Capítulo 4 - Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros

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Curso de Engenharia da Computação
Estatística
Capítulo 3 – Distribuições 
Amostrais e Estimação de 
Parâmetros
Profº Dr. Elton Alves 
Amostragem e Inferência Estatística
Conceitos
❑Parâmetro:
• Algumas medida descritiva (média,
variância, proporção e etc.) dos valores
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , associados à população.
• Exemplos:
- Número de horas de estudos médios da
população.
Conceitos
❑Estatística
• Alguma medida descritiva (média,
variância, proporção e etc.) das variáveis
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , associados à amostra.
• Exemplo:
- Número de horas de estudos médios da
amostra.
Parâmetro e Estatística 
Parâmetros e Estatística
Parâmetro Versus Estatística 
• Proporção de pessoas de raça branca em uma
população e numa amostra.
Distribuição Amostral da Média
Distribuição da Média Amostral
• (Teorema do limite central) Se o tamanho da
amostra for razoavelmente grande, então a
distribuição amostral da média pode ser
aproximada pela distribuição normal.
Distribuição da Média Amostral
População de Tamanho N
Estimação de Parâmetros
Estimação de Parâmetros
Estimação de Parâmetros
Tipos de Estimação de Parâmetros
1. Estimativas Pontuais: as estimativas são ditas
pontuais quando apontam para um único valor.
Exemplo: Prevalência de fumo entre os estudantes
da Unifesspa.
, onde Sn é a frequência do evento na
amostra e n é o tamanho da amostra
2. Estimativas Intervalares: as estimativas são
intervalares quando definem um intervalo da
valores.
ˆ n
S
p
n
=
Estimação Pontual
• Estimadores pontuais importantes:
1. Média: O melhor estimador para µ é a média amostral:
2. Proporção: O melhor estimador para p é a proporção
amostral:
• Onde, Sn é o número de elementos que apresentam uma
determinada característica entre os n elementos da amostra.
3. Variância: O melhor estimador para 𝝈𝟐 é a variância
amostral:
1
n
i
i
x
X
n
==

ˆ n
S
p
n
=
2
2 1
( )
1
n
i
i
x X
S
n
=
−
=
−

Estimação Pontual
• Exemplo: Num dos diversos estudos que levaram à
proibição do uso de DDT, procedeu-se à medição
da espessura de casca de ovos de falcões peregrinos.
Os dados recolhidos numa região em que não se
procede a exploração agrícola, e em que não tinha
havido uso de DDT, com o objetivo de servirem de
padrão de comparação, constam na tabela seguinte:
Estimação Pontual
• Suponha que a espessura, em mm, de ovos de
falcão peregrino, X, segue uma distribuição
normal: X≈N(μ,σ²).
• A média da amostra recolhida é:
• A média amostral, = 0,2725, é uma estimativa
pontual da média populacional desconhecida μ.
0,28 0,24 0,28 0,32 ... 0,33
0,2725
20
X
+ + + + +
= =
X
Estimação Pontual
• Sejam, p proporção de alunos da Unifesspa que
foram ao teatro pelo menos uma vez no último
mês, e X: número de estudantes que respondem
“sim” em uma pesquisa com n entrevistados.
Suponha que foram entrevistados n = 500
estudantes e que, desses, k = 100 teriam afirmado
que foram ao teatro pelo menos uma vez no último
mês. Estime a proporção de alunos que foram ao
teatro.
Função Gaussiana ou Normal
• É a distribuição de probabilidade mais
utilizada na estatística;
• Pode ser utilizada em modelagem de medidas
da natureza;
Função Gaussiana ou Normal
• Propriedades:
1. Gráfico na forma de sino;
2. Suas média, medianas e modas são iguais;
3. É simétrica em torno da média
4. A área total sob curva normal é 1.
Função Gaussiana ou Normal
• Propriedades:
5. Os pontos em que a curva muda são
chamados de pontos de inflexão;
6. À medida que a curva se afasta de média,
aproxima-se cada vez mais do eixo X, mas
nunca o toca.
Função Gaussiana ou Normal
• Médias e desvio padrão: uma distribuição
normal pode ter qualquer média (µ) e qualquer
desvio padrão (σ).
• Os parâmetros (µ) e (σ) determinam o formato
da curva.
Curvas com médias diferentes e mesmo desvio
padrão
Função Gaussiana ou Normal
• Curvas com médias diferentes e desvio padrão 
diferentes.
Função Gaussiana ou Normal
• Exemplo: Massas de homens e mulheres
adultos.
1. Qual das curvas normais tem maior média?
2. Qual das curvas normais tem desvio padrão
maior?
Distribuição Normal Padrão
• É uma distribuição que tem µ=0 e σ=1;
Escore Z
• O escore padrão ou escore Z, representa o
número de desvio padrão que separa uma
variável X da média.
• Para transformar um valor X em um escore Z
usamos a fórmula:
valor média x
Z
desvio padrão


− −
= =
Escore Z
• Exemplo: as pontuações em um concurso
público, com média de 152 e desvio padrão
de 7. Determine o escore Z para um
candidato com pontuação de:
a) 161
b) 148
c) 152
Escore Z
• Entendendo o escore Z:
1. Se cada valor de dados de uma variável X
normalmente distribuída for transformada
em um escore Z, o resultado será uma curva
normal padrão;
2. Podemos usar a curva normal padrão e o
escore Z para obter áreas ( e portanto
probabilidades) sob a curva normal.
Escore Z
• Tabela da distribuição Normal Padrão
Exercício – Tabela Normal Padrão
• Calcule:
Z>0,42
Z<0,42
(-0,42<Z<0,42)
Estimação de Parâmetro: Intervalo 
de Confiança para Média
•µ = média na população (parâmetro que se quer 
estimar)
•ഥ𝑿 = média da amostra (pode ser calculada com 
base na amostra)
Estimativa por Intervalo de Confiança
❑1-𝛼 é 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎;
❑𝛼 é um grau de confiança;
❑−𝑍 Τ𝛼 2e 𝑍 Τ𝛼 2𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠.
❑Onde 𝑍 Τ𝛼 2é um valor tal que área da
curva normal padronizada à sua
direita é Τ𝛼 2
❑ A escolha do nível de confiança depende da precisão que desejamos
estimar o parâmetro.
❑ Geralmente, adota-se α = 1%, 5% ou 10%.
Intervalo da Confiança para a 
Média
•De modo geral, estamos interessados em encontrar um
intervalo na forma:
•Onde ε0 representa a semi-amplitude do intervalo de
confiança, sendo chamado de ERRO de PRECISÃO em
relação a µ.
 0 0 0,X X X   − + =  
Teorema do Limite Central
Teorema do Limite Central
• TEOREMA: para amostras aleatórias (X1, X2, ..., Xn), retiradas de uma
população µ e variância σ² , a média amostral aproxima-se
de uma distribuição Normal com média µ e variância σ²/n quando n
razoavelmente grande.
( )1 2, ,..., /nX X X X n=
2
,X N
n


 
  
 
Intervalo da Confiança para a Média
• CASO 1: α² é conhecido
- Dada a distribuição amostral da média : 
Temos que padronizando em Z : 
~ N(0,1) (Normal Padrão).
2
,X N
n


 
  
 X
Z
n


−
=
/2
/2 /2
/2 /2
/2
( ) 1
1
1
1
P z Z z
X
P z z
n
P z X z
n n
P X z X z
n n

 
 





 
 
 
 
−   = −
 
 −
−   = − 
 
 
 
 
−  −  = − 
 
 
−   + = − 
 
Intervalo da Confiança para a Média
• IC para μ com variância conhecida.
(1 ) /2 /2( ) ,IC X z X z
n n
  
 
−
 
= − + 
 
Zα/2 é o valor de Z que produz uma
área de α/2 na cauda superior da
Distribuição normal padrão.
Exemplo 1
Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja
inserida em latas tem-se comportado como uma variável
com média 350 ml e desvio padrão 3 ml. Após alguns
problemas da linha de produção, suspeita-se que houve
alteração na média. Uma amostra de 20 latas acusou
media ml. Construa um intervalo de confiança
para o novo valor da quantidade média µ de cerveja
inserida em latas, com nível de confiança de 95%,
supondo que não tenha ocorrido alteração no desvio
padrão do processo.
346X =
Exemplo 2
A norma padrão ASTM E23 define métodos padrões de teste para
o impacto em barras entalhadas, feitas de materiais metálicos. A
técnica Charpy V-notch(CVN) mede a energia de impacto e é
frequentemente utilizada para determinar se um material
experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um
decréscimo de temperatura. Dez medidas de energia (J) de
impacto nos corpos de prova de aço A238, cortados a 60ºC, são:
64,1; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5; 64,3; 64,6; 64,8; 64,2 e 64,3.
Considere que a energia de impacto seja normalmente distribuída,
com σ=1J.Queremos encontrar um IC de 95% para µ, a energia
média do impacto.
Intervalo da Confiança para a Média
•CASO 2: α é desconhecido.
- Substituir α pelo desvio padrão calculado com os dados da
amostra.
- Duas situações podem ocorrer:
1. Para uma amostra grande (digamos n≥50), a diferença entre
𝝈 e s pode ser desprezível (Uso de IC anterior)
2. Para uma amostra pequena, é necessário efetuar uma correção
com a distribuição t de Student.
( )
2
1
1
1
n
i
i
S x X
n =
= −
−

Intervalo da Confiança para a Média
•Distribuição t de Student:
- Seja uma amostra aleatória proveniente de uma
distribuição normal, com média µ e variância σ²
desconhecida. A estatística:
- Tem distribuição probabilidade com distribuição t de Student,
com gl=n-1 graus de liberdade, e não mais distribuição
normal.
/
X
T
S n
−
=
1 2 ,..., nX X X
Distribuição t de Student
Intervalo da Confiança para a 
Média: Distribuição t de Student
• Para pequenas amostras a distribuição normal apresenta
valores menos precisos, o que nos leva a utilizar um modelo
melhor.
•A principal diferença entre a distribuição normal e a t de
Student é que esta tem mais área nas caudas.
Intervalo da Confiança para a 
Média: Distribuição t de Student:
• Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo
que à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de
Student se aproxima da distribuição normal.
• Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter:
1.Um nível de confiança desejado.
2.Qual o número de graus de liberdade a ser utilizado:
Distribuição t de Student
Como usar a tabela t
• Ilustração com gl=9 e nível de confiança de 95%.
Intervalo da Confiança para a 
Média: Distribuição t de Student:
• Usando a tabela t de Student com n-1, podemos escolher o valor de 𝑡 Τ𝛼 2
em função do nível de confiança γ desejado, tal que:
 
( )
/2, 1 /2, 1
/2, 1 /2, 1
/2, 1 /2, 1
/2, 1,
1
1
/
1
n n
n n
n n
n
P t T t
X
P t t
S n
S S
P X t X t
n n
S
IC X t
n
 
 
 
 



 
− −
− −
− −
−
−   = −
 −
−   = − 
 
 
−   + = − 
 
= 
Exemplo 3
Deseja-se avaliar a dureza esperada de µ do aço produzido sob
um novo processo de têmpera. Uma amostra de dez corpos de
prova do aço produziu os seguintes resultados de dureza, em
HRc:
36,4 35,7 37,2 36,5 34,9 35,2 36,3 35,8 36,6 36,9
Construir um intervalo de confiança para µ, com nível de
confiança de 95%.
Intervalo de Confiança para a 
Proporção Populacional
•O IC para a proporção populacional é dado por
( ) /2,
ˆ ˆ(1 )
ˆ
p
p p
IC p z
n

−
= 
Exemplo 4
•Uma droga foi testada em 25 pacientes e apresentou efeitos
colaterais em 8 casos. Qual a proporção de ocorrência de
efeitos colaterais?
-Adotando-se um grau de confiança de 5%.
( ) /2,
ˆ ˆ(1 )
ˆ
p
p p
IC p z
n

−
= 
Exemplo 5
•Na avaliação de dois sistemas computacionais, A e B, foram
selecionadas 400 cargas de trabalho (tarefas) –
supostamente uma amostra aleatória da infinidade de
cargas de trabalho que poderiam ser submetidas a esses
sistemas. O sistema A foi melhor que B em 60% dos casos.
Construir intervalos de confiança para p (proporção de
vezes que o sistema A é melhor que o sistema B,
considerando todas as possíveis cargas de trabalho) usando
níveis de confiança de 95% e 99%. Comente a diferença
entre os resultados dos intervalos de confiança.
( ) /2,
ˆ ˆ(1 )
ˆ
p
p p
IC p z
n

−
= 
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	Slide 2: Amostragem e Inferência Estatística
	Slide 3: Conceitos
	Slide 4: Conceitos
	Slide 5: Parâmetro e Estatística 
	Slide 6: Parâmetros e Estatística
	Slide 7: Parâmetro Versus Estatística 
	Slide 8: Distribuição Amostral da Média
	Slide 9: Distribuição da Média Amostral
	Slide 10: Distribuição da Média Amostral
	Slide 11: População de Tamanho N
	Slide 12: Estimação de Parâmetros 
	Slide 13: Estimação de Parâmetros 
	Slide 14: Estimação de Parâmetros 
	Slide 15: Tipos de Estimação de Parâmetros
	Slide 16: Estimação Pontual
	Slide 17: Estimação Pontual
	Slide 18: Estimação Pontual
	Slide 19: Estimação Pontual
	Slide 20: Função Gaussiana ou Normal
	Slide 21: Função Gaussiana ou Normal
	Slide 22: Função Gaussiana ou Normal
	Slide 23: Função Gaussiana ou Normal
	Slide 24: Função Gaussiana ou Normal
	Slide 25: Função Gaussiana ou Normal
	Slide 26: Distribuição Normal Padrão
	Slide 27: Escore Z
	Slide 28: Escore Z
	Slide 29: Escore Z
	Slide 30: Escore Z
	Slide 31: Exercício – Tabela Normal Padrão
	Slide 32: Estimação de Parâmetro: Intervalo de Confiança para Média 
	Slide 33: Estimativa por Intervalo de Confiança
	Slide 34: Intervalo da Confiança para a Média
	Slide 35: Teorema do Limite Central
	Slide 36: Teorema do Limite Central
	Slide 37: Intervalo da Confiança para a Média
	Slide 38: Intervalo da Confiança para a Média
	Slide 39: Exemplo 1
	Slide 40: Exemplo 2
	Slide 41: Intervalo da Confiança para a Média
	Slide 42: Intervalo da Confiança para a Média
	Slide 43: Distribuição t de Student
	Slide 44: Intervalo da Confiança para a Média: Distribuição t de Student 
	Slide 45: Intervalo da Confiança para a Média: Distribuição t de Student:
	Slide 46: Distribuição t de Student
	Slide 47: Como usar a tabela t
	Slide 48: Intervalo da Confiança para a Média: Distribuição t de Student:
	Slide 49: Exemplo 3
	Slide 50: Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
	Slide 51: Exemplo 4
	Slide 52: Exemplo 5