Parte 06

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<p>Enildo Alves Bernardes</p><p>bernardesenildo@gmail.com</p><p>Controle de Processo</p><p>Parte 6: Comportamento Dinâmico e Estabilidade de Sistemas de</p><p>Controle em Malha Fechada – Projeto de Controlador no Domínio de</p><p>Laplace</p><p>Na parte 6, será introduzido a simplificação ou redução do diagrama de blocos, para calcular as</p><p>funções de transferência globais de uma malha de controle feedback e uso delas para calcular</p><p>respostas transitórias para alterações de setpoint ou perturbação. Também, vamos apresentar as</p><p>ferramentas básicas para análise de estabilidade de sistemas em malha fechada e determinar as</p><p>condições nos parâmetros do controlador para as quais a estabilidade em malha fechada pode ser</p><p>garantida. Será introduzida uma metodologia geral para analisar os parâmetros do controlador nas</p><p>características dinâmicas do sistema em malha fechada por meio dos diagramas do lugar das raízes,</p><p>que descrevem a localização dos autovalores ou polos de malha fechada no plano complexo, à</p><p>medida que um parâmetro do controlador varia de zero a infinito. Por fim, vamos apresentar</p><p>metodologias gerais para o projeto de controladores, incluindo métodos baseados em modelos.</p><p>Aqui será discutido a questão de qual tipo de controlador usar, a declaração de critérios de</p><p>desempenho e a sintonia do controlador, ou seja, a escolha dos parâmetros do controlador.</p><p>mailto:bernardesenildo@gmail.com</p><p>1</p><p>Sumário</p><p>6.1. Função de Transferência em Malha Fechada de um Sistema de Controle Feedback SISO ................................................ 5</p><p>6.1.1. Diagrama de Blocos da Malha Feedback .................................................................................................................................................. 5</p><p>6.1.2. Redução de Diagramas de Blocos ............................................................................................................................................................. 6</p><p>6.1.2.1. Manipulações algébricas feitas graficamente ............................................................................................................................................................. 7</p><p>6.1.2.1. Manipulações feitas por equações algébricas .......................................................................................................................................................... 12</p><p>6.2. Dinâmica de processos controlados pelo Sistema de Controle Feedback ...................................................................... 16</p><p>6.2.1. Estudo de Diferentes Ações de Controle ................................................................................................................................................ 18</p><p>6.2.1.1. Influência da Ação Proporcional .............................................................................................................................................................................. 24</p><p>6.1.1.2. Influência da Ação Integral ...................................................................................................................................................................................... 32</p><p>6.1.1.3. Influência da Ação Derivada .................................................................................................................................................................................... 38</p><p>6.2.2. Resumo das Características dos Controladores ...................................................................................................................................... 44</p><p>6.3. Escolha do Modo Apropriado de um Controlador PID .................................................................................................. 50</p><p>6.3.1. Controle P-puro ...................................................................................................................................................................................... 50</p><p>6.3.2. Controle PI ............................................................................................................................................................................................. 50</p><p>6.3.3. Controle PID ........................................................................................................................................................................................... 51</p><p>6.3.4. Controle PD ............................................................................................................................................................................................ 52</p><p>6.4. Malhas de Controle Comumente Encontradas .............................................................................................................. 52</p><p>2</p><p>6.4.1. Malha de Controle de Vazão .................................................................................................................................................................. 52</p><p>6.4.2. Malha de Controle de Nível .................................................................................................................................................................... 53</p><p>6.4.3. Malha de Controle de Pressão ............................................................................................................................................................... 54</p><p>6.4.4. Malha de Controle de Temperatura ....................................................................................................................................................... 55</p><p>6.4.5. Malha de Controle de Composição ........................................................................................................................................................ 57</p><p>6.4.6. Malha de Controle de Oxigênio Dissolvido ............................................................................................................................................. 59</p><p>6.4.7. Controlador de Biomassa ....................................................................................................................................................................... 60</p><p>6.5. Estabilidade dos Sistemas de controle em Malha Fechada ........................................................................................... 62</p><p>6.5.1. Uma Pequena Revisão - resposta em malha aberta e em malha fechada, considerando variação no setpoint ou na perturbação ....... 66</p><p>6.5.2. Análise de Estabilidade ........................................................................................................................................................................... 68</p><p>6.5.2.1. Critério de Routh ..................................................................................................................................................................................................... 68</p><p>6.5.2.1. Método de Substituição Direta ................................................................................................................................................................................ 72</p><p>6.6. Análise do Lugar das Raízes .......................................................................................................................................... 76</p><p>6.6.1. Método Gráfico - Regras para Desenhar o Local das Raízes ................................................................................................................... 77</p><p>6.6.2. Método Numérico .................................................................................................................................................................................. 85</p><p>6.7. Medidas Práticas de Estabilidade ................................................................................................................................. 87</p><p>6.7.1. Margem de Fase .....................................................................................................................................................................................</p><p>malha fechada no sentido</p><p>clássico. Em termos de controladores modernos, isso já é uma restrição, pois o controlador muitas vezes não trabalha</p><p>exclusivamente no desvio do setpoint – mais informações, como valores anteriores, podem ser necessárias. A “saída real” é</p><p>uma construção abstrata, porque não há como saber exatamente o que é, tendo que trabalhar remotamente através de</p><p>sensores, sejam eles sensores humanos (por exemplo, visão) ou sensores de instrumentos. Por exemplo, qualquer sensor</p><p>prático terá um atraso de resposta. Assim, a ideia de uma “saída real” pode ser ignorada e as malhas tratadas como feedback</p><p>unitário. Ou seja, do ponto de vista da “planta”, o conhecimento do que é a saída é indistinguível da medição disponível.</p><p>A Figura 6.32 também mostra as duas possíveis rotas utilizadas para a entrada de perturbações no sistema – algo que se torna</p><p>importante no desenvolvimento ou teste de algoritmos para a rejeição de perturbações (carga) – a principal área de</p><p>preocupação nas indústrias de processo. A perturbação 𝑑0 é equivalente a uma perturbação aleatória da ação de controle –</p><p>como um desvio de sinal do setpoint da posição da válvula. A perturbação 𝑑 é equivalente a desvios na variável “real”, como</p><p>ondulações da superfície do líquido no controle de nível.</p><p>64</p><p>Figura 6.32. Visão clássica de sistemas em malha aberta e em malha fechada.</p><p>65</p><p>No sentido físico, a estabilidade refere-se a manter as variáveis do processo dentro dos limites seguros. Se um sistema de</p><p>controle apresenta problemas de estabilidade e se afasta dos limites operacionais seguros, os elementos de controle finais, as</p><p>válvulas de controle, saturam em um limite totalmente abertas ou totalmente fechadas por um longo período. Isso pode fazer</p><p>com que a variável controlada sofra desvios grandes e inseguros das condições de operação seguras. Tradicionalmente, um</p><p>processo químico é projetado, utilizando os valores nominais de regime permanente das condições de operação. Em uma</p><p>situação mais realista, o projeto do processo deve acomodar desvios das condições de regime permanente. O conceito de</p><p>estabilidade em malha fechada requer que as variáveis do processo permaneçam limitadas para mudanças limitadas nas</p><p>variáveis de entrada. Obviamente, se as variáveis de entrada forem ilimitadas, qualquer sistema eventualmente sairá da</p><p>estabilidade. Por exemplo, se a vazão de entrada para um tanque pulmão for aumentada em grande quantidade, o controlador</p><p>feedback tomará uma ação corretiva, abrindo a válvula de controle de vazão da corrente de saída do tanque. No entanto, se a</p><p>válvula não tiver sido dimensionada adequadamente para uma mudança tão grande na vazão de entrada, independentemente</p><p>da precisão do elemento de medição e do controlador, o sistema ficará instável e o nível do líquido aumentará até transbordar.</p><p>Da mesma forma, para uma reação altamente exotérmica, se o serviço de resfriamento não for projetado adequadamente, o</p><p>controle de temperatura no reator não será capaz de evitar possíveis condições de descontrole.</p><p>Anteriormente, foi mostrado que os sistemas apresentam um comportamento diferente quando estão em malha aberta ou em</p><p>malha fechada. A resposta em malha fechada a uma variação no setpoint ou na perturbação é influenciada pela presença de</p><p>atuadores, dispositivos de medição e, claro, controladores.</p><p>66</p><p>6.5.1. Uma Pequena Revisão - resposta em malha aberta e em malha fechada, considerando variação no</p><p>setpoint ou na perturbação</p><p>∎ Malha Aberta</p><p>Considerando a Figura 6.32, temos:</p><p>A função de transferência em malha aberta clássica é:</p><p>∎ Malha Fechada</p><p>Ignorando as perturbações na Figura 6.32, temos:</p><p>Portanto, a função de transferência em malha fechada é:</p><p>𝑌𝑚 = 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠)𝐸(𝑠) (6.50)</p><p>𝐺𝑚𝑎(𝑠) = 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠) (6.51)</p><p>𝐸(𝑠) = 𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑌𝑚(𝑠)</p><p>𝑌𝑚(𝑠) = 𝐺𝑚𝑎(𝑠)𝐸(𝑠) = 𝐺𝑚𝑎(𝑠)[𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑌𝑚(𝑠)]</p><p>𝑌𝑚(𝑠) + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)𝑌𝑚(𝑠) = 𝐺𝑚𝑎(𝑠)𝑌𝑠𝑝(𝑠)</p><p>𝑌𝑚(𝑠)[𝐼 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)] = 𝐺𝑚𝑎(𝑠)𝑌𝑠𝑝(𝑠)</p><p>𝑌𝑚(𝑠) = [𝐼 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)]</p><p>−1𝐺𝑚𝑎(𝑠)𝑌𝑠𝑝(𝑠)</p><p>𝐺𝑚𝑓(𝑠) = [𝐼 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)]</p><p>−1𝐺𝑚𝑎(𝑠) (6.52)</p><p>67</p><p>Que é representada em sistema SISO como:</p><p>A visão tomada acima é a do servocontrole, que tem a ver com o rastreamento das variações do setpoint como na direção de</p><p>um veículo. Nas indústrias de processo, o controle regulatório é muito mais importante, de modo que está interessado no</p><p>comportamento de, digamos, perturbação 𝑑 para 𝑦. Idealmente, gostaríamos de ver isso como uma função de transferência</p><p>zero! Lembrando as premissas de linearidade, onde as variações foram tomadas como desvios de um ponto de operação de</p><p>regime permanente, o modo regulatório pode ser representado como 𝑦𝑠𝑝(𝑡) = 0:</p><p>Portanto, a função de transferência em malha fechada é:</p><p>Que é representada em sistema SISO como:</p><p>𝐺𝑚𝑓(𝑠) =</p><p>𝑌𝑚(𝑠)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐺𝑚𝑎(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)</p><p>(6.53)</p><p>𝑌(𝑠) = 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐸(𝑠) = 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)[𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑦𝑚(𝑠)]</p><p>𝑌(𝑠) =- 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝑦𝑚(𝑠)</p><p>𝑦𝑚(𝑠) = 𝐺𝑚(𝑠)[𝑌(𝑠) + 𝐷(𝑠)] = 𝐺𝑚(𝑠)[- 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝑦𝑚(𝑠) + 𝐷(𝑠)]</p><p>𝑦𝑚(𝑠) = [𝐼 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)]</p><p>−1𝐺𝑚(𝑠)𝐷(𝑠)</p><p>𝐺𝑚𝑓(𝑠) = [𝐼 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)]</p><p>−1𝐺𝑚(𝑠) (6.54)</p><p>𝐺𝑚𝑓(𝑠) =</p><p>𝑌𝑚(𝑠)</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐺𝑚(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠)</p><p>(6.55)</p><p>68</p><p>Matematicamente, a estabilidade do sistema em malha fechada é determinada pela localização das raízes de 1 + 𝐺𝑚𝑎(𝑠),</p><p>referido como a equação característica em malha fechada. As raízes da equação característica em malha fechada são os polos</p><p>da função de transferência em malha fechada e determinam a estabilidade do sistema em malha fechada.</p><p>Se o sistema é descrito por sua equação de estado com matriz de estado 𝐴, então a equação característica pode ser dada pela</p><p>relação (Parte 4 – Relação entre Modelos Espaço de Estado e Modelos de Função de Transferência),</p><p>Um sistema é estável se todos os seus polos estiverem na metade esquerda do plano complexo, e instável se qualquer um dos</p><p>polos estiver na metade direita.</p><p>6.5.2. Análise de Estabilidade</p><p>6.5.2.1. Critério de Routh</p><p>O teste de estabilidade de Routh é usado, se a equação característica da malha fechada (ECMF) for um polinômio. O teste</p><p>consiste em duas etapas. Na primeira, a ECMF é organizada na ordem decrescente dos expoentes de 𝑠. A condição necessária</p><p>para a estabilidade do sistema é que não haja mudança de sinal dos coeficientes da ECMF.</p><p>Se algum dos coeficientes 𝑎𝑛−1 a 𝑎0 for negativo quando 𝑎𝑛for positivo, o sistema é instável. O primeiro teste é uma condição</p><p>“necessária” mas não “suficiente” para a estabilidade do sistema. Se o primeiro teste for satisfeito, a segunda etapa do teste</p><p>de Routh também deve ser satisfeita para garantir a condição “suficiente” para a estabilidade do sistema. Para realizar a segunda</p><p>etapa, o arranjo de Routh é construído. Para o polinômio da ECMF de ordem 𝑛, haverá 𝑛 + 1 linhas organizadas da seguinte</p><p>maneira:</p><p>det(𝑠𝐼 − 𝐴) = 0</p><p>ECMF = 𝑎𝑛𝑠</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 = 0 (6.56)</p><p>69</p><p>Exemplo 6.4. Encontre o valor máximo do ganho do controlador que resulta em um comportamento marginalmente estável,</p><p>𝐾c,máx. Observe que esse valor do parâmetro do controlador resulta em duas raízes puramente imaginárias no eixo imaginário.</p><p>As funções de transferência dos vários componentes na malha são dadas como segue:</p><p>A equação característica da malha fechada é:</p><p>O primeiro teste (a condição necessária) é satisfeito, pois no contexto de testes de estabilidade, a magnitude de 𝐾𝑐 é importante</p><p>e não seu sinal, portanto, 𝐾𝑐 é sempre considerado positivo no estudo da estabilidade do sistema. Vamos verificar o segundo</p><p>teste, ou seja, a condição suficiente.</p><p>Os coeficientes 𝐴𝑖 , 𝐵𝑖 , ⋯ ,𝑍𝑖 são calculados por:</p><p>𝐴1 =</p><p>𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2−𝑎𝑛𝑎𝑛−3</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>; 𝐴2 =</p><p>𝑎𝑛−1𝑎𝑛−4−𝑎𝑛𝑎𝑛−5</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝐵1 =</p><p>𝐴1𝑎𝑛−3−𝑎𝑛−1𝐴2</p><p>𝐴1</p><p>; 𝐵2 =</p><p>𝐴1𝑎𝑛−5−𝑎𝑛−1𝐴3</p><p>𝐴1</p><p>; (6.57)</p><p>Para que o sistema seja estável, todos os coeficientes da 1ª coluna do arranjo de</p><p>Routh, dados na Equação 6.55, devem ser positivos.</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>5</p><p>𝑠2 + 2𝑠 + 1</p><p>; 𝐺𝑎(𝑠) = 1; 𝐺𝑚(𝑠) =</p><p>6</p><p>𝑠 + 1</p><p>e 𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐</p><p>ECMF = 1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠)</p><p>1 + (</p><p>5</p><p>𝑠2 + 2𝑠 + 1</p><p>) (𝐾𝑐)(1) (</p><p>6</p><p>𝑠 + 1</p><p>) = 0</p><p>𝑠3 + 3𝑠2 + 3𝑠 + (30𝐾𝑐 + 1) = 0</p><p>70</p><p>Arranjo de Routh (há 𝑛 + 1 = 4 linhas):</p><p>As entradas na primeira coluna do arranjo de Routh devem ser positivas. Logo,</p><p>Em 𝐾𝑐,𝑚á𝑥 = 8/30, o sistema oscilará como uma onda senoidal com amplitude constante (2 polos imaginários puros). Para</p><p>mostrar que para este valor de 𝐾𝑐,𝑚á𝑥 = 8/30, as raízes da ECMF são puramente imaginárias, vamos calcular as raízes:</p><p>Observações:</p><p>1) Um zero na primeira coluna indica que a equação característica tem um polo no eixo imaginário. Neste caso, o esquema</p><p>pode ser continuado, tomando-se um valor 𝜀 arbitrariamente pequeno em vez de zero.</p><p>9 − 1 − 30𝐾𝑐</p><p>3</p><p>> 0 ⟹ 9 − (1 + 30𝐾𝑐 ) > 0 ⟹ 1 + 30𝐾𝑐 < 9 ⟹ 30𝐾𝑐 < 8 ⟹ 𝐾𝑐,𝑚á𝑥 <</p><p>8</p><p>30</p><p>𝑠3 + 3𝑠2 + 3𝑠 + (30𝐾𝑐,𝑚á𝑥 + 1) = 0</p><p>𝑠3 + 3𝑠2 + 3𝑠 + (8 + 1) = 0</p><p>𝑠3 + 3𝑠2 + 3𝑠 + 9 = 0</p><p>As raízes são: 𝑠1,2 = 0 ± 1,73𝑗; 𝑠3 = −3</p><p>Isso confirma que para o ganho máximo do controlador, 2 dos 3</p><p>polos do sistema estão no eixo imaginário.</p><p>71</p><p>Exemplo 6.5. Considere o polinômio 𝑠5 + 4𝑠4 + 6𝑠3 + 6𝑠2 + 5𝑠 + 2</p><p>Observações:</p><p>2) Se no arranjo de Routh, uma linha é completamente zero, então essa linha é preenchida com a derivada de um polinômio</p><p>auxiliar (discutido no exemplo a seguir)</p><p>Exemplo 6.6. Considere o polinômio 𝑠6 + 14𝑠4 + 49𝑠2 + 36</p><p>Um sistema é estável se todos os coeficientes de sua equação característica forem positivos e todos os elementos na primeira</p><p>coluna do arranjo de Routh forem positivos. Se nem todos os elementos da primeira coluna forem positivos, o sistema é instável</p><p>Sistema estável com um polo no eixo imaginário.</p><p>Polos: 𝑗, − 𝑗, − 2, − 1, − 1.</p><p>Como os elementos na linha correspondente a 𝑠5 são todos zero, um polinômio auxiliar</p><p>𝑃(𝑠) é derivado com base na linha 𝑠6, ou seja, 𝑃(𝑠) = 𝑠6 + 14𝑠4 + 49𝑠2 + 36. A linha</p><p>𝑠5 é preenchida com números, usando a derivada de 𝑃(𝑠). Portanto, temos:</p><p>𝑑𝑃(𝑠)</p><p>𝑑𝑠</p><p>= 6𝑠5 + 56𝑠3 + 98𝑠 + 0 ⟹ 𝑠5: 6 56 98 0</p><p>72</p><p>e o número de mudanças nos sinais dá o número de polos do sistema em malha fechada que se encontram na metade direita</p><p>do plano complexo.</p><p>6.5.2.1. Método de Substituição Direta</p><p>Para um sistema em malha fechada marginalmente estável, a ECMF tem um par de raízes imaginárias puras. Portanto, se 𝑠 for</p><p>substituído por 𝑗𝜔 na ECMF, mostrado na Figura 6.33, o ganho proporcional do controlador correspondente será o ganho</p><p>máximo ou último (𝐾𝑐,𝑚á𝑥 = 𝐾𝑢𝑙𝑡).</p><p>Exemplo 6.7. Utilizando o método da substituição direta, encontre o ganho máximo (último) do controlador para o sistema cuja</p><p>ECMF é dada por:</p><p>Figura 6.33. Apresentação para ilustrar o método da</p><p>substituição direta com os dois polos imaginários puros da</p><p>ECMF.</p><p>ECMF = 𝑠3 + 3𝑠2 + 3𝑠 + (1 + 30𝐾𝑐) = 0</p><p>ECMF = (𝑗𝜔)3 + 3(𝑗𝜔)2 + 3(𝑗𝜔) + (1 + 30𝐾𝑐) = −𝑗𝜔</p><p>3 − 3𝜔2 + 3(𝑗𝜔) + (1 + 30𝐾𝑐) = 0 + 0𝑗</p><p>73</p><p>A parte imaginária da identidade polinomial anterior produz o valor de 𝜔 = ±√3, que ao ser substituído na parte real da</p><p>equação, produz o ganho máximo do controlador.</p><p>Como esperado, o resultado é o mesmo obtido pelo teste de Routh. A vantagem deste método é que ele pode ser usado em</p><p>uma ECMF que tem tempo morto, sem ter que aproximar o tempo morto com uma aproximação de Padé ou série de Taylor.</p><p>Exemplo 6.8. Usando o método de substituição direta, encontre o ganho máximo ou último do controlador para o sistema que</p><p>tem tempo morto dado como segue:</p><p>Uso do método da substituição direta:</p><p>−3(3) + 1 + 30𝐾𝑐,𝑚á𝑥 = 0</p><p>𝐾𝑐,𝑚á𝑥 = 𝐾𝑢𝑙𝑡 = 8/30</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>2𝑒−4𝑠</p><p>3𝑠 + 1</p><p>; 𝐺𝑎(𝑠) = 𝐺𝑚(𝑠) = 1; 𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐</p><p>ECMF = 1 + (</p><p>2𝑒−4𝑠</p><p>3𝑠 + 1</p><p>)𝐾𝑐 = 0</p><p>3𝑠 + 1 + 2𝐾𝑐𝑒</p><p>−4𝑠 = 0</p><p>3(𝑗𝜔) + 1 + 2𝐾𝑐,𝑚á𝑥𝑒</p><p>−4(𝑗𝜔) = 0</p><p>Utilizando a equação de Euler, 𝑒−𝑗𝜃 = cos𝜃 − 𝑗sen𝜃, nós temos:</p><p>3𝑗𝜔 + 1 + 2𝐾𝑐,𝑚á𝑥[cos(4𝜔) − 𝑗sen(4𝜔)] = 0 + 0𝑗</p><p>Re → 1 + 2𝐾𝑐,𝑚á𝑥 cos(4𝜔) = 0</p><p>Im → 3𝜔 − 2𝐾𝑐,𝑚á𝑥 sen(4𝜔) = 0</p><p>Dividindo a parte imaginária pela parte real, tem-se:</p><p>sen(4𝜔)</p><p>cos (4𝜔)</p><p>= −3𝜔</p><p>74</p><p>Ângulos e magnitudes de 𝒛 e 𝑮𝒎𝒂(𝒔) - Uma Breve Revisão</p><p>Considere uma função de transferência geral da forma mostrada na Equação 4.36. Os polos e zeros podem ser complexos,</p><p>então para uma escolha particular de 𝑠 no plano complexo, os vetores representados pelos fatores algébricos são meramente</p><p>números complexos com ângulos e magnitudes como na Figura 6.34.</p><p>Utilizando tentativa e erro, 𝜔 = 0,532 rad/s. Substituindo este valor na parte real da ECMF,</p><p>2𝐾𝑐,𝑚á𝑥 cos(4𝜔) = 2𝐾𝑐,𝑚á𝑥 cos(4 × 0,532) = −2𝐾𝑐,𝑚á𝑥(−0,5288) = −1 ⟹ 𝐾𝑐,𝑚á𝑥 = 9,45</p><p>Um número complexo z= 𝑎 + 𝑏𝑗 tem um ângulo e uma magnitude como segue:</p><p>∠(𝑎 + 𝑗𝑏) = {</p><p>arctg (</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>) para 𝑎 > 0 (primeiro e quarto quadrantes)</p><p>𝜋 + arctg (</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>) para 𝑎 < 0 (segundo e terceiro quadrantes)</p><p>|𝑎 + 𝑗𝑏| = √𝑎2 + 𝑏2</p><p>Existe uma notação polar na qual o número é representado por:</p><p>z= |𝑧|, ∠𝑧 (Por exemplo, 1 + 𝑗1 = √2, 𝜋/4)</p><p>(6.58)</p><p>(6.59)</p><p>(6.60)</p><p>Plano 𝒛</p><p>75</p><p>Figura 6.34. Vetores complexos, representando fatores de função de transferência.</p><p>Conexões de polos e zeros com</p><p>um ponto arbitrário 𝒔 do plano</p><p>complexo.</p><p>Lembrando que</p><p>𝑒𝑗𝜃 = cos(𝜃) + 𝑗sen(𝜃); 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑗; 𝑎 = |𝑧|𝑐𝑜𝑠(𝜃); 𝑏 = |𝑧|𝑠𝑒𝑛(𝜃)</p><p>Tem-se:</p><p>𝑧 = |𝑧|𝑒𝑗∠𝑠 ou (𝑠 − 𝑝1) = |𝑠 − 𝑝1|𝑒</p><p>𝑗∠(𝑠−𝑝1)</p><p>Aplicando (6.59) na Equação 4.36 produz,</p><p>(6.61)</p><p>76</p><p>6.6. Análise do Lugar das Raízes</p><p>O local das raízes de um sistema são os caminhos traçados por seus polos em malha fechada no plano complexo (ou plano 𝑠) à</p><p>medida que um parâmetro do controlador (por exemplo, 𝐾c ou 𝜏𝐼) é aumentado de 0 para ∞.</p><p>Se as raízes estiverem na metade esquerda do plano complexo, o sistema será estável. No ganho crítico, o lugar das raízes cruza</p><p>o eixo imaginário. Nos ganhos onde o lugar das raízes se moveu para a metade direita do plano complexo, o sistema se torna</p><p>instável.</p><p>A partir do diagrama do local das raízes, não apenas a estabilidade do sistema em malha fechada pode ser verificada, mas</p><p>também as propriedades dinâmicas (a natureza da resposta no tempo) podem ser determinadas aproximadamente.</p><p>O diagrama do lugar das raízes é, portanto, uma ajuda útil para entender o efeito do aumento do ganho do sistema no</p><p>desempenho em malha fechada.</p><p>O diagrama do lugar das raízes pode ser gerado automaticamente, escalando o ganho do sistema em pequenos incrementos e</p><p>utilizando um solucionador de equação polinomial em cada etapa para obter as novas posições do polo (método numérico).</p><p>𝐺𝑚𝑎(𝑠) =</p><p>|𝐾| ∙ |𝑠 − 𝑧1| ∙ |𝑠 − 𝑧2|⋯ |𝑠 − 𝑧𝑚|</p><p>|𝑠 − 𝑝1| ∙ |𝑠 − 𝑝2|⋯ |𝑠 − 𝑝𝑛|</p><p>𝑒𝑗{[∠(𝐾)+∠(𝑠−𝑧1)+∠(𝑠−𝑧2)+⋯+∠(𝑠−𝑧𝑚)]−[∠(𝑠−𝑝1)+∠(𝑠−𝑝2)+⋯+∠(𝑠−𝑝𝑛)]}</p><p>= |𝐺𝑚𝑎(𝑠)|𝑒</p><p>∠𝐺𝑚𝑎(𝑠)</p><p>∠𝐺𝑚𝑎(𝑠) = [∠(𝐾) + ∠(𝑠 − 𝑧1) + ∠(𝑠 − 𝑧2) + ⋯+ ∠(𝑠 − 𝑧𝑚)] − [∠(𝑠 − 𝑝1) + ∠(𝑠 − 𝑝2) + ⋯+ ∠(𝑠 − 𝑝𝑛)]</p><p>(6.62)</p><p>(6.63)</p><p>77</p><p>No entanto, as principais características do diagrama podem ser esboçadas pela inspeção da função de transferência em malha</p><p>aberta (método gráfico).</p><p>6.6.1. Método Gráfico - Regras para Desenhar o Local das Raízes</p><p>Segue algumas regras que facilitam o desenho do local das raízes.</p><p>1) Expresse a equação característica</p><p>na forma 1 + 𝐾𝑐𝐺ma(𝑠) = 0.</p><p>2) Obtenha e desenhe os polos (x) e Zeros (O) de malha aberta.</p><p>3) Desenhe a parte do local das raízes que está no eixo real.</p><p>4) Localize o centroide e esboce as assíntotas (se houver).</p><p>5) Determine os locais de ponto de interrupção (se houver).</p><p>6) Determine os ângulos de chegada/partida.</p><p>7) Calcule os cruzamentos com o eixo imaginário (se houver).</p><p>8) Desenhe o restante do local de raízes conectando os polos com pontos de interrupção, cruzamentos de eixos, assíntotas e</p><p>ângulos de chegada.</p><p>Detalhamentos:</p><p>Etapa 1. Considere o diagrama de blocos de um sistema geral de malha fechada com um ganho de controlador proporcional</p><p>𝐾𝑐, Figura 6.35.</p><p>Figura 6.35. Diagrama de blocos em</p><p>malha fechada feedback unitário.</p><p>78</p><p>A função de transferência em malha fechada é dada por:</p><p>Equação característica:</p><p>Qualquer raiz da equação característica, satisfaz as duas condições seguintes:</p><p>O local das raízes é definido como o conjunto de raízes que satisfazem essa equação ou como o caminho traçado pela localização</p><p>das raízes da equação característica (os polos do sistema em malha fechada) no plano complexo, quando o ganho do controle</p><p>em malha fechada 𝐾𝑐 varia de zero para o infinito, ou seja, 𝐾𝑐 ≥ 0. Graficamente, o local das raízes é o conjunto de caminhos</p><p>no plano complexo rastreado pelos polos em malha fechada, quando o ganho é variado.</p><p>Etapa 2. Fatore 𝐺(𝑠) em polos e zeros e reescreva a equação característica como segue:</p><p>▪ O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real.</p><p>𝐺(𝑠) =</p><p>𝑌(𝑠)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐾𝑐𝐺ma(𝑠)</p><p>1 + 𝐾𝑐𝐺𝑚𝑎(𝑠)</p><p>1 + 𝐾𝑐𝐺𝑚𝑎(𝑠) = 0,</p><p>|𝐾𝑐𝐺𝑚𝑎(𝑠)| = 1 e ∠𝐾𝑐𝐺𝑚𝑎(𝑠) = ±(2𝑘 + 1)180°</p><p>1 + 𝐾𝑐𝐺𝑚𝑎(𝑠) = 0</p><p>1 + 𝐾𝑐</p><p>𝑘∏ (𝑠 − 𝑧𝑗)</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>∏ (𝑠 − 𝑝𝑖)</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>= 0</p><p>∏ (𝑠 − 𝑝𝑖)</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>+ 𝐾𝑐𝑘∏ (𝑠 − 𝑧𝑗)</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>= 0</p><p>Na qual 𝑍 indica o número de zeros, 𝑃 é o número de polos</p><p>79</p><p>▪ O número de ramos é igual ao número de polos da função de transferência em malha aberta.</p><p>▪ Quando 𝐾𝑐 = 0, as raízes da equação característica dão os polos de 𝐺ma(𝑠).</p><p>▪ Quando 𝐾𝑐 = ∞, as raízes da equação característica dão aos zeros de 𝐺ma(𝑠).</p><p>▪ O local das raízes começa com os polos da malha aberta quando 𝐾𝑐 = 0 e corre para os zeros ou para o infinito quando</p><p>𝐾𝑐 → ∞. Se o número de polos for 𝑃 e o número de zeros for 𝑍, então 𝑍 ramos do local das raízes correm para os zeros e</p><p>𝑃 − 𝑍 ramos correm para o infinito. Se 𝑃 = 𝑍, o local das raízes inteiro está localizado em uma faixa finita do plano</p><p>complexo.</p><p>Etapa 3. A parte do eixo real do local das raízes é determinada, aplicando a seguinte regra:</p><p>Se um número ímpar de polos e zeros da malha aberta estiverem à direita de um ponto no eixo real, esse ponto pertence ao</p><p>local das raízes.</p><p>Comece no infinito positivo no eixo real. Mova -se em direção à origem até que um polo ou zero seja encontrado no eixo real.</p><p>Desenhe uma linha deste polo/zero até que o próximo polo ou zero no eixo real seja encontrado. Se não houver mais</p><p>polos/zeros, o local das raízes se estende ao infinito negativo no eixo real. Caso contrário, o local das raízes começa novamente</p><p>no próximo Polo/Zero (com número ímpar de zeros e polos a direita dele, incluindo ele) e continua até o seu sucessor, e assim</p><p>por diante.</p><p>Se não houver polos ou zeros no eixo real, não haverá componente de eixo real no local das raízes.</p><p>Alguns sistemas têm mais de um polo ou zero no mesmo local (isso indica uma raiz dupla, tripla ou até de ordem superior para</p><p>a equação característica). Se houver um número ímpar de polos ou zeros no mesmo local, a parte do eixo real do local das</p><p>80</p><p>raízes continua após a localização desse polo/zero. Se o número de polos/zeros no local for par, a parte real do eixo do local</p><p>das raízes para naquele local.</p><p>Em resumo, escolha qualquer ponto no eixo real, se houver um número ímpar de raízes à direita desse ponto, esse ponto no</p><p>eixo faz parte do local das raízes. Se houver uma raiz múltipla, então, a parte do eixo real depende se há um número par ou</p><p>ímpar de raízes no mesmo ponto.</p><p>Etapa 4. As assíntotas indicam para onde os polos vão quando o ganho se aproxima do infinito. Para sistemas com mais polos</p><p>que zeros, o número de assíntotas é igual ao número de polos menos o número de zeros. Em alguns sistemas, não há assíntotas;</p><p>quando o número de polos é igual ao número de zeros, o local de raízes termina em zero e não assintoticamente no infinito. As</p><p>assíntotas são simétricas sobre o eixo real e elas partem de um ponto definido pelas magnitudes relativas das raízes de malha</p><p>aberta. Este ponto é chamado de centroide. A localização do centroide 𝑥0 no eixo real é dada por:</p><p>Uma vez localizado o centroide, o próximo passo é desenhar as assíntotas nos ângulos adequados. As assíntotas deixarão o</p><p>centroide em ângulos definidos por:</p><p>Etapa 5. Os pontos de interrupção (ou de quebra) ocorrem onde dois ou mais local de raízes se juntam e depois divergem.</p><p>Embora sejam mais comumente encontrados no eixo real, eles também podem ocorrer em outras partes do plano complexo.</p><p>𝑥0 =</p><p>∑ 𝑝𝑖 − ∑ 𝑧𝑗</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>𝑃 − 𝑍</p><p>=</p><p>∑ Re𝑝𝑖 − ∑ Re𝑧𝑗</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>𝑃 − 𝑍</p><p>(6.64)</p><p>(6.65) 𝛼 =</p><p>(2𝑘 + 1) × 180°</p><p>𝑃 − 𝑍</p><p>; 𝑘 = 0,1,2,⋯ até (𝑃 − 𝑍) − 1</p><p>81</p><p>Cada ponto de interrupção é um ponto no qual existe uma raiz dupla (ou de ordem superior) para algum valor de 𝐾𝑐.</p><p>matematicamente, da equação do local das raízes,</p><p>Se 𝐾𝑐 é real e positivo em um valor de 𝑠 que satisfaz essa equação, o ponto é um ponto de interrupção. Sempre haverá um</p><p>número par de local de raízes em torno de qualquer ponto de interrupção, porque para cada local de raízes que entra no ponto</p><p>de interrupção, deve haver um que sai.</p><p>O ponto de interrupção dos ramos do eixo real pode ser encontrado, resolvendo a seguinte equação.</p><p>Etapa 6. O critério do ângulo determina em qual direção as raízes se movem à medida que o ganho se move de zero (ângulos</p><p>de partida, em polos de malha aberta) para o infinito (ângulos de chegada, em zeros de malha aberta). Um ângulo de</p><p>partida/chegada é calculado nos polos e zeros complexos de malha aberta.</p><p>Ângulo de partida. Em cada polo complexo, adicione os ângulos dos zeros ao polo atual e subtraia os ângulos dos outros polos</p><p>ao polo atual. Em termos matemáticos, para um determinado polo, o ângulo de partida é:</p><p>1 + 𝐾𝑐𝐺ma(𝑠) = 0 ⟹ 𝐾𝑐 =</p><p>−1</p><p>𝐺𝑚𝑎(𝑠)</p><p>=</p><p>−1</p><p>𝑁(𝑠)</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>= −</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>𝑁(𝑠)</p><p>𝑑𝐾𝑐</p><p>𝑑𝑠</p><p>=</p><p>− [𝐷(𝑠)</p><p>𝑑𝑁(𝑠)</p><p>𝑑𝑠</p><p>− 𝑁(𝑠)</p><p>𝑑𝐷(𝑠)</p><p>𝑑𝑠</p><p>]</p><p>[𝑁(𝑠)]2</p><p>= 0</p><p>∑</p><p>1</p><p>𝑥 − 𝑝𝑖</p><p>−∑</p><p>1</p><p>𝑥 − 𝑧𝑗</p><p>= 0</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>82</p><p>Na qual 𝜃𝑖 é o ângulo entre o i-ésimo polo e o polo dado e 𝜃𝑗 é o ângulo entre o j-ésimo zero e o polo dado. Esses ângulos</p><p>podem ser calculados usando trigonometria.</p><p>Ângulo de chegada. Em cada zero, adicione os ângulos dos polos ao zero atual e subtraia os ângulos dos outros zeros ao zero</p><p>atual. Em termos matemáticos, para um determinado zero, o ângulo de chegada é:</p><p>Na qual 𝜃𝑖 é o ângulo entre o i -ésimo polo e o zero dado e 𝜃𝑗 é o ângulo entre o j-ésimo zero e o zero dado.</p><p>Por convenção, os ângulos de chegada e partida são medidos em relação ao eixo real, de modo que o eixo real positivo seja 0.</p><p>Observe que polos e zeros únicos no eixo real sempre terão ângulos de chegada/partida iguais a 0 ou 180 graus devido à</p><p>simetria dos conjugados complexos.</p><p>Etapa 7. Os pontos onde o local das raízes cruza o eixo imaginário, indicam os valores de 𝐾𝑐 nos quais o sistema em malha</p><p>fechada é marginalmente estável. O sistema em malha fechado será instável para qualquer ganho para o qual ele esteja na</p><p>metade direita do plano complexo.</p><p>Se o local das raízes cruzar o eixo imaginário da esquerda para a direita em um ponto em que 𝐾𝑐 = 𝐾0 e depois permanecer</p><p>completamente na metade direita do plano complexo, o sistema em malha fechada é instável</p><p>para todos os 𝐾𝑐 > 𝐾0 . Portanto,</p><p>conhecer o valor de 𝐾0 (o ganho crítico) é muito útil. O ganho crítico pode ser determinado a partir da equação característica</p><p>pelo arranjo de Routh.</p><p>𝜃𝑝𝑎𝑟𝑡 = 180 −∑𝜃𝑖 +∑𝜃𝑗</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>𝜃𝑐ℎ𝑒𝑔 = 180 +∑𝜃𝑖 −∑𝜃𝑗</p><p>𝑍</p><p>𝑗=1</p><p>𝑃</p><p>𝑖=1</p><p>83</p><p>Exemplo 6.9. Considere o sistema de controle feedback mostrado abaixo, onde 𝐾𝑐 ≥ 0.</p><p>a) Encontre o lugar das raízes do sistema em relação ao ganho do controlador 𝐾𝑐.</p><p>b) Para que faixa de 𝐾𝑐 o sistema é estável?</p><p>Solução:</p><p>A função de transferência da malha na forma polo-zero é:</p><p>Equação característica:</p><p>Com base nas regras de construção, pode-se ver que o lugar das raízes tem três ramos. Os ramos começam em 𝑠1 = 0, 𝑠2 =</p><p>−0,2 e 𝑠3 = −1, os polos da função de transferência, e vão para o infinito. No eixo real o lugar das raízes tem uma seção entre</p><p>os pontos 0 e − 0,2, e no intervalo entre −1 e ∞. Entre os pontos 0 e − 0,2, o lugar das raízes sai do eixo real; o ponto onde</p><p>o lugar das raízes sai do eixo real é calculado resolvendo a equação</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑥+1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑥+0,2</p><p>= 0. As soluções são: 𝑥1 = −0,7055 e 𝑥2 =</p><p>−0,0945. Apenas 𝑥2 pode ser uma solução, pois o lugar das raízes não pode ter um ponto em 𝑥1. O ângulo das assíntotas indo</p><p>para o infinito é 𝛼 = (2𝑘 + 1)180°/(3 − 0): em k = 0 o ângulo é 60°, em k = 1 é 180°, e em 𝑘 = 2 é 300°. As assíntotas</p><p>𝐺ma(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝑠(𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>=</p><p>0,2</p><p>𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 0,2)</p><p>1 + 𝐾𝑐𝐺ma(𝑠) = 0 ⟹ 1 + 𝐾𝑐</p><p>0,2</p><p>𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 0,2)</p><p>= 0 ⟹ 𝑠3 + 1,2𝑠2 + 0,2𝑠 + 0,2𝐾𝑐 = 0</p><p>84</p><p>cruzam o eixo real em −1,2/3 = −0,4. A Figura 6.36 mostra o lugar das raízes. A faixa de estabilidade do sistema é 0 < 𝐾𝑐 <</p><p>1,2 (determinado pelo critério de routh) e o ganho crítico da malha 𝐾𝑐</p><p>′ é 𝐾𝑐</p><p>′ = 0,2 × 1,2 = 0,24. O lugar das raízes cruza o eixo</p><p>imaginário neste ganho. A equação característica no valor crítico é:</p><p>Duas das raízes estão no eixo imaginário. Assim,</p><p>Comparando os coeficientes, obtém-se:</p><p>𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 0,2) + 0,24 = 𝑠3 + 1,2𝑠2 + 0,2𝑠 + 0,24 = 0</p><p>𝑠3 + 1,2𝑠2 + 0,2𝑠 + 0,24 = (𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑗𝑏)(𝑠 − 𝑗𝑏) = 𝑠3 + 𝑎𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑎𝑏2</p><p>𝑎 = 1,2 𝑒 𝑏 = √0,2 = 0,4472.</p><p>Figura 6.36. Local das raízes para o</p><p>sistema do Exemplo 6.7.</p><p>85</p><p>6.6.2. Método Numérico</p><p>Neste método, as raízes da ECMF para diferentes valores de 𝐾 em toda a faixa de 0 𝑎 ∞ são encontradas numericamente (por</p><p>exemplo, usando MATLAB) e são plotadas no plano-𝑠</p><p>Exemplo 6.8. Plote o local das raízes para o sistema do Exemplo 6.7, utilizando o MATLAB.</p><p>Solução:</p><p>O comando “rlocus” do MATLAB constrói o diagrama do lugar das raízes mostrado na Figura 6.37. Neste caso, entretanto, deve</p><p>ser fornecida a função de transferência do sistema “geral” em malha aberta. Uma vez construído o diagrama, o comando</p><p>“rlocfind” determina os polos do sistema em malha fechada e o ganho do controlador correspondente em qualquer ponto,</p><p>clicando o cursor no gráfico do lugar das raízes.</p><p>Equação característica: 𝑠3 + 1,2𝑠2 + 0,2𝑠 + 0,2𝐾𝑐 = 0</p><p>86</p><p>Figura 6.37. Local das raízes para o sistema do Exemplo 6.8.</p><p>87</p><p>6.7. Medidas Práticas de Estabilidade</p><p>No caso de uma malha aberta estável, a malha fechada é estável se o diagrama de Nyquist da malha aberta não circunda o</p><p>ponto −1 + 0𝑗. Pode-se dizer que o sistema possui certa reserva de estabilidade, se o gráfico de Nyquist for mantido</p><p>suficientemente distante do ponto −1 + 0𝑗.</p><p>Algumas medidas podem ser definidas, indicando a que distância está o gráfico de Nyquist da malha aberta do ponto −1 + 0𝑗.</p><p>Tais medidas incluem a margem de fase, a margem de ganho e a margem de atraso.</p><p>6.7.1. Margem de Fase</p><p>Vamos desenhar o gráfico de Nyquist da malha aberta para frequências positivas. Vamos determinar o ponto de interseção do</p><p>gráfico de Nyquist com o círculo de raio unitário, Figura 6.38. A frequência pertencente a este ponto é chamada de frequência</p><p>de corte (ou de cruzamento) de fase e é indicada por 𝜔𝑐𝑓. Vamos conectar a origem e o ponto de interseção com uma linha</p><p>reta. O ângulo formado por essa reta com o eixo real negativo é chamado de margem de fase (Figura 6.38):</p><p>Se a margem de fase for positiva, o sistema é estável. Se a margem de fase for zero, o sistema está no limite de estabilidade. Se</p><p>a margem de fase for negativa, o sistema é instável.</p><p>Assim, para a estabilidade do sistema de controle, as seguintes afirmações podem ser feitas:</p><p>𝑀𝐹 = 𝜙(𝜔𝑐𝑓) + 180° = ∠𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑓) + 180° (6.66)</p><p>𝑀𝐹 > 0 Sistema estável</p><p>𝑀𝐹 = 0 Limite de estabilidade</p><p>𝑀𝐹 < 0 Sistama instável</p><p>(6.67)</p><p>88</p><p>A estabilidade do sistema pode ser avaliada com base na margem de fase como uma medida única, apenas se o gráfico de</p><p>Nyquist da malha aberta cruzar o círculo unitário apenas uma vez.</p><p>Figura 6.38. Interpretação da margem de fase.</p><p>89</p><p>6.7.2. Margem de Ganho</p><p>Determinemos o ponto de intersecção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo e também a distância</p><p>𝜅 = |1 + 𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)| (𝜔𝑐𝑔 ou 𝜔(−180°) é a frequência de cruzamento de ganho) deste ponto ao ponto −1 + 𝑗0. a distância 𝜅 é</p><p>chamada de margem de ganho. É perceptível que para 𝜅 > 0 o domínio de estabilidade do critério simples de Nyquist é obtido.</p><p>A estabilidade do sistema pode ser avaliada com base na margem de ganho como uma medida única apenas se o gráfico de</p><p>Nyquist da malha aberta cruzar o eixo real negativo apenas uma vez.</p><p>A margem de ganho modificada 𝜅′, é definida pelo intercepto 𝜅′ = 𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔) = 1 − 𝜅, visto na Figura 6.39. Se 𝜅′ < 1, o sistema</p><p>é estável. Se 𝜅′ = 1, o sistema está no limite de estabilidade. Se 𝜅′ > 1, o sistema é instável. Assim, para a estabilidade do</p><p>sistema de controle, as seguintes afirmações podem ser feitas:</p><p>O significado de 𝜅 é mais expressivo que o de 𝜅′ , porém o recíproco de 𝜅′ especifica o fator pelo qual, multiplicando o ganho</p><p>real da malha do sistema, atinge o limite de estabilidade. Portanto, é fácil usar também a medida 𝑀𝐺 = 1/𝜅′ =</p><p>1/|𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)| como margem de ganho relativo. Quando 𝑀𝐺 > 1 o sistema é estável.</p><p>𝜅′ < 1 Sistema estável</p><p>𝜅′ = 1 Limite de estabiliade</p><p>𝜅′ > 1 Sistema instável</p><p>(6.68)</p><p>90</p><p>6.7.3. Margem de Atraso</p><p>Embora a margem de fase 𝑀𝐹 represente quanto atraso de fase a mais pode ser adicionado ao sistema de controle feedback</p><p>antes que ele se torne instável, ela não transmite diretamente o tamanho do atraso máximo que pode ser adicionado ao</p><p>sistema. Para determinar o atraso máximo que pode ser tolerado, temos:</p><p>Na qual, 𝑀𝐴 é a margem de atraso ou o atraso máximo a ser tolerado e 𝜔𝑐𝑓 é a frequência quando o círculo unitário intercepta</p><p>o gráfico de Nyquist. Isto fornece:</p><p>Figura 6.39. Interpretação da</p><p>margem de ganho.</p><p>𝑒−𝑗𝑀𝐹 = 𝑒𝑗𝑀𝐴𝜔𝑐𝑓</p><p>(6.69) 𝑀𝐴 =</p><p>𝑀𝐹</p><p>𝜔𝑐𝑓</p><p>91</p><p>Claramente, um 𝜔𝑐𝑓 maior levaria a uma margem de atraso menor dada a mesma margem de fase, 𝑀𝐹. Assim, a frequência,</p><p>𝜔𝑐𝑓, é um parâmetro importante.</p><p>Com essas margens de estabilidade, não apenas a estabilidade pode ser avaliada, mas também pode ser estabelecido, “quão</p><p>longe” o sistema está do limite de estabilidade.</p><p>Exemplo 6.10. Considere a expressão de um sistema estável em malha aberta com tempo morto, a seguir:</p><p>Construa o diagrama de Nyquist e determine a margem de ganho, a margem de fase e a margem de atraso.</p><p>Solução.</p><p>Podemos especificar o vetor de frequência 𝜔 e usar a função MATLAB freqs.m para calcular a resposta de frequência da função</p><p>de transferência em malha aberta. O componente de atraso de tempo 𝑒−𝑗𝜔𝜃 é calculado primeiro, usando a função exponencial</p><p>do MATLAB</p><p>e multiplicando pela resposta de frequência do restante das funções de transferência em malha aberta. Segue o</p><p>programa MATLAB para o gráfico de Nyquist, Figura 6.40:</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>3187,4</p><p>𝑠 + 3355,2</p><p>594,9</p><p>𝑠 + 1,956</p><p>0,0271𝑠 + 0,2737</p><p>𝑠</p><p>𝑒−0,03𝑠</p><p>92</p><p>93</p><p>Margem de ganho: a margem de ganho, usada para medir quanta variação no ganho o sistema de controle feedback poderia</p><p>sustentar antes de se tornar instável, é definida por 𝑀𝐺 = 1/𝜅′, ou seja, se o ganho da malha exceder 1/𝜅′ o sistema em malha</p><p>fechada se tornará instável. O parâmetro 𝜅′pode ser facilmente determinado a partir do gráfico de Nyquist. Usando o seguinte</p><p>comando MATLAB:</p><p>[x,y]=ginput(1)</p><p>uma cruz aparece no gráfico de Nyquist. Ao sobrepor o centro da cruz no ponto em que a curva de Nyquist intercepta o eixo</p><p>real, obtemos as coordenadas como 𝑥 = −0,3226 e 𝑦 = 8,8818𝑒 − 016. Assim 𝜅′ = 0,3226. Portanto, a margem de ganho</p><p>Figura 6.40. Gráfico de Nyquist com um círculo</p><p>unitário para ilustração de margem de ganho e</p><p>margem de fase. Linha contínua: gráfico de Nyquist;</p><p>linhas tracejadas: Indicações para margem de ganho e</p><p>margem de fase.</p><p>94</p><p>é determinada como 𝑀𝐺 = 1/𝜅′ = 3,1. Isso significa que, se aumentarmos o ganho da malha para três vezes o valor original,</p><p>o sistema em malha fechada se tornará instável. Podemos associar essa margem de ganho às variações no ganho de regime</p><p>permanente da planta, do sensor, do atuador ou do ganho do controlador 𝐾𝑐. É o efeito líquido de todas as variações</p><p>combinadas dos ganhos.</p><p>Margem de Fase: a margem de fase (𝑀𝐹) é o ângulo entre o eixo real negativo e a linha tracejada. Claramente, é o atraso de</p><p>fase adicional que poderia estar associado a 𝑌(𝑗𝜔) antes que o sistema de malha fechada se torne instável. A margem de fase</p><p>𝑀𝐹 pode ser calculada usando a seguinte função MATLAB:</p><p>[x,y]=ginput(1)</p><p>Uma cruz aparece. Sobrepondo o centro da cruz no ponto em que o círculo unitário intercepta o gráfico de Nyquist, obtemos</p><p>as coordenadas de 𝑥 e 𝑦 para esse ponto. Na Figura 6.40, as coordenadas são 𝑥 = −0,8018 e 𝑦 = −0,5664. Em seguida, a</p><p>margem de fase é calculada como:</p><p>Margem de atraso: para determinar a frequência 𝜔𝑐𝑓, plotamos |𝑌(𝑗𝜔)|, como mostra a Figura 6.41. Utilizando a função</p><p>ginput.m, identificamos o ponto de interseção da linha tracejada com a linha sólida da Figura 6.41 que possui as coordenadas</p><p>𝑥 = 19,58 e 𝑦 = 0,9998. Assim, 𝜔𝑐𝑓 = 19,58 rad−1. A partir do parâmetro 𝜔𝑐𝑓 e da margem de fase 𝑀𝐹, calculamos a</p><p>margem de atraso como:</p><p>Isso significa que o atraso associado, que pode ser adicionado ao sistema antes que ele se torne instável, é de 0,0314 s.</p><p>𝑀𝐹 = arctg (</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>) = arctg (</p><p>−0,5664</p><p>−0,8018</p><p>) = 0,6150 rad</p><p>𝑀𝐴 =</p><p>𝑀𝐹</p><p>𝜔cf</p><p>=</p><p>0,6150</p><p>19,58</p><p>= 0,0314 𝑠</p><p>95</p><p>6.8. Critério de Estabilidade de Nyquist</p><p>O critério de Nyquist afirma que um sistema de controle feedback com uma única entrada e uma única saída é estável se, e</p><p>somente se, para a resposta de frequência de 𝑌(𝑠), o número de voltas no sentido anti-horário, em torno do ponto (-1, 0), é</p><p>igual ao número de polos da função de transferência em malha aberta com partes reais positivas. Observe que este critério</p><p>apresenta condições necessárias e suficientes para estabilidade em malha fechada, usando sua função de transferência em</p><p>malha aberta.</p><p>Há dois comentários relacionados, a seguir:</p><p>Figura 6.41. Magnitude de 𝒀(𝒋𝝎) (linha sólida) junto com a linha pontilhada para determinar 𝝎𝒄𝒇.</p><p>96</p><p>1. Para a maioria dos sistemas controlados por controladores PID, a função de transferência da malha não contém nenhum</p><p>polo que tenha parte real positiva. Assim, para a estabilidade em malha fechada dessas classes de sistemas, o critério de</p><p>estabilidade de Nyquist torna-se simplesmente que a resposta em frequência não deve circundar o ponto (-1, 0) no plano</p><p>complexo, Figura 6.42.</p><p>2. Por usar a resposta de frequência, a estabilidade de malha fechada para sistemas com tempo morto será avaliada sem</p><p>aproximação. Esta é uma das vantagens mais importantes do uso do diagrama de Nyquist para analisar sistemas de</p><p>controle.</p><p>Figura 6.42. Gráficos de Nyquist:</p><p>(a) estável; (b) instável</p><p>Observe que a curva 𝐴 não</p><p>circunda o ponto (-1, 0), enquanto</p><p>a curva 𝐵 sim.</p><p>97</p><p>6.9. Critério de Estabilidade com base nos Gráficos de Bode</p><p>A margem de fase e a margem de ganho também podem ser lidas no diagrama de Bode, Figura 6.43.</p><p>um sistema de controle feedback é instável, se a razão de amplitude da função de transferência em malha aberta</p><p>correspondente for maior do que 1, na frequência de cruzamento de fase.</p><p>O argumento para estabilidade em malha fechada no domínio da frequência é ilustrado na Figura 6.43. Normalmente (mas</p><p>nem sempre) o atraso de fase (𝜙) aumenta e a razão de amplitude (𝑅𝐴𝑚𝑎) diminui à medida que a frequência aumenta. Alguns</p><p>sistemas (por exemplo, de primeira ordem) não podem atingir atrasos de fase tão grandes quanto -π, mas para aqueles que o</p><p>fazem, a frequência específica na qual isso acontece é chamada de frequência de cruzamento de ganho (𝜔𝑐𝑔). Se essa for</p><p>encontrada e uma oscilação dessa frequência for alimentada na malha aberta (através do setpoint), conforme a parte esquerda</p><p>da Figura 6.44, surge uma situação em que o sinal feedback 𝑌𝑚 tem a mesma frequência, mas é invertido em comparação com</p><p>𝑒, 𝑒 tem uma amplitude fixa maior ou menor, dependendo se 𝑅𝐴𝑚𝑎(𝜔𝑐𝑔) é maior ou menor que a unidade. Agora considere</p><p>que duas coisas são feitas instantaneamente e simultaneamente – o setpoint 𝑌𝑠𝑝 é definido como zero e a malha é fechada. No</p><p>caso de 𝑅𝐴𝑚𝑎(𝜔𝑐𝑔) = 1 não haverá alteração, pois o sinal feedback 𝑌𝑚 é exatamente o inverso de 𝑒, e é invertido novamente</p><p>no comparador para substituir o setpoint. É intuitivamente óbvio, entretanto, que se 𝑅𝐴𝑚𝑎(𝜔𝑐𝑔) < 1, a oscilação diminuirá</p><p>(estável) e se 𝑅𝐴𝑚𝑎(𝜔𝑐𝑔) > 1 a oscilação se expandirá (instável).</p><p>98</p><p>Figura 6.43. Interpretação da</p><p>margem de ganho e da marem</p><p>de fase com base nos gráficos</p><p>de Bode. 𝑀𝐺 =</p><p>1</p><p>|𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔|</p><p>𝑀𝐹 = 𝜙 + 180°</p><p>99</p><p>Figura 6.44. Ilustração do</p><p>critério de estabilidade da</p><p>resposta de frequência.</p><p>(𝑅𝐴𝑚𝑎 < 1 quando 𝜙 = −𝜋)</p><p>100</p><p>6.10. Comportamento e Sintonia de Controladores PID</p><p>6.10.1. Introdução</p><p>As características fundamentais da ação proporcional, integral e derivativa foram identificadas. Agora, consideraremos o efeito</p><p>da quantidade de ação proporcional, integral e derivativa no desempenho de malha fechada de controladores P-puro, PI e PID.</p><p>Essa informação ajudará no entendimento do efeito sobre a sintonia de controladores, ou seja, a seleção dos valores de</p><p>𝐾𝑐 , 𝜏𝐼 e 𝜏𝐷.</p><p>6.10.2. Efeito dos Parâmetros de Sintonia para o Controle P-puro</p><p>Controladores P-puro são usados industrialmente para algumas malhas de controle de pressão e de nível; aumenta a velocidade</p><p>de resposta dinâmica de um processo, mas não muda a ordem do processo. É a forma mais simples de controle PID, utiliza</p><p>somente um parâmetro de sintonia, o 𝐾𝑐.</p><p>6.10.2.1. Dinâmica de um controlador P-puro, aplicado a um processo de primeira ordem</p><p>Esse sistema não é fisicamente realista, porque nenhum processo real se comporta como um sistema de primeira ordem sem</p><p>tempo morto. Mesmo que um processo por si só se comporte como um processo de primeira ordem, quando 𝐾𝑐 é aumentado</p><p>e a resposta do sistema em malha fechada fica mais rápida (constante de tempo menor), as dinâmicas do sensor e atuador em</p><p>algum ponto tornariam significativas e o sistema atuador/processo/sensor se comportaria pelo menos como de terceira ordem</p><p>e, também, mesmo uma pequena</p><p>quantidade de tempo morto, pode afetar a estabilidade do sistema.</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) = 1 + 𝐾𝑐</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>= 0 ⟹ 𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝 =</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>𝑠 + 1 = 0 Equação característica:</p><p>101</p><p>6.10.2.2. Dinâmica de um controlador P-puro aplicado a um processo de segunda ordem</p><p>Quando 𝐾c é aumentado, a resposta do processo, em malha fechada, torna-se mais rápida e, eventualmente, mais oscilatória,</p><p>pois o período natural 𝜏n</p><p>′ e o fator de amortecimento 𝜁′ diminuem.</p><p>Como 𝜁′ > 0, não importa quão grande o ganho do controlador se torne, a resposta do sistema permanece estável. Processos</p><p>reais tornam-se instáveis, se o ganho do controlador é aumentado suficientemente, devido a não linearidade e ao tempo morto.</p><p>Portanto, um modelo de segunda ordem sem tempo morto não representa um processo real para valores grandes do ganho do</p><p>controlador.</p><p>6.10.2.3. Dinâmica de um controlador P-puro aplicado a um processo de POMTM</p><p>Usando a aproximação de Padé1 de primeira ordem para o termo de tempo morto, 𝑒−𝜃p𝑠, tem-se:</p><p>Equação característica: 1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) = 1 +</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑛</p><p>2𝑠2 + 2𝜏𝑛𝜁𝑠 + 1</p><p>=</p><p>𝜏𝑛</p><p>2</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>𝑠2 +</p><p>2𝜏𝑛𝜁</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>𝑠 + 1 = 0</p><p>Período natural: 𝜏𝑛</p><p>′ = 𝜏𝑛√</p><p>1</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>; Fator de amortecimento: 𝜁′ = 𝜁√</p><p>1</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>𝑌(𝑠)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝(1 − 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)(1 + 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝(1 − 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)(1 + 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>=</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝(1 − 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>𝜏𝑝𝜃𝑝/2 𝑠2 + [𝜏𝑝 + 𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝)/2]𝑠 + 1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>Período natural: 𝜏𝑛</p><p>′ = √</p><p>𝜏𝑝𝜃𝑝/2</p><p>1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>102</p><p>Os polos da função de transferência em malha fechada anterior são as raízes do denominador e podem ser avaliadas</p><p>analiticamente, usando a fórmula quadrática, ou seja,</p><p>Os diagramas do lugar das raízes são usados aqui como uma representação visual conveniente da faixa do comportamento</p><p>dinâmico, resultante do controle feedback. Enquanto os diagramas do lugar das raízes são um meio conveniente para</p><p>representar as dinâmicas de controle feedback e auxilia no entendimento fundamental de dinâmicas feedback, eles geralmente</p><p>não são usados industrialmente, porque o seu uso requer modelos de processos, que geralmente não estão disponíveis.</p><p>O coeficiente do termo linear s é igual a 2𝜏n</p><p>′ 𝜁′, portanto, 𝜁′ =</p><p>𝜏𝑝 + 𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝)/2</p><p>2𝜏𝑛</p><p>′ (1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝)</p><p>Para estabilidade, 𝜁′ > 0, portanto, 𝜏𝑝 + 1/2𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝) > 0 ⟹ 𝐾𝑐 <</p><p>2𝜏𝑝 + 𝜃𝑝</p><p>𝐾𝑝𝜃𝑝</p><p>Este sistema tem um zero na metade direita do plano complexo em 2/𝜃p.</p><p>𝑝1 =</p><p>−(𝜏𝑝 + 𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝)/2) + √(𝜏𝑝 + 𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝)/2)</p><p>2</p><p>− 2𝜏𝑝𝜃𝑝(1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝)</p><p>𝜏𝑝𝜃𝑝</p><p>𝑝2 =</p><p>−(𝜏𝑝 + 𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝)/2) − √(𝜏𝑝 + 𝜃𝑝(1 − 𝐾𝑐𝐾𝑝)/2)</p><p>2</p><p>− 2𝜏𝑝𝜃𝑝(1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝)</p><p>𝜏𝑝𝜃𝑝</p><p>A Figura 6.45 mostra o gráfico dos dois polos, 𝑝1 e 𝑝2, no plano complexo, considerando 𝐾p = 1, 𝜏p = 1 e 𝜃p = 0,5 e</p><p>variando 𝐾𝑐, ou seja, um diagrama do lugar das raízes.</p><p>103</p><p>Considerando o diagrama, Figura 6.45, tem-se:</p><p>▪ Entre os pontos a e c, (0 < 𝐾c < 0,35), os polos são reais e negativos, indicando comportamento superamortecido; no</p><p>domínio do tempo envolvem decaimento exponencial com o tempo (𝑒−𝑎𝑡).</p><p>▪ No ponto c, (𝐾c = 0,35), o sistema em malha fechada é criticamente amortecido porque os dois polos são -2,32, e</p><p>qualquer aumento em 𝐾c resulta em comportamento oscilatório.</p><p>▪ Para os polos entre os pontos c e f, (0 < 𝐾c < 5), o sistema é subamortecido. Os polos nessa região são pares conjugados</p><p>complexos (𝑝1 = 𝑎 + 𝑗𝜔 e 𝑝2 = 𝑎 − 𝑗𝜔), que no domínio do tempo resulta comportamento com termos da forma</p><p>-8</p><p>-4</p><p>0</p><p>4</p><p>8</p><p>-5 -4 -3 -2 -1 0 1</p><p>Real Axis</p><p>Im</p><p>a</p><p>g</p><p>in</p><p>a</p><p>ry</p><p>A</p><p>x</p><p>is</p><p>-8</p><p>-4</p><p>0</p><p>4</p><p>8</p><p>a ab bc</p><p>d</p><p>d</p><p>e</p><p>e</p><p>f</p><p>f</p><p>g</p><p>g</p><p>Figura 6.45. Controlador P-puro aplicado a um processo de POMTM (𝑲𝒑 = 𝟏; 𝝉𝒑 = 𝟏, 𝜽𝒑 = 𝟎, 𝟓) com o</p><p>ganho do controlador 𝑲𝒄 aumentando do ponto a ao ponto g: (a) 𝑲𝒄 = 𝟎, (b) 𝑲𝒄 = 𝟎, 𝟑, (c) 𝑲𝒄 = 𝟎, 𝟑𝟓,</p><p>(d) 𝑲𝒄 = 𝟏, 𝟎, (e) 𝑲𝒄 = 𝟑, 𝟎, (f) 𝑲𝒄 = 𝟓, 𝟎, (g) 𝑲𝒄 = 𝟔, 𝟎. O zero para este sistema está em +4.</p><p>104</p><p>𝑒−𝑎𝑡sen𝜔𝑡. A parte real desses polos conjugados complexos sendo negativa, é uma indicação de comportamento</p><p>oscilatório amortecido. Além disso, a magnitude da parte real do par conjugado complexo |𝑎| diminui quando 𝐾c é</p><p>aumentado de 0,35 para 5, o que indica que a taxa de amortecimento das oscilações está também diminuindo.</p><p>▪ Para os polos entre os pontos c e f, a magnitude da parte imaginária dos polos aumenta, indicando um aumento na</p><p>natureza oscilatória da resposta.</p><p>▪ No ponto f, (𝐾c = 5), resultam oscilações sustentadas. Isso marca a fronteira entre a operação estável (𝐾c < 5) e a</p><p>operação instável (𝐾c > 5) e é indicada por uma linha vertical na Figura 6.45.</p><p>▪ Polos à direita da linha vertical, estão na metade direita do plano complexo e, representam comportamento instável.</p><p>Quando 𝐾c é aumentado acima do valor de 5, a taxa de crescimento exponencial aumenta porque a magnitude da parte</p><p>real do polo aumenta.</p><p>A Figura 6.46 mostra a resposta no domínio do tempo do modelo de POMTM (𝐾p = 1; 𝜏p = 1; 𝜃p = 1) para vários valores de</p><p>𝐾c (0,25; 0,35; 1,0; 3,0, 5,0; 5,2) para uma mudança de setpoint em 𝑦. A resposta dinâmica do sistema em malha fechada</p><p>corresponde a (a) comportamento lento, (b) criticamente amortecido, (c) desempenho oscilatório, (d) ringing (um termo</p><p>industrial que se refere a uma resposta que exibe amortecimento lento das oscilações), (e) oscilações sustentadas e (f)</p><p>oscilações instáveis.</p><p>Observe que quando 𝐾c aumenta, a resposta do sistema torna-se mais rápida. Embora, este seja um caso simples, malhas de</p><p>controle industrial apresentam o mesmo comportamento geral; ou seja, quando o ganho do controlador é aumentado, um</p><p>processo superamortecido em malha aberta move-se de comportamento superamortecido para criticamente amortecido,</p><p>para subamortecido, para ringing, para oscilações sustentadas, para oscilações instáveis.</p><p>105</p><p>Portanto, para um controlador P-puro, determinar se um controlador está sintonizado de forma muito agressiva (ou seja, 𝐾𝑐 é</p><p>muito grande) ou de forma muito lenta (ou seja, 𝐾𝑐 é muito pequeno) é relativamente simples, comparando a resposta dinâmica</p><p>do processo à sequência de comportamentos dinâmicos mostrado na Figura 6.46. Se a resposta dinâmica do processo é similar</p><p>à Figura 6.46a, o valor de 𝐾𝑐 usado no controlador P-puro é muito baixo. Por outro lado, se a resposta dinâmica é similar a</p><p>alguma das respostas mostradas nas Figuras 6.46d-f, o valor de 𝐾𝑐 é muito grande e deve ser reduzido.</p><p>Uma vez que a aplicação de um controlador P-puro ao modelo de POMTM, considerado aqui, resulta em uma resposta em</p><p>malha fechada de segunda ordem, o fator de amortecimento e o período natural em malha fechada podem ser usados para</p><p>caracterizar o comportamento dinâmico deste sistema. A Figura 6.47 mostra o fator de amortecimento e o período natural em</p><p>malha fechada para este sistema em função do ganho do controlador, 𝐾c. Observe que os mesmos modos do comportamento</p><p>dinâmico que foram observados nas Figuras 6.46a-f são também mostrados na Figura 6.47a. Na Figura 6.47b, é mostrado que</p><p>o período natural de segunda ordem em malha fechada diminui monotonicamente, quando o ganho do controlador é</p><p>aumentado.</p><p>106</p><p>Figura 6.46. Resposta de um sistema de</p><p>POMTM com um controlador P-puro, para</p><p>uma mudança no setpoint. (a) 𝑲𝒄 = 𝟎, 𝟐𝟓, (b)</p><p>𝑲𝒄 = 𝟎, 𝟑𝟓 , (c) 𝑲𝒄 = 𝟏, 𝟎 , (d) 𝑲𝒄 = 𝟑, 𝟎, (e)</p><p>𝑲𝒄 = 𝟓, 𝟎, (f) 𝑲𝒄 = 𝟓, 𝟐.</p><p>107</p><p>6.10.3. Efeito dos Parâmetros de Sintonia para o Controle PI</p><p>Controladores PI são a forma mais comumente usada de controladores PID, representando mais</p><p>de 90 % de aplicações PID</p><p>industriais.</p><p>A sintonia de um controlador PI envolve a seleção do ganho, 𝐾c, e do tempo integral, 𝜏𝐼, do controlador. A ação proporcional</p><p>aumenta a velocidade de resposta em malha fechada, e a ação integral assegura operação livre de desvio permanente.</p><p>Figura 6.47. O efeito do ganho do controlador sobre o comportamento dinâmico de um processo de</p><p>POMTM (𝑲𝒑 = 𝟏, 𝝉𝒑 = 𝟏, 𝜽𝒑 = 𝟎, 𝟓), (a) mostra como o fator de amortecimento em malha fechada</p><p>muda com 𝑲𝒄 e (b) mostra como o período natural em malha fechada varia com 𝑲𝒄.</p><p>108</p><p>A sintonia de um controlador PI é mais complicada do que de um controlador P-puro, porque dois parâmetros de sintonia</p><p>devem ser especificados. Para entender melhor o efeito dos parâmetros de sintonia PI, vamos considerar um controlador PI</p><p>aplicado a um processo representado por um modelo de POMTM.</p><p>6.10.3.1. Efeito de Kc sobre a Dinâmica em Malha Fechada para um Controlador PI, Aplicado a um Modelo de</p><p>POMTM de um processo</p><p>Considerando 𝜏𝐼 = 1, os parâmetros do modelo de POMTM: 𝐾p = 1; 𝜏p = 1; 𝜃p = 0,5 e o efeito combinado do atuador,</p><p>processo e sensor, tem-se:</p><p>Equação característica:</p><p>A Figura 6.48 apresenta o diagrama do local das raízes e a Figura 6.49 apresenta o efeito do ganho do controlador sobre o fator</p><p>de amortecimento, que mostra a transição de superamortecido para instável. O par conjugado complexo determina o</p><p>componente oscilatório da resposta dinâmica.</p><p>Quando 𝐾c é aumentado, o comportamento dinâmico vai de superamortecido, para criticamente amortecido, para</p><p>subamortecido, para oscilações sustentadas e para comportamento instável, o que é consistente com os resultados obtidos no</p><p>caso anterior. Um polo (p3 = -1,0) permanece invariante para a faixa completa de ganhos do controlador e é indicado na Figura</p><p>6.48 pelo símbolo de losango.</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) = 1 +</p><p>𝐾𝑐 [1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>] 𝐾𝑝(1 − 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)(1 + 𝜃𝑝𝑠/2)</p><p>= 0 ⟹ 1/4 𝑠3 + (1,25 − 1/4 𝐾𝑐)𝑠</p><p>2 + (1 + 3/4 𝐾𝑐)𝑠 + 𝐾𝑐 = 0</p><p>109</p><p>Das Figuras 6.49 e 6.47 pode ser visto que a ação integral faz com que o sistema se torne instável em valor menor de 𝐾𝑐</p><p>comparado ao controlador P-puro. A adição da ação integral fornece operação livre de desvio permanente, mas produz um</p><p>sistema em malha fechada mais sensível.</p><p>A velocidade das dinâmicas em malha fechada para este sistema aumenta com o aumento de 𝐾c, de forma similar aos</p><p>resultados mostrados na Figura 6.47b.</p><p>Figura 6.48. Controlador PI aplicado a um processo de</p><p>POMTM (𝑲𝒑 = 𝟏, 𝝉𝒑 = 𝟎, 𝟓, 𝝉𝑰 = 𝟏) com o ganho do</p><p>controlador aumentando do ponto a para o ponto d: (a)</p><p>𝑲𝒑 = 𝟎, 𝟐, (b) 𝑲𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟓, (c) 𝑲𝒑 = 𝟒, 𝟎, (d) 𝑲𝒑 = 𝟔, 𝟎.</p><p>O zero para este sistema está em +4.</p><p>Figura 6.49. Efeito do ganho do controlador sobre o fator de</p><p>amortecimento para um controlador PI, aplicado a um</p><p>processo de POMTM (𝑲𝒑 = 𝟏, 𝝉𝒑 = 𝟏, 𝜽𝒑 = 𝟎, 𝟓, 𝝉𝑰 = 𝟏).</p><p>110</p><p>6.10.3.2. Efeito de 𝝉𝑰 sobre as Dinâmicas em Malha Fechada para um Controlador PI Aplicado a um Modelo POMTM</p><p>de um Processo</p><p>Considerando 𝐾c = 3 , os parâmetros do modelo de POMTM: 𝐾p = 1; 𝜏p = 1; 𝜃p = 0,5 e o efeito combinado do atuador,</p><p>processo e sensor, tem-se:</p><p>A função de transferência em malha fechada do caso anterior também se aplica aqui e a solução para as raízes da equação</p><p>característica requer a solução de uma equação cúbica.</p><p>A Figura 6.50 mostra os polos para a função de transferência em malha fechada para uma faixa de valores de tempos integrais</p><p>de 0,04 a 4,0. Neste caso, quando 𝜏𝐼 é aumentado, o comportamento dinâmico vai de oscilações instáveis, para oscilações</p><p>sustentadas, para criticamente amortecidas e para superamortecidas. Quando a quantidade de ação integral é aumentada (ou</p><p>seja, quando 𝜏𝐼 é diminuído), o comportamento dinâmico vai através da mesma sequência de fases produzido pelo aumento</p><p>na ação proporcional.</p><p>A Figura 6.51 mostra o efeito de 𝜏𝐼 sobre o fator de amortecimento do par conjugado complexo para este sistema.</p><p>Figura 6.50. Diagrama do lugar das raízes para um</p><p>controlador PI aplicado a um processo de POMTM</p><p>(𝑲𝒑 = 𝟏, 𝝉𝒑 = 𝟏, 𝜽𝒑 = 𝟎, 𝟓, 𝑲𝒄 = 𝟎, 𝟑) com o tempo</p><p>integral do controlador 𝝉𝑰 aumentando do ponto a para</p><p>o ponto d: (a) 𝝉𝑰 = 𝟎, 𝟎𝟒, (b) 𝝉𝑰 = 𝟎, 𝟐, (c) 𝝉𝑰 = 𝟎, 𝟗, (d)</p><p>𝝉𝑰 = 𝟒, 𝟎. O zero para este sistema está em +4.</p><p>111</p><p>A Figura 6.52 mostra o comportamento dinâmico do processo de POMTM (𝐾p = 1; 𝜏p = 1; 𝜃p = 0,5 ), para um controlador</p><p>PI com quantidades diferentes de ação proporcional.</p><p>A Figura 6.52b mostra os resultados para um controlador PI para o qual 𝐾c e 𝜏𝐼 foram ajustados a fim de fornecer uma resposta</p><p>bem sintonizada. Além disso, esta sintonia foi modificada aumentando 𝐾c (Figura 6.52c), mantendo 𝜏𝐼 constante e diminuindo</p><p>𝐾c (Figura 6.52a), mantendo 𝜏𝐼 constante. O aumento em 𝐾c resulta em ringing, enquanto a diminuição de 𝐾c resulta em</p><p>comportamento lento. Observe que muita ou pouca ação proporcional resulta em tempos de resposta maiores que o</p><p>controlador bem sintonizado.</p><p>Figura 6.51. Efeito de 𝝉𝑰 do controlador sobre o fator de amortecimento</p><p>para um controlador PI, aplicado a um processo de POMTM (𝑲𝒑 =</p><p>𝟏, 𝝉𝒑 = 𝟏, 𝜽𝒑 = 𝟎, 𝟓, 𝑲𝒄 = 𝟎, 𝟑).</p><p>112</p><p>A Figura 6.53 mostra resultados similares para o efeito de variações em 𝜏𝐼. A Figura 6.53b mostra os resultados para um</p><p>controlador bem sintonizado e é o mesmo resultado mostrado na Figura 6.52b. Uma diminuição de 𝜏𝐼 dessas configurações</p><p>resulta em ringing (Figura 6.53c) e um aumento resulta em uma remoção lenta de desvio permanente (Figura 6.53a).</p><p>Figura 6.53. Resposta do controlador PI para um processo de POMTM com níveis variáveis de ação</p><p>integral. (a) 𝝉𝑰 é muito grande, (b) Controlador bem sintonizado, (c) 𝝉𝑰 é muito pequeno</p><p>Figura 6.52. Resposta do controlador PI para um processo de POMTM com quantidades variáveis de</p><p>ação proporcional, (a) 𝑲𝒄 é muito baixo, (b) controlador bem sintonizado, (c) 𝑲𝒄 muito alto.</p><p>113</p><p>Comparando as Figuras 6.52a e 6.53a, pode ser visto que quando 𝐾c é muito baixo, resultam tempos de respostas longos e</p><p>comportamento lento; e quando a ação integral é muito baixa (ou seja, 𝜏𝐼 é muito grande), a eliminação de desvio permanente</p><p>é lenta. Portanto, determinar se um controlador PI tem pouca ação proporcional ou pouca ação integral é relativamente</p><p>simples. Por outro lado, o ringing de muita ação proporcional (Figura 6.52c) e o ringing de muita ação integral (Figura 6.53c)</p><p>são muito similares; portanto, quando resulta o ringing do controlador, é difícil dizer se é devido à ação proporcional excessiva,</p><p>ação integral excessiva ou ambas</p><p>A Figura 6.54 mostra a saída do controlador e da VC para um controlador bem sintonizado. Observe que a saída do controlador</p><p>“fica atrás” da VC para este caso. A Figura 6.55 mostra o mesmo sistema com 𝐾c aumentado de 50 % (ou seja, o ringing é</p><p>causado por muita ação proporcional). Observe que o atraso entre a VC e a saída do controlador é reduzido significativamente.</p><p>O ganho excessivo do controlador reduz o atraso entre a VC e a saída do controlador. A Figura 6.56 mostra o caso em que 𝜏𝐼 é</p><p>reduzido por um fator de 2 comparado com as configurações para o controlador bem sintonizado. Neste caso, o atraso aumenta</p><p>significativamente. A ação integral excessiva resulta em um aumento no atraso do sistema. Portanto, o atraso entre a saída do</p><p>controlador e a VC pode ser usado para determinar se um processo controlado está com ringing de muita ação proporcional</p><p>ou muita ação integral. Se um controlador está com ringing e há uma quantidade pequena de atraso entre a saída do</p><p>controlador e a VC, o ringing é causado por uma quantidade excessiva de ação proporcional e pode ser corrigido reduzindo</p><p>o</p><p>ganho do controlador. Por outro lado, se um controlador está com ringing e há uma quantidade apreciável de atraso entre a</p><p>saída do controlador e a VC, o ringing é devido a uma quantidade excessiva de ação integral e pode ser corrigido aumentando</p><p>o tempo integral. No caso, em que há uma quantidade excessiva de ação proporcional e ação integral, deve haver algum grau</p><p>de atraso entre a saída do controlador e da VC, mas quando a ação integral é reduzida, a resposta usualmente ainda exibe</p><p>algum grau de ringing.</p><p>114</p><p>Com a ação de controle proporcional puro, o c máximo (saída do controlador) ocorre no desvio máximo do setpoint, que</p><p>corresponde à atraso zero (ou seja, em fase, - 𝑦s está em fase com 𝑐 quando os picos ou os vales para 𝑦s e 𝑐 ocorrem no mesmo</p><p>instante). Para ação de controle integral puro, o c máximo ocorre quando o erro do setpoint muda de sinal, que corresponde a</p><p>grande atraso.</p><p>6.10.4. Efeito de Parâmetros de Sintonia para Controle PID</p><p>Controladores PID são usados para processos lentos, como certas malhas de controle de temperatura e de controle de</p><p>composição.</p><p>Figura 6.54. O atraso entre a saída do</p><p>controlador e a VC para um controlador</p><p>PI bem sintonizado, c é a saída do</p><p>controlador e y é a VC.</p><p>Figura 6.55. O atraso entre a saída do</p><p>controlador e a VC para um controlador</p><p>com muita ação proporcional, c é a saída</p><p>do controlador e y é a VC.</p><p>Figura 6.56. O atraso entre a saída do</p><p>controlador e a VC para um controlador</p><p>com muita ação integral, c é a saída do</p><p>controlador e y é a VC.</p><p>115</p><p>A ação derivativa é o modo menos entendido e menos usado em um controlador PID, mas pode fornecer benefícios</p><p>significativos em casos específicos. A ação derivativa melhora o desempenho do controle para processos que têm razões entre</p><p>tempo morto e constante de tempo maiores do que um. Como a ação derivativa se opõe à inclinação da VC, ela reduz a natureza</p><p>oscilatória da resposta feedback. O efeito da ação proporcional e integral sobre o comportamento de um controlador PID é</p><p>similar àquele observado para o controlador PI apresentado anteriormente.</p><p>A Figura 6.57a mostra os resultados de controle PID e controle PI aplicados para um processo POMTM: (𝐾p =</p><p>1, 𝜏p = 1, 𝜃p = 0,1). A Figura 6.57b mostra os resultados de controle PID e controle PI aplicados a outro processo POMTM</p><p>com maior tempo morto: (𝐾p = 1, 𝜏p = 1, 𝜃p = 2). Esses resultados suportam a conclusão de que a ação derivativa é útil</p><p>para processos que tem razões entre tempo morto e constante de tempo grandes.</p><p>Figura 6.57. Comparação entre controladores PI e PID para um processo com (a) um tempo morto pequeno</p><p>e (b) um tempo morto grande.</p><p>116</p><p>A Figura 6.58 mostra um caso que tem muita ação derivativa no controlador PID. Observe que uma resposta feedback do tipo</p><p>“degrau de escada” indica que está sendo usada muita ação derivativa. O comportamento degrau de escada é causado porque,</p><p>quando o processo move em direção ao setpoint, a ação derivativa excessiva faz com que o processo pare ou se estabilize. Após</p><p>o processo parar, a ação proporcional e a ação integral atuam sobre o processo para mover a VC em direção ao setpoint.</p><p>A Figura 6.59 apresenta o gráfico do fator de amortecimento para o par conjugado complexo em função do tempo derivativo.</p><p>Quando 𝜏𝐷 é aumentado de 0 para 0,5, o fator de amortecimento aumenta, indicando que a natureza oscilatória do sistema é</p><p>reduzida pela ação derivativa. Por outro lado, quando o tempo derivativo é aumentado acima de 0,5, a natureza oscilatória da</p><p>resposta aumenta. A ação derivativa reduz a natureza oscilatória da resposta até um ponto, mas acima desse ponto, um</p><p>aumento adicional em 𝜏𝐷 aumenta o comportamento oscilatório, que corresponde ao resultado mostrado na Figura 6.58.</p><p>Figura 6.58. Desempenho de um controlador</p><p>PID com muita ação derivativa.</p><p>Figura 6.59. Efeito do tempo derivativo do</p><p>controlador sobre o fator de amortecimento para um</p><p>controlador PID, aplicado a um processo de POMTM</p><p>(𝑲𝒑 = 𝟏, 𝝉𝒑 = 𝟏, 𝜽𝒑 = 𝟐, 𝑲𝒄 = 𝟏, 𝝉𝑰 = 𝟐.)</p><p>117</p><p>6.11. Projeto e Sintonia dos Controladores PID</p><p>No projeto de um controlador PID, deseja-se ter uma resposta em malha fechada rápida e estável, muitas vezes sem offset,</p><p>com mínimas alterações na variável manipulada. Variações excessivas na variável manipulada causam desgaste na válvula de</p><p>controle e levam a um maior consumo de energia. A robustez do controlador na presença de incertezas e incompatibilidade</p><p>planta/modelo também é uma característica desejável.</p><p>No projeto de um controlador PID para um determinado processo, deve se considerar o seguinte:</p><p>▪ Escolha do tipo de controlador (P, PI ou PID);</p><p>▪ O critério de desempenho a ser utilizado;</p><p>▪ Escolha dos parâmetros corretos do controlador (Sintonia do controlador).</p><p>6.11.1. Escolha do Tipo de Controlador</p><p>Regras simples:</p><p>(1) Se possível, use um controlador 𝑃 − puro: se o desvio em regime permanente for tolerável ou se o processo contiver</p><p>um termo integrante, por exemplo. controle de pressão de gás ou controle de nível.</p><p>(2) Se o controlador 𝑃 − puro for inaceitável, use um 𝑃𝐼: se o desvio do regime permanente for muito grande, por</p><p>exemplo, controle de vazão. Neste caso, a resposta é rápida e a desaceleração induzida pela ação integral não é importante.</p><p>Aström e Hägglund (1988) recomendam o uso de um controlador 𝑃𝐼 para processos que possuem dinâmica de primeira</p><p>ordem, por exemplo, controle de nível em um tanque.</p><p>118</p><p>(3) Em outros casos, use um 𝑃𝐼𝐷: a resposta em malha fechada será mais rápida e o controlador será mais robusto.</p><p>Exemplo: controle de temperatura, controle de composição, processos capacitivos em série. Aström e Hägglund (1988)</p><p>recomendam o uso de controladores 𝑃𝐼𝐷 para processos com dinâmica de segunda ordem, que às vezes pode ser difícil</p><p>de detectar, ou com constantes de tempo de diferentes ordens de grandeza. Devido à ação derivativa, o ganho pode ser</p><p>limitado.</p><p>(4) Os sistemas típicos que apresentam sérios problemas para o controle 𝑃𝐼𝐷 são:</p><p>▪ Sistemas com tempo morto.</p><p>▪ Sistemas com modos oscilatórios.</p><p>▪ Sistemas com grandes variações de parâmetros.</p><p>▪ Sistemas para os quais uma variável de qualidade deve ser controlada.</p><p>Discussão mais Detalhada:</p><p>Estas indicações são válidas para uso no caso de não haver modelo de processo disponível; elas não constituem instruções de</p><p>uso sem reservas e sempre precisarão ser usadas com cuidado.</p><p>✓ Controle de vazão</p><p>Controles feedbacks para vazão e pressão de líquido são caracterizados por respostas rápidas, de modo que os atrasos são, em</p><p>geral, desprezíveis. O sensor e as linhas de transmissão pneumáticas podem introduzir um atraso de tempo. As perturbações</p><p>são, em geral, ruídos de alta frequência, o que inviabiliza a ação derivativa. Os controladores 𝑃𝐼 são frequentemente usados.</p><p>119</p><p>✓ Controle de nível de líquido</p><p>A ação integral não é necessária se um pequeno desvio (cerca de 5 %) for tolerado no nível. Se for utilizada a ação integral, altos</p><p>ganhos podem ser escolhidos devido à natureza integradora do processo. Em geral, a ação derivativa não é usada. Em muitos</p><p>casos, um tanque pulmão é usado para evitar flutuações de nível na planta. Neste caso, a vazão de saída do tanque deve ser a</p><p>mais estável possível e o controlador deverá ser cuidadosamente sintonizado.</p><p>Quando ocorrer a transferência de calor no tanque (refervedor, evaporador), seu modelo de operação é mais complicado e o</p><p>controlador será diferente.</p><p>✓ Controle de pressão de gás</p><p>Se o gás está em equilíbrio com um líquido, o controle de pressão do gás é difícil. Aqui, o controle de pressão é considerado</p><p>apenas para um gás. O tanque (ou o tubo) controla parcialmente a si mesmo: se a pressão dentro do sistema se tornar muito</p><p>alta, a vazão de alimentação diminui</p><p>e vice-versa. Em geral, os controladores 𝑃𝐼 são usados com uma pequena ação integral (𝜏𝐼</p><p>grande). Muitas vezes, os volumes dos tanques são pequenos, de modo que os tempos de residência são baixos em relação ao</p><p>restaante do processo e a ação derivativa não é necessária.</p><p>✓ Controle de temperatura</p><p>Os problemas de controle de temperatura são complicados e de grande variedade em relação ao sistema considerado.</p><p>Frequentemente, devido à ocorrência de atrasos, o ganho não deve ser muito grande para evitar instabilidade. Os controladores</p><p>𝑃𝐼𝐷 são frequentemente usados para ter uma resposta mais rápida do que com um 𝑃𝐼 e para estabilizar o processo.</p><p>120</p><p>✓ Controle de composição</p><p>Vários pontos são comuns com o controle de temperatura, mas dois fatores adicionais intervêm:</p><p>▪ O ruído de medição é mais importante.</p><p>▪ Os atrasos de tempo podem ser muito grandes (exemplo: cromatógrafos)</p><p>6.11.2. Critérios de desempenho</p><p>O papel do controlador para o sistema em malha fechada é garantir que a resposta apresente características dinâmicas e de</p><p>regime permanente adequadas.</p><p>Os seguintes critérios podem ser citados:</p><p>▪ O controlador deve ser capaz de manter a variável controlada em seu setpoint.</p><p>▪ O sistema em malha fechada deve ser assintoticamente estável e apresentar desempenho satisfatório em uma ampla faixa</p><p>de frequências.</p><p>▪ A influência de perturbações deve ser minimizada.</p><p>▪ As respostas às variações de setpoint devem ser rápidas e suaves.</p><p>▪ Deve-se evitar um controle excessivo (a VM não deve sofrer variações grandes e rápidas muito frequentes).</p><p>▪ O sistema de controle deve ser robusto: deve ser insensível a variações de processo e erros de modelagem.</p><p>Na realidade, todos esses objetivos não podem ser realizados simultaneamente e o sistema de controle (Figura 6.60) resulta</p><p>de um compromisso. Para aplicações industriais, a robustez é particularmente importante.</p><p>121</p><p>Figura 6.60. Resumo dos problemas de um projeto de controlador para</p><p>controle de processo.</p><p>Os critérios usados com mais frequência são:</p><p>▪ O overshoot.</p><p>▪ O tempo de elevação.</p><p>▪ O tempo de estabilização.</p><p>▪ A razão de decaimento.</p><p>▪ A frequência de oscilação do transiente.</p><p>▪ Método de “síntese direta”.</p><p>▪ Controle por modelo interno.</p><p>▪ Relações de sintonia.</p><p>▪ Técnicas de resposta de frequência.</p><p>▪ Simulação computacional baseada em modelos.</p><p>▪ Ajuste no local.</p><p>122</p><p>os primeiros três métodos são baseados em modelos de função de transferência contínua ou polinômios de Laplace; técnicas</p><p>de resposta de frequência podem ser usadas para qualquer modelo linear. A simulação computacional permite utilizar qualquer</p><p>tipo de modelo, em particular modelos baseados em princípios fundamentais, mas neste caso demanda mais tempo e necessita</p><p>de muito investimento humano.</p><p>6.11.3. Critérios de Desempenho para Projeto</p><p>Diferente dos critérios simples que usam somente características isoladas da resposta dinâmica [por exemplo, razão de</p><p>decaimento, tempo de estabilização (ou de resposta)], critérios de desempenho baseados no erro consideram toda a resposta</p><p>do processo; são mais complicados e são utilizados para comparar o desempenho de controle para controladores diferentes,</p><p>utilizando simulações dinâmicas de processo, mas normalmente não são convenientes para usar na indústria. Existem vários</p><p>critérios:</p><p>Integral do Módulo do Erro (IAE)</p><p>𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑦𝑠𝑝(𝑡) − 𝑦m(𝑡)|𝑑𝑡</p><p>∞</p><p>0</p><p>Integral do Módulo do Erro multiplicado pelo Tempo (ITAE)</p><p>𝐼𝑇𝐴𝐸 = ∫ 𝑡|𝑦𝑠𝑝(𝑡) − 𝑦m(𝑡)|𝑑𝑡</p><p>∞</p><p>0</p><p>Integral do Erro ao Quadrado (ISE)</p><p>𝐼𝑆𝐸 = ∫ [𝑦𝑠𝑝(𝑡) − 𝑦m(𝑡)]</p><p>2</p><p>∞</p><p>0</p><p>𝑑𝑡</p><p>Integral do Erro ao Quadrado multiplicado pelo tempo (ITSE)</p><p>𝐼𝑇𝑆𝐸 = ∫ 𝑡[𝑦𝑠𝑝(𝑡) − 𝑦m(𝑡)]</p><p>2</p><p>∞</p><p>0</p><p>𝑑𝑡</p><p>123</p><p>O problema, então, é escolher o tipo de controlador e seus parâmetros de forma a minimizar um dos critérios anteriores. Os</p><p>critérios podem ser ordenados em relação às suas próprias características:</p><p>▪ O uso de IAE proporciona sistemas bem amortecidos; para um sistema de segunda ordem, o fator de amortecimento</p><p>resultante será em torno de 0,7 (Shinners 1992) quase como para o ITAE. Com o ISE, seria em torno de 0,5. O ISE não é</p><p>muito sensível a variações de parâmetros, ao contrário do ITAE que é sensível.</p><p>▪ Para suprimir erros grandes (números > 1), o ISE é melhor que o IAE, porque o termo do erro intervém pelo seu quadrado.</p><p>▪ Para suprimir pequenos erros (números < 1), o IAE é melhor que o ISE.</p><p>▪ Para suprimir erros que persistem por muito tempo, o ITAE é o melhor critério, pois o termo 𝑡 amplifica pequenos erros</p><p>persistentes. Este é frequentemente o critério preferido, porque oferece mais segurança. Em geral, produzirá pequenos</p><p>overshoots e oscilações.</p><p>6.11.4. Sintonia de Controladores Feedback</p><p>Não existe uma maneira absolutamente certa ou, nesse caso, uma maneira absolutamente errada para sintonizar um</p><p>controlador. As configurações do controlador dependem do que o engenheiro/operador considera um bom desempenho em</p><p>termos da resposta desejada para problemas de processo. O tipo de processo, o ganho do processo, a constante de tempo e o</p><p>tempo morto desempenham um papel na determinação das configurações do controlador.</p><p>As configurações também dependem do tipo antecipado de perturbações que o processo irá encontrar. Um controlador seria</p><p>sintonizado de forma diferente para estabilidade, devido a mudanças de setpoint (servo controle) do que para mudanças de</p><p>perturbações (controle regulatório). Em sistemas de controle de processo, as perturbações são encontradas com mais</p><p>frequência e, portanto, a maioria dos sistemas é otimizada para controle regulatório.</p><p>124</p><p>A sintonia do controlador pode ser definida como um processo de otimização, que envolve um critério de desempenho</p><p>relacionado à forma de resposta do controlador e ao erro entre a variável de processo e o setpoint. Ao sintonizar um</p><p>controlador, algumas das perguntas que podem ser feitas incluem:</p><p>▪ Offset pode ser tolerado?</p><p>▪ Nenhum overshoot é desejado?</p><p>▪ Uma certa razão de decaimento é necessária?</p><p>▪ Um tempo de elevação rápido é necessário?</p><p>Essas perguntas abordam critérios de desempenho que são usados na sintonia de um controlador.</p><p>6.11.4.1. Resposta do Controlador</p><p>Dependendo do processo a ser controlado, a primeira consideração é decidir que tipo de resposta é ideal, ou pelo menos</p><p>aceitável. As respostas típicas do processo a uma mudança de carga são ilustradas na Figura 6.61.</p><p>Os três possíveis extremos gerais de resposta que existem, como mostrado na Figura 6.61, são:</p><p>1. Superamortecido – resposta lenta sem oscilação;</p><p>2. Amortecido criticamente – resposta mais rápida sem oscilação;</p><p>3. Subamortecido – retorno rápido ao setpoint, mas com oscilação considerável.</p><p>A partir desses três extremos gerais, podemos ver que a seleção de um bom controle é um compromisso entre a velocidade de</p><p>resposta e o desvio do setpoint. Um controlador sintonizado de forma mais agressiva pode se tornar instável, se ocorrerem</p><p>grandes perturbações, enquanto um controlador sintonizado com baixa agressividade apresenta desempenho ruim, mas é</p><p>125</p><p>muito robusto. O que normalmente é necessário para a maioria das malhas de controle de processo é um compromisso entre</p><p>desempenho e robustez.</p><p>Ao examinar a resposta, existem vários critérios de desempenho comuns que podem ser usados para a sintonia do controlador,</p><p>que são baseados nas características da resposta de malha fechada do sistema. Alguns dos critérios mais comuns incluem</p><p>overshoot, offset, tempo de elevação e razão de decaimento. Desses critérios simples de desempenho, os praticantes de</p><p>controle costumam usar a razão de decaimento.</p><p>A razão de decaimento é uma excelente medida da agressividade de um controlador com uma resposta subamortecida. A</p><p>definição clássica da razão de decaimento (Figura 5.7), que</p><p>se baseia nas alturas dos picos, pode ser difícil de aplicar em certos</p><p>casos, porque as oscilações podem não ser simétricas em torno do setpoint. A razão de decaimento pode também ser estimada,</p><p>usando a diferença entre um pico e um vale (Figura 6.62). Ou seja, a razão de decaimento pode ser calculada pela razão da</p><p>diferença pico-a-vale para dois ciclos adjacentes, ou seja, C/B na Figura 6.62. Como resultado, oscilações simétricas em torno</p><p>Figura 6.61. Respostas típicas para mudanças de perturbação.</p><p>126</p><p>do setpoint não são requeridas para estimar a razão de decaimento da resposta, em malha fechada, para uma mudança no</p><p>setpoint.</p><p>6.11.4.2. Métodos Clássicos de Sintonia</p><p>Abordaremos dois dos primeiros métodos: o método de Cohen e Coon e o método de Ziegler-Nichols e a técnica mais recente</p><p>de Cianeone e Marlin.</p><p>6.11.4.2.1. Método de Cohen-Coon</p><p>Esta é uma técnica de sintonia popular, também conhecida como método da curva de reação do processo (CRP), ou seja, em</p><p>um experimento em malha aberta, uma mudança em degrau de magnitude conhecida no sinal de controle 𝑐(𝑡) é introduzida</p><p>e os valores da variável de processo, 𝑦𝑚(𝑡), são registrados ao longo do tempo. Um modelo de POMTM é ajustado aos dados</p><p>e utilizado para a determinação dos parâmetros de sintonia conforme relações a Tabela 6.2.</p><p>Figura 6.62. Método para estimar a razão de decaimento, usando medidas de pico a vale.</p><p>127</p><p>O método Cohen-Coon (CC) tem várias vantagens e desvantagens:</p><p>Vantagens:</p><p>▪ Muitas vezes, um único experimento pode ser suficiente.</p><p>▪ O procedimento não envolve tentativa e erro.</p><p>▪ As configurações do controlador são calculadas facilmente.</p><p>Desvantagens:</p><p>▪ O experimento deve ser realizado em malha aberta.</p><p>▪ Pode ser difícil obter os parâmetros do modelo com precisão, especialmente para processos ruidosos.</p><p>128</p><p>▪ O método é baseado na suposição de que o modelo de POMTM é uma boa aproximação do processo real.</p><p>6.11.4.2.2. Método de Ziegler-Nichols</p><p>O método de Ziegler-Nichols assume que um controlador P-puro está no lugar e a malha fechada é analisada, utilizando medidas</p><p>experimentais do ganho crítico (ou ganho último), 𝐾u, e do período último, 𝑃u, para calcular as configurações do controlador.</p><p>Os parâmetros são obtidos, aplicando o controlador P-puro para atingir oscilações sustentadas, medindo o período resultante</p><p>das oscilações e tomando nota do ganho do controlador P-puro. Segue o procedimento:</p><p>1. Desligue a ação integral e derivativa para obter um controlador P-puro.</p><p>2. Aumente 𝐾c até as oscilações serem sustentadas para uma mudança relativamente pequena de setpoint (Figura 6.63).</p><p>3. 𝐾u é o ganho do controlador P-puro que resulta nas oscilações sustentadas.</p><p>4. 𝑃u é o período das oscilações sustentadas (Figura 6.63).</p><p>5. Calcule as configurações do controlador utilizando a Tabela 6.3.</p><p>129</p><p>As configurações de Ziegler-Nichols são baseadas em uma resposta sintonizada pelo amortecimento de um quarto de amplitude</p><p>(AQA). Uma resposta AQA, para um processo de segunda ordem, corresponde a um fator de amortecimento (𝜁) de 0,22 com</p><p>uma sobre-elevação (overshoot) de 50 %; portanto, a configuração de ZN é relativamente agressiva. De acordo com essas</p><p>configurações, um controlador PID usa um 𝐾c 33 % maior do que um controlador PI (ou seja, 𝐾c é igual a 0,6 𝐾u para o PID</p><p>comparado a 0,45 𝐾u para o PI) e um controlador P-puro usa um 𝐾c 10 % maior do que um controlador PI correspondente (ou</p><p>seja, 𝐾c é igual a 0,45 𝐾u para o PI comparado a 0,5 𝐾u para o P-puro).</p><p>Como o método CC, o método ZN oferece várias vantagens e desvantagens significativas.</p><p>Vantagens:</p><p>▪ São usados experimentos de malha fechada, em comparação com a abordagem de malha aberta do método CC.</p><p>▪ Um modelo de processo não é necessário.</p><p>▪ As configurações do controlador são facilmente calculadas.</p><p>Figura 6.63. Teste de ZN - operação em oscilações sustentadas de uma VC com um controlador P-puro.</p><p>130</p><p>Desvantagens:</p><p>▪ A ciclagem contínua pode ser questionável na prática, pois o processo é levado ao limite de estabilidade.</p><p>▪ Deve-se ter cuidado com processos instáveis em malha aberta, pois eles tendem a ser instáveis para ganhos pequenos e</p><p>grandes e estáveis apenas para ganhos intermediários.</p><p>▪ Alguns processos simples que podem ser representados exatamente como um processo de primeira e segunda ordem sem</p><p>atraso não possuem ganho último.</p><p>6.11.4.2.3. Sintonia de Cianeone-Marlin</p><p>A abordagem para a sintonia de controlador de Cianeone e Marlin usa parâmetros do modelo de POMTM junto com gráficos</p><p>de parâmetros adimensionais de sintonia para determinar as configurações de controle.</p><p>Relações adimensionais:</p><p>Substituindo 𝑠 =</p><p>𝑠̅</p><p>𝜃𝑝+𝜏𝑝</p><p>na função de transferência, tem-se:</p><p>𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑠(𝑠) = 𝐺𝑝</p><p>′ (𝑠) ≅</p><p>𝐾𝑝𝑒</p><p>−𝜃𝑝𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>(Modelo considerando atuador/processo/sensor combinados)</p><p>𝑌(𝑠)</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐺𝑑(𝑠)</p><p>𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝</p><p>′ (𝑠) + 1</p><p>=</p><p>𝐺𝑑(𝑠)</p><p>𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>+ 𝜏𝐷𝑠) (</p><p>𝐾𝑝𝑒</p><p>−𝜃𝑝𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>) + 1</p><p>(Função em malha fechada para rejeição</p><p>de perturbações)</p><p>�̅� = 𝑠(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝) (Variável da transformada de Laplace modificada)</p><p>131</p><p>para a qual [𝜃𝑝/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝)] é referido como o tempo morto fracional. Assim, o modelo do processo é convertido de seis</p><p>parâmetros (𝐾𝑐 , 𝜏𝐼 , 𝜏𝐷, 𝐾𝑝, 𝜏𝑝, 𝜃𝑝) para quatro parâmetros [𝐾𝑝𝐾𝑐 , 𝜃𝑝/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝), 𝜏𝐼/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝), 𝜏𝐷/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝) ]. Portanto,</p><p>as formas adimensionais dos parâmetros de sintonia são obtidas, ou seja,</p><p>As correlações de Cianeone e Marlin para o ganho adimensional, tempo integral e tempo derivativo em função do tempo morto</p><p>fracional são mostradas na Figura 6.64. Essas correlações são baseadas na sintonia para desempenho de IAE mínimo,</p><p>considerando um erro de ± 25 % nos parâmetros do modelo (ou seja, variações em 𝐾𝑝, 𝜏𝑝 e 𝜃𝑝). Esses resultados mostram</p><p>algumas diferenças entre sintonias para mudanças de setpoint e para rejeição de perturbações. As correlações para</p><p>perturbações e mudanças de setpoint são similares, mas o tempo integral adimensional para perturbações é muito diferente,</p><p>em valores baixos do tempo morto fracional [𝜃𝑝/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝) < 0,3]. Observe que mais ação integral é utilizada para</p><p>perturbações do que para mudanças de setpoint. Há também alguma diferença entre os tempos derivativos adimensionais, em</p><p>tempo morto fracional baixo, para o rastreamento de setpoint e a rejeição de perturbações.</p><p>Observe que:</p><p>𝜏𝑝</p><p>(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝)</p><p>= 1 −</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜃𝑝 + 𝜏𝑝</p><p>Ganho adimensional = 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>Tempo integral adimensional = 𝜏𝐼/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝)</p><p>Tempo derivativo adimensional = 𝜏𝐷/(𝜃𝑝 + 𝜏𝑝)</p><p>132</p><p>Figura 6.64. Correlações de Cianione e Marlin para constantes adimensionais de sintonia.</p><p>Para rejeição de perturbações (a) 𝑲𝒄 (b) 𝝉𝑰 (c) 𝝉𝑫</p><p>Para mudança de setpoint (d) 𝑲𝒄 (e) 𝝉𝑰 (f) 𝝉𝑫</p><p>133</p><p>6.11.4.2.3. Comentários gerais</p><p>O método de Cohen e Coon e o método de Cianeone e Marlin requerem um modelo de processo de POMTM, que é difícil e</p><p>consome tempo para ser desenvolvido. As configurações para esses métodos de sintonia são baseadas num critério de sintonia</p><p>que pode não ser consistente com os requisitos da malha de controle em consideração.</p><p>O método de Ziegler-Nichols requer um teste que pode perturbar o processo desnecessariamente. Ele tem a vantagem de ser</p><p>uma medida direta do processo. Mas, as configurações do controlador são baseadas na sintonia de AQA, e processos não</p><p>lineares, utilizando essas configurações, podem apresentar comportamento ringing ou instável. Um número muito grande de</p><p>métodos de sintonia tem sido proposto. A maioria desses métodos sofre de uma ou mais das mesmas limitações que os três</p><p>métodos de sintonia apresentados aqui.</p><p>Desta forma,</p><p>87</p><p>6.7.2. Margem de Ganho ................................................................................................................................................................................. 89</p><p>3</p><p>6.7.3. Margem de Atraso .................................................................................................................................................................................. 90</p><p>6.8. Critério de Estabilidade de Nyquist .............................................................................................................................. 95</p><p>6.9. Critério de Estabilidade com base nos Gráficos de Bode ............................................................................................... 97</p><p>6.10. Comportamento e Sintonia de Controladores PID .................................................................................................... 100</p><p>6.10.1. Introdução .......................................................................................................................................................................................... 100</p><p>6.10.2. Efeito dos Parâmetros de Sintonia para o Controle P-puro ................................................................................................................. 100</p><p>6.10.2.1. Dinâmica de um controlador P-puro, aplicado a um processo de primeira ordem ................................................................................................ 100</p><p>6.10.2.2. Dinâmica de um controlador P-puro aplicado a um processo de segunda ordem ................................................................................................. 101</p><p>6.10.2.3. Dinâmica de um controlador P-puro aplicado a um processo de POMTM ............................................................................................................ 101</p><p>6.10.3. Efeito dos Parâmetros de Sintonia para o Controle PI ........................................................................................................................ 107</p><p>6.10.3.1. Efeito de Kc sobre a Dinâmica em Malha Fechada para um Controlador PI, Aplicado a um Modelo de POMTM de um processo .......................... 108</p><p>6.10.3.2. Efeito de 𝝉𝑰 sobre as Dinâmicas em Malha Fechada para um Controlador PI Aplicado a um Modelo POMTM de um Processo ............................ 110</p><p>6.10.4. Efeito de Parâmetros de Sintonia para Controle PID .......................................................................................................................... 114</p><p>6.11. Projeto e Sintonia dos Controladores PID ................................................................................................................. 117</p><p>6.11.1. Escolha do Tipo de Controlador ......................................................................................................................................................... 117</p><p>6.11.2. Critérios de desempenho ................................................................................................................................................................... 120</p><p>6.11.3. Critérios de Desempenho para Projeto .............................................................................................................................................. 122</p><p>6.11.4. Sintonia de Controladores Feedback .................................................................................................................................................. 123</p><p>4</p><p>6.11.4.1. Resposta do Controlador ..................................................................................................................................................................................... 124</p><p>6.11.4.2. Métodos Clássicos de Sintonia ............................................................................................................................................................................. 126</p><p>6.11.4.3. Sintonia do Controlador pela Especificação de Polo ou Síntese Direta .................................................................................................................. 137</p><p>6.11.4.4. Controle por Modelo Interno ............................................................................................................................................................................... 159</p><p>5</p><p>6.1. Função de Transferência em Malha Fechada de um Sistema de Controle Feedback SISO</p><p>6.1.1. Diagrama de Blocos da Malha Feedback</p><p>O uso de diagramas de blocos para ilustrar uma relação de causa e efeito é predominante em controle de processo. Usamos</p><p>blocos operacionais para representar funções de transferência e linhas para transmissão unidirecional de informações. É uma</p><p>boa maneira de visualizar as inter-relações de vários componentes. Eles serão cruciais para nos ajudar a identificar variáveis</p><p>manipuladas, variáveis controladas, entradas e saídas de um sistema.</p><p>O controle feedback consiste em uma reinserção da saída em uma malha, Figura 6.1. A resposta da variável de saída 𝑌(𝑠) ou</p><p>variável controlada é utilizada para atuar na variável manipulada (ou variável de controle) U(s)para fazer a diferença entre o</p><p>setpoint (ou valor de referência desejado) 𝑌𝑠𝑝(𝑠) e a saída 𝑌(𝑠), ou seja, [𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑌(𝑠)] a menor possível, a despeito da</p><p>perturbação 𝐷(𝑠). A saída 𝑌(𝑠) está ligada ao setpoint 𝑌𝑠𝑝(𝑠) por um sistema que força a saída a seguir o setpoint.</p><p>O sistema da Figura 6.1 apresenta uma saída 𝑌(𝑠), uma perturbação 𝐷(𝑠) e uma variável manipulada 𝑈(𝑠). Em geral, a forma</p><p>da perturbação é imprevisível e o objetivo é manter a saída 𝑌(𝑠) o mais próximo possível do setpoint 𝑌𝑠𝑝(𝑠) a despeito de</p><p>perturbações. Uma possibilidade de controle é usar um feedback (ou uma realimentação) realizado por uma malha fechada,</p><p>Figura 6.1:</p><p>▪ A saída é medida utilizando um determinado dispositivo de medição; o valor indicado pelo sensor-transmissor é 𝑌𝑚(𝑠).</p><p>▪ Este valor é comparado ao setpoint 𝑌𝑠𝑝(𝑠), dando a diferença [setpoint − medição] para produzir o erro,</p><p>𝑒(𝑠) = 𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑌𝑚(𝑠).</p><p>6</p><p>▪ O valor desta diferença é fornecido ao controlador, cuja função é modificar o valor da variável manipulada 𝑈(𝑠) para</p><p>reduzir o erro 𝑒(𝑠). O controlador não opera diretamente, mas através de um atuador (válvula, ...) ao qual dá um valor</p><p>𝑐(𝑠).</p><p>Observação importante: Em sistema de controle feedback, atua-se no atuador e modifica-se a variável manipulada 𝑈(𝑠)</p><p>somente após ter observado o efeito da perturbação na saída. O conjunto do comparador e do controlador constitui o sistema</p><p>de controle e é chamado de controlador que pode realizar ações de regulação e rastreamento.</p><p>6.1.2. Redução de Diagramas de Blocos</p><p>Muitos sistemas de controle são redes de blocos de aparência complicada. O sistema de controle mais simples se parece com</p><p>a Figura 6.1. O problema é que muitas teorias em controle são baseadas em uma estrutura simples de malha fechada ou de</p><p>bloco único. Portanto, devemos aprender a ler um diagrama de blocos e reduzi-lo à forma mais simples possível. Primeiro,</p><p>7</p><p>fazemos uma manipulação algébrica simples e, melhor ainda, fazemos isso graficamente. É importante lembrar que toda</p><p>redução (gráfica) de diagrama de blocos é resultado da manipulação algébrica formal de funções de transferência. Quando toda</p><p>a imaginação falhar, sempre consulte as equações algébricas reais.</p><p>6.1.2.1. Manipulações algébricas feitas graficamente</p><p>∎ Conexão Serial</p><p>A conexão serial resulta em uma situação em que a variável de saída do primeiro bloco é a variável de entrada do segundo</p><p>bloco, Figura 6.2.</p><p>A função de transferência global pode ser escrita como:</p><p>Geralmente, quando 𝑛 blocos são conectados em série, a função de transferência é dada como um produto de funções de</p><p>transferência parciais:</p><p>esses métodos devem ser usados industrialmente apenas para a obtenção de estimativas iniciais de parâmetros</p><p>de sintonia. Em seguida, os engenheiros de controle utilizam os seus conhecimentos de não linearidade e a severidade de</p><p>perturbações, a fim de ajustar a sintonia do controlador e encontrar o compromisso apropriado entre a confiabilidade e o</p><p>desempenho para a malha de controle particular em questão. Procedimentos de sintonia recomendados para malhas de</p><p>controle industrial ainda serão abordados.</p><p>Exemplo 6.10. Determine a configuração do controlador PID pelo método de Cohen e Coon e o método de Cianeone e Marlin,</p><p>usando o modelo de POMTM (𝐾𝑝 = −1,5, 𝜏𝑝 = 1,43, 𝜃𝑝 = 2,43). Use as configurações de Cianeone e Marlin para a rejeição</p><p>de perturbações.</p><p>Solução.</p><p>Método de Cohen-Coon:</p><p>134</p><p>Método de Cianeone-Marlin:</p><p>𝐾𝑐 =</p><p>1</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝜃𝑝</p><p>(</p><p>16 + 3</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>12</p><p>)</p><p>= 0,690</p><p>𝜏𝐼 =</p><p>𝜃𝑝 [32 +</p><p>6𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>]</p><p>13 + 8 [</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>]</p><p>= 3,86</p><p>𝜏𝐷 =</p><p>4𝜃𝑝</p><p>11 + 2 [</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>]</p><p>= 0,675</p><p>Tempo morto fracional =</p><p>𝜃𝑝</p><p>(𝜃𝑝+𝜏𝑝)</p><p>= 0,63</p><p>Da Figura 6.64 [(a), (b), (c)]:</p><p>Ganho adimensional = 𝐾𝑝𝐾𝑐 = 0,6</p><p>Tempo integral adimensional =</p><p>𝜏𝐼</p><p>(𝜃𝑝+𝜏𝑝)</p><p>= 0,6</p><p>Tempo derivativo adimensional =</p><p>𝜏𝐷</p><p>(𝜃𝑝+𝜏𝑝)</p><p>= 0,12</p><p>Portanto, 𝐾𝑐 = 0,9; 𝜏𝐼 = 2,32; 𝜏𝐷 = 0,463</p><p>135</p><p>Observe que, neste caso, as configurações de Cohen e Coon são menos agressivas do que as configurações de Cianeone e</p><p>Marlin. Também, embora o ganho do processo seja negativo, o ganho do controlador é especificado como um número positivo,</p><p>porque o efeito do ganho negativo do processo é tratado pelo uso adequado de um controlador de ação direta ou de ação</p><p>inversa (para revisão, ver diretrizes na Tabela 6.4).</p><p>Exemplo 6.11. Considere a seguinte função de transferência do processo.</p><p>Calcule as configurações de Ziegler-Nichols para o controlador PID.</p><p>Solução.</p><p>A equação característica, considerando um controlador P-puro, é:</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝑠4 + 6𝑠3 + 11𝑠2 + 6𝑠</p><p>𝑠4 + 6𝑠3 + 11𝑠2 + 6𝑠 + 𝐾𝑐 = 0</p><p>136</p><p>Detalhamento:</p><p>Sabemos que as oscilações são devido ao aparecimento dos termos seno e cosseno por conta de polos imaginários, pois eles</p><p>dão origem aos termos cos (𝜔𝑢𝑡) e sen(𝑤𝑢𝑡). Como resultado, o período de oscilação (também chamado de período último)</p><p>será:</p><p>Existem duas maneiras de calcular 𝜔𝑢. Primeira, da análise de estabilidade de Routh, se uma linha na tabela tem todos os</p><p>elementos iguais a zero, pode-se resolver um polinômio auxiliar baseado na linha imediatamente superior. Quando 𝐾𝑢 = 10,</p><p>a terceira linha no arranjo de Routh, linha de 𝑠, zera. Então o polinômio auxiliar baseado na linha 𝑠2 é: 𝑃(𝑠) = 10𝑠2 + 𝐾𝑐 =</p><p>10𝑠2+ 𝐾𝑢 = 10𝑠</p><p>2+10. Assim, 10(𝑗𝜔𝑢)</p><p>2 + 10 = 0 ⟹ 𝜔𝑢 = 1.</p><p>Arranjo de Routh:</p><p>Para a função de transferência em malha fechada ser estável, 𝐾𝑐 > 0 e</p><p>60−6𝐾𝑐</p><p>10</p><p>> 0 ⟹</p><p>𝐾𝑐 < 10, ou seja, 0 < 𝐾𝑐 < 10. O ganho crítico é 𝐾𝑢 = 10 (o maior valor de 𝐾𝑐. O</p><p>polinômio auxiliar pode ser escrito como: 10𝑠2 + 𝐾𝑐 = 0⟹ 10(𝑗𝜔𝑢)</p><p>2 + 𝐾𝑢 = 0⟹</p><p>𝜔𝑢 = 1. Então, o período de oscilação, 𝑃𝑢 =</p><p>2𝜋</p><p>𝜔𝑢</p><p>= 2𝜋.</p><p>Portanto, da Tabela 6.3, temos:</p><p>𝐾𝑐 = 0,6 𝐾𝑢 = 6; 𝜏𝐼 =</p><p>𝑃𝑢</p><p>2</p><p>= 3,14 s; 𝜏𝐷 =</p><p>𝑃𝑢</p><p>8</p><p>= 0,79 s</p><p>𝜔𝑢𝑃𝑢 = 2𝜋 ⟹ 𝑃𝑢 =</p><p>2𝜋</p><p>𝜔𝑢</p><p>A outra maneira para calcular 𝜔𝑢, é usar a substituição direta 𝑗𝜔𝑢 na equação característica,</p><p>porque nós sabemos que no valor do ganho crítico, as raízes são da forma ±𝑗𝜔𝑢. Assim,</p><p>Arranjo de Routh:</p><p>𝑠4 + 6𝑠3 + 11𝑠2 + 6𝑠 + 𝐾𝑐 = (𝑗𝜔𝑢)</p><p>4 + 6(𝑗𝜔𝑢)</p><p>3 + 11(𝑗𝜔𝑢)</p><p>2 + 6(𝑗𝜔𝑐) + 𝐾𝑐 = 0</p><p>137</p><p>6.11.4.3. Sintonia do Controlador pela Especificação de Polo ou Síntese Direta</p><p>A ideia aqui é: nós sintonizamos diretamente a função de transferência do controlador com base no desempenho desejado da</p><p>malha fechada, ou seja, nós escolhemos a função de transferência desejada, que na realidade, consiste em especificar os polos</p><p>da resposta em malha fechada. Antes da abordagem da síntese direta, vamos fazer algumas considerações sobre as malhas da</p><p>Figura 6.65.</p><p>⟹𝜔𝑢</p><p>4 − 6𝑗𝜔𝑢</p><p>3 − 11𝜔𝑢</p><p>2 + 6𝑗𝜔𝑢 + 𝐾𝑐 = 0 + 𝑗0</p><p>−6𝜔𝑢</p><p>3 + 6𝜔𝑢 = 𝜔𝑢(−6𝜔𝑢</p><p>2 + 6) = 0 ⟹ 𝜔𝑢 = 0 ou 𝜔𝑢 = 1</p><p>𝜔𝑢</p><p>4 − 11𝜔𝑢</p><p>2+ 𝐾𝑐 = 0 ⟹ Se 𝜔𝑢 = 0, 𝐾𝑐 = 0; se 𝜔𝑢 = 1, 𝐾𝑐 = 10</p><p>Como 𝐾𝑐 > 0, para estabilidade ⟹𝐾𝑢 = 10.</p><p>Figura 6.65. Malha feedback representada com um modelo e o processo real: (a) malha com o modelo e (b) malha</p><p>real que deve ser estudada.</p><p>138</p><p>Nas malhas da Figura 6.65, 𝐺𝑐(𝑠) é o mesmo; no entanto 𝐺𝑀(𝑠) (função de transferência do modelo) e 𝐺𝑝(𝑠) (função de</p><p>transferência do processo) serão diferentes, pelo menos um pouco. O desempenho real deve ser satisfeito pela malha da Figura</p><p>6.65b. Imediatamente, isso resulta em um enigma. 𝐺𝑝(𝑠) nunca pode ser caracterizada com exatidão, pois qualquer modelo</p><p>(por mais complexo que seja) é apenas uma aproximação da realidade. Como então estudar a malha do processo real? Os</p><p>engenheiros de controle resolvem esse problema estudando 𝐺𝑝(𝑠) = 𝐺𝑀(𝑠) + ∆𝐺𝑀(𝑠), na qual ∆𝐺𝑀(𝑠) representa nossa</p><p>compreensão da incerteza associada ao modelo.</p><p>Na realidade, o controlador é implementado em uma malha fechada real, a malha com o processo representado por 𝐺𝑝(𝑠),</p><p>cujo desempenho é diferente do da malha com o processo representado por 𝐺𝑀(𝑠). Se a diferença for ∆𝐺𝑀(𝑠), então o</p><p>controlador ainda funcionará razoavelmente bem, se ∆𝐺𝑀(𝑠) for pequeno.</p><p>Então, em última análise, o que vamos fazer é o seguinte: vamos projetar um controlador baseado em um modelo. Para estudar</p><p>realisticamente o efeito dele sobre o processo é necessário implementá-lo sobre o processo e ver o que acontece.</p><p>Em termos de simulação, se você quiser realmente projetar um controlador baseado em um modelo e ver como ele realmente</p><p>funcionará em uma situação real, o que você poderia fazer é assumir que 𝐺𝑝(𝑠) é o que você conhece, 𝐺𝑀(𝑠)/∆𝐺𝑀(𝑠), e então</p><p>você pode assumir diferentes formas para ∆𝐺𝑀(𝑠), e em seguida, manter o controlador igual e estudar a malha muito bem,</p><p>para que você possa responder perguntas como: mesmo se o processo é diferente do modelo por este ∆𝐺𝑀(𝑠) e eu posso usar</p><p>diferentes ∆𝐺𝑀(𝑠), quão bem esse controlador que foi projetado com base no modelo ainda dá certo? Então esse tipo de</p><p>estudo que você pode fazer facilmente é algo para se ter em mente.</p><p>Agora, vamos considerar a síntese direta. Na abordagem de síntese direta, nós estipulamos que:</p><p>𝑌(𝑠) = 𝐺𝑑𝑒𝑠(𝑠)𝑌𝑠𝑝(𝑠) (6.70)</p><p>139</p><p>na qual 𝐺𝑑𝑒𝑠(𝑠) é a função de transferência em malha fechada (FTMF) que nós desejamos para o processo.</p><p>Exemplo 6.12. Considere a seguinte função de transferência</p><p>Considere 𝐺des(𝑠) =</p><p>1</p><p>9𝑠2+3𝑠+1</p><p>, uma função de transferência de segunda ordem.</p><p>Então,</p><p>Da Figura 6.65a, temos:</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑀(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑀(𝑠)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) (6.71)</p><p>Comparando as Equações 6.70 e 6.71,</p><p>𝐺des(𝑠) =</p><p>𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑀(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑀(𝑠)</p><p>(6.72)</p><p>Ou seja,</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺des</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>des)</p><p>(6.73)</p><p>Observe que nós derivamos diretamente a função de transferência do controlador. Se esta for do tipo do controlador PID,</p><p>então a sintonia é alcançada. Vamos ilustrar esta ideia com alguns exemplos.</p><p>𝐺𝑀(𝑠) =</p><p>3</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺des</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>des)</p><p>=</p><p>1</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>(</p><p>3</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>) (1 −</p><p>1</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>)</p><p>140</p><p>O fato de que a abordagem da síntese direta resulta em um controlador PID para o Exemplo 6.12 não deve ser mal interpretado,</p><p>como um resultado mais geral. De fato, escolhemos uma função de transferência [𝐺des(s)] que simplificou a álgebra e resultou</p><p>em um controlador PID.</p><p>Agora,</p><p>vamos considerar que nós queremos uma resposta específica de segunda ordem para um processo de primeira ordem.</p><p>Então,</p><p>Uma vez que a formulação do problema foi baseada em um controlador geral desconhecido, a forma funcional deste</p><p>controlador não corresponde a um controlador PID. No entanto, sob certas circunstâncias, este controlador geral pode ser</p><p>reduzido a um controlador do tipo PID. Então vejamos,</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>3(9𝑠2 + 3𝑠)</p><p>=</p><p>(2𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>3𝑠</p><p>=</p><p>10𝑠2 + 7𝑠 + 1</p><p>9𝑠</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>7</p><p>9</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>7𝑠</p><p>+</p><p>10𝑠</p><p>7</p><p>)</p><p>Na qual,</p><p>𝐾𝑐 =</p><p>7</p><p>9</p><p>; 𝜏𝐼 = 7; 𝜏𝐷 =</p><p>10</p><p>7</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺des</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>des)</p><p>=</p><p>1</p><p>(𝜏𝑛</p><p>′ )2𝑠2 + 2𝜏𝑛</p><p>′ 𝜁′𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>[1 −</p><p>1</p><p>(𝜏𝑛</p><p>′ )2𝑠2 + 2𝜏𝑛</p><p>′ 𝜁′𝑠 + 1</p><p>]</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑛</p><p>′ 𝑠(𝜏𝑛</p><p>′ 𝑠 + 2𝜁′)</p><p>141</p><p>Equação característica para um processo de primeira ordem com um controlador PI:</p><p>Notando, que a Equação 6.74 está na forma padrão para uma equação de segunda ordem, temos:</p><p>Exemplo 6.13. Determine a configuração do controlador PI para um processo de primeira ordem (𝐾p = 3; 𝜏p = 10), se é</p><p>desejado obter um fator de amortecimento em malha fechada de 0,4 e uma constante de tempo em malha fechada de 3.</p><p>𝜏𝐼𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>𝑠2 + 𝜏𝐼 [1 +</p><p>1</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>] 𝑠 + 1 = 0 (6.74)</p><p>Fator de amortecimento:</p><p>𝜏𝑛</p><p>′ = √</p><p>𝜏𝐼𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>𝜁′ =</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>𝜏𝐼</p><p>𝜏𝑝</p><p>[√𝐾𝑐𝐾𝑝 +</p><p>1</p><p>√𝐾𝑐𝐾𝑝</p><p>]</p><p>(6.75)</p><p>(6.76)</p><p>𝐾𝑐 =</p><p>1</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝐹</p><p>𝜏𝐼 =</p><p>(𝜏𝑛</p><p>′ )2</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐹</p><p>Nas quais,</p><p>𝐹 = [2𝜁′</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝜏𝑛</p><p>′ − 1]</p><p>(6.77)</p><p>(6.78)</p><p>(6.79)</p><p>𝐹 deve ser maior que zero para manter os valores apropriados de 𝐾𝑐 e 𝜏𝐼.</p><p>Constante de tempo em malha fechada:</p><p>142</p><p>Os dois polos em malha fechada que correspondem a um fator de amortecimento de 0,4 e uma constante de tempo de 3 são</p><p>(-0,133 ± 0,306 j); portanto, a especificação da constante de tempo e do fator de amortecimento em malha fechada é</p><p>equivalente a selecionar os polos da resposta em malha fechada.</p><p>Exemplo 6.14. Considere um processo de primeira ordem e que uma resposta em malha fechada de primeira ordem seja</p><p>especificada.</p><p>Solução.</p><p>𝐹 = [2𝜁′</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝜏𝑛</p><p>′ − 1] = [2 × 0,4 ×</p><p>10</p><p>3</p><p>− 1] = 1,67;</p><p>𝐾𝑐 =</p><p>1</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝐹 =</p><p>1</p><p>3</p><p>× 1,67 = 0,556</p><p>𝜏𝐼 =</p><p>(𝜏𝑛</p><p>′ )2</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐹 =</p><p>32</p><p>10</p><p>× 1,67 = 1,50</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺des</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>des)</p><p>=</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>(1 −</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>)</p><p>=</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>× o denominador por (</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>)</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠</p><p>De modo que tem-se um controlador PI, no qual</p><p>𝐾𝑐 =</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′</p><p>𝜏𝐼 = 𝜏𝑝</p><p>143</p><p>Dado os parâmetros da função de transferência de primeira ordem (𝐾𝑝e 𝜏𝑝) e a constante de tempo de malha fechada desejada</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ , é necessário ajustar apenas um parâmetro para o controlador PI, 𝐾𝑐. Este é um bom resultado, porque uma vez que</p><p>encontramos a constante de tempo do processo 𝜏𝑝, podemos definir o tempo integral 𝜏𝐼 igual à constante de tempo e ajustar</p><p>𝐾𝑐 em operação até obter uma resposta desejada. Ajustar um único parâmetro do controlador é muito mais fácil do que ajustar</p><p>dois ou três.</p><p>A abordagem da síntese direta também permite entender o impacto dos componentes limitantes de desempenho em um</p><p>modelo de processo. Consideraremos três tipos de sistemas que introduzem componentes limitantes de desempenho em</p><p>modelos de processo: (1) sistemas com resposta inversa, (2) sistemas com tempo morto e (3) sistemas instáveis.</p><p>6.11.4.3.1. Sistemas com Resposta Inversa</p><p>Para sistemas com resposta inversa, 𝐺𝑐(𝑠) terá um polo na metade direita do plano complexo, devido ao zero do modelo. Isso</p><p>tornará o controlador instável. (Zeros na metade direita do plano complexo são "invertidos" e eles se tornam polos na metade</p><p>direta do plano complexo, que são instáveis). O único termo na equação que pode ser usado para remover este polo é 𝐺des(s).</p><p>Como resultado, 𝐺des(s) deve ser escolhido para neutralizar o zero de 𝐺𝑀(s), o que significa que a capacidade de escolher</p><p>𝐺des(s) sem restrições não existe mais.</p><p>Exemplo 6.15. Considere um processo com a seguinte função de transferência</p><p>O procedimento de síntese direta com 𝐺des(𝑠) =</p><p>1</p><p>9𝑠2+3𝑠+1</p><p>produz o controlador</p><p>𝐺𝑀(𝑠) =</p><p>3(1 − 1,5𝑠)</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>144</p><p>que é instável por causa do polo na metade direita do plano complexo. O polo na metade direita do plano complexo é devido</p><p>à inversão do zero do processo.</p><p>Uma abordagem para resolver esse problema é modificar 𝐺des(𝑠) como mostrado a seguir:</p><p>Observe que estamos introduzindo explicitamente o comportamento de resposta inversa em 𝐺des(𝑠); basicamente</p><p>modificando nossas expectativas para lidar com os componentes limitantes de desempenho no modelo. Então,</p><p>O controlador acaba por ser um controlador PID. Neste exemplo, houve um cancelamento polo-zero durante o cálculo de 𝐺𝑐(𝑠).</p><p>Cancelamentos polo-zero são, em geral, motivo de preocupação, pois a robustez do controlador projetado pode se tornar</p><p>limitada. Para entender se há problemas de robustez neste caso, vamos implementar o controlador em um processo verdadeiro.</p><p>Suponhamos que o processo verdadeiro seja:</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>1</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>3(1 − 1,5𝑠)</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>(1 −</p><p>1</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>)</p><p>=</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>3(1 − 1,5𝑠)(9𝑠2 + 3𝑠)</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠(𝑠) =</p><p>(1 − 1,5𝑠)</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>𝑑𝑒𝑠)</p><p>=</p><p>(1 − 1,5𝑠)</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>3(1 − 1,5𝑠)</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>(1 −</p><p>(1 − 1,5𝑠)</p><p>9𝑠2 + 3𝑠 + 1</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>13,5</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>8𝑠</p><p>+</p><p>15</p><p>8</p><p>𝑠)</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>3(1 − 𝛽𝑠)</p><p>(2𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)(5𝑠 + 1)</p><p>145</p><p>Aqui, assumimos que a localização exata do zero na metade direita do plano é incerta.</p><p>Agora, a equação característica para a malha mostrada na Figura 6.65b é:</p><p>Pode-se ver que a malha fechada é estável se:</p><p>Isso mostra que até 200 % de erro na localização do polo na metade direita do plano complexo pode ser tolerado pelo</p><p>controlador, demonstrando que todos os cancelamentos polo-zero não precisam resultar em dificuldades ou perda de robustez.</p><p>Além disso, isso também ilustra o fato bem conhecido de que o algoritmo PID é de fato eficaz para o controle de sistemas de</p><p>resposta inversa.</p><p>6.11.4.3.2. Sistemas com Tempo Morto</p><p>O tempo morto pode levar a graves limitações de desempenho. Todos nós podemos sentir o efeito do atraso de transporte em</p><p>nossas vidas diárias, quando tentamos garantir que a água do banho esteja na temperatura certa. Matematicamente, são</p><p>necessárias ideias interessantes para abordar sistemas com tempo morto. A presença de elementos de tempo morto no</p><p>denominador de uma função de transferência gera complexidades.</p><p>Considere um processo cuja função de transferência 𝐺𝑝(𝑠) é representada por</p><p>Para uma resposta em malha fechada desejada de primeira ordem 𝐺des(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠+1</p><p>, o controlador resultante é:</p><p>27𝑠2 + (13,5 − 3𝛽)𝑠 + 3</p><p>13,5 − 3𝛽 > 0 ⟹ 𝛽 < 4,5</p><p>𝐺𝑀(𝑠) =</p><p>2𝑒−3𝑠</p><p>5𝑠 + 1</p><p>146</p><p>que é um controlador PI com um termo adicional 𝑒3𝑠 . Este termo adicional não é fisicamente realizável, porque requer o</p><p>conhecimento de erros futuros para obter a ação de controle atual. Isso é claramente impossível. Isso é mostrado mais</p><p>claramente no domínio do tempo,</p><p>Como essa limitação pode ser tratada?</p><p>Vamos considerar um processo de primeira ordem com tempo morto, ou seja,</p><p>O tempo morto não é invertível. Se houver tempo morto no processo, ele não poderá ser removido por nenhum controlador</p><p>fisicamente realizável. Inevitavelmente, é necessário aceitar um tempo morto no desempenho da malha fechada. Assim,</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>2,5</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ (</p><p>5𝑠 + 1</p><p>5𝑠</p><p>) 𝑒3𝑠</p><p>𝑐(𝑡) =</p><p>2,5</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ [𝑒(𝑡 + 3) +</p><p>1</p><p>5</p><p>∫ 𝑒(𝑡∗ + 3)𝑑𝑡∗</p><p>𝑡</p><p>0</p><p>]</p><p>Observe que a ação de controle no tempo 𝑡 depende do erro no tempo 𝑡 + 3,</p><p>o que é claramente</p><p>impossível de implementar.</p><p>𝐺𝑀(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝𝑒</p><p>−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠(𝑠) =</p><p>𝑒−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>Então,</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝑈(𝑠)</p><p>𝐸(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>𝑑𝑒𝑠)</p><p>=</p><p>𝑒−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝑒</p><p>−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>(1 −</p><p>𝑒−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>)</p><p>=</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝</p><p>×</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1 − 𝑒−𝜃𝑠</p><p>147</p><p>A presença de 𝑒−𝜃𝑠 no denominador da Equação 6.80 gera complexidades e precisamos explorar outras abordagens.</p><p>Vamos reescrever a Equação 6.80 como:</p><p>Na qual, 𝐺𝑀</p><p>∗ é o modelo do processo sem tempo morto. Agora,</p><p>A análise da Equação 6.82 revela que o termo fora dos colchetes representa um controlador PI da forma:</p><p>Portanto,</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝(𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1 − 𝑒−𝜃𝑠)</p><p>𝐸(𝑠) (6.80)</p><p>𝑈(𝑠)𝐾𝑝(𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1 − 𝑒−𝜃𝑠) = (𝜏𝑝𝑠 + 1)𝐸(𝑠)</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠) = 𝐸(𝑠) −</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠) +</p><p>𝐾𝑝𝑒</p><p>−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠)</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠) = 𝐸(𝑠) − (𝐺𝑀</p><p>∗ − 𝐺𝑀)𝑈(𝑠)</p><p>(6.81)</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>[𝐸(𝑠) − (𝐺𝑀</p><p>∗ − 𝐺𝑀)𝑈(𝑠)] (6.82)</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝑝𝑠</p><p>) (6.83)</p><p>O ganho do controlador é</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ e o tempo integral é 𝜏𝑝.</p><p>148</p><p>O termo adicional dentro dos colchetes da Equação 6.82, além de 𝐸(𝑠), corrige o termo do erro, usando informações do</p><p>modelo. O controlador (Equação 6.82) é mostrado em um diagrama de blocos de malha fechada na Figura 6.66.</p><p>A Figura 6.66 usa explicitamente as informações do modelo nos cálculos do controlador, um precursor do controle por modelo</p><p>interno (CMI). Essa estrutura também é chamada de preditor de Smith.</p><p>𝐺des(𝑠) para esta estrutura da Figura 6.66 é</p><p>𝑒−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠+1</p><p>, sendo o modelo uma réplica perfeita do processo (propriedade da</p><p>abordagem da síntese direta). Agora, se o modelo é perfeito, então 𝐺𝑝(𝑠) = 𝐺𝑀(𝑠) e 𝑌(𝑠) = 𝐺𝑝(𝑠)𝑈𝑠) = 𝐺𝑀(𝑠)𝑈(𝑠). A partir</p><p>disso:</p><p>Figura 6.66. Preditor de Smith; Controle por modelo interno</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>[𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑌(𝑠) − (𝐺𝑀</p><p>∗ − 𝐺𝑀)𝑈(𝑠)]</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>[𝑌𝑠𝑝(𝑠)− 𝐺𝑀𝑈(𝑠) − (𝐺𝑀</p><p>∗ − 𝐺𝑀)𝑈(𝑠)]</p><p>149</p><p>Na qual 𝐸∗(𝑠) é o erro que resultaria se o modelo fosse perfeito e não tivesse tempo morto. Este resultado poderia ter sido</p><p>alcançado com 𝑌𝑑𝑒𝑠</p><p>∗ =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠+1</p><p>. Em outras palavras, no preditor de Smith, o controlador atua apenas no elemento do tempo morto</p><p>removido.</p><p>O bloco preditor de Smith, mostrado na Figura 6.66, é equivalente ao mostrado na Figura 6.67. Aqui, o termo de tempo morto</p><p>foi movido para fora da malha. Obviamente, quando há uma incompatibilidade entre o processo e o modelo, o diagrama de</p><p>blocos não pode ser simplificado assim.</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>[𝑌𝑠𝑝(𝑠)− 𝐺𝑀</p><p>∗ 𝑈(𝑠)]</p><p>Fazendo,</p><p>𝐸∗(𝑠) = 𝑌𝑠𝑝(𝑠)− 𝐺𝑀</p><p>∗ 𝑈(𝑠)</p><p>Tem-se:</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>𝐸∗(𝑠)</p><p>Figura 6.67. Preditor de Smith para modelo exato.</p><p>150</p><p>6.11.4.3.2.1. Anexo A- O Preditor de Smith</p><p>O chamado “previsor de Smith” foi desenvolvido por O. J. M. Smith na década de 1950, como uma modificação de um</p><p>controlador PI ou PID para aumentar a estabilidade e o desempenho do sistema de malha fechada na presença de tempo morto.</p><p>Ao longo dos anos, o previsor Smith encontrou inúmeras aplicações e tornou-se um padrão industrial para o controle de</p><p>processos com grandes tempos mortos. A ideia é muito intuitiva e será descrita a seguir.</p><p>Considere um processo com tempo morto, com descrição da função de transferência</p><p>𝐺(𝑠) = 𝐺0(𝑠)𝑒</p><p>−𝜃𝑠 (A1)</p><p>Na qual, 𝐺0(𝑠) é uma função racional (razão de dois polinômios). Esta é também mostrada na Figura A1a, onde o tempo morto</p><p>é indicado como estando em série com o restante da função de transferência. A medição 𝑦 está atrasada; está “atrás” da variável</p><p>intermediária 𝑧, que gostaríamos de poder medir, mas não podemos. No entanto, como a entrada do processo é conhecida, é</p><p>possível estimar “a que distância” 𝑦 está de 𝑧.</p><p>Combinando a descrição da função de transferência do processo</p><p>𝑌(𝑠) = 𝐺0(𝑠)𝑒</p><p>−𝜃𝑠𝑈(𝑠)</p><p>Com a descrição da função de transferência para a variável intermediária</p><p>𝑍(𝑠) = 𝐺0(𝑠)𝑈(𝑠)</p><p>podemos imediatamente derivar sua diferença:</p><p>𝑍(𝑠) − 𝑌(𝑠) = 𝐺0(𝑠)(1 − 𝑒</p><p>−𝜃𝑠)𝑈(𝑠)</p><p>151</p><p>Essa diferença pode ser calculada online e adicionada ao sinal de medição 𝑌(𝑠), para gerar uma estimativa online do sinal</p><p>intermediário 𝑍(𝑠):</p><p>𝑌∗(𝑠) = 𝐺0(𝑠)(1 − 𝑒</p><p>−𝜃𝑠)𝑈(𝑠) + 𝑌(𝑠) (A2)</p><p>Este é o preditor de Smith. O sinal 𝑌∗(𝑠) é calculado online a partir dos sinais de entrada e saída do processo e do modelo do</p><p>processo, e representa uma estimativa de 𝑍(𝑠)).</p><p>O sinal 𝑦∗ também representa uma predição da saída 𝑦, 𝜃 unidades de tempo à frente.</p><p>Porque 𝑦(𝑡) = 𝑧(𝑡 − 𝜃) e 𝑦∗(𝑡) = 𝑧(𝑡), segue que 𝑦∗(𝑡) = 𝑡(𝑡 + 𝜃).</p><p>É por isso que é chamado de “preditor”.</p><p>Considere agora um processo estável com função de transferência da forma da Equação 𝐀𝟏. Se um preditor Smith for usado</p><p>para calcular a saída prevista 𝑦∗, isso pode ser alimentado a um controlador do tipo PI ou PID padrão, que controlará 𝑦∗ para o</p><p>setpoint e, portanto, 𝑦 para o setpoint. Isso é representado na Figura A2.</p><p>Figura A1. (a) Um processo com tempo morto. (b) O preditor de Smith.</p><p>152</p><p>Simplificando o diagrama de blocos da Figura A2, encontramos a descrição da função de transferência do sistema em malha</p><p>fechada:</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐺𝑐</p><p>∗(𝑠)𝐺0(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐</p><p>∗(𝑠)𝐺0(𝑠)</p><p>𝑒−𝜃𝑠𝑌𝑠𝑝(𝑠) + (1 −</p><p>𝐺𝑐</p><p>∗(𝑠)𝐺0(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐</p><p>∗(𝑠)𝐺0(𝑠)</p><p>𝑒−𝜃𝑠)𝐷(𝑠) (A3)</p><p>Observação:</p><p>Uma característica distintiva da aplicação do preditor de Smith é que os resultados são radicalmente afetados por erros de</p><p>modelagem. Se a descrição matemática do processo for imprecisa ou mudar durante a operação, pode ser difícil ou impraticável</p><p>usar a estratégia de controle preditiva de Smith.</p><p>Figura A2. sistema de controle feedback para um processo com</p><p>tempo morto, usando o preditor de Smith.</p><p>153</p><p>6.11.4.3.2.2. Anexo B - Inversão de Função de Transferência com Tempo Morto no Denominador</p><p>Vamos considerar possíveis métodos aproximados, usando apenas frações parciais. Uma simples expansão em série de Taylor</p><p>é:</p><p>Retendo apena um termo (aproximação linear), então:</p><p>Essa aproximação pode ser usada na Equação 6.80 e uma abordagem de expansão em fração parcial pode ser empregada. Isso</p><p>às vezes pode levar a resultados grosseiramente inadequados, pois estamos substituindo um número grande de raízes por</p><p>apenas uma única raiz no que diz respeito a 𝑒−𝜃𝑠. Uma melhor aproximação é a aproximação de Padé, Equações 5.31 e 5.32.</p><p>O termo 𝑒−𝜃𝑠 pode ser substituído por uma aproximação de Padé e uma expansão em fração parcial pode ser usada para a</p><p>inversão da função de transferência. Esta aproximação é usada extensivamente na análise de sistemas de controle. Vamos agora</p><p>descrever como essa inversão pode ser feita sem aproximações. Considere a Equação 6.81:</p><p>𝑒−𝜃𝑠 = 1 − 𝜃𝑠 +</p><p>(𝜃𝑠)2</p><p>2!</p><p>−</p><p>(𝜃𝑠)3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>𝑒−𝜃𝑠 = 1 − 𝜃𝑠</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠) = 𝐸(𝑠) −</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠) +</p><p>𝐾𝑝𝑒</p><p>−𝜃𝑠</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝑈(𝑠)</p><p>𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝(𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>𝐸(𝑠) +</p><p>𝑒−𝜃𝑠</p><p>(𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>𝑈(𝑠)</p><p>Fazendo,</p><p>𝑒−𝜃𝑠𝑈(𝑠) = 𝑈𝑑(𝑠)</p><p>Tem-se: 𝑈(𝑠) =</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝(𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>𝐸(𝑠) +</p><p>1</p><p>(𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>𝑈𝑑(𝑠) (6.84)</p><p>154</p><p>O primeiro termo pode ser invertido e o segundo termo também pode ser invertido. Como 𝑈𝑑(𝑠) = 𝑒</p><p>−𝜃𝑠𝑈(𝑠);</p><p>𝑢𝑑(𝑡) = 𝑢𝑑(𝑡 − 𝜃). Em outras palavras, para calcular a entrada no tempo 𝑡, são necessárias informações sobre o erro até o</p><p>tempo t e a entrada até o tempo 𝑡 − 𝜃, ambas sempre disponíveis. Esse entendimento pode ser resumido na Figura 6.68, onde</p><p>as entradas 𝐸(𝑠) e 𝑈𝑑(𝑠) são conhecidas</p><p>para o cálculo de 𝑈(𝑠).</p><p>A conceituação discutida na Figura 6.68 (embora adequada para a realização do controlador) não é útil porque a estabilidade</p><p>de 𝑈(𝑠) depende de 𝑈𝑑(𝑠) , que não pode ser decidida a priori.</p><p>Figura 6.68. Inversão da função de transferência com</p><p>tempo morto sem aproximação.</p><p>155</p><p>6.11.4.3.3. Sistemas Instáveis</p><p>Considere o seguinte modelo de processo instável de primeira ordem:</p><p>Vamos supor que:</p><p>Este é um controlador PI com um 𝜏𝐼 negativo. Então, parece que alguém pode estabilizar uma planta instável, usando um</p><p>controlador estável:</p><p>Existe um polo em 𝑠 = −1/𝜏𝑝</p><p>′ e, portanto, a malha fechada é estável. Neste caso (diferentemente do caso de resposta inversa),</p><p>o cancelamento polo-zero é entre as funções de transferência do controlador e do processo. Isso pode levar a problemas de</p><p>estabilidade. Para ver isso, vamos supor que o processo é diferente do modelo:</p><p>𝐺𝑀(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 − 1</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>𝑑𝑒𝑠)</p><p>=</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 − 1</p><p>(1 −</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>)</p><p>=</p><p>𝜏𝑝𝑠 − 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>1 + 𝐺𝑀(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) = 1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 − 1</p><p>×</p><p>𝜏𝑝𝑠 − 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>=</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>𝐺𝑃(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>′′𝑠 − 1</p><p>156</p><p>Agora, a função de transferência em malha fechada é:</p><p>Observe que este sistema é instável porque a equação característica (numerador de 1 + 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠)) tem pelo menos um</p><p>coeficiente negativo (condição necessária da tabela de Routh). Tínhamos visto um cancelamento polo-zero antes, mas isso não</p><p>levou a nenhum problema de estabilidade. Isso foi para sistemas de resposta inversa onde introduzimos um zero na metade</p><p>direita do plano complexo em 𝐺des que cancelou o zero da metade direita do plano complexo do processo. A diferença entre</p><p>esses dois casos é que não há cancelamento polo-zero entre o processo e o controlador no caso de resposta inversa, enquanto</p><p>para o caso instável que é discutido aqui, existe um. Assim, uma ideia para gerar um controlador estabilizável com certa robustez</p><p>para lidar com a incerteza, neste caso, é realizar um cancelamento polo-zero na equação de projeto do controlador. Ou seja,</p><p>uma vez que:</p><p>pode-se tentar escolher um</p><p>𝐺des</p><p>(1−𝐺des)</p><p>que tenha um polo exatamente em 1/𝜏𝑝. A razão para isso é que o controlador deixará de</p><p>ter um zero em 1/𝜏𝑝 e, portanto, o cancelamento polo-zero entre o controlador e o processo na derivação da função de</p><p>transferência em malha fechada será evitado. Uma abordagem para fazer isso é modificar 𝐺des =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠+1</p><p>, adicionando um zero</p><p>extra e um polo na metade esquerda do plano complexo, que é:</p><p>1 + 𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) = 1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>′′𝑠 − 1</p><p>×</p><p>𝜏𝑝𝑠 − 1</p><p>𝐾𝑝𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>=</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠(𝜏𝑝</p><p>′′𝑠 − 1) + (𝜏𝑝𝑠 − 1)</p><p>(𝜏𝑝</p><p>′′𝑠 − 1)𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>𝑑𝑒𝑠)</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠 =</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝2</p><p>′ 𝑠 + 1)(𝜏𝑝3</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>157</p><p>Agora se escolhermos:</p><p>Assim,</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>(1 − 𝐺𝑑𝑒𝑠)</p><p>=</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝2</p><p>′ 𝑠 + 1)(𝜏𝑝3</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>(1 −</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝2</p><p>′ 𝑠 + 1)(𝜏𝑝3</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>)</p><p>=</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>[𝜏𝑝2</p><p>′ 𝜏𝑝3</p><p>′ 𝑠2 − 𝑠(𝜏𝑝1</p><p>′ − 𝜏𝑝2</p><p>′ − 𝜏𝑝3</p><p>′ )]</p><p>=</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝1</p><p>′ − 𝜏𝑝2</p><p>′ − 𝜏𝑝3</p><p>′ )𝑠 (</p><p>𝜏𝑝2</p><p>′ 𝜏𝑝3</p><p>′</p><p>(𝜏𝑝1</p><p>′ − 𝜏𝑝2</p><p>′ − 𝜏𝑝3</p><p>′ )</p><p>𝑠 − 1)</p><p>𝜏𝑝 =</p><p>𝜏𝑝2</p><p>′ 𝜏𝑝3</p><p>′</p><p>(𝜏𝑝1</p><p>′ − 𝜏𝑝2</p><p>′ − 𝜏𝑝3</p><p>′ )</p><p>Pode-se ver que um polo foi introduzido em</p><p>𝐺des</p><p>(1−𝐺des)</p><p>em 1/𝜏𝑝. Então, a função de transferência do controlador 𝐺𝑐(𝑠) se</p><p>torna:</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>(𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1)</p><p>𝐾𝑝𝑠(𝜏𝑝1</p><p>′ − 𝜏𝑝2</p><p>′ − 𝜏𝑝3</p><p>′ )</p><p>Com 𝜏𝑝</p><p>′ = 𝜏𝑝1</p><p>′ − 𝜏𝑝2</p><p>′ − 𝜏𝑝3</p><p>′ , temos:</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝</p><p>′𝐾𝑝𝑠</p><p>(𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠 + 1) =</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′</p><p>𝜏𝑝</p><p>′𝐾𝑝</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′ 𝑠</p><p>)</p><p>Isso pode ser reconhecido como um controlador PI com:</p><p>𝐾𝑐 =</p><p>𝜏𝑝1</p><p>′</p><p>𝜏𝑝</p><p>′𝐾𝑝</p><p>; 𝜏𝐼 = 𝜏𝑝1</p><p>′</p><p>(6.85)</p><p>158</p><p>A Tabela 6.5. apresenta um resumo das diferentes dinâmicas, problemas e estratégias para resolver os</p><p>problemas com elementos que limitam o desempenho.</p><p>159</p><p>6.11.4.4. Controle por Modelo Interno</p><p>Na formulação do controlador por modelo interno (CMI), o controlador, q(s), é baseado diretamente na parte "boa" da função</p><p>de transferência do processo. A formulação do CMI, geralmente resulta em apenas um parâmetro de sintonia, a constante de</p><p>tempo de malha fechada (𝜆, o fator de filtro do CMI). Os parâmetros de sintonia PID, baseados em CMI, então, são uma função</p><p>desta constante de tempo de malha fechada. A seleção da constante de tempo em malha fechada está diretamente relacionada</p><p>à robustez (sensibilidade ao erro do modelo) do sistema em malha fechada. Além disso, para processos instáveis em malha</p><p>aberta, é necessário implementar a estratégia do CMI na forma feedback padrão, pois o CMI sofre problemas internos de</p><p>estabilidade.</p><p>Considere a Equação</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺des</p><p>𝐺𝑀(1 − 𝐺</p><p>des)</p><p>(6.86)</p><p>Esta pode ser reescrita como:</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀</p><p>(1 −</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀</p><p>𝐺𝑀)</p><p>(6.87)</p><p>Vamos definir 𝑄(𝑠) (controlador CMI):</p><p>𝑄(𝑠) =</p><p>𝐺𝑑𝑒𝑠</p><p>𝐺𝑀</p><p>Substituindo a Equação 6.88 na Equação 6.87, obtemos a estrutura do CMI na forma feedback padrão, Equação 6.89.</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝑄(𝑠)</p><p>1 − 𝑄(𝑠)𝐺𝑀</p><p>(6.88)</p><p>(6.89)</p><p>160</p><p>𝐺𝑐(𝑠) pode ser representado em um diagrama de blocos como mostrado na Figura 6.69. A inserção dessa na malha de controle</p><p>feedback leva à Figura 6.70.</p><p>O diagrama de blocos mostrado na Figura 6.69 é a estrutura do CPMI. No CPMI, um controlador clássico equivalente 𝐺𝑐(𝑠)</p><p>também inclui entradas de um modelo interno do processo (Figura 6.70). O mesmo diagrama de blocos também pode ser</p><p>visualizado na Figura 6.71.</p><p>Figura 6.69. Conexão entre</p><p>controladores clássicos e CMI.</p><p>Figura 6.70. Malha fechada com</p><p>interpretação CMI do controlador clássico.</p><p>161</p><p>A partir da Figura 6.71 pode-se observar que o CMI atua em um termo de erro diferente daquele utilizado no controlador</p><p>clássico. A diferença entre o modelo que é usado para derivar o controlador e a saída real do processo é explicitamente</p><p>contabilizada nessa estrutura. O projeto do CMI é bastante simples. Na literatura tradicional do CMI, o filtro 𝐹(𝑠) é usado para</p><p>indicar 𝐺des e usaremos essa notação aqui:</p><p>Basicamente, a estrutura do CMI pede a um controlador que inverta o modelo de processo 1/𝐺𝑀 e adicione um filtro a ele.</p><p>Agora, este ponto de vista ilustra o efeito dos fatores limitantes de desempenho do controle feedback. Se houver um zero na</p><p>metade direita do plano complexo do modelo de processo, então ele se tornará um polo na metade direita do plano complexo</p><p>em 𝑄(𝑠), tornando-o instável. Como resultado, a inversão exata não é possível. Considere um elemento de tempo morto 𝑒−𝜃𝑠</p><p>no processo. Se invertermos isso, então 𝑄(𝑠) dependerá de valores futuros tornando-o irrealizável. Novamente, a inversão</p><p>completa não é possível. A ideia do filtro também é intuitiva. Se um processo for estritamente próprio (grau do numerador</p><p>Figura 6.70. Malha fechada com interpretação</p><p>Figura 6.71. Diagrama de blocos de processo com CMI implementado: uma representação diferente.</p><p>𝑄(𝑠) =</p><p>𝐹(𝑠)</p><p>𝐺𝑀(𝑠)</p><p>(6.90)</p><p>162</p><p>menor do que o do denominador), o controlador inverso se tornará impróprio (ordem do numerador maior que a do</p><p>denominador). Como gostaríamos que o processo e o controlador fossem estritamente próprios, um filtro precisa ser</p><p>adicionado. Com base nesta discussão, o procedimento para o projeto do CMI torna-se natural e simples. Dado um modelo 𝐺𝑀,</p><p>escreva-o como:</p><p>𝐺𝑀</p><p>𝐼 é a parte invertível do modelo e 𝐺𝑀</p><p>𝑁𝐼 é a parte não invertível do modelo.</p><p>Agora, projete um controlador de modelo interno 𝑄(𝑠) = 𝐹/𝐺𝑀</p><p>𝐼 , enquanto escolhe um 𝐹(𝑠) que torna 𝑄(s) estritamente</p><p>própria. Vamos ilustrar esse processo, usando um exemplo simples. Considere o modelo de processo de resposta inversa:</p><p>𝐺𝑀 = 𝐺𝑀</p><p>𝐼 × 𝐺𝑀</p><p>𝑁𝐼 (6.91)</p><p>𝐺𝑀 =</p><p>𝐾𝑝(1 − 𝛼𝑠)</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>Neste caso,</p><p>𝐺𝑀</p><p>𝐼 =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐺𝑀</p><p>𝑁𝐼 = 1 − 𝛼𝑠</p><p>Agora,</p><p>𝑄(𝑠) =</p><p>𝐹(𝑠)(𝜏𝑝𝑠 + 1)</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝐹 =</p><p>1</p><p>(𝜆𝑠 + 1)2</p><p>Portanto,</p><p>𝑄(𝑠) =</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)</p><p>𝐾𝑝</p><p>×</p><p>1</p><p>(𝜆𝑠 + 1)2</p><p>163</p><p>Embora seja possível implementar diretamente o CMI com um modelo em uma malha de controle, como mostrado na Figura</p><p>6.65, também é possível projetar um controlador clássico baseado no CMI, ou seja,</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝑄(𝑠)</p><p>1 − 𝑄(𝑠)𝐺𝑀(𝑠)</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)</p><p>𝐾𝑝</p><p>×</p><p>1</p><p>(𝜆𝑠 + 1)2</p><p>1 −</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)</p><p>𝐾𝑝</p><p>×</p><p>1</p><p>(𝜆𝑠 + 1)2</p><p>×</p><p>𝐾𝑝(1 − 𝛼𝑠)</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)</p><p>𝑠𝐾𝑝(2𝜆 + 𝛼)</p><p>×</p><p>1</p><p>(</p><p>𝜆2𝑠</p><p>2𝜆 + 𝛼</p><p>+ 1)</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝑘</p><p>′ (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝑝𝑠</p><p>) (</p><p>1</p><p>𝜆′𝑠 + 1</p><p>)</p><p>Na qual,</p><p>𝑘′ =</p><p>𝜏𝑝</p><p>𝐾𝑝(2𝜆 + 𝛼)</p><p>; 𝜆′ =</p><p>𝜆2</p><p>2𝜆 + 𝛼</p><p>164</p><p>Vale a pena fornecer uma perspectiva para o filtro que é onipresente no projeto do CMI. O filtro basicamente resulta em</p><p>redução de desempenho. Isso pode ser facilmente entendido se considerarmos a Figura 6.72, onde um degrau em 𝑌𝑠𝑝 é</p><p>representado. Sem filtro, o degrau será enviado diretamente ao controlador e o controlador será solicitado a seguir este perfil.</p><p>No entanto, com um filtro, o controlador receberá um sinal menos agressivo, com o qual o controlador pode lidar. O filtro</p><p>decide o quanto o perfil do degrau é modificado, levando a um comprometimento do desempenho. Finalmente, vemos que a</p><p>ideia do CMI também pode levar a parâmetros de sintonia de controlador PI e, portanto, essa é outra abordagem para sintonizar</p><p>controladores PID.</p><p>A estrutura de controle clássica do caso anterior pode ser reconhecida como um filtro seguido por um controlador PI,</p><p>levando a um diagrama de blocos mostrado na Figura 6.72.</p><p>Figura 6.72. Filtro em um diagrama de blocos de processo.</p><p>165</p><p>Também é interessante notar que geralmente se deseja que o controlador final esteja na forma PID ou filtro + PID mesmo</p><p>quando o projeto CMI é seguido. Vale ressaltar que não é difícil implementar qualquer estrutura de CMI em um SDCD moderno.</p><p>No entanto, qualquer novo código precisa passar por testes extensivos em um ambiente industrial e isso pode introduzir</p><p>verificações adicionais e, uma vez implementado, os engenheiros da planta podem não se sentir à vontade com diferentes</p><p>formas de controladores. Se o controlador estiver em um formato padrão, isso pode ser evitado e, portanto, o desejo pelo</p><p>formato PID. A Tabela 6.6 mostra as regras de sintonia de CMI de controladores PID para diferentes modelos de função de</p><p>transferência.</p><p>6.1. Função de Transferência em Malha Fechada de um Sistema de Controle Feedback SISO</p><p>6.1.1. Diagrama de Blocos da Malha Feedback</p><p>6.1.2. Redução de Diagramas de Blocos</p><p>6.1.2.1. Manipulações algébricas feitas graficamente</p><p>6.1.2.1. Manipulações feitas por equações algébricas</p><p>6.2. Dinâmica de processos controlados pelo Sistema de Controle Feedback</p><p>6.2.1. Estudo de Diferentes Ações de Controle</p><p>6.2.1.1. Influência da Ação Proporcional</p><p>6.2.1.1.1. Características Fundamentais da Ação Proporcional</p><p>6.1.1.2. Influência da Ação Integral</p><p>6.1.1.2.1. Características Fundamentais da Ação Integral</p><p>6.1.1.3. Influência da Ação Derivada</p><p>6.1.1.3.1. Características Fundamentais da Ação Derivativa</p><p>6.2.2. Resumo das Características dos Controladores</p><p>6.3. Escolha do Modo Apropriado de um Controlador PID</p><p>6.3.1. Controle P-puro</p><p>6.3.2. Controle PI</p><p>6.3.3. Controle PID</p><p>6.3.4. Controle PD</p><p>6.4. Malhas de Controle Comumente Encontradas</p><p>6.4.1. Malha de Controle de Vazão</p><p>6.4.2. Malha de Controle de Nível</p><p>6.4.3. Malha de Controle de Pressão</p><p>6.4.4. Malha de Controle de Temperatura</p><p>6.4.5. Malha de Controle de Composição</p><p>6.4.6. Malha de Controle de Oxigênio Dissolvido</p><p>6.4.7. Controlador de Biomassa</p><p>6.5. Estabilidade dos Sistemas de controle em Malha Fechada</p><p>6.5.1. Uma Pequena Revisão - resposta em malha aberta e em malha fechada, considerando variação no setpoint ou na perturbação</p><p>6.5.2. Análise de Estabilidade</p><p>6.5.2.1. Critério de Routh</p><p>6.5.2.1. Método de Substituição Direta</p><p>6.6. Análise do Lugar das Raízes</p><p>6.6.1. Método Gráfico - Regras para Desenhar o Local das Raízes</p><p>6.6.2. Método Numérico</p><p>6.7. Medidas Práticas de Estabilidade</p><p>6.7.1. Margem de Fase</p><p>6.7.2. Margem de Ganho</p><p>6.7.3. Margem de Atraso</p><p>6.8. Critério de Estabilidade de Nyquist</p><p>6.9. Critério de Estabilidade com base nos Gráficos de Bode</p><p>6.10. Comportamento e Sintonia de Controladores PID</p><p>6.10.1. Introdução</p><p>6.10.2. Efeito dos Parâmetros de Sintonia para o Controle P-puro</p><p>6.10.2.1. Dinâmica de um controlador P-puro, aplicado a um processo de primeira ordem</p><p>6.10.2.2. Dinâmica de um controlador P-puro aplicado a um processo de segunda ordem</p><p>6.10.2.3. Dinâmica de um controlador P-puro aplicado a um processo de POMTM</p><p>6.10.3. Efeito dos Parâmetros de Sintonia para o Controle PI</p><p>6.10.3.1. Efeito de Kc sobre a Dinâmica em Malha Fechada para um Controlador PI, Aplicado a um Modelo de POMTM de um processo</p><p>6.10.3.2. Efeito de ,𝝉-𝑰. sobre as Dinâmicas em Malha Fechada para um Controlador PI Aplicado a um Modelo POMTM de um Processo</p><p>6.10.4. Efeito de Parâmetros de Sintonia para Controle PID</p><p>6.11. Projeto e Sintonia dos Controladores PID</p><p>6.11.1. Escolha do Tipo de Controlador</p><p>6.11.2. Critérios de desempenho</p><p>6.11.3. Critérios de Desempenho para Projeto</p><p>6.11.4. Sintonia de Controladores Feedback</p><p>6.11.4.1. Resposta do Controlador</p><p>6.11.4.2. Métodos Clássicos de Sintonia</p><p>6.11.4.2.1. Método de Cohen-Coon</p><p>6.11.4.2.2. Método de Ziegler-Nichols</p><p>6.11.4.2.3. Sintonia de Cianeone-Marlin</p><p>6.11.4.2.3. Comentários gerais</p><p>6.11.4.3. Sintonia do Controlador pela Especificação de Polo ou Síntese Direta</p><p>6.11.4.3.1. Sistemas com Resposta Inversa</p><p>6.11.4.3.2. Sistemas com Tempo Morto</p><p>6.11.4.3.2.1. Anexo A- O Preditor de Smith</p><p>6.11.4.3.2.2. Anexo B - Inversão de Função de Transferência com Tempo Morto no Denominador</p><p>6.11.4.3.3. Sistemas Instáveis</p><p>6.11.4.4. Controle por Modelo Interno</p><p>Figura 6.2. Conexão serial</p><p>𝐺(𝑠) =</p><p>𝑌(𝑠)</p><p>𝑈(𝑠)</p><p>= 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)</p><p>𝐺(𝑠) = 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)⋯𝐺𝑛(𝑠)</p><p>8</p><p>∎ Conexão Paralela</p><p>A conexão paralela é caracterizada por uma variável de entrada para todos os sistemas.</p><p>A variável de saída é dada como a soma das saídas parciais, Figura 6.3. A conexão paralela é caracterizada pelas equações:</p><p>Figura 6.3. Conexão paralela</p><p>𝑌1(𝑠) = 𝑈(𝑠)𝐺1(𝑠)</p><p>𝑌2(𝑠) = 𝑈(𝑠)𝐺2(𝑠)</p><p>𝑌(𝑠) = 𝑌1(𝑠) + 𝑌2(𝑠)</p><p>⟹ 𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠)[𝐺1(𝑠) + 𝐺2(𝑠)] e 𝐺(𝑠) = 𝐺1(𝑠) + 𝐺2(𝑠)</p><p>Em geral, 𝐺(𝑠) =∑𝐺𝑖(𝑠)</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>9</p><p>∎ Regra para Mover o Ponto de Ramificação</p><p>Quando o ponto de ramificação é movido contra a direção do sinal anterior, o ramo movido deve conter todos os blocos que</p><p>estão entre o ponto de ramificação original e o novo, Figura 6.4.</p><p>A situação oposta é quando o ponto de ramificação é movido na direção do fluxo do sinal. Neste caso, o ramo movido contém</p><p>inversos dos blocos relevantes, Figura 6.5.</p><p>Figura 6.4. Movimento do ponto de ramificação contra a direção dos sinais.</p><p>Figura 6.5. Deslocamento do ponto de ramificação na direção dos sinais</p><p>10</p><p>∎ Regra para Movimentação do Ponto de Soma</p><p>A movimentação do ponto de soma é uma ação inversa à movimentação do ponto de ramificação. As regras são mostradas nas</p><p>Figuras 6.6 e 6.7.</p><p>Figura 6.6. Movimento do ponto de soma na direção dos sinais.</p><p>Figura 6.7. Movimento do ponto de soma contra a direção dos sinais.</p><p>11</p><p>∎ Conexão Feedback</p><p>A conexão feedback de dois blocos ocorre quando as variáveis de saída de cada bloco são realimentadas como a entrada do</p><p>outro bloco, Figura 6.8.</p><p>A conexão feedback é caracterizada pelas equações:</p><p>O sinal de menos na Equação acima corresponde ao feedback negativo e o sinal de mais ao feedback positivo.</p><p>A partir dessas equações segue:</p><p>Figura 6.8. Conexão feedback.</p><p>𝑌(𝑠) = 𝐺1(𝑠)𝐸(𝑠)</p><p>𝑌1(𝑠) = 𝐺2(𝑠)𝑌(𝑠)</p><p>𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) ∓ 𝑌1(𝑠)</p><p>𝑌1(𝑠) = 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐸(𝑠)</p><p>𝐸(𝑠) =</p><p>1</p><p>1 ± 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)</p><p>𝑈(𝑠)</p><p>12</p><p>A função de transferência global é então dada como:</p><p>A função de transferência feedback é uma razão com o numerador dado como o produto das funções de transferência entre os</p><p>sinais de entrada e saída e com o denominador dado como uma soma (feedback negativo) ou diferença (feedback positivo) de</p><p>1 e como o produto das funções de transferência da malha, ou seja:</p><p>6.1.2.1. Manipulações feitas por equações algébricas</p><p>A base da álgebra de diagramas de blocos está relacionada às propriedades de uma sequência de funções de transferência e</p><p>algumas funções de sinal simples.</p><p>∎ Uma Série de Funções de Transferência</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐺1(𝑠)</p><p>1 ± 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)</p><p>𝑈(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)</p><p>𝐺(𝑠) =</p><p>𝐺1(𝑠)</p><p>1 ± 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)</p><p>𝐺(𝑠) =</p><p>∏(𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 → 𝑆𝑎í𝑑𝑎)</p><p>1 + ∏(𝑀𝑎𝑙ℎ𝑎)</p><p>Figura 6.9. Esquema de uma série geral de funções de transferência.</p><p>13</p><p>Para a sequência generalizada na Figura 6.9, tem-se:</p><p>A função de transferência global para uma sequência de funções de transferência é simplesmente o produto das funções de</p><p>transferência na sequência. Considerando a Figura 6.9, a função de transferência global é:</p><p>Para o Esquema de blocos nº 2, Figura 6.3, que contém somente uma função de transferência, a equação da transformada de</p><p>Laplace é:</p><p>∎ Propriedades de uma Função Soma</p><p>Considerando as Figuras 6.10a e 6.10b, respectivamente, tem-se:</p><p>𝐺𝑖(𝑠) =</p><p>𝑌𝑖+1(𝑠)</p><p>𝑌𝑖(𝑠)</p><p>; para a relação entre 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠), tem-se: 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠) =</p><p>𝑌2(𝑠)</p><p>𝑌1(𝑠)</p><p>𝑌3(𝑠)</p><p>𝑌2(𝑠)</p><p>=</p><p>𝑌3(𝑠)</p><p>𝑌1(𝑠)</p><p>𝐺𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 =</p><p>𝑌𝑛+1(𝑠)</p><p>𝑌1(𝑠)</p><p>= 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)⋯𝐺𝑛(𝑠)</p><p>𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)</p><p>Figura 6.10. Exemplos de funções soma para diagramas de blocos.</p><p>𝑌1(𝑠) + 𝑌2(𝑠) = 𝑌3(𝑠) e 𝑌1(𝑠) − 𝑌2(𝑠) = 𝑌3(𝑠)</p><p>14</p><p>∎ Divisor de sinal</p><p>Para um divisor de sinal, Figura 6.11, a seguinte relação é válida:</p><p>Exemplo 6.1. Encontre a função de transferência em malha fechada 𝑌/𝑌𝑠𝑝 para o sistema da Figura 6.12.</p><p>Solução:</p><p>A chave para este problema é seguir em etapas e “desatar” os laços sobrepostos primeiro.</p><p>Identificar localizações ajuda na solução:</p><p>Etapa 1.</p><p>𝑌1(𝑠) = 𝑌2(𝑠) = 𝑌3(𝑠)</p><p>Figura 6.12</p><p>15</p><p>Etapa 2.</p><p>Primeiro, vamos mover o ramo para o lado direito de 𝐺4:</p><p>Para manter a informação no ponto a, após mover o ramo, nós precisamos dividir a informação por 𝐺4:</p><p>Similarmente, vamos mover o ponto soma de e para o lado esquerdo de 𝐺1:</p><p>a = 𝐻1𝐺3c</p><p>a = 𝐻1𝐺3c =</p><p>𝐻1</p><p>𝐺4</p><p>(𝐺3𝐺4)c</p><p>e = 𝐺1(𝑌sp − 𝑑) − 𝑏𝐻1 = 𝐺1 (𝑌sp − d −</p><p>𝑏𝐻1</p><p>𝐺1</p><p>)</p><p>16</p><p>Uma vez que as malhas não estão mais sobrepostas, o diagrama de blocos é fácil de manusear. Primeiro fechamos as duas</p><p>malhas pequenas, mostrados na Etapa 2.</p><p>Etapa 3.</p><p>A etapa final consiste em fechar a malha grande. A função de transferência da malha fechada resultante é:</p><p>Etapa 4.</p><p>6.2. Dinâmica de processos controlados pelo Sistema de Controle Feedback</p><p>Considerando o sistema apresentado na Figura 6.1, tem-se:</p><p>O primeiro termo, Equação 6.1, representa a influência de uma mudança no setpoint 𝑌𝑠𝑝(𝑠) e o segundo termo a influência de</p><p>uma mudança na perturbação 𝐷(𝑠). A função de transferência em malha fechada para uma variação de setpoint é,</p><p>𝑌</p><p>𝑌𝑠𝑝</p><p>=</p><p>𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4</p><p>(1 + 𝐺1𝐺2)(1 + 𝐻2𝐺3𝐺4) + 𝐻1𝐺2𝐺3</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑚𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐺𝑑(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠)</p><p>𝐷(𝑠) (6.1)</p><p>𝐺(𝑠)setpoint =</p><p>𝐾𝑚𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠)</p><p>(6.2)</p><p>17</p><p>Similarmente, a função de transferência em malha fechada para uma variação de perturbação é,</p><p>Os denominadores de ambas as funções de transferência em malha fechada são idênticos. Essas funções de transferência em</p><p>malha fechada dependem não apenas da dinâmica do processo, mas também do atuador, do dispositivo de medição e da</p><p>própria dinâmica do controlador.</p><p>Se o denominador da função de transferência em malha fechada é fixado igual a zero, resulta a Equação 6.4 que é conhecida</p><p>como a equação característica da malha feedback.</p><p>As raízes da equação característica são os polos do sistema feedback e, portanto, determina a maior parte do comportamento</p><p>dinâmico do processo em malha fechada. Por exemplo, se todas as raízes da equação característica são valores reais negativos,</p><p>o comportamento dinâmico em malha fechada é superamortecido. Além disso, se há raízes complexas, resulta comportamento</p><p>oscilatório em malha fechada. Finalmente, se alguma das raízes tem parte real positiva, o sistema em malha fechada é instável.</p><p>Embora, os polos de um sistema em malha fechada permaneçam os mesmos para controle servo e controle regulatório,</p><p>comportamento dinâmico diferente pode resultar, especialmente se 𝐺𝑑(𝑠) tem um zero na metade direita do plano complexo.</p><p>O produto 𝐺𝑐𝐺𝑎𝐺𝑝𝐺𝑚, que aparece no denominador das funções de transferência em malha fechada, é frequentemente</p><p>chamado de função de transferência em malha aberta, pois corresponde à função de transferência da malha aberta, obtida</p><p>𝐺(𝑠)𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎çã𝑜 =</p><p>𝐺𝑑(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠)</p><p>(6.3)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑎(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)𝐺𝑚(𝑠) = 0 (6.4)</p><p>18</p><p>pela abertura da malha antes do comparador, Figura 6.12. Esta função de transferência em malha aberta desempenha um</p><p>papel importante no estudo da estabilidade do sistema em malha fechada.</p><p>Dois tipos de problemas de controle serão estudados em particular:</p><p>Regulatório: O setpoint é fixo (𝑌sp = 0), e o processo está sujeito a perturbações. O sistema de controle reage de forma a</p><p>manter 𝑦(𝑡) no valor de setpoint e tenta rejeitar as perturbações: também é chamado de</p><p>rejeição de perturbações.</p><p>Rastreamento: Assume-se (para simplificar o estudo) que a perturbação é constante (𝐷(𝑠) = 0) enquanto o setpoint é agora</p><p>variável; o problema é manter 𝑦(𝑡) o mais próximo possível da variação de 𝑦sp(𝑡).</p><p>6.2.1. Estudo de Diferentes Ações de Controle</p><p>Para mostrar a influência de diferentes ações de controle, serão estudados apenas sistemas de primeira e segunda ordem. Além</p><p>disso, para simplificar os cálculos, será assumido que as funções de transferência do atuador e da medição são iguais à unidade,</p><p>resultando na Figura 6.12 simplificada. Para esses sistemas de primeira e segunda ordem com diferentes tipos de controladores,</p><p>Figura 6.12. Como a “malha aberta” deve ser entendida em</p><p>oposição à malha fechada.</p><p>19</p><p>as respostas às perturbações em degrau do sepoint ou das perturbações são dadas nas Figuras 6.13, 6.14, 6.15, 6.16 e serão</p><p>comentadas nas seguintes seções.</p><p>𝐺𝑎(𝑠) = 1, 𝐺𝑚(𝑠) = 1, 𝐾𝑚 = 1 (6.5)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐺𝑝(𝑠)</p><p>1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)</p><p>𝐷(𝑠) (6.6)</p><p>Figura 6.12. Diagrama de blocos para o estudo da ação dos diferentes controladores.</p><p>20</p><p>Figura 6.13. Comparação da influência do tipo de</p><p>controlador na resposta de um sistema de primeira ordem</p><p>(𝐾𝑝 = 2, 𝜏𝑝 = 10), para um degrau unitário no setpoint.</p><p>Controlador proporcional puro:</p><p>𝐾𝑐 = 2 (gráfico do topo).</p><p>Controlador proporcional-integral:</p><p>𝐾𝑐 = 2, 𝜏𝐼 = 20 (gráfico do meio).</p><p>Controle proporcional-integral-derivativo:</p><p>𝐾𝑐 = 2; 𝜏𝐼 = 20, 𝜏𝐷 = 1, 𝛽 = 0,1 (gráfico da base).</p><p>21</p><p>Figura 6.14. Comparação da influência do tipo de</p><p>controlador na resposta de um sistema de segunda</p><p>ordem (𝐾𝑝 = 5, 𝜏𝑝 = 10, 𝜁𝑝 = 0,5), para um</p><p>degrau unitário no setpoint.</p><p>Controlador proporcional puro:</p><p>𝐾𝑐 = 2 (gráfico do topo).</p><p>Controlador proporcional-integral:</p><p>𝐾𝑐 = 2, 𝜏𝐼 = 20 (gráfico do meio).</p><p>Controlador proporcional-integral-derivativo:</p><p>𝐾𝑐 = 2; 𝜏𝐼 = 20, 𝜏𝐷 = 1, 𝛽 = 0,1 (gráfico da base).</p><p>22</p><p>Figura 6.15. Comparação da influência do tipo de</p><p>controlador na resposta de um sistema de primeira</p><p>ordem (𝐾𝑝 = 5, 𝜏𝑝 = 10, 𝐾𝑑 = 2, 𝜏𝑑 = 2), para um</p><p>degrau unitário na perturbação.</p><p>Controlador proporcional puro: 𝐾𝑐 = 2 (gráfico do</p><p>topo).</p><p>Controlador proporcional-integral: 𝐾𝑐 = 2, 𝜏𝐼 = 20</p><p>(gráfico do meio).</p><p>Controlador proporcional-integral-derivativo:</p><p>𝐾𝑐 = 2; 𝜏𝐼 = 20, 𝜏𝐷 = 1, 𝛽 = 0,1 (gráfico da base).</p><p>23</p><p>Figura 6.16. Comparação da influência do tipo de controlador</p><p>na resposta de um sistema de segunda ordem (𝐾𝑝 = 5, 𝜏𝑝 =</p><p>10, 𝜁𝑝 = 0,5; 𝐾𝑑 = 2, 𝜏𝑑 = 2, 𝜁𝑑 = 0,25), para um degrau</p><p>unitário na perturbação.</p><p>Controlador proporcional puro:</p><p>𝐾𝑐 = 2 (gráfico do topo).</p><p>Controlador proporcional-integral:</p><p>𝐾𝑐 = 2, 𝜏𝐼 = 20 (gráfico do meio).</p><p>Controle proporcional-integral-derivativo:</p><p>𝐾𝑐 = 2; 𝜏𝐼 = 20, 𝜏𝐷 = 1, 𝛽 = 0,1 (gráfico da base).</p><p>24</p><p>6.2.1.1. Influência da Ação Proporcional</p><p>Como o controlador é proporcional, sua função de transferência é:</p><p>Sistemas de Primeira Ordem</p><p>A função de transferência para a perturbação também é assumida como sendo de primeira ordem</p><p>A saída 𝑌(𝑠) para qualquer setpoint 𝑌𝑠𝑝(𝑠) e qualquer perturbação 𝐷(𝑠), portanto, é igual a:</p><p>Se definirmos 𝑠 → 0 (equivalente a um tempo infinito) nas funções de transferência, as funções de transferência em malha</p><p>fechada são, respectivamente, iguais aos ganhos em regime permanente de malha fechada (uso do teorema do valor final) para</p><p>o setpoint 𝑦𝑠𝑝 e para a perturbação 𝑑.</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐</p><p>(6.7)</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>(5.5)</p><p>𝐺𝑑(𝑠) =</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>(6.8)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝐷(𝑠) (6.9) De (6.5) ⟹</p><p>𝐾𝑝</p><p>′ =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝐾𝑑</p><p>′ =</p><p>𝐾𝑑</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>(6.10)</p><p>(6.11)</p><p>25</p><p>O ganho em malha fechada 𝐾𝑝</p><p>′ é modificado em relação ao ganho em malha aberta 𝐾𝑝; 𝐾𝑝</p><p>′ tende para 1 quando o ganho do</p><p>controlador é grande. O ganho em malha fechada em relação a perturbação 𝐾𝑑</p><p>′ é menor que o ganho em malha aberta 𝐾𝑑 e</p><p>tende a 0 quando o ganho do controlador é grande. A resposta em malha fechada ainda é de primeira ordem em relação ao</p><p>setpoint e às variações de perturbação.</p><p>A constante de tempo em malha aberta é 𝜏𝑝; em malha fechada, em relação às variações do setpoint, é igual a:</p><p>Assim, 𝜏𝑝</p><p>′ diminuiu; a resposta será mais rápida em malha fechada do que em malha aberta.</p><p>Considere a resposta para uma variação degrau no setpoint (rastreamento) ou na perturbação (controle regulatório):</p><p>Estudo para o Caso de Rastreamento</p><p>A mudança do setpoint é um degrau de magnitude 𝑀</p><p>A perturbação é assumida constante ou zero [𝐷(𝑠) = 0]. A resposta em malha fechada (Figura 6.17) para uma mudança degrau</p><p>no setpoint é, então, igual a:</p><p>Para obter a resposta temporal 𝑦(𝑡), 𝑌(𝑠) é decomposto em uma soma de frações racionais, a primeira correspondendo à</p><p>resposta forçada 𝑌𝑓(𝑠) e a segunda à resposta natural 𝑌𝑛(𝑠)</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ =</p><p>𝜏𝑝</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>(6.12)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) =</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.13)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>=</p><p>𝐾𝑝</p><p>′</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.14)</p><p>26</p><p>Consequentemente,</p><p>A Figura 6.17 foi obtida para uma mudança degrau unitário no setpoint. O valor assintótico da saída apresenta um erro</p><p>permanente (offset) com o setpoint, ou seja, a resposta final, após 𝑡 → ∞, nunca atinge o novo setpoint desejado; se o ganho</p><p>do controlador 𝐾𝑐 for aumentado, este offset diminui (Figura 6.17). Na prática, outras funções de transferência devem ser</p><p>levadas em consideração: atuador e medição, de modo que este conjunto pode não se comportar exatamente como um</p><p>processo de primeira ordem e apresentar, por exemplo, um tempo morto, não linearidades ou dinâmicas negligenciadas. A</p><p>escolha de ganhos muito grandes para o controlador proporcional pode tornar o comportamento em malha fechada oscilatório</p><p>ou instável. Um ganho alto diminui o tempo de resposta, impondo uma demanda mais importante ao atuador: a variável</p><p>manipulada 𝑢(𝑡) varia mais forte e mais rapidamente de modo que ela pode atingir seus limites, e é, então, saturada.</p><p>O offset ou erro de regime permanente é definido como [(novo setpoint) – (valor final da resposta)] e pode ser obtido, utilizando</p><p>o teorema do valor final:</p><p>𝑌(𝑠) = 𝑀</p><p>𝐾𝑝</p><p>′</p><p>𝑠</p><p>− 𝑀</p><p>𝐾𝑝</p><p>′𝜏𝑝</p><p>′</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>= 𝑌𝑓(𝑠) + 𝑌𝑛(𝑠) (6.15)</p><p>𝑦(𝑡) = 𝑀𝐾𝑝</p><p>′(1 − 𝑒−𝑡/𝜏𝑝</p><p>′</p><p>) = 𝑌𝑓(𝑠) + 𝑌𝑛(𝑠)</p><p>Com:</p><p>𝑦𝑓(𝑡) = 𝑀 𝐾𝑝</p><p>′ ; 𝑦𝑛(𝑡)= −𝑀𝐾𝑝</p><p>′(1 − 𝑒−𝑡/𝜏𝑝</p><p>′</p><p>)</p><p>(6.16)</p><p>Offset = erro de regime permanente = 𝑦𝑠𝑝</p><p>′ (∞) − 𝑦′(∞) = lim</p><p>𝑠→0</p><p>{𝑠[𝑌𝑠𝑝(𝑠) − 𝑌(𝑠)]}</p><p>= lim</p><p>𝑠→0</p><p>{𝑠 [</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>−</p><p>𝐾𝑝</p><p>′</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ 𝑠 + 1</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>]} = 𝑀 −𝑀𝐾𝑝</p><p>′ = M−M</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>=</p><p>𝑀</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>≠ 0</p><p>Para um degrau unitário, 𝑀 = 1 e o offset =</p><p>1</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>≠ 0</p><p>27</p><p>Figura 6.17. Resposta de um sistema de primeira ordem (𝑲𝒑 = 𝟓, 𝝉𝒑 = 𝟏𝟎) para uma mudança degrau unitário</p><p>no setpoint (controlador proporcional com ganhos crescentes: 𝑲𝒑 = 𝟏, 𝟐, 𝟓).</p><p>29</p><p>28</p><p>Estudo para o caso de controle regulatório</p><p>Lembre-se de que a função de transferência para a perturbação foi considerada de primeira ordem como a do processo, mas</p><p>com ganho diferente 𝐾𝑑 ≠ 𝐾𝑝 e constante de tempo 𝜏𝑑 ≠ 𝜏𝑝.</p><p>Considere uma variação degrau de magnitude 𝑀 na perturbação</p><p>O setpoint é assumido constante (controle regulatório). A resposta em malha fechada (Figura 6.14) a uma perturbação em</p><p>degrau</p><p>é então igual a</p><p>Para obter o tempo de resposta 𝑦(𝑡), 𝑌(𝑠) é decomposto em</p><p>Consequentemente, a resposta em malha fechada é:</p><p>𝐷(𝑠) =</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.17)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.18)</p><p>𝑌(𝑠) = 𝑀(</p><p>𝐾𝑑</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>1</p><p>𝑠</p><p>+</p><p>𝐾𝑑𝜏𝑑(𝜏𝑝 − 𝜏𝑑)</p><p>𝜏𝑑(1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐) − 𝜏𝑝</p><p>1</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>+</p><p>𝐾𝑑𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝑝</p><p>2</p><p>(𝜏𝑝 − 𝜏𝑑(1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐)) (1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐)</p><p>1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>)</p><p>= 𝑀(</p><p>𝐴</p><p>𝑠</p><p>+</p><p>𝐵</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>+</p><p>𝐶</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>) (6.19)</p><p>𝑦(𝑡) = 𝑀[𝐴 + 𝐵𝑒−𝑡/𝜏𝑑 + 𝐶𝑒−𝑡(1+𝐾𝑝𝐾𝑐)/𝜏𝑝] (620)</p><p>29</p><p>Na ausência de um controlador, o processo é estável e a saída tende para 𝑀𝐾𝑑. Quando o controlador proporcional é</p><p>introduzido, o processo permanece estável; para uma perturbação em degrau unitário, a saída tende para um novo limite 𝑀𝐾𝑑</p><p>′</p><p>e se desvia em relação ao setpoint deste valor 𝑀𝐾𝑑</p><p>′ .</p><p>Quando o ganho do controlador proporcional aumenta, o desvio saída – setpoint diminui e a influência da perturbação também</p><p>diminui.</p><p>Agora, considere uma variação impulso na perturbação de magnitude 𝑀. A resposta em malha fechada a esta perturbação é</p><p>então igual a:</p><p>Aplicação do teorema do valor final, fornece:</p><p>Assim, as perturbações impulso são rejeitadas por um controlador proporcional puro.</p><p>Sistemas de Segunda Ordem</p><p>No caso de um sistema de segunda ordem, tem-se:</p><p>Considerando que a função de transferência para a perturbação é também de segunda ordem, tem:</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑀 (6.21)</p><p>lim</p><p>𝑡→∞</p><p>𝑦(𝑡) = lim</p><p>𝑠→0</p><p>[𝑠𝑌(𝑠)] = 0 (6.22)</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>(5.15)</p><p>30</p><p>A saída 𝑌(𝑠) para qualquer setpoint 𝑌𝑠𝑝(𝑠) e qualquer perturbação 𝐷(𝑠) é igual a:</p><p>Estudo para o Caso de Rastreamento</p><p>Na Equação 6.24, apenas o termo da variação do setpoint é considerado. Para uma variação degrau no setpoint de magnitude</p><p>𝑀, 𝑌𝑠𝑝(𝑠) se torna 𝑀/𝑠, e 𝑌(𝑠) é decomposto em uma soma de duas frações, a resposta natural de ordem 2 + a resposta</p><p>forçada. A função de transferência em malha fechada permanece de segunda ordem como em malha aberta. O período e o</p><p>fator de amortecimento são modificados</p><p>O ganho em regime permanente, torna-se:</p><p>Como no caso do sistema de primeira ordem, existe um desvio entre o setpoint e a resposta assintótica (Figura 6.14), o que é</p><p>ainda mais importante porque o ganho é baixo.</p><p>𝐺𝑑(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑑</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑑𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>(6.23)</p><p>De (6.5) ⟹ 𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝜏𝑝</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑑𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝐷(𝑠) (6.24)</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ =</p><p>𝜏𝑝</p><p>√1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>; 𝜁𝑝</p><p>′ =</p><p>𝜁𝑝</p><p>√1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>(6.25)</p><p>𝐾𝑝</p><p>′ =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>(6.26)</p><p>31</p><p>Estudo para o Caso de Controle Regulatório</p><p>À medida que a influência da perturbação é estudada, o segundo termo da Equação 6.24 é levado em consideração. A resposta</p><p>em malha fechada permanece de segunda ordem como em malha aberta. O controlador proporcional não é suficiente para</p><p>rejeitar a perturbação: ainda existe um desvio entre o setpoint e o valor assintótico (Figura 6.16).</p><p>Um controlador proporcional não altera a ordem do processo; o ganho de regime permanente é modificado, diminuído em</p><p>dois casos (se 𝐾𝑝 > 1, ou se 𝐾𝑐 > 1/(1 − 𝐾𝑝) quando 𝐾𝑝 < 1); as constantes de tempo também diminuem.</p><p>6.2.1.1.1. Características Fundamentais da Ação Proporcional</p><p>▪ O aumento da velocidade de resposta do processo é o benefício principal do controle proporcional.</p><p>▪ A ação proporcional não muda a ordem do processo (primeira ordem permanece de primeira ordem; segunda ordem</p><p>permanece de segunda ordem etc.).</p><p>▪ O offset é o efeito característico do controle proporcional. Ele diminui quando 𝐾𝑐 torna-se maior e teoricamente,</p><p>offset → 0 quando 𝐾𝑐 → ∞</p><p>Porém, por questões de estabilidade, valores muito grandes de 𝐾𝑐 não podem ser utilizados.</p><p>▪ Processos tendo o termo 1/𝑠 em sua função de transferência, quando eles são controlados com controle P-puro, não</p><p>exibem offset para mudanças no setpoint, mas eles exibem offset para mudanças de carga sustentada.</p><p>▪ Um processo superamortecido, com controle proporcional e valor apropriado de 𝐾𝑐, pode se tornar subamortecido</p><p>(oscilatório) – ambos, período natural e fator de amortecimento diminuem.</p><p>32</p><p>6.1.1.2. Influência da Ação Integral</p><p>O estudo é semelhante ao realizado no caso do controlador proporcional.</p><p>A função de transferência de um controlador PI é igual a:</p><p>Como no caso do sistema de primeira ordem, existe um desvio entre o setpoint e a resposta assintótica (Figura 6.14), o que é</p><p>ainda mais importante porque o ganho é baixo.</p><p>Processo de Primeira Ordem e Influência da Ação Integral Pura</p><p>Embora a ação integral nunca seja usada sozinha, nesta seção, para caracterizar sua influência, primeiro assumimos que o</p><p>controlador é integral puro e tem a seguinte função de transferência:</p><p>No caso de um processo de primeira ordem, a resposta 𝑌(𝑠) para uma mudança de setpoint ou variação de perturbação é igual</p><p>a:</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>) (6.27)</p><p>𝐺𝑐(𝑠) =</p><p>𝐾𝑐</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>(6.28)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>1 + 𝜏𝑝𝑠</p><p>𝐾𝑐</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>1 + 𝜏𝑝𝑠</p><p>𝐾𝑐</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>1 + 𝜏𝑑𝑠</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>1 + 𝜏𝑝𝑠</p><p>𝐾𝑐</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>(6.29)</p><p>ou</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠2 +</p><p>𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠 + 1</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)𝜏𝐼𝑠</p><p>𝜏𝐼𝜏𝑝𝑠</p><p>2 + 𝜏𝐼𝑠 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝐷(𝑠) (6.30)</p><p>33</p><p>O controlador integral modificou a ordem do sistema: a função de transferência do sistema de malha fechada agora é de ordem</p><p>2, ou seja, maior em uma unidade do que a ordem do sistema em malha aberta. O período natural do sistema em malha fechada</p><p>é igual a:</p><p>e o fator de amortecimento</p><p>À medida que a resposta de um processo de primeira ordem em malha aberta torna-se de segunda ordem em malha fechada,</p><p>sua dinâmica é completamente diferente.</p><p>De acordo com o valor do fator de amortecimento 𝜁′, a resposta será superamortecida, ou subamortecida, possivelmente</p><p>instável. Se o ganho do controlador for aumentado, mantendo constante o tempo integral, o período natural e o fator de</p><p>amortecimento diminuem e, assim, a resposta será menos lenta, mas se moverá progressivamente de respostas</p><p>superamortecidas para respostas oscilatórias.</p><p>É interessante estudar o rastreamento, ou seja, a resposta a uma variação do setpoint. O setpoint sofre uma variação degrau</p><p>de magnitude 𝑀</p><p>Consequentemente,</p><p>𝜏𝑛</p><p>′ = √</p><p>𝜏𝑝𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>(6.31)</p><p>𝜁′ =</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>𝜏𝐼</p><p>𝜏𝑝𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>(6.32)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) =</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.33)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>1</p><p>𝜏𝑝𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠2 +</p><p>𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠 + 1</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.34)</p><p>34</p><p>Para encontrar o comportamento assintótico, o teorema do valor final, fornece:</p><p>Assim, o limite de 𝑦(𝑡) é igual a 𝑀, o valor do setpoint. Encontramos assim o importante resultado de que a ação integral</p><p>elimina o desvio assintótico. O valor do setpoint é alcançado mais rapidamente quando o ganho é alto, mas às custas das</p><p>respostas oscilatórias.</p><p>Vamos estudar de maneira semelhante a regulação e, portanto, a influência de uma perturbação. Considere uma mudança</p><p>degrau na perturbação de magnitude 𝑀 que não pode ser rejeitada pelo controlador proporcional.</p><p>Consequentemente,</p><p>O teorema do valor final, fornece:</p><p>Assim, perturbações do tipo degrau que não foram rejeitadas por um controlador proporcional são perfeitamente rejeitadas</p><p>devido à ação integral.</p><p>Naturalmente, as perturbações impulso também são rejeitados pelo controlador integral puro.</p><p>lim</p><p>𝑡→∞</p><p>𝑦(𝑡) = lim</p><p>𝑠→0</p><p>𝑠𝑌(𝑠) = 𝑀 (6.35)</p><p>𝐷(𝑠) =</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.36)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝𝑠 + 1)𝜏𝐼𝑠</p><p>𝜏𝐼𝜏𝑝𝑠</p><p>2 + 𝜏𝐼𝑠 + 𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑀</p><p>𝑠</p><p>(6.37)</p><p>lim</p><p>𝑡→∞</p><p>𝑦(𝑡) = lim</p><p>𝑠→0</p><p>𝑠𝑌(𝑠) = 0 (6.38)</p><p>35</p><p>6.1.1.2.1. Características Fundamentais da Ação Integral</p><p>▪ A ação integral aumenta a ordem da dinâmica do processo em 1.</p><p>▪ Ação de controle integral elimina qualquer offset.</p><p>▪ Com base nas equações para 𝜏𝑛</p><p>′ e 𝜁′, se 𝜏𝐼 for diminuído, o processo torna-se mais rápido, mas às custas de maiores sobre-</p><p>elevações e oscilações mais sustentadas.</p><p>Processo de Primeira Ordem com Controlador Proporcional-Integral (PI)</p><p>A função de transferência do controlador PI é igual a:</p><p>Portanto, a resposta geral da malha fechada para mudanças no setpoint e nas perturbações é:</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>) (6.39)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>1 + 𝜏𝑝𝑠</p><p>𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>)</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>1 + 𝜏𝑝𝑠</p><p>𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>)</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>1 + 𝜏𝑑𝑠</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>1 + 𝜏𝑝𝑠</p><p>𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>)</p><p>𝐷(𝑠) (6.40)</p><p>ou</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝜏𝐼𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠2 + 𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠 + 1</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠(1 + 𝜏𝑝𝑠)</p><p>𝜏𝑝𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠2 + 𝜏𝐼</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐 + 1</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐</p><p>𝑠 + 1</p><p>𝐷(𝑠) (6.41)</p><p>36</p><p>Comparado apenas à ação proporcional, a ordem de cada função de transferência 𝑌(𝑠)/𝑌𝑠𝑝(𝑠) ou 𝑌(𝑠)/𝐷(𝑠) aumenta em</p><p>uma unidade.</p><p>As conclusões anteriormente tiradas para a ação integral pura permanecem globalmente verdadeiras:</p><p>▪ No rastreamento, durante uma variação degrau do setpoint (Figura 6.13), a saída tende para o setpoint, mesmo para baixo</p><p>ganho do controlador.</p><p>▪ Na regulação, as perturbações impulso são obviamente rejeitadas, mas também perturbações degrau (Figura 6.15).</p><p>Para se convencer, basta usar o teorema do valor final.</p><p>Processo de Segunda Ordem com Controlador Proporcional-Integral (PI)</p><p>De forma similar ao caso de um processo de segunda ordem em malha aberta, a saída da malha fechada com um controlador</p><p>integral puro seria de ordem imediatamente superior, ou seja, terceira ordem.</p><p>O controlador PI, utilizado no caso do rastreamento, correspondente à Figura 6.18, leva a oscilações ainda mais importantes</p><p>para o sistema de segunda ordem, pois o tempo integral é menor e, portanto, o ganho integral aumenta. O desvio em relação</p><p>ao setpoint é cancelado pela ação integral para uma variação de setpoint (Figura 6.14) ou uma variação de perturbação (Figura</p><p>6.16). Com o overshoot aumentando com o ganho integral, frequentemente será necessário não escolher um ganho integral</p><p>muito grande. Nessas figuras, o ganho e o tempo integral não foram otimizados, pois o objetivo era apenas mostrar a influência</p><p>da ação integral.</p><p>37</p><p>Figura 6.18. Resposta de um sistema de segunda ordem (𝑲𝒑 = 𝟓, 𝝉𝒑 = 𝟏𝟎, 𝜻𝒑 = 𝟎, 𝟓) para um degrau unitário</p><p>no setpoint com influência da constante de tempo integral (controlador PI: 𝑲𝒄 = 𝟐, 𝝉𝑰 = 𝟏𝟎 𝐨𝐮 𝟐𝟎 𝐨𝐮 𝟏𝟎𝟎).</p><p>Quando 𝝉𝑰 aumenta, a amplitude da oscilação diminui.</p><p>38</p><p>Efeito do Controle PI</p><p>▪ A ordem da resposta aumenta (efeito do modo integral).</p><p>▪ O offset é eliminado (efeito do modo integral).</p><p>▪ Quando 𝐾𝑐 aumenta, a resposta torna-se mais rápida [efeito dos modos proporcional e integral] e mais oscilatório para</p><p>mudança no setpoint [ou seja, o overshoot e razão de decaimento aumentam (efeito do modo integral)]. Valores grandes</p><p>de 𝐾𝑐 cria uma resposta muito sensível e pode conduzir a instabilidade.</p><p>▪ Quando 𝜏𝐼 aumenta, para 𝐾𝑐 constante, a resposta torna-se mais rápida, mas mais oscilatória com overshoots e razões de</p><p>decaimento maiores (efeito do modo integral).</p><p>6.1.1.3. Influência da Ação Derivada</p><p>A função de transferência de um controlador derivativo ideal puro é igual a:</p><p>O controlador PID ideal (Figura 6.19) da função de transferência</p><p>não é realizável (Parte 2 - A Lei de Controle PID).</p><p>O estudo a seguir visa simplesmente demonstrar as características da ação derivativa pura.</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠 (6.42)</p><p>𝐺𝑣(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>+ 𝜏𝐷𝑠) (2.43)</p><p>Figura 6.19. Diagrama de blocos do</p><p>controlador PID ideal.</p><p>39</p><p>Processo de Primeira Ordem e Ação Derivativa Pura</p><p>No caso de um processo de primeira ordem, se olharmos apenas para a influência da ação derivativa com o controlador dado</p><p>pela Equação 6.42, a resposta 𝑌(𝑠) a uma variação no setpoint ou na perturbação é igual a:</p><p>As funções de transferência são de primeira ordem como em malha aberta e, portanto, a ação derivativa não tem influência na</p><p>ordem do sistema. Por outro lado, a ação derivada adiciona um zero a função de transferência em malha fechada. A constante</p><p>de tempo em malha fechada é igual a:</p><p>e assim é aumentado em relação a malha aberta; a resposta em malha fechada será mais lenta que em malha aberta, e esse</p><p>efeito aumenta com o ganho do controlador derivativo. Isso ajudará a estabilizar o processo se este apresentar tendências a</p><p>oscilações na ausência da ação derivativa.</p><p>6.1.1.3.1. Características Fundamentais da Ação Derivativa</p><p>▪ A redução da natureza oscilatória de uma resposta feedback é a vantagem principal da ação derivativa.</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>1 +</p><p>𝐾𝑝</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>=</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>(𝜏𝑝 + 𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷)𝑠 + 1</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) +</p><p>𝐾𝑑</p><p>𝜏𝑑𝑠 + 1</p><p>𝜏𝑝𝑠 + 1</p><p>(𝜏𝑝 + 𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷)𝑠 + 1</p><p>𝐷(𝑠)</p><p>(6.44)</p><p>𝜏𝑝</p><p>′ = 𝜏𝑝 + 𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷 (6.45)</p><p>40</p><p>▪ A ação derivativa não muda a ordem do processo.</p><p>▪ A ação derivativa não elimina offset.</p><p>▪ A ação derivativa produz comportamento mais robusto para o processo controlado (diminui a velocidade de resposta e</p><p>aumenta o amortecimento).</p><p>Processo de Primeira Ordem com Controlador PID Real</p><p>Comparado com o controlador PI estudado anteriormente, uma ação derivativa fisicamente realizável é introduzida pelo</p><p>seguinte controlador PID real (Figura 6.20) de função de transferência.</p><p>que é fisicamente realizável. Esta função de transferência pode ser vista como a filtragem de um controlador PID ideal por um</p><p>filtro de primeira ordem. No caso de um controlador PID pneumático, 𝛽 está incluído entre 0,1 e 0,2. Para o controlador PID</p><p>eletrônico, configura-se 0 < 𝛽 ≪ 1.</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (</p><p>𝜏𝐼𝑠 + 1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>) (</p><p>𝜏𝐷𝑠 + 1</p><p>𝛽𝜏𝐷𝑠 + 1</p><p>) (2.37)</p><p>Figura 6.20. Diagrama de blocos do controlador PID real dado pela Equação 2.37.</p><p>41</p><p>Um controlador PID real (Figura 6.21) também pode responder à seguinte equação ligeiramente diferente, que é</p><p>frequentemente usada</p><p>No caso dos processos de primeira ordem estudados, a ação derivativa no controlador PID não parece agregar um efeito</p><p>importante somente no que diz respeito à ação integral, pois o processo estudado já apresenta um comportamento de</p><p>sobreamortecimento em malha fechada com o controlador PI. Se para outros valores de parâmetros o comportamento de</p><p>malha fechada tivesse sido amortecido, a adição da ação derivativa teria permitido uma diminuição considerável de oscilações</p><p>que se tornariam aceitáveis como no caso seguinte do processo de segunda ordem (Figura 6.21). A influência da ação derivativa</p><p>é mais clara em resposta a uma variação ao degrau da perturbação (Figura 6.15) do que em resposta a uma variação degrau de</p><p>setpoint (Figura 6.13). Mostra-se que o overshoot é reduzido. A ação derivativa traz assim uma influência estabilizadora em</p><p>relação à ação integral (Figura 6.14).</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>+</p><p>𝜏𝐷𝑠</p><p>𝜏𝐷</p><p>𝑁 𝑠 + 1</p><p>) (6.46)</p><p>42</p><p>Figura 6.21. Resposta de um sistema de segunda ordem (𝑲𝒑 = 𝟓, 𝝉𝒑 = 𝟏𝟎, 𝜻𝒑 = 𝟎, 𝟓)</p><p>para um degrau unitário no setpoint (controlador PID com influência da constante de</p><p>tempo derivativa 𝝉𝑫: 𝑲𝒄 = 𝟐, 𝝉𝑰 = 𝟐𝟎, 𝝉𝑫 = 𝟎, 𝟏 𝒐𝒖 𝟏 𝒐𝒖 𝟏𝟎, 𝜷 = 𝟎, 𝟏). Quando 𝝉𝑫</p><p>aumenta, as oscilações diminuem.</p><p>43</p><p>Processo de Segunda Ordem</p><p>No caso de um processo de segunda ordem e ação derivativa pura, a resposta 𝑌(𝑠) a uma variação do setpoint é igual a</p><p>A resposta em malha fechada é de segunda</p><p>ordem, como em malha aberta. O controlador derivativo não modifica a ordem da</p><p>resposta.</p><p>Neste caso, a constante de tempo 𝜏𝑝 permanece a mesma, enquanto o fator de amortecimento da resposta em malha fechada</p><p>é modificado em relação ao fator de amortecimento em malha aberta e se torna:</p><p>A resposta é, portanto, mais amortecida em malha fechada do que em malha aberta, e esse amortecimento aumenta com o</p><p>ganho 𝐾𝑐 do controlador derivativo e com o tempo derivativo.</p><p>b</p><p>Globalmente, o mesmo efeito é notado com um controlador PID real de função de transferência dado pela Equação 2.37.</p><p>Comparada com a ação integral que cancela o desvio assintótico (offset) mas leva a fortes oscilações, a adição da ação derivativa</p><p>real diminui fortemente as oscilações que se tornam aceitáveis, tanto mais quanto o tempo derivativo 𝜏𝐷 é maior (Figura 6.21).</p><p>No entanto, deve-se notar que o aumento da ação derivativa tende a aumentar o ruído de medição e que esse efeito não é</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐺𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>1 + 𝐺𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>𝜏𝑝</p><p>2𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜏𝑝𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷𝑠</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) (6.47)</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷</p><p>𝜏𝑝</p><p>2𝑠2 + (2𝜁𝑝𝜏𝑝 + 𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷)𝑠 + 1</p><p>𝑌𝑠𝑝(𝑠) (6.48)</p><p>𝜁𝑝</p><p>′ =</p><p>(2𝜁𝑝𝜏𝑝 + 𝐾𝑝𝐾𝑐𝜏𝐷)</p><p>2𝜏𝑝</p><p>(6.49)</p><p>44</p><p>desejado, de modo que um valor muito grande de 𝜏𝐷 deve ser evitado na prática. A ação derivativa traz um efeito estabilizador</p><p>em relação à ação integral. O overshoot também é reduzido. Esses dois efeitos são claros no estudo da influência de uma</p><p>variação degrau do setpoint (Figura 6.14) ou uma variação degrau da perturbação (Figura 6.16).</p><p>6.2.2. Resumo das Características dos Controladores</p><p>Um controlador proporcional (P) contém apenas um parâmetro de sintonia: o ganho do controlador. A saída assintótica</p><p>apresenta um desvio do setpoint (offset), que pode ser diminuído aumentando o ganho do controlador. O uso de ganhos muito</p><p>grandes pode tornar o processo instável devido a dinâmicas negligenciadas ou tempo morto.</p><p>Um controlador proporcional-integral (PI) apresenta a vantagem da ação integral, levando à eliminação de offset. A resposta é</p><p>mais rápida quando o ganho aumenta e pode se tornar oscilatória. Para grandes valores de ganho, o comportamento pode até</p><p>se tornar instável. A diminuição do tempo integral aumenta o ganho integral e torna a resposta mais rápida. Por causa do termo</p><p>integral, o controlador PI pode apresentar um efeito de saturação (Parte 2 - Saturação (reset or integral windup).</p><p>O controlador proporcional-integral-derivativo (PID) apresenta o mesmo interesse que o PI com relação à eliminação do offset.</p><p>A presença do modo integral desacelera a resposta em malha fechada de um processo. Para aumentar a velocidade da resposta</p><p>em malha fechada, nós podemos aumentar o valor do ganho do controlador 𝐾𝑐. Mas aumentando 𝐾𝑐 o suficiente para ter</p><p>velocidades aceitáveis, a resposta torna-se mais oscilatória e pode levar a instabilidade. A introdução do modo derivativo traz</p><p>um efeito estabilizador ao sistema. Assim, podemos alcançar uma velocidade de resposta aceitável, selecionando um valor</p><p>apropriado de 𝐾𝑐, enquanto mantemos overshoots e razões de decaimento moderados.</p><p>45</p><p>O controlador PID ideal é de fato substituído por um controlador PID real, cuja função de transferência é dada pela Equações</p><p>2.37 ou 6.46, fisicamente realizável. No caso de um controlador PID pneumático, 𝛽 está incluído entre 0,1 e 0,2. Para o</p><p>controlador eletrônico PID, configura-se 0 < 𝛽 ≪ 1.</p><p>Exemplo 6.2. Para o sistema a seguir, simule a resposta em malha fechada do sistema de controle feedback no MATLAB com os</p><p>vários parâmetros do controlador fornecidos a seguir.</p><p>𝐺𝑝(𝑠) =</p><p>0,3</p><p>4𝑠 + 1</p><p>; 𝐺𝑑(𝑠) =</p><p>0,1</p><p>3𝑠 + 1</p><p>; 𝐺𝑎(𝑠) = 1; 𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐</p><p>Com 𝐾𝑐 = 0,5, 5, 20, 50</p><p>(6.7)</p><p>46</p><p>Figura 6.22a. Resposta em malha fechada do sistema para uma mudança degrau unitário do setpoint, usando um</p><p>controlador P-puro. Observe que a medida que aumenta o ganho proporcional, o offset diminui, mas não é</p><p>eliminado.</p><p>47</p><p>Exemplo 6.3. Repita o Exemplo 6.2 com um controlador PI, utilizando o MATLAB e o Simulink.</p><p>𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +</p><p>1</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>) =</p><p>𝐾𝑐(𝜏𝐼𝑠 + 1)</p><p>𝜏𝐼𝑠</p><p>(6.38)</p><p>Com 𝐾𝑐 = 0,5, 5, 20, 50</p><p>Figura 6.22b. Resposta em malha fechada do sistema, para o Exemplo 6.2, para uma</p><p>mudança degrau unitário do setpoint, utilizando um controlador PI. Observe em todos</p><p>os casos, o offset aproxima de zero.</p><p>48</p><p>Figura 6.23. Programa Simulink para o Exemplo 5_3 [Controlado PI: 𝑲𝒄 = 𝟑, 𝝉𝑰 = 𝟏, 𝟒)]</p><p>49</p><p>Figura 6.24. Mostra a resposta em malha fechada do sistema, para o Exemplo 5_3, na presença</p><p>de uma mudança em degrau no setpoint (em 𝒕 = 𝟎) e na perturbação (em 𝒕 = 𝟓𝟎 𝒔).</p><p>Mudança em degrau</p><p>na perturbação</p><p>Mudança em degrau</p><p>no setpoint</p><p>50</p><p>6.3. Escolha do Modo Apropriado de um Controlador PID</p><p>Os modos básicos de controle ou algoritmos normalmente usados em controladores PID são: P-puro, PI e PID. Quando escolher</p><p>entre esses controladores, deve-se considerar a dinâmica combinada do sistema atuador/processo/sensor-transmissor e os</p><p>objetivos da malha de controle. Para malhas de controle convencionais na indústria de processos químicos, tem sido estimado</p><p>que aproximadamente 93 % utilizam controladores PI, 2 % usam controladores P-puro e 5 % usam controladores PID.</p><p>Provavelmente, menos que 1 % das malhas de controle industriais usam controladores PD.</p><p>A seguir serão apresentadas diretrizes, com base em dinâmica de processo e objetivos de controle, usadas para realizar a</p><p>escolha do modo apropriado do controlador.</p><p>6.3.1. Controle P-puro</p><p>Utilizado para processos de resposta rápida (ou seja, processos que não são lentos) e para os quais algum grau de offset é</p><p>aceitável ou para processos integrantes (por exemplo, a maioria dos processos de controle de nível).</p><p>Um processo lento é caracterizado pelo fato de que o processo não responde rapidamente a mudanças na VM (ou seja, não é</p><p>uma resposta de primeira ordem). Aplicações típicas para um controlador P-puro são controladores de nível e controladores de</p><p>pressão. Há muitas malhas de controle que deveriam usar controladores P-puro, mas em vez disso usam um PI típico ou PI com</p><p>uma quantidade relativamente pequena de ação integral.</p><p>6.3.2. Controle PI</p><p>Controladores PI são utilizados para processos que não são lentos e para os quais é necessário ter operação livre de offset.</p><p>Aplicações típicas são controle de vazão, controle de pressão, controle de temperatura e controle de composição.</p><p>51</p><p>6.3.3. Controle PID</p><p>Controladores PID são úteis para certos processos lentos. Aplicações típicas são controle de temperatura e controle de</p><p>composição.</p><p>Por causa da inércia de um processo lento, o processo exibe uma tendência para oscilar (ou seja, apresenta um fator de</p><p>amortecimento baixo) sob controle PI. A ação derivativa reduz a natureza oscilatória da resposta e permite o uso de mais ação</p><p>proporcional, o que contribui para melhorar o desempenho do controle.</p><p>Uma questão importante aqui é determinar se um processo é suficientemente lento para justificar um controlador PID.</p><p>Considere um modelo de POMTM, utilizando um teste degrau em malha fechada para o processo em questão. Se o tempo</p><p>morto resultante, 𝜃p, e a constante de tempo, 𝜏p são tais que</p><p>No caso em que um modelo de POMTM não está disponível, oscilações excessivas de um controlador PI ou um controlador PI</p><p>de resposta muito lenta são indicações de que um controlador PID pode fornecer melhor desempenho de controle.</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p><</p><p>1</p><p>2</p><p>O processo não é suficientemente lento para justificar um controlador PID.</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>> 1</p><p>O processo é suficientemente</p><p>lento, de modo que um controlador PID deve oferecer benefícios significativos</p><p>sobre um controlador PI.</p><p>1</p><p>2</p><p><</p><p>𝜃𝑝</p><p>𝜏𝑝</p><p>< 1 PI ou PID pode ser preferido</p><p>52</p><p>6.3.4. Controle PD</p><p>Controladores PD são usados para processos lentos que se comportam como um integrador. Se ação integral significativa é</p><p>usada sobre tais processos, resulta comportamento instável. CSTRs exotérmicos são um exemplo de um processo que se</p><p>beneficia do controle PD.</p><p>6.4. Malhas de Controle Comumente Encontradas</p><p>As malhas de controle comumente encontradas na indústria de processamento químico e indústrias de biotecnologia são:</p><p>6.4.1. Malha de Controle de Vazão</p><p>É a malha de controle mais comum, utilizada na indústria de processos químicos. Um esquema de uma malha de controle de</p><p>vazão é mostrado na Figura 6.25. Um medidor de orifício/sensor de diferencial de pressão é utilizado para medir a vazão e o</p><p>atuador é composto de um conversor I/P, ar de instrumento e válvula de controle montada. O objetivo desta malha de controle</p><p>é manter a vazão no setpoint para mudanças nas pressões a montante e a jusante e para mudanças no setpoint para o</p><p>controlador de vazão.</p><p>Figura 6.25. Diagrama de controle para</p><p>uma malha de controle de vazão.</p><p>53</p><p>As dinâmicas do processo (ou seja, a variação de vazão como resultado de uma mudança na posição da haste da válvula) e do</p><p>sensor (ou seja, o diferencial de pressão medido para uma mudança na vazão) são muito rápidas, comparadas com as dinâmicas</p><p>da válvula de controle (ou seja, a mudança na posição da haste da válvula para uma mudança no sinal para a válvula de</p><p>controle). Uma vez que o processo global é relativamente rápido e controle preciso para o setpoint é necessário, um controlador</p><p>PI é a escolha apropriada para a maioria das aplicações de controle de vazão.</p><p>6.4.2. Malha de Controle de Nível</p><p>Malhas de controle de nível são usadas para controlar os níveis de líquidos no acumulador e no refervedor de colunas de</p><p>destilação, caldeiras de vapor d’água, reatores e tanques de armazenagem intermediária. Um esquema para uma malha de</p><p>controle de nível, usada para controlar o nível em um tanque, é mostrado na Figura 6.26. Um sensor de diferencial de pressão</p><p>é usado para medir o nível do líquido e o atuador é uma válvula de controle na tubulação de alimentação do tanque. A VM</p><p>determinada pelo controlador de nível é a posição da haste da válvula de controle na tubulação de alimentação do tanque. O</p><p>objetivo desta malha é manter o nível dentro de uma certa faixa, por exemplo, de 30 % a 40 % da faixa completa (ou seja, 0 %</p><p>quando o tanque estiver vazio e 100 % quando o tanque estiver cheio) para variações da vazão de alimentação para o tanque</p><p>e nas condições de operação.</p><p>Figura 6.26. Diagrama de controle para um</p><p>controlador de nível aplicado a um tanque.</p><p>54</p><p>As dinâmicas do sensor são muito rápidas e as dinâmicas do atuador, normalmente são rápidas comparadas com as dinâmicas</p><p>do processo (ou seja, a mudança percentual do nível para uma mudança da vazão entrando no tanque). Uma vez que sistemas</p><p>de nível normalmente são processos integrantes, a taxa de mudança do nível depende da variação da vazão e da área da seção</p><p>transversal do vaso. Para um sistema típico sob condições de malha aberta, uma mudança de 5 % no nível pode ocorrer em,</p><p>aproximadamente um minuto, para uma mudança de aproximadamente 10 % na vazão de alimentação do tanque. Assim, a</p><p>resposta do sistema atuador/processo/sensor, tipicamente é controlada pela dinâmica do processo. Uma vez que o processo</p><p>global, geralmente, não é lento, um controlador P-puro é uma escolha apropriada, se o processo de nível é um processo</p><p>integrante, que normalmente é o caso.</p><p>O uso de um controlador PI para um processo integrante não é necessário e somente contribuirá para a natureza oscilatória da</p><p>resposta em malha fechada. Se o processo de nível é autorregulatório (ou seja, não é um processo integrante), um controlador</p><p>PI é requerido para uma operação livre de offset.</p><p>6.4.3. Malha de Controle de Pressão</p><p>Malhas de controle de pressão são usadas para manter a pressão do sistema de colunas de destilação, reatores e outras</p><p>unidades de processo.</p><p>Uma malha de controle de pressão para manter a pressão no topo de uma coluna é mostrada na Figura 6.27. O atuador é uma</p><p>válvula de controle na linha de vent e o sensor de pressão é colocado no topo da coluna. Observe que a saída do controlador</p><p>de pressão vai diretamente para a válvula de controle na linha de vent. O objetivo desta malha é manter a pressão no topo da</p><p>coluna no valor ou próximo do setpoint, para mudanças na carga térmica do condensador e mudanças na vazão de vapor</p><p>efluente da coluna.</p><p>55</p><p>O sensor de pressão é muito rápido, enquanto o processo (mudança na pressão para uma mudança na posição da haste da</p><p>válvula do vent) e o atuador, geralmente são os elementos mais lentos no sistema feedback, tornando-se assim um processo</p><p>de resposta relativamente rápida.</p><p>Sistemas de pressão são muitas vezes processos integrantes e, portanto, requerem somente um controlador P-puro para uma</p><p>operação livre de offset. Da mesma forma, um sistema de pressão autorregulável necessitará de um controlador PI para uma</p><p>operação livre de offset.</p><p>6.4.4. Malha de Controle de Temperatura</p><p>Malhas de controle de temperatura podem ser aplicadas para controlar a temperatura de uma corrente efluente de um</p><p>trocador de calor, a temperatura de um prato em uma coluna de destilação e a temperatura de um CSTR.</p><p>Figura 6.27. Diagrama de controle para um</p><p>controlador de pressão para o topo de uma</p><p>coluna de destilação.</p><p>56</p><p>A Figura 6.28 mostra um esquema de um controlador de temperatura aplicado no controle de temperatura de uma corrente</p><p>de processo efluente de um aquecedor a gás. O sensor é um elemento RTD ou um termistor, colocado em uma cápsula</p><p>termométrica, localizada na linha de processo saindo do aquecedor, e o atuador é uma malha de controle de vazão na linha de</p><p>gás de combustível para o aquecedor. O objetivo da malha de controle de temperatura é manter a temperatura da corrente de</p><p>saída do processo no setpoint diante de mudanças na temperatura da corrente de processo que entra no aquecedor e</p><p>mudanças no poder calorífico do gás.</p><p>As dinâmicas do atuador, geralmente são muito mais rápidas do que as dinâmicas do processo (ou seja, a mudança na</p><p>temperatura de saída do processo para uma mudança na vazão de gás para o aquecedor) e do sensor, que tipicamente tem</p><p>Figura 6.28. Diagrama de controle para um controlador</p><p>de temperatura aplicado a um aquecedor a gás.</p><p>57</p><p>uma constante de tempo dinâmica entre 6 s e 20 s para um RTD instalado apropriadamente ou um termistor. O fluido de</p><p>processo que entra no aquecedor a gás, escoa através dos tubos do forno, que estão expostos ao gás de combustão a alta</p><p>temperatura. Há um atraso térmico associado com as mudanças de temperatura do metal dos tubos do forno, assim como um</p><p>atraso de transporte causado pelo escoamento do fluido de processo através dos tubos do aquecedor. O atraso de transporte</p><p>e o tempo morto resultante do processo global aumentam, quando a vazão de alimentação do fluido de processo é reduzida.</p><p>Como resultado, o processo pode ser lento, particularmente, para operações em vazões de alimentação baixas. Uma vez que o</p><p>aquecedor, provavelmente, se comporta como um processo lento, um controlador PID deve ser selecionado neste exemplo.</p><p>Ruído excessivo do sensor pode fazer o uso da ação derivativa ineficaz, e é por isso que um RTD ou um termistor seria preferido</p><p>nesta aplicação em vez de um TP. Se este processo fosse menos lento, um controlador PI poderia ser preferido. As diretrizes</p><p>apresentadas anteriormente devem ser usadas para determinar se o processo é suficientemente lento para justificar o uso de</p><p>controle PID.</p><p>6.4.5. Malha de Controle de Composição</p><p>Malhas de controle de composição são usadas para manter os produtos efluentes das colunas de destilação na especificação</p><p>desejada, para manter a conversão constante em um reator e para manter os teores de oxigênio no gás de chaminé de uma</p><p>caldeira ou de um forno a fim de minimizar emissões de gases poluentes.</p><p>A Figura 6.29 mostra um diagrama de controle para uma malha de composição que controla o nível de impureza no produto</p><p>de topo de uma coluna de destilação. O sensor é um cromatógrafo a gás que amostra o produto da destilação, e a saída do</p><p>controlador para esta malha é o setpoint para o controlador de vazão de refluxo. O objetivo da malha de controle de composição</p><p>é manter o nível de impureza, no produto de topo, no setpoint, durante mudanças na vazão e na composição da alimentação</p><p>para a coluna</p><p>58</p><p>As dinâmicas do atuador são relativamente rápidas, enquanto o sensor, tipicamente, pode ter de três a dez minutos de atraso.</p><p>O processo (ou seja, a mudança no teor de impureza do produto de topo em função de uma mudança no setpoint para o</p><p>controlador de vazão de refluxo) pode ser lento, e o atraso do sensor, usualmente é significativo; portanto, as dinâmicas do</p><p>processo e do sensor, tipicamente, determinam a resposta dinâmica deste tipo de processo. Se o atraso do processo e do</p><p>analisador resultam em um sistema atuador/processo/sensor lento, um controlador PID pode ser preferido. Novamente, as</p><p>diretrizes apresentadas anteriormente devem ser usadas para determinar se o processo é suficientemente lento para justificar</p><p>o uso de controle PID</p><p>Figura 6.29. Diagrama de controle para um</p><p>controlador de composição do topo de</p><p>uma coluna de destilação.</p><p>59</p><p>6.4.6. Malha de Controle de Oxigênio Dissolvido</p><p>Malhas de controle de oxigênio dissolvido (OD) são usadas para manter os teores de O2 uniformes em biorreatores aeróbicos.</p><p>Um diagrama de controle para uma malha de controle de OD, aplicada a um biorreator é mostrado na Figura 6.30. Um eletrodo</p><p>específico de ferro é usado para medir o O2 dissolvido no reator e a vazão de ar é usada como a VM para a malha de controle.</p><p>Observe que a saída do controlador de OD vai diretamente para o compressor de ar de velocidade variável, que é o atuador</p><p>para essa malha. O objetivo deste controlador é manter os níveis de OD relativamente constantes no biorreator diante de</p><p>mudanças na demanda de O2 pelos micro-organismos no biorreator</p><p>O atuador é muito rápido com uma constante de tempo menor que 0,1 s, enquanto o sensor, tipicamente, tem uma constante</p><p>de tempo entre 2 s a 5 s. O processo (ou seja, a mudança de concentração de OD para uma mudança na vazão de ar) é o</p><p>Figura 6.30. Diagrama de controle para um</p><p>controlador de OD aplicado a um biorreator.</p><p>60</p><p>elemento mais lento da malha (ou seja, a constante de tempo para o processo é tipicamente de 30 s a 40 s), mas o processo</p><p>global é de resposta relativamente rápida. Assim, as dinâmicas do processo e do sensor determinam a resposta dinâmica do</p><p>sistema atuador/processo/sensor. Portanto, como o processo feedback global é de resposta rápida, e controle para o setpoint</p><p>é desejável, um controlador PI é o modo PID de escolha para esta aplicação.</p><p>6.4.7. Controlador de Biomassa</p><p>Um controlador de concentração de biomassa (por exemplo, células de levedura) (Figura 6.31) é usado para manter uma</p><p>concentração especificada de células em um reator de alimentação em batelada. Neste caso, as células no caldo do reator são</p><p>a biomassa do processo. Um medidor de turbidez, que mede o espalhamento da luz de uma amostra do caldo do reator, fornece</p><p>a medida da concentração de biomassa para este processo. O atuador para a malha de controle é uma bomba de velocidade</p><p>variável de deslocamento positivo. O objetivo deste controlador é manter a concentração de biomassa no setpoint, quando o</p><p>crescimento de células ocorre, ou o crescimento de células é impedido durante a operação de alimentação em batelada. Se a</p><p>concentração de células é baixa, o controlador aumentará a vazão de alimentação de glicose, o que aumentará a taxa de</p><p>crescimento de células. Se o crescimento de células é alto, o controlador diminuirá a vazão de alimentação de glicose, o que</p><p>diminuirá a taxa de crescimento de células.</p><p>Figura 6.31. Diagrama de controle para um</p><p>controlador de biomassa, aplicado a um reator</p><p>de alimentação em batelada.</p><p>61</p><p>O atuador e o sensor são muito rápidos enquanto o processo (a mudança na concentração de biomassa para uma mudança na</p><p>vazão de alimentação de glicose) é relativamente lento. Um aumento no crescimento de células depende da adição de glicose,</p><p>o que requer tempo para misturar no caldo reacional. Então as células aumentam o seu consumo de glicose, o que tem uma</p><p>constante de tempo de mais de 10 horas. Isto conduz a um aumento no crescimento de células, que tem uma constante de</p><p>tempo de aproximadamente 3 horas. O resultado líquido é uma resposta lenta de um processo de ordem alta. Como resultado,</p><p>a concentração de células neste processo responde lentamente a mudanças na vazão de alimentação de glicose. Portanto, um</p><p>controlador PID deve ser utilizado nesta aplicação.</p><p>62</p><p>6.5. Estabilidade dos Sistemas de controle em Malha Fechada</p><p>Até recentemente, a teoria do controle era ensinada de uma maneira que não distinguia muito entre os campos de aplicação,</p><p>sejam mísseis, aeronaves, sistemas de energia ou processos químicos. O advento do computador digital, no entanto, abriu uma</p><p>vasta gama de novas aplicações, que mudaram perceptivelmente a ênfase dos tipos de coisas que os métodos clássicos de</p><p>análise manipulavam. Este é particularmente o caso nas indústrias de processamento, onde o engenheiro de controle tem um</p><p>novo foco no controle avançado de processos, controle preditivo por modelo e otimização em tempo real. É claro que questões</p><p>de estabilidade de malha e desempenho do controlador ainda são importantes, mas nas indústrias de processo elas raramente</p><p>são investigadas por métodos clássicos, como resposta em frequência e lugar das raízes. O novo trabalho baseado em</p><p>computador está exclusivamente no domínio do tempo. Em comparação com outros campos, as frequências a serem tratadas</p><p>são muito baixas, muitas vezes decorrentes das próprias malhas de controle! Configurações iniciais “boas” para controladores</p><p>podem ser estimadas teoricamente antes da partida, mas o ajuste fino tende a ser baseado na experiência por tentativa e erro.</p><p>Os sinais de instabilidade são detectados precocemente como flutuações indesejáveis do processo, e sintonizados. Nesse modo</p><p>amplamente de “regulação”, ninguém está forçando os limites à beira da instabilidade. Uma razão para esta abordagem é que</p><p>os processos são não lineares e variáveis, e raramente correspondem bem com um modelo, como pode ser o caso em sistemas</p><p>mecânicos e elétricos. Portanto, há pouco sentido em empurrar o desempenho do controle para perto dos limites de um</p><p>modelo.</p><p>Apesar dessa visão sombria da relevância de muitas ideias clássicas, elas são importantes porque fundamentam a percepção e</p><p>a linguagem das novas aplicações. Isso tem um paralelo na forma como o controle digital moderno em um SDCD ou SCADA é</p><p>representado como uma imitação dos antigos controladores analógicos. Hoje em dia pode-se dizer que existe um “polo mal</p><p>amortecido” no controle em malha fechada de uma coluna de destilação. Alguém está pensando como termos diferentes em</p><p>63</p><p>uma equação característica (surgindo de submodelos) podem contribuir com comportamentos diferentes para um sistema –</p><p>neste caso, com uma oscilação de decaimento lento. Está se imaginando uma posição no plano complexo, mas de jeito nenhum</p><p>está prestes a embarcar em um cálculo em álgebra complexa para apresentar ao chefe!</p><p>Na Figura 6.32, um sistema potencialmente multivariável é representado em malha aberta e em</p>