Aula06 de Bioestatística - VET

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BIOESTATÍSTICA 
Estimação Pontual
São estimadores que fornecem, para uma amostra, uma única estimativa do
parâmetro de interesse.
Por exemplo:
ത𝑋 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
é o estimador pontual da média (𝜇).
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖− ത𝑋 2
𝑛−1
é o estimador pontual da variância 𝜎2 .
Ƹ𝑝 =
𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
é o estimador pontual da proporção (p).
Distribuição amostral da média
Será que as médias amostrais vão seguir alguma distribuição?
ത𝑋1, ത𝑋2 , ത𝑋3, ത𝑋4, …
Quando trabalhamos com amostra com reposição temos:
A média amostra ത𝑋~𝑁 𝜇,
𝜎2
𝑛
𝐸 ത𝑋 = 𝜇 𝑒 𝑉𝐴𝑅 ത𝑋 =
𝜎2
𝑛
Já quando trabalhamos com amostra sem reposição temos:
A média amostra ത𝑋~𝑁 𝜇,
𝜎2
𝑛
×
𝑁−𝑛
𝑛−1
𝐸 ത𝑋 = 𝜇 𝑒 𝑉𝐴𝑅 ത𝑋 =
𝜎2
𝑛
×
𝑁 − 𝑛
𝑛 − 1
Seja x o número de sucessos em uma amostra de tamanho n. O estimador da
proporção de sucessos é:
Ƹ𝑝 =
𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
=
𝑥
𝑛
Se atribuirmos 1 para sucesso e 0 para fracasso, podemos reescrever o estimador
pela seguinte expressão:
Ƹ𝑝 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
𝑛
Ou seja, a proporção é uma média de zeros e uns, logo a proporção é um caso
especial da média. Então, Ƹ𝑝 têm distribuição aproximadamente
𝑁 𝑝,
𝑝(1−𝑝)
𝑛
Distribuição amostral da proporção
Estimação Intervalar
A estimação intervalar consiste na criação de um intervalo de valores possíveis, o
qual admite-se que pode conter o parâmetro com certa probabilidade.
Esta probabilidade é denominada “nível de confiança” e é simbolizada por 1 − 𝛼.
O valor de pode ser entendido como a probabilidade de o verdadeiro valor do
parâmetro não pertencer ao intervalo. Em geral, o valor de é fixado pelo
pesquisador em 1% ou 5%, gerando intervalos de 99% ou 95% de confiança
respectivamente.
A obtenção dos limites dos intervalos de confiança (IC) é feita com base na
distribuição amostral do estimador do parâmetro em questão.
A ideia de um IC é: (estimativa pontual erro). Naturalmente este erro depende de
quê?
Intervalo de Confiança (IC) para a média (𝜇)
Seja ത𝑋 a estimativa pontual de 𝜇, obtida a partir de uma amostra aleatória de
tamanho n, de uma população com variância conhecida 𝜎2. Temos pelo Teorema
Central do Limite que:
𝑍𝑛 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑛
≈ 𝑁(0,1)
±𝑍 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑛
⇒ ±𝑍 ×
𝜎
𝑛
= ത𝑋 − 𝜇 ⇒ 𝜇: ത𝑋 ± 𝑍 ×
𝜎
𝑛
Assim um intervalo de confiança de 100(1 − 𝛼)% para é dado por:
𝐼𝐶1−𝛼 𝜇 : ത𝑋 ± 𝑍𝛼
2
×
𝜎
𝑛
ou 𝑃 ത𝑋 − 𝑍𝛼
2
×
𝜎
𝑛
< 𝜇 < ത𝑋 + 𝑍𝛼
2
×
𝜎
𝑛
≤ 1 − 𝛼
Naturalmente, o que varia de amostra para amostra é o valor do intervalo e não o
parâmetro. Assim a interpretação de um intervalo de confiança de 95% por
exemplo é que ao realizar um certo número de amostras 95% dos intervalos
obtidos conterão o verdadeiro valor do parâmetro. Veja na figura abaixo a ideia do
intervalo de confiança para a média.
Exemplo: A concentração média de volume globular (VG) em 36 amostras de
sangue de equinos foi de 2,6g/Kg. Sabendo que o desvio padrão da
concentração de VG é 𝜎 = 0,3 g/Kg, obtenha um intervalo de confiança de 95%
para a concentração média de VG nestes exames de sangue.
𝑛 = 36 ത𝑋 = 2,6 𝜎 = 0,3 𝛼 = 0,05 𝑍0,025 = 1,96
𝐼𝐶95% 𝜇 : 2,6 ± 1,96 ×
0,3
36
⇒ 𝐼𝐶95% 𝜇 : 2,6 ± 0,1 ⇒ 𝐼𝐶95% 𝜇 : [2,5; 2,7]
Que significa que 95% dos intervalos obtidos em amostras de tamanho 36
conterão o verdadeiro valor da concentração média de volume globular (𝜇).
IC para a proporção (p)
O intervalos de confiança para o parâmetro proporção (p) são obtidos de maneira
similar aos intervalos para a média (𝜇).
Seja x o número de sucessos em uma amostra de tamanho n. O estimador da
proporção de sucessos é:
Ƹ𝑝 =
𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
=
𝑥
𝑛
Se atribuirmos 1 para sucesso e 0 para fracasso, podemos reescrever o estimador
pela seguinte expressão:
Ƹ𝑝 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
𝑛
Se n for suficientemente grande (n > 30), podemos utilizar o Teorema Central do
Limite e afirmar que Ƹ𝑝 tem distribuição aproximadamente normal com média p e
variância
𝑝(1−𝑝)
𝑛
.
Consequentemente podemos obter a variável Z, por:
𝑍 =
Ƹ𝑝 − 𝑝
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
⇒ 𝑍~𝑁(0,1)
Assim, para uma amostra suficientemente grande, um intervalo de confiança de
100(1 − 𝛼)% para é dado por:
𝐼𝐶1−𝛼 𝑝 : Ƹ𝑝 ± 𝑍𝛼
2
ො𝑝(1− ො𝑝)
𝑛
ou 𝑃 Ƹ𝑝 − 𝑍𝛼
2
ො𝑝(1− ො𝑝)
𝑛
< 𝑝 < Ƹ𝑝 + 𝑍𝛼
2
ො𝑝(1− ො𝑝)
𝑛
≤ 1 − 𝛼
Exemplo: Uma amostra aleatória de 487 pacotes de ração para gatos foi selecionada e
analisado se possuíam todos os atributos sensoriais esperados. Um total de 35 pacotes
destes não possuíam as características esperadas. Calcule o intervalo de confiança de
95% para a proporção de pacotes não possuem todos os atributos sensoriais
esperados.
Ƹ𝑝 =
35
487
= 0,0719; 𝑛 = 487; 𝛼 = 5%; 𝑍0,025 = 1,96
𝐼𝐶95% 𝑝 : Ƹ𝑝 ± 𝑍𝛼
2
Ƹ𝑝(1 − Ƹ𝑝)
𝑛
⇒ 𝐼𝐶95% 𝑝 : 0,0719 ± 1,96
0,0719 (1 − 0,0719)
487
𝐼𝐶95% 𝑝 : 0,0719 ± 0,0229 ⇒ 𝐼𝐶95% 𝑝 : (0,049; 0,0948)
O intervalo de confiança da proporção com 95% de confiança foi 𝐼𝐶95% 𝑝 : (0,049; 0,0948)