Cálculo IV lista 2 roo

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<p>Lista de Exercícios L2 � 02/01/2018</p><p>Curso: Graduação em Matemática � ICEN/CUR/UFMT</p><p>Turma: MCN � 6o. Semestre</p><p>Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV</p><p>Prof. Dr. Clayton Eduardo Lente da Silva</p><p>01. Calcule a massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 cuja densidade no ponto (x, y, z)</p><p>é a soma das coordenadas.</p><p>02. Calcule o volume do elipsóide</p><p>x2</p><p>a2</p><p>+</p><p>y2</p><p>b2</p><p>+</p><p>z2</p><p>c2</p><p>≤ 1.</p><p>03. Calcule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>~Fds onde ~F (x, y) = x2~i+ (x− y)~j e γ(t) = (t, sen t), 0 ≤ t ≤ π.</p><p>04. Calcule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>2ydx+ zdy+xdz onde γ é a intersecção das superfícies x2 + 4y2 = 1 e x2 + z2 = 1,</p><p>y ≥ 0, z ≥ 0, sendo o sentido de percurso do ponto (1, 0, 0) para o ponto (−1, 0, 0).</p><p>05. Seja f : R −→ R uma função contínua e seja ~F o campo vetorial central ~F (x, y, z) = f(r)</p><p>~r</p><p>r</p><p>onde ~r = (x, y, z) e r = ‖~r‖. Prove que ~F é conservativo.</p><p>06. Calcule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>dx +</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>dy onde γ : [0, 1] −→ R2 é uma curva C1 por partes, com</p><p>imagem contida no conjunto Ω = {(x, y) ∈ R2 | y > 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x < 0} tal que γ(0) = (1, 1)</p><p>e γ(1) = (−1,−1).</p><p>07. Calcule</p><p>∮</p><p>γ</p><p>~Fds onde γ é uma curva fechada, simples, C1 por partes, orientada no sentido</p><p>anti-horário, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e ~F (x, y) = (2x+ y)~i+ (3x− y)~j.</p><p>08. Seja f uma função de classe C1 em [a, b] e tal que f ′(x) < 0 em ]a, b[. Seja K o con-</p><p>junto a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ f(a). Sejam P e Q de classe C1 em um aberto contendo K. Prove</p><p>que</p><p>∮</p><p>γ</p><p>Pdx+Qdy =</p><p>∫∫</p><p>K</p><p>(</p><p>∂Q</p><p>∂x</p><p>− ∂P</p><p>∂y</p><p>)dxdy onde γ é a fronteira de K orientada no sentido anti-horário.</p><p>09. Seja ~F (x, y) =</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>~i +</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>~j. Mostre que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>~Fds = 0 para todo caminho γ fechado,</p><p>simples, que nem passa nem engloba a origem.</p><p>10. Calcule a integral de linha</p><p>∫</p><p>γ</p><p>xydx + x2y2dy por dois métodos: diretamente e usando o</p><p>Teorema de Green, onde γ é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2).</p><p>1</p>