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A.4 Exemplo 1 
Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura e obtenha a função de transferência 
de malha fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) 
 
R: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺1 + 𝐺2
1 + (𝐺1 + 𝐺2)(𝐺3 − 𝐺4)
 
A.4 Exercício 1 
Simplifique o diagrama de blocos da Figura 
 
R: 
 
A.4 Exercício 2 
Simplifique o diagrama de blocos da Figura. Obtenha a função de transferência 
relacionando 𝐶(𝑠) e 𝑅(𝑠). 
 
R: 
A.7 Exemplo 2 
A Figura mostra um diagrama esquemático do sistema de suspensão de um automóvel. 
Quando o carro se move ao longo da estrada, o movimento vertical das rodas age como a 
própria função de entrada do sistema de suspensão do automóvel. O movimento desse 
sistema consiste em um movimento de translação do centro de massa e um movimento 
de rotação em torno desse mesmo centro de massa. O modelo matemático do sistema 
completo é bastante complicado. Uma versão muito simplificada do sistema de suspensão 
é mostrada na Figura. Admitindo que o movimento 𝑥𝑖 no ponto 𝑃 seja a entrada do 
sistema e o movimento vertical 𝑥𝑂 do corpo seja a saída, obtenha a função de 
transferência 𝑋𝑂(𝑠)/𝑋𝑖(𝑠) . (Considere o movimento do corpo somente na direção 
vertical.) O deslocamento 𝑥𝑂 é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da 
variável de entrada 𝑥𝑖. 
 
 
A.7 Exemplo 3 
Obtenha as funções de transferência 𝐸𝑜(𝑠)/𝐸𝑖(𝑠) dos circuitos em ponto tipo 𝑇 
mostrados nas figuras. 
 
 
 
 
 
A.7 Exemplo 4 
Obtenha a função de transferência 𝐸𝑜(𝑠)/𝐸𝑖(𝑠) do circuito com amplificador operacional 
mostrado na Figura. 
 
 
A.7 Exemplo 5 
Considere o servossistema indicado na Figura. O motor mostrado é um servomotor, um 
motor 𝑐. 𝑐 . projetado especialmente para ser utilizado em um sistema de controle. A 
operação desse sistema é a seguinte: um par de potenciômetros atua como um dispositivo 
detector de erros. Eles convertem as posições de entrada e de saída em sinais elétricos 
proporcionais. O sinal de entrada de comando determina a posição angular 𝑟 do braço do 
cursor da entrada do potenciômetro. A posição angular 𝑟 é a entrada de referência do 
sistema, e o potencial elétrico do cursor é proporcional à posição angular do braço. A 
posição do eixo de saída determina a posição angular c do cursor do braço de saída do 
potenciômetro. A diferença entre a posição angular de entrada 𝑟 e a posição angular de 
saída 𝑐 é o sinal de erro e, ou 𝑒 = 𝑟 − 𝑐. A diferença de potencial 𝑒𝑟– 𝑒𝑐 = 𝑒𝑢 é o erro de 
tensão, onde 𝑒𝑟 é proporcional a 𝑟 e 𝑒𝑐 é proporcional a 𝑐; isto é, 𝑒𝑟 = 𝐾0𝑟 e 𝑒𝑐 = 𝐾0𝑐, 
onde 𝐾0 é a constante de proporcionalidade. O erro de tensão que aparece nos terminais 
do potenciômetro é amplificado pelo amplificador cuja constante de ganho é 𝐾1. A tensão 
de saída do amplificador é aplicada ao circuito da armadura do motor 𝑐. 𝑐. Uma tensão 
fixa é aplicada ao enrolamento do campo. Se existir erro, o motor desenvolve um torque 
para girar a carga, de modo que reduza o erro a zero. Para a corrente de campo constante, 
o torque desenvolvido pelo motor é: 
𝑒𝑏 = 𝐾3
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
onde 𝑒𝑏 é a 𝑓𝑐𝑒𝑚 (força contra eletromotriz), 𝐾3 é a constante de 𝑓𝑐𝑒𝑚 do motor e 𝜃 é o 
deslocamento angular do eixo do motor. Obtenha a função de transferência entre o 
deslocamento angular 𝜃 do eixo do motor e a tensão de erro 𝑒𝑢. Obtenha também um 
diagrama de blocos para esse sistema e um diagrama de blocos simplificado, supondo que 
𝐿𝑎 seja desprezível. 
 
 
 
 
 
 
A.11 Exercício 4 
Simplifique o diagrama de blocos exposto na Figura e obtenha a função de transferência 
de malha fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) 
 
R: 
 
A.11 Exercício 7 
Considerando o sistema da Figura, assinale a alternativa correta: 
 
a) O sistema é estável, pois possui três polos no semiplano da direita e um polo no 
semiplano da esquerda, porém pode assumir polos no eixo 𝑗𝜔. 
b) O sistema é estável, pois possui dois polos no semiplano da direita e três polos no 
semiplano da esquerda. 
c) O sistema é instável pois possui dois polos no semiplano da direita e dois polos no 
semiplano da esquerda 
d) O sistema é estável, pois possui três polos no semiplano da esquerda. 
e) O sistema é instável, pois possui quatro polos no semiplano da direita e nenhum polo 
no semiplano da esquerda, porém pode assumir polos no eixo 𝑗𝜔. 
A.11 Exercício 9 
Correlacione a Figura com o texto 
Imagem A Imagem B 
 
1. Rede em Avanço de Fase | 2. Rede em Atraso de Fase 
R: A imagem A está relacionada ao 1.; A imagem B está relacionada a 2. 
A.11 Exercício 11 
As afirmativas abaixo estão relacionadas com sistemas de controle. 
I. A frequência natural de um sistema de segunda ordem é a frequência de oscilação do 
sistema com amortecimento. 
II. Um sistema sub-amortecido é aquele em que o coeficiente de amortecimento é igual 
a um. 
III. A função de transferência de um sistema de tempo contínuo, linear e invariante no 
tempo é o quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada 
de Laplace do seu sinal de entrada, quando todas as condições iniciais são nulas. 
Com relação às afirmações acima, está (ão) correta (s): 
a. III apenas. 
b. I, II e III. 
c. II apenas. 
d. II e III apenas. 
e. I e II apenas. 
 
A.11 Exercício 12 
As afirmativas abaixo estão relacionadas com a resposta transitória de um sistema de 
segunda ordem sem zeros, no domínio do tempo. 
I. O máximo sobressinal não é um parâmetro utilizado para especificações de projeto 
baseado na resposta transitória. 
II. O tempo de acomodação é o tempo em que a resposta permanece no valor máximo 
em amplitude, após alcançar 80% em torno do regime permanente. 
III. O tempo de pico é o tempo para que a resposta alcance o valor máximo em amplitude, 
pela primeira vez. 
Com relação as afirmações acima, está (ão) correta (s): 
a. I, II e III. 
b. I e II apenas. 
c. III apenas. 
d. II apenas. 
e. II e III apenas. 
 
A.11 Exercício 13 
Analise o sistema representado pelo diagrama de blocos da Figura Assinale a alternativa 
que apresenta o valor do ganho 𝐾 > 0 e os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo 
imaginário: 
a. 𝐾 = 160 e 𝑗𝜔 = ±𝑗4. 
b. 𝐾 = 320 e 𝑗𝜔 = ±𝑗20. 
c. 𝐾 = 160 e 𝑗𝜔 = ±𝑗16. 
d. 𝐾 = 320 e 𝑗𝜔 = ±𝑗4. 
e. 𝐾 = 320 e 𝑗𝜔 = ±𝑗16. 
R: 
A.11 Exercício 14 
Com relação as técnicas de projeto de controladores para os diferentes sistemas, é correto 
afirmar: 
a. No Compensador Avanço de Fase, o valor do zero da função de transferência do 
controlador é maior que o valor do polo. 
b. O LGR não pode ser utilizado como uma técnica de projeto de um Compensador de 
Avanço de Fase. 
c. O Compensador de Avanço de Fase atua na compensação nas altas frequências. 
d. O Compensador de Atraso de Fase é empregado quando deseja-se diminuir o erro de 
regime permanente. 
e. O Compensador Avanço de Fase é empregado quando deseja-se diminuir o 
sobressinal da resposta temporal 
A.11 Exercício 15 
O LGR (Lugar Geométrico das Raízes) tem por objetivo representar graficamente o 
deslocamento dos polos de um determinado sistema quando sujeito a variação de um ou 
mais parâmetros. Com relação ao LGR é INCORRETO afirmar: 
a. Se o LGR do sistema apresentar raízes sobre o eixo imaginário, o critério de Routh-
Hurwitz não pode ser empregado para determinar a faixa de ganho do sistema. 
b. o sentido dos ramos vão dos polos para os zeros. 
c. o centroide do LGR é determinado com base no valor parte real dos polos e zeros da 
função de transferência do sistema em malha aberta e no número de polos e zeros. 
d. o posicionamento dos polos de malha aberta não dependem do valor do ganho do 
sistema. 
e. o número de ramos do LGR é igual a quantidade de raízes do denominador da função 
de transferência do sistema em malha fechada. 
 
 
A.11 Exercício 16 
A figura a seguir apresenta um sistema de controle representando pelo diagramade 
blocos. Esse sistema pode ser substituído por uma única função d transferência, conforme 
 
a. 𝐺1 + 𝐺2 
b. 
𝐺1
1+𝐺1∙𝐺2
 
c. 𝐺1 ∙ 𝐺2 
d. 
𝐺2
1−𝐺1∙𝐺2
 
e. 
𝐺1
1−𝐺1∙𝐺2
 
 
A.14 Exemplo 5 
Considere o sistema mostrado na Figura abaixo. A função de transferência do ramo direto 
é: 
 
 
 
 
 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
10
𝑠2 + 𝑠 + 10
=
10
(𝑠 + 0,5 + 𝑗3,1225)(𝑠 + 0,5 − 𝑗3,1225)
 
 
 
R: Os polos de malha fechada estão situados em: 𝑠 = −0,5 ± 𝑗3,1225 
O coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada é 
𝜁 =
1/2
√10
= 0,1581 
A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada é: 
𝜔𝑛 = √10 = 3,1623 rad/s 
Como o coeficiente de amortecimento é muito pequeno, o sistema terá grande sobressinal 
na resposta degrau (não desejável). Deseja-se projetar um compensador por avanço de 
fase 𝐺𝑐(𝑠) como na Figura a seguir, sendo os polos de malha fechada dominantes com 
coeficiente de amortecimento de 𝜁 = 0,5 e a frequência natural não amortecida 𝜔𝑛 =
3 rad/s. As localizações desejadas dos polos de malha fechada dominantes podem ser 
determinadas por: 
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 = 𝑠2 + 3𝑠 + 9 = (𝑠 + 1,5 + 𝑗2,5981)(𝑠 + 1,5 − 𝑗2,5981) 
𝑠 = −1,5 ± 𝑗2,5981 
 
Em alguns casos, depois de obtido o lugar das raízes do sistema original, os polos de 
malha fechada dominantes podem ser movidos para a posição desejada simplesmente 
pelo ajuste do ganho. Entretanto, este não é o caso do sistema em questão. Por essa razão, 
vamos inserir um compensador por avanço de fase no ramo direto. Um procedimento 
geral para determinar o compensador por avanço de fase é o seguinte: 
Primeiro, determine a soma dos ângulos junto a um dos polos de malha fechada 
dominantes na posição desejada, com os polos e zeros de malha aberta do sistema 
original, e em seguida o ângulo 𝜙 necessário a ser acrescentado para que a soma total dos 
ângulos seja igual 𝑎 ± 180°(2𝑘 + 1). O compensador por avanço de fase deve contribuir 
com esse ângulo z. (Se o ângulo z for muito grande, então podem ser necessárias duas ou 
mais redes de avanço de fase, e não uma única). Considere que o compensador 𝐺𝑐(𝑠) tem 
a seguinte função de transferência: 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐𝛼
𝑇𝑠 + 1
𝛼𝑇𝑠 + 1
= 𝐾𝑐
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛼𝑇
, (0 < 𝛼 < 1) 
O ângulo, entre o polo na origem e o polo de malha fechada dominante em 𝑠 = −1,5 +
𝑗2,5981 é 120° . I ângulo do polo em 𝑠 = −1 ao polo de malha fechada desejado é 
100,894°. Portanto, a deficiência angula é 
Deficiência angular = 180° − 120° − 100,894° = −40,894° 
A deficiência angula de 40,894° deve ser preenchida por um compensador de avanço de 
fase. Note que a solução para esse problema não é única. Existe uma infinidade de 
soluções. 
Método de Resolução: Fazendo o zero do 
compensador de avanço de fase em 𝑠 = −1 , de 
forma que ele cancele o polo da planta em 𝑠 = −1, 
o polo compensador deverá estar em 𝑠 = −3. Então 
o compensador de avanço torna-se: 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐
𝑠 + 1
𝑠 + 3
 
O valor de 𝐾𝑐 pode ser determinado pela condição 
de módulo 
|𝐾𝑐
𝑠 + 1
𝑠 + 3
10
𝑠(𝑠 + 1)
|
𝑠=−1,5+𝑗2,5981
= 1 
𝐾𝑐 = |
𝑠(𝑠 + 3)
10
|
𝑠=−1,5+𝑗2,5981
= 0,9 
𝐺𝑐(𝑠) = 0,9
𝑠 + 1
𝑠 + 3
 
A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é: 
𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = 0,9
𝑠 + 1
𝑠 + 3
10
𝑠(𝑠 + 1)
=
9
𝑠(𝑠 + 3)
 
A função de transferência de malha fechada do sistema projetado é: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
9
𝑠2 + 3𝑠 + 9
 
Note que, no caso em questão, o zero ou o compensador de avanço de fase cancelará um 
polo da planta, resultando em um sistema de segunda ordem, em lugar de um sistema de 
terceira ordem como poderíamos projetar por meio de outro Método. 
A constante do erro estático de velocidade para o caso em questão é obtida como segue: 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺(𝑠)𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠 [
9
𝑠(𝑠 + 3)
] = 3 
Para variações na combinação de zero e polo do compensador que acrescentem 40,894º, 
o valor de 𝐾𝑣 será diferente. Embora alguma mudança possa ser feita no valor de 𝐾𝑣 por 
meio da alteração do lugar de polo e de zero do compensador de avanço de fase, se for 
desejável um grande aumento no valor 𝐾𝑣, será preciso mudar o compensador de avanço 
de fase para um compensador de atraso e avanço de fase. 
 
 
A.15 Exemplo 6 
Considere o sistema mostrado na Figura abaixo, junto com a função de transferência do 
ramo direto. A Figura ao lado mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema. 
 
R: A função de transferência de malha fechada é: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
1,06
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) + 1,06
=
1,06
(𝑠 + 0,3307 − 𝑗0,5864)(𝑠 + 0,3307 + 𝑗0,5864)(𝑠 + 2,3386)
 
Os polos dominantes de malha fechada são: 
𝑠 = 0,3307 ± 𝑗0,5864 
O coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada é 𝜁 = 0,491. A 
frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes é 0,673rad/s. 
A constante de erro estático de velocidade é 0,53 𝑠–1. 
É desejável aumentar a constante de erro estático de velocidade 𝐾𝜐 para 
aproximadamente 5𝑠–1, sem que haja modificação significativa na posição dos polos 
dominantes de malha fechada. Para atender a essa especificação, vamos inserir um 
compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência de ramo direto, 
de acordo com a Equação abaixo. Para aumentar a constante de erro estático de velocidade 
por um fator em torno de 10, escolhemos 𝛽 = 10 e posicionamos o zero e o polo do 
compensador por atraso de fase em 𝑠 = – 0,05 e 𝑠 = – 0,005, respectivamente 
𝐺𝑐(𝑠) = �̂�𝑐𝛽
𝑇𝑠 + 1
𝛽𝑇𝑠 + 1
= �̂�𝑐 =
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛽𝑇
 
A função de transferência do compensador por atraso de fase será: 
𝐺𝑐(𝑠) = �̂�𝑐
𝑠 + 0,05
𝑠 + 0,005
 
A contribuição angular dessa rede de atraso de fase próxima de um polo de malha fechada 
dominante é de aproximadamente 4°. Pelo fato de essa contribuição angular não ser muito 
pequena, existe uma ligeira alteração no novo lugar das raízes, próximo aos polos 
dominantes de malha fechada desejados. A função de transferência de malha aberta do 
sistema compensado torna-se: 
𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = �̂�𝑐
𝑠 + 0,05
𝑠 + 0,005
1,06
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
=
𝐾(𝑠 + 0,05)
𝑠(𝑠 + 0,005)(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
 
𝐾 = 1,06�̂�𝑐 
A Figura mostra o gráfico de blocos do sistema compensado e a Figura seguinte o gráfico 
do lugar das raízes do sistema compensado próximo dos polos dominantes de malha 
fechada e inclui também o gráfico do lugar das raízes do sistema original. 
 
 
Se o coeficiente de amortecimento dos novos polos dominantes de malha fechada 
permanecer o mesmo, então os polos serão obtidos a partir do novo gráfico do lugar das 
raízes como segue: 
𝑠1 = −0,31 + 𝑗0,55, 𝑠2 = −0,31 − 𝑗0,55 
O ganho de malha aberta 𝐾 é determinando a partir da condição de módulo como segue: 
𝐾 = |
𝑠(𝑠 + 0,005)(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑠 + 0,05
|
𝑠=−0,31+𝑗0,55
= 1,0235 
Então o ganho do compensador por atraso de fase �̂�𝑐 é: 
�̂�𝑐 =
𝐾
1,06
=
1,0235
1,06
= 0,9656 
Assim, a função de transferência do compensador por atraso de fase projetado é: 
𝐺𝑐(𝑠) = 0,9656
𝑠 + 0,05
𝑠 + 0,005
= 9,656
20𝑠 + 1
200𝑠 + 1
 
 
Portanto, o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta: 
𝐺1(𝑠) =
1,0235(𝑠 + 0,05)
𝑠(𝑠 + 0,005)(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
=
5,12(20𝑠 + 1)
𝑠(200𝑠 + 1)(𝑠 + 1)(0,5𝑠 + 1)
 
A constante de erro estático de velocidade 𝐾𝑢 é: 
𝐾𝑢 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺1(𝑠) = 5,12 
No sistema compensado, a constante de erro estático de velocidade aumentou para 
5,12𝑠–1 ou 5,12/0,53 = 9,66 vezes o valor original. (O erro estacionário a uma 
excitação em rampa decresceu para cerca de 10% do valor do erro do sistema original.) 
Assim, o objetivo principal do projeto de aumentar a constante de erro estático para 
aproximadamente 5𝑠–1 foi essencialmente alcançado. O polo e o zero do compensador 
por atraso de fase estão muito próximos entre si e posicionados muito perto da origem. O 
efeito sobre a forma do lugar das raízes original é pequeno.Exceto pela presença de uma 
pequena região do lugar das raízes próxima à origem, os lugares das raízes dos sistemas 
não compensado e compensado serão muito semelhantes. 
Os outros dois polos de malha fechada do sistema compensado são encontrados em: 
𝑠3 = −2,326, 𝑠4 = −0,0549 
A inserção do compensador por atraso de fase aumenta a ordem do sistema de 3 para 4, 
acrescentando um polo adicional de malha fechada próximo do zero do compensador de 
atraso de fase. (O polo de malha fechada adicionado em 𝑠 =– 0,0549 fica próximo de 
zero em 𝑠 =– 0,05.) Esse par de zero e polo produz uma ‘cauda’ longa, de pequena 
amplitude na resposta transitória, como será visto adiante na resposta ao degrau unitário. 
Como o polo em 𝑠 = 2,326 está muito distante do eixo 𝑗𝜔 em comparação com os polos 
dominantes de malha fechada, o efeito desse polo sobre a resposta. Por essa razão, pode-
se considerar os polos em 𝑠 =–0,31 ± 𝑗0,55 como os polos dominantes de malha 
fechada. A frequência natural não amortecida dos polos dominantes de malha fechada do 
sistema compensado é 0,631 rad/s. Esse valor é aproximadamente 6% menor que o 
valor original, 0,673 rad/s . Isso implica que a resposta transitória do sistema 
compensado fica mais lenta que a resposta do sistema original. A resposta levará mais 
tempo para se acomodar. O máximo sobressinal na resposta ao degrau será maior no 
sistema compensado. Se esses efeitos adversos puderem ser tolerados, a compensação por 
atraso de fase que foi discutida aqui se apresentará como uma solução satisfatória para 
esse problema de projeto. 
 
A.16 Exemplo 7 
Considere o sistema mostrado na Figura. A função de transferência 𝐺(𝑠) é: 
 
R: Para a entrada senoidal 𝑥(𝑡) = 𝑋 sin(𝜔𝑡), a saída em regime permanente 𝑦𝑠𝑠(𝑡) pode 
ser encontrada como a seguir: Substituindo 𝑗𝜔 por 𝑠 em 𝐺(𝑠), temos: 
𝐺(𝑗𝜔) =
𝐾
𝑗𝑇𝜔 + 1
 
A relação de amplitude entre a saída e a entrada é: |𝐺(𝑗𝜔)| =
𝐾
√1+𝑇2𝜔2
 enquanto o ângulo 
de fase 𝜙 é: 𝜙 = ∠𝐺(𝑗𝜔) = − tan−1 𝑇𝜔 
Assim, a resposta em regime permanente 𝑦𝑠𝑠(𝑡) à entrada 𝑥(𝑡) = 𝑋 sin𝜔𝑡 pode ser 
obtida a partir da Equação, como segue: 
𝑦𝑠𝑠(𝑡) =
𝑋𝐾
√1 + 𝑇2𝜔2
sin(𝜔𝑡 − tan−1 𝑇𝜔) 
Logo, se ω for pequeno, a amplitude da resposta em regime permanente 𝑦𝑠𝑠(𝑡) será quase 
𝐾 vezes a amplitude da entrada. Se 𝜔 for pequeno, a defasagem da saída será pequena. 
Se 𝜔 for grande, a amplitude da saída será pequena e quase inversamente proporcional a 
𝜔. A defasagem aproxima-se de – 90° à medida que 𝜔 tende ao infinito. Esta é uma rede 
de atraso de fase. 
A.16 Exemplo 8 
Considere a rede dada. Determine se esta é uma rede de avanço ou de atraso de fase. Para 
a entrada senoidal 𝑥(𝑡) = 𝑋 sin𝜔𝑡 , a saída em regime permanente 𝑦𝑠𝑠(𝑡) pode ser 
encontrada como segue: 
𝐺(𝑗𝜔) =
𝑗𝜔 +
1
𝑇1
𝑗𝜔 +
1
𝑇2
=
𝑇2(1 + 𝑇1𝑗𝜔)
𝑇1(1 + 𝑇2𝑗𝜔)
 
|𝐺(𝑗𝜔)| =
𝑇2√1 + 𝑇2𝜔2
𝑇1√1 + 𝑇2
2𝜔2
, 𝜙 = ∠𝐺(𝑗𝜔) = tan−1 𝑇1𝜔 − tan
−1 𝑇2𝜔 
Assim, a saída em regime permanente é: 
𝑦𝑠𝑠(𝑡) =
𝑋𝑇2√1 + 𝑇1
2𝜔2
𝑇1√1 + 𝑇2
2𝜔
sin(𝜔𝑡 + tan−1 𝑇1𝜔 − tan
−1 𝑇2𝜔) 
Por essa expressão, concluímos que, se 𝑇1 > 𝑇2 , então tan
−1 𝑇1𝜔 − tan
−1 𝑇2𝜔 > 0 . 
Assim, se 𝑇1 > 𝑇2, então a rede será de avanço de fase. Se 𝑇1 < 𝑇2, então a rede será uma 
rede de atraso de fase. 
 
A.17 Exemplo 9 
Construa o diagrama de Bode da seguinte função de transferência: 
𝐺(𝑗𝜔) =
𝑒−𝑗𝜔𝐿
1 + 𝑗𝜔𝑇
 
R: O módulo em 𝑑𝐵 é: 
20 log|𝐺(𝑗𝜔)| = 20 log|𝑒−𝑗𝜔𝐿| + 20 log |
1
1 + 𝑗𝜔𝑇
| = 0 + 20 log |
1
1 + 𝑗𝜔𝑇
| 
O ângulo de fase de 𝐺(𝑗𝜔) é: 
∠𝐺(𝑗𝜔) = ∠𝑒−𝑗𝜔𝐿 + ∠(
1
1 + 𝑗𝜔𝑇
) = −𝜔𝐿 − tan−1 𝜔𝑇 
As curvas de módulo em 𝑑𝐵 e de ângulo de fase dessa função de transferência com 𝐿 =
0,5 e 𝑇 = 1 estão indicadas na Figura a seguir. 
 
 
 
 
A.22 Questão 1 
Acerca das ações de controle proporcional (P), integral (I) e derivativa (D), assinale a 
opção correta. 
a. O erro residual em regime estacionário pode ser eliminado com a ação de controle 
integral. 
b. Uma alteração no ganho proporcional não altera a parte integral da ação de controle 
de um controlador PI. 
c. No controle proporcional de um processo com uma função de transferência sem 
integrador, o erro em regime estacionário é nulo. 
d. A ação de controle derivativa minimiza os sinais de ruído e evita a saturação no 
atuador. 
e. Em um controlador integral, a magnitude da saída do controlador é proporcional à 
taxa de variação do sinal de erro. 
A.22 Questão 2 
Um amperímetro de alicate, um voltímetro e um wattímetro foram empregados para aferir 
as grandezas elétricas de corrente, tensão e potência de uma montagem experimental de 
um circuito em corrente alterada, monofásica, na frequência de 60𝐻𝑧. Com relação a 
esses instrumentos de medida, pode-se afirmar: 
a. O amperímetro de alicate realiza a medição na corrente elétrica de um circuito por um 
princípio de indução, segundo a lei circuital de Ampere, sem o contato elétrico com 
qualquer parte do circuito. 
b. O wattímetro mede a potência ativa consumida pelo circuito enquanto esse está 
desconectado de sua alimentação. 
c. O voltímetro apresenta uma resistência interna próxima de zero para que, quando 
ligado em série à alimentação do circuito, não haja perturbação nas medidas da tensão 
ou corrente do sistema. 
d. O voltímetro apresenta uma condutância interna muito elevada para que, quando 
ligado em paralelo à alimentação do circuito, não haja perturbação das medidas da 
tensão ou corrente do sistema. 
e. O wattímetro mede a potência aparente consumida pelo circuito enquanto esse está 
desconectado de sua alimentação. 
A.22 Questão 3 
Um sistema de controle discreto, com realimentação de saída apresenta uma estrutura de 
compensação na malha direta, em série com a planta, cuja função de transferência do 
compensador é 𝐻(𝑧) =
𝐾(𝑧−0,9)
𝑧−0,7
. Trata-se do tipo compensador 
a. Proporcional Integral 
b. De Atraso de Fase 
c. PID 
d. Derivativo 
e. Avanço de Fase 
 
A.22 Questão 4 
Analise o diagrama de bloco a seguir, no qual 𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 , 𝐻1 e 𝐻2 são funções 
transferências. 
 
Considerando a entrada 𝑈(𝑠) e a saída 𝑌(𝑠), a função transferência resultante equivalente 
a estrutura dos blocos da figura é: 
a. 
𝐺3𝐺2𝐺1
1+𝐺3𝐺2𝐻2+𝐺2𝐺1𝐻1
 
b. 
𝐺2𝐺1
1+𝐺3𝐺2𝐻2
 
c. 
𝐺3𝐺2𝐺1
1−𝐺3𝐺1𝐻1𝐻2
 
d. 
𝐺3𝐺2
1+𝐺2𝐺1𝐻1
 
e. 
𝐺3𝐺2𝐺1
1+𝐺3𝐺2𝐻2−𝐺2𝐺1𝐻1
 
 
 
 
 
 
 
A.22 Questão 5 
Considerando os Diagramas de Bode de um sistema de segunda ordem, mostrados abaixo, 
identifique os polos desse sistema 
a. 𝑝1 = 1, 𝑝2 = 1000 
b. 𝑝1 = 100, 𝑝2 = 100 
c. 𝑝1 = 10, 𝑝2 = 10 
d. 𝑝1 = 1, 𝑝2 = 10 
e. 𝑝1 = 0, 𝑝2 = 100 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
A.22 Questão 6 
Dados os diagramas de Bode de um sistema de primeira ordem em malha aberta, 
determine os valores de 𝐾 e 𝜏 da equação mostrada abaixo. 
Os valores de 𝐾 e 𝜏 são: 
a. 𝐾 = 20 e 𝜏 = 0,5 
b. 𝐾 = 10 e 𝜏 = 0,1 
c. 𝐾 = 20 e 𝜏 = 10−1 
d. 𝐾 = 10 e 𝜏 = 2,0 
e. 𝐾 = 20 e 𝜏 = 10−2 
 
R: 
 
 
 
 
 
 
A.22 Questão 7 
Determine as Margens de Ganho (MG) e de Fase (MF) nos diagramas de Bode em Malha 
Aberta e conclua sobre a estabilidade do sistema em Malha Fechada. 
a. MG = 0dB,MF = 135, estável. 
b. MG = 10dB,MF = 45, instável. 
c. MG = 0dB,MF = 135, instável. 
d. MG = 10dB,MF = 45, estável. 
e. MG = 0dB,MF = 45, instável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A.22 Questão 8 
Admitindo-se que PI corresponde à ação proporcional-integral, PD corresponde à ação 
proporcional-derivativo e que PID corresponde à ação proporcional-integral-derivativo, 
examine as afirmações a seguir sobre as ações de controle de processo PI, PD e PID 
I. Controle que elimina o erro de forma automática, gerando uma resposta transitória 
adequada pela ação proporcional 
II. Controle que combina a estabilidade com a eliminação de um erro em um único 
controlador; minimizando o sinal de erro pela ação proporcional,zerando pela ação 
integral e obtido em uma velocidade antecipada pela ação derivativa. 
III. Controle que, na prática, não pode ser utilizado de forma isolada, mas quando 
combinado com outros tipos de controle, tem tendência de melhora a estabilidade do 
sistema e reduzir o tempo de acomodação. 
 
A sequência que apresenta corretamente as ações de controle é: 
a. I. Proporcional-Integral / II. Proporcional-Derivativo / III. Proporcional-Integral-
Derivativo 
b. Todos são apenas ações de controle Derivativas. 
c. I. Proporcional-Derivativo / II. Proporcional-Derivativo / III. Proporcional-Integral 
d. I. Proporcional-Derivativo / II. Proporcional-Integral-Derivativo / III. Proporcional-
Integral 
e. I. Proporcional-Integral / II. Proporcional-Integral-Derivativo / III. Proporcional-
Derivativo 
A.22 Questão 9 
Controladores PID são sistemas de fácil implementação e baixo custo, portanto são muito 
comuns a aplicações em processos produtivos na indústria. Sobre sistemas de controle 
PID, assinale a alternativa incorreta. 
a. O aumento do ganho proporcional de um controlador atua diretamente na velocidade 
de resposta do sistema. 
b. Um aumento excessivo da ação integral em um controlador tornará o sistema mais 
estável. 
c. O limiar da estabilidade em um controlador proporcional ocorre quando o sistema 
apresenta uma oscilação sustentada. 
d. A ação derivativa possui como função o comportamento transitório do sistema em 
malha fechada. 
e. Existe apenas uma afirmativa incorreta. 
 
A.22 Questão 10 
A partir de um sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estado. Conclui-
se que a função transferência equivalente do sistema é: 
a. 
49𝑠+7
𝑠3+7𝑠2+49𝑠+7
 
b. 
7
𝑠2+49𝑠+7
 
c. 
7𝑠+49
𝑠3+49𝑠2+7𝑠+49
 
d. 
49
𝑠3+7𝑠2+49𝑠+7
 
e. 
49
𝑠2+7𝑠+49
 
R: 
 
 
 
 
A.22 Questão 11 
Considere um sistema representado no espaço de estado pelo seguinte conjunto de 
equações matriciais: 
[
�̇�1
�̇�2
] = [
−4 −1
3 −1
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
1
1
] 𝑢 
𝑦 = [1 0] [
𝑥1
𝑥2
] 
A função de transferência 𝐺(𝑠) que representa o sistema está corretamente indicada em: 
 
a. 1/(𝑠 + 4)(𝑠 + 3) 
b. 1/(𝑠 + 4)(𝑠 + 3) + 3 
c. 1/𝑠2 + 𝑠 − 3 
d. 𝑠 + 7/𝑠2 + 5𝑠 + 7 
e. 𝑠/𝑠2 + 5𝑠 + 7 
R: 
 
 
 
 
 
 
A.22 Questão 12 
A figura abaixo apresenta um diagrama em bloco de um sistema linear invariante no 
tempo: 
 
A saída 𝑦(𝑡) é igual a: 
a. [ℎ1(𝑡) + ℎ2(𝑡)]/𝑥(𝑡) 
b. [ℎ1(𝑡) + ℎ2(𝑡)] ∙ 𝑥(𝑡) 
c. [ℎ1(𝑡)/ℎ2(𝑡)] ∙ 𝑥(𝑡) 
d. ℎ1(𝑡) ∙ ℎ2(𝑡) ∙ 𝑥(𝑡) 
e. [ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡)] ∙ 𝑥(𝑡) 
A.22 Questão 13 
Considere o seguinte 𝑥 sistema dinâmico representado no Espaço de Estado 
{
�̇�(𝑡) = [
−2 0
1 −1
] 𝑥(𝑡) + [
2
1
] 𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = [1 0]𝑥(𝑡)
 
Pode-se dizer que este sistema é: 
a. Controlável e Observável. 
b. Não é possível determinar a controlabilidade e a observabilidade do sistema apenas 
com dados fornecidos. 
c. Controlável e Não-observável. 
d. Não controlável e Observável. 
e. Não controlável e Não-observável. 
R: 
 
 
A.22 Questão 14 
Um engenheiro de equipamentos está trabalhando em uma planta que pode ser 
representada pelo diagrama de blocos abaixo, em que 𝑟(𝑡) e 𝑦(𝑡) são a entrada e saída 
dessa planta, respectivamente. Após análise do diagrama, conclui-se que a função de 
transferência do sistema é representada por: 
a. 
36
13𝑠2+38𝑠+36
 
b. 
36
𝑠(𝑠2+38𝑠)
 
c. 
36
𝑠4+13𝑠3+38𝑠2+36𝑠+1
 
d. 
36
𝑠3+13𝑠2+38𝑠+36
 
e. 
36
𝑠3+38𝑠2+36𝑠+13
 
R: 
 
 
 
A.22 Questão 15 
Para analisar o comportamento de um sistema representado pela função de transferência 
𝐻(𝑠) =
81
𝑠2+4𝑠+9
 um engenheiro está interessado em determinar as margens de ganho e 
fase do sistema, utilizando os diagramas de Bode ilustrados na Figura abaixo. Qual a 
margem de fase aproximada desse sistema, em graus? 
a. 20 
b. 153,5 
c. 26,5 
d. 45 
e. 35 
R: 
 
 
 
 
A.22 Questão 16 
Considerando a distribuição de polos e zeros de um sistema em malha aberta no plano 𝑠, 
mostrada a seguir, indique o Lugar Geométrico das Raízes para o sistema em malha 
Fechada. 
a. Entre A e Zero e entre D e menos infinito. 
b. Entre A e B e entre C e D. 
c. Entre A e Zero, entre B e C e entre D e menos infinito. 
d. Entre B e C e entre C e D. 
e. Entre A e B, entre B e C e entre C e D. 
A.22 Questão 17 
Determine a relação 𝑌 e 𝑅 no sistema a seguir. 
 
a. 
𝑌
𝑅
= [𝐹(𝑠) − 𝐻(𝑠)]𝐶(𝑠)𝐺(𝑠) 
b. 
𝑌
𝑅
=
𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
𝐹(𝑠)−𝐻(𝑠)
 
c. 
𝑌
𝑅
=
𝐹(𝑠)−𝐻(𝑠)
𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
 
d. 
𝑌
𝑅
=
𝐹(𝑠)𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
1+𝐻(𝑠)𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
 
e. 
𝑌
𝑅
=
𝐹(𝑠)𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
1+𝐻(𝑠)𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
 
R: 
 
 
A.22 Questão 18 
Para uma representação em espaço de estado algumas propriedades são importantes e 
definem as possibilidades de manipulação de uma planta física. A controlabilidade e a 
observabilidade de um sistema são duas das propriedades fundamentais para a síntese de 
controladores. Para o sistema linear contínuo �̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) e 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) +
𝐷𝑢(𝑡), definido pelas matrizes: 
𝐴 = [
1 𝑎
0 𝑏
] ; 𝐵 = [
𝑐
𝑑
] ; 𝐶 = [𝑓 𝑔]; 𝐷 = 0; 𝑒 {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔} ∈ ℝ 
Assinale a alternativa correta: 
a. O sistema não é observável e não é controlável se 𝑑 = 1 e 𝑓 = 1. 
b. O sistema não é observável se 𝑔 = 0 e 𝑓 > 0. 
c. O sistema não é observável e não é controlável se 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1. 
d. O sistema não é observável e é controlável se 𝑎 = 0 e 𝑏 = −1. 
e. O sistema não é controlável se 𝑐 = 0 e 𝑎 > 0. 
R: 
 
A.22 Questão 19 
Para uma representação discreta (ou a tempo discreto) no espaço de estados, um sistema 
linear 𝑆1 é definido por 𝑋(1 + 𝑘) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘) e 𝑌 = 𝐶𝑥(𝑘) + 𝐷𝑢(𝑘), em que: o 
vetor de estado 𝑋 ∈ ℝ𝑛 ; o vetor de saída 𝑌 ∈ ℝ𝑝 ; o vetor de entrada 𝑢 ∈ ℝ𝑞 ; 𝑘 ∈ ℕ 
(incremento discreto); as matrizes são invariantes no tempo, têm dimensões compatíveis 
com os vetores e são formadas por números reais. 
Por meio de uma transformada de similaridade de 𝑆1, obtida utilizando uma matriz 𝑇 ∈
ℝ𝑛×𝑛| ∃𝑇 − 1, define-se o sistema 𝑆2. 
Empregando as denominações de matriz de dinâmica (A), matriz entradas (B), matriz de 
saída (C) e matriz de transmissão direta (D), para 𝑇 ≠ 1 (a matriz de transformação não 
é a matriz identidade), ao se comparar as propriedades, as matrizes e os vetores dos dois 
sistemas, verifica-se que: 
a. As matrizes de dinâmica dos sistemas são iguais. 
b. Para entradas iguais, as saídas dos sistemas são diferentes. 
c. Os polos de ambas representações são iguais. 
d. Apenas as matrizes de dinâmica são diferentes. 
e. As matrizes de saída e de transmissão direta de 𝑆1 são diferentes das respectivas 
matrizes de 𝑆2. 
A.22 Questão 20 
Considere o sistema pêndulo invertido com excitação de base mostrado na Figura abaixo. 
Desprezando a dissipação na junta de união da barra vertical com a base móvel (carrinho) 
e no movimento da base no terreno, o modelo matemático desse sistema é dado por 
{
(𝑀 + 𝑚)�̈� − 𝑚(ℎ cos 𝜑)�̈� + 𝑚(ℎ sin𝜑)�̈� = 𝐹(𝑡)
(𝐽 + 𝑚ℎ2)�̈� − 𝑚𝑔(ℎ sin𝜑) − 𝑚(ℎ cos𝜑)�̈� = 0
 
 
Supondo a massa da base desprezível, seu modelo de estado para pequenos ângulos e 
baixas velocidades angulares é: 
[
�̇�
�̇�
�̇�
�̇�
] =
[
 
 
 
 
 
 
0 0 1 0
0 0 0 1
0
𝑚𝑔ℎ2
𝐽
0 0
0
𝑚𝑔ℎ
𝐽
0 0
]
 
 
 
 
 
 
[
𝑌
𝜑
𝑉
𝜔
] +
[
 
 
 
 
 
 
0
0
(𝐽 + 𝑚ℎ2
𝑚𝐽
ℎ
𝑗 ]
 
 
 
 
 
 
𝐹 
Se a força aplicada sobre a base incluir todos os 
termos não lineares do sistema, está sendo empregada 
a estratégia de: 
a. Realimentação para estabilização. 
b. Controle PID não linear. 
c. Linearização por realimentação. 
d. Observador não linear. 
e. Linearização estabilização 
A.22 Questão 21 
Seja a matriz quadrada 𝐴 = [
0 1 0
0 0 1
−15 −23 −9
] os autovalores dessa matriz são as raízes 
do seu polinômio característico, obtidos da relação det(λl − A) = 0. Considerando-se 
que um de seus autovalores vale −1, a soma de todos os seus autovalores é igual a:a. -12 
b. 9 
c. -9 
d. -15 
e. 47 
R: 
 
Lista de Exercício (LE1) 
LE1. Questão 01 
Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com 
realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja: 
𝐺(𝑠) =
2𝑠 + 1
𝑠2
 
R: Como é dito no enunciado, o sistema que era inicialmente de malha aberta, tornará um 
sistema de malha fechada com realimentação unitária conforme indicado no esquema 
abaixo: 
Sistema com malha aberta 
 
 
Sistema com malha fechada 
 
Podemos resumir o sistema de malha fechada 
 
 
Substituindo o valor de 𝐺(𝑠) na função transferência encontrada e simplificando, temos 
que: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
(
2𝑠 + 1
𝑠2
)
1 + (
2𝑠 + 1
𝑠2
)
⇒
(
2𝑠 + 1
𝑠2
)
(
𝑠2 + 2𝑠 + 1
𝑠2
)
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
2𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝑠 + 1
=
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2
 
A função do impulso unitário é: 
𝑅(𝑠) = 1 
Logo a resposta em impulso unitário pode ser encontrada da seguinte maneira: 
𝐶(𝑠) =
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2
 
Fazendo a transformada de Laplace da função de degrau unitário: 
1
ℒ
⇒
1
𝑠
= 𝑅(𝑠) 
Logo, temos que a resposta em degrau unitário é: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑐)
=
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2
⇒
𝐶(𝑠)
1/𝑠
=
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2
 
𝐶(𝑠) =
2𝑠 + 1
𝑠(𝑠 + 1)2
 
 
 
 
LE1. Questão 02 
Utilizando o MATLAB, obtenha a resposta ao degrau unitário, à rampa unitária e ao 
impulso unitário do seguinte sistema: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
 
Onde 𝑅(𝑠) e 𝐶(𝑠) são as transformadas de Laplace da entrada 𝑟(𝑡) e saída 𝑐(𝑡) 
respectivamente. 
R: Resposta ao degrau unitário: 
A reposta ao degrau unitário é dada quando 𝑅(𝑠) = 1/𝑠 ou seja: 
𝐶(𝑠) =
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
∙
1
𝑠
=
10
𝑠3 + 2𝑠2 + 10𝑠
 
 
A função 𝑐(𝑡) em resposta ao degrau unitário é: 
𝑐(𝑡) = 1 − 𝑒−𝑡 [cos(3𝑡) +
sin(3𝑡)
3
] , 𝑡 ≥ 0 
O gráfico da resposta em é dado da seguinte maneira 
 
Resposta Rampa Unitária: A resposta de rampa unitária é dada quando 𝑅(𝑠) = 1/𝑠2: 
𝐶(𝑠) =
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
∙
1
𝑠2
=
10
𝑠4 + 2𝑠3 + 10𝑠2
 
 
A função 𝑐(𝑡) em resposta a rampa unitária é: 
𝑐(𝑡) = 𝑡 + {𝑒−𝑡 [cos(3𝑡) −
4
3
sin(3𝑡)]} ∙
1
5
−
1
5
, 𝑡 ≥ 0 
O gráfico da resposta em é dado da seguinte maneira 
 
 
 
 
 
 
 
Por fim a resposta ao impulso unitário: A resposta ao impulso unitário é dada quando 
𝑅(𝑠) = 1 
𝐶(𝑠) =
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
 
 
A função 𝑐(𝑡) do impulso unitário é: 
𝑐(𝑡) =
10
3
𝑒−𝑡 sin(3𝑡) , 𝑡 ≥ 0 
O gráfico da resposta em impulso unitário, pode ser obtido da seguinte maneira: 
 
 
 
LE1. Questão 03 
Considere o sistema de controle de nível de líquido exporto na Figura. O controlado é do 
tipo proporcional. O valor de referência do controlador é fixo. Desenhe o diagrama de 
blocos desse sistema presumindo que as alterações nas variáveis sejam pequenas. 
Obtenha a função transferência entre o nível do segundo tanque e o distúrbio de entrada 
𝑞𝑑. Obtenha o erro de estado permanente quando o distúrbio 𝑞𝑑 é uma função de degrau 
unitário. 
 
R: 
𝑞𝑜 =
ℎ
𝑅
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
𝐶
(𝑞𝑖 − 𝑞𝑜) 
𝐻(𝑠)
𝑄𝑖(𝑠)
=
𝑅
𝑅𝐶𝑠 + 1
 
𝑄𝑜(𝑠)
𝑄𝑖(𝑠)
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
 
A figura abaixa ilustra o diagrama de bloco correspondente ao sistema. 
 
 
A função transferência é: 
𝐹𝑇 =
𝐻2(𝑠)
𝑄𝑑(𝑠)
 
Onde 
𝐻2(𝑠) =
𝑅2
𝑅2𝐶2𝑠 + 1
𝑄𝑑(𝑠) +
𝐾𝑅2
(𝑅1𝐶1𝑠 + 1) ∙ (𝑅2𝐶2𝑠 + 1)
(−𝐻2(𝑠)) 
((𝑅1𝐶1𝑠 + 1) ∙ (𝑅2𝐶2𝑠 + 1) + 𝐾𝑅2)𝐻2(𝑠) = 𝑅2(𝑅1𝐶1𝑠 + 1)𝑄𝑑(𝑠) 
Portanto a função transferência entre 𝐻2(𝑠) e 𝑄𝑑(𝑠) é: 
𝐻2(𝑠)
𝑄𝑑(𝑠)
=
𝑅2(𝑅1𝐶1𝑠 + 1)
(𝑅1𝐶1𝑠 + 1) ∙ (𝑅2𝐶2𝑠 + 1) + 𝐾𝑅2
 
A resposta 𝐻2(𝑠) em função do distúrbio 𝑄𝑑(𝑠) pode ser encontrado pela seguinte 
expressão para um degrau unitário. 
ℎ2(∞) = lim
𝑠→0
𝑠𝐻2(𝑠) =
𝑅2
1 + 𝐾𝑅2
 
Ou 
Erro = −
𝑅2
1 + 𝐾𝑅2
 
LE1. Questão 04 
Deduza a função de transferência do circuito elétrico indicado na Figura. Desenhe um 
diagrama esquemático de um sistema mecânico análogo. 
 
R: Fazendo a transformada de Laplace das equações dos resistores e dos capacitores, 
temos: 
𝑅𝑖
ℒ
⇒ 𝑅𝐼(𝑠) 
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡
ℒ
⇒
1
𝐶
∙
1
𝑠
𝐼(𝑠) 
Considerando a junção do resistor 𝑅1 e 𝐶1 como sendo 𝑧1 e a junção do resistor 𝑅2 com 
o capacitor 𝐶2 como 𝑧2, temos: 
𝑧1 = 𝑅1𝑖1 +
1
𝐶1
∫𝑖 𝑑𝑡
ℒ
⇒ 𝑍1 = 𝑅𝐼(𝑠) +
𝐼(𝑠)
𝐶1𝑠
 
𝑧2 = 𝑅2𝑖2 +
1
𝐶2
∫ 𝑖 𝑑𝑡
ℒ
⇒ 𝑍2 = 𝑅𝐼(𝑠) +
𝐼(𝑠)
𝐶2𝑠
 
Utilizando do divisor de tensão podemos encontrar a função transferência: 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
=
𝑅2 +
𝐼
𝐶2𝑠
𝑅1 +
𝐼
𝐶1𝑠
+ 𝑅2 +
𝐼
𝐶2𝑠
 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑅2𝐶2𝑠 + 1
(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)𝑠 + 1 +
𝐶2
𝐶1
 
Um sistema mecânico análogo a este circuito elétrico seria um sistema com molas. 
Considerando que 𝐶1 = 1/k1, 𝐶2 = 1/k2, 𝑅1 = b1 e 𝑅2 = b2, temos a seguinte equação 
resultante: 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
b2
1
k2
𝑠 + 𝐼
(b1 + b2)
1
k2
𝑠 + 𝐼 +
k1
k2
 
Simplificando a equação acima: 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
b2𝑠 + k2
(b1𝑠 + k1) + (b2𝑠 + k2)
 
 
 
LE1. Questão 05 
Simplifique o diagrama de bloco exposto na Figura e obtenha a função de transferência 
de malha fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠). 
 
R: A princípio podemos observar que os blocos 𝐻1 e 𝐻2 estão em paralelo, logo podemos 
simplifica-los para: 
 
Agora para melhor visualização do problema, vamos permutar a ordem dos somadores, 
para a seguinte configuração: 
 
 
 
Observemos que o bloco 𝐺1 está em paralelo com uma linha vazia que tem o valor 1, e 
existe um sistema com realimentação composto pelo bloco 𝐺2 e 𝐻1 + 𝐻2, que podem ser 
simplificados para: 
 
Por fim, basta unirmos os dois blocos restantes que estão em sistema cascata: 
 
Logo a função transferência é: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺2 + 𝐺1𝐺2
1 + (𝐻1 − 𝐻2)𝐺2
 
 
Lista de Exercício (LE2) 
LE2. Questão 2 
Considere o controlador PID eletrônico mostrado na Figura. Determine os valores de 𝑅1, 
𝑅2, 𝑅3, 𝑅4, C1 e C2 do controlador para que a função transferência 𝐺𝑐(𝑠) = 𝐸𝑜(𝑠)/𝐸𝑖(𝑠) 
seja: 
𝐺𝑐(𝑠) = 39,42 (1 +
1
3,077𝑠
+ 0,7692𝑠) = 30,3215
(𝑠 + 0,65)2
𝑠
 
 
R: Para que possamos encontrar os valores solicitados, é necessário fazer algumas 
comparações com as equações base para um controlador PID. A equação geral do 
controlador PID é dada por: 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑅(𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2)
𝑅3𝑅1𝐶2
[1 +
1
(𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2)𝑠
+
𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
𝑠] 
Onde podemos destacar as seguintes partes da equação: 
𝐾𝑝 =
𝑅(𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2)
𝑅3𝑅1𝐶2
 
𝑇𝑖 =
1
(𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2)
 
𝑇𝑑 =
𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
 
 
Sendo que 𝐾𝑝 é o ganho proporcional, 𝑇𝑖 é o tempo integrativo e 𝑇𝑑 é o tempo derivativo. 
Comparando as equações destacadas com a equação 𝐺𝑐(𝑠) podemos observar que: 
𝐾𝑝 =
𝑅(𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2)
𝑅3𝑅1𝐶2
= 39,42 
𝑇𝑖 = 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2 = 3,077 
𝑇𝑑 =
𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
= 0,7692 
Pela equação do tempo derivativo (𝑇𝑑), podemos ver que: 
𝑇𝑑 =
𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2
𝑇𝑖
⇒ 𝑇𝑑 = 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2 ∙ 𝑇𝑖 = 3,077 ∙ 0,7692 
𝑇𝑑 = 2,3668 
Logo, temos que: 
𝑅1𝑅2 = 1,5385 𝑅2𝐶2 = 1,5385 
 
Como temos seis variáveis e três equações, temos infinitas respostas, e encontrar tais 
valores é uma complexidade elevada, todavia afim de simplificar o desenvolvimento, 
podemos considerar valores arbitrários para algumas variáveis. Por exemplo: 
𝐶1 = 𝐶2 = 10𝜇𝐹 
Com isso podemos encontrar que: 
𝑅1 = 𝑅2 = 153,85kΩ 
Pela equação do ganho proporcional (𝐾𝑝), temos que: 
𝑅4
𝑅3
=
𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2
= 39,42 
𝑅4
𝑅3
=
39,42
2
= 19,71 
Agora nós podemos adotar o valor arbitrário de 𝑅3 = 10kΩ. Então a resistência 𝑅4 terá 
o valor de 𝑅4 = 197,1kΩ. 
𝑅1 = 153,85kΩ 𝑅4 = 197,1kΩ 
𝑅2 = 153,85kΩ 𝐶1 = 10𝜇𝐹 
𝑅3 = 10kΩ 𝐶2 = 10𝜇𝐹 
 
LE2. Questão 02 
Mostre que a função de transferência 𝑈(𝑠)/𝐸(𝑠) do controlador PID mostrado na Figura 
é: 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝑘𝑜
𝑇1 + 𝑇2
𝑇1
[1 +
1
(𝑇1 + 𝑇2)𝑠
+
𝑇1𝑇2𝑠
𝑇1 + 𝑇2
] 
Suponha que o ganho 𝑘 seja muito grandequando comparado com a unidade ou 𝑘 ≫ 1. 
 
R: Simplificando o diagrama de blocos, chegamos a seguinte equação resumida: 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
𝐾
1 + 𝐾 (
1
𝑘𝑜
𝑇1𝑠
(1 + 𝑇1𝑠)
1
(1 + 𝑇2𝑠)
)
 
Porém, como é dito que o valor de 𝐾 é muito maior que 1 podemos desconsiderar o 1 da 
equação encontrada. 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
𝐾
𝐾 (
1
𝑘𝑜
𝑇1𝑠
(1 + 𝑇1𝑠)
1
(1 + 𝑇2𝑠)
)
=
1
(
1
𝑘𝑜
𝑇1𝑠
(1 + 𝑇1𝑠)
1
(1 + 𝑇2𝑠)
)
 
Simplificando a equação acima: 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
1
[
𝑇1𝑠
𝑘𝑜(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)
]
=
𝑘𝑜(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)
𝑇1𝑠
 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝑘𝑜 (
1
𝑇1𝑠
+ 1) (1 + 𝑇2𝑠) = 𝑘𝑜 (1 +
1
𝑇1𝑠
+ 𝑇2𝑠 +
𝑇2
𝑇1
) 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝑘𝑜
𝑇1 + 𝑇2
𝑇1
[1 +
1
(𝑇1 + 𝑇2)𝑠
+
𝑇1𝑇2𝑠
𝑇1 + 𝑇2
]