>= b</p><p>.</p><p>pois</p><p>uv =</p><p>a</p><p>3</p><p>27</p><p>⇔ 27uv = a3</p><p>⇔ a =</p><p>3</p><p>√</p><p>27uv = 3 3</p><p>√</p><p>uv</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>História da Matemática – AP1 – Gabarito</p><p>Questão 1 [2,5 pts]: Os pitagóricos determinaram diversas maneiras de dividir um segmento de</p><p>reta para construir relações. Um desses métodos trata de determinar um ponto C sobre um segmento</p><p>de reta AB tal que</p><p>m(AB)</p><p>m(AC)</p><p>=</p><p>m(AC)</p><p>m(CB)</p><p>.</p><p>Esta proporção, denominada divina proporção, muito privilegiada pelos artistas no curso dos séculos,</p><p>foi considerada como a chave do equiĺıbrio e da harmonia.</p><p>Fazendo m(AB) = a e m(AC) = b, mostre que o valor positivo de</p><p>a</p><p>b</p><p>é</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>denominado número</p><p>áureo e representado pela letra grega minúscula ϕ (leia-se fi, correspondente ao nosso “f”).</p><p>Solução:</p><p>A BC</p><p>b a − b</p><p>m(AB)</p><p>m(AC)</p><p>=</p><p>m(AC)</p><p>m(CB)</p><p>sendo m(AB) = a e m(AC) = b.</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>b</p><p>a − b</p><p>⇔ a2 − ab = b2</p><p>⇔ a2 − ab − b2 = 0 (∗)</p><p>Como desejamos isolar a relação a/b, vamos dividir (∗) por b2.</p><p>a2</p><p>b2</p><p>−</p><p>a</p><p>b</p><p>− 1 = 0 ⇔</p><p>(a</p><p>b</p><p>)2</p><p>−</p><p>a</p><p>b</p><p>− 1 = 0 .</p><p>Dáı:</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>1 ±</p><p>√</p><p>1 − 4(1)(−1)</p><p>2</p><p>=</p><p>1 ±</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>O valor positivo de a/b é</p><p>1 ±</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>Finalmente,</p><p>a</p><p>b</p><p>= ϕ =</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>= 1, 618033989 · · ·</p><p>História da Matemática – AP1 Gabarito 2</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: No EP1 se falou das lúnulas que Hipócrates de Quio conseguiu “quadrar”.</p><p>Demonstre o seguinte teorema:</p><p>A soma das áreas das lúnulas constrúıdas sobre os lados do ângulo reto de um triângulo</p><p>retângulo é igual a metade do produto desses lados.</p><p>Solução:</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>A B</p><p>C</p><p>m(AC) = a</p><p>m(CB) = b</p><p>m(AB) = c</p><p>Constata-se que a soma das áreas das lúnulas constrúıdas sobre os lados do ângulo reto do triângulo</p><p>retângulo ABC é igual a soma das áreas dos dois semićırculos constrúıdos sobre os lados do ângulo</p><p>reto menos a soma das áreas das regiões circulares AC e CB. Esta soma das áreas das regiões</p><p>circulares é obtida subtraindo a área do triângulo retângulo ABC da área do semićırculo constrúıdo</p><p>sobre a hipotenusa AB. Simbolicamente, e em escrita moderna, tem-se que a soma das áreas das</p><p>lúnulas é:</p><p>π ·</p><p>a2</p><p>4</p><p>+ π ·</p><p>b2</p><p>4</p><p>−</p><p>(</p><p>π ·</p><p>c2</p><p>4</p><p>−</p><p>ab</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>π</p><p>4</p><p>(</p><p>a2 + b2 − c2</p><p>)</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>∗</p><p>= 0</p><p>+</p><p>ab</p><p>2</p><p>∗∗</p><p>=</p><p>ab</p><p>2</p><p>∗ Pois, por Pitágoras, a2 + b2 = c2</p><p>∗∗ É a área do triângulo retângulo ABC.</p><p>Questão 3 [1,0 pt]: Os pitagóricos distinguiam três tipos de médias entre dois números. A média</p><p>aritmética, a média geométrica e a média harmônica. Para a média harmônica temos a definição:</p><p>A média harmônica h de dois números a e b, com a, b ∈ Z+ é o inverso da média</p><p>aritmética dos inversos multiplicativos desses números.</p><p>a) Escreva a igualdade que representa a média harmônica h de a e b a partir da definição dada.</p><p>b) O que representa a média harmônica para um retângulo de lados a e b?</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>h =</p><p>1</p><p>1</p><p>a</p><p>+</p><p>1</p><p>b</p><p>2</p><p>=</p><p>2</p><p>a+b</p><p>ab</p><p>=</p><p>2ab</p><p>a + b</p><p>.</p><p>b) A média harmônica é a razão entre a área do retângulo e a quarta parte do seu peŕımetro</p><p>[</p><p>peŕımetro do retângulo de lados a e b = p = 2(a + b). Dáı,</p><p>p</p><p>4</p><p>=</p><p>2(a + b)</p><p>4</p><p>=</p><p>a + b</p><p>2</p><p>]</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>História da Matemática – AP1 Gabarito 3</p><p>Questão 4 [1,5 pts]: Eudoxo de Cnido demonstrou diferentes resultados sobre os volumes de</p><p>pirâmides, de cones e de cilindros. Demonstre o seguinte teorema:</p><p>Todo prisma triangular reto é decomposto em três pirâmides de igual volume.</p><p>Solução:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>C ′</p><p>B′</p><p>A′</p><p>Seja um prisma triangular reto cujas bases são ABC e A′B′C ′. Cortemos o prisma segundo os</p><p>planos AB′C e AB′C ′. Obtém-se, então, três pirâmides. As pirâmides AA′B′C e B′ABC têm o</p><p>mesmo volume. De fato, as bases das pirâmides, os triângulos A′B′C ′ e ABC, possuem a mesma</p><p>área. Além disso, as pirâmides têm a mesma altura que o prisma.</p><p>As pirâmides B′AA′C ′ e B′ACC ′ têm o mesmo volume. De fato, considerando B′ como vértice de</p><p>cada uma das pirâmides, suas bases, os triângulos AA′C e AC ′C, possuem a mesma área já que</p><p>AC ′ é a diagonal do paralelogramo AA′C ′C. Além disso, a altura das duas pirâmides é a distância</p><p>do ponto B′ ao plano AA′C ′C.</p><p>Assim, como vol(pirâmide B′ABC) é igual ao vol(pirâmide AA′B′C ′), vol(pirâmide AA′B′C ′) é</p><p>igual ao vol(pirâmide B′AA′C ′) e, vol(pirâmide B′AA′C ′) é igual ao vol(pirâmide B′ACC ′), temos</p><p>a tese.</p><p>Questão 5 [2,5 pts]: Resolva a equação cúbica abaixo pelo método</p><p>da escola pitagórica.</p><p>IV. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>V. O método de exaustão na matemática grega utilizava a noção de limite.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra k. Apenas a afirmação (I) é verdadeira</p><p>I. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>II. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>III. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>IV. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>V. Falso. O método de exaustão era um método indireto que utilizava uma dupla redução ao absurdo.</p><p>Questão 3D</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>II. Platão propõe o “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>III. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>IV. Pitágoras e Euclides usaram o método de exaustão em seus trabalhos.</p><p>V. O principal legado histórico deixado por Tales foi o seu trabalho sobre cônicas.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra m. Apenas a afirmação (III) é verdadeira</p><p>I. Falso. O sistema é decimal.</p><p>II. Falso. Na verdade, foi Aristóteles quem propôs uma espécie de “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Platão sugere inclusive a ideia daquilo poderia ser a origem do conceito de variável.</p><p>III. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>IV. Falso. Pitágoras não usou o método de exaustão.</p><p>V. Falso. O principal legado histórico deixado por Tales foi sem dúvida o método dedutivo.</p><p>Questão 3E</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Euclides, em Os Elementos, ignora a existência de números irracionais.</p><p>II. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>III. Thales desenvolveu a teoria das proporções e o "método de exaustão".</p><p>IV. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>V. Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A Dicotomia e o paradoxo de</p><p>Aquiles.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra l. Apenas a afirmação (II) é verdadeira</p><p>I. Falso. Euclides considera os números irracionais através de processos de aproximações por valores</p><p>racionais, fazendo uso simultaneamente de sequência de valores inferiores quanto de sequência de</p><p>valores superiores a medida do segmento incomensurável.</p><p>II. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>III. Falso. Foi Eudoxo (408-355 a.C.) quem desenvolveu a teoria das proporções e o "método de</p><p>exaustão"</p><p>IV. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>V. Falso. Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A Flecha e O Estádio.</p><p>Questão 3F</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>III. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>IV. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>V. O principal legado histórico deixado por Tales foi o seu trabalho sobre cônicas.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra d. Apenas a afirmação (I e II) são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>II. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>III. Falso. O sistema é decimal.</p><p>IV. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>V. Falso. O principal legado histórico deixado por Tales foi sem dúvida o método dedutivo. Foi Apolônio</p><p>quem trabalhou com as cônicas.</p><p>Questão 3G</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Thales desenvolveu a teoria das proporções e o "método de exaustão".</p><p>III. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>IV. A Matemática grega não faz uso das quantidades indivisíveis.</p><p>V. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra e. Apenas a afirmação (I e III) são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>II. Falso. Foi Eudoxo (408-355 a.C.) quem desenvolveu a teoria das proporções e o "método de</p><p>exaustão"</p><p>III. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>IV. Falso. A identificação destes pequeníssimos (mas finitos) elementos indivisíveis podem ser vistos</p><p>nos trabalhos de Pitágoras.</p><p>V. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>Questão 3H</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>II. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>III. A Matemática grega não faz uso das quantidades indivisíveis.</p><p>IV. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>V. Thales desenvolveu a teoria das proporções e o "método de exaustão".</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra f. Apenas a afirmação (I e IV) são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>II. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>III. Falso. A identificação destes pequeníssimos (mas finitos) elementos indivisíveis podem ser vistos</p><p>nos trabalhos de Pitágoras.</p><p>IV. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>V. Falso. Foi Eudoxo (408-355 a.C.) quem desenvolveu a teoria das proporções e o "método de</p><p>exaustão".</p><p>Questão 3I</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>II. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>III. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>IV. O principal legado histórico deixado por Tales foi o seu trabalho sobre cônicas.</p><p>V. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra g. Apenas a afirmação (I e V) são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>II. Falso. O sistema é decimal.</p><p>III. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>IV. Falso, O principal legado histórico deixado por Tales foi sem dúvida o método dedutivo. Foi Apolônio</p><p>quem trabalhou com as cônicas.</p><p>V. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>Questão 3J</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>II. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>III. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente</p><p>sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>IV. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>V. O método dedutivo foi desenvolvido nos primórdios da matemática egípcia.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra i. Apenas a afirmação (II e IV) são verdadeiras.</p><p>I. Falso. O sistema é decimal.</p><p>II. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>III. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>IV. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>V. Falso. Neste período, em vez de argumentações, encontram-se apenas “receitas de como fazer”:</p><p>“Faça assim e assim”.</p><p>Questão 3K</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O principal legado histórico deixado por Tales foi o seu trabalho sobre cônicas.</p><p>II. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>III. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>IV. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem da escola pitagórica.</p><p>V. Euclides, em Os Elementos, ignora a existência de números irracionais.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra h. Apenas a afirmação (II e III) são verdadeiras.</p><p>I. Falso. O principal legado histórico deixado por Tales foi sem dúvida o método dedutivo. Foi Apolônio</p><p>quem trabalhou com as cônicas.</p><p>II. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>III. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>IV. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>V. Falso. Euclides considera os números irracionais através de processos de aproximações por valores</p><p>racionais, fazendo uso simultaneamente de sequência de valores inferiores quanto de sequência de</p><p>valores superiores a medida do segmento incomensurável.</p><p>Questão 3L</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O principal legado histórico deixado por Tales foi o seu trabalho sobre cônicas.</p><p>II. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>III. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem da escola pitagórica.</p><p>IV. Euclides, em Os Elementos, ignora a existência de números irracionais.</p><p>V. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra j. Apenas a afirmação (II e V) são verdadeiras.</p><p>I. Falso. O principal legado histórico deixado por Tales foi sem dúvida o método dedutivo. Foi Apolônio</p><p>quem trabalhou com as cônicas.</p><p>II. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>III. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>IV. Falso. Euclides considera os números irracionais através de processos de aproximações por valores</p><p>racionais, fazendo uso simultaneamente de sequência de valores inferiores quanto de sequência de</p><p>valores superiores a medida do segmento incomensurável.</p><p>V. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>Questão 3M</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>III. Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A Dicotomia e o paradoxo de</p><p>Aquiles.</p><p>IV. Platão propõe o “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>V. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e</p><p>(V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra g. Apenas a afirmação (I e V) são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>II. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>III. Falso. Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A Flecha e O Estádio.</p><p>IV. Falso. Na verdade, foi Aristóteles quem propôs uma espécie de “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Platão sugere inclusive a ideia daquilo poderia ser a origem do conceito de variável.</p><p>V. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>Questão 3N</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>III. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>IV. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>V. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A</p><p>principal razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra p. As afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>II. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>III. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>IV. Falso. O sistema é decimal.</p><p>V. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>Questão 3O</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>III. O método dedutivo foi desenvolvido nos primórdios da matemática egípcia.</p><p>IV. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>V. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem da escola pitagórica.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra q. As afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322,</p><p>sugere tal fato.</p><p>II. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>III. Falso. Neste período, em vez de argumentações, encontram-se apenas “receitas de como fazer”:</p><p>“Faça assim e assim”.</p><p>IV. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>V. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>Questão 3P</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>II. O método dedutivo foi desenvolvido nos primórdios da matemática egípcia.</p><p>III. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>IV. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>V. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem da escola pitagórica.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra s. As afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>II.</p><p>Falso. Neste período, em vez de argumentações, encontram-se apenas “receitas de como fazer”:</p><p>“Faça assim e assim”.</p><p>III. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>IV. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322,</p><p>sugere tal fato.</p><p>V. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>Questão 3Q</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>II. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>III. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>IV. O principal legado histórico deixado por Tales foi o seu trabalho sobre cônicas.</p><p>V. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra v. As afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>I. Falso. O sistema é decimal.</p><p>II. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>III. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>IV. Falso. O principal legado histórico deixado por Tales foi sem dúvida o método dedutivo. Foi Apolônio</p><p>quem trabalhou com as cônicas.</p><p>V. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>Questão 3R</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem da escola pitagórica.</p><p>II. Euclides, em Os Elementos, ignora a existência de números irracionais.</p><p>III. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>IV. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível.</p><p>V. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra x. As afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>I. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>II. Falso. Euclides considera os números irracionais através de processos de aproximações por valores</p><p>racionais, fazendo uso simultaneamente de sequência de valores inferiores quanto de sequência de</p><p>valores superiores a medida do segmento incomensurável.</p><p>III. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>IV. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>V. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>Questão 3S</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>III. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>IV. A Matemática grega não faz uso das quantidades indivisíveis.</p><p>V. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra t. As afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>II. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>III. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>IV. Falso. A identificação destes pequeníssimos (mas finitos) elementos indivisíveis podem ser vistos</p><p>nos trabalhos de Pitágoras.</p><p>V. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>Questão 3T</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>II. Platão propõe o “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>III. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>IV. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>V. O método de exaustão na matemática grega utilizava a noção de limite.</p><p>Com relação a essas</p><p>afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra s. As afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>II. Falso. Na verdade, foi Aristóteles quem propôs uma espécie de “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Platão sugere inclusive a ideia daquilo poderia ser a origem do conceito de variável.</p><p>III. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322, sugere</p><p>tal fato.</p><p>IV. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>V. Falso. O método de exaustão era um método indireto que utilizava uma dupla redução ao absurdo.</p><p>Questão 3U</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. Há fortes indicadores de que os babilônios conheciam o resultado citado no famoso teorema de</p><p>Pitágoras.</p><p>II. Thales desenvolveu a teoria das proporções e o "método de exaustão".</p><p>III. Em um hexágono regular, uma diagonal e um lado são segmentos comensuráveis.</p><p>IV. Pitágoras e Euclides usaram o método de exaustão em seus trabalhos.</p><p>V. Zenão conclui, a partir do paradoxo de Aquiles, que o tempo não pode ser infinitamente divisível</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra t. As afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>I. Verdadeiro. Eves (1995), por exemplo, ao examinar os resultados da tábua de Plimpton 322,</p><p>sugere tal fato.</p><p>II. Falso. Foi Eudoxo (408-355 a.C.) quem desenvolveu a teoria das proporções e o "método de</p><p>exaustão"</p><p>III. Verdadeiro. A medida da diagonal é o dobro da medida do lado.</p><p>IV. Falso. Pitágoras não usou o método de exaustão.</p><p>V. Verdadeiro. Seu argumento considera o fato de que se tal coisa pudesse acontecer, o movimento</p><p>não seria possível (o que seria absurdo).</p><p>Questão 3V</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O método dedutivo foi desenvolvido nos primórdios da matemática egípcia.</p><p>II. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>III. A máxima “Tudo é geometria” é, com efeito, a grande referência que se tem da escola pitagórica.</p><p>IV. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>V. Platão propõe o “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra a. Nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>I. Falso. Neste período, em vez de argumentações, encontram-se apenas “receitas de como fazer”:</p><p>“Faça assim e assim”.</p><p>II. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>III. Falso. A máxima da escola pitagórica é “Tudo é número”.</p><p>IV. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>V. Falso. Na verdade, foi Aristóteles quem propôs uma espécie de “exorcismo do conceito de infinito”.</p><p>Platão sugere inclusive a ideia daquilo poderia ser a origem do conceito de variável.</p><p>Questão 3W</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. A Matemática grega não faz uso das quantidades indivisíveis.</p><p>II. Em sua filosofia, Heráclito defende a unidade e invariabilidade do mundo.</p><p>III. Thales desenvolveu a teoria das proporções e o "método de exaustão".</p><p>IV. O método dedutivo foi desenvolvido nos primórdios da matemática egípcia.</p><p>V. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra a. Nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>I. Falso. A identificação destes pequeníssimos (mas finitos) elementos indivisíveis podem ser vistos</p><p>nos trabalhos de Pitágoras.</p><p>II. Falso. É Parmênides quem defende a unidade e invariabilidade do mundo. Para Heráclito a essência</p><p>das coisas está no vir a ser.</p><p>III. Falso. Foi Eudoxo (408-355 a.C.) quem desenvolveu a teoria das proporções e o "método de</p><p>exaustão"</p><p>IV. Falso. Neste período, em vez de argumentações, encontram-se apenas “receitas de como fazer”:</p><p>“Faça assim e assim”.</p><p>V. Falso. O sistema é decimal.</p><p>Questão 3X</p><p>Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras:</p><p>I. O sistema de numeração egípcio é sexagesimal.</p><p>II. Grande parte do conhecimento humano teve efetivamente sua origem na Grécia antiga. A principal</p><p>razão para o “fenômeno grego” é o surgimento da ciência experimental.</p><p>III. Euclides, em Os Elementos, ignora a existência de números irracionais.</p><p>IV. Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A Dicotomia e o paradoxo de</p><p>Aquiles.</p><p>V. O método de exaustão na matemática grega utilizava a noção de limite.</p><p>Com relação a essas afirmações, pode-se afirmar que:</p><p>(a) nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>(b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(c) apenas quatro afirmações são verdadeiras.</p><p>(d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras</p><p>(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras</p><p>(f) apenas as afirmações (I) e (IV) são verdadeiras</p><p>(g) apenas as afirmações (I) e (V) são verdadeiras</p><p>(h) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>(i) apenas as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras.</p><p>(j) apenas as afirmações (II) e (V) são verdadeiras.</p><p>(k) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>(l) apenas a afirmação (II) é verdadeira.</p><p>(m) apenas a afirmação (III) é verdadeira.</p><p>(n) apenas a afirmação (IV) é verdadeira.</p><p>(o) apenas a afirmação (V) é verdadeira.</p><p>(p) as afirmações I, II e III são verdadeiras.</p><p>(q) as afirmações I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(r) as afirmações I, II e V são verdadeiras.</p><p>(s) as afirmações I, III e IV são verdadeiras.</p><p>(t) as afirmações I, III e V são verdadeiras.</p><p>(u) as afirmações II, III e IV são verdadeiras.</p><p>(v) as afirmações II, III e V são verdadeiras.</p><p>(x) as afirmações III, IV e V são verdadeiras.</p><p>Solução: Letra a. Nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>I. Falso. O sistema é decimal.</p><p>II. Falso. O “fenômeno grego” deve-se principalmente ao surgimento e o desenvolvimento da Filosofia.</p><p>III. Falso. Euclides considera os números irracionais através de processos de aproximações por valores</p><p>racionais, fazendo uso simultaneamente de sequência de valores inferiores quanto de sequência de</p><p>valores superiores a medida do segmento incomensurável.</p><p>IV. Falso. Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A Flecha e O Estádio.</p><p>V. Falso. O método de exaustão era um método indireto que utilizava uma dupla redução ao absurdo.</p><p>QUESTÃO 4 – 2,0 pontos (Matemática Grega)</p><p>Questão 4A – Sejam A e B dois quadrados, com A maior do que B. Ache, utilizando somente régua</p><p>e compasso, um quadrado igual à soma dos dois quadrados citados.</p><p>Obs1: você deve construir o terceiro quadrado a partir da figura a seguir, apresentando o passo-a-</p><p>passo da construção de um quadrado que tem área igual a soma das áreas dos outros dois</p><p>quadrados;</p><p>Obs2: caso não disponha de compasso, basta fazer desenho a mão indicando os passos. Exemplo:</p><p>“com ponta seca do compasso no ponto A, construímos uma circunferência cujo raio é a medida</p><p>do segmento...”</p><p>Solução:</p><p>Considere A, B, C e D, os vértices do quadrado</p><p>maior, e E, F, G e C os vértices do quadrado menor,</p><p>como indicado na figura ao lado.</p><p>Prolongue o lado BC do quadrado maior até o H, de</p><p>modo que BH = EC (para marcar o ponto H, basta</p><p>construir um círculo com ponta seca em B e raio com</p><p>medida EC).</p><p>Usando uma régua, construa os segmentos AH e HF.</p><p>Em seguida, usando um compasso, construa o</p><p>segmento DI, de modo que DI = EC (isto é possível</p><p>pois DC > EC).</p><p>Usando uma régua, construa os segmentos AI e IF.</p><p>Observe que os triângulos retângulos ABH, ADI, IGF</p><p>e HEF são congruentes (caso lado-ângulo-lado).</p><p>Assim, o quadrilátero AIFH é o quadrado procurado.</p><p>De fato.</p><p>Como HB = EC e BC = BE + EC, tem-se que</p><p>HE = HB + BE = EC + BE = BC</p><p>Isso implica que os triângulos HEF e ABH são</p><p>congruentes (LAL). Ambos são triângulos retângulos</p><p>cujos catetos têm as medias dos lados dos</p><p>quadrados dados.</p><p>De modo análogo, demonstra-se que ADI e IGF são</p><p>congruentes (LAL). Do mesmo modo, esses</p><p>triângulos são triângulos retângulos cujos catetos</p><p>têm as medias dos lados dos quadrados dados.</p><p>Por tanto os quatro triângulos são congruentes.</p><p>Observe ainda que o quadrilátero AIFH possui os quatro lados iguais (á medida da hipotenusa</p><p>dos triângulos retângulos congruentes).</p><p>Como os ângulos AĤB e EĤF são complementares, tem-se que o ângulo AĤF é reto.</p><p>Como AÎD + AÎF + FÎH = dois retos e os ângulos AÎD e FÎH são complementares, tem-se que AÎF</p><p>é reto.</p><p>O que implica que os triângulos AIF e AFH são congruentes e que, portanto, AIFH é um quadrado.</p><p>Observe ainda que a região poligonal AIFEBA é comum aos dois quadrados originais e ao</p><p>quadrado AIFH. Melhor dizendo:</p><p>Área de ABCD + Área ECGF = Área ADI + Área AIFEBA + Área IGF = Área HEF + Área AIFEBA</p><p>+ Área ABH = Área AIFH.</p><p>OBS: Existem outras construções geométricas possíveis. Mesmo que o aluno não “use” o</p><p>compasso deve apresentar por escrito a forma como fez a construção do quadrado.</p><p>Questão 4B</p><p>A fração contínua de um número real 𝛼 > 0 é escrita da forma</p><p>𝛼 = 𝑛1 +</p><p>1</p><p>𝑛2 +</p><p>1</p><p>𝑛3+</p><p>1</p><p>𝑛4+</p><p>1</p><p>𝑛5+⋯</p><p>onde 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑛4, … são números inteiros obtidos pelas operações a seguir:</p><p>Seja 𝑛1 a parte inteira de 𝛼 . Então (𝛼 − 𝑛1) < 1 e 𝛼1 =</p><p>1</p><p>𝛼−𝑛1</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛2 a parte inteira de 𝛼1. Então (𝛼1 − 𝑛2) < 1 e 𝛼2 =</p><p>1</p><p>𝛼1−𝑛2</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛3 a parte inteira de 𝛼2. Então (𝛼2 − 𝑛3) < 1 e 𝛼3 =</p><p>1</p><p>𝛼2−𝑛3</p><p>> 1.</p><p>E assim sucessivamente.</p><p>Obtenha a fração contínua de √3.</p><p>Resposta:</p><p>Sendo 𝛼 = √3, temos:</p><p>Seja 𝑛1 a parte inteira de 𝛼 . Então, 𝒏𝟏 = 𝟏. Assim, (√3 − 1) < 1 e 𝛼1 =</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛2 a parte inteira de 𝛼1 =</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>≅ 1,366. Daí, 𝑛2 = 1. Então (</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>− 1) < 1 e</p><p>𝛼2 =</p><p>1</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>−1</p><p>= 1 + √3 > 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛3 a parte inteira de 𝛼2 = 1 + √3 ≅ 2,732. Daí, 𝑛3 = 2. Então (</p><p>1</p><p>1+√3</p><p>− 2) < 1 e</p><p>𝛼3 =</p><p>1</p><p>(1+√3)−2</p><p>=</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛4 a parte inteira de 𝛼3 =</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>≅ 1,366. Daí, 𝑛4 = 1. Então (</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>− 1) < 1 e</p><p>𝛼4 =</p><p>1</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>−1</p><p>= 1 + √3 > 1.</p><p>Observe que 𝛼3 = 𝛼1 , 𝛼4 = 𝛼2 e o processo vai se repetindo indefinidamente, com</p><p>{</p><p>𝑛1 = 1</p><p>𝑛𝑖 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟</p><p>𝑛𝑖 = 2, 𝑠𝑒 𝑖 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 1</p><p>Portanto,</p><p>√3 = 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2+</p><p>1</p><p>1+</p><p>1</p><p>2+⋯</p><p>Questão 4C – Euclides de Alexandria (séc. III a.C.), célebre geômetra da Antiguidade, deu em</p><p>seu tratado “Elementos” uma exposição sistemática dos fundamentos da geometria. Esta obra</p><p>consta de 13 volumes (os livros XIV e XV foram agregados posteriormente). Os livros V, VII, VIII,</p><p>IX e X contém a Aritmética conhecida até àquela época; os livros I, II, III, IV e VI são dedicados à</p><p>Geometria Plana; e os livros XI, XII e XIII se dedicam à Geometria Espacial. É muito pouco provável</p><p>que outro(s) livro(s) de Matemática sejam tão difundidos e conhecidos quando os Elementos de</p><p>Euclides. Esta publicação já atingiu mais de 500 edições, com traduções para quase todos os</p><p>idiomas conhecidos.</p><p>No livro I, Euclides enuncia cinco axiomas e cinco postulados, a partir dos quais constrói todo o</p><p>edifício da Geometria Euclidiana.</p><p>Resolva o problema a seguir usando apenas os axiomas, os postulados e proposições derivadas</p><p>que o precedem.</p><p>“Cortar em dois um ângulo retilíneo</p><p>dado.”</p><p>Solução:</p><p>Considere o ângulo BÂC da figura ao lado. Tome um ponto qualquer D em AB</p><p>e, em seguida, tome um ponto E em AC, tal que as medidas dos segmentos</p><p>AD e AE sejam iguais. Construímos sobre o segmento DE o triângulo equilátero</p><p>DEF de lado DE. A reta AF divide o ângulo BÂC em duas partes iguais.</p><p>Comentário: A justificativa do resultado vem do fato de que ADE é um triângulo</p><p>isósceles, por construção, e a reta AF corta DE em seu ponto médio. Logo, AF</p><p>é bissetriz do ângulo DÂE.</p><p>Questão 4D - Na figura abaixo, temos a figura de um hexágono regular.</p><p>Responda:</p><p>a) Os segmentos AE e AF são comensuráveis? Justifique sua resposta, fazendo uma</p><p>demonstração do fato.</p><p>b) Os segmentos AD e AF são comensuráveis? Justifique sua resposta.</p><p>c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em</p><p>relação ao menor.</p><p>Solução:</p><p>a) Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno impresso ou</p><p>o texto complementar. A razão entre as medidas dos segmentos não é um número</p><p>racional:</p><p>AE = 2.AF.cos(30º), isto é: (AE/AF) = √3.</p><p>b) e c)</p><p>Sim, os segmentos AD e AF são comensuráveis.</p><p>Neste caso:</p><p>𝐴𝐷̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐹̅̅ ̅̅</p><p>=</p><p>2</p><p>1</p><p>; isto é, AF̅̅̅̅ = 2 AC̅̅̅̅ .</p><p>QUESTÃO 5 – 2,0 pontos (Desenvolvimento da Álgebra)</p><p>Questão 5A – Um quadrado mágico de ordem n e um arranjo quadrado de n2 inteiros distintos</p><p>dispostos de maneira tal que os números de uma linha qualquer, de uma coluna qualquer ou da</p><p>diagonal principal tem mesma soma, chamada constante mágica do quadrado. O quadrado mágico</p><p>se diz normal se os n2 números que o formam são os n2 primeiros números inteiros positivos.</p><p>a) Mostre que a constante mágica de um quadrado mágico de ordem n normal é</p><p>n (n2+ 1) / 2.</p><p>b) Construa um quadrado mágico normal de ordem três.</p><p>c) Prove que a célula central de um quadrado mágico normal de ordem três deve</p><p>ser ocupada pelo número 5.</p><p>Solução:</p><p>a) Seja 1, 2, ...., n2 os n2 números inteiros que formam o quadrado magico de ordem n, cuja</p><p>constante mágica é K. Queremos determinar o valor de K em função de n.</p><p>Considere S1 a soma dos n números inteiros que compõe a primeira linha do quadrado mágico.</p><p>Do mesmo modo, considere S2, S3, ..., Sn as somas das demais linhas do quadrado mágico. Pela</p><p>propriedade do quadrado mágico sabemos que</p><p>S1 = S2 = S3 = ... = Sn = K</p><p>Logo, S1 + S2 + S3 + ... + Sn = nK (1)</p><p>Por outro lado,</p><p>S1 + S2 + S3 + ... + Sn = 1 + 2 + .... + n2 =</p><p>𝑛2(1+𝑛2)</p><p>2</p><p>(2)</p><p>(soma de uma PA com 𝑛2 termos de razão igual a 1)</p><p>Comparando (1) e (2), obtém-se</p><p>nK =</p><p>𝑛2(1+𝑛2)</p><p>2</p><p>, o que implica que K =</p><p>𝑛(1+𝑛2)</p><p>2</p><p>.</p><p>b) Um quadrado mágico normal de ordem três tem constante mágica igual a 15</p><p>Uma resposta possível é:</p><p>c) Seja “a” o número da célula central. Denote por x, y e z os números das primeira linha.</p><p>Assim, os termos da terceira linha terão que ser, usando a propriedade da constante mágica: 15 –</p><p>a – z, 15 – a – y, 15 – a – x.</p><p>Somando os termos da terceira linha devemos obter também a constante mágica:</p><p>15 – a – z + 15 – a – y + 15 – a – x = 15</p><p>45 – 3 a – (x + y + z) = 15</p><p>Como (x + y + z) = 15, obtem-se</p><p>3 a = 15, isto é a = 5.</p><p>Questão 5B – Os matemáticos árabes, a exemplo dos matemáticos antigos (gregos e</p><p>babilônicos), usavam procedimentos geométricos. Al-Khwarizmi, por exemplo, resolveu a</p><p>equação x2 + 10x = 39 utilizando o método de completar quadrados.</p><p>a) Faça o mesmo para a equação x2 + 8x = 105.</p><p>b) Apresente o passo-a-passo da construção geométrica que justifica a solução.</p><p>Solução:</p><p>a) Observe que:</p><p>x2+8x = 105 → Um quadrado mais oito raízes do mesmo é igual a cento e cinco</p><p>x2 = ? → Qual é o quadrado?</p><p>A partir daí, temos que:</p><p>8</p><p>2</p><p>= 4 → Tome a metade do número de raízes, obtendo 4;</p><p>4 × 4 = 16 → Multiplicando por si mesmo, o produto será 16;</p><p>16 + 105 = 121 → Adicione a isto, 105; e a soma é 121;</p><p>√121 = 11 → Tome então a raiz quadrada disto, que é igual a 11;</p><p>11 – 4 = 7 → E subtraia disto a metade do número de raízes, que é 4. A diferença é 7;</p><p>7 → Esta é a raiz do número procurado;</p><p>49 → E o próprio quadrado é 49.</p><p>b)</p><p>Uma versão da resolução geométrica que se aproxima mais do texto da solução de Al- Khwarizmi</p><p>no exercício é:</p><p>x + 4 = 11 => x = 7 é o número procurado e o quadrado (a área do quadrado) é igual a 49.</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>Gabarito da 1a Avaliação Presencial de História da Matemática – 2022-2</p><p>Nas duas primeiras questões, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração Babilônico.</p><p>Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59.</p><p>Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira</p><p>da parte “sexagesimal” usaremos “,” (vírgula), assim como fazemos na base decimal. Como exemplo,</p><p>utilizando o padrão acima, o número 15 × 602 + 7 × 600 + 26 × 60−1 + 51 × 60−2 será representado</p><p>por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51.</p><p>Considerando essa representação, resolva as questões 1 e 2.</p><p>Questão 1 (1,0 ponto)</p><p>Determine o valor numérico de 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐, sendo 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 , 𝟑𝟑𝟑𝟑 ; 𝟒𝟒𝟒𝟒 e 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝟏𝟏𝟐𝟐 .</p><p>Solução:</p><p>𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = (35 , 39 ; 48 + 17 , 20 ; 12) ∙ (35 , 39 ; 48− 17 , 20 ; 12) =</p><p>= (53 , 0) ∙ (18 , 19 ; 36) = 53 × 600 ∙ (18 × 600 + 19 × 60−1 + 36 × 60−2) =</p><p>= 954 × 600 + 1007 × 60−1 + 1908 × 60−2 =</p><p>= (15 × 601 + 54 × 600) × 600 + (16 × 601 + 47 × 600) × 60−1 + (31 × 601 + 48 × 600) × 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + 54 × 600 + 16 × 600 + 47 × 60−1 + 31 × 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + 70 × 600 + 78 × 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + (1 × 601 + 10 × 600) × 600 + (1 × 601 + 18 × 600) × 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 15 × 601 + 1 × 601 + 10 × 600 + 1 × 600 + 18 × 60−1 + 48 × 60−2 =</p><p>= 16 × 601 + 11 × 600 + 18 × 60−1 + 48 × 60−2 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ; 𝟏𝟏𝟏𝟏 ,𝟏𝟏𝟒𝟒 ;𝟒𝟒𝟒𝟒</p><p>Questão 2 (1,0 ponto)</p><p>Determine o recíproco de 𝒙𝒙 = [𝟏𝟏;𝟐𝟐𝟏𝟏]; isto é, o número “y” tal que y ∙ [1; 21] = 1.</p><p>Dica: tente calcular 𝑦𝑦 = 1</p><p>𝑥𝑥</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟏𝟏;𝟐𝟐𝟏𝟏</p><p>=</p><p>1</p><p>60 + 21</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>=</p><p>1</p><p>34</p><p>∙</p><p>204</p><p>204</p><p>=</p><p>204</p><p>(3 × 20)4</p><p>=</p><p>160000</p><p>604</p><p>=</p><p>44 × 602 + 26 × 60 + 40</p><p>604</p><p>=</p><p>=</p><p>44</p><p>602</p><p>+</p><p>26</p><p>603</p><p>+</p><p>40</p><p>604</p><p>= 44 × 60−2 + 26 × 60−3 + 40 × 60−4 = 𝟐𝟐 ,𝟐𝟐; 𝟒𝟒𝟒𝟒 ;𝟐𝟐𝟏𝟏 ;𝟒𝟒𝟐𝟐.</p><p>Questão 3 (2,0 pontos)</p><p>Aprendemos, através do Papiro de Rhind, que os antigos egípicios expressavam todas as frações próprias</p><p>como somas de frações unitárias distintas.</p><p>Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester, expresse 𝟏𝟏𝟏𝟏</p><p>𝟐𝟐𝟏𝟏</p><p>como soma de frações</p><p>unitárias</p><p>Solução:</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 17</p><p>21</p><p>.</p><p>• Inverto 17</p><p>21</p><p>obtendo 21</p><p>17</p><p>;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 1 < 21</p><p>17</p><p>< 2, o menor inteiro maior do</p><p>que 21</p><p>17</p><p>é 2);</p><p>• 𝟏𝟏</p><p>𝟐𝟐</p><p>< 17</p><p>21</p><p>é a maior fração com numerador 1, menor que 17</p><p>21</p><p>;</p><p>• Faço 17</p><p>21</p><p>− 1</p><p>2</p><p>= 13</p><p>42</p><p>;</p><p>• Repito o algoritmo para 13</p><p>42</p><p>.</p><p>• Inverto 13</p><p>42</p><p>obtendo 42</p><p>13</p><p>;</p><p>• 3 < 42</p><p>13</p><p>< 4, o maior inteiro é 4;</p><p>• 𝟏𝟏</p><p>𝟒𝟒</p><p>< 13</p><p>42</p><p>é a maior fração com numerador 1 menor que 13</p><p>42</p><p>;</p><p>• Faço 13</p><p>42</p><p>− 1</p><p>4</p><p>= 5</p><p>84</p><p>;</p><p>• Repito o algoritmo para 5</p><p>84</p><p>.</p><p>• Inverto 5</p><p>84</p><p>obtendo 84</p><p>5</p><p>;</p><p>• 16 < 84</p><p>5</p><p>< 17, o maior inteiro é 17;</p><p>• 𝟏𝟏</p><p>𝟏𝟏𝟏𝟏</p><p>< 5</p><p>84</p><p>é a maior fração com numerador 1 menor que 5</p><p>84</p><p>;</p><p>• Faço 5</p><p>84</p><p>− 1</p><p>17</p><p>= 𝟏𝟏</p><p>𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐𝟒𝟒</p><p>;</p><p>Portanto,</p><p>𝟏𝟏𝟏𝟏</p><p>𝟐𝟐𝟏𝟏 =</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟐𝟐 +</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟒𝟒 +</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟏𝟏𝟏𝟏 +</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐𝟒𝟒</p><p>O “método da falsa posição” é uma forma muito antiga de resolver problemas. Suas origens perdem-se</p><p>no tempo, tendo surgido, independentemente, em várias civilizações da Antiguidade como uma tentativa</p><p>de resolver problemas ligados ao comércio, à cobrança de</p><p>impostos, etc.</p><p>Resolva agora as questões 4 e 5.</p><p>Questão 4 (1,0 ponto)</p><p>Utilizando o método da falsa posição, resolva a equação abaixo</p><p>𝐱𝐱</p><p>𝟐𝟐</p><p>+</p><p>𝐱𝐱</p><p>𝟑𝟑</p><p>= 𝟒𝟒𝟑𝟑</p><p>Solução:</p><p>Assim como o escriba, vamos “evitar” as frações 1</p><p>2</p><p>e 1</p><p>5</p><p>simultaneamente.</p><p>Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um múltiplo</p><p>comum de 2 e 5, por exemplo: o mmc (2 , 5) = 10 .</p><p>Substituindo na equação a posição inicial (x = 10) temos:</p><p>10</p><p>2</p><p>+</p><p>10</p><p>5 = 5 + 2 = 7 (∗)</p><p>Como o resultado esperado é 49 o resultado que obtivemos em (∗) deve ser multiplicado por 7 para</p><p>obtermos 49. Sendo assim,</p><p>𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐</p><p>Questão 5 (0,5 ponto)</p><p>Explique por que o método da falsa posição não funciona para a equação</p><p>(𝑥𝑥 + 2) ∙ (𝑥𝑥 + 5) = 18</p><p>Solução:</p><p>Como a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2) ∙ (𝑥𝑥 + 5) = 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 10 é uma função quadrática, os valores das</p><p>imagens da função não são proporcionais a x. O método da falsa posição se aplica para equações</p><p>algébricas do primeiro grau – onde temos proporcionalidade.</p><p>Números figurados eram estudados pelos pitagóricos, que pretendiam – pela análise das figuras formadas</p><p>– descobrir a natureza íntima dos números. Em nosso curso estudanos os números triangulares e números</p><p>quadrados (ou quadrangulares).</p><p>Considere Tn e Qn, respectivamente, os n-ézimos termos das sequências de números triangulares e</p><p>quadrados. Resolva as questões 6, 7, 8 e 9.</p><p>Questão 6 (0,5 ponto) Mostre que 𝑻𝑻𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝒏𝒏 = 𝑸𝑸𝒏𝒏 , para 𝒏𝒏 > 𝟏𝟏.</p><p>Solução:</p><p>a) Números triangulares são números que podem ser escritos da forma 𝑘𝑘(𝑘𝑘+1)</p><p>2</p><p>, com k natural. Os primeiros</p><p>números triangulares são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...</p><p>Temos então que</p><p>𝑇𝑇𝑘𝑘−1 + 𝑇𝑇𝑘𝑘 =</p><p>(𝑘𝑘 − 1)[(𝑘𝑘 − 1) + 1]</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑘𝑘(𝑘𝑘 + 1)</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑘𝑘2 − 𝑘𝑘</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘</p><p>2</p><p>=</p><p>2𝑘𝑘2</p><p>2 = 𝑘𝑘2 = 𝑄𝑄𝑛𝑛</p><p>Questão 7 (0,5 ponto) Construa representações geométricas (ao estilo demonstração sem palavras),</p><p>ilustrando que 𝑻𝑻𝟐𝟐 + 𝑻𝑻𝟑𝟑 = 𝑸𝑸𝟑𝟑 e 𝑻𝑻𝟑𝟑 + 𝑻𝑻𝟒𝟒 = 𝑸𝑸𝟒𝟒.</p><p>Solução:</p><p>T2 + T3 = Q3 T3 + T4 = Q4</p><p>Questão 8 (1,0 ponto)</p><p>Demonstre que a soma Sn dos n primeiros números quadrados é dada por</p><p>𝑆𝑆𝑛𝑛 =</p><p>𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1)</p><p>6</p><p>Solução:</p><p>Vamos usar o princípio da indução finita para demonstrar o resultado.</p><p>- Para n = 1, temos que 𝑆𝑆1 = 1(1+1)(2.1+1)</p><p>6</p><p>= 1.2.3</p><p>6</p><p>= 6</p><p>6</p><p>= 1. Ok!</p><p>- Suponha que o resultado é valido para n = k, ou seja, 𝑆𝑆𝑘𝑘 = 𝑘𝑘(𝑘𝑘+1)(2𝑘𝑘+1)</p><p>6</p><p>. Vamos verificar se o resultado</p><p>também será válido para 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 1.</p><p>https://pt.wikipedia.org/wiki/Escola_pitag%C3%B3rica</p><p>𝑺𝑺𝒏𝒏 = 𝑆𝑆𝑘𝑘+1 = 1 + 4 + 9 + ⋯+ 𝑘𝑘2�������������</p><p>𝑆𝑆𝑘𝑘</p><p>+ (𝑘𝑘 + 1)2 =</p><p>𝑘𝑘(𝑘𝑘 + 1)(2𝑘𝑘 + 1)</p><p>6 + (𝑘𝑘 + 1)2 =</p><p>=</p><p>𝑘𝑘(𝑘𝑘 + 1)(2𝑘𝑘 + 1) + 6(𝑘𝑘 + 1)2</p><p>6 =</p><p>(𝑘𝑘 + 1)[𝑘𝑘(2𝑘𝑘 + 1) + 6(𝑘𝑘 + 1)]</p><p>6 =</p><p>=</p><p>(𝑘𝑘 + 1). (2𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘 + 6𝑘𝑘 + 6)</p><p>6 =</p><p>(𝑘𝑘 + 1). (2𝑘𝑘2 + 7𝑘𝑘 + 6)</p><p>6 =</p><p>(𝑘𝑘 + 1)(𝑘𝑘 + 2)(2𝑘𝑘 + 3)</p><p>6 =</p><p>=</p><p>[𝑘𝑘 + 1]. [(𝑘𝑘 + 1) + 1]. [2(𝑘𝑘 + 1) + 1]</p><p>6 =</p><p>𝒏𝒏(𝒏𝒏 + 𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝒏𝒏 + 𝟏𝟏)</p><p>𝟏𝟏</p><p>.</p><p>Logo, o resultado é valido para todo número n natural.</p><p>Questão 9 (1,0 pontos)</p><p>Usando a fórmula Sn dada no item anterior, determine uma expressão algébrica que permita calcular a</p><p>soma 𝜏𝜏𝑛𝑛 dos n primeiros números triangulares; isto é, determine uma expressão algébrica em função de</p><p>n para</p><p>𝝉𝝉𝒏𝒏 = 𝑻𝑻𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 + ⋯+ 𝑻𝑻𝒏𝒏.</p><p>Solução:</p><p>Denotaremos a soma pedida 𝑻𝑻𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 + 𝑻𝑻𝟑𝟑 + ⋯+ 𝑻𝑻𝒏𝒏 como ∑𝑻𝑻𝒊𝒊. Observe ainda que:</p><p>𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 = 1 + 3 = 4 = 22</p><p>𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3 = 3 + 6 = 9 = 32</p><p>𝑇𝑇3 + 𝑇𝑇4 = 6 + 10 = 16 = 42</p><p>.............</p><p>𝑇𝑇𝑛𝑛−2 + 𝑇𝑇𝑛𝑛−1 = (𝑛𝑛 − 1)2</p><p>𝑇𝑇𝑛𝑛−1 + 𝑇𝑇𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2</p><p>Somando todas as igualdades acima, temos:</p><p>𝑇𝑇1 + 2𝑇𝑇2 + 2𝑇𝑇3 + ⋯+ 2𝑇𝑇𝑛𝑛−1 + 𝑇𝑇𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2 + (𝑛𝑛 − 1)2 + ⋯42 + 32 + 22</p><p>2(𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3 + ⋯+ 𝑇𝑇𝑛𝑛−1 + 𝑇𝑇𝑛𝑛)− (𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇𝑛𝑛) = 𝑛𝑛2 + (𝑛𝑛 − 1)2 + ⋯42 + 32 + 22 + 1 − 1</p><p>2 ∙�𝑇𝑇𝑖𝑖 − (𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇𝑛𝑛) = 𝑆𝑆𝑛𝑛 − 1</p><p>onde Sn é a soma dos n primeiros quadrados perfeitos.</p><p>Seguindo que:</p><p>2�𝑇𝑇𝑖𝑖 − 1 − 𝑇𝑇𝑛𝑛 = 𝑆𝑆𝑛𝑛 − 1</p><p>2�𝑇𝑇𝑖𝑖 = 𝑆𝑆𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑛𝑛 =</p><p>𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1)</p><p>6 +</p><p>𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)</p><p>2</p><p>2�𝑇𝑇𝑖𝑖 =</p><p>𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1) + 3𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)</p><p>6 ⟺</p><p>�𝑇𝑇𝑖𝑖 =</p><p>𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 4)</p><p>12 =</p><p>𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2)</p><p>6</p><p>Logo,</p><p>𝑻𝑻𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 + 𝑻𝑻𝟑𝟑 + ⋯+ 𝑻𝑻𝒏𝒏 =</p><p>𝒏𝒏(𝒏𝒏 + 𝟏𝟏)(𝒏𝒏 + 𝟐𝟐)</p><p>𝟏𝟏</p><p>Questão 10 (1,5 ponto)</p><p>Thabit ibn Qurra (836-901) viveu em Bagdá e foi um membro do grupo neo-</p><p>pitagórico chamado Sabians. Escreveu sobre política, gramática, a República de</p><p>Platão (um diálogo de Platão), varíola, anatomia dos pássaros, salinidade do mar,</p><p>equações cúbicas e trigonometria esférica. Ao contrário de Aristóteles, acreditava</p><p>em um verdadeiro infinito (atual).</p><p>No seu “Livro Sobre a Determinação de Números Amigáveis” ele apresentou o</p><p>seguinte teorema:</p><p>“Sejam 𝑛𝑛 ∈ 𝑍𝑍+, 𝑛𝑛 > 1; 𝑝𝑝 = 3 × 2𝑛𝑛 − 1; 𝑞𝑞 = 3 × 2𝑛𝑛−1 − 1 𝑒𝑒 𝑟𝑟 = 9 × 22𝑛𝑛−1 − 1 . Se p, q e r são</p><p>primos, então 𝟐𝟐𝒏𝒏 ∙ 𝒑𝒑 ∙ 𝒒𝒒 e 𝟐𝟐𝒏𝒏 ∙ 𝒓𝒓 são um par de números amigáveis.”</p><p>A partir do teorema acima, verifique que 220 e 284 formam um par de números amigáveis,</p><p>identificando os valores de n, p, q e r.</p><p>(Obs: dizemos que um par de números são amigáveis se cada um deles é igual a soma dos divisores</p><p>próprios do outro).</p><p>Solução:</p><p>Temos que 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟏𝟏 e 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟏𝟏. Observemos inicialmente que, na decomposição em</p><p>fatores primos, 22 aparece para 220 e 284. Assim, n = 2.</p><p>Além disso, observamos também que 220 é da forma 𝟐𝟐𝒏𝒏 ∙ 𝒑𝒑 ∙ 𝒒𝒒 e 284 é da forma 𝟐𝟐𝒏𝒏 ∙ 𝒓𝒓 .</p><p>Vejamos agora os valores de p, q e r. Temos que:</p><p>𝑝𝑝 = 3 × 22 − 1 = 11</p><p>𝑞𝑞 = 3 × 22−1 − 1 = 5</p><p>𝑟𝑟 = 9 × 22×2−1 − 1 = 71</p><p>Como 5, 11 e 71 são números primos, então 220 e 284 são um par de números amigáveis.</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior à Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior à Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – 1/2023</p><p>Código da disciplina EAD01069</p><p>Nome: Matrícula:</p><p>Polo:</p><p>Atenção!</p><p>• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os respectivos</p><p>espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em negrito) e o número da</p><p>folha.</p><p>PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS</p><p>• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!</p><p>• Identifique a Prova, colocando Nome, Matrícula e Polo.</p><p>• Não é permitido o uso de calculadora ou de qualquer outro</p><p>aparelho que permita a conexão à Internet.</p><p>• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.</p><p>• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta</p><p>para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.</p><p>• As Folhas de Respostas serão o único material</p><p>considerado para correção. Quaisquer anotações feitas</p><p>fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,</p><p>serão ignoradas.</p><p>• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,</p><p>pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.</p><p>Questão 1 [2,0 pontos] - Para representar os números na base sexagesimal utilizaremos “,” para separar a parte</p><p>inteira da parte sexagesimal e “;” para separar as demais ordens no sistema de numeração.</p><p>Por exemplo,</p><p>1; 2,30; 4 = 1 × 601 + 2 × 600 +</p><p>30</p><p>601</p><p>+</p><p>4</p><p>602</p><p>Responda aos itens a seguir.</p><p>a) Converta as frações sexagesimais 0,22;30, e 0,05;33;20 para frações ordinárias irredutíveis (isto é, escreva</p><p>os dois números acima na base dez e como uma fração ordinária</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>, com a e b primos entre si).</p><p>Solução:</p><p>0,22; 30 =</p><p>22</p><p>601</p><p>+</p><p>30</p><p>602</p><p>=</p><p>22 × 60 + 30</p><p>602</p><p>=</p><p>1350</p><p>3600</p><p>=</p><p>27</p><p>72</p><p>=</p><p>𝟑</p><p>𝟖</p><p>0,05; 33; 20 =</p><p>5</p><p>601</p><p>+</p><p>33</p><p>602</p><p>+</p><p>20</p><p>603</p><p>=</p><p>5 × 602 + 33 × 601 + 20</p><p>603</p><p>=</p><p>18000 + 1980 + 20</p><p>216000</p><p>=</p><p>20000</p><p>216000</p><p>=</p><p>𝟓</p><p>𝟓𝟒</p><p>b) Converta as frações</p><p>11</p><p>24</p><p>e</p><p>33</p><p>50</p><p>para a notação sexagesimal (isto é, escrever as frações ordinárias usando a</p><p>base sexagesimal apresentada no enunciado).</p><p>Solução:</p><p>11</p><p>24</p><p>=</p><p>11 × 150</p><p>24 × 150</p><p>=</p><p>1650</p><p>3600</p><p>=</p><p>27 × 60 + 30</p><p>602</p><p>=</p><p>27</p><p>601</p><p>+</p><p>30</p><p>602</p><p>= 𝟎, 𝟐𝟕; 𝟑𝟎</p><p>33</p><p>50</p><p>=</p><p>33 × 72</p><p>50 × 72</p><p>=</p><p>2376</p><p>3600</p><p>=</p><p>39 × 60 + 36</p><p>602</p><p>=</p><p>39</p><p>601</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>= 𝟎, 𝟑𝟗; 𝟑𝟔</p><p>Questão 2 [2,0 pontos] - Aprendemos, através do Papiro de Rhind, que os antigos egípicios expressavam todas</p><p>as frações próprias como somas de frações unitárias distintas.</p><p>Utilizando o método descrito pelo matemático inglês James Sylvester, expresse</p><p>8</p><p>13</p><p>como soma de frações</p><p>unitárias.</p><p>Solução:</p><p>Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 8/13.</p><p>• Inverto 8/13 obtendo 13/8;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 1 < 13/8 < 2, o menor inteiro maior do que</p><p>13/8 é 2);</p><p>• 1/2 < 8/13 é a maior fração com numerador 1, menor que 8/13;</p><p>• Faço 8/13 – 1/2 = 3/26;</p><p>Repito o algoritmo para 3/26.</p><p>• Inverto 3/26 obtendo 26/3;</p><p>• 8 < 26/3 < 9, o maior inteiro é 9;</p><p>• 1/9 < 3/26 é a maior fração com numerador 1 menor que 3/26;</p><p>• Faço 3/26 – 1/9 = 1/234, logo 3/26 = 1/9 + 1/234;</p><p>Portanto,</p><p>𝟖</p><p>𝟏𝟑</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝟗</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝟐𝟑𝟒</p><p>Questão 3 [2,0 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do quadrado ABCD.</p><p>Responda aos itens a seguir:</p><p>a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis? Justifique sua resposta, fazendo uma demonstração do fato.</p><p>Solução:</p><p>“Dois segmentos a e b são comensuráveis se existir uma unidade de comprimento que meça, de maneira exata,</p><p>ambos segmentos. Isto é, a razão entre a e b há de ser um número racional.” (Unidade 2, texto 5.6)</p><p>Como</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐵̅̅ ̅̅</p><p>= √2 ∉ ℚ, então os segmentos não são comensuráveis.</p><p>b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?</p><p>Solução:</p><p>Como</p><p>𝐴𝐹̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅</p><p>=</p><p>2√2</p><p>√2</p><p>= 2 ∈ ℚ, então os segmentos são comensuráveis.</p><p>c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em relação ao</p><p>menor.</p><p>Solução:</p><p>Como visto no item anterior, temos que</p><p>𝐴𝐹̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅</p><p>= 2 ⇔ 𝑨𝑭̅̅ ̅̅ = 𝟐 ∙ 𝑨𝑪̅̅ ̅̅</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – A fração contínua de um número real 𝛼 > 0 é escrita da forma</p><p>𝛼 = 𝑛1 +</p><p>1</p><p>𝑛2 +</p><p>1</p><p>𝑛3 +</p><p>1</p><p>𝑛4 +</p><p>1</p><p>𝑛5 + ⋯</p><p>onde 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑛4, 𝑛5, … são números inteiros obtidos pelas operações a seguir:</p><p>Seja 𝑛1 a parte inteira de 𝛼 . Então (𝛼 − 𝑛1) < 1 e 𝛼1 =</p><p>1</p><p>𝛼−𝑛1</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛2 a parte inteira de 𝛼1. Então (𝛼1 − 𝑛2) < 1 e 𝛼2 =</p><p>1</p><p>𝛼1−𝑛2</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛3 a parte inteira de 𝛼2. Então (𝛼2 − 𝑛3) < 1 e 𝛼3 =</p><p>1</p><p>𝛼2−𝑛3</p><p>> 1.</p><p>E assim sucessivamente.</p><p>A partir do que foi visto acima, obtenha a fração contínua de √3.</p><p>OBS: para evitar o uso de calculadora, use as seguintes aproximações:</p><p>√3 ≅ 1,732 ;</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>≅ 1,366 ; e 1 + √3 ≅ 2,732.</p><p>Solução:</p><p>Considere 𝛼 = √3. Seja 𝑛1 a parte inteira de 𝛼 . Então, 𝒏𝟏 = 𝟏.</p><p>Assim, (√3 − 1) < 1 e 𝛼1 =</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛2 a parte inteira de 𝛼1 =</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>≅ 1,366. Daí, 𝒏𝟐 = 𝟏.</p><p>Então (</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>− 1) < 1 e 𝛼2 =</p><p>1</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>−1</p><p>= 1 + √3 > 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛3 a parte inteira de 𝛼2 = 1 + √3 ≅ 2,732. Daí, 𝒏𝟑 = 𝟐.</p><p>Então (</p><p>1</p><p>1+√3</p><p>− 2) < 1 e 𝛼3 =</p><p>1</p><p>(1+√3)−2</p><p>=</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>> 1.</p><p>Tomemos agora 𝑛4 a parte inteira de 𝛼3 =</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>≅ 1,366. Daí, 𝒏𝟒 = 𝟏.</p><p>Então (</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>− 1) < 1 e 𝛼4 =</p><p>1</p><p>1</p><p>√3−1</p><p>−1</p><p>= 1 + √3 > 1.</p><p>Observe que 𝛼3 = 𝛼1 , 𝛼4 = 𝛼2 e o processo vai se repetindo indefinidamente, com</p><p>{</p><p>𝑛1 = 1</p><p>𝑛𝑖 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟</p><p>𝑛𝑖 = 2, 𝑠𝑒 𝑖 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 1</p><p>Portanto,</p><p>√𝟑 = 𝟏 +</p><p>𝟏</p><p>𝟏 +</p><p>𝟏</p><p>𝟐 +</p><p>𝟏</p><p>𝟏 +</p><p>𝟏</p><p>𝟐 + ⋯</p><p>Questão 5 [2,0 pts] - Os matemáticos árabes, a exemplo dos matemáticos antigos (gregos e babilônicos), usavam</p><p>procedimentos geométricos. Al-Khwarizmi, por exemplo, resolveu a equação x2 + 10x = 39 utilizando o método</p><p>de completar quadrados.</p><p>a) Utilize o método de completar quadrados para resolver a equação x2 + 8x = 105.</p><p>Solução:</p><p>x2+ 8x = 105 → Um quadrado mais oito raízes do mesmo é igual a cento e cinco</p><p>x2 = ? → Qual é o quadrado?</p><p>A partir daí, temos que:</p><p>8</p><p>2</p><p>= 4 → Tome a metade do número de raízes, obtendo 4;</p><p>4 × 4 = 16 → Multiplicando por si mesmo, o produto será 16;</p><p>16 + 105 = 121 → Adicione a isto, 105; e a soma é 121;</p><p>√121 = 11 → Tome então a raiz quadrada disto, que é igual a 11;</p><p>11 – 4 = 7 → E subtraia disto a metade do número de raízes, que é 4. A diferença é 7;</p><p>7 → Esta é a raiz do número procurado;</p><p>49 → E o próprio quadrado é 49.</p><p>b) Apresente o passo-a-passo da construção geométrica que justifica a solução da equação do item (a).</p><p>Solução:</p><p>Uma versão da resolução geométrica que se aproxima mais do texto da solução de Al- Khwarizmi no exercício</p><p>é:</p><p>x + 4 = 11 => x = 7 é o número procurado e o quadrado (a área do quadrado) é igual a 49.</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior à Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior à Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – 2/2023</p><p>Código da disciplina EAD01069</p><p>Nome: Matrícula:</p><p>Polo:</p><p>Atenção!</p><p>• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,preencha (pintando os respectivos</p><p>espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em negrito)e o número da</p><p>folha.</p><p>PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS</p><p>• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!</p><p>• Identifique a Prova, colocando Nome, Matrícula e Polo.</p><p>• Não é permitido o uso de calculadora ou de qualquer outro</p><p>aparelho que permita a conexão à Internet.</p><p>• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.</p><p>• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou</p><p>preta para registro das resoluções nas Folhas de</p><p>Respostas.</p><p>• As Folhas de Respostas serão o único material</p><p>considerado para correção. Quaisquer anotações feitas</p><p>fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,</p><p>serão ignoradas.</p><p>• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,</p><p>pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.</p><p>Questão 1 [2,0 pontos] – Nesta questão, trabalharemos com a base sexagesimal do sistema de numeração</p><p>Babilônico. Usaremos os dígitos da base usando nossa escrita: 0, 1, 2, ..., 59. Para separar as ordens (potências</p><p>de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a</p><p>vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo: o número será</p><p>representado por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51.</p><p>Considerando essa representação, x = 35 , 39 ; 48 e y = 17 , 20 ; 12, determine os valores numéricos de</p><p>a) x – y;</p><p>b) x + y;</p><p>c) x2 - y2.</p><p>Reolução:</p><p>a) (x-y) = ([ 35 , 39 ; 48] - [ 17 , 20 ; 12]) = [ 18 , 19 ; 36]</p><p>b) (x+y) = ([35 , 39 ; 48] + [ 17 , 20 ; 12]) = [53, 0]</p><p>c) x2 - y2 = (x-y)(x+y) = ([ 35 , 39 ; 48] - [ 17 , 20 ; 12]) ([35 , 39 ; 48] + [ 17 , 20 ; 12]) =</p><p>= [ 18 , 19 ; 36] x [53, 0] = 28 x 53 +19 x 53 x 60-1 + 36 x 53 x 60-2 =</p><p>= (954) + 1007 x 60-1 + 1908 x 60-2 =</p><p>= (15 x 60 + 54) + (16 x 60 + 47) x 60-1 + (31 x 60 + 48) x 60-2 =</p><p>= 15 x 60 + 54 + 16 + (78) x 60-1 + 48 x 60-2 =</p><p>= 15 x 60 + 70 + (60 + 18) x 60-1 + 48 x 60-2 =</p><p>= 15 x 60 + 71 + 18 x 60-1 + 48 x 60-2 =</p><p>= 15 x 60 + (1 x 60 + 11) + 18 x 60-1 + 48 x 60-2 =</p><p>= 16 ; 11; 18 , 48</p><p>Questão 2 [2,0 pts] - Aprendemos, através do Papiro de Rhind, que os antigos egípicios expressavam todas as</p><p>frações próprias como somas de frações unitárias distintas. Utilizando o método descrito pelo matemático inglês</p><p>James Sylvester, expresse</p><p>de Scipione dal Ferro.</p><p>x3 + 6x = 2 .</p><p>Solução: Na equação x3 + 6x = 2, temos que A = 6 e B = 2. Dáı:</p><p></p><p></p><p></p><p>3st = 6 ⇔ s =</p><p>2</p><p>t</p><p>(I)</p><p>s3 − t3 = 2 (II)</p><p>Levando (I) em (II) obtemos:</p><p>8</p><p>t3</p><p>− t3 = 2 ⇔ 8 − t6 = 2t3 ⇔ t6 + 2t3 − 8 = 0 ⇔</p><p>(</p><p>t3</p><p>)2</p><p>+ 2</p><p>(</p><p>t3</p><p>)</p><p>− 8 = 0 ,</p><p>isto é,</p><p>t3 =</p><p>−2 ±</p><p>√</p><p>4 + 32</p><p>2</p><p>=</p><p>−2 ± 6</p><p>2</p><p>= −1 ± 3 .</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>História da Matemática – AP1 Gabarito 4</p><p>Escolhendo a solução positiva temos:</p><p>t3 = −1 + 3 ⇔ t3 = 2 ⇔ t =</p><p>3</p><p>√</p><p>2 .</p><p>De (II) temos:</p><p>s3 = 2 + 2 = 4 ⇔ s =</p><p>3</p><p>√</p><p>4 .</p><p>Finalmente, como x = s − t é raiz da equação x3 − Ax = B, com A e B positivos, obtemos</p><p>x =</p><p>3</p><p>√</p><p>4 − 3</p><p>√</p><p>2 .</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – História da Matemática – 1/2008 (GABARITO)</p><p>Questão 1 [2,0 pts]: Dadas as construções geométricas abaixo, com x e y números reais construt́ıveis,</p><p>determine o que se pede.</p><p>(i)</p><p>O A B C</p><p>D E Sendo</p><p>←→</p><p>DE ‖ ←→OC ,</p><p>OD ‖ AE ,</p><p>BD ‖ CE ,</p><p>A, B ∈ ←→OC ,</p><p>m(OA) = x e</p><p>m(OB) = y</p><p>Determine m(OC).</p><p>(ii)</p><p>O A B</p><p>C</p><p>D Sendo AC ‖ BD ,</p><p>os pontos O, C e D colineares ,</p><p>os pontos O, A e B colineares ,</p><p>m(OA) = 1 ,</p><p>m(OC) = y e</p><p>m(CD) = x</p><p>Determine m(AB).</p><p>Solução: (i) x + y (ii)</p><p>x</p><p>y</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: Considere as figuras abaixo:</p><p>A</p><p>B C</p><p>D A B</p><p>O quadrilátero ABCD é um trapézio inscrito no semi-ćırculo com diâmetro AD tal que</p><p>AB ≡ BC ≡ CD. As lúnulas de Hipócrates de Quios estão contidas nos semi-ćırculos com</p><p>diâmetros AB, BC e CD.</p><p>Demonstre que a área do trapézio ABCD é igual a soma das áreas das três lúnulas mais a área do</p><p>semi-ćırculo com diâmetro AB.</p><p>Solução: Temos que</p><p>área(trapézio ABCD) + 3 área(semi-ćırculo AB) = área(semi-ćırculo AD) + área(3 lúnulas).</p><p>Como m(AD) = 2m(AB), então</p><p>área(semi-ćırculo AD) = 4 área(semi-ćırculo AB).</p><p>Logo,</p><p>área(trapézio ABCD) = área(semi-ćırculo AB) + área(3 lúnulas).</p><p>História da Matemática (GABARITO) AP1 – 1/2008 2</p><p>Questão 3 [2,5 pts]</p><p>(i) Prove que qualquer número quadrado múltiplo de três é o quadrado de um número múltiplo de</p><p>três.</p><p>(ii) Use o resultado do item (i) para provar que</p><p>√</p><p>3 não é um número racional.</p><p>Solução: (i) (3k)2 = 9k2 = 3( 3k2</p><p>︸︷︷︸</p><p>m</p><p>) = 3m, k, m ∈ Z.</p><p>(ii) Suponhamos, por absurdo, que</p><p>√</p><p>3 ∈ Q. Dáı, seja</p><p>√</p><p>3 =</p><p>p</p><p>q</p><p>, onde p, q ∈ Z+, com mdc(p, q) = 1.</p><p>Logo</p><p>p2</p><p>q2</p><p>= 3 ⇔ p2 = 3q2, p2 um múltiplo de 3, e, por (i), p um múltiplo de 3; seja então p = 3k.</p><p>Assim, p2 = 9k2 = 3q2 ⇔ 3k2 = q2, q2 é um múltiplo de 3 e q é um múltiplo de 3. Logo, 3 é um</p><p>divisor comum de p e q.</p><p>Temos então uma contradição, pois por hipótese p e q são primos entre si. Consequentemente não</p><p>existem inteiros p e q, primos entre si, tais que</p><p>p</p><p>q</p><p>=</p><p>√</p><p>3, isto é,</p><p>√</p><p>3 /∈ Q.</p><p>Questão 4 [3,0 pts]: Pitágoras fundou uma sociedade secreta conhecida como Escola Pitagórica</p><p>cujo śımbolo de reconhecimento pelos seus membros era o pentagrama, isto é, o pentágono regular</p><p>estrelado, formado quando traçamos as cinco diagonais de um petágono regular, conforme figura</p><p>abaixo:</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>D</p><p>D</p><p>E</p><p>E</p><p>′</p><p>′ ′</p><p>′</p><p>′</p><p>(i) Os pontos A′, B′, C ′, D′ e E ′ dividem as diagonais do pentagrama de um modo notável: cada</p><p>um deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais tais que, a razão entre as medidas da</p><p>diagonal toda e do segmento maior é a razão entre as medidas do segmento maior e do segmento</p><p>menor.</p><p>Mostre que o valor positivo dessa razão, denominado número áureo, representado pela letra grega</p><p>minúscula ϕ, vale</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>(Sugestão: Considere, por exemplo, a diagonal EB fazendo m(EB) = 1 e m(C ′B) = x.)</p><p>(ii) A partir da proporção encontrada no item (i), obtenha uma equação do 2◦ grau em ϕ e mostre,</p><p>inicialmente, que</p><p>ϕ =</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 + ϕ.</p><p>Em seguida mostre que</p><p>ϕ =</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 + . . .</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>História da Matemática (GABARITO) AP1 – 1/2008 3</p><p>Solução: (i) Seguindo a sugestão temos pelo enunciado que</p><p>m(EB)</p><p>m(C ′B)</p><p>=</p><p>m(C ′B)</p><p>m(EC ′)</p><p>⇐⇒ 1</p><p>x</p><p>=</p><p>x</p><p>1− x</p><p>⇐⇒ 1− x = x2</p><p>⇐⇒ x2 + x− 1 = 0</p><p>⇐⇒ x =</p><p>−1±</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>Considerando a raiz positiva temos x =</p><p>−1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>Dáı,</p><p>ϕ =</p><p>1</p><p>x</p><p>=</p><p>1</p><p>−1+</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>=</p><p>2</p><p>−1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>=</p><p>2</p><p>−1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>· 1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>=</p><p>2(1 +</p><p>√</p><p>5)</p><p>5− 1</p><p>=</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>(ii) De (i) temos</p><p>1</p><p>x</p><p>=</p><p>x</p><p>1− x</p><p>Dáı, com ϕ =</p><p>1</p><p>x</p><p>,</p><p>ϕ =</p><p>1</p><p>ϕ</p><p>1− 1</p><p>ϕ</p><p>=</p><p>1</p><p>ϕ− 1</p><p>⇐⇒ ϕ2 − ϕ− 1 = 0</p><p>⇐⇒ ϕ2 = 1 + ϕ</p><p>⇐⇒ ϕ = ±√1 + ϕ</p><p>Considerando ϕ =</p><p>√</p><p>1 + ϕ temos, substituindo-a no seu membro direito:</p><p>ϕ =</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 + ϕ.</p><p>Repetindo esse processo indefinidamente obtemos:</p><p>ϕ =</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1 + . . .</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>História da Matemática – AP1 – Gabarito</p><p>Questão 1 [2,5 pts]: Expresse 2/43 como uma soma de frações unitárias distintas.</p><p>Solução:</p><p>2</p><p>29</p><p>→ 29</p><p>2</p><p>29 2</p><p>09 14, 5</p><p>29</p><p>2</p><p>= 14, 5</p><p>10 ↓</p><p>0 maior inteiro mais próximo é 15</p><p>↓</p><p>29</p><p>2</p><p>< 15 → 2</p><p>29</p><p>></p><p>1</p><p>15</p><p>2</p><p>29</p><p>− 1</p><p>15</p><p>=</p><p>30 − 29</p><p>(29)(15)</p><p>=</p><p>1</p><p>435</p><p>.</p><p>Logo:</p><p>2</p><p>29</p><p>=</p><p>1</p><p>15</p><p>+</p><p>1</p><p>435</p><p>.</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: Representando por Hn o n-ésimo número hexagonal, mostre que Hn = T2n−1.</p><p>Solução:</p><p>T2n−1 =</p><p>(2n − 1)2 − (2n − 1)</p><p>2</p><p>+ (2n − 1)</p><p>=</p><p>4n2 − 4n + 1 − 2n + 1</p><p>2</p><p>+ (2n − 1)</p><p>=</p><p>4n2 − 6n + 2</p><p>2</p><p>+ (2n − 1)</p><p>=</p><p>4n2 − 6n + 2 + 4n − 2</p><p>2</p><p>=</p><p>4n2 − 2n</p><p>2</p><p>= 2n2 − n</p><p>= Hn</p><p>Questão 3 [2,5 pts]: Mostre que Pn = n(3n−1)</p><p>2</p><p>onde Pn é o n-ésimo número pentagonal.</p><p>Solução: Os números {1, 4, 7, 10, . . .} formam uma progressão aritmética de razão 3. As somas</p><p>parciais dessa progressão dão os números pentagonais:</p><p>História da Matemática – AP1 Gabarito 2</p><p>P1 = 1</p><p>P2 = 1 + 4 = 5</p><p>P3 = 1 + 4 + 7 = 12</p><p>P4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22</p><p>. . .</p><p>Pn = 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + (3n − 2) = —</p><p>��</p><p>forma geral das somas parciais</p><p>Para um n-ésimo termo da seqüência, temos</p><p>{ {</p><p>3 1(=(3 2)+1)n n</p><p>{n</p><p>3 2n</p><p>De onde se tira</p><p>2Pn = n(3n − 1)</p><p>Pn =</p><p>n(3n − 1)</p><p>2</p><p>Questão 4 [2,5 pts]: Expresse</p><p>√</p><p>7 como uma fração cont́ınua.</p><p>Solução:</p><p>x1 =</p><p>1√</p><p>7 −</p><p>[√</p><p>7</p><p>] =</p><p>1√</p><p>7 − 2</p><p>=</p><p>1√</p><p>7 − 2</p><p>×</p><p>√</p><p>7 + 2√</p><p>7 + 2</p><p>=</p><p>√</p><p>7 + 2</p><p>3</p><p>[x1] =</p><p>[√</p><p>7 + 2</p><p>3</p><p>]</p><p>= 1</p><p>x2 =</p><p>1√</p><p>7 + 2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>=</p><p>3√</p><p>7 − 1</p><p>=</p><p>3√</p><p>7 − 1</p><p>×</p><p>√</p><p>7 + 1√</p><p>7 + 1</p><p>=</p><p>3</p><p>(√</p><p>7 + 1</p><p>)</p><p>6</p><p>=</p><p>√</p><p>7 + 1</p><p>2</p><p>[x2] =</p><p>[√</p><p>7 + 1</p><p>2</p><p>]</p><p>= 1</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>História da Matemática – AP1 Gabarito 3</p><p>x3 =</p><p>1√</p><p>7 + 1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>=</p><p>2√</p><p>7 − 1</p><p>=</p><p>2√</p><p>7 − 1</p><p>×</p><p>√</p><p>7 + 1√</p><p>7 + 1</p><p>=</p><p>2</p><p>(√</p><p>7 + 1</p><p>)</p><p>6</p><p>=</p><p>√</p><p>7 + 1</p><p>3</p><p>[x3] =</p><p>[√</p><p>7 + 1</p><p>3</p><p>]</p><p>= 1</p><p>x4 =</p><p>1√</p><p>7 + 1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>=</p><p>3√</p><p>7 − 2</p><p>=</p><p>3√</p><p>7 − 2</p><p>×</p><p>√</p><p>7 + 2√</p><p>7 + 2</p><p>=</p><p>3</p><p>(√</p><p>7 + 2</p><p>)</p><p>3</p><p>=</p><p>√</p><p>7 + 2</p><p>[x4] =</p><p>[√</p><p>7 + 2</p><p>]</p><p>= 4</p><p>x5 =</p><p>1√</p><p>7 + 2 − 4</p><p>=</p><p>1√</p><p>7 − 2</p><p>=</p><p>1√</p><p>7 − 2</p><p>×</p><p>√</p><p>7 + 2√</p><p>7 + 2</p><p>=</p><p>√</p><p>7 + 2</p><p>3</p><p>[x5] =</p><p>[√</p><p>7 + 2</p><p>3</p><p>]</p><p>= 1</p><p>...</p><p>Finalmente √</p><p>7 = 2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>4 +</p><p>1</p><p>1 + · · ·</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>História da Matemática – AP1 – Gabarito</p><p>Questão 1 [2,0 pts]: Expresse</p><p>8</p><p>11</p><p>como uma soma de frações unitárias distintas.</p><p>Obs.: Expresse com mais de duas frações unitárias distintas.</p><p>Solução: Invertamos</p><p>8</p><p>11</p><p>:</p><p>11</p><p>8</p><p>∼= 1, 3 < 2. Dáı,</p><p>8</p><p>11</p><p>></p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>1</p><p>q</p><p>)</p><p>.</p><p>Temos que</p><p>8</p><p>11</p><p>− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>16 − 11</p><p>2</p><p>=</p><p>5</p><p>22</p><p>(</p><p>aq − b</p><p>bq</p><p>)</p><p>(fração própria não-unitária).</p><p>Repetindo o racioćınio acima, temos:</p><p>22</p><p>5</p><p>= 4, 4 < 5. Dáı,</p><p>5</p><p>22</p><p>></p><p>1</p><p>5</p><p>.</p><p>Temos que</p><p>5</p><p>22</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>25 − 22</p><p>110</p><p>=</p><p>3</p><p>110</p><p>(0, 1)</p><p>A seguir, com</p><p>110</p><p>3</p><p>∼= 36, 6 < 37. Dáı,</p><p>3</p><p>110</p><p>></p><p>1</p><p>37</p><p>.</p><p>Temos que</p><p>3</p><p>110</p><p>− 1</p><p>37</p><p>=</p><p>111 − 110</p><p>4070</p><p>=</p><p>1</p><p>4070</p><p>(fração unitária).</p><p>Finalmente,</p><p>8</p><p>11</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>+</p><p>1</p><p>37</p><p>+</p><p>1</p><p>4070</p><p>.</p><p>Questão 2 [2,0 pts]: Seja a equação linear x +</p><p>x</p><p>a</p><p>+ b = c, com a, b, c ∈ Z+ e b < c. Resolva-a</p><p>pelo método da falsa posição considerando que a falsa posição escolhida</p><p>5</p><p>11</p><p>como soma de frações unitárias.</p><p>Resolução:</p><p>• Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 5/11.</p><p>• Inverto 5/11 obtendo 11/5;</p><p>• Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 2 < 11/5 < 3, o menor inteiro maior do que</p><p>11/5 é 3);</p><p>• 1/3 < 5/11 é a maior fração com numerador 1, menor que 5/11;</p><p>• Faço 5/11 – 1/3 = 4/33;</p><p>• Repito o algoritmo para 4/33.</p><p>• Inverto 4/33 obtendo 33/4;</p><p>• 8 < 33/4 < 9, o maior inteiro é 9;</p><p>• 1/9 < 4/33 é a maior fração com numerador 1 menor que 4/33;</p><p>• Faço 4/33 – 1/9 = 1/99, logo 4/33 = 1/9 + 1/99;</p><p>• Portanto, 5/11 = 1/3 + 1/9 + 1/99.</p><p>Questão 3 [2,0 pts] –</p><p>O teorema de Pitágoras é uma relação</p><p>entre os lados de um triângulo</p><p>retângulo. Tal conhecimento passou</p><p>dos egípcios a Pitágoras, que o</p><p>imortalizou. Com base nas figuras ao</p><p>lado faça uma demonstração do</p><p>Teorema de Pitágoras.</p><p>Resolução:</p><p>Conforme indicado no enunciado considere as figuras abaixo:</p><p>Da figura (I) tem-se: (a + b)2 = a2 + b2 + 4 (ab/2) = a2 + b2 + 2ab</p><p>Da figura (II) tem-se: (a + b)2 = c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab</p><p>Comparando, obtém-se: a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. Consequentemente, a2 + b2= c2.</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Resolva o seguinte problema proposto por</p><p>Arquimedes.</p><p>Seja ABC um semicírculo. Pelo ponto B, traçamos uma perpendicular BD</p><p>ao diâmetro AC. Sobre os segmentos AD e DC, construímos dois outros</p><p>semicírculos AFD e DHC. A área da região AFDHCB (da região limitada</p><p>pelas três semicircunferências: ABC, AFD e DHC) - conhecida como</p><p>‘arbelos’ - é igual à área do círculo de diâmetro BD.</p><p>Resolução:</p><p>A área procurada é a que se encontra dentro do semicírculo ABC e fora dos semicírculos AFD e DHC. Vamos aos</p><p>cálculos.</p><p>Questão 5 [2,0 pts] - Resolva o seguinte problema de Diofanto:</p><p>“Encontrar três números (x, y e z) tais que o produto de qualquer par deles, mais a soma</p><p>dos mesmos, sejam, respectivamente, iguais a 8, 15 e 24.”</p><p>Resolução:</p><p>Das informações, obtemos o sistema:</p><p>Daí:</p><p>e .</p><p>seja x0.</p><p>Solução: Se x +</p><p>x</p><p>a</p><p>+ b = c,→ x +</p><p>x</p><p>a</p><p>= c − b.</p><p>Sendo x0 a falsa posição escolhida, temos:</p><p>x0 +</p><p>x0</p><p>a</p><p>= d (6= c − b) .</p><p>Dáı, o método nos diz que multiplicando a falsa posição x0 por</p><p>c − b</p><p>d</p><p>, obtemos a resposta correta,</p><p>isto é,</p><p>c − b</p><p>d</p><p>x0 é a resposta correta.</p><p>De fato, multiplicando a equação x0 +</p><p>x0</p><p>a</p><p>= d por</p><p>c − b</p><p>d</p><p>, temos que:</p><p>c − b</p><p>d</p><p>x0 +</p><p>c − b</p><p>d</p><p>· x0</p><p>a</p><p>=</p><p>c − b</p><p>d</p><p>d = c − b .</p><p>Portanto, se x =</p><p>c − b</p><p>d</p><p>x0, então x +</p><p>x</p><p>a</p><p>= c − b, ou seja, x =</p><p>c − b</p><p>d</p><p>x0 é a raiz da equação</p><p>x +</p><p>x</p><p>a</p><p>+ b = c .</p><p>Cálculo IV AP1 – Gabarito 2</p><p>Questão 3 [2,0 pts]: Calcule</p><p>√</p><p>3 pelo método babilônio de extrair ráızes quadradas com uma</p><p>sequência de aproximações com 4 termos.</p><p>Solução: Temos:</p><p>x1 = 1 (maior inteiro menor do que</p><p>√</p><p>3)</p><p>x2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>1 +</p><p>3</p><p>1</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(4) = 2</p><p>x3 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>2 +</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>7</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>7</p><p>4</p><p>= 1, 75</p><p>x4 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>7</p><p>4</p><p>+</p><p>3</p><p>7</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>7</p><p>4</p><p>+</p><p>12</p><p>7</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>· 49 + 48</p><p>28</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>· 97</p><p>28</p><p>=</p><p>97</p><p>56</p><p>∼= 1, 732142857</p><p>Logo: √</p><p>3 ∼= 1, 732050808 .</p><p>Questão 4 [2,5 pts]: Considere o texto matemático babilônio a seguir:</p><p>Problema: “Eu adicionei 7 vezes o lado do meu quadrado e 11 vezes a área: 6, 25”.</p><p>Solução:</p><p>• Tu multiplicarás 11 por 6, 25 : 68, 75.</p><p>• Tu fracionarás em dois 7 : 3, 5.</p><p>• Elevemos 3, 5 ao quadrado: 12, 25.</p><p>• Tu acrescentarás à 68, 75 : 81.</p><p>• É o quadrado de 9.</p><p>• Tu subtrairás 3, 5 de 9: Tu escreverás 5, 5.</p><p>• Por quanto eu devo multiplicar 11 para encontrar? Por 0, 5, seu quociente (o quociente da</p><p>divisão de 5, 5 por 11).</p><p>• O lado do quadrado é 0, 5.</p><p>a) Identifique o lado do quadrado pela variável x e traduza este texto (problema e solução) em</p><p>linguagem matemática atual.</p><p>b) Analise o conjunto dos procedimentos da solução e procure uma fórmula que a expresse.</p><p>Solução: Temos que:</p><p>11x2 + 7x = 6, 25</p><p>(</p><p>→ ax2 + bx = −c</p><p>)</p><p>• Multipliquemos 11 por 6, 25, obtemos 68, 75.</p><p>• Dividimos 7 por 2, obtêm-se 3, 5.</p><p>• Elevamos 3, 5 ao quadrado, obtemos 12, 25, isto é:</p><p>((</p><p>7</p><p>2</p><p>)2</p><p>= (3, 5)2 = 12, 25</p><p>)</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Cálculo IV AP1 – Gabarito 3</p><p>• Adicionemos este resultado à 68, 75, encontramos 81, isto é:</p><p>((</p><p>7</p><p>2</p><p>)2</p><p>+ (11)(6, 25) = 12, 25 + 68, 75 = 81</p><p>)</p><p>.</p><p>• 81 é o quadrado de 9, isto é:</p><p>(√</p><p>(</p><p>7</p><p>2</p><p>)2</p><p>+ (11)(6, 25) =</p><p>√</p><p>81 = 9</p><p>)</p><p>.</p><p>• Subtráımos 3, 5 de 9, obtemos 5, 5, isto é:</p><p>(√</p><p>(</p><p>7</p><p>2</p><p>)2</p><p>+ (11)(6, 25) − 7</p><p>2</p><p>= 9 − 3, 5 = 5, 5</p><p>)</p><p>.</p><p>• Por quanto eu devo multiplicar 11 para encontrar 5, 5? Por 0, 5, o quociente da divisão de 5, 5</p><p>por 11, isto é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(11) · (0, 5) = 5, 5 ⇔ 11</p><p>√</p><p>(</p><p>7</p><p>2</p><p>)2</p><p>+ (11)(6, 25) − 7</p><p>2</p><p>11</p><p>= 5, 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇔ 11</p><p>5, 5</p><p>11</p><p>= 11(0, 5) = 5, 5 .</p><p>• A solução é:</p><p>0, 5 ·</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>√</p><p>(</p><p>7</p><p>2</p><p>)2</p><p>+ (11)(6, 25) − 7</p><p>2</p><p>11</p><p>= 0, 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>Generalização do método babilonio</p><p>• Multipliquemos a por −c, obtêm-se −ac.</p><p>• Dividamos b por 2, obtêm-se</p><p>b</p><p>2</p><p>.</p><p>• Elevamos</p><p>b</p><p>2</p><p>ao quadrado, obtemos</p><p>b2</p><p>4</p><p>.</p><p>• Adicionemos este resultado à −ac, encontramos</p><p>b2</p><p>4</p><p>+ (−ac) =</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac .</p><p>• Tomemos a raiz quadrado deste último resultado:</p><p>√</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac .</p><p>• Subtráımos</p><p>b</p><p>2</p><p>de</p><p>√</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac, obtemos</p><p>√</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac − b</p><p>2</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Cálculo IV AP1 – Gabarito 4</p><p>• A solução é:</p><p>√</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac − b</p><p>2</p><p>a</p><p>.</p><p>Ou seja:</p><p>x =</p><p>√</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac − b</p><p>2</p><p>a</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>=</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>4</p><p>− b</p><p>2</p><p>a</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>b2 − 4ac − b</p><p>2</p><p>a</p><p>=</p><p>√</p><p>b2 − 4ac − b</p><p>2a</p><p>=</p><p>−b +</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>.</p><p>⇔ ax =</p><p>√</p><p>b2</p><p>4</p><p>− ac − b</p><p>2</p><p>Questão 5 [1,5 pts]: Use a definição de Eudoxo de Cnido para mostrar que 3 está para</p><p>√</p><p>2 assim</p><p>como 3</p><p>√</p><p>2 está para 2.</p><p>Solução: Sejam m,n ∈ Z+.</p><p>(i) Suponhamos que m3 < n</p><p>√</p><p>2. Multiplicando por</p><p>√</p><p>2 a desigualdade temos:</p><p>m3</p><p>√</p><p>2 < n</p><p>√</p><p>2</p><p>√</p><p>2 = n2 .</p><p>(ii) Com o mesmo racioćınio, mostramos que se m3 > n</p><p>√</p><p>2 então m3</p><p>√</p><p>2 > n2.</p><p>Nota: veja que a implicação da definição relativa a igualdade de (se m3 = n</p><p>√</p><p>2, então m3</p><p>√</p><p>2 = n2)</p><p>não cabe neste caso pois não existem m,n ∈ Z+ tais que m3 = n</p><p>√</p><p>2 .</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 2/2009</p><p>Questão 1 [1,0 pt]: Na tabela a seguir complete as colunas e efetue o produto de 26 por 31 usando</p><p>o algoritmo de multiplicação dos eǵıpcios.</p><p>31 26</p><p>62 13 /</p><p>124</p><p>Solução:</p><p>31 26</p><p>62 13 /</p><p>124 6</p><p>248 3 /</p><p>496 1 /</p><p>Assim, segundo esse algoritmo, 31 × 26 = 62 + 248 + 496 = 806.</p><p>Questão 2 [2,0 pts]: Usando u = 64 (= 26) e v = 27 (= 33), gere uma tripla pitagórica que aparece</p><p>na tabuleta de Plimpton 322.</p><p>Solução: A tripla pitagórica gerada pelos números u = 64 e v = 27 é (3456, 3367, 4825).</p><p>Questão 3 [1,0 pt]: O número 12 285 é um elemento de um par de números amigos. Descubra o</p><p>outro número desse par.</p><p>Solução: A decomposição em fatores primos de 12 285 é 33 × 5× 7× 13. A soma de seus divisores</p><p>próprios é 14 595, o outro elemento do par de números amigáveis: (12 285, 14 595).</p><p>Questão 4 [2,0 pts]: Gere uma fração cont́ınua para</p><p>√</p><p>3.</p><p>Solução:</p><p>√</p><p>3 = 1 +</p><p>√</p><p>3 − 1</p><p>= 1 +</p><p>(</p><p>√</p><p>3 − 1)(</p><p>√</p><p>3 + 1)</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>3 − 1</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>√</p><p>3 = 1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>2</p><p>(</p><p>1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>)</p><p>+ 1</p><p>= 1 +</p><p>2</p><p>2 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>+ 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>+ 1</p><p>1/3</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 2/2009</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>2 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>+ 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>1 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>+ 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>2 +</p><p>2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>Logo,</p><p>√</p><p>3 = 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2 + . . .</p><p>Questão 5 [2,0 pts]:</p><p>a) Mostre que a área de um quadrado ocupa mais do que a metade da área do ćırculo em que ele</p><p>está inscrito.</p><p>b) Mostre que a área de um octógono regular ocupa mais do que</p><p>3</p><p>4</p><p>da área do ćırculo em que ele</p><p>está inscrito.</p><p>Solução:</p><p>a) O quadrado é um 22-ágono regular. Assim, ele ocupa mais do que 1−</p><p>1</p><p>22−1</p><p>= 1−</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>da área</p><p>do ćırculo em que ele está inscrito.</p><p>b) O octógono é um 23-ágono regular. Assim, ele ocupa mais do que 1−</p><p>1</p><p>23−1</p><p>= 1−</p><p>1</p><p>22</p><p>= 1−</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>da área do ćırculo em que ele está inscrito.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2/3</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 2/2009</p><p>Questão 6 [2,0 pts]: Considere a lista 3, 5 e 7 de números primos e obtenha dois números primos</p><p>extras utilizando a estratégia apresentada por Euclides para demonstrar que há uma infinidade de</p><p>números primos.</p><p>Solução: Os fatores primos de 3 × 5 × 7 + 1 são 2 e 53, primos diferentes de 3, 5 e 7.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 3/3</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 1/2010</p><p>Questão 1 [2,0 pts]: Faça a demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras.</p><p>Solução: Alguns historiadores sugerem a seguinte demonstração geométrica como viável para Pitágoras.</p><p>Sejam os diagramas abaixo:</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>a b</p><p>b</p><p>b</p><p>ab</p><p>2</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>ab</p><p>2</p><p>b</p><p>2</p><p>a</p><p>2 c</p><p>c</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>ab</p><p>b</p><p>b</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>2</p><p>ab</p><p>2</p><p>(I) (II)</p><p>Do diagrama (I) tem-se: (a + b)2 = a2 + b2 + 4</p><p>ab</p><p>2</p><p>= a2 + b2 + 2ab.</p><p>Do diagrama (II) tem-se: (a + b)2 = c2 + 4</p><p>ab</p><p>2</p><p>= c2 + 2ab.</p><p>Logo, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. Consequentemente, a2 + b2 = c2.</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: A forma geral de um número (m+2)-agonal é m</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+n, onde m, n ∈ Z+.</p><p>Exemplo: um n-ésimo número pentagonal tem a forma</p><p>3</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n =</p><p>3n2 − 3n + 2n</p><p>2</p><p>=</p><p>3n2 − n</p><p>2</p><p>.</p><p>Mostre que T</p><p>n−1+Q</p><p>n</p><p>= P</p><p>n</p><p>, onde T</p><p>n−1 é o (n−1)-ésimo número triangular, Q</p><p>n</p><p>é o n-ésimo número</p><p>quadrado e</p><p>P</p><p>n</p><p>é o n-ésimo número pentagonal.</p><p>Solução: Q</p><p>n</p><p>+ T</p><p>n−1 = 2</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n +</p><p>(n − 1)2 − (n − 1)</p><p>2</p><p>+ (n − 1)</p><p>= n2 +</p><p>n2 − 2n + 1 − n + 1</p><p>2</p><p>+ n − 1 = n2 +</p><p>n2 − 3n + 2 + 2n + 2</p><p>2</p><p>= n2 +</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>=</p><p>2n2 + n2 − n</p><p>2</p><p>=</p><p>3n2 − n</p><p>2</p><p>= P</p><p>n</p><p>Questão 3 [1,5 pt]: Mostre que 284 e 220 são números amigáveis.</p><p>Solução: Divisores próprios de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 11, 22, 44, 55, 110, cuja soma é 284.</p><p>Divisores próprios de 284: 1, 2, 4, 71, 142, cuja soma é 220.</p><p>1/2</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 1/2010</p><p>Questão 4 [2,0 pts]: Encontre o quarto número perfeito.</p><p>Solução:</p><p>(</p><p>quarto</p><p>número</p><p>perfeito</p><p>)</p><p>= 27−1(27 − 1) = 8128.</p><p>Questão 5 [2,0 pts]</p><p>a) Mostre visualmente, segundo Eudoxo, que 1 e</p><p>√</p><p>2 são comparáveis.</p><p>b) Enuncie a Definição 5 que aparece no quinto livro dos Elementos de Euclides.</p><p>Solução: a)</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1 22</p><p>2</p><p>2</p><p>1 <</p><p>√</p><p>2 2 × 1 ></p><p>√</p><p>2</p><p>“Duas grandezas podem ser comparadas quando um múltiplo de cada uma delas for maior do que a</p><p>outra.”</p><p>b) a está para b assim como c está para d se, para quaisquer inteiros m e n, vale</p><p>ma < nb se, e somente se, mc < nd</p><p>ma = nb se, e somente se, mc = nd</p><p>ma > nb se, e somente se, mc > nd</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2/2</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 2/2010</p><p>Questão 1 [2,5 pts]: Na tabela Plimpton 322 só aparecem duas colunas correspondentes a dois</p><p>dos três números de uma tripla pitagórica: u</p><p>2 − v</p><p>2 e u</p><p>2 + v</p><p>2.</p><p>Sabendo que 4601 e 6649 são números de uma tripla da tableta, descubra os correspondentes</p><p>geradores u e v, bem como o terceiro número da tripla.</p><p>(Unidade 2 - Texto 4)</p><p>Solução:</p><p>6649 = u</p><p>2 + v</p><p>2</p><p>4601 = u</p><p>2 − v</p><p>2</p><p>11250 = 2u2 ⇐⇒ u</p><p>2 =</p><p>11250</p><p>2</p><p>= 5625</p><p>=⇒ u =</p><p>√</p><p>5625 = 75 (= 3 × 52)</p><p>Dáı, v</p><p>2 = 6649 − 5625 = 1024 =⇒ v =</p><p>√</p><p>1024 = 32 (= 25).</p><p>Logo, o terceiro número da tripla pitagórica será 2uv = 2 × 75 × 32 = 4800.</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: Demonstre a proposição conhecida como Teorema de Tales: “Todo ângulo</p><p>inscrito em um semićırculo é reto.”</p><p>(Unidade 2 - Texto 5)</p><p>Solução: Demonstração no Texto 5.1.</p><p>Questão 3 [1,5 pt]: Dê duas contribuições da escola pitagórica.</p><p>(Unidade 2 - Texto 5)</p><p>Solução: Ver Texto 5.4.</p><p>Questão 4 [2,0 pts]: Use a igualdade</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>para gerar uma fração cont́ınua.</p><p>(Unidade 3 - Texto 7)</p><p>Solução:</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>. Prosseguindo assim, obtem-se:</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 +</p><p>1</p><p>1 + . . .</p><p>.</p><p>1/2</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 2/2010</p><p>Questão 5 [1,5 pt]: Considere o triângulo de números a seguir:</p><p>1</p><p>3 5</p><p>7 9 11</p><p>i) Escreva as duas próximas linhas;</p><p>ii) Some os números de cada uma das linhas do novo triângulo. O que você pode observar?</p><p>(Unidade 4)</p><p>Solução:</p><p>i) 1</p><p>3 5</p><p>7 9 11</p><p>13 15 17 19</p><p>21 23 25 27 29</p><p>}</p><p>ii) 1 = 13</p><p>8 = 23</p><p>27 = 33</p><p>64 = 43</p><p>125 = 53</p><p>A soma das linhas do triângulo de</p><p>números são cubos perfeitos.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2/2</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 1/2011</p><p>Questão 1 [3,0 pts]:</p><p>i) [2,0 pts] Enuncie o resultado do matemático francês Pierre-Laurent Wantzel (1814 à 1848)</p><p>que permitiu, a partir das ideias de Gauss, a algebrização dos problemas de construção com</p><p>régua não graduada e compasso.</p><p>ii) [1,0 pt] Podemos duplicar o cubo de lado 1 utilizando a régua não graduada e o compasso?</p><p>Justifique sua resposta.</p><p>(Unidade 1 - Texto 2.4)</p><p>Solução:</p><p>i) Se C é um ponto obtido por uma construção com a régua não graduada e o compasso a partir</p><p>de dois pontos dados A e B, então o quociente q das distâncias AC e AB tem as seguintes</p><p>propriedades:</p><p>1. q é a raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, não todos nulos. Nesse caso, q é</p><p>chamado de um número algébrico.</p><p>2. Se p(x) for um polinômio de grau ḿınimo entre todos os polinômios com coeficientes</p><p>inteiros, não todos nulos, dos quais q é uma raiz, então o grau de p(x) é uma potência</p><p>de 2.</p><p>ii) Para duplicarmos o cubo de lado 1, teŕıamos que construir um segmento de comprimento 3</p><p>√</p><p>2.</p><p>Esse número algébrico é a raiz do polinômio x3 − 2 que tem grau (ḿınimo) 3, que não é</p><p>potência de 2.</p><p>Questão 2 [2,5 pts]:</p><p>i) [1,5 pt] Na tabela a seguir complete as colunas e efetue o produto de 26 por 31 usando o</p><p>algoritmo de multiplicação dos antigos escribas eǵıpcios.</p><p>31 26</p><p>62 13 /</p><p>124</p><p>ii) [1,0 pt] Escreva a representação de 26 na base 2. Justifique sua resposta através do algoritmo</p><p>de multiplicação.</p><p>(Unidade 2 - Texto 3.2)</p><p>1/2</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 1/2011</p><p>Solução:</p><p>i) 31 26 0</p><p>(31× 2</p><p>1) 62 13 / 1</p><p>124 6 0</p><p>(31× 2</p><p>3) 248 3 / 1</p><p>(31× 2</p><p>4) 496 1 / 1</p><p>31× (24 + 23 + 21) = 31× 26.</p><p>ii) (11010)</p><p>2</p><p>pois 26 = 16 + 8 + 2 = (1× 24) + (1× 23) + (0× 22) + (1× 21) + (0× 20).</p><p>Questão 3 [3,0 pts]:</p><p>i) [2,0 pts] Prove que existe uma infinidade de números primos.</p><p>ii) [1,0 pt] Considere a lista 5, 7 e 11 de números primos. Obtenha novos números primos</p><p>utilizando a estratégia da demonstração do item (i).</p><p>(Unidade 4 - Texto 11.1)</p><p>Solução:</p><p>i) Dados p1, p2, . . . , pn números primos, considere o número p = (p1 × p2 × . . .× pn) + 1 que é</p><p>maior do que qualquer um dos pi.</p><p>Dáı, ou p é primo, e teremos um novo número primo (que não está na lista original) ou p tem</p><p>fatores primos que não estão listados.</p><p>Suponhamos então que algum primo listado originalmente seja um fator de p. Logo, esse</p><p>número dividirá (p1 × p2 × . . . × pn) + 1 e p1 × p2 × . . . × pn. Portanto, divide a diferença</p><p>entre eles, o que é absurdo, pois essa diferença é 1 e o menor número primo é o 2.</p><p>ii) (5 × 7 × 11) + 1 = 385 + 1 = 386 = 2 × 193. Vemos que 2 e 193 são dois primos que não</p><p>estão na lista dada.</p><p>Questão 4 [1,5 pt]: Utilize a substituição de Tartaglia (italiano - 1499 à 1557) para transformar</p><p>a equação de Fibonacci (italiano - ∼ 1175 à ∼ 1245) x3 + 2x2 + 10x = 20 na equação cúbica</p><p>comprimida y3 +</p><p>26</p><p>3</p><p>y =</p><p>704</p><p>27</p><p>.</p><p>(Unidade 5 - Texto 19)</p><p>Solução: Fazendo a substituição x = y −</p><p>2</p><p>3</p><p>na equação de Fibonacci temos:</p><p>(</p><p>y −</p><p>2</p><p>3</p><p>)3</p><p>+ 2</p><p>(</p><p>y −</p><p>2</p><p>3</p><p>)2</p><p>+ 10</p><p>(</p><p>y −</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>= 20,</p><p>que resulta na cúbica comprimida y3 +</p><p>26</p><p>3</p><p>y =</p><p>704</p><p>27</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2/2</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 2/2011</p><p>Questão 1 [2,5 pts]: Decomponha</p><p>19</p><p>20</p><p>como soma de frações unitárias distintas através do teorema</p><p>de Sylvester.</p><p>(EP1)</p><p>Solução:</p><p>19</p><p>20</p><p>→</p><p>20</p><p>19</p><p>≃ 1, 05 →</p><p>20</p><p>19</p><p>< 2 →</p><p>19</p><p>20</p><p>></p><p>1</p><p>2</p><p>19</p><p>20</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>19− 10</p><p>20</p><p>=</p><p>9</p><p>20</p><p>. Logo,</p><p>19</p><p>20</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>9</p><p>20</p><p>Seguindo o racioćınio desenvolvido na demonstração do teorema de Sylvester, obtem-se:</p><p>19</p><p>20</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>9</p><p>+</p><p>1</p><p>180</p><p>.</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: Mostre que 13 não é um número regular.</p><p>(EP1)</p><p>Solução:</p><p>1</p><p>13</p><p>=</p><p>1</p><p>13</p><p>×</p><p>60</p><p>60</p><p>=</p><p>60</p><p>13</p><p>60</p><p>=</p><p>4 + 8</p><p>13</p><p>60</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>8</p><p>13</p><p>× 60</p><p>60× 60</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>480</p><p>13</p><p>602</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36 + 12</p><p>13</p><p>602</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>12</p><p>13</p><p>× 60</p><p>602 × 60</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>720</p><p>13</p><p>603</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>55 + 5</p><p>13</p><p>603</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>55</p><p>603</p><p>+</p><p>5</p><p>13</p><p>× 60</p><p>603 × 60</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>55</p><p>603</p><p>+</p><p>300</p><p>13</p><p>604</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>55</p><p>603</p><p>+</p><p>23 + 1</p><p>13</p><p>604</p><p>=</p><p>4</p><p>60</p><p>+</p><p>36</p><p>602</p><p>+</p><p>55</p><p>603</p><p>+</p><p>23</p><p>604</p><p>+</p><p>1</p><p>13</p><p>× 60</p><p>605</p><p>Logo,</p><p>1</p><p>13</p><p>= 0.4, 36, 55, 23, 4, . . .</p><p>Questão 3 [2,5 pts]: Verifique pela Definição 5 do Livro V dos Elementos de Euclides que</p><p>√</p><p>5</p><p>3</p><p>√</p><p>2</p><p>=</p><p>√</p><p>10</p><p>6</p><p>.</p><p>(Unidade 3 - Texto 9)</p><p>Solução: Sejam m,n ∈ Z+.</p><p>Suponhamos que m</p><p>√</p><p>5 < n3</p><p>√</p><p>2. Dáı, m</p><p>√</p><p>5</p><p>√</p><p>2 < n3</p><p>√</p><p>2</p><p>√</p><p>2 (</p><p>√</p><p>2 > 0), isto é, m</p><p>√</p><p>10 < n6.</p><p>Suponhamos agora que m</p><p>√</p><p>5 > n3</p><p>√</p><p>2. Dáı, m</p><p>√</p><p>5</p><p>√</p><p>2 > n3</p><p>√</p><p>2</p><p>√</p><p>2, isto é, m</p><p>√</p><p>10 > n6.</p><p>1/2</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 2/2011</p><p>Questão 4 [2,5 pts]:</p><p>i) Enuncie o teorema que caracteriza o estudo de Omar Khayyan para a equação cúbica</p><p>x3 + ax2 + bx+ c = 0.</p><p>ii) Dê um exemplo aplicando este teorema.</p><p>(Unidade 5 - Texto 18.1)</p><p>Solução:</p><p>i) “O ponto (x, y) é solução de x3 + ax2 + bx + c = 0 e y = x2 se, e somente se, é solução</p><p>de (x+ a)(y + b) = ab− c e y = x2.”</p><p>ii) Para resolver a equação x3 − 2 = 0 (a = b = 0 e c = −2), Omar Khayyam considera a in-</p><p>terseção da parábola y = x2 e a hipérbole xy = 2 ((x+ 0)(y + 0) = 0× 0− (−2) ⇔ xy = 2).</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2/2</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 1/2012</p><p>Questão 1 [2,5 pts]: Mostre como Hipias resolveu o problema da trissecção do ângulo.</p><p>Solução: Veja a 1a questão do EP1.</p><p>Questão 2 [2,5 pts]: Faça uma demonstração do Teorema de Pitágoras.</p><p>Solução: Veja a Unidade 2 – Texto 5.3 do livro texto.</p><p>Questão 3 [2,0 pts]: Como Omar Khayyam resolve geometricamente a equação cúbica</p><p>x3 + 6x2 + x+ 2 = 0.</p><p>Solução: Através da interseção da parábola y = x2 com a hipérbole (x+ 6)(y + 1) = 4.</p><p>(Veja a Unidade 5 – Texto 18.1)</p><p>Questão 4 [3,0 pts]: Encontre a solução real da equação cúbica acima utilizando os métodos de</p><p>Tartaglia e Scipione dal Ferro.</p><p>Solução: Fazendo a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 temos:</p><p>y3 − 3y − 1 = 0.</p><p>Pelo método de dal Ferro, comA = −3 e B = −1, através do sistema</p><p>{</p><p>3st = −3 ⇔ s = −</p><p>1</p><p>t</p><p>(I)</p><p>s3 − t3 = −1 (II)</p><p>,</p><p>tendo em conta que y = s− t, vem, levando (I) em (II):</p><p>t6 − t3 − 1 = 0.</p><p>Considerando w = t3, temos w2 − w − 1 = 0. Logo, w =</p><p>1±</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>. Tomando a solução positiva</p><p>w =</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>,</p><p>y =</p><p>3</p><p>√</p><p>−1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>3</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>Finalmente,</p><p>x =</p><p>3</p><p>√</p><p>−1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>3</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>− 2</p><p>(solução real)</p><p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 1/2013</p><p>Questão 1 [2,0 pts]:</p><p>a) Escreva</p><p>58</p><p>87</p><p>e</p><p>5</p><p>8</p><p>como soma de frações unitárias distintas.</p><p>b) Use, obrigatoriamente, o ı́tem (a) para mostrar que</p><p>58</p><p>87</p><p>></p><p>5</p><p>8</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>58</p><p>87</p><p>Omenor inteiro maior do que</p><p>87</p><p>58</p><p>é 2. Assim,</p><p>87</p><p>58</p><p>< 2 ⇒ 58</p><p>87</p><p>></p><p>1</p><p>2</p><p>. Dáı,</p><p>58</p><p>87</p><p>−1</p><p>2</p><p>=</p><p>29</p><p>174</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>e</p><p>58</p><p>87</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>5</p><p>8</p><p>O menor inteiro maior do que</p><p>8</p><p>5</p><p>é 2. Assim,</p><p>8</p><p>5</p><p>< 2 ⇒ 5</p><p>8</p><p>></p><p>1</p><p>2</p><p>. Dáı,</p><p>5</p><p>8</p><p>− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>8</p><p>e</p><p>5</p><p>8</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>8</p><p>.</p><p>b) Como</p><p>1</p><p>6</p><p>></p><p>1</p><p>8</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>></p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>8</p><p>,</p><p>58</p><p>87</p><p>></p><p>5</p><p>8</p><p>.</p><p>Questão 2 [3,0 pts]: A expressão geral de um número figurado (m + 2)-agonal é m</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n</p><p>com m,n ∈ Z+. Assim, por exemplo, para m = 3, temos 3</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n que é a expressão geral de</p><p>um número (3 + 2)-agonal (→ número 5-agonal → número pentagonal).</p><p>i) Mostre utilizando a expressão acima que 45 é um número hexagonal.</p><p>ii) Representando Tn (respectivamente Qn) o n-ésimo número triangular (respectivamente o</p><p>n-ésimo número quadrado), mostre que Qn = Tn + Tn−1.</p><p>Solução:</p><p>i) Um número hexagonal é da forma 4</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n = 2(n2 − n) + n = 2n2 − n.</p><p>Dáı, 45 = 2n2 − n ⇔ 2n2 − n− 45 = 0 ⇔</p><p>{</p><p>n = 5 ou</p><p>n = −9</p><p>2</p><p>6= Z+</p><p>Assim, H5 = 45.</p><p>1/2</p><p>História da Matemática AP1 (GABARITO) 1/2013</p><p>ii) Tn + Tn−1 =</p><p>(</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>(n− 1)2 − (n− 1)</p><p>2</p><p>+ (n− 1)</p><p>)</p><p>=</p><p>n2 − n</p><p>2</p><p>+ n+</p><p>n2 − 2n+ 1− n + 1</p><p>2</p><p>+ n− 1</p><p>=</p><p>2n2 − 4n+ 2</p><p>2</p><p>+ 2n− 1 = n2 = Qn</p><p>Questão 3 [2,0 pts]: Dados dois números a e b inteiros positivos, a < b. Prove que</p><p>mG =</p><p>√</p><p>mA ·mH ,</p><p>onde mA, mH e mG são respectivamente a média aritmética, a média harmônica e a média</p><p>geométrica de a, b.</p><p>Solução: Como mA =</p><p>a + b</p><p>2</p><p>e mH =</p><p>2ab</p><p>a + b</p><p>, mA · mH =</p><p>a + b</p><p>2</p><p>· 2ab</p><p>a + b</p><p>= ab. Dáı, como</p><p>mG =</p><p>√</p><p>a · b, mG =</p><p>√</p><p>mA ·mH .</p><p>Questão 4 [2,0 pts]: Demonstre como Euclides que há uma infinidade de números primos.</p><p>Solução: Dados p1, . . . , pm números primos, considere o número p = (p1 × . . . × pm) + 1 que é</p><p>maior do que qualquer um dos pi, i = 1, . . . , m.</p><p>Ou p é primo, e teremos um primo que não está na lista original ou p tem fatores primos que não</p><p>estão listados.</p><p>A razão é a seguinte: se algum dos primos listados originalmente for um fator de p, esse número</p><p>dividiria a ambos os números (p1 × . . . × pm) + 1 e p1 × . . . × pm. Portanto, dividiria a diferença</p><p>entre eles, o que é um absurdo, pois essa diferença é 1 e o menor primo é o 2. Logo, p tem fatores</p><p>primos que não estão listados.</p><p>Questão 5 [1,0 pt]: Use a definição de Eudoxo para mostrar que 5 está para 2</p><p>√</p><p>3 assim como 5</p><p>√</p><p>3</p><p>está para 6.</p><p>Solução: Sejam m,n ∈ Z+.</p><p>i) Suponha m 5 < n 2</p><p>√</p><p>3. Dáı, m 5</p><p>√</p><p>3 < n 2</p><p>√</p><p>3</p><p>√</p><p>3 ⇔ m 5</p><p>√</p><p>3 < n 6</p><p>ii) Este caso não ocorre.</p><p>iii) Suponha m 5 > n 2</p><p>√</p><p>3. Dáı, com racioćınio análogo ao caso (i), m 5</p><p>√</p><p>3 > n 6.</p><p>Nos casos (i) e (iii) foram considerados as propriedades de ordem em R.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2/2</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Sup erior a Distância</p><p>1a Avaliação Presencial de História da Matemática – 2013-2</p><p>(gabarito)</p><p>Questão 1 [3,0 pts] – As civilizações da Babilônia e do Egito antigos deram grandes contribuições</p><p>para o desenvolvimento de uma álgebra elementar. A regra da falsa posição e o método babilônio de</p><p>cálculos aproximados de raízes quadradas são alguns dos exemplos dessas contribuições.</p><p>a) Resolva a equação , usando o método da falsa posição.</p><p>b) Calcule um valor aproximado para pelo método babilônio de extrair raízes quadradas,</p><p>utilizando para isso uma sequência de aproximações de quatro termos (x1, x2, x3, e x4)</p><p>Sugestão: onde R é o</p><p>número do qual se quer extrair a raiz quadrada deixar. Pode deixar o valor de x4 em forma de</p><p>fração.</p><p>Solução:</p><p>a) Para x = 3 tem-se . Assim, para que valor de x tem-se</p><p>3 --- 4</p><p>x --- 18 =></p><p>b) Utilizando o algoritmo, tem-se</p><p>R = 3, x1 = 1</p><p>Questão 2 [3 pts] – Na figura a seguir podemos observar alguns exemplos de números figurados:</p><p>Os números figurados formam uma sequência de números naturais. Por exemplo, os números</p><p>quadrados formam a seqüência Q1 = 12, Q2 = 22, Q3 = 32, Q4 = 42, Q5 = 52, ..., Qn = n2, .... Quer dizer,</p><p>Qn = n2 , n∈� (n > 0), é o termo geral da sequência de números quadrados (veja segunda linha da</p><p>tabela acima).</p><p>a) Determine uma expressão em função de n do termo geral da sequência de números</p><p>pentagonais Pn.</p><p>b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece destacada no triângulo</p><p>de Pascal da figura a seguir trata-se de uma sequência de números figurados. Determine o</p><p>centésimo elemento desta sequência.</p><p>c) Use a figura ao lado, para determinar a soma dos “n”</p><p>números ímpares iniciais, isto é:</p><p>1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = ?</p><p>(*) Neste item você deve encontrar e exibir uma expressão</p><p>sintética que fornece o resultado da soma Sn = 1 + 3 + 5 + ... +</p><p>(2n-1) em função de “n” e mostrar como usamos a figura para</p><p>chegar ao resultado.</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>Observe na figura acima que: P2 = 3T1 + 2, P3 = 3T2 + 3, P4 = 3T3 + 4, ...,</p><p>b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece destacada no triângulo</p><p>de Pascal da figura é a sequência de números triangulares .</p><p>Logo</p><p>c) Observe que:</p><p>1 = 12</p><p>1 + 3 = 22</p><p>1 + 3 + 5 = 32</p><p>1 + 3 + 5 + 7 = 42</p><p>1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2</p><p>Questão 3 [2,0 pts] – Zenão pretendia por meio dos seus paradoxos criticar tanto o uso das</p><p>quantidades infinitamente pequenas (infinitésimos) quanto o uso dos indivisíveis. Cite, com suas</p><p>palavras:</p><p>a) um paradoxo de Zenão que tenha sido usado para criticar o uso dos indivisíveis;</p><p>b) um paradoxo de Zenão que tenha sido usado para criticar o uso dos infinitésimos.</p><p>Solução:</p><p>a) Neste item o aluno poderá citar o paradoxo do Estádio ou o paradoxo da Flecha.</p><p>Neste último, por exemplo, ao supor que existe o elemento indivisível de tempo, Zenão</p><p>conclui que o movimento é impossível.</p><p>De fato, como a flecha não pode estar em dois lugares no mesmo instante, não pode se mover</p><p>nesse instante, se, por outro lado, está em repouso nesse instante, então, como o argumento se</p><p>aplica para outros instantes, ela não pode se mover de jeito nenhum.</p><p>Como sabemos que a flecha se move, o erro, para Zenão, encontra-se no uso dos elementos</p><p>indivisíveis.</p><p>b) Neste item o aluno poderá citar o paradoxo de Aquiles e a Tartaruga ou o paradoxo da</p><p>Dicotomia.</p><p>Neste último, por exemplo, ao supor que o espaço é subdividido infinitamente, Zenão conclui</p><p>que o movimento é impossível, pois para sairmos da extremidade A de um intervalo fechado</p><p>para chegar à outra extremidade B do intervalo, teremos que passar pelo ponto médio M1 de</p><p>AB, e daí, teremos que passar pelo ponto médio M2 de M1B, pelo ponto médio M4 de M3B,</p><p>ponto médio M2 de M1B, e assim, sucessivamente, ad infinitum... Ou seja, nunca chegaremos</p><p>ao ponto B.</p><p>Assim, a conclusão absurda de que não conseguimos traçar o segmento de reta AB, para</p><p>Zenão, deve-se ao processo de divisão ad infinitum, que está associado diretamente à</p><p>existência das quantidades infinitamente pequenas (infinitésimos).</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Encontre a solução real da equação cúbica x3 + 6x2 + 18x + 10 = 0 utilizando</p><p>os métodos de Tartaglia e Scipione dal Ferro. Para isso, realize as seguintes etapas:</p><p>a) Faça a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 para transformar a equação dada em uma</p><p>equação reduzida da forma y3 +Ay = B. Identifique os valores de A e B que você encontrou</p><p>na sua equação reduzida.</p><p>b) Considerando y = s – t e o sistema , encontre a solução real da equação</p><p>x3 + 6x2 + 18x + 10 = 0.</p><p>Solução:</p><p>a) Fazendo a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 tem-se:</p><p>(y − 2)3 + 6(y − 2)2 + 18(y − 2) + 10 = 0 =></p><p>y3 − 6y2 + 12y – 8 +6y2 – 24y + 24 + 18y – 36 + 10 = 0 =></p><p>y3 + 6y − 10 = 0 => y3 + 6y = 10.</p><p>A = 6 e B = 10.</p><p>b) Para usar o método de Scipione dal Ferro, consideramos y = s – t e resolvemos o sistema</p><p>Resolução do sistema</p><p>Substituindo na segunda equação tem-se</p><p>Fazendo outra substituição, , tem-se que w é solução da equação do segundo grau</p><p>Logo</p><p>Escolhendo a o valor positivo para w, isto é, , tem – se .</p><p>De , tem-se</p><p>Retornando á equação original...</p><p>y = s – t =</p><p>x = y – 2 =</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2014-1</p><p>(gabarito)</p><p>Questão 1 [3,0 pts] –</p><p>a) Divida 228 por 12, utilizando o algoritmo egípcio para a divisão.</p><p>b) Resolva o problema a seguir (problema 9 de uma tábua do período Hitita, 1.650 a 1.200 a.C.)</p><p>Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 GAR</p><p>abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita. A que distância da parede</p><p>está a sua parte de baixo?</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>|</p><p>|</p><p>|</p><p>|</p><p>12+24+192 = 228.</p><p>__________</p><p>1+2+16 = 19.</p><p>Logo, 228: 12 = 19.</p><p>b) Inicialmente devemos interpretar “perfeitamente direita” como perpendicular ao solo.</p><p>A figura 1 representa a situação inicial e a figura 2 a situação em que o topo da trave deslocou</p><p>verticalmente de 0,1 GAR.</p><p>Figura 1</p><p>Figura 2</p><p>Usando o Teorema de Pitágoras</p><p>(*)</p><p>, tem-se que a parte de baixo está a 0,3 GAR da parede</p><p>(*) Não se sabe se os egípcios tinham o conhecimento e uma demonstração do Teorema de Pitágoras.</p><p>Entretanto, eles tinham conhecimento da existência de alguns ternos pitagóricos: (3,4,5) era um deles.</p><p>Questão 2 [2,0 pts] – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base</p><p>60). Para representar os seus “algarismos” da base 60 usavam uma representação decimal:</p><p>para um para dez</p><p>Assim, o “algarismo” 25 era representado por</p><p>No entanto, em alguns registros, não usavam nenhum símbolo para separar a parte inteira da parte</p><p>fracionária do número. O numeral (1) (24) (51) (10) registrado na parte central do tablete babilônico</p><p>YBC 7289 (figura abaixo), por exemplo, representa um valor aproximado para a 2 na base 60.</p><p>Solução:</p><p>a) Determine a representação decimal de (1) (24) (51) (10)</p><p>(*)</p><p>.</p><p>√ ≈ 1 +</p><p>≈ 1+</p><p>= 1+</p><p>≈ 1 + 0,41421296296... ≈ 1, 41421296296...</p><p>b) Qual a relação que existe entre os três numerais indicados na figura? Tente decifrar o</p><p>enigma.</p><p>(*) Sugestão: como √ , temos que (1) corresponde a parte inteira do numeral</p><p>(1) (24) (51) (10).</p><p>Observe que o número 30 encontra-se próximo ao lado do quadrado.</p><p>Por outro lado, sabemos que a medida da diagonal do quadrado é dada por:</p><p>d = √ , onde l é a medida do lado do quadrado.</p><p>Assim, se fizermos o produto de (30) por (1) (24)(51)(10), quer dizer,</p><p>30 x (</p><p>) = 30 +</p><p>=</p><p>= 42 +</p><p>= 42 +</p><p>que é representado na base 60 por (42)(25)(35). Observe que este é o número que aparece logo</p><p>abaixo da diagonal, isto é, esse é o valor da medida da diagonal.</p><p>Questão 3 [2,5 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do</p><p>quadrado ABCD.</p><p>Responda:</p><p>a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis? Justifique sua resposta, fazendo uma</p><p>demonstração do fato.</p><p>b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?</p><p>c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em</p><p>relação ao menor.</p><p>Solução:</p><p>a) Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno impresso ou</p><p>o texto complementar.</p><p>Solução de b) e c) :</p><p>Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso:</p><p>̅̅ ̅̅</p><p>̅̅ ̅̅</p><p>=</p><p>isto é, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .</p><p>Questão 4 [2,5 pts] – Eis um problema e sua solução da obra de Al-Khwarizmi, “Al-Labr W´al</p><p>Muqabalah”:</p><p>“Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado? – A</p><p>solução é a seguinte: Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco. Isto é,</p><p>multiplicando por si mesmo – o produto será vinte e cinco. Adicione isto a trinta e nove e a</p><p>soma será sessenta e quatro. Tome então a raiz quadrada disto, que é igual a oito e subtraia</p><p>disto a metade do número de raízes, que é cinco. A diferença é três. Esta é a raiz do número</p><p>procurado – e o próprio quadrado é nove.”</p><p>a) Formule o problema e sua solução com a simbologia atual (na análise da solução, formule-a</p><p>passo a passo como no texto, indentificando-a com uma solução atual).</p><p>b) Faça um esboço do raciocínio geométrico utilizado por Al-Khwarismi.</p><p>Solução:</p><p>a) Observe que:</p><p>² 10 39 Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove</p><p>² ? Qual é o quadrado?</p><p>x x</p><p>x</p><p>  </p><p> </p><p>A partir daí, temos que:</p><p>10</p><p>5 Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco;</p><p>2</p><p>5 5 25 Multiplicando por si mesmo, o produto será vinte e cinco;</p><p>25 39 64 Adicioneisto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;</p><p>64 8 Tome entã</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>  o a raiz quadrada disto, que é igual a oito;</p><p>8 5 3 E subtraia disto a metade do número de raizes, que é cinco. A diferença é três;</p><p>3 Esta é a raiz do número procurado;</p><p>9 E o próprio quadrado é nove.</p><p>  </p><p></p><p></p><p>b) Imagine um quadrado com um lado desconhecido medindo x. Construa retângulos com área</p><p>medindo 5x e monte a figura em forma de L abaixo.</p><p>Pela equação, essa figura tem</p><p>área igual a 39.</p><p>Para completar o quadrado precisamos acrescentar o quadrado de área igual a 25.</p><p>Daí, . De onde obtem-se √</p><p>Logo</p><p>Adicione isto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2014-1</p><p>(gabarito)</p><p>Questão 1 [3,0 pts]</p><p>a) Multiplique, como os egípcios, 27 por 15, ou seja, tome 15 vezes o número 27.</p><p>b) Resolva a equação</p><p>, usando o método da falsa posição.</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>∖1 27</p><p>∖2 54</p><p>∖4 108</p><p>∖8 216</p><p>16 432</p><p>1 + 2 + 4 + 8 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 27 + 54 + 108 + 216 = 405.</p><p>Uma maneira mais rápida de resolve este problema, também usada peloas egípcios, é a seguinte:</p><p>1 27</p><p>∖10 270</p><p>∖5 135</p><p>Da segunda para terceira linha, os números de cada coluna foram divididos por 2, então:</p><p>10+ 5 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 270 +135 = 405.</p><p>b)</p><p>Assim como o escriba, vamos “evitar” as frações 1/3 e 1/7 simultaneamente.</p><p>Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um múltiplo</p><p>comum de 3 e 7, por exemplo: o m.m.c.(3,7) = 21 .</p><p>Substituindo na equação a posição inicial (21) temos:</p><p>21(1/3) + 21(1/7) = 7 + 3 = 10 (*)</p><p>Como o resultado esperado é 50 o resultado que obtivemos em (*) deve ser multiplicado por 5 para</p><p>obtermos 50.</p><p>Sendo assim: x = = 105.</p><p>Questão 2 [2,5 pts] – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base</p><p>60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2,</p><p>..., 59. Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a</p><p>parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Por exemplo: o número 15x60</p><p>2</p><p>+ 7x60</p><p>0</p><p>+26x60</p><p>-1</p><p>+ 51x60</p><p>-2</p><p>será representado por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51.</p><p>a) Complete a tabela com o produto dos números indicados na primeira linha e na primeira coluna.</p><p>x 1,0 24,0 51,0 10,0</p><p>24,0 4 ; 0 , 0</p><p>30,0 30 , 0</p><p>b) No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram o diagonal de um quadrado de lado medindo</p><p>(0,30) como sendo o produto de (0,30) por (1 , 24 ; 51 ; 10). Determine a medida da diagonal,</p><p>isto é, calcule (0,30) x (1 , 24 ; 51 ; 10). (indique o resultado usando a representação</p><p>sexagesimal).</p><p>Solução:</p><p>a) Complete a tabela com o produto dos números indicados na primeira linha ena primeira coluna.</p><p>24,0 x 1,0 = 24,0</p><p>24,0 x 24,0 = 576 = 9 x 60 + 36 = 9 ; 36 , 0</p><p>24,0 x 51,0 = 1224 = 20 x 60 + 24 = 20 ; 24 , 0</p><p>30,0 x 24,0 = 720 = 12 x 60 = 12 ; 0 , 0</p><p>30,0 x 51,0 = 1530 = 25 x 60 + 30 = 25 ; 30 , 0</p><p>30,0 x 10,0 = 300 = 5 x 60 = 5 ; 0 , 0</p><p>x 1,0 24,0 51,0 10,0</p><p>24,0 24,0 9 ; 36 , 0 20 ; 24 , 0 4 ; 0 , 0</p><p>30,0 30,0 12 ; 0 , 0 25 ; 30 , 0 5 ; 0 , 0</p><p>b) (0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10)</p><p>x (</p><p>) =</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>0 , 42 ; 25 ; 35</p><p>Questão 3 [2,5 pts] – Em Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália,</p><p>Pitágoras, nascido por volta de 572 a.C., fundou a famosa escola pitagórica</p><p>voltada ao estudo de filosofia, matemática e ciências naturais. Os pitagóricos</p><p>foram os responsáveis por um dos momentos mais críticos da matemática: a</p><p>prova de que há segmentos não comensuráveis. Tal fato foi verificado no</p><p>problema que estabelece uma comparação entre o lado do quadrado e sua</p><p>diagonal. Considere o quadrado ABCD. Seja BC a diagonal e AB um dos lados</p><p>do quadrado. Demonstre que</p><p>̅̅ ̅̅</p><p>̅̅ ̅̅</p><p>não pode ser um número racional.</p><p>Solução:</p><p>Suponhamos, inicialmente, como os gregos, que existia uma subunidade u suficientemente pequena</p><p>de tal modo que ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅</p><p>Logo ̅̅ ̅̅</p><p>̅̅ ̅̅ .</p><p>Como o triângulo ABC é retângulo e isósceles, temos que:</p><p>̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .</p><p>Substituindo agora o valor de BC na equação acima, temos:</p><p>̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⇒</p><p>⇒</p><p>Isto é, m</p><p>2</p><p>é par.</p><p>Se m</p><p>2</p><p>é par, então m é par.</p><p>Logo m = 2k, k um número inteiro. Mas como</p><p>é irredutível, temos que n é ímpar.</p><p>No entanto, ao substituir m = 2k, pode-se observar</p><p>(2k)</p><p>2</p><p>= ⇒ ⇒ ⇒ é par ⇒ .</p><p>Assim, n deve ser simultaneamente par e impar. O que é um absurdo!</p><p>Através do dilema de Pitágoras surgem neste contexto os segmentos incomensuráveis. A diagonal do</p><p>quadrado unitário e um de seus lados são segmentos incomensuráveis: isto é, não existe razão</p><p>irredutível</p><p>que expresse sua medida.</p><p>Tal fato é consequência da prova anterior e foi desse modo que surgiu o número irracional √ .</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Encontre a solução real da equação cúbica x</p><p>3</p><p>+ 6x</p><p>2</p><p>+ 18x + 10 = 0 utilizando</p><p>os métodos de Tartaglia e Scipione dal Ferro. Para isso, realize as seguintes etapas:</p><p>a) Faça a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 para transformar a equação dada em uma</p><p>equação reduzida da forma y</p><p>3</p><p>+Ay = B. Identifique os valores de A e B que você</p><p>encontrou na sua equação reduzida.</p><p>b) Considerando y = s – t e o sistema {</p><p>, encontre a solução real da equação</p><p>x</p><p>3</p><p>+ 6x</p><p>2</p><p>+ 18x + 10 = 0.</p><p>Solução:</p><p>a) Fazendo a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 tem-se:</p><p>(y − 2)</p><p>3</p><p>+ 6(y − 2)</p><p>2</p><p>+ 18(y − 2) + 10 = 0 =></p><p>y3 − 6y</p><p>2</p><p>+ 12y – 8 +6y</p><p>2</p><p>– 24y + 24 + 18y – 36 + 10 = 0 =></p><p>y3 + 6y − 10 = 0 => y3 + 6y = 10.</p><p>A = 6 e B = 10.</p><p>b) Para usar o método de Scipione dal Ferro, consideramos y = s – t e resolvemos o sistema</p><p>{</p><p>Resolução do sistema</p><p>Substituindo</p><p>na segunda equação tem-se</p><p>(</p><p>)</p><p>Fazendo outra substituição, , tem-se que w é solução da equação do segundo grau</p><p>Logo</p><p>√</p><p>√</p><p>Escolhendo a o valor positivo para w, isto é, √ , tem – se √ √</p><p>.</p><p>De , tem-se</p><p>( √ )</p><p>√</p><p>√</p><p>√ √</p><p>Retornando á equação original...</p><p>y = s – t = √ √</p><p>√ √</p><p>x = y – 2 = √ √</p><p>√ √</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2015-1</p><p>(gabarito)</p><p>Questão 1 [3,0 pts]</p><p>a) [1,5 pt] Multiplique, como os egípcios, 27 por 15, ou seja, tome 15 vezes o número 27</p><p>b) [1,5 pt] Usando o método da falsa posição equacione (isto é, determine a equação que modela o</p><p>problema) e resolva o Problema 24 do Papiro de Rhind:</p><p>“Encontrar um número que, aumentado de sua sétima parte, dá 19.”</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>∖1 27</p><p>∖2 54</p><p>∖4 108</p><p>∖8 216</p><p>16 432</p><p>1 + 2 + 4 + 8 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 27 + 54 + 108 + 216 = 405.</p><p>Uma maneira mais rápida de resolve este problema, também usada peloas egípcios, é a seguinte:</p><p>1 27</p><p>∖10 270</p><p>∖5 135</p><p>Da segunda para terceira linha, os números de cada coluna foram divididos por 2, então:</p><p>10+ 5 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 270 +135 = 405.</p><p>b) Eis a equação:</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>= 19.</p><p>O calculador egípcio pega inicialmente número 7 aumentado de sua sétima parte, isto é, 1. O que dá</p><p>8. Agora ele precisa encontrar um número que seja para 19 o que 7 é para 8. Isto caracteriza uma</p><p>proporção onde um dos quatros termos não é conhecido (</p><p>19</p><p>x</p><p>=</p><p>8</p><p>7</p><p>) (método da falsa posição).</p><p>Logo x =</p><p>133</p><p>8</p><p>.</p><p>Questão 2: [2,0 pts] - Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base</p><p>60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2,</p><p>..., 59. Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para</p><p>separar a</p><p>parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal).</p><p>Por exemplo: o número 15x60</p><p>2</p><p>+ 7x60</p><p>0</p><p>+26x60</p><p>-1</p><p>+ 51x60</p><p>-2</p><p>será representado por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51.</p><p>a) [1,0 pt] Verifique, trabalhando no sistema sexagesimal dos babilônios, que o produto de 37;28 por</p><p>19 é igual a 11;51;52.</p><p>b) Determine os valores das expressões a seguir, usando a notação apresentada acima:</p><p>b.1) [0,5 pt] 48;32 ⨯ 3,2 =</p><p>b.2) [0,5 pt] 2;1;1 – 1;2;2 =</p><p>Solução:</p><p>a) Em primeiro lugar, resolvemos o problema utilizando as propriedades comutativa e associativa do</p><p>sistema de numeração sexagesimal.</p><p>Temos que</p><p>37;28 = 37 ⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 28 ⨯ 60</p><p>0</p><p>.</p><p>19 = 19 ⨯ 60</p><p>0</p><p>.</p><p>Então,</p><p>37;28 ⨯ 19 = (37 ⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 28 ⨯ 60</p><p>0</p><p>) ⨯ 19 ⨯ 60</p><p>0</p><p>.</p><p>(37 ⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 28 ⨯ 60</p><p>0</p><p>) ⨯ (19 ⨯ 60</p><p>0</p><p>) =</p><p>= (28 ⨯ 60</p><p>0</p><p>) ⨯ (19 ⨯ 60</p><p>0</p><p>) + (37 ⨯ 60</p><p>1</p><p>) ⨯ (19 ⨯ 60</p><p>0</p><p>)=</p><p>= (28 ⨯ 19 ) ⨯ 60</p><p>0</p><p>+ (37 ⨯ 19) ⨯ 60</p><p>1</p><p>=</p><p>= 532 ⨯ 60</p><p>0</p><p>+ 703 ⨯ 60</p><p>1</p><p>=</p><p>= (8 ⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 52) ⨯ 60</p><p>0</p><p>+ (11 ⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 43) ⨯ 60</p><p>1</p><p>=</p><p>= 8 ⨯60</p><p>1</p><p>⨯ 60</p><p>0</p><p>+ 52 ⨯ 60</p><p>0</p><p>+ 11 ⨯ 60</p><p>1</p><p>⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 43 ⨯ 60</p><p>1</p><p>.</p><p>Agrupando em relação às potências decrescentes de 60, temos:</p><p>37;28 ⨯ 19 = 11 ⨯ 60</p><p>2</p><p>+ 51 ⨯ 60</p><p>1</p><p>+ 52 ⨯ 60</p><p>0</p><p>= 11;51;52.</p><p>Exatamente como no caso do sistema decimal, podemos dispor estes cálculos no seguinte algoritmo,</p><p>que nos evita ter que utilizar explicitamente as propriedades associativa e comutativa do produto. Ele</p><p>reduz o cálculo a uma operação mecânica sem complicações.</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>vão</p><p>11</p><p>vão</p><p>8</p><p>37 28</p><p>19</p><p>11 51 52</p><p>Obs: 28 x 19 = 532 = 8 x 60 + 52 (dá 52 e vão “8” grupos de 60)</p><p>37 x 19 = 703 = 11 x 60 + 43 (dá 43 e vão “11” grupos de 60</p><p>2</p><p>);</p><p>Em 43 grupos de 60 temos que somar ainda “8” grupos de 60, resultando em 51 grupos de 60.</p><p>b.1)</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>60</p><p>-1</p><p>48 32</p><p>3 2</p><p>1 37 4</p><p>2 25 36</p><p>2 27 13 4</p><p>Obs: para simplificar omitiremos a potência 60</p><p>0</p><p>(60</p><p>0</p><p>=1)</p><p>(48x60 + 32) x (3+2x60</p><p>-1</p><p>) = (48x60 + 32) x (2x60</p><p>-1</p><p>) + (48x60 + 32) x (3)</p><p>(48x60 + 32) x (2x60</p><p>-1</p><p>)</p><p>(32) x (2x60</p><p>-1</p><p>) = 64 x 60</p><p>-1</p><p>= (60+4) x 60</p><p>-1</p><p>= 1 +4x 60</p><p>-1</p><p>(isto é, 4 e vai um grupo de 60</p><p>0</p><p>)</p><p>(48x60) x (2x60</p><p>-1</p><p>) = 96... temos que somar ainda o “1” que foi ... = 97 = 1x60 + 37</p><p>Este produto parcial dá 1x60 + 37 + 4x60</p><p>-1</p><p>(I)</p><p>(48x60 + 32) x (3)</p><p>32x3 = 96 = 1x60 +36 (isto é, 36, e vai “1” grupo de 60)</p><p>(48x60) x (3) = 144x60... temos que somar ainda o “1” grupo de 60 que foi ... = 145x60 =</p><p>(2x60+25)x60 = 2x60</p><p>2</p><p>+25x60 (isto é, 25, e vão “2” grupos de 60</p><p>2</p><p>)</p><p>Este produto parcial dá 2x60</p><p>2</p><p>+25x60+36 (II)</p><p>Para finalizar a propriedade distributiva precisamos fazer (I) + (II)</p><p>1;37,4 +2;25;36</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>60</p><p>-1</p><p>vai</p><p>1</p><p>1 37 4</p><p>2 25 36</p><p>2 27 13 4</p><p>b.2)</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>2 1 1</p><p>1 2 2</p><p>Obs.: Usaremos aqui a técnica do “pedir emprestado”... neste caso, quando pedimos “1” emprestado</p><p>d ordem seguinte “vem 60”. Como de 1 não podemos tirar 2, precisaremos emprestado. Observe</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>2 0 61</p><p>1 2 2</p><p>59</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>1 60 61</p><p>1 2 2</p><p>58 59</p><p>60</p><p>2</p><p>60</p><p>1</p><p>60</p><p>0</p><p>1 60 61</p><p>1 2 2</p><p>0 58 59</p><p>2;1;1 – 1;2;2 = 2;0;61 – 1;2;2 = 1;60;61 – 1;2;2 = 0;58;59</p><p>Questão 3 [3,0 pontos]: Os gregos desenvolveram os conceitos de média aritmética, média</p><p>geométrica e média harmônica a partir do estudo de propriedades das proporções:</p><p>i. média aritmética - dados os números a e c, a média aritmética é o número b que satisfaz a</p><p>seguinte proporção:</p><p>a−b</p><p>b−c</p><p>=</p><p>a</p><p>a</p><p>ii. média geométrica - dados os números a e c, a média geométrica é o número b que satisfaz a</p><p>seguinte proporção:</p><p>a−b</p><p>b−c</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>iii. média harmônica - dados os números a e c, a média harmônica é o número b que satisfazia a</p><p>seguinte proporção:</p><p>a−b</p><p>b−c</p><p>=</p><p>a</p><p>c</p><p>Assim, com base nas definições acima, mostre:</p><p>a) [0,5 pt] que a média aritmética b entre os números a e c é dada por b =</p><p>a+c</p><p>2</p><p>;</p><p>b) [0,5 pt] que a média geométrica b entre os números a e c é dada por b = √ac ;</p><p>c) [0,5 pt] que a média harmônica b entre os números a e c é dada por b =</p><p>2ac</p><p>a+c</p><p>.</p><p>d) [1,5 pt] No semicírculo abaixo, O é o centro e DB é perpendicular ao diâmetro AC. Identifique na</p><p>figura os segmentos cujas medidas representam as médias aritmética, geométrica e harmônica das</p><p>medidas dos segmentos AB e BC. Justifique sua resposta.</p><p>Solução:</p><p>a) de</p><p>a−b</p><p>b−c</p><p>=</p><p>a</p><p>a</p><p>, deduz-se a - b = b – c => 2b = a + c => b =</p><p>a+c</p><p>2</p><p>.</p><p>b) de</p><p>a−b</p><p>b−c</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>, deduz-se ab – b² = ab – ac, e consequentemente ac = b² => b = √ac .</p><p>c) de</p><p>a−b</p><p>b−c</p><p>=</p><p>a</p><p>c</p><p>deduz-se ab – ac = ac – bc, e consequentemente 2ac = b(a+c) => b =</p><p>2ac</p><p>a+c</p><p>d)</p><p>Considere a=m(AB) e c=m(BC).</p><p>Média aritmética</p><p>2.m(AO) = m(AB)+m(BC) = a+c => m(AO) = [m(AB)+m(BC)]/2, isto é, m(AO) é a média aritmética</p><p>de AB e BC;</p><p>Média geométrica</p><p>Observe que o triângulo ACD é retângulo em D e DB é sua altura relativa à hipotenusa AC. Logo,</p><p>[m(DB)]</p><p>2</p><p>= [m(AB)].[m(AC)] = a.c => [m(DB)] = (a.c)</p><p>1/2</p><p>; isto é, m(DB) é a média geométrica de AB</p><p>e BC;</p><p>Média harmônica</p><p>Observe que os triângulos ODB e EDB são semelhantes. Logo</p><p>𝑚(𝐷𝐸)</p><p>𝑚(𝐷𝐵)</p><p>=</p><p>𝑚(𝐷𝐵)</p><p>𝑚(𝑂𝐷)</p><p>=> 𝑚(𝐷𝐸) =</p><p>[𝑚(𝐷𝐵)]2</p><p>𝑚(𝑂𝐷)</p><p>=</p><p>𝑎𝑐</p><p>𝑎 + 𝑐</p><p>2</p><p>=</p><p>2𝑎𝑐</p><p>𝑎 + 𝑐</p><p>;</p><p>isto é, m(DE) é a média harmônica de AB e BC.</p><p>Questão 4 [2,0 pts] – Eis um problema e sua solução da obra de Al-Khwarizmi, “Al-Labr W´al</p><p>Muqabalah”:</p><p>“Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado? – A</p><p>solução é a seguinte: Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco. Isto é,</p><p>multiplicando por si mesmo – o produto será vinte e cinco. Adicione isto a trinta e nove e a</p><p>soma será sessenta e quatro. Tome então a raiz quadrada disto, que é igual a oito e subtraia</p><p>disto a metade do número de raízes, que é cinco. A diferença é três. Esta é a raiz do número</p><p>procurado – e o próprio quadrado é nove.”</p><p>a) [1,5 pt] Formule o problema e sua solução com a simbologia atual (na análise da solução,</p><p>formule-a passo a passo como no texto, indentificando-a com uma solução atual).</p><p>b) [0,5 pt] Faça um esboço do raciocínio geométrico utilizado por Al-Khwarismi.</p><p>Solução:</p><p>a) Observe que:</p><p>² 10 39 Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove</p><p>² ? Qual é o quadrado?</p><p>x x</p><p>x</p><p>  </p><p> </p><p>A partir daí, temos que:</p><p>10</p><p>5 Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco;</p><p>2</p><p>5 5 25 Multiplicando por si mesmo, o produto será vinte e cinco;</p><p>25 39 64 Adicioneisto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;</p><p>64 8 Tome entã</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>  o a raiz quadrada disto, que é igual a oito;</p><p>8 5 3 E subtraia disto a metade do número de raizes, que é cinco. A diferença é três;</p><p>3 Esta é a raiz do número procurado;</p><p>9 E o próprio quadrado é nove.</p><p>  </p><p></p><p></p><p>b) Imagine um quadrado com um lado desconhecido medindo x. Construa retângulos com área</p><p>medindo 5x e monte a figura em forma de L abaixo.</p><p>Pela equação, essa figura tem área igual a 39.</p><p>Para completar o quadrado precisamos acrescentar o quadrado de área igual a 25.</p><p>Daí, (𝑥 + 5)2 = 64 . De onde obtem-se 𝑥 + 5 = √64 = 8.</p><p>Logo 𝑥 = 8 − 5 = 3.</p><p>Um abraço fraterno,</p><p>Prof. Wanderley.</p><p>Adicione isto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;</p><p>Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância</p><p>1</p><p>a</p><p>Avaliação Presencial de História da Matemática – 2015-2</p><p>(gabarito)</p><p>Questão 1 [2,5 pts] – A civilização egípcia é uma das mais antigas do</p><p>nosso planeta. Os itens a seguir versam sobre duas contribuições (uma</p><p>aritmética outra algébrica) desta civilização.</p><p>a) [1,0 pt] Multiplique, como os egípcios, 33 por 18.</p><p>b) [1,5 pt] Resolva o seguinte problema do papiro de Ahmes, usando o método da falsa posição:</p><p>Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade?</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>∖1 33</p>