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<p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 1</p><p>Capítulo 5 – Integral</p><p>1. Integral Indefinida</p><p>Em estudos anteriores resolvemos o problema:</p><p>Dada uma função �, determinar a função derivada �′.</p><p>Desejamos agora estudar o problema inverso:</p><p>Dada uma função �, determinar uma função � tal que ��(�) = �(�), ou</p><p>seja, desejamos fazer a operação inversa da derivada.</p><p>Exemplo:</p><p>Encontre a antiderivada de �(�) = 2�.</p><p>Queremos encontrar uma função tal que sua derivada seja igual a 2�</p><p>- se �(�) = ��														��	ã�							��(�) = 2�	 = �(�)</p><p>���				�(�) é primitiva de �</p><p>- se �(�) = �� + �							��	ã�							��(�) = 2�	 = �(�)</p><p>���			�(�) é primitiva de	�</p><p>- se �(�) = �� + √3							��	ã�					��(�) = 2�	 = �(�)</p><p>���				�(�) é primitiva de �</p><p>Na verdade, há uma infinidade de funções cuja derivada é 2	�. Assim, a</p><p>antiderivada de �(�) = 2� é uma família de funções que pode ser</p><p>representada pela equação: �(�) = �� + �, onde � é uma constante</p><p>�(�) = �(�) + �	, ��$�	�	é	&'</p><p>(��)</p><p>�	�</p><p>Teorema</p><p>Seja �(�) uma antiderivada de � num intervalo *. Se �(�) é outra</p><p>antiderivada de �, então:</p><p>Definição</p><p>Uma função � será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma</p><p>função � num intervalo I se: ��(�) = �(�), para todo � ∈	I.</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 2</p><p>O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é</p><p>chamado antidiferenciação ou integração indefinida. Para indicar que a</p><p>operação de integração deve ser executada sobre uma função �, usamos a</p><p>notação: ,�(�)	$� = �(�) + 	�</p><p>o que nos diz que a integral indefinida de �(�)	é a família de funções dada</p><p>por �(�) + 	�, onde ��(�) = �(�).</p><p>O sinal ∫ é chamado de sinal de integração, a função �	a ser integrada é</p><p>chamada de integrando e a diferencial de �, $�, lembra-nos que a operação</p><p>é executada com respeito à variável independente �. A constante � é</p><p>chamada de constante de integração.</p><p>Uma vez que integração indefinida e diferenciação são processos inversos</p><p>tem-se:</p><p>,� �(�)		$�	 = �(�)													�													 $$� , �(�)	$� = �(�)</p><p>2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas</p><p>Usando a propriedade das funções inversas integração indefinida e</p><p>diferenciação, podemos, a partir de qualquer fórmula de derivada</p><p>conhecida, obter uma fórmula correspondente de integral indefinida a qual</p><p>chamamos de integral imediata. �(�) � �(�) ,� �(�)	$� = �(�) + �</p><p>� 1 ,$� = � + �</p><p>/012345</p><p>com � ≠ −1</p><p>�3</p><p>,�3	$� = �345� + 1 + �</p><p>/ln(</p><p>)</p><p>com</p><p>> 0	�</p><p>≠ 1</p><p>/ ,</p><p>/	$� =</p><p>/ln(</p><p>) + �</p><p>�/ �/ ,�/	$� = �/ + �</p><p>)��(�) (�)(�) ,(�)(�)	$� = )��(�) + �</p><p>−(�)(�) )��(�) , )��(�) $� = −(�)(�) + �</p><p>�(�) )�(�(�) , )�(�(�)$� =</p><p>�(�) + �</p><p>ln(|�|) 1�</p><p>,1� 	$� = ln(|�|) + � � ≠ 0</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 3</p><p>Exemplos:</p><p>1)	,�=$� = 	 �=455 + 1 = �?6 + 	�</p><p>2)	,A�=	$� = 	 �=�4552 + 1 = �B/�7/2 	= 27	�B/� + 	�</p><p>3)	,(3�)E	$	 =	 (3�)Eln(3�) + 	�</p><p>4)	, 1√G�H 	$G =	,GI�J	$G = 	3	G5J + � = 3	√GH + �</p><p>3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas</p><p>Exemplos:</p><p>1)	,(5	�J + 2 cos(�)) 	$� = ,5	�J 	$� +	,2cos(�) 	$�</p><p>= 5, 	�J 	$� + 	2,cos(�) 	$�	 = 5 N�O4 +	�5P + 	2	()��(�) + ��) =</p><p>= 54 �O + 	2	)��(�) + 	5�5 + 	2�� =	= 54�O + 	2	)��(�) + 	�</p><p>=	54 �O + 	2	)��(�) + 	�					��$�			� = 5�5 + 	2��</p><p>2)	,Q8		J − 6√	 + 1	JS 	$	 = ,(8		J) 	$	 + 	,T−6√	U 	$	 +	,Q 1	JS 	$	 =</p><p>= 	8,	J 	$	 − 6	, 	5/� 	$	 + 	, 	IJ 	$	 =</p><p>= 8 N	O4 + �5P − 	6 V</p><p>J�32 + ��W+ N	I�−2 + �JP =</p><p>= 2		O − 4		J/� − 12		� +	(8�5 − 6�� + �J) = 	2		O − 4		J/� − 12		� + 	�</p><p>1)	,X	.		�(�)$� =	 X	. ,�(�)		$� 										X = (��)</p><p>�	�</p><p>2)	,Y	�(�) ± 	�(�)[	$� =	,�(�)		$� 		± 	,�(�)		$�</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 4</p><p>3)		, (&� − 1)�&� 	$& =	,N&O − 2&� + 1&� P 	$& =	,Q&� − 2 + 1&�S$& =</p><p>= ,&�$& −,2$& +, 1&� $& = ,&�$& − 2,$& +,&I�	 $& =</p><p>= &J3 − 2& + &I5(−1) + 	� = &J3 − 2& − 1& + 	�</p><p>4. Técnicas de Integração: Método da Substituição</p><p>Seja � uma função composta na forma �T�(�)U e primitiva de �, ou seja, �� = �. Uma vez que antiderivação e diferenciação são processos inversos</p><p>tem-se:</p><p>,\�T�(�)U]�$� = �T�(�)U + �</p><p>Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se:</p><p>,\�T�(�)U]′ $� = ,�′T�(�)U. �′(�)	$�	 = 	�T�(�)U+ �</p><p>Como � é uma primitiva de � tem-se que �′T�(�)U = �T�(�)U, então:</p><p>,\�T�(�)U]′ $� = ,�T�(�)U. �′(�) = �T�(�)U + �</p><p>Diretrizes para o método da substituição:</p><p>1) Decidir por uma substituição favorável & = �(�).</p><p>2) Calcular a diferencial $& = ��(�)	$�.</p><p>3) Transformar o integrando apenas em função de &.</p><p>4) Calcular a antiderivada envolvendo &.</p><p>5) Substituir & por �(�) na antiderivada. O resultado deve conter apenas a</p><p>variável �.</p><p>,�(�(�)).��(�)$� = �T�(�)U+ 	�</p><p>�</p><p>^��$�</p><p>)&_)	�	&�çã�:					 b 		& = �(�)$& = ��(�)$�</p><p>,�(&)	$& = �(&) + �</p><p>Método da Substituição</p><p>c�d</p><p>�	&'</p><p>e��'�	��</p><p>$�	�, 	�� = �, ��	ã�</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 5</p><p>Exemplos:</p><p>Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo:</p><p>1), )��(2	)$</p><p>f & = 2				$& = 2	$	 		∴ $	 = $&2</p><p>,)��(&)	2 $& = 12, )��(&)$& = −12 cos(&) + � = −12 cos(2	) + �</p><p>2), �Oh	$G</p><p>f & = 4G			$& = 4	$G 		 ∴ $G = $&4</p><p>,�i		4 $& = 14,�i $& = 14 . �iln(�) + � = �Oh4	ln(�) + �</p><p>3),√3� + 4	$�</p><p>f& = 3� + 4$& = 3$� 		 ∴ $� = $&3</p><p>,√&3 	$& = 13,&5/� $& = 13	V&J �⁄32 W =	29A&J + � =	29A(3� + 4)J + �</p><p>4), �	(�)(��)	$�</p><p>b & = ��$& = 2�$� 		∴ �$� = $&2</p><p>, (�)(��)	�	$� = ,cos(&) Q$&2 S =		 12,cos(&) $& =</p><p>=	12 )��(&) + � = 12 )��(��) + �</p><p>5), ��. )�� N�J� P 	$�</p><p>l & = �J�$& = 3� ��$� 							∴ 	 ��$� =</p><p>�3 $&</p><p>,)��(&) �3 $&	 = �3 ,)��(&)$& = −�3 (�)(&) + � = −�3 (�) N�J� P + �</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 6</p><p>6), 	m√7 + 1no5pn� $n</p><p>b& = √7 + nI5$& = −nI�	$n 				∴ 		$nn� = −$&				 →</p><p>,−&5p$& = −,&5p $& = −&5511 + � = −m√7 + 1no</p><p>55</p><p>11 + �</p><p>7), 	 2	 − 2	�− 2	 	$		 b & = 	�− 2	$& = (2	 − 2)$		 				∴ 		$	 = $&2	 − 2 				→		 ,1& 	$& = ln(|&|) + � = ln(|	�− 2	|) + �</p><p>8), 	(�	�(�)	$� = 	, cos(�))��(�) 		$�</p><p>f & = )��(�)$& = cos(�) $� 				∴ 		$� = $&cos	(�) 				→</p><p>,cos(�)& 	 $&cos	(�) = , 1& 		$& = ln(|&|) + � = ln(|)��(�)|) + �</p><p>9), cos(�J − 2�) (3��− 2)		�rs3T/HI�/U	$�</p><p>b & = )��(�J − 2�)$& = cos(�J− 2�) (3�� − 2)	 				∴ 		$	 = $&2	 − 2 				→</p><p>,	�rs3T/HI�/U	Ycos(�J − 2�) (3��− 2)	$�[ = 	,�i 	$& = �i + � =</p><p>= �rs3T/HI�/U + 	�</p><p>10)	,2� + 53� − 1$�</p><p>f& = 3� − 1$� = 3$� 				∴ 			$� = $&3 							→ 			& = 3� − 1					 ∴ 						� = & + 13</p><p>,2m& + 13 o+ 5& $&3 = , 2& + 2 + 153& $&3 = ,2& + 179& 	$& = ,2&9& $& + 	,179& $&</p><p>= 29,$& + 179 ,1& $& = 29& + 179</p><p>�|&| + � =</p><p>= 29 (3� − 1) + 179</p><p>�|3� − 1| + �</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 7</p><p>5. Técnicas de Integração: Integração por Partes</p><p>Se �(�) e �(�) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto:</p><p>T�(�). �(�)U� = � �(�).�(�) + 	�(�). ��(�)</p><p>Integrando ambos os lados:</p><p>,T�(�)	�(�)U′′ $� = , � ′(�)	�(�) $� +	,�(�)	�′(�) $�</p><p>�(�)	�(�) = ,� ′(�)	�(�) $� + 	,�(�)	�′(�) $�</p><p>,�(�)	�′(�)$� = �(�)	�(�) − ,�(�)	� ′(�)$�</p><p>Esta fórmula expressa a integral ∫&	$� em função de outra integral, ∫ �	$&.</p><p>Escolhendo adequadamente &	e	$� pode ser mais fácil calcular a 2ª integral</p><p>do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para & e para $�,</p><p>em geral pretendemos que $� seja o fator do integrando mais complicado</p><p>que se sabia integrar.</p><p>Exemplos: Calcule as integrais indicadas</p><p>1)	,�	)��(�)$�</p><p>u</p><p>& = �$& = $� 										l</p><p>$� = )��(�)$�∫ $� = ∫)��(�)$�	� = −cos(�)</p><p>,&	$� = &	� −	, �	$&</p><p>,�	)��(�)	$� = −�. (�)(�) − ,−(�)(�)	$� = −�. (�)(�) + , (�)(�)	$� =</p><p>= −�	cos(�) + )��(�) + �</p><p>c�	& = �(�)	�		� = �(�)		)ã�	�&�çõ�)	$������(�á���), 	��	ã�</p><p>,�(�)	��(�)$� = �(�)	�(�) −,�(�)	��(�)$�</p><p>& = �(�) → $& = � ′(�)$�� = �(�) → $� = �′(�)$� 				→ 		, &		$� = &. � − 	,�	$&</p><p>Integração por Partes</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 8</p><p>2), �. 5x $�</p><p>u & = �$& = $� 																			l</p><p>$� = 5x$�			∫$� = ∫5x$�	� = 5xln(5)</p><p>,&	$� = &	� −	, �	$&</p><p>,�. 5x $� = �. 5xln(5) − , 5xln(5) 	$� = �. 5xln(5) − 1ln(5) .,5x 	$� =</p><p>�. 5xln(5) − 1ln(5) . 5xln(5) + � =	 5xln(5) Q� − 1ln(5)S + � = 5x(�.</p><p>�(5) − 1)ln�(5) + �</p><p>3)	,�. �x� $�</p><p>u & = �$& = $�												yz{</p><p>z| $� = �x �} 	$�, $� = ,�x �} 		 $�</p><p>� = 2	�x�</p><p>→ 		l G = �2 		∴ 				$G = 12$�,�x �} 		 $� = ,�h	 (2	$G) = 2	�h = 2	�x�</p><p>,&	$� = &	� −	, �	$&</p><p>,�	�x�$� = �	2�x �} −	,2	�x �} $� = 	2	�	�x �} −	42 �x �} + � = 2�x �} (� − 2)+ �</p><p>4)	, 		)��(4	)$</p><p>f & = 	$& = $	 									yz{</p><p>z| $� = )��(4	)$		,$� = , )��(4	)	$</p><p>� = −cos(4	)4</p><p>→ 		~ 	G = 4						$G = 4	$	,)��(G)$G4 		= −cos	(G)4 = 	−cos	(4	)4</p><p>,&	$� = &	� −	, �	$&</p><p>,		)��(4	)$	 = −14 	 cos(4	) − ,−cos(4	)4 $	 = −14 		 cos(4	) + 14,cos	(4	)$</p><p>mas</p><p>� 	G = 4						$G = 4	$	, cos(G)$			 = )��	(G)4 =	)��	(4	)4</p><p>,		)��(4	)$	 = −14 		 cos(4	) + )��(4	)16 + �</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 9</p><p>5)	,�	ln(�) $�</p><p>�& = ln(�)$& = 1� $� 															�</p><p>$� = �	$�, $� = ,�	$� 					∴ 		� = ��2</p><p>,�	 ln(�) $� = ��2 ln(�) − , N��2 P . Q1�S $� =</p><p>= ��2 ln(�) − ,�2 $� = ��2 ln(�) − ��4 + �</p><p>6)	,(�n − ��)	(�)(�n)$n</p><p>f& = �n − ��$& = �	$n 	→ 	l $� = (�)(�n)$n,$� = , (�)(�n)$n						� = )��(�n)/� →		~ G = �n		 ∴ $G = �	$n, (�)(G)� $G =	 )��(�n)�</p><p>,(�n − ��)(�)(�n)$n = (�n − ��)	)��(�n)� −, )��(�n)� 	�	$n =</p><p>= (n − �)	)��(�n) − ,)��(�n) 	$n = (n − �)	)��(�n)	—	N−cos(�n)� P + � =</p><p>= (n − �). )��(�n) + cos(�n)� 	+ �</p><p>7), )��(�)	�/ 	$�</p><p>f & = )��(�)$& = cos(�) $� 	→	l</p><p>$� = �/	$�, $� = ,�/$�						� = �/</p><p>,)��(�)	�/ 	$�	 = )��(�)	�/ −	,�/	cos	(�) $�</p><p>,�/	cos	(�)$� →	 f & = (�)(�)$& = −sen(�)$� 	→ 	l $� = �/	$�,$� = , �/$�						� = �/</p><p>,)��(�)	�/ 	$�	 = )��(�)	�/ −	 �cos(�) �/ −,�/	(−sen(�)$��</p><p>2,)��(�)	�/ 	$� = �/()��(�) − cos(�))</p><p>,)��(�)	�/ 	$� = �/2 ()��(�) − cos(�)) + �</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 10</p><p>6. Integral Definida</p><p>Seja � uma função contínua definida no intervalo Y</p><p>, _[. Dividindo este</p><p>intervalo em � subintervalos de comprimentos iguais ∆�, a área � da região</p><p>sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da</p><p>área dos � retângulos de comprimento ∆� e altura �����, assim:</p><p>Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de</p><p>subdivisões do intervalo �� → �∞�.</p><p>Define-se a Integral Definida de � de</p><p>para _ como sendo:</p><p>, ����	$��</p><p>�</p><p>� lim3→�������	∆�</p><p>3</p><p>��5</p><p>A integral definida é um número e não uma função.</p><p>c�	���� � 0			e</p><p>�</p><p>�$�</p><p>� � � _				��	ã�	, ����$�	 � 0	�</p><p>�</p><p>�á��</p><p>(�'</p><p>$�	����	��</p><p>c�	���� � 0			e</p><p>�</p><p>�$�</p><p>� � � _				��	ã�	, ����$�	 � 0	�</p><p>�</p><p>�á��</p><p>_</p><p>���	$�	����	��</p><p>Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre as</p><p>áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se</p><p>encontram acima e abaixo do eixo �.</p><p>, ����$� �	�</p><p>�</p><p>, ����$� �	, ����$�	�</p><p>�</p><p>� , ����$�	�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>(�'</p><p>� ( � $ � _</p><p>Propriedade:</p><p>, ����	$�	 � 	�5 7 �� � �J</p><p>�</p><p>�</p><p>y=f (x)</p><p>a b</p><p>�5</p><p>��</p><p>�J</p><p>x</p><p>y</p><p>c</p><p>� �	������	∆�</p><p>3</p><p>��5</p><p>d</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 11</p><p>Exemplo:</p><p>���� � , �	�7 	�		$		/</p><p>=</p><p>����� � $</p><p>$� N, �	� 7 	�		$		/</p><p>=</p><p>P � 	�� 7 �</p><p>Exemplos:</p><p>*�	Calcule as integrais definidas indicadas:</p><p>1�	, �/			$�J</p><p>5</p><p>A função ���� � 	�/	é contínua em [1	, 3[ . Calculando a antiderivada de �(�) e</p><p>considerando a constante de integração nula, tem-se:</p><p>�(�) = ,�/			$� = �/					((�'		� = 0)</p><p>Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se:</p><p>, �/			$� = 	�(�) �31 = 			�/ �31 =		J</p><p>5 �J − �5 =	�J− �	 ≅ 17,369</p><p>2)	, $�� 			?</p><p>J</p><p>, $�� 		=	?</p><p>J ln(|�|� �63 � ln(6) − ln(3) = ln Q63S = 	 ln(2)</p><p>c�	&'</p><p>�&�çã�	�	���	(��	��&</p><p>�'	Y</p><p>, _[	�	�	���	&'</p><p>�	�$����</p><p>$</p><p>$�	�, �)	�	é, 	�� = �, ��	ã�:	 , �(�)$��</p><p>� = �(�) �_</p><p>= 	�(_) − �(</p><p>)</p><p>Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2</p><p>Normalmente utiliza-se a simbologia �(�)��� = �(_) − �(</p><p>)</p><p>c�	&'</p><p>�&�ç</p><p>�	�	���	(��	��&</p><p>�'	Y</p><p>, _[, ��	ã�</p><p>�&�çã�	�(�)	$�����$</p><p>e�r</p><p>�(�) = , �(	)$		,</p><p>≤ � ≤ _/</p><p>�</p><p>é	$������(�á��</p><p>�'	(</p><p>, _)	�	��(�) = �(�)</p><p>Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 12</p><p>3�, ��J 7 6��J</p><p>p</p><p>$�</p><p>, ��J7 6��J</p><p>p</p><p>$� � N�O4 7 6��</p><p>2 P�</p><p>p</p><p>J</p><p>� N�O4 7 3��P�</p><p>p</p><p>J</p><p>�	N3O4 7 3.3�P 7 N0O4 − 3.0�P</p><p>= 814 − 27 = 	81 − 1084 = −274</p><p>4)	, (�/��)�</p><p>5 $�</p><p>Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula</p><p>tem-se:</p><p>u & = ��$& = 2�$� 									�	$� = $&2</p><p>,( �/� . �)$� = ,�i Q$&2 S = �i2 = �/�2</p><p>Então</p><p>, (�/� . �)�</p><p>5 $� = �/�2 �5</p><p>� = ���2 − �5�2 = �O2 − �2 = (�O− �)2</p><p>5)	, (3 − �))��(�)$��</p><p>p</p><p>Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula</p><p>tem-se:</p><p>u	& = 3 − �$& = −$�																			f$� = )��(�)$�� = −cos	(�)</p><p>,(3 − �))��(�)$�	 =	 (3 − �). (−cos(�)) − ,(− cos(�)). (−$�) =</p><p>=	−(3 − �) cos(�) − ,cos	(�)$� = −(3 − �) cos(�) − )��(�) =</p><p>= −3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�) = �(�)</p><p>Então,</p><p>,(3 − �))��(�)$�	 =	, (3 − �))��(�)$� =�</p><p>p T−3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�)U�p� =</p><p>= T−3cos(�) + � cos(�) − )��(�)U − T−3cos(0) + 0 cos(0) − )��(0)U = = (3 − � − 0)− (−3 + 0 − 0) = 3 − � + 3 = 6 − �</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 13</p><p>7. Aplicações da Integral Definida: Áreas entre Curvas</p><p>Vimos que a integral definida representa geometricamente a diferença entre</p><p>as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se</p><p>encontram acima e abaixo do eixo �.</p><p>7.1. Região Limitada pela Curva e o Eixo x</p><p>Seja ���� uma função contínua no intervalo [</p><p>, _[ cujo gráfico encontra-se acima do eixo �</p><p>em [</p><p>, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [</p><p>, _[.</p><p>Então, a área (�) da região que se encontra</p><p>abaixo da curva do gráfico da função e acima</p><p>do eixo �, limitada lateralmente pelas retas � �</p><p>e � � _,	é:</p><p>� � , �����</p><p>�</p><p>$�</p><p>Seja ���� uma função contínua no intervalo [</p><p>, _[ cujo gráfico encontra-se abaixo do eixo �</p><p>em [</p><p>, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [</p><p>, _[.</p><p>Então, a área (�) da região que se encontra</p><p>abaixo do eixo � e acima do gráfico da função,</p><p>limitada lateralmente pelas retas � �</p><p>e � � _,</p><p>é:</p><p>� � 7, �����</p><p>�</p><p>$�</p><p>Exemplos:</p><p>Encontre a área da região limitada pelo o gráfico da função � e o eixo �, no</p><p>intervalo indicado:</p><p>1�		���� � ��		�'		Y0	,1[</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y0	, 1[</p><p>á��</p><p>� , ��			$� � 			�J3 �</p><p>1</p><p>0 �</p><p>5</p><p>p</p><p>1J</p><p>3 7 0J3 � 	13 	&.</p><p>2�	���� � cos��� 			�'		Y0	,� 2⁄ [</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y0	, � 2⁄ [</p><p>á��</p><p>� , cos��� $�		 �</p><p>��</p><p>p</p><p>sen��� ��/20 �</p><p>� sen��/2� 7 sen�0� � 1 7 0 � 1	 &.</p><p>(unidade de área)</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 14</p><p>3�	���� � �O� 3�� � 1			�'		Y71,1[</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y71	, 1[</p><p>á��</p><p>� , ��O � 3��� 1�	$�	5</p><p>I5</p><p>� �=</p><p>5 � �J � �	 � 171	 �</p><p>� Q15 � 1 � 1S 7 Q7</p><p>1</p><p>5 7 1 7 1S �</p><p>2</p><p>5 � 2 � 2 �</p><p>� 2 � 10 � 10</p><p>5 � 22</p><p>5 				&.</p><p>4�	���� � ��7 5	� � 4		�'		Y1	, 4[</p><p>Gráfico abaixo do eixo � em Y1	, 4[</p><p>á��</p><p>� 7, ��� 7 5	� � 4�	$�	O</p><p>5</p><p>�</p><p>, ���7 5	� � 4�	$�	O</p><p>5</p><p>� N�J3 7 5��2 � 4�P	�41	�</p><p>� Q643 7 802 � 16S7 Q13 7</p><p>5</p><p>2 � 4S �</p><p>63</p><p>3 7 752 � 12 �</p><p>� 126 7 225 � 72</p><p>6 � 7276 � 792 � 74,5</p><p>á��</p><p>� 7, ��� 7 5	� � 4�	$�	O</p><p>5</p><p>� 7Q792S � 4,5		&.</p><p>.</p><p>5�	���� � 1</p><p>�� 	�'		Y71	,3[</p><p>Gráfico acima do eixo � em Y71	, 3[</p><p>á��</p><p>� , 	 1�� 	$�		, 		�I�J</p><p>I5</p><p>$� � �7�I5� � 371 �</p><p>71</p><p>� �</p><p>3</p><p>71 � Q713 S7 Q</p><p>71</p><p>71S � 743</p><p>J</p><p>I5</p><p>�	���	���á	��� ¡¢	£����	¤á¥¤�¥¢?</p><p>- Devemos notar que o cálculo está errado, pois</p><p>���� � 5</p><p>/� : 0 em todo o seu domínio, portanto a</p><p>integral deveria ser positiva.</p><p>- O erro acontece porque o Teorema</p><p>Fundamental do Cálculo aplica-se somente em</p><p>funções contínuas no intervalo de integração Y</p><p>, _[, logo ele não poderia ser aplicado aqui pois</p><p>a função ���� é descontínua em Y71	,3[ pois ∄	��0�.</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 15</p><p>7.2. Região Limitada por Curvas</p><p>Os conceitos de Integral Definida podem ser utilizados para a determinação</p><p>da área de qualquer região plana limitada e fechada.</p><p>Sejam ���� e ���� funções contínuas no</p><p>intervalo [</p><p>, _[ e ���� � ���� para todo � ∈ [</p><p>, _[.</p><p>Então, a área da região limitada</p><p>superiormente pela curva n � ����,</p><p>inferiormente pela curva n � ���), à direita</p><p>pela reta � �</p><p>e à esquerda pela reta � � _ é:</p><p>� � , Y���� 7 ����[�</p><p>�</p><p>$�</p><p>Exemplos:</p><p>1�	Encontre a área da região limitada superiormente por n � �� � 2,</p><p>inferiormente por n � � e lateralmente por � � 71 e � � 2.</p><p>Inicialmente temos que visualizar a região que se deseja calcular a área</p><p>fazendo os esboços dos gráficos das funções envolvidas.</p><p>Observando que �� � 2 � � em Y71	, 2[, a área � procurada é:</p><p>� � , Y��� � 2�	7 ���[�</p><p>I5</p><p>$�</p><p>� � , �� 7 � � 2�</p><p>I5</p><p>$� � �J</p><p>3 7 ��2 � 2�	�</p><p>I5</p><p>�</p><p>�</p><p>� Q83 7</p><p>4</p><p>2 � 4S 7 Q7</p><p>1</p><p>3 7</p><p>1</p><p>2 7 2S �</p><p>9</p><p>3 7</p><p>3</p><p>2 � 6 �</p><p>� 9 7 32 �</p><p>15</p><p>2 				&.</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 16</p><p>2�	Encontre a área da região limitada pelo gráfico de n � �� e n � √8	� .</p><p>De acordo com os esboços dos gráficos, observa-se que a região desejada</p><p>situa-se abaixo da curva n � √8	� e acima da curva n � �� e está limitada</p><p>lateralmente pelos pontos de interseção entre elas. Assim, os limites de</p><p>integração são as abscissas destes pontos.</p><p>As abscissas dos pontos de interseção são obtidas</p><p>igualando as equações n � �� e n � √8	� e</p><p>resolvendo a equação resultante em relação a �.</p><p>√8	� � �� 		→ 					8	� � �O 	 → 						��8 7 �J� � 0</p><p>� � 0								�								8 7 �J � 0	 → 			� � √8H � 2</p><p>Em � � 0 tem-se n � 0		e em � � 2 tem-se n � 4, portanto os pontos de</p><p>interseção são �0,0� e �2,4�.</p><p>A área da região é:</p><p>� � , \√8	� 	7 ��]�</p><p>p</p><p>$� �	, \√8		�5 �⁄ 	7 ��]�</p><p>p</p><p>$� � √8		�J �⁄ 	23	7</p><p>�J</p><p>3 �p</p><p>�</p><p>�</p><p>�	2	√8		√�J 7 �J3 	�</p><p>p</p><p>�</p><p>�	N2	√8		√2J 7 2J3 P7 �0� � 16 7 8</p><p>3 � 8</p><p>3 			&.</p><p>.</p><p>3�	Determinar a área da região limitada pelas curvas n � �� e n � 8 7 ��.</p><p>Observa-se no esboço traçado que a curva n � 87 �� encontra-se acima da</p><p>curva n � ��. Os limites de integração são as abscissas dos pontos de</p><p>interseção das curvas.</p><p>Igualando as equações:</p><p>8 7 �� � �� 	→ 					2�� � 8		 →		 |�| � 2 → 				� � 2				�	� � 72</p><p>A área da região é:</p><p>� � , Y�8 7 ��� 7 ����[�</p><p>I�</p><p>$� � 	, 87 2���</p><p>I�</p><p>$� �</p><p>� 8	� 7 2	�J3 �</p><p>p</p><p>�</p><p>� N8	. 2 7 2.2J</p><p>3 P7 N8	. �7	2� 7 2. �72�J3 P �</p><p>� 2 Q16 7 163 S � 2	Q323 S �</p><p>64</p><p>3 				&.</p><p>Cálculo I - �����	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 17</p><p>4� Encontre a área da região limitada pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2	�.</p><p>Limites de integração: Precisamos determinar as abscissas dos pontos de</p><p>interseção entre as curvas o que pode ser calculado igualando as duas</p><p>equações.</p><p>�J 7 �� � 2�				 → 					 �J 7 �� 7 2� � 0		 → 					�	��� 7 � 7 2� � 0</p><p>� � 0												�								�� 7 � 7 2 � 0</p><p>Resolvendo a equação �� 7 � 7 2 � 0</p><p>� � 	7�71� Z A�71�� 7 4.1.�72�2 � 1 Z 3</p><p>2 		→ 						� � 71				�				� � 2</p><p>Os pontos de interseção são: �71,72�, �0	,0�	�			�2	,4�.</p><p>Traçando o gráfico das funções, podemos observar que no intervalo Y71	, 2[</p><p>há duas regiões distintas limitas pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2	�.</p><p>No intervalo Y71	, 0[ a curva n � �J 7 �� está acima da curva n � 2	�. A área ��5� entre as curvas é:</p><p>�5 �	, ���J7 ���7 2	��p</p><p>I5</p><p>$� � , ��J 7 �� 7 2	��p</p><p>I5</p><p>$� � N�O4 7 �J</p><p>3 7 ��P�</p><p>I5</p><p>p</p><p>�</p><p>� �0� 7 N�71�O4 7 �71�J3 7 �71��P � 714 7</p><p>1</p><p>3 � 1 �</p><p>737 4� 12</p><p>12 � 5</p><p>12 					&.</p><p>.</p><p>No intervalo Y0	, 2[ a curva n � 2� está acima da curva n � �J 7 ��. A área ���� entre as curvas é:</p><p>�� � 	, �2	� 7 ��J7 �����</p><p>p</p><p>$� � , �7�J� �� � 2	���</p><p>p</p><p>$� � N7�O4 � �J3 � ��P�</p><p>p</p><p>�</p><p>�</p><p>� N7�2�O4 � �2�J3 � �2��P	7 �0� � 7164 � 8</p><p>3� 4 � 8</p><p>3 								&.</p><p>A área desejada é a soma das áreas das duas regiões.</p><p>� � �5 � �� �	, ��J 7 �� 7 2	��p</p><p>I5</p><p>$� �, �7�J � �� � 2	���</p><p>p</p><p>$� � 5</p><p>12 �</p><p>8</p><p>3 �</p><p>5� 32</p><p>12 � 37</p><p>12</p><p>� � 37</p><p>12 					&.</p><p>.		�&��$</p><p>$�	$�	á��</p><p>�</p><p>��</p><p>�5</p>

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