Cálculo IV lista 1 roo

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<p>Lista de Exercícios L1 � 05/11/2017</p><p>Curso: Graduação em Matemática � ICEN/CUR/UFMT</p><p>Turma: MCN � 6o. Semestre</p><p>Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV</p><p>Prof. Dr. Clayton Eduardo Lente da Silva</p><p>01. Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule</p><p>∫∫</p><p>A</p><p>f(x, y)dxdy sendo f(x, y) igual a</p><p>a) y cos(xy)</p><p>b)</p><p>√</p><p>x+ y</p><p>c) (x+ y)−1</p><p>d) xy2</p><p>02. Sejam f e g duas funções contínuas respectivamente nos intervalos [a, b] e [c, d]. Prove que∫∫</p><p>A</p><p>f(x)g(y)dxdy =</p><p>(∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx</p><p>)(∫ d</p><p>c</p><p>g(y)dy</p><p>)</p><p>onde A é o retângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.</p><p>03. Calcule o volume do conjunto dado:</p><p>a) {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x+ 2y}</p><p>b) {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ √xy}</p><p>c) {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 2}</p><p>d) {(x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x+ y ≤ z ≤ x+ y + 2}</p><p>04. Calcule</p><p>∫∫</p><p>B</p><p>f(x, y)dxdy sendo dados:</p><p>a) f(x, y) = x cos(y), B = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, x2 ≤ y ≤ π}</p><p>b) f(x, y) = x, B o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1), (2, 0)</p><p>c) f(x, y) = x+ y, B o paralelogramo de vértices (0, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 0)</p><p>d) f(x, y) = xy cos(x2), B = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}</p><p>05. Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado:</p><p>1</p><p>a) B = {(x, y) ∈ R2 | ln(x) ≤ y ≤ 1 + ln(x), y ≥ 0, x ≤ e}</p><p>b) B = {(x, y) ∈ R2 | x3 ≤ y ≤</p><p>√</p><p>x}</p><p>c) B = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, 4x−1 ≤ 3y ≤ −3x2 + 7x}</p><p>d) B limitado pelas curvas y = x2 − x e x = y2 − y</p><p>06. Usando mudança de variáveis, calcule:</p><p>a)</p><p>∫∫</p><p>B</p><p>(x2 + 2y)dxdy onde B é o círculo x2 + y2 ≤ 4</p><p>b)</p><p>∫∫</p><p>B</p><p>x2dxdy onde B é o conjunto 4x2 + y2 ≤ 1</p><p>c)</p><p>∫∫</p><p>B</p><p>e(x</p><p>2+y2)dxdy onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4</p><p>d)</p><p>∫∫</p><p>B</p><p>xdxdy onde B é o conjunto no plano xy limitado pela cardióide r = 1− cos(θ)</p><p>07. Passe para coordenadas polares e calcule:</p><p>a)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[∫ √2−x2</p><p>x2</p><p>√</p><p>x2 + y2dy</p><p>]</p><p>dx</p><p>b)</p><p>∫ a</p><p>0</p><p>[∫ √a2−x2</p><p>0</p><p>√</p><p>a2 − x2 − y2dy</p><p>]</p><p>dx, a > 0</p><p>c)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[∫ √x−x2</p><p>0</p><p>xdy</p><p>]</p><p>dx</p><p>d)</p><p>∫∫</p><p>B</p><p>xydxdy onde B é o círculo x2 + y2 − 2y ≤ 0, x ≥ 0</p><p>08. Calcule a área da região limitada pela elipse abaixo onde a > 0 e b > 0:</p><p>x2</p><p>a2</p><p>+</p><p>y2</p><p>b2</p><p>= 1</p><p>09. Considere a função g(x, y) = f(</p><p>√</p><p>x2 + y2) onde f é uma função de uma variável real a valores</p><p>reais, contínua em [a, b], 0 ≤ a < b e tal que f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Seja B o conjunto</p><p>B = {(x, y, z) ∈ R3 | a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, 0 ≤ z ≤ g(x, y)}</p><p>a) Veri�que que B é gerado pela rotação em torno do eixo z do conjunto</p><p>{(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, y = 0, 0 ≤ z ≤ f(x)}</p><p>b) Utilizando coordenadas polares mostre que o volume de B é</p><p>2π</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xf(x)dx</p><p>2</p>