CURVAS_VERTICAIS_-_EXERCCIOS_01

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<p>CONCORDÂNCIA VERTICAL - EXERCÍCIOS</p><p>1) Sendo dados num perfil longitudinal: rampas i1=3% e i2= -2%; cota</p><p>PIV = 500,00 m; E(PIV) = 100 + 0,00 m, calcule:</p><p>a) a curva vertical de concordância, bem como as estacas e</p><p>cotas dos pontos notáveis, considerando uma velocidade</p><p>diretriz igual a 80 km/h;</p><p>b) compare os comprimentos e as flechas máximas, considerando as</p><p>distâncias de visibilidade mínimas e desejáveis.</p><p>c) a Nota de Serviço de terraplenagem, para os elementos do eixo,</p><p>dadas as cotas do terreno natural;</p><p>Nota de Serviço de Terraplenagem (elementos do eixo)</p><p>Estacas Cotas</p><p>greide</p><p>reto(m)</p><p>Flechas</p><p>(m)</p><p>Cotas</p><p>do</p><p>proj.(m)</p><p>Cotas do</p><p>ter.(m)</p><p>Cotas verm. (m)</p><p>Corte (+) Aterro (-)</p><p>96 497,300</p><p>97 499,200</p><p>98 500,800</p><p>99 501,250</p><p>100 499,700</p><p>101 499,200</p><p>102 498,000</p><p>103 498,900</p><p>104 498,700</p><p>Obs.: Cotas do terreno são dadas pela topografia</p><p>Solução:</p><p>a) Para condição restrita: Lmin = K.A</p><p>A = 3,0 –(-2,0) = 5,0% Lmin = 145 m (ver gráfico) L = 160,00 m</p><p>E(PIV)= 100 +0,00</p><p>C(PIV) = 500,000 m</p><p>i2 = -2,0%</p><p>i1=3%</p><p>E(PCV) = PIV – L/2 = 100 + 0,00 – (4 +0,00) = 96 +0,00 m</p><p>C(PCV) = C(PIV) – 0,03x80,00 = 500,00 -0,03x80,00 = 497,600 m</p><p>E(PTV) = PIV + L/2 = 100 + 0,00 + (4 + 0,00) = 104 + 0,00 m</p><p>C(PTV) = C(PIV) – 0,02x80,00 = 500,000 – 0,02x80,00 = 498,400m</p><p>b) Flecha:</p><p>𝑓 =</p><p>𝑔</p><p>2𝐿</p><p>. 𝑥2 =</p><p>0,05</p><p>2𝑥160</p><p>. 𝑥2 = 1,5625𝑋10−4. 𝑥2𝑚 (𝑥 ≤</p><p>𝐿</p><p>)</p><p>2</p><p>𝐹 =</p><p>𝑔. 𝐿</p><p>8</p><p>=</p><p>0,05𝑋160</p><p>8</p><p>= 1,00𝑚</p><p>𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆:</p><p>𝑖1. 𝐿</p><p>0,03𝑋160</p><p>𝐿0 =</p><p>𝑔</p><p>=</p><p>0,05</p><p>= 96,00𝑚</p><p>1</p><p>𝑌0</p><p>𝑖</p><p>2. 𝐿</p><p>=</p><p>2𝑔</p><p>0,032𝑋160</p><p>=</p><p>2𝑋0,05</p><p>= 1,44𝑚</p><p>c) Nota de Serviço (parte do eixo)</p><p>Estacas Cotas gr.</p><p>reto</p><p>(m)</p><p>Flecha</p><p>(m)</p><p>Cotas</p><p>de proj</p><p>(m)</p><p>Cotas</p><p>terreno</p><p>(m)</p><p>Cotas</p><p>vermelhas</p><p>Corte</p><p>(m)</p><p>Aterro</p><p>(m)</p><p>96 - PCV 497,600 - 497,600 497,300 - -0,300</p><p>97 498,200 0,062 498,138 499,200 1,062</p><p>98 498,800 0,250 498,550 500,800 2,250</p><p>99 499,400 0,562 498,838 501,250 2,412</p><p>100 - PIV 500,000 1,000 499,000 499,700 0,700</p><p>101 499,600 0,562 499,038 499,200 0,162</p><p>102 499,200 0,250 498,950 498,000 - - 0,950</p><p>103 498,800 0,062 498,738 498,900 0,162</p><p>104 - PTV 498,400 - 498,400 498,700 0,300</p><p>Obs.: Cotas do terreno são dadas pela topografia.</p><p>Para condição desejável: Lmin = 235,00 m L = 240,00 m</p><p>𝐹 =</p><p>𝑔.𝐿</p><p>8</p><p>=</p><p>0.05𝑥240</p><p>8</p><p>= 1,50 m</p><p>b) p/ L = 160,00 m, F = 1, 00 m</p><p>p/ L = 240,00 m, F = 1,50 m</p><p>Conclusão: aumentando-se a curva, aumentam-se as alturas de corte</p><p>ao longo dela.</p><p>2) Calcular as cotas de projeto da curva, abaixo, e completar a Nota</p><p>de Serviço a seguir. O raio da curva vertical é igual a 3000 m e a</p><p>distância de visibilidade de parada, Dp, é igual a 98 m.</p><p>Dados:</p><p>R = 3000m; Dp = 98m;</p><p>C(PIV) = 830,00m</p><p>E(PIV) = 80+0,00m</p><p>Solução:</p><p>g = i1- i2 = 0,02 -(-0,06) =0,08 = 8%</p><p>Lv = g.Rv = 0,08x3.000 = 240,00m</p><p>Verificação de Lvmin: supor Dp < Lvmin</p><p>PIV</p><p>-6,0%</p><p>I1 = 2,0%</p><p>⇒ 𝐿 𝑚𝑖𝑛 =</p><p>𝐷𝑝2</p><p>412</p><p>. 𝐴 =</p><p>982</p><p>412</p><p>. [2 − (−6)] = 186,50𝑚(𝑂𝐾)</p><p>𝐸𝑠𝑡(𝑃𝐶𝑉) = 80 − 6 = 74 + 0,00</p><p>𝐸𝑠𝑡(𝑃𝑇𝑉) = 80 + 6 = 86 + 0,00</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐶𝑉) = 𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐼𝑉) −</p><p>𝑖1𝐿</p><p>= 830 − 0,02𝑥120 = 827,60𝑚</p><p>2</p><p>𝐿</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝑇𝑉) = 𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐼𝑉) + 𝑖2.</p><p>2</p><p>= 830 + (−0,06)𝑥120 = 822,80𝑚</p><p>𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎(𝑓) =</p><p>𝑔</p><p>2𝐿.</p><p>𝑥2 =</p><p>0,08</p><p>2.240</p><p>. 𝑥2 = 1,6667.10−4. 𝑥2 (x<L/2)</p><p>Para x variando de 20 em 20 m, a tabela fica preenchida como segue:</p><p>Estacas Cotas (m) Flecha</p><p>(m)</p><p>Greide</p><p>Projeto</p><p>Cotas verm.</p><p>(m)</p><p>Terreno Gr. reto Corte</p><p>(+)</p><p>Aterro</p><p>(-)</p><p>74=PCV 820,00 827,60 - 827,60 - 7,60</p><p>75 821,10 828,00 0,07 827,93 - 6,83</p><p>76 822,00 828,40 0,27 828,13 - 6,13</p><p>77 823,00 828,80 0,60 828,20 - 5,20</p><p>78 824,00 829,20 1,07 828,13 - 4,13</p><p>79 825,12 829,60 1,67 827,93 - 2,81</p><p>80 = PIV 826,40 830,00 2,40 827,60 - 1,20</p><p>81 827,80 828,80 1,67 827,13 0,67</p><p>82 828,20 827,60 1,07 826,54 1,66</p><p>83 828,90 826,40 0,60 825,80 3,10</p><p>84 829,15 825,20 0,27 824,94 4,21</p><p>85 830,30 824,00 0,07 823,94 6,36</p><p>86 = PTV 830,50 822,80 - 822,80 7,70</p><p>Obs.: As cotas do terreno são dadas pela topografia</p><p>3) No perfil da figura, determinar o menor raio para que o greide fique no</p><p>mínimo 2,00 m acima do nível da enchente prevista, igual a 588,00 m.</p><p>Solução:</p><p>C(V) 588,00 + 2,00 = 590,00 m</p><p>C(V) = C(PIV2) + 6% x L/2 -Y0</p><p>L = R/-0,06-0,04/ = 0,10 R (módulo)</p><p>𝑦0 =</p><p>2</p><p>1 . 𝐿=</p><p>2 𝑥 𝑔</p><p>(−0.062)𝑥 0,10𝑅</p><p>2𝑥(−0,10)</p><p>= −0,0018𝑅 (𝑐ô𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎)</p><p>590 = 584 + 0,06 x 0,10R/2 - 0,0018R</p><p>6 = 0,0012R ∴ 𝑅 = 5.000,00 𝑚</p><p>4) A figura, a seguir, mostra o eixo da planta do ramo de um cruzamento</p><p>e o perfil longitudinal do mesmo ramo. Adotando para a curva vertical</p><p>convexa um raio R=5000 m, determinar o maior raio possível para a</p><p>curva vertical côncava.</p><p>1</p><p>Solução:</p><p>Comprimento do trecho em planta:</p><p>Curva 1:</p><p>𝜃 =</p><p>𝐿𝑠1</p><p>=</p><p>60</p><p>= 0,30𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑠1 2.𝑅</p><p>2𝑥100</p><p>∅1 = 𝐴𝐶 − 2. 𝜃𝑠</p><p>∅ = 95𝑥</p><p>𝜋</p><p>180</p><p>− 2𝑥0,30 = 1,05807𝑟𝑎𝑑</p><p>𝐷1 = 𝑅1. ∅1 = 100 𝑥 1,05807 = 105,81 𝑚</p><p>Curva 2:</p><p>𝜃𝑠2 =</p><p>40</p><p>2𝑥200</p><p>= 0.100 rad</p><p>𝜋</p><p>∅2 = 45𝑥</p><p>180</p><p>− 2𝑥0.100 = 0,5854𝑟𝑎𝑑</p><p>𝐷2 = 200 𝑥 0,5854 = 117,08 𝑚</p><p>Distância total (TS1-ST2):</p><p>D =105,81+200,00+117,08 = 622,88 m (igual ao comprimento em perfil)</p><p>O Rmáx, na curva 1, deverá se encaixar no que sobrar da curva 2.</p><p>P/ curva convexa:</p><p>𝐿2 = 𝑅𝑣2. 𝑔2 = 5.000 𝑥 (0,05 + 0,01) = 300,00𝑚</p><p>X + Y = 622,88 – 300,00 = 322,88 Y = 322,88 – X</p><p>Cota PIV1 (pela esquerda) = cota PIV1 (pela direita):</p><p>Cota PCV2 = 114,50 – 0.05x150,00 = 107,00 m</p><p>100,00 - 0,01.X = 107,00 – 0,05.(322,88 – X)</p><p>Daí, o sistema:</p><p>𝑋 + 𝑌 = 322,88 (𝐼)</p><p>100 − 0,01. 𝑋 = 107,00 − 0,05(322.88 − 𝑋 (𝐼𝐼)</p><p>〉</p><p>Daí: X = 152,40 m e Y = 170,48m</p><p>Numa parábola simples, X = Y, logo: L = 2.X = 304,80 m</p><p>Finalmente: 𝑅𝑣𝑚á𝑥 = 𝐿/(∕ 𝑔 ∕) = 304,80/(∕ −0.06 ∕) = 5.000,00 𝑚</p><p>5) Dadas as cotas de um trecho que compreende uma curva vertical,</p><p>determinar o PIV, PCV, PTV, o comprimento da curva e o raio.</p><p>(Sugestões):</p><p>a) aplicar o teorema – Se por dois pontos quaisquer de uma parábola</p><p>traçarmos uma corda, sua inclinação será igual a da tangente à curva</p><p>no ponto de abcissa média dessa corda;</p><p>〈</p><p>t2</p><p>A M B C N D</p><p>t1</p><p>b) busque na literatura o conceito de razão de mudança de rampa e</p><p>aplique onde for necessário).</p><p>Estacas Cotas</p><p>(mm)</p><p>Estacas Cotas</p><p>(mm)</p><p>76 331.240 88 338.884</p><p>77 332.240 89 338.764</p><p>78 333.240 90 338.516</p><p>79 334.240 91 338.140</p><p>80 335.236 92 337.636</p><p>81 336.140 93 337.040</p><p>82 336.916 94 336.440</p><p>83 337.564 95 335.840</p><p>84 338.040 96 335.240</p><p>85 338.476 97 334.640</p><p>86 338.640 98 334.040</p><p>87 338.876 99 333.440</p><p>(Interpretação do teorema)</p><p>Solução:</p><p>a) rampas:</p><p>1ª rampa: da estaca 76 até a estaca 79 o greide é reto, logo, o PCV é</p><p>logo após;</p><p>2ª rampa: o greide é reto à partir da estaca 93, logo, o PTV está antes:</p><p>𝑖1</p><p>𝑖2</p><p>=</p><p>𝑐78 − 𝑐76</p><p>40</p><p>=</p><p>𝑐99 − 𝑐98</p><p>20</p><p>333,240 − 331,240</p><p>= = 0,05 = 5,0%</p><p>40</p><p>333,440 − 334,040</p><p>= = −0,03 = −3,0%</p><p>20</p><p>𝑔 = 𝑖1 − 𝑖2 = 0,05 − (−0,03) = 0,08 = 8,0%</p><p>b) cálculo do raio Rv e do comprimento Lv:</p><p>Sendo as estacas do PCV e do PTV desconhecidas, usaremos o</p><p>conceito de razão de mudança de rampa (rmr),que é a variação de</p><p>declividade (g) por unidade de comprimento (m), para calcularmos o</p><p>raio.</p><p>Por definição: 𝑟𝑚𝑟 =</p><p>𝑔</p><p>𝐿𝑣</p><p>; L = R.g 𝑟𝑚𝑟 =</p><p>𝑔</p><p>𝐿𝑣</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑅𝑣</p><p>Aplicando o teorema sugerido, consideremos as cordas c1 (entre as</p><p>estacas 81 e 82) e c2 (entre as estacas 88 e 89). Logo:</p><p>ic =</p><p>C(Est.82) − C(Est.81)</p><p>=</p><p>336,916 − 336,140</p><p>= 0,0388</p><p>1 20 20</p><p>ic =</p><p>C(Est.89) − C(Est.88)</p><p>=</p><p>338,764 − 338,884</p><p>= −0,006</p><p>2 20 20</p><p>Os pontos médios destas cordas estão nas estacas 81+10,00 e</p><p>88+10,00, respectivamente, distantes entre si de 140m. Logo:</p><p>𝑟𝑚𝑟 =</p><p>0,0388 − (−0,006)</p><p>= 0,00032𝑚−1</p><p>140</p><p>𝑟𝑚𝑟 =</p><p>1</p><p>∴</p><p>𝑅𝑣</p><p>∴ 𝐿𝑣 = 𝑅𝑣. 𝑔 = 3.125,00 𝑥 0,08) = 250,00𝑚</p><p>𝑅𝑣 =</p><p>1</p><p>0,00032</p><p>= 3.125,00𝑚</p><p>c) Cálculo do PCV e PTV:</p><p>reaplicando a definição de rmr entre o PCV (desconhecido) e a Est.</p><p>81+10,00 (ou outro ponto de inclinação de tangente conhecida), tem-</p><p>se:</p><p>no PCV: i1 = 5,0%; na est. 81+10,00: ic1 = 3,88%; rmr = 0,00032 m-1</p><p>0,05−0,0388 = 0,00032𝑚−1 ∴ 𝑥 = 35,00 𝑚</p><p>𝑥</p><p>Est.PCV = 81+10,00 – (1+15,00) = 79+15,00 m</p><p>Est.PIV = 79 + 15,00 + (6 + 5,00) = 86 + 0,00 m</p><p>Est.(PTV) = 79 + 15,00 + (12 + 10,00) = 92 +5,00 m</p><p>6) Uma curva vertical tem o PIV na</p><p>estaca 62, sendo sua cota igual a</p><p>115,40 m. A cota do ponto mais alto</p><p>do greide é 112,40 m. Calcular a</p><p>cota na estaca 58.</p><p>Solução:</p><p>C58 = ?</p><p>Determinar o valor de L a partir do vértice:</p><p>C(V) = C(PIV) – 5%xL/2 + Y0</p><p>Y0 = i2xL/(2g) = 0,052xL/0,16 = 0,0156L</p><p>112,40 = 115,40 – 0,025L + 0,0156L ∴ 𝐿 = 320,00𝑚</p><p>C(PCV) = C(PIV) – 5%xL/2</p><p>C(PCV) = 115,40 -0,05 x 160,00 = 107,40 m</p><p>E(PCV) = 62 – 8 = 54 + 0.00m</p><p>Para est. 58, X = 80,00 m</p><p>𝑔</p><p>𝑌 = −</p><p>2𝐿</p><p>𝑥2 + 𝑖1𝑥</p><p>𝑌58</p><p>=</p><p>−0,08</p><p>𝑥802 + 0,05𝑥80 = 3,20 𝑚</p><p>2𝑥320</p><p>C58 = 107,40 + 3,20 = 110,60 m</p>