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<p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 1</p><p>Capítulo 5 – Integral</p><p>1. Integral Indefinida</p><p>Em estudos anteriores resolvemos o problema:</p><p>Dada uma função �, determinar a função derivada �′.</p><p>Desejamos agora estudar o problema inverso:</p><p>Dada uma função �, determinar uma função � tal que ��(�) = �(�), ou</p><p>seja, desejamos fazer a operação inversa da derivada.</p><p>Exemplo:</p><p>Encontre a antiderivada de �(�) = 2�.</p><p>Queremos encontrar uma função tal que sua derivada seja igual a 2�</p><p>- se �(�) = �� �� ã� ��(�) = 2� = �(�)</p><p>��� �(�) é primitiva de �</p><p>- se �(�) = �� + � �� ã� ��(�) = 2� = �(�)</p><p>��� �(�) é primitiva de �</p><p>- se �(�) = �� + √3 �� ã� ��(�) = 2� = �(�)</p><p>��� �(�) é primitiva de �</p><p>Na verdade, há uma infinidade de funções cuja derivada é 2 �. Assim, a</p><p>antiderivada de �(�) = 2� é uma família de funções que pode ser</p><p>representada pela equação: �(�) = �� + �, onde � é uma constante</p><p>�(�) = �(�) + � , ��$� � é &'</p><p>(��)</p><p>� �</p><p>Teorema</p><p>Seja �(�) uma antiderivada de � num intervalo *. Se �(�) é outra</p><p>antiderivada de �, então:</p><p>Definição</p><p>Uma função � será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma</p><p>função � num intervalo I se: ��(�) = �(�), para todo � ∈ I.</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 2</p><p>O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é</p><p>chamado antidiferenciação ou integração indefinida. Para indicar que a</p><p>operação de integração deve ser executada sobre uma função �, usamos a</p><p>notação: ,�(�) $� = �(�) + �</p><p>o que nos diz que a integral indefinida de �(�) é a família de funções dada</p><p>por �(�) + �, onde ��(�) = �(�).</p><p>O sinal ∫ é chamado de sinal de integração, a função � a ser integrada é</p><p>chamada de integrando e a diferencial de �, $�, lembra-nos que a operação</p><p>é executada com respeito à variável independente �. A constante � é</p><p>chamada de constante de integração.</p><p>Uma vez que integração indefinida e diferenciação são processos inversos</p><p>tem-se:</p><p>,� �(�) $� = �(�) � $$� , �(�) $� = �(�)</p><p>2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas</p><p>Usando a propriedade das funções inversas integração indefinida e</p><p>diferenciação, podemos, a partir de qualquer fórmula de derivada</p><p>conhecida, obter uma fórmula correspondente de integral indefinida a qual</p><p>chamamos de integral imediata. �(�) � �(�) ,� �(�) $� = �(�) + �</p><p>� 1 ,$� = � + �</p><p>/012345</p><p>com � ≠ −1</p><p>�3</p><p>,�3 $� = �345� + 1 + �</p><p>/ln(</p><p>)</p><p>com</p><p>> 0 �</p><p>≠ 1</p><p>/ ,</p><p>/ $� =</p><p>/ln(</p><p>) + �</p><p>�/ �/ ,�/ $� = �/ + �</p><p>)��(�) (�)(�) ,(�)(�) $� = )��(�) + �</p><p>−(�)(�) )��(�) , )��(�) $� = −(�)(�) + �</p><p>�(�) )�(�(�) , )�(�(�)$� =</p><p>�(�) + �</p><p>ln(|�|) 1�</p><p>,1� $� = ln(|�|) + � � ≠ 0</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 3</p><p>Exemplos:</p><p>1) ,�=$� = �=455 + 1 = �?6 + �</p><p>2) ,A�= $� = �=�4552 + 1 = �B/�7/2 = 27 �B/� + �</p><p>3) ,(3�)E $ = (3�)Eln(3�) + �</p><p>4) , 1√G�H $G = ,GI�J $G = 3 G5J + � = 3 √GH + �</p><p>3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas</p><p>Exemplos:</p><p>1) ,(5 �J + 2 cos(�)) $� = ,5 �J $� + ,2cos(�) $�</p><p>= 5, �J $� + 2,cos(�) $� = 5 N�O4 + �5P + 2 ()��(�) + ��) =</p><p>= 54 �O + 2 )��(�) + 5�5 + 2�� = = 54�O + 2 )��(�) + �</p><p>= 54 �O + 2 )��(�) + � ��$� � = 5�5 + 2��</p><p>2) ,Q8 J − 6√ + 1 JS $ = ,(8 J) $ + ,T−6√ U $ + ,Q 1 JS $ =</p><p>= 8, J $ − 6 , 5/� $ + , IJ $ =</p><p>= 8 N O4 + �5P − 6 V</p><p>J�32 + ��W+ N I�−2 + �JP =</p><p>= 2 O − 4 J/� − 12 � + (8�5 − 6�� + �J) = 2 O − 4 J/� − 12 � + �</p><p>1) ,X . �(�)$� = X . ,�(�) $� X = (��)</p><p>� �</p><p>2) ,Y �(�) ± �(�)[ $� = ,�(�) $� ± ,�(�) $�</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 4</p><p>3) , (&� − 1)�&� $& = ,N&O − 2&� + 1&� P $& = ,Q&� − 2 + 1&�S$& =</p><p>= ,&�$& −,2$& +, 1&� $& = ,&�$& − 2,$& +,&I� $& =</p><p>= &J3 − 2& + &I5(−1) + � = &J3 − 2& − 1& + �</p><p>4. Técnicas de Integração: Método da Substituição</p><p>Seja � uma função composta na forma �T�(�)U e primitiva de �, ou seja, �� = �. Uma vez que antiderivação e diferenciação são processos inversos</p><p>tem-se:</p><p>,\�T�(�)U]�$� = �T�(�)U + �</p><p>Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se:</p><p>,\�T�(�)U]′ $� = ,�′T�(�)U. �′(�) $� = �T�(�)U+ �</p><p>Como � é uma primitiva de � tem-se que �′T�(�)U = �T�(�)U, então:</p><p>,\�T�(�)U]′ $� = ,�T�(�)U. �′(�) = �T�(�)U + �</p><p>Diretrizes para o método da substituição:</p><p>1) Decidir por uma substituição favorável & = �(�).</p><p>2) Calcular a diferencial $& = ��(�) $�.</p><p>3) Transformar o integrando apenas em função de &.</p><p>4) Calcular a antiderivada envolvendo &.</p><p>5) Substituir & por �(�) na antiderivada. O resultado deve conter apenas a</p><p>variável �.</p><p>,�(�(�)).��(�)$� = �T�(�)U+ �</p><p>�</p><p>^��$�</p><p>)&_) � &�çã�: b & = �(�)$& = ��(�)$�</p><p>,�(&) $& = �(&) + �</p><p>Método da Substituição</p><p>c�d</p><p>� &'</p><p>e��'� ��</p><p>$� �, �� = �, �� ã�</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 5</p><p>Exemplos:</p><p>Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo:</p><p>1), )��(2 )$</p><p>f & = 2 $& = 2 $ ∴ $ = $&2</p><p>,)��(&) 2 $& = 12, )��(&)$& = −12 cos(&) + � = −12 cos(2 ) + �</p><p>2), �Oh $G</p><p>f & = 4G $& = 4 $G ∴ $G = $&4</p><p>,�i 4 $& = 14,�i $& = 14 . �iln(�) + � = �Oh4 ln(�) + �</p><p>3),√3� + 4 $�</p><p>f& = 3� + 4$& = 3$� ∴ $� = $&3</p><p>,√&3 $& = 13,&5/� $& = 13 V&J �⁄32 W = 29A&J + � = 29A(3� + 4)J + �</p><p>4), � (�)(��) $�</p><p>b & = ��$& = 2�$� ∴ �$� = $&2</p><p>, (�)(��) � $� = ,cos(&) Q$&2 S = 12,cos(&) $& =</p><p>= 12 )��(&) + � = 12 )��(��) + �</p><p>5), ��. )�� N�J� P $�</p><p>l & = �J�$& = 3� ��$� ∴ ��$� =</p><p>�3 $&</p><p>,)��(&) �3 $& = �3 ,)��(&)$& = −�3 (�)(&) + � = −�3 (�) N�J� P + �</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 6</p><p>6), m√7 + 1no5pn� $n</p><p>b& = √7 + nI5$& = −nI� $n ∴ $nn� = −$& →</p><p>,−&5p$& = −,&5p $& = −&5511 + � = −m√7 + 1no</p><p>55</p><p>11 + �</p><p>7), 2 − 2 �− 2 $ b & = �− 2 $& = (2 − 2)$ ∴ $ = $&2 − 2 → ,1& $& = ln(|&|) + � = ln(| �− 2 |) + �</p><p>8), (� �(�) $� = , cos(�))��(�) $�</p><p>f & = )��(�)$& = cos(�) $� ∴ $� = $&cos (�) →</p><p>,cos(�)& $&cos (�) = , 1& $& = ln(|&|) + � = ln(|)��(�)|) + �</p><p>9), cos(�J − 2�) (3��− 2) �rs3T/HI�/U $�</p><p>b & = )��(�J − 2�)$& = cos(�J− 2�) (3�� − 2) ∴ $ = $&2 − 2 →</p><p>, �rs3T/HI�/U Ycos(�J − 2�) (3��− 2) $�[ = ,�i $& = �i + � =</p><p>= �rs3T/HI�/U + �</p><p>10) ,2� + 53� − 1$�</p><p>f& = 3� − 1$� = 3$� ∴ $� = $&3 → & = 3� − 1 ∴ � = & + 13</p><p>,2m& + 13 o+ 5& $&3 = , 2& + 2 + 153& $&3 = ,2& + 179& $& = ,2&9& $& + ,179& $&</p><p>= 29,$& + 179 ,1& $& = 29& + 179</p><p>�|&| + � =</p><p>= 29 (3� − 1) + 179</p><p>�|3� − 1| + �</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 7</p><p>5. Técnicas de Integração: Integração por Partes</p><p>Se �(�) e �(�) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto:</p><p>T�(�). �(�)U� = � �(�).�(�) + �(�). ��(�)</p><p>Integrando ambos os lados:</p><p>,T�(�) �(�)U′′ $� = , � ′(�) �(�) $� + ,�(�) �′(�) $�</p><p>�(�) �(�) = ,� ′(�) �(�) $� + ,�(�) �′(�) $�</p><p>,�(�) �′(�)$� = �(�) �(�) − ,�(�) � ′(�)$�</p><p>Esta fórmula expressa a integral ∫& $� em função de outra integral, ∫ � $&.</p><p>Escolhendo adequadamente & e $� pode ser mais fácil calcular a 2ª integral</p><p>do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para & e para $�,</p><p>em geral pretendemos que $� seja o fator do integrando mais complicado</p><p>que se sabia integrar.</p><p>Exemplos: Calcule as integrais indicadas</p><p>1) ,� )��(�)$�</p><p>u</p><p>& = �$& = $� l</p><p>$� = )��(�)$�∫ $� = ∫)��(�)$� � = −cos(�)</p><p>,& $� = & � − , � $&</p><p>,� )��(�) $� = −�. (�)(�) − ,−(�)(�) $� = −�. (�)(�) + , (�)(�) $� =</p><p>= −� cos(�) + )��(�) + �</p><p>c� & = �(�) � � = �(�) )ã� �&�çõ�) $������(�á���), �� ã�</p><p>,�(�) ��(�)$� = �(�) �(�) −,�(�) ��(�)$�</p><p>& = �(�) → $& = � ′(�)$�� = �(�) → $� = �′(�)$� → , & $� = &. � − ,� $&</p><p>Integração por Partes</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 8</p><p>2), �. 5x $�</p><p>u & = �$& = $� l</p><p>$� = 5x$� ∫$� = ∫5x$� � = 5xln(5)</p><p>,& $� = & � − , � $&</p><p>,�. 5x $� = �. 5xln(5) − , 5xln(5) $� = �. 5xln(5) − 1ln(5) .,5x $� =</p><p>�. 5xln(5) − 1ln(5) . 5xln(5) + � = 5xln(5) Q� − 1ln(5)S + � = 5x(�.</p><p>�(5) − 1)ln�(5) + �</p><p>3) ,�. �x� $�</p><p>u & = �$& = $� yz{</p><p>z| $� = �x �} $�, $� = ,�x �} $�</p><p>� = 2 �x�</p><p>→ l G = �2 ∴ $G = 12$�,�x �} $� = ,�h (2 $G) = 2 �h = 2 �x�</p><p>,& $� = & � − , � $&</p><p>,� �x�$� = � 2�x �} − ,2 �x �} $� = 2 � �x �} − 42 �x �} + � = 2�x �} (� − 2)+ �</p><p>4) , )��(4 )$</p><p>f & = $& = $ yz{</p><p>z| $� = )��(4 )$ ,$� = , )��(4 ) $</p><p>� = −cos(4 )4</p><p>→ ~ G = 4 $G = 4 $ ,)��(G)$G4 = −cos (G)4 = −cos (4 )4</p><p>,& $� = & � − , � $&</p><p>, )��(4 )$ = −14 cos(4 ) − ,−cos(4 )4 $ = −14 cos(4 ) + 14,cos (4 )$</p><p>mas</p><p>� G = 4 $G = 4 $ , cos(G)$ = )�� (G)4 = )�� (4 )4</p><p>, )��(4 )$ = −14 cos(4 ) + )��(4 )16 + �</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 9</p><p>5) ,� ln(�) $�</p><p>�& = ln(�)$& = 1� $� �</p><p>$� = � $�, $� = ,� $� ∴ � = ��2</p><p>,� ln(�) $� = ��2 ln(�) − , N��2 P . Q1�S $� =</p><p>= ��2 ln(�) − ,�2 $� = ��2 ln(�) − ��4 + �</p><p>6) ,(�n − ��) (�)(�n)$n</p><p>f& = �n − ��$& = � $n → l $� = (�)(�n)$n,$� = , (�)(�n)$n � = )��(�n)/� → ~ G = �n ∴ $G = � $n, (�)(G)� $G = )��(�n)�</p><p>,(�n − ��)(�)(�n)$n = (�n − ��) )��(�n)� −, )��(�n)� � $n =</p><p>= (n − �) )��(�n) − ,)��(�n) $n = (n − �) )��(�n) — N−cos(�n)� P + � =</p><p>= (n − �). )��(�n) + cos(�n)� + �</p><p>7), )��(�) �/ $�</p><p>f & = )��(�)$& = cos(�) $� → l</p><p>$� = �/ $�, $� = ,�/$� � = �/</p><p>,)��(�) �/ $� = )��(�) �/ − ,�/ cos (�) $�</p><p>,�/ cos (�)$� → f & = (�)(�)$& = −sen(�)$� → l $� = �/ $�,$� = , �/$� � = �/</p><p>,)��(�) �/ $� = )��(�) �/ − �cos(�) �/ −,�/ (−sen(�)$��</p><p>2,)��(�) �/ $� = �/()��(�) − cos(�))</p><p>,)��(�) �/ $� = �/2 ()��(�) − cos(�)) + �</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 10</p><p>6. Integral Definida</p><p>Seja � uma função contínua definida no intervalo Y</p><p>, _[. Dividindo este</p><p>intervalo em � subintervalos de comprimentos iguais ∆�, a área � da região</p><p>sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da</p><p>área dos � retângulos de comprimento ∆� e altura �����, assim:</p><p>Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de</p><p>subdivisões do intervalo �� → �∞�.</p><p>Define-se a Integral Definida de � de</p><p>para _ como sendo:</p><p>, ���� $��</p><p>�</p><p>� lim3→������� ∆�</p><p>3</p><p>��5</p><p>A integral definida é um número e não uma função.</p><p>c� ���� � 0 e</p><p>�</p><p>�$�</p><p>� � � _ �� ã� , ����$� � 0 �</p><p>�</p><p>�á��</p><p>(�'</p><p>$� ���� ��</p><p>c� ���� � 0 e</p><p>�</p><p>�$�</p><p>� � � _ �� ã� , ����$� � 0 �</p><p>�</p><p>�á��</p><p>_</p><p>��� $� ���� ��</p><p>Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre as</p><p>áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se</p><p>encontram acima e abaixo do eixo �.</p><p>, ����$� � �</p><p>�</p><p>, ����$� � , ����$� �</p><p>�</p><p>� , ����$� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>(�'</p><p>� ( � $ � _</p><p>Propriedade:</p><p>, ���� $� � �5 7 �� � �J</p><p>�</p><p>�</p><p>y=f (x)</p><p>a b</p><p>�5</p><p>��</p><p>�J</p><p>x</p><p>y</p><p>c</p><p>� � ������ ∆�</p><p>3</p><p>��5</p><p>d</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 11</p><p>Exemplo:</p><p>���� � , � �7 � $ /</p><p>=</p><p>����� � $</p><p>$� N, � � 7 � $ /</p><p>=</p><p>P � �� 7 �</p><p>Exemplos:</p><p>*� Calcule as integrais definidas indicadas:</p><p>1� , �/ $�J</p><p>5</p><p>A função ���� � �/ é contínua em [1 , 3[ . Calculando a antiderivada de �(�) e</p><p>considerando a constante de integração nula, tem-se:</p><p>�(�) = ,�/ $� = �/ ((�' � = 0)</p><p>Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se:</p><p>, �/ $� = �(�) �31 = �/ �31 = J</p><p>5 �J − �5 = �J− � ≅ 17,369</p><p>2) , $�� ?</p><p>J</p><p>, $�� = ?</p><p>J ln(|�|� �63 � ln(6) − ln(3) = ln Q63S = ln(2)</p><p>c� &'</p><p>�&�çã� � ��� (�� ��&</p><p>�' Y</p><p>, _[ � � ��� &'</p><p>� �$����</p><p>$</p><p>$� �, �) � é, �� = �, �� ã�: , �(�)$��</p><p>� = �(�) �_</p><p>= �(_) − �(</p><p>)</p><p>Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2</p><p>Normalmente utiliza-se a simbologia �(�)��� = �(_) − �(</p><p>)</p><p>c� &'</p><p>�&�ç</p><p>� � ��� (�� ��&</p><p>�' Y</p><p>, _[, �� ã�</p><p>�&�çã� �(�) $�����$</p><p>e�r</p><p>�(�) = , �( )$ ,</p><p>≤ � ≤ _/</p><p>�</p><p>é $������(�á��</p><p>�' (</p><p>, _) � ��(�) = �(�)</p><p>Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 12</p><p>3�, ��J 7 6��J</p><p>p</p><p>$�</p><p>, ��J7 6��J</p><p>p</p><p>$� � N�O4 7 6��</p><p>2 P�</p><p>p</p><p>J</p><p>� N�O4 7 3��P�</p><p>p</p><p>J</p><p>� N3O4 7 3.3�P 7 N0O4 − 3.0�P</p><p>= 814 − 27 = 81 − 1084 = −274</p><p>4) , (�/��)�</p><p>5 $�</p><p>Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula</p><p>tem-se:</p><p>u & = ��$& = 2�$� � $� = $&2</p><p>,( �/� . �)$� = ,�i Q$&2 S = �i2 = �/�2</p><p>Então</p><p>, (�/� . �)�</p><p>5 $� = �/�2 �5</p><p>� = ���2 − �5�2 = �O2 − �2 = (�O− �)2</p><p>5) , (3 − �))��(�)$��</p><p>p</p><p>Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula</p><p>tem-se:</p><p>u & = 3 − �$& = −$� f$� = )��(�)$�� = −cos (�)</p><p>,(3 − �))��(�)$� = (3 − �). (−cos(�)) − ,(− cos(�)). (−$�) =</p><p>= −(3 − �) cos(�) − ,cos (�)$� = −(3 − �) cos(�) − )��(�) =</p><p>= −3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�) = �(�)</p><p>Então,</p><p>,(3 − �))��(�)$� = , (3 − �))��(�)$� =�</p><p>p T−3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�)U�p� =</p><p>= T−3cos(�) + � cos(�) − )��(�)U − T−3cos(0) + 0 cos(0) − )��(0)U = = (3 − � − 0)− (−3 + 0 − 0) = 3 − � + 3 = 6 − �</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 13</p><p>7. Aplicações da Integral Definida: Áreas entre Curvas</p><p>Vimos que a integral definida representa geometricamente a diferença entre</p><p>as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se</p><p>encontram acima e abaixo do eixo �.</p><p>7.1. Região Limitada pela Curva e o Eixo x</p><p>Seja ���� uma função contínua no intervalo [</p><p>, _[ cujo gráfico encontra-se acima do eixo �</p><p>em [</p><p>, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [</p><p>, _[.</p><p>Então, a área (�) da região que se encontra</p><p>abaixo da curva do gráfico da função e acima</p><p>do eixo �, limitada lateralmente pelas retas � �</p><p>e � � _, é:</p><p>� � , �����</p><p>�</p><p>$�</p><p>Seja ���� uma função contínua no intervalo [</p><p>, _[ cujo gráfico encontra-se abaixo do eixo �</p><p>em [</p><p>, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [</p><p>, _[.</p><p>Então, a área (�) da região que se encontra</p><p>abaixo do eixo � e acima do gráfico da função,</p><p>limitada lateralmente pelas retas � �</p><p>e � � _,</p><p>é:</p><p>� � 7, �����</p><p>�</p><p>$�</p><p>Exemplos:</p><p>Encontre a área da região limitada pelo o gráfico da função � e o eixo �, no</p><p>intervalo indicado:</p><p>1� ���� � �� �' Y0 ,1[</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y0 , 1[</p><p>á��</p><p>� , �� $� � �J3 �</p><p>1</p><p>0 �</p><p>5</p><p>p</p><p>1J</p><p>3 7 0J3 � 13 &.</p><p>2� ���� � cos��� �' Y0 ,� 2⁄ [</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y0 , � 2⁄ [</p><p>á��</p><p>� , cos��� $� �</p><p>��</p><p>p</p><p>sen��� ��/20 �</p><p>� sen��/2� 7 sen�0� � 1 7 0 � 1 &.</p><p>(unidade de área)</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 14</p><p>3� ���� � �O� 3�� � 1 �' Y71,1[</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y71 , 1[</p><p>á��</p><p>� , ��O � 3��� 1� $� 5</p><p>I5</p><p>� �=</p><p>5 � �J � � � 171 �</p><p>� Q15 � 1 � 1S 7 Q7</p><p>1</p><p>5 7 1 7 1S �</p><p>2</p><p>5 � 2 � 2 �</p><p>� 2 � 10 � 10</p><p>5 � 22</p><p>5 &.</p><p>4� ���� � ��7 5 � � 4 �' Y1 , 4[</p><p>Gráfico abaixo do eixo � em Y1 , 4[</p><p>á��</p><p>� 7, ��� 7 5 � � 4� $� O</p><p>5</p><p>�</p><p>, ���7 5 � � 4� $� O</p><p>5</p><p>� N�J3 7 5��2 � 4�P �41 �</p><p>� Q643 7 802 � 16S7 Q13 7</p><p>5</p><p>2 � 4S �</p><p>63</p><p>3 7 752 � 12 �</p><p>� 126 7 225 � 72</p><p>6 � 7276 � 792 � 74,5</p><p>á��</p><p>� 7, ��� 7 5 � � 4� $� O</p><p>5</p><p>� 7Q792S � 4,5 &.</p><p>.</p><p>5� ���� � 1</p><p>�� �' Y71 ,3[</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y71 , 3[</p><p>á��</p><p>� , 1�� $� , �I�J</p><p>I5</p><p>$� � �7�I5� � 371 �</p><p>71</p><p>� �</p><p>3</p><p>71 � Q713 S7 Q</p><p>71</p><p>71S � 743</p><p>J</p><p>I5</p><p>� ��� ���á ��� ¡¢ £���� ¤á¥¤�¥¢?</p><p>- Devemos notar que o cálculo está errado, pois</p><p>���� � 5</p><p>/� : 0 em todo o seu domínio, portanto a</p><p>integral deveria ser positiva.</p><p>- O erro acontece porque o Teorema</p><p>Fundamental do Cálculo aplica-se somente em</p><p>funções contínuas no intervalo de integração Y</p><p>, _[, logo ele não poderia ser aplicado aqui pois</p><p>a função ���� é descontínua em Y71 ,3[ pois ∄ ��0�.</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 15</p><p>7.2. Região Limitada por Curvas</p><p>Os conceitos de Integral Definida podem ser utilizados para a determinação</p><p>da área de qualquer região plana limitada e fechada.</p><p>Sejam ���� e ���� funções contínuas no</p><p>intervalo [</p><p>, _[ e ���� � ���� para todo � ∈ [</p><p>, _[.</p><p>Então, a área da região limitada</p><p>superiormente pela curva n � ����,</p><p>inferiormente pela curva n � ���), à direita</p><p>pela reta � �</p><p>e à esquerda pela reta � � _ é:</p><p>� � , Y���� 7 ����[�</p><p>�</p><p>$�</p><p>Exemplos:</p><p>1� Encontre a área da região limitada superiormente por n � �� � 2,</p><p>inferiormente por n � � e lateralmente por � � 71 e � � 2.</p><p>Inicialmente temos que visualizar a região que se deseja calcular a área</p><p>fazendo os esboços dos gráficos das funções envolvidas.</p><p>Observando que �� � 2 � � em Y71 , 2[, a área � procurada é:</p><p>� � , Y��� � 2� 7 ���[�</p><p>I5</p><p>$�</p><p>� � , �� 7 � � 2�</p><p>I5</p><p>$� � �J</p><p>3 7 ��2 � 2� �</p><p>I5</p><p>�</p><p>�</p><p>� Q83 7</p><p>4</p><p>2 � 4S 7 Q7</p><p>1</p><p>3 7</p><p>1</p><p>2 7 2S �</p><p>9</p><p>3 7</p><p>3</p><p>2 � 6 �</p><p>� 9 7 32 �</p><p>15</p><p>2 &.</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 16</p><p>2� Encontre a área da região limitada pelo gráfico de n � �� e n � √8 � .</p><p>De acordo com os esboços dos gráficos, observa-se que a região desejada</p><p>situa-se abaixo da curva n � √8 � e acima da curva n � �� e está limitada</p><p>lateralmente pelos pontos de interseção entre elas. Assim, os limites de</p><p>integração são as abscissas destes pontos.</p><p>As abscissas dos pontos de interseção são obtidas</p><p>igualando as equações n � �� e n � √8 � e</p><p>resolvendo a equação resultante em relação a �.</p><p>√8 � � �� → 8 � � �O → ��8 7 �J� � 0</p><p>� � 0 � 8 7 �J � 0 → � � √8H � 2</p><p>Em � � 0 tem-se n � 0 e em � � 2 tem-se n � 4, portanto os pontos de</p><p>interseção são �0,0� e �2,4�.</p><p>A área da região é:</p><p>� � , \√8 � 7 ��]�</p><p>p</p><p>$� � , \√8 �5 �⁄ 7 ��]�</p><p>p</p><p>$� � √8 �J �⁄ 23 7</p><p>�J</p><p>3 �p</p><p>�</p><p>�</p><p>� 2 √8 √�J 7 �J3 �</p><p>p</p><p>�</p><p>� N2 √8 √2J 7 2J3 P7 �0� � 16 7 8</p><p>3 � 8</p><p>3 &.</p><p>.</p><p>3� Determinar a área da região limitada pelas curvas n � �� e n � 8 7 ��.</p><p>Observa-se no esboço traçado que a curva n � 87 �� encontra-se acima da</p><p>curva n � ��. Os limites de integração são as abscissas dos pontos de</p><p>interseção das curvas.</p><p>Igualando as equações:</p><p>8 7 �� � �� → 2�� � 8 → |�| � 2 → � � 2 � � � 72</p><p>A área da região é:</p><p>� � , Y�8 7 ��� 7 ����[�</p><p>I�</p><p>$� � , 87 2���</p><p>I�</p><p>$� �</p><p>� 8 � 7 2 �J3 �</p><p>p</p><p>�</p><p>� N8 . 2 7 2.2J</p><p>3 P7 N8 . �7 2� 7 2. �72�J3 P �</p><p>� 2 Q16 7 163 S � 2 Q323 S �</p><p>64</p><p>3 &.</p><p>Cálculo I - ����� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ� 17</p><p>4� Encontre a área da região limitada pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2 �.</p><p>Limites de integração: Precisamos determinar as abscissas dos pontos de</p><p>interseção entre as curvas o que pode ser calculado igualando as duas</p><p>equações.</p><p>�J 7 �� � 2� → �J 7 �� 7 2� � 0 → � ��� 7 � 7 2� � 0</p><p>� � 0 � �� 7 � 7 2 � 0</p><p>Resolvendo a equação �� 7 � 7 2 � 0</p><p>� � 7�71� Z A�71�� 7 4.1.�72�2 � 1 Z 3</p><p>2 → � � 71 � � � 2</p><p>Os pontos de interseção são: �71,72�, �0 ,0� � �2 ,4�.</p><p>Traçando o gráfico das funções, podemos observar que no intervalo Y71 , 2[</p><p>há duas regiões distintas limitas pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2 �.</p><p>No intervalo Y71 , 0[ a curva n � �J 7 �� está acima da curva n � 2 �. A área ��5� entre as curvas é:</p><p>�5 � , ���J7 ���7 2 ��p</p><p>I5</p><p>$� � , ��J 7 �� 7 2 ��p</p><p>I5</p><p>$� � N�O4 7 �J</p><p>3 7 ��P�</p><p>I5</p><p>p</p><p>�</p><p>� �0� 7 N�71�O4 7 �71�J3 7 �71��P � 714 7</p><p>1</p><p>3 � 1 �</p><p>737 4� 12</p><p>12 � 5</p><p>12 &.</p><p>.</p><p>No intervalo Y0 , 2[ a curva n � 2� está acima da curva n � �J 7 ��. A área ���� entre as curvas é:</p><p>�� � , �2 � 7 ��J7 �����</p><p>p</p><p>$� � , �7�J� �� � 2 ���</p><p>p</p><p>$� � N7�O4 � �J3 � ��P�</p><p>p</p><p>�</p><p>�</p><p>� N7�2�O4 � �2�J3 � �2��P 7 �0� � 7164 � 8</p><p>3� 4 � 8</p><p>3 &.</p><p>A área desejada é a soma das áreas das duas regiões.</p><p>� � �5 � �� � , ��J 7 �� 7 2 ��p</p><p>I5</p><p>$� �, �7�J � �� � 2 ���</p><p>p</p><p>$� � 5</p><p>12 �</p><p>8</p><p>3 �</p><p>5� 32</p><p>12 � 37</p><p>12</p><p>� � 37</p><p>12 &.</p><p>. �&��$</p><p>$� $� á��</p><p>�</p><p>��</p><p>�5</p>