MATEMTICANAENGENHARIAfunesemodelosemtelecomunicaes

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<p>See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/333172197</p><p>MATEMÁTICA NA ENGENHARIA: funções e modelos em telecomunicações</p><p>Conference Paper · November 2018</p><p>CITATIONS</p><p>0</p><p>READS</p><p>3,243</p><p>2 authors:</p><p>Cristiane Ruiz Gomes</p><p>Federal University of Pará</p><p>30 PUBLICATIONS   51 CITATIONS</p><p>SEE PROFILE</p><p>Andréia V. R. Lopes</p><p>Pontificia Universidad Católica de Valparaíso</p><p>24 PUBLICATIONS   62 CITATIONS</p><p>SEE PROFILE</p><p>All content following this page was uploaded by Andréia V. R. Lopes on 17 May 2019.</p><p>The user has requested enhancement of the downloaded file.</p><p>https://www.researchgate.net/publication/333172197_MATEMATICA_NA_ENGENHARIA_funcoes_e_modelos_em_telecomunicacoes?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_2&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/publication/333172197_MATEMATICA_NA_ENGENHARIA_funcoes_e_modelos_em_telecomunicacoes?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_3&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_1&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cristiane-Gomes-7?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cristiane-Gomes-7?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/institution/Federal-University-of-Para?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cristiane-Gomes-7?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Andreia-Lopes-25?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Andreia-Lopes-25?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/institution/Pontificia-Universidad-Catolica-de-Valparaiso?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Andreia-Lopes-25?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Andreia-Lopes-25?enrichId=rgreq-a9239b4b3d0a8c0273098cd186ddc021-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMzE3MjE5NztBUzo3NTk1NDMyOTQzNDUyMTZAMTU1ODEwMDY0MTAyNQ%3D%3D&el=1_x_10&_esc=publicationCoverPdf</p><p>MATEMÁTICA NA ENGENHARIA: funções e modelos em</p><p>telecomunicações</p><p>Andreia Vanessa Rodrigues Lopes1</p><p>Cristiane Ruiz Gomes2</p><p>RESUMO</p><p>A Matemática com seu poder de síntese e lógica, tornou-se um instrumento necessário na</p><p>formulação e compreensão dos conhecimentos físicos envolvidos nas mais diversas áreas.</p><p>Sua multiplicidade de atributos que vão desde o desenvolvimento do raciocínio lógico de</p><p>uma pessoa até à compreensão de estruturas abstratas permeiam a fundamentação de</p><p>diversas áreas do conhecimento. Este trabalho pretende explanar de forma breve sucinta</p><p>como a matemática é essencial e imprescindível para a educação e formação profissional</p><p>em engenharia, abordando a desde a base até os modelos matemáticos que são</p><p>fundamentais na área de telecomunicações. Funções básicas e funções especiais são</p><p>abordadas e onde são usadas no cotidiano de um aluno de engenharia. São abordados</p><p>dois modelos matemáticos empíricos de rádio propagação, um para TV Digital e outro para</p><p>propagação dentro de ambientes internos e que podem servir de base para os estudos da</p><p>nova tecnologia de Redes Móveis – 5G.</p><p>Palavras-chave: Funções. Modelo Matemático. Telecomunicações. TV Digital. 5G.</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A matemática é a linguagem da Ciência, por trás dessa afirmação está o</p><p>entendimento de que os diversos e variados problemas científicos e tecnológicos</p><p>necessitam, para serem adequadamente resolvidos, de uma formulação técnica na</p><p>qual a linguagem e os métodos matemáticos desempenham papel importante.</p><p>Parte da literatura e de pesquisa matemática está voltada à criação de métodos</p><p>que possam ser aplicados a um grande número de situações, e, muitos destes</p><p>podem ser utilizados nas mais diferentes áreas do conhecimento, uma vez que a</p><p>1</p><p>Universidade Federal do Pará – UFPA. E-mail: deia.engcomp@gmail.com</p><p>2</p><p>Universidade Federal do Pará – UFPA. E-mail: crisruiz@ufpa.br</p><p>mailto:deia.engcomp@gmail.com</p><p>2</p><p>formulação dos problemas esteja numa linguagem matemática adequada</p><p>(OLIVEIRA e TYGEL, 2015).</p><p>A matemática permeia várias áreas do conhecimento, dentre elas a Física,</p><p>Química, Geologia, Biologia, Engenharias entre outras. Nestas últimas destacamos</p><p>neste trabalho aplicações da matemática nas telecomunicações.</p><p>A Classificação Brasileira de Ocupações (CBO, 2010) do Ministério do</p><p>Trabalho e Emprego, em sua terceira edição, define que a engenharia está situada</p><p>no grupo de ocupações cujas atividades principais requerem para seu</p><p>desempenho, conhecimentos profissionais de alto nível e experiência em</p><p>disciplinas como a Física, a Biologia, além de Ciências Sociais e Humanas. Dentre</p><p>suas atividades destacam-se: a de ampliar o acervo de conhecimentos científicos</p><p>e intelectuais por meio de pesquisas, aplicarem conceitos e teorias para solução de</p><p>problemas ou por meio da educação e ainda, assegurar a difusão sistemática</p><p>desses conhecimentos (MIRANDA e LAUDARES, 2011).</p><p>Entende-se que, de acordo com as competências e habilidades presentes</p><p>nas diretrizes curriculares, a Matemática torna-se indispensável na preparação do</p><p>Engenheiro para o trabalho com a tecnologia, auxiliando-o na compreensão da</p><p>realidade socioeconômica, política e cultural de seu tempo. A base da engenharia</p><p>é a Matemática e não seria possível a formação de um profissional sem sua</p><p>utilização como ferramenta de cálculos e como desenvolvimento de raciocínio</p><p>(MIRANDA e LAUDARES, 2011) (SIQUEIRA e FIRMINO, 2017).</p><p>Este trabalho apresenta, de forma breve, como os conceitos matemáticos</p><p>podem ser aplicados nas telecomunicações, desde suas funções básicas até as</p><p>mais específicas, mostrar alguns modelos matemáticos e por fim mostrar algumas</p><p>técnicas de otimização que utilizam conceitos matemáticos para aproximação de</p><p>valores ótimos para determinados coeficientes e/ou parâmetros em modelos de</p><p>radiopropagação.</p><p>Algumas funções base para a engenharia são mostradas na seção 2; as</p><p>funções especiais Gama e de Bessel e as séries de Fourier, são abordadas na</p><p>seção 3; dois modelos empíricos para a área de telecomunicação são apresentados</p><p>na seção 4 e a seção 5 conclui este trabalho.</p><p>FUNÇÕES APLICADAS A ENGENHARIA: Funções Básicas</p><p>3</p><p>Chamamos de função as expressões que buscam a associação do valor do</p><p>argumento 𝒙 a um único valor da função 𝒇(𝒙). Pode-se chamar essa função de</p><p>fórmula, relacionamento gráfico entre diagramas</p><p>com a representação de dois</p><p>conjuntos, ou ainda com uma regra de associação. Onde 𝒙 é chamado de domínio</p><p>e 𝒇(𝒙) ou 𝒚 de imagem da função (LOPES, 1999).</p><p>Machado (1996) conceitua função como segue:</p><p>Quando duas grandezas x e y estão relacionadas de tal modo que para</p><p>cada valor de x fica determinado um único valor de y, dizemos que y é</p><p>uma função de x.</p><p>(MACHADO, 1996, p. 69)</p><p>Função Exponencial</p><p>Funções exponenciais tratam das funções que crescem ou decrescem muito</p><p>rapidamente, desempenhando papéis importantes na matemática, física, química e</p><p>outras áreas. São caracterizadas como uma extensão do processo de</p><p>potencialização para expoentes não inteiros (LOPES, 1999).</p><p>A função denominada exponencial possui relação de dependência e sua</p><p>principal característica é que a parte variável representada por 𝒙 se encontra no</p><p>expoente. A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada</p><p>ao expoente 𝒙 precisa ser maior que 0 e diferente de 1, conforme a seguinte</p><p>notação (1).</p><p>𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒚 = 𝒂𝒙, 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒂 > 𝟏 𝒐𝒖 𝟎 < 𝒂 < 𝟏. (1)</p><p>A função exponencial de base 𝒂, 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, tem as seguintes propriedades:</p><p> 𝒇(𝒙) > 𝟎 para todo 𝒙 ∈ ℝ;</p><p> 𝒇(𝒙) é crescente se, e somente se, 𝒂 > 𝟏;</p><p> 𝒇(𝒙) é decrescente se, e semente se, 𝟎 < 𝒂 < 𝟏;</p><p> 𝒇(𝒙) é injetora;</p><p> 𝒇(𝒙) é ilimitada superiormente;</p><p> 𝒇(𝒙) é contínua;</p><p> 𝒇(𝒙) é sobrejetora;</p><p> 𝒇(𝒙) é bijetiva, isto é, possui uma função inversa chamada função</p><p>logarítmica 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙.</p><p>O gráfico de uma função exponencial permite o estudo de situações que se</p><p>enquadram em uma curva de crescimento ou decrescimento, sendo possível</p><p>4</p><p>analisar as quantidades relacionadas à curva. Em razão dessa propriedade, a</p><p>função exponencial é considerada uma importante ferramenta da Matemática,</p><p>abrangendo diversas situações cotidianas e contribuindo de forma satisfatória na</p><p>obtenção de resultados que exigem uma análise quantitativa e qualitativa. A Fig 1</p><p>mostra a curva de uma função exponencial crescente.</p><p>Fig. 1. Gráfico da função exponencial 𝒚 = 𝒙/𝟐 .</p><p>Funções exponenciais surgem na modelagem de inúmeros problemas, em</p><p>circuitos elétricos, reações químicas, desintegração radioativa, crescimento de</p><p>populações e outros.</p><p>Logaritmos e Função logarítmica</p><p>O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier</p><p>(1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta</p><p>dos logaritmos deveu-se, sobretudo à grande necessidade de simplificar os</p><p>cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da</p><p>astronomia, entre outras. O princípio dos logaritmos baseia-se no fato de algumas</p><p>operações serem mais acessíveis do que outras, assim, com a utilização dos</p><p>logaritmos podemos transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações</p><p>e potências em multiplicações (LOPES, 1999). A ideia dos logaritmos é reverter à</p><p>operação de exponenciação, isto é, elevar um número a uma potência (EVES</p><p>2004).</p><p>5</p><p>Toda função definida por 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙, com 𝒂 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏, sendo 𝒇: ℝ+</p><p>∗ →</p><p>ℝ é denominada função logarítmica de base 𝒂. Neste tipo de função o domínio é</p><p>representado pelo conjunto dos números reais maiores que 0 e o contradomínio, o</p><p>conjunto dos reais. Alguns exemplos são mostrados em (2) até (5).</p><p>𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 (2)</p><p>𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏/𝟐 𝒙 (3)</p><p>𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙 (4)</p><p>𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟏) (5)</p><p>Seja 𝒈: ℝ+</p><p>∗ → ℝ, 𝒂 ∈ ℝ+</p><p>∗ , com 𝒂 ≠ 𝟏. Temos 𝒙 → 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 com as</p><p>principais propriedades:</p><p> Se 𝒂 > 𝟏 então 𝒈 é estritamente crescente;</p><p> Se 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 então 𝒈 é estritamente decrescente;</p><p> Sejam 𝒂 > 𝟏, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ ℝ+</p><p>∗ e supondo que 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 ; considerando</p><p>que (6) e (7).</p><p>𝒚𝟏 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 ↔ 𝒂𝒚𝟏 = 𝒙𝟏 (6)</p><p>𝒚𝟐 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 ↔ 𝒂𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 (7)</p><p>Assim 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 e 𝒂𝒚𝟏 < 𝒂𝒚𝟐. Como 𝒂 > 𝟏, segue-se que</p><p>𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐.</p><p> Para 𝒂 > 𝟏, 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 → 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐;</p><p> Para 𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 → 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐 ;</p><p> Para 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒙, para todo 𝒙 em ℝ+;</p><p> Uma vez que 𝒂𝟎 = 𝟏, para todo 𝒂 então 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎;</p><p> Se 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏) então pode-se resolver na forma de (8)</p><p>a (10):</p><p>𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨𝑩) = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨) + 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑩) (8)</p><p>𝐥𝐨𝐠𝒂(</p><p>𝑨</p><p>𝑩</p><p>) = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨) − 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑩)</p><p>(9)</p><p>𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨𝑷) = 𝒑 ∗ 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨) (10)</p><p>A Fig 2, apresenta o gráfico da função logarítmica crescente 𝒛 = 𝒂 ∗ 𝒃 + 𝟏𝟎 ∗</p><p>𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎(𝒙). Onde mostra a perda de um sinal qualquer em relação com a distância.</p><p>6</p><p>Fig. 2. Gráfico da função logarítmica 𝒛 = 𝒂 ∗ 𝒃 + 𝟏𝟎 ∗ 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎(𝒙).</p><p>Dentre as inúmeras formas de se empregar uma função logarítmica, esse</p><p>trabalho vem abordá-la na forma de modelos de propagação voltados para a área</p><p>de engenharia de telecomunicações.</p><p>Função Polinomial</p><p>Em matemática, função polinomial é uma função 𝑷 que pode ser expressa</p><p>por (11), onde 𝒏 é um número inteiro não negativo, as variáveis da função são</p><p>expressas por (12) e os números de (13) são constantes, chamadas de coeficientes</p><p>do polinômio (GUIDORIZZI, 2001).</p><p>𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟎𝒙𝟎 = ∑ 𝒂𝒊𝒙</p><p>𝒊</p><p>𝒏</p><p>𝒊=𝟎</p><p>(11)</p><p>𝒂𝟎, 𝒂𝟏, … , 𝒂𝒏−𝟏, 𝒂𝒏 (12)</p><p>𝒙𝒏, 𝒙𝒏−𝟏, … , 𝒙𝟏, 𝒙𝟎 (13)</p><p>Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, assim as funções</p><p>polinomiais também são chamadas de polinômios. As funções polinomiais podem</p><p>ser classificadas quanto ao seu grau, e o grau de uma função polinomial</p><p>corresponde ao valor do maior expoente 𝒏 da função 𝑷(𝒙) = ∑ 𝒂𝒊𝒙</p><p>𝒊𝒏</p><p>𝒊=𝟎 .</p><p>Sejam 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) polinômios de graus quaisquer, temos as seguintes leis:</p><p> O grau de 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) é a soma do grau de 𝒇(𝒙) e o grau de 𝒈(𝒙);</p><p>7</p><p> Se 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) têm grau diferente, o grau de 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) é igual ao</p><p>maior dos dois;</p><p> Se 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) têm o mesmo grau, o grau de 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) é menor ou</p><p>igual ao grau de 𝒇(𝒙);</p><p> Quando 𝒏 = 𝟏 temos funções polinomiais de grau 1 ou funções afim.</p><p>Logo 𝑷(𝒙) = 𝒂𝟎𝒙𝟎 + 𝒂𝟏𝒙𝟏 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 e se 𝒂𝟎 = 𝟎, a função é</p><p>chamada de função afim linear;</p><p> Quando o maior expoente de 𝒏 = 𝟐, é definida como função</p><p>quadrática, seu gráfico é uma parábola e expressa por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 +</p><p>𝒃𝒙 + 𝒄;</p><p> É nulo quando todos seus coeficientes forem iguais a 0 e é dita função</p><p>constante.</p><p>a) 𝒚 = 𝒙 + 𝟓 b) 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓</p><p>Fig. 3. Gráfico de funções polinomiais de grau 1 e grau 2.</p><p>A Fig 3 ilustra 2 gráficos de funções polinomiais, a) de uma função polinomial</p><p>de grau 1 e; b) uma função polinomial de grau 2.</p><p>Há na família dos polinômios, os polinômios chamados de Polinômios</p><p>Especiais, dentre eles estão os Polinômios de Bernstein, Polinômio de Laguerre,</p><p>de Newton, de Lagrange e Legendre.</p><p>Dentre os diversos usos de polinômios aplicados para engenharia estão o</p><p>cálculo de distâncias, cálculo de área e o cálculo do perímetro de figuras planas.</p><p>8</p><p>FUNÇÕES APLICADAS A ENGENHARIA: Funções Especiais</p><p>Nessa seção serão discutidas de forma breve algumas das chamadas funções</p><p>especiais da matemática. Em teoria, essas funções compreendem um ramo da</p><p>matemática de importância fundamental para cientistas e engenheiros realmente</p><p>envolvidos com cálculos matemáticos (OLIVEIRA e TYGEL, 2015).</p><p>Função Gama</p><p>Uma das mais simples e importantes funções especiais é a função gama, cuja</p><p>teoria é um pré-requisito para o estudo de muitas outras funções especiais, entre</p><p>elas as funções de Bessel. É uma extensão da função fatorial para o conjunto dos</p><p>números reais e complexos, com argumento subtraído em 1. (OLIVEIRA e TYGEL,</p><p>2015) (VILCHES, 2010).</p><p>Para 𝒙 > 𝟎, a</p><p>função gama é comumente definida por (14). E esta integral</p><p>imprópria converge para todo 𝒙 > 𝟎, e converge uniformemente no intervalo 𝜹 ≤</p><p>𝒙 ≤ 𝑳, para quaisquer 𝜹 > 𝟎 e 𝑳 > ∞; portanto 𝚪(𝒙) é contínua para todo 𝒙 > 𝟎.</p><p>𝚪(𝒙) = ∫ 𝒕𝒙−𝟏</p><p>∞</p><p>𝟎</p><p>∗ 𝒆−𝒕 𝒅𝒕</p><p>(14)</p><p>Atenta-se que a função gama satisfaz a seguinte equação funcional (15) para</p><p>todo 𝒙 > 𝟎. E esta observação explica o porquê da função gama ser considerada</p><p>uma extensão do fatorial.</p><p>𝚪(𝒙 + 𝟏) = 𝒙 ∗ 𝚪(𝒙) (15)</p><p>Um exemplo da função gama e sua inversa é apresentado no gráfico da Fig</p><p>4.</p><p>Fig. 4. Gráfico da função Gama e sua inversa.</p><p>9</p><p>Função de Bessel</p><p>A função de Bessel foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e</p><p>generalizada por Friedrich Bessel. E são certas soluções da equação diferencial</p><p>linear de segunda ordem (16) (OLIVEIRA e TYGEL, 2015).</p><p>𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + (𝒙𝟐 − 𝒑𝟐)𝒚 = 𝟎 (16)</p><p>Onde 𝒑 é um parâmetro e pode assumir qualquer valor complexo, porém, para</p><p>evitar a necessidade de utilização da teoria das funções de variáveis complexas,</p><p>restringimos então, os valores de 𝒑 aos reais.</p><p>Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação</p><p>diferencial de 2ª ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente</p><p>independentes (FIGUEIREDO, 1997). Neste caso, são denominadas funções de</p><p>Bessel de 1ª e de 2ª espécie, sendo a 2ª também conhecida como função de Bessel</p><p>Neumann.</p><p>O método de Frobenius aplicado à (16) para a construção de soluções da</p><p>forma de (17) e supondo ainda, que não há perda de generalidade, 𝒑 ≥ 𝟎, chega-</p><p>se a função de Bessel de primeira espécie de ordem 𝒑 em (18). Para 𝒑 = 𝟎.</p><p>𝒚(𝒙) = 𝒙𝒔 ∑ 𝒂𝒏𝒙𝒏</p><p>∞</p><p>𝒏=𝟎</p><p>(17)</p><p>𝑱𝒑(𝒙) = (</p><p>𝒙</p><p>𝟐</p><p>) 𝒑 ∑</p><p>(−𝟏)𝒏(𝒙 𝟐⁄ )𝟐𝒏</p><p>𝒏! 𝚪(𝐩 + 𝐧 + 𝟏)</p><p>∞</p><p>𝒏=𝟎</p><p>(18)</p><p>Se 𝒑 = 𝟎 ou se 𝒑 é um inteiro par, 𝑱𝒑(𝒙) é uma função par, e que se 𝒑 é um</p><p>inteiro ímpar, 𝑱𝒑(𝒙) é uma função ímpar. Por outro lado, se 𝒑 não é inteiro, em geral</p><p>𝑱𝒑(𝒙) assume valores complexos quando 𝒙 < 𝟎.</p><p>Além disso, como os termos da série (18) são funções contínuas das variáveis</p><p>𝒙 e 𝒑, a convergência uniforme desta série em ambas as variáveis garante que</p><p>𝑱𝒑(𝒙) depende continuamente de 𝒑 ou seja, uma função analítica de 𝒑.</p><p>A função em (19) é denominada função de Bessel de primeira espécie de</p><p>ordem −𝒑. Onde, se 𝒑 é um inteiro positivo, 𝒑 = 𝒎, os 𝒎 primeiros termos de (19)</p><p>se anulam reduzindo-se a (20) para 𝒎 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …..</p><p>Logo, as funções de Bessel de ordem inteira negativa diferem apenas por um</p><p>sinal das funções correspondentes de ordem inteira positiva. E (18) e (19) podem</p><p>ser combinadas em uma única fórmula (21), onde 𝒑 pode ser positivo ou negativo.</p><p>10</p><p>𝑱−𝒑(𝒙) = (</p><p>𝒙</p><p>𝟐</p><p>) 𝒑 ∑</p><p>(−𝟏)𝒏(𝒙 𝟐⁄ )𝟐𝒏</p><p>𝒏! 𝚪(−𝐩 + 𝐧 + 𝟏)</p><p>∞</p><p>𝒏=𝟎</p><p>(19)</p><p>𝑱−𝒎(𝒙) = (−𝟏)𝒎𝑱𝒎(𝒙) (20)</p><p>𝑱𝒑(𝒙) = (</p><p>𝒙</p><p>𝟐</p><p>) 𝒑 ∑</p><p>(−𝟏)𝒏(𝒙 𝟐⁄ )𝟐𝒏</p><p>𝒏! 𝚪(𝐩 + 𝐧 + 𝟏)</p><p>∞</p><p>𝒏=𝟎</p><p>(21)</p><p>Se 𝒑 > 𝟎 não é um inteiro, as funções 𝑱𝒑(𝒙) e 𝑱−𝒑(𝒙) são linearmente</p><p>independentes. Para 𝒙 = 𝟎 a função 𝑱𝒑(𝒙) se anula ao passo que 𝑱−𝒑(𝒙) se torna</p><p>ilimitada. Portanto para 𝒑 > 𝟎 não-inteiro, a solução geral para a equação de Bessel</p><p>é dada por (22). Onde 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐 são constantes arbitrárias.</p><p>𝒚(𝒙) = 𝑪𝟏𝑱𝒑(𝒙) + 𝑪𝟐𝑱−𝒑(𝒙) (22)</p><p>Quando 𝒑 é um inteiro, as soluções 𝑱𝒑(𝒙) e 𝑱−𝒑(𝒙) são linearmente</p><p>dependentes. Logo, (22) não é mais uma expressão para a solução geral da</p><p>equação de Bessel (18). Para a obtenção de uma expressão para a solução geral</p><p>desta equação que seja válida para qualquer valor de 𝒑, é introduzida a função de</p><p>Bessel de segunda espécie de ordem 𝒑 (23).</p><p>𝒀𝒑(𝒙) =</p><p>𝑱𝒑(𝒙)𝒄𝒐𝒔𝒑𝝅 − 𝑱−𝒑(𝒙)</p><p>𝒔𝒆𝒏𝒑𝝅</p><p>(23)</p><p>Para qualquer valor de 𝒑 a solução geral da equação de Bessel (18) pode</p><p>ser escrita como (24). Onde 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐 são constantes arbitrárias.</p><p>𝒚(𝒙) = 𝑪𝟏𝑱𝒑(𝒙) + 𝑪𝟐𝒀𝒑(𝒙) (24)</p><p>Para 𝒑 não-inteiro, a validade das equações de Bessel seguem diretamente</p><p>da definição de (23) e das relações correspondentes satisfeitas por 𝑱𝒑(𝒙). Para</p><p>valores inteiros de 𝒑 = 𝒎, estas fórmulas são obtidas tomando-se o limite 𝒑 → 𝒎</p><p>e observando-se todas as funções envolvidas dependem continuamente de 𝒑.</p><p>Assim, (25) mostra a dependência linear de 𝒀𝒎(𝒙) e 𝒀−𝒎(𝒙) e reduz o cálculo dos</p><p>valores numéricos de 𝒀−𝒎(𝒙) àqueles de 𝒀𝒎(𝒙).</p><p>A Fig 5 ilustra o gráfico de uma função de Bessel, a) de primeira espécie com</p><p>valores de 𝒑 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒆 𝟒, b) função de Bessel de segunda espécie, com valores</p><p>de 𝒑 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒆 𝟒.</p><p>11</p><p>a) Função de Bessel de 1ª espécie b) Função de Bessel de 2ª espécie</p><p>Fig. 5. Gráfico de funções de Bessel de 1ª e 2ª espécies.</p><p>As funções de Bessel aparecem frequentemente no estudo dos fenômenos</p><p>de propagação de ondas, de condução de calor e de equilíbrio eletrostático em</p><p>domínios cilíndricos. Devido a sua imensa importância prática, com aplicações nos</p><p>mais diversos campos da física, engenharia e matemática.</p><p>a) Exemplo na Engenharia: Equação da Onda.</p><p>Uma aplicação direta das funções de Bessel pode ser vista na formulação da</p><p>Equação da onda a partir das equações rotacionais de Maxwell. As equações de</p><p>Maxwell no domínio do tempo para meios não dispersivos e isotrópicos, são dadas</p><p>por (25) e (26) (BALANIS, 1989).</p><p>Onde 𝓔 é a intensidade do campo elétrico, 𝓗 a intensidade de campo</p><p>magnético, 𝓙𝒊 a densidade de corrente elétrica, 𝓜𝒊 a densidade de corrente</p><p>magnética, 𝒒𝒗𝒆 a densidade de carga elétrica, 𝒒𝒗𝒎 a densidade de carga magnética,</p><p>𝜺 a permissividade elétrica, 𝝁 a permeabilidade magnética e 𝝈 a condutividade</p><p>elétrica.</p><p>𝛁 × 𝓔 = − 𝓜𝒊 − 𝝁</p><p>𝝏𝓗</p><p>𝝏𝒕</p><p>(25)</p><p>𝛁 × 𝓗 = 𝓙𝒊 + 𝝈 ∗ 𝓔 + 𝜺</p><p>𝝏𝓔</p><p>𝝏𝒕</p><p>(26)</p><p>Cuja unidade de (25) é um Faraday e de (26) em Ampère.</p><p>Calculando o rotacional e aplicando a Lei de Gauss para (25) tem-se a</p><p>equação de onda para o campo elétrico (27).</p><p>12</p><p>𝛁𝟐 × 𝓔 = 𝛁 × 𝓜𝒊 + 𝝁</p><p>𝝏𝓙𝒊</p><p>𝝏𝒕</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝛁𝒒𝒗𝒆 + 𝝁𝝈</p><p>𝝏𝓔</p><p>𝝏𝒕</p><p>+ 𝝁𝜺</p><p>𝝏𝟐𝓔</p><p>𝝏𝒕𝟐</p><p>(27)</p><p>E de maneira análoga, tem-se a equação da onda para o campo magnético</p><p>em (28).</p><p>𝛁𝟐 × 𝓗 = −𝛁 × 𝓙𝒊 + 𝝈𝓜𝒊 +</p><p>𝟏</p><p>𝝁</p><p>𝛁𝒒𝒗𝒎 + 𝜺</p><p>𝝏𝓜𝒊</p><p>𝝏𝒕</p><p>+ 𝝁𝝈</p><p>𝝏𝓗</p><p>𝝏𝒕</p><p>+ 𝝁𝜺</p><p>𝝏𝟐𝓗</p><p>𝝏𝒕𝟐</p><p>(28)</p><p>Tomando especificamente um meio sem perdas (𝝈 = 𝟎), livre de fontes (𝓙𝒊 =</p><p>𝒒𝒗𝒆 = 𝓜𝒊 = 𝒒𝒗𝒎 = 𝟎) e fazendo um tratamento em coordenadas cilíndricas, temos</p><p>(29).</p><p>𝚬(𝝆, 𝝓, 𝔃) = �̂�𝝆 ∗ 𝚬𝝆(𝝆, 𝝓, 𝔃) + �̂�𝝓 ∗ 𝚬𝝓(𝝆, 𝝓, 𝔃) + �̂�𝔃 ∗ 𝚬𝔃(𝝆, 𝝓, 𝔃) (29)</p><p>Tomando um escalar 𝝍(𝝆, 𝝓, 𝔃) e aplicando o método de separação de</p><p>variáveis, tem-se (30).</p><p>𝝍(𝝆, 𝝓, 𝔃) = 𝓯(𝝆) ∗ 𝓰(𝝓) ∗ 𝓱(𝔃) (30)</p><p>E ao restringir o problema, temos em (31) a equação de Bessel para 𝓯(𝝆).</p><p>𝝆𝟐</p><p>𝒅𝟐𝓯</p><p>𝒅𝝆𝟐</p><p>+ 𝝆</p><p>𝒅𝓯</p><p>𝒅𝝆</p><p>+ [(𝜷𝝆)𝟐 − 𝓶𝟐] ∗ 𝓯 = 𝟎</p><p>(31)</p><p>Sendo − 𝓶𝟐 =</p><p>𝟏</p><p>𝒈</p><p>𝒅𝟐𝒈</p><p>𝒅𝝓𝟐. Simplificando (31), recai-se em uma equação</p><p>diferencial de 2ª ordem homogênea vista em (16).</p><p>MODELOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA: Modelos Empíricos para</p><p>Ambientes Indoor e Outdoor.</p><p>A modelagem matemática pode ser um meio para aproximação entre</p><p>matemática e aluno. Em engenharia os modelos matemáticos e/ou determinísticos</p><p>tentam, por aproximação, simular o comportamento das ondas eletromagnéticas</p><p>durante a propagação em um determinado meio.</p><p>No presente trabalho iremos abordar dois modelos empíricos: modelo da</p><p>Recomendação ITU-R P.1546-5(09/2013) da International Telecommunication</p><p>Union (2013) utilizado para TV Digital e um modelo de propagação para ambiente</p><p>indoor na faixa de 10 GHz (LOPES, 2018).</p><p>Modelo Empírico da Recomendação ITU-R P.1546-5</p><p>Este é um modelo para ambientes outdoor que atua na faixa de 30 MHz até 3</p><p>GHz, descreve o método de estimativa de propagação ponto-área para os serviços</p><p>13</p><p>terrestres e é um dos utilizados para</p><p>a Tv Digital. Este modelo permite a</p><p>determinação da intensidade de campo 𝓔, em dB 𝝁𝟏, em função da distância. É</p><p>representado por (32). Onde 𝒇 é a frequência em MHz.</p><p>𝑳𝒃(𝒅𝑩) = 𝟏𝟑𝟗, 𝟑 + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎(𝒇) − 𝓔 (32)</p><p>Para obter 𝓔, usa-se (33), onde (𝒉𝒕𝒆) e (𝒉𝒓𝒆) são a altura das antenas</p><p>transmissoras e receptora, 𝒅 é a distância do transmissor ao receptor em km e 𝒃 é</p><p>um fator de correção dependente de (𝒉𝒕𝒆).</p><p>ℰ = 69,82 − 6,16 log10(𝑓) + 13,82 log10(ℎ𝑡𝑒) + 𝑎(ℎ𝑟𝑒) − (44,9</p><p>− 6,55 log10(ℎ𝑡𝑒))(log10 𝑑)𝑏</p><p>(33)</p><p>Modelo Empírico para a faixa de 10 GHz.</p><p>A 5º Geração de Telefonia Móvel operará nas bandas acima de 6 GHz e</p><p>dentre os estudos lançados a faixa de 10 GHz é uma das bandas prioritárias para</p><p>a implementação do 5G em ambientes internos (indoors) (METIS, 2017).</p><p>Nesse contexto, o modelo abordado foi desenvolvido a partir do modelo do</p><p>Espaço livre e foi feito a partir de medições em ambientes reais caracterizados</p><p>como um corredor e um laboratório de informática (LOPES, 2018). O modelo para</p><p>a faixa de 10 GHz é apresentado em (34).</p><p>𝑳 = −𝟏𝟎, 𝟐𝟖 + 𝟏𝟐, 𝟖𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎(𝒅) + 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎(𝒇) (34)</p><p>Os parâmetros para perda inicial 𝑳𝟎 com valor de -10,28 dB e o expoente de</p><p>perda de propagação (PLE ou 𝒏) com valor de 1,28 dB foram definidos a partir da</p><p>otimização de parâmetros via método de Mínimos Quadrados Lineares (MLQ).</p><p>CONCLUSÃO</p><p>O ensino da matemática é muito importante para os cursos na área de exatas,</p><p>no caso dos cursos de engenharia e, mais especificamente, no curso de engenharia</p><p>de telecomunicações a fundamentação matemática é o alicerce de ensino.</p><p>Neste trabalho abordamos como o uso das funções matemáticas está</p><p>presente nessa área da engenharia. Tanto de funções básicas, como as polinomiais</p><p>que utilizadas nos cálculos de áreas e distâncias; logarítmicas, que são utilizadas</p><p>na formulação de modelos; exponenciais que se enquadram em curvas de</p><p>crescimento e decrescimento. Como nas funções especiais, que estão aplicadas</p><p>diretamente na equação da onda como no caso da função de Bessel; e o uso da</p><p>14</p><p>função gama, cuja teoria é pré-requisito para as funções de Bessel. Assim como</p><p>também mostraram dois modelos de radiopropagação para ambiente outdoor,</p><p>modelo da Recomendação ITU-R P.1546-5 utilizado para TV Digital; e o modelo</p><p>indoor para faixa de 10 GHz, onde pode ser utilizado para o estudo da propagação</p><p>do sinal em ambientes internos na 5ª Geração de Telefonia Móvel – 5G.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BALANIS. A.C. Advanced Engeneering Eletromagnetics. Nova York: John Wiley</p><p>& Sons. 1989. 981 p.</p><p>EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. 843</p><p>p.</p><p>FIGUEIREDO. D. G .de; NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de</p><p>Janeiro: IMPA. 2015. 307 p.</p><p>GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: LTC. 2001.</p><p>INTERNATIONAL TELECOMMUNICATION UNION. Radiocommunication Sector.</p><p>ITU-R P.1546-5 Method for point-to-area predictions for terrestrial services in</p><p>the frequency range 30 MHz to 3000 MHz. Genebra, 2013.</p><p>LOPES. A. et al, Modelo de Perda de Propagação em Larga Escala para a faixa de</p><p>10 GHz, In: CONFERÊNCIA NACIONAL EM COMUNICAÇÕES, REDES E</p><p>SEGURANÇA DA INFORMAÇÃO, 8., Salvador. Anais... Salvador: IEEE</p><p>Communication Society, 2018.</p><p>LOPES. L. Manual das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Editora</p><p>Interciência. 1999</p><p>MIRANDA, C. G. M; LAUDARES, J. B. A Matemática na Atuação Profissional do</p><p>Engenheiro. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA.</p><p>39., 2011, Blumenau. Anais...Blumenau: Associação Brasileira de Educação em</p><p>Engenharia, 2011.</p><p>MOBILE AND WIRELESS COMMUNICATIONS ENABLERS FOR THE TWENTY-</p><p>TWENTY INFORMATION SOCIETY (METIS): METIS Channel Models, July 2017,</p><p>available at: https://www.metis2020.com/wp-content/uploads/METIS_D1.4_v3.pdf.</p><p>OLIVEIRA. Edmundo C, TYGEL. Martin. Métodos Matemáticos para a</p><p>Engenharia. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. 2015. 375p.</p><p>SIQUEIRA, A.; FIRMINO, G. L. A Matemática no Ensino da Engenharia. The</p><p>Journal of Engineering and Exact Sciences. 2017. DOI:</p><p>10.18540/2446941603032017331.</p><p>15</p><p>VILCHES. M. Equações Diferenciais: Métodos de Séries I. Rio de Janeiro: IME.</p><p>2010. 149 p.</p><p>View publication stats</p><p>https://www.researchgate.net/publication/333172197</p>