aula_12_IC_teste_hipotese (1)

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<p>SL303 – Estatística e Bioestatística</p><p>Leonardo T. Duarte</p><p>Primeiro Semestre de 2012</p><p>Intervalos de confiança</p><p>e Introdução ao teste de hipótese</p><p>Aula passada</p><p>● Problema: estimar a média populacional através da</p><p>média amostral</p><p>● Estudamos a distribuição da média amostral</p><p>● Vimos que</p><p>● Maior N: mais precisa é a estimação</p><p>● Menor variância populacional: mais precisa é a</p><p>estimação</p><p>Aula passada</p><p>● Problema: estimar a média populacional através da</p><p>média amostral</p><p>● Estudamos a distribuição da média amostral</p><p>● Vimos que</p><p>● Maior N: mais precisa é a estimação</p><p>● Menor variância populacional: mais precisa é a</p><p>estimação</p><p>● Aula de hoje: como construir um intervalo de confiança</p><p>● Também veremos o que é um teste de hipótese</p><p>Intervalo de Confiança</p><p>● Estimação da média populacional → feita através da</p><p>média amostral</p><p>● Vimos no entanto que se a variância da população for</p><p>grande e/ou número de amostras for pequeno, as</p><p>chances de se obter uma estimação ruim é alta</p><p>Intervalo de Confiança</p><p>● Estimação da média populacional → feita através da</p><p>média amostral</p><p>● Vimos no entanto que se a variância da população for</p><p>grande e/ou número de amostras for pequeno, as</p><p>chances de se obter uma estimação ruim é alta</p><p>● Diante disso, muitas vezes é mais interesse estimar um</p><p>intervalo que, com grandes chances, contém a média</p><p>● Conceito de Intervalo de confiança</p><p>● Esta estimativa nos dará mais informação sobre a</p><p>variabilidade da população</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● Seja X uma VA com média populacional μX e variância</p><p>σX</p><p>2</p><p>● Seja MX a VA associada à distribuição da média amostral</p><p>de X</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● Seja X uma VA com média populacional μX e variância</p><p>σX</p><p>2</p><p>● Seja MX a VA associada à distribuição da média amostral</p><p>de X</p><p>● Com base nas propriedades da distribuição amostral da</p><p>média, é possível mostrar que se</p><p>● A distribuição X for normal (ou se o número de</p><p>amostras utilizadas para calcular a média amostrar for</p><p>suficiente grande)</p><p>Então</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● De onde vem o resultado abaixo?</p><p>(1)</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● De onde vem o resultado abaixo?</p><p>(1)</p><p>● Sabemos que</p><p>(2)</p><p>é uma normal padronizada se X for normal, ou tende a</p><p>uma normal se N for grande o suficiente</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● De onde vem o resultado abaixo?</p><p>(1)</p><p>● Sabemos que</p><p>(2)</p><p>é uma normal padronizada se X for normal, ou tende a</p><p>uma normal se N for grande o suficiente</p><p>● Logo</p><p>(3)</p><p>● Substituindo Z por (2) em (3), e após uma manipulação</p><p>das desigualdades, é possível obter (1)</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● Na expressão abaixo, o intervalo é aleatório e a média</p><p>populacional é fixa</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● Na expressão abaixo, o intervalo é aleatório e a média</p><p>populacional é fixa</p><p>● Interpretação: Considere que calculamos a média amostral</p><p>N vezes</p><p>● Poderemos calcular para cada média amostral obtido o</p><p>seguinte intervalo:</p><p>(mX – 1.96σX/N0.5, mX + 1.96σX/N0.5)</p><p>Obtenção de um intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● Na expressão abaixo, o intervalo é aleatório e a média</p><p>populacional é fixa</p><p>● Interpretação: Considere que calculamos a média amostral</p><p>N vezes</p><p>● Poderemos calcular para cada média amostral obtido o</p><p>seguinte intervalo:</p><p>(mX – 1.96σX/N0.5, mX + 1.96σX/N0.5)</p><p>● Cada intervalo obtido é chamada de intervalo de confiança</p><p>de 95%</p><p>● De acordo com a probabilidade estabelecida, 95% dos</p><p>intervalos obtidos conterão a média populacional.</p><p>Interpretação gráfica do IC de 95%</p><p>Exemplo</p><p>● Deseja-se estimar a média da concentração de lactato em</p><p>esportistas de alto nível. Sabe-se que a variância</p><p>populacional neste caso é de σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L. Obtenha</p><p>um intervalo de confiança de 95% para a estimação da</p><p>média.</p><p>Exemplo</p><p>● Deseja-se estimar a média da concentração de lactato em</p><p>esportistas de alto nível. Sabe-se que a variância</p><p>populacional neste caso é de σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L. Obtenha</p><p>um intervalo de confiança de 95% para a estimação da</p><p>média.</p><p>● Passos</p><p>● Definir número de amostras N; no exemplo N = 40</p><p>Exemplo</p><p>● Deseja-se estimar a média da concentração de lactato em</p><p>esportistas de alto nível. Sabe-se que a variância</p><p>populacional neste caso é de σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L. Obtenha</p><p>um intervalo de confiança de 95% para a estimação da</p><p>média.</p><p>● Passos</p><p>● Definir número de amostras N; no exemplo N = 40</p><p>● Calcular a médias amostral das N observações. No</p><p>estudo, foi obtido mX = 1,5 mmol/L.</p><p>Exemplo</p><p>● Deseja-se estimar a média da concentração de lactato em</p><p>esportistas de alto nível. Sabe-se que a variância</p><p>populacional neste caso é de σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L. Obtenha</p><p>um intervalo de confiança de 95% para a estimação da</p><p>média.</p><p>● Passos</p><p>● Definir número de amostras N; no exemplo N = 40</p><p>● Calcular a médias amostral das N observações. No</p><p>estudo, foi obtido mX = 1,5 mmol/L.</p><p>● Logo, um IC de 95% neste caso é dado por:</p><p>(mX – 1.96σX/N0.5, mX + 1.96σX/N0.5) = (1.47 , 1,53)</p><p>● Conclusão: Estamos 95% “confiantes” de que o intervalo</p><p>(1.469 , 1.531) contém a média populacional.</p><p>Exemplo</p><p>● No exemplo anterior, obtivemos o IC (1.47,1.53). A</p><p>amplitude deste intervalo é de 1.53 – 1.47 = 0.06.</p><p>● Suponha que queiramos diminuir esta amplitude para 0.03.</p><p>Qual seria o número de amostras necessário para tal?</p><p>Exemplo</p><p>● No exemplo anterior, obtivemos o IC (1.47,1.53). A</p><p>amplitude deste intervalo é de 1.53 – 1.47 = 0.06.</p><p>● Suponha que queiramos diminuir esta amplitude para 0.03.</p><p>Qual seria o número de amostras necessário para tal?</p><p>● O IC de 95% neste caso é dado por</p><p>Exemplo</p><p>● No exemplo anterior, obtivemos o IC (1.47,1.53). A</p><p>amplitude deste intervalo é de 1.53 – 1.47 = 0.06.</p><p>● Suponha que queiramos diminuir esta amplitude para 0.03.</p><p>Qual seria o número de amostras necessário para tal?</p><p>● O IC de 95% neste caso é dado por</p><p>● Portanto, a amplitude do intervalo é dada por</p><p>● Logo, é necessário que</p><p>Intervalos de confiança gerais</p><p>● Até o momento, consideramos apenas ICs de 95%</p><p>● No entanto, podemos definir para qualquer outra</p><p>probabilidade</p><p>Intervalos de confiança gerais</p><p>● Até o momento, consideramos apenas ICs de 95%</p><p>● No entanto, podemos definir para qualquer outra</p><p>probabilidade</p><p>● Exemplo: IC de 99%</p><p>Intervalos de confiança gerais</p><p>● Até o momento, consideramos apenas ICs de 95%</p><p>● No entanto, podemos definir para qualquer outra</p><p>probabilidade</p><p>● Exemplo: IC de 99%</p><p>● Caso geral: IC de 100%  (1-α)</p><p>● onde zα/2 → P(Z > zα/2) = α/2 → Calculado da tabela!</p><p>Exemplo</p><p>● Vamos considerar novamente a estimação da média da</p><p>concentração de lactato (σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L e N = 40</p><p>amostras). A média amostral obtida foi mX = 1,5 mmol/L</p><p>Exemplo</p><p>● Vamos considerar novamente a estimação da média da</p><p>concentração de lactato (σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L e N = 40</p><p>amostras). A média amostral obtida foi mX = 1,5 mmol/L</p><p>● Obtenha um IC de 99%. Neste caso α = 0.01</p><p>Exemplo</p><p>● Vamos considerar novamente a estimação da média da</p><p>concentração de lactato (σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L e N = 40</p><p>amostras). A média amostral obtida foi mX = 1,5 mmol/L</p><p>● Obtenha um IC de 99%. Neste caso α = 0.01</p><p>● Da tabela zα/2 = z0.01/2 → P(Z > z0.01/2) = 0.005</p><p>Da tabela: z0.01/2 = 2.58</p><p>Exemplo</p><p>● Vamos considerar novamente a estimação da média da</p><p>concentração de lactato (σX</p><p>2 = 0.01 mmol/L e N = 40</p><p>amostras). A média amostral obtida foi mX = 1,5 mmol/L</p><p>● Obtenha um IC de 99%. Neste caso α = 0.01</p><p>● Da tabela zα/2 = z0.01/2 → P(Z > z0.01/2) = 0.005</p><p>Da tabela: z0.01/2 = 2.58</p><p>● Basta substituir zα/2 na expressão geral</p><p>● O IC de 99% obtido neste exemplo é (1.459,</p><p>1.541)</p><p>Exemplo</p><p>● No exemplo estudado, obtivemos um IC de 99% dado</p><p>por (1.459 , 1.541)</p><p>● Havíamos obtido o seguinte IC de 95% (1.469 , 1.531)</p><p>● Ou seja, quanto maior o nível de confiança, maior será o</p><p>tamanho do intervalo obtido</p><p>● Compromisso:</p><p>↑ Confiança ↓ Precisão</p><p>Amplitude de um IC</p><p>● A amplitude de um intervalo de confiança de 100%  (1-</p><p>α) é dada por</p><p>Amplitude de um IC</p><p>● A amplitude de um intervalo de confiança de 100%  (1-</p><p>α) é dada por</p><p>● Geralmente, após calcularmos a média amostral mX e o</p><p>respectivo IC, denotamos o IC da seguinte maneira</p><p>mX w/2</p><p>Amplitude de um IC</p><p>● A amplitude de um intervalo de confiança de 100%  (1-</p><p>α) é dada por</p><p>● Geralmente, após calcularmos a média amostral mX e o</p><p>respectivo IC, denotamos o IC da seguinte maneira</p><p>mX w/2</p><p>● Em nosso exemplo anterior, tínhamos mX = 1,5 e o</p><p>seguinte IC de 99% (1.459 , 1.541)</p><p>● Neste caso w = 1.541-1.459 = 0.082, e, logo, podemos</p><p>representar este IC da seguinte maneira</p><p>1,5 0.041</p><p>Cálculo geral do tamanho de amostra</p><p>● Vimos que a amplitude de um IC 100%  (1-α) é</p><p>● Uma vez definidos α, w, e de posse do desvio padrão</p><p>populacional, podemos encontrar o número de amostras</p><p>que garanta um IC 100%  (1-α) cuja amplitude é w</p><p>Cálculo geral do tamanho de amostra</p><p>● Vimos que a amplitude de um IC 100%  (1-α) é</p><p>● Uma vez definidos α, w, e de posse do desvio padrão</p><p>populacional, podemos encontrar o número de amostras</p><p>que garanta um IC 100%  (1-α) cuja amplitude é w</p><p>● Exemplo: A distribuição do peso de uma população</p><p>possui desvio padrão 10 kg. Deseja-se obter um intervalo</p><p>de confiança de 93% para a média dos pesos. Além</p><p>disso, deseja-se que este intervalo tenha amplitude w =</p><p>2kg. Qual o número de amostras deve ser considerado</p><p>na estimação da média amostral?</p><p>Cálculo geral do tamanho de amostra</p><p>● Temos que</p><p>● w = 2 e σX</p><p>= 10</p><p>● α = 7 % → z0.07/2 = P(Z > z0.07/2) = 0.035 →</p><p>Da tabela z0.07/2 = 1.476</p><p>Cálculo geral do tamanho de amostra</p><p>● Temos que</p><p>● w = 2 e σX</p><p>= 10</p><p>● α = 7 % → z0.07/2 = P(Z > z0.07/2) = 0.035 →</p><p>Da tabela z0.07/2 = 1.81</p><p>● Logo</p><p>● Serão necessárias 328 amostras para obtermos um IC</p><p>de 97% com amplitude 2kg.</p><p>Intervalos de Confiança Unilaterais</p><p>● Vimos até agora intervalos de confiança bilaterais</p><p>● Em alguns casos, é de interesse calcular um limite</p><p>superior para a média populacional</p><p>● Da tabela, sabemos que P(Z > -1.645) = 0.95. Portanto:</p><p>Intervalos de Confiança Unilaterais</p><p>● Vimos até agora intervalos de confiança bilaterais</p><p>● Em alguns casos, é de interesse calcular um limite</p><p>superior para a média populacional</p><p>● Da tabela, sabemos que P(Z > -1.645) = 0.95. Portanto:</p><p>● Manipulando esta expressão, é possível obter</p><p>● Portando, em 95% da vezes, o valor mX + 1.645σX √N</p><p>será maior do que a média populacional.</p><p>Exemplo</p><p>● Numa população, o desvio padrão da pressão saguínea</p><p>sistólica é de 10 mmHg.</p><p>● Afim de estimar a pressão média da população, 50</p><p>pessoas foram selecionadas. A média amostral obtida foi</p><p>de 118.1 mmHg. Calcule um limite de confiança superior</p><p>de 95% para a média populacional</p><p>Exemplo</p><p>● Numa população, o desvio padrão da pressão sanguínea</p><p>sistólica é de 10 mmHg.</p><p>● Afim de estimar a pressão média da população, 50</p><p>pessoas foram selecionadas. A média amostral obtida foi</p><p>de 118.1 mmHg. Calcule um limite de confiança superior</p><p>de 95% para a média populacional</p><p>● Temos neste caso</p><p>● mX = 118.1, N = 50,</p><p>● Dado que</p><p>● Estamos 95% confiante que mX + 1.645σX √N = 120.42 é</p><p>maior ou igual à média populacional!</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>Slide 30</p><p>Slide 31</p><p>Slide 32</p><p>Slide 33</p><p>Slide 34</p><p>Slide 35</p><p>Slide 36</p><p>Slide 37</p><p>Slide 38</p><p>Slide 39</p><p>Slide 40</p>