Rafael Iorio Junior e Valeria de Magalhaes Iorio - Equacoes Diferenciais Parciais - Uma Introducao (1988)

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<p>FICHA CATALOGRÁFICA</p><p>Iório Jr., Rafael José & Iório, Valéria</p><p>I64e</p><p>Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução.</p><p>Rio de Janeiro, Instituto de Matemática: Pura e Apli-</p><p>cada, CNPq, 1988.</p><p>372 p. (Projeto Euclides)</p><p>1. Equações Diferenciais Parciais.</p><p>I. Título. II. Série.</p><p>CDD-515.353</p><p>rafael tório júnior</p><p>valéria de</p><p>magalhães iório</p><p>equações</p><p>diferenciais</p><p>parciais:</p><p>uma introdução</p><p>Es) Instituto de Matemática Pura e Aplicada</p><p>Copyright O 1988 by Rafael José Iório Jr. e Valéria lório.</p><p>Direitos reservados, 1988 por Conselho Nacional</p><p>de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq.</p><p>Av. W-3 Norte, Brasília, DF :</p><p>Impresso no Brasil/Printed in Brazil</p><p>Capa: Carlos Alberto Areal</p><p>Layout: Atelier 78</p><p>Projeto Euclides: Coordenado por Elon Lages Lima</p><p>Comissão Editorial: César Camacho, Chaim Samuel Honig, Djairo Guedes de</p><p>Figueiredo, Elon Lages Lima, Imre Simon, Jacob Palis Júnior, Lindolpho de</p><p>Carvalho Dias, Manfredo Perdigão do Carmo, Maurício Matos Peixoto, Pedro</p><p>Jesus Fernandez.</p><p>Títulos já publicados:</p><p>« Curso de Análise, vol. 1, Elon Lages Lima</p><p>Medida e Integração, Pedro Jesus Fernandez</p><p>Aplicações da Topologia à Análise, Chaim Samuel Honig</p><p>Espaços Métricos, Elon Lages Lima</p><p>Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Djairo Guedes de Figueiredo</p><p>Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Jacob Palis Júnior e Welington C. de Melo</p><p>« Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves</p><p>Aspectos Teóricos da Computação, Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan</p><p>Simon, Jano Simon e Tomasz Kowaltowski</p><p>9. Teoria Geométrica das Folheções, Alcides Lins Neto e César Camacho</p><p>10. Geometria Riemanniana, Manfredo P. do Carmo</p><p>11. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Jorge Sotomayor</p><p>12. Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário, Barry R. James</p><p>13. Curso de Análise, vol. 2, Elon Lages Lima</p><p>14. Introdução à Teoria Ergodica, Ricardo Mané</p><p>15. Teoria dos Números Algébricos, Otto Endler .</p><p>16. Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais, Javier Thayer</p><p>17. Equações-Diferenciais Parciais: Uma Introdução, Rafael Iório Jr. e Valéria Iório</p><p>P</p><p>A</p><p>N</p><p>A</p><p>Composição:</p><p>Setor de Informática do IMPA</p><p>Impresso por:</p><p>Gráfica Portinho Cavalcanti Ltda.</p><p>Rua Santana, 136/138 — Tel.: 224-7732 (PABX)</p><p>Rio de Janeiro — RJ.</p><p>Distribuído por:</p><p>Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.</p><p>Rua Vieira Bueno, 21 A</p><p>20.920 — São Cristóvão, RJ — Brasil</p><p>ISBN 85-244-0035-8</p><p>CONTEÚDO</p><p>Prefácio ......ccccccc v</p><p>CAPÍTULO I-PRELIMINARES ......... cecaccrcre sal</p><p>81. Definições Básicas .......cccccccc 1</p><p>$2. Classificação em Tipos ....cccccc 6</p><p>83. Condições de Contorno e de Valores Iniciais ............ 13</p><p>CAPÍTULO IO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS . . 2</p><p>81. O Problema de Condução de Calor em uma Barra. ....... .”</p><p>$2. Outros Exemplos e Comentários ...........ccccc.. 33</p><p>CAPÍTULO III-SÉRIES DE FOURIER: TEORIA BÁSICA ..... 46</p><p>81. Espaços Vetoriais Normados Crer rare 46</p><p>82. Sériesde Fourier .......cccci err 54</p><p>$3. Interpretação Geométrica ............. Cerca 58</p><p>84. Propriedades de Decaimento de f Cera 63</p><p>85. Convergência Pontual ............... ds 66</p><p>86. Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet .............. 72</p><p>87. Aplicações ....ccccccccl 85</p><p>88. O Problema de Dirichlet no Disco Unitário. ............ 93</p><p>CAPÍTULO IV-SÉRIES DE FOURIER: DISTRIBUIÇÕES</p><p>PERIÓDICAS E APLICAÇÕES ......... 104</p><p>81. Funções Periódicas de Classe CP. ......cclc 104</p><p>$2. Distribuições Periódicas .......ccccccci 113</p><p>$3. Sériesde Fourierem P' .......ccc 136</p><p>84. AConvoluçãõoem P' ...... 0. 143</p><p>85. O Espaço L([-7, n)) Ceras asa raca. 152</p><p>86. O Operador D? em L([-7, n)) Cerca rear 157.</p><p>87. Aplicações ....cccccccc . 168</p><p>CAPÍTULO V-A TRANSFORMADA DE FOURIER NA RETA .. 180</p><p>81. A Equação do Calor Ataca Outra Vez ...........c... 180</p><p>$2. A Transformada de Fourier na Reta ......... ara 189</p><p>$3. A transformada de Fourier no Espaço de Schwartz. ....... 193</p><p>84. Aproximação por Convolução ...........ccccccc.. 201</p><p>85. Distribuições Temperadas .........cccccicccc. 204</p><p>86. 0 Espaço LHR) ......ccc 215</p><p>2</p><p>87. O Operador (-Ba)......ciciccic a 217</p><p>CAPÍTULO VI-ELEMENTOS DE ANÁLISE FUNCIONAL .... 225</p><p>$1. Operadores Limitados e Operadores Compactos ......... 225</p><p>82. Os Espaços LP(X,M,H) ......cccclc cc. 231</p><p>$3. A Alternativa de Fredholm .........ccccccc. 243</p><p>84. O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-Adjuntos 245</p><p>CAPÍTULO VII-UM PROBLEMA DE AUTO-VALORES PARA</p><p>O LAPLACIANO ........ccccccc.. 254</p><p>81. Preliminares .......ccccclccl 254</p><p>82. As Identidades de Green. .........ccccccc 255</p><p>83. O Princípio do Máximo para Funções Harmônicas ........ 260</p><p>84. A FunçãodeGreen.........ccccccccccc 262</p><p>85. Propriedades da Função de Green. ............. .. 264</p><p>86. O Problema de Auto-Valores ..........ccccccc.. 272</p><p>CAPÍTULO VIII-O PROBLEMA DE DIRICHLET CLÁSSICO .. 284</p><p>$1. Potenciais de Camada Simplese Dupla. ......... 284</p><p>82. A Solução do Problema de Dirichlet Clássico. ........ .. 294</p><p>CAPÍTULO IX-A TRANSFORMADA DE FOURIER EM R” ... 302</p><p>$1. A Transformada de Fourierem LM(R”) ............. 302</p><p>82. A Transformada de Fourier no Espaço de Schwartz ....... 311</p><p>83. A Transformada de Fourier em L(R") Cerca “o. 314</p><p>“84. O Laplacianoem LH(R")..........cc. 316</p><p>85. Distribuições Temperadadas .........ccccccc. 323</p><p>$6. Um Parêntese Topológico .... EEE 328</p><p>87. A Derivada e a Transformada de Fourier em $ (R')...... 331</p><p>$8. Os Espaços de Sobolevem Rº ............. Ve 336</p><p>89. Convoluções, Soluções Fundamentais e Outras Coisas da Vida . 342</p><p>Referências</p><p>PREFÁCIO</p><p>“A única coisa perfeita é o conjunto vazio.” Com estas sábias pala-</p><p>vras nosso amigo Elon nos convenceu a fazer duas coisas: a primeira</p><p>delas foi escrever o presente texto e a segunda, como não poderia</p><p>deixar de ser, foi parar o processo desencadeado pela primeira! E</p><p>o resultado é este volume. Ele é baseado em vários conjuntos de</p><p>notas de aula de cursos ministrados na PUC/RJ, no IMPA, na UnB</p><p>e também no 13º Colóquio Brasileiro de Matemática, nos últimos</p><p>nove anos.</p><p>O livro tem duas partes distintas. O objetivo dos cinco primeiros</p><p>capítulos é introduzir, com um mínimo de pré-requisitos, os tópicos</p><p>de Análise de Fourier clássicos e modernos necessários ao estudo das</p><p>Equações Diferenciais Parciais. O material aí apresentado é desen-</p><p>volvido a partir do honorável método de separação de variáveis e</p><p>expansão em auto-funções, que permite resolver problemas de con-</p><p>torno e/ou valor inicial em certos domínios com simetria apropriada.</p><p>Partindo então de problemas clássicos, como, por exemplo, a trans-</p><p>missão de calor em uma barra finita, introduzimos a noção de série</p><p>de Fourier e, em seguida, desenvolvemos a teoria de tais objetos em</p><p>vários contextos, inclusive no das distribuições periódicas. As idéias</p><p>correspondentes no caso da reta também são apresentadas, com o</p><p>estudo da transformada de Fourier no espaço de Schwartz S(R.) e no</p><p>seu dual S(R), o espaço das distribuições temperadas. Introduzi-</p><p>mos também o espaço L?(R) como um subespaço de S'(R.), evitando</p><p>dessa forma o pré-requisito de medida e integração normalmente ne-</p><p>cessário para a teoria L?.</p><p>A primeira parte pode ser usada, como já o foi algumas vezes,</p><p>como referências básicas para um curso de um semestre a nível de</p><p>final de graduação ou início de mestrado. Dependendo da dispo-</p><p>nibilidade de tempo, o professor poderá apresentar alguns tópicos</p><p>básicos que porventura lhe agradem e que não são discutidos (ou</p><p>vi</p><p>o são muito rapidamente) no presente texto, como, por exemplo,</p><p>equações de primeira ordem e curvas características, ou usar mate-</p><p>rial mais avançado contido nos capítulos subsequentes.</p><p>À segunda parte é definitivamente mais avançada e pressupõe um</p><p>conhecimento básico de medida e integração pelo leitor. Ela trata</p><p>da generalização e extensão das idéias introduzidas anteriormente</p><p>para domínios em R”. Apresentamos aí um tratamento relativa-</p><p>mente extenso do problema de auto:valores</p><p>EC,</p><p>(1.15) (au + Bo |) = a(u | t0) + B(o | 10);</p><p>(1.16) (ul)=T);</p><p>(117) “(ovo</p><p>onde (v | u) é o complexo conjugado de (v | u). Se, além de (1.15),</p><p>(1.16) e (1.17), a propriedade</p><p>(1.18) (0|)=06v0=0</p><p>é também satisfeita, dizemos que (: | -) é um produto interno (ou</p><p>que a forma sesquilinear é positiva definida).</p><p>Das propriedades (1.15) e (1.16) acima, segue facilmente que</p><p>(1.19) (ulav+Bw)=a(ulv)+ Bu |w)</p><p>50 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>quaisquer que sejam «,8 € C, u,v,w E V. Além disso, se (- | -) é</p><p>uma forma sesquilinear positiva,</p><p>(1.20) | hull= Cu |u)</p><p>define uma semi-norma em V (uma norma no caso da forma ser</p><p>positiva definida), vale a desigualdade de Cauchy-Bunyakowski-</p><p>Schwartz (CBS)</p><p>(1.21) Hu | o] < Iulllol)</p><p>e o teorema de Pitágoras</p><p>(1.22) (u|0)=0= Iju + o]? = JulÊ + Io</p><p>Se V é um espaço vetorial munido de um produto interno,</p><p>então V é um espaço normado com a norma definida por (1.20);</p><p>nesse caso dizemos que a norma de V provém de um produto interno.</p><p>Devemos observar que, se V é um espaço vetorial normado, então a</p><p>norma de V provém de um produto interno se e somente se vale a</p><p>identidade do paralelogramo</p><p>(1.23) lu + o]Ê + Ia — o]Ê = 2(Ilu É + Io Ê).</p><p>Outra propriedade extremamente útil é a identidade de polarização</p><p>1 2 2... RR, . 2</p><p>(1.24) (u | v) = q lIlu + v]l — Ju = o]o ++ óllu + io]o é lu — io].</p><p>Um espaço de Banach cuja norma provém de um produto interno</p><p>é chamado um espaço de Hilbert. Estudaremos um pouco da teoria</p><p>de espaços de Hilbert no próximo capítulo.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>1. Como vimos anteriormente C” é um espaço de Banach em relação</p><p>a qualquer uma das normas ||-||,, 1 < p < oo, definidas por (1.7)</p><p>sec. 1] Espaços Vetoriais Normados 51</p><p>ou (1.8). No entanto (C”, Il-llp) é de Hilbert se e somente se p = 2.</p><p>Nesse caso, a norma provém do produto interno</p><p>n</p><p>(1.25) (50)= 6;</p><p>j=1</p><p>onde z=(20,...,2m) C=(6.., 6) ECA</p><p>2. Analogamente ao exemplo acima, £P é um espaço de Hilbert se e</p><p>somente se p = 2 e, nesse caso, o produto interno é dado por</p><p>+00</p><p>(1.26) (a | B) = > Gn.</p><p>n=-c0</p><p>Como veremos mais adiante, o espaço de Hilbert /2 está intimamente</p><p>ligado à teoria das séries de Fourier.</p><p>3. À norma |||, em C([a, b]) não provém de um produto interno.</p><p>De fato, a norma L? em C([a,b)), 1<p<co, provém de um</p><p>produto interno se e somente se p = 2; nesse caso, o produto interno</p><p>4</p><p>e</p><p>b</p><p>(1.27) (FI9= | fee) ao.</p><p>Vamos agora introduzir espaços de funções periódicas que</p><p>usaremos com fregiiência. .Uma função f:R — C é dita periódica</p><p>com período T + 0 se</p><p>(1.28) fle+T)=f(z) VreR.</p><p>2</p><p>E claro que, se T é um período para f, então nT é também um</p><p>Período, qualquer que seja n € Z1(0); em particular, —T é um</p><p>Período, logo podemos sempre supor, sem perda de generalidade,</p><p>que T > 0. Se f é constante, então f é periódica com qualquer</p><p>Período mas se f for periódica e não for constante existe um menor</p><p>52 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>período T > 0: nesse caso T é chamado o período fundamental de</p><p>f. Os exemplos mais simples de funções periódicas não constantes</p><p>são as funções trigonométricas. Por exemplo, as funções</p><p>nXL</p><p>(1.29) qn(z)=sen 7 Yn(z) = cos</p><p>naL</p><p>7” n=1,2,3,...</p><p>são todas periódicas de período 2£; para cada n, o período funda-</p><p>mental de pn e de bn é 2º/n.</p><p>Vamos denotar por CRl-t, 4), k=0,1,2,..., a coleção</p><p>das funções f:R — C periódicas de período 2£ e de classe CF. No</p><p>caso k = 0 denotaremos Cº. .([-£, £]) simplesmente por Cper([—£, £]). per</p><p>É claro que, para cada k = 0,1,2,..., Cher([-2,4]) é um espaço</p><p>vetorial e, de fato, é um espaço de Banach em relação à norma</p><p>(1.30) les =D o</p><p>j=0</p><p>onde |||, é a norma do sup na reta,</p><p>(1.31) lIglloo = sup |g(z)| = sup lg(z)l,</p><p>. zeR zEJ</p><p>com J € R um intervalo fechado qualquer de comprimento 2º, g €</p><p>Cper([-2,4]) e f € CEr([-2,4])). O espaço Cper([-2,£]) pode ser</p><p>identificado, de maneira natural com (f € C([-2,4])): H(-2) = f(2))</p><p>e Che([-2,4]) € Crer([-4,4]), qualquer que seja E = 0,1,2,...;</p><p>podemos, portanto, definir a norma |||, 1 <p < oo, como em</p><p>(1.13) com a = -Le b =. Note que CÊ..([-4,4]) não é completo</p><p>em relação à norma ||:||,, 1 < p < co. No entanto, como veremos</p><p>neste e no próximo capítulo, a topologia obtida tomando p = 2 é</p><p>especialmente conveniente para o estudo das séries de Fourier.</p><p>Uma função f:R — C é dita par (respectivamente ímpar ) se,</p><p>qualquer que seja x E R, f(-x) = f(x) (respectivamente f(—-z) =</p><p>—Ff(x)). As funções pn, n E N, são ímpares, ao passo que as Yn</p><p>sec. 2) Séries de Fourier 53</p><p>são pares (veja (1.29)). Algumas propriedades básicas que usaremos</p><p>com frequência são:</p><p>(1) A soma e o produto de funções pares são pares.</p><p>(i) A soma de funções ímpares é ímpar mas o produto de duas</p><p>funções ímpares é par.</p><p>(ii) Se f é par e integrável em [-£, 4], então</p><p>(1.32) f . Fade =9 / “fede.</p><p>(iv) Se f é ímpar e integrável em [4,4], então</p><p>e</p><p>(1.33) f, f(x) dz = 0.</p><p>(v) Se f:R — Céuma função arbitrária, então f pode ser escrita</p><p>de maneira única na forma f = 9+h comg pare h ímpar.</p><p>Deixaremos a demonstração dos fatos (i)-(iv) acima a cargo</p><p>do leitor. Quanto a (v), note que f pode ser escrita na forma</p><p>que g(z) = Haltita) é uma função par e que h(x) = Íz É é</p><p>uma função ímpar. Para verificar a. unicidade, suponha que f = g+h</p><p>com g par e h ímpar: então</p><p>(2) = 9(2) + h(2) 1.35</p><p>(1.88) ( f(-2) = 9(2) — (2)</p><p>Somando e subtraindo essas relações obtemos</p><p>(30) goj= ÁiÃCO no) fe tCo)</p><p>54 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>2. Séries de Fourier</p><p>No Capítulo II, ao tentar construir uma solução para O problema</p><p>(11.1.1), fomos levados à questão de representar uma função f €</p><p>C([0,4]) tal que f(0) = f(£) = O por uma série em senos</p><p>(2.1) fla) = > ds sen E,</p><p>k=1</p><p>De forma análoga, fomos levados pelo problema (11.2.1) a representar</p><p>f por uma série em cossenos</p><p>So</p><p>(2.2) f(x) = 2 + +35, ay cos “EE</p><p>k=1</p><p>É interessante notar que a série em (2.1) (respectivamente em (2.2)),</p><p>caso convirja, converge para uma função impar (respectivamente</p><p>par) e periódica de período 2º. Mas, como vimos ao final da seção</p><p>anterior, toda função f:R — € pode ser escrita de maneira única</p><p>como uma soma de uma função par com uma função impar. Somos</p><p>levados então naturalmente à questão de representar uma função</p><p>periódica de período 24 por uma série trigonométrica.</p><p>a kra kmx</p><p>2. — : — . — |. (2.3) > + x (as cos —, + by sen Z )</p><p>Suponhamos que a série (2.3) converge uniformemente para uma</p><p>função f:R — C. Utilizando os argumentos do capítulo anterior</p><p>juntamente com os Exercícios 11.1 e II.2, obtemos facilmente que</p><p>f E Cper([-£,4]) e que os coeficientes as e b, são dados por</p><p>t A</p><p>(2.4) a=1b)=5 [ f(x) cos “E de, k=0,1,2,...</p><p>-t</p><p>sec. 2] Séries de Fourier 55</p><p>1 14º k</p><p>(2.5) de= FU le)=5 [ f(x) sen 2 de, k=1,2,...</p><p>L A L</p><p>onde y; e yr são dadas por (1.29) sek > le bolz)=1 VzER.</p><p>Note que as fórmulas (2.4) e (2.5) fazem sentido mesmo que</p><p>f não seja contínua. Por exemplo, se f!R — C é periódica de</p><p>período 2t, integrável e absolutamente integrável em qualquer inter-</p><p>valo fechado, então as fórmulas (2.4) e (2.5) são válidas. Para uma</p><p>discussão desse tipo de condição, veja a seção 3.1 de [30].</p><p>Voltando ao problema (I1.1.1),se f E C([0,4]) com f(0) =</p><p>f(£) = 0, podemos extender f como uma função ímpar, que deno-</p><p>taremos também por f, definida em [-£,4] com f(-£) = f(0) =</p><p>F(£) = 0. Extendendo f periodicamente, obtemos uma função em</p><p>Cper([—£,t]) e neste caso a integral em (2.4), sendo a integral de</p><p>uma função ímpar em [—t,(], é igual a zero. Além disso, como o .</p><p>produto de duas funções ímpares é par, os coeficientes by dados por</p><p>(2.5) coincidem com os dados por (11.1.27). Desta forma a série em</p><p>senos em (2.1) coincide com a série trigonométrica (2.3).</p><p>De maneira análoga, se f € C?([0,4]) com f'(0) = f(8) =,</p><p>como no problema (11.2.1), podemos extender f como uma função</p><p>par a [—£,€] e depois periodicamente a toda a reta para obter uma</p><p>função em CL.([-€,4]). Desta forma os coeficientes</p><p>by dados por</p><p>(2.5) são todos nulos, os coeficientes a; dados por (2.4) coincidem</p><p>com (11.2.8) e a série em cossenos em (2.2) coincide com a. série</p><p>trigonométrica.</p><p>Antes de discutir quando f(x) é igual à série trigonométrica</p><p>(2.3) com os coeficientes (2.4) e (2.5), vamos simplificar (2.3). Em</p><p>Primeiro lugar, a mudança de variável y = &- reduz o estudo de</p><p>(2.3) a considerar</p><p>(2.6) “o + > (a cos(ky) + by sen(ky)).</p><p>2 k=1</p><p>Em outras palavras, ao invés de considerarmos funções periódicas</p><p>de período 24 arbitrário, consideraremos apenas funções periódicas</p><p>56 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>de período 27 sem nenhuma perda de generalidade. A próxima</p><p>simplificação é reescrever (2.6) de forma mais compacta usando ex-</p><p>ponenciais complexas. Lembrando que</p><p>ek y eTky ek y — eT'kY</p><p>(2.7) cos(ky) = o, sen(ky) = E</p><p>obtemos, para todo k = 1,2,...,</p><p>(or beato (Ch DR) iky</p><p>ax cos(ky) + by sen(ky) = ( > + É) ey + ( 27 »)*</p><p>- Saia gay q Set cy</p><p>Podemos, portanto, reescrever (2.6) na forma</p><p>+oo</p><p>(2.8) >) ceity</p><p>k=-—oo</p><p>onde</p><p>— àb Dk</p><p>(2.9) o= > a= E, cr= a E p=1,2,</p><p>Suponhamos agora que a série (2.8) converge uniformemente</p><p>a uma função f :R — C. Pelo Exercício II.1, as funções</p><p>(2.10) di(a)=ef, KEZ,</p><p>satisfazem as relações de ortogonalidade</p><p>(Be 185)= [ ulo)E) de</p><p>—a</p><p>x . ..</p><p>(2.11) - | efe E dr</p><p>—</p><p>(5 se jk</p><p>“2 se j=k.</p><p>sec. 2] Séries de Fourier 57</p><p>Usando então o Exercício IL.2 e (2.11), obtemos</p><p>+oo</p><p>(F| Dk) = > Cn(Pn | Dk) = 2rck</p><p>n=-co0</p><p>e, portanto,</p><p>2 =+(ylóg= > E (2.12) | := 5 = = z)e T.</p><p>Dada uma função f € Cper([—7,7]), à série de Fourier gerada</p><p>por f é a série (2.8) onde cy é dado por (2.12). A segiiência complexa</p><p>1Í(k)krez definida por</p><p>(213) Í(k) =Ck= = N Fa)er tz dz</p><p>é chamada a transformada de Fourier de f e os números complexos</p><p>fk)= = ck São Os coeficientes de Fourier de f. Note que a aplicação</p><p>fo f é linear e</p><p>eu ole [fole pr<Iv</p><p>quaisquer que sejam f € Cper([-7,7]), k E Z. Portanto, a aplicação</p><p>que leva f em sua transformada f é uma transformação linear</p><p>contínua de (Cper([—7,7]), ||:lj) em tº(Z) com sua norma usual</p><p>(veja o Exercício 10 ao final deste capítulo).</p><p>Voltando às séries de Fourier, nosso problema fundamental</p><p>“é saber quando f pode ser representada pela série correspondente.</p><p>De fato, colocado desta maneira, o problema é muito vago. É mais</p><p>razoável perguntar em que sentido a série de Fourier de uma função</p><p>à Tepresenta, pois existem várias possibilidades. Uma delas é a con-</p><p>Vergência pontual, i.e.,</p><p>(2.15) Fx) = dim >, fk)e't</p><p>lk|<n</p><p>58 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>onde o limite existe para cada x € R. A convergência pontual é deli-</p><p>cada: surpreendentemente, dado qualquer subconjunto enumerável</p><p>E € [-7,7], existe uma função contínua cuja série de Fourier di-</p><p>verge em todos os pontos de E! (Veja [49; 11.3.4).) Discutiremos</p><p>a convergência pontual das séries de Fourier na quinta seção deste</p><p>capítulo.</p><p>Uma outra noção de convergência natural para as séries de</p><p>Fourier é a convergência na norma Lº,ie.,</p><p>2.16 lim |f — k)dk|l =0 (2.16) lim |f A /O |</p><p>onde as funções 9; são dadas por (2.10). Mostraremos, na sexta</p><p>seção, que (2.16) é válida para f € Cper([- 7, 7]).</p><p>Além de convergência em várias topologias, podemos também</p><p>considerar várias maneiras de “somar” a série de Fourier. Discuti-</p><p>remos isto na sexta seção.</p><p>3. Interpretação Ceometrica</p><p>Nesta seção tentaremos esclarecer e explorar o método utilizado no</p><p>cálculo dos coeficientes de Fourier. Do ponto de vista geométrico,</p><p>ele é bastante natural pois é a generalização mais simples do caso de</p><p>dimensão finita. De fato, considere o espaço vetorial C” munido do</p><p>produto interno usual (1.25). Dada uma base ortogonal (v1,...,Un)</p><p>de C”, podemos escrever qualquer vetor z € C” como uma com-</p><p>binação linear dos vetores da base</p><p>n</p><p>2 — ) 2705</p><p>j=1</p><p>sec. 3] Interpretação Geométrica 59</p><p>e, como a base é ortogonal, obtemos, qualquer que seja k = 1,...,n,</p><p>n</p><p>(2 |u)=5 29(0; | 08) = ze(vr | ur) = 2 pos 2.</p><p>j=1</p><p>Portanto a projeção ortogonal do vetor z na direção de v, é exata-</p><p>pup=|2|— |—.</p><p>ox l/ Ive</p><p>mente</p><p>Figura 3</p><p>O conjunto (8: k E Z) faz então o papel de uma “base” ortogonal</p><p>e ÍCh)d; é a “projeção ortogonal” de f no espaço gerado por x.</p><p>Na seção anterior, obtivemos os coeficientes de Fourier su-</p><p>pondo que a série (2.8) convergia uniformemente. É interessante no-</p><p>tar que obteremos os mesmos coeficientes se supusermos que a série</p><p>(2.8) converge na norma L?, isto é, se supusermos que existe uma</p><p>função f:[-7,7] — C tal que (2.16) é satisfeita (veja o Exercício</p><p>14). Observe que nesse último caso a função f não é necessaria-</p><p>mente contínua. No entanto, provaremos mais adiante que, se f for</p><p>contínua, então sua série de Fourier converge para f na norma L?.</p><p>Este último comentário começa a indicar a profunda relação</p><p>entre as séries de Fourier e a convergência na norma L?. De fato</p><p>60 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>é muito importante levar adiante as idéias geométricas introduzi-</p><p>das acima. Para motivar o que segue, vamos considerar Cº com</p><p>uma base ortogonal (v1,v2,v3) e V o subespaço gerado por (vs, va).</p><p>Então, se z € Cº, é claro que o vetor 29 E V que minimiza a distância</p><p>euclideana</p><p>3 1/2</p><p>lz — Cll= Sl —g » 6=(Olal) EV</p><p>=</p><p>é a projeção ortogonal de z em V,i.e.,</p><p>= (80 (Ei</p><p>Vamos mostrar que esse mesmo fato é válido em Cper([—7,7]) com a</p><p>norma L2?. Mais precisamente, seja Vy o espaço vetorial gerado pelas</p><p>funções (dk: —-N < k < NJ), onde N € Z*. Se f E Cper([-7,7]),</p><p>então a N-ésima soma parcial da série de Fourier de f, a saber</p><p>N N</p><p>(3.1) Sn(z)= 55 fbu(a)= D, fO)et”,</p><p>pertence ao espaço Vw. Com essa notação, temos:</p><p>3.1 PROPOSIÇÃO. Se f E Cper([-7,7]), a melhor aproximação de f</p><p>em Vw na norma L” é sua N-ésima soma parcial. Mais precisamente,</p><p>(1) VIn E Vw, |f- Sul <If-—Tulo;</p><p>(ii) a igualdade em (i) é válida se e somente se</p><p>N</p><p>(3.2) Tn= >, Ba,</p><p>k=—N</p><p>onde ar = f(k), k=-N,-NA+41,...,N.</p><p>sec. 3] Interpretação Geométrica 61</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Considere a função auxiliar</p><p>N</p><p>(3.3) g=[-Sn=f- 53 Ike</p><p>k=-—N</p><p>Então, qualquer que seja Ty como em (3.2), usando as relações de</p><p>ortogonalidade (2.11) e a definição (2.13) de f,</p><p>N N No</p><p>(9|Tn)= 5 auf | 8)- DO 5 ufUXD; | 6)</p><p>k=-N k="N j=—N</p><p>= -5. (me2m f(k) — ap2rf(k)) = 0</p><p>k=—</p><p>Portanto g é ortogonal a Vw e, por uma generalização trivial do</p><p>teorema de Pitágoras (1.22),</p><p>2 2 | fo k=-N</p><p>9+ 3 (Í(k) — ax )ds</p><p>2 k=—N</p><p>=I9f8+ 3 |f09- au) Wbel > Il.</p><p>k=—N</p><p>Isso prova (1). Quanto a (ii), é claro que a igualdade é válida se e</p><p>somente se fCk) =ap paratodok=-N, -N+41,...,N.E</p><p>3.2 PROPOSIÇÃO. Seja f E Cper(l-7,7]). Então a série</p><p>(3.4) >» [io |</p><p>k=-—oco</p><p>converge e satisfaz a desigualdade de Bessel</p><p>(3.5) > Pof<a [rot as = Dao</p><p>62 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. II</p><p>Em particular, vale o lema de Riemann-Lebesgue</p><p>(3.6) ai IC) =0</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Expandindo o produto interno e usando as rela-</p><p>ções de ortogonalidade (2.11), obtemos</p><p>2</p><p>f- s Í(K)S</p><p>k=—N</p><p>e > fade</p><p>k=—N</p><p>f- 3 joe)</p><p>k=—N</p><p>1-2 > [ro</p><p>k=—N</p><p>e, portanto,</p><p>No. q 1</p><p>(3.7) sv= 5 |] <a Ib.</p><p>k=—N</p><p>qualquer que seja N € N. Como a sequência [SN )NEN é crescente e</p><p>limitada, ela converge. Portanto, a série (3.4) converge e, tomando</p><p>o limite em (3.7) quando N — +oo, obtemos (3.5). Quanto a (3.6),</p><p>basta lembrar que o termo geral de uma série convergente tende a</p><p>zero. E</p><p>Em termos da transformada de Fourier f + f, a Proposição</p><p>3.2 afirma que, de fato, f E C(Z) e</p><p>(3.8) fl, < Moo</p><p>onde a norma ||:||, do lado esquerdo de (3.8) é a norma 2, enquanto</p><p>que a norma ||:||, do lado direito de (3.8) é a norma Lº (veja (3.5)).</p><p>sec. 4] Propriedades de Decaimento de f 63</p><p>Na verdade, mostraremos mais tarde que vale a igualdade em (3.8),</p><p>ou seja,</p><p>+oo o 2 1 x (3.9) » fo) = [Hof as</p><p>k=-—oco .</p><p>Note que, pela identidade de polarização, (3.9) é equivalente a</p><p>+oo x (3.10) > fem =5 | fHede)dr</p><p>k=-—oco</p><p>A equação (3.9)</p><p>é chamada a identidade de Parseval.</p><p>É importante observar que a Proposição 3.2 vale para uma</p><p>classe mais geral de funções que Cper([-7,7]). O lema de Riemann-</p><p>Lebesgue, apesar do seu aspecto inocente, é fundamental para a</p><p>teoria das séries de Fourier. Esse lema é crucial para a demonstração</p><p>da convergência pontual de séries de Fourier (veja o Teorema 5.1).</p><p>4. Propriedades de Decaimento de f</p><p>Como estamos interessados em estudar a convergência da série de</p><p>Fourier</p><p>+oo</p><p>k=-—oco</p><p>de uma função periódica f, é natural investigar o comportamento</p><p>de Í(k) quando |k| — oo. Um resultado nessa direção é o lema</p><p>de Riemann- Lebesgue (Proposição 3.2) para funções continuas. Por</p><p>outro lado, como já mencionamos anteriormente, existem funções</p><p>contínuas cuja série de Fourier diver ge em um conjunto enumerável,</p><p>logo precisamos estudar o comportamento de Í(k) quando k > oo</p><p>64 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>sob hipóteses mais fortes sobre f. Vamos então verificar o efeito da</p><p>diferenciabilidade de f sobre o comportamento de f(h).</p><p>Suponhamos que f € Cl.([-7,7]). Então f' E Cper([—7,7])</p><p>e, integrando por partes,</p><p>1 [7 NA — ' —tkz NA = e fo Me do</p><p>l —ike |T pr —ikz</p><p>= 27 [toe [E + tk e f(x)e de]</p><p>Pela periodicidade, f(m)e'T = H7m)e'*”, logo</p><p>(4.2) NB =ikf(k), KEeZ.</p><p>Esta fórmula elementar tem consequências profundas! Em primeiro</p><p>lugar, se k £ 0, usando (2.14),</p><p>43 JfOf= IO sgh FE ZM</p><p>Portanto a diferenciabilidade de f (em conjunto com a periodicidade,</p><p>é claro) implica em uma taxa de decaimento bem definida para f.</p><p>Combinando (4.2) com a desigualdade de Bessel, obtemos</p><p>4.1 TEOREMA. Se f € Cha([-7,7]), então a série de Fourier (4.1)</p><p>de f converge absoluta e uniformemente.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Pelo teste M de Weierstrass (Exercício 11.2), bas-</p><p>ta provar que</p><p>+oo</p><p>(4.4) Ss | O) < oo.</p><p>k=-oo</p><p>Usando (4.2), a desigualdade CBS (1.21) para C2N e a desigualdade</p><p>sec. 4] Propriedades de Decaimento de f 65</p><p>de Bessel,</p><p>N</p><p>LATAS » foj=[oj+ 3 Mm</p><p>k=-N O<|k|<N</p><p>1/2 1/2</p><p>sos Sir si</p><p>O<|k|<N O<]k|<N</p><p><[HOJ+CII.</p><p>oo 1/2</p><p>1 1 x</p><p>c= de Dz Vea</p><p>n=1</p><p>onde</p><p>Observe que o Teorema 4.1 diz apenas que a série de Fou-</p><p>rer de uma função f E Cher</p><p>Nada garante, por enquanto, que o limite definido pela série seja</p><p>([-7,7]) converge uniformemente.</p><p>precisamente f(x). Veremos na próxima seção que, de fato, a</p><p>série de Fourier gerada por f converge uniformemente para f se</p><p>FE Chora)</p><p>Uma outra consequência importante da fórmula(4.2) é que</p><p>a transformada de Fourier leva o operador diferencial fagindo em</p><p>Cher(l=7,7]) no operador de multiplicação por ik agindo em um</p><p>subespaço de t2(Z). Note que isto fornece um método para resolver</p><p>equações diferenciais lineares a coeficientes constantes: a equação</p><p>diferencial é transformada em uma equação algébrica! Por exemplo,</p><p>considere a EDO</p><p>(4.5) Fraf=g</p><p>onde a € R é constante, a £ 0 e 9 E Cper(l—r,7]) é dada. Estamos</p><p>Procurando soluções f E Cher</p><p>Fourier da equação (4.5) e usando (4.2), obtemos</p><p>([-7,7]). Tomando a transformada de</p><p>(4.6) KÍCk)+aflh)=Hk), KEZ.</p><p>66 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>Portanto, pelo menos formalmente, a função</p><p>(4.7) ' f(x) = s 5(k) giEs</p><p>k=-oo</p><p>é solução da EDO (4.5). Mais tarde estudaremos esta idéia com mais</p><p>cuidado. Ela é fundamental no estudo de operadores diferenciais</p><p>lineares com coeficientes constantes.</p><p>Usando indução, é fácil obter a seguinte generalização</p><p>de (4.2):</p><p>4.2 PROPOSIÇÃO. Se f E Cha([-7,7]), então</p><p>(4.8) (Oh) = (RP Í(), FEZ.</p><p>U lário dest ição é dor É ét m corolário desta proposição é que o operador += é trans-</p><p>formado no operador de multiplicação por (ik)”. Um outro corolário</p><p>é que, quanto mais diferenciável for uma função periódica, mais rapi-</p><p>damente seus coeficientes de Fourier tendem a zero quando |k| — oo.</p><p>5. Convergência Pontual</p><p>Nosso objetivo nessa seção é estabelecer um teorema de con-</p><p>vergência pontual para séries de Fourier. Para esse resultado é inte-</p><p>ressante admitir descontinuidades de primeira espécie. Lembramos</p><p>então que uma função f: [a,b] — C é dita seccionalmente contínua</p><p>se existe uma partição a = zo < 7) <:::<zn=bdo intervalo</p><p>[a, b] tal que f é contínua em cada um dos subintervalos (;, 7 41)</p><p>e f(x) tende a um limite finito quando z € (7;,7;+1) tende a T; ou</p><p>az;m,)=0,1,...,n—1. Usaremos a notação</p><p>(5.1)</p><p>É Haj) = lim fz), Haje)= fm fa), j =0,1,...,n—1.</p><p>sec. 5] Convergência Pontual 67</p><p>Se f'R > C, dizemos que f é seccionalmente contínua se ela for</p><p>seccionalmente contínua em cada intervalo limitado.</p><p>Seja V o espaço das funções f:[—-7,7] — C seccionalmente</p><p>contínuas com f(—-7) = f(x). É claro que podemos identificar V</p><p>com o espaço das funções f:R — C periódicas de período 27 e</p><p>seccionalmente contínuas. Então V é um espaço vetorial e podemos</p><p>definir as semi-normas L? em V como anteriormente,</p><p>63) IfHp=[[ 10 a] I<p<o.</p><p>Note que em V (5.2) não é uma norma mas apenas uma semi-norma.</p><p>Por exemplo, a função f que valelemz =0e0em [-r, O)U(0, 7] é</p><p>diferente da função nula mas ||f|| p = O para qualquer p € [1,00). No</p><p>caso p = 2, a semi-norma provém de uma forma sesquilinear positiva</p><p>(5.3) (F 19) =" (e) do) do.</p><p>Se f € V, podemos definir os coeficientes de Fourier f (k) como an-</p><p>teriormente e a série de Fourier gerada por f é a série (4.1). Observe</p><p>que os valores de f nos pontos de descontinuidade não fazem a menor</p><p>diferença para (5.2) ou (5.3). Note também que nas demonstrações</p><p>das Proposições 3.1 e 3.2 usamos apenas as relações de ortogona- -</p><p>lidade (2.11) e o teorema de Pitágoras (1.22), portanto estas pro-</p><p>Posições continuâm válidas para fevV. Em particular, vale o lema</p><p>de Riemann-Lebesgue</p><p>(5.4) Í(k) > 0 quando |k| — oo.</p><p>Suponha que f:[a,b] >» C é seccionalmente contínua, dife-</p><p>Tenciável em (—7,7) a menos de um número finito de pontos e, em</p><p>cada um dos pontos onde f! não existe e nos extremos do intetvalo,</p><p>existem os limites laterais de f' (como em (5.1)). Por um abiiso de</p><p>linguagem diremos que f' é seccionalmente contínua,</p><p>68 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. III</p><p>Estamos agora prontos para provar o teorema de convergência</p><p>pontual. A demonstração que apresentaremos a seguir é devida a</p><p>Paul Chernoff [18].</p><p>5.1 TEOREMA. Seja f:R — C periódica de período 27 com f e f'</p><p>seccionalmente contínuas. Então, qualquer que seja xo € R, a série</p><p>de Fourier de f no ponto zo converge para 4[ Hai) + FHzo)).</p><p>Vamos primeiro demonstrar o teorema em um caso bem sim-</p><p>ples.</p><p>5.2 LEMA. Seja f como no Teorema 5.1 e suponha que f é contínua,</p><p>na origem com f(0) = 0. Então a série de Fourier de f na origem</p><p>converge para f(0), i.e.,</p><p>+oo</p><p>(5.5) > Íh=o.</p><p>k=-—oo</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Vamos definir uma função auxiliar complexa</p><p>fa) a g(a)=) 2-1 se 2%0, zel[-7,7)</p><p>—if(0t) se z=0</p><p>(5.6) g(z+2m)=g(z), zER.</p><p>Note que g tem limites laterais quando x — 0,</p><p>9(0*) = im [ÁE E ) = ip 0</p><p>EA) z</p><p>9(07) = —i (07).</p><p>Portanto g é seccionalmente contínua e, pelo lema de Riemann-</p><p>Lebesgue,</p><p>R dim g(k) = 0.</p><p>Por outro lado,</p><p>fo) = [ doXes — ente do = (6-1) (6)</p><p>="</p><p>sec. 5) Convergência Pontual 69</p><p>logo</p><p>> fHB)=H-n=D)-G(m>0</p><p>k=—n .</p><p>quando n > +oo. E</p><p>Este caso simples implica o teorema geral. A idéia da de-</p><p>monstração é ir transformando a função f até obter outra função</p><p>que satisfaça o lema (veja Figura 4).</p><p>XX Ko HT</p><p>. f(x) +f(xg)</p><p>f(xb)+f(xs) gtd=fixtx)- ——S Lol</p><p>e meet rimm</p><p>2</p><p>h</p><p>- Na T o</p><p>|</p><p>g(x) + g(-x)</p><p>O): — se xXO,h(0)=0</p><p>Figura 4</p><p>DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA: Defina as funções auxiliares</p><p>h(z) = ( alo(z)+g(-2)]) se 2%0, vel-r,7),</p><p>0 se z=0,</p><p>h(z+27)=h(z), ZER.</p><p>To Séries de Fourier: Teoria Básica . [Cap. HI</p><p>Como f e f' são seccionalmente contínuas, é fácil ver que g e g</p><p>(e portanto h e h') são seccionalmente contínuas. Por construção,</p><p>g(0*) + g(07) = 0 e À é contínua na origem com h(0) = 0, dónde,</p><p>pelo Lema 5.2, a série de Fourier de h na origem converge para zero.</p><p>Por outro lado,</p><p>Cb) = 5190) + Kb),</p><p>logo |</p><p>DECR DE:</p><p>=-n k=-n</p><p>Tomando então o limite</p><p>quando n — oo, obtemos</p><p>+ oo</p><p>>, dk)=0.</p><p>k=-—oo</p><p>Em relação à função f, os coeficientes de Fourier de g são dados por</p><p>.€ flk)eiteo se k£0,</p><p>k) = a</p><p>ME) CÊ AIC) se k=0.</p><p>Portanto</p><p>3 a0= DD fere = SUHed) + Seo)</p><p>k=-n =-n</p><p>e, tomando o limite quando n — 00,</p><p>TO o. 1 o</p><p>>; Íkjetteo = alf(xo) +F(zo)l. E</p><p>k=-—oco</p><p>O Teorema 5.1 vale em condições mais gerais (veja [19]).</p><p>Como observamos anteriormente, a continuidade da função não im-</p><p>plica na convergência pontual da sua série de Fourier. Para maiores</p><p>detalhes sobre convergência pontual, veja as Seções I1.2 e 11.3 de</p><p>[49], o Capítulo 10 de [26] e as referências ali contidas.</p><p>sec. 5] Convergência Pontual 71</p><p>9.3 COROLÁRIO. Seja f E Cpe([-7, 7)) com f' seccionalmente</p><p>contínua. Então a série de Fourier gerada por f converge uniforme-</p><p>mente a f. Além disso vale a identidade de Parseval</p><p>Go |il)- s Pol = 5 [of ao= Tn</p><p>ou, equivalentemente,</p><p>sn Dane dA fo — 1 68) Fld= 5 iWD=5> [ fosa = Tg).</p><p>k=-—oo</p><p>DEMONSTRAÇÃO: É claro que a equação (4.2) permanece válida</p><p>neste caso, logo obtemos a convergência uniforme como na demons-</p><p>tração do Teorema 4.1; como a série converge pontualmente para f</p><p>pelo Teorema 5.1, a primeira afirmação está provada. Tanto (5.7)</p><p>quanto (5.8) resultam da convergência uniforme das séries, enquanto</p><p>que a equivalência entre estas fórmulas é conseguência da identidade</p><p>de polarização (1.24). E</p><p>Mostraremos no próximo capítulo que as fórmula (5.7) e (5.8)</p><p>valem em situações bem mais gerais. Elas são válidas, por exemplo,</p><p>se f for seccionalmente contínua.</p><p>Tanto o teorema de convergência pontual quanto a identidade</p><p>de Parseval são usados muitas vezes para somar séries.</p><p>EXEMPLO: A função</p><p>(5.9) ( f(x) = |z| se —T<e<T</p><p>flzx+2m)=f(2) VER</p><p>é contínua com derivada seccionalmente contínua, logo sua série de</p><p>Fourier converge uniformemente e vale a identidade de Parseval. Um</p><p>cálculo simples mostra que</p><p>0 se k par, k£OQ</p><p>(5.10) Ík) = n/2 se k=0</p><p>se k ímpar</p><p>72 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>e portanto</p><p>, 2 ES 1 .</p><p>BR =——— —— (2k+1)z</p><p>(611) Ho)=974 x (QR+ 12”</p><p>Fazendo x = 0 em (5.11) obtemos</p><p>n n id</p><p>O=50 7, QErIP 277 Lar</p><p>logo</p><p>q?</p><p>8:</p><p>Dany 1 (2k : 12</p><p>Além disso, usando a identidade de Parseval segue que</p><p>1 3 4</p><p>À 7x 14 — 32”</p><p>6. Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet</p><p>Como mencionamos anteriormente, existem funções contínuas cu-</p><p>jas séries de Fourier divergem. Isso indica que alguma suavidade</p><p>é necessária para se obter convergência pontual. No entanto exis-</p><p>tem outras maneiras de “somar” uma série de Fourier. Uma delas é</p><p>através da média aritmética. Se Sn(f;z) é a N-ésima soma parcial</p><p>da série de Fourier de f, isto é,</p><p>N</p><p>(6) Snlfis)= D, fk)et”,</p><p>k=-N</p><p>sec. 6] Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet 73</p><p>seja</p><p>1 N</p><p>(6.2) ofid= x Sn(f; 2).</p><p>Dizemos que a série de Fourier de f é somável no sentido de Cesáro</p><p>no ponto 79 se existe</p><p>Nim on(f; Zo).</p><p>Mostraremos mais adiante que, se f é contínua,on(f;zo) — f(zo)</p><p>em todo ponto xo € R. Expandindo o lado direito de (6.2) obtemos</p><p>facilmente</p><p>, N</p><p>(6.3) on(f;z) = > (1 — 71) f(k)eitz</p><p>k=-N</p><p>e portanto, substituindo f (k) pela sua expressão integral,</p><p>o N</p><p>(64) onfis)= 5 [ 10) pn (1-8) esten] dy.</p><p>Definimos então o núcleo de Féjer de ordem N por</p><p>N</p><p>(6.5) Kn(x) = > (1 - mt) eite</p><p>k=-N</p><p>e reescrevemos (6.4) como</p><p>1</p><p>(6.6) on(fis)=5= | (y)Kn(z — y) dy.</p><p>Dadas duas funções f,g E Cper([—-7,7]), à convolução de f e</p><p>9, denotada por f + q, é a função definida por</p><p>6) Ge )=5[ fuse-may, ER</p><p>74 Séries de Fourier: Teoria Básica. [Cap. HI</p><p>6.1 PROPOSIÇÃO. Sejam f,9,h E Cper([-7,7]), « E €. Então:</p><p>(i) f*9 € Crer(l-m,7]);</p><p>(ii) (Ff xg)xh=f+(g+h);</p><p>(ii) fxg=9*f;</p><p>(iv) (f+g)rh=f+h+g+h;</p><p>(v) (af)+g = a(f+9)=f+(ag);</p><p>(vi) 1f + lo < flo Ilglloo-</p><p>A demonstração da Proposição 6.1 é bastante simples e será</p><p>deixada a cargo do leitor. Outras propriedades que serão úteis mais</p><p>tarde estão na proposição abaixo.</p><p>6.2 Proposição. Sejam f,g € Cper([—7,7)]). Então:</p><p>() (1 +9)Mk) = ÍA), VheZ;</p><p>(ii) para cadat E R, se f(x) = f(x — O, (fi) (k)= eTikt f(k),</p><p>Vk E Z.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Como f,g E Cper([--7,7]), elas são uniforme-</p><p>mente contínuas e portanto a função (x,y) € [-7,7) x [-m,7] »</p><p>F(y)g(z — y) é uniformemente contínua, o que nos permite trocar a</p><p>ordem de integração para obter</p><p>Ge=5 | (fee do</p><p>a fr " Cnp-ikz = ps) de [o durtoe- se</p><p>1 =X x o: o “5</p><p>=) dr / dy ee) e f(y)a(z — y)</p><p>—x —a</p><p>1 [7 =</p><p>=— | dyetf(y) | de g(z- ye He»</p><p>47 Ed —</p><p>1 x . —y .</p><p>= | dyeBi(y) dz g(z)e"*t</p><p>4º Ja 4.</p><p>1 , —iky 1 " —tkz</p><p>=») We Hu) | de g(z)e</p><p>= f(o(k).</p><p>sec. 6] Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet 75</p><p>Quanto a (ii),</p><p>(fi) Th) = = Vo Ha —t)e'tE dz = = f.. Fleet dy</p><p>medo [º = =ikt 7 of Ita efa</p><p>Note que a operação de convolução é uma multiplicação e</p><p>que, de fato, Cper([—-7,7]) é uma álgebra de Banach comutativa em</p><p>relação à convolução (isto é exatamente o que diz a Proposição 6.1).</p><p>Esta álgebra não tem identidade, pois não existe f E Cper([—-m,7])</p><p>tal que f+*g =g para toda g E Cper([—7,7]), mas tem identidades</p><p>aproximadas. A idéia das identidades aproximadas é muito simples:</p><p>de fato a convolução tem uma identidade em um espaço “maior” que</p><p>Cper([—7,7]) (como veremos no próximo capítulo); uma seqgiliência</p><p>em Cper([—-7,7]) “convergindo” (na topologia do espaço “maior”)</p><p>para a identidade é então uma identidade aproximada. Mais preci-</p><p>Samnente:</p><p>6.3 DEFINIÇÃO. Uma identidade aprozimada é uma sequência</p><p>tPn)n>1 em Cper([-7, 7]) tal que:</p><p>(1) pal) D0, VIER, WMEZt;</p><p>(ii) + Sonle)de=1, WeZ;</p><p>(iii) para todo 6 € (0,7),</p><p>(6.8) lim Ir Pn(x) dz + / Pn(z) à =0. —</p><p>n =X</p><p>Embora tenhamos definido identidade aproximada como sen-</p><p>do uma segiência, algumas vezes será conveniente considerar uma</p><p>identidade aproximada com índice real. Por exemplo, diremos que</p><p>tprir E [0,1)) satisfazendo (1), (ii) e (iii) acima com r € [0,1) no</p><p>lugar den Ee Zt e lim,,- no lugar de limpa -+oo é uma identidade</p><p>76 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>Figura 5</p><p>aproximada. Note que, nesse caso, se (rn) é uma sequência qualquer</p><p>em [0,1) convergindo para 1 e se bn = Pr, então (bn) é uma</p><p>identidade aproximada no sentido da Definição 6.3.</p><p>Uma identidade aproximada é então uma família de funções</p><p>em Cper([-7,7]) positivas, de média 1 em [-7,7], com integrais</p><p>se concentrando em torno da origem. Observe que uma sequência</p><p>como na Definição 6.3 nunca converge, nem pontualmente, para uma</p><p>função contínua: pn(z) >0sez E [-7,7], 2%0,epn(0) > +oo</p><p>(veja a Figura 5).</p><p>6.4 PROPOSIÇÃO. Seja (Pn)n>1 uma identidade aproximada.</p><p>Então, qualquer que seja f E Cpell-7,7]), f+pn — f unifor-</p><p>memente.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Se f = 0 não há o que'provar, logo vamos supor</p><p>que f £ 0. Queremos então provar que, para qualquer € > 0, existe</p><p>NEeZ, ND>l,tal que</p><p>n> NS suplf+enlz)- Ho)l<e</p><p>zeR</p><p>sec. 6] Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet 77</p><p>Seja então e > 0. Por ser contínua e periódica, f é uniformemente</p><p>contínua. Logo, existe é > 0, que podemos tomar em (0,7), tal que</p><p>le-yl<6=> |f(2)- fl <e/2</p><p>Então, para todo z E R,</p><p>(+ pn)lz) — f(x) = Hera — y) dy</p><p>- “Tp Hen de</p><p>= | Ue-0- foot) |</p><p>27 Jo<lt<r</p><p>ó</p><p>A E-D- Heat</p><p>[f(x — t) — H(x)lpn(t) dt</p><p>Tome N € Z tal que</p><p>—6 x</p><p>n>N > Pnlt) dt +[ Pnlt) dt < ———</p><p>6 =] 2 TA</p><p>Obtemos, para todo n > N e paratodo z E R,</p><p>4 Wrolo)-fol<i+5=e E</p><p>Para mostrar então que on(f) — f uniformemente para toda</p><p>f E Cper([-7,7]), basta provar que os núcleos de Féjer (Kwn) for-</p><p>mam um identidade aproximada.</p><p>6.5 LEMA. ParatodoN >1, NEZ,o núcleo de Féjer de ordem</p><p>N satisfaz</p><p>1 [sen(2Hs)]</p><p>(6.9) Kyn(z) = | N+41 | sen(z/2) se vf2kr, RE Z,</p><p>N+41 se vz=2kr para algum k E Z</p><p>78 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Se x = 2kr para algum k € Z, então</p><p>N jo] 2 (N+INN</p><p>— = 0 — = — E— + a mm =— N 1.</p><p>Kn(z) A (1 N41 2N+1 NH1 3 +</p><p>Se x / 2kr para todo k E Z, então sen(x/2) O e, usando que</p><p>sen?(x/2) = L<osz (1 ef el</p><p>2 2 474º</p><p>obtemos</p><p>a, N N+1l-I|kligw/1 er eriz</p><p>cen'()Kn(a)=</p><p>D, NGI* (:-G- 4 ) k=—N</p><p>1 DoN+1-.</p><p>3 N+1-[n= 1] ima</p><p>n=-N+41 á</p><p>o ss Téiqlotil</p><p>n=-N-1 4</p><p>LS e=i+k+=2]] a,</p><p>N+41 4</p><p>k=-N+1</p><p>ans 1 dae]</p><p>4 ae</p><p>= A — LoN+De — Lo-iN+:</p><p>N+1|2 4 4</p><p>a 2 (N +1z</p><p>- N41 2</p><p>6.6 PROPOSIÇÃO. Os núcleos de Féjer (Kn) formam uma identi-</p><p>dade aproximada.</p><p>sec. 6] Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet 79</p><p>DEMONSTRAÇÃO: De (6.5) é claro que Ky € Cper([—-7,7]) e, do</p><p>Lema 6.5, Kw > 0, qualquer que seja N. Como</p><p>1 1 [7 ikz d Lo se k=0</p><p>— e” dz =</p><p>(6.10) 27 Ja O se k£0</p><p>segue que</p><p>N LE É "a — — 1— tkz =1. > | Kn(o) da >( TH) 5 f: dy =1</p><p>Falta apenas mostrar que (Kwn) satisfaz (6.8) para todo 6 E (0,7).</p><p>De fato, se ó € (0,7), usando a positividade e a periodicidade de</p><p>Kw e o Lema 6.5, obtemos</p><p>—6</p><p>0 < Ku(2) do + | Kn(z) dz</p><p>ô =</p><p>- [O xentear+ / “ Kula)de</p><p>[ 1 sen?( NE)</p><p>5 N+1 sen?(x/2)</p><p>dz</p><p>< 1 [o dz</p><p>2 N+41 sen2(x/2)</p><p>2n—6 = (tos</p><p>Na1t370</p><p>quando N > +o0. E</p><p>Usando as Proposições 6.4 e 6.6, obtemos facilmente:</p><p>6.7 TEOREMA. (Féjer) Se f E Cper([-7,7]), sua série de Fourier é</p><p>uniformemente somável no sentido de Cesãro, i.e.,</p><p>on(D = frKn> f</p><p>uniformemente quando N > +00.</p><p>80 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>O teorema de Féjer nos permite recuperar a função através</p><p>de sua série de Fourier, mesmo que a série divirja! Um corolário tri-</p><p>vial deste teorema é o teorema de aproximação de Weierstrass: Toda</p><p>função contínua e periódica de período 2x pode ser uniformemente</p><p>aproximada por um polinômio trigonométrico. (Um polinômio tri-</p><p>gonométrico é uma combinação linear finita, com coeficientes com-</p><p>plexos, das funções O;(x) = etz, k € Z.) Um outro corolário é a</p><p>convergência na norma L? da série de Fourier.</p><p>6.8 TEOREMA. Seja f € Cper([-7,7]). Então sua série de Fourier</p><p>converge a f na norma Lº, ie.,</p><p>(6.11) dim |f — > (kd) =0</p><p>Ik|<n 2</p><p>Além disso vale a identidade de Parseval (5.7) (ou, equivalentemente,</p><p>(5.8); veja o Corolário 5.3).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja Sn a n-ésima soma parcial da série de Fou-</p><p>rier de f (veja (3.1)). Então, pela Proposição 3.1,</p><p>If = Sal <I1f — on( PIB.</p><p>Mas</p><p>If = (Allo = f (a) — on(fiz)fÉ de <2m1|f — on(flão —0</p><p>quando n — +oo, o que prova (6.11). Quanto à identidade de</p><p>Parseval, usando o teorema de Pitágoras (1.22) e as relações de or-</p><p>togonalidade (2.11), obtemos</p><p>2 2 a</p><p>Sal =2m 55 [fe];</p><p>k|<n</p><p>tomando então o limite quando n — +oo e usando o fato que Sa — f</p><p>na norma L?,</p><p>la = 27). a</p><p>sec. 6) Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet 81</p><p>Um corolário importante do Teorema 6.8 é a injetividade da</p><p>transformada de Fourier f € Cper([--7,7]) — f, i.e., à unicidade da</p><p>série de Fourier.</p><p>6.9 COROLÁRIO. Sejam f,g E Cper([-7,7])e suponha que f(k) =</p><p>5(k) para todo k E Z. Então f(z) = g(xz) para todo x E R.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Como h = f —g € Crer([-7,1]) e A(k) = O para</p><p>todo k € Z temos, pela identidade de Parseval (5.7),</p><p>+oo . 2</p><p>lil=2" 55 [km] =0,</p><p>k=-co</p><p>ou seja,</p><p>x</p><p>/ ih(2)Ê de = 0.</p><p>É</p><p>Logoh=0,1.e,f=g.1</p><p>A N-ésima soma parcial Sn(f) da série de Fourier de f</p><p>também pode ser escrita em termos de convolução:</p><p>N N r</p><p>Sn(fia)= 5) fete= 5 et [rue dy</p><p>k=-N k=-N TJ-z</p><p>1 fº ileso) =| f | = d</p><p>27 Jr y Rm y</p><p>= 3 |. fwWDnte-s)dy</p><p>= (f + Dn)(z),</p><p>onde</p><p>N .</p><p>(6.12) Dn(z)= >, et</p><p>. k=-N</p><p>é o núcleo de Dirichlet de ordem N. De fato, a demonstração clássica</p><p>do teorema de convergência pontual é feita através de um estudo</p><p>82 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. II</p><p>cuidadoso de f + Dx quando N — +oo (veja o Exercício 17 ao final</p><p>deste capítulo). Para isto é preciso estudar o comportamento dos</p><p>núcleos Dy. Duas de suas propriedades importantes são</p><p>(6.13)</p><p>sen((N + 1/2)x)</p><p>OLA 2 In +</p><p>Dn(zx) = sen(x/2) q7 kr, keZ</p><p>2N+1 se v=2kr paraalgum ke Z</p><p>rr</p><p>="</p><p>À on+i</p><p>DA fx)</p><p>ARO UP -</p><p>Figura 6</p><p>A dificuldade da demonstração clássica da convergência pon-</p><p>tual é que os núcleos (Dn) não formam uma identidade aproxi-</p><p>mada. Note que Un é uma função par e, à medida que N cresce,</p><p>Dn(0) = 2N +1 — +oo enquanto Dw(x) oscila cada vez mais ra-</p><p>pidamente em (—7,0) e (0,7). Dessa forma, se a função f for “bem</p><p>comportada”, espera-se que as oscilações rápidas de Dx “longe” da</p><p>origem façam com que a contribuição dominante para a integral</p><p>Swlfia)= e [ HUDate = 9) dy</p><p>sec. 6] Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet 83</p><p>venha de uma vizinhança arbitrariamente pequena de z. Numa tal</p><p>vizinhança f(y) =» f(x), de modo que</p><p>Sw(f:2) =» LE [” Duo u)dy= (0)</p><p>Para uma discussão bem clássica de séries de Fourier, veja</p><p>[17]; este livro é também interessante por conter um estudo bastante</p><p>detalhado de integrais de Riemann (própria e imprópria), especial-</p><p>mente no que se refere à troca de ordem de integrais com limites,</p><p>séries e outras integrais, e à diferenciação sob o sinal de integração</p><p>([L7; Capítulo VI)).</p><p>Existem outros conceitos da somabilidade, por exemplo so-</p><p>mabilidade no sentido de Abel onde consideramos a média geomé-</p><p>trica de razão r € [0,1),</p><p>+00</p><p>(6.15) 35 fk)ritlette</p><p>k=-oo</p><p>e estudamos o limite quando r 7 1. Note que a série (6.15) converge</p><p>absoluta e uniformemente se r < 1 pois</p><p>> |ittritete| <;</p><p>k=-—oo</p><p><> = fl Ê ritl < 00.</p><p>=—00</p><p>Podemos então reescrever (6.15) na forma</p><p>=tky jk] EE [ ota nto</p><p>k=-—oo</p><p>=> [. ro| > ai dy</p><p>k=-—oo</p><p>=(f+Prz)</p><p>84 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>onde</p><p>+oo |</p><p>(6.16) Pi(x) = > ltleitz</p><p>k=-co</p><p>é o núcleo de Poisson, 0 <r < 1. É fácil somar a série em (6.16)</p><p>para obter</p><p>1-r?</p><p>(61) MO = Dara rr 0<r<l.</p><p>6.10 PROPOSIÇÃO. Os núcleos de Poisson (P,:r E [0,1)) formam</p><p>uma identidade aproximada.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: De (6.17) é claro que P, € Cper(|-7,7]) e P-. ></p><p>0. Como a série em (6.16) converge uniformemente, usando (6.10)</p><p>obtemos</p><p>+oo</p><p>1 [7 1 [Mo</p><p>— Il — Jk| O ikz — 57 po) do ) r =| e" dy = 1.</p><p>k=-—oco ="</p><p>Seja é € (0,7). Então O< cosó<1e,se0€ [-7,-ó]U [6,7],</p><p>0 < cos6 < cosó,</p><p>logo</p><p>0<1-2rcos6+r?<1-2rcos0+r*</p><p>e, portanto,</p><p>o< [ Blejdo+ [ Puoja |</p><p>=”</p><p>1-r? << TI</p><p>=“1-2rcosó+r? >0</p><p>quandor 71.5</p><p>sec. 7] Aplicações 85</p><p>Logo, se f € Cper([—7,7]), a série de Fourier de f é unifor-</p><p>memente somável no sentido de Abel. O núcleo de Poisson é muito</p><p>importante. Chegaremos a ele de outra maneira na oitava seção, ao</p><p>tentar resolver o problema de Dirichlet no disco unitário pelo método</p><p>de separação de variáveis.</p><p>Observe que funções f periódicas de período 27 podem ser</p><p>identificadas, de maneira natural, com funções g definidas no círculo</p><p>unitário T= ([z € C:|z|= 1) viaf(0) = g(e'?). Toda a teoria de</p><p>séries de Fourier fica bastante natural neste contexto. Desenvolvere-</p><p>mos no Capítulo V uma teoria análoga a deste e do próximo capítulo</p><p>para funções f: R — C não-periódicas. Aliás, tanto a nomenclatura</p><p>“transformada de Fourier” quanto a notação f são usualmente as-</p><p>sociadas a este segundo caso. Nosso objetivo em usar a mesma</p><p>nomenclatura e a mesma notação é enfatizar as semelhanças exis-</p><p>tentes entre as duas teorias, das séries e das integrais de Fourier:</p><p>de fato as duas são exemplos particulares de uma estrutura mais</p><p>geral, a análise harmônica em grupos abelianos localmente compac-</p><p>tos. Tanto o círculo quanto a reta são exemplos de grupos abelianos</p><p>localmente compactos mas existe uma diferença crucial: o círculo</p><p>é compacto e a reta não. Isso fará com que a série de Fourier no</p><p>círculo se transforme, no caso da reta, em uma integral. O leitor</p><p>interessado deve consultar [72] e [49]; este último contém, no seu</p><p>primeiro capítulo, um estudo bastante completo de somabilidade e</p><p>identidades aproximadas no caso do círculo.</p><p>7. Aplicações</p><p>Nosso objetivo nesta seção é justificar as soluções obtidas para os</p><p>problemas (11.1.1) e (11.2.9). Como já observamos anteriormente,</p><p>dada uma função f E C([0,7]) com f(0) = f(m) = 0, podemos</p><p>86 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>extendê-la a uma função impar g E Cper([—7, 7]), i.e.</p><p>g(x) = f(x) se zE[0,7])</p><p>(7.1) g(x)=-f(-z) se zE(-7,0)</p><p>g(z+27)=9(x) VzER</p><p>e a série de Fourier de g é uma série</p><p>em senos. De fato, como f é</p><p>contínua com f(0) = f(7) = 0, é claro que g é contínua; q é periódica</p><p>2 “ . . ”</p><p>e ímpar por construção e seus coeficientes de Fourier são dados por</p><p>= | doe it do</p><p>="</p><p>1 [” A fr</p><p>=| g(x) cos(kz) dz — i— f. 9(0) sen(ta) de</p><p>="</p><p>= 1 / f(x) sen(kz) dz,</p><p>logo</p><p>n</p><p>> mkt: = 3 9(k)cos(kz) + isen(kz))</p><p>k=1 k=-n</p><p>+ >5H-kcos(kz) — isen(kz))</p><p>k=1</p><p>= > 2:9(k) sen(kz)</p><p>k=1</p><p>É [fi sen(ia) do senha)</p><p>k=1</p><p>e portanto a série de Fourier de g é a série em senos dada por</p><p>(1.2) SE/ festa) o psi</p><p>sec. 7] Aplicações 87</p><p>Vamos considerar agora o problema (11.1.1) de condução de</p><p>calor em uma barra (com £ = 7), i.e.</p><p>u E CH(0,1) x (0,00)) 1 C((0,7] x [0,00)),</p><p>du =ô0u em (0,7)x (0,00),</p><p>u(O,t)=u(m,t)=0, t>0,</p><p>u(z,0) = f(x)</p><p>(7.3)</p><p>onde f € C([0,7]) é uma função dada com f(0) = f(r) = 0. Antes</p><p>de mais nada é interessante reobter o candidato a solução usando</p><p>séries de Fourier mas sem usar explicitamente o método de separação</p><p>de variáveis. À idéia é a seguinte: para cada t > 0, a função vi(x) =</p><p>u(x,t) está em C([0,7]) e satisfaz v,(0) = vs(7) = 0. Em vista dos</p><p>comentários acima, é natural procurar uma solução da forma</p><p>(7.4) u(z,t) = vi(x) = > be (t) sen(kx)</p><p>k=1</p><p>Note que a série em (7.4), caso convirja, satisfaz automaticamente as</p><p>condições de contorno. Para determinar os coeficientes br (t) vamos</p><p>substituir (7.4) na EDP em (7.3), obter uma EDO para cada by(t)</p><p>e impor a condição inicial. Formalmente temos</p><p>(7.5) = = > o(s) sen(kx),</p><p>. k=1</p><p>Ou 2</p><p>(7.6) 372 & >X-k be (t) sen(kx).</p><p>k=1</p><p>Impondo a EDP, segue que</p><p>oo o</p><p>(7.7) > bk(t) sen(kz) = 3 (—k?)by(t) sen(ka)</p><p>k= k=1 1</p><p>88 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>e portanto</p><p>(7.8) =), k=1,2,...</p><p>Impondo as condições iniciais, obtemos</p><p>(7.9) f(x) = u(7,0) = > br(0) sen(kz).</p><p>k=1</p><p>A série em (7.9) é a série de Fourier da (extensão ímpar da) função</p><p>f, logo</p><p>(7.10) be(0) = 2[ fly) sen(ky)dy, k=1,2,...</p><p>Como sabemos da teoriã das EDO's, a única solução da equação</p><p>(7.8) com as condições iniciais (7.10) é dada por</p><p>(7.11) belt) = E [ro sen(ky) do] et</p><p>Consequentemente, o candidato a solução é</p><p>(712) — ulzt)= >, El F(y) sen(ky) au sen(ka)e Ft.</p><p>k=1 7 Jo</p><p>Note que o candidato a solução (7.12) coincide com o obtido no</p><p>Capítulo II pelo método de separação de variáveis. Vamos então</p><p>usar os resultados anteriores para provar que (7.12) é solução de</p><p>(7.3).</p><p>7.1 TEOREMA. Seja f E C1([0,7]) tal que f(0) = f(m) = 0. Então</p><p>a série em (7.12) converge uniformemente em [0,7] x [0,00) e define</p><p>uma função u € CA((0, 7) x (0,00)) que é solução do problema (7.3).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Como f E C!([0,7]) com f(0) = f(x) = 0, é</p><p>claro que sua extensão ímpar periódica g dada por (7.1) está em</p><p>sec. 7] Aplicações 89</p><p>Cher([—7, 7]) e portanto, pelo Corolário 5.3, a série de Fourier de q</p><p>converge uniformemente para g; além disso, pelo Teorema 4.1, esta</p><p>série converge absolutamente. Mas</p><p>a) = [ 160) en(hy) dy</p><p>e a série de Fourier de g é dada por (7.2). Logo, pelo teste</p><p>M de Weierstrass, a série em (7.12) converge uniformemente em</p><p>[0,7] x [0,00), satisfaz a condição inicial u(x,0) = f(x), ze€[l0,7]</p><p>e as condições de contorno u(0,t) = u(m,t) = 0, t>0. Dacon-</p><p>vergência uniforme, é claro que u € C([0,7] x [0,00)). Por outro</p><p>lado é fácil ver que, quaisquer que sejam £,m E Z, Lm>0,</p><p>otim ll < t+2m —k?t duidpa < |bi(0)| k e (be(0) sen(kz)e= 8!)</p><p>e portanto a série</p><p>SO ottm ps</p><p>> datam (bh (0) sen(kx)e”* *)</p><p>k=1</p><p>converge uniformemente em [0,7] x [71, 75] quaisquer que sejam O <</p><p>f < Ta. O teorema de derivação de séries termo a termo (veja o</p><p>Exercício 2 do Capítulo II) mostra então que u € C((0, 7) x(0,00))</p><p>e que podemos derivar a série termo a termo em (0,7) x (0,00) para</p><p>obter</p><p>Do áz(tn) sen(kz Je")</p><p>ôu</p><p>ot</p><p>bj</p><p>:</p><p>ui</p><p>(=k?)bk(0) sen(kx)e *"t</p><p>x II 1</p><p>Daga(h (0) sen(kz)e* 89</p><p>7</p><p>o</p><p>s</p><p>B s</p><p>O</p><p>8 to</p><p>90 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>e a EDP em (7.3) é satisfeita. E</p><p>Antes de prosseguir, cabem alguns comentários. Em primeiro</p><p>lugar, a solução do problema (7.3) é única — o leitor é convidado a</p><p>provar este fato no Exercício 18 ao final deste capítulo. O Teorema</p><p>7.1 deixa a desejar no sentido que supusemos f E € (0, 7]), quando</p><p>na verdade estávamos interessados inicialmente em funções apenas</p><p>contínuas. Observe que, se f € C([0,7]), os coeficientes bk(0) são</p><p>todos limitados, em módulo, por 2 ||f||,, onde ||-|l, é a norma L! em</p><p>C([0, 7]) e portanto o fator et garante a convergência uniforme da</p><p>série em (7.12) em qualquer conjunto da forma [0, 7] x [7,72], 0<</p><p>T, < To. Disso segue, como acima, que a EDP é satisfeita em</p><p>(0,7) x (0,00); as condições de contorno são também satisfeitas.</p><p>Portanto toda a dificuldade reside na convergência da série para</p><p>t = 0. Lembramos que a série de Fourier de f pode divergir. Nesse</p><p>caso (7.12) define a função u apenas em [0,7] x (0,00). É possível</p><p>definir u para t = O tal que u € C([0,7] x [0,00)) e u(z,0) = f(x)?</p><p>De fato isso é possível. Mais precisamente, vale o seguinte resultado:</p><p>7.2 TEOREMA. Seja f € C([0,7]) com f(0) = f(r) = 0. Então a</p><p>função u(x,t) definida por (7.12) em [0,7] x (0,00) converge unifor-</p><p>memente em [0,7] para f(x) quandot | 0, i.e.</p><p>(7.13) lim up lu(x,t) — f(x)| = 0.</p><p>Este resultado pode ser demonstrado com as técnicas que</p><p>desenvolveremos no capítulo V (veja o Exercício 3 do Capítulo V).</p><p>O leitor interessado deve consultar [87] (especialmente o Teorema,</p><p>10 do Capítulo V) e a Seção 1.7 de [25].</p><p>Vamos considerar agora o problema (I1.2.9) da corda vibrante</p><p>com extremos fixos, i.e.</p><p>u E C(0,7) x (0,00)) N C([0,7] x [0,00)),</p><p>Ou =c?ôu em (0,7) x (0,00),</p><p>(7.14) u(0,t)=u(m,t)=0, t20,</p><p>u(z,0)= f(x), zelo],</p><p>du(x,0)=g(z), zelo),</p><p>sec. 7] Aplicações 91</p><p>onde f E C?([0,7]) e g e C!([0, 7]) são funções dadas que satisfazem</p><p>as condições de compatibilidade f(0) = f(7) = f"(0) = f'(m) =</p><p>g(0) = g(m) = 0. A solução de (7.14) é única (Exercício 19). Para</p><p>obtê-la, é conveniente dividir (7.14) em dois problemas: o primeiro</p><p>com condições iniciais</p><p>(115) um0)=f(2), du(2,0)=0, 2€ 10,7)</p><p>e o segundo com condições iniciais</p><p>(7.16) u(z,0)=0, Ju(z,0)=g(x), xze(0,7].</p><p>É fácil verificar que a solução de (7.14) é a soma das soluções destes</p><p>dois problemas. No que se segue vamos considerar apenas o primeiro</p><p>problema; o segundo é deixado-a cargo do leitor (Exercício 20).</p><p>Como vimos na segunda seção do capítulo anterior, a solução</p><p>formal de (7.14) com g = 0 é dada por</p><p>(7.17) u(z,t) = > Ar cos(ckt) sen(kx),</p><p>k=1</p><p>onde os coeficientes A; são determinados pela condição inicial, i.e.</p><p>(7.18) f(x) => Apsen(kz).</p><p>k=1</p><p>É claro então que</p><p>(7.19) Ap = 2. F(y)sen(ky)dy, k=1,2,...</p><p>Observe que a convergência da série (7.17) é mais delicada do</p><p>que a da série (7.12) encontrada no problema anterior. Os termos da</p><p>série em (7.17) são puramente oscilatórios e portanto toda a respon-</p><p>sabilidade de convergência cai sobre os coeficientes As. Em vista dos</p><p>92 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>Teoremas 4.1 e 5.1, é claro que, para f suficientemente diferenciável,</p><p>a série (7.17) é de fato solução de (7.14) com g = 0. No entanto,</p><p>se f € C?([0,7]), não podemos derivar a série termo a termo duas</p><p>vezes (a série das derivadas segunda pode divergir) como fizemos no</p><p>caso da equação do calor. Mas um pouco de reflexão salva a situação</p><p>de uma maneira extremamente elegante. Usando a fórmula para o</p><p>seno de uma soma de ângulos obtemos facilmente que</p><p>sen 0 cos = alsen(á +) + sen(9 — 9)).</p><p>Podemos então reescrever (7.17) na forma</p><p>O</p><p>(7.20) u(2,t) = 554 sen(k(x + ct)) + DA: sen(k(z — ci)).</p><p>Como vimos anteriormente, a série em (7.18) é de fato a série de</p><p>Fourier da extensão ímpar periódica h de f; se f € C?([0,7]) com</p><p>f(0) = f(7) = f"(0) = f'(7) = 0, é claro que h é de classe C?.</p><p>Portanto (7.20) fica</p><p>h(z +ct)+ h(z — ct)</p><p>(7.21) u(z,t) = 5</p><p>Observe que, se a condição f'(0) = O não for satisfeita, então a</p><p>derivada segunda de h tem descontinuidades nos</p><p>pontos da forma</p><p>2kr, k € Z, e essas descontinuidades se propagam ao longo das</p><p>semiretas 2kr + ct, t > 0. Nesse caso as derivadas parciais de</p><p>segunda ordem de u seriam descontínuas ao longo destas semiretas</p><p>que são as curvas características da equação de onda em (7.14).</p><p>Agora é fácil provar:</p><p>7.3 TEOREMA. Sejam f € C*([0,7]) com f(0) = f(n) = f(0) =</p><p>f"(m) = 0 e h sua extensão ímpar e periódica de período 27. Então</p><p>(7.21) é solução de (7.14) com g = 0.</p><p>sec. 8) O Problema de Dirichlet no Disco Unitário 93</p><p>8. O Problema de Dirichlet no Disco Unitário</p><p>Nesta seção vamos aplicar os conhecimentos adquiridos até agora</p><p>para analisar um problema envolvendo uma equação elítica, mais</p><p>especificamente, a equação de Laplace.</p><p>Seja 92 € R” um domínio (i.e., aberto e conexo) limitado com</p><p>fronteira 09. O problema de Dirichlet (interior) clássico consiste em</p><p>procurar soluções u = u(71,...,Zn) de</p><p>uecAMNCN)</p><p>(8.1) Au=0 em Q</p><p>u lon= f</p><p>onde f € C(ôS) é dada e</p><p>é o operador laplaciano. Fisicamente, este problema consiste em</p><p>calcular o potencial eletrostático em £? conhecendo-se o potencial</p><p>em 99. No Capítulo VII estudaremos este problema e provaremos</p><p>a unicidade de soluções e a dependência contínua no dado f.</p><p>Nosso objetivo no momento é resolver explicitamente o pro-</p><p>blema (8.1) no caso em que n = 2 e 9) é o disco unitário, i.e.</p><p>Q=((zy)ceR?:z+y <1).</p><p>Tendo em vista a simetria de 9 é conveniente introduzir coordenadas</p><p>polares</p><p>(8.2) ( z=rcosô</p><p>y=rsenô rel(0,1) 0€R,</p><p>94 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. III</p><p>e reinterpretar o problema em [0,1] x R. Vamos então definir</p><p>v(r,9) = u(rcos6,rsen6), rel0,1), 9€ER.</p><p>Como u € C(9), é claro que v E C([0,1] x R) e, para cada r € [0,1]</p><p>fixo, v(r,-) E Cper([-7,7]). Definindo</p><p>g(9) = f(cos0,send), 0€ER,</p><p>é claro que g € Cper([-7,7]). Utilizando a expressão (11.2.31) do</p><p>laplaciano em coordenadas polares, é fácil verificar que v satisfaz</p><p>ve C([0,1)x RINC([0,1] x R)</p><p>v(r,0 +27) =v(r,0), relo,1), 0€ER</p><p>(8.3) 2020 | Ou | Ou</p><p>Pata tan 0<r<l, 0€ER</p><p>v(1,9) = g(8)</p><p>Note que a EDP em (8.3) é bem mais complicada do que as consi-</p><p>deradas anteriormente: ela tem coeficientes variáveis que se anulam</p><p>em r = 0. Devemos, portanto, esperar dificuldades adicionais. Não</p><p>obstante, ainda é possível separar as variáveis neste caso (verifique!).</p><p>Obteremos, no entanto, um candidato a solução diretamente utili-</p><p>zando nossos conhecimentos de séries de Fourier. Como v(r,:) é</p><p>periódica de período 27, vamos procurar soluções da forma</p><p>+oco</p><p>(8.4) v(r,0)=wr(0)= >, exrje't?.</p><p>k=-—oco</p><p>Derivando (8.4) termo a termo (formalmente), impondo a EDP e</p><p>utilizando as relações de ortogonalidade (2.11) das funções Bk(0) =</p><p>e'kê obtemos</p><p>(8.5) rPe(r)+redr)-Ker)=0, ke Z.</p><p>Para cada k E Z, (8.5) é uma equação de Euler de 2º ordem e apre-</p><p>senta um dos exemplos mais simples dos chamados pontos singulares</p><p>sec. 8] O Problema de Dirichlet no Disco Unitário 95</p><p>regulares: neste caso, r = O (veja o Capítulo 4 de [14], [20] e [81]).</p><p>Devido à sua forma, é natural tentar soluções do tipo</p><p>(8.6) cur) =rº</p><p>onde o é uma constante a determinar. De fato, substituindo (8.6)</p><p>em (8.5), obtemos</p><p>r'o(o-D)+r'o-k?r” =0</p><p>e portanto</p><p>o? -k2 =0,</p><p>ie. o = +k. Então, se k % 0, temos duas soluções linearmente</p><p>independentes r* e r”*, de modo que a solução geral de (8.5) é</p><p>(8.7) cu(r) = aprt + der” *</p><p>Por outro lado, como v € C([0, 1] x R), estamos apenas interessados</p><p>k nas soluções de (8.5) que são limitadas em [0,1]; como r* — oo se</p><p>k < O quando r — 0, vamos considerar apenas as soluções</p><p>(8.8) ce(r) = caril,</p><p>Note que, se k = 0, a solução geral de (8.5) é</p><p>(8.9) co(r)=a Inr +,</p><p>portanto as únicas soluções limitadas são as constantes e (8.8) é</p><p>também válida para k = 0. Substituindo em (8.4), concluimos que</p><p>+oo</p><p>(8.10) v(r,0) = w,(0) = >; cprlBleiko,</p><p>k=-—oo</p><p>Impondo a condição de contorno, obtemos</p><p>+oo</p><p>(8.11) uL)=g(0)= >, cet?</p><p>k=-—oo</p><p>96 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>À série em (8.11) é então a série de Fourier de g e, portanto, (compare</p><p>com (6.15)) a série em (8.10) é a média geométrica de razão r da</p><p>série de Fourier de g. Logo,</p><p>(8.12) cr = 9(k) = 5 f g(t)e dt,</p><p>(8.13) v(r,0) = (g + P,)(0),</p><p>onde P,(9) é o núcleo de Poisson (do disco unitário) já definido na</p><p>sexta seção, 1.e.</p><p>+oo</p><p>. l-r . (8 — Ih] ko COD</p><p>(8.14) Pr(ô) » re 1-2rcos0 +r?</p><p>2</p><p>0O<r<al.</p><p>k=-—oo</p><p>Como (P,:r € [0,1)) é uma identidade aproximada (Proposição</p><p>6.10), mesmo que a série de Fourier de g não convirja pontualmente,</p><p>pela Proposição 6.4, v(r,0), 0 < r < 1, dada por.(8.10) satisfaz a</p><p>condição de contorno no sentido que v(r,0) — 9(9) uniformemente</p><p>quando r 7 1,i.e.</p><p>(8.15) lim sup |v(r,0) — 9(9)| = 0.</p><p>mi 9eR</p><p>É fácil ver que P(r,0) = P,(8), como função em [0,1) x R,</p><p>é de classe CO e satisfaz AP = 0. Derivando então sob o sinal</p><p>de integral (veja o Exercício 4 do Capítulo II), é fácil verificar que</p><p>v(r,6) definida por (8.13) também tem laplaciano nulo. Obtemos</p><p>então:</p><p>8.1 TEOREMA. A função</p><p>(9+*P-)(0) se rel0,1), 9€ER</p><p>(8.16) v(r,9) = ( 9(8) se r=1, 06€R</p><p>é de classe Cº em [0,1) x R e é solução do problema (8.3).</p><p>Exercícios 97</p><p>É claro que, então, u(x, y) = v(r,0) é solução de (8.1). Obser-</p><p>vamos também que o problema (8.3), assim como (8.1), tem solução</p><p>única. À demonstração desse fato é bastante simples uma vez conhe-</p><p>cido o princípio do máximo (veja o Capítulo VII).</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Seja lt? =t?(Z), 1<p< oo espaço das segiiências com-</p><p>plexas a = (an)iS co tais que</p><p>+oo</p><p>>, [is ima > lan)? < +00, se 1<p<o,</p><p>n=—c0 |nI£N</p><p>sup Jan| < +oo, Se p=00.</p><p>nEZ</p><p>(1) Mostre que £! é um espaço vetorial e que</p><p>+oo</p><p>lolh = >, lanl</p><p>n=—00</p><p>define uma norma em £!. Prove que £1, munido desta</p><p>norma é um espaço de Banach.</p><p>(1i) Mostre que £º é um espaço vetorial, que</p><p>alo = sup lan |</p><p>nEZ</p><p>define uma norma em £ºº e que £º é um espaço de Banach</p><p>em relação a essa norma.</p><p>(11) Sejam 4 e B números reais positivos. Mostre que, se</p><p>O<s<l,</p><p>AºBIT* < As+B(l-s)</p><p>98 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>(iv)</p><p>(v)</p><p>(vi)</p><p>e a igualdade é válida se e somente se 4 = B.</p><p>Suponha que 1 < p< oo e seja q tal que 5 + 5 =1.</p><p>Use (iii) para mostrar que se «a = (Qn)nez Et e B =</p><p>(Bn)nez E 4º, então</p><p>So o oo</p><p>> lanful < >» an + > 18n|º</p><p>n=—00 n=—00 n=—c0</p><p>e a igualdade é válida se e somente se [an|? = |Bn|º para</p><p>todo n E Z.</p><p>Substitua an por anw”! e Bn por Baw na inequação</p><p>acima, w € C, w £ 0, e minimize a função</p><p>o</p><p>1 1 =</p><p>Fu) = P >, lan + qu >, |Bn]º</p><p>n=——00 n=-—-00</p><p>para provar a desigualdade de Holder: se a = (Qn)nez €</p><p>e, B = (Bn)nez € ta, > + 5 = 1, então (anBn)nez e</p><p>[8</p><p>+oo +oo ; +oo q</p><p>E labul< | s a | o a!</p><p>n=—00 n=—00 n=—0o0</p><p>e a igualdade é válida se e somente se existe yu > O tal que</p><p>lan [P = uulBn]".</p><p>Use a desigualdade de Hôlder para provar a desigualdade</p><p>de Minkowski: se a = (Qn)nez € É = (Qn)nez estão em</p><p>tP, 1I<p<oo, então</p><p>1 1 1</p><p>P +oo Pp +oco Pp</p><p>< | Do lomPf +15, a</p><p>+oo</p><p>| > lan + Bn|?</p><p>n=—o0</p><p>' Exercícios 99</p><p>(vii) Use a desigualdade de Minkowski para provar que, se 1 <</p><p>Pp < oo, então £? é um espaço vetorial normado em relação</p><p>à norma</p><p>1</p><p>+oo P</p><p>Iall, = | >» af</p><p>n=-—00</p><p>Mostre que £? é de fato um espaço de Banach.</p><p>Seja co = co(Z) o espaço das sequências complexas «a =</p><p>(ar)kez tais que</p><p>lim Ak — 0.</p><p>|k|—+o0</p><p>Mostre que co é um subespaço fechado de £º (isto é, se</p><p>(a" Ji, € co converge a a E £º, então a E co). Conclua</p><p>que co é um espaço de Banach em relação à norma ||:|| .-</p><p>Seja E um espaço de Banach e seja E' o conjunto de todas</p><p>as transformações lineares T:E — C contínuas. Se T E E',</p><p>defina</p><p>IPI = sup [7x].</p><p>zEE</p><p>lzll=1</p><p>Mostre que ||-|| definida acima é uma norma em E' em relação</p><p>à qual E' é um espaço de Banach. O espaço E' é chamado o</p><p>dual (topológico) do espaço de Banach E.</p><p>O objetivo deste problema é obter o dual de £?,1I <p <00,e</p><p>o de co.</p><p>(1) Sejam 1<p<ocoeq tal que S+i = 1. Mostre que</p><p>+oo cada sequência</p><p>8 = (Pn)i<co em 4! define um elemento</p><p>Ta € (4º)! pela fórmula '</p><p>+oo</p><p>To(a)=(0,8)= 3) ana.</p><p>n=—c0</p><p>Prove que todos os elementos do espaço dual de £? são</p><p>dessa forma, com</p><p>ITell = 181, -</p><p>100 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. II</p><p>(Podemos então identificar o dual de £? com 4º, ie.</p><p>(LP)! = £º, O resultado é falso para p = 00.)</p><p>(1) Mostre que cy = 41.</p><p>5. Prove que C([a, b), Il-llp), 1<p< co, não é um espaço de</p><p>Banach.</p><p>6. Mostre que C([a, b), ||:||5o) é um espaço de Banach.</p><p>7. Seja VW um espaço vetorial e (- | -) uma forma sesquilinear</p><p>positiva em V.</p><p>(1) Prove que |jvl) = (v|v), v E V, define uma semi-</p><p>norma em V.</p><p>(ii) Mostre que a desigualdade CBS (equação (1.21)) e o Teo-</p><p>rema de Pitágoras (equação (1.22)) são válidos.</p><p>(iii) Mostre que se (- | -) for um produto interno então |]:|</p><p>define de fato uma norma em V.</p><p>8. Seja (V,||:||) um espaço vetorial normado. Demonstre que a</p><p>norma de V provém de um produto interno se e somente se vale</p><p>a identidade do paralelogramo (1.23). (Sugestão: para provar</p><p>que a identidade do paralelogramo implica que a norma provém</p><p>de um produto interno, mostre primeiro que |Ju+v +w||” —</p><p>juto-w = Juro? = uol + Ipo+ol? = |o=ol?</p><p>quaisquer que sejam u,v, tw E V; depois mostre que |jau + ul —</p><p>au — v||? =elju+ v||? — eu — v|j? quaisquer que sejam a E</p><p>R, uvevV.)</p><p>9. Seja K um espaço de Hilbert e H' seu dual. Então existe uma</p><p>transformação linear T:H — H' definida por</p><p>Tey=(r]y), vyex,</p><p>onde (:,-) é o par de dualidade entre He H' (isto é,sep ec H'</p><p>ezer, (px) = y(z)) e (- | -) é o produto interno em</p><p>H. Prove que T é uma bijeção isométrica. (Este resultado é</p><p>conhecido como o lema de F. Riesz.)</p><p>10.</p><p>11.</p><p>12.</p><p>Exercícios 101</p><p>Sejam V e W espaços vetoriais normados e seja TV > W</p><p>uma transformação linear. Prove que as seguintes afirmações</p><p>são equivalentes:</p><p>(1) T é contínua em V;</p><p>“(i) T é contínua em 0 € V;</p><p>(ii) Je> O tal que [Tv <clv|) VWwev.</p><p>(Devido à propriedade (iii) é usual chamar os operadores linea-</p><p>.res contínuos de operadores limitados.)</p><p>Sejam V um espaço vetorial normado, E um espaço de Ba-</p><p>nach e B(V, E) a coleção de todas as transformações lineares</p><p>contínuas de V em E. Prove que B(V, E) é um espaço vetorial.</p><p>Se T:V > E está em B(V, E), defina</p><p>ITI= sup [To].</p><p>ev</p><p>fol=s</p><p>"Mostre que</p><p>mo o Pol IT] = sup 5—" =inf(C>o0|To|<CIpv|, VvevV) Feb Tol</p><p>e que |||: B(V, E) > R é uma norma em B(V, E). Prove que</p><p>B(V, E) é um espaço de Banach. (Note que este resultado ge-</p><p>neraliza o Exercício 3 acima.)</p><p>Calcule os coeficientes de Fourier das seguintes funções:</p><p>() f(x) = sen? x;</p><p>Gi)</p><p>Vm se I|z|<1/2</p><p>H)= 4</p><p>se 1/2<|z|<r</p><p>g(z+2n)=g(x), VrER;</p><p>(iii)</p><p>Mo-lo he aehlea</p><p>h(z+27n)=h(z), VrER.</p><p>102 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI</p><p>' Existe alguma relação entre g e h?</p><p>13. Seja f(z)=2use-r<r<7m, f(r+2m)=f(z) VER.</p><p>(1) Calcule a série de Fourier de f.</p><p>(ii) Use (i) para calcular 55524 cr,</p><p>(iii) Calcule 2 À</p><p>n=1 nº</p><p>14. Seja f:[-7,7] > C tal que f? e |f|? são integráveis e seja</p><p>(ck J+ez uma sequência complexa tal que</p><p>lim |f- > «ud =0.</p><p>nR—OO</p><p>lklxn 2</p><p>Mostre que cp = (f | Pk) VkEZ.</p><p>15. Demonstre a Proposição 6.1.</p><p>16. Prove o Teorema de Weierstrass: se f € Cla,b), então existe</p><p>uma sequência de polinômios (pn Jr, com pn — f uniforme-</p><p>mente em (a, b).</p><p>17. O objetivo deste problema é demonstrar o Teorema 5.1 da</p><p>forma clássica, usando o núcleo de Dirichlet. Seja f como no</p><p>enunciado do teorema e seja Dy o núcleo de Dirichlet, i.e. se</p><p>NeZ, ND>O,</p><p>Dn(z)= >, dt, zER.</p><p>EISN</p><p>(1) Prove que Dn satisfaz as equações (6.13) e (6.14).</p><p>(ii) Mostre que, qualquer que seja ó € (0,7),</p><p>lim Dnt(t) dt = 0.</p><p>N—+oo Js<hf|<m (8)</p><p>(iii) Mostre que, para cada « fixo, a função</p><p>F(t) = (Hx) — fla — ft</p><p>18.</p><p>19.</p><p>20.</p><p>Exercícios 103</p><p>é absolutamente integrável em [0,7] e que tDn(t) é limi-</p><p>tada em [0, 7].</p><p>(iv) Use os resultados dos ítens anteriores para provar o Teo-</p><p>rema 5.1.</p><p>Prove que o problema de condução de calor (7.3) tem no</p><p>máximo uma solução.</p><p>Prove que o problema da corda vibrante com extremos fixos</p><p>(7.14) tem no máximo uma solução.</p><p>Resolva (7.14) supondo que f = 0.</p><p>CAPITULO IV</p><p>SÉRIES DE FOURIER: DISTRIBUIÇÕES</p><p>PERIÓDICAS E APLICAÇÕES</p><p>Nosso objetivo neste capítulo é continuar o estudo das séries</p><p>de Fourier adotando um ponto de vista diferente e mais sofisticado</p><p>que o utilizado anteriormente. Como veremos, este novo ponto de</p><p>vista dá uma certa unidade à teoria e às aplicações desenvolvidas</p><p>nos capítulos precedentes. Além disso, o tratamento abaixo é um</p><p>modelo que se presta a muitas adaptações e generalizações em outras</p><p>situações de grande interesse.</p><p>À maior parte do material exposto neste capítulo se encontra</p><p>nas referências [11], [55] e [65], pelas quais ele foi muito influenciado.</p><p>1. Funções Periódicas de Classe co</p><p>Usando a notação do Capítulo III, seja P = Coa(l-n,7]), isto</p><p>é, a coleção das funções f:R — C infinitamente diferenciáveis</p><p>e periódicas de período 27. É claro que P é um subespaço de</p><p>Cher([-7,7)]) para todo k = 0,1,2,.... Em particular, P é um</p><p>espaço vetorial. Pode-se mostrar que P não é completo em relação .</p><p>à norma definida por (111.1.30), i.e.</p><p>(11) lou = 19] j=0</p><p>sec. 1) Funções Periódicas de Classe Cº 105</p><p>qualquer que seja k = 0,1,2,... (veja o Exercício 1 ao final deste</p><p>capítulo). Na verdade, não existe nenhuma norma “natural” em</p><p>relação à qual P é um espaço de Banach. No entanto existe uma.</p><p>“distância natural” em relação à qual P é completo. Para ver isso,</p><p>precisamos introduzir a noção de espaço métrico.</p><p>Um espaço métrico é um par (X,d), onde X é um conjunto</p><p>não vazio e d:X x X — [0,00) é uma métrica ou distância, ie.</p><p>satisfaz</p><p>0) dz,y)=062=y;</p><p>(ii) d(z,y) = dy), Veye X;</p><p>(ii) Ve,y,z EX,</p><p>(1.2) d(z,2) < d(z,y) + d(y, 2).</p><p>A condição (1.2) é conhecida como a desigualdade triangular.</p><p>É fácil ver que se V é um espaço vetorial normado então</p><p>(1.3) — dluo)=|u-ol</p><p>é uma métrica em V. Já vimos, portanto, muitos exemplos de</p><p>espaços métricos.</p><p>Em espaços métricos podemos falar de bolas abertas, con-</p><p>vergência de sequências, limites, continuidade, etc. Então, por exem-</p><p>plo, uma sequência (rn) € X converge a z E X se d(zn,z) > 0</p><p>quando n — oo; neste caso, escrevemos z, S zo z =</p><p>lima +oo Zn. Como no caso de espaços vetoriais normados, é fácil</p><p>ver que toda segiiência (rn) C X convergente é de Cauchy, i.e.</p><p>d(zn,tm) — O quando nm > too. A recíproca é falsa em ge-</p><p>ral, como vimos no caso de espaços vetoriais normados; um espaço</p><p>métrico onde toda seqiiência de Cauchy converge é dito completo.</p><p>Veremos mais adiante que, no caso de espaços vetoriais, nem toda</p><p>métrica provém de uma norma. Para maiores detalhes sobre espaços</p><p>métricos, o leitor deve consultar [9], [56], [71].</p><p>106 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Voltemos agora ao espaço P. Queremos definir uma métrica</p><p>“natural” em P. Observe que, como P € Cgel—m, r)), seria con-</p><p>veniente se a métrica em P levasse em consideração todas as semi-</p><p>normas [58 o fe?P, k=0,1,2,.... Não podemos simples-</p><p>mente tomar o limite quando k — +oo em (1.1) pois, se f(z) = sen x</p><p>por exemplo, ||fllo» = k + 1. Podemos, no entanto, definir uma</p><p>métrica usando todas as seminormas | o k=0,1,2,.... À</p><p>definição que daremos a seguir pode parecer pouco natural à pri-</p><p>meira vista, mas de fato é a métrica usualmente associada a uma</p><p>família enumerável de seminormas.</p><p>Dados f,g € P, definimos</p><p>o Og.</p><p>(1.4) df,9) = Sar led</p><p>A função d:P x P > [0,00) assim definida é uma métrica em P</p><p>(Exercício 4). Além disso, é fácil ver que fn 2 f se e somente</p><p>se || — 08) > 0 quando n - oo para todo k = 0,1,2,....</p><p>oo</p><p>“Observe que a métrica d não provém de nenhuma norma: se d(f,9) =</p><p>1 — gl| para alguma norma em ?P, de (1.4) segue que</p><p>ca pó</p><p>lfl=> = LET</p><p>mas isto não define uma norma pois, em geral, |af|l * l|alIlfIl,</p><p>a € C. Note também que a convergência em P é muito forte:</p><p>como vimos acima, a convergência da sequência</p><p>(fn) é equivalente</p><p>à convergência uniforme de ( 83 para todo k = 0,1,2,...; em</p><p>particular, se fn 2, f, então fa — f nas normas LP (em C([-7,7]))</p><p>para todo p € [1,00]. Como veremos no que segue, a métrica d é</p><p>extremamente conveniente para os nossos propósitos.</p><p>1.1 TEOREMA. (P,d) é um espaço métrico completo.</p><p>sec. 1] Funções Periódicas de Classe Cº 107</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Vamos provar apenas que (P,d) é completo; a</p><p>demonstração que d é uma métrica será deixada a cargo do leitor.</p><p>Seja então [(fn) uma sequência de Cauchy em P. Mas então, para</p><p>todo k = 0,1,..., (veja o Exercício 4) [4 — 169] — 0 quando</p><p>n;m — +00. Como Cper([-7,7]) é um espaço de Banach em relação</p><p>à norma ||| ,, existe gr E Cper([—7,7]) tal que Ps gr unifor-</p><p>memente, k = 0,1,.... Seja f = go. Pelo Exercício 2 do Capítulo</p><p>IH, fédeclasseCSe f6 -g;, k=0,1,2,.... Portanto fe P</p><p>fo — fm</p><p>oo</p><p>ASF</p><p>Vamos agora caracterizar completamente o comportamento</p><p>e — 0 quando n > oco. Logo, pelo Exercício 4,</p><p>da transformada de Fourier em P, f EP +» f. Pelo Teorema</p><p>HI.4.1, a série de Fourier de f(?) converge absoluta e uniforme-</p><p>mente qualquer que seja n = 0,1,2,.... Além disso, pela Proposição</p><p>1.4.2, sen > 1,</p><p>LA fmof=[UOPm], vez,</p><p>logo,</p><p>kl” <oo, n=1,2,...</p><p>+oo , +oo</p><p>15) DD jím|<o, So lh)</p><p>k=-—oco k=-—co</p><p>Inspirados por (1.5), definimos o espaço S(Z) das segúências rapida-</p><p>mente decrescentes, i.e. S(Z) é o espaço das segiências complexas</p><p>a = (ar)rez tais que</p><p>+oo +oo</p><p>(1.6) >, Jar | < o, >» lar | |k |” <oo, n= 1,2, "e.</p><p>k=-—oo k=-—oco</p><p>Vamos mostrar que, de fato, S(Z) é a imagem de P sob a</p><p>transformada de Fourier. Para isso, dada « = (ak)rez em S(Z),</p><p>108 | séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>definimos a transformada inversa</p><p>+oo</p><p>(1.7) alm)=fa)= >, aee, zER.</p><p>k=—oco</p><p>Usando (1.6) e o teste M de Wejerstrass, vemos que a série em</p><p>(1.7) e as obtidas derivando-a termo a termo n vezes convergem</p><p>uniformemente, logo pelo Exercício 2 do Capítulo II, f e P. Além</p><p>disso, da convergência uniforme segue que podemos integrar a série</p><p>em (1.7) para obter que f(k) = ak paratodo k E Z, ie. (4)" = f=</p><p>a. Note que, se f É P, então CAM = f; portanto “S(Z) > Péa</p><p>função inversa de F:P > S(Z)..</p><p>Observe que (1.6) é equivalente a</p><p>(1.8) lollon < 0, Yn=0,12,...</p><p>onde Iallo,o = llallo = suprez las| e lolloo,n = suprez(lo| kl"),</p><p>n >1. De fato, sea € S(Z), então qualquer que seja n, a con-</p><p>vergência da série (1.6) mostra que [ax ||k|” — O quando k — oo de</p><p>modo que, em particular, (1.8) é válida. Reciprocamente, se (1.8) é</p><p>válida, então</p><p>+oo |</p><p>> lokP = 5: 2</p><p>k0 k£0</p><p>+o0 1</p><p>< lalloo,n+2 >, Ik2 < 00.</p><p>koDo0 [E</p><p>ko</p><p>Vamos definir uma métrica em S(Z): sea = (an)nez € É = (Bn)nez</p><p>são sequências em S(Z), seja</p><p>2 1 I|a-bflon</p><p>t > a em relação a Pelo Exercício 4, d' é uma métrica em S(Z) e a</p><p>d' quando £ > oo se e somente se Ia! — alo n * O quando £ — 00</p><p>,</p><p>para todo n = 0,1,2,....</p><p>sec. 1) Funções Periódicas de Classe Cº 109</p><p>1.2 TEOREMA. A transformada de Fourier “:P > S(Z) é um</p><p>isomorfismo e um homeomorfismo, i.e., é uma bijeção linear continua</p><p>com inversa contínua (em relação às métricas d e d').</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Já vimos no Capítulo III que a transformada de</p><p>Fourier é linear e injetora; além disso, vimos também que a imagem</p><p>de P sob a transformada de Fourier é S(Z). Basta mostrar então</p><p>que a transformada e sua inversa são contínuas (veja o Exercício 3</p><p>ao final deste capítulo). |</p><p>Seja (fn) uma sequência em P com fr 2, f. Pela Proposição</p><p>WI.4.2 e pela equação (111.2.14)</p><p>IkJP</p><p>feio) = ff = UÉ? = 1-8)</p><p>< | sé» [O</p><p>50</p><p>quando ? — oo e portanto</p><p>[ie on) oo,n</p><p>quando £ — op para todo n = 0,1,2,...: logo</p><p>df f)>0</p><p>quado 4 —-+oo. Isso prova que a transformada de Fourjer é</p><p>continua.</p><p>Para provar que a inversa é contínua, seja a* = (af );ez uma</p><p>sequência em S(Z) convergindo para a = (ak )kez, L.e.</p><p>Ia —alon > 0 quando £>o0, Yn=0,1,2,....</p><p>L Queremos mostrar que à 2, à. Da equação (1.7), obtemos</p><p>+oo</p><p>(110) (at -aa)= 5) (af — ae</p><p>k=-—oo</p><p>110 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Como a*,a E S(Z), podemos derivar a série em (1.10) termo a</p><p>termo:</p><p>+oo</p><p>(6 a)Ma)= 5, (Mat — aqjeit?</p><p>k=-—oo</p><p>gt</p><p>= ôno(ab — ao) + Soirrt as — Cp)»</p><p>k£O</p><p>onde óno=0 se n£0 e 6,0 = 1. Obtemos, portanto,</p><p>jets»</p><p>1</p><p>oo < Jar o ao | + [of — Cond >, k2</p><p>[=</p><p>2</p><p>< Ia — Goo + Ia — oo n42 > 0 quando > oo</p><p>Logo d(à!, à) — O quando £ > oo, i.e. ຠZan</p><p>O Teorema 1.2 descreve completamente o comportamento da</p><p>transformada de Fourier em P. Como veremos mais adiante, exis-</p><p>tem muitos outros expaços onde podemos definir e descrever preci-</p><p>samente o comportamento da transformada de Fourier.</p><p>Vimos no Capítulo III como aproximar funções através da</p><p>convolução. Esse é um poderoso método de aproximação que tem</p><p>utilidade em diversas situações de interesse. Vamos então estudar a</p><p>convolução em P.</p><p>Por conveniência, vamos definir o operador de translação</p><p>(1.11) (Tfla)=f(z—t), zteR</p><p>onde f:R — C. Geometricamente, o operador T; desloca o gráfico</p><p>de f por |t| unidades para a direita set > 0 e para a esquerda se t <</p><p>0. É claro que, para cada t fixo, T;: Cper(l—7,7]) > Cper(l—>7,7])</p><p>é um operador linear inversível com (4) 1 = Te T(P) = P.</p><p>É também fácil de ver que, como as funções de Cper([—7,7]) são</p><p>uniformemente contínuas,</p><p>(1.12) |Tf-— flo — O quando 150, Vfe Coe(l-n,7]).</p><p>sec. 1] Funções Periódicas de Classe CS 111</p><p>- Além disso, pela Proposição II1.6.2(11), (Tf) (k) = eT'*! f(k) para</p><p>toda f E Cper([-7,7]) e para todo k € Z. Outra propriedade inte-</p><p>ressante do operador de translação T, é</p><p>(1.13) (Tf)rg=T(f+9)=f+(Teg),</p><p>quaisquer que sejam f,g € Cper([—-7,7]). De fato,</p><p>Meo =(enle-)=5[ fu)ote=t=1) dy</p><p>- + r HOTglz — y) dy = (F (Tg) x),</p><p>o que prova a segunda igualdade em (1.13); a primeira segue da</p><p>comutatividade da convolução.</p><p>1.3 PROPOSIÇÃO. Sejam fe Pege Cpe([-7,7]). Então:</p><p>(1) Tiof 2 f' quando t>0;</p><p>(ii) f+geP e (fagB=fBrg, keN;</p><p>(iii) se (gn) E Cpes(l-7,7]) e Ilg — gnlloo — O quando n > 00,</p><p>fegn 5 fxg.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Aplicando a regra da cadeia é fácil ver que</p><p>(1.14) Tui)M=T.fb, tER, kEN,</p><p>isto é, as operações de derivação e translação comutam. Portanto</p><p>Tt o NE</p><p>[ t -1) |</p><p>e para provar (1) basta mostrar que</p><p>— (py</p><p>[E — 6)</p><p>=| 47</p><p>N</p><p>Th-h o</p><p>t</p><p>(1.15) lim h' 10 =0, Vhe Ches(l-7, 7))</p><p>oo</p><p>112 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>De fato, pelo teorema do valor médio,</p><p>(1.16)</p><p>T.h-h Mec chto ps) = ny) — ht(a) (0) — (0) = =</p><p>ondey=ylzt)e(z—lt,x + It); mas, como h' E Cper([-7,7]),</p><p>h! é uniformemente contínua. Logo 6 lado direito de (1.16) tende a</p><p>zero uniformemente quando t — O e (1.15) segue. Isto prova (i).</p><p>De (1.13), obtemos o</p><p>Tdfeg)-f*g Tefeg-f*g Tuf-f</p><p>4 2 E =, /*9</p><p>logo, usando a Proposição III.6.1(vi) e (1.15)</p><p>o</p><p>| Tuf-f</p><p>t</p><p>oo</p><p>< - l. ole 0</p><p>quando t —.0. Portanto</p><p>(ag =f+g</p><p>e, em particular, f *9g € Ches([—7,7]). Usando indução, é claro que</p><p>(FegnD=fDag, Vk=1,2,....</p><p>Isso prova que f*xg E P.</p><p>Quanto a (iii),</p><p>eg = 1 = [88 ag 18 eg</p><p>= [19 (gn =9)] < 89) longo —+0</p><p>quando n — oo, para todo k = 0,1,2,..., e portanto f * gn 2,</p><p>f+*9.8</p><p>sec. 2] Distribuições Periódicas 113</p><p>No capítulo anterior vimos que, se fyn) E Cper(l-7,7]) é</p><p>uma identidade aproximada (Definição 111.6.3), então f+yn — f</p><p>uniformemente quando n — «oo qualquer que seja f E Cper([-7,7])</p><p>(Proposição II1.6.4). Um corolário da Proposição-1.3 é que, no caso</p><p>em que f € P, essa convergência é mais forte. .</p><p>1.4 COROLÁRIO. Seja (Pn)n>1 uma identidade aproximada.</p><p>Então, qualquer que seja fEP, frypn 2, f.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Usando as Proposições 1.3 e II1.6.4,</p><p>ly +Pn — DR = |reº *Qn — so] 50 Vk=0,1,2,...</p><p>quando n > +oo. E</p><p>2. Distribuições Periódicas</p><p>Nosso objetivo nesta seção é introduzir uma classe de funções gene-</p><p>ralizadas adaptada ao estudo das séries de Fourier e dos problemas</p><p>de equações diferenciais parciais</p><p>que consideramos até agora. O</p><p>conceito de função generalizada permite, como o próprio nome in-</p><p>dica, generalizar a idéia de função, assim como o cálculo usual, e</p><p>fornece um cenário apropriado para o estudo de EDP's. De fato</p><p>a teoria de tais objetos está intimamente ligada ao crescimento da</p><p>matemática aplicada e da física teórica na primeira metade deste</p><p>século. Funções generalizadas, como por exemplo a “função” ó de</p><p>Dirac, foram utilizadas na formulação da mecânica quântica muito</p><p>antes da formalização do conceito feita por L. Schwartz no início da</p><p>década de cinquenta. Em geral, uma função generalizada ou distra-</p><p>buição é um funcional linear de certo tipo definido em um espaço de</p><p>funções, as chamadas funções teste. A razão deste nome ficará clara</p><p>aos poucos. Cabe observar que as propriedades das funções gene-</p><p>ralizadas refletem as propriedades das funções teste: por exemplo,</p><p>114 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>uma função generalizada é tão diferenciável quanto as funções teste</p><p>correspondentes.</p><p>No caso que discutiremos nesta seção, a saber as distribuições</p><p>periódicas, o espaço das funções teste é o espaço P estudado na</p><p>seção anterior. O que segue é um modelo que pode ser facilmente</p><p>modificado para outras situações: por exemplo, na quinta seção do</p><p>Capítulo V introduziremos as distribuições temperadas que são con-</p><p>venientes para o estudo da transformada de Fourier na reta.</p><p>92.1 DEFINIÇÃO. Uma distribuição periódica é um funcional linear</p><p>T.P > C tal que existe uma sequência (Ya)n>1 € P satisfazendo</p><p>e) T=Jm / wlople)do, ve?</p><p>O conjunto de todas as distribuições periódicas será denotado</p><p>por P”. É claro da definição acima que P' é um espaço vetorial. No</p><p>que segue usaremos a notação</p><p>(2.2) T(y) = (T, P), TEeP', pe?P.</p><p>Os exemplos mais simples de distribuições periódicas são as</p><p>funções de Cper([—7,7]). De fato,</p><p>2.2 PROPOSIÇÃO. Se f € Cper([-7,7]) então f define uma distri-</p><p>buição periódica T; pela fórmula</p><p>(2.3) ro)= | Ho)o(o) de</p><p>Além disso, a aplicação f € Cper([-7,7]) » Ty € P' é linear, inje-</p><p>tora e contínua no sentido que, se (fnJ&4 € Cper([-7,7]) converge</p><p>uniformemente para f, então (T,,,4) — (Tf,y) para toda função</p><p>peEP.</p><p>sec. 2] Distribuições Periódicas 115</p><p>DEMONSTRAÇÃO: É claro que a equação (2.3) define um funcional</p><p>linear T;:P — C. Vamos escolher Va = Kn * f onde Ka, é o núcleo</p><p>de Féjer. Então Y, (veja a equação (111.6.3)) é dada por</p><p>— — . — — Io Ê ikz vale) = 0n(PXe) = en(fiz)= 55 (1555) fe</p><p>e portanto está em P. Pelo Teorema de Féjer, Yn — f uniforme-:</p><p>mente, logo</p><p>(Thy) = im / Va(z)p(r) dz, Vo EP.</p><p>Isto prova que T, € P”.</p><p>É evidente que f » T, é linear. Para provar que é injetora,</p><p>suponha que T; = Ty com f,g E Cper([—-7,7]). Então</p><p>0 = (Tp on(f - 9)) - (To, On(f ” 9))</p><p>= ["U66)-ae)odf 60) do 2 [HO of do,</p><p>—+fHoo</p><p>logo.|f — gl) =0e f=3.</p><p>Finalmente, se fa — f uniformemente, então, qualquer que</p><p>seja p EP,</p><p>Troe)= [ talz)o(o) do = [ Hlo)p(a) de =(Tj,9). 1</p><p>Diremos que uma distribuição T € P' provém de uma função</p><p>em Cper([-7,7]) se existe f € Cper([—7,7]) tal que T = T. Obser-</p><p>vamos que nem toda distribuição periódica provém de uma função.</p><p>Um exemplo importante é a distribuição ó, de Dirac concentrada</p><p>no ponto z € R:</p><p>116 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>(2.4) (ôz, 9) =y(z) Vp E P.</p><p>A linearidade de ó, é clara. Para. provar a condição (2.1), seja</p><p>(pn), uma identidade aproximada com pn € P para todo n (por</p><p>exemplo, py, = Kn, o núcleo de Féjer, satisfaz essa condição - veja</p><p>(LI1.6.5) e a Proposição II16.6) e tome Yn(y) = Lyn(z—y). Então,</p><p>qualquer que seja py E P, |</p><p>jm, valo)o(a) du = Jim (pn + 9)(0) = p(2) = (ônv9)</p><p>Portanto 4, E P' para todo z E R. Quando z = 0, denotare-</p><p>mos 69 simplesmente por é. Vamos mostrar que ó, não provém</p><p>de uma função em Cpes([—7,7]). Considere a sequência Yn(y) =</p><p>(1 +icos(z-—y)”, ne Z+. Então ba EP e</p><p>(62, Pr) = Ynlz) = 1, VYn € Z+.</p><p>»</p><p>Em particular, (0,,Yn) — 1 quando n — 00. Por outro lado, O <</p><p>Yn <1e, paratodoe > 0,€ < 7, Yn — O uniformemente em</p><p>[r—-m,z—-ejU[lz+e,z+7). Portanto, se f E Cper([—7,7]), usando</p><p>a periodicidade de f e de bn,</p><p>+</p><p>“TF ba(y) dy</p><p>=H</p><p>(rob [Hal dy =</p><p>| - | FC] ba(y) dy + | |f()l bn(y) dy</p><p>ly—z|<e e<ly-z|<r</p><p>< 2eNfloo + $lo / reste PC da</p><p>e<ly—-z|<r</p><p>sec. 2] Distribuições Periódicas 117</p><p>para todo e > 0. Como 1, — O uniformemente, existe N € Z+ tal</p><p>que</p><p>n2N> | Yn(y) dy <e(m — e)</p><p>e<ly-z|<r</p><p>> KT Ya) <elflo (2+7 — e).</p><p>Portanto,</p><p>Jim (Ty, bm) =0f1= lim (ôr; Pn).</p><p>Isso mostra que 6, £ Ty para toda função f E Cper([—-7,7]).</p><p>É possível definir distribuições periódicas T; por (2.3) para</p><p>uma classe maior de funções f - por exemplo, funções integráveis</p><p>de módulo integrável em [—7, 7]. Uma demonstração análoga à que</p><p>fizemos acima mostra que 6, £ Ty para toda f nesta classe maior.</p><p>EXEMPLO:</p><p>1 Seja H a função definida por</p><p>H(z)=1 se 0O<gr<r,</p><p>(2.5) H(z)=0 se m<r<27r,</p><p>H(zr+27)=H(z) VrEeR</p><p>Vamos mostrar que H define uma distribuição periódica Ty pela</p><p>fórmula</p><p>20) (Me=[ Hleole)do= [ ployda, per.</p><p>="</p><p>É claro que (2.6) define um funcional linear Ty:P > C. Para</p><p>mostrar que Ty é de fato uma distribuição periódica, defina</p><p>118 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Lim</p><p>aj</p><p>-</p><p>-</p><p>4</p><p>-</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>01</p><p>nt 2m</p><p>Figura 7</p><p>1</p><p>(2.7)</p><p>exp [+ exp (=) 0<z<l/n</p><p>v(a) l/jn<r<7</p><p>n(z) = o</p><p>exp [= exp (555) q<r<r+ 1/n</p><p>0 q+l/jn<r<2m</p><p>Pa(zr+27)= Pa(x), VIER</p><p>Então PV, E P, Ya(z) > H(z) e0 < Yn(x) < 1 para todo z E R.</p><p>Sep e?P</p><p>, 1/n |</p><p>< / lola) de >0,</p><p>0</p><p>1/n</p><p>/ Va(z)p(x) de</p><p>sec. 2) Distribuições Periódicas 119</p><p>m+1 /n</p><p>fo vate)p(o) do</p><p>e, portanto,</p><p>x+1/n</p><p>< / lo(2)] de >0,</p><p>x 27</p><p>dim, a Va(x)yp(z) dz = dim. . Va(z)p(x) dz</p><p>"x 1/n .</p><p>lim | . Va(2)p(2) de + [ Va(r)p(x) dz</p><p>n— 00 1/n</p><p>| a+/n</p><p>+ / Ea(z)o(z) à</p><p>[ (x) de = (TH, 7).</p><p>Isso prova que Ty definido por (2.6) é de fato uma distribuição</p><p>periódica.</p><p>Observamos que, no exemplo acima, poderíamos ter apro-</p><p>ximado a função H pontualmente por uma sequência de funções</p><p>contínuas e aproximado esta sequência por funções em P (é o que</p><p>faremos no próximo exemplo). Usamos as funções Y, para dar um</p><p>exemplo de como aproximar um “salto” por funções C'º.</p><p>Vamos introduzir uma noção de convergência de sequências</p><p>em P', Na verdade, essa noção está implícita na Proposição 2.2 e</p><p>na própria definição de distribuição. Diremos que uma sequência</p><p>(Tn) E P' converge a T E P' no sentido de P' se</p><p>(To )>(T,p), Vp EP.</p><p>120 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Neste caso escreveremos Tn 2, T. Observe que, se (pn), é uma</p><p>identidade aproximada, 2 € R, bn(y) = Pnlz — y) e Ta = Thro</p><p>então Tn ?, 976,. Além disso, se T EP e(Valizi CP satisfaz</p><p>(2.1), então Ty, 2, T. Portanto toda distribuição periódica pode ser</p><p>aproximada, no sentido de P”, por uma sequência em P' proveniente</p><p>de funções em ?P.</p><p>Ao contrário da convergência em P, a convergência de sequên-</p><p>cias em P' é muito fraca. Por exemplo, se (farei E Cper([—7;7])</p><p>converge na norma L? a uma função f,1<p<oo, então T; E P'</p><p>pelo Exercício 8 e Tr, 2, T;. A convergência em P' pode ser obtida</p><p>utilizando a desigualdade de Holder, 1.e.</p><p>(2.8) < [ IsCo)NIM(o)! de < Io bl</p><p>/ . g(z)h(z) dz</p><p>onde 1 + 1 =1 (comq=osep=l1) Note que, sep=q=2,</p><p>(2.8) é simplesmente a desigualdade CBS para integrais. O leitor</p><p>é convidado a provar (2.8) no Exercício 5 ao final deste capítulo.</p><p>Aplicando (2.8), qualquer que seja py E P,</p><p>Tr.) (Tp e) < / “Io = FO) o(a) de</p><p>< fa = flp lol, 0 quando n> +00</p><p>e portanto Tg, 2, T;. Portanto a aplicação f E Cperll-m,7])) +</p><p>T, € P' é contínua no sentido descrito acima.</p><p>Daqui por diante identificaremos Cper([—7, |) com sua ima-</p><p>gem em ?P” e designaremos os elementos de P' por f,g,h, etc....</p><p>Vamos agora extender para P' uma série de operações e dessa</p><p>forma iniciar a generalização do cálculo usual. O processo padrão de</p><p>sec. 2] Distribuições</p><p>para o laplaciano em</p><p>domínios limitados do R” através do método de equações integrais.</p><p>Os pré-requisitos necessários, como, por exemplo, a alternativa de</p><p>Fredholm e o teorema espectral para operadores compactos auto-</p><p>adjuntos, são descritos no Capítulo VI. O último capítulo trata a</p><p>teoria das integrais de Fourier em R”.</p><p>O livro conta também com um bom número de problemas que</p><p>devem ser encarados como parte integrante do texto. Acreditamos</p><p>que a única maneira de aprender Matemática é fazendo Matemática.</p><p>Por isso uma grande quantidade de informação adicional pode ser</p><p>encontrada nos Exercícios. Além disso, gostaríamos de encorajar o</p><p>leitor a consultar seriamente as referências bibliográficas citadas no</p><p>texto, assim como a procurar outros livros e artigos nas bibliotecas</p><p>ao seu alcance.</p><p>Em contraposição ao conjunto vazio, este volume apresenta defei-</p><p>tos e, esperamos, qualidades. Sobre estas não faremos comentários.</p><p>Quanto aos defeitos, o, maior deles nos parece a omissão total ou</p><p>parcial de certos tópicos e pontos de vista importantes na pesquisa</p><p>atual. Isso se deve, é claro, ao nosso gosto pessoal e às necessida-</p><p>' des locais dos cursos que deram origem a este livro. Por exemplo,</p><p>a equação de onda figura em segundo plano na exposição, a teoria</p><p>das equações de primeira ordem não é discutida (exceto em alguns</p><p>comentários curtos e exercícios) e o espaço de distribuições usual,</p><p>D', não é sequer mencionado (exceto no prefácio). Além disso, o</p><p>livro é “linear”: as equações não lineares foram deixadas de lado.</p><p>Nossa intenção inicial era escrever pelo menos uma seção sobre re-</p><p>Prefácio vii</p><p>gularização parabólica, assunto de interesse atual para o primeiro</p><p>autor, mas infelizmente não houve tempo hábil. Caso o livro seja</p><p>bem aceito, quem sabe numa edição futura...</p><p>Gostaríamos de registrar a nossa gratidão a algumas pessoas que</p><p>participaram, direta ou indiretamente, desta obra. A primeira de-</p><p>las é o professor Elon Lages Lima: não fosse sua insistência, esse</p><p>texto provavelmente jamais seria escrito. Somos gratos ao profes-</p><p>sor Carlos Isnard por suas inúmeras sugestões e críticas construtivas</p><p>ao longo dos últimos seis anos. Agradecemos também ao professor</p><p>Lucio Rodríguez, responsável pela composição do texto no compu-</p><p>tador do IMPA, pelo apoio recebido, à Sra. Maria Celano Maia por</p><p>“sua cobrança incansável e ao Sr. Rogério Dias Trindade pela sua</p><p>paciência e boa vontade. Finalmente, nossos agradecimentos a dois</p><p>amigos muito queridos, Carlos Alberto e Lulu Areal: ela é a figuri-</p><p>nista que escolheu as roupas e nos preparou para as fotos e ele é o</p><p>autor do desenho e da foto da capa.</p><p>Rio de Janeiro, 8 de dezembro de 1987.</p><p>Rafael José lório Jr.</p><p>Valéria Iório</p><p>PARTE I</p><p>Elementary may be deep.</p><p>Tosio Kato [48]</p><p>CAPITULO 1</p><p>PRELIMINARES</p><p>1. Definições Básicas</p><p>Ro</p><p>Uma equação a derivadas parciais ou equação diferencial par-</p><p>cial (EDP) é uma equação envolvendo duas ou mais variáveis in-</p><p>dependentes 71,..., Zn € derivadas parciais de uma função u =</p><p>u(z1,...,£n). Mais precisamente, uma EDP é uma equação da</p><p>forma</p><p>(1.1)</p><p>2 2 k</p><p>(assento du du Ou Ou EE) =,</p><p>"0x" den Ox? Ordem" * Oxk</p><p>onde 7 = (z1,...,2n) E QN, Q é um domínio em Rº (isto é, um</p><p>aberto conexo), F é uma função dada e u(x) é a função que queremos</p><p>determinar. É claro que com uma definição tão geral existem EDP's</p><p>absurdas, como por exemplo exp (3 + E) = 0.</p><p>A classificação das EDP”s segundo ordem e linearidade é se-</p><p>melhante à classificação das equações diferenciais ordinárias</p><p>(EDO's). A ordem de uma EDP é dada pela derivada parcial de</p><p>maior ordem que ocorre na equação; por exemplo, a ordem da</p><p>equação (1.1) é k se F, como função de alguma das derivadas de</p><p>ordem k, é não constante. Uma EDP é dita linear se é de primeiro</p><p>grau em u e em todas as suas derivadas parciais que ocorrem na</p><p>equação; caso contrário a EDP é dita não linear. À fora mais</p><p>2 Preliminares [Cap. I</p><p>geral de uma EDP linear de segunda ordem é</p><p>n</p><p>(12) Dal) não + Dbilo)do + ele)u(o) + de) =0,</p><p>t,9=1</p><p>onde algum dos coeficientes a;; não é identicamente nulo. A parte</p><p>principal de uma EDP é a parte da equaçãoque contem os termos</p><p>de maior ordem. Por exemplo, a parte principal da equação (1.2) é</p><p>n</p><p>9u</p><p>x UM 3707;</p><p>t,j=1</p><p>Dentre as equações não lineares, as que tem parte principal linear</p><p>são chamadas semi-lineares. À forma mais geral de uma EDP semi-</p><p>linear de segunda ordem é</p><p>13 A o 9u o Ou Ou (1.3) DA geo; = 1 (uu ER E</p><p>No caso linear, dizemos que a equação é homogênea se o termo in-</p><p>dependente de u é identicamente nulo, caso contrário, a equação é</p><p>dita não homogênea. A equação (1.2) é homogênea se e somente</p><p>se d = 0. Nestas notas estaremos interessados essencialmente em</p><p>equações lineares de segunda ordem.</p><p>Denotaremos a derivada parcial de u em relação à variável</p><p>real t por au, u; ou du; À denotará o laplaciano, isto é, A = dr +</p><p>e + &r é o laplaciano em R”.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>1. Equação de Poisson:</p><p>(1.4) - du=h</p><p>onde h = h(z1,...,%n). Caso h = 0, a equação (1.4) é conhecida</p><p>como equação de Laplace. A equação de Poisson está associada a</p><p>sec. 1] Definições Básicas 3</p><p>fenômenos estacionários, isto é, independentes do tempo, como por</p><p>exemplo potenciais eletrostáticos gerados por distribuições fixas de</p><p>cargas. '</p><p>2. Equação do calor não homogênea:</p><p>(1.5) du=Au+h</p><p>onde u = u(z;t),z = (71,...,%n) E R”, À é o laplaciano nas</p><p>variáveis 21,...,Zn e q? é uma constante (chamada a constante</p><p>de difusividade térmica). Esta equação está associada a fenômenos</p><p>de difusão, como por exemplo transmissão de calor em sólidos.</p><p>3. Equação de onda:</p><p>(1.6) Ou =cAuth</p><p>onde c é uma constante positiva (chamada a velocidade de pro-</p><p>pagação da onda). Esta equação, como o próprio nome diz, está</p><p>“associada à propagação de ondas.</p><p>4. Equação de Schrôdinger:</p><p>2</p><p>(1.7) “idb= DE Ay+ V(z)b</p><p>onde y = W(z,t),t > 0, x E Rº, V(x) é uma função “bem compor-</p><p>tada” com valores reais, h = 27h é a constante de Planck e m > 0.</p><p>Esta equação descreve a interação de uma partícula quântica de</p><p>massa m com um potencial V(x).</p><p>5. Equação de Schrôdinger não linear:</p><p>+2 (18) Oy = —2-A4 + bd</p><p>A equação de Schrôdinger não linear descreve feixes modulados em</p><p>ótica não linear.</p><p>4 Preliminares [Cap. I</p><p>6. Equação de Korteweg-deVries (KdV):</p><p>(1.9) Ut = Uszz + UUs-</p><p>Esta equação descreve a propagação de ondas não lineares em meios</p><p>dispersivos não dissipativos (como por exemplo ondas em canais ra-</p><p>sos).</p><p>Um dos objetivos do presente texto consiste em discutir vários</p><p>problemas que envolvem as equações dos quatro primeiros exemplos.</p><p>Os dois últimos (assim como muitas outras equações não lineares</p><p>importantes) tem sido objeto de intensa pesquisa recentemente. O</p><p>leitor interessado deve consultar [47], [53], [61], [62], [63] e as re-</p><p>ferências aí contidas.</p><p>É preciso também observar que as equações de Poisson, do</p><p>calor e da onda, além do interesse do ponto de vista físico, são</p><p>protótipos dos tipos elítico, parabólico e hiperbólico, respectiva-</p><p>mente (que descreveremos mais adiante) e o conhecimento de suas</p><p>propriedades permite estudar equações bem mais gerais do mesmo</p><p>tipo.</p><p>O comportamento das EDP's é bastante diferente do com-</p><p>portamento das EDO's. Por um lado, se for possível obter a solução</p><p>geral de uma EDP (o que é raro!) ela envolve funções arbitrárias</p><p>das variáveis independentes ao invés de constantes, como no caso das</p><p>EDO's, de modo que existe um grau de generalidade muito maior</p><p>com relação à forma da solução. Por outro lado, equações muito</p><p>simples, lineares, podem não ter solução: por exemplo, existe uma</p><p>função f = f(t) real de classe Cº tal que a equação linear não</p><p>homogênea</p><p>Ou | .Ou Ou</p><p>1.12 -— +i— — 2 y)— = ft (1.12) de tio = Boi) = ÃO</p><p>não tem solução (nem no sentido de distribuições, cf. [31]; este</p><p>exemplo foi dado por Hans Lewy em 1957).</p><p>Até agora não definimos o que entendemos por solução de</p><p>uma EDP.</p><p>Periódicas 121</p><p>fazer estas extensões é o seguinte: escreve-se em linguagem distribu-</p><p>cional o que acontece no caso em que a distribuição é uma função e,</p><p>em seguida, usa-se o resultado para definir a operação em questão.</p><p>Vamos corheçar definindo a operação de conjugação. Se f E</p><p>Cper([-7,7]), então f E Cper([—7,7]) e, para toda y E P,</p><p>29) Bo=/ Toeod=[ Hood = 7]</p><p>Usando (2.9), dada f e P' definimos a distribuição conjugada feP</p><p>por</p><p>(2.10) (1,9) = (1,9), Vo EP.</p><p>Precisamos mostrar que, de fato, f e P'. É claro que f é um</p><p>funcional linear P > C. Para verificar (2.1), seja (Vnj, uma</p><p>sequência em P tal que V, 2, f. Então, usando (2.9) e (2.10),</p><p>(Va) = (Va) > (f9) = (1,9) Vo E P.</p><p>Portanto (2.10) define de fato uma distribuição periódica, feP".</p><p>Agora podemos introduzir as partes real e imaginária de uma</p><p>distribuição periódica f pelas fórmulas</p><p>(2.11) Ref = It? Im f = O,</p><p>2 22</p><p>Uma distribuição periódica é dita real (respectivamente imaginária</p><p>pura) se sua parte imaginária (respectivamente, sua parte real) é a</p><p>distribuição nula. Observe que ó, é real, para todo x € R: de fato,</p><p>(62,9) =(0»p)=p(r)=p(r)=(6,,0) Vpe?P,</p><p>logo, 6, = ó, e Imô, =0.</p><p>122 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Vamos definir agora a operação de reflexão. Sef €</p><p>Cper([-7,7]), é claro que f(z) = f(-z) também é contínua e</p><p>periódica de período 27; além disso, se q E P, o</p><p>(ho)= [ Hcopo) de= [ Hto)o(-a) de = (6,9)</p><p>Se f € P”, definimos f por</p><p>(2.12) (Lo)=(L6), VWpeP.</p><p>É fácil verificar que (2.12) define de fato uma distribuição periódica,</p><p>l.e. que f € P'. Em analogia com o caso de funções, dizemos que</p><p>f e P' é par (respectivamente ímpar) se f = f (respectivamente</p><p>J = —f). Note que ô, é par se e somente se x = kr para algum</p><p>k € Z. Em particular, é é uma distribuição par.</p><p>Se f E Cper([-7,7]), então Tef E Cper([-7,7]) para todo</p><p>teRe</p><p>n-—t</p><p>to= [| fe-deo)do= [apto +) dy</p><p>= —</p><p>=) Huyply+t)dy=(A Tp), Vo EP.</p><p>7.</p><p>- Definimos então o operador de translação T;:P' — P' por</p><p>(213) (TA =(LTW), VfEP, pEP.</p><p>É claro que, se fe?P', (2.13) define um funcional linear Tf:P > C;</p><p>além disso, se (Va)X, €CPétal que V, 2, f, então (TV )S CS</p><p>PeTV, 2, Tef, o que mostra que de fato Tef € P”.</p><p>Observamos que o operador de translação assim definido nos</p><p>diz que as distribuições periódicas são de fato periódicas de período</p><p>27 no sentido que Tarf = f, Vf E P'! A demonstração é muito</p><p>sec. 2) Distribuições Periódicas 123</p><p>simples: sey € P, q é periódica de período 27 e portanto, qualquer</p><p>que seja f E P”,</p><p>(Tom f, 9) = (F, Toon) = (F, 9).</p><p>Note também que T+ó = 6, pois</p><p>(Trô, 9) = (6,T.+9) = p(t) = (6,9), Vp EP.</p><p>Finalmente, vamos definir a operação de derivação de tal</p><p>forma que, ao contrário do que acontece em C,er([—7, 7]), toda dis-</p><p>tribuição periódica será infinitamente diferenciável. O processo de -</p><p>definição é o mesmo usado acima: escreveremos em linguagem distri-</p><p>bucional o que acontece no caso em que a distribuição é uma função</p><p>— só que agora diferenciável - e em seguida usaremos este resultado</p><p>para definir a derivada de uma distribuição.</p><p>Suponha então que f E Cher([-7,7]), de modo que f' E</p><p>Cper([—7,7)). Integrando por partes e usando a periodicidade, obte-</p><p>mos</p><p>(o)=[ He)e(e) de= Hot) - [ stop!to) de</p><p>=-(he), We? |</p><p>Dada f E P*, definimos</p><p>(2.14) (Po)=-fy), per.</p><p>A inearidade de f' é evidente. Além disso, se (Y,) € P é é</p><p>tal que PF, 2, f, então, qualquer que seja y E P,</p><p>(Vo) = (Va) > Lo) =([,9)</p><p>e portanto f' E P*.</p><p>124 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Como qualquer distribuição é diferenciável, é claro que de</p><p>fato toda distribuição periódica é infinitamente diferenciável e, por</p><p>indução, é fácil ver que a k- ézima derivada de f € P' é dada por</p><p>(2.15) 4,9) (DHLAO), per.</p><p>EXEMPLO:</p><p>2. Seja f dada por</p><p>f(x) =0 se —-m<z<0</p><p>(2.16) f(x) = se 0O<z<rm</p><p>Hlr+2m)=f(z) VreR.</p><p>Vamos mostrar que f define uma distribuição periódica</p><p>Cm (he=[ foplade= [ apto) do.</p><p>—7 0</p><p>É evidente que (2.17) define um funcional linear P » C. Para mos-</p><p>trar que este funcional é de fato uma distribuição, vamos aproximar</p><p>f pontualmente por uma sequência (fa) € Cper([-7,7]) e depois</p><p>aproximar f, por Ya € P. Seja então fa € Cper([-7,7]) definida</p><p>por</p><p>f(x) se -T<u<m—l fo) =[</p><p>Como fn E Cper([—7,7]), existe V, E P (por exemplo, tome Y, =</p><p>on(fn) para N suficientemente grande) tal que ||fn — Vallo < À</p><p>(nm — D(m — x) se tm—-i<r<T.</p><p>Então, qualquer que seja y E P,</p><p>Tr</p><p>| Hayp(o) de fo valeya(a) da</p><p>=</p><p><</p><p>fÉtrto) = fnte)iote) de</p><p>+ | É lfnto) - Vale)o(o) de</p><p></ , HE) = Pele) de + fa = Valho / “lool de a | —m</p><p>T 1 <r/ o lolol des io =0</p><p>m—-1/n n</p><p>sec. 2) Distribuições Periódicas 125</p><p>Figura 8</p><p>quando n — +oo e, portanto,</p><p>Tr mx</p><p>lim / Pa(a)p(z) dr = F(x)p(z) dz,</p><p>o que prova que f € P'. Vamos agora calcular a derivada de f no</p><p>sentido das distribuições. Pela definição,</p><p>e)=(6)=- [ api(a) da</p><p>0</p><p>= =e(o), + [ ole) de= mo(n) + [ o(a) de</p><p>= (—76z + H, P),</p><p>onde H é dada por (2.5). Note que, do ponto de vista clássico, f é</p><p>diferenciável em todos os pontos z que não são múltiplos de 7 com</p><p>f(x) = H(x) nesses pontos. Do ponto de vista de distribuições,</p><p>126 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>acabamos de mostrar que</p><p>(2.18) f'=H-rôr.</p><p>Observe que (2.18) é uma igualdade no sentido das distri-</p><p>buições. Como H não é contínua, poderíamos usar outra função no</p><p>lugar de H: por exemplo, g(x) = H(x) sex £ kr para todo k E Z,</p><p>g(kr) = 1/2. De fato qualquer função obtida modificando H em</p><p>um número finito de pontos no intervalo [—7,7] e extendendo pe-</p><p>riodicamente para a reta toda define a mesma distribuição periódica</p><p>que H. A injetividade da aplicação f -» T; na Proposição 2.2 só é</p><p>válida para funções em Cper([—7,7])!</p><p>A equação (2.18) diz que “a derivada distribucional de f é a</p><p>soma da derivada clássica com uma função ó centrada em 7 e com</p><p>intensidade 7”. Este comportamento é de fato típico: derivadas</p><p>distribucionais de funções com saltos finitos contém distribuições</p><p>ó,, onde x são os pontos de salto em (—7, 7], com intensidade igual</p><p>ao salto. Mais precisamente,</p><p>2.3 PROPOSIÇÃO. Seja f uma função periódica com período</p><p>27, seccionalmente contínua com derivada (no sentido clássico) gi</p><p>seccionalmente contínua. Sejam z1,...,Zn Os pontos de desconti-</p><p>nuidade de f em (—7,7]. Então a derivada distribucional f' de f é</p><p>dada por</p><p>f — af - + T (2.19) f'= 5 + U(a3) — fez )lós;</p><p>j=1</p><p>À demonstração deste resultado é deixada a cargo do leitor</p><p>(Exercício 6).</p><p>EXEMPLOS:</p><p>3. Pela Proposição 2.3, se H é dada por (2.5),</p><p>H'=6-6r</p><p>sec. 2] Distribuições Periódicas 127</p><p>4. Vamos calcular a derivada de 6,:</p><p>(6L,0)=-(6.—p)=-p'(n), pEP.</p><p>Por indução, é fácil ver que '</p><p>(2.20) (69,9) = (-1tp(a), pe?</p><p>O método utilizado para demonstrar que a função f dada</p><p>por (2.16) define uma distribuição periódica é bastante geral. O |</p><p>leitor é convidado a provar no Exercício 7 que toda função limitada</p><p>e periódica de período 27 que é limite pontual de uma sequência</p><p>uniformemente limitada em Cper([—7,7]) define uma distribuição</p><p>periódica.</p><p>É importante observar também que funções não limitadas po-</p><p>dem definir distribuições através da fórmula (2.3) no caso de funções</p><p>integráveis ou através de valores principais.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>5. Considere a função</p><p>(Hoc se 0<zr<2r, (2.21)</p><p>Ha + 2n)=f(z) VzER</p><p>Note que f é integrável em [0,27] e, para toda y E P,</p><p>/ Sela) de</p><p>quando a,b > 0+, logo</p><p>27 1 . 27 1</p><p>Lo gesto) de= mm, [O ue(e) de</p><p>existe. Podemos então definir o funcional linear</p><p>< alelo |V5- val -0</p><p>(2.29) (4,9) = [O eios de</p><p>128 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV.</p><p>Para mostrar que (2.22) define de fato uma distribuição periódica,</p><p>seja</p><p>o de + (de 2) no se 0<z<i</p><p>f(x) = 1 9 1</p><p>VE se q <L<4m</p><p>fulz+2m)=failz) VrER.</p><p>Então fa Cper(l-7,7]), 0 < fn < f é</p><p>27</p><p>[O tfnto) = s(o)] dz</p><p>-[" a (=) ne) de</p><p>o 0 vz V2m vn V2m</p><p>24 (1)</p><p>no nv2m vn v27/)2n</p><p>quando — 00. Como fn € Cper([-7,7]), existe Va € P tal que</p><p>1a — Pallo < 2, Portanto, se py € P,</p><p>(4,9) (UI | “(2 = falo)lle(a) dz</p><p>27x</p><p>+ [o fale) - Vale] o(a] da</p><p>0</p><p>< Itelloo1f = falli + + lola = 0</p><p>Isso prova que o funcional linear definido por (2.22) é de fato uma</p><p>distribuição periódica.</p><p>' 6. Considere agora a função</p><p>f(x) = 1/z se ze(-r,0)U(O,7]</p><p>(2.23) f(0) =0</p><p>Flv + 27) = f(x) Vr e R</p><p>sec. 2) Distribuições Periódicas 129</p><p>dt</p><p>Figura 9</p><p>Esta função não é integrável em [0,7] pois</p><p>1</p><p>/ — de=Inr—lnla| > +oo</p><p>a L</p><p>quando a | 0. No entanto a integral em [7,7] existe no sentido de</p><p>valor principal, isto é,</p><p>v.p. li qr =lim Igor 1 q = 0</p><p>-e Lt alo lj, & a</p><p>Vamos mostrar que podemos definir uma distribuição periódica</p><p>v.p. f por</p><p>(2.24) (vp. Ly)=v.p- f ate) dz,</p><p>—"</p><p>peP.</p><p>Temos que mostrar, em primeiro lugar que, qualquer que seja y € P,</p><p>existe o limite</p><p>ia | / dE ar + [ A) qo)</p><p>alo —7 L a L</p><p>130 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV.</p><p>De fato, fazendo a mudança de variável y = —x, obtemos</p><p>[E ars [O qo [elo vo) dz</p><p>Ú z a z</p><p>Mas, como q € ?P, a função</p><p>Ao -A2) , con)</p><p>(2.25) | h(2) = |</p><p>2'(0) z=0</p><p>é contínua em [0,7] e, portanto,</p><p>jm | [7 AU aos [AO de] - [ (2) de</p><p>existe. Podemos então reescrever (2.24) como</p><p>22) — (uprfg=/ fd, per,</p><p>0</p><p>e (2.26) define um funcional linear v.p. f:P > C. Para mostrar que</p><p>v.p. f € P', vamos aproximar f pela sequência</p><p>n?</p><p>Ut + 7) se -r<z<-T+L</p><p>nx</p><p>1/z se -r+i<z<-i</p><p>falo) = 4 ntz se —Icr<i</p><p>1 1 1/x se i<r<T—s</p><p>2</p><p>r (m— 2) see n-l<zr<T</p><p>nx —l1 n T</p><p>falz +27) = falzx), Ve E R.</p><p>Como fn E Cper([-7,7]), podemos escolher Wa € P com</p><p>|fa — Yallo < £. Usando o fato que fa é ímpar, obtemos, para</p><p>sec. 2) Distribuições Periódicas 131</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>-</p><p>=</p><p>=</p><p>—</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>—</p><p>—</p><p>5</p><p>|</p><p>—</p><p>] = ty</p><p>s|</p><p>-</p><p>[</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Figura 10</p><p>toda p E P,</p><p>cp. £.9) (use) <| [ (5 flo) P(o) — (0) de</p><p>+ Ufn(e) — Bao)l o(a] da</p><p>1/n 1</p><p>[GG -ntote(e) - (ca) de <</p><p>+ Cs E G-0) (o(0) - Ho) de</p><p>XL nx</p><p>1 + Io</p><p>Tomando h como em (2.25), obtemos</p><p>1/n 1 9</p><p>| G-nexao) - (a) de</p><p>1/n</p><p>= / (h(x) — n?z? h(x:)) dz</p><p>0</p><p>1/n 1/n</p><p>= / h(x) dz — E) z2h(x) de,</p><p>0 0</p><p>132 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>logo</p><p>/ ” (E -nºz) (o(e) — (ca) de</p><p>1a < Ibi (2 +55).</p><p>Analogamente,</p><p>f. (E- Us (x — 2)) (p(2) - e(-2)) de</p><p>ajn So nm—l</p><p>x n2z x ,</p><p>< Jh(x)| da + i |mz — x?| |h(x)] dz</p><p>x — x—1/n —-1/n nx</p><p><Mh (1+ =D) ED)</p><p>Obtemos então</p><p>vp. fg) -(Fap)l>0</p><p>quando n — +oo e portanto v.p. f E P”.</p><p>Vamos agora provar que toda distribuição periódica é um</p><p>* funcional linear contínuo. Isto é equivalente (veja o Exercício 3 ao</p><p>final deste capítulo) ao seguinte resultado:</p><p>2.4 PROPOSIÇÃO. Sefe?P, pEPelpn) CP étal que</p><p>Pp .</p><p>Pn > prentão (f,pn) — (F,7).</p><p>A demonstração da Proposição 2.4 usa um fato bastante</p><p>conhecido, o chamado teorema de Baire. Enunciaremos este teorema</p><p>na forma em que o usaremos. Para uma demonstração e maiores de-</p><p>talhes, sugerimos [56].</p><p>2.5 TEOREMA. (Teorema de Baire) Seja (X,d) um espaço métrico</p><p>completo e suponha que X = J?., Xn, onde X, é fechado em X</p><p>para todo n € Z*. Então existe no E Z., tal que Xn, tem interior</p><p>não vazio, isto é, Xn, contém uma bola aberta.</p><p>sec. 2] Distribuições Periódicas 133</p><p>DEMONSTRAÇÃO DA PROPOSIÇÃO 2.4: Tome (Yn)S., CP tal</p><p>que Um 2, fee>0. Paracada be ?P, (V,4b) > (f,1b) quando</p><p>m — oo, e, portanto, o conjunto ((Pm,W):m E Z*) é limitado.</p><p>Logo, existe n € Z* tal que</p><p>(Um bl<n; Ymezt</p><p>Para cada n E N, seja</p><p>Xn = (y E Pim, 4) < no Ym E Zt)</p><p>Pelo que observamos anteriormente,</p><p>P=(JX,</p><p>n=1</p><p>Note que cada X, é fechado em P: se fhk) E Xn,bk 2, y, então</p><p>ye — blloo — O quando k > +oo, logo, qualquer que seja m E Z*,</p><p>(Dm, Pk) — (Emo)!</p><p>< / Bm(2)l hbs(2) — Y(2)| de</p><p>< 27 Pmlloo [bt — Élloo — 0</p><p>quando k — +oo e, portanto,</p><p>. nE (Em bl= lim NUmbil< 7 YmeZ*,</p><p>isto é, ) E Xn. Como P é um espaço métrico completo em relação</p><p>à distância d definida por (1.4) (Teorema 1.1), podemos aplicar o</p><p>Teorema de Baire. Então existem no € Z*, ho E Xnov en > O tais</p><p>que</p><p>vEP, dlb, bo) < mn => y E Xa</p><p>134 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Mas então, como d(nob,0) < nod(1b,0) e d(y + vovo) = d(b,0)</p><p>para todo y € P,</p><p>d(8,0) < 2en => d(no,0) < 17 dido + moto) < 7</p><p>< 2noç = nos: Ym E Z*</p><p>> (Tm W)|< 5 Ym E Z*</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>Sejam N,M € Z* tais que</p><p>1</p><p>n>N=> dyn,P)<—n</p><p>No</p><p>m>M => U$f,9)-(Wmpll<5</p><p>Note que, sen > N, então d(pn — 7,0) < no] e, portanto,</p><p>MPm,Pn—P)| < 5 paratodom € Z+*. Então, qualquer que seja</p><p>n > N, escolhendo m > M tal que</p><p>(Emo sen) — (fin) < 5º</p><p>obtemos</p><p>Hf,9) — (pn)</p><p><U£,0) (Vo 0) + (Tm 49) — (Emo Pn)|</p><p>+ Em Pn) (Ppnl<e</p><p>Como P não é um espaço vetorial normado, os funcionais li-</p><p>neares contínuos P > C não são “limitados” no sentido do Exercício</p><p>10 do capítulo anterior. No entanto, o fato da métbica d ser gerada</p><p>por uma família enumerável de seminormas implica na seguinte ge-</p><p>neralização:</p><p>sec. 2) Distribuições Periódicas 135</p><p>2.6 PROPOSIÇÃO. Se f E P' então existem constantes C > 0 e</p><p>KEN tal que</p><p>K</p><p>(2.27) Welsc5 |O], wer</p><p>o</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Como f:P — C é um funcional linear contínuo,</p><p>f(Az € C:|z|] < 1)) é um conjunto aberto em P contendo a origem</p><p>e portanto existe £ > O tal que</p><p>(2.28) peP, dy,0)<e=I(fy)<i</p><p>Sejam K E Ney > 0 tais que</p><p>el0= >. Seja y E P. Se y = 0 não há o que provar, logo suponha</p><p>que y £ 0. Podemos então definir ) € P por</p><p>4 =</p><p>Dn=o PP o</p><p>e é claro que, qualquer que seja j = 0, 1,...,K,</p><p>4] < [5º <</p><p>Então</p><p>DI d(b,0) = >, 2"1+ oo.</p><p>n=0</p><p>136 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>e portanto, de (2.28),</p><p>Hb < 1.</p><p>Mas</p><p>K 1 K</p><p>(1,9 eh 0) = 0 |] 0</p><p>n=0 n=0</p><p>logo</p><p>K</p><p>these [e</p><p>4</p><p>oo</p><p>4</p><p>É claro que a Proposição 2.6 vale para qualquer funcional</p><p>linear contínuo P — C; mostraremos, no entanto, na próxima seção</p><p>que P' é de fato a coleção de todos os funcionais lineares continuos.</p><p>3. Séries de Fourier em 7”</p><p>Vamos extender agora a teoria das séries de Fourier ao espaço P".</p><p>Usando a notação do Capítulo III, vamos considerar as funções</p><p>(3.1) du(x)=ef?, rER, kEZ.</p><p>É claro que 6, € P para todo k E Ze, se f E Cper(l-7,7]), sua</p><p>transformada de Fourier f :Z — C é definida por</p><p>62) fwy=L[iaeit do= Lg). 27 Jor 27</p><p>Utilizamos então a equação (3.2) para definir a transformada de</p><p>Fourier de uma distribuição periódica f € P' como sendo a função</p><p>f:Z > C definida por</p><p>(3.3) f) = (1, 8-4)</p><p>sec. 3] Séries de Fourier em P* 137</p><p>Se f € P', podemos então definir sua série de Fourier</p><p>+o0</p><p>(3.4) > fek)d</p><p>k=-—oco</p><p>Em que sentido a série de Fourier de uma distribuição periódica</p><p>f e P' representa f? Para responder a essa pergunta, considere a</p><p>n-ézima soma parcial da série de Fourier de fe P”,</p><p>k=-n k=—n</p><p>Observe que Sn(f) € P qualquer que seja f E P'. Vamos mostrar</p><p>que a série de Fourier de f € P' converge a f no sentido de P'. Mais</p><p>precisamente:</p><p>3.1 TEOREMA. Sejamy E Pefe?P'. Então Si(p) 2 pe</p><p>Sal) 5 f.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Como vimos na primeira seção deste capítulo,</p><p>(P(k))rez € S(Z) e portanto a série de Fourier de «, assim como</p><p>as séries obtidas derivando-a termo a termo um número arbitrário</p><p>de vezes, convergem uniformemente para y e suas derivadas. Em</p><p>outras palavras,</p><p>[Sale = tm] +</p><p>quandon > c0, VYm=0,1,2,..., isto é, Salg) A p.</p><p>Seja fr = Sn(f) E P para cada n = 0,1,2,.... Pela unici-</p><p>dade da série de Fourier, fa(k) = f(k) se |k| < ne falk) = 0 se</p><p>k| > n. Lembrando que P(k) = P(—k) e utilizando a identidade de</p><p>138 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Parseval (111.5.8) obtemos, para qualquer q € ?P,</p><p>+oo</p><p>(ns) = (Un | 2) = 27 > fa()P(—)</p><p>k=—oo</p><p>(8.6) =27 5) fla)</p><p>k=-n</p><p>= 3 (LUA) = (1, Sn)</p><p>k=-n</p><p>Como Sa(y) 2, y, pela Proposição 2.4,</p><p>(19) = (Ff, Sal) > (fp).</p><p>P'</p><p>Logo, fr = Sn(f)> f. E</p><p>Com este teorema obtemos a seguinte generalização da iden-</p><p>tidade de Parseval (111.5.8):</p><p>3.2 COROLÁRIO. SefeP ey EP, então</p><p>+oo</p><p>(3.7) (Lo)=2m 5, ÍA)</p><p>k=-—oo</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Usando o Teorema 3.1 e a equação (3.6),</p><p>n</p><p>(0) = Jim (f,Sn(9)) = Jim 27 5) ÍA). E</p><p>ne ne k=—n</p><p>Um outro corolário do Teorema 3.1 é que P' é o dual to-</p><p>pológico de P, isto é, a coleção de todos os funcionais lineares</p><p>contínuos P —» C. Defato, se f:'P — C e contínuo e linear, po-</p><p>demos definir sua série de Fourier por (3.4) e a demonstração do</p><p>Teorema 3.1 segue como antes, uma vez que a única propriedade de</p><p>P' que usamos foi exatamente a continuidade. Como Sa(f) E P</p><p>e Sn(f) 2, Ff, Va = Sn(f) satisfaz (2.1) e f E P'. Como todo</p><p>elemento de P' é um funcional linear contínuo pela Proposição 2.4,</p><p>obtemos:</p><p>sec. 3] Séries de Fourier em P” 139</p><p>3.3 COROLÁRIO. ?P' é o dual topológico de P.</p><p>EXEMPLO: ó(k) = (6,8) = Vk€ Z, de modo que</p><p>1 É 1</p><p>Sn(6) = 37 > dp = dq DN</p><p>k=>N .</p><p>onde Dy é o núcleo de Dirichlet. Portanto 5 Dn ?, ó.</p><p>Um outro corolário trivial do teorema 3.1 é a generalização</p><p>do teorema de Weierstrass para P': toda distribuição periódica pode</p><p>ser aproximada, no sentido de P”, por um polinômio trigonométrico.</p><p>Vamos agora caracterizar as distribuições periódicas por meio</p><p>da transformada de Fourier. Em outras palavras, caracterizaremos</p><p>precisamente a imagem de P' sob a transformada de Fourier. Para</p><p>isso introduzimos a noção de segiiência de crescimento lento. Uma</p><p>sequência complexa « = (ay)rez é dita de crescimento lento se</p><p>existem constantes C > 0e NEN tais que -</p><p>(3.8) ler] <CIkPN, vke Z0).</p><p>3.4 TEOREMA. Sea = (ar)ez é uma segiência complexa de</p><p>crescimento lento, então existe uma única f € P' tal que f = a.</p><p>Reciprocamente, se f € P' então f é de crescimento lento.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja a = (ak)rez uma segiiência complexa de</p><p>crescimento lento. Então, qualquer que seja y E P, a série</p><p>+oo</p><p>> arp(—k)</p><p>k=-—oo</p><p>converge absolutamente: de fato, como É € S(Z), usando (3.8)obte-</p><p>mos</p><p>+oo</p><p>>, Insa(-b)] = Jong (0) + SO log] a(=*)]</p><p>k=-—oco' ko</p><p>< lao(0)] + CS RIP a(o] < 00.</p><p>ko</p><p>140 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Definimos então um funcional linear f:P — C por</p><p>+00</p><p>(3.9) (Lo)=2m > af(-k), qe?</p><p>k=-—oco</p><p>É claro que f € P' pois</p><p>está em P para todo n E N e</p><p>(g)=2m fim Do «2(-b)</p><p>k=-—n</p><p>= lm p(x) >, vet) da</p><p>- k=-—n</p><p>x</p><p>lim p(x)Pn(x) de.</p><p>n>00</p><p>Usando as relações de ortogonalidade (111.2.11) obtemos</p><p>+oo</p><p>O = (8-4) => ad adk)-a, WEZ,</p><p>k=-—oo</p><p>e portanto f = q. A unicidade segue do Teorema 3.1 pois se g € P</p><p>com j=f=a, então, para todo q E P,</p><p>(9,9) = dim, 2 (68,9) = lim 2 ÍKNDr 9) = (1,9)</p><p>e portanto f = q.</p><p>Reciprocamente, suponha que f € P'. Pela Proposição 2.6,</p><p>existem constantes C > 0e N E N tal que</p><p>N</p><p>(3.10) (bol<c5 |r]o we.</p><p>n=0</p><p>oo</p><p>sec. 3] Séries de Fourier em P” 141</p><p>Tomando y = & , em (3.10), obtemos</p><p>[o)<2r 00 +++) SOR, vrez a</p><p>Tendo em vista o resultado acima, denotaremos a coleção de</p><p>todas as sequências de crescimento lento por &' (Z). É claro que</p><p>S'(Z) é um espaço vetorial quando munido das operações usuais.</p><p>Note que o Teorema 3.4 diz que a transformada de Fourier 2:P' —,</p><p>S'(Z) é uma bijeção e é claro que é linear. Sua inversa - S(Z) > P',</p><p>pelo Teorema 3.1, é dada pela série de Fourier, i.e.</p><p>+oo</p><p>(3.11) à= 3º ad</p><p>k=-—co</p><p>onde a série converge no sentido de P”.</p><p>Assim como P' é uma certa coleção de funcionais lineares</p><p>P — €, podemos identificar, de maneira natural, S(Z) com uma</p><p>certa coleção de funcionais lineares S(Z) > C. De fato, dado q =</p><p>(ar)rez E S'(Z), a define um funcional linear por</p><p>+oo</p><p>(3.12) (0,0)= 5 fi B=(Prrez E S(Z).</p><p>k=-—oo</p><p>Um argumento idêntico ao usado no início da demonstração do Teo-</p><p>tema 3.4 mostra que a série em (3. 12) de fato converge absolutamente</p><p>qualquer que seja 8 E S (Z), de modo que (3.12) define um funcional</p><p>linear S (Z) > C que denotaremos também por a. Do Corolário 3.2,</p><p>se Op = 8.4, é claro que</p><p>(3.13) (4,5) =2m(0,8), BES(Z).</p><p>Usando então o Teorema 1.2 e a Proposição 2.4, obtemos</p><p>pos pas jd</p><p>= (0,81) = (0,5) » L(a,5) = (01,8) ty</p><p>x 27</p><p>142 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>e portanto a: S(Z) — C é um funcional linear contínuo. De maneira</p><p>análoga ao que fizemos em P", podemos definir um conceito de con-</p><p>A . A . f . A . 3 oo E</p><p>vergência de sequências em S'(Z): uma sequência (0)2, E S(Z)</p><p>converge a a E S!(Z) no sentido de S(Z) se</p><p>(3.14) (02,8) — (a,8), VBES(Z)</p><p>j-+00</p><p>Usando (3.13), é fácil ver que a transformada de Fourier 7:P' —</p><p>S'(Z), assim como a sua inversa, leva sequências convergentes em</p><p>sequências convergentes. Mais precisamente,</p><p>(3.15) nBto fi D</p><p>(3.16) Das ar Ba</p><p>É interessante observar que S'(Z) é o dual topológico de S(Z). Isto</p><p>pode ser mostrado facilmente usando a transformada de Fourier e o</p><p>fato que P' é o dual topológico de P.</p><p>Finalmente, vamos notar a relação entre a transformada de</p><p>Fourier em P' e as operações de translação, derivação e reflexão.</p><p>3.5 PROPOSIÇÃO. Seja fe P'. Então:</p><p>(1) (TI (k) = et fk), VhEZ, VER;</p><p>(ii) (FO) (k) = (KPÍ(K), VKEZ, Vne Z*;</p><p>(ii) Hh)= (Ch), VKEZ.</p><p>A demonstração deste resultado é bem simples e será deixada</p><p>a cargo do leitor.</p><p>Observamos que o item (ii) da proposição acima diz que o</p><p>operador linear f + f (rn) é levado pela transformada de Fourier no</p><p>operador de multiplicação por (:k)”. Isto nos permite em princípio</p><p>resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.</p><p>De fato, seja D:P' — P' dado por</p><p>(3.17) Df = if".</p><p>sec. 4] A Convolução em ?P” 143</p><p>Dado um polinômio P de grau m com coeficientes complexos, o.</p><p>operador diferencial P(D):P' > P' é definido por</p><p>(3:18) PDF =D asDif=S aii fo)</p><p>j=0 j=0</p><p>onde P(z) = ao +az+:--+am2z”, am 0. Dada g E P”, considere</p><p>a equação diferencial</p><p>Estamos considerando (3.19) no sentido distribucional. Em analogia</p><p>com a nomenclatura clássica, dizemos que a equação (3.19) é uma</p><p>equação de ordem m. Tomando a transformada de Fourier em ( 3.19)</p><p>e usando a Proposição 3.5 (ii), obtemos</p><p>A</p><p>P(BÍ(K) = dk), VKEZ.</p><p>Se o polinômio P não tem nenhuma raiz inteira, é fácil ver que a</p><p>sequência (9(k)/P(k))rez está em S'(Z) (pois 5 € S(Z)) e, por-</p><p>tanto,</p><p>(3.20) f= s 1 gep</p><p>o o k=-—oo P(k) :</p><p>onde a convergência da série é no sentido de P'. É claro que f dado</p><p>por (3.20) é solução de (3.19). Voltaremos a discutir este problema</p><p>ao final da próxima seção.</p><p>4. À Convolução em 7”</p><p>Vamos começar definindo a convolução de fe P' comç e ?P. Em</p><p>Primeiro lugar, se f € Cper(l-7,7])ey € P, então a convolução fx</p><p>144 Séries de Fourier: Distribuições periódicas - (Cap. IV</p><p>pode ser escrita em termos das operações de reflexão e translação.</p><p>De fato, usando a notação da segunda seção,</p><p>Tr</p><p>Ge =5 | Hwele =) dy</p><p>«=</p><p>LOM</p><p>= Hoy XT. o )y) dy</p><p>sn -7</p><p>= (1,58)</p><p>Baseados nesta fórmula, se fE P' e y E P, definimos a convolução</p><p>de f e y como sendo a função</p><p>y</p><p>e</p><p>(4.1) (feg)= (LT), vER</p><p>Í</p><p>É fácil ver que a convolução assim definida tem as seguintes proprie-</p><p>dades:</p><p>e</p><p>(4.2) ADrp=Mf+ç)=f+(A9), AEC,</p><p>(4.3) ([+g)sp=frp+rgry, geP,</p><p>(4.4) falp+rb)=f*p+f+y, ver,</p><p>(4.5) (Thee =T(frpo)=f+*(Tp) teR.</p><p>A fórmula (4.5) mostra em particular que f + q é uma função</p><p>periódica de período 27.</p><p>Uma propriedade fundamental da distribuição ó € P' é que</p><p>ela funciona como uma identidade para a convolução, a menos de</p><p>uma constante: de fato, se py E P,</p><p>(4.6) (Qmô + (1) (6,7.6) = (2) = (2)</p><p>sec. 4) A Convolução em ?P” 145</p><p>Como observamos anteriormente, se (yr), €C P é uma identi-</p><p>dade aproximada, então 3 bn 2, Ó, ie. br 2, 976. Portanto as</p><p>identidades aproximadas em P aproximam 2ró (que funciona como</p><p>uma identidade para a convolução em P) no sentido de P'. Observe</p><p>que Dn 2, 9x6 » embora (Dn) não seja uma identidade aproximada</p><p>no sentido da definição II1.6.3: a razão é que a definição 111.6.3 foi</p><p>dada com o objetivo de obtermos f +, — f em C,e([--7,7]) para</p><p>f € Cper([-7,7]) e não apenas para f € P; (Dn) funciona como</p><p>uma aproximação da identidade em P, isto é py + DN 2, y para toda</p><p>per.</p><p>Muitas vezes a notação</p><p>(4.7)</p><p>(Lo)=[ Heola) de</p><p>-—T</p><p>é usada mesmo quando f € P' não provém de uma função; com essa</p><p>notação a equação (4.6) fica</p><p>(4.38) eo)= [ dote) dy</p><p>="</p><p>4</p><p>E claro que as integrais em (4.7) e (4.8) não fazem sentido como</p><p>integrais — isto é apenas uma notação que pode ser (ou não) con-</p><p>veniente. Os físicos a utilizam com bastante frequência.</p><p>Sobre as propriedades de diferenciabilidade da convolução,</p><p>em vista da Proposição 1.3 e do fato que distribuições são infinita-</p><p>mente diferenciáveis, obtém-se sem dificuldadé o seguinte resultado,</p><p>cuja demonstração será deixada a cargo do leitor (Exercício 9):</p><p>4.1 PROPOSIÇÃO. Seja fe Pe peEP. EntãofrpyePe</p><p>(4.9) (f * q)tm) — tm) +09 = f * tro, Yn EN.</p><p>Quanto à rela POf' Tcão entre a convolução e a transformada de</p><p>Fourier obtemos, como era de se esperar,</p><p>146 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>4.2 PrOPOSIÇÃO. SefeP'e yE?P, então</p><p>(4.10) (f+ 0) (k)= (kk), VkEZ.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para cada x € R fixo, T;y € P e, portanto, sua</p><p>série de Fourier converge no sentido de P. Calculando a série de</p><p>Fourier, obtemos</p><p>+oo</p><p>Ti = 5 (Top) (RD</p><p>k=-—oo</p><p>+oo.</p><p>=>, ct(G (RD:</p><p>k=—oco</p><p>+oo</p><p>>, et o(—k)Dk</p><p>k=—oo</p><p>Como a série converge no sentido de P segue que para todo x E R,</p><p>(+ oa) = (7.9)</p><p>1 &</p><p>= 2 >, et o(—k)(F, Dk)</p><p>k=-—oco</p><p>+oo . e</p><p>> esteanÃt=a)</p><p>k=-—oo</p><p>+oo e</p><p>3 amfmta(a)</p><p>k=—oo</p><p>Observe que esta última série converge de fató uniformemente pois</p><p>PES(Z) ef ES'(Z). Pela unicidade da série de Fourier, obtemos</p><p>(+ (k)=ABÍ(K), VkEZ E</p><p>Existe uma outra maneira natural de definir a convolução</p><p>fry, fEP',y EP, usando o método padrão utilizado na segunda</p><p>sec. 4] A Convolução em P” 147</p><p>seção. Se fE C,er(l-n;n]))ey EP, então fxy E Pe, para toda</p><p>ver,</p><p>(Eou= [ (Fe oXoyó(o) de</p><p>= [o devo) [ cdurtoe(e-)</p><p>r x</p><p>= + dyf(y) drb(z)p(z — y)</p><p>27 Jr -r</p><p>- f dy fu + Gy)</p><p>=(Lb+0)=(,6+0)</p><p>Isso nos leva a definir a convolução de fe P' ey € P pela fórmula</p><p>(4.11) Fe b=(forb), VEP</p><p>É fácil ver que f +o €E-P'. Vamos mostrar que essas duas noções</p><p>de convolução coincidem.</p><p>4.3 PROPOSIÇÃO. SefeP' ey EP, então</p><p>(4.12) Frpb=(fmapb), WeEP.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A equação (4.12) é equivalente à igualdade de</p><p>f*y e f* y como distribuições periódicas. Pelos resultados da seção</p><p>anterior basta mostrar que as transformadas de Fourier coincidem.</p><p>De fato, se k E Z,</p><p>Gs e) = (ft 2, B-4) =</p><p>Mas,</p><p>nx</p><p>(Ex Bl) [ GW)P-a(e—u) dy</p><p>="</p><p>l ” ka tk = — p(—yje "et" dy</p><p>2% Jx</p><p>— emite À f p(y)e Tt! dy</p><p>27 Jor</p><p>= 5 u(2)d(k)</p><p>148 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>logo,</p><p>De 0) = 4, BB) = ÍA = (+90)</p><p>pela Proposição 4.2. E</p><p>Uma vantagem da equação (4.11) é que ela nos permite de-</p><p>finir a convolução de duas distribuições periódicas. Se Lg E P',</p><p>definimos</p><p>(4.13) Fegp)=(f9+*9) YoeP.</p><p>Como q xy E P a equação (4.13) faz sentido e define um funcional</p><p>linear f*g:P > C. Para mostrar que f+*g € P', usaremos o seguinte</p><p>resultado:</p><p>4.4 LEMA. SefeP', (on) CPeqn B,então fepn D fap</p><p>- s(Z</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Pelo Teorema 1.2, &, 2) ?. Por outro lado,</p><p>f E S'(Z), logo existem C >0e N E N tal que</p><p>fa<CIW", vie zM0).</p><p>Portanto, sem >0, mezZ,</p><p>1f2n — flloo,m = sup(1ÍK)] [Pn(k) — G(k)| kJ)</p><p>< Csup(lPn(k) — GL IR|P SO)</p><p>kEZ</p><p>= Cn — Plomyn — O</p><p>quando n > oo. Sem =0,</p><p>|HONPn(O) — G(O)] < (O) Pn — Blloo,o — 0</p><p>sup(IÍR)] Pnlk) — PCB)I) < Cll2n — Plloo,n — O</p><p>sec. 4] A Convolução em P' 149</p><p>e, portanto,</p><p>|fPn — ÍPIloo,0 < max(1ÍO) IB — Plloo,0+ CHBn — Plloo,n) — 0</p><p>2. S(Z) à o</p><p>quando n — +oo. Isso prova que fQn S(Z) f?. Pela Proposição 4.2,</p><p>a P</p><p>(fPn) =f*pneportanto frpy, > f+p. E</p><p>P m P .</p><p>Portanto, seyn >, G+*pn— Gx*y, logo</p><p>eg) =(Liten)>(Lixp)=(f+9,9)</p><p>Então f *qg é um funcional linear contínuo, i.e. fxg E P', quaisquer</p><p>que sejam f,g E P*.</p><p>4.5 PROPOSIÇÃO. Se f,g E P' então (f+g)(k) = Í(k)G(k),</p><p>Vk E Z.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Usando o Corolário 3.2, a Proposição 4.2 e a Pro-</p><p>posição 3.5 (iii), obtemos, para qualquer y € P,</p><p>+oo</p><p>2 >, (F*9 (BB) = (f*9,9)= (1,540)</p><p>k=-—oco</p><p>+oo +oo</p><p>=27 55 fe =2m 5 fa)</p><p>k=-—oco k=-—oco</p><p>+oo</p><p>=2m 5) f)CA(-h).</p><p>k=-—oo</p><p>Tomando p = 6.,, n€ Z, obtemos</p><p>(F9)7(n)= rir). 1</p><p>A operação de convolução em P' é uma multiplicação e P'</p><p>em relação à convolução é uma, álgebra comutativa com identidade</p><p>276, isto é,</p><p>(1) (feg)*h=f+(g+*h), Vfg,he P';</p><p>150 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>(1) f*rg=9*f, Vfge?P';</p><p>(ni) (f+g)+h=f+h+tg+h, VigheP';</p><p>(iv) A)zg=Mf+9)=f+(09), MEC, fge?P';</p><p>(v) mô+f=f, VfEP.</p><p>A demonstração é simples, via transformada de Fourier, e é deixada</p><p>a cargo do leitor. Outras propriedades fáceis de mostrar são as</p><p>generalizações de (4.5) e (4.9), a saber,</p><p>(4.14) (Tf)+g=T(f+g)=f+*(Teg), MER, fge?P</p><p>(415) (feg)D=fMeg=fago, WmeN, fge?P.</p><p>Observamos também que se fn 2, f então fa +g 2, fx*g para</p><p>todo g E P'. De fato, qualquer que seja py € P, como gx E P,</p><p>(arm) =(fmodxp) — (1,9x09) =(f+9,9).</p><p>Em particular, se (pn), é uma identidade aproximada (não ne-</p><p>cessariamente em ?P), então qn * f 2, f para toda f € P', uma vez</p><p>que, como já observamos anteriormente, Pn 2, 276.</p><p>Como vimos no final da seção passada, se P(z) = ao +m2 +</p><p>“tamz” comam £O,seDéo operador diferencial em P' definido</p><p>pela fórmula |</p><p>(4.16) Df=-if'</p><p>e se P não tem raízes inteiras, então a única solução em P' da</p><p>equação</p><p>(417; P(D)f=9</p><p>é dada por</p><p>(4.18) - 5 a</p><p>sec. 4] A Convolução em ?P” 151</p><p>onde a série converge no sentido de P'. Observe que a unicidade</p><p>não é de espantar: uma vez que estamos procurando soluções em</p><p>P', estamos impondo condições de contorno periódicas na equação e,</p><p>como as soluções clássicas da equação homogênea contém exponen-</p><p>ciais reais, a única solução clássica periódica da equação homogênea</p><p>é-a solução nula.</p><p>Se o polinômio P tem alguma raiz inteira, então a equação</p><p>(4.17) tem solução se e somente se j se anula nas raizes inteiras de</p><p>P, uma vez que</p><p>(4.19) PICK) = Kb), VhEZ.</p><p>Neste caso a solução deixa de ser única.</p><p>EXEMPLO:</p><p>À equação</p><p>Df =6</p><p>não tem solução em ?P', pois neste caso P(z) = z tem raiz inteira</p><p>k = 0 e ó nunca se anula.</p><p>Do ponto de vista clássico, se g E Cper([-7,7]) e —if' = 9,</p><p>então f é periódica se e somente se g tem média nula, i.e.</p><p>9(0) = = g(x) dz = 0.</p><p>=]</p><p>Como vimos acima, o mesmo resultado vale em P”.</p><p>Podemos reescrever (4.18) em termos de convolução. Como P</p><p>não tem raiz inteira, a sequência ((P(k))”!)rez é limitada e portanto</p><p>está em S'(Z). Logo, existe G € P'tal que É(k) = P(k) 1, VkEZ</p><p>e (4.18) pode ser reescrita como</p><p>+oo +oo</p><p>f= 5 Ehb)d= 5 (Cry) B=G+g</p><p>k=-—oo k=— oo</p><p>152 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Tomando g = 2ró, vemos que G é uma solução fundamental de</p><p>P(D) em P”, isto é,</p><p>(4.20) P(D)G = 2m6</p><p>5. O Espaço Li([-r,n])</p><p>Nosso objetivo nesta seção é caracterizar o completamento de P em</p><p>relação à norma L?. Em primeiro lugar, note que P não é completo</p><p>em relação à norma L?: por exemplo, a sequência yr, definida por</p><p>(2.7) (veja o primeiro exemplo da segunda seção) converge na norma</p><p>Lº para H definida por (2.5); como (bn)L, CPe H É P, é claro</p><p>que (yn J2., é uma sequência de Cauchy em relação à norma L? que</p><p>não converge em P. No entanto, se (pn]2=1 € P é uma sequência</p><p>de Cauchy em relação à norma Lº, existe f € P' tal que pn 2, f:</p><p>de fato, usando a desigualdade de Hôlder (2.8), obtemos, para toda</p><p>peP</p><p>20,9) (em g)l= | [O (on(2) — em(z)(2) ds</p><p>< In — Pmllo llpll, — 0</p><p>quando n;m > oo, logo a sequência ((pn,y) Ja, é de Cauchy e</p><p>podemos definir f:P > C por</p><p>(5.1) (fp) = (Pop) pEP. im</p><p>n-—00</p><p>É claro que FE P' e qn D f.</p><p>sec. 5] O Espaço L?([-7,7]) 153</p><p>5.1 PROPOSIÇÃO. Sejam (pn), (bn) EP seguênciasde Cauchy</p><p>em relação à norma Lº. Então elas convergem em P' para a mesma</p><p>. . . ., 4. L?</p><p>distribuição periódica se e somente se pn — bn > 0.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Sejam f,g € P' tal que pa P, Foda P, g. Sepn—</p><p>Yn L, 0, é claro que pn — bn 2, 0 e portanto f = g. Reciprocamente,</p><p>suponha que f = q: então 0, = Yn — Yn 2, O e é uma seguência de</p><p>Cauchy em relação à norma L?; logo, dado é > 0, existe N E N tal</p><p>que</p><p>|ôn — Omlla <s</p><p>sempre quen,m >N. Portanto, sem >N,</p><p>|9m ll; = (Om | Om) = (Om | Om — 9n) + (Om | 9n)</p><p>S |9mll> ||9m — Onll> + (On, Om)</p><p><clôml + (0n,8m), Wn>N</p><p>e, tomando o limite quando n > +oo,</p><p>2</p><p>ômllz <cllôml, => |ômip<e E</p><p>Definimos L?([—7, 7]) como sendo a coleção das distribuições</p><p>periódicas f € P' que são limites (no sentido de P”) de sequências</p><p>(pn) E P de Cauchy em relação à norma L?: neste caso diremos</p><p>que (pn) converge a f no sentido de L?([-x,7]) e escreveremos</p><p>Pn E, f. Observe que se a distribuição f é de fato uma função</p><p>(seccionalmente contínua, por exemplo) então |lp, — fll, — 0: a de-</p><p>monstração desse fato é análoga à da Proposição 5.1. Note também</p><p>que Lº([-7,7]) contém Cper([-7,7]) uma vez a série de Fourier</p><p>de uma função contínua converge à função na norma L? (Teorema</p><p>HI.6.8).</p><p>É claro que L?([-7, 7]) é um subespaço vetorial de P'. Vamos</p><p>extender o produto interno em Cper([—-7,7]) para L?([—7m,7]) para</p><p>154 Séries de Fourier: Distribuições periódicas (Cap. IV</p><p>obter um expaço de Hilbert. Se f,g E LH([-mr,7])) e qn E f Ya E,</p><p>9 com Pn;Yn E P, defina</p><p>(62) G9)= im [ on(e)Balo) de</p><p>Usando a Proposição 5.1 e a desigualdade de Hôlder (2.8) com</p><p>p=q=t2, é fácil ver que o produto interno está bem definido,</p><p>isto é, independe das seguúências (pnt, (ynj escolhidas. Além</p><p>disso, a equação (5.2) coincide com o produto interno usual se</p><p>f,9 € Cper(l-7,7]) e é claro que define de fato um produto in-</p><p>terno em L?([-7,7]). Podemos então introduzir a norma L? em</p><p>Lº([-7,7]) através da fórmula</p><p>(5.3) Will =(f1)'2, ferra).</p><p>4 2</p><p>E claro que se (pn) € P é tal que q, L, f como definido anterior-</p><p>mente, então |lpn — flo — 0.</p><p>5.2 TEOREMA. LZ([-7,7]) munido do produto interno (5.2) é um</p><p>espaço de Hilbert.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja (fn) € LZ([-7,7]) uma sequência de Cau-</p><p>chy. Como f, € L*([-7,7]), existe bn € P tal que ||fn — bnllo < à.</p><p>Mas então (bn JX2., é de Cauchy e, portanto, existe f € LH[—7,7])</p><p>tal que bn b, f. Logo</p><p>fa — flo <a — Palo + bo —fl>0 8</p><p>O espaço L*([-7,7]) pode ser facilmente caracterizado via</p><p>transformada de Fourier. De fato,</p><p>5.3 TEOREMA. A transformada de Fourier restrita a L?([-7,7]) é</p><p>uma bijeção entre L?([-7,7]) e £2(Z). Além disso, vale a identidade</p><p>de Parseval</p><p>+00</p><p>(54) Iflj=2" 5</p><p>k=-—co</p><p>fa) =2mfl), feL-r,7]))</p><p>sec. 5] O Espaço L?([-7,7]) 155</p><p>ou, equivalentemente,</p><p>+oo</p><p>(5.5) FIg)=2m > fWah)=2mf|5), fgeL(-r,7]).</p><p>k=-—oco</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Dada a = (ax)rez € £2(Z), defina, para n EN,</p><p>Yn(x) = >; ape? = > as Bu(x)</p><p>|k|Xn |k[Xn</p><p>É claro que bn E P e, usando as relações de ortogonalidade</p><p>(HL.2.11),</p><p>(5.6) lybn — Umlo=27 0 5 Ju</p><p>n<|ki£m+1</p><p>onde, sem perda de generalidade, supusemos que n > m; como a E</p><p>£(Z), o lado direito de (5.6) tende a zero quando n,m > +oo0 e,</p><p>portanto, (Yn J, é uma sequência de Cauchy em relação à norma</p><p>L?. Mas então existe f € L*([-7,7]) tal que yn L, f; pela unicidade</p><p>da série de Fourier em P', f= a.</p><p>Reciprocamente, dada f € L*[-7,7]), seja (bn) € P tal</p><p>2 !</p><p>que Yn L, f. Como br 2, f, para todo k € Z,</p><p>. 1 1 .</p><p>õ.1 = — “= lim — -p= h 67) ÃB= 58) = lim so(bm 8-4) = lim dah)</p><p>Pela identidade de Parseval (válida em P!),</p><p>2 , ARTE</p><p>[bn — Ymllo = 27)bm — bm lo:</p><p>Logo, (bn )Sº., é uma seqiiência de Cauchy em (2(Z), que é completo,</p><p>. LUZ .</p><p>e portanto ya, 2) a para algum a € *2(Z). Mas então, para todo</p><p>k E Z,</p><p>2</p><p>50</p><p>2</p><p>[o — Bal < Ss jar — ônlo = ja — dn</p><p>t=—00</p><p>156 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>quando n > oo e, de (5.7), a = f E LMZ).</p><p>Provamos então que a transformada de Fourier é uma bijeção</p><p>entre L“((-7,7]) e €(Z). Além disso, pelo argumento usado no</p><p>início da demonstração, se f E L“([—-7, 7]) então sua série de Fourier</p><p>converge a f na norma L? (veja a equação (5.6)). Mas então, como</p><p>a identidade de Parseval é válida em ?P,</p><p>lo = im SO], = Jim 27 35 |f09]=2mfl,,</p><p>k=-n</p><p>onde Sn(f), como de hábito, denota a n-ésima soma parcial da série</p><p>de Fourier de f. |</p><p>Finalmente, (5.5) e a equivalência entre (5.4) e (5.5) são co-</p><p>rolários da identidade de polarização (111.1.24). E</p><p>O Teorema 5.3 nos diz então que L?([—-7,7]) é a coleção das</p><p>“funções” da forma</p><p>+oo</p><p>f = >; ar Pk</p><p>k=-oo</p><p>onde a convergência da série é no sentido L? e a = fet(Z). Na</p><p>verdade, todas as distribuições periódicas em L?([-7,7]) provêm</p><p>de fato de funções que não estão, no entanto, definidas unicamente.</p><p>(Como já vimos anteriormente, se mudarmos uma função em alguns</p><p>pontos, isto não muda a distribuição que ela define.) Mas é possível</p><p>representar L2([—7,7]) como uma coleção de classes de equivalência</p><p>das chamadas funções de quadrado integrável no sentido de Lebes-</p><p>gue. A discussão de tal representação nos levaria muito longe no</p><p>nosso tema central. O leitor interessado pode consultar por exemplo</p><p>[40] ou [70].</p><p>EXEMPLO:</p><p>Qualquer que seja x E R, 6 É L“([-r,7]): de fato, para todo</p><p>keZ,</p><p>x 1 1,</p><p>óz(k) = Da tôz, Pk) = dm * kz</p><p>sec. 6] O Operador D? em Lº([-7,7]) 157</p><p>ôs(b) -1 e BEM. logo 2</p><p>Para encerrar esta seção, podemos resumir alguns dos resul-</p><p>tados mais importantes sobre séries de Fourier na Figura 11, onde,</p><p>em cada caso, a transformada de Fourier ” é uma bijeção linear e</p><p>“contínua com inversa ” contínua e as inclusões.— são contínuas com</p><p>imagem densa, isto é, cada elemento do espaço maior pode ser apro-</p><p>ximado por uma sequência no espaço menor, a convergência sendo,</p><p>é claro, no sentido do espaço maior.</p><p>petit) Pp</p><p>blood</p><p>SD) ce tZDC o J(Z)</p><p>Figura 11</p><p>6. O Operador Dº em L*(([-7,7|])</p><p>Nesta seção vamos estudar um caso particular dos operadores P(D)</p><p>discutidos ao final das seções três e quatro, com P(z) = 2?. Só que</p><p>agora estudaremos D? em L*([—-7,7]). Este é um exemplo muito</p><p>importante e ilustrativo de um operador linear descontínuo em um</p><p>158 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>espaço de Hilbert. Começaremos introduzindo algumas definições e</p><p>resultados.</p><p>Seja KH um espaço de Hilbert. Uma função T com domínio</p><p>Dom(T) € H tomando valores em H é chamada uma aplicação linear</p><p>(ou operador linear) se Dom(T' é um subespaço de H e</p><p>(6.1) T(af +89) =0T(M)+BT(g), aBEeCS, fg E Dom(T).</p><p>2</p><p>E claro que é necessário que Dom(T) seja um subespaço</p><p>para que a condição (6.1) faça sentido. Neste caso escreveremos</p><p>T.Dom(T) € KH > H e diremos que T é um operador linear em</p><p>H. Além disso, sempre que não houver possibilidade de confusão,</p><p>denotaremos T(f) simplesmente por T f.</p><p>Um operador linear T em H é dito limitado se existe C > 0</p><p>com</p><p>(6.2) ITfI< CI, VÍ e Dom(7).</p><p>O Exercício 10 do terceiro capítulo nos dá o seguinte resultado:</p><p>6.1 ProPosIçÃO. Seja T:Dom(T) CH > H um operador linear.</p><p>Então as seguintes afirmações são equivalentes:</p><p>(i) T é contínuo em Dom(T);</p><p>(ii) T é contínuo na origem;</p><p>(iii) T é limitado.</p><p>É fácil verificar que, se K é um espaço de dimensão finita,</p><p>então todo operador linear em H é limitado. Este resultado é falso no</p><p>caso de dimensão infinita: considere o operador D? em LZ([-7,7])</p><p>com Dom(D?) = P e</p><p>(6.3) D'f=-f", fe?P.</p><p>É claro que D? é linear. Vamos mostrar que D? não é limitado: para</p><p>cada n E Z*, seja</p><p>inr</p><p>e</p><p>Pn(x) = “pn? ze R;</p><p>sec. 6] O Operador D? em L?([-7,7]) 159</p><p>então pn E P para todo n E Z*, Ion ll = 2r — 0 quando n ></p><p>+oo mas |D?pall; = 27 para todo n E Z?, e portanto D? não é</p><p>limitado.</p><p>Se S € H é um subconjunto qualquer de H, o fecho de S em</p><p>H, denotado por S, é a coleção dos elementos f € H que são limites</p><p>de sequências (fn) EC S; se S = S, dizemos que S é fechado em H.</p><p>É fácil ver que se M é um subespaço de H então M é também um</p><p>subespaço; se M = H, dizemos que M é denso em H. Por exemplo,</p><p>P e Cper([-7,7]) são subespaço densos em L?([—7, 7)).</p><p>Se M é um subespaço de K, a coleção de todos os operadores</p><p>limitados em K com domínio M, denotada por B(M,H), é um</p><p>espaço de Banach em relação à norma</p><p>(6.4) |Tj= into >0]TA<CfI, vVfeM)</p><p>e, além disso,</p><p>T</p><p>(6.5) pr = sup PAL sup ITfll= sup ITA]</p><p>são fl uyl= o<nfli<i ||]</p><p>(Exercício 11, Capítulo III). É importante notar que todo T €</p><p>B(M,H) pode ser extendido de maneira única a TemM,H).</p><p>De fato; se f € M, existe uma sequência (fas € M convergindo a</p><p>f; mas então (T'f,) é uma sequência de Cauchy em KH, pois</p><p>UT fa — Tm < UT — fmll>0</p><p>quando n,m — +oo, logo, podemos definir</p><p>(6.6) Tf=lmTh</p><p>n—o00</p><p>Observe que esta definição independe da segiência: se (gn) E M é</p><p>outra sequência com g, > feTga—g,então ||fn —-gn|>0€e</p><p>Tr -a<|Tf=Trl+ ITS — Tanll+ To — 5</p><p><fTr-Trlj+ITI Sa — gnll+ Ton — 5] > 0.</p><p>160 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Logo, T'f = 5. É claro que T é um operador linear e</p><p>[EF r|l= Jim [Ty TI im fall= TZ]</p><p>n—00</p><p>Assim, Te B(M,H)e |T|| <||T]. Por outro lado,</p><p>IPA = [Ps TA vreM</p><p>e portanto |T| = ||T||. A unicidade é clara: se T fosse outra ex-</p><p>tensão contínua, então T' teria que satisfazer (6.6), logo T' = T.</p><p>Por conveniência, vamos colocar esses resultados em um teo-</p><p>rema:</p><p>6.2 TEOREMA. Se M é um subespaço vetorial de K então B(M, H)</p><p>é um espaço de Banach em relação à norma (6.4). Além disso,</p><p>vale (6.5) e todo operador T € B(M,H) tem uma única extensão</p><p>TEBM,H).</p><p>Ão contrário do que acontece no caso limitado, operado-</p><p>res não limitados não podem ser extendidos ao fecho de maneira</p><p>razoável. Por exemplo, considere o operador D? em L*[-7,7])</p><p>como definido acima: como extender D? a P = LH[-7,7)))? A</p><p>tentativa natural é utilizar a noção de derivada no sentido das dis-</p><p>tribuições; no entanto, não é difícil exibir uma distribuição periódica</p><p>fe L([-m,7]) tal que f” é L([-m,7)).</p><p>EXEMPLO:</p><p>1. Seja</p><p>f(x) = |zx] se —-r<z<T</p><p>(6.7) f(e +27) = (2), VER</p><p>Então f € Cper([—7,7]) E L?([-7m,7]) mas, pela Proposição 2.3, é</p><p>fácil ver que f! = 26 — 26, É L%([-7,7]), uma vez que f” é (2).</p><p>O operador D? em L*(|-7,7]) com Dom(D?) = P é um</p><p>operador simétrico, 1.e.</p><p>(6.8) (D'f |g)=(f|Dº9), Vf,9 € Dom(D?).</p><p>sec. 6] O Operador D? em L?([-7,7]) 161</p><p>A demonstração da equação (6.8) é muito fácil: basta integrar por</p><p>partes duas vezes. É interessante observar que uma equação análoga</p><p>à (6.8) vale para distribuições em L?([—7, 7]) com derivada segunda</p><p>em Lº([-7,7]). Mais precisamente, se f,g € L*([-7,7]) são tais</p><p>que f",g" E L?([-m,7|]), então</p><p>(6.9) FPIg)=(-9".</p><p>De fato, usando a identidade de Parseval (5.5), a Proposição 3.5(11)</p><p>e a hipótese que f,9,f",9" € L?([-7,71]), obtemos</p><p>+oo</p><p>(Fº Ig)=2m 55 (SN (a)a(k)</p><p>k=-—oo</p><p>+oo e 2</p><p>=27 >, KÍk)(k)</p><p>k=-—oco</p><p>+oo</p><p>=27 5, kg (h)</p><p>k=-—oo</p><p>= (f | 9")</p><p>É possível provar que qualquer operador linear simétrico não</p><p>limitado com domínio denso não pode ser extendido ao expaço</p><p>inteiro como um operador linear simétrico (veja o teorema de</p><p>Hellinger-Toeplitz em [65]).</p><p>A “extensão simétrica maximal” do operador D? em</p><p>L2((-7,7]) é o operador Hy em L?([-7,7]) definido por</p><p>(6.10) Dom(Ho) = (f e L([-m,7]): !" e LH[-m,n])</p><p>(6.11) Hof=-f", Vf€Dom(Ho)</p><p>É claro que H, assim definido é um operador linear simétrico (pela</p><p>equação (6.9)) em L*([-7,7]). Em vista do Teorema 5.3 e da Pro-</p><p>posição 3.5,</p><p>(6.12) Dom(Ho) = (f € L“([-7, 7): (k f(k))rez € L(Z))</p><p>162 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>e Ho corresponde, via transformada de Fourier, ao operador maximal</p><p>de multiplicação por k? em £2(Z), M, i.e.</p><p>(6.13) Dom(M) = (a € (2): (kox)rez € L(Z)),</p><p>(6.14) Ma = (kar)rez Va € Dom(M),</p><p>(6.15) Hof=(Mf) Vf € Dom(Ho).</p><p>Observe que a transformada de Fourier diagonaliza o opera-</p><p>dor H, de maneira análoga ao teorema espectral para operadores</p><p>auto-adjuntos em espaços de dimensão finita: de fato, se denotar-</p><p>mos por Fper à transformada de Fourier em L?([-7,7]), a equação</p><p>(6.15) pode ser reescrita como</p><p>Hof = FuMPreaf Vf € Dom(Ho) per</p><p>ou</p><p>FreaHo Fra = Ma Vae Dom(M) per</p><p>e o operador M é um operador diagonal pois</p><p>(k-1) O</p><p>M=lo. k?</p><p>O (k + 1)?</p><p>se interpretarmos cada elemento de £2(Z) como um “vetor-coluna.</p><p>infinito” e os operadores lineares em £2(Z) como “matrizes infinitas”.</p><p>sec. 6] O Operador Dº em L?([-m,7]) 163</p><p>Podemos também olhar a equação (6.15) como uma expansão</p><p>em auto-funções: a função d,, k€E Z, é evidentemente uma auto-</p><p>função de Ho correspondente ao auto-valor k? e (6.15) pode ser</p><p>reescrita como</p><p>O 2$ 1</p><p>Hof = DP ÍCO: > 97 >, k(f |d:)P; Vf E Dom Ho,</p><p>kEZ kEZ</p><p>on ainda</p><p>Ho()=>, Pl | Br) Pk</p><p>keZz</p><p>= > KR Pio),</p><p>keZz</p><p>onde P, é a projeção ortogonal sobre o auto-espaço gerado pela</p><p>auto-função D,, k E Z.</p><p>O fato que Hy corresponde, via transformada de Fourier, ao</p><p>operador M em £*(Z) nos permite definir funções do operador Ho:</p><p>se F:N > C é uma função, defina</p><p>Dom( F(Ho)) = (f € L(-n,7]): (6.16) .</p><p>(F(K) f(Kk))rez € (2)</p><p>(6.17) F(Ho)f = (Mrf)", fEDom(F(Ho)),</p><p>onde Mp é o operador maximal de multiplicação por F(k?) em (2(Z),</p><p>1.€.</p><p>(6.18) Dom(Mp) = (a e t(Z):(F(k?)ax)rez € P(Z)),</p><p>(6.19) (Meo) =F(k Jar, kEZ, a E Dom(Mp).</p><p>Às equações (6.16) e (6.17) definem de fato um operador linear em</p><p>L([-7, n))</p><p>164 Séries de Fpurier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>EXEMPLOS:</p><p>2. Seja FEN > C a função F(k) = k”, onde n E Z* está fixo.</p><p>Então F(Ho) = Hg, i.e.</p><p>Dom(F(Ho)) = (f € LH[-m,7]): SO” e D([-7,7]))</p><p>F(Ho)f = (-1)"fC9, fe Dom(F(Ho))</p><p>Este resultado segue facilmente do Teorema 5.3.e da Proposição</p><p>3.5(1i). Em particular, se n = 1, isto é, se F é a função identidade</p><p>F(k) = k, então F(Ho) = Ho. |</p><p>3. Seja F:N — C a raiz quadrada positiva, i.e. F(k) = Vk, k>0.</p><p>Vamos denotar F(Ho) = Ho. Então</p><p>(6.20) Dom(Hj) = (f e L([-m,m]):(lk| (k)rez € P(2))</p><p>(6.21) Ho” f=5 |of(h)Ds, f € Dom(H$?),</p><p>keZ</p><p>onde a convergência da série em (6.21) é no sentido L?. Observe</p><p>que, embora Hy seja uma extensão de D?, H, 5 12 não é uma extensão</p><p>de D: D corresponde, via transformada de Fourier, ao operador</p><p>de multiplicação por k em 42(Z) com domínio S(Z), enquanto que</p><p>H$ 12 corresponde ao operador maximal de multiplicação por |kl.</p><p>Note também que H o 2 é um operador posttivo, i.e.</p><p>(6.22) (92 fI| SO, VE Dom(Hç?).</p><p>A demonstração de (6.22) segue da identidade de Parseval (5.5) e da</p><p>equação (6.21). Da equação (6.21) é fácil ver que o núcleo de Hi,</p><p>ie. (fe Dom(Hj/): His = 0), é o espaço das funções constantes</p><p>(que é também o núcleo de D)..</p><p>seo. 6) . O Operador D? em L([-n,7]) 165</p><p>Nos exemplos acima as funções F são limitadas e os ope-</p><p>radores F(Ho) correspondentes são descontinuos. Observe que se</p><p>F for uma função limitada, então F(H,) é um operador limitado,</p><p>ie. F(Ho) € B(L*([-7,7))). De fato, se |F(k?)|.< C para todo</p><p>k E Z, onde C > 0 é uma constante, então (F(k? Ja, )pez E L(Z)</p><p>se e somente se a E 42(Z), portanto, de (6.16), Dom(F(H,)) =</p><p>Lº([—-7,7]); além disso, de (6.17), usando a identidade de Parseval</p><p>(5.4),</p><p>, +oo .</p><p>IFCHo)FfIÊ = 2 >> [PIA < 270 AI = Cº fla.</p><p>k=-—co</p><p>Logo, F(Ho) € B(L*([-7,7])) com ||F(Ho| < C.</p><p>Um exemplo muito importante é o que nos permite inverter</p><p>Ho — z sempre que z E C, z jk? para todo k E Z. Para definir</p><p>(Ho — z)7! basta considerar a função F,, para cada z € C fixo com</p><p>z + k?,tal que</p><p>1</p><p>k2 —</p><p>(6.23) o F(K)= > VEZ.</p><p>É claro que F, é limitada com</p><p>[FR] < C(2) = (es é = 1)</p><p>Pelo que vimos acima, F, define um operador F(Ho) e.</p><p>B(L([-m,7])) por</p><p>(6.24) F(Ho)f =>, po</p><p>keZ</p><p>de, fEL(Dr,a))</p><p>Vamos mostrar que de fato F.(Ho) = (Ho — 2).</p><p>6.3 PrOPOSIÇÃO. Sez € C,z k? para todo k E Z, então</p><p>F(Ho) — (Ho — FA 1.e.</p><p>166 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>(i) sefe L([-r,7]), F(Ho)f€ Dom(Ho) e</p><p>| (Ho — 2) F(Ho)f = f;</p><p>(ii) se f € Dom(Ho), então</p><p>FAHo(Ho — 2)f = f.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Suponha que f € LH[-7,7)). De (6.24) é claro</p><p>que</p><p>a</p><p>(ELHOP() = LÉL, vie. k2— 2</p><p>Como a função k E Z + k?(k? — z)7? é limitada, obtemos</p><p>+oo</p><p>s 6 (F, BW = =</p><p>k=-—oo k=-—oo</p><p>SK() ” |] < 00,</p><p>k=-—oo</p><p>onde</p><p>2</p><p>K(z) = sup El</p><p>Portanto F.(Ho)f € Dom(Ho) e</p><p>(Ho = DF(Ho)f= 5 (6º NEH) PDR</p><p>k=-—oo</p><p>to</p><p>-S four</p><p>“ k=-—o0</p><p>Por</p><p>outro lado, se f € Dom(Ho), então</p><p>Ho DIR s Mo,</p><p>k=-—oo</p><p>FAHoXHo — 2)f =</p><p>+00</p><p>> fd =S.8</p><p>k=-—oo-</p><p>sec. 6] O Operador D? em L?([-7,7]) 167</p><p>O operador F.(H,) é chamado o operador resolvente (ou sim-</p><p>plesmente o resolvente) de Ho; denotaremos doravante F,(Ho) por</p><p>(Ho — 2)! ou por Ro(z). Note que a proposição acima nos diz que,</p><p>qualquer que seja g E L?([—7,7]), a equação</p><p>(6.25) (Ho —-2)f=g9</p><p>tem uma única solução em L*([—7, |), a saber</p><p>(6.26) f=(H —- 2)"</p><p>Observe que o resultado acima apenas coloca em linguagem</p><p>de operadores uma generalização — pois agora estamos procurando</p><p>soluções no sentido das distribuições e não mais soluções clássicas —</p><p>do método de Fourier para resolver equações diferenciais lineares</p><p>de coeficientes constantes (com condições de contorno periódicas),</p><p>método este utilizado desde a quarta seção do capítulo anterior.</p><p>Ão longo deste trabalho teremos muitas oportunidades de usar esta</p><p>linguagem na resolução de diversos problemas, extendendo o método</p><p>de Fourier descrito acima através do uso de expansões em auto-</p><p>funções.</p><p>Pela Proposição 4.5, podemos reescrever o resolvente de Ho</p><p>como um operador de convolução: a equação (6.24) pode ser rees-</p><p>crita como</p><p>fCk) (627) Ro(df=) 5 50 =Gi*f</p><p>keZ</p><p>onde</p><p>1</p><p>(6.28) G.=>) mos</p><p>kEZ</p><p>Observe que a série acima de fato converge uniformemente para cada</p><p>z fixo, z £ k? para todo k E Z, e portanto define uma função</p><p>168 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>G. € Cper([-7,7]). Como era de se esperar (veja o final da quarta -</p><p>seção), G, é uma solução fundamental de D? — z em P*. De fato,</p><p>qualquer que seja py E P,</p><p>(-GU — 26,59) = (Go — 29)</p><p>+oo</p><p>=(G., PCk)(K? — 2)Dx)</p><p>k=-oo</p><p>+oo +</p><p>= 55 GONE — (Gs, 8)</p><p>k=-—oo o a</p><p>= 27 >, P(k) = 27p(0)</p><p>o k=-oco</p><p>= (276,9)</p><p>1.€.</p><p>—G4 — 2G, = 276.</p><p>7. Aplicações</p><p>Nesta seção vamos estudar dois exemplos simples mas bastante</p><p>ilustrativos de problemas de valor inicial em espaços de Hilbert.</p><p>Muitos problemas em EDP's, especialmente aqueles provenientes da</p><p>física, podem ser reformulados neste contexto de modo a permitir a</p><p>aplicação da vasta e poderosa teoria de operadores em espaços de</p><p>Hilbert. O leitor interessado pode consultar por exemplo [12], [42],</p><p>[47], [59], [65], [66], [67], [76], [89].</p><p>Vamos começar considerando o problema de encontrar u: R x</p><p>[0,00) > C tal que Ô,u existe em R x (0,00) e</p><p>u(:;t) € Cherkl=7,7]), t> 0,</p><p>(7.1) du = Ou o em Rx(0,00),</p><p>u(z,0) = f(x), 2" zeR</p><p>sec. 7] - Aplicações 169</p><p>É claro que a condição de compatibilidade f € Cêer([—7, 7]) tem que</p><p>ser imposta para que (7.1) faça sentido. Nossa experiência anterior</p><p>nos leva a procurar uma solução da forma</p><p>+oo .</p><p>(7.2) CC umt= > cu(t)eitr</p><p>k=-—oo</p><p>Impondo a EDP e a condição inicial, obtemos formalmente</p><p>“(cd=-ket)</p><p>(7.8) Lao) =)</p><p>para todo k E Z. A única solução de (7.3) é</p><p>ext) = e f(h)</p><p>e portanto o candidato à solução é</p><p>+co</p><p>u(x,t) = > et f(k)eit</p><p>k=-—oo</p><p>= (Me, f)"(2)</p><p>= (Fe Ho)fz)</p><p>(7.4)</p><p>onde F;(k) = e*E e Mr, é o operador maximal de multiplicação por</p><p>Fi(k?) em t2(Z). A demonstração de que (7.4) é de fato solução de</p><p>(7.1) é simples e será deixada a cargo do leitor, (Exercício 13). Nosso</p><p>objetivo agora é reinterpretar o problema (7.1) como um problema</p><p>de valor inicial para uma equação diferencial ordinária no espaço de</p><p>Hilbert L?([—7,7]). Para isso sejam</p><p>(7.5) v(t) = u(:,t) = entHo f</p><p>(7.6) w(t) = Oru(:,t)</p><p>170 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>Como a função Fi(k?) é limitada, etHo E B(L?([-7,7])) para</p><p>todo t > 0 e v:[0,00) — L([-m,7]). Por outro lado, como</p><p>fe Clerl=n,7]) C Dom(Ho), a série</p><p>+oo</p><p>o) = 5 (fe tt ds</p><p>k=-oo</p><p>converge em L?([-7,7]) mesmo para t = 0 e portanto w: [0,00) —</p><p>Lº((-7,7]). Utilizando a identidade de Parseval (5.4), obtemos</p><p>a</p><p>+oo</p><p>= 27 >,</p><p>k=-—co</p><p>+oo</p><p>= 27 >,</p><p>k=-—oo</p><p>+oo</p><p>= 27 >,</p><p>k=-—oco</p><p>2 -hk?</p><p>e f(h) (ES a ! re)</p><p>2 h 2</p><p>0</p><p>h</p><p>et f(R)k? ( — a) 24)</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>Vamos mostrar que</p><p>(7.7) lim</p><p>para cada t E [0,00). De fato, como f € Dom(Ho), para cada</p><p>t€[0,00) fixoe e >0, podemos escolher Ne Zt tal que</p><p>2 > |? fl < e</p><p>kiI>N</p><p>es>0talqueô<ijset>0e</p><p>2.</p><p>lh|<6=> Ho f|lál1 Den? o 3</p><p>sec. 7] Aplicações 171</p><p>Então se O < h < ó temos,</p><p>1 t —sk?</p><p>E) e ds</p><p><1-ett e</p><p>-i[a -s 5d = 4). e*E Jds</p><p>1 se |kl>N</p><p>1-etN? se |k|<N</p><p>Por outro lado, se -ó< h<0, então tf0e</p><p>f ne 1 [ K</p><p>1—-— e" dsl= — e” — 1)ds</p><p>A mb</p><p>k2t/2</p><p>« eli? 1 4 [) , se Jk| >N</p><p>ehNO 1 se |k|<N</p><p>Obtemos portanto</p><p>tk? | f —sk? 1—-— e ds</p><p>h Jo</p><p>(| se |k|>N</p><p>= ethNº! se I|k|<N</p><p>O<l|k|<6ó=> em</p><p><</p><p>de modo que se 0< I|k| < 6,</p><p>pl ho) — no) — w(t) <97 >, ja — eta f(o|</p><p>IRISN</p><p>e 5 [eiof</p><p>IN</p><p>mal -esm[rG <<</p><p>l.e.</p><p>vlt + ») = ut) «o, ce</p><p>172 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>o que prova (7.7). Mas então v: [0,00) — L?([—7,7]) é diferenciável</p><p>no sentido usual (clássico) em relação à topologia de L?([—7, 7]).</p><p>É natural portanto introduzir a seguinte definição: se J € R</p><p>é um intervalo e ):J — Lº([-7,7]) é uma função, dizemos que 1) é</p><p>diferenciável em to E J no sentido de L?([—7,7]) se existe o limite</p><p>cb Wlto) dy</p><p>(7.8) a CD Cd (to)</p><p>na norma de L?([-7,7)). Com esta notação, (7.7) nos diz que w(t) =</p><p>Se (t) no sentido de Dm, r]) para todo t € [0,00). Por outro lado,</p><p>da expansão em série para w(t) vemos que</p><p>. +90</p><p>(= 5 (RP</p><p>k=-—oo</p><p>-5 e RX (o (1)</p><p>k=-—oo</p><p>= — Hou(t)</p><p>Logo v é solução do problema</p><p>v(t) E Dom(Ho), WVi>O,</p><p>dv</p><p>dg Hov,</p><p>v(0) = f E Dom(Ho).</p><p>(7.9)</p><p>Observe que usamos a condição f € C2.([-7,7]) apenas para ga-</p><p>rantir que f € Dom(Ho). Segue portanto que, dada f € Dom(Ho),</p><p>a função</p><p>(7.10) (8) = mto f, t>0</p><p>é solução de (7.9). Vamos mostrar agora que o problema (7.9) é bem</p><p>posto em L?([—7, 7]).</p><p>sec. 7) Aplicações 173</p><p>7.1 TEOREMA. O problema (7.9) é bem posto em L2([-7,7)]), isto</p><p>é, para cada f € Dom(H,), existe uma única solução v de (7.9)</p><p>e, além disso, a solução depende continuamente do dado inicial no</p><p>sentido L?, ie. se(faJ21 € Dom(Ho) e fa L, f, então vn(t) E, v(t)</p><p>para todo t > 0, onde va(t) é a solução de (7.9) com condição inicial</p><p>fa.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Já vimos que (7.10) é solução de (7.9) e, como</p><p>e*Ho E B(L?([-7,7])) para todo t > 0, é claro que</p><p>hbf> jeto f cer >0, W>O.</p><p>Falta apenas provar a unicidade. Suponha então que u:[0,00) —</p><p>Lº([—7, 7)) é solução de (7.9). Aplicando a transformada de Fourier</p><p>obtemos</p><p>ú(t) E Dom(M), Vt>O,</p><p>(7.11) Siú(kt)=-ka(k,t), VWtDO,</p><p>à(k,0) = f(k),</p><p>para todo k € Z, onde ú(k,t) = (u(t)) (k). Mas, para cada k € Z,</p><p>o problema (7.11) tem uma única solução, a saber</p><p>à(k,t) = e lh) = 0(k,t), WiDO.</p><p>Pela unicidade da transformada de Fourier, u=v. E</p><p>Existem outras topologias em relação às quais podemos con-</p><p>siderar a dependência da solução nos dados iniciais. Uma dessas é a</p><p>induzida pela norma do gráfico em Dom(Hy), i.e.</p><p>(7.12) WU = fl; + Hoflb, f € Dom(Ho).</p><p>É fácil verificar que |||:||| define uma norma no domínio de Ho em</p><p>relação à qual Dom(H,) é um espaço de Hilbert. É claro da de-</p><p>finição (7.12) que Ho é um operador limitado de (Dom(Ho), |||:|||)</p><p>174 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>em L?([-7,7]). Também é fácil ver que, se |||fn — Il] — 0, então</p><p>|em+Ho fn — e tHo f Il — 0. Deixamos os detalhes para serem preen-</p><p>chidos pelo leitor (Exercício 10).</p><p>É interessante observar que e-*Ho tem as propriedades es-</p><p>peradas, i.e. é igual ao operador identidade se t = 0 e satisfaz</p><p>etHoç-sHo — e-(s+t)Ho quaisquer que sejam st > 0. Além disso,</p><p>t+ emtHo é fortemente contínua i.e.</p><p>Ie 'Ho f — etHo fl], > 0 quando s>t</p><p>qualquer que seja f € L?([-7,7]). A família de operadores limitados</p><p>U(t) = etHo, +t>0, forma um semigrupo fortemente contínuo a</p><p>um parâmetro (veja o Exercício 11 ao final deste capítulo). Note</p><p>também que, como (7.10) é solução de (7.9),</p><p>S(e-tHo f) = —Hoe Ho f, Vf E Dom( Ho).</p><p>Para maiores detalhes sobre semigrupos fortemente contínuos</p><p>veja</p><p>[46], [66] ou [89].</p><p>Vamos agora estudar um problema com a equação de Schrô-</p><p>dinger livre (veja equação (1.1.7)), i.e. com V = 0, onde tomamos</p><p>h/2m = 1 para simplificar. Queremos obter u(x,t), 2,t € R, tal que</p><p>ô,u existe em Rº? e</p><p>u(:st) € Cõer(l=7,7]), vt 20,</p><p>(7.13) idu=-Ou em Rº?</p><p>u(z,0) = f(x), zER.</p><p>É claro que precisamos ter f E Cõer(l-7,7]). Procedendo como</p><p>anteriormente, obtemos</p><p>+ou</p><p>u(zt)= >) eiPtf(k)ete = (Me, f) (a)</p><p>k=-—oco</p><p>= (Fi(Ho)f x) = (e-“Ho Pa)</p><p>(7.14)</p><p>sec. 7] Aplicações 175</p><p>onde Fi(k?) = et”. Como f E Cer(l—7,7]), à série em (7.14)</p><p>converge uniformemente, mas é preciso impor mais diferenciabili-</p><p>dade na condição inicial f se quisermos derivar a série termo a termo</p><p>em relação a t. Mas ao invés de fazer isto, vamos reinterpretar o pro-</p><p>blema (7.13) como um problema de valor inicial em LZ([—7,7]):</p><p>v(t) E Dom(Ho), WVt>O</p><p>= Hoy em R</p><p>v(0) = f E Dom(Ho)</p><p>(7.15)</p><p>De forma análoga ao que fizemos anteriormente, podemos provar:</p><p>7.2 TEOREMA. O problema (7.15) é bem posto em L*M[-7,7]) e</p><p>sua solução é dada por</p><p>(7.16) v(t)=e tor 4>0.</p><p>A demonstração do teorema fica a cargo do leitor. Observe</p><p>que, como jert?| = 1, pela identidade de Parseval obtemos</p><p>(7.17) lol, = fp, Vt20.</p><p>Em outra palavras, o operador e-'tHo € B(L2([-7,7)])) é de fato</p><p>uma isometria 1.e. preserva a norma. Devido à identidade de po-</p><p>larização, preservar a norma é equivalente a preservar o produto</p><p>interno, 1.e.</p><p>(etHof |etHog) =(f|g)</p><p>quaisquer que sejam f,g € L([—-7,7]).</p><p>Como toda isometria, o operador e'tHo é injetor para cada</p><p>t E R. Em dimensão infinita, é sempre bom lembrar, nem todo</p><p>operador linear injetor é sobrejetor: por exemplo, o espaço 42(Z*)</p><p>das sequências complexas a = (41,02,03...) tais que</p><p>o</p><p>> lan |? < oo</p><p>n=l</p><p>176 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>é um espaço de Hilbert em relação ao produto interno</p><p>So erro</p><p>(a B ) = > AnBn</p><p>n=1</p><p>e o operador deslocamento à direita T:t2(Zt) — £2(Z*) definido</p><p>por</p><p>(7.18) Ta=(0,01,02,...)</p><p>é uma isometria linear (portanto injetora) que não é sobrejetora.</p><p>Não obstante, para cada t € R, o operador e *tHo é sobrejetor com</p><p>inversa e“'Ho; de fato, se f € L*([-7,7]), então</p><p>+oo +oo</p><p>f= 55 fk)de= 5) cet f(h)O,</p><p>, k=-oo k=-oo</p><p>+ ao + .</p><p>— > gTtk (eitHo Pr(k)O, — eTitHo (eitHo p),</p><p>“ k=-oo</p><p>(a convergência das séries, é claro, é no sentido de L?([—7, 7])).</p><p>Dado um espaço de Hilbert H, um operador linear U € B(H)</p><p>isométrico sobrejetor é dito unitário. Uma família (U(t):t E R) de</p><p>operadores unitários em H é um grupo unitário fortemente contínuo</p><p>a um parâmetro se:</p><p>(1) U(t+s)=U()U(s), VsteR;</p><p>(i) U(O) = 1;</p><p>(11) VfeH, VsER,</p><p>(719) lim JU(Df — U(o)fIl=0.</p><p>Da propriedade (i) e do fato que cada U(t) é uma isometria, é fácil</p><p>ver que (7.19) é equivalente a</p><p>(7.20) lim |U(M)f-f]=0, vfeH.</p><p>Exercícios 177</p><p>Deixamos ao leitor a verificação que os operadores U(t) = emitHo,</p><p>t E R, formam um grupo unitário fortemente contínuo a um</p><p>parâmetro em B(L*([—7,7])).</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Resolva os seguintes itens:</p><p>(1) Prove que, qualquer que seja k > 0,k E Z, Cha(l-r, n]) é</p><p>um espaço de Banach em relação à norma || - ||. , definida.</p><p>por (1.1).</p><p>(ii) Mostre que P não é completo em relação à norma ||-]|</p><p>kEZ,k>O.</p><p>2. Sejam (X, d) um espaço métrico e U € X um subconjunto de</p><p>oo,k?</p><p>X. Dizemos que U é aberto em X se, qualquer que seja zo EU,</p><p>Je > Otal que B(xo;e) = (x e X:d(z,xo) < ey CU. (Por</p><p>vacuidade, o conjunto vazio É é aberto.) Prove que a união de</p><p>uma família arbitrária de subconjuntos abertos é aberta e quê</p><p>a interseção finita de abertos é aberta.</p><p>3. Sejam (X,d) e (Y,p) espaços métricos e f:X — Y. Dizemos</p><p>que f é contínua em xo E X se Ve >0, Jó > 0 tal que</p><p>d(x, xo) < 6 > p(f(x), f(70)) < 6;</p><p>fé contínua em X se f é continua em zo, Vxo E X. Prove que:</p><p>(1) f é contínua em zo <> V sequência (zn)n>1 convergindo</p><p>a zo, f(xn) > f(zo).</p><p>(ii) f é contínua em X & Vaberto V CY, fTI(V) é aberto</p><p>em X.</p><p>4. Seja (o: Jp uma família de seminormas no espaço vetorial V</p><p>178 Séries de Fourier: Distribuições periódicas [Cap. IV</p><p>e suponha que se ps(f) = O para todo k > 0 então f = 0.</p><p>Mostre que</p><p>1 pHf-9) d(f,9) = ; pr 3 VÍ,g E V,</p><p>(4,9) = 281 + pu(f —9) bg</p><p>é uma métrica em V. Prove também que, se (fr), é uma</p><p>sequência em V, então</p><p>hSfepf-9)>0 Vk=0,1,2,...</p><p>5. O objetivo deste exercício é provar a desigualdade de Holder</p><p>em Cf([(a, b)).</p><p>(1) Sejam a, d € [0,00)7+ (1 — A)db</p><p>e que a igualdade vale se e somente se a = b.</p><p>(ii) Sejam p,q € [1,00] tal que !</p><p>5+5 = 1. Prove a desigualdode</p><p>de Holder para f,g € C([a, b)):</p><p>folh < fp lol,</p><p>6. Prove a Proposição 2.3.</p><p>7. Seja f:R > C limitada e periódica de período 27.</p><p>(1) Suponha que f é limite pontual de uma sequência uni-</p><p>formemente limitada (fn) € Cper([—-7,7]). Prove que f</p><p>define uma distribuição periódica f € P' por</p><p>(fo)= lim (fue), pEP.</p><p>(1) Suponha que f é limite na norma L,, 1 < p < oo, de uma</p><p>sequência (fn) E Cper([-7,7]). Prove que f define uma</p><p>“distribuição periódica f E P' por</p><p>(Ff, 9) = dim (fa, P), ú e P.</p><p>10.</p><p>11.</p><p>12.</p><p>13.</p><p>Exercícios 179</p><p>Seja f:[-7,7] — C integrável e de módulo integrável.</p><p>(i) Mostre que f define uma distribuição periódica f e P'</p><p>- por</p><p>(b9)=[ Ho)elodo, pep.</p><p>(11) Prove que Í(k) > 0 quando |k| — oo.</p><p>Demonstre a Proposição 4.1</p><p>Prove que a norma do gráfico em Dom( Ho) definida por (7.12)</p><p>é uma norma em relação à qual Dom( Ho) é um espaço de Hil-</p><p>bert, que Ho € B(Dom(Ho), L?([-7,7]) e que a solução de</p><p>(7.9) depende continuamente dos dados iniciais na topologia</p><p>de (Dom( Ho), |Il-Ill).</p><p>Seja X um espaço de Banach. Um semigrupo fortemente</p><p>contínuo a um parâmetro (ou um semigrupo de classe Co) em</p><p>B(X) é uma família (U(t),t > 0) E B(A) de operadores limi-</p><p>tados satisfazendo as seguintes propriedades:</p><p>(1) U(t+s)=U(I)U(s), Vst2>0;</p><p>Gi) U(0)= 1;</p><p>(1) VfE A, Vs>O0, limias IU(t)f — U(s)f|| = 0. Prove</p><p>t>s</p><p>que fetHo, + > 0) é um semigrupo fortemente contínuo</p><p>a um parâmetro em B(L?([—7,7])).</p><p>Prove o Teorema 7.2.</p><p>Prove que (7.1) é bem posto.</p><p>CAPITULO V</p><p>A TRANSFORMADA DE FOURIER NA RETA</p><p>— O propósito deste capítulo é modificar de maneira apropriada</p><p>as idéias dos capítulos anteriores para o caso da reta. O caso do R”</p><p>será estudado no Capítulo IX como generalização dos resultados que</p><p>seguem. Como veremos abaixo, existe uma teoria muito semelhante</p><p>à estabelecida no caso do círculo, mas apresentando certas diferenças</p><p>cruciais devido a não compacidade da reta.</p><p>l. À Equação do Calor Átaca Outra Vez</p><p>Nesta seção vamos considerar o problema de condução de calor em</p><p>uma barra infinita (satisfazendo as condições (i) — (iv) da seção 3 do</p><p>Capítulo 1), a saber</p><p>u E CHAR x(0,00)NC(R x [0,00)), limitada</p><p>(1.1) du =Ou, (z,t)ERx(0,00)</p><p>u2,0)=S(0) 2ER</p><p>4</p><p>À imposição. “u limitada” é uma condição de contorno no infinito e</p><p>força a condição inicial f a ser necessariamente limitada de modo</p><p>que o Problema (1.1) faça sentido. Existem muitas outras condições</p><p>interessantes que podemos impor. Por exemplo, poderíamos exigir</p><p>que u(x,t) tenda a zero quando |z| tende a infinito, ou que a solução</p><p>não cresça mais rápido que algumã função dada de x no infinito,</p><p>sec. 1) A Equação do Calor Ataca Outra Vez 181</p><p>ou ainda que ela seja de quadrado integrável em relação a x para</p><p>todo t E [0,00) e assim por diante. A escolha feita acima foi moti-</p><p>vada por sua simplicidade e por ser especialmente conveniente para</p><p>nossos propósitos imediatos. Em particular devemos notar que (1.1)</p><p>tem no máximo uma solução (Exercício 1). Nosso objetivo agora é</p><p>construir um candidato à solução e provar que ele de fato resolve</p><p>(1.1). Durante este processo travaremos conhecimento com alguns</p><p>dos objetos mais famosos e veneráveis da análise, como por exemplo</p><p>a transformada de Fourier (na reta) e o núcleo do calor.</p><p>Vamos, como era de se esperar, aplicar o método de separação</p><p>de variáveis a (1.1), i.e., vamos procurar construir um “número</p><p>su-</p><p>ficientemente grande” de soluções da forma u(x,t) = &(z)T(t) do</p><p>problema homogêneo correspondente (i.e. (1.1) sem a condição ini-</p><p>cial), formar uma superposição linear e impor a condição inicial para</p><p>obter o candidato. Tendo em vista as imposições de diferenciabili-</p><p>dade e limitação em (1.1) é natural tentar resolver,</p><p>(1.2) ( $E CR), limitada</p><p>—6"(1) = Ag(z), zER</p><p>(1.3) ( TE CH(0,00))N C([0,00)), limitada</p><p>Tt) =-AT(t), tE(0,00)</p><p>onde À é a constante de separação. Como sabemos da teoria ele-</p><p>mentar das EDO's, a solução geral da equação diferencial em (1.2)</p><p>é dada por</p><p>(1.4) d(x) = Aexp(iv'dz) + Bexp(-ivhz)</p><p>onde 4 e B são constantes arbitrárias. Utilizando então a condição</p><p>de limitação é fácil verificar que À deve ser real e não negativo.</p><p>Aparece aqui a primeira, e talvez a mais profunda diferença entre</p><p>o problema em questão e aqueles estudados anteriormente: não há</p><p>mais nada a impor e temos portanto uma coleção não enumerável</p><p>182 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>de soluções para (1.2), a saber as funções em (1.4) com À € [0,00).</p><p>Escrevendo À = &? com é > 0 (por enquanto) as soluções de (1.2) e</p><p>(1.3) tomam a forma, -</p><p>del) = Aeit? + Be E, Tt) =Ce €*</p><p>onde t € [0,00), «ER. Como as auto-funções dg estão indexadas</p><p>por um índice contínuo é natural formar uma superposição na forma</p><p>de uma integral, 1.e.,</p><p>(15) u(a,t) = (2m) 4º | (ontejeies + ontejeritrjere ae</p><p>Obtem-se então uma solução formal da EDP em (1.1) como pode</p><p>ser verificado derivando sem cerimônia sob o sinal de integral. Note</p><p>que de fato a integral em (1.5) tem grande chance de existir se t > 0</p><p>devido à dependência exponencial da parte temporal das soluções</p><p>de (1.3). Além disso, o fator (27) 1/? foi introduzido em (1.5) por</p><p>pura conveniência (ou prazer estético): ele torna certas fórmulas que</p><p>provaremos adiante agradavelmente simétricas.</p><p>Antes de impor a condição inicial é conveniente fazer a mu-</p><p>dança de variável € -» (—£) na parte de (1.5) que contém exp(—i:éz)</p><p>de modo a obter,</p><p>+oo . 2</p><p>(1.6) u(z,t) = (20)71/? f g(E)eitce Ed,</p><p>onde</p><p>o gi(é), é >0,</p><p>(1.7) = (206), E<o.</p><p>Impondo a condição inicial segue que,</p><p>. +oo . É</p><p>(1.8) Cum O)=fa)=(20) 2 [alter</p><p>- O</p><p>sec. 1] A Equação do Calor Ataca Outra Vez 183</p><p>e portanto, de maneira análoga ao caso do intervalo (onde ocorre</p><p>uma série), é preciso obter uma função g(É) tal que a condição ini-</p><p>cial f(z) possa ser representada pelo lado direito de (1.8). É im-</p><p>portante notar que a equação (1.8) pode ser interpretada como uma</p><p>“expansão de f(x) em auto-funções do operador diferencial (—&</p><p>2” uma vez que de(x) = e'f? satisfaz pertencentes ao auto-valor É</p><p>—Ge(z) = € (x). De qualquer forma é crucial responder à seguinte</p><p>pergunta (natural!): dada f, como calcular os coeficientes da ex-</p><p>pansão em (1.8)? Tendo em vista a nossa experiência com as séries</p><p>de Fourier, a resposta deve ser obtida calculando a “projeção de f</p><p>ao longo do vetor Ge(x)”. Vamos então fazer o “produto interno”</p><p>de f com gg e operar formalmente (i.e., como se todas as operações</p><p>abaixo fossem válidas). Temos,</p><p>+oo ——</p><p>(em? f He)edo) de</p><p>a . +oo .</p><p>(27)! dm / dz ente [ dn g(n)e'?”</p><p>+oo - a</p><p>ENC NR | de exp(-ia(é — n))</p><p>+oo sen(a(é — = Jim (mo! [O dn o(m) EE)</p><p>Jim (mn) f. Tao ge Se</p><p>- 48) [O nO 4g o(£)</p><p>onde utilizamos a mudança de variável 6 = a(£ — n) e o fato que</p><p>+oo</p><p>(1.9) / oia = =7</p><p>como integral imprópria de Riemann (veja por exemplo a seção 3.9</p><p>184 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>de [19]). Consequentemente, os coeficientes em (1.8) devem ser da-</p><p>dos por,</p><p>+oo .</p><p>(1.10) 9(8) = (2m) 12 f Ha)e- it de.</p><p>Caso a integral em (1.10) faça sentido (em algum sentido!) a</p><p>função g(é) obtida de f é chamada a transformada de Fourier de f e</p><p>será denotada no que se segue por f ou Ff. É claro que o problema</p><p>fundamental da teoria consiste em dar condições sobre f para que</p><p>ela seja recuperável de sua transformada através da fórmula (1.8).</p><p>Este problema será discutido nas próximas seções. No momento</p><p>vamos proseguir com a análise de (1.1). Levando (1.10) em (1.6) e</p><p>trocando a ordem de integração obtem-se,</p><p>+co</p><p>(11) uai) = (20) /</p><p>— 00</p><p>+oo 2.</p><p>du fo) [decote</p><p>Observe agora que a integral na variável é em (1.11) está perfeita-</p><p>mente bem definida para todo t > O pois nesse caso</p><p>rasa . - 2 +oo 2</p><p>(1.12) / [tE-De- | dé < / e EE < 00.</p><p>— vo —co</p><p>Na verdade a integral em questão pode ser calculada explicitamente:</p><p>1.1 LEMA.</p><p>() Doe te = VT, t>0,</p><p>(ii) Ss eÉteiede = VZ exp (-5) , t>0, zeER.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para provar (1), denote por I(t) a integral a ser</p><p>calculada. É facil verificar que</p><p>vo=([ Tee ee)</p><p>. +oo +oo</p><p>-/ a [ dn (E +n",</p><p>— OO —00</p><p>sec. 1): A Equação do Calor Ataca Outra Vez 185</p><p>Introduzindo coordenadas polares</p><p>(1.13) é =rcos0, mn=rsenô, rel[0,00), 0€[0,27)</p><p>e lembrando que dédm = rdrdô obtem-se</p><p>oo 27 2 [o ></p><p>It)? = / rár [ de” * = 2 [ re" tdr</p><p>0 0 0</p><p>-.X A - —rêt NX e d —r2t = a) (—2rte” Ddr = a) ate Jdr</p><p>x ert lo</p><p>0</p><p>2”</p><p>ot t</p><p>e a primeira parte do lema está provada. Seja agora h(x) a in-</p><p>tegral a ser calculada na parte (11). Derivando sob o sinal de integral</p><p>(Exercício 2 deste capítulo) segue que</p><p>+oo 2 : +oo 2 - ma)=[ cSti(ete)de= [ Cicojetede</p><p>+oo , too — if (ge "cite dê — (=) f de(—26te E ei?</p><p>. +oo</p><p>t d 2 : = [-—— edi —€ ') id</p><p>(=) f. dE (e Jet</p><p>+</p><p>= A e E tez "e iz [ “e Steteaf</p><p>2at —o0 —co</p><p>onde a última igualdade foi obtida integrando por partes. Como a</p><p>contribuição dos termos de fronteira é zero, o cálculo acima, combi-</p><p>nado com a parte (1), mostra que h(x) satisfaz</p><p>(1.14) | ( h(z)=-Eh(z), zER</p><p>h(0) = 5</p><p>Como sabemos da teoria elementar das equações diferenciais or-</p><p>dinárias, a única solução de (1.14) é</p><p>(1.15) h(x) = VT ex (-5)</p><p>186 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>Isto encerra a demonstração. E</p><p>Tendo em vista o Lema 1.1, a equação (1.11) pode ser rees-</p><p>crita na forma,</p><p>(1.16)</p><p>to [e — yfº u(z,t) = (ame [ dyf(y) exp “4 | t>0.</p><p>A função</p><p>2</p><p>(1.17) K(z,t) = (4mt) + exp (==)</p><p>é chamado o núcleo do calor (associado ao Problema (1.1)). Deve-se</p><p>notar no entanto que quando alguém se refere ao “núcleo do calor”,</p><p>sem maiores comentários, a função em questão é (1.17) ou sua ge-</p><p>neralização para o caso do R”,</p><p>2</p><p>(1.18) K(z,t) = (4mt)"2 exp (=) » TER?, t>0,</p><p>onde || denota a norma euclidiana usual.</p><p>Vamos provar agora que (1.16) é de fafo solução de (1.1).</p><p>Para isso note primeiro que,</p><p>1.2 LEMA. O núcleo do calor satisfaz,</p><p>(i) K(z,t)>0 zeR, t>0</p><p>(i) K E CR x (0,00)) e *</p><p>(1.19) ak =ô02K, zEeR, t>0</p><p>(ii) PO K(z-yt)dy=1, zER, t>0</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Tanto (i) quanto a primeira parte de (ii) são evi-</p><p>“dentes. Um cálculo fácil prova (1.19). Quanto a (iii), introduzindo</p><p>sec. 1] A Equação do Calor Ataca Outra Vez 187</p><p>s = (2/t) !(x — y) e utilizando a primeira afirmação do Lema 1.1,</p><p>mto Lc (O) de</p><p>+oo</p><p>= (mn) 1/2 / exp(-s?)ds =1 E</p><p>oo</p><p>obtém-se,</p><p>O próximo passo é o seguinte resultado crucial:</p><p>1.3 TEOREMA. Suponha que f E C(R) é limitada. Então,</p><p>+oo</p><p>(1.20) Ha) = im (e -u)fO)d</p><p>t>0 “90</p><p>uniformemente em relação a x em subconjuntos compactos da reta.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Basta provar que</p><p>(1.21) sup |u(x,t) — f(x)| > 0</p><p>seJ .</p><p>quando t tende a zero por valores positivos onde J é qualquer in-</p><p>tervalo da forma [-M,M] CR, M > 0. Observe primeiro que,</p><p>quaisquer que sejam R>0, x €Ret>0, temos</p><p>+oo</p><p>u(2,t) — f(2) = / Ele — ytXf(y) — F(2)) dy</p><p>=[ 0 Kent) - Hoy</p><p>lz—y|<R</p><p>+ / Ele — MS (2) — f(y)) dy:</p><p>Iz—y|2R o</p><p>Portanto,</p><p>fu(2,t) — Ho) < /</p><p>|z—y|<</p><p>He — 9, 01f(y) — F(x)| dy</p><p>+2floo / K(z — y,t) dy</p><p>|z-y|>R</p><p>188 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>onde ||fllo = sup,er |f(x)|. Fazendo s = (2/t)!(z—y) na integral</p><p>sôbre a região |x — y| > R segue que,</p><p>lu(z,t) — F()] < /</p><p>le—y|<</p><p>' K(x — vt) |f(y) — f(x) dy</p><p>(1.22) , flo e as</p><p>VT Jebtevoar</p><p>Agora, seja M > 0 fixo. Como f é uniformemente continua em</p><p>[-2M,2M], dado e > O existe é > 0 (dependendo de M e e apenas!)</p><p>tal que,</p><p>€</p><p>(1.23) Ly E [-2M,2M)], |x — y] <ó=></p><p>f(x) — F(y)] < 2</p><p>Mas então, se x E [-M,M] e |z— y| < 6! = min(M,6), segue que .</p><p>y € [-2M,2M] uma vez que |y| < |r-yl+|y)<M+6 <2M.</p><p>Tomando R = 6" em (1.22) e usando (1.23) obtem-se,</p><p>e) -1Ols fc, HED) HO] d</p><p>lz—y]<</p><p>4 2 flo Sds</p><p>VT Josevo-s</p><p>€</p><p>(1.24) < ) K(z — y,t)dy</p><p>lz—y|<6"</p><p>4 2 flo Sds</p><p>| VT Jogoavo-</p><p>Ms êas <E</p><p>72 VT Jooavo</p><p>onde usamos a parte (iii) do Lema 1.2. Pelo Lema 1.1, a integral de</p><p>exp(—s?) sôbre a reta é finita (e vale /7!), logo</p><p>(1.25) lim e“ds=0</p><p>+50 Jlslzo(2vB-*</p><p>sec. 2] A Transformada de Fourier na Reta 189</p><p>e portanto existe ty > O tal que</p><p>(129) 2Mfoa te [ tds €</p><p>>» te(O,to)</p><p>HslztevD-18 É 2:</p><p>e o teorema está provado pois combinando (1.24) e (1.26) temos,</p><p>lu(z,t) — F(x)l < e</p><p>set € (O,to) para todo r E [-M,M]. E</p><p>Agora é fácil verificar que (Exercício 3),</p><p>1.4 COROLÁRIO. O Problema (1.1) é bem posto.</p><p>2. À Transformada de Fourier na Reta</p><p>Vamos iniciar nesta seção o estudo da transformada de Fourier na</p><p>reta. Se f:R — C é uma função integrável (no sentido de Riemann)</p><p>em cada intervalo [a, b] e</p><p>+oco</p><p>ev tel de = tm SÁ L(e)] de = fl, < 00,</p><p>b> os</p><p>diremos que f é absolutamente integrável. Se f é absolutamente in-</p><p>tegrável é fácil ver que, qualquer que seja É € R, a integral imprópria</p><p>+oo</p><p>Tee “E dy = lim toras</p><p>bo Foo</p><p>existe. Podemos então definir a transformada de Fourier de f como</p><p>sendo a função f:R — C dada por</p><p>. a +oco .</p><p>22) HO=(4 [ faeritrão, gER</p><p>Usaremos também a notação Ff = f.</p><p>190 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>2.1 ProPoOsIçÃO. Sejam f,g:R — C absolutamente integráveis.</p><p>Então:</p><p>(D) (E + A(O) =HO+N6), MEC, VEER;</p><p>(ii) HO) =), VECR;</p><p>(iii) seyeRef(a)=fz-y), ceR, Í(O= ID;</p><p>(iv) || < Cm" If, VEER.</p><p>A demonstração da Proposição 2.1 é bastante simples e será</p><p>deixada a cargo do leitor. De (iv), vemos que a transformada de</p><p>Fourier é sempre limitada mas de fato, além disso, ela é sempre</p><p>uniformemente contínua.</p><p>2.2 PROPOSIÇÃO. Se f é absolutamente integrável , então fé</p><p>uniformemente continua e limitada com [7 < (em) 12 fl.</p><p>oo</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja € > 0. Queremos mostrar que existe 6 > 0</p><p>tal que</p><p>mi<o>|ik+m-fo|<e ver.</p><p>Note que</p><p>a | A +oo</p><p>ie+m-foj<ene [trans 1] de</p><p>Como f é absolutamente integrável , existe M > 0 tal que</p><p>»</p><p>(om 1/2 / |f(a)] de < E</p><p>z|>M 4.</p><p>Tome 6, > O tal que</p><p>— í €</p><p>ly < à => (20) fly fe'” — 1] < 2</p><p>e seja é = 6,/M. Então, se |n| < 6, Inz| < ô; sempre que |z| < M,</p><p>sec. 2) A Transformada de Fourier na Reta 191</p><p>logo, como Jeinz — 1| <2,</p><p>[e+m-fo|<eme2 / Irol do</p><p>lzi>M</p><p>+ (2m)- 1/2 / em |f(x)| Je'nz — 1| dz</p><p>< + —=e€.</p><p>M</p><p>i</p><p>m</p><p>M</p><p>m</p><p>Pela Proposição 2.1 (iv), fé limitada com lo < (2m)- 1/2 1. E</p><p>Uma propriedade análoga a do caso periódico é o lema de</p><p>Riemann-Lebesgue. Embora o resultado seja válido para funções</p><p>absolutamente integráveis (veja o Teorema 1.1 do Capítulo IX),</p><p>para simplificar vamos considerar apenas funções seccionalmente</p><p>contínuas.</p><p>2.3 PROPOSIÇÃO. (Lema de Riemann-Lebesgue). Seja f:R — C</p><p>absolutamente integrável e suponha que f é seccionalmente contínua</p><p>em cada intervalo [a,b] C€ R. Então f(£) — O quando |£| — oo.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja e > 0. Como f é uniformemente contínua,</p><p>existe ó > O tal que</p><p>a a E (2.3) lat) <6=> [f6)- fe) < 5</p><p>Pela integrabilidade absoluta de f, existe M > 0 tal que</p><p>E x (2.4) fo lfol<i Mz5</p><p>lel>M</p><p>Defina g:[-7,7) > R por</p><p>(2.5) ()=2MH9)</p><p>e extenda g periodicamente para a reta toda. Como f é seccional-</p><p>mente contínua, g também o é e portanto vale o lema de Riemann-</p><p>Lebesgue periódico (veja (111.5.4)), isto é</p><p>9(k) > 0 quando kEeZ, |k|>-+o</p><p>192 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>Tome K E Zt tal que</p><p>(2.6) kezZ, |kl>K > Kb|< 5</p><p>Se é E R com</p><p>K</p><p>el></p><p>tome K, € Z tal que</p><p>M</p><p>Kj-1< ze < Ki;</p><p>então |K,|> K e</p><p>p< E go E Mo Las</p><p>logo, aplicando (2.3), (2.4), (2.5) e (2.6), obtemos</p><p>a TH e TK,</p><p>ia</p><p>HO) <</p><p>3</p><p>a</p><p>3 a</p><p>e .</p><p><-+ F(x)| dz + (. |f(x)| dz</p><p>f Fe)exp</p><p>[Eri ay</p><p>—"</p><p>=, T+) [serio ay</p><p>= kI<e</p><p>portanto</p><p>el> 5 = Co] <e</p><p>Poderíamos desenvolver aqui uma teoria análoga a das séries</p><p>de Fourier feita no Capítulo III. Em particular, vale um teorema de</p><p>sec. 3] A Transformada de Fourier no Espaço deSchwartz 193</p><p>convergência pontual análogo ao Teorema 5.1 (veja [17] ou [19]). Ao</p><p>invés disso, vamos estudar a transformada de Fourier na reta com o</p><p>auxílio de distribuições.</p><p>d. À Transformada de Fourier no Espaço de</p><p>Schwartz</p><p>Nesta seção vamos considerar um espaço de funções teste apropriado</p><p>ao estudo da transformada de Fourier na reta do ponto de vista das</p><p>funções generalizadas. Ele é o análogo do espaço P considerado no</p><p>capítulo anterior. O espaço de Schwartz (ou das funções CS rapida-</p><p>mente decrescentes), denotado por S(R.), é a coleção das f:R — C</p><p>tais que,</p><p>(3.1) feCR)</p><p>(3.2) Nag = sup [2º12(0)] < 00</p><p>zeR</p><p>para todo par (a, 8) € NxN. Note que toda função em S(R.) é abso-</p><p>lutamente integrável . Cabem agora vários exemplos e comentários.</p><p>Em primeiro lugar é fácil ver que S(R) é um espaço vetorial sobre</p><p>os complexos e tem uma topologia natural dada por (3.2). Mais</p><p>precisamente, S(R) é um espaço métrico completo quando munido</p><p>da distância (Exercício 5)</p><p>cap Nf-glas</p><p>ola</p><p>Mais adiante faremos outros comentários sobre (3.3). Agora, seja</p><p>CS (R) a coleção das f:R — C de classe CO e suporte compacto</p><p>(i.e., existe [a,b] C R tal que f(x) = 0 se x é [a,b); em outras</p><p>194 A Transformada de Fourier . o [Cap. V</p><p>palavras f “vive” em um subconjunto de [a,b] chamado o suporte</p><p>de f. Este conjunto, denotado por supp f, é o fecho de (x E R |</p><p>f(x) £ 0)). É claro que Co (R) ç S(R). A contenção é evidente.</p><p>Para verificar que CS (R) é estritamente menor que S(R) note que</p><p>a função</p><p>(3.4) d2) = exp(-5)</p><p>pertence a S(R.) mas não a CG'(R). Observe também que, tomando</p><p>t = 1/2 (e fazendo a mudança é » (—É)) na parte (ii) do Lema 1.1</p><p>obtem-se,</p><p>(2.5) O) = ex(-$) = 40)</p><p>ou seja y é um ponto fixo da transformada de Fourier ou ainda</p><p>y é uma auto-função de F com auto valor igual a um (existem</p><p>outros? Veja [25, $2.5]). Finalmente observe que, se f E S(R),</p><p>então 2º f() E S(R) e, além disso, zº f(2)(x) tende a zero quando</p><p>|x| tende a infinito para todo a, 8 € N. A primeira destas afirmações</p><p>é uma consequência imediata da definição de S(R). Para provar a</p><p>segunda note que, se a, 8 € N são fixos, então existe C = C(a, 8) €</p><p>(0,00) tal que,</p><p>(3.6) [d+ Ie) fo) <</p><p>uma vez que f E S(R). Mas então,</p><p>(3.7)</p><p>2º [O (o) < CA + of</p><p>e o lado direito de (3.7) tende a zero quando |z] tende a infinito.</p><p>Agora podemos iniciar o estudo do tema central desta seção,</p><p>a saber, o comportamento da transformada de Fourier em S(R,).</p><p>Nossa primeira observação é:</p><p>sec. 3] A Transformada de Fourier no Espaço deSchwartz 195</p><p>3.1 TEOREMA. Seja f E S(R). Então f(9 E S(R) para todo</p><p>aq eNe</p><p>(3.8) (LONE) =1"€ (6), EER.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: É claro, a partir da definição do espaço de</p><p>Schwartz, que f(º) E S(R) para todo a E N. Agora note que</p><p>integrando por partes obtém-se,</p><p>(3.9)</p><p>+oo .</p><p>(E) = (Bm) 1/2 f = far</p><p>= (On [Hei o +i€ fo aajenie de|</p><p>=i€Í(6), €ER</p><p>pois os termos de fronteira são nulos uma vez que f E S(R). A</p><p>fórmula geral segue da mesma forma, i.e., integrando por partes a</p><p>vezes ou então através de uma indução simples. E</p><p>O teorema acima, apesar de seu aspecto inocente, diz algo</p><p>muito importante, a saber, o operador “e agindo em S(R) é trans-</p><p>formado no operador de multiplicação por (:£)º*. Por exemplo se</p><p>a = 2 temos,</p><p>(3.10) (55). (8) = EÍ(O).</p><p>Podemos portanto transformar equações diferenciais lineares com</p><p>coeficientes constantes em equações algébricas! Tendo em vista es-</p><p>tas observações, é natural (e de fato crucial!) tentar identificar a</p><p>imagem de S(R) sob a transformada de Fourier e descobrir se po-</p><p>demos invertê-la. A primeira parte da resposta a estas questões é:</p><p>3.2 TEOREMA. Seja fES(R). Então f E S(R,).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Precisamos provar que f E CR) e que</p><p>fla, = supléº PA (6)] < 00</p><p>196 A Transformada</p><p>A noção intuitiva de que uma solução é uma função que</p><p>sec. 1] Definições Básicas 5</p><p>satisfaz a equação identicamente é muito vaga: existem, como vere-</p><p>mos mais tarde, muitas interpretações possíveis dessa noção intuitiva</p><p>(generalizando inclusive o conceito de função). Vamos considerar no</p><p>momento apenas soluções clássicas: uma solução clássica de uma</p><p>EDP de ordem k em um domínio Q € Rº é uma função u E CF(9))</p><p>que satisfaz a equação em todos os pontos de 92. Em se tratando</p><p>de soluções clássicas, se k > 2, então 0,0; u = 0,,0r,u. Por isso,</p><p>no caso de duas variáveis independentes, é usual escrever uma EDP</p><p>semi-linear de segunda ordem na forma</p><p>2 2 ' 2 (1.13) a(z,9)55% +2b(2,y) ds + (e, y)B = f(z,y,u, 28, ae).</p><p>Para ilustrar o conceito de solução e a observação feita an-</p><p>teriormente sobre a solução geral de uma EDP, vamos considerar a</p><p>equação de onda homogênea a uma dimensão espacial,</p><p>Ou Ou (1.14) 5 (mt)eR2</p><p>A solução geral de (1.14) é da forma</p><p>(1.15) uz, t)=f(z+cd)+g(a-— ct),</p><p>onde f,g € C2(R) são arbitrárias. É claro que se f,g E C*(R) então</p><p>u dada por (1.15) é uma solução de (1.14). Para provar que todas as</p><p>soluções são dessa forma, suponhamos que u é uma solução clássica</p><p>de (1.14); introduzindo a mudança de variável</p><p>É=2+ct</p><p>(1.16) n=z-—ct</p><p>v(6,n) = u(x,t)</p><p>é claro que v é também uma função de classe C? e, pela regra da</p><p>cadeia,</p><p>2u (1.17) 5637 -0.</p><p>6 Preliminares [Cap. I</p><p>Integrando primeiro em relação a é e depois em relação a 1,</p><p>é,m) = H0+ 9(n)</p><p>onde f,g € C*(R) são arbitrárias; voltando então às variáveis 2,t,</p><p>obtemos (1.15).</p><p>O leitor não deve ficar assustado com o método “mágico”</p><p>utilizado acima. Na próxima seção justificaremos a mudança de</p><p>variável (1.16) e no Capítulo III obteremos soluções do tipo (1.15)</p><p>por outro método.</p><p>2. Classificação em Tipos</p><p>Nesta seção classificaremos as EDP's semi-lineares de segunda</p><p>ordem com duas variáveis independentes e coeficientes reais, i.e.</p><p>equações da forma (1.13) com a, be c funções reais. Essa classificação</p><p>é motivada pelas cônicas no plano: o estudo das curvas planas de</p><p>segundo grau é simplificado pela redução da equação à sua forma</p><p>normal através de uma mudança linear de coordenadas. Em analo-</p><p>gia com o caso das cônicas, definiremos o tipo analizando apenas a</p><p>parte principal da equação (1.13), isto é</p><p>ou O2u Ou</p><p>(2.1) a(z, VW) 57ã + 2b(z, VW) Bzôy + ez, Vaya"</p><p>Sob certas condições, é possível obter uma mudança de variáveis</p><p>que reduz a parte principal de (1.13) a uma forma particularmente</p><p>simples, de fato a uma das formas canônicas que definiremos mais</p><p>adiante (veja [28]). Devemos observar no entanto que, tanto no caso</p><p>de mais de duas variáveis independentes como no caso de equações de</p><p>ordem mais alta, a situação é bem mais complicada (veja [80],[90]).</p><p>Vamos primeiro mostrar que o sinal do discriminante b? — ac é</p><p>invariante sob mudanças locais de coordenadas. Mais precisamente,</p><p>sec. 2) Classificação em Tipos 7</p><p>suponhamos que u é uma. solução clássica de (1.13) em um domínio</p><p>NC R?, seja (x0,%) E N e sejam</p><p>(2.2) C=p(z,y) n=W(z,y)</p><p>funções de classe C? definidas em uma vizinhança de (zo, Yo) tal que |</p><p>o jacobiano</p><p>(2.3) J(p, 4) = Prby = Pybz</p><p>não se anula em (xz9,y). Então, por continuidade, J(yp,W) não se</p><p>anula em uma vizinhança de (zo,y0) e portanto, pelo teorema da</p><p>função inversa, o sistema (2.2) pode ser resolvido em uma vizinhança</p><p>de (z0,y0) para x e y, isto é,</p><p>(2.4) 2=6n), v=Y(E,n)</p><p>com & e de classe C? em uma vizinhança de (é9,70) =</p><p>(plzo, yo), vlzo, vo). Definindo então v(é,n) = u(zr,y), segue que</p><p>v é de classe C? em uma vizinhança V de (£0,n0) e, pela regra da</p><p>cadeia, satisfaz em V uma EDP da forma</p><p>(2.5) A(6,n) Sgt + 2B(E.n) des; + Clé,n) BE = 9 (€,n,0, 28,20)</p><p>onde</p><p>(2.6) A = api +2bpr.py + epi,</p><p>(2.7) B= apsbs + (p= by + Pybz) + CPy by,</p><p>(2.8) 2 C=apl+ baby + bl.</p><p>Além disso, um cálculo direto mostra que</p><p>(2.9) Bº- AC =(b —ac)J(p,W)?.</p><p>Como J (9,4) £ O em uma vizinhança de (z9,Y), vemos que v</p><p>satisfaz localmente (2.5) que é uma EDP semi-linear de segunda</p><p>ordem como (1.13) e que o discriminante de (2.5) tem o mesmo</p><p>sinal que o discriminante de (1.13). Introduzimos então a seguinte</p><p>definição:</p><p>8 Preliminares [Cap. 1</p><p>92.1 DEFINIÇÃO. A equação (1.13) é dita</p><p>(1) elítica em (zo,y0) se b2(x0,40) — a(zo, vo )c(z0,Y0) < O;</p><p>(ii) parabólica em (zo, yo) se b2(zo,yo) — a(zo,vo)c((Zo,Yo) = O;</p><p>(iii) hiperbólica em (zo,40) se b?(zo, yo) — a( xo, yo Je(xo, yo X<S)0.</p><p>Ela é elítica (respectivamente parabólica, hiperbólica) em um sub-</p><p>conjunto N de R? se for elítica (respectivamente parabólica, hi-</p><p>perbólica) em todos os pontos de (1.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>1. A equação de Poisson</p><p>(2.10) Ou + Oju = f(2,9)</p><p>é elítica no domínio de f.</p><p>2. A equação do calor</p><p>(2.11) du = Ou + f(xst)</p><p>é parabólica no domínio de f.</p><p>3. A equação de onda</p><p>(2:12) Pu — lu + f(2,t)</p><p>é hiperbólica no domínio de f.</p><p>4. A equação de Tricomi</p><p>(2.13) vôlu + Ou =0</p><p>é de tipo mizto (isto é, seu tipo varia). De fato, b? — ac = —y e</p><p>portanto a equação é elítica no semi- plano y > 0, parabólica no eixo</p><p>y = 0 e hiperbólica no semi- plano y < 0. Equações de tipo mixto</p><p>são importantes e ocorrem em uma grande variedade de situações.</p><p>Apesar disso, a teoria de tais equações é pouco satisfatória e existem</p><p>sec. 2) Classificação em Tipos 9</p><p>muitos problemas em aberto. O leitor interessado deve consultar o</p><p>Capítulo 12 de [35], assim como [64] e [79].</p><p>As partes principais das equações de Poisson, do calor e da</p><p>onda são usadas para definir a forma canônica ou normal de cada</p><p>um dos tipos. Mais precisamente, a forma canônica de uma equação</p><p>4 elítica é</p><p>(2.14) Usz + Uyy = HO, U,UzsUy)</p><p>e a forma canônica de uma equação parabólica é</p><p>(2.15) Ure = f(T, YU, Us, Uy).</p><p>No caso de equações hiperbólicas, existem duas formas canônicas:</p><p>(2.16) Um — Uzg = F(t, LU, Ut, Uz)</p><p>ou</p><p>(2.17) Ven = 9(EM, DV, VE, Un).</p><p>É fácil ver que (2.17) pode ser obtida de (2.16) através da mudança</p><p>de variável (1.16) com c = 1.</p><p>Como observamos anteriormente, sob certas condições é pos-</p><p>sível colocar uma equação da forma (1.13) em uma das formas (2.14),</p><p>(2.15) ou (2.16). Essas mudanças de variáveis são locais, até mesmo</p><p>Porque a EDP pode mudar de tipo. No caso hiperbólico, basta uma</p><p>certa suavidade dos coeficientes da parte principal para obtermos</p><p>tais mudanças. O caso parabólico é um pouco diferente: como vimos</p><p>na equação de Tricomi, pode acontecer da equação ser parabólica</p><p>apenas em um conjunto de interior vazio. Para colocar então uma</p><p>equação parabólica na forma (2.15) é preciso que a equação seja</p><p>Parabólica em uma vizinhança do ponto de interesse. O caso elítico</p><p>é bem mais delicado ([28]).</p><p>Um outro aspecto na classificação em tipos é a existência ou</p><p>não de características, que são curvas ao longo das quais a EDP</p><p>10 Preliminares : [Cap. I</p><p>pode ser escrita numa forma contendo apenas derivadas totais de</p><p>uz e uy. Curvas características são muito importantes no estudo</p><p>de equações hiperbólicas; equações elíticas não possuem tais curvas.</p><p>Vamos procurar curvas características para a equação semi-linear</p><p>(1.13). Como estamos supondo que a equação é de segunda ordem</p><p>pelo menos um dos coeficientes a, b ou c de (1.13) nunca se anula</p><p>na região de interesse; vamos supor que a nunca se anula; o caso</p><p>em que a se anula pode ser tratado de forma análoga. Em primeiro</p><p>lugar observamos que a equação (1.13) é equivalente ao sistema de</p><p>primeira ordem</p><p>Pp=Uz</p><p>(2.18) q=Uuy</p><p>aps + 2bpy + cgy = F(2,Y,U,D;9).</p><p>Eliminando “ das dúas primeiras equações obtemos</p><p>(2.19) ' Py— Ge =0.</p><p>Multiplicando (2.19) por uma função À = A(z,y) e somando à última</p><p>equação do sistema (2.18) chegamos à equação</p><p>(2.20) aps + (2b + A)py — Agz + cgy = f.</p><p>Procuramos então curvas ao longo das quais o lado esquerdo da</p><p>equação (2.20) é da forma</p><p>d d</p><p>a p(e(t), y(t)) — Ag tte(b), y(t)).</p><p>Se uma tal curva satisfizer</p><p>(2.21) =y4</p><p>então</p><p>sec. 2) . Classificação em Tipos 11</p><p>e portanto</p><p>de Fourier [Cap. V</p><p>para todo par a, € N. Como f E S(R) podemos derivar sob o</p><p>sinal de integral tanto quanto for necessário para obter</p><p>+oo</p><p>CID DA = [ (iotftoerte do, a EN</p><p>-00</p><p>de modo que, em particular, fec S(R). Na verdade acabamos de</p><p>obter uma fórmula muito importante (às vezes chamada de “relação</p><p>dual a (3.8)”). Em linguagem imprecisa, porém clara, (3.11) diz,</p><p>(3.12) (DOE = (=D (e TO.</p><p>Utilizando então (3.12) e o Teorema 3.1 temos,</p><p>(3.13) 6º fO(E) = (-iPe(a? (6) = (Aa? NO (6)</p><p>Mas (2º f (9) E S(R), uma vez que f E S(R), e portanto é absolu-</p><p>tamente integrável no sentido de (2.1). O teorema segue então da</p><p>Proposição 2.1 (iv). E</p><p>Podemos agora descrever completamente o comportamento</p><p>da transformada de Fourier em S(R) provando o belíssimo</p><p>3.3 TEOREMA. Seja fE S(R). Então vale a fórmula de inversão,</p><p>+oo .</p><p>(3.14) f(x) = (2) 1 f o f(E)e't* dé</p><p>para todo x E R.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Em primeiro lugar note que basta provar (3.14)</p><p>no caso x = 0, i.e., basta provar que</p><p>+oo</p><p>(3.15) F(0) = (2) 12 f fede</p><p>para toda f € S(R). De fato suponha que (3.15) vale e observe que,</p><p>ae</p><p>feet: = (2m) H2eitz / O</p><p>+oo</p><p>(3.16) = (Bm) !? / Hit dy</p><p>= (2m) 1/2 [o f(x — t)e't! dt</p><p>sec. 3] A Transformada de Fourier no Espaço deSchwartz 197</p><p>para todos É,7 E R. Defina g.(t) = f(x — t). Segue que 9; E S(R)</p><p>para cada x fixo, de modo que (3.16) pode ser reescrita na forma,</p><p>(3.17) He)e't? = ga(-€)</p><p>Multiplicando (3.17) por (27)-!/2, integrando em relação a é e uti-</p><p>lizando (3.15) como hipótese segue que,</p><p>+oo +oo '</p><p>nar [ fgetede = (ema EE</p><p>— Co</p><p>(3.18) = g:(0) = f(x)</p><p>ou seja, como afirmado, basta provar (3.15). Para isso considere</p><p>primeiro o caso especial em que f(0) = 0, isto é, vamos mostrar que</p><p>se fES(R)e f(0) = 0 então,</p><p>+oo</p><p>(3.19) (2m)-1/2 / fede = 0 = f(0)</p><p>Pelo Exercício 6 deste capítulo podemos escrever f(x) = rg(x) para</p><p>todo z E R onde g E S(R). Aplicando então (3.12) com a = 1</p><p>obtém-se f(€) = i9'(£) e portanto,</p><p>-t-00 € R</p><p>o fede = jm [ot</p><p>(3:20) = fim (9(B) -9(-R))=0.</p><p>Isto prova (3.19). Agora seja f E S(R) qualquer e seja</p><p>(3.21) h(x) = Fx) — HO)y(z)</p><p>onde Y(z) é a função definida em (3.4). Então h € S(R) e h(0)=0</p><p>de modo que (3.19) vale com f substituida por A, i.e.,</p><p>p+oo a +oco</p><p>(322) 0=(2n)-1/ f fede — F(0N2m) 1? / Ae)de</p><p>-00</p><p>198 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>Pelo Lema (1.1) a integral de 4 = 4 (lembre (3.5)!) é precisamente</p><p>igual a (27)!/? e o teorema está provado. E</p><p>Se fe S(R) defina a transformada inversa pela fórmula,</p><p>+oo .</p><p>62) A) (Ino) / rgetede</p><p>O teorema acima mostra então que</p><p>(3.24) f=f=f</p><p>para toda f E S(R). Em particular ”:S(R) — S(R) é injetiva e</p><p>sobre. Isto justifica também a introdução da notação f = Ff.</p><p>Introduzindo o produto interno e à norma L? em S(R) pelas</p><p>fórmulas,</p><p>+oo o</p><p>(225) — (lo= f Hood, f,9€S(R)</p><p>(3.26) Ill, = (1192, fes(R)</p><p>temos a seguinte importante consequência:</p><p>3.4 COROLÁRIO. A identidade de Parseval vale em S(R). Mais</p><p>precisamente se f,g E S(R) então,</p><p>(3.27) FIg=(f15)</p><p>Equivalentemente,</p><p>(3.28) fl; = Ill,</p><p>para toda f E S(R).</p><p>sec. 3] A Transformada de Fourier no Espaço deSchwartz 199</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Aplicando o Teorema 3.3 e trocando a ordem de</p><p>integração segue que,</p><p>+ oo</p><p>Cid=/. F(x)a(z) de</p><p>+oo pto . .</p><p>62) (O) / ago) deftgeis</p><p>+00 = ———</p><p>= (eme [ aefo des(ojeee =(f19)</p><p>para toda f,g E S(R). Para obter (3.28), tome f = g. A</p><p>equivalência segue da identidade de polarização (equação (1.24) do</p><p>Capítulo II). E</p><p>Os resultados acima mostram que a aplicação F: (S(R), ||-||,)</p><p>— (S(R), ||'ll,) é um isomorfismo no sentido dos espaços vetoriais</p><p>normados, isto é, F é injetiva, sobre, contínua com inversa contínua</p><p>na topologia determinada pelas normas em questão. Mais tarde,</p><p>quando construirmos uma representação concreta do completamento</p><p>de S(R) em relação a norma L?, voltaremos a examinar este isomor-</p><p>fismo.</p><p>Para encerrar esta seção vamos fazer alguns comentários sobre</p><p>o comportamento da transformada de Fourier em relação à distância</p><p>(3.3) que torna S(R) um espaço métrico completo. Em primeiro</p><p>lugar lembre que (veja o Exercício IV.4), se (fr), é uma segiiência</p><p>em S(R) e f E S(R),então</p><p>(3.30) fa 5 fe lim llfa— flag =0</p><p>para todos «, 8 € N e a sequência (fnJ2 é de Cauchy no sentido</p><p>de S(R) se e só se,</p><p>(3.31) dim [fa = fmllag=0</p><p>200 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>para todo par («,8) € N x N. Note que a topologia natural de</p><p>S(R) é muito forte, no sentido que a convergência em S(R) implica</p><p>convergência em muitas outras topologia. Por exemplo,</p><p>3.5 PROPOSIÇÃO. Suponha que f, EA f. Então fa — f na norma</p><p>Lº? para todo p € [1,00]. Mais precisamente,</p><p>+oo 1/p</p><p>lf= fil, = | [to - for do) 0,</p><p>(3.32) i<p<o.</p><p>(3.33) 1$ = falho = sup If) = fe(0)1=0</p><p>quando n — 00.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: O caso p = 00 é trivial. Se p € [1,00) observe</p><p>que,</p><p>E</p><p>C</p><p>A</p><p>+oo</p><p>If —falli = / fala) — f(2)P dz</p><p>+oco</p><p>639 = [ (++) He) de</p><p>—Co</p><p>< [sup [+ =Xfn(z) — rol) / “a + 2º)" de</p><p>—0C0</p><p>O resultado segue então notando que a integral no último</p><p>membro de (3.34) é finita, independe de n e que o fator entre col-</p><p>chetes é simplesmente uma combinação linear finita de normas do</p><p>tipo I1f — fall: E</p><p>Finalmente temos,</p><p>3.6 TEOREMA. Considere S(R) munido da distância (3.3). Então</p><p>F:S(R) > S(R) é um isomorfismo no sentido dos espaços métricos,</p><p>i.e., é injetiva, sobre, contínua com inversa contínua.</p><p>sec. 4] Aproximação por Convolução 201</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Tendo em vista os resultados anteriores basta</p><p>provar a afirmação sôbre a continuidade. Vamos considerar ape-</p><p>nas a transformada de Fourier . A demonstração da continui-</p><p>dade da inversa é análoga e será deixada a cargo do leitor. Seja</p><p>(In) C S(R) tal que fr 8 f e S(R). Vamos provar que fa EA f.</p><p>Para isso note que</p><p>EFE — PP (E)</p><p>(3.88) (0 [6eUn(o) = HD] (9</p><p>= (tam) / o</p><p>-— 00</p><p>te (af (fn(2) — H(2)) do</p><p>Portanto,</p><p>efe) o)</p><p>+oo q?</p><p>< (am) f. Es Ea</p><p>dr?</p><p>2º fn(xz) — 2? f(x))| de</p><p>< (2m) 1/2 sup |(1 + 2) (aê filo) — 2º f(x)) x</p><p>zeR dr</p><p>+oo</p><p>x | (1+2) 1 dr<oo:</p><p>— 00</p><p>Utilizando a regra de Leibnitz para a derivada de produtos é</p><p>fácil ver que o supremo na desigualdade acima pode ser estimado por</p><p>uma combinação linear finita de normas || fa — flly,gr».com a”, B' E</p><p>N e portanto tende a zero quando n — oco uma vez que fn EA fa</p><p>4. Aproximação por Convoluçao</p><p>Vamos agora considerar rapidamente a teoria de aproximação por</p><p>convolução na reta. Os resultados descritos abaixo correspondem</p><p>202 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>aqueles estudados no capítulo anterior no caso do círculo. À con-</p><p>volução de duas funções f,g: R > C é definida pela fórmula</p><p>+oo :</p><p>(41) Enko)= [ = He o(y) dy</p><p>sempre que o lado direito fizer sentido. Por exemplo, se f,g E C(R),</p><p>f satisfaz (2.1) e g é limitada, f +9g está bem definida e satisfaz,</p><p>(4.2) $ + gli = sup If * 92) < lglloo Ill;</p><p>zeR</p><p>Não é difícil verificar que sob estas condições 7 + (f + g)(z) é uma</p><p>função contínua. Além disso, se g também satisfaz (2.1), (f +9) tem</p><p>esta mesma propriedade e</p><p>“+00 +oo</p><p>(43) eh </ aval dele wl= fl lol</p><p>— Co</p><p>A convolução tem as seguintes propriedades algébricas,</p><p>(4.4) AD xg=AMf+9)=f+(Ag)</p><p>(4.5) (f+g)+*h=f+rh+tg+xh</p><p>(4.6) feg=9*f</p><p>(4.7) (eg)xh=fe(g*h)</p><p>para toda f,g,he A EC. As relações (4.3) - (4.6) mostram que</p><p>(1,9) » f*g é uma aplicação bilinear, contínua em relação à norma</p><p>“LI! caso f e g sejam contínuas (ou mesmo seccionalmente contínuas</p><p>em cada intervalo [a,b] C R) e satisfaçam (2.1). Este resultado vale</p><p>de fato sob condições muito mais gerais, a saber, f e g integráveis no</p><p>sentido de Lebesgue (veja o Capítulo IX). Para ilustrar a utilidade</p><p>de objetos da forma (4.1) lembre que a solução do problema (1.1)</p><p>deste capítulo pode ser escrita na forma,</p><p>(4.8) . u(x,t) = (Ke + fx) é</p><p>onde K,(z) é o núcleo do calor definido em (1.17).</p><p>Agora, como era de se esperar, temos:</p><p>sec. 4] Aproximação por Convolução 203</p><p>4.1 LEMA. Sejam f E S(R) eg contínua e limitada.</p><p>(i) fxge CAR)</p><p>e(f +90 = flo) +g para todo a EN.</p><p>(ii) Suponha que</p><p>+oo</p><p>(4.9) fe + Ive toçol dy < os</p><p>— 00</p><p>paratodo «a EN. Então f+g E S(R).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A primeira parte é um exercício simples de de-</p><p>rivação sob o sinal de integral e será deixado a cargo do leitor. Para</p><p>provar (ii) note que,</p><p>(4.10) lul<(+e gy] +Iy)) < + e = 9DG + |yl)</p><p>para todo par x,y E R. Então se a,$ E N temos,</p><p>21 +92 (a)|</p><p>+ oo</p><p>aa) SG) |O =| + ue loco do</p><p>< (espa +IsDº 96) f a + ly) Ig(y) dy < 00</p><p>para todo x E R, pois f € S(R). Portanto ||f + gl, < oo com</p><p>a,8 E Reo lema está provado. E</p><p>As relações entre a convolução, a transformada de Fourier e</p><p>a operação de translação são exatamente as mesmas que no caso do</p><p>circulo. De fato, se</p><p>(4.12) (Ta) = Ha —t)</p><p>temos,</p><p>4.2 LEMA. Sejam f,g E S(R). Então,</p><p>(1) (Tif)+g=Tf+9)=f+*(Tog)</p><p>(ii) (Tif) (E) = et f(6), CER</p><p>(ii) (fx 9)"(6) = (mn)! Í(6)O(E), CER.</p><p>204 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>A demonstração deste resultado é muito simples e será dei-</p><p>xada, como exercício (Exercício 7). Finalmente, diremos que uma</p><p>sequência (pn)2., C C(R) é uma identidade aproximada se e só se,</p><p>(4.13) pal) >D0, zER, neZt</p><p>+oo</p><p>(4.14) / pnle)de=1, neZt</p><p>-4 oo</p><p>(4.15) / Pn(z) de + / Pnlx) de > O</p><p>—oo Y</p><p>quando n — oo para todo y > 0. Mais geralmente, uma família</p><p>ps, t E (0,00) tal que d, = yr, satisfaz (4.13) - (4.15) para toda</p><p>sequência tn | O será também chamada uma identidade aproximada.</p><p>No Exercício 8 deste capítulo, o leitor é convidado a provar os se-</p><p>guintes resultados:</p><p>4.3 TEOREMA.</p><p>(i) O núcleo do calor (1.17) é uma identidade aproximada.</p><p>(ii) Sejam (pn), uma identidade aproximada e q € C(R)</p><p>uma função limitada. Então pn *9g — q uniformemente en</p><p>subconjuntos compactos da reta.</p><p>(iii) Suponha que g e pn pertencem a S(R) para todo n € Z*</p><p>Então, pn *9 8, 9.</p><p>5. Distribuições Temperadas</p><p>O propósito desta seção é estudar a classe de funções generalizadas</p><p>associadas a S(R). Para maiores informações o leitor deve consultar</p><p>sec. 5] Distribuições Temperadas 205</p><p>o Capítulo IX e as referências [41, vol. IT], [55], [66], [73). Uma</p><p>distribuição temperada é um funcional linear T:S(R) > €C com a</p><p>propriedade que existe uma sequência (9,)2., C S(R) tal que,</p><p>+oo</p><p>(5.1) To) = im / Gule)p(o)de</p><p>para toda y € S(R) (compare com a Definição IV.2.1). A coleção</p><p>de todas as distribuições temperadas forma um espaço vetorial sobre</p><p>os complexos e será denotado, como é usual, por S'(R). Além disso</p><p>adotaremos, no que se segue, a notação</p><p>(5.2) T()=(Ty), TES(R), pes(R).</p><p>Em primeiro lugar é preciso relacionar as distribuições tem-</p><p>peradas com as funções usuais. Um resultado simples nesta direção</p><p>é o seguinte:</p><p>5.1 TEOREMA. Seja f:R — C contínua e limitada. Então f define</p><p>um elemento T, E S(R) através da fórmula</p><p>“+oo</p><p>(5.3) (Tp) = Hla)pla)dz, pe s(R).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: É claro que (5.3) define um funcional linear em</p><p>S(R). Agora, para cada n E Z* seja 0, € CE (R) tal que</p><p>0<0n<l</p><p>(5.4) On(x)=1 se ze[-n,n]</p><p>On(x)=0 se zeR|[-2n,2n]</p><p>Então é claro que 0, f é uma função contínua de suporte compacto.</p><p>Tendo em vista o Teorema 4.3 podemos escolher Pn E S(R) com</p><p>Inll, = 1 tal que</p><p>(5.5) sup |on(2)f(2) — (pn + nf KO < ze[-2n,2n</p><p>206 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>Pelo Lema 4.1, 8, = py, *0hf E S(R). Então,</p><p>+00 +oo</p><p>N F(x)p(z) dz — f Sa(x)p(x) dr</p><p>So</p><p>+ oo +oo</p><p>(66) <|/ faplado- [ aulo)fo)a(o) de</p><p>- +oo . . +oo</p><p>+ fo butoHto)e(a) do — [O ane)p(e) do</p><p>Vamos provar que as duas quantidades do lado direto da desigual-</p><p>dade (5.6) tendem a zero quando n — co. Em primeiro lugar note</p><p>que</p><p>+oo</p><p>(60) | -ento)ftoa(a) da</p><p>—00</p><p>< le / ade =0</p><p>quando n > oo uma vez que € S(R) e é, em particular, absoluta-</p><p>mente integrável . Além disso,</p><p>+oo +oo</p><p>fo. SuoHoaado- [ a(o)e(o) do</p><p>— OO =—C0</p><p>< / (2) (2) — (pa * On 2) lo(0)) de</p><p>(5.8) lelS2m |</p><p>+ / (0a lx) — (pa * On fo) le(2)] de</p><p>lri>2n</p><p>1 2n</p><p><o fo leolde + / lo(o)l do</p><p>2n |z|>2n</p><p>onde utilizamos (5.5), (5.4) e a estimativa Ion * OnfIloo</p><p>< Ilfnll; On flo = 19nfllo < flo: Como o último membro da</p><p>cadeia de desigualdades (5.8) tende a zero quando n tende a infinito,</p><p>o teorema está provado. E</p><p>Tendo em vista o teorema acima é natural dizer que T E</p><p>SR) provém de uma função contínua limitada se e só se existe uma</p><p>sec. 5] Distribuições Temperadas 207</p><p>tal função f com a propriedade que T = T. Nem toda distribuição</p><p>temperada é dessa forma. Provavelmente o exemplo mais conhecido</p><p>deste fato é a distribuição ó de Dirac, concentrada no ponto x, isto</p><p>é, (Exercício 9)</p><p>(5.9) (0-0) =p(x), peS(R)</p><p>Se z = 0 escreveremos simplesmente 69 = 6. Note que (5.9) é um</p><p>funcional linear em S(R) e que se (pny2.1 C S(R) é uma identidade</p><p>aproximada então para toda | € S(R), temos</p><p>+oo</p><p>(610) dm [pula WI) dy = (0) = (6,0)</p><p>e portanto ó, E S(R,).</p><p>Para o que se segue é conveniente introduzir uma noção de</p><p>convergência de segiências em SR). Diremos que (Ta)2, €</p><p>S(R) converge a T E SR), e escreveremos T, 8, T,see só se</p><p>(5.11) dim (Ta, 7) = (T,9)</p><p>para toda «py € S(R). Note que, com esta definição, (5.10) diz que se</p><p>Pn é uma identidade aproximada e se (Tn, VP) = (pn(z — -), V) para</p><p>toda Y E S(R), então T, Ê ôz. É importante notar também que</p><p>essa noção de convergência é muito fraca. Por exemplo, se n € Z*</p><p>e fn, f são tais que ||f||,, |lfnllp < oo para todo n € Z* onde,</p><p>+oo cc ql/p</p><p>(5.12) sl, = | / de o(e)P'] | 1<p<o</p><p>(5.13) Iglloo = sup |g(x)]</p><p>zER</p><p>208 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>elf — fl, — O quando n > oo, então Ty, Ê, T,. Este fato segue</p><p>imediatamente da desigualdade de Hólder, a saber,</p><p>-+-00 +oo</p><p>(5.14) [f. g(z)h(z) dz) < f. lg(z)) lh(x)| da < lgllp lh,</p><p>ondep 1! +q1=1, 9,h€ C(R) e as normas do lado direito são</p><p>finitas. Em particular, se CL? denota a coleção de todas as funções</p><p>contínuas limitadas tais que || fl, < oo, a aplicação</p><p>(5.15) fECP >T,ES(R), I<p<o</p><p>é contínua no sentido descrito acima. Além disso é fácil verificar</p><p>que a aplicação definida em (5.15) é injetiva (Exercício 10). Tendo</p><p>em vista as observações acima é natural (e muito conveniente) iden-</p><p>tificar a coleção de todas as funções continuas e limitadas com o</p><p>subconjunto correspondente de S'(R), definido pela aplicação (5.15).</p><p>Daqui por diante usaremos símbolos como f,g, h,'Y etc... para deno-</p><p>tar elementos de S(R). Em particular escreveremos simplesmente</p><p>(5.16) (Lo)=(Try), pesR)</p><p>se a distribuição em questão provém da função f.</p><p>Vamos considerar agora a operação de derivação e a transfor-</p><p>mada de Fourier em S'(R). A idéia é, como de hábito, reescrever em</p><p>linguagem distribucional o que ocorre no caso das funções e usar o</p><p>resultado como definição. Para começar seja f € C!(R) uma função</p><p>limitada com derivada limitada. Então é claro que f' € S(R) e</p><p>+00</p><p>(1,9) = f Fe)e(a) de</p><p>(61m - [reo)T = [O rtoe'to) es</p><p>= (—1) (9), pe S(R)</p><p>sec. 5] Distribuições Temperadas 209</p><p>pois os termos de fronteira são nulos, uma vez que f é limitada e</p><p>py E S(R). Então, se f E SR) defina sua derivada no sentido das</p><p>distribuições, denotada por f”, através da fórmula,</p><p>(5.18) (Po)=(-D(fy), pes(R)</p><p>É claro que (5.18) define um funcional linear em S(R). Além disso,</p><p>se (9,] 2, CS(R) é tal que 6, É f, então (5, )J2., CS(R) e</p><p>(f p)=(- D(f,g'!</p><p>(619) = (1) dim ia EMO OE</p><p>+oco</p><p>= dm [ an(o)p(e)de</p><p>onde a última igualdade em (5.19) foi obtida integrando por partes.</p><p>Estes comentários mostram que (5.18) define de fato uma distri-</p><p>buição temperada.</p><p>Considere como exemplo a função</p><p>0, z<o0</p><p>(5.20) ro=(, o)</p><p>Então não é difícil provar que f define uma distribuição temperada</p><p>através da fórmula,</p><p>+oo</p><p>(5.21) (o)=[ cplede, pes)</p><p>Aplicando então (5.18) e integrando por partes,</p><p>(1,0) = (1 e)=— [ apta) da</p><p>(5.29) ?</p><p>= - [coco]; - / “d(a) de = f o h(x)p(a) dz</p><p>210 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>onde h(x) é a função de Heaviside,</p><p>0, z<o0</p><p>5.23 h(x) = , (523) = 4</p><p>Note que h(z) também define uma distribuição temperada pela</p><p>fórmula,</p><p>+oo</p><p>62) (ho=[ Meeo)do, pesa)</p><p>Isto segue trivialmente de (5.22). Vamos calcular agora a derivada</p><p>de h. Aplicando a definição (5.1() obtemos</p><p>(rg ==(bup)=— [0 elo) do</p><p>= (0) = (8,9)</p><p>Portanto h' = ó no sentido das distribuições. Mais geralmente, no</p><p>(5.25)</p><p>Exercício 12 deste capítulo o leitor é convidado a provar,</p><p>5.2 TEOREMA. Seja f:R — C uma função seccionalmente C!</p><p>limitada e com apenas um número finito de descontinuidades locali-</p><p>zadas nos pontos 71,%2,...,tk. Denote por SÊ a derivada usual de</p><p>f (i.e., no sentido das funções) e suponha que ela também é limitada.</p><p>Então,</p><p>FS (5.26) = 5 + fest) — Hes—)lôs;.</p><p>j=1</p><p>Mais precicamente, (5.26) significa</p><p>k</p><p>620 (fo)= (Ge) + Ut) — Hese(es)</p><p>j=1</p><p>para toda py E S(R) onde, como de hábito, f(z+) e f(r—) denotam,</p><p>respectivamente, os limites laterais à direita e à esquerda do ponto</p><p>zER.</p><p>sec. 5] Distribuições Temperadas 211</p><p>As derivadas de ordem mais alta podem ser definidas da</p><p>mesma forma. Por exemplo, se f e suas derivadas até ordem a</p><p>são contínuas e limitadas, integrando por partes a vezes temos</p><p>(1,9) = (—1)º (FO) para toda y E S(R). Portanto é na-</p><p>tural definir a a-ésima derivada de f € S(R) pela fórmula,</p><p>(5.28) (19 ,p)=(-1 (5,9), pe S(R).</p><p>É evidente que (5.28) define um elemento f( pertencente a S(R).</p><p>Observe que com a definição acima, todo elemento de S'(R) é infi-</p><p>nitamente diferenciável!</p><p>Vamos passar agora à transformada de Fourier em S(R) e:</p><p>estudar sua relação com a operação de derivação. Suponha que</p><p>f E S(R). Então, como sabemos, f E S(R) e define portanto um</p><p>elemento de S'(R) da maneira usual. Logo,</p><p>(5.29)</p><p>(16)= [Hope</p><p>= (8 [aco [O decerto)</p><p>+oo +oo .</p><p>= (me [ dofto) [deleite = (1,9)</p><p>oo</p><p>para toda y E S(R). Tendo em vista (5.29), se f E S(R) a trans-</p><p>formada de Fourier de f é definida por</p><p>A</p><p>(5.30) — ho=(59), pes(R.</p><p>De maneira análoga, a transformada inversa é dada pela fórmula,</p><p>(5.31) (bo)=(19), pes(R).</p><p>É claro que (5.30) e (5.31) definem distribuições temperadas (verifi-</p><p>que!) e, além disso,</p><p>212 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>5.3 TEOREMA. A aplicação ”.= F:S(R) — SR) é injetiva,</p><p>sobre e valem as fórmulas,</p><p>Av wa</p><p>(5.32) f =f=f</p><p>para toda f E S(R). Mais ainda, ela é contínua com inversa</p><p>, . s' “ff x</p><p>contínua no sentido que se fn — f então (fnJço1 € (fn)=1 tendem</p><p>a f e f, respectivamente, no sentido de $”.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A linearidade da aplicação é evidente. Agora,</p><p>(Po) = (5,67) = (1,9)</p><p>=(L$)=(f 9)</p><p>para toda f € S(R), p E S(R) uma vez que É" =p =”. À</p><p>(5.33)</p><p>continuidade também é imediata. Se fn 8, fep E S(R) temos,</p><p>(5.34) (P,9) = (fm, 8) > (1,9) = (Í,9)</p><p>O mesmo argumento vale para a transformada inversa e a demons-</p><p>tração está completa. E</p><p>Agora, é natural perguntar qual é a relação entre a operação</p><p>de derivação e a transformada de Fourier . A nossa experiência</p><p>anterior indica que devemos esperar que valha a fórmula (FO =</p><p>(1)e ES f. É preciso no entanto definir primeiro o que significa o</p><p>produto de ɺ por f E S(R). Na verdade vale a pena dar uma</p><p>definição um pouco mais geral. Uma função 8 € C(R) é dita de</p><p>crescimento lento se e só se para todo a E N existem C = C(a) > 0</p><p>e K = K(a) E N tais que</p><p>(5.35) [89(a)] <c(+ IzPyE</p><p>para todo z suficientemente grande. Seja f uma função contínua e</p><p>limitada. Então é claro que &f define um elemento de S(R) pela</p><p>fórmula,</p><p>+oo</p><p>(636) — (Sf9)= / (2) f(a)o(2) de = ($, 09)</p><p>ma DO</p><p>sec. 5] Distribuições Temperadas 213</p><p>para toda y E S(R). Note que a fórmula acima faz sentido pois</p><p>dp E S(R). Portanto, se f E S(R), é natural definir o produto de</p><p>fe por</p><p>(5.37) (Dfp)=(1,29), pesS(R).</p><p>Agora é fácil provar (Exercício 13),</p><p>5.4 TEOREMA. Seja fES(R). Então,</p><p>(5.38) (PO y= ego f</p><p>(5.39) (O = (ae 7</p><p>onde €º f (resp. zºf) denota o produto da função 9(€) = €º (resp.</p><p>9(x) = zº) com a distribuição temperada f (resp. f).</p><p>Para ilustrar os conceitos acima, vamos calcular a transfor-</p><p>mada de Fourier da distribuição 8, a eN,z ER fixos. É in-</p><p>teressante, antes de mais nada, fazer o cálculo de maneira intuitiva</p><p>usando a “definição” da “função delta de Dirac”, i.e.,</p><p>+oo</p><p>(5.40) / (x — y)p(y) dy = (x)</p><p>—0o0</p><p>para toda “função arbitrária” y. Tomando então ply) ="</p><p>(27)1/2 exp(-ity), € E R fixo e integrando por partes a vezes</p><p>temos,</p><p>+00 ,</p><p>(6 (8) = (en 22 [der ay</p><p>= 00</p><p>(5.41) +oo</p><p>= (tente [dra ukcigte rt dy</p><p>= (2m) 12(i6)te He</p><p>214 A Trancformada de Fourier [Cap. V</p><p>onde utilizamos a notação ó,(y) = ó(z—y) e a relação (5.40). Usando</p><p>agora as definições rigorosas de derivada e transformada de Fourier</p><p>descritas acima, temos,</p><p>(67,9) = (80,8) = (VD (Es (9) O)</p><p>= (DGE)</p><p>(5.42) = (1) (2072 (e plg)e rt e). co</p><p>«+00</p><p>= (teme f (igreteo(eas</p><p>= (Fx, 9)</p><p>para toda y € S(R), onde f.(É) é a função</p><p>(5.43) folé) = (2m) Pig) er tt</p><p>ou seja, (6 = f, no sentido de S(R). Note que, apesar da</p><p>distribuição & não provir de uma função limitada (e de fato de</p><p>qualquer função que se preze!), sua transformada de Fourier é uma</p><p>função no sentido descrito acima. Em particular</p><p>(5.44) ôi(€) = (2m) 1/2er tê</p><p>é uma função limitada (e por cima de tudo uma constante quando</p><p>2 = 0!).</p><p>Finalmente, antes de encerrar esta seção, gostaríamos de fazer</p><p>dois comentários. Em primeiro lugar, chamamos a aten ,cão do leitor</p><p>para o fato que não introduzimos a operação de convolução para</p><p>distribuições temperadas. Esta operação é bastante complicada e</p><p>não pode ser definida para um par arbitrário de elementos de S'(R.).</p><p>O leitor interessado deve consultar o Capítulo IX e as referências ali</p><p>mencionadas. O segundo comentário é que S'(R) é de fato o dual</p><p>topológico de S(R.), isto é, S(R) é o conjunto dos funcionais lineares</p><p>contínuos S(R) > C com S(R) munido da distância (3.3).</p><p>sec. 6) O Espaço L*(R). 215</p><p>6. O Espaço L(R).</p><p>Nesta seção vamos desenvolver a teoria correspondente a da seção</p><p>5 do capítulo anterior. As demonstrações das afirmações que se</p><p>seguem são essencialmente as mesmas do caso de L?([—7,7]) e serão</p><p>deixadas como exercício. Para começar, observe que o espaço S(R)</p><p>munido da norma L?,i.e.,</p><p>+00</p><p>(6.1) lolê= [0 t(0)P do</p><p>oo</p><p>não é completo. No entanto se (6,)2, C S(R) é de Cauchy em</p><p>relação à norma (6.1) então,</p><p>(6.2) Ka — Bm, )| < [| — Bmllo Ill,</p><p>para toda y E S(R). Portanto,</p><p>+oo</p><p>(63) (fe)=Jim [ &o(a)pla)do = lim (24,9)</p><p>existe qualquer que seja «p € S(R) e define um elemento f E S' (R).</p><p>Agora, se (On). 1, (V)2., são segiiências em S(R), de Cauchy em</p><p>relação à norma L? e f,g € SR) são as distribuições temperadas</p><p>correspondentes, é fácil verificar que (Exercício 14)</p><p>(6.4) f=9+> lim |d,- al, =0.</p><p>Defina então L2(R) como sendo a coleção dos elementos f E S' (R)</p><p>tais que existe uma sequência (8,)2., C S(R) satisfazendo</p><p>+oo</p><p>(6.5) (fg) = Jim [ Pnlo)p(o) da</p><p>216 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>(6.8) ira Ba — ml =0</p><p>n—00</p><p>Em outra palavras os elementos de L?(R) são precisamente aqueles</p><p>que podem ser aproximados por sequências que são de Cauchy na</p><p>norma L?. Neste caso diremos que (9n)2., converge a f no sentido</p><p>de Lº(R) e escreveremos O, É, f. Note que LR) é um espaço</p><p>vetorial sobre os complexos e que S(R) ç Lº(R). Além disso, ó É</p><p>L*(R) (prove!) de modo que L*(R) ç S(R).</p><p>Se f,9 € L?(R) introduza o produto interno</p><p>“+00</p><p>(6.7 Glg)=m [ an(2)Va(o) de</p><p>e a norma correspondente</p><p>(6.8) fly = (11972</p><p>onde 9, L f, Va b, g. Note que (6.4) implica que (6.7) não depende</p><p>das seqiiências escolhidas. Com estas definições é fácil ver que S(R)</p><p>é denso em L?(R), ie., dada f E L(R) ee > 0, existe py E S(R)</p><p>tal que</p><p>(6.9) lf pl <e.</p><p>Uma demonstração idêntica à apresentada no capítulo anterior para</p><p>o caso de L?([-7,7]) mostra que L?(R) munido do produto interno</p><p>(6.7) é um espaço de Hilbert. Além disso é fácil verificar que se</p><p>f E L?(R) então f, f também têm essa propriedade. De fato,</p><p>6.1 TEOREMA. A aplicação f € L(R) » f = Ff é um operador</p><p>unitário em Lº(R), i.e., é injetora, sobrejetora e preserva a norma.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Em primeiro lugar note que se f € LH(R) então</p><p>f E LR). Para isso seja (9, )£. C S(R) tal que d, 5 f. Então</p><p>sec. 7] : O Operador (- a) em L?(R) 217</p><p>é claro que 8, 8, f. A identidade de Parseval (em S(R)) mostra</p><p>então que (2,)2., é de Cauchy em relação à norma L?. Portanto</p><p>f e L(R). O mesmo argumento mostra que f € LR). Como</p><p>f=f=fsfe S'(R) segue que a aplicação f +» f é injetora e</p><p>sobrejetora em L*(R). Mais ainda, se 8, L fer, b, g, temos</p><p>(610) (fl9)= lim (8, | Wa) = Jim (Ba | ba)= (719),</p><p>ou seja, vale a identidade de Parseval em todo o LR). E</p><p>Pela identidade de polarização (equação (1.24) do Capítulo</p><p>HI), (6.10) é equivalente a</p><p>(6.11) fl =</p><p>para toda f € L*(R). Daqui por diante nos referiremos tanto a</p><p>(6.10) quanto a (6.11) como a identidade de Parseval.</p><p>Tt. O Operador (— +) em LR)</p><p>Vamos introduzir agora a definição da derivada segunda em L?(R,.</p><p>Nosso propósito é definir um “operador maximal” no sentido de que</p><p>ele tenha o maior domínio possível. Mais precisamente, seja Ho a</p><p>aplicação definida por</p><p>(7.1) Dom(Ho) = (fe L(R)|f" E LR))</p><p>(7.2) Hof =-f", $ € Dom(Ho)</p><p>onde a derivada segunda deve ser interpretada no sentido das dis-</p><p>tribuições e Dom(g) denota o domínio da função g. Note que</p><p>218 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>se py € S(R) então (—-Hoy) é exatamente a derivada segunda</p><p>da função py. Além disso, é claro que f” E LR) se e só se</p><p>("= (-8f) E L*(R) de modo que,</p><p>(7.3) Dom(Ho) = (f € LYR) | fe LHR)),</p><p>(7.4) Hof =(€f), feDom(Ho).</p><p>É importante observar que, como no caso do círculo, discutido na</p><p>seção 7 do capítulo anterior, o operador Ho não é contínuo (veja o</p><p>Exercício 15). Note também que a transformada de Fourier diago-</p><p>naliza Ho no sentido que ele é transformado no operador de mul-</p><p>tiplicação por €?. Tendo em vista esta observação e as equações</p><p>(7.3) e (7.4) é natural definir funções do operador Ho da seguinte</p><p>maneira:</p><p>(7.5) | Dom(F(Ho)) = (f € LR) | F()f E L*(R))</p><p>(7.6) F(Ho)f = (P(6)Í, fe Dom(F(Ho))</p><p>onde F:R > C é uma função Cº de crescimento lento (veja equação</p><p>(5.35); no Capítulo IX, funções muito mais gerais serão considera-</p><p>das). Por exemplo, se F(x) = x, segue que F(H,) = Ho. O caso</p><p>em que F é limitada é de grande interesse. Nesta situação é fácil</p><p>verificar que F(Ho) é um operador limitado e que sua norma satisfaz</p><p>a desigualdade,</p><p>(1.7) ECHO) < Flo = sup [F(2)</p><p>Três exemplos muito importantes de funções desse tipo são o</p><p>operador resolvente (ou simplesmente resolvente) do operador Ho</p><p>(7.8) Ro(2o)f = (8 - 277, 2€ 10,00),</p><p>sec. 7] O Operador (— ds) em L?(R) 219</p><p>o semigrupo fortemente contínuo a um parâmetro</p><p>(7.9) etHof = (Cfr, tE[0,00),</p><p>eo grupo unitário fortemente contínuo a um parâmetro,</p><p>(7.10) ethos = (e “IO, tER.</p><p>As famílias de operadores definidas acima têm muitas proprie-</p><p>dades interessantes (as definições de grupo e semigrupo podem ser</p><p>encontradas na seção 7 do Capítulo IV e no Exercício IV.11). Para</p><p>começar é fácil verificar que se f E L?(R) então Ro(z)f € Dom(Ho)</p><p>e vale a fórmula</p><p>(7.11) (Ho — )Ro(2)f = f.</p><p>Além disso, para toda g € Dom( Ho), temos</p><p>(7.12) Ro(z)(Ho — z)g = 9.</p><p>Em particular, a única solução da equação</p><p>(7.13) (Ho -2)ju=fE LR), zEC10,00)</p><p>é exatamente u = Ro(z)f. Note que acabamos de resolver uma</p><p>equação diferencial em L*(R)! A situação no eixo [0,00) é muito</p><p>mais complicada. O leitor interessado deve consultar o Capítulo IX</p><p>e as referências ali citadas.</p><p>Finalmente, como no caso de L?([—x, 7), o semigrupo e” *Ho</p><p>e o grupo unitário e-'tHo estão associados respectivamente às equa-</p><p>ções do calor e de Schródinger (para a partícula livre; para maiores</p><p>detalhes veja o Capítulo IX). De fato, nos Exercícios 17 e 18, o leitor</p><p>é convidado a provar os seguintes resultados:</p><p>220 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>7.1 TEOREMA. A aplicação t E [0,00) » e-tHo é um semigrupo</p><p>fortemente contínuo a um parâmetro. Além disso, o problema</p><p>u(t) E Dom(H,), tE[0,00)</p><p>(7.14) = =-Hou, t>0</p><p>u(0) = f € Dom(Ho)</p><p>é bem posto. Mais precisamente, a única solução de (7.14) é dada</p><p>por</p><p>(7.15) u(t) = eTtHo f</p><p>2</p><p>esefab feun(t)=etHof,, neZt, então</p><p>(1.16) sup lu) — um(a < 1 — fall</p><p>para todon € Z* e em particular un(t) tende a u(t) uniformemente</p><p>em relação a t € [0,00).</p><p>7.2 TEOREMA. A aplicação t E Rm e'tHo é um grupo unitário</p><p>fortemente contínuo a um parâmetro. Além disso, o problema</p><p>u(t) E Dom(Ho), tER</p><p>(7.17) o = Hou, tER</p><p>u(0) = f € Dom(Ho)</p><p>é bem posto. Mais precisamente, a única solução de (7.17) é dada</p><p>por</p><p>(7.18) o u(t)=e tos +ER</p><p>e se fa É feun(t)=e Hof, neZt, então</p><p>(7.19) un(t) — aC, = fa — flo</p><p>para todo t E R (afinal de contas e-“*Ho é unitário!).</p><p>Exercícios 221</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Sejama<b,T>0,0=(a,b)x(0,T), S! =(a,b) x (T) e</p><p>S = 90181</p><p>()</p><p>(ii)</p><p>Prove o princípio do máximo para a equação do calor, isto</p><p>é, suponha que</p><p>ve c(MOnckNus!)</p><p>du = Ou, (tz) NUS.</p><p>Então max u, min u são atingidos em S.</p><p>92 9</p><p>(Sugestão: Considere v(x,t) = u(z,t)+ex?, e > 0 e prove</p><p>que v atinge seu máximo em $ )</p><p>Prove que a solução do Problema (1.1) é única e depende</p><p>continuamente do dado inicial.</p><p>(Sugestão: Sejam u e à duas soluções e w = u—ú. Defina</p><p>v(z,t) = w(z,t)— My — 4Mt onde M = sup w(z,t)].</p><p>Rx[0,00)</p><p>Verifique que v satisfaz as condições de (i) com 9) =</p><p>(-a,a) x (0,T)e S' = (-a,a) x (T) e que v(z,t) < 0</p><p>em $S. Tome o limite quando a > oo para concluir que</p><p>w(z,t) < 0. Repita o processo com (—w(z,t)).)</p><p>2. Seja h:R? — C uma função de classe C! tal que k(y) =</p><p>sup LE A(y, z)| é integrável em R e considere</p><p>T</p><p>+oo</p><p>f(x) = f h(y, x) dy</p><p>oo</p><p>222 A Transformada de Fourier [Cap. V</p><p>Prove que f é diferenciável e que</p><p>+oo z</p><p>ro-[ Aue)a,</p><p>oo</p><p>3. Resolva os seguintes itens:</p><p>(1) Sejam u e à soluções do Problema (1.1) (deste capítulo)</p><p>com condições iniciais f e f (contínuas e limitadas). Mos-</p><p>tre que</p><p>sup Iu(2,t) = (=) < | - À</p><p>[0,00)xR</p><p>(ii) Prove o Corolário (1.4).</p><p>(ii) Use os resultados acima para resolver o problema (1.1) do</p><p>Capítulo II.</p><p>4. Enuncie e prove um resultado análogo ao Teorema 5.1 do</p><p>Capítulo III para o caso da transformada de Fourier na reta.</p><p>5. Prove que S(R) é um espaço métrico completo quando munido</p><p>da distância (3.3), e que a métrica em questão não provém de</p><p>uma norma.</p><p>6. Seja f € S(R) tal que f(0) = 0. Prove que f(x) = zg(x),</p><p>TEReges(R).</p><p>Prove o Lema 4.2.</p><p>Prove o Teorema 4.3.</p><p>9. Prove que ó, não provém de uma função contínua e limitada.</p><p>10. Seja CLP(R) a coleção das funções f contínuas e limitadas tais É</p><p>que</p><p>[sig = [Ho do < 06</p><p>Mostre que a aplicação f € CLM(R) » T, E SR) é injetiva</p><p>e contínua (no sentido da convergência introduzida em (5.11);</p><p>para maiores informações veja a seção 6.1 do Capítulo IX).</p><p>11.</p><p>12.</p><p>13.</p><p>14.</p><p>15.</p><p>16.</p><p>17.</p><p>18.</p><p>19.</p><p>Exercícios 223</p><p>Prove que as funções abaixo pertencem a S'(R):</p><p>, 0, z<o0</p><p>() ro=(5 So</p><p>.. 0, z<o0</p><p>(iii) g(r)=(1 +22), kEZ* fixo</p><p>Prove o Teorema 5.2.</p><p>Seja 6 uma função de crescimento lento (como em (5.35)).</p><p>Mostre que & E S(R) e dp E S(R) para toda q E S(R,).</p><p>Prove também o Teorema 5.4.</p><p>Prove que:</p><p>(1) Vale a relação (6.4).</p><p>(ii) L(R) é um espaço de Hilbert.</p><p>(iii) 6, É L(R).</p><p>Prove que o operador Ho em (7.1) e (7.2) não é limitado.</p><p>(Sugestão: considere a sequência de funções pk(É), k = 1,2,</p><p>3,..., definida como sendo |£|"! se k < |£|<k+1 e zero caso</p><p>contrário.)</p><p>Seja f E L(R). Mostre que Ro(z)f, z € C1[0,00) é um</p><p>elemento de Dom( Ho) e verifique as fórmulas (7.11) e (7.12).</p><p>Prove o Teorema (7.1). O que acontece se exigirmos apenas</p><p>feLHR)?</p><p>Prove o Teorema (7.2). O que acontece se exigimos apenas</p><p>fe LR)? Qual é a diferença entre etHo e em tHo?</p><p>Calcule a transformada de Fourier das funções</p><p>(1) f(x) =exp(-Alz|), zER. o. [1 se ze[-11</p><p>(11) f(x) — ( O se ZzE RA[-1,1).</p><p>PARTE II</p><p>There is a theory which states that àf ever</p><p>anyone discovers exactly what the universe 18</p><p>for and why it is here, it will instantly disap-</p><p>pear and be replaced by something</p><p>even more</p><p>bizarre and inezxplicable.</p><p>There is another theory which states that</p><p>this has already happened.</p><p>Nouglas Adams [1]</p><p>CAPITULO VI</p><p>ELEMENTOS DE ANÁLISE FUNCIONAL</p><p>O objetivo deste capítulo é apenas coletar notações, definições</p><p>e resultados utilizados nos capítulos subsequentes, de modo a tornar</p><p>este texto razoavelmente auto-suficiente. No que se segue, apresen-</p><p>taremos apenas algumas demonstrações, na sua maioria de maneira</p><p>esquemática. As referências para detalhes e resultados não demons-</p><p>trados serão dadas no fim de cada seção.</p><p>1. Operadores Limitados e Operadores Compactos</p><p>Como vimos na quarta seção do Capítulo IV, se E é um espaço de</p><p>Banach, então o espaço B(E) dos operadores lineares limitados de</p><p>E em si mesmo é também um espaço de Banach em relação à norma,</p><p>T “AT</p><p>a qry= su !ALO op prfp= sup 1EM</p><p>see fl seg ses fl</p><p>fzo fll=1 o<llfii<1</p><p>B(E) é de fato uma álgebra de Banach em relação à operação de</p><p>composição: se Ti, T> E B(E), então o operador T = Ti T; definido</p><p>por</p><p>(1.2) Tf = Ti(Tof)</p><p>226 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>- também pertence a B(E) e sua norma satisfaz</p><p>(1.3) [TI < [TAIT</p><p>EXEMPLO:</p><p>1. Considere C([0,1]) munido da norma do sup, |||» e seja</p><p>k(z,y) E C([0,1] x [0,1]). Defina o operador integral com núcleo .</p><p>k(xz,y) (em C([0, 1])) pela fórmula</p><p>1.4) (Ko)= / ele, Wó(y) dy, dE C(10,1).</p><p>Como [0,1] x [0,1] é compacto, segue que k(x,y) é uniformemente</p><p>contínua e limitada. Usando estes fatos, é fácil ver que Kg E</p><p>C(J0,1]), Vó e C([0,1]), e satisfaz</p><p>(1.5) |Kóllo < Elo I$ lo</p><p>onde |kllo = suPjo,1)x[0,1] lk(z, y)]. Portanto k E B(C]0, 1]) e satis-</p><p>faz ||K!| < |lkllo- Cabe perguntar se ||K|| = |klho: A resposta | é</p><p>não, em geral. Tome, por exemplo k(x,y) = y. Então |jkllso</p><p>No entanto,</p><p>1 1 (1.6) CHE] < Iéio [ udy = 5 lólo;</p><p>Vê e C([0,1]), e portanto |K|| < 5. De fato, ||K|] = 4, pois to-</p><p>mando go(z) = 1, x E [0,1], segue que (Kgo)(z) = À Vz E [0,1], e</p><p>- como ||K]| = SUPIgf= ILK gl, temos</p><p>fá</p><p>(1.7) 5 = |Kéollo < E, HKóllo = KI S 5-</p><p>Um operador T E B(E) é dito inversível (em B(E)) se e só</p><p>se existe $ € B(E) tal que</p><p>(1.8) TS=ST=I</p><p>onde T denota a identidade em E. Neste caso, escreveremos S =</p><p>T-1. Um fato extremamente importante e útil é</p><p>sec. 1] Operadores Limitados e Operadores Compactos 227</p><p>1.1 TEOREMA. Sejam E um espaço de Banache T € B(E) tal que</p><p>IT|< 1. Então (1 — T) é inversível e seu inverso é dado pela série</p><p>de Neumann</p><p>(1.9) U-T)! = s T"</p><p>onde a convergência vale na norma de B(E). Além disso,</p><p>(1.10) I-D|<ga-|rp.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Usando a desigualdade triangular e (1.3),</p><p>M M</p><p>(1.11) Srs S> rit>o</p><p>n=N n=N</p><p>quando M,N — oo. Portanto Sy = Do T” é uma sequência</p><p>de Cauchy em B(E). Como E é de Banach, B(E) também o é, e</p><p>portanto existe S € B(E) tal que S = limy-.oo Sw na norma de</p><p>B(E). Agora, note que para qualquer N inteiro positivo, temos</p><p>(1.12) SnI-T)=(1-T)Sy+1I-TNH.</p><p>Tomando o limite quando N — 00, obtém-se (1.9), pois |T|| < 1 e</p><p>portanto O < lim». |TN+ | < limN—oo rp = 0. Quanto a</p><p>(1.10), temos</p><p>(as ups Imp=0-I7pa</p><p>Seja E um espaço de Banach. Um operador linear T: E > E é</p><p>dito compacto (ou completamente contínuo) se e só se para qualquer |</p><p>S limitado contido em E, a imagem T(S) C E tem fecho compacto. |</p><p>2z28 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>So</p><p>Equivalentemente, T é compacto se e só se qualquer que seja (x, ) 2.</p><p>oo limitada, a sequência (T(zn)JR4 contém uma subsegiência conver-</p><p>gente. A coleção de todos os operadores compactos de E em E será</p><p>denotada por Bo(E). É fácil ver que se T € Bo(E), então T E B(E).</p><p>Se dim E < oo, a recíproca é verdadeira. Caso dim E = oo, este</p><p>resultado falha: a identidade é certamente limitada, mas não é com-</p><p>pacta.</p><p>EXEMPLO:</p><p>2. Seja K o operador integral com núcleo k(x,y) definido em (1.4).</p><p>Então K E Bo(C([0,1])). De fato, pelo teorema de Arzelà-Ascoli</p><p>([50] Capítulo 3) basta provar que se (dr), é limitada, então</p><p>(K dn), é uniformemente limitada e equicontínua. Mas estes fatos</p><p>seguem das estimativas:</p><p>(1.14) |Kónlo < Iléllo Ilênll<M Jo,</p><p>(1.15) IK ó(z) — K&(2)] < M sup k(z,y) — k(a!, 9)</p><p>onde |lónllo <MYn, lembrando que k(x,y) é limitada e uniforme-</p><p>mente contínua em [0,1] x [0,1].</p><p>Algumas propriedades importantes dos operadores compactos</p><p>são:</p><p>1.2 TEOREMA. Seja E um espaço de Banach.</p><p>(1) Se T,S E Bo(E), então aT + BS E Bo(E), Va,B EC.</p><p>(ii) SeT E B(E)esS € B(E), então TS e ST são operadores</p><p>compactos.</p><p>(iii) Se (Ta) C Bo(E), TE B(E) e T, tende a T na norma de</p><p>B(E), então T é compacto.</p><p>sec. 1] Operadores Limitados e Operadores Compactos 229</p><p>As partes (i) e (ii) do teorema acima são consequências ime- |</p><p>diatas da definição de operador compacto. - À terceira afirmação</p><p>segue da definição combinada com a desigualdade triangular e o</p><p>método da sequência diagonal (veja [65], Capítulo VI). Deve-se no-</p><p>tar que (iii) é uma ferramenta poderosa para provar que certos ope-</p><p>radores são compactos. Este método será usado na demonstração</p><p>do Teorema VIII.2.1.</p><p>De agora em diante, até o final desta seção, vamos considerar</p><p>apenas o caso em que E = H é um espaço de Hilbert com produto</p><p>interno (- | -). Muitos dos resultados e definições que se seguem po-</p><p>dem ser generalizados para espaços de Banach. Vamos nos limitar a</p><p>espaços de Hilbert por simplicidade, uma vez que todas as aplicações</p><p>que faremos no texto a seguir serão em espaços deste tipo. É conve-</p><p>niente, antes de mais nada, descrever algumas definições e resultados</p><p>básicos. Um funcional linear contínuo é uma função £:H — C linear</p><p>e contínua. É fácil ver que Ie] = supti&)|: é EK, llgll= 1) < o</p><p>e que £ > ||t|| define uma norma na coleção H* de todos os fun-</p><p>cionais lineares contínuos em H. O lema da representação de Riezs</p><p>mostra então * e H* são essencialmente o mesmo espaço. Mais</p><p>precisamente:</p><p>1.3 TEOREMA. Seja E H fixo. Então (4) = (& | 1b) é um fun-</p><p>cional linear contínuo. Reciprocamente, set: H — C é um funcional</p><p>linear contínuo, então existe um único b E H tal que ! = Ly, ie.</p><p>6) = (6 | 1b), Ve EH. Além disso, |t| = ||.</p><p>Agora, se T € B(H), vamos definir a adjunta T* do operador</p><p>T. Note que, para cada ) E H, a aplicação é E Ho (Tó | y)</p><p>define um funcional linear contínuo. Portanto, para cada y E H,</p><p>existe um únicom E KH tal que (Tó | VW) = (G|n), VHEH. Defina,</p><p>então, T*) = n. É fácil mostrar quea função peH> The H</p><p>é um operador linear contínuo em H e ||T|| = ||T*||. Observe que</p><p>T* satisfaz (Tó | b) = (6 | Tb), Vo, by E H. Um operador T €</p><p>B(H) é dito auto-adjunto se e só se T = T*. Note que (T+ S)* =</p><p>T+ STS) = S*T*, (aT)* = aT*, VST E B(H), Va E C</p><p>230 Elementos de Análise Funcional (Cap. VI</p><p>e que, se T é inversível, então T* também tem esta propriedade e</p><p>(TT — (T+.</p><p>Finalmente, um operador T E B(H) é dito de posto finito se</p><p>e só se existem d;,);,) = 1,2,...,k tais que</p><p>k</p><p>(1.16) Tó=> (6 | bi)by VÓCH.</p><p>j=1</p><p>É fácil ver que neste caso T € Bo(H). Os operadores de posto finito</p><p>têm um papel muito importante na teoria dos operadores compactos</p><p>em espaços de Hilbert: eles fornecem uma recíproca para o Teorema</p><p>1.2 (111) neste caso. Temos:</p><p>1.4 TEOREMA. Seja T E Bo(H). Então, dado e > 0, existe Te de</p><p>posto finito tal que |T — T.|| < e.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja S = (6 € H: |lgll = 1). Como T(S) tem</p><p>fecho compacto, dado e > 0, existem yi,...;bn em T(S) com a</p><p>seguinte propriedade: para todo É E S, existe j E (1,...,n) tal</p><p>que ||Tó — y;ll < e. Seja V o espaço gerado por (bj,..., bn],</p><p>(ei,.... er; uma base ortonormal para V e P, a projeção ortogo-.</p><p>nal sobre V,1.e.,</p><p>k</p><p>(1.17) Pó = > ló | ej)ei.</p><p>Então T. = P.T é de posto finito pois para todo q € K temos</p><p>k</p><p>(1.18) Ted = (é | Ttejes.</p><p>Como P, é a projeção ortogonal sobre V, Ted = P.T& é o elemento</p><p>de V = P.(H) mais próximo de Tê (verifique!). Portanto, escolh-</p><p>endo 3 como acima,</p><p>IT6 — Tó] < |Té — b;|| < e.</p><p>sec. 2] Os Espaços L?(X,M,u) 231</p><p>Provamos então que, qualquer que seja PE S,</p><p>(1.19) TE TB < e.</p><p>Tomando o sup sobre y</p><p>E S em (1.19), obtemos o resultado. E</p><p>O resultado acima é falso em espaços de Banach. Em 1975,</p><p>P. Enflo [27] deu um contra-exemplo em um espaço de Banach se-</p><p>parável e reflexivo!</p><p>1.5 TEOREMA. TE Bo(H) see sóse T* E Bo(H).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Suponha que T € Bo(H). Então, dado e > 0,</p><p>existe T. de posto finito tal que ||T — T.|| < e. Agora, é fácil</p><p>ver que se S é de posto finito, então S* também o é. Mas então</p><p>IT -T=(T-Ty| = |IT-Tl| < e, e portanto T* é com-</p><p>pacto pelo Teorema 1.2. A demonstração da recíproca é a mesma,</p><p>uma vez que é fácil verificar a igualdade T** = T.</p><p>Os resultados desta seção, assim como generalizações e maio-</p><p>res informações sobre operadores limitados e compactos podem ser</p><p>encontrados em [31], [59], [65], [68].</p><p>2. Os Espaços LM(X,M,u)</p><p>Sejam $ o conjunto vazio, X * & um conjunto qualquer e P(X) o</p><p>conjunto das partes de X (i.e., a coleção de todos os subconjuntos</p><p>de X). Uma o-dlgebra em X é uma coleção M C P(X) tal que</p><p>(0) GEM</p><p>(2.1) (2) SEMSMNSEM</p><p>(iii) (SIL, CMSUL, SEM.</p><p>O par (X, M) é chamado um espaço mensurável. É claro que P(X)</p><p>é uma o-álgebra. Se) c P(X), a o-álgebra gerada por E é a</p><p>232 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>interseção de todas as o-álgebras que contém D (existe pelo menos</p><p>uma, a saber P(X)). Note que a o-álgebra gerada por E é, em</p><p>um sentido óbvio, a menor o-álgebra que contém 5. Se X é um</p><p>espaço topológico, a o-álgebra gerada pela coleção dos abertos de X</p><p>é chamada a o-dálgebra de Borel de X. Esta o-álgebra será denotada</p><p>por B(X) e seus elementos são chamados os conjuntos borelianos de</p><p>X. Além dos exemplos de o-álgebras descritos acima, é interessante</p><p>notar</p><p>2.1 LEMA. Seja (X, M) um espaço mensurável.</p><p>(1) SeY + & é um conjunto qualquer e f:X — Y é uma função,</p><p>então Mp=(ScY|f-H(S)E M) é uma o-álgebra em Y.</p><p>(ii) SeY cX,entãoM,=(SnNY |Se M) é uma o-álgebra</p><p>em Y.</p><p>Nosso próximo objetivo é introduzir o conceito de medida.</p><p>Para isso é preciso, em primeiro lugar, introduzir o intervalo [0, 00).</p><p>Isto se deve basicamente ao fato que queremos integrar sobre conjun-</p><p>tos de “medida” infinita (afinal de contas, a reta tem comprimento</p><p>infinito). Além disso, é conveniente poder considerar funções que</p><p>têm “descontinuidades infinitas”. Seja então oo um símbolo que</p><p>satisfaça as seguintes condições</p><p>z< 0, VzeR</p><p>(2.2) zto=o+7=o0, VxER ou z=oo</p><p>T-00=00"1=00, VzeR, z>0</p><p>0.00 =00:0=0.</p><p>O intervalo [0,00] consiste do intervalo [0,00) acrescido do</p><p>símbolo oo com as propriedades (2.2) e munido de ordem usual ex-</p><p>tendida pela relação vz < oo Vz € R. Uma medida positiva no</p><p>espaço mensurável (X, M) é uma função gu: M — [0,00], tal que</p><p>(2.3) u(6)=0,</p><p>oo</p><p>(2.4) ul] So) =) (5)</p><p>n=</p><p>sec. 2) | Os Espaços L?(X,M,u) 233</p><p>para qualquer coleção (SnJ&1 C M, tal que SaNSm = sem £n.</p><p>A tripla (X, M,4) é chamada um espaço com medida. SeSEeM</p><p>e u(S) = 0, diz-se que S tem medida nula. Se uma propriedade</p><p>P vale para qualquer x fora de um conjunto de medida nula, diz-</p><p>se que P vale em quase toda parte e escreve-se P yu — q.t.p. Às-</p><p>sim, por exemplo, se f e g são funções de X em um conjunto Ye</p><p>ule | f(x) £ g(x)) = 0, diz-se que f e g são iguais em quase toda</p><p>parte e escreve- se f =9g u— q.t.p.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>1. Seja Z a coleção dos números inteiros, e considere (Z, P(Z)).</p><p>Defina a medida de contagem por</p><p>us) = ( H(S), se S éfinito</p><p>(2.5) Vimos</p><p>oo, se S é infinito</p><p>“onde *H(S) é o número de elementos de 5.</p><p>2. Considere (R”, B(R”)). Vamos definir a medida de Lebesgue na</p><p>o-álgebra de Borel de R”. Para isso seja, em primeiro lugar, um</p><p>conjunto de forma</p><p>(2.6) I=(m,b)x(az,b2) x: x (dn,bn)</p><p>onde qualquer dos intervalos (a;, b;) pode ser infinito e defina</p><p>(2.7) u(T) = (by — ar)(ba — ao)... (da — an).</p><p>Agora, seja Z a coleção de todas as uniões disjuntas de conjuntos da</p><p>forma (2.7). Se JZ. In € T, introduza</p><p>n=l</p><p>(2.8) uí J In) = >, ulIn).</p><p>n=1 n=1</p><p>Finalmente, se S € B(R”), defina a-medida de Lebesgue de S pela</p><p>fórmula</p><p>(2.9) u(S) = inf fa [U 1)</p><p>n=1</p><p>Sc Une7)</p><p>n=1</p><p>234 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>3. Seja N C Rº um domínio regular, i.e., aberto, conexo e limitado</p><p>com fronteira de classe C!. Vamos agora definir a medida do(y),</p><p>utilizada nos Capítulos VII e VIII do texto. Vamos denotar por</p><p>B(xo,r) a bola aberta em Rê centrada em xo de raio r > 0, isto é,</p><p>(re RS:|z—zo|<r). A condição à E C! garante que, qualquer</p><p>que seja zo E ô9, podemos escolher r > 0 tal que S, = 90N</p><p>B(xo,7) pode ser parametrizada, após uma mudança de coordenadas</p><p>conveniente, como o gráfico de uma função de classe C!. Além disso,</p><p>é claro que podemos escolher r > 0, de modo que cos 6 = vs, :vy > à)</p><p>Yy € S,, onde v; é a normal exterior unitária no ponto x E 01. Isto</p><p>é ilustrado nas Figuras 12 e 13.</p><p>ÉS</p><p>-</p><p>—</p><p>O</p><p>"</p><p>y</p><p>r</p><p>| se</p><p>“</p><p>S</p><p>u</p><p>Figura 12</p><p>Mais precisamente, S, é representada na forma É € D(xo)</p><p>(E, 6(E)), onde é é uma função de classe C! definida na projeção</p><p>T(xo) de S, sobre o plano tangente a 04) no ponto xo. É evidente</p><p>que T(xo) E (é E Rº:|£| < r) (veja a Figura 12). Podemos agora</p><p>introduzir uma medida em S, a partir das seguintes considerações</p><p>intuitivas. Seja y E S, e do(y) um “elemento de superfície” em torno</p><p>de y. Projetando do(y) sobre o plano tangente a OS no ponto zo;</p><p>vemos que</p><p>(2.10) do(y) = dS(y) = É</p><p>cos 6</p><p>sec. 2] Os Espaços L?(X,M,u) 235</p><p>onde dS(y) é o “elemento de superfície” do plano tangente a 99</p><p>no ponto y determinado pela projeção de do(y) e dé é a medida de</p><p>Lebesgue em R? desta projeção. Esta situação é descrita na Figura</p><p>13.</p><p>Figura 13</p><p>Então, se 4 é um conjunto de Borel em S,, podemos definir</p><p>(2.11) (A) = / de</p><p>(4) cos 6</p><p>Como 99 é compacto, podemos cobri-lo por uma coleção finita de</p><p>conjuntos do tipo Sr, e é possível verificar que as medidas assim</p><p>introduzidas coincidem nas interseções de tais conjuntos. Agora é</p><p>fácil extender as medidas definidas nos conjuntos da cobertura finita</p><p>a uma única medida o definida em B(09). Na verdade, esta me-</p><p>dida também não depende da cobertura escolhida e é muitas vezes</p><p>chamada a medida geométrica natural em 99. A construção acima</p><p>pode ser repetida sem dificuldades para um domínio regular 92 C R”,</p><p>utilizando a medida de Lebesgue em R"”!. Para maiores detalhes</p><p>sobre medida e integração em espaços topológicos de Hausdorff lo-</p><p>calmente compactos, veja por exemplo [53], volume II, Capítulo XII</p><p>(em conexão com a construção discutida acima, veja especialmente</p><p>o teorema da seção 5 e seu corolário).</p><p>236 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>Resta introduzir a definição de integral. Para isso é preciso,</p><p>em primeiro lugar, dizer que funções vamos integrar. Seja (X, M,u)</p><p>um espaço com medida. Uma função f:X — R é dita mensurável</p><p>em relação a M see sóse f!(S) EM, VS € B(R). Uma função</p><p>f: X — €C é mensurável em relação a M se e só se suas partes real e</p><p>imaginária são mensuráveis em relação a M. Uma classe de função</p><p>mensurável extremamente importante são as funções simples. Elas</p><p>são funções da forma</p><p>(2.12) s(z) = Do cixu, (x)</p><p>onde a; EC, 4, E M,i=1,...;n e x, denota a função carac-</p><p>terística do conjunto À, i.e.</p><p>1, se zEA</p><p>(2.13) xulz)= ( ND</p><p>Agora, seS € M, a integral de uma função simples sobre S é definida</p><p>por</p><p>(2.14) / s(z)du(2) = > aiu(A; NS).</p><p>s i=1.</p><p>Se f: X — [0,00], definimos a integral de f sobre S como sendo</p><p>(2.15) f H(e)du(o) = sup [ s(e)du(a)</p><p>onde o supremo é tomado sobre todas as funções simples tais que</p><p>0<s< f.A função fé ditaintegrável sobre S em relação a u no</p><p>sentido de Lebesgue se e só se</p><p>(2.16) f ttodu(a) < 00.</p><p>sec. 2] Os Espaços L?(X, M,u) 237</p><p>Se f:X — [-00,00] (onde (—c0) é definido analogamente a (+00)),</p><p>introduza ft = max(f,0) e f” = max(—f,0) de modo que f =</p><p>ft-f. É possível provar que f é mensurável em relação a M se</p><p>esóse ffe f” o são. Dizemos então que f é integrável em relação</p><p>au sobre Sseesóse ft ef” osão, e definimos</p><p>Cam [ Heiua)- JEMOLTOR ff(oána),</p><p>Finalmente,</p><p>uma função f: X — C é integrável em relação a u sobre</p><p>S se e só se suas partes real e imaginária o são, e introduzimos</p><p>(2.18) / fa)du(a) = / Ref(e)du(a) + é / Imf(2)du(s).</p><p>Deve-se notar que para f em qualquer das classes de funções</p><p>consideradas acima, vale o seguinte resultado: f é integrável se e só</p><p>se |f| é integrável. Agora, seja L?(X, M, |) a coleção das f:X — C</p><p>mensuráveis em relação a yu tais que</p><p>(2.19) / H(=)P du(z) < 00, 1<p<oo.</p><p>X</p><p>É relativamente fácil verificar que os conjuntos assim definidos são</p><p>espaços vetoriais. No entanto não é possível usar a integral do lado</p><p>esquerdo para definir uma norma, pois duas funções que diferem em</p><p>um conjunto de medida nula têm a mesma integral. A solução da</p><p>dificuldade é simples: passa-se ao quociente pela relação de equi-</p><p>valência f- gseesósef=gu-qt.p. A coleção de classes de</p><p>equivalência assim obtida forma um espaço vetorial com a norma</p><p>(2.20) 61, = [| [ 116) auto) ”</p><p>onde f é um representante da classe de equivalência (f). Os espaços</p><p>vetoriais normados assim definidos são denotados por LP(X, M,u).</p><p>238 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>Todos são espaços de Banach. Além disso, LP(X, M,) é de Hilbert</p><p>see só se p = 2. Como na verdade não há possibilidade de confusão, é</p><p>usual escrever f € LM(X, M,u)e ||fll, para denotar os elementos e a</p><p>norma em L?(X, M,4) onde f é um representante qualquer da classe</p><p>de equivalência em questão. Finalmente, para definir L(X, M,u)</p><p>é preciso generalizar a idéia de supremo. Uma função mensurável -</p><p>f:X > Cé dita essencialmente limitada se e só se existe g: X — €</p><p>limitada, tal que f —- g. A coleção das classes de equivalência de</p><p>funções essencialmente limitadas é denotada por L(X,M,u). Se</p><p>feL(X,M,y), podemos definir</p><p>(2.21) lfllo = inftsup |g(z)l:g — 5.</p><p>O lado direito de (2.21) é muitas vezes chamado o supremo essencial</p><p>de f. A aplicação f + ||f|| torna Lº(X, M, 4) um espaço de Banach</p><p>(mas não de Hilbert).</p><p>EXEMPLOS:</p><p>4. Os espaços L?(Z, P(Z),4),1 <p < oo, onde yu é a medida de con-</p><p>tagem definida em (2.5), são precisamente os espaços !?(Z) definidos</p><p>no Capítulo III.</p><p>5. Os espaços LP(R”, B(R”),4) onde y é a medida de Lebesgue,</p><p>são os espaços L? usuais em R”. Neste caso escreve-se, por simpli-</p><p>cidade, dx ao invés de du(x). Esta notação foi utilizada na definição</p><p>da medida. geométrica natural no Exemplo 3 e será utilizada nos</p><p>próximos capítulos.</p><p>6. Os espaços LP(ô8, B(09),0) são os espaços L? definidos em 9.</p><p>O espaço L?(00) = L?(00, B(0)),0) será utilizado na solução do</p><p>problema de Dirichlet no Capítulo VIII.</p><p>De volta à situação abstrata, seja (X, M,4) um espaço com</p><p>medida. Daqui por diante, quando não houver possibilidade de con-</p><p>fusão, escreveremos simplesmente L?(X) = LM(X,M,u).</p><p>sec. 2] Os Espaços L?(X, M,) 239</p><p>2.2 TEOREMA. (Desigualdade de Holder). Sejam f € LM(X) e</p><p>ge LX), onde > + 5 = 1. Então o produto fg E LI(X) e</p><p>(2.22) Ifgll < ll, llgll, -</p><p>2.3 TEOREMA. (Teorema da Convergência Dominada). Seja</p><p>(9n)2=1 uma sequência de funções não negativas e integráveis con-</p><p>vergindo u — q.t.p. a uma função integrável g. Seja (fn) uma</p><p>sequência de funções mensuráveis tais que |fn| < gn e fa converge a</p><p>f u— q.t.p. Suponha que</p><p>f steydu(o) = fim [ on(e)duta)</p><p>onde S € M. Então</p><p>f ttoxánça) = lim [ fole)dao)</p><p>Ss Ss</p><p>OBSERVAÇÃO: O Teorema 2.3 é uma generalização do Teorema da '</p><p>Convergência Dominada usual. Na sua forma mais simples e mais</p><p>conhecida temos g, = q para todo n. Para a demonstração, veja</p><p>[69] (Teorema 16 do Capítulo 4, para o caso da medida de Lebesgue</p><p>na reta e Proposiçãol8 do Capítulo 11, para o caso geral).</p><p>Seja (X, M,4) como acima. A medida u é dita finita se</p><p>m(X) < oo. Ela é dita o-finita se X pode ser escrito como união</p><p>enumerável de conjuntos mensuráveis (i.e., elementos de M) com</p><p>medida finita. Se (X,M,u) e (Y,N,v) são espaços com medida,</p><p>seja M Q NX a o-álgebra gerada pelos conjuntos da forma M x N,</p><p>Me Mm,N EN. É possível mostrar que, se :X xY > Cé</p><p>mensurável em relação a M QN, então, para cada x € X, a função</p><p>vyeY» f(x,y) é mensurável em relação a NM. Afirmação análoga</p><p>vale para 2 € X » f(x,y) com y fixo. Pode-se então provar:</p><p>240 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>2.4 TEOREMA. (Teorema de Fubini). Suponha que yu ev são</p><p>medidas o-finitas e que f é mensurável em relação a M QN. Então</p><p>(2.23) /. ( [ [END EO) du(2) < 00</p><p>se e só se</p><p>2) S([1feilduto)) áru) < oe</p><p>e neste caso as integrais repetidas acima são iguais.</p><p>É possível provar que existe uma única medida produto,</p><p>usualmente denotada por u & v, definida em M Q N tal que</p><p>uov(MxN) = uUM)N), VM EM, N € N. Neste caso,</p><p>(2.23) e (2.24) são equivalentes à integrabilidade de f em relação a</p><p>“Qve vale a fórmula</p><p>[tomam ye = | (| Hear) arte)</p><p>(2.25) | = / ( /. Hasu)du(a)) du(y).</p><p>Finalmente, vamos considerar alguns operadores integrais em</p><p>LX). Suponha que yu é o-finita, seja k(z,y) E L(X x X) =</p><p>L(XxXMEM,uQ|) e defina o operador integral com núcleo</p><p>k(x,y) em L*(X x X) pela fórmula</p><p>(2.26) (Ko) = | Mes u)su)du(y),</p><p>GE LX), «x € X. Temos:</p><p>2.5 TEOREMA. KEB(L(X x X)). Além disso, K* é o operador</p><p>integral com núcleo k(y,x). Em particular, K = K* se e só se</p><p>klz,y)=k(y,2)uBu—qt.p.</p><p>sec. 2]: Os Espaços L?(X,M,4) 241</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Aplicando o Teorema 2.2 com p = q = 2, obte-</p><p>mos</p><p>E (e) < / le(2, 9) (9) du(y)</p><p>(2.27) 2</p><p><| fee at] ol</p><p>Elevando ao quadrado, integrando em relação a z e aplicando o</p><p>Teorema de Fubini, obtemos</p><p>(2.28) Ko <IolÊ /. Ie(e, WP dp 8 ua, 9).</p><p>Mas a integral do lado direito é precisamente a norma L?(X x X) de</p><p>k(z,y) e à primeira parte está provada. Para as afirmações restantes,</p><p>combine a definição de adjunta com o Teorema de Fubini. E</p><p>Note que o teorema acima mostra que ||K|| < Ilkl). O:</p><p>operador integral aqui definido é chamado um operador de Hilbert-</p><p>Schmidt. A função K - ||Kllg s = |lkll, éa norma Hilbert-Schmaidt</p><p>de K.</p><p>Um espaço de Hilbert H é dito separável se e só se existe um</p><p>conjunto ortonormal completo enumerável ou finito, i.e., existe uma</p><p>coleção (oia de elementos de ÉH, NEN ou N =, tais que</p><p>1, se y=k</p><p>O, se 3%k</p><p>e toda é E K pode ser escrita na forma</p><p>(2.29) (6; | ba) = 6 = |</p><p>N</p><p>(2.30) 6=> (6 | dn)óm,</p><p>onde a série (no caso de N = 00) converge na norma de KH. Uma</p><p>condição necessária e suficiente para que uma coleção (4; E satis-</p><p>fazendo (2.29) seja um conjunto ortonormal completo em K é que</p><p>(2.31) (Glé)=0 VI >6=0.</p><p>242 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>Os espaços L*(X, B(X),u) e L*(90, B(0),0) onde X €</p><p>B(R”") e u é a restrição da medida de Lebesgue a B(X) são se-</p><p>paráveis. Deve-se notar no entanto que existem espaços L? não-</p><p>separáveis (veja o problema 25 do Capítulo II de [65]).</p><p>2.6 TEOREMA. Suponha que L?(X) é separável. Então o operador</p><p>integral definido por (2.26) é compacto.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja ($;]2, um conjunto ortonormal completo</p><p>em L?(X). Então é fácil verificar que a coleção de funções 6;p(2, 1)</p><p>= dy(z)dx(y) forma um conjunto ortonormal completo em LX x</p><p>X). Consequentemente, o núcleo k(x,y) pode ser escrito na forma</p><p>(2.39) k = SO (k | Bjs )Bjk</p><p>jk=1</p><p>onde a série converge em L(X x X). Seja</p><p>N</p><p>(2.33) kn= > klB)Pdj N=1,2,...</p><p>jk=1</p><p>Então Kwy é de posto finito para todo N e é fácil ver que</p><p>IK — Knll > O quando N > oco. Portanto K é compacto pela</p><p>parte (iii) do Teorema 1.2. E</p><p>É importante observar que se X é um espaço de Hausdorff</p><p>localmente compacto e (X,M,4) um espaço mensurável, então a</p><p>coleção Co(X) das funções contínuas de X em C com suporte com-</p><p>pacto é densa em L”(X),1<p<oo,ie., dadose>0e fe LX),</p><p>existe g € Co(X) tal que |f — gl, < e. O resultado é falso em</p><p>Lº(X): neste caso, o fecho de Co(X) é a coleção Coo(X) das funções</p><p>contínuas que tendem a zero no infinito (i.e., f E Co(X) se e só se</p><p>f é contínua e dado é > 0, existe um compacto K. tal que |f(x)| <</p><p>fora de K.). Para estes resultados, assim como para a maior parte</p><p>desta seção, veja [70]. Outras referências</p><p>de interesse são [10], [38],</p><p>[53, vol. II], [69].</p><p>sec. 3) A Alternativa de Fredholm 243</p><p>3. A Alternativa de Fredholm</p><p>O objetivo desta seção é enunciar é dar um esquema da demons-</p><p>tração do teorema abaixo conhecido como a alternativa de Fredholm</p><p>em espaços de Hilbert. Seja H um espaço de Hilbert.</p><p>3.1 TEOREMA. Seja TE Bo(H). Então os espaços de soluções das</p><p>equações</p><p>(81) U-T)$=0 (a)</p><p>U-T)ó=0 (8)</p><p>têm a mesma dimensão finita d. Se d = 0, então as equações</p><p>( (1-T)o=f (a)</p><p>1-T)p=g (b)</p><p>têm uma única solução para cada f,jg E K dadas. Sed £ 0,</p><p>(3.2)</p><p>então (3.2)(a) tem solução se e só se f é ortogonal a toda solução de</p><p>(3.1)(b). Neste caso a solução não é única, pois a qualquer solução</p><p>podemos adicionar a solução geral de (3.1)(a).</p><p>O resultado acima, e na verdade o conceito de operador com-</p><p>pacto, originou-se no estudo das equações integrais. Para ter uma</p><p>idéia intuitiva, considere a equação integral</p><p>63) )=fo)+ / ee, Wó(y) dy, 2 € [0,1]</p><p>onde por simplicidade suponha k(z,y) contínua em [0,1] x [0,1].</p><p>Discretizando o problema, dividimos [0,1] em n intervalos de com-</p><p>primento Az = Ay = à e introduzimos</p><p>kij = k(1Ã2,9 Ay)</p><p>(3.4) & = é(i/2)</p><p>fi= fA2)</p><p>244 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>onde :,) = 1,2,...,n. Substituimos então (3.3) pelo sistema</p><p>algébrico</p><p>n</p><p>(3.5) di=fi+ Did; Ay, 1=1,2,...,n.</p><p>j=1</p><p>A alternativa de Fredholm é um resultado padrão de álgebra linear</p><p>no caso de dimensão finita. Para resolver (3.3), resolve-se primeiro</p><p>(3.5) e toma-se “limites apropriados”.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: O resultado é bem conhecido se dim H < oo.</p><p>Suponha agora que T é um operador de posto finito, 1.e.</p><p>(3.6) Tó= > | bi).</p><p>Note que, sem perda de generalidade, podemos supor que o conjunto</p><p>($1,..., $n) é linearmente independente: caso contrário, uma das</p><p>&n pode ser escrita como combinação linear das outras e (3.6) pode</p><p>ser reescrita utilizando (n — 1) termos. Considere então a equação</p><p>f=(1-T)ó. Utilizando (3.6), ela pode ser escrita na forma</p><p>(3.7) 6=1+D ati as =(6 bi)</p><p>j=1</p><p>e portanto, para resolvê-la, é preciso calcular os coeficientes a;. Mas</p><p>para? = 1,2,...,n temos</p><p>(3.8) o; = (6 | bi) = (F bi) +, ass(ós | bi)</p><p>j=1</p><p>e (3.8) é um sistema algébrico de n equações a n incógnitas. A</p><p>alternativa de Fredholm segue então para operadores de posto finito</p><p>aplicando a alternativa em dimensão fin'ta a (3.8).</p><p>sec. 4) O Teorema Espectral 245</p><p>Finalmente, se T € Bo(H) é qualquer, escolha T' de posto</p><p>finito tal que Ir — f|</p><p>4 = f + Tó pode ser reescrita como</p><p><1.SejjaS=T-T e note que a equação</p><p>(3.9) 6=$+T6+S6.</p><p>Como ||S|| < 1, o Teorema 1.1 mostra que (1-9)! existe. Portanto,</p><p>(3.10) 6=(1-SIf+(I-S To.</p><p>Como (1 — S) 1 é de posto finito, podemos aplicar o caso anterior</p><p>para obter a alternativa em geral. E</p><p>Para detalhes, maiores informações e o teorema no caso de</p><p>espaços de Banach, veja por exemplo [28], [59], [69].</p><p>4. O Teorema Espectral para Operadores Compactos</p><p>Auto-Adjuntos</p><p>Sejam HF um espaço de Hilbert e T € B(H). Um vetor não nulo</p><p>4 E H é dito um auto-vetor de T pertencente ao auto-valor À E C</p><p>se e só se Tg = Ag. É fácil provar que:</p><p>4.1 LEMA. SejaT=T*eB(H). Então:</p><p>(i) os auto-valores de T (se existirem) são reais;</p><p>(ii) auto-vetores correspondentes a auto-valores distintos são or-</p><p>togonais;</p><p>Gi) |T|| = suptl(Té | 6): Iléll = 1).</p><p>O resultado crucial necessário à demonstração do teorema</p><p>espectral é:</p><p>4.2 LEMA. SejaT =T*€ Bo(H), T 0. Então T tem pelo menos</p><p>um auto-valor ug; não nulo, com || = ||T|).</p><p>246 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Pelo Lema 4.1 (iii), existe uma sequência</p><p>(Ie, CH tal que (Tf. | fa) — ||T| quando n — co com</p><p>fall = 1 para todo n. Existe portanto uma subsequência (fn,),</p><p>tal que (Tfas | fm) — ta onde ja = IT ou y = —|IT]). Va</p><p>mos provar que | é auto-valor de T. Em primeiro lugar, note que</p><p>lime-oo |T fa, — ta fa, || = 0. De fato,</p><p>NT = fa = UT fal" — 282(T fas | fa) + 4</p><p>(4.1)</p><p>< IT] 2en(T fas | fas) + uz = 207 2u1(T fas] fra).</p><p>Como a última expressão em (4.1) tende a zero quando k — +oo, a</p><p>afirmação segue. Para concluir o lema vamos utilizar (pela primeira,</p><p>vez!) a compacidade do T. A sequência (fr, ) é limitada e portanto</p><p>existe subsequência (9;) de fn, tal que Tg; converge aalgumy E H.</p><p>Como ||g;|| = 1 e Tg; — 19; — O quando j — oo, segue que b £ 0</p><p>e que 9; > di = ur". Como T E B(H), obtemos Tg, = 1 com</p><p>l|$11| = 1 e o lema está provado. E</p><p>4.3 TEOREMA. (Teorema Espectral). Seja T E BH), T =</p><p>T*,T £ 0. Então existem sequências (u;)., CR (g; LcH,</p><p>onde N pode ser infinito, tais que |</p><p>jfk 0,</p><p>(4.2) Tó;=ujbj (Pi lér)= ( Loi=k</p><p>? J — ?</p><p>N</p><p>(4.3) Tó => uol dude VOCE</p><p>k=1</p><p>onde os números reais |t; são ordenados de modo que |g;| 2 |uj+1] ></p><p>O para todo j. Caso N = oo, a série em (4.3) converge na norma de</p><p>H elim;co |4;| = 0. Além disso, se M é o fecho do espaço gerado</p><p>pelo conjunto (os), cutão T lyi= 0.</p><p>sec. 4] O Teorema Espectral 247</p><p>Se V é um subespaço de H, o subespaço ortogonal a V é</p><p>definido por</p><p>(4.4) Vi=beH(6|b)=0 VHEV).</p><p>Note que Vl é sempre um subespaço fechado e que se V denota o</p><p>fecho de V, temos Vil =VeH=VeovVi.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Pelo Lema 4.2 existem m E R, $i E K tais que</p><p>Tó = mr, |dill = 1. Seja KH, o espaço gerado por &|. Então</p><p>H=H; O Hl,esepe Hi,</p><p>(4.5) (Tó lo)=(bITA)=mw(b|)=D,</p><p>ou seja, T(Hi) CHj. Sja Ti =T Im - Então é claro que T; é um</p><p>operador compacto auto-adjunto em Hj. Se Ty = 0, o teorema está</p><p>provado, pois neste caso</p><p>Tf=T(h+H)=Th=T( | é)</p><p>(4.6) =(flA)TA = pa(Ff | Pi)ba</p><p>Vf=h+fileH=H 06H14. SeT; £O0,o Lema 4.2 mostra</p><p>que existem u2 E Re da E Hi tais que To, = Tida = gado,</p><p>ll$2]] = 1. Seja H; o espaço gerado por (&i,42). Então H =</p><p>H. & Hi, T(H)) C Hk e o operador T) = T Ins é compacto e</p><p>auto-adjunto em Hi. Se To = 0, o teorema está provado. Caso</p><p>contrário, aplicamos o Lema 4.2 como antes para definir um 73 e</p><p>assim por diante. Se o processo termina após um número finito N</p><p>de passos, obtemos a fórmula</p><p>N</p><p>(4.7) Tf=D until VfEM.</p><p>k=1</p><p>Caso contrário, podemos construir sequências (u;J2,, (ó;) tais</p><p>que Tó = urdk lórll=1e(dr |$;)=0sek £3. Agora, pelos</p><p>Lemas 4.1 e 4.2, temos</p><p>(4.8) us =[Tk-a | = sup(I(TS Ol: fe Ha, Ff] = 1)</p><p>248 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>para k = 1,2,... onde Ty = Te Hj = H. Então é claro que</p><p>Iu;| > lujs1] > O para todo j = 1,2,.... Agora, se N = o,</p><p>temos |m|> |u2)>---> |u;|>--->0e portanto lim; |u;| =</p><p>6 > 0 existe. Mas é fácil ver que ||T dy — Tó; = ui + [a > 262.</p><p>Como T é compacto e ($;)%2., é uma sequência limitada, (Tn) tem</p><p>subsequência convergente e portanto, se ô > 0, a última desigualdade</p><p>acima é uma contradição. Logo lim;,co |4;| = 0.</p><p>Finalmente, seja M o fecho do espaço gerado por (o)</p><p>Então, se f=fu+Jfu. €EH=MEM-</p><p>N.</p><p>(4.9) f=5 Go) + fu</p><p>k=1</p><p>onde, se N = oo, a série converge na norma de H. Como T é um</p><p>operador linear contínuo,</p><p>N</p><p>(4.10) Tf=> ut | de)ér + Tlm).</p><p>k=1</p><p>easérie (se N = c0) converge na norma de H. Resta provar portanto</p><p>que T|yi=0. Seg e M+, então g é ortogonal a todos os espaços</p><p>Hy construídos acima. Então</p><p>(4.11) KTg | o)l=KTkg |9)l < Tal gil = [sux Ig]|É</p><p>para todo k = 1,2,.... Portanto, tomando limite quando k — oo,</p><p>segue que (Tg |9) = 0 para todo g E M!. Mas T |m1 é compacto</p><p>e auto-adjunto de modo que, pelo Lema 4.1 (iii),</p><p>(4.12) IT Ima || = supíKTo | 9)lige MS, gll=1)=0.</p><p>Portanto T = 0 e.a equação (4.10) é igual à equação (4.3). E</p><p>sec. 4) O Teorema Espectral 249</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1. Note que, pela alternativa de Fredholm, todos os auto-valores tp</p><p>são de multiplicidade finita.</p><p>2. O conjunto (gr JL, forma um conjunto ortonormal completo em</p><p>H se e só se T é injetivo (i.e., zero não é auto-valor de T).</p><p>Sejam X € B(R") e k(z,y) E L(X x X) = L(X x</p><p>X,B(X) O B(X), u & 4), onde u é a medida de Lebesgue restrita a</p><p>B(X). Se k(xz,y) = k(y,x) 48 u — q.t.p., sabemos que o operador</p><p>K com núcleo k é compacto e auto-adjunto (Teorema 2.5). Se K</p><p>é injetivo, então N = oo no teorema</p><p>acima e ($;J%2, forma um</p><p>conjunto ortonormal completo em LZ(X). (Note que este é precisa-</p><p>mente o caso do operador integral cujo núcleo é a função de Green do</p><p>laplaciano em 9 C Rº — veja o Lema VII.6.2.) Conseqientemente,</p><p>a coleção d;n(z,y) = &y(z)dn(y) forma um conjunto ortonormal</p><p>completo em L?(X x X) e portanto</p><p>oo</p><p>(4.13) k= 5 (kl bjn)bjn</p><p>pn=1</p><p>onde a série converge na norma de L*(X x X) e</p><p>(4.14) (k | bin) = /. Mes Bal o de dy</p><p>Usando o Teorema de Fubini, a definição de K e as propriedades das</p><p>auto-funções, obtemos</p><p>Un, j=n (415) Glóm= [60 A</p><p>de modo que (4.13) se reduz a</p><p>(4.16) k=53 unônn.</p><p>n=1</p><p>250 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>Além disso, é fácil ver que</p><p>oo</p><p>2 2</p><p>(4.17) IKlhas. = klj = >, ua</p><p>. n=1</p><p>Finalmente, sobre a teoria apresentada nesta seção, referimos</p><p>o leitor a [28], [65], [68].</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>Sejam (X,M,4), (Y,N,v) dois espaços com medida e considere o</p><p>operador integral formal definido pela fórmula</p><p>(KNW= /, ey 2)f(2) duda), VEF</p><p>onde o núcleo k:Y x X — C é uma função mensurável. Nos cinco</p><p>primeiros Exercícios abaixo estaremos interessados em dar condições</p><p>sob as quais T define um operador limitado de L? = L?(X,m,u) em</p><p>Lº=L(Y,n,v).</p><p>1. Suponha que |k(z,y)l < k(y,2) onde É Y x X > [0,00) é</p><p>mensurável e seja T o operador integral correspondente. Prove</p><p>que se T E B(L”,L?) então T € B(LP,L?) e</p><p>7 llecrr,19) < Ps» 19)</p><p>quaisquer que sejam p,q € [1,00].</p><p>2. Suponha que k(y,x) = ki(y, z)ka(y,2) onde</p><p>Iki(y, Ir! <M, veY qt.p.</p><p>Ika(c,x)lpp <Mo,, vrEX at.</p><p>Exercicios</p><p>251</p><p>Prove que T E B(LP) e que</p><p>|Tllsçr»y S MM:</p><p>3. Prove que a matriz de Hilbert, i.e., T = ((m + ny Da n=12..</p><p>é um operador limitado de 4? em si próprio, 1 < p < 00. Estime</p><p>1T'lleçer):</p><p>4. O analogo contínuo da aplicação do exercício anterior é o</p><p>operador integral T com núcleo (x + y)-t. Prove que T €</p><p>B(L”(0,00)), 1< p < oo e estime ||Tllgçz»)-</p><p>5. Seja f € L*(0,00), 1< p< oo e considere a função</p><p>F(s) = + / f(x) dt</p><p>To</p><p>(i) Prove a desigualdade de Hardy, i.e.,</p><p>4 It, < El,</p><p>onde ||gl, denota a norma L”(0,00) da função g. Em</p><p>particular a aplicação f m F' pertence a B(L?).</p><p>(Sugestão: Tome f E CH ((0,00)), f 2 O e use integração</p><p>por partes para obter</p><p>[ F(z)P dz = —p [ FP Mx)zF'(xz) de</p><p>Note que 2F' = f— F e aplique a desigualdade de Hôlder</p><p>a PO (o (a) de.)</p><p>(ii) Prove que a igualdade vale se e só se f = 0 q.t.p..</p><p>(ii) Prove que se f € L!(0,00) e f > 0 então F g L!(0,00).</p><p>252 Elementos de Análise Funcional [Cap. VI</p><p>6. Sejam G(z) = |zexp(-lzl), z € Rê, 2 £ 0, k(z,9) =</p><p>G(z — y), V:Rº — C uma função mensurável e T o operador</p><p>integral com núcleo k(z,y), i.e.,</p><p>(PrXo) = [Glow dy</p><p>(i) Prove que T = T* € B(L*(Rº)) mas não é compacto.</p><p>(ii) Suponha que V = W + VW onde Vi E LRº), Vo E</p><p>L?(Rº) e sejam $; = ViT,1i = 1,2 os operadores integrais</p><p>com núcleo k;(z,y) = Vi(z)G(z — y). Prove que S, €</p><p>B(L?(Rº)) e que S; é Hilbert-Schmidt. Além disso se</p><p>S=S +58 então S€ B(L(Rº)) e vale a desigualdade,</p><p>1Sllsçrz, < WVilloo Gy + IVallo [Go</p><p>(ii) Suponha agora que Vi, € LS(Rº), i.e., Vi é uma função</p><p>limitada que tende a zero no infinito. Isto significa que</p><p>dado c > O existe M = M(e,Vi) > O tal que se |z| > M</p><p>então |Vi(z)| < e q.t.p.. Prove que nesse caso VT é um</p><p>operador compacto.</p><p>(Sugestão: Aproxime V, por uma sequência de funções li-</p><p>mitadas Vin tais que Vin L, Y, e combine os resultados</p><p>de (ii) com o Teorema VI-1.2).</p><p>7. De um exemplo de um operador compacto que não é de Hilbert-</p><p>Schmidt.</p><p>Prove os Teoremas 1.2, 1.3 e o Lema 2.1.</p><p>Prove todas as afirmações feitas entre os enunciados dos Teo-</p><p>remas 1.3 e 1.4.</p><p>10. Prove que 4 € Bo(H) se e só se A* E Bo(7).</p><p>11. Seja E um espaço de Banach de dimensão infinita e A:E > E</p><p>uma isometria, i.e., | A f|| = |||] para f E E. Prove que A não</p><p>é compacto.</p><p>Exercícios 253</p><p>12. Sejam H um espaço de Hilbert separável e A € Bo(H). Prove</p><p>que existem dois conjuntos ortonormais (p:)1, (Yryf e</p><p>uma coleção de reais positivos (Ay Jf2., tais que,</p><p>Af=5 Auf | gr)</p><p>k=1</p><p>para toda f € H onde a série converge na topologia de B(H).</p><p>Os números A; são conhecidos como os valores singulares do</p><p>operador A e a fórmula acima é a chamada expansão canonica</p><p>de A.</p><p>(Sugestão: Aplique o Teorema Espectral ao operador A*A</p><p>para obter coleções [pr )p>1, (uk)p- tais que A* Ap; = urPk</p><p>e introduza À; = pat, V, = ART AQ.)</p><p>CAPITULO VII</p><p>UM PROBLEMA DE AUTO-VALORES</p><p>PARA O LAPLACIANO</p><p>O objetivo deste capítulo é estudar o problema de autovalo-</p><p>res para o laplaciano com condições de contorno de Dirichlet em um</p><p>aberto conexo 1) do Rº (veja (6.1)). O que segue generaliza resul-</p><p>tados dos Capítulos II e III para esta situação particular. A grande</p><p>diferença é que no caso de uma dimensão o espaço de soluções da</p><p>equação diferencial em questão é bem conhecido e não é difícil de-</p><p>terminar quais são as auto-funções do problema. Como veremos, o</p><p>caso de dimensão maior que um é bem mais delicado e muito compli-</p><p>cado do ponto de vista técnico. Aliás, a escolha n = 3 foi feita para</p><p>manter tais complicações em um nível mínimo (veja os comentários</p><p>no último parágrafo da seção 6).</p><p>1. Preliminares</p><p>Nesta seção vamos estabelecer algumas notações e definições e</p><p>também enunciar alguns resultados básicos de cálculo avançado em</p><p>Rº. No entanto é fácil verificar que o que segue vale em R" com</p><p>as modificações apropriadas. Sea e R$e R>0,a bola aberta</p><p>de centro a e raio Ré conjunto B(a, R) = (z E Rº:jz-a|< R)</p><p>onde |-| denota a norma euclideana usual. A esfera de centro a e</p><p>raio R será denotada por ôB(a, R) ou S(a, R). Se N é um aberto</p><p>de R$ e 9 — C é de classe C!, o gradiente de f é a função</p><p>sec. 2) As Identidades de Green 255</p><p>Vf=gradf = (5L, 5 da» 5). Uma função F:N — C? é chamada</p><p>um campo vetorial (complexo). F é de classe C! se e só se cada uma</p><p>de suas componentes F;:1) > C, 1 = 1,2,3 é de classe C1. Neste</p><p>caso, a divergência deF é afunçãoV-F=divF= Di, SE der Se</p><p>f:M > C é de classe C?, o laplaciano de f é a função</p><p>3 a?</p><p>Af=5D 5</p><p>i=1</p><p>Note que Af = div(grad f). Definições idênticas valem em ff).</p><p>Nosso objetivo agora é enunciar o teorema da divergência,</p><p>que será usado na seção seguinte para obter três identidades fun-</p><p>damentais no estudo do problema (6.1). Uma superfície de classe</p><p>Ct,1 < k < co é um subconjunto S do Rº tal que Vx, E S</p><p>existe uma vizinhança aberta de 75, V(zo) C Rº e uma função</p><p>& real de classe C* em V(xo) satisfazendo Vo £ 0 em V(z,) e</p><p>SnV(zo) = (x € V(zo) | (x) = 0). Neste caso, utilizando o</p><p>teorema da função implícita (e uma mudança de coordenadas con-</p><p>veniente) $ pode ser representada localmente como o gráfico de uma</p><p>função de classe C*. Com esta definição temos a seguinte forma do</p><p>teorema da divergência.</p><p>1.1 TEOREMA. Sejam N C Rº um domínio limitado com fronteira</p><p>99 de classe C! e F um campo vetorial de classe C! em N). Então</p><p>/ F(y) - v(y) do(y) = / div F(x) dz</p><p>on 9</p><p>onde v(y) denota a normal exterior a ON no ponto y e do(y) é a</p><p>medida geométrica natural sobre 9%, definida na seção 2 do Capítulo</p><p>VI.</p><p>2. As Identidades de Green</p><p>Nesta seção vamos obter três identidades fundamentais que serão</p><p>256 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>usadas frequentemente no restante deste capítulo. As duas primeiras</p><p>são consequências imediatas do teorema da divergência.</p><p>2.1 Proposição. Sejam 9 C Rº um domínio limitado onde vale</p><p>o teorema da divergência e u,v € CS). Então</p><p>(2.1) frota + Vu: Vu) dz = vapdo</p><p>Q ov</p><p>Ou Ov</p><p>(2.2) fotu — uAv) dz = Lê — E) do</p><p>onde v denota a normal externa em 99 e ou, o são as derivadas</p><p>direcionais de u e v na direção normal.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para provar (2.1) note que V -(uVv) = uAv +</p><p>Vv-Vu e aplique o teorema da divergência, lembrando que Vv-v =</p><p>o. ” Para provar (2.2), troque u por v na primeira identidade e</p><p>subtraia a identidade resultante de (2.1). E</p><p>Observe que se u € CN) e Au = 0 em 1), então a proposição</p><p>acima implica as seguintes relações</p><p>(2.3) / [Vu]? dz =</p><p>No do</p><p>Ou (2.4) 1570</p><p>As identidades (2.1), (2.2) são conhecidas como a primeira</p><p>e a segunda identidades de Green respectivamente. Para algumas</p><p>aplicações simples de (2.3) e (2.4) veja o Exercício 1 deste capítulo.</p><p>Muito mais interessante é o seguinte resultado.</p><p>2.2 TEOREMA. Seja NQ C Rº um domínio limitado, onde vale o</p><p>teorema da divergência eu € C(9). Então, Vz E Q</p><p>oF Ou do [ [Dale - GrtFte | do</p><p>“25 + f F(z — y)Auly) dy</p><p>sec. 2) As Identidades de Green 257</p><p>onde F(€) = —(4m |é|)T!, É E RO) e dos denota a derivada</p><p>direcional em relação à normal no ponto y € 01.</p><p>OBSERVAÇÃO: À função F é muitas vezes chamada uma solução</p><p>fundamental de A em R”. Note que A, F(z — y) = 0 Vy £ x, onde</p><p>A, indica o laplaciano na variável y (veja o último parágrafo da</p><p>seção 6 e também o Teorema 7.1 do Capítulo IX). A equação (2. 5)</p><p>é conhecida como a terceira identidade de Green.</p><p>Antes de provar o Teorema 2.2, é necessário fazer alguns co-</p><p>mentários e estabelecer alguns resultados técnicos. Em primeiro lu-</p><p>gar, qual é o significado das integrais que ocorrem em (2.5)? Como</p><p>na integral de superfície z € Ney € 09), é fácil verificar que o integr-</p><p>ando é uma função contínua, pois x está sempre “longe” de 9. Na</p><p>integral sobre 1) isto não ocorre. No entanto, a integral em questão</p><p>existe, pois F é localmente integrável em Rº e Au é limitada, uma</p><p>vez que, por hipótese, u E CM). Mais precisamente, se e > 0 e se</p><p>introduzirmos coordenadas esféricas y = z +rw,0<r<e,|w|=1</p><p>então dy = r?dr dw onde dw denota o elemento de área em 9(0,1)</p><p>e, portanto,</p><p>ep? g?</p><p>/ IF(z — y)| dy = (47)! / du [ —dr=— <oo.</p><p>B(z,) S(0,1) o” 2</p><p>Então, se e > O é tal que B(x,€e) Ce M = supg |Aul, temos</p><p>Le -wsu) a) em [Irto = dy =</p><p>-n(( Fls dy + Fe dy) <s</p><p>QN B(z,e) B(x,e)</p><p>pois F(z — y) é uma função contínua em N) B(z,€). Portanto, a</p><p>integral sobre 2 existe no sentido de Lebesgue. Em particular, segue</p><p>que</p><p>Lr (z — y)Au(y) dy = lim F(z — y)Au(y) dy</p><p>q 0 Jor B(z,e)</p><p>258 Um problema de autovalores — (Cap. VH</p><p>onde as integrais sobre N1B(z,€) podem ser interpretadas como</p><p>integrais de Riemann, uma vez que os integrandos são funções</p><p>contínuas definidas nos compactos NYB(z,€).</p><p>2.3 LEMA. Sejag e C(B(z,R)). Então</p><p>(2.6) lim F(z — y)g(y) do(y) = 0</p><p>e S(z,€</p><p>. oF</p><p>(2.7) lim st: du E — y)g(y) do(y) = g(x)</p><p>onde vy denota a normal externa a S(x,€) no ponto y.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para provar (2.6) note que</p><p>(o Fe-vamd)=-5 [ Ay)do(y)</p><p>S(x,e) S(x,º) ÁreE</p><p>Portanto,</p><p>ho Fe — v)o(y) do(y)l < p= sup lo(Wl / do(y)</p><p>é B(z,R) S(z,e)</p><p>4m€?</p><p>= q SUP Ig(y)l=e sup |g(y)|>0</p><p>TE B(z,R) B(z,R)</p><p>quando é | O. Para provar (2.7), note primeiro que</p><p>Fr go</p><p>dv, CO arte —yf</p><p>(prove!) e, portanto,</p><p>he 5 Sons — vlo(y) do(y) = a / Ke o A doty).</p><p>sec. 3] O Princípio do Máximo para Funções Harmônicas 259</p><p>Note que o lado direito desta igualdade é precisamente o valor médio</p><p>da função g(y) sobre a esfera S(z,€). O resultado segue imedia-</p><p>tamente da continuidade de g. De fato, como g é uniformemente</p><p>contínua, dado ó > 0, existe y = y(6) tal que, se y,y' E B(x,R),</p><p>ly—y'| < 7, então |g(y) — g(y')| < 6. Portanto, tomando e < y</p><p>temos</p><p>mo fd) ale)</p><p>1 E fi SO) = ate) dog)</p><p><</p><p>1 So Ji! = SE) do)</p><p>a < do(y) =6.E</p><p>4me? S(z,e) (4)</p><p>DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2.2: Fixe x € Nesejae > O tal que</p><p>B(z,e) € 9. Defina Q. = NA B(x,e) e aplique a segunda identidade</p><p>de Green com v(y) = F(x — y) para obter</p><p>/ F(x — y)Au(y) dy</p><p>= [o (PE Dal) -u)aole—1)) do(o</p><p>=[ (re-y2(y) uy Ee —9)) do(y) ba ( dvy dvy</p><p>+ Leco (Fte — Daly) — ul) an(r — D) do(y).</p><p>Para completar a demonstração basta tomar o limite quando « | O</p><p>utilizando o Lema 2.3 e lembrando que a normal externa a 0 aponta</p><p>para dentro da bola B(z,c). E</p><p>260 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>to Lo nN A.</p><p>o. O Principio do Maximo para Funçoes Harmonicas</p><p>Seja 9 C Rº um aberto. Uma função u E C?(9) é dita harmônica</p><p>em N see só se Au = 0 em N. Esta classe de funções tem proprie-</p><p>dades muito interessantes. Em primeiro lugar note que:</p><p>3.1 TEOREMA. Seja u como na definição acima. Então para todo</p><p>z EQ, se Blz, R) C Q temos</p><p>(21) u(2) = 57 fa Dao)</p><p>Em outras palavras, u(x) é o valor médio de u sobre qual-</p><p>quer esfera centrada em x e inteiramente contida em 9. Por esta</p><p>razão, este resultado é conhecido como o teorema do valor médio</p><p>para funções harmônicas.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Aplicando o Teorema 2.2 a B(z, R), temos</p><p>dd = [0 srle-u)do()= [dos ()F(E=3) do)</p><p>edtsizr</p><p>pois Au = 0 em 92. Mas em S(z, R) temos |z — y| = R e, portanto</p><p>—1 oF 1</p><p>Pe-d=R ao qa</p><p>Logo,</p><p>1</p><p>d ——— dad (= 58 Lp DOU pr h, sd Udo)</p><p>Mas, pela equação (2.4), a integral contendo ft é zero e o teorema</p><p>está provado. E</p><p>O Teorema 3.1 tem a seguinte recíproca: seu € C(N) e a</p><p>relação (3.1) vale para todo x E 12, com B(z,R) C 9, então u é</p><p>harmônica em 9 (Exercício 3). Este é um fato notável, pois é possível</p><p>provar que toda função harmônica é C”º , de fato, analítica! (Veja</p><p>[39], página 96.) Agora,</p><p>sec. 3] O Princípio do Máximo para Funções Harmônicas 261</p><p>3.2 TEOREMA. Sejam 92 C Rº um domínio limitado e u E CMN</p><p>C(9) tal que u toma valores reais e é harmônica em 1. Então, se u</p><p>atinge seu máximo (ou minimo) em 1), u é constante em N..</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Vamos provar o teorema no caso do máximo.</p><p>Para o mínimo, use demonstração análoga ou aplique o princípio do</p><p>máximo à função (—u). Seja M = maxyu. Se u atinge seu máximo</p><p>em 1), então S = (r EN |u(z) = M) é não vazio e é fechado, pois</p><p>u é contínua. Basta, portanto, provar que S é aberto em 1, pois</p><p>como 1) é conexo, segue que S = 1) e, pela continuidade de u, te-</p><p>mos u(z) = M, para todo x E 1). Para provar que S$ é aberto, seja</p><p>z € B(xo,ro). Pelo Teorema 3.1,</p><p>1</p><p>Mede =</p><p>Como u é contínua, segue que u(y) = M para todo y E S(xo, R),</p><p>» u(y) do(y), 0O<R<ro.</p><p>o,</p><p>0O< R<r,. De fato, caso contrário, existem R, € (O,ro) ey E</p><p>S(xo, Ro) tal que u(yo) < M (note que este é o único caso possível,</p><p>uma vez que u(z) < M para todo x € B(z,,ro)). Então, pela</p><p>continuidade de u, existe vizinhança N(y) C S(x,, Ro) do ponto</p><p>Yo, onde u(y) < M. Portanto</p><p>1</p><p>M = u(zo) o 4TR? nat Dá , AR)</p><p>1</p><p>47 R?</p><p>«<</p><p>M / do(y) +M do) =M</p><p>S(zo,Ro)N(yo) Ní(yo)</p><p>uma contradição. Segue, portanto, que u(r) = M, para todo x E</p><p>B(zo,ro) e o teorema está provado. E</p><p>Como era de se esperar o resultado acima é conhecido como</p><p>O princípio do máximo para funções harmônicas. Note que se N eu</p><p>são como no Teorema 3.2 e u não é constante em 12, seu máximo (e</p><p>mínimo) são atingidos apenas em 99.</p><p>262 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>3.3 COROLÁRIO. Existe, no máximo, uma solução do problema</p><p>(i) ve cAMNC(N)</p><p>(ii) Au = fe C(Q)</p><p>(iii) ulog = 9 € C(99).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Se uy e u2 são soluções, então as partes real e</p><p>imaginária de w = uj — u2 satisfazem</p><p>(i) ve CHN)nN (A)</p><p>(1) Av = 0 em Q</p><p>(11) vlag = 0.</p><p>Portanto, pelo Teorema 3.2, segue que Rew = Imw = 0. E</p><p>4. A Função de Green</p><p>Seja 9 C Rº um domínio limitado, onde vale o teorema da di-</p><p>vergência. Para motivar a introdução da função de Green, suponha</p><p>que o problema</p><p>(i) vue CcQ)</p><p>(ii) Au=fec(9)</p><p>(ii) uloo = 9 € C(9N)</p><p>tem uma solução (e portanto apenas esta pelo Corolário 3.3). Então,</p><p>a terceira identidade de Green implica</p><p>A</p><p>uo= (atoamte 9 det)Pte- ») do(y)</p><p>+[ Fa “Wiady Ven</p><p>Esta representação da solução tem um defeito: ela contém E que</p><p>não é um dado do problema em questão e que, de fato, deve ser</p><p>determinada pelos dados f e g, uma vez que estes definem unica-</p><p>menOfifte a solução. É conveniente, portanto, obter uma representação</p><p>da solução u(z) que contenha apenas f = Au eg=ulm- A idéia</p><p>sec. 4] A Função de Green 263</p><p>básica é, então, substituir F(z — y) por uma função G(x,y), com</p><p>propriedades semelhantes às de F mas tal que G(x,y) =0 se z E Q</p><p>e y € 912, de modo que o termo contendo der não ocorra na relação</p><p>correspondente à terceira identidade de Green. Mais precisamente,</p><p>seja 9? um domínio limitado. A função de Green do operador À</p><p>(2.22) au? —2bu +c=0.</p><p>É claro então que o sinal do discriminante ó = b? — ac determina se</p><p>existem duas, uma ou nenhuma solução real u = u(x,y) da equação</p><p>(2.22). Concluímos que, no caso hiperbólico (6 > 0), existem duas</p><p>famílias reais de curvas satisfazendo (2.21) com | solução de (2.22);</p><p>no caso parabólico (ó = 0) existe apenas uma família enquanto que</p><p>no caso elítico (ô < 0) não existe nenhuma. As curvas definidas por</p><p>' (2.21), quando existirem, são denominadas curvas características da</p><p>equação (1.13).</p><p>No caso hiperbólico podemos colocar a EDP na sua forma</p><p>canônica (2.17) fazendo uma mudança de variável (2,1) +» (£,n) tal</p><p>que É é constante ao longo das curvas em uma das famílias de curvas</p><p>características e 1 é constante ao longo das curvas na outra família.</p><p>Para ver que isso de fato ocorre, sejam 4 = py(z,y) e go = uo(z,Y)</p><p>as duas raízes distintas da equação (2.22). Procuramos então É e</p><p>satisfazendo</p><p>(2.23) Éx + piéy = 0, Éy f 0,</p><p>(2.24) N=+uan2=0, ny F0.</p><p>Observamos que, no caso em que os coeficientes da parte principal de</p><p>(1.13) são continuamente diferenciáveis na região de interesse, onde a</p><p>- equação é hiperbólica, as funções | e 2 também são continuamente</p><p>diferenciáveis (estamos sob a hipótese que a(x,y) nunca se anula</p><p>nessa região) e podemos achar soluções é m de (2.23) e (2.24) de</p><p>classe C?. Além disso, como | £ 2 em todos os pontos da região, a</p><p>trnaformação (x,y) - (£,n) define de fato uma mudança de variável</p><p>Pois o jacobiano</p><p>J = €eny— ya = (Ho — Hi)Eyny</p><p>12 Preliminares [Cap. I</p><p>não se anula. Definindo então v(é,n) = u(x,y) e usando as equações</p><p>(2.5), (2.6), (2.7) e (2.8), temos que » satisfaz</p><p>Aveg + 2Bven + Com = g(é, MD; VE, Um)</p><p>onde</p><p>A = atê + 2bE.€, + cé5</p><p>= (aê -2bm +98 =0,</p><p>C = an; + 2bn:ny + cn) = 0.</p><p>Portanto</p><p>Ven — (é, MV, 06; vn).</p><p>EXEMPLO: As curvas características da equação de onda (1.14) são</p><p>z + ct = constante</p><p>z — ct = constante.</p><p>De fato nesse caso a equação (2.22) fica</p><p>p? — c? =0</p><p>portanto gy = ce gy = —c. Logo:</p><p>dx</p><p>E =u=c=>tr=ct+ constante,</p><p>dz</p><p>E =u=-c> 4 =-ct + constante.</p><p>No caso parabólico existe apenas uma família de curvas ca-</p><p>racterísticas e podemos obter como anteriormente</p><p>n.+un,=0, ny%£0,</p><p>sec. 3) Condições de Contorno e de Valores Iniciais 13</p><p>onde yu é a única solução de (2.22). Escolhendo qualquer função £</p><p>de classe C? com</p><p>J= Ezny — Eyno £ 0</p><p>na região de interesse obtemos uma mudança de variável que trans-</p><p>forma a equação (1.13) numa equação da forma</p><p>Veg — g(é, MV, VE, Un).</p><p>O caso elítico é mais complicado pois não existem curvas ca-</p><p>racterísticas. Podemos, no entanto, repetir formalmente o que fize-</p><p>mos no caso hiperbólico usando as funções complexas conjugadas ju</p><p>e 42 que são raízes de (2.22) e obter variáveis complexas conjugadas</p><p>Ê +] com</p><p>É, + uêy =0, é, 0,</p><p>Tha + Hoy =0, dy 0.</p><p>Introduzindo depois as variáveis reais</p><p>Lo... Liz</p><p>€= 2(€ + 9) n= (8-1)</p><p>obtemos a forma desejada. Esse procedimento formal pode ser justi-</p><p>ficado sem dificuldade se as funções a, b e c puderem ser extendidas</p><p>analiticamente a uma região em C? contendo a região de interesse.</p><p>Quando tal extensão não é possível, a demonstração que a equação</p><p>elítica pode ser colocada. na sua forma canônica (2.14) é bastante</p><p>profunda.</p><p>0. Condições de Contorno e de Valores Iniciais</p><p>Uma diferença importante entre EDO's e EDP's é a informação</p><p>suplementar necessária para a unicidade de solução. No caso de</p><p>14 Preliminares (Cap. I</p><p>EDO's obtemos unicidade impondo condições iniciais, isto é, fixando</p><p>os valores da solução e de suas derivadas até certa ordem em um</p><p>dado ponto; podemos também obter unicidade, no caso de interva-</p><p>los finitos, impondo condições nos extremos do intervalo. No caso de</p><p>EDP's o espaço das variáveis independentes é multidimensional, de</p><p>modo que a solução está definida em uma região 9 C R”: os extre-.</p><p>mos do intervalo são então substituídos pelo bordo 98 da região 92</p><p>enquanto que condições iniciais devem ser dadas não apenas em um</p><p>ponto mas em uma subvariedade de co-dimensão 1 em R”. Quando</p><p>impomos condições sobre a solução no bordo da região temos um</p><p>problema de contorno; se as condições são dadas em uma subva-</p><p>riedade inicial, temos um problema de Cauchy ou de valor inicial.</p><p>Podemos, ainda, ter problemas miztos: por exemplo, em fenômenos</p><p>físicos difusivos, impomos muitas vezes condições iniciais no instante</p><p>t = 0 e condições de contorno nas variáveis espaciais 7,1, 2. Proble-</p><p>mas de contorno estão normalmente associados a equações elíticas e</p><p>problemas de Cauchy a equações hiperbólicas.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>1. O problema de Cauchy para a equação de onda a uma dimensão</p><p>espacial:</p><p>Um — Uzz, zeR, t>0,</p><p>(3.1) u(z,0)=Ff(z), TER,</p><p>u(z,0)=g(z), TER,</p><p>onde fé de classe C? e é de classe C!. Usando (1.15) é fácil ver</p><p>que (3.1) tem uma única solução, a saber</p><p>+</p><p>62) ua)=Ife+)+e-+5/ dadas</p><p>-—t</p><p>Essa é a chamada solução de D'Alembert. Observe que o valor da</p><p>solução u no ponto (xo,to) depende apenas dos dados iniciais no</p><p>sec. 3) Condições de Contorno e de Valores Iniciais 15</p><p>intervalo [zo — to, zo +to] que é chamado o intervalo de dependência</p><p>do ponto (zo, to) — se os dados iniciais forem alterados fora desse</p><p>intervalo, o valor da solução no ponto zo,to) não muda. Note que</p><p>o intervalo de dependência do ponto (zo,to) é determinado pelas</p><p>curvas características que passam por (zo,to). Analogamente, dado</p><p>um intervalo [0,0] C R, a região R= ((z,t)ia-t< x < b+t) é</p><p>chamada a região de influência de [a,b] - se (xo,to) E R, o inter-</p><p>valo de dependência de (zo, to) intercepta [a, b] e portanto qualquer</p><p>alteração nos dados iniciais no intervalo [a, b] afeta a solução em</p><p>(zo,to). À solução de D'Alembert também deixa claro o fato que as</p><p>descontinuidades são propagadas ao longo das características. Em</p><p>outras palavras, se f não for de classe C?, então u dada por (3.2)</p><p>também não é de classe C? e se f (ou alguma de suas derivadas) tem</p><p>uma descontinuidade no ponto c E R, então u (ou suas derivadas</p><p>de ordem correspondente) tem descontinuidades ao longo das curvas</p><p>T+t=cex-t=c, que são as características passando por (0, c), (veja</p><p>o Exercício 4 ao final deste capítulo.) '</p><p>2. O problema de Dirichlet:</p><p>(3 3) ( Usz +Uyy =0 em 9),</p><p>ulon = f,</p><p>onde 9) € R? é um domínio limitado com fronteira “bem compor-</p><p>tada” (por exemplo, de classe C?) e f:9N > C é contínua. O</p><p>problema (3.3), que será discutido na parte II do texto, tem uma</p><p>única solução.</p><p>3. O problema de Neumann:</p><p>O E</p><p>On — Ê,</p><p>onde à é a derivada na direção normal ao bordo de 92 e f:0N > Cé</p><p>contínua. Note que (3.4) não tem uma única. solução: se u é solução.</p><p>então u +c, onde c é uma constante arbitrária, é também solução. É</p><p>16 Preliminares * (Cap. 1</p><p>interessante observar que, se a fronteira de 2 é ”bem comportada”,</p><p>para que haja solução é preciso que a integral de f ao longo de 99</p><p>seja zero (veja o problema 5).</p><p>4. A equação de onda em um intervalo finito:</p><p>Us = Usz, z E (0,4), t>0,</p><p>u(0,t)=0=u(L,t), t2>0,</p><p>65) umO)=fa, — cel0,8,</p><p>usa, 0) = g(z), z E [0, 2),</p><p>onde f,9:[0,4] > C, f é de classe C? e q é de classe C!. Esse pro-</p><p>blema pode ser considerado como mixto (condições iniciais</p><p>u(z,0) = f(z),us(z,0) = g(x) e condições de contorno u(0,t) =</p><p>0 = u(£,t)) ou como um problema de contorno no domínio ilimitado</p><p>Q = (0,4)x (0,00). Observamos que f precisa satisfazer as condições</p><p>de compatibilidade</p><p>(3.6) f(0) = 0 = f(£)</p><p>para que o problema (3.5) tenha solução; nesse caso existe de fato</p><p>uma única solução.</p><p>5. Um problema para a equação do calor que discutiremos em de-</p><p>talhe é ,</p><p>du = atO2u, ze(0,!), t>0,</p><p>(8.7) u(0,t) = 0=u(£,t), 420,</p><p>' u(x,0) = f(x), z E [0,4].</p><p>Como no exemplo anterior, podemos considerar (3.7) como um pro-</p><p>blema mixto ou como um problema de contorno no domínio ilimi-</p><p>tado N = (0,4) x (0,00). Note que, ao contrário de (3.5), basta</p><p>uma condição inicial pois a EDP em (3.7) é de primeira ordem em</p><p>relação a t. Fisicamente, (3.7) descreve</p><p>em</p><p>9 (com condição de contorno de Dirichlet) é uma função da forma</p><p>(4.1) G(z,y)=-F(z-y)+H(z,y), (zy)eNxN</p><p>tal que para cada x € 9 fixo, tem-se</p><p>(a) H(z, )E CHMNC(N)</p><p>(b) A,H(z,y) = 0 em 9</p><p>(c) H(z,y) = F(x —y), y E os.</p><p>Aplicando o Corolário 3.3, vê-se imediatamente que existe no</p><p>máximo uma função H(x,y) satisfazendo a definição acima. Con-</p><p>sequentemente, a função de Green, se existir, é única. À existência é</p><p>muito mais difícil e será provada no próximo capítulo, supondo que</p><p>99 é de classe C2. Além disso, é possível mostrar ([80], capítulo 21)</p><p>que para cada 7 € 9 fixo, G(z,y) tem derivada normal interior i.e.,</p><p>OG .</p><p>gu (+) = im VOle y dim) my</p><p>existe uniformemente em y, onde o gradiente é calculado em relação</p><p>à segunda variável. Então, uma demonstração análoga à da terceira</p><p>identidade de Green mostra que</p><p>(42) a(o) == [ uso (250) do(y) — [ Clos v)Au(y) dy</p><p>para todo x € 9). Note que a integral sobre 92 existe no sentido de</p><p>Lebesgue pela mesma razão que o termo correspondente na terceira</p><p>identidade de Green, uma vez que a função y € N > H(z, y), para</p><p>x E N fixo, é contínua.</p><p>264 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>E interessante notar que se u é uma função harmônica, então</p><p>(4.2) se reduz a</p><p>(43) de) = [ uva (2,0) do(y)</p><p>para todo x E 9. À equação (4.3) é conhecida como a fórmula</p><p>de Poisson em 1, enquanto a função —-2E é chamada o núcleo de</p><p>Poisson de 2. Por exemplo, se 9 = B(0,1), a função de Green e o</p><p>núcleo de Poisson são dados por</p><p>1 1 tz]</p><p>4.4 Gigy)=— |-—— 4 —</p><p>(45) DE, j= 1- tz</p><p>dv UE gro gy</p><p>Para a obtenção de (4.4) veja, por exemplo, [31]. As funções G e</p><p>—2e para bolas arbitrárias B(a, R) podem ser obtidas de (4.4) e</p><p>(4.5) por meio da mudança (x,y) —» (a+ Rx,a+ Ry). Aplicações in-</p><p>teressantes podem ser encontradas nos problemas do Capítulo VIII.</p><p>5. Propriedades da Função de Creen</p><p>Nesta seção vamos descrever as propriedades da função G(z, y) que</p><p>utilizaremos para estabelecer a existência das soluções do problema</p><p>(1.4) do Capítulo I. Daqui por diante vamos supor sempre que 9</p><p>é um domínio regular, i.e., um domínio limitado com fronteira de</p><p>classe C? (como definido na primeira seção). Sob estas condições</p><p>provaremos, no próximo capítulo, que a função H(x,y) existe, torna</p><p>valores reais e pertence a C(9)) na variável y para cada x E N fixo</p><p>(veja o Corolário 2.4 do Capítulo VIII). Conseqiientemente, G(z, y)</p><p>existe e pertence a C(N1 (x)) como função de y para cada z E 1.</p><p>sec. 5] Propriedades da Função de Green 265</p><p>5.1 LEMA. Seja NC Rº um domínio regular. Então:</p><p>() G(z,y)>0, x,y) eNxQ</p><p>(ii) G(xz,y) = G(y,x), Mz,y) Nx Q</p><p>(iii) GE LAN x 9).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para provar (1) fixe x € 9) e note que G(z,y) —</p><p>oo quando y — x, pois (—-F(z — y)) tem esta propriedade e H(z,y)</p><p>é limitada em uma vizinhança de x. Portanto, parae > O suficiente-</p><p>mente pequeno, temos B(x,€) C Me G(x,y) > Oem B(z,e). Seja Ne</p><p>o complementar de B(xz,€) em 1. Então G(x,y) é harmônica em N,,</p><p>pertence a CH9)N C(M) e satisfaz G(z,y) = 0 em 99, G(z,y) > 0</p><p>em 9B(xz,€e). O Teorema 3.2 mostra então que G(z,y) > 0 em 9,</p><p>(por quê?) e o resultado está provado.</p><p>Para provar (ii) note que, se x = y, então G(xz,y) = G(y, 1) =</p><p>oo. Sex £y, seja e > 0 tal que B(z,e)U B(y,e) C 9, B(z,e)N</p><p>B(y,€) = é, aplique a segunda identidade de Green (Proposição 2.1</p><p>deste capítulo) às funções u(z) = G(x,2), v(z) = G(y,z) em NM, =</p><p>MB(z, eJU B(y,€) e tome o limite quando € tende a zero (utilizando</p><p>o Lema 2.3). O resultado então segue. Os detalhes são deixados</p><p>como exercício.</p><p>Considere agora (ii). Como G(xz,y) > O em 92 x 9 temos</p><p>H(x,y) > F(zx — y) V(x,y) € N x N. Agora, aplicando o princípio</p><p>do máximo para funções harmônicas (veja a observação antes do</p><p>Corolário 3.3) a y € 9. + H(z,y), com z € QN fixo, temos</p><p>—l</p><p>H(z,y) < maxzeon H(z,2) = max;ean (mEa)</p><p>1 1 —</p><p>i < Q.</p><p>< minzeon (= |z — 3) T 4r|x-—z| Vaz €</p><p>Portanto,</p><p>0O<G(z,y)=-F(x—-y)+H(2z,y)</p><p>(5.1) 1</p><p>——— 1. 27 |2 — y| V(x,y) € 9 x</p><p>266 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>Mas a função (x,y) » |z — y|| pertence a LN x N). De fato,</p><p>primeiro fixe x € 2 e seja R tal que B(x, R) D N2. Então</p><p>(5.2) E</ =[ d 4R<o</p><p>q |z —y] B(z,R) |z — y] B(o,R) |z|</p><p>onde usamos z = 7 — y e calculamos a integral resultante em coor-</p><p>denadas esféricas. A afirmação segue então integrando em « pois 9</p><p>é limitado. Consegientemente, G(x,y) (que é mensurável) pertence</p><p>a L*(9 x 9), pois é limitada superior e inferiormente por funções</p><p>desta classe. E</p><p>Por definição, a função G(x,y) é harmônica na segunda</p><p>variável e se anula quando esta pertence a ON. A propriedade (ii)</p><p>provada acima mostra que estas afirmações também são verdadei-</p><p>ras para a primeira variável. Além disso as propriedades (ii) e (iii)</p><p>mostram que o operador integral em L?(S)) com núcleo G(xz, y) é um</p><p>operador compacto (de fato, Hilbert-Schmidt) e auto-adjunto (veja</p><p>os Teoremas 2.6 e 2.7 do Capítulo VI).</p><p>Nosso próximo objetivo é provar que a solução do problema</p><p>vECHMNC(N)</p><p>(5.3) Av=feCHN), limitada</p><p>vlog = 0</p><p>é dada por (compare com (4.2)!)</p><p>(5.4) (2) = — / Cla, u)f(y) dy.</p><p>Este resultado será utilizado na próxima seção para obter</p><p>uma equação integral equivalente ao problema de auto-valores (6.1).</p><p>A demonstração em questão é longa e técnica, e é conveniente dividí-</p><p>la em uma série de lemas e teoremas. O primeiro deles é um caso</p><p>particular de um resultado bem conhecido da teoria de integração e</p><p>sua demonstração será deixada como exercício (Exercício 5).</p><p>sec. 5] Propriedades da Função de Green 267</p><p>5.2 LEMA. Seja F(x) = (—47 |z|)!, « £ 0.Então</p><p>(5.5) lim sup f F(r+y)-F(o)? dr=0, pe [1,2),</p><p>h=0 |y|<h</p><p>(5.6) lim sup</p><p>or or. |?</p><p>A up, oC + a(o] de=0, pelt,3/2),</p><p>i=1,2,3.</p><p>O próximo passo é estudar a contribuição da solução funda-</p><p>mental F(x) em (5.4). Mais precisamente</p><p>5.3 TEOREMA. (i) Seja f E L(9). Então a função</p><p>(5.7) g(2) = / F(z-yf(wdy, 2ER'</p><p>pertence a C!(Rº)NCS(RN) e satisfaz Ag = 0 em RAD.</p><p>(ii) Suponha que f E C(MNL(N). Então g E CHN) e satisfaz</p><p>Ag = f em N.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para provar (1) note primeiro que</p><p>9F 1 x —y; . 5. -— (2 —-y)=— = ( 8) Oz; z y) 47 |x — yp" t 12,3</p><p>de modo que</p><p>de us 47 =P</p><p>É fácil verificar que as condições do Exercício 6 deste capítulo são</p><p>satisfeitas e portanto g é diferenciável e</p><p>69) Sa) [5 (e -wf(Udy i=1,23</p><p>A continuidade desta função segue de (5.6) com p = 1. Agora se</p><p>7 € RAN, o processo de derivação sob o sinal de integral pode</p><p>268 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>ser repetido indefinidamente pois x está “longe” de y € 92 e não</p><p>existem singularidades a considerar. Em particular, Ag(xz) = 0,</p><p>sez € RAQ pois A,F(z—-y) = O paraz £y. Ser e, é</p><p>9º F fácil verificar que as derivadas 32107) (x — y), 2,9) = 1,2,3, não são</p><p>localmente integráveis e portanto não é possível aplicar o Exercício 6</p><p>para derivar duas vezes sob o sinal de integral para x € 92. O remédio</p><p>é supor f € C!(9) e integrar por partes! Mais precisamente, fixe</p><p>zo EN eseja B= B(x,,R) tal que BC N. Então,</p><p>(610) do- /, F(e — y)f(y) dy + [ Entao</p><p>esez € B, é fácil demonstrar por argumentos análogos aos anterio-</p><p>res que a integral sobre NYB define uma função Cº. O problema é</p><p>a integral sobre B. Seja g(x) esta integral. Então, pela parte (1)</p><p>(5.11) 52 (a) + ala -wflydy, 1=1,2,3.</p><p>Por um cálculo direto,</p><p>oF õ .</p><p>da, — = By (E — u)), 1=1,2,8,</p><p>de modo que</p><p>. 3 |</p><p>612) Gel)=- [ aolPl- id, i=1,28</p><p>Mas</p><p>o so (Flo Fw) = polF(e AO) + Fe - io),</p><p>logo</p><p>dele) = | ar(Plz wu) dy (5.13) Li; B Oyi o</p><p>4 /, Plz — uv) (v) dy</p><p>sec. 5] Propriedades da Função de Green 269</p><p>Aplicando o teorema da divergência à primeira integral do lado di-</p><p>reito de (5.13), obtemos</p><p>og</p><p>a (o)==— | F(x > y)fy)vi(y) dy</p><p>de; ha tagõ.14</p><p>+ fre — DSL) dy</p><p>onde v;(y) é a i-ésima componente da normal v(y) a OB no ponto y.</p><p>Pelo Exercício 6 e a parte (i) segue que g(x) é de classe C? em B =</p><p>B(xo,R). Como x, é arbitrário, g pertence a C%9). Resta provar</p><p>que Ag(x) = f(x) em 2. Para</p><p>isso, basta mostrar que Aj(x) = f(x)</p><p>quaisquer que sejam zo EN e x € B(xo, R). É suficiente provar que</p><p>(5.15) (AG |)=(f]6) Voe CAB(xo,R))</p><p>onde (: | -) é o produto interno usual em L*(B(x,,R)) e</p><p>C&(B(z,,R)) denota a coleção das funções CP com suporte com-</p><p>pacto contido em B = B(x,,R). Como é = 0 em uma vizinhança</p><p>aberta de 9B, a segunda identidade de Green (equação (2.2)) mostra</p><p>que</p><p>(610) (AG|6)= [ Asle)io) do = [ uto)ad(e) de</p><p>Levando (5.7) em (5.16) e aplicando o Teorema de Fubini (seção 2</p><p>do Capítulo VI)</p><p>cam (osló= [1o([ Fe- JB) de ) dy</p><p>Se y € MAB, usando a segunda identidade e as propriedades de F e</p><p>$, obtemos que</p><p>re -aasaas o</p><p>B</p><p>270 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>e portanto</p><p>649 — (aglog)=[ 1w([ re 1) Bo) de ) dy</p><p>Para calcular à integral na variável z; fixey Ee Besejac > Otal que</p><p>o fecho de B. = B(y,€) está contido em B. Então, utilizando mais</p><p>uma vez a segunda identidade de Green,</p><p>/ F(z — y)Ad(x) dz = iz / F(z — y)Ad(x) dz</p><p>B elo Sais,</p><p>= lim hs, AF(z — y)ó(x) dz</p><p>elo</p><p>dE. —oF</p><p>+ Lima (rto — VW 3, (2) — Hc) gl? — 9) ás)</p><p>. 4 —— 9F tm [o (re “Wi OZ - 9) do(y),</p><p>onde v, é a normal a ÔB, no ponto x que aponta para fora da bola</p><p>B.. Portanto, pelo Lema 2.3</p><p>(5.19) /, F(z — Ad) de =P).</p><p>Combinando (5.18) e (5.19) temos (5.15) e o resultado está pro-</p><p>vado. E</p><p>Seja Cº(1), a E (0,1), a coleção das f:M — C que satisfazem</p><p>uma condição de Hôlder local de ordem a, i.e., para todo x € Q existe</p><p>uma vizinhança aberta V(x) C Q tal que</p><p>Flo +) —- FQW)<Cly|", VyeV(z).</p><p>Defina também C*+H(N), k = 0,1,2,... como sendo o conjunto</p><p>das f E CH) tais que f e suas derivadas parciais até ordem k</p><p>pertencem a Cº(1). Com esta notação, argumentos mais delicados</p><p>sec. 5] Propriedades da Função de Green 271</p><p>do que os usados acima mostram que se f € Cº+H(), então g E</p><p>C'*2. Veja [31], páginas 97-102.</p><p>Vamos considerar agora a contribuição de H(x,y) para (5.4).</p><p>Defina</p><p>(5.20) v(2) = / H(z, )f(y) dy</p><p>para f € L“(9), de modo que (5.4) pode ser escrita na forma</p><p>v(z) = g(x) — w(z). Tendo em vista o Teorema 5.3, para provar</p><p>que (5.4) é solução de (5.3) basta demonstrar que w € CHM)NC(N)</p><p>e Auw(z) = 0 em N. (A condição f E CH(O)N LY(9) é necessária</p><p>apenas para provar Ag = f em 1); para as propriedades de w dis-</p><p>cutidas abaixo, usaremos apenas f € L“(9).) A continuidade de</p><p>w(x) em 9 segue da estimativa |H(x,y)| < (4r |z — y|)”1 provada</p><p>na demonstração da parte (111) do Lema 5.1 desta seção e do teorema</p><p>da convergência dominada (generalizado; veja a seção 2 do Capítulo</p><p>VI). A dificuldade é provar que w € CN) e Aw = 0 em 9. Note</p><p>que formalmente Aw = 0 pois H(z,y) = H(y,x) parar £ ye</p><p>H(x,y) é harmônica em relação à segunda variável. O problema é</p><p>como usar esta observação para obter o que queremos. Mais uma</p><p>vez, a resposta é integrar por partes! Mais precisamente, seja CA (1)</p><p>a coleção das 4: Rê — C tais que é é C” e tem suporte compacto</p><p>contido em S. Usando o teorema de Fubini e a segunda identidade</p><p>de Green é fácil ver que</p><p>(w|Ad)=0 V$ E CHA)</p><p>isto é, w é harmônica no sentido fraco. Mais precisamente, uma</p><p>função mensurável u: 4 — C é dita localmente integrável em N se e</p><p>só se</p><p>/ lu(z)] dz < oo VYcompacto Kc 9.</p><p>K</p><p>Neste caso, escreve-se u € LL.(9) (note que C(9M) C LL (9). Uma loc</p><p>função u E LL (9) é harmônica em N no sentido fraco se e só se</p><p>272 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>(u | A$) =0, para todo é E CS(9). É claro que se u é harmônica</p><p>em 9 no sentido usual, então u é harmônica no sentido fraco.</p><p>O próximo teorema, conhecido como o lema de Wegyl, diz que a</p><p>recíproca é verdadeira.</p><p>5.4 TEOREMA. Suponha que u é harmônica no sentido fraco em</p><p>Q. Então u E CN) e Au = 0 no sentido usual.</p><p>A demonstração deste resultado é relativamente técnica e está</p><p>esquematizada no Exercício 7 deste capítulo. Note que a hipótese</p><p>“Q domínio regular” não tem a menor importância no Teorema 5.4</p><p>assim como na definição que o precede (afinal de contas, estamos</p><p>estudando propriedades locais da função u!). Em outras palavras,</p><p>basta supor que 9) é um aberto. Para uma formulação mais geral</p><p>do teorema acima veja, por exemplo, [66], seção IX.6 e as notas</p><p>correspondentes (página 112).</p><p>Combinando então os resultados e observações acima, obte-</p><p>mos facilmente</p><p>5.5 COROLÁRIO. A única solução de (5.3) é dada por (5.4).</p><p>6. O Problema de Auto-Valores</p><p>Nesta seção, vamos discutir o problema de auto-valores para (— A)</p><p>em 1) com condições de contorno de Dirichlet. Mais precisamente,</p><p>vamos considerar</p><p>ue CHAMNC(O)</p><p>(6.1) —-Au=Au em 9</p><p>ulag = 0.</p><p>Como mencionado na seção anterior, o operador integral</p><p>(62) — (Kefko)= / le wf(wWdy, feIHM)</p><p>sec. 6) O Problema de Auto-Valores 273</p><p>é um operador compacto (de fato, Hilbert-Schmidt) e auto-adjunto</p><p>em L?(9). É conveniente, antes de mais nada, estabelecer certas</p><p>propriedades de Kg, necessárias ao estudo de (6.1).</p><p>6.1 LEMA. Se f E LN) então Kof E C(M) e Kgflag = 0.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Note, antes de mais nada, que a igualdade em</p><p>(6.2) vale apenas em quase toda parte. O que vamos fazer é pro-</p><p>var que o lado direito de (6.2) define uma função contínua em 9</p><p>e portanto a classe de equivalência de Kgf contém uma (única)</p><p>função contínua. Com esta interpretação em mente, note que pela</p><p>desigualdade de Hoólder, com p = q = 2, temos</p><p>(6.3) | stemraas < [/, G(z,y) ds) WII,</p><p>Vz e QN pois0< G(z,y)<(2r|lz-y|)!emNxNe Gl(z,y) =</p><p>G(y,x) (como provado no Lema 5.1). Seja h(x), 7 € Q, a função</p><p>definida pela integral do lado esquerdo de (6.3). Então, se x, z' E Q,</p><p>(64) Io) Ma) < / IG(e, 3) — Ele, Wl IA (y)] dy.</p><p>Como o integrando tende a zero quando x' tende a x q.t.p. e é</p><p>limitado por (27)! |f(y)I(lz — yl”" + |z' — y| 7") € LA, dy) (no-</p><p>vamente pela desigualdade de Hólder), o resultado segue pelo teo-</p><p>rema da convergência dominada (generalizado, como na seção 2 do</p><p>Capitulo VT) e pelo Lema 5.2. E</p><p>6.2 LEMA. O operador Kg é injetivo.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Vamos provar que se f E L(NM) e Kef = 0,</p><p>então f = 0. Como Kg = Kg, temos</p><p>(6.5) 0O=(Kef|6)=(f|Kc6) GELHN).</p><p>Consequentemente, f é ortogonal à imagem de L*(11) por Kg. Basta</p><p>então provar que Kg(L?(9)) é denso em L*(9). Para isso, vamos</p><p>274 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>mostrar que CAM) C Ke(L*(9)). Seja É E CAS) e defina y =</p><p>— Ag. Então à satisfaz</p><p>GeECAMNC(N)</p><p>(6.6) Ad = —beCH(N)</p><p>glogo = 0</p><p>trivialmente, pois 4 € CE (8). Pelo Corolário 5.5 da seção anterior</p><p>temos</p><p>6) dO)= [ad = (Kobko). 1</p><p>6.3 TEOREMA. O problema (6.1) é equivalente à equação u =</p><p>AKgu em L(9).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Se u é solução de (6.1), então u € L?(1) e pelo</p><p>Corolário 5.5 da seção anterior, temos</p><p>(6.8) u(2) = / Gle,y)u(y) dy</p><p>e portanto u = AKgu em L*(9)). Reciprocamente, suponha que</p><p>u E L(9) é solução de u = AKgu. Vamos provar que u é solução</p><p>de (6.1). Em primeiro lugar, note que pelo Lema 6.1 podemos supor</p><p>que u E C(9) e temos ulso = 0. Em particular u € L“(9). Então</p><p>Kgu € CHQ) N C(M) pelos Teoremas 5.3 e 5.4 da seção anterior.</p><p>Mas então u € CHM)NC(N), pois u = AKgu. Aplicando novamente</p><p>os Teoremas 5.3 e 5.4 segue que u = AKgu E CAN) N C(9) e pelo</p><p>Corolário 5.5, é solução do problema (6.1). E</p><p>6.4 LEMA. Seja u uma solução não trivial (i.e. uma auto-função)</p><p>de (6.1). Então À > 0.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Suponha que u é uma solução não trivial e À < 0.</p><p>Então, utilizando a primeira identidade de Green (2.1) e o Lema 6.1,</p><p>obtém-se</p><p>(69) 0<-Mulu=(Aulu)=- / Vu? dz <0.</p><p>sec. 6] O Problema de Auto-Valores 275</p><p>Conseqientemente, u é constante em 92 e como ulso = O segue</p><p>u = 0, uma contradição. E</p><p>Combinando os resultados acima com o teorema espectral</p><p>para operadores compactos auto-adjuntos (seção 4 do Capítulo VT),</p><p>temos, finalmente,</p><p>6.5 TEOREMA. O problema (6.1) tem soluções não triviais apenas</p><p>para uma coleção enumerável (À ilj= C R satisfazendo</p><p>(6.10) 0O<M<MS..., lim Aj=00, 3737? <oo</p><p>j=1</p><p>onde os números AS! são os auto-valores do operador Kg (e têm,</p><p>portanto, multiplicidade finita).</p><p>Além disso, a coleção o) pa das</p><p>auto-funções normalizadas correspondentes forma um conjunto or-</p><p>tonormal completo em L*(9).</p><p>Vamos agora fazer alguns comentários sobre a aplicação do</p><p>teorema acima ao problema de condução de calor. Seja (2(Zt) a</p><p>coleção das sequências complexas a = (an), tais que</p><p>co</p><p>> lan |? < 00.</p><p>n=1</p><p>Então £2(Z*) é um espaço de Hilbert com produto interno</p><p>(a |5)= Danda.</p><p>A função</p><p>(6.11) peZto fb= / f(e)Exlo) de</p><p>é chamada a transformada de Fourier de f em relação a (dr)p-1-</p><p>Se a € £%(Z*t), defina a transformada inversa pela fórmula</p><p>(6.12) = Do anbr.</p><p>k=1</p><p>276 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>Note que à € LX). O teorema acima mostra então que vale a</p><p>identidade de Parseval</p><p>(613) niE=D of</p><p>k=1</p><p>e mais ainda, qualquer f € L?(9) pode ser recuperada de sua trans-</p><p>formada utilizando a fórmula de inversão</p><p>(6.14) 1=5 io = (5</p><p>k=1</p><p>Portanto, a aplicação f f é uma isometria (i.e., linear, contínua</p><p>e preserva norma) de L2(9)) sobre £2(Z*t). Agora, se f € L*(9), é</p><p>fácil verificar que a série</p><p>(6.15) u(z,t)= > fk)ón(z) exp(— At)</p><p>k=1</p><p>converge uniformemente (em relação a t) na topologia de L*()), i.e.</p><p>(6.16) sup Iu(:,t) — un(:,t)ll — O</p><p>+>0</p><p>quando N — oo. Também não é difícil provar que |ju(:,t) — fC)ll, —</p><p>O quando t | 0, e além disso (6.15) é a única solução do problema de</p><p>valor inicial para a equação do calor no sentido descrito no Exercício</p><p>8 deste capítulo. Caso f € C%(9) e flag = 0, é possível provar que</p><p>as séries em (6.14) e (6.15) convergem uniformemente a f e a uma</p><p>solução clássica do problema</p><p>u E CAN x (0,00)) x C(A x [0,00))</p><p>(6.17) u= Au em Q</p><p>u(z, 0) = f(x)</p><p>onde 9 C Rº tem fronteira de classe C?. Mais precisamente, a</p><p>função u(z,t), assim definida, é continuamente diferenciável, uma</p><p>Exercícios 277</p><p>vez em relação a t, duas vezes em relação às variáveis espaciais em</p><p>9 x (0,00), a equação do calor é satisfeita aí, e u(x,t) converge</p><p>uniformemente a f quando t |.0. A demonstração destes últimos</p><p>fatos pode ser encontrada no Capítulo 25 de [80].</p><p>Finalmente deve-se notar que uma grande parte dos resul-</p><p>tados deste capítulo vale em R”, n > 2, substituindo a solução</p><p>fundamental F(x) por</p><p>(27) !n|z|, n=2</p><p>(6.18) E</p><p>——————— ></p><p>(2—-n)w,' nas</p><p>onde wn = 27"/2'(n/2)-1 é a área da esfera unitária em R” e</p><p>T denota a função gama (veja o Exercício 2 e o Teorema 7.1 do</p><p>Capítulo IX). A dificuldade no caso n > 3 é que o operador Kg não</p><p>é compacto e é preciso iterar a equação u = AKGgu, o que se torna</p><p>rapidamente muito complicado. O leitor interessado deve consultar</p><p>o Capítulo 6 de [23].</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Resolva os seguintes itens:</p><p>(1) Use (2.3) para provar que existe no máximo uma solução</p><p>do problema</p><p>uecAN)</p><p>Au=0 em Q</p><p>ul = 9 € C*(0N)</p><p>278 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>(11) Use (2.3) e (2.4) para provar que o problema</p><p>u ECN)</p><p>Au =0 em Q</p><p>du 1</p><p>dp = 9 € C(ÔM)</p><p>não tem solução, exceto se [, on Hz) do(z) = O e que se</p><p>esta condição é satisfeita, então qualquer par de soluções</p><p>difere por uma constante.</p><p>Observação. Um resultado de unicidade mais geral que o de</p><p>(i) está demonstrado no Corolário 3.3. O problema em (i) com</p><p>uECAMNCM) eg E C(99) é conhecido como o problema</p><p>de Dirichlet interior clássico. Ele é tratado no Capítulo VIII.</p><p>O problema em (ii) com u € CH) e g E C(ôM) é conhecido</p><p>como o problema de Neumann interior. Ele não será tratado</p><p>no presente trabalho. Para maiores informações referimos o</p><p>leitor a [31] e [59).</p><p>Seja u(z) harmônica em R"1 (0), n > 2, e esfericamente</p><p>simétrica (i.e., u(x) = g(r), Vz £ 0, onde 9:(0,00) > €C é</p><p>uma função e r = |x|). Prove que</p><p>(a) in se n=2</p><p>z)=</p><p>É Ar" +b, se n>3</p><p>(Sugestão. Use a regra da cadeia para escrever Au em termos</p><p>de g(r).) |</p><p>O objetivo deste problema é provar a recíproca do teorema do</p><p>valor médio (descrito na observação que segue o Teorema 3.1)</p><p>e apresentar uma aplicação simples. Neste problema 92) é um</p><p>aberto em R”.</p><p>(i) Seja & E C(B(0,1)) esfericamente simétrica (ie.,</p><p>d(x) = W(r) para alguma y E CR), r = Ilzl) e</p><p>tal que fan Px)dz = 1. Defina 8,(7) = 497) e</p><p>Gi)</p><p>(iii)</p><p>Gv)</p><p>Exercícios 279</p><p>OQ =(reN|] B(z,r) CO). Prove que N, LH VYr>0</p><p>suficientemente pequeno e que y +» &,(z —y) tem suporte</p><p>em 9, Vr € M,.</p><p>Suponha que u € C(1)) e tem a propriedade do valor</p><p>médio, 1.e.</p><p>(2) = 703 | uy) do(y)</p><p>“ 4mr? s(eR) v) dry</p><p>1</p><p>= — u(x + Ry) do(y 47 Js0,) ( Jdo(y)</p><p>YB(x, R) C 9. Prove que se & é como em (i), então</p><p>do)= / | Br(z — y)u(y) dy</p><p>e conclua que u E CS).</p><p>(Sugestão. Calcule o lado direito usando a mudança y —</p><p>&* e em seguida, coordenadas esféricas.)</p><p>Use o teorema da divergência e coordenadas esféricas para</p><p>provar que [, B(z,r) Au dz = 0, Yr suficientemente pequeno</p><p>,</p><p>e conclua que Au = 0 em 1.</p><p>Como aplicação, demonstre o seguinte teorema de con-</p><p>vergência: seja (unk../ uma segiiência de funções har- B o À| Njn=l q Ç</p><p>mônicas convergindo uniformemente a u em subconjuntos</p><p>compactos de 92. Então u é harmônica em 1.</p><p>Seja 92 C Rº um domínio. Uma função u:N — R é dita sub-</p><p>harmônica em N see sóseu € C(1) e Va E N e toda bola</p><p>B(a,r), tal que B(a,r) C Q vale a desigualdade:</p><p>1 dO) 7oã fp Udo)</p><p>Observe que o lado direito é simplesmente o valor médio de u</p><p>sobre a esfera de centro a € Rº eraio R. Uma função v:0 — R</p><p>280 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>é dita super-harmônica em Q se e só se (—v) é sub-harmônica</p><p>em 1.</p><p>(1) Prove que se u € C(9) é sub-harmônica em 9 e atinge</p><p>seu máximo aí, então u é constante em (1).</p><p>(ii) Seja u:9 — R uma função de classe 02. Então u é sub-</p><p>harmônica em 9 see só se Au > 0 em 1.</p><p>(iii) Enuncie e prove os resultados correspondentes a (i) e (ii)</p><p>no caso de funções super-harmônicas.</p><p>(Sugestão. Em (i), imite a demonstração do Teorema 3.1.</p><p>Para provar o resultado em (ii), use a terceira identidade</p><p>de Green para mostrar</p><p>LR — F(x — y))Au(y) dy =</p><p>e = u(y) do(y) — u(a Tê ba OE) = ua</p><p>e conclua daí o resultado.)</p><p>5. Sejage LL(R"),1<p<o(ie.,g€E LM(K) em relação à</p><p>medida de Lebesgue Y compacto K contido em Rº”).</p><p>(i) Prove que se E C R" é um conjunto mensurável limitado,</p><p>então</p><p>lim sup / lg(z + y) — g(x)|? dz = 0.</p><p>150 |y|x</p><p>(1) Prove o Lema 5.2.</p><p>(Sugestão. Para provar (1), basta mostrar o resultado</p><p>em bolas fechadas centradas na origem. Nesta situação,</p><p>demonstre primeiro para funções contínuas e em seguida</p><p>use um argumento de aproximação. Você vai precisar</p><p>da desigualdade (a + b)? < Yyp(aP + b?), Va,b E R não-</p><p>negativos e Yp = max (1,2?).)</p><p>6. Sejam (E,,4) um espaço com medida, [9,0] C R e</p><p>f:[a,b) x E > € tal que</p><p>Exercícios 281</p><p>(1) te [a,b] > f(t,y) é absolutamente contínua para y E E,</p><p>H-qt.p..</p><p>(ii) ft) E LHE) tela,</p><p>(ii) SÉ € LH([a,b] x E).</p><p>Então a função</p><p>tela) g()= [ ft, wdu(y)</p><p>é diferenciável em (a, b] e sua derivada é dada por</p><p>s6)= [| Seltu)da(o)</p><p>(Sugestão. A condição em (i) significa que</p><p>t</p><p>f(t,y) = F(a,y) +[ SL (s,ujds, ve E,u—qt.p..</p><p>Use esta fórmula e as condições em (ii) e (iii) para demonstrar</p><p>que</p><p>/ FC, y)du(y) =</p><p>E</p><p>= f town) + | (Sto ujanto)) ds</p><p>e daí concluir o resultado.)</p><p>O objetivo deste problema é demonstrar o lema de Weyl: se</p><p>9 é aberto em Rº e u é harmônica no sentido fraco, então</p><p>u € C(9) e é harmônica no sentido usual. Note que o teorema</p><p>é válido em R” e que a demonstração abaixo pode ser traduzida</p><p>sem dificuldades para o caso geral.</p><p>(i) Seja 9 E CS(B(0,2)), com fas B(z)dr = 1. Seu €</p><p>LL (SM) defina</p><p>u(o)= 5 | vH uy), 2€9</p><p>282 Um problema de autovalores [Cap. VII</p><p>Gi)</p><p>(iii)</p><p>Gv)</p><p>(v)</p><p>(vi)</p><p>Prove que u, € C“9) e que u, — u em L!(9) para</p><p>todo 92! com fecho compacto contido em 1).</p><p>Sejam Q, = E; EN|Blz,r) c o! ey E CHA). Mos-</p><p>tre que 12, é não vazio para todo r > O suficientemente</p><p>pequeno e que yr € C& (AM).</p><p>Suponha que u € LL.(9?) é harmônica no sentido fraco.</p><p>Prove que (Aur | é) = 0 Vó E CS (1M,). Conclua que</p><p>Au, = 0 em N,.</p><p>Como u, é harmônica no sentido usual, vale a propriedade</p><p>do valor médio. Usa-a</p><p>para provar que</p><p>1 e) = 18 bp OC)</p><p>Ye € Q,, Ve suficientemente pequeno.</p><p>(Sugestão. Como u,. é harmônica em 12,., vale a proprie-</p><p>dade do valor médio, 1.e.</p><p>1</p><p>ur(z) = ArR2 hn ur(y) do(y).</p><p>Integre esta identidade em R de 0 a €.)</p><p>Use a convergência provada em (i) e a igualdade provada</p><p>em (iii) para concluir que u, converge a u uniformemente</p><p>em subconjuntos compactos 2. Segue portanto que u é</p><p>contínua em 1) e vale a igualdade</p><p>u(z) = + u(y) do(y)</p><p>B(z,R) 4meº</p><p>Vz € Q, Ve > 0 suficientemente pequeno.</p><p>Use a igualdade em (iv) paraconcluir que u tem a proprie-</p><p>dade do valor médio e terminar a demonstração do lema</p><p>de Weyl usando o Exercício 3.</p><p>8. Sejam 92, &k, Ak, como no Teorema 6.5 e f, à, como em (6.11)</p><p>e (6.12).</p><p>G)</p><p>Gi)</p><p>(iii)</p><p>Gv)</p><p>Exercícios 283</p><p>Se f E CX(9), use a segunda identidade de Green para</p><p>provar que (-Af)"(k) = Af(k). Em outras palavras,</p><p>quando restrito a tais funções, o laplaciano é transfor-</p><p>mado em multiplicação pela função k € Z Ay no espaço</p><p>£2(Z*t) (note que [af(6)) E £2(Z*) neste caso!).</p><p>Extenda o operador (— A) para L?(S) definindo um ope-</p><p>rador H, com domínio D(H,) pelas fórmulas</p><p>D(Ho) = [f E TO) | tm f)HE, e (2)</p><p>Hof = (Mk).</p><p>Prove que D(H,) é um subespaço denso de L*(1) e que</p><p>H, é um operador linear descontínuo.</p><p>Seja v(t) = u(:,t) € L?(9), a função definida em (6.18).</p><p>Prove que v satisfaz</p><p>uw(t) ELHN), Vt>O</p><p>de = How(t), t>0</p><p>w(0) = f E D(H,)</p><p>onde a derivada é por definição o limite em L*(9)) do</p><p>quociente usual. O que acontece se retirarmos a restrição</p><p>fe D(H)?</p><p>(Sugestão. Use a identidade de Parseval para calcular</p><p>elit) eta) + Hov(8)))</p><p>Prove que a solução do problema de valor inicial em (ii)</p><p>é única.</p><p>(Sugestão. Calcule £ Io(o)I|.)</p><p>CAPITULO VII</p><p>O PROBLEMA DE DIRICHLET CLÁSSICO</p><p>O objetivo deste capítulo é, como indica seu título, resolver</p><p>o problema (1.1) abaixo conhecido como o problema de Dirichlet</p><p>clássico e, em particular, provar a existência da função G(x,y) utili-</p><p>zada no capítulo anterior para estabelecer o teorema de expansão em</p><p>auto-funções para o problema VI1.6.1. Existem muitos métodos que</p><p>permitem atingir essa meta, cada um deles apresentando vantagens</p><p>e desvantagens (veja o Capítulo 7 de [28]). Dentre estes, decidimos</p><p>adotar o que nos parece mais coerente com o ponto de vista geral |</p><p>deste livro (e, em particular, com os métodos do Capítulo VII), a</p><p>saber, (1.1) será reduzido ao estudo de uma equação integral em</p><p>L2(99).</p><p>1. Potenciais de Camada Simples e Dupla</p><p>Vamos iniciar agora o estudo do problema de Dirichlet clássico,</p><p>ue CcANMNC(N)</p><p>(1.1) Au=0 em Q</p><p>u lon= ge c(oM)</p><p>onde, como no capítulo anterior, 9 C Rº é um domínio regular (i.e.</p><p>aberto, conexo, limitado com fronteira de classe C?).</p><p>sec. 11 Potenciais de Camada Simples e Dupla 285</p><p>A motivação para o método que utilizaremos vem da terceira</p><p>identidade de Green (Teorema VI1.2.2). Então, se u é harmônica em</p><p>Q e pertence a C?(9), temos</p><p>02 uo=[. (uanle-W-Serte-0) do(y)</p><p>para todo x € 2. Pelo Corolário VII-3.3, a função u é inteiramente</p><p>determinada por seus valoresONT7em ô9, e portanto (1.2) não é ums</p><p>boa representação pois contém a derivada normal de (uy). A idéia</p><p>é então desprezar o termo contendo dor 22 (y) e procurar uma solução</p><p>da forma</p><p>(1.3) ute)= [ 660) (5 —) e 1) do(y)</p><p>onde é é uma função a determinar. Como veremos, será necessário</p><p>estudar não só as propriedades da função definida por (1.3), chamada</p><p>um potencial da camada dupla assim como as da função</p><p>(1.4) u(z) = / - HG)F (e — 1) do(y)</p><p>denominada um potencial de camada simples. A terminologia intro-</p><p>duzida acima provém do estudo da eletrostática: a função (1.3) é o</p><p>potencial eletrostático determinado por uma distribuição superficial</p><p>(i.e., sobre 92) de dipolos elétricos com densidade &(y) enquanto</p><p>que (1.4) é o potencial eletrostático gerado por uma distribuição su-</p><p>perficial de cargas com densidade (y). Para maiores detalhes sobre</p><p>as interpretações físicas de (1.3) e (1.4), veja por exemplo [44] ou</p><p>[84]. Além disso, é preciso notar que o método escolhido envolve</p><p>uma grande quantidade de detalhes técnicos, cuja exposição em to-</p><p>talidade tende a obscurecer as idéias básicas envolvidas. Por esta</p><p>razão, vamos no que se segue substituir certas demonstrações espe-</p><p>cialmente técnicas por argumentos intuitivos que são normalmente</p><p>286 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VIII</p><p>apresentados em cursos de eletromagnetismo e que, na nossa opinião,</p><p>ilustram claramente as idéias em jogo. As demonstrações completas</p><p>podem ser encontradas, por exemplo, em [31] e [59].</p><p>Finalmente, deve-se observar que os resultados deste capítulo</p><p>valem em R” com n > 2 se F(x) é a função definida em VII-(6.18).</p><p>Para generalizações, outros usos do método aqui descrito, e outros</p><p>pontos de vista sobre o problema de Dirichlet veja, por exemplo,</p><p>[12], [28], [33], [76], [78].</p><p>Vamos estabelecer agora algumas propriedades das funções</p><p>definidas pelas equações (1.3) e (1.4) acima. Os resultados que se-</p><p>guem serão usados adiante para provar a existência de solução para</p><p>o problema de Dirichlet clássico.</p><p>1.1 TEOREMA. Seja j E L(0M) e w(x) o potencial de camada</p><p>simples correspondente. Então:</p><p>(i) w(x) é harmônica em R3490 e tende a zero quando |x| — oo;</p><p>(ii) w(x) está bem definida para z € 09 e de fato w E C(Rº).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A demonstração de (1) é muito simples. Em pri-</p><p>meiro lugar, utilizando o Exercício 6 do Capítulo VII, é fácil mostrar</p><p>que podemos derivar sob o sinal de integral tanto quanto quiser-</p><p>mos. Portanto w € CS(R'A9N) e, em particular, Aw = O pois</p><p>AsF(z —y) = 0. A segunda afirmação segue imediatamente do teo-</p><p>rema da convergência dominada (prove!). A demonstração de (ii)</p><p>é mais delicada. Vamos mostrar em primeiro lugar que w(xo) está</p><p>bem definida Yxo E 98. Como y E LS(09) basta provar que</p><p>(1.5) / do(y) < oo</p><p>Q Izo — y]</p><p>para cada xo fixo em 9. Sejam r > 0, S, = 00N B(xo,r) e</p><p>cosô = vz, * Vy como no exemplo 3 da seção 2 do Capítulo VI e</p><p>é E T(xo) - (E, h(€)) a parametrização de S, aí introduzida. A</p><p>integral (1.5) pode então ser dividida na soma das integrais sobre</p><p>S, e OMS... Agora, existe a > 0 tal que |zo — y| > a Vy E 0MS,</p><p>e portanto a integral sobre 0N1S, é finita. O problema consiste</p><p>sec. 1) Potenciais de Camada Simples e Dupla 287</p><p>então em controlar a integral sobre S,. Não há no entanto problema</p><p>algum, pois 90 é “localmente um R2” e a singularidade em (1.5) é</p><p>do tipo |€|"* que é localmente integrável em R?! Mais precisamente</p><p>/ a dé</p><p>slzo—yl Jr cosd(lé|* + |h(O)P)1/2</p><p>r 2x</p><p><2/ E <2/ pdo | D -4mr<00</p><p>r(xo) [EI 0 o ?</p><p>onde introduzimos coordenadas polares É, = p cos, €2 = pseny em</p><p>(t E R2 | || <a). Portanto w(z) está bem definida em 99. Para</p><p>provar que w € C(Rº), basta mostrar que w é contínua em cada</p><p>(1.6)</p><p>zo E 9 e para isso é suficiente que</p><p>1 1</p><p>—— > >— | do(y)>0</p><p>le-y] Izo-—y] (y)</p><p>(1.7) I(x, xo) = [</p><p>quando z — zo. Sejam r' E (0,r) e S' = 9NN B(xzo,r'). Então, um</p><p>cálculo explícito em coordenadas polares (como o de (1.6)) mostra</p><p>que</p><p>(1.8) / Sely) <Cr' Vze B(zo,r')</p><p>s x — vl</p><p>onde C > 0 é uma constante independente de x € B(xo,r'). Agora</p><p>Ieeo)< | +</p><p>je —y] |zo — y|</p><p>+ ams"</p><p>e portanto, dado E > 0 podemos escolher r' tal que cada uma das</p><p>(1.9)</p><p>1 1</p><p>—— ————| do(y).</p><p>|z — | Ed (9)</p><p>integrais sobre S' pode ser feita menor que €/3. A terceira in-</p><p>tegral também pode ser estimada por e/3 tomando z suficientemente</p><p>próximo de zo pois, pelo teorema da convergência dominada,</p><p>1 1</p><p>1.10 lim ——"D— (1.10) | E=y] fx cul 20 JaAs!</p><p>do(y)=0. E</p><p>288 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VHI</p><p>O próximo passo é provar um teorema análogo ao anterior</p><p>para potenciais de camada dupla. Para isso é conveniente, primeiro,</p><p>: . = — 9P tu introduzir a notação K(z,y) = 5, (7 —y) e fazer alguns comentários</p><p>preliminares. Note que K(x,y) pode ser escrito na forma</p><p>(1.11) K(z,y) = cost — y,vy)</p><p>|z — y|</p><p>onde cos(z — y,vy)</p><p>= |x — yu (a —y)- Vy, é O cosseno do ângulo</p><p>entre os vetores (x — y) e vy.</p><p>1.2 LEMA. A função (x,y) E 90 x 00 > |z — yj" cos(z — y,Vy) é</p><p>limitada</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Seja zo E OM. Vamos provar que existe vi-</p><p>zinhança aberta de xo em ô9 onde | — y|”* cos(z—y, vVy) é limitada.</p><p>Usando então a compacidade de 99 obtém-se o resultado. Sejam</p><p>r>0, 8, = 90 B(zo,r), cos0 = vz, -vy E E T(xo) (E,h(E))</p><p>como na seção 2 do Capítulo VI. Fixe um disco fechado D centrado</p><p>na origem (i.e., em zo) e contido em P(xo). Então se x = (É, h(€))</p><p>ey = (n,h(n)) com é,7 € D, a fórmula de Taylor ([52] volume 1,</p><p>Capítulo XV) mostra que</p><p>(1.12) h(€) = h(n) + Vh(n) (E — n) + R(€,n)</p><p>2 na ; onde |R(£,n)| < EE lt —-n]º < EE lr — y|”, K é uma constante</p><p>positiva independente de x e y, e C é o máximo dos supremos dos</p><p>módulos das derivadas de h até segunda ordem em D. Agora, a</p><p>normal v, é dada por</p><p>Vy = a(m) (-2 del), — Se (mM), 1)</p><p>aço) = (14 + (2k(0)) + + (gm)</p><p>portanto, usando (1.12) e (1.13), obtemos</p><p>(1.14) et) — ny dé too aa (E-m).</p><p>(1.13) -1/2</p><p>sec. 1) Potenciais de Camada Simples e Dupla 289</p><p>Portanto, |z — y|”! |cos(z — y, v.)| < (1/2)KC Vy = (n,h(n)) com</p><p>En E Deo lema está provado. E</p><p>O Lema 1.2 é crucial para a demonstração do seguinte resul-</p><p>tado:</p><p>1.3 TEOREMA. Seja é € L!(0N) e u(z) o potencial de camada</p><p>dupla correspondente. Então:</p><p>(i) u é harmônica em RºAôN e tende a zero quando |z| — 00;</p><p>(ii) se é E L“(9N) então u(x) está bem definida para 2 E on e</p><p>pertence a C(09).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: À demonstração de (i) é idêntica à da primeira</p><p>parte do Teorema 1.1 e será deixada como exercício. Quanto a (ii),</p><p>vamos provar em primeiro lugar que u(x) está bem definida. Como</p><p>4 E L“(99), basta provar que</p><p>(1.15) / leos(zo —Wrl g,(y) <o Vro E ON.</p><p>an |zo — yl</p><p>Mas, pelo Lema 1.2, 3M > 0 tal que jr — y|”! lcos(z — y,v;))< M</p><p>V(x,y) E 90 x 98 e, portanto, a integral em (1.15) é limitada por</p><p>(1.16) “fo ;</p><p>como vimos na demonstração do teorema 1.1. A continuidade segue</p><p>se provarmos que</p><p>(1.17) lim a |K (2,4) — K(zo,y)| do(y) = LT</p><p>quando x E 99 tende a zo E NM. Com a mesma notação que no</p><p>teorema 1.1, a integral em (1.17) pode ser dividida na soma das</p><p>integrais sobre $' e 0MNS” e esta soma pode então ser estimada por</p><p>“O (ata) O</p><p>(1.18)</p><p>+ / |K(2,y) — K(zo,9)] do(y)</p><p>ms!</p><p>290 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VHI</p><p>O resultado segue então por um argumento análogo ao utilizado na</p><p>demonstração da continuidade do Teorema 1.1. E</p><p>O teorema acima mostra que se É € L“(099), então o po-</p><p>tencial de camada dupla está bem definido em Rê e pertence a</p><p>CS(RON) U C(09). É natural perguntar se ele é contínuo em</p><p>Rê. A resposta é: não! De fato considere, por exemplo, o caso</p><p>d(x) = 1 Vz E ON e seja</p><p>(1.19) u(x) = / K(z,y)do(y), zeERº.</p><p>22</p><p>Note primeiro que se x € RA), a função y E A > F(x-—y)</p><p>é harmônica em 9 e de classe C? em 9. Portanto, pela primeira</p><p>observação que segue a demonstração da ProposiçãoVI[.2.1, temos</p><p>u(x) =0 se a € R'19N. Por outro lado, aplicando a terceira identi-</p><p>dade de Green (Teorema VIL 2.2) à função u(x) = 1 Vx € 9 conclui-</p><p>se que ui(z) = 1 para todo z E 2. Portanto a função u(z) de-</p><p>finida em (1.19) apresenta uma descontinuidade quando atravessa.</p><p>99. Mais geralmente:</p><p>1.4 TEOREMA. Seja d E L“(09) e u(z) o potencial de camada</p><p>dupla correspondente. Então, em todo xo € OM onde é é contínua,</p><p>temos</p><p>(1.20) dim u(z) = Hen) + / a É (zo, y)ó(y) do(y)</p><p>zen</p><p>qa dm uo)=-SE 4 [ x(o0,y)ó(y) do(y)</p><p>zERHAQ</p><p>Além disso, se 4 E C(99), então os limites acima são uniformes em</p><p>zo € ON.</p><p>A demonstração deste resultado é longa e muito técnica, uti-</p><p>lizando ferramentas do tipo empregado nas demonstrações dos Teo-</p><p>remas 1.1 e 1.3 acima. Vamos agora nos limitar a um argumento</p><p>sec. 1) Potenciais de Camada Simples e Dupla 291</p><p>intuitivo, referindo o leitor a [31] ou [59] para uma demonstração</p><p>rigorosa. A idéia fundamental envolvida é que, ser > O é suf-</p><p>cientemente pequeno, então S, = T(zo) = (t ER? | |t|<r),</p><p>&(y) E E,0) Vy E Sr e</p><p>q) | Ke, 0)ó(y) do(y) = Lo Ke, (8, 0))ó(6, 0)dé.</p><p>Considere agora o que acontece ao longo da normal v;,. Mais</p><p>precisamente, seja I(t) a integral do lado direito de (1.22) calculada</p><p>no ponto x = —tvz,, t > 0. Vamos tomar o limite quando t | 0.</p><p>Para isso, note primeiro que</p><p>e(t2 + [€]")=3/2 (1.23) K(-tvs, (£,0)) = E</p><p>Introduzindo então coordenadas polares € = pcosY, é& = pseny</p><p>no disco aberto (é E R? | |£| < r) obtemos</p><p>27 1 .</p><p>(1.24) I(t) = =| do f dypt(? + 6") 2 ó(p cos, psen 7,0).</p><p>0</p><p>Introduzindo a mudança de variáveis st = p, segue que</p><p>1 r/t s 27</p><p>1.25) Mt)=— ————— . (1.25) I(t) E / ds rara ), dyó(st cos, st sen ,0)</p><p>Portanto, tomando o limite quando t | 0,</p><p>(1.26) lim I(t) = $(0,0,0) / s(1+5)32 ds.</p><p>tjo 2 0</p><p>Mas É (1 + s2)-1/2) = —s(1 + s2)-3/? de modo que a integral em</p><p>(1.26) é igual a 1. Como no sistema de coordenadas que estamos</p><p>usando, xo = (0,0,0), a equação acima diz que</p><p>(xo) (1.27) lim I(t) = o.</p><p>292 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VHI</p><p>Agora, divida a integral que define o potencial de camada dupla</p><p>u(x) na soma das integrais sobre $, e OMAS,. Como em OMS, y</p><p>está “longe” de zo, podemos tomar o limite quando x € 1) tende a</p><p>£o E 089 sem problema</p><p>lim Ktz,y)ó(y) do(y)</p><p>L>Lo</p><p>(1.28) eo MO</p><p>- / K(xo, y)ó(y) do(y).</p><p>MS</p><p>4 Se r é “muito pequeno” (no sentido intuitivo utilizado acima), a</p><p>contribuição da integral em S, é dada por (1.27), enquanto que a</p><p>integral do lado direito de (1.28) é a integral sobre toda a fronteira.</p><p>Portanto, pelo menos se o limite for tomado ao longo da normal por</p><p>dentro de 12, obtém-se a relação (1.20). A relação (1.21) segue por</p><p>úm argumento análogo.</p><p>Note que, usando (1.20), (1.21) e os comentários que seguem</p><p>(1.19) temos</p><p>;, tEQ</p><p>, 2E0Q (1.29) / a K(z,y) do(y) =</p><p>, zERAM. O</p><p>t</p><p>o</p><p>m</p><p>t</p><p>a</p><p>A demonstração rigorosa de (1.29) é na verdade o primeiro passo</p><p>na prova do Teorema 1.4. O segundo passo é mostrar que existe</p><p>constante C > 0 tal que</p><p>(1.30) bh IK(z,yl do(y)<C Vr e Rº.</p><p>O terceiro e último ingrediente consiste em provar que se É E</p><p>L“(99) é contínua em xo € ôN e A(zo) = 0, então o potencial de</p><p>camada dupla correspondente é contínuo (note que esta informação</p><p>está essencialmente contida em (1.20) e (1.21)!). O teorema segue</p><p>sec. 2) A Solução do Problema de Dirichlet Clássico 293</p><p>então para uma 6 € Lº(01), contínua em xp E 0, escrevendo</p><p>u(z) = &(x0) / a K(x,y) do(y)</p><p>(1.31) + / Ke, 9 N$(1) — S(z0)) do(y)</p><p>e tomando o limite quando z > zo por dentro e por fora de 12.</p><p>Finalmente, é preciso estudar o comportamento da derivada</p><p>normal de um potencial de camada simples sobre 91. Para isso, se</p><p>v € L(M)NCI(R3 ON), introduza</p><p>dv j</p><p>(1.32) Bug (70) = lim Veo* Vulzo + tvro),</p><p>Ov j</p><p>(1.33) By (80) = lim Vero Volzo + tvzo)-</p><p>Se o limite (1.32) (resp. (1.33)) existir uniformemente em zo E ô9,</p><p>diremos que v tem derivada normal exterior (resp. interior) em ô9.</p><p>Utilizando então o mesmo tipo de técnica usada nas demonstrações</p><p>dos teorema desta seção é possível provar ([31], [59]):</p><p>1.5 TEOREMA. Seja y E C(09M) e w(z) o potencial de camada</p><p>simples correspondente. Então w(x) tem derivada normal exterior e</p><p>interior dadas por</p><p>Ow — Ylxo) 03) G(e)= PO [ x(uco)b(y) dog)</p><p>(135) grn(zo)= Ho + [ xe(u,2o)b(y) do(y)</p><p>Em particular, de(zo) — 22 (xo) = Wlxo) Vz E 00.</p><p>294 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VII</p><p>2. A Solução do Problema de Dirichlet Classico</p><p>Vamos agora descrever a demonstração de existência de solução para</p><p>o problema (1.1) deste capítulo. Como mencionado na introdução,</p><p>a idéia é procurar uma solução da forma</p><p>(2.1) u(z) = / ; K(z, y)ó(y) do(y)</p><p>onde à é a determinar. Tendo em vista o Teorema 1.4 e a condição</p><p>dé contorno u |59= 9, espera-se que é satisfaça a equação integral</p><p>(2.2) g(zo) = Hon) + / . K(zo,y)é(y) do(y)</p><p>com zo E OM. É conveniente então considerar a equação (2.2) no</p><p>espaço de Hilbert L?(09). Defina então</p><p>(2.3) Té(2) = / - Ke, 1)6(0) do(y), = ER</p><p>para é €</p><p>L*(09). Como veremos abaixo, (2.3) define um operador</p><p>compacto em L2(091) de modo que a equação (2.2) pode ser escrita</p><p>na forma</p><p>(2.4) g= (5 + 7) ó.</p><p>Mostraremos também que (1/2) não é auto-valor de T, e portanto,</p><p>pela alternativa de Fredholm (seção 3 do Capítulo VT), a equação .</p><p>(2.4) tem uma única solução para cada g E L*(09). Além disso,</p><p>se g E C(99) então q E C(98) e portanto, aplicando os Teoremas</p><p>1.3 e 1.4 da seção anterior, segue que o potencial de camada dupla</p><p>sec. 2] A Solução do Problema de Dirichlet Clássico 295</p><p>(2.1) (onde à é a solução de (2.4)) é a única solução do problema de</p><p>Dirichlet clássico. Passemos agora à demonstração detalhada destas</p><p>afirmações, lembrando que os resultados de medida e integração e</p><p>teoria de operadores em espaços de Hilbert utilizados abaixo estão</p><p>enunciados nas seções 1, 2, 3 e 4 do Capítulo VI.</p><p>2.1 TEOREMA. À equação (2.3) define um operador compacto em</p><p>Lº(08).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Em primeiro lugar, note que a função w(z) =</p><p>Jog IK(x,y)| do(y), z E 99, é contínua. De.fato,</p><p>(25) n(z)-w(zo)l< / HR(2,9) — Kíco,u)] do(y)</p><p>e o lado direito de (2.5) tende a zero quando z € àN > zo E 9N</p><p>(veja a parte final da demonstração do Teorema 1.3). Argumentos</p><p>análogos mostram que v2(y) = [so |K(x,y)| do(x), y € 99, também</p><p>pertence a C(09) (verifique!). Como 9 é compacto, v e va per-</p><p>tencem a L(0). Seja C = maxílvil» Iv2llo). Escrevendo</p><p>IK(z,y)| = lK(x,y)|!” IK(z, y|'? e aplicando a desigualdade de</p><p>Holder com p = q = 2, temos</p><p>(2.6)</p><p>ITóa)] < / do(y) |K (ey)? |x(e, 9)? |g(y)]</p><p>an</p><p>/2</p><p>< | fo lt(es0) do(y)| L | fa lite, log dog)</p><p>< ci /. | (x,y) (É acto]</p><p>Elevando ao quadrado, integrando em relação a do(x) e aplicando o</p><p>teorema de Fubini obtemos</p><p>IT&IÊ = / TEC) do(a)</p><p>(2.7) <c / a dou) ló (gy? / . do(x) |K(z, y)|</p><p><cº él</p><p>296 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VII</p><p>Esta estimativa mostra portanto que T é um operador limitado em</p><p>L?(ô9), satisfazendo ||T|| < C. Para provar que T' é compacto</p><p>vamos utilizar um argumento de aproximação. Para n = 1,2,...</p><p>defina</p><p>K(z,y) lr—yl> (2.8) FleD=(9 podá</p><p>Ss</p><p>Ju</p><p>m</p><p>53</p><p>ju</p><p>s</p><p>com (x,y) E ON x 9. Então é claro que Kn E L2(00 x 99) e</p><p>portanto os operadores definidos por</p><p>29) (Mg)= / -Kale,v)S(9) do(y), é € 1/09)</p><p>são de Hilbert-Schmidt e, em particular, compactos. Seja y(z,Y) =</p><p>Ir — gy]! |cos(z — y,vz] de modo que, de (1.11), K(z,y) =</p><p>|z — ylT" y(2,y). Aplicando o Lema 1.2 segue que</p><p>10) THE)-BEDI< Ino [ € E 0)</p><p>onde Sn(x) = (y € ON: |z — y| < 1/n). Agora, integrando em coor-</p><p>denadas polares, é fácil verificar que Vz € 09, Yn suficientemente</p><p>grande,</p><p>(2.11) / do(y) É</p><p>so lr—yl” n</p><p>onde K é uma constante positiva independente de x e n. Pro-</p><p>cedendo então como na demonstração de (2.7) (i.e., escrevendo</p><p>10 -1/2</p><p>le- ul” = le-yl</p><p>Hôlder etc.), obtém-se</p><p>je — yr! 2 | aplicando a desigualdade de</p><p>K</p><p>(2.12) Té — Tnéll < — llélla</p><p>Vê E L99) ou seja, lima oo ||T — Ta] = O e portanto T é com-</p><p>pacto. E</p><p>sec. 2] A Solução do Problema de Dirichlet Clássico 297</p><p>O próximo teorema é um resultado técnico que permite co-</p><p>nectar os resultados obtidos em L?(99)) com o caso em que estamos</p><p>realmente interessados, i.e., g € C(09M). Sua demonstração está es-</p><p>quematizada no Exercício 7 deste capítulo.</p><p>2.2 TEOREMA. Seja é E L?(09) tal que $ + Tó E C(0N). Então</p><p>& e C(99M). O mesmo vale para T* (veja (2.14)).</p><p>Agora estamos em posição de provar que a equação q =</p><p>é + Tó tem uma única solução para cada q € L*(99) dada. Pela</p><p>alternativa de Fredholm basta provar que</p><p>(213) (G+T79/=057=0</p><p>onde T*, a adjunta de T em L?(99), é dada por</p><p>2a) (MOND= [ K(ve)óy)do(y), é E 1200)</p><p>Se f E L*(0N) satisfaz (1 +7T*)f = 0, então pelo Teorema 2.2 temos</p><p>fe C(ôM). Seja w(z) o potencial de camada simples com densidade</p><p>fsie.,</p><p>(2.15) ule)= | HOPE = 1) do(y)</p><p>Pelo Teorema 1.5 da seção anterior temos</p><p>(216) sola) = 12 (mta) = 0 Ve EB.</p><p>Agora, para t > O suficientemente pequeno, defina</p><p>(2.17) IM =(rER |r=yttv, veôn)</p><p>e sejam R > 0 tal que ôN C B(0, R) e NR o domínio compreendido</p><p>entre 9; e 9B(0,R). Aplicando então a equação VII(2.3) a w</p><p>e Rr e tomando o limite quando t | 0e R — oo, conclui-se que</p><p>298 O problema de Dirichlet clássico [Cap. VIII</p><p>Vw = 0 em RQ e portanto w(z) é constante em RA. Aplicando</p><p>o Teorema 1.1 da seção anterior, conclui-se que w(z) = 0 em RN.</p><p>Mas então, em 2 temos</p><p>w E CHAN) C(M)</p><p>(2.18) Vu =0</p><p>w log= 0</p><p>e portanto, pelo princípio do máximo, conclui-se que w(x) = O Vx E</p><p>Q. Em particular, de (x) = 0, Vz € 9%. Aplicando então (2.16) e</p><p>a última afirmação do Teorema 1.5, segue que</p><p>ow ow</p><p>(2.19) f(x) = du 6?) — Boo (E) =0 Vze on</p><p>Em resumo, acabamos de provar</p><p>2.3 TEOREMA. Á equaçãog = E+Tó tem uma única solução para</p><p>cada g E L*(99).</p><p>2.4 COROLÁRIO. Sejam g € C(0N) eg E L*(9) a única solução</p><p>da equação g = $ + Tó. Então 6 E C(99) e a única solução do</p><p>problema de Dirichlet clássico é dada por</p><p>ua) |. ao(s — yu) do(y).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A função q é contínua pelo Teorema 2.2. Pela</p><p>primeira parte do Teorema 1.3, u(x) é harmônica em 12, enquanto</p><p>que pelo Teorema 1.4</p><p>É nd</p><p>mm ua) = PED | CE NSdo lim, (a) = 5 + /. dv, o — y)ó(y) do(y)</p><p>uniformemente, e o corolário está provado. E</p><p>Finalmente é natural perguntar quais são as propriedades de</p><p>diferenciabilidade da solução u(z) em 92. É claro que a resposta a</p><p>Exercícios 299</p><p>esta questão é determinada pelas propriedades de diferenciabilidade</p><p>de 992 e do dado 9. É possível provar, por exemplo (veja a seção 17</p><p>da parte 1 de [33]) que se 98 E Cirtt ge CMN), k=0,1,2,...,</p><p>então a solução u(x) pertence a Cim+k-2(). Em particular, se à</p><p>e q são de classe Cº, a solução pertence a CD).</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Seja B = B(a, R) a bola de centro a € Rº e raio R. É possível</p><p>provar que se u € C?(B) então vale a fórmula de Poisson.</p><p>ula)= | Partosmuly)do(y), 2€B</p><p>oB</p><p>onde Pa, r(z,y) = (47R)"! |z — yIT (R2—|z — ay|”) é o núcleo</p><p>de Poisson de B(x, R). Note que</p><p>(1) Vy fixo, Pa r(x,y) é harmônica em x f y;</p><p>(11) Par(z,y)>0sezxe B;</p><p>(ii) Lp Plz,y)do(y)=1 VreB.</p><p>Resultados análogos valem em R”, n > 2 (veja [31] páginas</p><p>124 e 134, e [83], página 145).</p><p>a) Seja f € L!(0B) e defina</p><p>da)= | Perte)flWdo(y), BD.</p><p>oB</p><p>Prove que v é harmônica.</p><p>b) Suponha que f é contínua em zo E 0B. Prove que</p><p>lima-+2o v(x) = f(xo). Além disso, se f E C(ÔM) prove</p><p>que a convergência a f é uniforme. Conclua que se</p><p>300 O problema de Dirichlet clássico (Cap. VIII</p><p>f e C(99) então v(x) é a solução do problema de Di-</p><p>- richlet clássico em B(a, R).</p><p>(Sugestão. Usando (iii) acima, note que v(x) — f(xo) =</p><p>Jon Por(z,y)f(y) — f(xo)) do(y). Divida esta integral em</p><p>duas partes: uma “perto” de xo e a outra “longe” de zo.)</p><p>2. Suponha que u é harmônica no aberto 4 € Rº. Use a fórmula</p><p>de Poisson para provar que u € C(A) e também para de-</p><p>monstrar o Teorema VII.3.1.</p><p>3. Seja u harmônica no aberto 4 C Rº e não negativa, a E 4,</p><p>be B(a,R)C Aep=|b-—al. Use a fórmula de Poisson para</p><p>provar a desigualdade de Harnack</p><p>(585) (855) eu (585) (822) do</p><p>4. Proveo teorema de Liouville para funções harmônicas: se u é</p><p>harmônica em Rº e limitada inferiormente, então u é constante.</p><p>(Sugestão. Adicionando uma constante conveniente, podemos</p><p>supor u > 0. Agora aplique a desigualdade de Harnack e tome</p><p>o limite quando R — 00).</p><p>5. Suponha que u é harmônica em MN (z9) e que |x — zo/u(z) >0</p><p>quando x — zo. Então u pode ser definida em xo de modo</p><p>que a função assim obtida é harmônica em 9. O ponto zo é</p><p>chamado uma singularidade removível.</p><p>(Sugestão. Sem perda de generalidade podemos supor xq = 0.</p><p>Seja R>Otal que B=B(0,R)CNesejavtal que Av=0</p><p>em B, v=u em ôB. A idéia é provar que v = u em Bi(0) e</p><p>portanto definir u(0) = v(0). Para isso, dado e > 0, considere</p><p>a função g(x) = u(x) — v(x) — elx]! — R) em BYB(0,6),</p><p>0<6<R. Useo princípio do máximo e a hipótese sobre u</p><p>para concluir que g(x) < 0 Ve > 0, Vó suficientemente pequeno.</p><p>Tome o limite quando e | O para concluir u— v < 0 em B1(0).</p><p>Use argumento análogo para obter v — u <0 em B1(0).)</p><p>Exercícios 301</p><p>6. SejaN=([zeR"|a<l|z|<b),n >2. Resolva o problema</p><p>de Dirichlet em 12 com condições de contorno u |jzj=a= À,</p><p>u |jz=+= B onde 4 e B são constantes.</p><p>(Sugestão. Em vista da simetria do problema, procure solução</p><p>esfericamente simétrica. Use os resultados do Exercício 2 do</p><p>capítulo anterior.)</p><p>7. O objetivo deste problema é esquematizar a demonstração do</p><p>Teorema 2.2. Vamos considerar o operador T. A demonstração</p><p>é precisamente igual para T* (na verdade, o método descrito</p><p>abaixo se aplica a uma grande classe de operadores chamados</p><p>operadores com singularidades fracas; veja o capítulo 3 de [31]).</p><p>Dado E > 0 escolha y E C(0N x 09) tal que 0 < y <1,</p><p>ú(z,y)=lem|zr-y|<f,W(zr,y)=0emlz-—y|>e. Defina</p><p>K = Kbe K, =(1-)K e sejam Ty e T; os operadores</p><p>integrais correspondentes.</p><p>(1) Use a desigualdade de Hôlder com p = q = 2 para mostrar</p><p>que se u € L?(091) então Tiu E C(ON).</p><p>(ii) Prove que o operador Ty é limitado em L?(0M), p= 2e</p><p>p = co. Mais ainda, tomando € suficientemente pequeno,</p><p>podemos fazer a norma de Ty como operador em L?(01),</p><p>p=2, p= o, menor que -.</p><p>(ii) Seja 4 E L2(09) tal que É + Tó E C(0N). Defina</p><p>g = é + Tod. Prove que g é continua e que tomando</p><p>€ suficientemente pequeno, temos $ =(1+2h)!g =</p><p>Hkco(—2T0)*9, (veja o Teorema 1.1 do Capítulo VT).</p><p>(iv) Prove que cada um dos termos da série é uma função</p><p>contínua e que a série converge uniformemente (i.e., na</p><p>norma de Lº(04)). Isto encerra a demonstração.</p><p>CAPITULO IX</p><p>A TRANSFORMADA DE FOURIER EM R"</p><p>Nosso objetivo no que segue é generalizar a teoria apresen-</p><p>tada no Capítulo V para o caso de R”. Vamos apresentar também</p><p>vários resultados adicionais de caráter mais avançado e tocar em</p><p>várias questões ligadas às equações diferenciais parciais que não fo-</p><p>ram consideradas anteriormente. Deve-se notar que a maior parte</p><p>desse material adicional poderia ter sido estudado no contexto apre-</p><p>sentado nos capítulos IV e V da parte I. No entanto eles reque-</p><p>rem uma maior maturidade do leitor e são mais facilmente tratáveis</p><p>usando o ferramental da teoria de integração. A isso se deve nossa</p><p>escolha de discutí-los somente agora.</p><p>1. A Transformada de Fourier em LR”)</p><p>Seja f € L(R”). A transformada de Fourier de f é a função</p><p>Ff= f dada por,</p><p>CG) (FIO=ÃO = (em) / Hae- E de</p><p>R”</p><p>onde x =(z1,%72,...,2n), E =(b1,62,.. En) ER" e</p><p>j=1</p><p>é o produto interno usual em R”.</p><p>À primeira coisa a notar é,</p><p>sec. 1] A Transformada de Fourier em L!(R”) 303</p><p>1.1 TEOREMA. A transformada de Fourier de f € LI(R”) é uma</p><p>função continua, limitada e satisfaz a desigualdade,</p><p>(13) [FI SC" A</p><p>Em particular, a aplicação f f é um operador limitado de</p><p>LI(R”, dx) em LS(R”, dé). Mais ainda, vale o lema de Riemann-</p><p>Lebesgue i.e.,</p><p>(1.4) dim HE) =0</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Note que,</p><p>059 [fo|sene [rol do= CA</p><p>para todo É € R”. Isto prova que f está bem definida. A desi-</p><p>gualdade (1.3) segue imediatamente enquanto que a continuidade é</p><p>uma consequência simples do teorema da convergência dominada. A</p><p>demonstração do lema de Riemann-Lebesgue consiste de dois passos:</p><p>a) um cálculo direto mostra que o resultado vale no caso em que</p><p>f é uma função degrau, 1.e. uma combinação linear finita de</p><p>funções características de “intervalos limitados do R””,</p><p>b) um argumento de aproximação usando o fato que as funções</p><p>degrau são densas em L!(R”).</p><p>Por simplicidade vamos considerar o caso n = 1 (a demons-</p><p>tração de a) se reduz a esse caso utilizando o teorema de Fubini,</p><p>enquanto que o argumento para provar b) é “abstrato” e vale sem</p><p>tirar nem pôr na situação geral). Uma função degrau de uma variável</p><p>real tem a forma,</p><p>N</p><p>(1.6) fa) =D 0X, sal?)</p><p>j=1</p><p>304 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>onde a; E C, -coo <a; <b;<oo,j =1,...,N e X, denota a</p><p>função característica do conjunto 9) € R” isto é,</p><p>1, ZEN</p><p>Kato)=[ zéQ</p><p>Então,</p><p>a N</p><p>fo = (e [Saka lo)e E de</p><p>(1.7) ço</p><p>= (20) 123) (SE) exp(-ien]o</p><p>j=1 NU j</p><p>para todo É £ O. Esta fórmula implica imediatamente o lema de</p><p>Riemann-Lebesgue se f é da forma (1.6).</p><p>Suponha agora que f € L!(R). Então, dado É > 0 existe f</p><p>da forma (1.6) tal que,</p><p>18 od <:</p><p>Consequentemente,</p><p>(1.9)</p><p>e)=(07) 12 | ectflo)-f(x)) dz mn) 2 | ei fla)de Ho = (e [ et(r(o)-F(o)) da + [ eteitoja</p><p>Hoj< ee jr A +]ÃO)</p><p>(1.10) .</p><p>< (eme + |f(e)</p><p>para todo é E R. Portanto,</p><p>(1.11) lim He) < (27) 12e</p><p>|8|-+00</p><p>sec. 1] A Transformada de Fourier em L!(R”) 305</p><p>e o resultado está provado pois € > O é arbitrário. E</p><p>Antes de prosseguir é interessante considerar alguns exem-</p><p>plos. Aplicando o teorema de Fubini e a parte (11) do Lema 1.1 do</p><p>Capítulo V, é fácil ver que</p><p>(1.12) / exp(c IE Dent do = (1 esp (É)</p><p>, R" t 4t</p><p>para todo t > 0 e x € R”. Em particular, se</p><p>(1.13) Y(x) = exp (58)</p><p>segue que</p><p>(1.14) (6) = (8)</p><p>para todo É € R. Mais geralmente (Exercício 1), é possível provar:</p><p>que a transformada de Fourier de funções gaussianas são funções</p><p>deste mesmo tipo. Cabe então perguntar se isto é verdade em algum</p><p>sentido mais geral. Como veremos adiante a resposta é afirmativa</p><p>em alguns contextos. No entanto, esta conjectura é falsa em geral.</p><p>Considere por exemplo</p><p>(1.15) Hz) = Xe in(z)</p><p>Então é fácil verificar que,</p><p>(119) mrro= (48 do</p><p>Portanto f E L!(R) mas f não tem esta propriedade! Note também</p><p>que enquanto o suporte de f é compacto, o suporte de f é a reta toda.</p><p>Esta é uma indicação do “fato” que quanto “mais concentrada” for</p><p>uma função, “mais espalhada” será sua transformada de Fourier (e</p><p>306 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>vice-versa!). Um exemplo extremo deste “princípio” é a “função ó</p><p>de Dirac” em R” cujo “suporte” é o ponto zero e cuja transformada</p><p>* de Fourier é a constante (27) "/? (veja a seção 9 deste capítulo). O</p><p>“fato” mencionado acima tem consequências extremamente profun-</p><p>das (e mesmo dramáticas!) em mecânica quântica onde ele aparece</p><p>sob o nome de o princípio de incerteza de Heisenberg. Uma dis-</p><p>cussão detalhada destas idéias não cabe no presente trabalho. No</p><p>entanto o leitor interessado deve consultar [25], [29], [37], [58], [63],</p><p>[75].</p><p>Agora, se f,g E L!(R”), a convolução de f e g é a função</p><p>definida pela fórmula</p><p>(117) (Fenko= [He ao(y) dy</p><p>Note que, apesar de termos utilizado a palavra função na definição</p><p>acima, a existência da integral em (1.17) nada tem de trivial. De</p><p>fato, o teorema de Fubini implica que a função y + f(x — y)g(y)</p><p>pertence a L!(R”) para todo x fora de um conjunto de medida nula</p><p>(veja o Capítulo 7 de [70]) e, além disso,</p><p>ali < [do [o ávlfte- lato)</p><p>- [ ay lo(y)| / de |f(z — v)]</p><p>R” Rr"</p><p>= |fllz: ligllza</p><p>Mais geralmente, se f € LI(R") e g € Lº(R), é fácil verificar</p><p>que f+rg E L(R”") e</p><p>(1.18)</p><p>(1.19) 1f + gl <1fllza llgllrs</p><p>O caso q = oo é trivial. Se q € [1,00), note que podemos escrever</p><p>(120) He Wa(l= fz — It? fo — at! Ig(y)]</p><p>sec. 1] A Transformada de Fourier em L!(R") 307</p><p>onde pé tal que p-! +q1 =1. Integrando (1.20) em relação a y e</p><p>aplicando a desigualdade de Hôlder obtém-se</p><p>If + 9)(2)|</p><p>am She-n a) | te-mlsor o] o</p><p>ti Ia LfCe — w)lo(y)ft dy] “q</p><p>Elevando à potência q, integrando em relação a x e aplicando o</p><p>teorema de Fubini,</p><p>If + gl, < IF? / de / aylf(z — y)llg(y)]!</p><p>Rr Rº</p><p>(1.22) = 1108? fo duo! f delito)</p><p>= 11 Nfllça Isle = I1f11$: ll9ll,</p><p>| = 1 implica que gp! +1 = q. Isto termina a de- pois p”! + q”</p><p>monstração de (1.19). Note que esta desigualdade diz em particular</p><p>que se f E L!(R”) é fixa então a aplicação g + f *q é um operador</p><p>limitado em Lº(R"). Com um pouco mais de trabalho (Exercício 3)</p><p>é possível provar o teorema de Young para a convolução, a saber</p><p>1.2 TEOREMA. Sejap,g,r E [l,oo]taisquepl+ql=14r-.</p><p>Então se f € LP(R") eg E LR), a convolução f +g E L(R") e,</p><p>(1.23) + gllze < 1fllzo llgllza</p><p>Além disso, é importante observar que</p><p>1.3 TEOREMA. A convolução de funções mensuráveis, quando de-</p><p>finida, tem as seguintes propriedades algébricas</p><p>(i) feg=gxf;</p><p>(ii) Mf+9)=(A)+9=f+(A9),</p><p>NEC;</p><p>(ii) (feg)*h=f+(g+h);</p><p>308 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>(iv) fe(g+h)=feg+fxh.</p><p>Em particular, a operação +: LI(R") x L(R”") > LI(R”) é um</p><p>produto e o espaço L!(R”) munido da convolução é uma álgebra de</p><p>Banach.</p><p>A demonstração do teorema acima é trivial e será deixada a</p><p>cargo do leitor. Agora, a relação entre a convolução e a transformada</p><p>de Fourier é dada por:</p><p>1.4 TEOREMA. Sejam f,g € L!(R”). Então</p><p>(1.24) (9 (6) = (2n)"2 Fe)HO), CER"</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Os comentários acima mostram que f *+g E</p><p>L!(R”) e portanto sua transformada de Fourier está bem definida e</p><p>de fato é uma função continua limitada que tende a zero no infinito.</p><p>Temos então</p><p>(f + 9) (8) = (2m)*"2 Ú - Are EF + 92)</p><p>= (27 =n/2 ge Tê z—</p><p>(2x) f. d f - dyf(e — v)o(y)</p><p>= (em) "e [ duoty) [ defto-yerirt</p><p>= (2m)-"/2 f. dyg(y)e” "8 f. dz f(x — y)e te u)é</p><p>= (9m)-"/2 eTiv'é 2! Fla! eTirrE</p><p>(27) f. dusty) re fia Fe)</p><p>= (2m)"2 F(6)O(O),</p><p>onde utilizamos o teorema de Fubini e a mudança de variável z' =</p><p>z—-y.l</p><p>Antes de encerrar esta seção é conveniente fazer alguns co-</p><p>mentários básicos sobre a teoria de aproximação por convolução no</p><p>contexto de L!(R"). Em primeiro lugar, uma identidade aprozimada</p><p>sec. 1] A Transformada de Fourier em L!'(R”) 309</p><p>em L!(R”) é uma sequência (pr)f2, C L!(R”) tal que,</p><p>(1.25) pi(z)>0, zER"qtp., ke Z+</p><p>(1.26) / pile)de=1, ke Zt</p><p>Rr</p><p>(1.27) / pr(x) de — 0</p><p>lz]>27</p><p>quando k — oo para todo y > 0. Mais geralmente, uma família</p><p>pt, t E (0,00), tal que 9, = q,, satisfaz (1.25) - (1.27) para toda</p><p>sequência tn | O será também denominada uma identidade aproxi-</p><p>mada. Temos então,</p><p>1.5 TEOREMA.</p><p>(i) O núcleo do calor em R”, i.e.,</p><p>2</p><p>(1.28) Ki(z) = (4mt) "2 exp (- E , t>D0, TER"</p><p>define uma identidade aproximada.</p><p>(ii) Se (pr), é uma identidade aproximada e f € L'(R”)</p><p>então,</p><p>(1.29) lim f=f+oul=0</p><p>— oo</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A primeira parte é bastante simples e será dei-</p><p>xada como exercício. Para provar (ii) lembre que (teorema 4.4.7 de</p><p>[40] ou teorema (0.12) de [31]) dado € > 0, existe y = (e) tal que</p><p>030) llz1> | IfO)-He-ulde<e</p><p>310 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>Agora, note que para quase todo x € R” temos,</p><p>Ho) (rente) = [ (H(2)— He — v)oa(u) dy</p><p>(1.81) = f Xtyiza () + Xetuiso (ODU (2)</p><p>— f(x — y))pr(vy) dy</p><p>Tomando o valor absoluto e integrando em relação a x obtemos</p><p>If — f+gsllp</p><p>(1.32) < f. dz f. dy* tiy|<) (9) 1F(2) — Fx — v)lpa(y)</p><p>+ / [da Ú AX qo (WHO) — fe — )lea(y)</p><p>Considere primeiro a integral sobre a bola (|y| < y). Aplicando o</p><p>teorema de Fubini, a desigualdade (1.30) e a relação (1.26),</p><p>/ de / aX ue (v) (2) — F(2 — Wal)</p><p>Rr” R"</p><p>33) = [deny [ delfo)-He-y)</p><p>< ef dyX (yi<)Pe(y) < E</p><p>Para controlar a segunda integral em (1.32), aplicando o teorema de</p><p>Fubini obtemos</p><p>/ de / dy (uia (8) (2) — Fe — v)l pay)</p><p>Rr" Rº</p><p>as) =[ ten) f dlO-fe-ul</p><p><2Ilflly / dypr(y)</p><p>Iul>y</p><p>sec. 2) A Tranformada de Fourier no Espaço deSchwartz 311</p><p>e o teorema segue então da propriedade (1.27). E</p><p>Para encerrar esta seção gostariamos de recomendar ao leitor</p><p>os Exercícios 4 e 5 deste capítulo onde aparecem outras propriedades,</p><p>exemplos e aplicações de aproximação por convolução.</p><p>2. À Tranformada de Fourier no Espaço de</p><p>Schwartz</p><p>Apesar de ser possível desenvolver a teoria da transformada de</p><p>Fourier tomando L!(R”) como “base de operações”, é extremamente</p><p>conveniente (como já vimos no capítulo V) introduzir um espaço de</p><p>funções “muito bem comportadas” para estudar a aplicação f — f</p><p>e várias questões relacionadas. O objetivo desta seção é extender</p><p>para o espaço R” a teoria descrita nas seções 3 e 4 do Capítulo V.</p><p>Para começar, precisamos descrever algumas notações e de-</p><p>finições. Seja N = (0,1,2,...), como de hábito, e N” o produto</p><p>de n cópias de N. Os elementos de N” são n-uplas de inteiros não</p><p>negativos, a = (01,02,...,Qn), chamadas multi-índices. Se a é um</p><p>multi-índice e x = (71,%2,...,Zn) escreveremos</p><p>n</p><p>(2.1) loj=5a;=u+ma+:+an</p><p>j=1</p><p>(2.2) To = afirç?...zo</p><p>e (ENE E</p><p>Com esta notação, a equação diferencial parcial linear de ordem m,</p><p>le.,</p><p>Qeitaz+tan</p><p>>, Gor,02,...,0n (2)=araca aan u(z) = Fx)</p><p>astaz+:tan<m o 0x1 dxs . «Orr</p><p>312 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>toma a forma</p><p>(2.4) >, aa(z)Ou(x) = f(x)</p><p>lal<m</p><p>O espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decres-</p><p>centes), denotado por S(R”), é a coleção das f:R” — C tais que</p><p>(2.5) fe CR")</p><p>(2.6) Nfla,o = sup [208 f(0)] < 00.</p><p>para todo par de multi-índices a, f.</p><p>Com estas definições, a demonstrações dos resultados abaixo</p><p>são exatamente as mesmas que aquelas apresentadas no Capítulo V</p><p>para os resultados correspondentes no caso n = 1. Por esta razão</p><p>nesta seção vamos nos restringir a comentários e enunciados, dei-</p><p>xando a cargo do leitor a verificação das afirmações que seguem.</p><p>Em primeiro lugar, note que C$º(R”), o conjunto das funções</p><p>Cº de suporte compacto, está contido em S(R”). No entanto,</p><p>Co (R”) ç S(R”) pois certamente a função y(x) definida em (1.13)</p><p>está em S(R”) mas não pertence a Ce (R”). É claro que S(R") ç</p><p>LP(R”) para todo p E [1,00]. Além disso, S(R”) é denso em L?(R”)</p><p>sel<p<oo,ie.se fe LR”) existe (fr, contida em S(R”)</p><p>tal que,</p><p>2.1) Jim |f-fulzs=0</p><p>Na verdade, C9º(R”) tem esta mesma propriedade (veja o teorema</p><p>(0.16) de [31] por exemplo). Para p = oo este resultado não vale.</p><p>Claro, pois caso contrário toda função Lº seria contínua uma vez</p><p>que o limite uniforme de funções contínuas é sempre contínua. Na</p><p>sec. 2] A 'Tranformada de Fourier no Espaço deSchwartz 315</p><p>verdade o fecho de S(R") (e também de C$(R”)) na norma do</p><p>supremo é o espaço Coo(R”) das funções contínuas que tendem a</p><p>zero quando || — oo.</p><p>A relação entre a operação de derivação e a transformada de</p><p>Fourier é dada por:</p><p>9.1 TEOREMA. Suponha que f E S(R”). Então f e s(R") e</p><p>valem as fórmulas,</p><p>(2.8) (-ileiço” (E) = ECC)</p><p>(2.9) (lei(=e (6) = (9º ÍXO</p><p>O resultado acima, como no caso da reta, mostra que a trans-</p><p>formada de Fourier (em S(R”) por enquanto) leva o operador dife-</p><p>rencial 9º no operador de multiplicação por (=i)lalge, Isto permite</p><p>portanto reduzir equações diferenciais com coeficientes constantes</p><p>a equações algébricas. Consequentemente, é de importância fun-</p><p>damental saber inverter a transformada. Como no caso da reta a</p><p>fórmula de inversão é dada por</p><p>2.2 TEOREMA. Seja f E S(R"). Então,</p><p>(2.10) Ha) = (em "e [fee ar</p><p>No Exercício 7 o leitor é convidado a verificar que a demons-</p><p>tração do resultado acima é exatamente a mesma que a do Teorema</p><p>3.3 do Capítulo V. Agora podemos introduzir a transformada In-</p><p>versa pela fórmula,</p><p>He) = (PF PXx)</p><p>2.11</p><p>i 21) = (en) [. 1(get= de, fe SR)</p><p>Rr</p><p>É claro que f está bem definida pois S(R”) C L'(R") e</p><p>exp(it - x) é limitada. Note que a transformada inversa é um objeto</p><p>314 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>do mesmo tipo que a transformada de Fourier e tem portanto o</p><p>mesmo tipo de propriedades. De fato, temos</p><p>(2.12) Ha) = É)</p><p>para todo x E R. Além disso,</p><p>(2.13) fr=f=f</p><p>o que justifica o nome transformada inversa e a notação F7!. Mais</p><p>ainda,</p><p>(2.14) po =f</p><p>para toda f € S(R”) e portanto 7º = I (a identidade em S(R”)).</p><p>Para encerrar esta seção é importante notar que vale a iden-</p><p>tidade de Parseval em S(R”"), i.e,,</p><p>2.3 TEOREMA. Sejam f,g € S(R”). Então,</p><p>Cas) ()=[ Heied= [ ATA =( 19)</p><p>Equivalentemente,</p><p>(2.16) la = 117</p><p>para toda f E S(R”).</p><p>A demonstração é precisamente a mesma que aquela do caso</p><p>L2</p><p>n=l1e será deixada a cargo do leitor (Exercício 8).</p><p>3. À Transformada de Fourier em D(R”)</p><p>Observe que, em primeiro lugar, a transformada de Fourier não</p><p>pode ser definida em L?(R") através da fórmula (1.1) uma vez que</p><p>sec. 3] A Transformada de Fourier em L?(R”) 315</p><p>a integral que ali aparece não faz sentido em geral se f E L(R").</p><p>Por exemplo, a função</p><p>| 0, zE(—oco,l</p><p>(3.1) f(x) = ( o, : 0)</p><p>pertence a L?(R") mas não a L!(R). No entanto, utilizando a última</p><p>parte do teorema 6.2 do Capítulo IV e a identidade</p><p>de Parseval em</p><p>S(R”) é fácil verificar que tanto a transformada de Fourier quanto</p><p>sua inversa podem ser extendidas como operadores lineares contínuos</p><p>de Lº(R”) em si próprio. Em particular, se f € D(R") e (falte</p><p>é qualquer sequência em S(R”) convergindo a f em L?(R”) temos</p><p>(3.2) f=lim fa, f=lim fa</p><p>onde o limite em (3.2) deve ser interpretado no sentido L2?. Combi-</p><p>nando (2.13) e (3.2) segue que</p><p>(3.3) fro=f=f</p><p>para toda f € L*(R”). Acabamos portanto de provar:</p><p>3.1 TEOREMA. A transformada de Fourier</p><p>F:IA(R") — LR”)</p><p>(3.4) fo f=Ff</p><p>definida como a única extensão da transformada em S(R”) a L(R”)</p><p>é um operador unitário.</p><p>Cabe finalmente observar que a situação em L?(R”), p £</p><p>2, é bem mais complicada. No entanto, combinando a identidade</p><p>de Parseval em L?(R") com a estimativa (1.3) é possível provar o</p><p>teorema de Hausdorf- Young a saber,</p><p>316 A “Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>3.2 TEOREMA. Sejap € [1,2] eq definido por p ! +qg! =1.</p><p>Então</p><p>(3.5) fl. < em,</p><p>para toda f € S(R”), onde C(p,n) é uma constante que depende</p><p>de p en. Consegiientemente, a transformada de Fourier pode ser</p><p>extendida de maneira única como um operador linear contínuo de</p><p>Lº(R”) em LR”).</p><p>A demonstração do Teorema 3.2 segue de certos resultados</p><p>da teoria de interpolação de operadores lineares cuja discussão foge</p><p>do nível e dos objetivos do presente texto. O leitor interessado deve</p><p>consultar [66] (veja o Teorema IX.8, a seção IX.4 e seu apêndice) ou</p><p>“os Capítulos IV e VI do excelente livro de Y. Katznelson [49].</p><p>4. O Laplaciano em L4R").</p><p>Vamos agora definir e estudar um dos exemplos mais importantes de</p><p>operador diferencial em um espaço de funções, a saber o personagem</p><p>no título da seção. Como no caso da reta (Capítulo V) vamos defini-</p><p>lo de maneira maximal, utilizando a transformada de Fourier. Antes</p><p>de mais nada, no que segue, é conveniente considerar duas cópias de</p><p>R”, uma “munida da variável x” onde estão definidas as “funções</p><p>originais” e outra “munida da variável €” onde “vivem” as trans-</p><p>formadas. Esta distinção é especialmente importante em mecânica</p><p>quântica onde, a grosso modo, x e É são interpretadas como posição</p><p>e momentum de uma partícula (no caso n = 3). Por esta razão usa-</p><p>remos com frequência as notações L(R”, dx) e L?(R”, dé). Agora,</p><p>note que a relação (2.8) implica</p><p>(4.1) -Af = (6º f)”</p><p>sec. 4] O Laplaciano em L?(R”). 317</p><p>para toda f E S(R”). Portanto, é natural introduzir o operador</p><p>(—-A) em Lº(R”), denotado por Ho, através das fórmulas,</p><p>Dom(Ho) = H*(R”) ,</p><p>(4.2) = (fe L(Rº,dz) | lg" f e L(R",dé))</p><p>(43) — Hof=(Mof) = FMbFf, f € Dom(Ho)</p><p>onde My é o operador mazimal de multiplicação por le? em</p><p>LR", dé), i.e.,</p><p>(44) Dom(Mo) = (g € L?(R",d6) | Ig! 9 € (RP, df)</p><p>(4.5) — (Mog6) = IE| 9(E), 9 E Dom(Mo), € — at.p.</p><p>“ O espaço Hº(R”) definido em (4.2) é um dos famosos espaços</p><p>de Sobolev (de tipo L?) que estudaremos na seção 10 deste capítulo.</p><p>Ele é um espaço de Hilbert quando munido do produto interno</p><p>(4.6) Flo = | (1+1EP AOC dE</p><p>Rr"</p><p>portanto,</p><p>(4.7) | Dom(Mo) = (HR) = LAR", (1+ ||")? de)</p><p>Além disso, é conveniente notar que S(R”) é denso em H?(R”) e</p><p>que Hof = —Af para toda f € S(R"). O próximo fato a notar é</p><p>4.1 PROPOSIÇÃO. O operador Ho não é contínuo.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Tendo em vista a definição dada acima, basta</p><p>provar que Mo não é contínuo. Para isso, considere a sequência de</p><p>funções</p><p>— (RI</p><p>0 , caso contrário.</p><p>318 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>Introduzindo coordenadas esféricas,</p><p>(4.9) É=rw, rEl[O,00), wes"m</p><p>onde $"-1 denota, como de hábito, a esfera de raio um centrada na</p><p>origem de R”, e lembrando que dé = r"-Idrdw segue que,</p><p>2 -—n-1 . loslÊs = / ECT dê</p><p>k<lél<k+1</p><p>' k+1</p><p>(4.10) = / do | drr"lp-"=1</p><p>gn=1 k</p><p>k+1 k+1 cefPeacopf -e(i-) k r k k k+4+1</p><p>onde C é a área da esfera S"-1. Portanto py; — O quando k > oo</p><p>na norma L2?. Mas,</p><p>Mogi: = /</p><p>kxIE|<k</p><p>am</p><p>(4.11) = / do | drr?</p><p>sn-1 k</p><p>ra Cuco</p><p>Cal = q (Sk +3k- 1) > 00</p><p>quando k — oo e a proposição está provada. E</p><p>lejé Jg] TT] dê</p><p>+1</p><p>Antes de prosseguir cabe perguntar se Ho é um operador</p><p>diferencial em algum sentido. A resposta a esta questão é afirma-</p><p>tiva, como veremos na seção 8. O operador Ho é exatamente (—A)</p><p>quando as derivadas são interpretadas no sentido das distribuições</p><p>temperadas.</p><p>Nosso próximo passo consiste em introduzir funções do ope-</p><p>rador Ho. Para isso, seja G:R — C uma função mensurável. Vamos</p><p>definir o operador G(Hç) através das fórmulas,</p><p>(4.12)</p><p>Dom(G(Ho)) = [f € L*(R", dz) | G(lgP)Ã(E) E LR”, de))</p><p>G(Ho)f = (Mo) =P G(M)Ff, f € Dom(G(Ho))</p><p>sec. 4] O Laplaciano em L?(R”). 319</p><p>onde G(Mo) é o operador maximal de multiplicação por G(Jé |?) em</p><p>LH(R”, dé), i.e.,</p><p>(4.13)</p><p>Dom(G(Mo)) = ty E L*(Rº, dg) | G(lélP E LR", dê)</p><p>(G(Mo e E) = G(IEP)P(E), o E Dom(G(Mo))</p><p>Como era de se esperar, tomando G(s) = s para s E R,</p><p>obtém-se G(Ho) = Ho. Note que os objetos definidos acima po-</p><p>dem ser muito mal comportados uma vez que G é essencialmente</p><p>uma função arbitrária. No entanto, é reconfortante observar que na</p><p>prática é suficiente considerar apenas o caso em que G E Lº(R). De</p><p>fato, como veremos abaixo, é possível recuperar o próprio operador</p><p>Ho através de uma fórmula que envolve apenas funções limitadas</p><p>(observação misteriosa: o teorema espectral!). Se G é limitada, é</p><p>fácil ver que</p><p>(4.14) |S(Ho)pll;2 = 16(Mo)$ lp < Gl llpllr></p><p>de modo que tanto G(Ho) quanto G(Mo) são operadores limitados</p><p>com norma menor ou igual [|G]|; o. Vamos descrever agora algumas</p><p>importantes funções de Ho. Para começar, o operador resolvente (ou</p><p>simplesmente resolvente) de Ho é o operador obtido, como no caso</p><p>n = 1 (Capítulo V), a partir de</p><p>(4.15) GI) = (EP —- 2)7!, €ER", 2€ C10,00)</p><p>onde, por simplicidade, escrevemos diretamente o resultado da com-</p><p>Posição de G;(s) = (s — 2)! com a função É Jej?. Não é difícil</p><p>provar (Exercício 9),</p><p>4.2 PROPOSIÇÃO.</p><p>(i) Se f € Lº(R") ez € C1[0,00), então G;(Ho)f E Dom(Ho) e</p><p>(4.16) (Ho — )GAHo)f = f</p><p>320 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>(ii) Se f E Dom(Hy) e z € C1[0,00), então</p><p>(4.17) G:(Ho (Ho — z)f = f</p><p>Esta proposição mostra que G,(Ho) é exatamente o inverso</p><p>de (Ho — z). Em particular, a única solução da equação (Ho — z)u =</p><p>f e LR") é dada por u = G.(Ho)f = (Ho — 2)"!f. Daqui por</p><p>diante adotaremos a notação,</p><p>(4.18) Ro(z) = (Ho — 2)! = G.(Ho)</p><p>De maneira análoga ao caso da reta podemos definir o se-</p><p>migrupo e o grupo unitário gerados por Hoy, a saber,</p><p>(4.19) etHof (e -HÉf, feLHR”),</p><p>(820) citMp=(MBP A, FELAR)</p><p>Estes dois operadores estão associados à equação do calor e à equação</p><p>de Schrôdinger da partícula livre. No Exercício 9, o leitor é convi-</p><p>dado a enunciar e provar as generalizações dos Teorema 7.1 e 7.2 do</p><p>Capítulo V para o caso de L?(R”). Vamos apresentar agora uma</p><p>coleção de funções de Ho que não foi introduzida no Capítulo V.</p><p>Seja.</p><p>(421) tB=[% SO . A —</p><p>Xaetaeay? A20</p><p>onde X,, como de hábito, denota a função característica do conjunto</p><p>Q. A família espectral associada ao operador Ho é definida então por</p><p>(4.22) Eo(Nf = (Gx(leP)f), fe LAR")</p><p>É fácil verificar que À Eo(A) tem as propriedades</p><p>(4.23) dim E(M)f=0, fe L(R")</p><p>sec. 4] O Laplaciano em Lº(R”). 321</p><p>(4.24) lim F(Mf=f, fe IR)</p><p>(425) (EMF If) = IE(AMIha, fe DR).</p><p>Além disso, a função À +» (Eo(A)f | f) é absolutamente contínua e</p><p>monótona não decrescente qualquer que seja f em Lº(R") (Exercício</p><p>10). Combinando estas propriedádes com a identidade de pola-</p><p>rização (equação (1.24) do Capítulo III) obtemos</p><p>(ESA) 19) = 5 [EOONS + 9a — NEON — D+)</p><p>+ BO) + ins — 1ESONU — io)li</p><p>Com estas observações em mente temos,</p><p>4.3 TEOREMA. Sejam f € Dom(Ho) eg E LR"). Então,</p><p>(426) (of |9)= f Md E(N$ |9)</p><p>onde a integral pode ser interpretada como uma integral de Rie-</p><p>mann-Stieltjes ou como uma integral de Lebesgue em relação à me-</p><p>dida complexa obtida da maneira usual a partir da função absolu-</p><p>tamente contínua À + (Eo(A)f | 9).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Aplicando a identidade</p><p>de Parseval é fácil ver que</p><p>0, A<0</p><p>(4.27) (Eo(N)f | 9) = heiepa ÍCEG(E) dé</p><p>Vamos usar (4.27) para calcular &(Eo(A)f | 9). Se À < 0 nada há</p><p>a fazer. Para À > 0, sejam r e w como em (4.9). Então, |</p><p>va o ——</p><p>(4.28) (Eo(A)f |9) = / dry" Lo. do f(rw)g(rw)</p><p>322 A Transformada de Fourier (Cap. IX</p><p>Portanto,</p><p>(420) EAN 19) = (VN? [do fia)</p><p>Segue que,</p><p>[Datmooor | 9)</p><p>R</p><p>(4.30) co</p><p>= / dAZ (VA)? / do f(VDuo)i(V No)</p><p>Introduzindo = Vw e notando que</p><p>(4.31) dn = (VA) Id( VA) du = 2"1(V A)" * dAdy</p><p>obtemos,</p><p>fracos 19) = [ danmP Fen)</p><p>R Rr</p><p>= (Mof |) = (Hof | 9)</p><p>onde para obter a última igualdade em (4.32) utilizamos a identidade</p><p>de Parseval. E</p><p>Note que a hipótese f € Dom( Ho) é crucial para a obtenção</p><p>(4.32)</p><p>de (4.32). Ela garante que as integrais nessa cadeia de igualdades</p><p>são finitas. O resultado que acabamos de provar é essencialmente</p><p>o teorema espectral na “forma de integrais espectrais” no caso do</p><p>“operador Ho. À situação geral pode ser encontrada em qualquer das</p><p>seguintes referências: [4], [46], [65], [68].</p><p>Para encerrar esta seção gostaríamos de notar que todos</p><p>os operadores considerados acima podem ser representados, pelo</p><p>mesmo formalmente, em termos de convoluções. De fato, proce-</p><p>dendo com total desprezo pelo rigor, temos,</p><p>(G(Ho) te) = (Em)-"2 [ agc(lefpe= fe)</p><p>(4.33) = (2nº [ decdleljese [dure</p><p>-[ dyg(z — y)f(y)</p><p>Rr"</p><p>sec: 5] Distribuições Temperadas 323</p><p>onde,.</p><p>(484) g(a) = (2m)" [ GUEP jota = (2) "(GCP (0)</p><p>O grande problema é a existência da transformada inversa em (4.34),</p><p>pois de posse de g(x) podemos então passar a analizar o operador de</p><p>convolução com núcleo g(z—y). No caso do semigrupo gerado por Ho</p><p>a situação é muito simples devido ao rápido decaimento do núcleo</p><p>do calor quando |z| — oo (veja os Exercícios 5 e 9). À situação</p><p>se complica no caso do resolvente pois agora é preciso calcular a</p><p>transformada inversa da função G(|E|”) = (l€|º — 2)! que pertence</p><p>a Lº(R",dé) see sósep > %. Isto significa que com a teoria</p><p>desenvolvida até agora não sabemos fazer sentido de (G(|- |) sen ></p><p>4. No entanto, essas transformadas são bem conhecidas na teoria</p><p>clássica das funções especiais (elas podem ser expressas em termos</p><p>de funções de Hankel; veja [52], [57]). Isto é bastante incômodo</p><p>e indica que é preciso extender a teoria para situações mais gerais.</p><p>Esse é o nosso próximo objetivo. Note que a situação com eTitHo</p><p>é ainda pior pois não sabemos calcular a transformada necessária</p><p>mesmo no caso n = 1 (veja o Exercício 1 no entanto).</p><p>5. Distribuições Temperadas</p><p>Vamos introduzir nesta seção a classe de funções generalizadas as-</p><p>sociada ao espaço de Schwartz. A teoria aqui desenvolvida é essen-</p><p>cialmente a mesma que nos Capítulos IV e V (com as modificações</p><p>apropriadas, é claro). No entanto, há uma diferença fundamental:</p><p>vamos utilizar uma definição diferente (e provavelmente mais co-</p><p>mum) de distribuição. No Exercício 32 o leitor é convidado a provar</p><p>a equivalência das duas definições.</p><p>324 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>Nosso primeiro passo consiste em introduzir uma topologia</p><p>conveniente em S(R”), a saber aquela gerada pelas normas,</p><p>(5.1) leg = sup [229º f(x)</p><p>zeR"</p><p>onde a, 8 variam sobre toda a coleção dos multi-índices. Esta é a</p><p>topologia mais fraca que torna todas as funções</p><p>Fo: S(R") > [0,00), a,8 EN"</p><p>5.2 (5.2) Pr Nas</p><p>contínuas. Uma base de vizinhanças da origem é dada pela seguinte</p><p>coleção de conjuntos,</p><p>N(a1,81;02,82;...;0k, Bk;€)</p><p>5.3 (5-3) = (ESB lag <6 j=1,2,..,8)</p><p>Além disso, é fácil verificar que S (R”") munido desta topologia é</p><p>metrizável. Uma distância conveniente é dada por</p><p>If — gl . d , =— o-(lol+Bp dl 2Ha8 (5.4) (1,9) x T+ Falo;</p><p>Deve-se notar que esta distância não provém de uma norma. Note</p><p>que S(R”) em relação à métrica definida acima é um espaço métrico</p><p>completo e que uma seqiiência (f,)2 converge a f € S(R”) no n=1</p><p>sentido de S(R”) (i.e., em relação à distância d) se e somente se</p><p>(5.5) 1f — fellag —0</p><p>quando k — oo para todo par a, 8 de multi-índices (veja o Exercício</p><p>4 do Capítulo IV). Neste caso, como de hábito, escreveremos</p><p>(5.6) SS</p><p>sec. 5] Distribuições Temperadas 325</p><p>Analogamente, uma sequência (fi) C S(R”) é de Cauchy no</p><p>sentido de S(R”) se e somente se</p><p>(5.7) 1% — Fila,g 0</p><p>quando k,j — oo para todo a, 8 E Nº. Observe que a topologia em</p><p>S(R”) é muito forte. Por exemplo,</p><p>51 LEMA. háf>hDf 1<p<o</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Para p = o o resultado é evidente pois</p><p>1f — fellio = 1f — flo,» com qa = 8 = (0,0,...,0). Seja</p><p>p € [1,00) e escolha. N inteiro positivo tal que</p><p>/ (1+ |v]) Nº dz < 00</p><p>Rr"</p><p>Então,</p><p>lo-fi = [ delito) Hop</p><p>R”"</p><p>= [do(s fofo? [00Qnt+ e Luto) — H)])</p><p>(5.8) Rr</p><p>< [sup (14 ef)" luta) = fe)PIx</p><p>x [ (+ |z|)-N? de < 00</p><p>Rr</p><p>e o lema está provado pois o fator entre colchetes no último mem-</p><p>bro de (5.8) é uma combinação linear finita de normas do tipo</p><p>1 — flog: E</p><p>Agora estamos em posição de introduzir a classe de funções</p><p>generalizadas em que estamos interessados. O conjunto das distri-</p><p>buições temperadas, denotado por S'(R"), é o dual topológico de</p><p>S(R”"). Em outras palavras T € S(R”) se e só se T;S(R”) > C é</p><p>326 A Transformada de Fourier [Cap- IX</p><p>um funcional linear contínuo. Note que para verificar que um fun-</p><p>cional linear T:S(R”) > C é contínuo, basta provar que Tyr >O0</p><p>para toda py; 80.</p><p>Vamos considerar alguns exemplos. Em primeiro lugar os</p><p>elementos de L?(R”), 1 < p< oo definem distribuições temperadas</p><p>através da fórmula,</p><p>(69) Tro)=[ Hopledo, FELAR, pe sr)</p><p>De fato, pela desigualdade de Holder temos,</p><p>(5.10) Tell < fp» lola, pi+gl=a1</p><p>e a afirmação acima segue de (5.10) e do Lema 5.1.</p><p>Seja agora 4 uma medida finita em R”. Então é fácil verificar</p><p>que yu define um elemento de S (Rº pmide</p><p>Tile) = | e(2) du(a)</p><p>O próximo exemplo, a distribuição 6 de Dirac centrada no</p><p>ponto x E Rº, é talvez a mais famosa de todas as distribuições. Ela</p><p>é definida por,</p><p>(5.12) ilo)=o(2), pES(R).</p><p>A aplicação 6,: S(R”) — C é evidentemente linear. À continuidade</p><p>segue imediatamente da estimativa</p><p>(5.13) ló(P) < plo, pe SR").</p><p>É importante notar que não existe função mensurável f tal que 6, =</p><p>T; onde T, é dada por uma integral do tipo (5.10) (prove!). No</p><p>entanto, ó; pode ser definida por meio da medida de Dirac,</p><p>1, se zEA</p><p>O, caso contrário</p><p>(5.14) ns(4) = [</p><p>“sec. 5] Distribuições Temperadas 327</p><p>Deve-se notar que existem distribuições que não provém de medidas</p><p>(Exercício 12). Para simplificar a notação no caso x = 0 escrevere-</p><p>mos dg = 6.</p><p>Cabe agora apresentar um contra-exemplo: a função f(x) =</p><p>e” não define uma distribuição temperada. Mais precisamente,</p><p>5.2 PROPOSIÇÃO.</p><p>(1) CS (R”) é denso em S(R”) (em relação à topologia de</p><p>S(R”), é claro!).</p><p>(ii) Seja f(x) = e*. Então</p><p>(5.15) Tile) = [ colado, pe Cr(R)</p><p>não pode ser extendido como funcional linear contínuo de</p><p>S(R) emcC.</p><p>DEMONSTRAÇÃO: À primeira afirmação é bastante simples e será</p><p>deixada a cargo do leitor (Exercício 11). Para provar (ii) basta</p><p>exibir uma sequência (Vr)?2., tal que</p><p>(5.16) 7,50 e T(Y)>00</p><p>quando k — oo. Seja Y E CS (R) tal que</p><p>V=1 em [-1,1),</p><p>(5.17) v=0 em (-00,2]U[2,00),</p><p>y >O0.</p><p>Introduzindo então</p><p>(5.18) Vie) =e*Py(z/k), k=1,2,...</p><p>segue imediatamente que</p><p>V(z/k)=1 se ze[-k,k],</p><p>(5.19) V(z/k)=0 se zE(—-o0,-2k|U [2k,00),</p><p>V(z/k)>0, zeR</p><p>328 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>e, além disso,</p><p>(520) aº0%Wa(a) = MPE) = (E Dev)</p><p>Portanto,</p><p>(5.21) Jzº0º Vi(x)| < < Ts = É pa 5, tER, a,8EN.</p><p>Consequentemente ||Y,.|| «8 — O quando k — oo, quaisquer que</p><p>sejam q,8 € N. Agora observe que usando (5.19) obtemos,</p><p>2k</p><p>Tr) = f Uuedo= [ e Vyi(x) dz</p><p>k k e:</p><p>> e" W;(x) dz -[ eTe Fit p(— (5.22) f, ate) ” (7)</p><p>k</p><p>= / ele? dy</p><p>—k</p><p>= eR/2 (ek — et) — 00</p><p>quando k > oo e a proposição está provada. E</p><p>À razão pela qual a função f(x) = e” não define uma distri-</p><p>buição temperada é que ela cresce muito rápido quando z — oo e</p><p>os elementos de S(R) não caem a zero no infinito suficientemente</p><p>rápido</p><p>a variação da temperatura</p><p>u de uma barra de secção reta uniforme e comprimento £ feita de</p><p>sec. 3) Condições de Contorno e de Valores Iniciais 17</p><p>material homogêneo com constante de difusividade térmica a? (de-</p><p>pendente apenas do material), satisfazendo as seguintes hipóteses</p><p>(veja a figura 1):</p><p>(1) as dimensões da secção reta são pequenas em relação ao com-</p><p>primento, de modo que é razoável supor que a temperatura</p><p>é constante em cada secção reta, i.e., a temperatura depende</p><p>apenas do tempo e da posição ao longo da barra; em (3.7), o</p><p>eixo dos x foi escolhido ao longo da barra com uma de suas</p><p>extremidades na origem;</p><p>(11) a superfície lateral da barra está perfeitamente isolada, de</p><p>modo que não há troca de calor com o exterior através dessa</p><p>superfície;</p><p>(iii) as extremidades da barra estão em contato com reservatórios</p><p>térmicos à temperatura zero (este é o significado das condi-</p><p>ções de contorno);</p><p>(iv) no instante t = 0, a barra tem distribuição de temperatura</p><p>f(x) (este é o significado da condição inicial).</p><p>ps TERMIGAMENTE Z</p><p>NV</p><p>Figura 1</p><p>A equação do calor é obtida utilizando os postulados da teoria de</p><p>transmissão de calor e as hipóteses (i) e (ii) acima (veja. [30], [80]</p><p>Ou o apêndice À ao Capítulo 10 de [14]). Tendo em vista a inter-</p><p>18 Preliminares (Cap. I</p><p>pretação física do problema (3.7), é natural procurar soluções u €</p><p>C2(9) n C(9); nesse caso é preciso impor a condição f E c(Io, 4).</p><p>Devemos notar que, como no exemplo anterior, as condições de con-</p><p>torno não são independentes da condição inicial: para que haja:</p><p>solução é preciso que f satisfaça as condições de compatibilidade</p><p>(3.8) H0) = 0= f(£)</p><p>No que segue, discutiremos mais exemplos de problemas deste</p><p>tipo, isto é, uma EDP acompanhada de condições de contorno e/ou</p><p>iniciais. As três questões fundamentais são:</p><p>(1) existência de soluções;</p><p>(1) unicidade de solução;</p><p>(111) dependência da solução nos dados iniciais e/ou de contorno.</p><p>Para discutir a existência é preciso especificar não somente</p><p>a classe de funções onde procuramos solução mas também em que</p><p>sentido as condições de contorno e/ou iniciais são satisfeitas. Por</p><p>" exemplo, vamos considerar um problema para a equação de calor</p><p>análogo ao quinto exemplo mas em três dimensões espaciais:</p><p>du = Au, zeM, t>o0,</p><p>(3.9) u(x,t) = 0, zEôO0, t>0,</p><p>u(z,0)= f(x), ref,</p><p>onde 9 = (x € Rº:|z| < 1), f:N > C é contínua e satisfaz a</p><p>condição de compatibilidade flog = 0. Se procuramos soluções em</p><p>C”(9 x (0,00)) mas não necessariamente contínuas em À x 0,00),</p><p>como devemos interpretar a condição de contorno? Uma possibili-</p><p>dade, nesse exemplo específico, seria considerar limites radiais, i.e.,</p><p>para cada t > 0 fixo e para cada xo E 012, procuraríamos soluções u</p><p>tais que</p><p>3.10 li )=0. (3.10) lim u(pzo )</p><p>sec. 3] Condições de Contorno e de Valores Iniciais 19</p><p>Analogamente, poderíamos interpretar a condição inicial como</p><p>(3.11) limu(2,t) = f(2)</p><p>para cada z E QQ. Uma outra possibilidade é procurar soluções em</p><p>CO x (0,00)) NC(M x. [0,00)). Uma vez obtida a existência, o</p><p>significado da unicidade é claro: desejamos saber se a solução é</p><p>única dentro da classe especificada.</p><p>A discussão da dependência da solução nos dados iniciais e/ou</p><p>de contorno é muito importante. Devemos lembrar que os dados de</p><p>um problema físico são dados experimentais que necessariamente</p><p>contêm erros de medida; é, portanto, natural perguntar se peque-</p><p>nas variações nos dados acarretam pequenas variações na solução.</p><p>Do ponto de vista matemático isto se traduz em perguntar se as</p><p>soluções variam continuamente como função dos dados em alguma</p><p>topologia conveniente. A escolha desta topologia depende, é claro,</p><p>do problema particular em consideração. Devemos observar que,</p><p>no caso de EDP?'s lineares, a dependência contínua nos dados está</p><p>essencialmente provada uma vez que se obteve existência e unici-</p><p>“dade. A situação no caso não linear é bem diferente e a discussão</p><p>da dependência nos dados nesse caso pode ser bastante complicada.</p><p>Um problema para o qual valem existência, unicidade e de-</p><p>pendência contínua nos dados iniciais e/ou de contorno é chamado</p><p>um problema bem posto (no sentido de Hadamard). Caso contrário</p><p>o problema é dito mal posto. Os exemplos que vimos nesta seção</p><p>são bem postos, com exceção do problema de Neumann que é mal</p><p>Posto pois a solução não é única. No Exercício 7 o leitor encon-</p><p>trará uma situação onde falha a continuidade da solução em relação</p><p>aos dados. Estudaremos em detalhe alguns problemas bem postos e</p><p>apresentaremos alguns exemplos de problemas mal postos.</p><p>20 Preliminares [Cap. I</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Classifique as equações abaixo segundo o tipo e coloque-as na</p><p>sua forma normal:</p><p>(1) dusz + 12uzy + ÓUyy = 6u, — Uy;</p><p>(ii) uze — 4uzy + 4uyy = 4+ 2u5;</p><p>(ii) ou + cãs + 95 =2yu;</p><p>(iv) (Lt c?BE ALA a HS + + = 05</p><p>(v) (1+22)202u — (1 +49? Ou = 0;</p><p>(vi) Bu +(1+2?)202u =0.</p><p>2. Considere o seguinte problema</p><p>uECR?),</p><p>O2u—-u=0, (x,y) E Rº,</p><p>u(0,y) = F(y), veR,</p><p>ôru(O,y) =9(y), vER,</p><p>onde f,g E CR).</p><p>(1) Encontre uma solução do problema. acima e prove que a</p><p>solução é única.</p><p>(ii) Suponha que f,g, f,5 € C?(R?) são limitadas e tais que</p><p>|f— flo <e Ilg- lo <e6</p><p>onde |jhlloo = sup,er |h(z)|. Sejam u(xz,y) e ú(z,y) as</p><p>soluções do problema acima com dados f,g e f,% respec-</p><p>tivamente. Prove que</p><p>lu(z,y) — éi(z,y)] < e(| senh x] + | cosh x|)</p><p>Exercícios 21</p><p>quaisquer que sejam (x,y) € R2. O questo implica sobre</p><p>a dependência nos dados para este problema?</p><p>3. Resolva os seguintes itens:</p><p>(i) Encontre uma solução para o problema</p><p>u E CUR?),</p><p>Us = Uzz + a(us + Us), (x, t) € R?,</p><p>u(x,0) = f(x), uz, 0) = g(z), TER,</p><p>onde fE CR) eg e CI(R).</p><p>(ii) Discuta a unicidade e a dependência nos dados para o</p><p>problema em a).</p><p>4. Seja f a função característica do intervalo (—1,1), isto é,</p><p>1 se ze(-1,1)</p><p>19 = (a se zÉ(-1,1)</p><p>e seja</p><p>1 se 2>0</p><p>g(z) = (</p><p>—l se z<0</p><p>(i) Mostre que a função u encontrada no exercício anterior</p><p>não é contínua e determine as curvas ao longo das quais</p><p>u é descontínua.</p><p>(ii) Determine as curvas ao longo das quais u, e u; são des-</p><p>contínuas.</p><p>(ii) Mostre que as curvas determinadas no ítem acima devi-</p><p>dem o planozt em 16 regiões e que, no interior de cada</p><p>uma dessas regiões, u é solução do problema do exercício</p><p>3 (com o interior da região no lugar de Rº).</p><p>5. Seja Q C R” um domínio limitado onde vale o Teorema da</p><p>Divergência.</p><p>(1) Use a primeira identidade de Green,</p><p>o =[ ,29 fitas +vs Vo)do= [ 15 do,</p><p>22 Preliminares [Cap. I</p><p>onde f,g E CH9), v denota a normal externa em 99 e 5a</p><p>é a derivada direcional de g na direção normal, para provar</p><p>que existe no máximo uma solução para o problema de</p><p>Dirichlet =</p><p>uec9)</p><p>Au=0 em Q</p><p>ulon = 9€ C*(09)</p><p>(ii) Use a segunda identidade de Green,</p><p>[mo -snpãs= [ (158057) do</p><p>(notação como o item (i) acima), para provar que o pro-</p><p>blema de Neumann</p><p>uE C%(9)</p><p>Gu =0 em Q</p><p>au =9eCci(9N)</p><p>= .</p><p>só tem solução se</p><p>[o ste) do(s) =</p><p>e que, neste caso, qualquer par de soluções difere por uma</p><p>constante.</p><p>6. Considere a equação</p><p>onde a,bc E R, a £0.</p><p>(1) Tome w(z,t) = eu(x,t), 6 E R, e ache a equação s satis-</p><p>feita por w.</p><p>(ii) Mostre que, se b 0, é possível escolher é de modo que a</p><p>equação diferencial encontrada em a) não tem termo em</p><p>w.</p><p>Exercícios 23</p><p>7. Considere o seguinte problema (exemplo de Hadamard):</p><p>Au=0 em Rº</p><p>u(0,y) = 0, veR</p><p>uz(0,4) = LI sen(ny), yER</p><p>(i) Moste que existe uma solução da forma u(z,y) =</p><p>X(2)Y (y).</p><p>(ii) Prove que esse problema não é bem posto.</p><p>8. Prove (3.2).</p><p>9. Sejam 9 € Rº um aberto, 0,8,7:M — R funções contínuas,</p><p>(ko,y0) € 9 e suponha que a(zo,y0) £ O. Prove que existe</p><p>uma vizinhança aberta N' de (z0,Y) onde a EDP |</p><p>a(s + Bles) SE = (2,1)</p><p>se reduz a uma EDO ao longo de certas curvas. Use essa</p><p>observação para resolver a EDP acima e em particular jus-</p><p>tifique a afirmação feita sobre (2.23) e (2.24).</p><p>CAPITULO II</p><p>O MÉTODO DE SEPARAÇÃO</p><p>para controlar esse crescimento. Intuitivamente os elementos</p><p>de S'(R) e, mais geralmente, os de S'(R”) “crescem no máximo</p><p>polinomialmente no infinito”. Esta afirmação pode ser tornada ri-</p><p>gorosa. O leitor interessado deve consultar a seção 4.3 do Capítulo</p><p>4 de [67] e também o parágrafo 4 do Capítulo VII de [73].</p><p>6. Um Parentese Topológico</p><p>É conveniente introduzir agora uma topologia em S(R”) com</p><p>propriedades “duais” às da topologia com a qual munimos S(R”).</p><p>sec. 6] Um Parêntese Topológico 329</p><p>Para começar cabe lembrar algumas definições e certos fatos de to-</p><p>pologia geral (cuja demonstração pode ser encontrada em [65] ou</p><p>[89]). Em primeiro lugar, uma ordem parcial em um conjunto À é</p><p>uma relação < definida em A tal que,</p><p>(1) <éreflexiva ie, A<A VÃEA;</p><p><AMed <A, então A <aAs, (1) < é transitiva, i.e., se À;</p><p>VA, A2,A3 E A;</p><p>(iii) < é anti-simétrica, i.e. se A <Aze À < Ai, então À = Ai.</p><p>Um conjunto dirigido é um conjunto À munido de uma ordem parcial</p><p>tal que se ÀA,,Ã, E À então existe À E A tal que À > À, À > As.</p><p>Uma rede (zxJxea em um espaço topológico X é uma aplicação de</p><p>um conjunto dirigido A em X. Note que se À = N as redes obtidas</p><p>são exatamente as sequências em X. Uma rede (xx Jxga converge a</p><p>z E X see só se para toda vizinhança V de xo dada, existe À E À</p><p>tal que x, € V se À > Àg. Nesse caso encreveremos 7 X q.</p><p>Como é bem sabido, o conceito de sequência não é suficiente</p><p>para determinar a topologia e a totalidade das funções contínuas em</p><p>um espaço topológico qualquer. Essa dificuldade pode ser contor-</p><p>nada utilizando redes. De fato, temos,</p><p>6.1 TEOREMA. Sejam X eY espaços topológicos. Então,</p><p>(i) x € X é um elemento do fecho de S C X se e só se existe</p><p>“uma rede (zaJ»rea contida em S convergindo a x;</p><p>(ii) uma função f:X — Y é contínua se e só se para toda rede</p><p>(zxkxcea convergente em X, a rede (f(zx)Jxea converge em</p><p>Y;</p><p>(iii) se X é de Hausdorff, uma rede converge no máximo a um</p><p>ponto.</p><p>Vamos considerar agora S'(R”) munido da chamada topologia</p><p>fraca-*, i.e., a topologia mais fraca que torna contínuos todos os</p><p>funcionais lineares da forma,</p><p>IES(R) > C, pES(R")</p><p>6.1</p><p>(6-1) T— T(p)</p><p>330 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>Uma base para essa topologia é a coleção de todas as in-</p><p>terseções finitas de conjuntos da forma J;!(A) onde A C C é um</p><p>aberto. O conceito de convergência associado a essa topologia é</p><p>evidentemente o seguinte: uma rede (Ty Jrea C S(R”) converge a</p><p>TES(R") see só se</p><p>(6.2) Tp) S T(p)</p><p>para toda y E S(R”). Neste caso escreveremos Th É, T. Esta</p><p>noção de convergência é muito fraca. Por exemplo, aplicando a</p><p>desigualdade de Holder temos,</p><p>(63) IrHol=| f Hoeto) da</p><p>< fz» olho, e SR)</p><p>onde f E L(R"), p!+q"! = 1. Então se (f,Jxea é uma rede</p><p>convergindo a f em L?(R”) segue que Ts, 8, T,. Isto prova que a</p><p>aplicação</p><p>(6.4) fELRYS T ES(R")</p><p>é contínua. Além disso, é fácil venficar que ela é também inje-</p><p>tiva (Exercício 12). Podemos portanto identificar L?(R”) com um</p><p>subconjunto de S'(R”) (pois (6.7) é uma injeção contínua) e pas-</p><p>sar a “viver” dentro de S(R”). Daqui por diante adotaremos este</p><p>ponto de vista e passaremos a denotar os elementos de S'(R”) por</p><p>fg,h,p, Y etc., isto é, usaremos a notação usual de função para</p><p>as distribuições temperadas. Em particular, a distribuição T, defi-</p><p>nida em (5.9) será identificada com f. Além disso, vamos adotar a</p><p>notação</p><p>(6.5) fe)=(f,9) feS(R'), qe S(Rº)</p><p>que é extremamente conveniente. Em particular, se f € LM(R"),</p><p>1<p< oo, escreveremos,</p><p>(6.6) (1,9) = f Heela)da, 0 ESR</p><p>sec. 7] A Derivada e a Transformada de Fourier em S'(R”) 331</p><p>7. A Derivada e a Transformada de Fourier em s'(R”)</p><p>Para motivar a definição, considere f E S(R”). Então 0ºf €</p><p>S(R") C S(R”) para todo a e define uma distribuição temperada,</p><p>também denotada por 9º f, através da fórmula,</p><p>(1) (ohe= [ Head, vesR</p><p>Pelo teorema de Fubini,</p><p>(9º Ff,9) = Lo. day ..don |. dz, (2). (5)</p><p>(7.2) a</p><p>(50) Sejeta)</p><p>Como f € S(R”), integrando por partes q; vezes obtém-se,</p><p>(9º f,9) = (1) L. de (5) =</p><p>0 Qn 0 o1</p><p>Repetindo este processo para as variáveis restantes segue que</p><p>(7.4) (921,0) = (IS! ($,0º9)</p><p>Isto nos leva a definir a derivada 0º f de f E S(R”) por (7.4). É</p><p>claro que esta relação define um elemento 9º f E S'(R”) se f é uma</p><p>(7.3)</p><p>distribuição temperada. Além disso, é fácil verificar que a aplicação</p><p>(7.5) feS(R')— 9ºfeS(Rº)</p><p>é contínua em relação à topologia de S(R”) (Exercício 13).</p><p>Como vimos na seção 5 do Capítulo V da parte I, se f é dada</p><p>por V-(5.20) então f” = ó no sentido de S'(R”). À situação para o</p><p>caso n > 2 é muito mais interessante. Temos,</p><p>332 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>7.1 TEOREMA. Seja</p><p>(27) !en |z], n=2</p><p>F(x) = = (eme) fo, nos (7.6)</p><p>onde on = 27"/2T(2)-1 é à área da esfera S" 1 eT é a função</p><p>gama. Então</p><p>(i) AF =0 sex 0;</p><p>(ii) Fe LLAR”) (i.e., F é localmente integrável);</p><p>(iii) FES(R”);</p><p>(iv) AF = 6 em SR”).</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Vamos considerar apenas n > 3. O cason =</p><p>2 será deixado como exercício (Exercício 14). A demonstração da</p><p>primeira afirmação consiste em uma aplicação direta da regra da</p><p>cadeia. (veja também o Exercício 2 do Capítulo VII). Para provar</p><p>(1i), introduza coordenadas esféricas como em (4.9) e note que</p><p>R Rº</p><p>(7.7) / la” de = [ der" dur?" =>—-gn <00</p><p>|zI<R Jo gr-1 2</p><p>Agora, seja N € Z* tal que</p><p>oo</p><p>(7.8) / r(14+r2)Ndr=K <o00</p><p>0</p><p>e observe que, se py € S(R"),</p><p>(7.9)</p><p>/ (ea) de < ((n — Do)! / jo" lg(2)] de</p><p>Rr" R”</p><p>=(n- Do) / (+ Ie)" foto) leo" (14 of)" de</p><p>Rr</p><p><(n- Don) sup [(1+2P)"e(o)] x</p><p>ER"</p><p>o</p><p>x / dr "1 dor? "(1 +r?)N</p><p>0 gSn-i</p><p>=((n— Don) !K sup |(1 + 22)N (a) < 00</p><p>. zeR"</p><p>sec. 7] A Derivada e a Transformada de Fourier em S(R”) 333</p><p>Como o último membro da desigualdade acima é uma combinação</p><p>linear finita de normas do tipo |||, o segue que F € S(R”). Resta '</p><p>portanto provar (iv). Para isso observe que, graças a (7.9) podemos</p><p>escrever</p><p>(AP) = (E, 29) = | F(2)Ao(2) do</p><p>(7.10) Re</p><p>= lim lim F(s)Ap(z)dz, q E S(R”).</p><p>R->oo elo e<|z|<R</p><p>Aplicando a segunda identidade de Green (Proposição 2.1 do</p><p>Capítulo VII) ao domínio 9 = (z € Rº |e <Iz)< R) segue</p><p>que,</p><p>(F,9) = lim lim ousa fon dz</p><p>R-oo elo</p><p>(7.11) + / . (oz (a) — dado £o) E)</p><p>= pm tm (FOGO) Ae Se (2) ) dote)</p><p>” R>oo el</p><p>onde usamos (1) para obter a última igualdade em (7.11). A integral</p><p>sobre 99 se divide na soma de duas outras. A primeira destas,</p><p>sobre |z| = €, tende a (0) quando e | O em vista do Lema 2.3</p><p>do Capítulo VII enquanto que a segunda, sobre |z| = R, tende a</p><p>zero quando |z| — oo pois y € S(R) (verifique!). Isto encerra a</p><p>demonstração. E</p><p>Antes de prosseguir convém notar que, como vimos acima,</p><p>a distribuição é pode ser representada como a derivada segunda de</p><p>uma função (contínua se n = 1 e localmente integrável se n > 2) no</p><p>sentido das distribuições. Na verdade, é possível provar O seguinte</p><p>teorema de regularidade:</p><p>7.2 TEOREMA. Seja f E S(R"). Então existem g contínua, poli-</p><p>nomialmente limitada, i.e.,</p><p>(7.12) lg(o] < C(i+ o)</p><p>334 A Transformada de Fourier [Cap. IX</p><p>para algum C > 0, k E Ne |z| suficientemente grande, e um multi-</p><p>índice 8 tais que f = 029.</p><p>Este resultado não será utilizado no que se segue e por esta</p><p>razão omitiremos sua demonstração. O leitor interessado pode con-</p><p>sultar o Capítulo V de [65].</p><p>Vamos considerar agora a transformada de Fourier em $' (R”)</p><p>e sua relação com a derivada. Se f € S(R"), então f E S(R”) e</p><p>define uma distribuição temperada pela fórmula</p><p>(713) (20)= [feed</p><p>Substituindo a expressão que define f em (7.13) e trocando em se.</p><p>guida a ordem de integração concluimos que</p><p>(7.14) (ho)=(58), pes</p><p>Vamos então definir a transformada de Fourier de f E S(R”) pela</p><p>fórmula (7.14). Analogamente, a transformada inversa é definida</p><p>por</p><p>(7.15) (Lo)=(59), pes.</p><p>Não é difícil provar (Exercício 15):</p><p>7.3 TEOREMA. Seja f E S(R"). Então f e f definidas por (7.14)</p><p>e (7.15) são distribuições temperadas. Além disso, f' = f= fre</p><p>a aplicação f »</p><p>DE VARIÁVEIS</p><p>O objetivo deste capítulo é estudar o método clássico para</p><p>a obtenção de soluções de problemas que envolvem EDP's lineares</p><p>com coeficientes constantes acompanhadas de condições de contorno</p><p>eou iniciais. Conhecido como o método de separação de variáveis,</p><p>ele pode ser aplicado a uma grande variedade de situações com carac-</p><p>terísticas bastante diferentes e, por esta razão, é conveniente estudar</p><p>vários problemas específicos de modo a compreender a sistemática</p><p>envolvida. Esse capítulo é quase inteiramente formal no sentido que</p><p>obteremos apenas candidatos a solução de vários problemas. Nos</p><p>capítulos subsequentes desenvolveremos técnicas que permitem pro-</p><p>var que tais candidatos são de fato soluções. |</p><p>1. O Problema de Condução de Calor em uma Barra</p><p>Nesta seção vamos considerar o seguinte problema:</p><p>uv E C?((0,4) x (0,00)) NC ([0,4] x [0,00))</p><p>du =Ou, (z,t) E (0,2) x (0,00)</p><p>u(0,t) = u(L,t) = 0, t>0</p><p>u(z,0) = f(x) e C(/0,0), H0)=f8=0</p><p>(1.1)</p><p>cuja interpretação física foi discutida na terceira seção do capítulo</p><p>anterior. Para começar, note que, se u(x,t) é solução de (1.1), então</p><p>gec. 1] O Problema de Condução de Calor em uma Barra 25</p><p>u(z,t) satisfaz em particular</p><p>ue C?((0,4) x (0,00))N C ([0, 4] x [0,00)) |</p><p>(1.2) Odu =ô0Ou, (z,t)€E (0,2) x (0,00)</p><p>u(0,t) = u(L,t) =0, t>0</p><p>Ôbserve que (1.2) é um problema linear e homogêneo e portanto vale</p><p>o princípio de superposição de soluções, isto é, se uy, U2,...,Um SãO</p><p>soluções de (1.2) e q1,02,...,; am São constantes (em geral comple-</p><p>xas) então a superposição</p><p>(1.3) u(z,t) = Soaguj(z,t)</p><p>j=1</p><p>também é solução. Mais geralmente, se fu; ki é uma coleção de</p><p>a . oo 4 A .</p><p>soluções de (1.2), se (a;]%2, é uma sequência complexa e se for</p><p>possível resolver os problemas de convergência envolvidos, a super-</p><p>posição</p><p>(1.4) u(x,t) = Do agus(a,t)</p><p>j=1</p><p>é também solução de (1.2). A idéia é então obter constantes a; tais</p><p>que a condição inicial seja satisfeita, isto é, deseja-se obter constantes</p><p>tais que</p><p>(15) H=Dagui(e,0)</p><p>j=1</p><p>Esta expressão indica que é preciso obter uma coleção “su-</p><p>ficientemente grande” de u ;'s de modo que uma função contínua</p><p>qualquer possa ser representada por uma série da forma (1.3) com</p><p>&;'s convenientes. Isto justifica, pelo menos parcialmente, a tenta-</p><p>tiva de obter soluções na forma de uma superposição infinita. A</p><p>26 O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>necessidade de tais superposições ficará mais clara à medida que</p><p>prosseguirmos.</p><p>Para obter as u;'s utiliza-se então o método de separação de</p><p>variáveis, que consiste em procurar soluções de (1.2) em forma se-</p><p>parada, i.e., do tipo</p><p>(1.6) u(2,t) = Ha)T()</p><p>Para isso, impõe-se que (1.6) é solução de (1.2) e resolve-se os proble-</p><p>mas resultantes. A idéia crucial envolvida aqui é reduzir (1.2) a um</p><p>sistema de: EDO's (munido de condições de diferenciabilidade e de</p><p>contorno) que, em princípio, sabemos resolver. Em primeiro lu-</p><p>gar, como a solução de (1.2) deve pertencer a C((0,4) x (0,00))N</p><p>C([0,4] x [0,00)) é razoável procurar 4 E C?((0,4)) N C(Jo, £)) e</p><p>T E C2((0,00)) N C([0,00)). Em seguida, se A(z)T(t) satisfaz a</p><p>condição de contorno, devemos ter &(0)T(t) = &(L)T(t) = O para</p><p>todo t > O. Então, se (0) £ 0, segue que T(t) = O para todo</p><p>t € [0,00), obtendo-se apenas a solução trivial Hax)T(t) = 0,0</p><p>que não ajuda em nada a construção de uma solução para (1.1).</p><p>É preciso portanto exigir (0) = &(£) = O pois desejamos soluções</p><p>não-triviais. Finalmente, substituindo (1.6) na EDP em (1.2) obte-</p><p>mos a igualdade ó(x)T'(t) = &"(z)T(t). Dividindo esta equação por</p><p>A(x)T(t) segue que</p><p>(1.7) TO Tt) = (x)! 6"(x)</p><p>Mas x e t são variáveis independentes e cada lado de (1.7) depende</p><p>de apenas uma delas. Portanto ambos os membros de (1.7) devem</p><p>ser constantes, i.e., devemos ter |</p><p>(18) TO T'(E) = Au)! $!(a) = —</p><p>onde À é uma constante chamada muitas vezes de constante de se-</p><p>paração. Resumindo os comentários acima, as funções dx) e T(t)</p><p>devem satisfazer</p><p>(1.9) ( Te CH(0,00)) N C([0, 00)</p><p>T(t)=-T(O), +>0</p><p>sec. 1) O: Problema de Condução de Calor em uma Barra 27</p><p>é E CH(0,8)) N C(10,8)</p><p>(110) 6(c)=-A6(0), 2€(0,8)</p><p>(0) = (4) = 0</p><p>Note que as condições T € C?((0,00)) e 4 € C?((0,4)), juntamente</p><p>com as EDO's em (1.9) e (1.10) implicam que Te é são funções</p><p>de classe Cº em (0,00) e (0,4) respectivamente. Além disso, é</p><p>importante ter em mente que em cada um dos problemas acima</p><p>temos dois tipos de objetos a determinar, a saber: os valores de À</p><p>para os quais existe solução não trivial e as soluções correspondentes.</p><p>Agora, na verdade, temos apenas um problema a resolver pois (1.9)</p><p>é inteiramente trivial: para qualquer valor de À a função</p><p>Ga) T(t) = Cexp(-X)</p><p>é solução, onde C é uma constanté arbitrária. O problema (1.10)</p><p>é bem mais interessante e antes de iniciar sua análise vale a pena</p><p>introduzir algumas definições. Um valor de À (possivelmente com-</p><p>plexo) para o qual (1.10) tem solução não trivial é chamado um</p><p>auto-valor (ou valor próprio) do problema (1.10) enquanto que as</p><p>soluções correspondentes são as auto-funções (ou funções próprias)</p><p>pertencentes ao auto-valor À. O problema (1.10), por sua vez, é</p><p>chamado o problema de auto-valores para o operador (-&) com</p><p>condições de contorno de Dirichlet, i.e., (0) = &(£) = 0. Este pro-</p><p>-blema, assim como sua generalização para o caso de um domínio</p><p>limitado 9 C R" com fronteira suave,</p><p>o Ge CAMnNC(A)</p><p>(1.12) -AG=)6 em Q</p><p>| $|og=0</p><p>Ocorre em uma grande variedade de aplicações e suas soluções abri-</p><p>Tam o caminho para o desenvolvimento de uma parte substancial da</p><p>análise moderna. O problema (1.12) será discutido nos Capítulos</p><p>Vie VII.</p><p>28 O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>Voltando ao problema (1.10), a primeira coisa a notar é que os</p><p>auto-valores (se existirem) devem ser reais e positivos. Em outras</p><p>palavras, se À É (0,00) então (1.10) tem apenas a solução trivial.</p><p>Para provar esta afirmação é conveniente introduzir o produto in-</p><p>terno (veja Capítulo III, 81)</p><p>L (———mna (1.13) GI)= / fa) de</p><p>onde f,g € C([0,]) e a barra denota o complexo conjúgado.</p><p>LEMA 1.1. Sejam f,g E C%(0, neto, £)) tais que f(0) = f(L) =</p><p>g(0) = g(£) = 0. Suponha que f” eg” são limitadas. Então</p><p>(1.14) CPID=9)=($-9")</p><p>DEMONSTRAÇÃO: Basta integrar por partes. De fato</p><p>t ——</p><p>CHIg=- [ foda) da</p><p>o t t ——</p><p>- [era - / Fla)a'(z) de = (| 9)</p><p>—t t ——</p><p>E Vero - [ tor) à =(F-98</p><p>Agora, se $ é uma solução de (1.10), é fácil verificar que as</p><p>condições do lema são satisfeitas, e (1.14) mostra então que,</p><p>Mo IB) =(-8" | 6)=(6]-4") = 6 | 6)</p><p>Me | =(6 16)</p><p>Portanto, se é não é identicamente nula, a primeira relação em (1.15)</p><p>implica que À = À, ie., Aéreal. Como (G | &)>0e(& |6)>0,</p><p>a segunda equação de A. 15) mostra que devemos ter À >0. Mas se</p><p>À = 0 temos</p><p>(1.15) (</p><p>. .</p><p>(1.16) / |6'(2)|? de = 0.</p><p>sec. 1) O Problema de Condução de Calor em uma Barra 29</p><p>Conseqiuentemente $'(z) = 0 em (0,4) de modo que &(x) deve ser</p><p>constante. Mas &(0) = &(£) = 0, ou seja É = 0. Isto encerra à</p><p>demonstração da afirmação feita acima sobre os auto-valores.</p><p>Estas considerações simplificam bastante o problema: agora</p><p>basta procurar soluções não triviais no caso À > 0. Como sabemos</p><p>sda teoria elementar das equações diferenciais ordinárias, a solução</p><p>getal de &'"(x) + A(z) = 0 com À > O é dada por</p><p>(1.17) ó(z) = Acos(VAz) + Bsen(vAs)</p><p>onde 4 e B são constantes complexas arbitrárias. Em particular,</p><p>toda solução de (1.10) deve ter esta forma. Impondo as condições</p><p>de contorno (0) = &(£)-= 0 obtem-se</p><p>&(0) =</p><p>Ca) [60 =0= BecatVãO)</p><p>Como À = 0, para obter soluções não triviais é preciso tomar</p><p>B 0 e portanto é preciso impor sen(VAZ) = 0. Isto significa</p><p>que os valores de À para os quais (1.10) tem solução não trivial são</p><p>exatamente os que satisfazem</p><p>(1.19) VM=kr, k=1,2...</p><p>Consequentemente, as únicas soluções não triviais de (1.10) são as</p><p>funções</p><p>kms</p><p>(1.20) de(z) = Bsen — 7” k=1,2,3,...</p><p>onde B é uma constante</p><p>arbitrária diferente de zero. Note que os</p><p>valores k = —1,-2,... não fornecem novas soluções uma vez que</p><p>sen(—-9) = —seng. Segundo a terminologia introduzida anterior-</p><p>Mente, $; é uma auto-função de (1.10) pertencente ao auto-valor</p><p>(1.21) Ap = ——.</p><p>SU O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>Substituindo estes valores na equação (1.11) obtem-se a dependência</p><p>temporal das soluções não triviais da forma &(z)T(t), a saber,</p><p>(1.22) Tu(t) =Cexp (- Em ')</p><p>onde C é uma constante arbitrária diferente de zero. Tomaremos</p><p>B=C=1 daqui por diante. A superposição</p><p>= = krz / km?</p><p>1.23) ulz,t)= > bdedulz)Ta(t) = > bpsen— e — t (128) utero) = E tne)T) = 5 broem Eco (E)</p><p>==]</p><p>é então uma solução formal de (1.2), i.e., deixando de lado os proble-</p><p>mas de convergência e diferenciabilidade termo a termo, é claro que</p><p>a EDP e as condições de contorno de (1.2) são satisfeitas pois (1.23)</p><p>é uma superposição linear de funções com estas mesmas proprieda-</p><p>des. Agora, para obter um candidato a solução de (1.1) impõe-se a |</p><p>condição inicial. Tomando t = 0 em (1.23) segue que, :</p><p>(1.24) f(x) = s by sen cre</p><p>k=1</p><p>Portanto é preciso obter uma sequência (bkJpe, tal que a</p><p>função f dada seja representada pela série do lado direito de (1.24).</p><p>Em outras palavras, é preciso expandir f(x) em uma série de Fourier.</p><p>em senos no intervalo [0,4]. A pergunta natural é então a seguinte:</p><p>como calcular os coeficientes b;? Para respondê-la, pelo menos de</p><p>maneira formal, observe que as funções $;(x) satisfazem as seguintes</p><p>relações de ortogonalidade (problema 1),</p><p>(1.25) (dk | Gm) — ( y se k f m</p><p>7 sek=m</p><p>- onde (: | -) é o produto interno definido em (1.13). Multiplicando</p><p>(1.24) por ém(x), integrando sobre o intervalo [0, Z] (i.e., calculando</p><p>sec. 1] O Problema de Condução de Óglor em uma Barra Sl</p><p>o produto interno de f e $m!) e trocando a ordem da série com a</p><p>integral sem maiores preocupações, temos,</p><p>Erz, (F | ém) = Jo Dea</p><p>(1.26)</p><p>= Dei bk h ksa ue + ;</p><p>onde utilizamos (1.25) para obter a última igualdade de (1.26). Con-</p><p>sequentemente, os coeficientes da série de Fourier em senos da função</p><p>f(x) devem ser dados por</p><p>lo o</p><p>(1.27) de= (FI ba =5 / Heêdoda, k=1,2...</p><p>Note que, formalmente, o método utilizado acima é exatamente o</p><p>mesmo usado para calcular os coeficientes da representação de um</p><p>vetor em termos de uma base ortogonal de um espaço vetorial de</p><p>dimensão finita com produto interno. Esta é uma idéia fundamental</p><p>que, em várias formas, permeará quase todo o resto deste volume.</p><p>Resumindo as observações acima, espera-se que a “função”</p><p>definida por (1.23) com os coeficientes by dados por (1.27) seja</p><p>solução de (1.1). Com isso termina o processo de obtenção do can-</p><p>didato. Agora é preciso provar que ele é de fato uma solução do</p><p>problema. Note que a condição f € C([0, 4]) implica na estimativa</p><p>(1.28) |be|<2 sup |f(z)|, k=1,2,3,...</p><p>ze[0,4) .</p><p>de modo que a série (1.23) converge absoluta e uniformemente em</p><p>qualquer conjunto da forma [0,4] x [t0,00), to > 0, tendo em Vista</p><p>que a dependência temporal de u(x,t) é dada por exp(— Ej72 st).</p><p>Segue em particular que (1.23) define uma função continua de</p><p>[0,4] x (0, oo) nos complexos e que u(0,t) = u(L,t) = 0, t€E (0,00).</p><p>Resta portanto verificar se a EDP e a condição inicial são satisfeitas.</p><p>À primeira destas questões é de solução bastante simples, novamente</p><p>32 O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>graças à dependência exponencial da parte temporal de (1.23) (pro-</p><p>“blema 3). O problema realmente difícil e profundo é a convergência</p><p>da série de Fourier em senos e consequentemente a demonstração</p><p>de que a condição inicial é satisfeita. A análise deste problema será</p><p>feita no próximo capítulo quando estudarmos a teoria clássica das</p><p>séries de Fourier.</p><p>Antes de encerrar esta seção é conveniente fazer mais alguns</p><p>- comentários. Em primeiro lugar, na situação em estudo (mas não</p><p>em geral, é claro!) é fácil provar que (1.1) tem no máximo uma</p><p>. solução e que, se ela existe, depende continuamente do dado inicial</p><p>f(x). De fato, basta notar (problema 4) que se v(z,t) é qualquer</p><p>solução de (1.1) então a integral de energia</p><p>- .</p><p>(1.29) Io IP = (0668 165) = [ Iote, de</p><p>satisfaz</p><p>(1.30) los Ol<fl, te [0,00)</p><p>onde ||- || =(:|-)!/?. Portanto, para provar que o problema (1.1) é</p><p>bem posto, resta estudar a convergência de (1.24) eo comportamento -</p><p>de (1.23) quando t tende a zero. Finalmente, usando o decaimento</p><p>exponencial da parte temporal da série (1.23) é fácil provar que, para</p><p>t > 0, podemos escrever</p><p>. L</p><p>(1.31) u(ast)= | K(2u:8)/(9) dy</p><p>onde</p><p>2. kre kry k?m?</p><p>(1.82) — K(zyt)= E Qua Tg semp SP (- R )</p><p>A função definida em (1.32) é chamada o núcleo do calor (as-</p><p>sociado a (1.1)). A fórmula (1.32) é muito interessante. Ela exprime</p><p>sec. 2) Outros Exemplos e Comentários 33</p><p>o fato de que a solução pode ser escrita como um operador integral</p><p>(com núcleo K(z,y,t)) e, em particular, descreve precisamente a</p><p>maneira pela qual a solução u(x,t) depende do dado inicial f(x).</p><p>Como veremos no que se segue, a solução na maioria dos problemas</p><p>que estudaremos pode ser expressa de forma análoga.</p><p>9. Qutros Exemplos e Comentários</p><p>Vamos descrever agora rapidamente outras aplicações do método</p><p>de separação de variáveis. A maior parte dos resultados abaixo será</p><p>deixada como exercício. Considere, em primeiro lugar,</p><p>u E C2((0,€) x (0,00)) NC” ([0,£] x [0,00))</p><p>du = Ou, (x,t) E (0,4) x (0,00)</p><p>Or u(0,t) = Ocu(L,t) =0, t>0</p><p>u(z,0)=Ff(z)E C!([0,7]), f(0)=F()=0</p><p>(2.1)</p><p>Este problema, como o considerado na seção anterior, des-</p><p>creve a temperatura u(x,t) de uma barra homogênea (com a? = 1).</p><p>Á diferença entre eles é que neste caso não há troca de calor com</p><p>o exterior através das extremidades da barra (este é o significado</p><p>da condição de contorno). Aplicando o método de separação de</p><p>variáveis é fácil verificar que o problema (1.10) da seção anterior</p><p>deve ser substituido por</p><p>b E C%(0,2)N C'([0,4])</p><p>(2.2) —b(a)=b(z), — 2e(0,8)</p><p>WO) = W'() =0.</p><p>Este problema é conhecido como o problema de auto-valores</p><p>Para.o operador (a) com condições de contorno de Neumann</p><p>: (ie. b'(0) = '(£) = 0). Como no caso de (1.10), um auto-valor de</p><p>34 O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>(2.2) é um valor de À para o qual existem soluções não triviais. Tais</p><p>- soluções são chamadas as auto-funções pertencentes ao auto-valor À.</p><p>Não é difícil verificar que agora os auto-valores e as auto-funções são</p><p>dadas por</p><p>km?</p><p>neto k=0,1,2,...</p><p>(2.3) Pol) =</p><p>be(z) = Acos Ema</p><p>J</p><p>onde Aq e À são constantes arbitrárias (não nulas, é claro) que to-</p><p>maremos iguais a 1. Isto conduz a uma superposição da forma,</p><p>- kre km?</p><p>(2.4) u(x,t) = > + 2 ak cos —— exp (=)</p><p>onde o fator (1/2) foi colocado por conveniência. Impondo a</p><p>condição inicial obtem-se</p><p>ao = | krz</p><p>2. =— = (2.5) F(x) 2 + x aj cos —,</p><p>É preciso portanto expandir f(x) em uma série de Fourier em cos-</p><p>senos no intervalo [0,4]. Para calcular os coeficientes a; utilizam-se</p><p>as relações de ortogonalidade,</p><p>o” o —</p><p>(2.6) / volz)UrlE) dz = ( o ; 20</p><p>t =m (2.7) [ bm(2YURlz) de = ( o : em</p><p>Obtem-se então</p><p>(2.8) a=5U|W)=5 [soam</p><p>sec. 2] Outros Exemplos e Comentários 35</p><p>Outro exemplo interessante é o seguinte problema que envolve</p><p>a equação de onda:</p><p>u E C2((0,4) x (0,00))N C([0,4] x [0,00))</p><p>ôfu =clôlu, (xt) E (0,2) x (0,00)</p><p>u(O,t)=u(Lt)=0,. t> 0.</p><p>u(z,0) = f(x) E C?([0,4])</p><p>deu(z,0) = g(x) E C([0,4])</p><p>HO) =H)=F(0)=f(0)=90)=g9(8)=0</p><p>(2.9)</p><p>A função u(x,t) descreve neste caso o deslocamento verti-</p><p>cal de uma corda vibrante com extremos fixos (u(0,t) = u(£,t) =</p><p>0, t > 0), configuração inicial f(x) e velocidade inicial g(x). A</p><p>figura 2 é uma “fotografia” da corda em um instante t fixo.</p><p>u(x,t)</p><p>Figura 2</p><p>Deve-se observar que a EDP em (2.9) é usualmente obtida</p><p>sob as seguintes hipóteses:</p><p>(1) a corda é feita de material homogêneo com densidade o;</p><p>(ii) a</p><p>corda se desloca apenas no plano vertical;</p><p>(iii) a amplitude de vibração é tão pequena que podemos supor</p><p>36 O Método de separação de variáveis [Cap. HI.</p><p>que o ponto x da corda se desloca apenas na vertical e a tensão</p><p>É na corda não varia apreciavelmente durante o movimento.</p><p>O leitor interessado pode consultar [80] para a obtenção da</p><p>equação de onda a partir de (i), (ii) e (iii), enquanto. que em [8]</p><p>ele encontrará uma discussão crítica destas hipóteses que são clara-</p><p>mente muito simplificadas. Uma dedução alternativa extremamente</p><p>interessante pode ser encontrada na seção (1.4) de [85]. Cabe notar</p><p>que a velocidade de propagação c é dada por c = (€/ o)1/2,</p><p>O problema (2.9) pode ser resolvido exatamente da mesma</p><p>forma que (1.1). Em primeiro lugar procura-se resolver o problema</p><p>homogêneo</p><p>u E C%((0,4) x (0,00)) NC([0, €] x [0,00))</p><p>(2.10) ô2u = clô2u, (xt) E (0,4) x (0,00)</p><p>u(0,t) = u(L,t) =0, t>0</p><p>utilizando separação de variáveis. Obtem-se então</p><p>Te C*((0,00)) NC([0,00))</p><p>(2.11) ( —T"(t) = CAT(t), tE (0,00)</p><p>ge C%((0,8))N C([0,])</p><p>(2.12) — 4" (x) = Ad(x), z E (0,2)</p><p>0) = 2) =0</p><p>Note que (2.12) é exatamente o mesmo problema de auto-</p><p>valores obtido no caso da equação do calor na seção precedente. Sua</p><p>solução é dada por (1.20) e (1.21). A diferença reside no fato que a</p><p>EDO para T(t) é de segunda ordem. Combinando isto com (1.21)</p><p>obtem-se</p><p>ckrt + Bsen ckrt</p><p>(2.13) | Tk(t) = A cos 7 7</p><p>sec. 2) Outros Exemplos e Comentários 37</p><p>onde 4 e B são constantes arbitrárias. Note que neste caso a de-</p><p>pendência temporal é oscilatória ao invés de exponencial decrescente</p><p>- como no caso da seção anterior. Formando então a superposição</p><p>| = cknt ckmt kmz (2.14) u(z,t) = x (4: cos =, + By; sen 7 ): sen ——</p><p>e impondo as condições iniciais segue que</p><p>(235) He) = 5) As sen be</p><p>k=1 .</p><p>(2.16) g(2) = +5 dp, sen Fe</p><p>onde (2.16) foi obtida derivando (2.14) termo a termo e em seguida</p><p>tomando t = 0. Agora os coeficientes A; e B; podem ser determina-</p><p>“dos a partir das relações de ortogonalidade (1.25). Cabe finalmente</p><p>notar que as questões de convergência associadas a (2.14) são muito</p><p>mais delicadas que as correspondentes no caso de (1.23). Isto se deve,</p><p>“é claro, ao caráter oscilatório da dependência temporal dos termos</p><p>da série (2.14). Na sétima seção do próximo capítulo voltaremos a</p><p>discutir este problema.</p><p>Um exemplo simples de um problema envolvendo uma equa-</p><p>ção elítica é o seguinte problema de Dirichlet no retângulo 9) =</p><p>(0,0) x (0, 8)</p><p>uECHMNC(A)</p><p>(2.17) du(z,y)=0, (zy)eN</p><p>u lao= fe c(9N)</p><p>onde por simplicidade vamos considerar f dada por</p><p>O, (z,y) e ôMa) x [0,8] (2.18) F(z,y) = ( h(y), (2,9) E (a) x [0, 8]</p><p>38 O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>e h(y) é uma função contínua definida em [0,8] e satisfazendo a</p><p>condição de compatibilidade h(0) = h(8) = 0. No problema 7 deste</p><p>capítulo o leitor é convidado a verificar que o método, de separação</p><p>de variáveis conduz aos problemas de auto-valores |</p><p>é € CH(0,0))N C(I0,a)</p><p>(2.19) él=)=26(0), 2E(0,9)</p><p>$(0) =0</p><p>be cê((o, B))Nc(lo, 8])</p><p>(2.20) —4"(y)=Ably), ve(0,8)</p><p>(0) = (8) = 0 *</p><p>e, através de uma superposição, ao candidato a solução</p><p>(2.21) ato = so C senh tre sen — far</p><p>k=1 B</p><p>- onde os coeficientes da rio devera sr dados por</p><p>(2.22) . Ck senh PTS == -2[ h(y) sen e dy.</p><p>Para finalizar, desejamos indicar possíveis generalizações e</p><p>fazer alguns comentários sobre certas limitações do método descrito</p><p>acima. No que segue vamos, por simplicidade, omitir as condições</p><p>de continuidade e diferenciabilidade, indicando apenas as equações</p><p>diferenciais, condições de contorno e condições iniciais envolvidas.</p><p>Em primeiro lugar, equações mais complicadas munidas de condições</p><p>de contorno mais gerais ocorrem com frequência. Por exemplo, no</p><p>caso do problema de transmissão de calor em uma barra feita de</p><p>material de propriedades variáveis, obtem-se uma equação da forma</p><p>(228) r(a)Bu = delp(2)0ru) + alo)u + Pla, 8)</p><p>sec. 2) Outros Exemplós e Comentários 39</p><p>Além disso condições de contorno do tipo</p><p>( Oru(0,t) = nu(0,t)</p><p>(2.24) d.u(2,t) = qou(8,º)</p><p>onde t > 0 e %;, à = 1,2, são constantes, são bastante comuns. O</p><p>amétodo de separação de variáveis conduz então a problemas do tipo</p><p>( (EEN) + teto) = «Ato</p><p>ECO) =né(0), SL) = 90)</p><p>Tais problemas constituem uma subclasce dos problemas de</p><p>(2.25)</p><p>Sturm-Liouville (ou de contorno) para equações diferenciais or-</p><p>dinárias de segunda ordem. Seu estudo foge aos objetivos deste</p><p>volume e por esta razão vamos nos limitar a indicar ao leitor as</p><p>referências [14], [20], [81], [82]. Problemas em dimensões mais al-</p><p>tas (mas ainda em domínios limitados) ocorrem em conexão com</p><p>questões sobre transmissão de calor em sólidos, membranas vibran-</p><p>tes e potenciais eletrostáticos, por exemplo.</p><p>Outra direção possível é o caso de domínios não limitados,</p><p>como por exemplo os problemas de valor inicial para a equação de</p><p>calor na reta, para a equação de Schródinger em Rº e o de Dirichlet</p><p>no semi-plano superior, a saber,</p><p>du=ôOu,'(zt)ERx[0,00)</p><p>(2.26) u(s,0) = (2), 2ER /</p><p>(2.27) ( idu=(-A+V(z)u, (ot) EREXR</p><p>u(z0)=f(2), 2ER?</p><p>(2.28) ( Au(z,y)=0, (zy)ER?,y>O0</p><p>u(z,0)=f(z), zER.</p><p>Os problemas (2.26), (2.28) e (2.27) com V = 0 serão consi-</p><p>derados em detalhe mais adiante. O caso V £ O em (2.27) é bas-</p><p>tante mais complicado e nos limitaremos no que se segue a breves</p><p>comentários acompanhados de referências nas ocasiões apropriadas.</p><p>40 O Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>Finalmente é importante notar uma limitação básica do</p><p>método de separação de variáveis. Seu sucesso depende fortemente</p><p>da geometria dos domínios em questão. Em princípio é preciso</p><p>que seja possível escrever o domínio como produto cartesiano de</p><p>domínios mais simples que sejam “aceitáveis” pelo operador diferen-</p><p>cial em questão, no sentido de ser possível a separação. Por exem-</p><p>plo, no caso do problema de Dirichlet no disco de raio R (Secão 8</p><p>do Capítulo III), é conveniente notar que, introduzindo coordenadas .</p><p>polares</p><p>(2.29) z=rcos6, y=rsenô</p><p>onde r € [0, R) e 6 € [0, 27], podemos fazer a identificação</p><p>(2.30) ((2,9) ER? |22 +92 < R2) =[0,8) x [0,2n]</p><p>Além disso, utilizando a regra da cadeia, é fácil verificar que o ope-</p><p>rador laplaciano tem a forma |</p><p>(2.31) A=02 +70, +r20</p><p>o que permite a separação em uma equação radial e outra angu-</p><p>lar. Isto não pode ser feito, por exemplo, no caso de um domínio</p><p>arbitrário no Rº. A saída para isso é estudar cuidadosamente a</p><p>estrutura abstrata que permeia os vários exemplos citados acima</p><p>na busca de métodos que nos permitam obter expansões em auto-</p><p>funções em alguma forma, sem passar pelo processo de separação.</p><p>Nos capítulos subsequentes procuraremos indicar várias das idéias</p><p>envolvidas nesse tipo de teoria. |</p><p>Exercícios 41.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Faça os seguintes itens:</p><p>(i) Prove as relações de ortogonalidade (1.25), (2.6), (2.7).</p><p>(ii) Se Blz) =e'"?, nEZ, zER, prove que</p><p>[ da(z)Bm(z) dz = [ , se nm</p><p>-—r Tr se n=m</p><p>2. Seja C*([a,b)), k = 0,1,2,..., a coleção das funções</p><p>fi la,b] — C com derivadas contínuas em [a, b] até ordem k.</p><p>Se k = 0, escreveremos simplesmente C(la,b]). Dizemos que -</p><p>uma segiiência (fr); € C([a,b]) converge uniformemente a</p><p>uma função f € C([a, b]) se, qualquer que seja e > 0, existe um</p><p>NEN tal que</p><p>n2N > |f(x)-— falv)|< e, Vz E [a,b)</p><p>(1) Suponha que (fa]JX, C C(la,b]) converge uniforme-</p><p>mente a f € C([a, b]). Prove que</p><p>/ f(x) dz = dim / fn(z) dz.</p><p>(ii) Seja (fnJo=1 € Cl([a, b]) tal que limao fn(zo) existe</p><p>para algum xo E [a,b] e suponha que a sequência de</p><p>derivadas (4), converge uniformente a uma função</p><p>9 € C([a,b]). Prove que (f,J%., converge uniformemente</p><p>a uma função f E C!([a, b]) e que f' = g. (Sugestão: use</p><p>(i) e o teorema fundamental do cálculo.)</p><p>42 o Método de separação de variáveis [Cap. II</p><p>(iii) Enuncie e demonstre resultados análogos aos de (i) e (ii)</p><p>para o caso de uma série de funções Sea fr</p><p>(iv) Seja (falte, €</p><p>C([a,b)) e “suponha que existe uma</p><p>sequência numérica (Mn )j=, tal que</p><p>falo) < Ma, Vzelab) Yn,</p><p>o</p><p>Ma, < 00.</p><p>n=i</p><p>Prove que a série de funções 3,4 fr converge uniforme-</p><p>mente em [a,b). (Este resultado é conhecido como o teste</p><p>M de Weierstrass.)</p><p>3. Faça os seguintes itens: “</p><p>(1) Prove que a série em (1.23) converge absoluta e uniforme-</p><p>mente em qualquer conjunto da forma [0,4] x [to, 60) com</p><p>m>0 nao aa</p><p>(ii) Mostre que a série em (1.23) satisfaz a EDP e as condições</p><p>de contorno do problema (1.1). o</p><p>(11) Prove que esta série défine uma função infinitamente di-</p><p>ferenciável em (0,4) x (0,00).</p><p>4. Faça os seguintes itens:</p><p>(1) Seja (z,y) uma função contínua em [a,b] x [c, d] e su-</p><p>ponha que de existe e é contínua em (a, b] x [c, d]. Prove</p><p>que a função</p><p>b</p><p>P(y)= | e(2,u)de</p><p>é diferenciável em [c, d] e satisfaz</p><p>Ce</p><p>Py=[ end</p><p>(ii) Suponha que v(z,t) é solução do problema (1.1). Prove</p><p>(1.30). | e</p><p>5</p><p>- Exercícios 43</p><p>(iii) Prove que (1.1) tem no máximo uma solução e que, se ela |</p><p>existe, depende continuamente dos dados iniciais.</p><p>. Useo método de separação de variáveis para obter (2.2) e prove</p><p>(2.3).</p><p>6. Use o método de separação de variáveis para obter (2.11) e</p><p>1º (212).</p><p>7. Use o método de separação de variáveis para obter (2.19) e</p><p>(2.20) e verifique (2.22) formalmente.</p><p>Considere uma barra uniforme de comprimento £ com difusivi-</p><p>dade térmica e? e com uma distribuição inicial de temperatura</p><p>dada por f(x), 0 < x < £ (veja o exemplo 5 da terceira seção do</p><p>Capítulo 1). Suponha que a temperatura em z = 0 é constante</p><p>e igual a zero, enquanto que a extremidade 2 = 4 está isolada</p><p>térmicamente (isto é, us(L,t) = 0).</p><p>(1) Use o método de separação de variáveis para obter solu-</p><p>ções (auto-funções) da equação de calor com as condições</p><p>de contorno acima da forma</p><p>CC (Qn-Dre / (Qn- 1)2m2c? | Un(z,t) = sen a P at ,</p><p>negzr.</p><p>(ii) Ache uma expansão em série para a temperatura u(z,t)</p><p>da forma</p><p>u(z;t) = > CnUn(z,t)</p><p>n=1</p><p>que satisfaça formalmente a condição inicial u(z,0) =</p><p>Fax).</p><p>(iii) Dê condições sobre a função f para que a expressão em (ii)</p><p>seja solução do problema e esteja em C([0, £] x [0,00)) n</p><p>C2((0,4) x (0,00)). |</p><p>(iv) O que acontece se a extremidade x = 0 for mantida à</p><p>temperatura constante T > 0?</p><p>44 O Método de separação de variáveis [Cap. II:</p><p>9. Considere o problema</p><p>Us = CUsr, 0O<z<tº, t>0,</p><p>u(O,)=0=u(Lt)+U(L,t), t>O0,</p><p>u(z,0)= f(x), 0<z<t,</p><p>onde Y E Re f é uma função dada.</p><p>(1) Procure soluções da forma u(x,t) = X(z)T(t) e mostre</p><p>que</p><p>( =X" =AX</p><p>Xx(0)=0=X (0) +yX(2)</p><p>T'4+14OT =0.</p><p>(ii) Mostre que.os autovalores são estritamente positivos e</p><p>satisfazem a equação</p><p>VA cos( VAL) + ysen(VM) = 0</p><p>(iii) Deduza graficamente que a equação em (ii) é satisfeita por</p><p>um número infinito e enumerável de valores positivos de -</p><p>Aeque,seh)<A<-:<A,<... são os autovalores,</p><p>então A, — oco quando n — +oo.</p><p>(iv) Determine a solução un(z,t) correspondente ao autovalor</p><p>An-</p><p>10. Faça os seguintes itens:</p><p>(i) Obtenha uma solução formal do problema</p><p>u=Cusstg(zt), O<rx<l, t>O0,</p><p>u(0,t)=0=u(L,t), t>0, '</p><p>u(x,0) = 0, 0<zr<t,</p><p>supondo que</p><p>a nrz</p><p>g(z,t) = > an(t) sen A.</p><p>n=1</p><p>Exercícios 45</p><p>e procurando uma solução da forma.</p><p>ntL u(x,t) = >» Bn(t) sen EE</p><p>(ii) O que você pode dizer sobre o problema abaixo? .</p><p>wm=Cusctgo(et), O<zx<t, t>0,</p><p>u(0,t)=0=u(L,t), t>0,</p><p>u(z,0) = f(x), 0O<r<t.</p><p>11. Seja u(x,t) uma solução de</p><p>1</p><p>Uzz = qtas a<r<b, t>0.</p><p>A integral de energia de u é dada por</p><p>b 1 |</p><p>E(t) = / fude, + ala dz, t>0.</p><p>(1) Mostre que se u E C%([a, b] x (0,00))N CH([a, b] x [0,00))</p><p>satisfaz a equação acima e as condições de contorno</p><p>u(a,t)=0=u(bt), t>0, então E(t) = E(0) qual-</p><p>quer que seja t > 0.</p><p>(ii) Use (i) para mostrar que existe no máximo uma solução</p><p>do problema '</p><p>u E C2([a,b] x (0,00))N Cº([a, b] x [0,00)), .</p><p>Usz— Sun=g(z,t), a<z<b, t>0,</p><p>u(z,0) = f(x), a<r<o,</p><p>ulz0)=9(2), a<e<s,</p><p>u(at)=A(t), +50,</p><p>u(b,t) = B(t), t>0,</p><p>onde q E C(la, db) x (0,00)), fg E C(la, b)), -A,B E</p><p>C([o, 00).</p><p>CAPITULO II</p><p>SÉRIES DE FOURIER: TEORIA BÁSICA</p><p>Neste capítulo vamos iniciar o estudo das séries de Fourier</p><p>com o objetivo de responder às questões de convergência levantadas</p><p>no Capítulo II e justificar as soluções obtidas para os problemas ali</p><p>discutidos. Começaremos introduzindo algumas definições e resul-</p><p>tados que usaremos no que se segue.</p><p>1. Espaços Vetoriais Normados</p><p>Seja V um espaço vetorial real ou complexo. Uma norma em V é</p><p>uma função |||: V — [0,00) tal que, quaisquer que sejam u,v € V</p><p>e a escalar,</p><p>(1.1) lv=0 & v=0;</p><p>(1.2) | Iov]l = lol Ifoll;</p><p>(1.3) Iu + ol) < Iull + IJoll.</p><p>A propriedade (1.3) é chamada desigualdade triangular. No caso em</p><p>que || -|| satisfaz as propriedades (1.2) e (1.3) mas não satisfaz (1.1),</p><p>dizemos que || - || é uma semi-norma em V. Um espaço vetorial V</p><p>munido de uma norma ||: || é chamado um espaço vetorial normado;</p><p>usaremos muitas vezes a notação (V, || - ||).</p><p>sec. 1] | Espaços Vetoriais Normados. 47</p><p>No que segue estaremos interessados apenas em espaços ve-</p><p>toriais complexos de modo que, a não ser que afirmemos explicita-</p><p>mente o contrário, todos os espaços vetoriais são sobre o corpo C</p><p>dos números complexos.</p><p>Seja V um espaço vetorial normado. Uma consegiiência sim-</p><p>ples da desigualdade triangular é que, quaisquer que sejam u,v € V,</p><p>(1.4) lu — ol > Hui) — Ipojl |.</p><p>Seja (vn Jr=1 uma segiiência em V. Dizemos que a sequência</p><p>converge a um elemento v € V se ||jv, — v|| — O quando n > 0; mais</p><p>precisamente, se, dado e > 0, existe N E N tal que</p><p>(1.5) n2N5> jp -ovl|<e.</p><p>A segúência (un) é uma segiência de Cauchy se vn — vm|l > 0</p><p>quando n,m — oo, i.e., dado e > 0, existe NEN tal que</p><p>(1.6) nm>N> jo -vml|<e.</p><p>É claro que toda sequência convergente é de Cauchy: de fato, dado</p><p>€>0, escolha N € N satisfazendo (1.5) com 3 no lugar de e; pela</p><p>desigualdade triangular, sen,m > N ,</p><p>€ € Ion omllSo-ol+o-uml<i+õ=e,</p><p>logo (1.6) é válida. No entanto, a recíproca pode ser falsa, isto é,</p><p>podem existir seqiiências de Cauchy que não convergem em V. Um</p><p>espaço normado onde toda seqiiência de Cauchy é convergente é .</p><p>chamado completo ou de Banach. o</p><p>EXEMPLOS:</p><p>| Sel<xp<o, pe RU(+oO), ese z=(2,...,2m)€ O?</p><p>definimos</p><p>l</p><p>ad n</p><p>(1.7) lzlo=[DilgP|, I<p<o,</p><p>j=1</p><p>48 Séries de Fourier: Teoria Básica [Cap. HI.</p><p>(1.8) lilo= sup ilz;</p><p>1<j<n</p><p>Então C" é um espaço de Banach em relação a qualquer uma dessas</p><p>normas. De fato, todas essas normas são equivalentes, isto é, se p,</p><p>'q€ [1,00], existem constantes positivas C, e C3 tal que</p><p>q ]</p><p>(1.9) belo < Il <8lao</p><p>qualquer que seja z € C" (veja [53; vol I]). A norma || a é chamada</p><p>a norma euclideana. - .</p><p>2. Seja 4º = £P(Z) o espaço das segiiências complexas a= (an)nez</p><p>tais que</p><p>+oo</p><p>(1.10) 3 lan)? <'+o0,</p><p>n=-C0</p><p>onde p € [1,00). É fácil ver que 4? é um espaço vetorial com a soma</p><p>e a multiplicação por escalar definidas componente a componente,</p><p>isto é,</p><p>(an)nez + (Bn)nez = (an + Bnlnez;</p><p>(1.11) Man)nez = (Aan)nez-</p><p>O espaço 4? munido da norma</p><p>+oo :</p><p>(1.12) — Jalp= | >, e</p><p>n=—00</p><p>é completo. O espaço £º = £(Z) das sequências complexas lmi-</p><p>tadas é também um espaço de Banach. À norma ||: |lp é chamada a</p><p>norma b?, 1<p< oo.</p><p>3. Para cada p € [1,00), defina || - |lp em C([a, b]) por</p><p>:</p><p>(1.13) fl, = | / Hop à]</p><p>sec. 1] Espaços Vetoriais Normados 49</p><p>Então, qualquer que seja p E [1,00), (C([a, b]), ||-l|,) é um espaço</p><p>vetorial que não é completo. No entanto C'([a, b]) é um espaço de</p><p>Banach em relação à norma</p><p>(114) Nfllo = suplf(z)]</p><p>€la,b)</p><p>A norma || fl, é chamada a norma LP, 1 <p < oo; à norma LO é</p><p>também chamada de norma do sup.</p><p>Para as demonstrações dos fatos acima e maiores informações</p><p>sobre espaços de Banach, sugerimos ao leitor os livros. [9], [50],</p><p>[52, vol 1], [70] e os problemas 1-6 ao final deste capítulo.</p><p>Seja W um espaço vetorial. Uma forma sesquilinear positiva</p><p>em V é uma aplicação (- | -):V x V — C tal que para todos os</p><p>vetoresu,v,w EV eescalaresa,B</p>