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<p>Número mı́nimo de soluções</p><p>para equação de Yamabe subcŕıtica</p><p>modelada em um fibrado</p><p>riemaniano com fibras mı́nimas</p><p>João Nunes de Araújo Neto</p><p>TESE APRESENTADA</p><p>ao</p><p>INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA</p><p>da</p><p>UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>PARA</p><p>OBTENÇÃO DO TÍTULO</p><p>DE</p><p>DOUTOR EM CIÊNCIAS</p><p>Programa: Doutorado em Matemática</p><p>Orientador: Prof. Dr. Paolo Piccione</p><p>Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux́ılio financeiro do IFCE</p><p>Data da defesa: 20 de Dezembro de 2019</p><p>Número mı́nimo de soluções para</p><p>equação de Yamabe subcŕıtica</p><p>modelada em um fibrado riemaniano</p><p>com fibras mı́nimas</p><p>Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas</p><p>pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,</p><p>realizada em 20/12/2019. Uma cópia da versão original está dispońıvel no</p><p>Instituto de Matemática e Estat́ıstica da Universidade de São Paulo.</p><p>Comissão Julgadora:</p><p>• Prof. Dr. Paolo Piccione (Orientador) - IME-USP</p><p>• Prof. Dr. Gaetano Siciliano - IME-USP</p><p>• Prof. Dr. Renato Ghini Bettiol - BSBC-CUNY</p><p>• Prof. Dr. Ana Claudia da Silva Moreira - UFABC</p><p>• Prof. Dr. Francesco Mercuri - UNICAMP</p><p>Agradecimentos</p><p>Ao Deus formador dos Céus e da terra, agradeço por todo bem que tem feito, em tudo vi a Sua</p><p>mão, a Ele rendo graças por abrir os caminhos, direcionar meus passos, preparar o pão e confortar</p><p>meu coração durante o curso, toda glória a Deus pertence.</p><p>Agradeço a Alexandra Fernandes, minha amada esposa, pelo amor, apoio e coragem durante</p><p>todo o curso, juntos conseguimos transpor os obstáculos e ao nosso amado filho João Lucas pela</p><p>sua alegria inspiradora, o qual sempre nos motivou.</p><p>Agradeço a minha mãe Francisca Nunes e aos meus cinco irmãos, Antonio Luis, Antonio Isidório,</p><p>Neide, Lousimar e Rita, pelos ensinos, prinćıpios e caráter que fizeram de mim uma pessoa capaz</p><p>de enfrentar a vida de forma realista com fé e esperança.</p><p>Agredeço também as pessoas que de forma especial marcaram minha vida nesse peŕıodo em</p><p>São Paulo, Nykollas Fernandes, um irmão, meu amigo e companheiro de todas as horas, a Josilene</p><p>Silva, José Aurimar, Graça Fernandes, Leonardo Fernandes, Mateus Evangelista, Michele Silva,</p><p>José Maria, Gecilene Fernandes, Virǵılio Fernandes, Joyce Fernandes, Jean Fernandes, Flávio e</p><p>aos irmãos em Cristo Jesus da Congregação Las Palmas.</p><p>Agradeço aos amigos e colegas que sempre estiveram na torcida, prontos a estender a mão e dá</p><p>uma palavra de conforto e esperança em momentos dif́ıceis, a saber, Antonio Marcos,Felipe Felix,</p><p>Marcos Rafael, Daniel Reis, Kaique Matias, Jailson Calado, Yuri Maluf, Jadevilson Cruz,Victor</p><p>Hugo, Elivaldo Macedo, Rodrigo Santos, Euŕıpedes Silva, Benigno, Pablo, Edson Sampaio, José</p><p>Eduardo, Leo Ivo, Rui Eduardo, Oscar, Michael Rodrigues, Francisco José, Arquimedes Albuquer-</p><p>que, Irailma Melo, Roberta da Silva, Pedro Saraiva.</p><p>Agradeço ao meu orientador, o Professor Paolo Piccione, pelo direcionamento durante o curso</p><p>e aos professores Alexandre Fernandes, Mário de Assis, Francisco Regis, Wilson, Gláucio Terra,</p><p>Gaetano Siciliano e Marcos Alexandrino pelo apoio. Agradeço a disponibilidade da comissão jul-</p><p>gadora, a secretaria da Pós-Graduação em Matemática do IME-USP, em particular a Ana Paula,</p><p>Maju e Henrique Guetti, sempre prontos a ajudar.</p><p>Agradeço Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará - IFCE pelo apoio</p><p>financeiro.</p><p>i</p><p>ii</p><p>Resumo</p><p>Neto, J. N. A. Número mı́nimo de soluções para equação de Yamabe subcŕıtica mo-</p><p>delada em um fibrado riemaniano com fibras mı́nimas. 2019. 65 f. Tese (Doutorado) -</p><p>Instituto de Matemática e Estat́ıstica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019.</p><p>Neste trabalho, modelamos o Problema de Yamabe em um fibrado riemanianno determinado</p><p>por uma submersão riemanianna com fibras mı́nimas. Este modelo consiste de uma equação eĺıptica</p><p>subcŕıtica com os coeficientes adequados ao contexto acima, inspirados pela técnica desenvolvida</p><p>por Vieri Benci, Claudio Bonanno e Anna Maria Micheletti no artigo On the multiplicity of soluti-</p><p>ons of a nonlinear elliptic problem on riemannian manifolds. Definimos funções usando o conceito</p><p>de centro de massa riemanianno, de modo que as condições fossem satisfeitas para aplicação da</p><p>teoria de Lusternik- Schnirelmann garantindo a existência de um número mı́nimo de soluções para</p><p>o Problema de Yamabe em um fibrado riemanianno com fibras mı́nimas.</p><p>Palavras-chave: Equações Eĺıpticas, Submersão, multiplicidade.</p><p>iii</p><p>iv</p><p>Abstract</p><p>Neto, J. N. A. Número mı́nimo de soluções para equação de Yamabe subcŕıtica mo-</p><p>delada em um fibrado riemaniano com fibras mı́nimas. 2019. 65 f. Tese (Doutorado) -</p><p>Instituto de Matemática e Estat́ıstica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019.</p><p>In this paper we model the Yamabe Problem in a Riemannian fiber bundle determined by a</p><p>Riemannian submersion with minimal fibers. This model consists of a subcritical elliptic equation</p><p>with adequate coefficients to the context above, inspired by the technique developed by Vieri Benci,</p><p>Claudio Bonanno and Anna Maria Micheletti in the article “On the multiplicity of solutions of a</p><p>nonlinear elliptic problem on riemannian manifolds”. Are define functions using the concept of the</p><p>riemannian center of mass, so that the conditions are satisfied for the application of Lusternik-</p><p>Schnirelmann’s theory, ensuring a minimum number of solutions to the Yamabe Problem in such</p><p>a riemannian fiber bundle.</p><p>Keywords: Elliptic equations, Submersion, multiplicity.</p><p>v</p><p>vi</p><p>Sumário</p><p>Introdução 1</p><p>1 Geometria Riemanniana 3</p><p>1.1 Variedades Diferenciáveis, Espaço Tangente, Aplicações Diferenciáveis . . . . . . . 3</p><p>1.2 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>1.3 Conexão Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.4 Geodésica, Vizinhança Normal, Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.5 Aplicação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.6 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.7 Gradiente, Divergente e Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.8 Geometria Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.8.1 Curvatura Riemanniana Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.8.2 Curvatura de Ricci Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.8.3 Curvatura Escalar Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>2 Os Espaços de Sobolev 19</p><p>2.1 O Espaço de Sobolev W 1,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.2 O Espaço de Sobolev W 1,p(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>2.3 As imersões de Sobolev sobre a Variedade M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>2.4 Um problema Eĺıptico não linear em variedade riemanniana . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>3 Problema de Yamabe - subcŕıtico 27</p><p>3.1 Problema de Yamabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>3.2 Problema de Yamabe Subcŕıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>4 Número mı́nimo de soluções para Problema de Yamabe-subcŕıtico 37</p><p>4.1 Centro de Massa Riemaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>4.1.1 A Função Centro de Massa cm(r, η) : L1</p><p>r,η(M)→M . . . . . . . . . . . . . 40</p><p>4.2 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>4.2.1 Construção de uma função radial φε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>4.2.2 Demonstração do Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</p><p>vii</p><p>viii SUMÁRIO</p><p>Referências Bibliográficas 53</p><p>Introdução</p><p>A geometria riemaniana surge com a necessidade de generalizar a teoria geométrica</p><p>ε2|Ogu(x)|2 + (ε2(Sg/am) + 1)u(x)2 dµg∫</p><p>B</p><p>(u(x)+)pm dµg</p><p>A função Wq,ε ∈ H1</p><p>g (B).</p><p>Definição 4.13</p><p>φε : B → Nε</p><p>x 7→ φε(x) := λ(Wq,ε)Wq,ε</p><p>.</p><p>Teorema 4.14 Para todo ε > 0, a função φε : B → Nε é cont́ınua. Além disso para algum δ > 0</p><p>existe ε0 > 0 tal que se ε < ε0 então φε(q) ∈</p><p>∑</p><p>ε,m(E)+δ para todo q ∈M .</p><p>Prova:</p><p>A prova desse teorema é baseada na proposição 4.2 da referencia [3]. Fixado ε > 0, quando</p><p>consideramos λ(u) como uma função de u ∈ H1(B), temos que λ(u) é cont́ınua, logo basta mostrar</p><p>que Wq,ε é continua, i.e,</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>||Wqk,ε −Wq,ε|| = 0 e lim</p><p>k→∞</p><p>||∇Wqk,ε −∇Wq,ε|| = 0</p><p>para qualquer sequência (qk) ⊂ B tal que qk → q quando k → ∞. Como o suporte de Wq,ε</p><p>4.2. TEOREMA PRINCIPAL 45</p><p>está contido na bola B(q, r), temos∫</p><p>B</p><p>(Wqk,ε −Wq,ε)</p><p>2dµ =</p><p>∫</p><p>B(q,r)</p><p>(Wqk,ε −Wq,ε)</p><p>2dµ.</p><p>Considere o conjunto</p><p>Zk = [B(qk, r) rB(q, r)] ∪ [B(q, r) rB(qk, r)]</p><p>Quando k →∞ temos qk → q, consequentemente teremos µ(Zk)→ 0. então∫</p><p>Zk</p><p>(Wqk,ε −Wq,ε)</p><p>2dµ→ 0</p><p>quando k →∞.</p><p>Agora vamos considerar ηk(z) := exp−1</p><p>qk</p><p>(expq(z)) e Ak := exp−1</p><p>q (B(q, r) ∩ B(qk, r)), observe</p><p>que para k → ∞ temos ηk(z) → z e Ak → B(0, r), ou seja, Zk ∪ expq(Ak) → B(q, r), podemos</p><p>reescrever a integral da sequinte forma</p><p>∫</p><p>B(qk,r)</p><p>(Wqk,ε −Wq,ε)</p><p>2dµ→</p><p>∫</p><p>Zk</p><p>(Wqk,ε −Wq,ε)</p><p>2dµ+</p><p>∫</p><p>expq(Ak)</p><p>(Wqk,ε −Wq,ε)</p><p>2dµ</p><p>é suficiente mostrar que ∫</p><p>expq(Ak)</p><p>(Wqk,ε(x)−Wq,ε(x))2dµ→ 0</p><p>para k →∞.</p><p>Observe que</p><p>ηk(z) = exp−1</p><p>qk</p><p>(expq(z))⇒ ηk(exp−1</p><p>q(x)) = exp−1</p><p>qk</p><p>(expq(exp−1</p><p>q (x)) = exp−1</p><p>qk</p><p>(x)</p><p>e x = expqk(ηk(exp−1</p><p>q (x)))</p><p>Dai∫</p><p>expq(Ak)</p><p>(Wqk,ε(x)−Wq,ε(x))2dµ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ak</p><p>(Wqk,ε(expqk(ηk(exp</p><p>−1</p><p>q (x))))−Wq,ε(x))2dµ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ak</p><p>(Uε(exp−1</p><p>qk</p><p>(expqk(ηk(exp</p><p>−1</p><p>q (x))))) · ϕr(| exp−1</p><p>qk</p><p>(expqk(ηk(exp</p><p>−1</p><p>q (x))))|)</p><p>− Uε(exp−1</p><p>q (x))ϕr(| exp−1</p><p>q (x)|))2dµ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ak</p><p>(Uε(ηk(z)) · ϕr(ηk(z))− Uε(z) · ϕr(z))2|gq(z)|</p><p>1</p><p>2dz</p><p>≤i 2</p><p>∫</p><p>Ak</p><p>(Uε(ηk(z))|ϕr(ηk(z))− ϕr(z)|)2|gq(z)|</p><p>1</p><p>2dz + 2</p><p>∫</p><p>Ak</p><p>(ϕr(z)|Uε(ηk(z))− Uε(z)|)2|gq(z)|</p><p>1</p><p>2dz</p><p>≤ii K</p><p>∫</p><p>Ak</p><p>|ηk(z)− z||gq(z)|</p><p>1</p><p>2dz → 0 quando k →∞.</p><p>Decorre do cálculo acima que Wq,ε(x) é continua.</p><p>46CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>A desigualdade (i) é justificada pelo seguinte fato:</p><p>(Uε(ηk(z)) · ϕr(ηk(z))− Uε(z) · ϕr(z))2</p><p>= (Uε(ηk(z)) · ϕr(ηk(z))− Uε(ηk(z)) · ϕr(z) + Uε(ηk(z)) · ϕr(z)− Uε(z) · ϕr(z))2</p><p>= (Uε(ηk(z))(ϕr(ηk(z))− ϕr(z)) + ϕr(z)(Uε(ηk(z))− Uε(z)))2</p><p>≤ 2(Uε(ηk(z))|ϕr(ηk(z))− ϕr(z)|)2 + 2(ϕr(z)|Uε(ηk(z))− Uε(z)|)2</p><p>Na linha acima usamos a seguinte relação; ||u+ v||2 ≤ 2||u||2 + 2||v||2</p><p>A desigualdade (ii) é uma aplicação do teorema do valor médio e a limitação das funções Uε(z) e ϕr(z),</p><p>dessa forma aparece a constante K = K(ε, r), Analogamente teremos</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>||∇Wqk,ε −∇Wq,ε|| = 0</p><p>A segunda parte do teorema é mostrar que φε(q) ∈</p><p>∑</p><p>ε,m(E)+δ, ou seja, Jε(φε(q)) < m(E) + δ,</p><p>para tanto vamos mostrar inicialmente que os três limites abaixo valem unifomente com respeito a</p><p>q ∈ B</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>1</p><p>εn</p><p>|Wq,ε|22 = |U |22, (4.4)</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>ε2</p><p>εn</p><p>|∇Wq,ε|22 = |∇U |22, (4.5)</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>1</p><p>εn</p><p>|Wq,ε|pmpm = |U |pmpm (4.6)</p><p>Fixado q ∈ B, por definição Wq,ε ∈ H1(B), temos</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>|Wq,ε|2dµ =</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B(0,r)</p><p>U2</p><p>ε (z) · ϕ2</p><p>r(|z|) · |gq(z)|</p><p>1</p><p>2dz</p><p>Vamos estimar a seguinte diferença:</p><p>∣∣∣∣ 1</p><p>εn</p><p>|Wq,ε|22 − |U |22</p><p>∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣ 1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B(0,r)</p><p>U2</p><p>ε (z) · ϕ2</p><p>r(|z|) · |gq(z)|</p><p>1</p><p>2dz −</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>U2dz</p><p>∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∫</p><p>Rn</p><p>U2(w) · ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2dw −</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>U2dw</p><p>∣∣∣∣ [w :=</p><p>z</p><p>ε</p><p>⇒ z = εw e dw =</p><p>dz</p><p>ε</p><p>]</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∫</p><p>Rn</p><p>U2(w)</p><p>(</p><p>ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2 − 1</p><p>)</p><p>dw</p><p>∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>U2(w)</p><p>∣∣∣∣ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2 − 1</p><p>∣∣∣∣dw</p><p>=</p><p>∫</p><p>B(0,s)</p><p>U2(w)</p><p>∣∣∣∣ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2 − 1</p><p>∣∣∣∣dw +</p><p>∫</p><p>RnrB(0,s)</p><p>U2(w)</p><p>∣∣∣∣ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2 − 1</p><p>∣∣∣∣dw</p><p>4.2. TEOREMA PRINCIPAL 47</p><p>Quando s→∞ implica que∫</p><p>RnrB(0,s)</p><p>U2(w)</p><p>∣∣∣∣ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2 − 1</p><p>∣∣∣∣dw → 0</p><p>Fixado s > 0 suficientemente grande, pela regularidade da exp vale que |z| < s, decorre que</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>|ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|) · |gq(εw)|</p><p>1</p><p>2 − 1| = 0</p><p>uniformemente com relação a q ∈ B e z ∈ B(0, s), de fato, |ϕ2</p><p>r</p><p>ε</p><p>(|w|)| ≤ 1 e |gq(0)| ≤ 1. Portanto</p><p>temos a prova da sentença (4.4), a sentença (4.6) decorre de modo análoga.</p><p>Vamos provar o limite (4.5) usando os argumentos anteriores∣∣∣∣ ε2</p><p>εn</p><p>|∇Wq,ε|22 − |∇U |22</p><p>∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>B(0,r)</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq (z)</p><p>∂Uε(z)ϕr(|z|)</p><p>∂zi</p><p>∂Uε(z)ϕr(|z|)</p><p>∂zj</p><p>|gq(z)|1/2dz −</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq</p><p>∂U</p><p>∂zi</p><p>∂U</p><p>∂zj</p><p>|gq|1/2dz</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq (εw)</p><p>∂U(w)ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wi</p><p>∂U(w)ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wj</p><p>|gq(εw)|1/2dw −</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq</p><p>∂U</p><p>∂wi</p><p>∂U</p><p>∂wj</p><p>|gq|1/2dw</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq (εw)</p><p>(</p><p>∂U(w)ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wi</p><p>∂U(w)ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wj</p><p>− ∂U(w)</p><p>∂wi</p><p>∂U(w)</p><p>∂wj</p><p>)</p><p>|gq(εw)|1/2dw</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>≤(I1)</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>∂U(w)</p><p>∂wi</p><p>∂U(w)</p><p>∂wj</p><p>|ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)gijq (εw)||gq(εw)|1/2 − δij |</p><p>∣∣∣∣∣∣ dw</p><p>+(I2)</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq (εw)</p><p>∣∣∣∣∣U(w)ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>(</p><p>∂U(w)</p><p>∂wi</p><p>∂ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wj</p><p>+</p><p>∂U(w)</p><p>∂wj</p><p>∂ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wi</p><p>)∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣∣ |gq(εw)|1/2dw</p><p>+(I3)</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijq (εw)</p><p>∣∣∣∣∣U2(w)</p><p>∂ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wi</p><p>∂ϕ r</p><p>ε</p><p>(|w|)</p><p>∂wj</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣∣ |gq(εw)|1/2dw</p><p>considere as integrais I1, I2 e I3, pela definição da função ϕr(z), temos que |ϕr(|z|)| ≤ 1 e |ϕ′r(|z|)| ≤</p><p>2</p><p>r , nós temos que existe uma constante C > 0 dependendo somente da variedade B tal que;</p><p>I2 + I3 ≤</p><p>4nCε</p><p>r</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>(</p><p>U(w)|∇U(w)|+ ε</p><p>r</p><p>U2(z)</p><p>)</p><p>dz</p><p>logo I2+I3 → 0 uniformemente em q ∈ B quando ε→ 0, pela limitação de U , a integral I1 converge</p><p>para 0 de maneira analoga a aos limites (4.4) e (4.6). Como φε(q) ∈ Nε, temos</p><p>Jε(φε(q)) = Jε(λ(Wq,ε)Wq,ε) =</p><p>1</p><p>εm</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>pm</p><p>)</p><p>[λ(Wq,ε]</p><p>pm |Wq,ε|pmpm</p><p>48CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>além disso pela definição de λ(Wq,ε)Wq,ε e pelo limites (4.4),(4.5) e (4.6), temos;</p><p>λ(Wq,ε)→ 1 quando ε→ 0</p><p>decorre que</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>Jε(λ(Wq,ε)Wq,ε) = E(U) = m(E)</p><p>portanto φε(q) ∈</p><p>∑</p><p>ε,m(E)+δ</p><p>Considere uma partição finita Pε = {P εj }j∈Λ para B.</p><p>4.2. TEOREMA PRINCIPAL 49</p><p>Definição 4.15 (Partição boa) Dado um ε > 0 dizemos que uma partição Pε = {P εj }j∈Λ, com</p><p>Λ finito, de uma variedade B é partição boa se:</p><p>1. Para todo j ∈ Λ o conjunto P εj é fechado;</p><p>2. P εj ∩ P εi ⊆ ∂P εj ∩ ∂P εi para todo i 6= j;</p><p>3. Existe ε > 0 tais que existem pontos qεj ∈ P εj para todo j, satisfazendo B(qεj , ε) ⊆ P εj ⊆</p><p>B(qεj , s2(ε)) ⊆ B(qεj , s1(ε));</p><p>4. Todo ponto x ∈ B está contido em no máximo N bolas B(qεj , s1(ε)), onde N não depende do</p><p>ε;</p><p>5. Os números s1, s2 podem ser escolhidos de modo que s1 ≥ s2 ≥ (1 + 1/K)ε, onde K4.2.1</p><p>não depende de ε.</p><p>Iremos supor que ε0 do teorema 4.14 é suficientemente pequeno de forma que a variedade B</p><p>tenha uma partição boa.</p><p>Teorema 4.16 Existe uma constante γ > 0 tal que para qualquer δ > 0 fixado e qualquer ε ∈</p><p>(0, ε0(δ)), onde ε0(δ) é como em 4.14, considere uma partição boa Pε = {P εj }j∈Λ da variedade B</p><p>e uma função u ∈</p><p>∑</p><p>ε,m(E)+δ, então existe um conjunto P̃ εj ∈ Pε tal que</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>P̃ εj</p><p>|u+|pdµ ≥ γ</p><p>Prova:</p><p>Fixado δ > 0 e 0 < ε < ε0(δ). Para qualquer função u ∈ Nε e qualquer partição boa Pε =</p><p>{P εj }j∈Λ, denotamos u+</p><p>j como sendo a restrição de u+ ao conjunto P εj . Como u ∈ Nε, decorre que:</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>(ε2|∇u|2 +</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)</p><p>u2)dµgB =</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+)pmdµgB</p><p>=</p><p>1</p><p>εn</p><p>∑</p><p>j</p><p>∫</p><p>P εj</p><p>(u+)pmdµgB</p><p>=</p><p>∑</p><p>j</p><p>|u+</p><p>j |</p><p>pm−2</p><p>pm</p><p>ε</p><p>n(pm−2)</p><p>pm</p><p>·</p><p>|u+</p><p>j |2pm</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>≤max</p><p>j</p><p>{</p><p>1</p><p>ε</p><p>n(pm−2)</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>pm−2</p><p>pm</p><p>}∑</p><p>j</p><p>1</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>2</p><p>pm</p><p>Agora vamos definir uma função cut-off</p><p>χε(t) :=</p><p>{</p><p>1 se t ≤ s2(ε)</p><p>0 se t > s1(ε)</p><p>onde s1(ε), s2(ε) são definidas junto com a partição boa, vamos supor tambem que |χ′ε| ≤ K</p><p>ε .</p><p>Defina agora</p><p>ũj(x) = u+(x)χε(|x− qεj |)</p><p>onde ũj(x) ∈ H1(B)</p><p>50CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>Agora vamos estimar</p><p>1</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>2</p><p>pm ≤</p><p>1</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>· |ũj |2pm</p><p>(</p><p>P εj ⊆ B(qεj , s2(ε))</p><p>)</p><p>≤C|||ũj |||2ε (usando a desiguldade de Sobolev)</p><p>=C|||ũj |P εj |||</p><p>2</p><p>ε + C|||ũj |B(qεj ,s1(ε))\P εj |||</p><p>2</p><p>ε</p><p>=C|||u+</p><p>j |P εj |||</p><p>2</p><p>ε + C|||ũj |B(qεj ,s1(ε))\P εj |||</p><p>2</p><p>ε</p><p>onde C é a constante da desigualdade de</p><p>Sobolev e</p><p>|||u|||2ε =</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>(ε2|∇u|2 +</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)</p><p>|u|2)dµ</p><p>Decorre que</p><p>C|||ũj |B(qεj ,s1(ε))\P εj |||</p><p>2</p><p>ε =</p><p>=C · 1</p><p>εn</p><p>(∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>ε2|∇ũj |2dµ+</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>|ũj |2dµ</p><p>)</p><p>≤C · 1</p><p>εn</p><p>(∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>(</p><p>ε2|∇u+|2 +K2|u+|2</p><p>)</p><p>dµ+</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>|u+|2dµ</p><p>)</p><p>usamos o fato de que uj ≤ u+</p><p>Decorre da observação anterior que</p><p>1</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>2</p><p>pm</p><p>=C|||u+</p><p>j |||</p><p>2</p><p>ε + C · 1</p><p>εn</p><p>(∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>(</p><p>ε2|∇u+|2 +K2|u+|2</p><p>)</p><p>dµ+</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>|u+|2dµ</p><p>)</p><p>=C|||u+</p><p>j |||</p><p>2</p><p>ε + C · 1</p><p>εn</p><p>(∫</p><p>B(qεj ,s1(ε))\P εj</p><p>(</p><p>ε2|∇u+|2 + (K2 + 1)</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)</p><p>|u+|2</p><p>)</p><p>dµ</p><p>)</p><p>=C|||u+</p><p>j |||</p><p>2</p><p>ε + C(K2 + 1)|||u+|||2ε</p><p>Aplicando o samatório em j, temos</p><p>∑</p><p>j</p><p>1</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>2</p><p>pm ≤</p><p>∑</p><p>j</p><p>C|||u+</p><p>j |||</p><p>2</p><p>ε + C(K2 + 1)N |||u+|||2ε</p><p>≤C(K2 + 2)N · 1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>(ε2|∇u|2 +</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)</p><p>|u|2)dµ</p><p>4.2. TEOREMA PRINCIPAL 51</p><p>Portanto</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>(ε2|∇u|2 +</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)</p><p>u2)dµ ≤</p><p>≤max</p><p>j</p><p>{</p><p>1</p><p>ε</p><p>n(pm−2)</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>pm−2</p><p>pm</p><p>}∑</p><p>j</p><p>1</p><p>ε</p><p>2n</p><p>pm</p><p>· |u+</p><p>j |</p><p>2</p><p>pm</p><p>≤max</p><p>j</p><p>{</p><p>1</p><p>ε</p><p>n(pm−2)</p><p>pm</p><p>}</p><p>· C(K2 + 2)N · 1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>B</p><p>(ε2|∇u|2 +</p><p>(</p><p>SgB</p><p>am</p><p>ε2 + 1</p><p>)</p><p>|u|2)dµ</p><p>Podemos concluir que</p><p>max</p><p>j</p><p></p><p>(</p><p>1</p><p>εn</p><p>∫</p><p>pεj</p><p>|u+|pm</p><p>) pm−2</p><p>pm</p><p> ≥</p><p>γ︷ ︸︸ ︷</p><p>1</p><p>C(K2 + 2)N</p><p>Teorema 4.17 Fixe r < r0, para η < 1 existem ε0 > 0 e δ0 > 0 tais que para ε ∈ (0, ε0), δ ∈ (0, δ0)</p><p>e u ∈</p><p>∑</p><p>ε,mε+δ</p><p>, existe x ∈ B tal que ∫</p><p>B(x,r)</p><p>(u+)p ≥ η</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+)p</p><p>Prova:</p><p>Suponhamos que o teorema seja falso, portanto existem η < 1 e uma sequencia de números</p><p>positivos (εk) e (δk) tal que εk −→ 0 e δk −→ 0 e uk ∈</p><p>∑</p><p>εk,mε+δk</p><p>de forma que∫</p><p>B(x,r)</p><p>(u+)p <</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+</p><p>k )p</p><p>para k suficientemente grande, existe xk ∈ B para γ > 0 fixado, decorre que</p><p>1</p><p>εnk</p><p>∫</p><p>B(xk,2εk)</p><p>(u+</p><p>k ) ≥ γ</p><p>o lema 3.4 de [16] fornece uma função ũk = ukj +uki tal que ũk ∈</p><p>∑</p><p>εk,mε+2δk</p><p>, onde ukj tem suporte</p><p>em uma bola centrada em xk e suppukj ∩ suppuki = ø, com uj = ũk em Bεk(xk) e fora de Br(xk).</p><p>1</p><p>εnk</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+</p><p>kj</p><p>)p ≥ γ</p><p>além disso</p><p>1</p><p>εnk</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+</p><p>ki</p><p>)p ≥ 1</p><p>εnk</p><p>(1− η) ≥</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+</p><p>k )p ≥ (1− η)</p><p>2p</p><p>p− 2</p><p>mε</p><p>Pelo corolário 3.3 de [16] exists δ1 > 0 que não depende de k e uma constante ρ que depende de</p><p>δ1 portando Jεk(ũk) ≥ ρ(δ1).mε, contudo para um k arbitrariamente grande teremos Jεk(ũk) <</p><p>52CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>mε + 2δ < ρ(δ1)mε. Contradição e portanto o teorema é verdadeiro.</p><p>4.2.2 Demonstração do Teorema Principal</p><p>Prova:</p><p>Demonstração do Resultado Principal-Teorema 3.1 Fixados os valores r < (1/2)r0 e</p><p>η proximo de 1, considere ε0, δ0 como nas hipóteses dos Teorema 4.17. Teorema 4.14 garante a</p><p>continuidade da função φε : B → Nε. Para ε < ε0 o Teorema 4.17 mostra que se u ∈</p><p>∑</p><p>ε,mε+δ</p><p>teremos que (u+)p ∈ L1</p><p>r,η(B), Agora observe a função cont́ınua ψε := cm(r, η) : L1</p><p>r,η(B) → B, por</p><p>construção o suporte de phiε esta contido na bola geodésica B(x, 2r), para 2r < r0, dessa forma</p><p>teremos que</p><p>ψε ◦ φε(x) ∈ B(x, 2r)</p><p>além disso podemos definir uma homotopia entre ψε ◦ φε : B −→ B e IdB, pela unicidade da</p><p>geodesica minimizante que liga (ψε ◦φε)(x) a x. Pelo Teorema 4.9 teremos cat(B) ≤ cat(</p><p>∑</p><p>ε,mε+δ)</p><p>aplicando o teorema 4.8, podemos concluir que Jε tem pelo menos cat(B) + 1 pontos cŕıticos.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>[1] Kazuo Akutagawa, Luis A Florit, and Jimmy Petean. On yamabe constants of riemannian</p><p>products. arXiv preprint math/0603486, 2006.</p><p>[2] Thierry Aubin et al. Métriques riemanniennes et courbure. Journal of Differential Geometry,</p><p>4(4):383–424, 1970.</p><p>[3] Vieri Benci, Claudio Bonanno, and Anna Maria Micheletti. On the multiplicity of solutions</p><p>of a nonlinear elliptic problem on riemannian manifolds. Journal of Functional Analysis,</p><p>252(2):464–489, 2007.</p><p>[4] Vieri Benci and Giovanna Cerami. The effect of the domain topology on the number of</p><p>positive solutions of nonlinear elliptic problems. Archive for Rational Mechanics and Analysis,</p><p>114(1):79–93, 1991.</p><p>[5] Renato Bettiol and Paolo Piccione. Multiplicity of solutions to the yamabe problem on col-</p><p>lapsing riemannian submersions. Pacific Journal of Mathematics, 266(1):1–21, 2013.</p><p>[6] Renato G Bettiol and Paolo Piccione. Bifurcation and local rigidity of homogeneous solutions</p><p>to the yamabe problem on spheres. Calculus of Variations and Partial Differential Equations,</p><p>47(3-4):789–807, 2013.</p><p>[7] Renato G Bettiol, Paolo Piccione, Bianca Santoro, et al. Bifurcation of periodic solutions to</p><p>the singular yamabe problem on spheres. Journal of Differential Geometry, 103(2):191–205,</p><p>2016.</p><p>[8] LL De Lima, Paolo Piccione, and Michela Zedda. On bifurcation of solutions of the yamabe</p><p>problem in product manifolds. In Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analy-</p><p>sis, volume 29, pages 261–277. Elsevier, 2012.</p><p>[9] M.P. do Carmo. Geometria riemanniana. Projeto Euclides. Instituto de Matemática Pura e</p><p>Aplicada, 1988.</p><p>[10] Basilis Gidas, Wei-Ming Ni, and Louis Nirenberg. Symmetry and related properties via the</p><p>maximum principle. Communications in Mathematical Physics, 68(3):209–243, 1979.</p><p>[11] Karsten Grove and Hermann Karcher. How to conjugatec 1-close group actions. Mathematische</p><p>Zeitschrift, 132(1):11–20, 1973.</p><p>[12] David Hilbert. Die grundlagen der physik. Mathematische Annalen, 92(1):461–472, 1924.</p><p>[13] Hermann Karcher. Riemannian center of mass and mollifier smoothing. Communications on</p><p>pure and applied mathematics, 30(5):509–541, 1977.</p><p>53</p><p>54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>[14] Ana Claudia da Silva Moreira. Técnicas de bifurcação para o problema de Yamabe em varie-</p><p>dades com bordo. PhD thesis, Universidade de São Paulo.</p><p>[15] Morio Obata. The conjectures on conformal transformations of riemannian manifolds. Bulletin</p><p>of the American Mathematical Society, 77(2):265–270, 1971.</p><p>[16] Jimmy Petean. Multiplicity results for the yamabe equation by lusternik-schnirelmann theory.</p><p>arXiv preprint arXiv:1611.01177, 2016.</p><p>[17] Daniel Pollack. Nonuniqueness and high energy solutions for a conformally invariant scalar</p><p>equation. Comm. Anal. Geom, 1(3-4):347–414, 1993.</p><p>[18] Richard Schoen et al. Conformal deformation of a riemannian metric to constant scalar</p><p>curvature. Journal of Differential Geometry, 20(2):479–495, 1984.</p><p>[19] Gaetano Siciliano. Multiple positive solutions for a schrödinger–poisson–slater system. Journal</p><p>of mathematical analysis and applications, 365(1):288–299, 2010.</p><p>[20] Neil S Trudinger. Remarks concerning the conformal deformation of riemannian structures</p><p>on compact manifolds. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze,</p><p>22(2):265–274, 1968.</p><p>[21] Hidehiko Yamabe. On a deformation of riemannian structures on compact manifolds. 1960.</p><p>Introdução</p><p>Geometria Riemanniana</p><p>Variedades Diferenciáveis, Espaço Tangente, Aplicações Diferenciáveis</p><p>Variedades Riemannianas</p><p>Conexão Riemanniana</p><p>Geodésica, Vizinhança Normal, Curvaturas</p><p>Aplicação Exponencial</p><p>Curvaturas</p><p>Gradiente, Divergente e Laplaciano</p><p>Geometria Conforme</p><p>Curvatura Riemanniana Conforme</p><p>Curvatura de Ricci Conforme</p><p>Curvatura Escalar Conforme</p><p>Os Espaços de Sobolev</p><p>O Espaço de Sobolev W1,p()</p><p>O Espaço de Sobolev W1,p(M)</p><p>As imersões de Sobolev sobre a Variedade M</p><p>Um problema Elíptico não linear em variedade riemanniana</p><p>Problema de Yamabe - subcrítico</p><p>Problema de Yamabe</p><p>Problema de Yamabe Subcrítico</p><p>Número mínimo de soluções para Problema de Yamabe-subcrítico</p><p>Centro de Massa Riemaniana</p><p>A Função Centro de Massa cm(r,):L1r,(M)M</p><p>Teorema Principal</p><p>Construção de uma função radial</p><p>Demonstração do Teorema Principal</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>desenvolvida</p><p>para superf́ıcies.</p><p>No estudo de superf́ıcies, um resultado clássico de uniformização garante que para uma su-</p><p>perf́ıcie (M, g), existe uma função suave u > 0 em M e uma métrica g̃ = u2g tal que (M, g̃) possui</p><p>curvatura gaussiana constante. Dizemos que g̃ é uma métrica conforme (multiplicação de g por uma</p><p>função positiva). Encontrar métricas conformes é um tema que tem motivado o desenvolvimento</p><p>da análise geométrica desde o século passado.</p><p>D. Hilbert em 1915 [12] prova que uma métrica g sobre uma superf́ıcie compacta M é Einstein</p><p>se e somente se g é ponto cŕıtico do funcional Y : M → R dado por</p><p>Y (g) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>Sg dvg</p><p>Vol</p><p>m−2</p><p>m</p><p>g (M)</p><p>,</p><p>onde Sg é a curvatura escalar da métrica g, vg denota a forma de volume induzida por g, m é a</p><p>dimensão de M e Volg(M) =</p><p>∫</p><p>M dvg.</p><p>Quando Y é restrito a classe conforme [g] da métrica g, decorre que os pontos cŕıticos de Yg</p><p>nestas configurações são as métricas conformes a g com curvatura escalar constante.</p><p>Em 1960, H. Yamabe [21] formula a seguinte conjectura: “toda variedade Riemaniana compacta</p><p>(M, g) de dimensão m ≥ 3, admite uma métrica conforme g com curvatura escalar constante”. Essa</p><p>conjectura ficou conhecida como Problema de Yamabe, o qual foi completamente resolvido em 1984,</p><p>com as contribuições de H. Yamabe [21], S. Trudinger [20], T. Aubin [2] e R. Schoen [18].</p><p>Consideremos uma variedade riemaniana fechada de dimensão m ≥ 3. A métrica g̃ = fpk−2 · g</p><p>conforme a g tem curvatura escalar constante µ ∈ R se e somente se a função positiva f satisfaz a</p><p>Equação de Yamabe correspondente a g:</p><p>−am∆gf + Sgf = µfpm−1,</p><p>onde am = 4(m−1)</p><p>m−2 , pm = 2m</p><p>m−2 é o expoente cŕıtico de Sobolev e Sg denota a curvatura escalar de</p><p>g.</p><p>Considere o funcional Hilbert-Eistein Yg restrito a classe conforme de g:</p><p>g̃ ∈ [g]⇒ g̃ = fpm−2 · g</p><p>Y (g̃) = Y (fpm−2 · g) = Yg(f) =</p><p>Eg(f)</p><p>||f ||2pm</p><p>,</p><p>onde Eg(f) =</p><p>∫</p><p>M (am|| 5 f ||2 + Sgf</p><p>2) dvg e ||f ||pm =</p><p>(∫</p><p>M fpm</p><p>) 1</p><p>pm . As soluções da equação de</p><p>Yamabe são os pontos cŕıticos do funcional Hilbert-Einstein Y restrito a [g] e dvg é a forma de</p><p>volume associada a g.</p><p>1</p><p>2 SUMÁRIO</p><p>O funcional Yg é limitado inferiormente para qualquer métrica g. Além disso o ı́nfimo é atingido.</p><p>inf(Yg) é chamado constante de Yamabe e denotado por Y (M, [g]).</p><p>Y (M, [g]) = inf</p><p>f∈C∞+ (M)</p><p>(Yg(f)),</p><p>onde C∞+ (M) é o conjunto das funções suave positivas de M .</p><p>Quando Y (M, [g]) ≤ 0 a equação de Yamabe tem uma única solução, a menos de homotetias.</p><p>Contudo, no caso positivo existem soluções múltiplas, como podemos ver em Obata [15], Schoen</p><p>[18] e Pollack [17], neste artigo Daniel Pollack mostra que qualquer classe conforme com constante</p><p>de Yamabe positiva pode ser aproximada na C0-topologia por uma classe conforme com um número</p><p>arbitrariamente grande de métricas, não isométricas, com curvatura escalar constante.</p><p>Em 2012 (De Lima,P.Piccione, Zedda) em [8] usando Teoria de Bifurcações obtiveram resultados</p><p>de multiplicidade de soluções para problema de Yamabe em produto Riemaniano, eles consideraram</p><p>duas variedades riemanianas compactas sem bordo (M0, g0) e (M1, g1) definem M = (M0×M1, gλ),</p><p>onde gλ = g0 ⊕ λg1, λ ∈ (0,+∞) é uma famı́lia de métricas, provam que existe um conjunto</p><p>enumerável Λ ⊆ (0,+∞) que se acumula somente em 0 e +∞, tal que:</p><p>1. A famı́lia (gλ) é localmente ŕıgida em todo ponto de (0,+∞) \Λ, isto é, ∀λ ∈ (0,+∞) \Λ,</p><p>qualquer métrica de curvatura escalar constante sobre M suficientemente C2,α-próxima à gλ</p><p>é homotética à algum elemento da forma gλ.</p><p>2. Em cada λ∗ ∈ Λ, a menos de um subconjunto finito, existe um ramo de bifurcação de métricas</p><p>que não pertencem à famı́lia (gλ).</p><p>Também obtiveram resultados de rigidez e bifurcação quando as curvaturas escalares de g0 e g1</p><p>não são ambas positivas.</p><p>R. Bettiol e P Piccione também contribuiram muito para o desenvolvimento dessa linha de</p><p>pesquisa com diversos resultado publicados, veja [5], [6], [7] motivando o trabalho de J. Petean</p><p>obteve um resultado de multiplicidade em produtos riemanianos usando a teoria de Lusternik-</p><p>Schnirelmann, ele considerou (Mm, g) e (Nn, h) variedades riemanianas fechadas, de tal forma que</p><p>(W k ·gδ) = (M×N, g+δh) onde k = m+n e δ ∈ R>0. Nestas condições,buscou encontrar soluções</p><p>da equação de Yamabe correspondentes a métrica gδ no caso é subcritica (pm+n < pn), além disso</p><p>ele considerou soluções que dependem de apenas de um dos fatores.</p><p>Nesse contexto iniciamos nossa pesquisa, percebemos que seria posśıvel usar o método da va-</p><p>riedade de Nehari juntamento com a teoria de Lusternik-Schnirelmann para obter um resultado</p><p>análogo ao produzido por J. Petean [16], onde ele aplicou o a técnica de Vieri Benci, Claudio</p><p>Bonanno, e Anna Maria Micheletti [3]. Em śıntese nossa pesquisa preenche uma lacuna no que se</p><p>refere ao Problema de Yamabe, pois obtivemos um resultado de multiplicidade para a equação de</p><p>Yamabe modela em um fibrado riemanianno com fibras mı́nimas, tal fibrado é obtido via uma sub-</p><p>mersão riemanianna, mostramos a existência de outras soluções proximas de uma sulução de menor</p><p>energia. Este trabalho está dividido em quatro caṕıtulos, no caṕıtulos 1 fizemos uma compilação</p><p>dos resultados preliminares de geometria riemaniana, no caṕıtulo 2 falamos sobre alguns conceitos</p><p>de espaços de Sobolev, no caṕıtulo 3 falamos sobre o caso subcŕıtico do problemas de Yamabe e</p><p>finalmente no caṕıtulo 4 falamos sobre o problema de Yamabe no contexto de fibrados riemaniana</p><p>e provamos o seguinte resultado de multiplicidade: Seja (Mm, gM ) uma variedade riemanniana</p><p>compacta, com m ≥ 3 e (Bn, gB) uma variedade riemanniana. Se π : (Mm, gM ) → (Bn, gB) é</p><p>uma submersão riemanniana com fibras mı́nimas e de curvatura escalar constante positiva, então,</p><p>para ε > 0 suficientemente pequeno, existem Cat(B) + 1 métricas conformes à gεM = gB + εgF com</p><p>curvatura escalar constante. Onde Cat é a categoria de Lusternik-shnirelmann.</p><p>Caṕıtulo 1</p><p>Geometria Riemanniana</p><p>Neste caṕıtulo apresentamos alguns conceitos importantes em geometria riemanniana, definições</p><p>e propriedades que usaremos no decorrer do texto, não temos o objetivo de demonstrar os resultados</p><p>clássicos dessa teoria a menos que os mesmos venham a contribuir para a clareza do trabalho de</p><p>um modo geral. Os resultados seguintes foram baseados em [9] e [14]</p><p>1.1 Variedades Diferenciáveis, Espaço Tangente, Aplicações Dife-</p><p>renciáveis</p><p>Definição 1.1 Uma variedade diferenciável M , de dimensão m, é um espaço topológico Hausdorff,</p><p>com base enumerável e uma estrutura diferenciáveis, isto é, uma coleção de cartas A = {(Uα, φα)},</p><p>chamada atlas, onde a aplicação φα : Uα → Vα, é um homeomorfismo, Uα ⊂ Rm, para todo α, tal</p><p>que</p><p>1. M = ∪αVα = ∪αφα(Uα),</p><p>2. para cada par de cartas (Uα, φα), (Uβ, φβ) onde φα(Uα)∩φβ(Uβ) = Vα∩Vβ 6= ∅, as aplicações</p><p>φ−1</p><p>β ◦ φα : φ−1</p><p>α (Vα ∩ Vβ)→ φ−1</p><p>β (Vα ∩ Vβ) são diferenciáveis.</p><p>Usaremos a notação Mm para denotar um objeto que satisfaz a definição 1.1 , o par (Uα, φα) ∈ A</p><p>com p ∈ φα(Uα) é chamado parametrização ou sistema de coordenadas de Mm em p e φα(Uα)</p><p>chamada vizinhança coordenada de p.</p><p>3</p><p>4 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>Exemplos 1.2 Os seguintes conjuntos são variedades diferenciáveis: O espaço euclidiano Rn, o</p><p>espaço projetivo Pn(R) e a esfera Sn−1 = {x ∈ Rn; |x|2 =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>x2 = 1}</p><p>Definição 1.3 O subconjunto S ⊂ Mm é uma subvariedade, de dimensão n, da variedade Mm,</p><p>se para todo p ∈ S, existe uma carta (Uα, φα) de Mm, com p ∈ Uα, tal que φα(Uα ∩ S) =</p><p>φα(Uα) ∩ Rn × {0}.</p><p>A definição 1.1 permite estender o conceito de aplicações difenciáveis em variedades, como aparece</p><p>a seguinte definição.</p><p>Definição 1.4 Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis. Uma aplicação f : Mm → Nn é</p><p>diferenciável em p ∈ Mm se dada uma parametrização φβ : Uβ ⊂ Rn → Nn em f(p) existe</p><p>uma parametrização φα : Uα ⊂ Rm →Mn em p tal que f(φα(Uα)) ⊂ φβ(Uβ) e a aplicação é:</p><p>φ−1</p><p>β ◦ f ◦ φα : Uα ⊂ Rm → Rn</p><p>é diferenciável em</p><p>φ−1</p><p>α (p)</p><p>Definição 1.5 Seja Mm um variedade diferenciável e γ : (−ε, ε) → Mm uma curva diferenciável</p><p>em Mm. Suponha que γ(0) = p ∈Mm, e seja D o conjunto das funções diferenciáveis definidas em</p><p>p. O vetor tangente à curva γ em t = 0 é a função γ′(0) : D → R dada por</p><p>γ′(0)f =</p><p>d(f ◦ γ)</p><p>dt</p><p>∣∣∣∣</p><p>t=0</p><p>, f ∈ D</p><p>TpM é chamdo espaço tangente a M no ponto p ∈ M e é formado por todos os vetores tangentes</p><p>a Mm em p. Agora vamos considerar um sistema de coordenadas para uma melhor compreensão</p><p>dos vetores tangentes em uma variedade. Seja φ : U → M uma carta em p = φ(0) e f ∈ D, em</p><p>1.1. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS, ESPAÇO TANGENTE, APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS5</p><p>termos desta parametrização</p><p>γ′(0)f =</p><p>d</p><p>dt</p><p>(f ◦ γ)</p><p>∣∣∣∣</p><p>t=0</p><p>=</p><p>d</p><p>dt</p><p>f(x1(t), ..., xm(t))</p><p>∣∣∣∣</p><p>t=0</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>x′i(0)</p><p>(</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>0</p><p>=</p><p>( m∑</p><p>i=1</p><p>x′i(0)</p><p>(</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>0</p><p>)</p><p>f.</p><p>donde obtemos a seguinte expressão para γ′(0) no sistema de coordenadas φ é</p><p>γ′(0) =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>x′i(0)</p><p>(</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>0</p><p>. Observe que</p><p>(</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>0</p><p>é o vetor tangente em p à curva parametrizada γ(xi) = φ(0, ...0, xi, 0, ..., 0),</p><p>portanto podemos assumir que o conjunto{(</p><p>∂</p><p>∂x1</p><p>)</p><p>0</p><p>, ...,</p><p>(</p><p>∂</p><p>∂xm</p><p>)</p><p>0</p><p>}</p><p>gera o espaço TpM .</p><p>Proposição 1.6 Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis e seja f : Mm → Nn uma aplicação</p><p>diferenciável. Para cada ponto p ∈ Mm e cada vetor v ∈ TpM , escolha um curva difenciável</p><p>γ : (−ε, ε) → Mm com γ(0) = p e γ′(0) = v. A aplicação dfp : TpM → Tf(p)N dada por</p><p>dfp(v) = (f ◦ γ)′(0) é linear e não depende da escolha de γ.</p><p>Prova:</p><p>Veja Carmo, Manfredo P. do [9].</p><p>A aplicação definida anteriormente dfp : TpM → Tf(p)N é chamando difencial de f em p, o qual</p><p>é linear e cuja matriz associada as parametrizações x : U ⊂ Rm →Mn e y : V ⊂ Rn → Nn é dada</p><p>por</p><p>(</p><p>∂yi</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>n×m</p><p>.</p><p>Definição 1.7 Dizemos que Mm é orientável se possui um atlas maximal A orientado, isto</p><p>é, o determinante da mudança de coordenadas φ−1</p><p>β ◦ φα é positivo para quaisquer duas cartas</p><p>(Uα, φα), (Uβ, φβ) deste atlas, em cada ponto de interseção φα(Uα) ∩ φβ(Uβ).</p><p>Definição 1.8 Uma aplicação f : Mm → Nn é chamada difeomorfismo quando ela é diferenciável,</p><p>bijetora e sua inversa f−1 é diferenciável. Quando p ∈ U ⊂ Mm e f(p) ∈ V ⊂ Nn se a restrição</p><p>f : U → V é difeomorfismo, dizemos que f é difeomorfismo local.</p><p>Definição 1.9 Uma aplicação f : Mm → Nn é chamada imersão quando dfp : TpM → Tf(p)N é</p><p>injetora para todo p ∈Mm e (m ≥ n). Além disso, quando f é um homeomorfismo sobre a imagem</p><p>f(Mm) ⊂ Nn, onde f(Mm) tem a topologia induzida por Nn, f é chamado mergulho.</p><p>6 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>Definição 1.10 Uma aplicação f : Mm → Nn é chamada submersão quando dfp : TpM → Tf(p)N</p><p>é sobrejetor para todo p ∈Mm.</p><p>Fato 1.11</p><p>• O conjunto TM = {(p, v); p ∈Mm, v ∈ TpM} é uma variedade diferenciavel chamada fibrado</p><p>tangente de Mm e tem dimensão 2m, uma carta para TM é da forma</p><p>ψα : Uα × Rm → TM</p><p>onde</p><p>ψα(xα1 , · · · , xαm, u1, · · · , um) =</p><p>(</p><p>φα(xα1 , · · · , xαm),</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>ui</p><p>∂</p><p>∂xαi</p><p>)</p><p>para uma carta (Uα, φα) que suas coordenadas são indicadas por (xα1 , · · · , xαm), o conjunto{</p><p>∂</p><p>∂xα1</p><p>, · · · , ∂</p><p>∂xαm</p><p>}</p><p>é uma base associada aos espaços tangentes de φα(Uα).</p><p>• Um conjunto S ⊂Mm é uma subvariedade mergulhada de Mm quando tem a toplogia indu-</p><p>zida por Mm e a inclusão é um mergulho.</p><p>• Dada uma aplicação f : Mm → Nn, dizemos que ponto q ∈ Nn é um valor regular para f , se</p><p>dfp é sobrejetora para todo p ∈ f−1(q) .</p><p>Teorema 1.12 Seja f : Mm → Nn uma aplicação diferenciável, n ≤ m e q ∈ Nn valor regular</p><p>de f , então S = f−1(q) é uma subvariedade mergulhada de M , com dimensão (m − n) e TpS =</p><p>Ker(df)p para todo p ∈ S.</p><p>Definição 1.13 Um campo de vetores diferenciável X em uma variedade diferenciável Mm é uma</p><p>aplicação diferenciável X : Mm → TM que a cada ponto p ∈ Mm associa um vetor tangente</p><p>X(p) ∈ TpM . Para um sistema de coordenadas φ : U ⊂ Rm →Mm podemos escrever</p><p>X :Mm → TM</p><p>p 7−→ X(p) =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>ai(p)</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>onde ai : U → R são funções diferenciáveis em U e</p><p>{</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>}m</p><p>i=1</p><p>é uma base associada ao sistema de</p><p>coordenadas x. Donde</p><p>(Xf)p =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>ai(p)</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>= dfp(X)</p><p>para um função diferenciável f : Mm → R.</p><p>Denotamos por X(M) o conjunto dos campos diferenciáveis de classe C∞ em Mm</p><p>Proposição 1.14 Sejam X e Y compos de vetores diferenciáveis em uma variedade diferenciável</p><p>Mm. Então existe um único campo vetorial Z tal que, Zf = (XY − Y X)f , onde f ∈ C∞(M).</p><p>Prova:</p><p>Veja página 28 do livro Geometria Riemanniana de Manfredo P. do Carmo [9].</p><p>1.2. VARIEDADES RIEMANNIANAS 7</p><p>Definição 1.15 O campo vetorial diferenciável Z dado na proposição 1.14 é chamado colchete de</p><p>Lie dos campos X e Y , notação</p><p>[X,Y ] = XY − Y X</p><p>Proposição 1.16 Sejam X, Y e Z pertencentes a X(M), α, β ∈ R e f, g ∈ C∞(M), então:</p><p>1. [X,Y ] = −[Y,X]</p><p>2. [αX + βY, Z] = α[X,Z] + β[Y,Z]</p><p>3. [[X,Y ], Z] + [[Y,Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0</p><p>4. [fX, gY ] = fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X</p><p>Prova:</p><p>A prova dos itens 1. e 2. decorre diretamente da definição 1.15. Para mostrar o item 3. basta</p><p>desenvolver a primeira parcela e depois a segunda e terceira parcelas e compará-las.</p><p>[[X,Y ], Z] = [XY − Y X,Z]</p><p>= XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X.</p><p>Agora vamos desenvolver as outras duas parcelas,</p><p>[[Y,Z], X] + [[Z,X], Y ] = XY Z −XZY − Y ZX + ZY X</p><p>= Y ZX − Y XZ − ZXY +XZY.</p><p>Usando o item 1. concluimos a prova. Para mostra o item 4. basta aplicarmos a definição 1.15</p><p>[fX, gY ] = fX(gY )− gY (fX)</p><p>= fgXY + fX(g)Y − gfY X − gY (f)X</p><p>= fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X.</p><p>1.2 Variedades Riemannianas</p><p>Definição 1.17 Uma métrica riemanniana g em uma variedade diferenciável Mm é uma aplicação</p><p>g : TpM × TpM → R que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno 〈 , 〉p, definido em</p><p>TpM × TpM que varia suavemente com p, tal que, se x : U ⊂ Rn → Mn é um sistema de</p><p>coordenadas em p, x(x1, ..., xm) = p ∈ x(U) e ∂</p><p>∂xi</p><p>(p) = dx(0, · · · , 1, · · · ) então</p><p>gij(x1, · · · , xm) =</p><p>〈</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>,</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>〉</p><p>p</p><p>é uma função diferenciável em U .</p><p>Uma variedade diferenciável Mm munida de uma métrica riemanniana g é chamada variedade</p><p>riemanniana e representada como (Mm, g) e gij é a expressão local da métrica no sistema de</p><p>coordenadas x : U ⊂ Rm →Mn.</p><p>8 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>Exemplos 1.18 Métrica produto. Sejam Mm e Nn variedades riemannianas e considere o produto</p><p>cartesiano Mm ×Nn com estrutura diferenciável produto. Considere as projeções naturais</p><p>πM : Mm ×Nn →Mm</p><p>πN : Mm ×Nn → Nn</p><p>temos uma métrica da seguinte forma</p><p>〈u, v〉(p,q) = 〈dπM ·u, dπM · v〉p + 〈dπN ·u, dπN · v〉q</p><p>para todo (p, q) ∈Mm ×Nn, u, v ∈ T(p,q)M</p><p>m ×Nn.</p><p>Podemos agora definir volume de uma variedade riemanniana Mm orientada. Seja p ∈ Mm e</p><p>φ : U ⊂ Rm → Mm um sistema de coordenadas em p ∈ Mm e uma base ortonormal {e1, · · · , em}</p><p>em TpM ambos com a mesma orientação de M , escrevendo Xi(p) = ∂</p><p>∂xi</p><p>(p) na base {ei} teremos</p><p>Xi(p) =</p><p>∑</p><p>ij</p><p>aijej . Então</p><p>gik(p) = 〈Xi, Xj〉(p) =</p><p>∑</p><p>jl</p><p>aijakl〈ej , el〉 =</p><p>∑</p><p>j</p><p>aijakl</p><p>como o vol(X1(P ), · · · , Xm(p)) = vol(e1, · · · , em)· det(aij) =</p><p>√</p><p>det(gij)(p).</p><p>Por conseguinte dado um sistema de coordenadas ψ : V ⊂ Rm → Mm em p ∈ Mm com a</p><p>mesma orientação de Mm, com Yi(p) = ∂</p><p>∂yi</p><p>(p) e hij(p) = 〈Xi, Xj〉(p)</p><p>√</p><p>det(gij)(p) = vol(X1(p), · · · , Xm(p))</p><p>= Jvol(Y1(p), · · · , Ym(p))</p><p>= J</p><p>√</p><p>det(hij)(p)</p><p>onde J = det</p><p>( ∂yi</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>= det(dψ−1 ◦ dφ)(p) > 0. Para uma região R ⊂ φ(U) ⊂ Mm aberta, conexa</p><p>com fecho compacto e cuja fronteira de φ−1(R) tem medida nula em Rm, temos que</p><p>vol(R) =</p><p>∫</p><p>φ−1(R)</p><p>√</p><p>det(gij)dx1 · · · dxm</p><p>1.3 Conexão Riemanniana</p><p>Definição 1.19 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável Mm é uma aplicação</p><p>∇ : X(M)× X(M) −→ X(M)</p><p>(X,Y ) 7−→ ∇XY</p><p>que satisfaz as propriedades abaixo</p><p>1. ∇fXY = f∇XY ,</p><p>2. ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,</p><p>3. ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ</p><p>1.3. CONEXÃO RIEMANNIANA 9</p><p>4. ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y onde X,Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M)</p><p>Diante disto, considere um ponto p ∈ Mm e um sistema de coordenadas φ = (x1, . . . , xm) em</p><p>torno de p, sejam X,Y ∈ X(M) podemos escrever</p><p>X =</p><p>∑</p><p>i</p><p>xiXi</p><p>Y =</p><p>∑</p><p>j</p><p>yjXj</p><p>onde Xi = ∂</p><p>∂xi</p><p>∇XY =</p><p>∑</p><p>i</p><p>xi∇Xi(</p><p>∑</p><p>j</p><p>yjXj)</p><p>=</p><p>∑</p><p>ij</p><p>xiyj∇XiXj +</p><p>∑</p><p>ij</p><p>xiXi(yj)Xj .</p><p>fazendo ∇XiXj =</p><p>∑</p><p>k</p><p>ΓkijXk, decorre que ∇XY =</p><p>∑</p><p>k</p><p>(∑</p><p>ij</p><p>xiyj + X(yk)</p><p>)</p><p>Xk donde concluimos que</p><p>∇XY (p) depende de xi(p) e yj(p) e das derivadas X(yk)(p) de yk segundo X</p><p>Definição 1.20 Seja Mm uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um campo X</p><p>ao longo de uma curva γ : I →Mm é chamado paralelo quando</p><p>DV</p><p>dt</p><p>= 0</p><p>Definição 1.21 Seja Mm uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e uma métrica</p><p>riemanniana 〈, 〉. A conexão é chamada compat́ıvel com a métrica 〈, 〉, quando para toda curva</p><p>diferenciável γ e quaisquer pares de campos de vetores paralelos X e Y ao longo de γ, tivermos</p><p>〈X,Y 〉 = c, uma constante.</p><p>Teorema 1.22 Uma conexão afim ∇ em uma variedade riemanniana Mm é compat́ıvel com a</p><p>métrica se e somente se X〈Y,Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉, para todo X,Y, Z ∈ X(M)</p><p>Definição 1.23 Uma conexão ∇ afim em uma variedade riemanniana Mm é chamada simétrica</p><p>quando</p><p>∇XY −∇YX = [X,Y ]</p><p>para todo X,Y ∈ X(M).</p><p>Considerando um sistema de coordenadas ψ, pela simetria da conexão ∇</p><p>∇XiXj −∇XjXi = [Xi, Yj ] = 0 onde Xi =</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>,</p><p>é equivalente a Γkij = Γkji.</p><p>Teorema 1.24 Dada uma variedade riemanniana Mm, existe uma única conexão afim ∇ em Mm</p><p>satisfazendo as condições:</p><p>1. ∇ é simétrica.</p><p>2. ∇ é compat́ıvel com a métrica riemanniana.</p><p>10 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>Prova:</p><p>Suponhamos que existe uma conexão ∇, então</p><p>1. X〈Y,Z〉 = 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉</p><p>2. Y 〈Z,X〉 = 〈∇Y Z,X〉+ 〈Z,∇YX〉</p><p>3. Z〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZY 〉</p><p>somando as expressões (1) e (2) e subtraindo (3) decorre que</p><p>X〈Y,Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X,Y 〉</p><p>= 〈[X,Z], Y 〉+ 〈[Y,Z], X〉+ 〈[X,Y ], Z〉+ 2〈Z,∇YX〉.</p><p>portanto</p><p>〈Z,∇YX〉 =</p><p>1</p><p>2</p><p>{X〈Y,Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X,Y 〉 (1.1)</p><p>− 〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y,Z], X〉 − 〈[X,Y ], Z〉}. (1.2)</p><p>mostrar que ∇ está unicamente determinada pela métrica 〈, 〉.</p><p>Para mostrar a existência da conexão, basta definir como sugerido acima depois mostrar que</p><p>está bem definida, simétrica e compat́ıvel.</p><p>Considerando um sistema de coordenadas locais, ∇XiXj =</p><p>∑</p><p>k</p><p>ΓkijXk são os coeficientes da</p><p>conexão ∇. Se gij = 〈Xi, Xj〉 temos:</p><p>∑</p><p>l</p><p>Γlijglk =</p><p>1</p><p>2</p><p>{</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>gjk +</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>gki −</p><p>∂</p><p>∂xk</p><p>gij</p><p>}</p><p>como gkm admite inversa gkm, temos</p><p>Γmij =</p><p>1</p><p>2</p><p>∑</p><p>k</p><p>{</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>gjk +</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>gki −</p><p>∂</p><p>∂xk</p><p>gij</p><p>}</p><p>gkm</p><p>1.4 Geodésica, Vizinhança Normal, Curvaturas</p><p>Definição 1.25 SejaMm uma variedade riemanniana munida com sua conexão riemanniana. Uma</p><p>curva parametrizada γ : I →Mm é uma geodésica em t ∈ I se</p><p>D</p><p>dt</p><p>(</p><p>dγ</p><p>dt</p><p>)</p><p>= 0</p><p>Em geometria riemanniana sabemos que dado um ponto p ∈ Mm, existem uma vizinhança V</p><p>de p em Mm, um número ε > 0 e uma aplicação γ : (−ε, ε)×U →M , onde U = {(q, w) ∈ TM ; q ∈</p><p>V,w ∈ TqM} tal que</p><p>t 7→ γ(t, q, w)</p><p>t ∈ (−ε, ε), é a única geodésica de Mm que no instante t = 0 passa pelo ponto q com velocidade</p><p>w, para todo q ∈ V e cada w ∈ TqM , com |w| < ε.</p><p>1.5. APLICAÇÃO EXPONENCIAL 11</p><p>1.5 Aplicação Exponencial</p><p>Nesse contexto, podemos definir a aplicação exponencial exp : U →M dada por</p><p>exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ</p><p>(</p><p>|v|, q, v</p><p>|v|</p><p>)</p><p>onde (q, v) ∈ U e exp(V ) = U é chamada vizinhança normal em q. Para Mm variedade compacta</p><p>e TM o fibrado tangente de M .</p><p>exp : TM →M</p><p>é de classe C∞ e existe uma constante r > 0 tal que</p><p>expx |B(0,r) : B(0, r)→ Bg(x, r)</p><p>é um difeomorfismo para todo x ∈ M . neste caso dizemos que exp(B(0, r)) = B(x, r) é a bola</p><p>normal ou geodésica de centro x e raio r.</p><p>Fato 1.26 Considere um atlas em M , onde as cartas são dadas pela aplicação exponencial, C :=</p><p>{(B(q, r), exp−1</p><p>q )}, para qualquer função u ∈ H1</p><p>g (M).∫</p><p>M</p><p>|Ogu(x)|2 dµg :=</p><p>∑</p><p>B∈C</p><p>∫</p><p>B</p><p>ψB(x)|Ogu(x)|2 dµg (1)</p><p>onde P = {ψ : M → R} é uma partição da unidade subordinada ao atlas C. Além disso, se</p><p>supp(u) ⊆ B(x0, r), então∫</p><p>B(x0,r)</p><p>|Ogu(x)|2 dµg =</p><p>∫</p><p>B(0,r)</p><p> m∑</p><p>i,j=1</p><p>gijx0(z)</p><p>∂u(expx0(z))</p><p>∂zi</p><p>∂u(expx0(z))</p><p>∂zj</p><p> |gx0(z)|1/2 dz1...dzm</p><p>onde gx0 é uma métrica riemanniana em B(0, r), usando as coordenadas normais definidas pela</p><p>expx0 , gx0(0) = Id, |gx0(z)| := det(gij(z)), g</p><p>ij(z) é o inverso de gx0(z).</p><p>Seja r0 um número positivo tal que para qualquer r < r0 e qualquer x ∈ M a bola geodésica</p><p>B(x, r) ⊂ (M, g) é fortemente convexa,isto é, para todo par de pontos p, p′ ∈ B(x, r) existe uma</p><p>única geodésica minimal, γ, ligando p a p′, totalmente contida em B(x, r), Pela compacidade de</p><p>M e a positividade da métrica existem constantes positivas 0 < λ ≤ Λ tais que</p><p>∀x ∈M , ∀v ∈ TxM , λ||v||2 ≤ gx(v, v) ≤ Λ||v||2 (1.3)</p><p>implica que λm ≤ |gx| ≤ Λm</p><p>1.6 Curvaturas</p><p>Definição 1.27 Uma curvatura R de uma variedade riemanniana M com conexão ∇, é uma regra</p><p>que associa a cada par X,Y ∈ X(M) uma aplicação</p><p>R(X,Y ) : X(M)→ X(M)</p><p>12 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>dada por</p><p>R(X,Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z</p><p>onde Z ∈ X(M) e ∇ é a conexão riemanniana de M .</p><p>Proposição 1.28 (Primeira Identidade de Bianchi)</p><p>R(X,Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = 0</p><p>Definição 1.29 Dado um ponto p ∈M e um subespaço bidimensional π ⊂ TpM , o valor</p><p>K(x, y) ≡ K(π) =</p><p>〈R(x, y)x, y〉</p><p>|x ∧ y|2</p><p>é chamada curvatura seccional de π em p, onde x, y é uma base qualquer de π e |x ∧ y|2 =</p><p>|x|2|y|2 − 〈x, y〉2.</p><p>Definição 1.30 Seja x = zm ∈ TpM, |x| = 1, considere uma base {z1, · · · , zm} do hiperplano de</p><p>TpM ortogonal a x, então</p><p>Ric(x) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>〈R(x, zi)x, zi〉</p><p>S(p) =</p><p>∑</p><p>j</p><p>Ric(zj) =</p><p>1</p><p>m(m− 1)</p><p>∑</p><p>ij</p><p>〈R(zi, zj)zi, zj〉,</p><p>são chamadas respectivamente Curvatura de Ricci na direção de x e Curvatura escalar em p.</p><p>Essas expressões de curvatura independem da escolha da base ortonormal, de fato, considere uma</p><p>aplicação traço Q(x, y) = Tr(z 7−→ R(x, y)y) e obsereve que Ric(x) = Q(x, x), com relação a</p><p>curvatura escalar S(p) basta definir como 〈K(x), y〉 = Q(x, y) onde k é uma aplicação auto-adjunta.</p><p>Em uma base ortonormal podemos escrever a curvatura escalar como</p><p>Sg =</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikRjijk</p><p>1.7 Gradiente, Divergente e Laplaciano</p><p>Definição 1.31 Seja M uma variedade riemanniana e f ∈ C∞(M), o gradiente de f é o campo</p><p>vetorial em M , denotado ∇f , tal que</p><p>〈∇f(p), v〉 = dfp(v), p ∈M , v ∈ TpM.</p><p>Visto como uma aplicação definida no conjunto C∞(M), o gradiente é linear e satisfaz a regra</p><p>de Leibniz, ou seja, dados f, g ∈ C∞(M) teremos ∇(f + g) = ∇f +∇g e ∇(f · g) = f ·∇g+ g ·∇f .</p><p>Considere um sistema de coordenadas ϕ em M e uma função f ∈ C∞(M), podemos escrever</p><p>gradiente localmente como</p><p>∇f =</p><p>∑</p><p>ij</p><p>gij</p><p>∂f</p><p>∂xj</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>1.7. GRADIENTE, DIVERGENTE E LAPLACIANO 13</p><p>de fato, suponha que localmente ∇f =</p><p>∑</p><p>i</p><p>ai</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>, decorre que</p><p>〈</p><p>∇f, ∂</p><p>∂xj</p><p>〉</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>ai</p><p>〈</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>,</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>〉</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>aigij</p><p>implica que ai =</p><p>∑</p><p>j</p><p>gij</p><p>〈</p><p>∇f, ∂</p><p>∂xj</p><p>〉</p><p>=</p><p>∑</p><p>j</p><p>gijdf</p><p>(</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>j</p><p>gij</p><p>∂f</p><p>∂xj</p><p>, portanto∇f =</p><p>∑</p><p>ij</p><p>gij</p><p>∂f</p><p>∂xj</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>.</p><p>Consequentemente para u, v ∈ C∞(M)</p><p>〈∇u,∇v〉 =</p><p>∑</p><p>i,j</p><p>gij</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∂v</p><p>∂xj</p><p>Definição 1.32 Seja X ∈ X(M), chamamos de divergente de X a aplicação divX : M → R</p><p>definida da seguinte forma</p><p>divX(p) = Tr</p><p>(</p><p>TpM −→ TpM</p><p>v 7−→ (∇vX)(p)</p><p>)</p><p>Decorre que div(X + Y ) = divX + divY e div(f · X) = f · divX + 〈∇f,X〉, para dois campos</p><p>quaisquer X,Y ∈ X(M) e f ∈ C∞(M).</p><p>Considere um sistema de coordenadas ϕ, e um campo X ∈ X(M), nessa carta X =</p><p>∑</p><p>j</p><p>aj</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>,</p><p>por definição divX(p) = Tr((∇vX)(p)) observe que nessa condições temos</p><p>∇vX = ∇( ∂</p><p>∂xi</p><p>)(∑</p><p>j</p><p>aj</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>j</p><p>(</p><p>aj∇ ∂</p><p>∂xi</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>+</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>j</p><p>(∑</p><p>k</p><p>ajΓ</p><p>k</p><p>ij</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>+</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>∂</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>k</p><p>(</p><p>∂ak</p><p>∂xi</p><p>+</p><p>∑</p><p>j</p><p>ajΓ</p><p>k</p><p>ij</p><p>)</p><p>∂</p><p>∂xk</p><p>donde conclúımos que divX =</p><p>∑</p><p>i</p><p>(</p><p>∂ai</p><p>∂xi</p><p>+</p><p>∑</p><p>j</p><p>ajΓ</p><p>i</p><p>ij</p><p>)</p><p>Definição 1.33 O operador de Laplace-Beltrami é definido como</p><p>−∆f = div(∇f)</p><p>onde f ∈ C∞(M)</p><p>Lema 1.34 Nas hipótese acima, temos que ∆f =</p><p>−1√</p><p>det(gij)</p><p>∑</p><p>ij</p><p>(√</p><p>det(gij) · gij</p><p>∂f</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>, onde f ∈</p><p>C∞(M).</p><p>14 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>Definição 1.35 (Submersão Riemaniana) (Mm, gM ) e (Bn, gB) variedades riemannianas, π :</p><p>M → B uma submersão, M , B e F são chamados respectivamente de espaço total, base e fibra de</p><p>π. Pela forma local das submersões F = π−1(π(q)) é uma subvariedade</p><p>riemanniana mergulhada</p><p>de M de dimensão m− n tal que</p><p>TqF = Ker(dπq) (1.4)</p><p>dπq é sobrejetiva, sua restrição a TqF⊥ induz um isomorfismo</p><p>(dπq) : TqF⊥ → Tπ(q)B</p><p>Um vetor é vertical se for tangente a uma fibra e um campo é vertical se for inteiramente composto</p><p>de vetores verticais. Um vetor é horizontal se for ortogonal a uma fibra e um campo é horizontal</p><p>se for inteiramente composto de vetores horizontais. Fixado q ∈ M , denotamos por Hq e Vq os</p><p>conjuntos de vetores tangentes a M em q e respectivamente horizontais, verticais. Segue que Hq e</p><p>Vq são subespaços vetoriais de TqM e que vale a decomposição em soma direta ortogonal</p><p>TqM = Hq ⊕ Vq</p><p>1.8 Geometria Conforme</p><p>Nesta seção vamos reescrever as expressões de conexão riemaniana e curvatura considerando</p><p>uma métrica conforme a g, que definiremos a seguir, para tanto considere (Mm, g) uma variedade</p><p>Riemaniana de dimensão m ≥ 3 e ψ um sistema de coordenadas.</p><p>Definição 1.36 Sejam g e g̃ métricas Riemannianas definidas em Mm. Dizemos que g̃ é conforme</p><p>a g, quando existe uma função φ ∈ C∞(M) positiva tal que g̃ = φg. Denotamos [g] a classe</p><p>conforme de uma metrica g.</p><p>Sem perca de generalidade usaremos g̃ = e2fg, onde f ∈ C∞(M), como representante da classe [g],</p><p>localmente g̃ = g̃ijdx</p><p>i ⊗ dxj = e2fgijdx</p><p>i ⊗ dxj , portanto g̃ij = e2fgij e sua inversa é g̃ij = e−2fgij .</p><p>Seja ∇ a conexão riemanniana em TM associada à métrica g da variedade Mm, seja ∇̃ a</p><p>conexão riemanniana associada à métrica conforme g̃ = e2fg. Considere X,Y, Z ∈ X(M) campos</p><p>vetoriais suaves em Mm. Usando a fórmula de Koszul e em seguida a regra de Leibniz temos:</p><p>1.8. GEOMETRIA CONFORME 15</p><p>2g̃(∇̃XY,Z) = Xg̃(Y,Z) + Y g̃(X,Z)− Zg̃(Y,X)</p><p>− g̃([X,Y ], Z)− g̃([X,Z], Y )− g̃([Y, Z], X)</p><p>= e2f [2X(f)g(Y,Z) +Xg(Y, Z) + 2Y g(X,Z) + Y g(X,Z)</p><p>− 2Z(f)g(X,Y )− Zg(X,Y )− g([X,Y ], Z)− g([X,Z], Y )− g([Y,Z], X)]</p><p>= e2f [2X(f)g(Y,Z) + 2Y (f)g(X,Z)− 2Z(f)g(X,Y )]</p><p>+ e2f [Xg(Y,Z) + Y g(X,Z)− Zg(X,Y )</p><p>− g([X,Y ], Z)− g([X,Z], Y )− g([Y, Z], X)]</p><p>= e2f [X(f)g(Y,Z) + Y (f)g(X,Z)− Z(f)g(X,Y )]</p><p>+ e2f [2g(∇XY, Z)]</p><p>(considere Z(f) = g(∇f, Z) e ∇f := gradgf)</p><p>= 2[X(f)e2fg(Y,Z) + Y (f)e2fg(X,Z)− e2fg(∇f, Z)g(X,Y )]</p><p>+ 2e2fg(∇XY,Z)</p><p>Decorre que</p><p>g̃(∇̃XY,Z) = [X(f)g̃(Y, Z) + Y (f)g̃(X,Z)− Z(∇f, Z)g(X,Y )] + g̃(∇XY, Z)</p><p>= g̃(X(f)Y,Z) + g̃(Y (f)X,Z)− g̃(g(X,Y )∇f, Z) + g̃(∇XY,Z)</p><p>= g̃(X(f)Y + Y (f)X − g(X,Y )∇f +∇XY,Z)</p><p>para qualquer campo Z ∈ X(M), Portanto</p><p>∇̃XY = ∇XY +X(f)Y + Y (f)X − g(X,Y )∇f.</p><p>1.8.1 Curvatura Riemanniana Conforme</p><p>Vamos calcular a curvatura riemanniana com respeito à métrica conforme g̃, por definição</p><p>R̃(X,Y )Z = ∇̃X∇̃Y Z − ∇̃Y ∇̃XZ − ∇̃[X,Y ]Z,</p><p>usando o fato demonstrado anteriormente ∇̃Y Z = ∇Y Z + Y (f)Z + Z(f)Y − g(Y,Z)∇f,</p><p>Vamos computar cada parcela de R̃(X,Y )Z, assim temos</p><p>16 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>∇̃X∇̃Y Z = ∇̃X∇Y Z + ∇̃XY (f)Z + ∇̃XZ(f)Y − ∇̃Xg(Y,Z)∇f</p><p>= ∇X∇Y Z +X(f)∇Y Z +∇Y Z(f)X − g(X,∇Y Z)∇f</p><p>+XY (f)Z + Y (f)∇̃XZ +XZ(f)Y + Z(f)∇̃XY</p><p>−Xg(Y,Z)∇f − g(Y,Z)∇̃X(∇f)</p><p>= ∇X∇Y Z −X(f)∇Y Z +∇Y Z(f)X − g(X,∇Y Z)∇f</p><p>+XY (f)Z + Y (f)∇XZ + Y (f)X(f)Z + Y (f)Z(f)X − Y (f)g(X,Z)∇f</p><p>+XZ(f)Y + Z(f)∇XY + Z(f)X(f)Y + Z(f)Y (f)X − Z(f)g(X,Y )∇f</p><p>−Xg(Y, Z)∇f − g(Y, Z)[∇X(∇f) +X(f)∇f +∇f(f)X − g(X,∇f)∇f ]</p><p>= ∇X∇Y Z −X(f)∇Y Z +∇Y Z(f)X − g(X,∇Y Z)∇f</p><p>+XY (f)Z + Y (f)∇XZ + Y (f)X(f)Z + Y (f)Z(f)X − Y (f)g(X,Z)∇f</p><p>+XZ(f)Y + Z(f)∇XY + Z(f)X(f)Y + Z(f)Y (f)X − Z(f)g(X,Y )∇f</p><p>−Xg(Y, Z)∇f − g(Y, Z)hessf (X)− g(Y,Z)||∇f ||2X.</p><p>∇̃Y ∇̃XZ = ∇Y∇XZ − Y (f)∇XZ +∇XZ(f)Y − g(Y,∇XZ)∇f</p><p>+ Y X(f)Z +X(f)∇Y Z +X(f)Y (f)Z +X(f)Z(f)Y −X(f)g(Y,Z)∇f</p><p>+ Y Z(f)X + Z(f)∇YX + Z(f)Y (f)X + Z(f)X(f)Y − Z(f)g(Y,X)∇f</p><p>− Y g(X,Z)∇f − g(X,Z)hessf (Y )− g(X,Z)||∇f ||2Y.</p><p>∇̃[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + [X,Y ](f)Z + Z(f)[X,Y ]− g([X,Y ], Z)∇f,</p><p>implica em</p><p>∇̃[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + [X,Y ](f)Z + Z(f)[X,Y ]− g([X,Y ], Z)∇f</p><p>= ∇[X,Y ]Z +X(Y (f))Z − Y (X(f))Z + Z(f)∇XY − Z(f)∇YX</p><p>− g(∇XY,Z)∇f + g(∇YX,Z)∇f.</p><p>em particular ∇2</p><p>X,Y = X(Y f) − (∇XY )f , agrupando os termos adequadamente e usando a com-</p><p>patibilidade da metrica com a conexão teremos</p><p>R̃(X,Y )Z = R(X,Y )Z</p><p>− [∇2f(Y,Z)− Y (f)Z(f) + g(Y,Z)||∇f ||2]X</p><p>+ [∇2f(X,Z)−X(f)Z(f) + g(X,Z)||∇f ||2]Y</p><p>− g(Y,Z)hessf (X)− g(X,Z)hessf (Y )</p><p>− [Y (f)g(X,Z)−X(f)g(Y,Z)]∇f.</p><p>1.8.2 Curvatura de Ricci Conforme</p><p>Considere um referencial ortonormal {ei}mi=1 em TM com respeito à métrica g, podemos definir</p><p>um referencial ortonormal com respeito a métrica g̃ em TM dado por ẽi = e−fei. A curvatura de</p><p>1.8. GEOMETRIA CONFORME 17</p><p>Ricci de Mm para a métrica g̃ é:</p><p>Ricg̃(Y,Z) =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>g̃(R̃(ẽi, Y )Z, ẽi)</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>e2fg(R̃(e−feiY )Z, e−fei)</p><p>= e2fe−2f</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>g(R̃(ei, Y )Z, ei)</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>g(R̃(ei, Y )Z, ei)</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>g(R(ei, Y )Z</p><p>− [∇2f(Y,Z)− Y (f)Z(f) + g(Y, Z)||∇f ||2]ei</p><p>+ [∇2f(ei, Z)− ei(f)Z(f) + g(ei, Z)||∇f ||2]Y</p><p>− g(Y,Z)hessf (ei)− g(ei, Z)hessf (Y )</p><p>− [Y (f)g(ei, Z)− ei(f)g(Y,Z)]∇f)</p><p>Vamos fazer alguns cálculos visando simplificar a expressao do Ricci de g̃:</p><p>∑</p><p>i g(R̃(ei, Y )Z, ei) = Ricg(Y, Z);</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(g(ei, Z)||∇f ||2Y, ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(ei, Z)||∇f ||2g(Y, ei) = g(Y,Z)||∇f ||2.</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(g(Y, Z)hessf (ei), ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(Y,Z)g(hessf (ei), ei) = g(Y,Z)trghessf = −g(Y,Z)∆f ;</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(g(ei, Z)hessf (Y ), ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(ei, Z)g(hessf (Y ), ei) = g(hessf (Y ), Z) = ∇2f(Y,Z);</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(Y (f)g(ei, Z)∇f, ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>Y (f)g(ei, Z)g(∇f, ei) = Y (f)g(∇f, Z) = Y (f)Z(f).</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(∇2f(ei, Z)Y, ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>∇2f(ei, Z)g(Y, ei)</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(hessgf(ei), Z)g(Y, ei)</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(hessgf(ei), Z)Yi</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(hessgf(ei)Yi, Z)</p><p>= g(hessf (Y ), Z)</p><p>= ∇2f(Y,Z)</p><p>18 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA RIEMANNIANA</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(ei(f)Z(f)Y, ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>ei(f)Z(f)Y g(Y, ei)</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(∇f, ei)g(∇f, Z)g(Y, ei)</p><p>= g(∇f, Y )g(∇f, Z)</p><p>= Y (f)Z(f);</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(ei(f)g(Y,Z)∇f, ei) =</p><p>∑</p><p>i</p><p>ei(f)g(Y, Z)g(∇f, ei)</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>g(∇f, ei)g(Y, Z)g(∇f, ei)</p><p>= g(Y,Z)g(∇f,∇f)</p><p>= g(Y,Z)||∇f ||2</p><p>Portanto, usando as simplicações feitas anteriormente, podemos reescrever o Ricci de g̃</p><p>Ricg̃(Y, Z) = Ricg(Y,Z)−m∇2f(Y,Z) +mY (f)Z(f)−mg(Y,Z)||∇f ||2</p><p>+∇2f(Y,Z)− Y (f)Z(f) + g(Y,Z)||∇f ||2</p><p>+ g(Y, Z)∆f +∇2f(Y,Z)− Y (f)Z(f) + g(Y,Z)||∇f ||2</p><p>= Ricg(Y,Z)− (m− 2)∇2f(Y, Z) + (m− 2)Y (f)Z(f)</p><p>− (m− 2)g(Y,Z)||∇f ||2 + g(Y,Z)∆f.</p><p>1.8.3 Curvatura Escalar Conforme</p><p>A curvatura escalar da métrica g̃ é o traço do tensor de Ricci para g̃, calculado acima:</p><p>Rg̃ =</p><p>∑</p><p>i</p><p>Ricg̃(ẽi, ẽi),</p><p>onde ẽi é o referencial ortonormal com respeito à g̃. Decorre</p><p>Rg̃ =</p><p>∑</p><p>i</p><p>Ricg̃(e</p><p>−fei, e</p><p>−fei)</p><p>= e−2f</p><p>∑</p><p>i</p><p>Ricg̃(ei, ei)</p><p>= e−2f</p><p>∑</p><p>i</p><p>[Ricg(ei, ei)− (m− 2)∇2f(ei, ei) + (m− 2)ei(f)ei(f)]</p><p>− (m− 2)g(ei, ei)||∇f ||2 + g(ei, ei)∆f ]</p><p>= e−2f [Rg + (m− 2)∆f + (m− 2)||∇f ||2 − (m− 2)m||∇f ||2 +m∆f ]</p><p>= e−2f [Rg + 2(m− 1)∆f − (m− 2)(m− 1)||∇f ||2]</p><p>Caṕıtulo 2</p><p>Os Espaços de Sobolev</p><p>2.1 O Espaço de Sobolev W 1,p(Ω)</p><p>Sejam Mm uma variedade riemanniana e ϕ : U →M um sistema de coordenadas, digamos que</p><p>Ω = x(U). Usaremos a notação G para indicar o determinante da matriz (gij)m</p><p>Definição 2.1 Seja u ∈ L1(Ω) e f ∈ L1(Ω) será a derivada fraca na direção de xk de u, denotada</p><p>por ∂xk, (no sentido das distribuições) em Ω = x(U), quando∫</p><p>Ω</p><p>u√</p><p>G</p><p>∂v</p><p>∂xk</p><p>dV = −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>f</p><p>u√</p><p>G</p><p>dV,</p><p>para todo v ∈ C∞0 (Ω), suppv ⊂⊂ Ω e independe da escolha de parametrização.</p><p>Lema 2.2 Seja u ∈ L1(Ω). Então, u possui derivada ∂xk fraca em Ω se, e somente se, u ◦ x</p><p>possui derivada fraca ∂k(u ◦ x) em U . Mais ainda, se f é a sua derivada ∂xk fraca em Ω, então</p><p>f ◦ x : U → R é a derivada fraca ∂k(u ◦ x) da função u ◦ x.</p><p>Prova:</p><p>Seja φ ∈ C∞0 (U). Considere ψ ∈ C∞(Ω) dada por ψ = φ ◦ x−1. Temos que suppψ ⊂⊂ Ω,</p><p>decorre que (ψ ◦ x)(z) = φ(z) consequentemente</p><p>∂kφ(z) = ∂k(ψ ◦ x)(z) =</p><p>∂ψ</p><p>∂xk</p><p>(x(z))</p><p>para todo z ∈ U . Por definição,∫</p><p>U</p><p>(u ◦ x)∂kφ(z)dz =</p><p>∫</p><p>U</p><p>(u ◦ x)</p><p>∂k(ψ ◦ x)√</p><p>G ◦ x</p><p>√</p><p>G ◦ xdz</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u√</p><p>G</p><p>∂ψ</p><p>∂xk</p><p>dV = −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>fψ√</p><p>G</p><p>dV</p><p>=</p><p>∫</p><p>U</p><p>(f ◦ x)</p><p>(ψ ◦ x)√</p><p>G ◦ x</p><p>√</p><p>G ◦ xdz = −</p><p>∫</p><p>U</p><p>(f ◦ x)dz</p><p>19</p><p>20 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS DE SOBOLEV</p><p>Definição 2.3 Seja u ∈ L1(Ω). Suponha que u possui todas as derivadas ∂xk fracas em Ω = x(U),</p><p>denotadas por fk : V → R, k = 1, 2, ..., n. O gradiente fraco de u em Ω = x(U) é o campo</p><p>grad(u) =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gij(p)fi(p)</p><p>∂</p><p>xj</p><p>, p ∈ x(U). (2.1)</p><p>usaremos grad(u) = ∇u, quando</p><p>u ∈ C∞(Ω).</p><p>Lema 2.4 Suponha que u ∈ L1(Ω) possui gradiente fraco em Ω. Então para todo v ∈ C∞(Ω),</p><p>suppv ⊂⊂ Ω, temos ∫</p><p>Ω</p><p>〈grad(u),∇v〉dV = −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u∆vdV.</p><p>Prova:</p><p>por 1.7, temos</p><p>〈grad(u),∇v〉 =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gij(p)fi(p)</p><p>∂v</p><p>xj</p><p>, (2.2)</p><p>onde fi é a derivada ∂xi fraca de u.</p><p>Utilizando 1.34, juntamente com a definição dos fk, temos∫</p><p>Ω</p><p>u∆vdV =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u√</p><p>G</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>[</p><p>gij</p><p>√</p><p>G</p><p>∂v</p><p>∂xj</p><p>]</p><p>dV</p><p>= −</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>fig</p><p>ij</p><p>√</p><p>G</p><p>√</p><p>G</p><p>∂v</p><p>∂xj</p><p>dV</p><p>= −</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>fig</p><p>ij ∂v</p><p>∂xj</p><p>dV</p><p>= −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p> n∑</p><p>i,j=1</p><p>gijfi</p><p>∂v</p><p>∂xj</p><p> dV</p><p>= −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>〈grad(u),∇v〉dV.</p><p>Além disso, denotaremos</p><p>grad(u) =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gij(p)</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>(p)</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p>, p ∈ x(U). (2.3)</p><p>e</p><p>〈grad(u), grad(u)〉 =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gij</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p>. (2.4)</p><p>2.1. O ESPAÇO DE SOBOLEV W 1,P (Ω) 21</p><p>Considere o sistema de coordenadas x : U → Ω com U aberto limitado e tal que é satisfeito 1.3</p><p>Definição 2.5 O espaço vetorial W 1,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω) : |grad(u)| ∈ Lp(Ω)} munido com a</p><p>norma</p><p>||u||W 1,r(Ω) =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|u|rdV +</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|grad(u)|rdV</p><p> 1</p><p>r</p><p>é o espaço de Sobolev W 1,p sobre a vizinhança parametrizada Ω. Quando p = 2, H1(Ω) = W 1,2(Ω)</p><p>é um espaço de Hilbert munido do produto interno</p><p>〈u, v〉H1(Ω) =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>uvdV +</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>〈grad(u), grad(v)〉dV.</p><p>decorre de 1.3 e 2.4, que</p><p>λp</p><p>(</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>|∂i(u ◦ x)(z)|2</p><p>) p</p><p>2</p><p>≤ |grad(u)|p(q) ≤ Λp</p><p>(</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>|∂i(u ◦ x)(z)|2</p><p>) p</p><p>2</p><p>para todo z ∈ U e q = x(z). Usando 1.3 implica</p><p>λp+1</p><p>∫</p><p>U</p><p>[</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>|∂i(u ◦ x)(z)|2</p><p>] p</p><p>2</p><p>dz ≤</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|grad(u)|rdV ≤ Λp+1</p><p>∫</p><p>U</p><p>[</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>|∂i(u ◦ x)(z)|2</p><p>] p</p><p>2</p><p>dz</p><p>Lema 2.6 A aplicação π : W 1,p(Ω) → W 1,p(U), dada por π(u) = u ◦ x é um isomorfismo. As</p><p>normas ||u||W 1,p(Ω) e |u|Ω,1,p = ||u||W 1,p(U) são equivalentes.</p><p>Lema 2.7 (Desigualdade de Poincaré) Existe uma constante C = Cr,Ω > 0 tal que∫</p><p>Ω</p><p>|v|rdV ≤ C</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|grad(v)|rdV</p><p>para todo v ∈W 1,r(Ω), com supp(v) ⊂⊂ Ω.</p><p>O gradiente fraco independe da parametrização escolhida, considere as parametrizações xα e</p><p>xβ tais que xα(Uα) = (Ω) = xβ(Uβ). Suponha que haja dois gradientes fracos para uma função</p><p>u ∈ L1(Ω), a saber:</p><p>gradα(u) =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>gij(p)</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>(p)</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p>, p ∈ Ω (2.5)</p><p>gradβ(u) =</p><p>n∑</p><p>k,l=1</p><p>skl(p)</p><p>∂u</p><p>∂yk</p><p>(p)</p><p>∂u</p><p>∂yl</p><p>, p ∈ Ω (2.6)</p><p>22 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS DE SOBOLEV</p><p>decorre que</p><p>gradα(u) =</p><p>m∑</p><p>i,j=1</p><p> m∑</p><p>k,l=1</p><p>∂xi</p><p>∂yl</p><p>(q)slk</p><p>∂xj</p><p>∂yk</p><p>(q)</p><p> ∂u</p><p>∂xi</p><p>(p)</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p>=</p><p>m∑</p><p>k,l=1</p><p>slk</p><p> m∑</p><p>i,j=1</p><p>∂xi</p><p>∂yl</p><p>(q)</p><p>∂xj</p><p>∂yk</p><p>(q)</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>(p)</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p></p><p>=</p><p>m∑</p><p>k,l=1</p><p>slk</p><p>[</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>(p)</p><p>∂xi</p><p>∂yl</p><p>(q)</p><p>] m∑</p><p>j=1</p><p>∂xj</p><p>∂yk</p><p>(q)</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p></p><p>donde</p><p>gradα(u) =</p><p>n∑</p><p>k,l=1</p><p>slk(p)</p><p>∂u</p><p>∂yk</p><p>(p)</p><p>∂</p><p>∂yl</p><p>= gradβ(u)</p><p>Lema 2.8 O gradiente fraco não depende da parametrização escolhida, ou seja, se xα e xβ são</p><p>duas parametrizações tais que xα(Uα) = (Ω) = xβ(Uβ) então para uma função u ∈ L1(Ω) onde</p><p>está definida o gradiente fraco gradα(u), também existe o gradiente fraco gradβ(u) e deveremos ter</p><p>gradα(u) = gradβ(u).</p><p>2.2 O Espaço de Sobolev W 1,p(M)</p><p>Definição 2.9 Seja u ∈ L1(M). Suponha que para qualquer vizinhança parametrizada xα : U →</p><p>Ωα o gradiente fraco gradα(u) está definido. Então o campo vetorial definido por grad(u) =</p><p>gradα(u) em Ωα é chamado de gradiente fraco de u em M .</p><p>Pelo lema 2.7, temos a boa definição e além disso a função u ∈ L1(M) possui um gradiente</p><p>fraco. Certamente que grad(u) = ∇u, quando u ∈ C∞(M). Decorre de modo geral que:</p><p>Lema 2.10 Suponha que u ∈ L1(M) possui gradiente fraco em Ω. Então para todo v ∈ C∞(M),</p><p>temos ∫</p><p>M</p><p>〈grad(u),∇v〉dV = −</p><p>∫</p><p>M</p><p>u∆vdV</p><p>Definição 2.11 O espaço vetorial W 1,p(M) = {u ∈ Lp(M) : |∇u| ∈ Lp(M)} munido com a norma</p><p>||u||W 1,p(M) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>|u|pdV +</p><p>∫</p><p>M</p><p>|∇u|pdV</p><p> 1</p><p>p</p><p>é o espaço de Sobolev W 1,p sobre a variedade M . Quando p = 2, H1(M) = W 1,2(M) é um espaço</p><p>de Hilbert munido do produto interno</p><p>〈u, v〉H1(M) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>uvdV +</p><p>∫</p><p>M</p><p>〈∇u,∇v〉dV.</p><p>2.6:</p><p>2.3. AS IMERSÕES DE SOBOLEV SOBRE A VARIEDADE M 23</p><p>Lema 2.12 As normas ||u||W 1,p(M) e</p><p>||u||∗1,p =</p><p>[</p><p>m∑</p><p>n=1</p><p>||u||pΩα,1,p</p><p>] 1</p><p>p</p><p>=</p><p>[</p><p>m∑</p><p>n=1</p><p>||u ◦ xα||rW 1,p(Uα)</p><p>] 1</p><p>p</p><p>são equivalentes em W 1,p(M). Aqui, denotamos |u|pΩα,1,p = ||u ◦ xα||pW 1,p(Uα)</p><p>.</p><p>Fato 2.13 1. Se u ∈ W 1,p(M), v ∈ L∞(M) e f : R→ R é de classe C1(R) tal que |f ′(t)| ≤ C,</p><p>∀t ∈ R, então v = f ◦ u ∈W 1,p(M) e ∇v = f ′(u)∇u.</p><p>2. Se u ∈W 1,p(M) e ψ ∈ C1(M) então uψ ∈W 1,p(M) e ∇(uψ) = ψ∇u+ u∇ψ.</p><p>3. Se u, v ∈W 1,p(M) e u, v ∈ L∞(M) então uv ∈W 1,p(M) e ∇(uv) = v∇u+ u∇v.</p><p>2.3 As imersões de Sobolev sobre a Variedade M</p><p>Teorema 2.14 (Imersões de Sobolev para variedade compacta) Seja M uma variedade com-</p><p>pacta de dimensão m. Valem as seguintes afirmações:</p><p>i - Se 1</p><p>s ≥</p><p>1</p><p>p −</p><p>1</p><p>m , então W 1,p(M) está imerso continuamente em Ls(M);</p><p>ii - (Rellich-Kondrachov) A imersão acima é compacta se 1</p><p>s ></p><p>1</p><p>p −</p><p>1</p><p>m .</p><p>Fato 2.15 Decorre que existe uma menor constante SM tal que</p><p>SM</p><p>∫</p><p>M</p><p>|u|rdV</p><p> 2</p><p>2∗</p><p>≤</p><p>∫</p><p>M</p><p>(|∇u|2 + u2)dV (2.7)</p><p>para todo u ∈ H1(M). Aqui 2∗ = 2m</p><p>m−2 .</p><p>Fato 2.16 Se u ∈W 1,p(M)∩L∞(M), então para cada s′ > 1, temos |u|s ∈W 1,p(M),</p><p>∂</p><p>∂xk</p><p>(|u|s) =</p><p>s|u|s−2u</p><p>∂</p><p>∂xk</p><p>e consequentemente, ∇(|u|s) = s|u|s−2u∇u.</p><p>Proposição 2.17 Sejam Q ∈ L</p><p>m</p><p>2 (M) uma função não negativa e f : M ×R→ R uma função de</p><p>Carathéodory. Se v ∈ H1(M) satisfaz em M , no sentido das distribuições, a equação</p><p>−δv = f(p, v) (2.8)</p><p>e f verifica, para toda solução fraca u de 2.8,</p><p>|f(p, u)| ≤ (Q(p) + C0)|u|, (2.9)</p><p>onde C0 é uma constante, então v ∈ Lr(M) para todo r ∈ [1,+∞). Mais ainda, existe uma</p><p>constante positiva Cp = C(p, C0, Q) tal que</p><p>||v||L2∗(p+1)(M) ≤ Cp||v||L2(p+1(M). (2.10)</p><p>24 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS DE SOBOLEV</p><p>2.4 Um problema Eĺıptico não linear em variedade riemanniana</p><p>Seja (M, gM ) uma variedade riemaniana compacta, conexa de classe C∞, m = dimM ≥ 3.</p><p>Vamos inicialmente observar o seguinte problema eĺıptico não linear;{</p><p>−ε2∆gu + u = u|u|p−2</p><p>u > 0</p><p>(2.11)</p><p>onde ∆g é o operador de Laplace-Beltrami com u ∈ H1</p><p>gM</p><p>(M) onde</p><p>H1</p><p>gM</p><p>(M) :=</p><p>{</p><p>u : M → R :</p><p>∫</p><p>M</p><p>(|∇u(x)|2 + |u(x)|2)dµgM <∞</p><p>}</p><p>e p = 2m</p><p>m−2 é o expoente cŕıtico de Sobolev.</p><p>Seja Eε : H1(M)→ R o C2-funcional definido como</p><p>Eε(u) =</p><p>1</p><p>εm</p><p>∫</p><p>M</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>ε2|∇u(x)|2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>|u(x)|2 − 1</p><p>p</p><p>(u+(x))p</p><p>)</p><p>dµ (2.12)</p><p>onde u+(x) = max(u(x), 0).</p><p>Definição 2.18 A variedade de Nehari associada ao funcional Eε é</p><p>N(Eε) =</p><p>{</p><p>u ∈ H1(M) \ {0} :</p><p>∫</p><p>M</p><p>(ε2|∇u(x)|2 + |u(x)|2)dµgM =</p><p>∫</p><p>M</p><p>(u+(x))p, u 6= 0</p><p>}</p><p>os pontos cŕıticos do funcional Eε em N(Eε) são soluções para a equação 2.11.</p><p>O mı́nimo de Eε é:</p><p>m(Eε) = min{Eε(u);u ∈ N(Eε)}</p><p>O subńıvel do funcional Eε é∑</p><p>m(Eε),δ</p><p>= {u ∈ N(Eε);Eε(u) < m(Eε) + δ)}</p><p>Considere agora o funcional E : H1(Rm)→ R</p><p>E(v) =</p><p>∫</p><p>Rm</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>|∇v(x)|2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>|v(x)|2 − 1</p><p>p</p><p>(v+(x))p</p><p>)</p><p>dx</p><p>a variedade de Nehari para E é N(E)</p><p>N(E) =</p><p>{</p><p>v ∈ H1(Rm) :</p><p>∫</p><p>Rm</p><p>(|∇v|2 + |v|2)dx =</p><p>∫</p><p>Rm</p><p>(v+)pdx, u 6= 0</p><p>}</p><p>Lema 2.19 A variedade de Nehari N(E) é não vazia.</p><p>Prova:</p><p>Seja u ∈ H1</p><p>0 (Ω), então para λ =</p><p>(</p><p>||u||2</p><p>H1</p><p>0 (Ω)∫</p><p>Ω |u|pdx</p><p>) 1</p><p>p−2</p><p>> 0, temos que λu ∈ N(E).</p><p>2.4. UM PROBLEMA ELÍPTICO NÃO LINEAR EM VARIEDADE RIEMANNIANA 25</p><p>O mı́nimo é</p><p>m(E) = inf{E(v) : v ∈ N(E)} =</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>p</p><p>)</p><p>||U ||pp (2.13)</p><p>Fato 2.20 m(E) = inf{E(v) : v ∈ N(E)} > 0, de fato, como u ∈ N(E) existe uma constante</p><p>σ > 0, tal que</p><p>||u||2H1</p><p>0 (Ω) =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|u|pdx ≤ σ||u||p</p><p>H1</p><p>0 (Ω)</p><p>Decorre que</p><p>||u||2H1</p><p>0 (Ω) ≥</p><p>(</p><p>1</p><p>σ</p><p>)</p><p>, ∀u ∈ N(E)</p><p>portanto</p><p>m ≥</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>p</p><p>)(</p><p>1</p><p>σ</p><p>)</p><p>> 0.</p><p>Por Gidas, Ni e Nirenberg em [10] existe uma única função positiva radialmente simétrica (em</p><p>relação a origem) U ∈ H1(Rm) tal que E(U) = m(E), consequentemente U satisfaz a equação{</p><p>−∆U + U = Up−1</p><p>U > 0</p><p>uma solução fraca para a equação 2.4 é uma função u ∈ H1</p><p>0 (Ω) tal que, para todo v ∈ H1</p><p>0 (Ω)∫</p><p>Ω</p><p>〈∇u,∇v〉+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>uv =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>uv|u|p−1</p><p>por Vieri Benci e Giovanna Cerami em [4] observaram que para ε > 0 podemos definir uma</p><p>familia de soluções Uε(x) = U</p><p>(</p><p>x</p><p>ε</p><p>)</p><p>safisfazendo a seguinte equação:</p><p>{</p><p>−ε2∆Uε + Uε = Upm−1</p><p>ε</p><p>Uε > 0</p><p>Decorre das contribuições de Gidas, Ni e Nirenberg que a função U é exponencialmente decres-</p><p>cente no infinito, pois U(|x|)|x|</p><p>m−1</p><p>2 e|x| = c1 e U ′(|x|)e</p><p>m−1</p><p>2 e|x| = c2 quando |x| → ∞ com c1 e c2</p><p>constantes</p><p>positivas, Uε é um minimizador de Eε restrito a N(Eε) e m(E) = m(Eε)</p><p>Considere uma sequência minimizante (uk)k ∈ N(E), tal que uk(x) 6= 0 quase sempre em</p><p>Ω ⊂ Rm. Como E é coerciva, (uk)k é limitada em H1(Ω). Pelas desigualdades de Sobolev temos</p><p>que a subsequência </p><p>uk ⇀ u em H1</p><p>0 (Ω)</p><p>uk → u em Lp(Ω)</p><p>e</p><p>uk(x)→ u quase sempre em Ω</p><p>26 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS DE SOBOLEV</p><p>então u > 0 quase sempre, pela semi-continuidade de E temos</p><p>E(u) ≤ lim inf E(uk) = m(E)</p><p>temos pelo lema 2.19, que ||u||H1</p><p>0 (Ω) 9 0⇒</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|uk|pdx9 0, pela convergencia forte</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|uk|dx 6= 0⇒ u 6= 0</p><p>no limite teremos que</p><p>||u||H1</p><p>0 (Ω) 6</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|uk|pdx</p><p>Suponhamos que ||u||H1</p><p>0 (Ω) <</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|uk|pdx, considere λ, como no lema 2.19, que implica λu ∈</p><p>N(E) e 0 < λ < 1, então</p><p>0 < m(E) < E(λu) = λ2</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>p</p><p>)</p><p>||u||2H1</p><p>0 (Ω) ≤ λ</p><p>2</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>p</p><p>)</p><p>||uk||2H1</p><p>0 (Ω) = λ2m < m</p><p>uma contradição. portanto temos que existe u ∈ N(E) positiva, tal que E(u) = m(E)</p><p>Caṕıtulo 3</p><p>Problema de Yamabe - subcŕıtico</p><p>No ano de 1960 o japonês Hidehiko Yamabe, conjecturou que para toda variedade riemanniana</p><p>compacta de dimensão maior ou igual a 3, sempre existe um métrica conforme com curvatura</p><p>escalar constante, foi completamente resolvido em 1984 com contribuições de Yamabe, Trundinger,</p><p>Aubin e Shoen. Hoje essa conjectura é conhecida como Problema de Yamabe.</p><p>3.1 Problema de Yamabe</p><p>Definição 3.1 Sejam g e g̃ métricas Riemannianas em Nn. Dizemos que g̃ é conforme a g, quando</p><p>existe uma função φ ∈ C∞(N) positiva tal que g̃ = φg.</p><p>O próximo teorema apresenta um modelo no contexto de equações eĺıpticas para o problema de</p><p>Yamabe, verificaremos através de alguns cálculos que a curvaturas escalar Sg esta relacionada com</p><p>curvatura escalar da métrica conforme correspondente.</p><p>Teorema 3.2 Se g e g̃ são métricas conformes em uma variedade Riemanniana N , onde assumi-</p><p>remos que g̃ = u</p><p>4</p><p>n−2 g, onde u ∈ C∞(N), u > 0. Então</p><p>∆gu+</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>uSg =</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>u</p><p>n+2</p><p>n−2Sg̃.</p><p>é o modelo que relaciona Sg e Sg̃.</p><p>Prova:</p><p>Considere um sistema de coordenadas x : U → Nn, expressando g̃ nesse sistema, temos g̃ij =</p><p>urgij e g̃ij = u−rgij onde r = 4</p><p>n−2 . Usando a expressão dos śımbolos de Christoffel no sistema de</p><p>coordenadas x e fazendo ∂i = ∂</p><p>∂xi</p><p>, decorre que</p><p>27</p><p>28 CAPÍTULO 3. PROBLEMA DE YAMABE - SUBCRÍTICO</p><p>Γ̃lij =</p><p>1</p><p>2</p><p>∑</p><p>k</p><p>(∂ig̃jk + ∂j g̃ik − ∂kg̃ij)g̃kl</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∑</p><p>k</p><p>[∂i(u</p><p>rgjk) + ∂j(u</p><p>rgik)− ∂k(urgij)]u−rgkl</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>∑</p><p>k</p><p>(gjk∂iu+ gik∂ju− gij∂ku)gkl +</p><p>1</p><p>2</p><p>∑</p><p>k</p><p>(∂igjk + ∂jgik − ∂kgij)gkl</p><p>= Γlij +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>[∑</p><p>k</p><p>(gjkkj∂iu) +</p><p>∑</p><p>k</p><p>(gikg</p><p>kl∂ju)−</p><p>∑</p><p>k</p><p>(gijg</p><p>kl∂ku)</p><p>]</p><p>= Γlij +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>[</p><p>δji∂iu+ δil∂ju−</p><p>∑</p><p>k</p><p>(gijg</p><p>kl∂ku)</p><p>]</p><p>.</p><p>A curvatura escalar Sg̃ é dada por</p><p>Sg̃ =</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>g̃ikR̃jijk,</p><p>implica</p><p>Sg̃ =</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>u−rgik</p><p>[</p><p>∂jΓ̃</p><p>j</p><p>jk +</p><p>∑</p><p>s</p><p>Γ̃sikΓ̃</p><p>j</p><p>js −</p><p>∑</p><p>s</p><p>Γ̃sjkΓ̃</p><p>j</p><p>is</p><p>]</p><p>.</p><p>Substituindo Γ̃lij em Sg̃ teremos:</p><p>urSg̃ =</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂j</p><p>[</p><p>Γjik +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>(</p><p>δkj∂iu+ δij∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gikg</p><p>mj∂mu</p><p>)]</p><p>+ (Y.1)</p><p>−</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂i</p><p>[</p><p>Γjjk +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>(</p><p>δkj∂ju+ δjj∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gjkg</p><p>mj∂mu</p><p>)]</p><p>+ (Y.2)</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gik</p><p>[</p><p>Γsik +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>(</p><p>δks∂iu+ δis∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gikg</p><p>ms∂mu</p><p>)]</p><p>·</p><p>·</p><p>[</p><p>Γjjs +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>(</p><p>δsj∂ju+ δjj∂su−</p><p>∑</p><p>p</p><p>gjsg</p><p>pj∂pu</p><p>)]</p><p>+ (Y.3)</p><p>−</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gik</p><p>[</p><p>Γsjk +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>(</p><p>δks∂ju+ δjs∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gjkg</p><p>ms∂mu</p><p>)]</p><p>·</p><p>·</p><p>[</p><p>Γjis +</p><p>1</p><p>2</p><p>ru−1</p><p>(</p><p>δsj∂iu+ δij∂su−</p><p>∑</p><p>l</p><p>gisg</p><p>lj∂lu</p><p>)]</p><p>. (Y.4)</p><p>3.1. PROBLEMA DE YAMABE 29</p><p>Vamos agora detalhar cada parcela da expressão urSg̃ e verificar se é possivel relacioná-la com</p><p>alguma estrutura já conhecida</p><p>Y.1 =</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>ik +</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>gikδkj∂jiu+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikδij∂jku+</p><p>− ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gikg</p><p>mj∂mu)− ru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikδkj∂ju∂iu+</p><p>− ru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikδij∂ju∂ku+</p><p>ru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gikgik∂ju∂mu</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>ik +</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂kiu+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂jku+</p><p>− ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gikg</p><p>mj∂mu)− ru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂ju∂ku+</p><p>− ru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂ju∂ku+</p><p>nru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>mj</p><p>gmj∂ju∂mu</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>ik + ru−1</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂kiu−</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gik)g</p><p>mj∂mu+</p><p>− ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gikgik∂j(g</p><p>mj)∂mu−</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gikgikg</p><p>mj∂mju+</p><p>+</p><p>(n− 2)ru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂ju∂ku</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>ik + ru−1</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂kiu−</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gik)g</p><p>mj∂mu+</p><p>− nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>jm</p><p>∂j(g</p><p>mj)∂mu−</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>jm</p><p>gmj∂mju+ 2u−2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂ju∂ku</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>ik − 2u−1</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂kiu−</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gik)g</p><p>mj∂mu+</p><p>+</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gmi∂j(gik)g</p><p>ik∂mu+ 2u−2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂ju∂ku.</p><p>30 CAPÍTULO 3. PROBLEMA DE YAMABE - SUBCRÍTICO</p><p>onde ∂j(g</p><p>mj) = −</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gmi∂j(gik)g</p><p>jk, agora vamos para a segunda parcela de urSg̃</p><p>Y.2 =</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>jk +</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂i</p><p>[</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>(</p><p>δkj∂ju+ δjj∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gjkg</p><p>mj∂mu</p><p>)]</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂jΓ</p><p>j</p><p>jk +</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂i</p><p>∑</p><p>j</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>(</p><p>δkj∂ju+ δjj∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gjkg</p><p>mj∂mu</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂iΓ</p><p>j</p><p>jk +</p><p>nr</p><p>2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂i(u</p><p>−1∂ku)</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gik∂iΓ</p><p>j</p><p>jk −</p><p>nru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iu∂ku+</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku.</p><p>a terceira parcela de urSg̃</p><p>Y.3 =</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsik + Γjjs</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsik</p><p>(</p><p>δsj∂ju+ δjj∂su−</p><p>∑</p><p>p</p><p>gjsg</p><p>pj∂pu</p><p>)</p><p>+</p><p>+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓjjs</p><p>(</p><p>δks∂iu+ δis∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gikg</p><p>ms∂mu</p><p>)</p><p>+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gik</p><p>(</p><p>δks∂iu+ δis∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gikg</p><p>ms∂mu</p><p>)</p><p>·</p><p>·</p><p>(</p><p>δsj∂ju+ δjj∂su−</p><p>∑</p><p>p</p><p>gjsg</p><p>pj∂pu</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsikΓ</p><p>j</p><p>js +</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikΓsik∂su+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijs</p><p>gisΓjjs∂iu+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>jks</p><p>gskΓjjs∂ku−</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>jsm</p><p>gmsΓjjs∂mu+</p><p>nr2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikδks∂iu∂su+</p><p>nr2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikδis∂ku∂su+</p><p>− nr2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>iksm</p><p>gikgikg</p><p>ms∂mu∂su</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsik + Γjjs +</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikΓsik∂su+</p><p>(2− n)ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>jks</p><p>gksΓjjs∂ku+</p><p>+</p><p>(</p><p>nr2u−2</p><p>2</p><p>− n2r2u−2</p><p>4</p><p>)∑</p><p>ks</p><p>gks∂ku∂su</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsikΓ</p><p>j</p><p>js +</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikΓsik∂su+ 2u−1</p><p>∑</p><p>jks</p><p>gksΓjjs∂ku</p><p>+</p><p>4nu−2</p><p>2− n</p><p>∑</p><p>ks</p><p>gks∂ku∂su.</p><p>3.1. PROBLEMA DE YAMABE 31</p><p>A última parcela a ser estudada é</p><p>Y.4 =</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsjkΓ</p><p>j</p><p>is +</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsjk</p><p>(</p><p>δsj∂iu+ δij∂su−</p><p>∑</p><p>l</p><p>gisg</p><p>lj∂lu</p><p>)</p><p>+</p><p>+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓjis</p><p>(</p><p>δks∂ju+ δjs∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gjkg</p><p>ms∂mu</p><p>)</p><p>+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gik</p><p>(</p><p>δks∂ju+ δjs∂ku−</p><p>∑</p><p>m</p><p>gjkg</p><p>ms∂mu</p><p>)</p><p>·</p><p>·</p><p>(</p><p>δsj∂iu+ δij∂su−</p><p>∑</p><p>l</p><p>gisg</p><p>lj∂lu</p><p>)</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsjkΓ</p><p>j</p><p>is +</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijs</p><p>gisΓjis∂ju+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikΓsis∂ku+</p><p>− ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijksl</p><p>gikΓsjkgisg</p><p>jl∂lu+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijs</p><p>gisΓjis∂ju+</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikΓsis∂ku+</p><p>− ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijksm</p><p>gikΓjisgjkg</p><p>ms∂mu+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikδks∂juδsj∂iu</p><p>+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikδks∂juδij∂su−</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijksl</p><p>gikδks∂jugisg</p><p>jl∂lu+</p><p>+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikδjs∂kuδsj∂iu+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikδjs∂kuδij∂su+</p><p>− r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijksl</p><p>gikδjs∂kugisg</p><p>jl∂lu+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijksm</p><p>gikgjkg</p><p>ms∂muδsj∂iu+</p><p>− r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijksm</p><p>gikgjkg</p><p>ms∂muδij∂su+</p><p>r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ijksml</p><p>gikgjkg</p><p>ms∂mugisg</p><p>jl∂lu</p><p>=</p><p>∑</p><p>ijks</p><p>gikΓsjkΓ</p><p>j</p><p>is + ru−1</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikΓjik∂ju+</p><p>(2− n)r2u−2</p><p>4</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂ku∂iu.</p><p>32 CAPÍTULO 3. PROBLEMA DE YAMABE - SUBCRÍTICO</p><p>Ao observar as expressões Y.1, Y.2, Y.3 e Y.4, percebemos que ao somarmos a primeira parcela</p><p>de cada uma delas obtemos Sg e agora vamos somar os respectivos resultados encontrados</p><p>urSg̃ = Y.1 + Y.2 + Y.3 + Y.4</p><p>= Sg − 2u−1</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku−</p><p>ru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gik)g</p><p>mj∂mu+</p><p>+</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gmi∂j(gik)g</p><p>kj∂mu+ 2u−2</p><p>∑</p><p>jk</p><p>gjk∂ju∂ku+</p><p>+</p><p>nru−2</p><p>2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iu∂ku−</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku+</p><p>nru−1</p><p>2</p><p>∑</p><p>iks</p><p>gikΓsik∂su</p><p>− 2u−1</p><p>∑</p><p>jks</p><p>gksΓjjs∂ku+</p><p>4nu−2</p><p>2− n</p><p>∑</p><p>ks</p><p>gks∂ku∂su− ru−1</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikΓjik∂ju+</p><p>− 4u−2</p><p>2− n</p><p>∑</p><p>ks</p><p>gks∂ku∂su.</p><p>decorre que</p><p>ur+1Sg̃ = uSg −</p><p>4(n− 1)</p><p>n− 2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku−</p><p>r</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gik)g</p><p>mj∂mu+</p><p>+</p><p>nr</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gmi∂j(gik)g</p><p>kj∂mu+ 2</p><p>∑</p><p>ijk</p><p>gikΓjik∂ju− 2</p><p>∑</p><p>jks</p><p>gksΓjjs∂ku.</p><p>Considere a expressão dos śımbolos de Christoffel em termos de componentes da métrica∑</p><p>ijk</p><p>gikΓjik∂ju−</p><p>∑</p><p>jks</p><p>gksΓjjs∂ku =</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂l(gjs)∂ku−</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂s(gjl)∂ku.</p><p>Substituindo a sentença anterior em 4.1, obtemos</p><p>ur+1Sg̃ = uSg −</p><p>4(n− 1)</p><p>n− 2</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku−</p><p>r</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gik∂j(gik)g</p><p>mj∂mu+</p><p>+</p><p>nr</p><p>2</p><p>∑</p><p>ijkm</p><p>gmi∂j(gik)g</p><p>kj∂mu+ 2</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂l(gjs)∂ku+</p><p>− 2</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂s(gjl)∂ku.</p><p>donde</p><p>n− 2</p><p>n− 1</p><p>u</p><p>n+2</p><p>n−2Sg̃ =</p><p>n− 2</p><p>n− 1</p><p>uSg − 4</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku− 2</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂s(gjl)∂ku+</p><p>+ 4</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂l(gjs)∂ku.</p><p>3.2. PROBLEMA DE YAMABE SUBCRÍTICO 33</p><p>Considere a última parcela do lado direito</p><p>desta igualdade, podemos reescre-la da seguinte forma</p><p>4</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂l(gjs)∂ku = 2</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂l(gjs)∂ku+ 2</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl∂l(gjs)∂ku.</p><p>portanto</p><p>n− 2</p><p>n− 1</p><p>u</p><p>n+2</p><p>n−2Sg̃ =</p><p>n− 2</p><p>n− 1</p><p>uSg − 4</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku+</p><p>+ 2</p><p>∑</p><p>jksl</p><p>gksgjl[∂l(gjs) + ∂j(gls)− ∂s(gjl)]∂ku</p><p>=</p><p>n− 2</p><p>n− 1</p><p>uSg − 4</p><p>∑</p><p>ik</p><p>gik∂iku+ 4</p><p>∑</p><p>jik</p><p>gjlΓkjl∂ku</p><p>=</p><p>n− 2</p><p>n− 1</p><p>uSg − 4</p><p>∑</p><p>jl</p><p>gjl</p><p>(</p><p>∂jlu−</p><p>∑</p><p>k</p><p>Γkjl∂ku</p><p>)</p><p>.</p><p>como</p><p>∆gu =</p><p>∑</p><p>jl</p><p>gjl</p><p>(</p><p>∂jlu−</p><p>∑</p><p>k</p><p>Γkjl∂ku</p><p>)</p><p>.</p><p>implica</p><p>∆gu+</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>uSg =</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>u</p><p>n+2</p><p>n−2Sg̃.</p><p>3.2 Problema de Yamabe Subcŕıtico</p><p>Como vimos na seção anterior o Problema de Yamabe subcŕıtico consiste em determinar soluções</p><p>para o problema eĺıptico seguinte</p><p>∆gu+</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>Sgu = µup−1</p><p>onde 2 < p < 2∗, µ ∈ R, vamos considerar o funcional associado ao problema acima Y : N → R,</p><p>definido por</p><p>Y (u) =</p><p>∫</p><p>N</p><p>|∇u|2dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2dV</p><p>Além disso Hp = {u ∈ H1(N); ||u||Lp(N) = 1} e µp = inf</p><p>u∈Hp</p><p>(Yg(u))</p><p>Teorema 3.3 Seja (N, g) uma variedade riemanniana compacta de dimensão n ≥ 3. Dado p ∈</p><p>(2, 2∗), então existe uma solução u = ur ∈ C∞(N) da equação</p><p>∆gu+</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>Sgu = µpu</p><p>p−1</p><p>34 CAPÍTULO 3. PROBLEMA DE YAMABE - SUBCRÍTICO</p><p>considerando que</p><p>∫</p><p>N</p><p>updVg = 1.</p><p>Prova:</p><p>Dado u ∈ Hp ∣∣∣∣∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2dV</p><p>∣∣∣∣ ≤ ∫</p><p>N</p><p>|Sg||u|2dV</p><p>≤ ||Sg||L∞(N)</p><p>∫</p><p>N</p><p>|u|2dV</p><p>≤ ||Sg||L∞(N)||u||2Lp(N)[λ(N)]2s</p><p>≤ κ.</p><p>onde λ(N) =</p><p>∫</p><p>N</p><p>dV e s = 1</p><p>2 −</p><p>1</p><p>p . Decorre que Y (u) <∞ e</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2dV ≥ −κ, donde</p><p>Y (u) =</p><p>∫</p><p>N</p><p>|∇u|2dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2dV</p><p>≥ n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2dV</p><p>≥− κ · n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>concluimos que µ é finito.</p><p>Fato 3.4 Existe u = up ∈ Hp, u ≥ 0, tal que Y (u) = µp.</p><p>Considere uk uma sequência minimizante para µp, isto é, (ui ∈ Hp, ∀k e lim</p><p>k→∞</p><p>Y (uk) = µp).</p><p>Observe que uk ≥ 0, uma vez que u ∈ H1(N)⇒ |u| ∈ H1(N) e |∇|u|| ≤ |∇u|, além disso</p><p>Y (uk) =</p><p>∫</p><p>N</p><p>|∇|uk||2dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sg|uk|2dV ≤ Y (uk)</p><p>donde Y (|Uk|) −→ µp.</p><p>Observe que</p><p>||uk||2H1(N) =||∇uk||2L2(N) + ||uk||2L2(N)</p><p>=</p><p>∫</p><p>N</p><p>|∇uk|2dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2</p><p>kdV+</p><p>− n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2</p><p>kdV + ||uk||2L2(N)</p><p>=Y (uk)−</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sgu</p><p>2</p><p>kdV + ||uk||2L2(N)</p><p>≤Y (uk) +</p><p>(</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>||Sg||L∞(N) + 1</p><p>)</p><p>||uk||2L2(N).</p><p>Para k → ∞ para que Y (uk) = µp + 1, usando ||uk||2L2(N) ≤ ||uk||</p><p>2</p><p>Lp(N)[λ(N)]2s, implica para</p><p>3.2. PROBLEMA DE YAMABE SUBCRÍTICO 35</p><p>alguma constante α que</p><p>|uk||2H1(N) ≤ (µp + 1) +</p><p>(</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>||Sg||L∞(N) + 1</p><p>)</p><p>α</p><p>assim sendo uk é limitada.</p><p>Sabendo que uk é limitado, considere u ∈ H1(N) de modo que uk convirja fracamente para u,</p><p>por Rellich-Kondrakov existe subsequência uk(abuso de notação) tal que uk converge para u na</p><p>norma Lp(N).</p><p>Agora</p><p>||uk|| ≤ lim inf ||uk||2H1(N) ≤ lim inf</p><p>(</p><p>||∇uk||2L2(N) + ||uk||2L2(N)</p><p>)</p><p>segue</p><p>||∇u||2L2(N) + ||u||2L2(N) ≤ lim inf ||∇uk||2L2(N) + ||u||2L2(N)</p><p>portanto</p><p>||∇u||2L2(N) ≤ lim inf ||∇uk||2L2(N)</p><p>Podemos então mostrar que Y (u) = µp, de fato</p><p>µp ≤ Y (u) =</p><p>∫</p><p>N</p><p>|∇u|2dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sg|u|2dV</p><p>≤ lim inf ||∇uk||2L2(N) +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sg|uk|2dV</p><p>= lim inf</p><p>(∫</p><p>N</p><p>|∇uk|2dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>Sg|uk|2dV</p><p>)</p><p>= lim inf Y (u) = µp.</p><p>Pelo teorema dos multiplicadores de Lagrange, existe ρ ∈ R tal que∫</p><p>N</p><p>〈∇u,∇ξ〉dV +</p><p>n− 2</p><p>4(n− 1)</p><p>∫</p><p>N</p><p>SguξdV = ρ</p><p>∫</p><p>N</p><p>up−1ξdV</p><p>fazendo ξ = u, teremos Y (u) = ρ e ρ = µp donde concluimos que u é solução fraca para 3.3; para</p><p>concluirmos que u é positiva devemos aplicar o Prinćıpio do Máximo apoś verificação das hipóteses.</p><p>36 CAPÍTULO 3. PROBLEMA DE YAMABE - SUBCRÍTICO</p><p>Caṕıtulo 4</p><p>Número mı́nimo de soluções para</p><p>Problema de Yamabe-subcŕıtico</p><p>4.1 Centro de Massa Riemaniana</p><p>Agora falaremos um pouco sobre a teoria desenvolvida por H. Karcher e K. Grove em [13] e</p><p>[11]. Seja A um espaço de medida de volume 1 (frequentemente será uma variedade riemaniana</p><p>compacta ou um conjunto finito de pontos). Seja M uma variedade riemaniana completa e B(m, r)</p><p>um bola fortemente convexa aberta de raio r centrada em m em M . Chamamos qualquer função</p><p>mensurável f : A −→ B(m, r) uma distribuição de massa em B(m, r).</p><p>Pf : B̄r −→ R, Pf (m) =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>A</p><p>d(m, f(a))da (4.1)</p><p>Teorema 4.1 gradPf (m) = −</p><p>∫</p><p>A</p><p>exp−1</p><p>m f(a)da. Quando m ∈ ∂B(m, r), gradPf(m) é uma média</p><p>sobre os vetores apontando para fora. Pf tem somente mı́nimo na bola compacta B(m, r).</p><p>Se a curvatura seccional de M em B(m, r) é no máximo 0, então ao longo de qualquer geodésica</p><p>γ : I → B(m, r),</p><p>d2</p><p>dt2</p><p>Pf (γ(t)) ≥ 〈γ̇, γ̇〉. (1.2.2)</p><p>Se a curvatura seccional de M em B(m, r) é no máximo ∆ (> 0), então (com S∆(t) =</p><p>∆−1/2 sin(∆1/2t) ao longo de qualquer geodésica γ : I → B(m, r)</p><p>d2</p><p>dt2</p><p>Pf (γ(t)) ≥ 2f · S</p><p>′∆</p><p>S∆</p><p>(2f)〈γ̇, γ̇〉. (1.2.3)</p><p>Assuma 2f <</p><p>1</p><p>2</p><p>π∆1/2. Neste caso (1.2.2) e (1.2.3) declara que Pf é função convexa de B(m, r).</p><p>Prova:</p><p>Seja γ : I → B(m, r) uma geodésica e considere uma famı́lia</p><p>{ca(s, t) = expf(a)(s · exp−1</p><p>f(a) γ(t))}</p><p>de geodésicas de f(a) para γ(t). Denote</p><p>37</p><p>38CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>c′a =</p><p>d</p><p>ds</p><p>ca(s, t) ċa =</p><p>d</p><p>dt</p><p>ca(s, t)</p><p>Sabemos que d(f(a), γ(a)) = |c′a(s, t)| independe de s e que s 7→ ċa(s, t) é uma famı́lia de</p><p>campos de Jacobi. Considere as seguinte identidades</p><p>D</p><p>dt</p><p>c′ =</p><p>D</p><p>ds</p><p>ċ,</p><p>D</p><p>ds</p><p>c′ = 0, |c′| independe de s,</p><p>d</p><p>ds</p><p>〈ċ, c′〉 = 〈D</p><p>ds</p><p>ċ, c′〉,</p><p>(</p><p>d</p><p>dt</p><p>)</p><p>ca(0, 1) = 0,</p><p>d</p><p>dt</p><p>(expf(a)(s · exp−1</p><p>f(a)(γ(t))))|0 = d(expf(a))0(0) = 0.</p><p>d</p><p>dt</p><p>Pf (γ(t)) =</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>dt</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈c′a(s, t), c′a(s, t)〉da</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>A</p><p>d</p><p>dt</p><p>〈c′a(S, t), c′a(S, t)da</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈</p><p>D</p><p>dt</p><p>c′a(S, t), c</p><p>′</p><p>a(S, t)</p><p>〉</p><p>+</p><p>〈</p><p>c′a(S, t),</p><p>D</p><p>dt</p><p>c′a(S, t)</p><p>〉</p><p>da</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>A</p><p>2</p><p>〈</p><p>D</p><p>dt</p><p>c′a, c</p><p>′</p><p>a</p><p>〉</p><p>da =</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈</p><p>D</p><p>dt</p><p>c′a, c</p><p>′</p><p>a</p><p>〉</p><p>da</p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈</p><p>D</p><p>dS</p><p>ċa, c</p><p>′</p><p>a</p><p>〉</p><p>da</p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p> 1∫</p><p>0</p><p>〈</p><p>D</p><p>dS</p><p>ċa, c</p><p>′</p><p>a</p><p>〉</p><p>ds</p><p> da</p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p>1∫</p><p>0</p><p>D</p><p>dS</p><p>〈ċa, c′a〉da</p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈ċa, c′a〉|10da =</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈ċa(1, t), c′a(1, t)〉 − 〈ċa(0, t), c′a(1, t)〉da</p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈ċa(1, t), c′a(1, t)〉da</p><p>4.1. CENTRO DE MASSA RIEMANIANA 39</p><p>ċa(1, t) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>ca(1, t)</p><p>=</p><p>d</p><p>dt</p><p>(expf(a)(1 · exp−1</p><p>f(a)(γ(t))))</p><p>=</p><p>d</p><p>dt</p><p>(γ(t)) = γ̇(t)</p><p>c′a(1, t) =</p><p>d</p><p>ds</p><p>c(1, t)</p><p>=</p><p>d</p><p>ds</p><p>(expf(a)(s · exp−1</p><p>f(a)(γ(t)))|s=1</p><p>= ds(expf(a)(s. exp−1</p><p>f(a)(γ(t)))) · exp−1</p><p>f(a)(γ(t))</p><p>= d(expf(a))(exp−1</p><p>f(a)(γ(t)) exp−1</p><p>f(a)(γ(t)</p><p>= − exp−1</p><p>γ(t)(f(a))</p><p>Decorre que:</p><p>d</p><p>dt</p><p>Pf (γ(t)) =</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈ċa(1, t), c′a(1, t)〉da</p><p>d</p><p>dt</p><p>Pf (γ(t)) =</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈γ̇(t),− expγ(t)(f(a))〉da</p><p>então grad(Pf (γ(t))) = −</p><p>∫</p><p>A</p><p>expγ(t)(f(a))da.</p><p>Observe que ċ(1, t) = γ̇(t) e c′a(1, t) = − exp−1</p><p>γ(t)(f(a)) são vetores tangentes das geodésicas de</p><p>f(a) para γ(t).</p><p>d2</p><p>dt2</p><p>Pf (γ(t)) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>(</p><p>d</p><p>dt</p><p>Pf (γ(t))</p><p>)</p><p>=</p><p>d</p><p>dt</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈ċa(1, t), c′a(1, t)〉da</p><p></p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈</p><p>d</p><p>dt</p><p>ċa(1, t), c</p><p>′</p><p>a(1, t)</p><p>〉</p><p>da+</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈</p><p>ċa(1, t),</p><p>d</p><p>dt</p><p>c′a(1, t)</p><p>〉</p><p>da</p><p>=</p><p>∫</p><p>A</p><p>〈</p><p>ċa(1, t),</p><p>D</p><p>ds</p><p>c′a(1, t)</p><p>〉</p><p>da</p><p>ou</p><p>D</p><p>dt</p><p>(grad)(Pf (γ(t))) =</p><p>∫</p><p>A</p><p>D</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>ca(1, t)da.</p><p>Nós denotamos o campo de Jacobi ċa ao longo de s 7→ ca(s, t) por Ja(s) = ca(s, t).</p><p>J(0) = 0, J(1) = γ(t), independe de a, e</p><p>(</p><p>D</p><p>ds</p><p>ċa(1, t)</p><p>)</p><p>= J ′(1).</p><p>Para a componente normal (1, ċa) deste campo de Jacobi, nós temos a cota inferior [13](A5.1)</p><p>ao longo de geodésicas de comprimento menor ou igual a 2r.</p><p>40CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>〈J ′(1)norm, J(1)〉 ≥ 〈J(1)norm, J(1)〉 · 2r</p><p>(</p><p>S′∆</p><p>S∆</p><p>)</p><p>(2r)</p><p>enquanto que para a componente tangencial</p><p>J ′(1)tan = J(1)tan</p><p>[13](ver A0.3)</p><p>Isto prova as relações (1.2.2) e (1.2.3).</p><p>Definição 4.2 (Centro de Massa) Supondo (1.2.2) e (1.2.3), a função convexa Pf tem um único</p><p>mı́nimo em B(m, r). Chamaremos esse ponto de mı́nimo de centro de massa cm(f) de f .</p><p>4.1.1 A Função Centro de Massa cm(r, η) : L1</p><p>r,η(M)→M</p><p>(M, g) variedade riemanniana fechada, V ⊆ M subconjunto fortemente convexo (x, y ∈ V ,</p><p>existe um único γ segmento geodésico normal ligando x a y, inteiramente contigo em V ). Uma vez</p><p>que M é fechado, existe r0 > 0, de modo que para todo x ∈M e r ≤ r0 a bola geodésica de raio r</p><p>contida em x, B(x, r) é fortemente convexa.</p><p>Seja u ∈ L1(M) não negativa. Considere a função cont́ınua Pu : M → R, dada por</p><p>x 7→ Pu(x) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>d(x, y)2u(y)dvg(y)</p><p>.</p><p>Se r é suficientemente pequeno</p><p>e o suporte de u está contido em B(x, r), então H. Karcher e</p><p>K. Grove em [11] e [13] Definiram o centro de massa riemanniano da função u o qual foi chamado</p><p>centro de massa da medida dado por udvg, com o único mı́nimo global da função Pu, como visto</p><p>na seção anterior. A função Pu é estritamente convexa em uma bola pequena, e o mı́nimo pode</p><p>não ser alcançado fora dessa bola. Vamos denotar L1,r(M) espaço de funções u ∈ L1(M) com</p><p>suporte em alguma bola geodésica B(x, r). Note que cm : L1,r(M) → M dada por u 7→ Pu define</p><p>uma função cont́ınua L1(M)→ C0(M) com imagem na famı́lia de funções com único mı́nimo, e o</p><p>mı́nimo depende continuamente na C0-topologia de tais funções.</p><p>J.Petean em [16] esta interessado em estender o conceito de centro de massa Riemanniano para</p><p>funções que não são suportadas em bolas pequenas. Isto não é posśıvel em geral, pois Pu em geral</p><p>tem mais que um mı́nimo. Contudo J. Petean dá uma boa definição de centro de massa para</p><p>funções que se concentram em pequenas bolas, vejamos:</p><p>Dado u ∈ L1(M) e r > 0,uma (u, r)-funções concentração é</p><p>Cu,r =</p><p>∫</p><p>B(x,r)</p><p>|u|dvg</p><p>||u||1</p><p>Observe que Cu,r : M → [0, 1] é cont́ınua, de fato: se r ≥ diam(M)⇒ Cu,r ≡ 1 e ∀x ∈M temos</p><p>lim</p><p>r→0</p><p>Cu,r(x) = 0.</p><p>O r-coeficiente de concentração de u é o maximo de Cu,r</p><p>4.1. CENTRO DE MASSA RIEMANIANA 41</p><p>Cr(u) = sup</p><p>x∈M</p><p>∫</p><p>B(x,r)</p><p>|u|dvg</p><p>||u||1</p><p>∀µ ∈ (0, 1), seja L1</p><p>r,µ := {u ∈ L1(M); cr(u) > µ} (Cu,r, Cr depende de g), iremos fixar g e</p><p>escrever L1</p><p>r,µ(M, g) = L1</p><p>r,µ(M).</p><p>∀ η ∈ (</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1) considere a função continua e linear ϕη : R→ [0, 1] dada por</p><p>t 7→ ϕη(t) =</p><p>{</p><p>0 se t ≤ 1− η</p><p>1 se t ≥ η</p><p>é linear e crescente em [1− η, η].</p><p>Fixe r <</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>r0 e ∀u ⊆ L1</p><p>r,η(M) seja</p><p>Φr,η(u)(x) := ϕη(cµ,r(x)) · u(x)</p><p>.</p><p>Lema 4.3 ∀u ∈ L1</p><p>r,η(M) o suporte de Φr,η(u) está contido em uma bola geodésica de raio 2r</p><p>(centrada em um ponto de máxima concentração).</p><p>Dado x ∈M ; Cu,r tem um máximo Cu,r(x) ≥ η.</p><p>Se d(x, y) > 2r ⇒ B(x, r) ∩B(y, r) = ∅ ⇒ Cu,r(y) ≤ 1− η Cu,r : M → [0, 1]. Portanto</p><p>Φr,η(u)(y) = ϕη(Cu,r(y))︸ ︷︷ ︸</p><p>≤1−η</p><p>·u(x) = 0</p><p>e o suporte de Φr,η(u) está contido em B(x, 2r).</p><p>Teorema 4.4 Para qualquer r <</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>r0 e η ></p><p>1</p><p>2</p><p>existe uma função cont́ınua cm(r, η) : L1</p><p>r,η(M)→</p><p>M tal que se x ∈M verifica Cu,r(x) > η então cm(r, η)(u) ∈ B(x, 2r).</p><p>Definição 4.5 cm(r, η) : L1</p><p>r,η(M)→M pela prescrição u 7→ cm(r, η) = cm(Φr,η(u))</p><p>cm(Φr,η(u))(x) = cm(Φr,η(u)(x))</p><p>= cm(ϕη(Cr,η(x)) · u(x))</p><p>= cm(u(x))</p><p>= MinPu(x) = Min</p><p>∫</p><p>M</p><p>(d(x, y))2 · u(y)dvg(y).</p><p>Definição 4.6 Qualquer função cm(r, η)(u) como no teorema 4.4 será chamada (r, η)-centro de</p><p>massa Riemanniano de u.</p><p>42CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>4.2 Teorema Principal</p><p>Nessa seção vamos expor os resultado principal da nossa pesquisa,inicialmente prescisamos</p><p>apresentar alguns resultado necessarios para a demonstação.</p><p>Definição 4.7 (Categoria de Lusternik-Schnirelmann): O subconjunto A do espaço topológico X</p><p>é dito contrátil em X se a inclusão i : A ↪→ X é homotópica a função constante de A para B. A</p><p>tem (LS)-categoria igual a k em X (cat(A,X) = k) se k é a menor quantidade de subconjuntos</p><p>fechados contrateis de X que cobre A, considere cat(X) := cat(X,X).</p><p>Teorema 4.8 Seja J um C1-funcional em uma variedade de Banach completa C1,1M . Se J é</p><p>limitado inferiormente e satisfaz (PS)-condição, então ele tem pelo menos cat(Jd) pontos cŕıticos</p><p>em Jd, onde Jd := {u ∈ M : J(u) < d}. Além disso se M é contrátil e cat(Jd) > 1 então existe</p><p>pelo menos um ponto cŕıtico u /∈ Jd.</p><p>Teorema 4.9 Sejam X,Y espaços topológicos. Se f : X → Y e g : Y → X são cont́ınuas e tais</p><p>que g ◦ f</p><p>homot∼= IdX , então cat(X) ≤ cat(Y ).</p><p>Teorema 4.10 Seja (Mm, gM ) uma variedade riemanniana compacta, com m ≥ 3 e (Bn, gB) uma</p><p>variedade riemanniana. Se π : (Mm, gM ) → (Bn, gB) é uma submersão riemanniana com fibras</p><p>mı́nimas e de curvatura escalar constante positiva, então, para ε > 0 suficientemente pequeno,</p><p>existem cat(B) + 1 métricas conformes à gεM = gB + εgF com curvatura escalar constante.</p><p>Considere (Mm, gB + ε2gF ), onde ambas as métricas gB e gF tem curvatura escalar constante,</p><p>respectivamente SgB e SgF , em nosso contexto uma métricas conformes a gεM será</p><p>g̃ = u</p><p>4</p><p>m−2 · gεM</p><p>onde u satisfaz a (gB + ε2gF )-Equação de Yamabe no caso subcritico,</p><p>−amε+ (SgB + ε−2SgF )u = upm−1 (4.2)</p><p>para am = 4(m−1)</p><p>m−2 e pm = 2m</p><p>m−2 é o expoente cŕıtico de Sobolev. As funções u : B → R>0 que</p><p>satisfazem a equação 4.2 são consideradas como funções de M , caso contrário a equação 4.2 deixará</p><p>de ser subcritica, de fato, por hipótese m > n isso implica que pm < pn.</p><p>Dado ε > 0 suficientemente pequeno de forma que (SgB+ε−2SgF ) é positivo, podemos reescrever</p><p>a equação 4.2 da seguinte forma</p><p>−am∆gu+ (SgB + ε−2SF )u = (ε−2SF )upm−1</p><p>Normalizando gF e supondo que SF = an, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma</p><p>−ε−2∆gu+ ((SgB/am)ε2 + 1)u = upm−1</p><p>Seja Jε : H1(B)→ R o C2 funcional energia associado a equação anterior, definido definido como</p><p>Jε(u) =</p><p>1</p><p>εm</p><p>∫</p><p>B</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>ε2||∇u||2 +</p><p>SgBε</p><p>−2 + am</p><p>2am</p><p>u2 − 1</p><p>pm</p><p>(u+)pm</p><p>)</p><p>dµ (4.3)</p><p>4.2. TEOREMA PRINCIPAL 43</p><p>a variedade de Nehari associada ao funcional Jε(u) é:</p><p>Nε =</p><p>{</p><p>u ∈ H1(B){0} :</p><p>∫</p><p>B</p><p>(ε2|∇u|2 + (SgB/am)ε2 + 1)u2)dµgB =</p><p>∫</p><p>B</p><p>(u+)pm</p><p>}</p><p>O mı́nimo de Jε é definido como</p><p>mε = inf</p><p>u∈Nε</p><p>Jε(u) = ε−m(1/2− 1/pm) inf</p><p>u∈Nε</p><p>∫</p><p>(u+)pmdµ</p><p>e</p><p>∑</p><p>ε,mε+δ</p><p>= {u ∈ Nε; Jε(u) < mε + δ)} é o subńıvel do funcional Jε. Provar o teorema 4.10</p><p>equivale a mostrar que a (gB + εgF )-Equação de Yamabe tem cat(B) + 1 soluções, pela teoria de</p><p>Lusternik-Schnirelmann.</p><p>Fato 4.11 Kazuo Akutagawa, Luiz Florit e Jimmy Petean em seu trabaho On Yamabe constants of</p><p>Riemannian products de 2006 [1] e Jimmy Petean em [16], estudaram para ε > 0 o comportamento</p><p>da constante de Yamabe em uma variedade produto. Aplicando o teorema 1.1 de [1] a variedade</p><p>produto (N ×M, g + ε2h) formada por duas variedades riemanianas fechadas, a saber (Nm, h) de</p><p>curvatura escalar constante positiva e (Mn, g). Podemos restringir o (g+ε2h)-funcional de Yamabe</p><p>as funções que dependam somente de (M, g). Seja</p><p>YM (N ×M, ε2h+ g) = inf</p><p>u∈H1(M)−{0}</p><p>(Yε2h+g(u))</p><p>a constante de Yamabe, para a métrica euclidiana gE em Rn, Jimmy Petean em [16] mostra que</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>YM (N ×M, ε2h+ g) = YRn(N × Rn, h+ gE)</p><p>para V = Vol(N,h) então V</p><p>−2</p><p>m h tem volume 1 e S</p><p>V</p><p>−2</p><p>n h</p><p>= V</p><p>2</p><p>ma, onde a = 4((m+n)−1)</p><p>(m+n)−2 , p = 2(m+n)</p><p>(m+n)−2</p><p>o expoente critico de Sobolev. Decorre por [1] teorema 1.4 que:</p><p>YRn(N × Rn, h+ gE) = aV</p><p>2</p><p>(m+n) ((m+ n)(m̃(E)))</p><p>2</p><p>m+n</p><p>onde m̃(E) = p−2</p><p>2p ||U ||</p><p>p−2</p><p>p .</p><p>Alem disso quando u ∈ H1(M)− 0,</p><p>Yε2h+g(u) = Vol(N, ε2h)</p><p>1− 2</p><p>p</p><p>∫</p><p>M a||∇u||2 + (ε2Sh + Sg)u</p><p>2dvg</p><p>||u||2p</p><p>então segue do teorema 4.11 que:</p><p>YRn(N × Rn, h+ gE) = Volε→0(N, ε2h)</p><p>2</p><p>m+n inf</p><p>u∈H1(M)</p><p>a</p><p>ε2</p><p>∫</p><p>M a||∇u||2 + (1 + ε2Sg/a)u2dvg</p><p>||u||2p</p><p>Como o ı́nfimo do lado direito é atingido por funções positivas e o quociente é invariante por</p><p>hometetias, podemos tomar o infimo sobre a variedade de Nehari correspondente, portanto:</p><p>YRn(N × Rn, h+ gE) = lim</p><p>ε→0</p><p>aε</p><p>−2n</p><p>m+nV</p><p>2</p><p>m+n inf</p><p>u∈Nε</p><p>(∫</p><p>M</p><p>up</p><p>) p−2</p><p>p</p><p>= aV</p><p>2</p><p>(m+n) ((m+ n)(lim</p><p>ε→0</p><p>mε))</p><p>2</p><p>m+n</p><p>44CAPÍTULO 4. NÚMERO MÍNIMO DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE-SUBCRÍTICO</p><p>implica que</p><p>lim</p><p>ε→0</p><p>mε = m(E)</p><p>de modo análogo a 4.11, ocorre com os funcinais Jε 4.3 e E 2.12</p><p>4.2.1 Construção de uma função radial φε</p><p>Defina ϕr : R+ → [0, 1],</p><p>ϕr(t) :=</p><p>{</p><p>1 se 0 ≤ t ≤ r</p><p>2</p><p>0 se r ≤ t</p><p>suave e |ϕ′r(t)| ≤ 2</p><p>r , onde r é definido na seção 1.5. Fixado q ∈ B e ε > 0. Vamos definir em B a</p><p>seguinte função</p><p>Wq,ε(x) :=</p><p>{</p><p>Uε(exp−1</p><p>q (x))ϕr(| exp−1</p><p>q (x)|) se x ∈ Bg(q, r)</p><p>0, caso contrário.</p><p>Uε(z) = U(z/ε)2.4 é uma função positiva, esfericamente simétrica. ConsequentementeW+</p><p>q,ε(x) =</p><p>Wq,ε(x). Alem disso o suporte de Wq,ε : B → R esta contido em B(q, r).</p><p>Fato 4.12 Para qualquer função u ∈ H1</p><p>g (B), u+ 6≡ 0 (</p><p>∫</p><p>M</p><p>u+ > 0), existe uma única λ(u) ∈ R+,</p><p>tal que λ(u)u ∈ Nε onde</p><p>λpm−2(u) =</p><p>∫</p><p>B</p>