1 Lista de exercicios - Calculo IV ok

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<p>Função Vetorial: definição, limite e continuidade</p><p>1) Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:</p><p>a) 𝑟(𝑡) = (√4 − 𝑡2 , 𝑒−3𝑡 , 𝑙𝑛 (𝑡 + 1)) ; b) 𝑟(𝑡) =</p><p>𝑡−2</p><p>𝑡+2</p><p>𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 𝑙𝑛 (9 − 𝑡2)�⃗⃗�.</p><p>2) Sejam 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑖 + 2𝑡2𝑗 + 3𝑡3 �⃗⃗�e �⃗�(𝑡) = 2𝑡𝑖 + 𝑗 − 3𝑡2 �⃗⃗�, 𝑡 ≥ 0. Calcule:</p><p>a) lim</p><p>𝑡→1</p><p>(𝑓(𝑡) + �⃗�(𝑡)) ; b) lim</p><p>𝑡→1</p><p>(3𝑓⃗⃗⃗⃗ ⃗(𝑡) −</p><p>1</p><p>2</p><p>�⃗�(𝑡)) ; c) lim</p><p>𝑡→1</p><p>(𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡)) ; d) lim</p><p>𝑡→1</p><p>(𝑡 +</p><p>1)𝑓(𝑡).</p><p>3) Calcule os seguintes limites:</p><p>a) lim</p><p>𝑡→𝜋</p><p>(cos(𝑡) 𝑖 + 𝑡2𝑗 − 5�⃗⃗�) ; b) lim</p><p>𝑡→0</p><p>(𝑒−3𝑡𝑖 +</p><p>𝑡2</p><p>𝑠𝑒𝑛2(𝑡)</p><p>𝑗 + cos(2𝑡) �⃗⃗�) ;</p><p>c) lim</p><p>𝑡→0</p><p>(</p><p>2𝑡−1</p><p>𝑡</p><p>𝑖 + (2𝑡 − 1)𝑗 + 𝑡�⃗⃗�) ; d) lim</p><p>𝑡→2</p><p>1</p><p>𝑡−2</p><p>((𝑡2 − 4)𝑖 + (𝑡 − 2)𝑗).</p><p>4) Calcule o limite e analise a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados:</p><p>a) 𝑓(𝑡) = {</p><p>|𝑡−3|</p><p>𝑡−3</p><p>𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ≠ 3</p><p>0⃗⃗, 𝑡 = 3</p><p>em 𝑡 = 0 e 𝑡 = 3; b) 𝑓(𝑡) = {</p><p>2</p><p>𝑡−1</p><p>𝑖 +</p><p>4</p><p>𝑡−2</p><p>𝑗 − 5�⃗⃗�, 𝑡 ≠ 1 𝑒 𝑡 ≠ 2</p><p>0⃗⃗, 𝑡 = 1 𝑒 𝑡 = 2</p><p>em 𝑡 = 1 e 𝑡 =</p><p>2.</p><p>Curvas Parametrizadas. Função Vetorial: derivada e integral. Comprimento de arco. Curvatura. Vetores</p><p>Normal e Binormal.</p><p>1) Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel 𝑃(𝑥, 𝑦), quando o parâmetro 𝑡 varia no intervalo dado.</p><p>Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens.</p><p>a) {</p><p>𝑥 = 2 cos(𝑡)</p><p>𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)</p><p>, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋; b) {</p><p>𝑥 = 4 cos(𝑡)</p><p>𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)</p><p>𝑧 = 2</p><p>, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋;c) {</p><p>𝑥 = 𝑡 + 1</p><p>𝑦 = 𝑡2 + 4</p><p>𝑧 = 2</p><p>, −∞ < 𝑡 < +∞;</p><p>2) Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas:</p><p>a) 𝑟(𝑡) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑡 𝑖 + (3𝑡 + 5)𝑗; b) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 1) 𝑖 + (𝑡2 − 2𝑡 + 2)𝑗; c) 𝑟(𝑡) = (𝑡2 − 1)𝑖 + (𝑡2 + 1)𝑗 + 2�⃗⃗�.</p><p>3) Identifique as curvas a seguir, parametrize-as e esboce o seu gráfico:</p><p>a) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0;</p><p>b) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 5𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0;</p><p>c) 2𝑥2 + 5𝑦2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0;</p><p>d) 𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0;</p><p>e) 𝑥2 − 8𝑦 + 4 = 0;</p><p>f) 𝑦 −</p><p>1</p><p>𝑥−1</p><p>= 0, 𝑥 > 1.</p><p>4) Determine uma representação paramétrica da reta que:</p><p>a)passa por 𝐴(√2, 2, √3) e tem a direção do vetor �⃗⃗� = 5𝑖 − 3�⃗⃗�;</p><p>b) passa pelos pontos 𝐴 (𝜋,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>, 3) e 𝐵(𝜋,−1,2);</p><p>c) é representada por 𝑦 = 5𝑥 − 1 e 𝑧 = 2;</p><p>d) é representada por 2𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 1 e 3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 1.</p><p>5) Encontre uma equação vetorial das seguintes curvas:</p><p>OBS: Para esta questão, escolha 06 letras para resolver.</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia –</p><p>IFBA, Campus: Camaçari</p><p>DISCIPLINA:Cálculo IV</p><p>Nº:</p><p>ATIVIDADE: 1ª Lista de Exercícios</p><p>PROFESSORA: Ana Carolina Teixeira</p><p>ALUNO(A):</p><p>VALOR:</p><p>NOTA:</p><p>DATA: 21/03/2024 TURMA:</p><p>DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – 2024.1</p><p>a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e 𝑧 = 4;</p><p>b) 𝑦 = 2𝑥2 e 𝑧 = 𝑥3 ;</p><p>c) 2(𝑥 + 1)2 + 𝑦2 = 10 e 𝑧 = 2;</p><p>d) 𝑦 = 𝑥1/2 e 𝑧 = 2;</p><p>e) 𝑥 = 𝑒𝑦 e 𝑧 = 𝑒𝑥;</p><p>f) 𝑦 = 𝑥 e 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2;</p><p>g) Segmento de reta de 𝐴(2, 1,2) e 𝐵(−1,1,3);</p><p>h) Segmento de reta de 𝐴(3,3, −2) e 𝐵(4,5, −2);</p><p>i) Segmento de reta de 𝐴(0,0,1) e 𝐵(1,0,0);</p><p>j) Parábola 𝑦 = ±√𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1;</p><p>k) 𝑦 = 𝑥3 − 7𝑥2 + 3𝑥 − 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3;</p><p>l) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 e 𝑧 = 𝑥 − 2𝑦;</p><p>m) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e 𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦;</p><p>n) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑦 e 𝑧 = 𝑦.</p><p>6) Determine a derivadas das seguintes funções vetoriais:</p><p>a) 𝑟(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3(𝑡)𝑖 + 𝑡𝑔(𝑡)𝑗 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)�⃗⃗�;</p><p>b) 𝑟(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) cos(𝑡) 𝑖 + 𝑒−2𝑡𝑗;</p><p>c) 𝑟(𝑡) = (2 − 𝑡)𝑖 + 𝑡3𝑗 −</p><p>1</p><p>𝑡</p><p>�⃗⃗�;</p><p>d) 𝑟(𝑡) = 𝑒𝑡</p><p>2</p><p>𝑖 − 𝑗 + ln(1 + 3𝑡) �⃗⃗�.</p><p>7) Determine o vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado:</p><p>a)𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3), 𝑃(−1, 1, −1);</p><p>b)𝑟(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛 (𝑡), cos(𝑡) , 𝑡), 𝑃 (1, 0,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) ;</p><p>c)𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑒𝑡), 𝑃(1, 𝑒);</p><p>d)𝑟(𝑡) = (2𝑡, ln(𝑡) , 2), 𝑃(2, 0, 2).</p><p>8) Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado 𝑡:</p><p>a) 𝑟(𝑡) = (𝑡𝑒−𝑡 , 2𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑡), 2𝑒𝑡), 𝑡 = 0;</p><p>b) 𝑟(𝑡) = (𝑡3 + 3𝑡, 𝑡2 + 1, 3𝑡 + 4), 𝑡 = 1;</p><p>c)𝑟(𝑡) = cos(𝑡) 𝑖 + 3𝑡 𝑗 + 2𝑠𝑒𝑛 (2𝑡)�⃗⃗�, 𝑡 = 0;</p><p>d)𝑟(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)𝑖 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑗 + 𝑡𝑔2(𝑡)�⃗⃗�, 𝑡 =</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>.</p><p>9) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre 𝑟′(𝑡)e esboce o vetor posição 𝑟(𝑡) e o</p><p>vetor tangente 𝑟′(𝑡) para o valor dado de 𝑡.</p><p>a) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 2, 𝑡2 + 1), 𝑡 = −1;</p><p>b) 𝑟(𝑡) = (𝑡2 , 𝑡3), 𝑡 = 1;</p><p>c) 𝑟(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛 (𝑡), 2 cos(𝑡)), 𝑡 =</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>;</p><p>d) 𝑟(𝑡) = e𝑡𝑖 + 𝑒−𝑡𝑗, 𝑡 = 0;</p><p>e) 𝑟(𝑡) = e2𝑡𝑖 + 𝑒𝑡𝑗, 𝑡 = 0;</p><p>f)𝑟(𝑡) = (1 + cos(𝑡)) 𝑖 + (2 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)) 𝑗, 𝑡 =</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>.</p><p>10) Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto</p><p>especificado.</p><p>a) 𝑥 = 1 + 2√𝑡, 𝑦 = 𝑡3 − 𝑡, 𝑧 = 𝑡3 + 𝑡, 𝑃(3,0,2);</p><p>b) 𝑥 = 𝑒𝑡 , 𝑦 = 𝑡𝑒𝑡 , 𝑧 = 𝑡𝑒𝑡</p><p>2</p><p>, 𝑃(1,0,0);</p><p>c) 𝑥 = 𝑒−𝑡 cos(𝑡) , 𝑦 = 𝑒−𝑡 sen (𝑡) , 𝑧 = 𝑒−𝑡 , 𝑃(1,0,1);</p><p>d)𝑥 = √𝑡2 + 3, 𝑦 = ln(𝑡2 + 3) , 𝑧 = 𝑡, 𝑃(2, ln(4), 1).</p><p>11) Encontre uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros 𝑥2 + 𝑦2 = 25 e 𝑦2 + 𝑧2 = 20</p><p>no ponto 𝑃(3,4,2).</p><p>12) Dados 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑗 + 𝑡2 �⃗⃗� e �⃗�(𝑡) = 𝑡2𝑗 − 𝑡 �⃗⃗�, determine:</p><p>a) (𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡))′; b) (𝑓(𝑡). �⃗�(𝑡))′.</p><p>13) Calcule a integral:</p><p>a) ∫ (</p><p>4</p><p>1+𝑡2</p><p>𝑗 +</p><p>2𝑡</p><p>1+𝑡2</p><p>�⃗⃗�)</p><p>1</p><p>0</p><p>𝑑𝑡;</p><p>b) ∫ (3𝑠𝑒𝑛2(𝑡) cos(𝑡) 𝑖 + 3𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑗 + 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡) cos(𝑡) �⃗⃗�)</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>0</p><p>𝑑𝑡;</p><p>c) ∫ (𝑡2𝑖 + 𝑡√𝑡 − 1𝑗 + 𝑡𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑡) �⃗⃗�)</p><p>2</p><p>1</p><p>𝑑𝑡;</p><p>d)∫(𝑒𝑡 𝑖 + 2𝑡 𝑗 + ln(𝑡) �⃗⃗�)𝑑𝑡.</p><p>14) Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto 𝑃(0,0)de uma circunferência de raio 𝑎, centrado</p><p>em (0, 𝑎), que rola, sem deslizamento, sobre o eixo Ox.</p><p>Fonte: FLEMMING, D. M. Cálculo B. São Paulo: Makron Books.</p><p>Quando o círculo gira um ângulo 𝑡, seu centro se move um comprimento 𝑂𝑇̅̅ ̅̅ . Daí, observamos pela figura acima</p><p>que 𝑂𝑇̅̅ ̅̅ = 𝑇�̂� = 𝑎𝑡, 𝐶𝑇̅̅̅̅ = 𝑎, 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑐𝑜𝑠 (𝑡) e 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑡). Portanto, as coordenadas de 𝑃(𝑥, 𝑦) são:</p><p>{</p><p>𝑥(𝑡) = 𝑂𝑇̅̅ ̅̅ − 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑡 − 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡))</p><p>𝑦(𝑡) = 𝐴𝑇̅̅̅̅ = 𝐶𝑇̅̅̅̅ − 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝑎 − 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑡) = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡))</p><p>.</p><p>Portanto, a equação vetorial da cicloide é</p><p>�⃗⃗�(𝒕) = 𝒂(𝒕 − 𝒔𝒆𝒏(𝒕))𝒊 + 𝒂(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒕))𝒋.</p><p>Quando 𝑡 varia de 0 a 2𝜋, obtemos o primeiro arco da cicloide.</p><p>Observe o desenho de uma cicloide gerada por uma circunferência de raio 𝑎 = 2.</p><p>Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Cicloide#/media/Ficheiro:Cycloid_r=2.png</p><p>Sabendo dessas informações, determine a equação vetorial da curva descrita pelo movimento de uma cabeça de</p><p>prego em um pneu de um carro que se move em linha reta, se o raio do pneu é de 25 cm.</p><p>15) Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto 𝑃, de um círculo de raio 𝑏, que gira dentro</p><p>de um círculo fixo de raio 𝑎, 𝑎 > 𝑏.A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a</p><p>quantidade de pétalasdessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos</p><p>é o ponto 𝑃.</p><p>Fonte: FLEMMING, D. M. Cálculo B. São Paulo: Makron Books.</p><p>Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular</p><p>de raio𝑎, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:</p><p>{</p><p>𝑥(𝑡) = (𝑎 − 𝑏) cos(𝑡) + 𝑏𝑐𝑜𝑠 (</p><p>𝑎 − 𝑏</p><p>𝑏</p><p>𝑡)</p><p>𝑦(𝑡) = (𝑏 − 𝑎) sen (𝑡) + 𝑏𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝑎 − 𝑏</p><p>𝑏</p><p>𝑡)</p><p>.</p><p>Os cúspides ocorrem quando</p><p>{</p><p>𝑎𝑡 = 𝑛. 2𝜋𝑏, 𝑛 = 0,1,2,⋯</p><p>𝑡 = 𝑛. 2𝜋</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>, 𝑛 = 0,1,2,⋯</p><p>.</p><p>Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como</p><p>astroide. Ela é obtida fazendo 𝑏 =</p><p>𝑎</p><p>4</p><p>, Daí, obtemos que</p><p>{</p><p>𝑥(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠3(𝑡)</p><p>𝑦(𝑡) = 𝑎𝑠𝑒𝑛3(𝑡)</p><p>.</p><p>https://pt.wikipedia.org/wiki/Cicloide#/media/Ficheiro:Cycloid_r=2.png</p><p>https://pt.wikipedia.org/wiki/Hipocicloide</p><p>Fonte: https://matcomferramentascognitivas.wordpress.com/2011/05/20/astroide/</p><p>Assim, uma equação vetorial da astroide é</p><p>�⃗⃗�(𝒕) = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝟑(𝒕)𝒊 + 𝒂𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒕)𝒋, 𝒕 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅].</p><p>Eliminando o parâmetro 𝑡, obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por</p><p>𝒙𝟐/𝟑 + 𝒚𝟐/𝟑 = 𝒂𝟐/𝟑.</p><p>Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide𝑥2/3 + 𝑦2/3 = 4.</p><p>16) Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies:</p><p>a) O cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 e o plano 𝑧 = 1 + 𝑦;</p><p>b) O paraboloide 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 e o cilindro parabólico 𝑦 = 𝑥2;</p><p>c) A hipérbole 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 e o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1.</p><p>17) Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:</p><p>a) 𝑟(𝑡) = (2𝑡3 , 2𝑡, √6𝑡2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 3;</p><p>b) 𝑦 = 𝑥</p><p>3</p><p>2, 𝑧 = 0, 𝑃0(0,0,0) a 𝑃1(4,8,0);</p><p>c) 𝑟(𝑡) = (− 𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) , 2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.</p><p>18)Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas:</p><p>a) 𝑟(𝑡) = (cos(2𝑡) , sen(2𝑡) , 2𝑡);</p><p>b) 𝑟(𝑡) = (2 cos(𝑡) , 4𝑡, 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡)), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2;</p><p>c) 𝑟(𝑡) = (1 − 𝑡, 2 + 2𝑡, 3𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.</p><p>19) Determine:</p><p>a) o vetor normal e a curvatura de𝑟(𝑡) = (𝑡, 3 cos(𝑡) , 3𝑠𝑒𝑛 (𝑡));</p><p>b) o vetor normal e a curvatura de𝑟(𝑡) = (𝑡2 , 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) − 𝑡𝑐𝑜𝑠 (𝑡), cos(𝑡) + 𝑡𝑠𝑒𝑛 (𝑡)), 𝑡 > 0;</p><p>c) a curvatura de𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡 cos(𝑡) , 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛 (𝑡), 𝑡) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1,0,0).</p><p>20) Determine as equações do plano normal e osculador da curva no ponto indicado:</p><p>a) 𝑟(𝑡) = (2 sen(3𝑡) , 𝑡, 2𝑐𝑜𝑠 (3𝑡)), 𝑃(0, 𝜋, −2);</p><p>b) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2 , 𝑡3), 𝑃(1,1,1).</p><p>Função Vetorial de Várias Variáveis</p><p>1) Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:</p><p>a) 𝑟(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, √4 − 𝑥2 − 𝑦2); b) 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √2 − 𝑥2 − 𝑦2𝑖 + √1 − 𝑥2 − 𝑦2𝑗 + 𝑧�⃗⃗�.</p><p>2) Calcule os seguintes limites:</p><p>a) lim</p><p>(𝑥,𝑦)→(1,2)</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑥𝑦</p><p>, √𝑥𝑦) ;</p><p>b) lim</p><p>(𝑥,𝑦,𝑧)→(3,4,1)</p><p>(𝑥√𝑦,</p><p>𝑥𝑧−𝑥</p><p>𝑧2−1</p><p>, 𝑦𝑙𝑛 (𝑧)) ;</p><p>c) lim</p><p>(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,1,</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>)</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>) , cos(𝑥) , 𝑡𝑔 (𝑦𝑧)).</p><p>3) Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções:</p><p>a) 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (√𝑦, 𝑥2𝑦2𝑧2, 𝑒𝑥𝑦𝑧); b) 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒𝑥𝑦 , ln(𝑥𝑧) , 2).</p><p>4) Seja 𝑟 a função vetorial definida por</p><p>𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑧, 𝑦(1 + 𝑥2), 𝑧).</p><p>a) Descreva a curva obtida fazendo 𝑦 = 2 e 𝑧 = 1;</p><p>b) Represente nessa curva a derivada parcial</p><p>𝜕�⃗�</p><p>𝜕𝑥</p><p>no ponto 𝑃0(1,4,1).</p><p>5) Seja 𝑟 a função vetorial definida por</p><p>𝑟(𝑢, 𝑣) = (𝑢 𝑐𝑜𝑠 (𝑣), 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑣), 3 + 𝑢2),</p><p>para 0 ≤ 𝑢 ≤ 3, 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋.</p><p>a) Descreva as curvas obtidas fazendo 𝑢 = √3 e 𝑣 =</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>, respectivamente;</p><p>b) Determine</p><p>𝜕�⃗�</p><p>𝜕𝑢</p><p>(√3,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) e</p><p>𝜕�⃗�</p><p>𝜕𝑣</p><p>(√3,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>), representando-os geometricamente.</p><p>6) Dada a função 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>,</p><p>1</p><p>𝑦2</p><p>, 𝑥𝑦𝑧), determine</p><p>𝜕2�⃗�</p><p>𝜕𝑥2</p><p>,</p><p>𝜕2�⃗�</p><p>𝜕𝑥𝜕𝑦</p><p>,</p><p>𝜕3�⃗�</p><p>𝜕𝑥2𝜕𝑦</p><p>e</p><p>𝜕3�⃗�</p><p>𝜕𝑧3</p><p>.</p><p>Gabarito:</p><p>Função Vetorial: definição, limite e continuidade</p><p>1) a) ] − 1,2]; b) ] − 3,−2[ ∪] − 2,3[;</p><p>2) a) 3𝑖 + 3𝑗; b) 2𝑖 +</p><p>11</p><p>2</p><p>𝑗 +</p><p>21</p><p>2</p><p>�⃗⃗�; c) −9𝑖 + 9𝑗 − 3�⃗⃗�; d) 2𝑖 + 4𝑗 + 6�⃗⃗�;</p><p>3) a) −𝑖 + 𝜋2𝑗 − 5�⃗⃗�; b) 𝑖 + 𝑗 + �⃗⃗�; c) ln(2) 𝑖; d) 4𝑖 + 𝑗;</p><p>4) a) É contínua em 𝑡 = 0, mas não é contínua em 𝑡 = 3; b) Não é contínua em 𝑡 = 1 e 𝑡 = 2.</p><p>Curvas Parametrizadas. Função Vetorial: derivada e integral. Comprimento de arco. Curvatura. Vetores</p><p>Normal e Binormal.</p><p>1) a)𝑥2 + 𝑦2 = 4;</p><p>b) {𝑥</p><p>2 + 𝑦2 = 16</p><p>𝑧 = 2</p><p>;</p><p>c) {𝑦 = 𝑥</p><p>2 − 2𝑥 + 5</p><p>𝑧 = 2</p><p>;</p><p>2) 𝑦 = 6𝑥 + 5; b) 𝑦 = 𝑥2 + 1; c) {</p><p>𝑦 = 𝑥 + 2</p><p>𝑧 = 2</p><p>; 𝑥 ≥ −1;</p><p>3) a) uma circunferência de centro 𝐶 (1,−</p><p>5</p><p>2</p><p>) e raio 𝑟 =</p><p>√41</p><p>2</p><p>u.c.; {</p><p>𝑥(𝑡) = 1 +</p><p>√41</p><p>2</p><p>cos(𝑡)</p><p>𝑦(𝑡) = −</p><p>5</p><p>2</p><p>+</p><p>√41</p><p>2</p><p>sen (𝑡)</p><p>; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋;</p><p>b) uma circunferência de centro 𝐶 (−</p><p>5</p><p>4</p><p>, −</p><p>1</p><p>2</p><p>) e raio 𝑟 =</p><p>√53</p><p>4</p><p>u.c.; {</p><p>𝑥(𝑡) = −</p><p>5</p><p>4</p><p>+</p><p>√53</p><p>4</p><p>cos(𝑡)</p><p>𝑦(𝑡) = −</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>√53</p><p>4</p><p>sen (𝑡)</p><p>; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋;</p><p>c) uma elipse:</p><p>{</p><p>𝑥(𝑡) =</p><p>3</p><p>2</p><p>+√</p><p>7</p><p>20</p><p>cos(𝑡)</p><p>𝑦(𝑡) =</p><p>1</p><p>5</p><p>+ √</p><p>7</p><p>50</p><p>sen (𝑡)</p><p>; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋;</p><p>d) uma elipse: {</p><p>𝑥(𝑡) = 2 +</p><p>3√2</p><p>2</p><p>cos(𝑡)</p><p>𝑦(𝑡) =</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>sen (𝑡)</p><p>; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋;</p><p>e) uma parábola: {</p><p>𝑥(𝑡) = 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) =</p><p>𝑡2+4</p><p>8</p><p>;</p><p>f) uma hipérbole: {</p><p>𝑥(𝑡) = 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) =</p><p>1</p><p>𝑡−1</p><p>; 𝑡 > 1;</p><p>4) a) {</p><p>𝑥(𝑡) = √2 + 5𝑡</p><p>𝑦(𝑡) = 2</p><p>𝑧(𝑡) = √3 − 3𝑡</p><p>, 𝑡 ∈ ℝ;b) {</p><p>𝑥(𝑡) = 𝜋</p><p>𝑦(𝑡) = (</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>− (1 +</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) 𝑡)</p><p>𝑧(𝑡) = 3− 𝑡</p><p>, 𝑡 ∈ ℝ ;</p><p>c) {</p><p>𝑥(𝑡) = 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) = 5𝑡 − 1</p><p>𝑧(𝑡) = 2</p><p>, 𝑡 ∈ ℝ ;d)</p><p>{</p><p>𝑥(𝑡) = 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) =</p><p>22𝑡−9</p><p>33</p><p>𝑧(𝑡) =</p><p>11𝑡−3</p><p>33</p><p>, 𝑡 ∈ ℝ;</p><p>5) a) 𝑟(𝑡) = 2 cos(𝑡)𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡)𝑗 + 4�⃗⃗�; 𝑡 ∈ [0,2𝜋]; b) 𝑟(𝑡) = t 𝑖 + 2𝑡2𝑗 + 𝑡3 �⃗⃗�;</p><p>c) 𝑟(𝑡) = (−1 + √5) cos(𝑡)𝑖 + √10𝑠𝑒𝑛 (𝑡)𝑗 + 2�⃗⃗�; 𝑡 ∈ [0,2𝜋]; d) 𝑟(𝑡) = t 𝑖 + 𝑡</p><p>1</p><p>2𝑗 + 2�⃗⃗�; 𝑡 ≥ 0;</p><p>e) 𝑟(𝑡) = t 𝑖 + ln(𝑡) 𝑗 + 𝑒𝑡 �⃗⃗�; 𝑡 > 0; f) 𝑟(𝑡) = t 𝑖 + 𝑡𝑗 + 2𝑡2 �⃗⃗�; g) 𝑟(𝑡) = (2 − 3t) 𝑖 + 𝑗 + (2 + 𝑡)�⃗⃗� 𝑡 ∈ [0,1];</p><p>h) 𝑟(𝑡) = (3 + t) 𝑖 + (3 + 2𝑡)𝑗 − 2�⃗⃗� 𝑡 ∈ [0,1];i)𝑟(𝑡) = t 𝑖 + (1 − 𝑡)�⃗⃗�; 𝑡 ∈ [0,1]; j)𝑟(𝑡) = 𝑡2 𝑖 + 𝑡𝑗; 𝑡 ∈ [−1,1];</p><p>k)𝑟(𝑡) = t 𝑖 + (𝑡3 − 7𝑡2 + 3𝑡 − 2)𝑗; 𝑡 ∈ [0,3]; l)𝑟(𝑡) = t 𝑖 + (2𝑡 − 1)𝑗 + (−3𝑡 + 2)�⃗⃗�; 𝑡 ∈ [0,3];m)𝑟(𝑡) =</p><p>cos (t) 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + (2 cos(𝑡) − 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡)) �⃗⃗�; 𝑡 ∈ [0,2𝜋];n) 𝑟(𝑡) =</p><p>√2</p><p>2</p><p>cos (t) 𝑖 + (</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑠𝑒𝑛 (𝑡)) 𝑗 +</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑠𝑒𝑛 (𝑡)) �⃗⃗�; 𝑡 ∈ [0,2𝜋];</p><p>6) a) 𝑟′(𝑡) = −3𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑖 + 𝑠𝑒𝑐2(𝑡)𝑗 + 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡) cos(𝑡) �⃗⃗�; b) 𝑟′(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠2(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)) 𝑖 − 2𝑒−2𝑡𝑗;</p><p>c) 𝑟′(𝑡) = − 𝑖 + 3𝑡2𝑗 +</p><p>1</p><p>𝑡2</p><p>�⃗⃗�;d)𝑟′(𝑡) = 2t𝑒𝑡</p><p>2</p><p>𝑖 +</p><p>3</p><p>1+3𝑡</p><p>�⃗⃗�;</p><p>7) a) (1, −2,3); b)(0, −1,1); c) (1, 𝑒); d) (2,1,0);</p><p>8) a) (</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>2</p><p>3</p><p>); b) (</p><p>6</p><p>7</p><p>,</p><p>2</p><p>7</p><p>,</p><p>3</p><p>7</p><p>); c)</p><p>3</p><p>5</p><p>𝑗 +</p><p>4</p><p>5</p><p>�⃗⃗�; d)</p><p>√2</p><p>6</p><p>𝑖 −</p><p>√2</p><p>6</p><p>𝑗 +</p><p>2</p><p>3</p><p>�⃗⃗�;</p><p>9)</p><p>a) 𝑟′(𝑡) = (1,2𝑡)</p><p>b) 𝑟′(𝑡) = (2𝑡, 3𝑡2)</p><p>c)𝑟′(𝑡) = cos(t) 𝑖 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗;</p><p>d) 𝑟′(𝑡) = (𝑒𝑡 , −𝑒−𝑡)</p><p>e) 𝑟′(𝑡) = 2𝑒2𝑡 𝑖 + 𝑒𝑡𝑗</p><p>f) 𝑟′(𝑡) = (−𝑠𝑒𝑛 (𝑡), cos(𝑡))</p><p>10) a) {</p><p>𝑥(𝑡) = 3 + 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) = 2𝑡</p><p>𝑧(𝑡) = 2+ 4𝑡</p><p>; b) {</p><p>𝑥(𝑡) = 1 + 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) = 𝑡</p><p>𝑧(𝑡) = 𝑡</p><p>; c) {</p><p>𝑥(𝑡) = 1 − 𝑡</p><p>𝑦(𝑡) = 𝑡</p><p>𝑧(𝑡) = 1− 𝑡</p><p>; d) {</p><p>𝑥(𝑡) = 2 +</p><p>𝑡</p><p>2</p><p>𝑦(𝑡) = ln (4) +</p><p>𝑡</p><p>2</p><p>𝑧(𝑡) = 1+ 𝑡</p><p>;</p><p>11) {</p><p>𝑥(𝑡) = 3 − 4𝑡</p><p>𝑦(𝑡) = 4 + 3𝑡</p><p>𝑧(𝑡) = 2− 6𝑡</p><p>, 𝑡 ∈ ℝ;</p><p>12) a) (−2𝑡 − 4𝑡3) 𝑖; b) 0;</p><p>13) a) 𝜋𝑗 + ln (2)�⃗⃗�; b) 𝑖 + 𝑗 + �⃗⃗�; c)</p><p>7</p><p>3</p><p>𝑖 +</p><p>16</p><p>15</p><p>𝑗 −</p><p>3</p><p>𝜋</p><p>�⃗⃗�;d) 𝑒𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + (𝑡𝑙𝑛 (𝑡) − 𝑡)�⃗⃗� + 𝐶;</p><p>14) 𝑟(𝑡) = 25(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑡))𝑖 + 25(1 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑡))𝑗;</p><p>15) 𝑟(𝑡) = 8𝑐𝑜𝑠3(𝑡)𝑖 + 8𝑠𝑒𝑛3(𝑡)𝑗;</p><p>16) a)𝑟(𝑡) = (𝑡,</p><p>𝑡2−1</p><p>2</p><p>,</p><p>𝑡2+1</p><p>2</p><p>); b) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2 , 4𝑡2 + 𝑡4); c) 𝑟(𝑡) = (cos(𝑡) , 𝑠𝑒𝑛 (𝑡), cos(2𝑡));</p><p>17) a) 60; b)</p><p>8</p><p>27</p><p>(10√10 − 1); c) 2𝜋;</p><p>18) a) (cos (</p><p>𝑠</p><p>√2</p><p>) , sen (</p><p>𝑠</p><p>√2</p><p>) ,</p><p>𝑠</p><p>√2</p><p>); b) (2 cos (</p><p>𝑠</p><p>2√5</p><p>) ,</p><p>2𝑠</p><p>√5</p><p>, 2sen (</p><p>𝑠</p><p>2√5</p><p>)); c) (1 −</p><p>𝑠</p><p>√14</p><p>, 2 +</p><p>2𝑠</p><p>√14</p><p>,</p><p>3𝑠</p><p>√14</p><p>) ; 0 ≤ 𝑠 ≤ √14;</p><p>19) a)(0,− cos(𝑡) , −𝑠𝑒𝑛 (𝑡)); 𝜅(𝑡) =</p><p>3</p><p>10</p><p>; b)(0, cos(𝑡) , −𝑠𝑒𝑛 (𝑡)); 𝜅(𝑡) =</p><p>1</p><p>5𝑡</p><p>;c)𝜅(0) =</p><p>2√6</p><p>9</p><p>;</p><p>20) a) Plano normal: −6𝑥 + 𝑦 − 𝜋 = 0; Plano osculador: 𝑥 + 6𝑦 − 6𝜋 = 0;</p><p>b) Plano normal: 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0; Plano osculador: 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 1 = 0.</p><p>Função Vetorial de Várias Variáveis</p><p>1) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}; b) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3|𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1};</p><p>2) a) (</p><p>1</p><p>2</p><p>, √2) ; b) (6,</p><p>3</p><p>2</p><p>, 0); c) (0,1,1);</p><p>3) a) 2𝑥2𝑦2𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦𝑧 �⃗⃗�; b)</p><p>1</p><p>𝑧</p><p>𝑗;</p><p>4) a) É uma parábola no plano 𝑧 = 1; b)</p><p>𝜕�⃗�</p><p>𝜕𝑥</p><p>(1,4,1) = 𝑖 + 8𝑗;</p><p>5) a) 𝑟(√3, 𝑣) = (√3 cos(𝑣) , √3𝑠𝑒𝑛 (𝑣), 6), 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋; 𝑟 (𝑢,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) = (0, 𝑢, 3 + 𝑢2), 0 ≤ 𝑢 ≤ 3; b)</p><p>𝜕�⃗�</p><p>𝜕𝑢</p><p>(√3,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) =</p><p>(0,1,2√3);</p><p>𝜕�⃗�</p><p>𝜕𝑣</p><p>(√3,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) = (−√3, 0,0);</p><p>6)</p><p>𝜕2�⃗�</p><p>𝜕𝑥2</p><p>= (</p><p>2</p><p>𝑥3</p><p>, 0,0) ;</p><p>𝜕2�⃗�</p><p>𝜕𝑥𝜕𝑦</p><p>= (0,0, 𝑧);</p><p>𝜕3�⃗�</p><p>𝜕𝑥2𝜕𝑦</p><p>= (0,0,0);</p><p>𝜕3�⃗�</p><p>𝜕𝑧3</p><p>= (0,0,0).</p>