Apostila Toscano

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Cálculo Integral
e
Introdução às Equações Diferenciais
Roberto Toscano Couto
rtoscano@id.uff.br
https://rtoscanocouto.wixsite.com/aula (∗)
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Niterói, RJ
2 de janeiro de 2023
(∗) Neste site é sempre publicada a versão mais recente desta apostila.
Prefácio
Trata-se de um texto didático para a disciplina "Cálculo II-A" (ministrada pelo Departamento
de Matemática Aplicada da UFF), cujo objetivo é o ensino introdutório do cálculo integral e das
equações diferenciais ordinárias. Este texto contém exatamente o que se apresenta nas aulas,
evitando que o aluno as copie, assim se obtendo mais a sua atenção e economizando tempo, bem
como definindo com clareza o que se deve estudar. Para o seu aprendizado, são imprescindíveis
as explicações dadas nas aulas, quando, então, se detalham muitas das passagens matemáticas.
1
Sumário
I CÁLCULO INTEGRAL 5
1 Integração 6
1.1 Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Definição de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Teorema fundamental do Cálculo, Parte 1 (TFC-I) . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Teorema fundamental do Cálculo, Parte 2 (TFC-II) . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Regras básicas da integração indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Integração por Mudança de Variável Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Aplicação da regra da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 A Regra da substituição aplicada a integrais definidas . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Justificativa da regra da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.4 A regra da substituição em integrais da forma
´
f
(
g(x)
)
kg′(x)dx . . . . . 15
1.6 Fórmula de Leibniz da derivada de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Área entre o eixo x e o gráfico da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 Área entre dois gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.3 Opção de Cálculo da área por integrações em x ou y . . . . . . . . . . . 19
2 Técnicas de Integração 21
2.1 Integração das Funções Trigonométricas e de tannx . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 O método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Integrações sucessivas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2.1 O método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2.2 Integrais das potências ímpares positivas de sec x . . . . . . . . 24
2.3 Integração de Produtos de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Integrais da forma
´
senpx cosqx dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1.1 Caso de p ou q ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1.2 Caso de p e q pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Integrais da forma
´
tanp x secq x dx ou
´
cotp x cscq x dx . . . . . . . . . . 26
2.3.2.1 Caso de p genérico e q = 2k + 2 > 0 (secante com expoente par
não nulo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
2.3.2.2 Tangente com expoente par e secante com expoente ímpar . . . 27
2.3.3 As integrais
´
senax cos bx dx ,
´
senax senbx dx e
´
cos ax cos bx dx . . . . 28
2.4 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 Integrais envolvendo
√
a2 − x2 , com x ∈ [−a, a] . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 Integrais envolvendo
√
x2 + a2 , com x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 Integrais envolvendo
√
x2 − a2 , com x ⩽ −a ou x ⩾ a (i.e., |x| ⩾ a) . . . 32
2.5 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1 Denominador com fatores lineares distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1.1 O método de igualar coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1.2 O método de substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 Denominador com fatores lineares repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Denominador com fatores quadráticos irredutíveis . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.4.1 Quociente de polinômios que não é irredutível . . . . . . . . . . 41
2.5.4.2 Uso irrefletido de frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.4.3 Empregar frações parciais ou substituição trigonométrica? . . . 41
2.6 Integral de (Ax+B)/(ax2 + bx+ c)γ , com a ̸= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Substituições Diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.1 Raízes n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.2 Tangente do arco-metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Algumas Aplicações da Integral e Extensões do Conceito de Integral 48
3.1 Algumas Aplicações da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 O raciocínio por infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2 Volume de sólido de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Extensões do Conceito de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Integrais impróprias com intervalos de integração ilimitados . . . . . . . 56
3.2.2 Integrais impróprias com integrandos ilimitados . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Critérios de verificação da convergência de integrais impróprias . . . . . . 62
4 Exercícios 66
5 Apêndice 68
5.1 Prova do teorema do valor médio para integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Justificativa da expansão de função racional em frações parciais . . . . . . . . . 68
II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 72
6 Noções Fundamentais 73
6.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 EDO Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 EDO e Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.1 Nomenclatura das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.2 Formação de EDOs a partir das soluções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.4 Problemas de Valor Inicial e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3
7 Solução de EDOs de 1a Ordem Especiais 80
7.1 Separável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.5 Redutível à Separável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.6 Redutível à Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.7 Redutível à Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.8 Redutível à Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.8.1 Equação deBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.8.2 Equação de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.9 Equação de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.10 Equação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.11 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.11.1 Crescimento Populacional e Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . 95
7.11.2 Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.11.3 Aplicações diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 EDO Linear de Ordem N 105
8.1 Noções Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.1 Independência e dependência linear de funções . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.2 Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Solução Geral de uma EDO Linear Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4 EDO Linear de Ordem N Homogênea de Coeficientes Constantes . . . . . . . . . 110
8.4.1 Raízes distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.4.2 Raízes repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.4.3 Raízes imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.4.4 Raízes imaginárias repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.5 Equação de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.6 Solução Geral de uma EDO Linear não homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.7 Solução Particular pelo Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método das
Famílias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.8 Solução Particular pelo Método da Variação dos Parâmetros (ou das Constantes) 119
8.9 Redução de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.9.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.9.2 O método da redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9 Exercícios 129
10 Apêndice 135
10.1 Fórmula de Leibniz para as Derivadas de um Produto . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2 Prova do Teorema 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.3 Prova do Teorema 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.4 Prova do Teorema 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.5 Prova da Equação (8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.6 Equação (8.4) – complementando a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4
Parte I
CÁLCULO INTEGRAL
5
Capítulo 1
Integração
1.1 Integral Definida
1.1.1 Definição de Riemann
Considere uma função f : I → R , onde I = [a, b], um intervalo fechado de extremos a e b
finitos. Define-se a integral definida de f desde a até b, também dita integral definida de f em
I na direção do eixo x, denotada por
´ b
a
f(x) dx (a é o limite inferior da integral, e b é o limite
superior), por ˆ b
a
f(x) dx ≡ lim
N→∞
∆xi→0
N∑
i= 1
f(ci)∆xi︸ ︷︷ ︸
soma de Riemann
,
onde, como mostra a figura abaixo, ∆xi ≡ xi − xi−1 (i = 1, 2 · · ·N) são as larguras dos N
subintervalos em que se subdivide o intervalo de integração I = [a, b], e ci é um ponto qualquer
do intervalo [xi−1, xi]. O conjunto de pontos P = {x0, x1, · · · , xN}, onde a = x0 < x1 < · · · <
xN = b, usado para dividir [a, b] em N subintervalos define uma partição de I = [a, b], e a soma
de Riemann (o somatório acima) é dita referir-se à partição P e aos números ci empregados.
 
 
i
c
1 1 0x x x ! " 1N N N
x x x
"
 ! "1i i i
x x x
"
 ! "
1x 1ix " i
x 1N
x
"
| |
0
a
x
| |
N
b
x
 x 
Pela definição acima, a integral definida de f em I na direção contrária do eixo x, isto é,´ a
b
f(x) dx, é obtida com os pontos de uma partição P = {x0, x1, · · · , xN} de I = [a, b] como
mostra a figura abaixo, ordenados do mesmo modo, do limite inferior x0 = b da integral para o
limite superior xN = a. Neste caso nota-se que todo ∆xi < 0 :
 
 
i
c
1 0
N N N
x x x
 
! " # 1 1 0 0x x x! " #1 0
i i i
x x x
 
! " #
1x 1ix i
x1N
x
 
| |
0
b
x
| |
N
a
x
 x 
6
Se o limite acima existe, isto é, se ele é finito e único independentemente da partição empre-
gada e da escolha dos ci, então a função f é dita integrável em I segundo Riemann.
Na definição de integral definida acima, note que não basta indicar que o limite deve ser
efetuado apenas sob a condição N → ∞, porque esta não garante que a condição de todo
∆xi → 0 seja satisfeita; mas esta condição implica naquela (se a ̸= b). Apesar disso, é comum,
para simplificar a notação, indicar apenas a condição N → ∞ , ficando implícita a imposição da
outra condição.
Demonstra-se que, se em I a função f é contínua ou é limitada com um número finito de
descontinuidades, então ela é integrável em I.
1.1.2 Interpretação geométrica
a b 1c
ic x
ix 
1( )f c
( )if c
y i-ésimo
retângulo
gráfico de ( )f x 
1x 
Soma de Riemann com N = 10 subdivisões
a
!
x 
y
2A
1A 3A
4A
5A
b
!
gráfico de ( )f x 
Na figura ao lado, |f(ci)∆xi| é a área do
i-ésimo retângulo (o que se encontra hachu-
rado, de base |∆xi| e altura |f(ci)|). Observe
que f(ci)∆xi pode ser positivo ou negativo,
dependendo dos sinais de f(ci) e ∆xi .
Se b > a (como na figura), então ∆xi é po-
sitivo e, portanto, f(ci)∆xi tem o mesmo si-
nal de f(ci). Logo, quando N → ∞ (número
de subdivisões tende a infinito) e ∆xi → 0,
a soma de Riemann tende à soma das áreas
acima do eixo x menos a soma das áreas
abaixo deste, entendendo-se por "área" a da
região entre o eixo x e o gráfico da função em
[a, b]. Assim, no caso do gráfico mostrado na
figura inferior à direita, temos que
ˆ b
a
f(x) dx = −A1 + A2 − A3 + A4 − A5 .
Para exemplificar o cálculo da integral definida pela soma de Riemann, calculemos
´ 1
0
x2dx
dividindo o intervalo de integração [0, 1] em N partes iguais. Nesse caso, a partição é definida
pelas abscissas x0 = 0, x1 = 1/N , x2 = 2/N , · · · , xi = i/N , · · · , xN = 1, tendo todos a mesma
largura: ∆xi = 1/N . Logo, se em cada subintervalo [xi−1, xi] tomarmos ci = xi = i/N , obtemos
1
1 N
x
 
!
2
2 N
x
 
! 1ix 
!
i
i N
x
 
!0
!
1
!
1x" 2x"
i
i N
x" #
x
y
 
2y x#
 
$ %
22( ) i
i i N
f c c# #
1 
i-ésimo
retângulo
2
2
i
N
ic
ˆ 1
0
f(x)︸︷︷︸
x2
dx = lim
N→∞
N∑
i= 1
f(ci)∆xi︸ ︷︷ ︸
área do i-ésimo
retângulo
= lim
N→∞
N∑
i= 1
c2i
1
N
= lim
N→∞
N∑
i= 1
( i
N
)2 1
N
= lim
N→∞
1
N3
( N∑
i= 1
i2
)
︸ ︷︷ ︸
N3
3
+N2
2
+N
6
= lim
N→∞
( 1
3
+
1
2N
+
1
6N2
)
=
1
3
.
7
1.2 Propriedades da Integral Definida
Da definição de integral definida constata-se imediatamente essas duas propriedades:
i)
ˆ a
a
f(x) dx = 0 e ii)
ˆ b
a
f(x) dx = −
ˆ a
b
f(x) dx
[a prop. (ii) decorre dos sinais constrários de ∆xi nas somas de Riemann das duas integrais].
Com um certo trabalho (que não é apresentado neste texto) também podem ser provadas
as propriedades abaixo a partir da definição de integral definida, cuja interpretação geométrica,
entretanto, fornece uma maneira fácil de entender por que cada uma delas é verdadeira:
iii) Integral de uma função constante f(x) = c :
ˆ b
a
c dx = c(b− a)
iv)
ˆ b
a
cf(x) dx = c
ˆ b
a
f(x) dx
v)
ˆ b
a
[f(x) + g(x)]dx =
ˆ b
a
f(x) dx+
ˆ b
a
g(x) dx
vi)
ˆ b
a
[c1f(x) + c2g(x)]dx = c1
ˆ b
a
f(x) dx+ c2
ˆ b
a
g(x) dx ..................(linearidade)
vii) f(x) ⩾ 0 ∀x ∈ [a, b] ⇒
ˆ b
a
f(x) dx ⩾ 0
viii) f(x) ⩽ g(x) ∀x ∈ [a, b] ⇒
ˆ b
a
f(x) dx ⩽
ˆ b
a
g(x) dx
ix) |
ˆ b
a
f(x) dx| ⩽
ˆ b
a
|f(x)|dx (a < b)
a c b x
( )f x
a c b x
( )f xy 
( )f c
áreahachurada =
 = ( )
b
a
f x dx 
 = área do retângulo
 = ( )( )f c b a! 
retângulo 
x) Aditividade do intervalo de integração:ˆ b
a
f(x) dx =
ˆ c
a
f(x) dx+
ˆ b
c
f(x) dx
xi) Teorema do Valor Médio (TVM) p/ integrais
(provado na seç. 5.1):
" Se f é uma função contínua em [a, b] então existe
c nesse intervalo tal que
´ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a) ."
xii) Integral de função par ou ímpar no intervalo [−c, c] (simétrico em relação à origem):
0
( ) 2 2 ( )
c c
c
f x dx A f x dx
 
! !" "
( )y f x!
cc 
A A 
x 
y 
( ) 0
c
c
g x dx A A
 
! # !"
( )y g x!
c 
c 
A 
x 
y 
A 
• Se f é uma função par:ˆ c
−c
f(x) dx = 2
ˆ c
0
f(x) dx
• Se g é uma função ímpar:ˆ c
−c
g(x) dx = 0
8
1.3 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Até o momento, os conceitos de derivada e de integral definida de uma função não apresentam
qualquer vinculação entre eles. Parecem independentes, nada tendo a ver um com o outro, um
sendo interpretado como o coeficiente angular da reta tangente, e o outro relacionado à área
entre o eixo x e o gráfico da função. O teorema seguinte – denominado Teorema Fundamental do
Cálculo – estabelece uma profunda relação entre diferenciação e integração, além de fornecer um
meio de calcular a integral definida sem usar a soma de Riemann. Antes de prosseguir, convém
fazer umas observações e definições preliminares, começando por relembrar alguns conceitos já
estudados em Cálculo 1:
1.3.1 Conceitos preliminares
Continuidade de uma função num intervalo fechado:
Uma função f é dita contínua em [a, b] se for contínua em (a, b), isto é,
lim
x→x0
f(x) = f(x0) ∀x0 ∈ (a, b) ,
e se for lateralmente contínua nos extremos desse intervalo, isto é,
lim
x→a+
f(x) = f(a) e lim
x→b−
f(x) = f(b) .
Teorema do valor médio (TVM):
Se f for contínua em [a, b] e derivável em (a, b) então existe pelo menos um real c em (a, b)
tal que f(b)− f(a) = f ′(c) (b− a).
Reveja a prova deste teorema num livro de Cálculo 1.
Teorema da derivada nula:
Uma função f contínua em [a, b] que tem derivada nula em (a, b) é constante naquele intervalo
fechado.
Prova: Para qualquer x ∈ (a, b], temos, pelo TVM, que existe c ∈ (a, x) tal que
f(x)− f(a) = f ′(c)︸ ︷︷ ︸
0
(x− a) = 0 ⇒ f(x) = f(a) □
Definição de primitiva ou antiderivada:
Uma função F é chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f num intervalo aberto
se F ′ = f nesse intervalo. Por exemplo, senx é uma primitiva de cos x em qualquer intervalo
aberto, pois ( senx) ′ = cos x ∀x ∈ R. Dizemos "uma" primitiva, em vez de "a" primitiva,
porque, se F é uma primitiva de f , isto é, se F ′ = f , então F + c, com qualquer constante c,
também é, pois (F + c) ′ = f .
Observe também que uma primitiva, sendo derivável, é necessariamente uma função contínua
no intervalo (a, b) considerado, mas não em [a, b], pois nada garante que sua continuidade se
estenda lateralmente aos extremos desse intervalo fechado (pela direita de a e pela esquerda de
b). Entretanto, no que segue, admite-se que toda primitiva F de f num intervalo (a, b) tem sua
continuidade estendida aos extremos desse intervalo, isto é, F é contínua em [a, b].
9
Teorema das primitivas de uma função:
Duas primitivas quaisquer F e G de uma função f em (a, b) que são contínuas em [a, b] podem
diferir apenas por uma constante neste intervalo fechado.
Prova: Como F −G é contínua em [a, b], e (F −G) ′ = F ′−G ′ = f − f = 0 em (a, b), então,
pelo teorema da derivada nula, F −G é constante em [a, b] □
Podemos agora tratar do teorema fundamental do Cálculo, que é frequentemente dividido
em duas partes.
1.3.2 Teorema fundamental do Cálculo, Parte 1 (TFC-I)
área ( ) ( )
x
a
g x f t dt !
( )y f t 
y
0 a x b t
Se f é uma função contínua em [a, b], então a função definida por
g(x) =
ˆ x
a
f(t) dt é contínua nesse intervalo, é uma primitiva de f
em (a, b), isto é,
g′(x) =
d
dx
ˆ x
a
f(t) dt = f(x) ∀x ∈ (a, b) ,
e tem as derivadas laterais g′+(a) = f(a) e g′−(b) = f(b) .
Prova: Para x ∈ (a, b), temos que
g′(x) = lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= lim
h→0
´ x+h
a
f(t) dt−
´ x
a
f(t) dt
h
(1)
= lim
h→0
´ x+h
x
f(t) dt
h
(2)
= lim
h→0
f(x∗)SSh
SSh
∣∣∣∣ algum x∗
em [x , x+h]
(3)
= f(x) ,
onde a passagem indicada por (1) é justificada pela propriedade da aditividade do intervalo de
integração:
´ x+h
a
f(t) dt =
´ x
a
f(t) dt +
´ x+h
x
f(t) dt ; a indicada por (2) decorre do TVM para
integrais de funções contínuas:
´ x+h
x
f(t) dt = f(x∗)h para algum x∗ ∈ [x, x+ h] ; já a passagem
(3) segue do limite x∗
h→ 0−−−→ x e da continuidade de f .
Do resultado acima também se conclui que, sendo diferenciável em (a, b), g é contínua neste
intervalo.
Similarmente provamos que g′+(a) = f(a) e g′−(b) = f(b), bastando considerar limites laterais
nos cálculos acima. Da existência dessas derivadas laterais decorre a continuidade lateral de g
em x = a e x = b □
1.3.3 Teorema fundamental do Cálculo, Parte 2 (TFC-II)
Para uma função f contínua em [a, b], tem-se que
ˆ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a), se F for uma
primitiva de f em (a, b) contínua em [a, b].
Prova: Tal qual F , a função definida por
´ x
a
f(t) dt, segundo o TFC-I, também é uma
primitiva de f em (a, b) contínua em [a, b], valendo, portanto, de acordo com o teorema das
10
primitivas de uma função, a seguinte equação, para alguma constante c:
F (x)−
ˆ x
a
f(t) dt = c , com x ∈ [a, b] .
A substituição x = a nessa equação fornece
F (a)−
ˆ a
a
f(t) dt︸ ︷︷ ︸
0
= c ⇒ c = F (a) .
Usando esse resultado naquela mesma equação, agora com x = b, concluímos a prova:
F (b)−
ˆ b
a
f(t) dt = F (a) ⇒
ˆ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a) □
A principal vantagem do TFC-II é a de prover um modo de calcular a integral definidaˆ b
a
f(x) dx , quando se conhece uma primitiva F de f , por meio de uma simples diferença,
F (b) − F (a) , que é corriqueiramente assim denotada: F (b) − F (a) ≡ F (x)
∣∣∣b
a
ou
[
F (x)
]b
a
; por
exemplo, [
x3 − 2x+ 2
]1
−1
=
[
(1)3 − 2(1) + 2
]
−
[
(−1)3 − 2(−1) + 2
]
= −2 .
Como ilustração do cálculo de integral definida usando o TFC-II, note que x + x3/3 é uma
primitiva de 1+ x2 [i.e., (x+ x3/3) ′ = 1+ x2] , ambas as funções satisfazendo as condições desse
teorema; logo, ˆ 2
1
(1 + x2) dx =
[
x+
x3
3
]2
1
=
[
2 +
8
3
]
−
[
1 +
1
3
]
=
10
3
.
1.4 Integrais Indefinidas
Pelo exposto, é evidente que o cálculo de primitivas de funções é importante. As diversas
técnicas disponíveis para obtê-las serão estudadas no capítulo 2. Abaixo apresentamos tão
somente as regras básicas desse cálculo e a técnica baseada na mudança de variáveis. Sobre elas,
convém enfatizar que, se acharmos uma primitiva g de uma função f , teremos automaticamente
uma infinidade delas, a saber, todas as funções da forma g+ c. Por exemplo, sendo (x2/2) ′ = x,
temos que todas as primitivas da função f(x) = x são dadas por g(x) = x2/2+ c. Também, se g
é uma função tal que g′(x) = 0 então g(x) = c (uma constante arbitrária é primitiva da função
nula).
1.4.1 Definição
O TFC diz que se g(x) é uma primitiva de f(x) [i.e., g′(x) = f(x)] então
ˆ x
a
f(t) dt = g(x)−g(a)︸ ︷︷ ︸
c
= g(x) + c, que é a primitiva mais genérica de f(x)
(a partir de agora, a não ser que se afirme o contrário, c denota uma constante arbitrária),
mostrando que a integral definida de f(x) num intervalo [a, x], de limite superior variável, ou
11
indefinido, fornece a antiderivada mais genérica de f(x). Isto sugere definirmos a integral inde-
finida de f , denotada por
´
f(x) dx, como segue:
ˆ
f(x) dx ≡ g(x) + c , onde g′(x) = f(x) .
O processo para calcular
´
f(x) dx, isto é, para achar a primitiva g(x) + c mais genérica de
f(x), é chamado de integração indefinida. Por exemplo, a integral indefinida de f(x) = x é´
f(x) dx =
´
x dx = x2/2 + c .
1.4.2 Regras básicas da integração indefinida
Regras genéricas:
i)
( ˆ
f(x) dx
)′
= f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a derivada da integral de f é f
ii)
ˆ
f ′(x) dx = f(x) + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . a integral da derivada de f é f + c
iii)
ˆ
cf(x) dx = c
ˆ
f(x) dx
iv)
ˆ
[f(x) + g(x)] dx =
ˆ
f(x) dx+
ˆ
g(x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . regra da adição
v)
ˆ
[c1f(x) + c2g(x)] dx = c1
ˆ
f(x) dx+ c2
ˆ
g(x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . regra da linearidade
Regras específicas:
As várias fórmulas de diferenciação fornecem, se "lidas de trás para a frente", várias fórmulas
de integração indefinida; assim obtemos, por exemplo:
•
ˆ
dx = x+ c •
ˆ
exdx = ex + c
•
ˆ
cos x dx = senx+ c •
ˆ
senx dx = − cos x+ c
•
ˆ
sec2x dx = tan x+ c •
ˆ
csc2x dx = − cot x+ c
•
ˆ
sec x tan x dx = sec x+ c •
ˆ
csc x cot x dx = − csc x+ c
•
ˆ
dx√
1− x2
= arcsenx (ou −arccos x) + c •
ˆ
dx
1 + x2
= arctan x (ou −arccotx) + c
•
ˆ
dx
|x|
√
x2 − 1
= arcsecx (ou −arccscx) + c •
ˆ
xαdx =

xα+1
α + 1
+ c se α ̸= −1
ln |x|+ c se α = −1 (∗)
(∗) Esse último resultado pode ser verificado derivando-se ln |x|:
[
ln |x|
]′
=

[
ln x
]′
=
1
x
(se x > 0)[
ln(−x)
]′
=
1
−x
· (−1) =
1
x
(se x < 0)
〉
⇒
[
ln |x|
]′
=
1
x
⇒
ˆ
1
x
dx = ln |x|+ c .
12
Exemplifiquemos essas regras genéricas e específicas da integral indefinida:
1)
ˆ
(5x+
√
x− 7) dx =
ˆ
5x dx+
ˆ √
x dx+
ˆ
(−7) dx = 5
ˆ
x dx+
ˆ
x1/2 dx− 7
ˆ
dx
= 5
[
x1+1
1 + 1
+ c1
]
+
[
x(1/2)+1
(1/2) + 1
+ c2
]
− 7[x+ c3]
=
5
2
x2 +
2
3
x3/2 − 7x+ (5c1 + c2 − 7c3)︸ ︷︷ ︸
c
2)
ˆ
x4 + 3x2 + 5
x2
dx =
ˆ (
x2 + 3 + 5x−2
)
dx =
x3
3
+ 3x− 5x−1 + c
3)
ˆ
(y 3
√
y + 1)2 dy =
ˆ
(y4/3 + 1)2dy =
ˆ
(y8/3 + 2 y4/3 + 1) dy =
3
11
y11/3 +
6
7
y7/3 + y + c
4)
ˆ 4
1
1− x√
x
dx =
ˆ 4
1
(x−1/2 − x1/2) dx =
[
x1/2
1/2
− x3/2
3/2
]4
1
= · · · = −8
3
5)
ˆ 2
0
|1− x| dx =
ˆ 1
0
|1− x| dx+
ˆ 2
1
|1− x| dx =
ˆ 1
0
(1− x) dx+
ˆ 2
1
(x− 1) dx
=
[
x− x2
2
]1
0
+
[
x2
2
− x
]2
1
=
[
1− 1
2
− 0
]
+
[
22
2
− 2−
(
12
2
− 1
)]
= 1
6)
ˆ 3
0
|x2 − 3x+ 2| dx =
ˆ 1
0
(x2 − 3x+ 2) dx+
ˆ 2
1
(−x2 + 3x− 2) dx+
ˆ 3
2
(x2 − 3x+ 2) dx
=
[
x3
3
− 3x2
2
+ 2x
]1
0
+
[
−x3
3
+
3x2
2
− 2x
]2
1
+
[
x3
3
− 3x2
2
+ 2x
]3
2
= · · · = 11
6
1.5 Integração por Mudança de Variável Simples
1.5.1 Aplicação da regra da substituição
Apresentamos agora a integração por mudança de variável, ou por substituição, através dos
seguintes exemplos (a sua justificada é fornecida na seç. 1.5.3 adiante):
1)
ˆ
x(x2 + 5)100dx =
ˆ
( x2 + 5︸ ︷︷ ︸
u
)100 x dx︸︷︷︸
du/2
=
1
2
ˆ
u100du =
1
2
u101
101
+ c =
(x2 + 5)101
202
+ c
[onde u ≡ x2 + 5 ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2 ] .
2)
ˆ √
7x+ 2 dx =
ˆ √
u︸︷︷︸
u1/2
du
7
=
1
7
u3/2
3/2
+ c =
2
21
(7x+ 2)3/2 + c
[onde u ≡ 7x+ 2 ⇒ du = 7 dx ⇒ dx = du/7 ] .
3)
ˆ
x2 dx
(x3 + 4)5
=
ˆ
du/3
u5
=
1
3
ˆ
u−5du =
1
3
u−4
−4
+ c = − 1
12(x3 + 4)4
+ c
[onde u ≡ x3 + 4 ⇒ du = 3x2dx ⇒ x2dx = du/3 ] .
4)
ˆ
x2
√
3− 2x dx =
ˆ (3− u
2
)2√
u
(−du
2
)
= −1
8
ˆ
(9− 6u+ u2) u1/2du
13
= −1
8
ˆ
(9u1/2 − 6u3/2 + u5/2) du = −1
8
(9u3/2
3/2
− 6u5/2
5/2
+
u7/2
7/2
)
+ c
= −3
4
(3− 2x)3/2 +
3
10
(3− 2x)5/2 − 1
28
(3− 2x)7/2 + c
[onde u ≡ 3− 2x ⇒ x = (3− u)/2 ⇒ dx = −du/2 ] .
5)
ˆ
t dt√
t+ 5
=
ˆ
(u− 5) du√
u
=
ˆ
(u1/2 − 5u−1/2) du =
u3/2
3/2
− 5
u1/2
1/2
+ c
=
2
3
√
(t+ 5)3 − 10
√
t+ 5 + c [onde u ≡ t+ 5 ⇒ du = dt e t = u− 5 ] .
Esse mesmo resultado é obtido com a seguinte mudança de variável, distinta da anterior:
v ≡
√
t+ 5 ⇒
{
dv = dt/(2
√
t+ 5 ) = dt/(2v) ⇒ dt = 2vdv
v2 = t+ 5 ⇒ t = v2 − 5
∴
ˆ
t dt√
t+ 5
=
ˆ
(v2 − 5) 2�v dv
�v
= 2
(v3
3
− 5v
)
+ c =
2
3
√
(t+ 5)3 − 10
√
t+ 5 + c .
1.5.2 A Regra da substituição aplicada a integrais definidas
1) Para calcular a integral definida
ˆ 1
0
x
√
9− 5x2 dx , primeiramente calculamos a integral
indefinida
ˆ
x
√
9− 5x2 dx =
ˆ √
u
(−du
10
)
= − 1
10
u3/2
3/2
= − 1
15
(9− 5x2)3/2 ,
onde se fez a mudança de variável
u ≡ 9− 5x2 ⇒ du = −10x dx ⇒ x dx = −du/10 ,
para, então, usando o TFC-II, obter o resultado desejado:
ˆ 1
0
x
√
9− 5x2 dx =
[
− 1
15
(9− 5x2)
3/2
]1
0
= − 1
15
(
43/2︸︷︷︸
8
− 93/2︸︷︷︸
27
)
= − 1
15
(8− 27) =
19
15
.
Mais rápido, e geralmente mais conveniente, é, ao realizar a mudança de variável, também
mudar os limites de integração na integração definida realizada na nova variável u. Tendo em
conta que se u = 9 − 5x2 então x = 0 ⇒ u = 9 e x = 1 ⇒ u = 4 , o que pode ser representado
pela tabela x 0 1
u 9 4
, temos que
ˆ 1
0
x
√
9− 5x2 dx =
ˆ 4
9
√
u
(−du
10
)
=
−1
10
u3/2
3/2
∣∣∣∣4
9
= − 1
15
(
43/2︸︷︷︸
8
− 93/2︸︷︷︸
27
)
=
19
15
.
2)
ˆ 2
1
t2dt
(t3 + 2)2
=
ˆ 10
3
du/3
u2
=
1
3
ˆ 10
3
u−2du =
u−1
−3
∣∣∣∣10
3
=
−1
3
(
1
10
− 1
3
)
=
7
90
.
onde se fez u = t3 +2 ⇒ du = 3t2dt ⇒ t2dt =
du
3
e os limites mudaram assim: t 1 2
u 3 10
.
14
1.5.3 Justificativa da regra da substituição
Considere uma função g com derivada contínua no seu domínio [a, b] (∗), e sejam f e F funções
contínuas em [A,B] = Im(g), sendo F ′ = f em (A,B). Pelo TFC-II, temos, por um lado, que
(†) ˆ b
a
f
(
g(x)
)
g′(x)dx =
[
F
(
g(x)
)]b
a
= F
(
g(b)
)
− F
(
g(a)
)
,
e, por outro, que ˆ g(b)
g(a)
f(u)du = F
(
g(b)
)
− F
(
g(a)
)
.
Portanto, comparando os membros esquerdos das duas equações acima, obtemos a seguinte
regra de transformação de uma integral definida em que se muda a variável de integração de x
para u = g(x): ˆ b
a
f
(
g(x)
)
g′(x)dx
u = g(x)
=
ˆ g(b)
g(a)
f(u)du .
Observe que a nova forma da integral definida, no membro direito dessa equação, resulta de uma
substituição formal baseada na definição g′(x)dx = du da diferencial da função u = g(x), o que
facilita lembrar o uso dessa regra.
É exatamente essa regra que é usada nos exemplos da seç. 1.5.2.
Desconsiderando os limites de integração nela, temos a regra de mudança de variáveis para
integrais indefinidas, usada na seç. 1.5.1.
1.5.4 A regra da substituição em integrais da forma
´
f
(
g(x)
)
kg′(x)dx
Em integrais como essa (sendo k = const.), se a função f tem uma primitiva F conhecida
(ou, em outros termos, f é uma derivada conhecida), então basta fazer a substituição u = g(x),
donde du = g′(x)dx, para que a integral se transforme noutra fácil de calcular:
ˆ
f
(
g(x)
)
kg′(x)dx = k
ˆ
f(u)du = kF (u) + c = kF
(
g(x)
)
+ c .
Exemplos:
1)
ˆ √
5x2 − 3 x dx
u = 5x2−3
=
du = 10x dx
ˆ √
u
du
10
=
1
10
u3/2
3/2
+ c =
1
10
(5x2 − 3)3/2
3/2
+ c
2)
ˆ
e6
√
x
√
x
dx
u = 6
√
x
=
du = 3 dx√
x
ˆ
eu
du
3
=
1
3
eu + c =
1
3
e6
√
x + c
3)
ˆ
(6x− 1) sen5(3x2 − x+ 1) cos(3x2 − x+ 1) dx
u = sen(3x2−x+1)
=
du =(6x−1) cos(3x2−x+1) dx
=
ˆ
u5du =
u6
6
+ c =
1
6
sen6(3x2 − x+ 1) + c
(∗) Estamos considerando continuidade e diferenciabilidade laterais nos extremos desse intervalo: lim
x→a+
g′(x)
= g′+(a) e lim
x→b−
g′(x) = g′−(b) .
(†) Note que
[
F
(
g(x)
)]′
= F ′(g(x))g′(x) = f
(
g(x)
)
g′(x) .
15
4)
ˆ
sec85x tan 5x dx =
ˆ
sec75x sec 5x tan 5x dx︸ ︷︷ ︸
du/5
u = sec 5x
=
du = 5 sec 5x tan 5x dx
ˆ
u7 du
5
=
u8
40
+c =
sec8 5x
40
+c
5)
ˆ
2x
1 + x4
dx =
ˆ
2x
1 + (x2)2
dx
u = x2
=
du = 2x dx
ˆ
du
1 + u2
= arctan u+ c = arctan x2 + c
6)
ˆ
u′(x)
u(x)
dx
du = u′(x)dx
=
ˆ
du
u
= ln |u|+ c
Usando essa fórmula em 6), é imediato o cálculo da integral de uma fração cujo numerador
(a menos de um fator constante) é a derivada do denominador, como nesse próximo exemplo:
7)
ˆ
cos x− x
2 senx− x2 + 3
dx =
1
2
ˆ u′︷ ︸︸ ︷
2 cos x− 2x
2 senx− x2 + 3︸ ︷︷ ︸
u
dx =
1
2
ln |u|+ c =
1
2
ln |2 senx− x2 + 3|+ c
8)
ˆ
sen ln(3x+ 1)
3x+ 1
dx
u = ln(3x+1)
=
du = 3 dx
3x+1
ˆ
senu
du
3
= −1
3
cos u+ c = −1
3
cos ln(3x+ 1) + c
9)
ˆ
sec x tan x
1 + sec2x
dx
u = secx
=
du = secx tanx dx
ˆ
du
1 + u2
= arctan u+ c = arctan sec x+ c
1.6 Fórmula de Leibniz da derivada de integral definida
Considere uma função f contínua e funções a e b diferenciáveis. Denotando por F uma
primitiva de f , obtemos, usando o TFC-II e, em seguida, a regra da cadeia, a seguinte fórmula:
d
dx
ˆ b(x)
a(x)
f(t) dt =
d
dx{
F
(
b(x)
)
− F
(
a(x)
)}
=
f
F ′
(
b(x)
)
b′(x)−
f
F ′
(
a(x)
)
a′(x)
= f
(
b(x)
)
b′(x)− f
(
a(x)
)
a′(x) .
Note que essa fórmula:
i ] com a(x) = a (const.) e b(x) = x torna-se
d
dx
ˆ x
a
f(t) dt = f(x) : o TFC-I.
ii ] é um caso particular da fórmula de Leibniz da derivada de integral definida , dada (sem demonstração e sem
as condições para a sua validade) por
d
dx
ˆ b(x)
a(x)
f(x, t)dt =
ˆ b(x)
a(x)
∂f
∂x
(x, t)dt+ f
[
x, b(x)
]
b′(x)− f
[
x, a(x)
]
b′(x) ,
na qual, em contraste com a anterior, a função f no integrando depende de duas variáveis: t (a variável de
integração) e x (a variável da função que resulta da integração, em relação à qual a derivada é calculada).
Exemplos de aplicação (da primeira fórmula acima, menos genérica):
1) y =
ˆ x
−43
dt
5 + t4
⇒ dy
dx
=
d
dx
ˆ x
−43
dt
5 + t4
=
1
5 + x4
16
2) y =
ˆ x
0
|v| dv ⇒ dy
dx
= |x|
Os resultados nesses dois exemplos acima seguem diretamente do próprio TFC-I, mas não os
seguintes.
3)
d
dx
ˆ x2
3
(5t+ 7)25dt = (5x2 + 7)25(2x)
4)
d
dx
ˆ 2
x2+1
3
√
u− 1 du = 0− 3
√
x2 + 1− 1 (2x) = −2x
3
√
x2
5)
d
dx
ˆ x−x2
x3
√
t3 + 1 dt =
√
(x− x2)3 + 1 (1− 2x)−
√
(x3)3 + 1 (3x2)
6) lim
x→0
ˆ x
−x
sent2dt
x3
l′H
= lim
x→0
d
dx
ˆ x
−x
sent2dt
d(x3)/dx
= lim
x→0
[ senx2](1)− [ sen(−x)2](−1)
3x2
= lim
x→0
senx2 + senx2
3x2
= lim
x→0
2 senx2
3x2
θ = x2
=
2
3
1︷ ︸︸ ︷
lim
θ→0
senθ
θ
=
2
3
Conhecendo-se uma primitiva da função no integrando, em vez de usar a fórmula acima,
podemos obviamente efetuar primeiramente a integral definida e depois derivar o resultado,
embora não haja vantagem nesse procedimento; resolvamos por essa maneira o problema no
Exemplo 3 novamente:
d
dx
ˆ x2
3
(5t+ 7)25dt =
d
dx
[
(5t+ 7)26
130
]x2
3
=
d
dx
[
(5x2 + 7)26 − 2226
130
]
=
26(5x2 + 7)25(10x)
130
= 2x(5x2 + 7)25 .
Esse modo já não seria aconselhável no caso do Exemplo 5, por causa da dificuldade de se
calcular a integral indefinida
´
sent2dt .
1.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas
1.7.1 Área entre o eixo x e o gráfico da função
x
a b
p q
y 
( )f x
1A
2A
3A
Considere a área hachurada A = A1 + A2 + A3 na figura ao
lado; trata-se da área da região limitada pelo intervalo [a, b] do
eixo x e o gráfico da função f(x). Essa área não é dada pela
integral
´ b
a
f(x) dx = −A1 + A2 − A3 , mas por
ˆ b
a
|f(x)| dx =
[
−
ˆ p
a
f(x) dx
]
︸ ︷︷ ︸
A1
+
[ ˆ q
p
f(x) dx
]
︸ ︷︷ ︸
A2
+
[
−
ˆ b
q
f(x) dx
]
︸ ︷︷ ︸
A3
.
17
x21
 ! 
 !
1
8
y
3( )y f x x" "
Exemplos:
1) Cálculo da área A (hachurada à direita) desde o eixo x
até o gráfico da função f(x) = x3 no intervalo de x = −1
a x = 2 :
A = −
ˆ 0
−1
x3dx+
ˆ 2
0
x3dx = −x4
4
∣∣∣∣ 0
−1
+
x4
4
∣∣∣∣2
0
=
1
4
+
16
4
=
17
4
unidade de área (u.a.)
5430 2 1 2
2
4
y
 4
3
2
4
x
y! "
2
2y x x! 
16 4y x! 
x
2) Idem (área A hachurada à direita), de
x=−2 a x= 5, para esta função:
f(x) =

2 + (x3/4) (x < 0)
x2 − x− 2 (0 ⩽ x < 3)
16− 4x (3 ⩽ x)
A =
ˆ 0
−2
(
2 +
x3
4
)
dx −
ˆ 2
0
(x2 − x− 2) dx
+
ˆ 3
2
(x2 − x− 2) dx +
ˆ 4
3
(16− 4x) dx
−
ˆ 5
4
(16− 4x) dx =
73
6
u.a.
t/2 
seny t 
1
A
5 /2 
y 
3) Idem, para f(x) = sen(5πx/4) , x ∈ [0, 2] :
A =
ˆ 2
0
| sen 5πx
4
| dx
t = sen 5πx
4=
4
5π
ˆ 5π
2
0
| sent| dt︸ ︷︷ ︸
5A1
=
4
5π
· 5
[ ˆ π
2
0
sent dt
]
︸ ︷︷ ︸
A1
=
4
π
[
− cos t
]π
2
0
=
4
π
u.a.
1.7.2 Área entre dois gráficos
1X e 2X são as abscissas dos pontos onde 
o gráf( )f intercepta o gráf( )g em [ , ]a b 
x 
( )f x
( )g x
( )g x
( )f x
( )f x
( )g x
( )f x
( )g x1X
2X
a b
ix 
( )ih c
18
Na figura acima, considerando uma partição de [a, b] como aquela na seç. 1.1.1, concluímos
que a área hachurada é dada por
A = lim
N→∞
∆xi→ 0
N∑
i= 1
h(ci)∆xi , com h(x) = |f(x)− g(x)| ,
isto é, por
A =
ˆ b
a
|f(x)− g(x)| dx =
ˆ x1
a
[f(x)− g(x)] dx+
ˆ x2
x1
[g(x)− f(x)] dx+
ˆ b
x2
[f(x)− g(x)] dx .
x2
1
4
y
 2 1 0
2
2
y x 
2y x !
x
y 
1
1 
 1
0 
e 
xy e 
lny x 
1/x e 
R
Nos exemplos a seguir, calcula-se a área A(R)
da região R dada:
1) R é a região hachurada à direita, entre o gráfico
de y = x+ 2 e o de y = x2 .
A(R) =
ˆ 2
−1
[
(x+ 2)− x2
]
dx =
9
2
u.a.
2) R é a região à direita, limitada pelos gráficos
de y = ex, y = ln x, y = −1, x = 0 e x = 1.
A(R) =
ˆ 1/e
0
[
ex − (−1)
]
dx+
ˆ 1
1/e
[
ex − ln x
]
dx
=
[
ex + x
]1/e
0
+
[
ex − (x ln x− x)
]1
1/e
=
[
e1/e + e−1
]
+
[
e+1− e1/e + (e−1 ln e−1 − e−1)
]
= e−1 + e− 2e−1 = (e− 1/e) u.a.
1.7.3 Opção de Cálculo da área por integrações em x ou y
xa b
 
!
y
2A
1
( ) ou
( )
y f x
x f y 
!
!
1A
1C
Uma equação envolvendo x e/ou y representa uma curva C
no plano xy. Resolvendo y em termos de x (se possível), obtemos
pelo menos uma relação funcional y = f(x) que representa uma
parte C1 daquela curva (podendo tal parte ser toda a curva). Se f
for inversível, essa porção C1 de C também pode ser representada
pela função x = f−1(y). As integrais de f e f−1, contudo, têm
significados distintos. A figura mostra queˆ b
a
f(x) dx = A1 e
ˆ β
α
f−1(y) dy = A2 .
No cálculo de área entre gráficos de funções, há a opção de realizar as integrações na va-
riável x ou y. Estude os dois exemplos seguintes de cálculo da área A(R) da região R dada.
19
x1 21/2
1 
2 
R
y x 
1/
ou
1/
y x
x y
 
 
y 
2y 
1) R é a região hachurada à direita, compreendida pelas
curvas y = x , xy = 1 e y = 2 :
A(R) =
ˆ 1
1/2
(2− 1/x) dx+
ˆ 2
1
(2− x) dx
=
[
2x− ln x
]1
1/2
+
[
2x− x2/2
]2
1
= (3/2− ln 2) u.a.
ou
A(R) =
ˆ 2
1
(y − 1/y) dy =
[
y2/2− ln y
]2
1
= 2− ln 2− 1/2 + 0 = (3/2− ln 2) u.a.
x
y ln ou yy x x e 
R
e1 
1 
 1
0 
21 ou 1x y y x ! " !
( 1y x ! corresponde
à parte que delimita R)
2) R (à direita) é limitada por y = ln x, y = 1 e x = 1− y2 :
A(R) =
ˆ 1
0
(1−
√
1− x ) dx+
ˆ e
1
(1− ln x) dx
=
[
x+ (2/3)(1− x)3/2
]1
0
+
[
x− (x ln x− x)
]e
1
= 1− 2/3 + e− 1− 1 = (e− 5/3) u.a.
ou
A(R) =
ˆ 1
0
[
ey − (1− y2)
]
dy =
[
ey − y + y3/3
]1
0
= e− 1 + 1/3− 1 = (e− 5/3) u.a.
20
Capítulo 2
Técnicas de Integração
2.1 Integração das Funções Trigonométricas e de tannx
As integrais das seis funções trigonométricas são
ˆ
cos x dx = senx+ c e
ˆ
senx dx = − cos x+ c
ˆ
tan x dx =
ˆ
senx
cos x
dx = −
ˆ
(cos x) ′
cos x
dx = − ln | cos x|+ c = ln | sec x|+ c
ˆ
cot x dx =
ˆ
cos x
senx
dx =
ˆ
( senx) ′
senx
dx = ln | senx|+ c = − ln | csc x|+ c
ˆ
sec x dx =
ˆ
sec x
tan x+ sec x
sec x+ tan x
dx =
ˆ
sec x tan x+ sec2x
sec x+ tan x
dx =
ˆ
(sec x+ tan x) ′
sec x+ tan x
dx
= ln | sec x+ tan x|+ c
ˆ
csc x dx =
ˆ
csc x
cot x+ csc x
csc x+ cot x
dx = −
ˆ
− csc x cot x− csc2x
csc x+ cot x
dx = −
ˆ
(csc x+ cot x) ′
csc x+ cot x
dx
= − ln | csc x+ cot x|+ c = ln | csc x− cot x|+ c
As integrais de tannx (n = 2, 3, 4, · · · ) podem ser assim calculadas:
ˆ
tan2x dx =
ˆ
(sec2x− 1) dx = tan x− x+ c
ˆ
tan3x dx =
ˆ
(tan x)(
tan2x︷ ︸︸ ︷
sec2x− 1) dx =
ˆ
tan x sec2x dx︸ ︷︷ ︸
(1/2) tan2x [∗]
−
ˆ
tan x dx︸ ︷︷ ︸
já calculadaˆ
tan4x dx =
ˆ
(tan2x)(sec2x− 1) dx =
ˆ
tan2x sec2x dx︸ ︷︷ ︸
(1/3) tan3x [∗]
−
ˆ
tan2x dx︸ ︷︷ ︸
já calculada
21
ˆ
tan5x dx =
ˆ
(tan3x)(sec2x− 1) dx =
ˆ
tan3x sec2x dx︸ ︷︷ ︸
(1/4) tan4x [∗]
−
ˆ
tan3x dx︸ ︷︷ ︸
já calculada
, e assim por diante.
[∗ ] Esses resultados são todos de integrais da forma
´
tankx sec2x dx que são assim calculadas:ˆ
tankx sec2x dx
u= tanx
=
du= sec2xdx
ˆ
ukdu =
uk+1
k + 1
=
tank+1x
k + 1
.
Analogamente integramos cotnx :ˆ
cot2x dx =
ˆ
(csc2x− 1) dx = − cot x− x+ c
ˆ
cot3x dx =
ˆ
(cot x)(
cot2x︷ ︸︸ ︷
csc2x− 1) dx =
ˆ
cot x csc2x dx︸ ︷︷ ︸
−(1/2) cot2x
−
ˆ
cot x dx︸ ︷︷ ︸
já calculada
,
e assim por diante, onde, para obter o resultado indicado na penúltima integral, substituímos
u = cot x (⇒ du = − csc2x dx).
2.2 Integração por Partes
2.2.1 O método
Integrando (uv)′ = u′v + uv′ , obtemos uv =
´
u′v dx+
´
uv′dx , donde
ˆ
u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
ˆ
u′(x)v(x)dx , (I)
ou, equivalentemente,substituindo u′(x)dx = du e v′(x)dx = dv ,
ˆ
u dv = uv −
ˆ
v du (∗) . (II)
O método da integração por partes consiste em, ao calcular
´
f(x)dx , usar a fórmula (I), ou
a (II), definindo adequadamente u(x) e v(x) de modo que u(x)v′(x) = f(x) [caso se use (I) ], ou
u e dv de modo que u dv = f dx [caso se use (II) ], para expressar
´
f(x)dx em termos de uma
integral mais simples: aquela que aparece no membro direito das fórmulas. Observe:
Exemplo 1 - Cálculo de
ˆ
x senx dx :
A fórmula (I) com u(x) = x e v′(x) = senx [ ⇒ u′(x) = 1 e v(x) = − cos x] forneceˆ
x︸︷︷︸
u(x)
senx︸ ︷︷ ︸
v′(x)
dx = x︸︷︷︸
u(x)
(− cos x︸ ︷︷ ︸
v(x)
)−
ˆ
1︸︷︷︸
u′(x)
(− cos x︸ ︷︷ ︸
v(x)
) = −x cos x+ senx+ c ■
Usemos agora a fórmula (II) com u = x e dv = senx dx [ ⇒ du = dx e v = − cos x] :
ˆ
x︸︷︷︸
u
senx dx︸ ︷︷ ︸
dv
= x︸︷︷︸
u
(− cos x︸ ︷︷ ︸
v
)−
ˆ
(− cos x︸ ︷︷ ︸
v
) dx︸︷︷︸
du
= −x cos x+ senx+ c ■
(∗) ou
´
p dq = p q −
´
q dp (a escolha das letras não importa)
22
Exemplo 2 - Cálculo de
ˆ
x ln x dx :
ˆ
x︸︷︷︸
v′
ln x︸︷︷︸
u
dx = ln x︸︷︷︸
u
x2
2︸︷︷︸
v
−
ˆ
1
x︸︷︷︸
u′
x2
2︸︷︷︸
v
dx =
x2
2
ln x− 1
2
ˆ
x dx =
x2
2
ln x− x2
4
+ c ■
Exemplo 3 - Cálculo de
ˆ
ln x dx :
ˆ
ln x︸︷︷︸
u
dx︸︷︷︸
dv
= (ln x)︸ ︷︷ ︸
u
x︸︷︷︸
v
−
ˆ
x︸︷︷︸
v
1
x
dx︸︷︷︸
du
= x ln x−
ˆ
dx = x ln x− x+ c ■
2.2.2 Integrações sucessivas por partes
2.2.2.1 O método
A integração por partes transforma o problema de se calcular
´
u dv no de calcular
´
v du,
devendo esta última integral ser mais simples, mas que, às vezes, para ser efetuada, ainda se
torna necessária outra integração por partes. Vejamos:
Exemplo 1 :
ˆ
x2︸︷︷︸
u
e2x︸︷︷︸
v′
= x2︸︷︷︸
u
e2x
2︸︷︷︸
v
−
ˆ
x e2xdx︸ ︷︷ ︸
[∗]
.
[∗]
ˆ
x︸︷︷︸
p
e2x︸︷︷︸
q′
dx = x︸︷︷︸
p
e2x
2︸︷︷︸
q
−1
2
ˆ
e2xdx =
1
2
xe2x − 1
4
e2x .
∴
ˆ
x2e2xdx = x2 e
2x
2
−
(1
2
xe2x − 1
4
e2x
)
+ c ■
Exemplo 2 :
ˆ
ex︸︷︷︸
u
cos x︸︷︷︸
v′
= ex︸︷︷︸
u
senx︸ ︷︷ ︸
v
−
[ ˆ
ex︸︷︷︸
p
senx︸ ︷︷ ︸
q′
dx
]
= ex senx−
[
ex︸︷︷︸
p
(− cos x︸ ︷︷ ︸
q
) +
ˆ
ex cos x dx
]
= ex( senx+ cos x)−
ˆ
ex cos x dx
⇒ 2
ˆ
ex cos x dx = ex( senx+ cos x) ⇒
ˆ
ex cos x dx =
1
2
ex( senx+ cos x) + c ■
23
2.2.2.2 Integrais das potências ímpares positivas de sec x
a)
ˆ
sec x dx = ln | sec x+ tan x|+ c ■ (v. seç. 2.1)
b)
ˆ
sec3x dx =
ˆ u︷︸︸︷
sec x
v′︷ ︸︸ ︷
sec2x dx =
u︷︸︸︷
sec x
v︷ ︸︸ ︷
tan x −
ˆ sec2x−1︷ ︸︸ ︷
tan2x sec x
= sec x tan x−
ˆ
sec3x+
ˆ
sec x dx .
⇒ 2
ˆ
sec3x dx = sec x tan x+
ˆ
sec x dx︸ ︷︷ ︸
já calculada
⇒
ˆ
sec3x dx =
1
2
(
sec x tan x+ ln | sec x+ tan x|
)
+ c ■
c)
ˆ
sec5x dx =
ˆ u︷ ︸︸ ︷
sec3x
v′︷ ︸︸ ︷
sec2x dx =
u︷ ︸︸ ︷
sec3x
v︷ ︸︸ ︷
tan x −3
ˆ sec2x−1︷ ︸︸ ︷
tan2x sec3x
= sec3x tan x− 3
ˆ
sec5x+ 3
ˆ
sec3x dx .
⇒ 4
ˆ
sec5x dx = sec3x tan x+ 3 ·
ˆ
sec3x dx︸ ︷︷ ︸
já calculada
⇒
ˆ
sec5x dx =
1
4
(
sec3x tan x+ 3 · sec x tan x+ ln | sec x+ tan x|
2
)
+ c ■
2.3 Integração de Produtos de Funções Trigonométricas
Nesta seção 2.3, por simplicidade verbal, ao se dizer que um número n é par ou ímpar, está
implícito que n ⩾ 0.
2.3.1 Integrais da forma
´
senpx cosqx dx
2.3.1.1 Caso de p ou q ímpar
Usamos a identidade sen2x + cos2x = 1 para, modificando a potência ímpar, reescrever o
integrando na forma f(cos x) senx ou f( senx) cos x e, em seguida, segundo a seç. 1.5.4, mudar
para a variável u = cos x ou u = senx, respectivamente; observe:
Exemplo 1 :ˆ
cos3x dx =
ˆ
cos2x cos x dx =
ˆ
(1− sen2x)︸ ︷︷ ︸
f( senx)
cos x dx
u= senx
=
du= cosx dx
ˆ
(1− u2)du
= u− u3
3
+ c = senx− sen3x
3
+ c ■
24
Exemplo 2 :ˆ
sen24x cos54x dx =
ˆ
sen24x(cos24x)2 cos 4x dx =
ˆ
sen24x(1− sen24x)2 cos 4x dx
u= sen4x
=
du= 4 cos 4x dx
ˆ
u2(1− u2)2
du
4
=
1
4
ˆ
(u2 − 2u4 + u6)du =
1
4
(
u3
3
− 2u5
5
+
u7
7
)
+ c
=
1
4
(
sen34x
3
− 2 sen54x
5
+
sen74x
7
)
+ c ■
Exemplo 3 : ˆ
sen3(2x+ 1)√
cos(2x+ 1)
dx =
ˆ
sen2(2x+ 1)√
cos(2x+ 1)
sen(2x+ 1) dx
=
ˆ f(cos(2x+1))︷ ︸︸ ︷
1− cos2(2x+ 1)√
cos(2x+ 1)
sen(2x+ 1) dx
u= cos(2x+1)
=
du
dx
=−2 sen(2x+1)
ˆ
1− u2
√
u
· −du
2
=
ˆ
u3/2 − u−1/2
2
du =
u5/2
5
− u1/2 + c =
[
cos(2x+ 1)
]5/2
5
−
√
cos(2x+ 1) + c ■
2.3.1.2 Caso de p e q pares
Reduzimos o grau da potência pela metade eliminando sen2x e cos2 x por meio das identi-
dades trigonométricas sen2x = (1− cos 2x)/2 e cos2 x = (1 + cos 2x)/2 (∗) ; observe:
Exemplo 1 :ˆ
cos2 ax dx =
ˆ
1
2
(1 + cos 2ax)dx =
1
2
(
x+
sen2ax
2a
)
+ c ■
Exemplo 2 :
ˆ
sen42x dx =
ˆ
( sen22x)2dx =
ˆ [
1
2
(1− cos 4x)
]2
dx =
1
4
ˆ
(1−2 cos 4x+cos2 4x︸ ︷︷ ︸
[$]
)dx
=
1
4
[
x− sen4x
2
+
1
2
(
x+
sen8x
8
)
︸ ︷︷ ︸
[$]
]
+ c ■
(
[$] usou-se o Exemplo 1 com a = 4
)
(∗) Que são deduzidas a partir da identidade trigonométrica cos 2x = cos2 x− sen2x =
 1− 2 sen2x
ou
2 cos2 x− 1
25
Exemplo 3 :
ˆ
sen4kx cos2 kx dx =
ˆ [
1
2
(1− cos 2kx)
]2[
1
2
(1 + cos 2kx)
]
dx
=
1
8
ˆ
(1− 2 cos 2kx+cos2 2kx)(1+cos 2kx)dx =
1
8
ˆ
(1− cos 2kx− cos2 2kx︸ ︷︷ ︸
[&]
+ cos3 2kx︸ ︷︷ ︸
[#]
)dx
=
1
8
[
x− sen2kx
2k
− 1
2
(
x+
sen4kx
4k
)
︸ ︷︷ ︸
[&]
+
1
2k
(
sen2kx− sen32kx
3
)
︸ ︷︷ ︸
[#]
]
+ c ■
[&] Ex. 1 com a = 2k
[#]
ˆ
cos3 2kx dx
y = 2kx
=
1
2k
ˆ
cos3 y dy︸ ︷︷ ︸
Ex. 1 da seç. 2.3.1.1
=
1
2k
(
seny − sen3y
3
)
=
1
2k
(
sen2kx− sen32kx
3
)}
2.3.2 Integrais da forma
´
tanp x secq x dx ou
´
cotp x cscq x dx
Como tanp x secq x = senpx cos−(p+q) x e cotp x cscq x = sen−(p+q)x cosp x, então, com p ou
−(p+ q) ímpar, temos o caso já estudado na seç. 2.3.1.1, como, por exemplo:
ˆ
tan3 2x sec4 2x dx =
p = 3 (ímpar)︷ ︸︸ ︷ˆ
sen32x cos−72x dx ,
ˆ
tan2 x sec−7 x dx =
−(p+q) = 5 (ímpar)︷ ︸︸ ︷ˆ
sen2x cos5x dx .
E, com p e −(p+ q) pares, temos o caso já estudado na seç. 2.3.1.2; por exemplo,
ˆ
tan4 2x sec−4 2x dx =
ˆ
sen42x dx e
ˆ
tan4 kx sec−6 kx dx =
ˆ
sen4kx cos2 kx dx
são os Exemplos 2 e 3 da seç. 2.3.1.2, respectivamente.
Pois bem, vejamos então alguns casos nos quais a integral em estudo não pode ser calculada
como uma integral de
´
senpx cosq x dx já considerada na seç. 2.3.1.
O método delineado abaixo para a integral
´
tanp x secq x dx aplica-se igualmente para a
integral
´
cotp x cscq x dx, bastando substituir tan por cot e sec por csc, e corrigir as diferenças
nos sinais oriundas da diferença entre as regras de diferenciação:
(tan x)′ = sec2x e (sec x)′ = sec x tan x····versus····(cot x)′ = − csc2x e (csc x)′ = − csc x cot x .
2.3.2.1 Caso de p genérico e q = 2k + 2 > 0 (secante com expoente par não nulo)ˆ
tanp x sec2k+2 x dx =
ˆ
tanp x(sec2 x)k sec2 x dx
=
ˆ
tanp x(1 + tan2 x)k︸ ︷︷ ︸
f( tan x︸ ︷︷ ︸
u
)
sec2 x dx︸ ︷︷ ︸
du
=
ˆ
up(1 + u2)kdu︸ ︷︷ ︸
integral de potências
.
Na seç. 2.2.2.2 vimos como integrar as potências ímpares da sec x . O caso de potências pares
inclui-se acima, correspondendo a p = 0; o primeiro exemplo é sobre esse caso.
26
Exemplo 1 :ˆ
sec4 x dx =
ˆ
sec2 x sec2 x dx =
ˆ
(1 + tan2 x︸ ︷︷ ︸
f(tanx)
) sec2 x dx
u = tanx
=
du = sec2 x dx
=
ˆ
(1 + u2) du = u+
u3
3
+ c = tan x+
tan3 x
3
+ c ■
Exemplo 2 :
ˆ
tan4 x sec4 x dx =
ˆ
tan4 x
1+tan2 x
sec2 x︸ ︷︷ ︸
f(tanx)
sec2 x dx
u = tanx
=
du = sec2 x dx
ˆ
u4(1 + u2) du
=
u5
5
+
u7
7
+ c =
tan5 x
5
+
tan7 x
7
+ c ■
Exemplo 3 :
ˆ √
tan x sec6 x dx =
ˆ
tan1/2 x
(1+tan2 x)2
sec4 x︸ ︷︷ ︸
f(tanx)
sec2 x dx
u = tanx
=
du = sec2 x dx
ˆ
u1/2 (1 + u2)2 du
=
ˆ
(u1/2+2u5/2+u9/2)du =
u3/2
3/2
+
2u7/2
7/2
+
u11/2
11/2
+c =
2 tan3/2 x
3
+
4 tan7/2 x
7
+
2 tan11/2 x
11
+c ■
Exemplo 4 :ˆ
csc6 7x dx =
ˆ
csc4 7x csc2 7x dx =
ˆ
(1 + cot2 7x)2︸ ︷︷ ︸
f( cot 7x )
csc2 7x dx
u = cot 7x
=
du =−7 csc2 7x dx
ˆ
(1+u2)2
−du
7
= −1
7
ˆ
(1 + 2u2 + u4)du = −1
7
(
u+
2u3
3
+
u5
5
)
+ c = −cot 7x
7
− 2 cot3 7x
21
− cot5 7x
35
+ c ■
2.3.2.2 Tangente com expoente par e secante com expoente ímpar
Neste caso, a integral pode ser transformada num somatório de integrais de potências ímpares
da secante (estudadas na seç. 2.2.2.2); observe:
ˆ
tan2k x sec2l+1 x dx =
ˆ
(tan2 x)k sec2l+1 x dx
=
ˆ
(sec2 x− 1)k︸ ︷︷ ︸
só potências
pares de sec
(sec x)2l+1︸ ︷︷ ︸
potência ím-par de secx
dx
{
=
k∑
j = 0
(−1)k+jCj
k
´
(secx)
ímpares︷ ︸︸ ︷
[ 2(j+l)+1 ] dx
}
.
Por exemplo,
ˆ
tan4 x sec3 x dx =
ˆ
(tan2 x)2 sec3 x dx =
ˆ
(sec2 x− 1)2 sec3 x dx
=
ˆ
(sec4 x− 2 sec2 x+ 1) sec3 x dx =
ˆ
sec7 x dx− 2
ˆ
sec5 x dx+
ˆ
sec3 x dx ,
uma soma de integrais do tipo estudado na seç. 2.2.2.2 .
27
2.3.3 As integrais
´
senax cos bx dx ,
´
senax senbx dx e
´
cos ax cos bx dx
Calculamos essas integrais usando as fórmulas (∗)
senA cosB =
1
2
sen(A+B) +
1
2
sen(A− B) , (2.1)
cosA cosB =
1
2
cos(A+B) +
1
2
cos(A− B) , (2.2)
senA senB =
1
2
cos(A− B)− 1
2
cos(A+B) . (2.3)
Exemplo 1
ˆ
sen3x cos 4x dx =
ˆ [
1
2
sen7x+
1
2
sen(−x)︸ ︷︷ ︸
− senx
]
dx =
1
2
(
− cos 7x
7
)
+
1
2
(cos x) + c ■
Exemplo 2
ˆ
sen23x cos 4x dx =
ˆ
1− cos 6x
2
cos 4x dx =
1
2
ˆ
(cos 4x− cos 6x cos 4x)dx
=
1
2
ˆ
cos 4x dx− 1
2
ˆ [
1
2
cos 10x+
1
2
cos 2x
]
dx
=
1
2
(
sen4x
4
)
− 1
4
(
sen10x
10
)
− 1
4
(
sen2x
2
)
+ c ■
Exemplo 3
ˆ
sen3x cos 3x︸ ︷︷ ︸
2 sen6x
cos 4x dx = 2
ˆ [
1
2
sen10x+
1
2
sen2x
]
= −cos 10x
10
− cos 2x
2
+ c ■
Exemplo 4
ˆ
sen2x cos 3x cos 4x︸ ︷︷ ︸
1
2
cos 7x+ 1
2
cos(−x)
dx =
1
2
ˆ
sen2x cos 7x︸ ︷︷ ︸
1
2
sen9x+ 1
2
sen(−5x)
dx+
1
2
ˆ
sen2x cos x︸ ︷︷ ︸
1
2
sen3x+ 1
2
senx
dx
=
1
4
[
−cos 9x
9
+
cos 5x
5
]
+
1
4
[
−cos 3x
3
− cos x
]
■
(∗) assim deduzidas a partir das fórmulas do seno e cosseno da soma e da diferença:
sen(A+B) = senA cosB + senB + cosA (1)
sen(A−B) = senA cosB − senB + cosA (2)
cos(A+B) = cosA cosB − senA senB (3)
cos(A−B) = cosA cosB + senA senB (4)
Da soma eq.(1) + eq.(2), obtemos sen(A+B)+ sen(A−B) = 2 senA cosB , donde segue a fórmula em (2.1).
Da soma eq.(3) + eq.(4), obtemos cos(A+B) + cos(A−B) = 2 cosA cosB , donde segue a fórmula em (2.2).
Da diferença eq.(4) − eq.(3), obtemos cos(A−B)− cos(A+B) = 2 senA senB , seguindo a fórmula em (2.3).
28
2.4 Integração por Substituição Trigonométrica
O cálculo da integral de uma função envolvendo uma raiz quadrada da forma
√
a2 − x2 ,
√
x2 + a2 ou
√
x2 − a2
pode tornar-se mais simples mudando-se a variável x para a variável θ de modo que essas raízes
quadradas se transformem em expressões mais simples mediante o uso subsequente das identida-
des trigonométricas 1− sen2θ = cos2 θ , 1+ tan2 θ = sec2 θ ou sec2 θ− 1 = tan2 θ . Estudemos
cada um desses casos separadamente, sempre considerando a > 0 (sem perda de generalidade):
2.4.1 Integrais envolvendo
√
a2 − x2 , com x ∈ [−a, a]
Façamos a mudança de variável
x = a senθ .
Podemos considerar que, ao intervalo x ∈ [−a, a], corresponda o intervalo θ ∈ [−π/2 , π/2] (4o
¯
e 1o
¯ quadrantes), onde a correspondência é biunívoca e, em particular, cos θ ⩾ 0 . Logo, temos,
por exemplo, que
Exemplo 1 :
aˆ
−a
√
a2 − x2 dx =
π/2ˆ
−π/2
√
a2 − a2 sen2θ︸ ︷︷ ︸
a
√
cos2 θ = a cos θ (⩾0)
a cos θ dθ = a2
π/2ˆ
−π/2
cos2 θ dθ = a2
[
θ
2
+
sen2θ
4
]π/2
−π/2
=
πa2
2
■
Também a mudança de variável
x = a cos θ
leva a uma simplificação equivalente. Nesse caso, considerando θ ∈ [0, π] (1o
¯ e 2o
¯ quadrantes), a
correspondência entre x e θ é biunívoca (a x = a corresponde θ = π , e a x = a , θ = 0) e, em
particular, senθ ⩾ 0 . Vejamos:
aˆ
−a
√
a2 − x2 dx =
0ˆ
π
√
a2 − a2 cos2 θ︸ ︷︷ ︸
a
√
sen2θ = a senθ (⩾0)
(−a senθ)dθ = −a2
0ˆ
π
sen2θ dθ = −a2
[
θ
2
− sen2θ
4
]0
π
=
πa2
2
■
No exemplo seguinte, consideramos essa mesma integral, mas indefinida, com x ∈ [−a, a] :
Exemplo 2 :
ˆ √
a2 − x2 dx
x = a senθ
=
ˆ
(a cos θ)(
dx︷ ︸︸ ︷
a cos θ dθ ) = a2
ˆ
cos2 θ dθ =
a2
2
(
θ +
sen2θ
2
)
+ c
(#)
=
a2
2
(
arcsen
x
a
+
x
a
√
1− x2
a2
)
+ c ■
Essa primitiva pode obviamente ser usada para calcular novamente a integral definida no
Exemplo 1:
ˆ a
−a
√
a2 − x2 dx =
[
a2
2
(
arcsen
x
a
+
x
a
√
1− x2
a2
)]a
−a
=
a2
2
[
arcsen1︸ ︷︷ ︸
π/2
− arcsen(−1)︸ ︷︷ ︸
−π/2
]
=
πa2
2
.
Expliquemos a passagem indicada acima por (#), em que se retorna à variável original x:
29
x 
a 
 
2 2
a x 
Se x = a senθ então θ = arcsen(x/a) . Além disso, qualquer função
trigonométrica de variável θ pode ser expressa em função de x, o que se
realiza facilmente por meio da figura à direita. Nela vemos um triângulo
retângulo no qual vale a equação x = a senθ . Como o outro cateto deve
medir
√
a2 − x2 , obtemos cos θ =
√
a2 − x2 /a . Assim,
sen2θ
2
= senθ · cos θ =
x
a
·
√
a2 − x2
a
=
x
a
·
√
1− x2
a2
.
Considere as expressões das seis funções trigonométricas em termos de x que se obtêm por
meio desse triângulo retângulo:
senθ = 1/ csc θ = x/a , cos θ = 1/ sec θ =
√
a2 − x2 /a , tan θ = 1/ cot θ = x/
√
a2 − x2 .
Embora só para valores positivos de x podemos construir aquele triângulo retângulo, ou, mais
precisamente, para x = a senθ ∈ [0, a] (∗), o que ocorre com θ no 1o
¯ quad. (†), é fácil verificar
que, para x ∈ [−a, 0], isto é, com θ no 4o
¯ quad., as relações acima continuam válidas, fornecendo,
também neste quadrante, os sinais das funções trigonométricas corretamente.
Exemplo 3 :
ˆ √
a2 − x2
x2
dx
x = a senθ
=
dx = a cos θ dθ
ˆ
a cos θ
a2 sen2θ
a cos θ dθ =
ˆ
cot2 θ dθ =
ˆ
(csc2 θ − 1)dθ
= − cot θ − θ + c = −
√
a2 − x2
x
− arcsen
x
a
+ c ■
Exemplo 4 :
ˆ
dx√
−x2 − 4x− 3
=
ˆ
dx√
−[x2 + 4x+ 3]
=
ˆ
dx√
−[(x+ 2)2 − 1]
=
ˆ
dx√
1− (x+ 2)2
x+2 = senθ
=
dx = cos θ dθ
ˆ
cos θ dθ√
1− sen2θ︸ ︷︷ ︸
cos θ
=
ˆ
dθ = θ + c = arcsen(x+ 2) + c ■
Um modo mais fácil de calcular essa integral é o seguinte:
ˆ
dx√
−x2 − 4x− 3
=
ˆ
dx√
1− (x+ 2)2
x+2 = u
=
dx = du
ˆ
du√
1− u2
= arcsenu+ c = arcsen(x+ 2) + c .
2.4.2 Integrais envolvendo
√
x2 + a2 , com x ∈ R
Façamos a transformação de variável
x = a tan θ .
Podemos admitir que θ ∈ (−π/2 , π/2) (4o
¯ e 1o
¯ quadrantes), onde a transformação é biunívoca
e, em particular, sec θ > 0 (⩾ 1, na verdade).
(∗) Estamos incluindo os casos degenerados desse triângulo num segmento de reta de tamanho a.
(†) Consideramos cada ângulo θ = 0, π/2, π, 3π/2 e 2π como pertencente aos dois quadrantes dos quais θ é o
ângulo limítrofe.
30
x 
a 
 
2 2
x a 
Antes de prosseguir, diga-se que, usando um triângulo retângulo como
o da figura à direita (coerente com a mudança de variável acima) para
calcular, em função de x, as demais funções trigonométricas, verificamos
que as expressões obtidas (v. abaixo) são válidas tanto no 1o
¯ quad. (cor-
respondente a x ⩾ 0) quanto no 4o
¯ (associado a x ⩽ 0):
tan θ = 1/ cot θ = x/a , cos θ = 1/ sec θ = a/
√
x2 + a2 , senθ = 1/ csc θ = x/
√
x2 + a2 .
Em muitas integrais, essas relações aparecem com o x substituído por outra expressão de x
[e.g., 2(x− 5) no Exemplo 7 abaixo].
Exemplo 5 :ˆ a
−a
√
x2 + a2 dx =
ˆ π/4
−π/4
√
a2 tan2 θ + a2︸ ︷︷ ︸
a
√
sec2 θ = a sec θ
a sec2 θ dθ = a2
ˆ π/4
−π/4
sec3 θ dθ =
a2
2
[
sec θ tan θ + ln | sec θ + tan θ|
]π/4
−π/4
=
a2
2
[{√
2 + ln(
√
2 + 1)
}
−
{√
2 (−1) + ln(
√
2− 1)
}]
=
a2
2
[
2
√
2 + ln
√
2 + 1√
2− 1
]
=
a2
2
[
2
√
2 + ln(3 + 2
√
2 )
]
■
Exemplo 6 :
ˆ 2+
√
3
3
dx√
x2 − 4x+ 5
=
ˆ 2+
√
3
3
dx√
(x− 2)2 + 1
x−2 = tan θ
=
dx = sec2 θ
ˆ π
3
π
4
sec2 θ dθ
sec θ
=
[
ln | sec θ + tan θ|
]π
3
π
4
= ln(2 +
√
3 )− ln(
√
2 + 1) ■
Exemplo 7 : Calculamos, com x ∈ R, a integral indefinidaˆ
dx√
4x2 − 40x+ 109
=
ˆ
dx√
[2(x− 5)]2 + 9
2(x−5) = 3 tan θ
=
2dx = 3 sec2 θ dθ
ˆ [
(3/2) sec2 θ
3 sec θ
]
︸ ︷︷ ︸
(1/2) sec θ
dθ
=
1
2
ln | sec θ + tan θ|+ c
(#)
=
1
2
ln
∣∣∣∣√4x2 − 40x+ 109
3
+
2(x− 5)
3
∣∣∣∣+ c
=
1
2
ln
[√
4x2 − 40x+ 109 + 2(x− 5)
]
+ c ′ ■
onde definimos (−1/2) ln 3+c = c ′ e usamos a figura abaixo para nos auxiliar a realizar a passa-
gem (#) . O triângulo retângulo é tal que tan θ = 2(x−5)/ 3 ; logo sec θ = (hipotenusa)/ (cateto
adjacente) =
√
4x2 − 40x+ 109 / 3 ∀x ∈ R .
Uma alternativa à transformação x = a tan θ é a mudança de variável
x = a cot θ ,
admitindo θ ∈ (0, π) (1o
¯ e 2o
¯ quadrantes), onde a transformação é biunívoca e, em particular,
csc θ > 0 .
Exemplo 8 :
ˆ √3
−1
dx√
x2 + 1
x = cot θ
=
dx = − csc2 θ dθ
ˆ π
6
π−π
4
− csc2 θdθ
csc θ
= ln | csc θ+cot θ|
∣∣∣∣π6
π−π
4
= ln(2+
√
3 )− ln(
√
2−1) ■
31
2( 5)x 
3
 
2 2[2( 5)] 9 4 40 109x x x ! " !
2.4.3 Integrais envolvendo
√
x2 − a2 , com x ⩽ −a ou x ⩾ a (i.e., |x| ⩾ a)
Convém fazer a mudança de variável
x = a sec θ .
Podemos considerar que, aos possíveis valores de x, isto é, x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞) , correspon-
dam os valores de θ no intervalo [0, π/2)∪ (π/2, π] (1o
¯ e 2o
¯ quadrantes), onde a correspondência
é biunívoca, ressaltando, em particular, que a função tan θ é preponderantemente positiva ou
negativa, conforme θ pertença ao 1o
¯ ou 2o
¯ quadrante, respectivamente.
Exemplo 9 :
a)
ˆ 10
5
√
2
(x− 5) dx√
x2 − 25
x = 5 sec θ
=
dx = 5 sec θ tan θ dθ
ˆ π
3
π
4
(5 sec θ − 5) 5 sec θ���tan θ dθ
5���tan θ
= 5
ˆ π
3
π
4
(sec2 θ − sec θ)dθ
= 5
[
tan θ − ln | sec θ + tan θ|
]π/3
π/4
= 5
[√
3− ln(2 +
√
3 )− 1 + ln(
√
2 + 1)
]
■
Vejamos essa mesma função integrada num intervalo de valores negativos de x, caso em que
os valores correspondentes de θ estão no 2o
¯ quadrante, onde a função tan θ é negativa e, portanto,√
tan2 θ = − tan θ):
b)
ˆ −5√2
−10
(x− 5)dx√
x2 − 25
x = 5 sec θ
=
dx = 5 sec θ tan θ dθ
ˆ π−π
4
π−π
3
(5 sec θ − 5) 5 sec θ ���tan θ dθ
−5���tan θ
= −5
ˆ π−π
4
π−π
3
(sec2 θ − sec θ)dθ = −5
[
tan θ − ln | sec θ + tan θ|
]π−π
4
π−π
3
= −5
[
−1− ln |−
√
2−1| −
(
−
√
3− ln |−2−
√
3 |
)]
= 5
[
1 + ln |
√
2+1| −
√
3− ln |2+
√
3 |
]
.
Nesse caso, para quem não gosta de trabalhar com ângulos fora do 1o
¯ quadrante, a mudança
para a variável positiva u = −x elimina esse incômodo:
c)
ˆ −5√2
−10
(x− 5)dx√
x2 − 25
u = −x
=
ˆ 5
√
2
10
(−u− 5)(−du)√
u2 − 25
= −
ˆ 10
5
√
2
(u+ 5)du√
u2 − 25
u = 5 sec θ
=
du = 5 sec θ tan θ dθ
= −
ˆ π/3
π/4
(5 sec θ + 5) �5 sec θ ���tan θ dθ
�5���tan θ
= −5
ˆ π/3
π/4
(sec2 θ + sec θ)dθ
= −5
[
tan θ + ln | sec θ + tan θ|
]π/3
π/4
= −5
[√
3 + ln(2 +
√
3 )− 1− ln(
√
2 + 1)
]
.
Passemos agora a considerar integrais indefinidas. No cálculo delas, não sabendo se os valores
da função sec θ estão no intervalo [1,∞) ou (−∞,−1], isto é, se θ varia no 1o
¯ ou no 2o
¯ quadrante,
32
respectivamente, devemos ter o cuidado de escrever
√
tan2 θ = ± tan θ , em que o sinal "+" deve
ser usado se tan θ ⩾ 0 (isto é, se θ for do 1o
¯ quad., onde sec θ ⩾ 1 ), e o sinal "−" deve ser usado
se tan θ ⩽ 0 (isto é, se θ for do 2o
¯ quad., onde sec θ ⩽ 1 ).
x 
a 
 
2 2
x a 
Tendo em conta esse uso dos sinais "+" e "−", e tendo em
mente os sinais das diversas funções trigonométricas no 2o
¯ qua-
drante, podemos obter rapidamente para elas, por meio do triân-
gulo retângulo à direita (que satisfaz a mudança de variável em
estudo, x = a sec θ), as seguintes expressões em termos de x , nas
quais "+" ou "−" deve ser usado conforme x seja positivo ou ne-
gativo :
sec θ = 1/ cos θ = x/a , tan θ = 1/ cot θ = ±
√
x2 − a2 , csc θ = 1/ senθ = ±x/
√
x2 − a2 .
Mais uma vez ressalte-se que, em muitas integrais, essas relações aparecem com o x substi-
tuído por outra expressão de x [por exemplo: 2(x− 3) no Exemplo 12 adiante].
Exemplo 10 :
ˆ √
x2 − 1
x
dx
x = sec θ
=
ˆ
± tan θ
sec θ
sec θ tan θ dθ = ±
ˆ
tan2 θ dθ = ±
ˆ
(sec2 θ − 1)dθ
= ±(tan θ − θ) = ±
(
±
√
x2 − 1− arcsecx
)
+ c
=
√
x2 − 1− (±) arcsecx [ "+" se sec θ = x ⩾ 1 e "−" se x ⩽ −1 ] ■
Exemplo 11 :
ˆ
dx[
2x+ x2
]3/2 =
ˆ
dx{[
(x+ 1)2 − 1
]1/2}3
x+1 = sec θ
=
ˆ
sec θ tan θ dθ{
± tan θ
}3
= ±
ˆ
sec θ
tan2 θ
dθ = ±
ˆ
cos θ
sen2θ
dθ
u = senθ
= ±
ˆ
du
u2
= ±−1
u
+ c
= ± −1
senθ
+ c = −(± csc θ) = − x+ 1√
2x+ x2
+ c (x < −2 ou x > 0) ■
1x 
1 
 
2
2
( 1) 1
2
x
x x
 !
" 
 
Neste exemplo, usa-se "+" se sec θ = x + 1 > 1 (⇒ x > 0)
e "−" se sec θ = x + 1 < −1 (⇒ x < −2) . Nota-se que
o triângulo retângulo à direita (satisfazendo sec θ = x + 1
no 1o
¯ quad.) não fornece csc θ corretamente no 2o
¯ quad.,
onde csc θ continua positiva, sendo então dada por csc θ =
±(x+ 1) /
√
2x+ x2 (com "+" ou "−" como acima).
Exemplo 12 : Cálculo da primitiva F (x) de 1/
√
4x2 − 24x+ 11 :
F (x) =
ˆ
dx√
4x2 − 24x+ 11
=
ˆ
dx√
[2(x− 3)]2 − 25
2(x−3) = 5 sec θ
=
2 dx = 5 sec θ tan θ dθ
1
2
ˆ
sec θ tan tan θ dθ
5
√
tan2 θ︸ ︷︷ ︸
± tan θ
= ±1
2
ˆ
sec θ dθ = ±1
2
ln | sec θ + tan θ|+ c
(#)
= ±1
2
ln
∣∣∣∣2(x− 3)
5
±
√
4x2 − 24x+ 11
5
∣∣∣∣+ c
= ±1
2
ln
∣∣2(x− 3)±
√
4x2 − 24x+ 11
∣∣+ c
(
"+" se x >
11
2
e "−" se x <
1
2
)
■
33
onde se fez (1/2)(− ln 5)+ c ≡ c1 . Na passagem (#) substituiu-se tan θ = ±
√
4x2 − 24x+ 11 / 5 ,
expressão deduzida com a ajuda da figura abaixo (um triângulo retângulo no qual sec θ =
2(x− 3)/5) e observando que se deve usar o sinal "+" se sec θ = 2(x− 3)/5 > 1 (⇒ x > 11/2) e
o sinal "−" se sec θ = 2(x−3)/5 < −1 (⇒ x < 1/2) [é fácil constatar que (−∞, 1/2)∪ (11/2,∞)
é o domínio da função no integrando, obtido exigindo-se que 4x2 − 24x+ 11 > 0].
5 
2( 3)x 
 
2 2[2( 3)] 25 4 24 11x x x ! "
Uma alternativa à mudança x = a sec θ é a transformação de variável
x = a csc θ ,
considerando que, aos valores de x no intervalo (−∞,−a] ∪ [a,∞), correspondem os valores de
θ no intervalo [−π/2, 0) ∪ (0, π/2] (variação nos 4o
¯ e 1o
¯ quadrantes), onde a correspondência
é biunívoca, ressaltando, em particular, que a função cot θ é preponderantemente positiva ou
negativa conforme θ pertença ao 1o
¯ ou 4o
¯ quadrante, respectivamente. Vamos ilustrar o uso
dessa transformação refazendo a primeira integral definida no Exemplo 9:
Exemplo 13 :
ˆ 10
5
√
2
(x− 5) dx√
x2 − 25
x = 5 csc θ
=
ˆ π/6
π/4
(5 csc θ − 5)(−�5 csc θ ���cot θ dθ)√
25 cot2 θ︸ ︷︷ ︸
�5 ��cot θ
= 5
ˆ π/6
π/4
(− csc2 θ + csc θ)dθ
= 5
[
cot θ − ln | csc θ + cot θ|
]π/6
π/4
= 5
[√
3− ln(2 +
√
3 )− 1 + ln(
√
2 + 1)
]
■
2.5 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
Queremos aqui integrar funções racionais, isto é, quocientes de polinômios: P (x)/Q(x) .
O método a ser exposto aplica-se a funções racionais em que o grau do polinômio no nume-
rador é menor do que o grau do polinômio no denominador. Se este não for o caso, isto é, se
◦P > ◦Q (∗), então antes dividimos P (x) por Q(x), obtendo P (x) = f(x)Q(x)+R(x) [onde f(x)
e Q(x) são polinômios e ◦R < ◦Q], e escrevemos
P (x)
Q(x)
=
f(x)Q(x) + R(x)
Q(x)
= f(x) +
R(x)
Q(x)
⇒
ˆ
P (x)
Q(x)
dx =
ˆ
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
integral de
um polinômio
+
ˆ
R(x)
Q(x)
dx .
Essa equação mostra que a integral da função racional original pode ser expressa como sendo
a soma da integral de um polinômio com a integral de uma função racional à qual o método
se aplica, pois o numerador, R(x), é um polinômio de grau menor que o grau do polinômio no
denominador, Q(x).
(∗) ◦P denota o grau do polinômio P (x)
34
É necessário também tomar a forma irredutível da função racional a que se aplicará o método,
bastando, se for o caso, cancelar os fatores comuns no numerador e denominador.
Pois bem, a ideia é expandir P (x)/Q(x) numa soma de frações mais simples, chamadas frações
parciais da função racional P (x)/Q(x). A decomposição de Q(x) em fatores irredutíveis pode
apresentar fatores lineares (ax+b), quadráticos (ax2+bx+c), ou de grau maior; consideraremos
apenas casos em, nessa decomposição, não há fator irredutível de grau maior que dois.
2.5.1 Denominador com fatores lineares distintos
Note que
5x− 4
(x− 2)(x+ 1)
=
2
x− 2
+
3
x+ 1
;
logo,
ˆ
5x− 4
(x− 2)(x+ 1)
dx =
ˆ
2
x− 2
dx+
ˆ
3
x+ 1
dx = 2 ln |x− 2|+ 3 ln |x+ 1|+ c .
Portanto, integrar
5x− 4
(x− 2)(x+ 1)
é fácil desde que conheçamos sua decomposição na soma das
frações parciais (de denominadores lineares, no caso)
2
x− 2
e
3
x+ 1
. Abaixo mostramos dois
modos de obter tal decomposição:
2.5.1.1 O método de igualar coeficientes
5x− 4
(x− 2)(x+ 1)
≡ A
x− 2
+
B
x+ 1
=
A(x+ 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x+ 1)
=
(A+B) x+ (A− 2B)
(x− 2)(x+ 1)
∴
{
A+B = 5
A− 2B = −4
⇒
{
A = 2
B = 3
· · · · · · · · · · 5x− 4
(x− 2)(x+ 1)
=
2
x− 2
+
3
x+ 1
2.5.1.2 O método de substituição
5x− 4
(x− 2)(x+ 1)
≡ A
x− 2
+
B
x+ 1
〈 × (x−2)−−−−−−→
[
5x− 4
x+ 1︸ ︷︷ ︸
6
3
= A+
B(x−2)
x+ 1︸ ︷︷ ︸
0
]
x = 2
⇒ A = 2
× (x+1)−−−−−−→
[
5x− 4
x− 2︸ ︷︷ ︸
−9
−3
=
A(x+ 1)
x− 2︸ ︷︷ ︸
0
+ B
]
x =−1
⇒ B = 3
Note que podemos escrever diretamente:
A =
[
5x− 4
x+ 1
]
x = 2
= 2 e B =
[
5x− 4
x− 2
]
x = −1
= 3 .
Exemplo 1 :
ˆ
3x− 5
x2 − x− 2
dx =
1
3
ˆ
dx
x− 2
+
8
3
ˆ
dx
x+ 1
=
1
3
ln |x− 2|+ 8
3
ln |x+ 1|+ c ,
35
pois
3x− 5
x2 − x− 2︸ ︷︷ ︸
(x−2)(x+1)
=
A
x− 2
+
B
x+ 1
p/ subst.−−−−−−→

A =
3x− 5
x+ 1
∣∣∣∣
x = 2
=
1
3
B =
3x− 5
x− 2
∣∣∣∣
x =−1
=
8
3
Exemplo 2 :
I ≡
ˆ
5x5 − 13x4 − 30x3 + 19x2 − 58x− 16
x3 − 2x2 − 8x
dx =
ˆ
(5x2 − 3x+ 4)dx+
ˆ
3x2 − 26x− 16
x3 − 2x2 − 8x
dx ,
onde dividimos os polinômios como segue:
5x5 − 13x4 − 30x3 + 19x2 − 58x− 16
−5x5 + 10x4 + 40x3
∣∣∣∣ x3 − 2x2 − 8x
5x2 − 3x+ 4
− 3x4 + 10x3 + 19x2 − 58x− 16
3x4 − 6x3 − 24x2
4x3 − 5x2 − 58x− 16
− 4x3 + 8x2 + 32x
3x2 − 26x− 16
Mas
3x2 − 26x− 16
x3 − 2x2 − 8x︸ ︷︷ ︸
x(x−4)(x+2)
=
A
x
+
B
x− 4
+
C
x+ 2
p/ subst.−−−−−−→

A =
3x2 − 26x− 16
(x− 4)(x+ 2)
∣∣∣∣
x = 0
=
−16
−8
= 2
B =
3x2 − 26x− 16
x(x+ 2)
∣∣∣∣
x = 4
=
−72
24
= −3
C =
3x2 − 26x− 16
x(x− 4)
∣∣∣∣
x = −2
=
48
12
= 4
Logo,
I =
5x3
3
− 3x2
2
+ 4x+
ˆ (
2
x
− 3
x− 4
+
4
x+ 2
)
dx
=
5x3
3
− 3x2
2
+ 4x+ 2 ln |x| − 3 ln |x− 4|+ 4 ln |x+ 2|+ c ■
2.5.2 Denominador com fatores lineares repetidos
Tratamos agora de denominador como, por exemplo, (x− 1)3(3x− 2)2(x+ 1) .
Método: A cada fator da forma (ax + b)k (k ⩾ 2) deve corresponder uma soma de k
frações parciais
A1
ax+ b
+
A2
(ax+ b)2
+ · · ·+ Ak
(ax+ b)k
,
onde A1, A2, · · · , Ak são constantes a serem determinadas. Isto deve ser feito para cada fator
do denominador. Fatores que não se repetem são tratados como na subseção anterior.
36
Exemplo 1
3x2 + 4x+ 2
x(x+ 1)2
=
A
x
+
B1
x+ 1
+
B2
(x+ 1)2
.
O método de substituição funciona na determinação de A e B2:
A =
3x2 + 4x+ 2
(x+ 1)2
∣∣∣∣
x = 0
= 2 · · · [multiplicou-se a equação acima por x e substitui-se x por 0]
B2 =
3x2 + 4x+ 2
x
∣∣∣∣
x = −1
= −1 · · · [multiplicou-se por (x+ 1)2 e substitui-se x por −1]
Mas, para determinar B1, o método de igualar coeficientes deve ser usado:
3x2 + 4x+ 2
x(x+ 1)2
=
2
A (x+ 1)2 +B1x(x+ 1) +
−1
B2 x
x(x+ 1)2
=
(2 + B1)x
2 + (3 + B1)x+ 2
x(x+ 1)2
.
∴
{
2 + B1 = 3
3 + B1 = 4
⇒ B1 = 1 · · · · · · · ∴ 3x2 + 4x+ 2
x(x+ 1)2
=
2
x
+
1
x+ 1
− 1
(x+ 1)2
.
Logo, ˆ
3x2 + 4x+ 2
x(x+ 1)2
= 2 ln |x|+ ln |x+ 1|+ 1
x+ 1
+ c ■
Exemplo 2
I =
ˆ −1
−2
5x− 2
2x3 − x2
dx . Faz-se
5x− 2
2x3 − x2
=
5x− 2
x2(2x− 1)
=
A1
x
+
A2
x2
+
B
2x− 1
.
Pelo método de substituição, obtemos
A2 =
5x− 2
2x− 1
∣∣∣∣
x = 0
= 2 e B =
5x− 2
x2
∣∣∣∣
x = 1/2
=
(5/2)− 2
1/4
= 2 .
Pelo método de igualar coeficientes, obtemos
5x− 2 = A1x(2x− 1) + A2
2
(2x− 1) + B
2
x2 = (2A1 + 2)︸ ︷︷ ︸
0
x2 + (−A1 + 4)︸ ︷︷ ︸
5
x− 2 ⇒ A1 = −1 .
Logo,
I =
ˆ −1
−2
(
−1
x
+
2
x2
+
2
2x− 1
)
dx =
[
− ln |x| − 2
x
+ ln |2x− 1|
]−1
−2
= − ln 1 + 2 + ln 3− (− ln 2 + 1 + ln 5) = 1 + ln 2 + ln 3 − ln 5 .
2.5.3 Denominador com fatores quadráticos irredutíveis
Abaixo, o fator quadrático ax2 + bx+ c é irredutível em R, isto é, com b2 − 4ac < 0 .
37
Método: A cada fator quadrático irredutível ax2 + bx+ c que não se repete deve corres-
ponder uma fração parcial da forma
Ax+B
ax2 + bx+ c
,
e a cada fator quadrático irredutível repetido k vezes (ax2 + bx+ c)k deve corresponder uma
soma de k frações parciais
A1x+B1
ax2 + bx+ c
+
A2x+B2
(ax2 + bx+ c)2
+ · · ·+ Akx+Bk
(ax2 + bx+ c)k
.
Exemplo 1
8x2 + 3x+ 20
x3 + x2 + 4x+ 4︸ ︷︷ ︸
x2(x+1)+4(x+1) = (x2+4)(x+1)
=
8x2 + 3x+ 20
(x2 + 4)(x+ 1)
=
Ax+B
x2 + 4
+
C
x+ 1
.
Determinamos C pelo mét. de subst.: C =
8x2 + 3x+ 20
x2 + 4
∣∣∣∣
x = −1
= 5 .
Determinamos A e B pelo mét. de igualar coef.:
8x2+3x+20 = (Ax+B)(x+1)+C
5
(x2+4) = (A+5)︸ ︷︷ ︸
8
x2+(A+B)︸ ︷︷ ︸
3
x+(B+20)︸ ︷︷ ︸
20
⇒ A = 3 e B = 0 .
Logo,
ˆ
8x2 + 3x+ 20
x3 + x2 + 4x+ 4
dx =
ˆ
3x
x2 + 4
dx+
ˆ
5
x+ 1
dx =
3
2
ln |x2 + 4|+ 5 ln |x+ 1|+ c ■
Exemplo 2
12x3 − x2 + 14x− 11
(x2 + 1)
↑
(4x2 + 4x+ 10)
↑
irredutíveis
=
Ax+B
x2 + 1
+
Cx+D
4x2 + 4x+ 10
.
∴ 12x3 − x2 + 14x− 11 = (Ax+B)(4x2 + 4x+ 10) + (Cx+D)(x2 + 1)
= ( 4A+ C︸ ︷︷ ︸
12
) x3+ ( 4A+ 4B +D︸ ︷︷ ︸
−1
) x2+ ( 10A+ 4B + C︸ ︷︷ ︸
14
) x+ ( 10B +D︸ ︷︷ ︸
−11
)
 ⇒

A = 1
B = −1
C = 8
D = −1
38
Logo,
ˆ
12x3 − x2 + 14x− 11
(x2 + 1)(4x2 + 4x+ 10)
=
ˆ (
x− 1
x2 + 1
+
8x+4−5︷ ︸︸ ︷
8x− 1
4x2 + 4x+ 10
)
dx
=
ˆ
x dx
x2 + 1
−
ˆ
dx
x2 + 1
+
ˆ
(8x+ 4) dx
4x2 + 4x+ 10
− 5
( (∗)︷ ︸︸ ︷ˆ
dx
4x2 + 4x+ 10
)
=
1
2
ln(x2 + 1)− arctan x+ ln(4x2 + 4x+ 10)− 5
6
arctan
2x+ 1
3
+ c ■
(∗)
ˆ
dx
4x2 + 4x+ 10
=
ˆ
dx
(2x+ 1)2 + 9
=
1
9
ˆ
dx
1 +
(2x+ 1
3
)2
u = 2x+1
3
−−−−−−−→
dx = 3
2 du
=
1
6
ˆ
du
1 + u2
=
1
6
arctan u+ c1 =
1
6
arctan
2x+ 1
3
+ c1 .
Exemplo 3
x3 + x+ 2
x(x2 + 1)2
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 1
+
Dx+ E
(x2 + 1)2
=
2
x
+
−2x+ 1
x2 + 1
+
−2x
(x2 + 1)2
.
pois, pelo método de substituição, temos que
A =
x3 + x+ 2
(x2 + 1)2
∣∣∣∣
x = 0
= 2
e, pelo método de igualar coeficientes, que
x3 + x+ 2 =
2
A (x2 + 1)2 + x(x2 + 1)(Bx+ C) + x(Dx+ E)
= (2 + B)︸ ︷︷ ︸
0
x4 + C︸︷︷︸
1
x3 + (4 + B +D)︸ ︷︷ ︸
0
x2 + (C + E)︸ ︷︷ ︸
1
x+ 2
 ⇒

B = −2
C = 1
D = −2
E = 0 .
Logo,
ˆ
x3 + x+ 2
x(x2 + 1)2
dx =
ˆ
2
x
dx−
ˆ
2x dx
x2 + 1
+
ˆ
dx
x2 + 1
+
( (#)︷ ︸︸ ︷ˆ
−2x
(x2 + 1)2
dx
)
= 2 ln |x| − ln(x2 + 1) + arctan x+
1
x2 + 1
+ c ■
(#)
ˆ
−2x dx
(x2 + 1)2
t = x2+1
=
dt = 2x dx
ˆ
−dt
t2
=
1
t
=
1
x2 + 1
Exemplo 4
x5 − 2x4 + 2x3 + x− 2
x2(x2 + 1)2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx+D
x2 + 1
+
Ex+G
(x2 + 1)2
.
39
Determinamos, pelo mét. de subst.,
B =
x5 − 2x4 + 2x3 + x− 2
(x2 + 1)2
∣∣∣∣
x = 0
= −2
e, pelo mét. de igualar coef., as demais constantes:
x5 − 2x4 + 2x3 + x− 2
= Ax(x2 + 1)2 +
−2
B(x2 + 1)2 + (Cx+D)x2(x2 + 1) + (Ex+G)x2
= (A+ C)︸ ︷︷ ︸
1
x5 + (D − 2)︸ ︷︷ ︸
−2
x4 + (2A+ C + E)︸ ︷︷ ︸
2
x3 + (D +G− 4)︸ ︷︷ ︸
0
x2 +
1
A−2

⇒

C = 0
D = 0
E = 0
G = 4
A = 1
Logo,
ˆ
x5− 2x4+ 2x3+ x− 2
x2(x2+ 1)2
=
ˆ [ 1
x
− 2
x2
+
4
(x2+ 1)2
]
dx = ln |x|+ 2
x
+2
(
arctan x+
x
x2+ 1
)
+ c .
O último termo no integrando foi assim integrado:
ˆ
dx
(x2 + 1)2
x = tan θ
=
dx = sec2 θ
ˆ
sec2 θ dθ
sec4 θ
=
ˆ
cos2 θ dθ
=
θ
2
+
2 senθ cos θ︷ ︸︸ ︷
sen2θ
4
=
1
2
(θ + senθ cos θ) =
1
2
(
arctan x+
x
x2 + 1
)
,
onde, para expressar senθ e cos θ em função de x, fizemos uso da figura abaixo:
x
1
2
1x 
2
2
sen
1
1
cos
1
x
x
x
 
 
!" #"" "" $"" """ " %& '
" "
" " $" "
" "
" " (")
 
tan x $
Exemplo 5
ˆ
x3 + x2 + x+ 2
(x2 − 2x+ 2)2
dx =
ˆ [
x+ 3
x2 − 2x+ 2
+
5x− 4
(x2 − 2x+ 2)2
]
dx
x = tan θ
=
ˆ
(4 + tan θ + 5 senθ cos θ + cos2 θ) dθ = 3 + x+
5x− 4
x2 − 2x+ 2
+ c ,
onde os detalhes dos cálculos são deixados como exercício. Essa integral pode ser calculada sem
a expansão em frações parciais, substituindo-se x = tan θ diretamente nela.
Na seç. 5.2 fornecemos uma justificativa da expansão em frações parciais exposta nesta seção.
40
2.5.4 Observações
2.5.4.1 Quociente de polinômios que não é irredutível
Observe esses dois modos de desenvolver a mesma função f(x) em frações parciais:
f(x) =
x4 + 2x3 − 3x2 − 4x+ 4
x2(x− 1)3
=

A
x
+
B
x2
+
C
x− 1
+
D
(x− 1)2
+
E
(x− 1)3
⇒ A = −8 , B = −4 , C = 9 , D = E = 0
ou
(x2 + 4x− 4)(x− 1)2
x2(x− 1)3
=
x2 + 4x− 4
x2(x− 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x− 1
⇒ A = −8 , B = −4 , C = 9
No primeiro modo não se percebe que o numerador e o denominador têm o fator comum (x− 1)2, sendo por
isso realizados mais cálculos, haja vista os dois parâmetros D e E, ausentes no segundo modo, simplificado pelo
cancelamento daquele fator comum antes do desenvolvimento em frações parciais.
2.5.4.2 Uso irrefletido de frações parciais
O cálculo de
ˆ
x2dx/(2x+ 5)5 fazendo a substituição u = 2x+ 5 , isto é,
ˆ
x2 dx
(2x+ 5)5
=
ˆ [
(u− 5)/2
]2
(du/2)
u5
=
1
8
ˆ
u2 − 10u+ 25
u5
du =
1
8ˆ
(u−3 − 10u−4 + 25u−5) du
=
1
8
[
u−2
−2
− 10
u−3
−3
+ 25
u−4
−4
]
+ c =
1
8
[
− 1
2(2x+ 5)2
+
10
3(2x+ 5)3
− 25
4(2x+ 5)4
]
+ c ,
é mais fácil do que usando frações parciais:ˆ
x2
(2x+ 5)5
=
A
2x+ 5
+
B
(2x+ 5)2
+
C
(2x+ 5)3
+
D
(2x+ 5)4
+
E
(2x+ 5)5
⇒ · · · ⇒ A = 0 , B = 0 , C = 1/4 , D = −10/4 , E = 25/4 .
∴
ˆ
x2 dx
(2x+ 5)5
=
1
4
ˆ [
1
(2x+ 5)3
− 10
(2x+ 5)4
+
25
(2x+ 5)5
]
dx
=
1
8
[
− 1
2(2x+ 5)2
+
10
3(2x+ 5)3
− 25
4(2x+ 5)4
]
+ c .
2.5.4.3 Empregar frações parciais ou substituição trigonométrica?
Considere os seguintes cálculos da integral indefinida de f(x) = 1/(x2−a2) (a > 0) (ignoraremos a constante
aditiva arbitrária):
a) Separemos f(x) em frações parciais, obtendo
ˆ
dx
x2 − a2
=
ˆ
dx
(x+ a)(x− a)
=
1
2a
ˆ ( 1
x− a
− 1
x+ a
)
dx =
1
2a
(
ln |x− a| − ln |x+ a|
)
.
Observe que o resultado obtido é válido em todo o domínio de f(x), isto é, para todo x real diferente de ±a.
b) Façamos a substituição trigonométrica x = a sec θ ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞) . Com essa substituição, há uma
restrição de x aos valores tais que |x| ⩾ a, ou seja, x não pode tomar todos os valores do domínio de f . Temos
então que
ˆ
dx
x2 − a2
=
ˆ
a sec θ tan θ dθ
a2 tan2 θ
=
1
a
ˆ
csc θ dθ = −1
a
ln | csc θ + cot θ| = −1
a
ln | x+ a√
x2 − a2
| .
Este resultado só é válido para |x| > a (o ponto x = a não está no domínio da função f), o que condiz com a
substituição trigonométrica realizada.
41
c) Façamos agora a substituição trigonométrica x = a senθ ∈ [−a, a] (que restringe os valores de x aos com
|x| ⩽ a):
ˆ
dx
x2 − a2
=
ˆ
a cos θ dθ
−a2 cos2 θ
= −1
a
ˆ
sec θ dθ = −1
a
ln | sec θ + tan θ| = −1
a
ln | a+ x√
a2 − x2
| .
um resultado válido apenas para |x| < a, também condizente com a substituição trigonométrica realizada.
Conclui-se, portanto, que, ao se integrar indefinidamente uma função, os resultados podem valer em todo o
domínio da função ou em diferentes partes dele conforme o método empregado. (Entretanto, ressalve-se que os
resultados nos itens (b) e (c) podem ser escritos como aquele em (a) usando as propriedades do logaritmo.)
2.6 Integral de (Ax + B)/(ax2 + bx + c)γ , com a ̸= 0.
Nesta seção estudamos a integral mais complicada que pode surgir na aplicação do método
de integração por frações parciais considerado.
Caso 1) Se γ = 0,−1,−2,−3, · · · , o integrando é um polinômio, fácil de integrar.
Caso 2) Se Ax + B for igual à derivada de ax2 + bx + c a menos de um fator constante,
faz-se a mudança de variável u = ax2 + bx + c (v. Exemplo 1 abaixo); se não for, verifique os
casos seguintes:
Caso 3) Se γ = 1, 2, 3, · · · e ax2 + bx+ c tiver zeros reais, integre por frações parciais.
Caso 4) Se ax2+ bx+ c for irredutível em R ou γ /∈ Z (com qualquer ax2+ bx+ c), proceda
como nos Exemplos 2 e 3, respectivamente.
Exemplo 1:
ˆ
(
u′/(−3)︷ ︸︸ ︷
2x− 4 ) dx
( −3x2 + 12x+ 8︸ ︷︷ ︸
u → u′ =−6x+12
)2
= −1
3
ˆ
du
u2
=
1
3u
+ c =
1
3(−3x2 + 12x+ 8)
.
Exemplo 2
I =
ˆ
(2x+ 7) dx
(4x2 − 8x+ 13)2
=
ˆ 1
4
(
u′︷ ︸︸ ︷
8x− 8 ) + 9
( 4x2 − 8x+ 13︸ ︷︷ ︸
u
)2
dx =
1
4
ˆ
du
u2︸ ︷︷ ︸
J
+ 9
ˆ
dx
[4x2 − 8x+ 13]2︸ ︷︷ ︸
K
+ c ,
onde
J =
1
4
ˆ
du
u2
= − 1
4u
= − 1
4 (4x2 − 8x+ 13)2
e
K = 9
ˆ
dx
[4x2 − 8x+ 13]2
= 9
ˆ
dx
[4(x− 1)2︸ ︷︷ ︸
9 tan2 θ
+9]2
2(x−1) = 3 tan θ
=
2dx = 3 sec2 θ
9
ˆ 3
2
sec2 θ dθ
81 sec4 θ
=
1
6
ˆ
cos2 θ dθ =
1
6
· 1
2
(
θ +
sen2θ
2
)
=
θ
12
+
1
12
senθ cos θ
=
arctan
[
2
3
(x− 1)
]
12
+
1
12
· 2(x− 1)√
4x2 − 8x+ 13
· 3√
4x2 − 8x+ 13
.
42
3 
2 24( 1) 9 4 8 13x x x ! " !
2
2
2( 1)
sen
4 8 13
3
cos
4 8 13
x
x x
x x
 
 
# $
$ "$
$ !$$
%
$
$
$ "$
$ !$&
2( 1)x 
 
2( 1)
tan
3
x
 
 
" '
No próximo exemplo temos o fator quadrático −x2 − 6x− 5 , que é redutível em R [igual a
−(x + 5)(x + 1) ], um detalhe importante na integração por frações parciais, um método que,
entretanto, não se aplica neste exemplo.
Exemplo 3 : A seguinte integral indefinida, com x ∈ (−5,−1) :
I =
ˆ
x dx
(−x2 − 6x− 5)3/2
=
ˆ −1
2
(
u′︷ ︸︸ ︷
−2x− 6 )− 3
(−x2 − 6x− 5︸ ︷︷ ︸
u
)3/2
dx
= −1
2
ˆ
du
u3/2︸ ︷︷ ︸
J
+ (−3)
ˆ
dx
(−x2 − 6x− 5)3/2︸ ︷︷ ︸
K
+ c ,
onde
J = −1
2
ˆ
du
u3/2
=
1√
u
=
1√
−x2 − 6x− 5
e
K = −3
ˆ
dx
(−x2 − 6x− 5)3/2
= −3
ˆ
dx
[4− (x+ 3)2︸ ︷︷ ︸
4 sen2θ
]3/2
x+3 = 2 senθ
=
dx = 2 cos θ dθ
−3
ˆ
2 cos θ dθ
8 cos3 θ
= −3
4
ˆ
sec2 θ dθ = −3
4
tan θ = −3
4
x+ 3√
−x2 − 6x− 5
.
2 24 ( 3) 6 5x x x ! " 
2 3x !
 
2
3
tan
6 5
x
x x
 
!
# "
 
3
sen
2
x
 
!
"
Observe, no Caso 4, que, se A = 0, isto é, se a integral é da forma
´
B dx/(ax2 + bx+ c)γ, o
seu cálculo reduz-se ao de uma integral como a denotada por K nos Exemplos 2 e 3 acima.
43
2.7 Substituições Diversas
2.7.1 Raízes n-ésimas
Exemplo 1
ˆ √
x
1 + x
dx
u ≡
√
x
∴ x = u2
=
dx = 2u du
ˆ
u
1 + u2
2u du = 2
ˆ (
1− 1
1 + u2
)
du
= 2(u− arctan u) + c = 2
√
x− 2 arctan
√
x+ c ■
Exemplo 2
ˆ √
x+ 4
x
dx
u ≡
√
x+4
∴ x = u2−4
=
dx = 2u du
ˆ
u
u2 − 4
2u du = 2
ˆ
u2
u2 − 4
du
= 2
ˆ (
1 +
4
u2 − 4
)
du = 2
ˆ [
1 +
4
(u− 2)(u+ 2)
]
du
= 2
ˆ (
1 +
1
u− 2
− 1
u+ 2
)
du = 2(u+ ln |u− 2| − ln |u+ 2|) + c
= 2
√
x+ 4 + 2 ln |
√
x+ 4− 2| − 2 ln |
√
x+ 4 + 2|+ c ■
Note que devemos ter x ̸= 0 em
√
x+ 4/x , o que garante que u ̸= ±2 .
Exemplo 3
ˆ
dx
1 + 3
√
x
=
ˆ
3u2du
1 + u
· · · · · · · · · pois u = 3
√
x ⇒
{
x = u3
dx = 3u2du
2
2
2
1
1
1
( 1)
1 1 1
1
uu
uu u
u
u
u
u u u
 
!! !
!
" ! 
 
#
= 3
ˆ [
(u− 1) +
1
u+ 1
]
du
= 3
(u2
2
− u
)
+ 3 ln |u+ 1|+ c
=
3
2
x2/3 − 3x1/3 + 3 ln |x1/3 + 1|+ c ■
Exemplo 4
ˆ
x3 dx
3
√
x2+ 1
=
3
2
ˆ
(u3− 1) u2du
u
· · · pois u =
3
√
x2+ 1 ⇒

x2 = u3 − 1
2x dx = 3u2du
x3dx = x2(x dx) = (u3− 1)3
2
u2du
=
3
2
ˆ
(u4 − u) du =
3
2
(
u5
5
− u2
2
)
+ c =
3
10
(x2 + 1)5/3 − 3
3
(x2 + 1)2/3 + c ■
44
Exemplo 5
ˆ
dx√
x− 3
√
x
(∗)
=
ˆ
6u5du
u3 − u2
= 6
ˆ
u3du
u− 1
= 6
ˆ (
u2 + u+ 1 +
1
u− 1
)
du
= 6
(
u3
3
+
u2
2
+ u+ ln |u− 1|
)
+ c = 2x1/2 + 3x1/3 + 6x1/6 + 6 ln |x1/6 − 1|+ c ■
(∗) u = 6
√
x
[
6 = mmc{2, 3}
]
⇒ x = u6 ⇒
{
dx = 6u5du
x1/2 = u3 e x1/3 = u2
Exemplo 6 ˆ
dx
3
√
x+ 4
√
x
(∗)
=
ˆ
12u11du
u4 + u3
= 12
ˆ
u8du
u+ 1
= 12
ˆ (
u7 − u6 + u5 − u4 + u3 − u2 + u− 1 +
1
u+ 1
)
du
= 12
(
u8
8
− u7
7
+
u6
6
− u5
5
+
u4
4
− u3
3
+
u2
2
− u+ ln |u+ 1|
)
+ c = · · ·
(∗) mmc{3, 4} = 12 ∴ u = 12
√
x = x1/12 ⇒ x = u12 ⇒
{
dx = 12u11du
x1/3 = u4 e x1/4 = u3
Exemplo 7ˆ
dx
7
√
x5 − 7
√
x3
(∗)
=
ˆ
7u6du
u5 − u3
=
ˆ
7u3du
u2 − 1
· · · · · · (∗)pois u = 7
√
x ⇒
{
x = u7
dx = 7u6du
= 7
ˆ (
u+
u
u2 − 1
)
du = 7
(
u2
2
+
1
2
ln |u2 − 1|
)
+ c =
7
2
x2/7 +
7
2
ln |x2/7 − 1|+ c ■
Exemplo 8ˆ
dx
4
√
x3 − 3
√
x2
(∗)
=
ˆ
12u11du
u9 − u8
= 12
ˆ
u3du
u− 1
= 12
ˆ (
u2 + u+ 1 +
1
u− 1
)
du
= 4u3 + 6u2 + 12u+ 12 ln |u− 1|+ c = 4x1/4 + 6x1/6 + 12x1/12 + 12 ln |x1/12 − 1|+ c ■
(∗) mmc{4, 3} = 12 ∴ u = 12
√
x = x1/12 ⇒ x = u12 ⇒
{
dx = 12 u11du
4
√
x3 = u9 e 3
√
x2 = u8
45
Exemplo 9
2
3
ˆ √
x dx
3
√
x2 − 1
(∗)
=
2
3
ˆ
u3(6u5du)
u4 − 1
= 4
ˆ
u8du
u4 − 1
= 4
ˆ [
u4 + 1 +
1
u4 − 1
]
du =
ˆ [
4u4 + 4 +
4
(u2 + 1)(u+ 1)(u− 1)
]
du
=
ˆ (
4u4 + 4 +
−2
u2 + 1
+
−1
u+ 1
+
1
u− 1
)
=
4u5
5
+ 4u− 2 arctan u+ ln |u− 1
u+ 1
|+ c
=
4x5/6
5
+ 4x1/6 − 2 arctan x1/6 + ln |x
1/6 − 1
x1/6 + 1
|+ c ■
(∗) mmc{2, 3} = 6 ∴ u = 6
√
x = x1/6 ⇒ x = u6 ⇒
{
dx = 6 u5du√
x = u3 e 3
√
x2 = u4
2.7.2 Tangente do arco-metade
Com a substituição t = tan(x/2), podemos converter qualquer função racional nas duas va-
riáveis senx e cos x em uma função racional de t. Para isso, empregamos as fórmulas deduzidas
abaixo:
t 
1 
21 t 
/2x
tan
x
2
= t cos x = cos2
x
2
− sen2x
2
=
1
1 + t2
− t2
1 + t2
=
1− t2
1 + t2
cos
x
2
=
1√
1 + t2
senx = 2 sen
x
2
cos
x
2
= 2
t√
1 + t2
1√
1 + t2
=
2t
1 + t2
sen
x
2
=
t√
1 + t2
dt =
1
2
sec2
x
2
dx =
1 + t2
2
dx ⇒ dx =
2 dt
1 + t2
Exemplo 1
ˆ
1
1− cos x
dx =
ˆ
1
1− 1− t2
1 + t2
2 dt
1 + t2
=
ˆ
2 dt
1 + t2 − (1−